автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование стационарных магнитных полей на основе метода интегральных уравнений

на правах рукописи

Саядян Дмитрий Левоновнч

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ставрополь, 2004 г.

Работа выполнена в Северо-Кавказском государственном техническом университете (г. Ставрополь)

Научный руководитель:

- доктор физико-математических наук, профессор Наац И.Э.

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессор Алтухов В.И.

-доктор физико-математических наук, профессор Симановский А.Я.

Ведущая организация: Саратовское отделение института радиотехники и электроники РАН (г. Саратов)

Защита состоится "12" ноября 2004 года в 15 часов на заседании диссертационного совета К 212.245.02 в Северо-Кавказском государственном техническом университете по адресу: 355028, г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СевероКавказского государственного технического университета

Автореферат разослан Ч5|" октября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Мезенцева О.С.

2005-4 12927

Общая характеристика работы. Работа посвящена математическому моделированию слабых трехмерных стационарных магнитных полей на основе метода интегральных уравнений. Осуществляется разработка вычислительных алгоритмов решения задач магнитостатики с использованием линейного интегрального уравнения второго рода со слабой особенностью, а также систем таких уравнений. Решаются задачи, состоящие в исследовании влияния ферромагнитного тела на внешнее магнитное поле токовой системы в случаях, когда форма этого тела представляет собой эллипсоид, эллиптический тор и эллипсоидальную оболочку.

Актуальность проблемы. Во всех отраслях современной техники широко используются электромагнитные процессы и явления, лежащие в основе действия большого числа различных электромагнитных приборов и устройств. К числу таких приборов и устройств могут быть отнесены электротехнические устройства, предназначенные для усиления и концентрации электромагнитного поля, электромагнитные экраны, элементы автоматики, приборы электромедицины, геологоразведки, навигации и многие другие. В процессе их проектирования возникает необходимость в решении задач моделирования характеристик электромагнитного процесса, причем это решение из-за сложности форм электротехнических приборов и устройств в подавляющем большинстве случаев приходится осуществлять при помощи численных методов. Одним из эффективных методов расчета электрических и магнитных полей является метод интегральных уравнений, сущность которого состоит в сведении краевой задачи к интегральным уравнениям и их численному решению на ЭВМ.

До последнего времени возможности вычислительной техники не позволяли широко применять метод интегральных уравнений для решения трехмерных задач со сложными формами ферромагнитных тел. Отсутствовала возможность проведения в требуемом масштабе вычислительного эксперимента для получения информации об эффективности численных методов и алгоритмов, требуемых затратах ресурсов ЭВМ, которая столь необходима инженерам, решающим

^бИШГЗЩйЗЕЁВ^с'^р! [боров и

задачи моделирования при проектировании

устройств. Поэтому рекомендации по практическому использованию метода интегральных уравнений в имеющихся работах носят общий характер и требуют проверки и доработки при решении задач конкретного класса.

В диссертационной работе осуществляется попытка восполнить указанные пробелы применительно к задачам моделирования слабых стационарных магнитных полей, в случаях, когда граница ферромагнитного тела представляет собой замкнутую гладкую поверхность. Необходимость в решении таких задач возникает при проектировании различного рода приборов и устройств, например, аппаратуры для приема и передачи информации, магнитопроводов малогабаритных трансформаторов, измерительных трансформаторов силы тока и напряжения, реакторов, дефектоскопов, магнитных экранов и других элементов высокочувствительной аппаратуры. В частности рассматриваются задачи для ферромагнетика в форме эллипсоида, эллиптического тора и эллипсоидальной оболочки. Следует отметить, что в предшествующих работах такие формы ферромагнитного тела рассматривались и в отдельных случаях были получены точные аналитические решения. Однако эти решения либо соответствовали простейшим случаям выбора источника поля магнитной системы, либо форма аналитического решения была таковой, что его использование для вычислений оказывалось неэффективным.

Целью работы являлась разработка математических моделей на основе метода интегральных уравнений, вычислительного алгоритма и программного комплекса для решения задач моделирования слабых стационарных магнитных полей.

Задачи исследования заключались в следующем:

1. Разработать вычислительную схему решения интегрального уравнения второго рода с поверхностным интегралом и наличием слабой особенности, а также системы из двух таких уравнений на основе метода граничных элементов.

2. Разработать вычислительный алгоритм и программный комплекс для решения задач моделирования поля магнитной системы с ферромагнитным телом в форме трехосного эллипсоида. С использованием этого комплекса:

а) оценить погрешность решения при различном выборе параметров дискретизации, геометрических параметров эллипсоида и магнитной проницаемости ферромагнетика;

б) исследовать влияние ферромагнитного тела на внешнее магнитное поле в зависимости от ориентации эллипсоида относительно токовой системы и соотношения его полуосей;

в) для токовой системы, состоящей из круговых витков с током, провести исследование зависимости характеристик поля от радиусов круговых витков при фиксированных геометрических параметрах эллипсоида;

Решить перечисленные выше задачи для ферромагнитного тела в форме эллиптического тора.

3. Разработать вычислительный алгоритм и программный комплекс для решения задач моделирования поля магнитной системы с магнитным экраном в форме эллипсоидальной оболочки. Оценить экранирующие действие в зависимости от толщины, магнитной проницаемости и полуосей эллипсоидальной оболочки.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Вычислительная схема решения линейного интегрального уравнения и системы линейных интегральных уравнений с поверхностными интегралами математических моделей стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде на основе метода граничных элементов.

2. Вычислительный алгоритм и программный комплекс для решения задач моделирования слабых стационарных магнитных полей токовых систем с ферромагнитными телами, ограниченными гладкими поверхностями на основе математических моделей стационарного магнитного поля в кусочно-однородно? среде.

3 Результаты исследования погрешности приближенного решения интегрального уравнения математической модели магнитного поля в кусочно-однородной среде для ферромагнитного тела в форме эллипсоида Выводы по исследованию зависимостей погрешности от значений параметров дискретизации, соотношения полуосей эллипсоида и магнитной проницаемости ферромагнетика.

4 Результаты решения задач моделирования поля магнитной системы с ферромагнитным телом в форме трехосного эллипсоида. Выводы по исследованию зависимости влияния этого тела на внешнее магнитное поле от соотношения полуосей эллипсоида, его ориентации относительно токовой системы, а также от радиусов круговых витков токовой системы.

5. Результаты решения задач моделирования стационарного магнитного поля магнитной системы с экраном в форме эллипсоидальной оболочки и выводы по исследованию зависимостей характеристик поля от толщины экрана и значения его магнитной проницаемости.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем: разработаны математические модели стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде на основе линейных интегральных уравнений, вычислительный алгоритм и программный комплекс MagnostatS (свидетельство об официальной регистрации в Российском агентстве по патентам и товарным знакам № 2004611907) для решения практически важных задач моделирования слабых трехмерных стационарных полей магнитных систем при наличии в них ферромагнитных тел, ограниченных гладкими поверхностями. Впервые с использованием метода интегральных уравнений решены эти задачи для ферромагнитных тел в форме трех часто встречающихся на практике гладких поверхностей: эллипсоида, эллиптического тора и эллипсоидальной оболочки. В частности, исследовано влияние ферромагнитного эллипсоида на внешнее магнитное поле в зависимости от соотношения его полуосей и ориентации относительно токовой системы. Произведена оценка экранирующего действия магнитного экрана

в форме эллипсоидальной оболочки в зависимости от толщины оболочки и магнитной проницаемости ферромагнетика.

Достоверность полученных результатов подтверждается корректностью использованных методик исследования, основанных на математическом аппарате теории потенциала, интегральных уравнений, теории вычислительных методов, сравнением численных и аналитических решений интегральных уравнений.

Практическая значимость работы состоит в том, что программный комплекс Мгд/ю.угоЛ?, а также полученная путем вычислительного эксперимента информация о точностных характеристиках численного метода, могут быть использованы при проектировании электротехнических приборов и устройств преимущественным образом для решения задач моделирования слабых стационарных магнитных полей токовых систем с телами из "мягких" ферромаг-> нетиков, ограниченными гладкими поверхностями. Такими электротехниче-

: скими устройствами являются, например, магнитные экраны в форме замкну-

( той гладкой оболочки, предназначенные для настройки, проверки и защиты от

влияния внешнего магнитного поля высокочувствительных приборов, помещаемых в эти экраны. Кроме того, на основе результатов диссертационной работы были выработаны методические указания, которые используются в процессе обучения студентов СевКавГТУ по специальности "Прикладная математика" (акт внедрения от 22 09.04).

Апробация работы. Результаты работы докладывались на ежегодных региональных научно-технических конференциях СевКавГТУ (г Ставрополь, 2001-2004 г.), третьей межрегиональной научной конференции "Студенческая наука — экономике России" (г.Ставрополь, 2002 г), Международной школе-семинаре по геометрии и анализу (Абрау-Дюрсо, 2002 г) Автор также принимал участие в четвертой и няк>й Международных конференциях ''КиМ"ьк>1ер-1гое моделирование" (г. Санкт-Псгербур!, 2003 и 2004 гг) Всею имез! 11 пуб-тикаций по теме диссертационной рабо1Ы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, двух приложений и содержит 144 страницы.

Краткое содержание работы.

Во введении обоснована актуальность разрабатываемой темы, сформулирована цель работы и задачи исследования, научная новизна полученных результатов, их практическая значимость, а также основные положения, выносимые на защиту.

Глава 1. Метод интегральных уравнений в задачах магнитостатики.

Первая глава посвящена построению и обоснованию математических моделей стационарных магнитных полей на основе метода интегральных уравнений. В качестве вспомогательного материала рассматриваются элементы теории магнитного поля постоянного тока и теории потенциала. Формулируется следующая задача.

Внешнее магнитное поле создается заданной системой токов в среде с магнитной проницаемостью ц0. Требуется определить искажение этого поля при

внесении в него ферромагнитного тела с проницаемостью ц+, ограниченного замкнутой поверхностью 5.

Искомая напряженность Н представляется в виде суммы

Н = Н0 +Нф,

где Н0— составляющая напряженности, созданная заданными токами проводимости при предположении, что все пространство заполнено однородной средой с проницаемостью ц0; Нф— безвихревая составляющая магнитного поля,

созданная намагниченностью ферромагнетика. Поле Н0 может быть найдено по закону Био-Савара-Лапласа. Для нахождения же Нф вводится в областях

У+(область внутри Я) и V- (область вне Б), свободных от тока, скалярный магнитный потенциал <рм, такой что

Нф- Фл( • (1)

Потенциал <рм является решением краевой задачи для уравнений Лапласа

Дф:=0;АФ;=О. (2)

с краевыми условиями

»

,5ф+ +

Ц —--Ц )«о» (3)

дп дп

ф+=ф-. (4)

В соответствии с теорией потенциала будем искать фм в виде потенциала

простого слоя с плотностью а(М):

1 ко(М) Ф м=--я~—

4лц0 5 гйм

Условие (4) и уравнения (2) будут при этом удовлетворяться автоматически. Из теоремы о скачке нормальной пройзводной потенциала простого слоя следует, что краевое условие (3) будет выполнено, если плотность а(0 будет удовлетворять интегральному уравнению

2ц0ХЯ0", (5)

2л 5 Гдм

Ц — Ц

где X = —-—. С целью увеличения скорости сходимости и усилению ус-

+ц

тойчивости к малым возмущениям правой части рассматриваются два подхода, состоящие в видоизменении уравнения (5) с учетом априорно известных интегральных свойства функции а(Р). Первый из таких подходов приводит к интегральному уравнению

2я 5

оо^гвм,пв1А(в)

г2 Г0М

^=2^0 Шо"(0, (6)

где

^ 5 Гвр

В первой главе рассматривается обобщение приведенной модели на случай

многосвязной границы раздела магнитных сред 5 = У 5, . В этом случае мы

(=1

приходим к системе линейных интегральных уравнений с неизвестными а,(0: ' (0 + Л-1 § К, (0, М)а] {М)с13м =2ЛМоЩШ ОеЯ, , / = 1.....П,

(7)

где

V (П 1 и7ОМ*(} ¿о

2жг(2М SJ 2кгдм

Глава 2. Численное решение интегральных уравнений в задачах магнитостатики.

Во второй главе дается" разработка численного метода для решения линейных интегральных уравнений математических моделей магнитного поля в кусочно-однородной среде с учетом специфики этих уравнений. Предлагается использовать разновидность метода граничных элементов, основанную на кусочно-постоянной аппроксимации искомой функции в пределах каждого граничного элемента (метод Крылова-Боголюбова). Обсуждаются вопросы, связанные с вычислением поверхностных интегралов в численном решении интегрального уравнения и решения системы линейных алгебраических уравнений, к которой сводится интегральное уравнение в результате дискретизации. Осуществляется построение вычислительных схем решения интегрального уравнения и системы интегральных уравнений с поверхностными интегралами на основе метода Крылова-Боголюбова для случаев, когда ферромагнитное тело имеет форму трехосного эллипсоида и эллипсоидальной оболочки.

Для разбиения эллипсоида 5 на граничные элементы используются его параметрические уравнения

х = (р(и,у), у = у(и,у), г = х(и,у),

ф(«, у) = а сое и сое V, \|/(м, у) = Ъ сое и вт V, Х(и,у) = с$ти\

(и,у) е = ^ (и,V)и <|,0 < у < 2л

Задается возрастающая последовательность чисел {у,}, 1=1,..., и+1, таких что 0<у, <2я, и и возрастающих последовательностей |му |, 1=1,...,л,

у'=1 ,...,т(0, при этом полагается Л/ = ví+l -у,, и А," = иу+1

Область £> разбивается на прямоугольные элементы

Л£у = КV),у, <у^У(+1 <"<«у+1 }■

Эти элементы при помощи параметрических уравнений (8) будут отображаться в элементы эллипсоида А5у, представляющие собой криволинейные прямоугольники и треугольники. Центрами элементов поверхности считаются точки, получаемые отображением центров прямоугольников из области О.

2я

область 7 (4=7)

Рисунок 1. Схема нумерации граничных элементов.

При вычислении коэффициентов матрицы системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) оказывается возможным вследствие наличия центральной симметрии у эллипсоида, сократить объем вычислений в 8 раз (в общем случае, когда эллипсоид является трехосным) при формировании этой матрицы за счет учета равенства значений определенных ее элементов. Для из-

ложения вычислительной схемы, учитывающей наличие симметрии, и для ее практической реализации разработана специальная нумерация граничных элементов и коэффициентов СЛАУ.

Область £> разбивается на восемь одинаковых прямоугольных областей так, чтобы каждая такая область соответствовала части эллипсоида Я, лежащей в одном из восьми октантов. Граничные элементы определяются при помощи трех индексов q, к, I. Здесь д — номер области, в которой располагается элемент, а к, I — индексы, задающие расположение этого элемента в области. Направления увеличения значений этих индексов в каждой области указаны стрелками (рис 1). Точки, являющиеся центрами граничных элементов, определяются также тремя индексами по соответствующим им элементам.

Используя такую нумерацию точек и элементов области Д СЛАУ можно записать следующим образом:

где

8 п' т'(О

р=и=1 )=\

д = 1,2,...,8, к = 1,2,..., п', I = 1,2,..., т\к\

„Ру гг /вмпд 1 игвмпв ады= )) (—1--1-

Можно показать, что вследствие наличия центральной симметрии у 5

ари =а'} дк! ач'к1>

(9)

р = 1,8; д = 1,8, 1 = \,п',] = \,т'(/),

д' = Р(р,д), к = 1,п', I = 1,т'(к),

где (р, (7)— функция индексов р и д, задаваемая некоторой матрицей Т7 с элементами [Г^}, р, д = 1,8.

Для решения СЛАУ (9) используется метод простых итераций, последовательные приближения которого строятся по схеме

р=11=1 )=\

Искомые значения напряженности поля вычисляются путем численного интегрирования полученного приближенного решения интегрального уравнения (6).

Во второй главе также осуществляется построение и обоснование вычислительной схемы решения системы интегральных уравнений (7) на основе метода Крылова-Боголюбова для решения задачи нахождения поля магнитной системы с экраном в форме эллипсоидальной оболочки. В этом случае система (7) сводится к следующей алгебраической системе

8 »0 «0(0 8 щ т,0') ,,,

стди X а">ап+\о11 I

р=1/=1 )=\ р'=1 /'=1 /=1

8 «0 то(') 8 Щ щО') ,,, ...

^ТГ+К II I сц'кгару -л. III ^т^у =/9'«'

р=1,=1 У=1 р'=1,'=1/=1

?,?' = 1,2,...,8, А = 1,2,...,Но, / = 1,2,...,/и0(А), £' = 1,2,...,Я] , /' = 1,2,...,/«,(*'),

относительно неизвестных значений искомых функций ст и г, за-

данных соответственно на эллипсоидах 50 и , образующих оболочку. Глава 3. Моделирование характеристик магнитного поля токовой системы с ферромагнитным телом в форме эллипсоида.

В третьей главе осуществлено решение ряда задач моделирования магнитного поля токовой системы при наличии в этой системе ферромагнитного тела в форме трехосного эллипсоида на основе разработанного комплекса программ MagnostatS. Проводятся исследования влияния ферромагнетика на внешнее поле токовой системы в зависимости от соотношения полуосей эллипсоида и его

(10)

ориентации относительно токовой системы, а также исследование зависимости характеристик поля от радиусов круговых витков, образующих токовую систему. Кроме того, проводится исследование погрешности приближенного решения в зависимости от параметров дискретизации, геометрических параметров ферромагнитного тела и значения магнитной проницаемости.

В качестве искомых характеристик магнитного поля были использованы такие характеристики, как напряженность результирующего поля Н{Р), скалярный магнитный потенциал, магнитный поток, а также характеристика РГ

отражающая степень влияния ферромагнитного тела на внешнее поле Н0 токовой системы в точках некоторой поверхности 5'.

Токовые системы представляли собой системы из N круговых витков с током.

Первое исследование состояло в следующем. Вводятся две прямоугольные системы координат, имеющие общий центр: основная система Охуг и вспомогательная Ох'у'г', расположение которой относительно основной системы задавались тремя углами 0,<р,со. Эллипсоид 5 задается в системе Ох'у'2 каноническим уравнением с параметрами а,Ь,с, так что его оси лежат на осях этой сис-

(П)

г

Рисунок 2 Взаимное расположение систем координат Охуг и Ох'у'г'.

Рисунок 3. Расчетная область — сфера радиуса Л0.

темы координат. Областью расчета поля являлась сфера охватывающая 5 (рис. 3). Были получены и исследованы зависимости характеристик поля от значения параметров 0, ср, со.

в) 9 = я/4, ф=0 ю=0 г) 9 = л;/2, ф=0 со=0.

Рисунок 4 Зависимость модуля напряженности /Л от параметрических координат (и,у)

точки Р(х(и, V), у (и, V), г(и, у)) , расположенной на сфере радиуса Д0 = 4 при

а=1,Ь=3,с=2.

На рисунке 4 представлены примеры, иллюстрирующие зависимость модуля результирующей напряженности от параметрических координат точки, расположенной на охватывающей ферромагнитное тело сфере.

Рисунок 5 содержит укрупненную блок-схему вычислительного алгоритма, отражающую его специфические особенности, в частности то, что вычисление матрицы коэффициентов СЛАУ осуществляется однократно, а пересчитывается только вектор правой части СЛАУ при каждом новом наборе значений угловых параметров 8, ф, со.

Рисунок 5. Укрупненная блок-схема вычислительного алгоритма

Вторая задача состояла в исследовании влияния ферромагнитного тела на внешнее магнитное поле в точках сферы S' в зависимости от соотношения полуосей эллипсоида, а именно, от значений параметров = а/с и = Ь/с.

■л i

f3=0,75

h ' 0,25

им f

Рисунок 6 — Зависимость характеристики IV от параметра £,) На рисунке 6 представлена полученная зависимость характеристики IV, определяемой формулой (11) от параметра Е,, при фиксированном значении Е,2 и при с=0,8 м. Отсюда видно, что с ростом параметра влияние ферромагнитного эллипсоида на внешнее поле токовой системы усиливается.

Третья задача заключалась в исследовании зависимости характеристик результирующего поля от радиусов круговых витков токовой системы при постоянных геометрических параметрах ферромагнитного тела (табл. 1).

Таблица 1 —Зависимость значении потока Ф через часть сферы , расположенной в первом ок!анте а также характеристик IV и Н тзх (максимальное значение модуля напряженности ) от радиуса И круговых витков с током

R, м Ф,Вб IV,% Нтт ,А/м

1,1 9,6 38,2 24,2

1,2 9,1 35,6 23,2

1,5 8,3 31,2 20,6

2 6,3 28,1 17,1

Показано, каким образом с увеличением радиусов круговых токов ослабевает интенсивность результирующего поля в точках сферы 5".

Глава 4. Моделирование характеристик магнитного поля токовой системы с ферромагнитным экраном в форме эллипсоидальной

оболочки.

В четвертой главе было осуществлено решение задач моделирования магнитного поля токовой системы с магнитным экраном в форме эллипсоидальной оболочки на основе численного решения системы линейных интегральных уравнений (7) с использованием разработанного комплекса программ Mag-nostatS,

Магнитный экран рассматривается как устройство, предназначенное для ослабления поля в области, расположенной внутри экрана по сравнению с магнитным полем вне экрана с целью защиты от влияния внешнего магнитного поля чувствительных приборов, помещаемых в экранируемую область

Под эллипсоидальной оболочкой подразумевается область, ограниченная двумя эллипсоидами S, и 52 с общим центром, взаимно перпендикулярными осями и с заданными геометрическими параметрами (полуосями) ai,bl,cl и a2,h2 с2 В частности, полагается а2 ~а{ + d, b2 - bt +d, c2 -с, ^-б^где d — параметр, который мы будем называть толщиной оболочки

Система токов (вновь в качестве такой системы выбирается система круговых токов) распотожена рис жрана (рис 7) С цслыо оценки экранирую нею

«

чей с п'1п тртатспндального экрана бьпи проведены следующие дсследованич

Риомюк 7 Схема \iai miv >и системы с .ьрлн im в форм-jn)T!C0Hji..r|bH0:"1 <бо .очки

1) исследование зависимости напряженности пом в точках, расположенных внутри экрана на поверхности заданною эллипсоида 5" от значения толщины й экрана.

2) исследование зависимости напряженности поля в точках эллипсоида $" от значения магнитной проницаемости экрана ¡лэ.

3) исследование зависимости модуля напряженности поля от значений полуосей эллипсоидов, образующих эллипсоидальную оболочку.

Таблица 2 Зависимость характеристик магнитного поля от толщины оболочки при а]=2,6]=2,С1=1

(1, м А/м Нтм, А/м

0,05 4,96 14,9

0,08 1,59 п,з

ОД 0,79 10,5

0,2 0,63 8,9

0,3 0,86 8,3

0,4 0,95 8

Н > 1

25 - V \ \ %

18 -11 • \ \ л V.

37

10 110 210 310 410 И.

Рисунок 8 Зависимость модуля напряженности в точке Р( 0,5, 0,4, 0,2) от значения магнитной проницаемости при 2,¿1=2,С! =1 и </=0.1 . Пример зависимости Нтах, Нтт — максимального и минимального среди значений модуля напряженности в точках сферы, расположенной внутри экрана от толщины экрана представлен таблицей 2. Рисунок 8 иллюстрирует зависи-

мость модуля напряженности от магнитной проницаемости в точке, расположенной внутри экрана. Таким образом, полученные результаты показывают, с какой скоростью происходит ослабление интенсивности магнитного поля в точках, расположенных внутри экрана, по мере увеличения значения магнитной проницаемости /лэ и значения толщины й.

В приложениях приводится расчетно-графический материал, иллюстрирующий результаты по исследованию характеристик поля магнитной системы с ферромагнитным телом в форме эллиптического тора, а также особенности разработанного комплекса программ А/дцпо.уйЙ'.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем.

Осуществлено построение и обоснование вычислительной схемы решения интегрального уравнения и системы интегральных уравнений математической модели стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде для фер- 1

ромагнитного тела в форме эллипсоида и эллипсоидальной оболочки на основе ,

метода граничных элементов с кусочно-постоянной аппроксимацией искомой функции. Разработаны вычислительный алгоритм и комплекс программ \iagnnstatS для решения задач моделирования слабых полей магнитных систем с ферромагнитными телами в форме гладкой односвязной или двусвязной замкнутой поверхности. На основе разработанного программного комплекса осуществлено решение задач моделирования характеристик магнитного поля токовой системы с ферромагнитным телом в форме трехосного эллипсоида. Проведен анализ погрешности приближенного решения в зависимости от геометрических параметров эллипсоида, параметров дискретизации и значения относительной магнитной проницаемости ферромагнетика. Проведено исследование влияния ферромагнитного тела на внешнее поле юковой системы в зависимости от ориентации эллипсоида относительно токовой системы и соотношения его полуосей. Выполнено исследование зависимостей характеристик поля от радиусов круговых витков токовой системы при фиксированных геометрических параметрах ферромагнитного тела

20

С использованием комплекса программ Мя^иол'/а/^ решены задачи моделирования характеристик поля магнитной системы с экраном в форме эллипсоидальной оболочки. Выполнено исследование зависимости модуля напряженности поля в точках, расположенных внутри экрана, от значения толщины и магнитной проницаемости этого экрана. Исследованы зависимости модуля напряженности поля от значений полуосей эллипсоидов, образующих эллипсоидальную оболочку.

Список опубликованных работ по теме диссертации.

1. Саядян Д.Л. Исследование влияния ферромагнитного тела, ограниченного эллиптическим тором, на стационарное магнитное поле системы токов. // Труды участников 5-ой Международной конференции «Компьютерное моделирование 2004». Санкт-Петербург, 2004. с.99-100.

2. Саядян Д.Л. Исследование зависимости погрешности приближенного решения от значения магнитной проницаемости ферромагнитной среды в задаче расчета стационарного магнитного поля в пространстве с ферромагнитным эллипсоидом. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Приложение., 2004, №2, с.72-76.

3. Саядян Д.Л. Моделирование магнитостатического поля в кусочно-однородной среде. // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу. Ростов-на-Дону, 2002 . с.218-219.

4. Саядян Д.Л. Математическое моделирование магнитных полей при наличии экранов на основе метода интегральных уравнений. // Труды участников 4-ой Международной конференции «Компьютерное моделирование 2003». Санкт-Петербург, издательство СПбГПУ, 2003. с. 27-29.

5. Саядян Д.Л. Использование метода интегральных уравнений для моделирования напряженности стационарного магнитного поля эллипсоидальной оболочки. // Сборник трудов Северо-Кавказского государственного технического университета. Серия «Естественные науки». 2004, № 1. с.28-37.

6. Саядян Д.Л. Использование метода тггаральных уравнений для решения задачи расчета напряженности стационарного магнитного поля в пространстве с ферромагнитным эллипсоидом. // Сборник трудов Северо-Кавказского государственного технического университета. Серия «Естественные науки». 2004, № 1. с.37-46.

7. Саядян Д.Л.Построение и исследование кубатурной формулы для вычисления интеграла по поверхности эллипсоида // Сборник научных грудов 1-ой региональной научной конференции «Проблемы компьютерных технологий и математического моделирования в естественных, технических и гуманитарных науках», Георгиевск , 2001. с.19-22.

8. Саядян Д.Л.Математическая модель стационарного магнитного поля на основе интегрального уравнения второго рода со слабой особенностью и ее практическое использование. // Материалы 6-ой региональной конференции «Вузовская наука — Северо-Кавказскому региону». Ставрополь, 2003 с 28.

9. Саядян Д.Л.Оценка погрешности приближенного решения в задаче расчета стационарного магнитного поля в пространстве с ферромагнитным эллипсоидом. // Сборник научных трудов 4-ой региональной научной конференции «Проблемы компьютерных технологий и математического моделирования в естественных, технических и гуманитарных науках», Георгиевск , 2004. с. 32-33.

10. Саядян Д.Л.Численное решение интегрального уравнения задачи расчета магнитостатического поля в кусочно-однородной среде. // Материалы третьей межрегиональной научной конференции «Студенческая наука — экономике России», Ставрополь, 2002. с 56.

11. Саядян Д.Л. Об одной задаче расчета стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде с многосвязной границей раздела сред. // Материалы 5-ой региональной конференции

«Вузовская наука — Северо-Кавказскому региону». Ставрополь, 2002. с. 44.

Изд. лиц. серия ИД № 00502 Подписано к печати 20.09.04 г.

Формат 60x84. 1/16 Усл. печ. л. - 1,4. Уч.-изд. л. - 1,1.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Заказ 163 Тираж 100 экз. Северо-Кавказский государственный технический университет 355029 г. Ставрополь пр. Кулакова, 2

Отпечатано в типографии СевКавГТУ Издательство Северо-кавказского государственного технического университета

«19349

РНБ Русский фонд

2005-4 12927

Введение

Содержание

Глава 1. Метод интегральных уравнений в задачах магнитостатики:.

1.1 Основы теории магнитного поля постоянного тока.

1.2 Теория потенциала и метод интегральных уравнений:.

1.3 Математические модели стационарного магнитного поля на основе линейных интегральных уравнений.281.4 Математическая модель стационарного магнитного поля на основе нелинейных интегральных уравнений:.

Глава 2. Численное решение интегральных уравнений в задачах магнитостатики.

2.1 Метод граничных элементов для численного решения интегральных уравнений в задачах магнитостатики.

2.2 Вычисление интегралов в численном решении интегральных уравнений.

2.3 Выбор метода решения системы линейных алгебраических уравнений, к которой сводится интегральное уравнение.

2.4 Построение вычислительной схемы решения интегрального уравнения математической модели магнитного поля в кусочно-однородной среде для ферромагнитного тела в форме эллипсоида.

2.5 Построение вычислительной схемы решения системы интегральных уравнений математической модели магнитного поля в кусочно-однородной среде для ферромагнитного тела в форме эллипсоидальной оболочки

Глава 3. Моделирование характеристик магнитного поля токовош системы с ферромагнитным телом в форме эллипсоида.

3.1 Анализ погрешности приближенного решения интегрального уравнения и значений модуля напряженности результирующего поля.

3.2 Об одном способе вычисления интегралов в численном решении интегрального уравнения, позволяющем сократить время решения.

3.3 Исследование зависимости характеристик магнитного поля от ориентации эллипсоида относительно токовой системы.

3.4 Исследование зависимости характеристик магнитного поля от соот-ноошения полуосей эллипсоида.

3.5 Исследование зависимости характеристик магнитного поля от радиусов круговых витков токовой системы.

Глава 4. Моделирование характеристик магнитного поля токовой системы с ферромагнитным экраном в форме эллипсоидальной оболочки.

4.1 Исследование зависимости характеристик магнитного поля от значения толщины экрана.

4.2 Исследование зависимости характеристик магнитного поля от значе ния магнитной проницаемости экрана.

4.3 Исследование зависимости модуля напряженности поля от значений полуосей эллипсоидов, образующих эллипсоидальную оболочку.

Во всех отраслях современной техники широко используются электромагнитные явления и процессы, лежащие в основе действия большого числа различных электромагнитных приборов и устройств, используемых на практике. К числу таких приборов и устройств могут быть отнесены: электрические машины и аппараты, электромагнитные и электронные элементы автоматики; магнитные экраны, радиотехнические средства передачи^ информации; электромедицинские приборы; и устройства, устройства! электрометаллургии; электрохимии, геологоразведки, навигации и многие другие. Без преувеличения можно сказать, что технический прогресс существенно зависит от быстроты и надежности их проектирования;

В'процессе проектирования возникает необходимость в решении задач моделирования характеристик электромагнитного процесса, причем это решение из-за сложности форм электротехнических приборов и устройств в подавляющем большинстве случаев приходится! осуществлять при помощи численных методов.

Метод интегральных уравнений является одним из эффективных, методов решения- краевых задач, возникающих в различных научно-технических областях, таких как электродинамика, механика,, гидродинамика, теплофизика и многих других, наряду с такими методами, как методы конечных разностей, конечных элементов, методы теории функций; комплексного переменного, метод функции Грина. Его сущность состоит в сведении; исходной краевой» задачи для дифференциальных уравнений в частных производных к интегральным; уравнениям; и их численному решению на; ЭВМ: Широко применяется метод интегральных уравнений; и для решения прикладных задач моделирования стационарных электрических и мишйьиз гкшрзйлх значительных работ, посвященных методу интегральных уравнений применительно к задачам электро- и магнитостатики, можно назвать работу Г.А. Гринберга [24], предложившего один из вариантов метода. Работа вышла в свет в 1949 году, когда о практическом- использовании интегральных уравнений для расчета трехмерных магнитных полей сложных магнитных систем не могло быть и речи. Интерес к методу интегральных. уравнений возник после появления в начале семидесятых годов работ О.В.Тозони, И.Д. Майергойза [42,71,72,73], в которых метод интегральных уравнений был представлен в физической интерпретации как метод вторичных источников. В этих работах было осуществлено построение и теоретическое обоснование математических моделей электрического и магнитного поля в кусочно-однородных, неоднородных, нелинейных средах на основе интегральных уравнений, а также первые попытки внедрения метода в практику электротехнических расчетов приборов и устройств. Дальнейшие исследования, связанные с расчетом электромагнитных полей на основе интегральных методов, разработкой математических моделей гистерезиса, нелинейных интегральных уравнений, построении универсальных вычислительных алгоритмов, были проведены С.Т.Толмачевым, П.А.Курбатовым, С.А. Арынчиным и другими [40,70]. Среди, последних: работ, посвященных развитию метода вторичных источников и численных методов решения интегральных уравнений, к которым приводит этот метод, необходимо отметить следующие работы отечественных и зарубежных ученых [26,74,75,77,78].

На теоретическом уровне вопросы, связанные с использованием метода интегральных уравнений для решения стационарных задач можно считать проработанными! достаточно полно; Но инженеру, решающему конкретные задачи при проектировании электротехнических приборов и устройств, необходима не только информация теоретического характера, но также и информация об особенностях использования метода на практике для решения того или иного класса: задач, например, информация об объеме ресурсов ЭВМ (оперативная память, память на жестком диске, машинное время), который потребуется для решения задачи с заданными входными данными и требуемыми точностными характеристиками. Эту информацию можно получить только путем вычислительного эксперимента. Возможности вычислительной техники до последнего времени не позволяли широко применять метод интегральных уравнений для решения трехмерных задач, проводить вычислительный эксперимент для оценки эффективности численных методов и алгоритмов в требуемом масштабе. Поэтому, в имеющейся в настоящее время литературе отмечается недостаток рекомендаций по практическому использованию этого метода.

Выполненные в настоящей диссертационной работе исследования направлены на то, чтобы восполнить указанные выше пробелы применительно к задачам? моделирования? слабых магнитных полей, в* случаях, когда граница ферромагнитного тела представляет собой замкнутую гладкую поверхность. Необходимость в. решении таких задач возникает при,' проектировании различного рода приборов и устройств, например, устройств для приема и передачи информации; магнитопроводов малогабаритных трансформаторов, реакторов, дефектоскопов, магнитных экранов, элементов высокочувствительной аппаратуры. При этом используется математическая модель, основанная на допущении линейности; однородности и изотропности ферромагнетика. Здесь необходимо отметить, что использование нелинейной; модели? (учитывающей нелинейную зависимость индукции от напряженности) для решения рассматриваемых задач оказывается нецелесообразным, поскольку в этом случае необходимы значительные затраты ресурсов ЭВМ; Линейная же модель описывает поле магнитной; системы с достаточной степенью точности: Экономия ресурсов ЭВМ за счет использования линейной модели» позволяет "отдать" эти ресурсы; на решение задач с достаточно сложными формами границ ферромагнитных тел.

В частности рассматриваются задачи для ферромагнитного тела в форме трехосного эллипсоида, эллиптического тора и? эллипсоидальной оболочки; Ферромагнитное тело в форме эллипсоидальной? оболочки интерпретируется как магнитный экран — устройство, предназначенное для ослабления!внешнего магнитного поля с целью защиты чувствительных приборов и устройств, помещаемых внутрь экрана; Среди работ, посвященных расчету экранов в форме замкнутых оболочек следует выделить работы С.М. Апполон-ского [2,3]. В этих работах получены точные и приближенные аналитические решения для экранов в форме сферической, сфероидальной и эллипсоидальной оболочки. Однако эти решения соответствуют случаям, когда внешнее магнитное поле либо является однородным, либо же неоднородным, порожденным источниками относительно несложной структуры. Кроме того, рассматриваются в основном тонкие оболочки, то есть оболочки, толщина которых мала по сравнению с их диаметром. Аналогичная ситуация обстоит и с эллипсоидом и эллиптическим тором: хотя такие формы и рассматривались ранее, но аналитические решения получены при значительных упрощениях и соответствуют частным случаям.

Путем вычислительного эксперимента получена; ценная для инженера-проектировщика информация о зависимостях погрешности приближенного решения от параметров дискретизации, а также от физических (магнитная проницаемость) и геометрических (соотношение полуосей эллипсоида) параметров. Эта информация позволяет оценить затраты ресурсов ЭВМ; необходимые для вычисления характеристик магнитного поля с заданной степенью точности. Кроме того, проведено сопоставление различных вычислительных схем рассматриваемого численного метода, отличающихся способом вычисления; интегралов по поверхности граничных элементов, и показано, какая из этих схем оказывается предпочтительной с точки зрения меньших затрат машинного времени. Практическую ценность имеют не только результаты, связанные с оценкой эффективности численных методов, но и результаты по исследованию характеристик поля магнитных систем. Например, результаты анализа зависимости напряженности поля от толщины и магнитной проницаемости эллипсоидального экрана могут быть использованы при решении задачи выбора оптимальной толщины с целью получения, с одной стороны, необходимого экранирующего эффекта, а с другой стороны, минимальной массы экрана.

Целью работы являлась разработка математических моделей; на основе метода интегральных уравнений, вычислительного алгоритма и программного комплекса для решения задач моделирования слабых стационарных магнитных полей токовых систем с ферромагнитными телами, ограниченными гладкими замкнутыми поверхностями.

Задачи исследования состояли в следующем:

1. Разработать вычислительную схему решения интегрального уравнения второго рода с поверхностным интегралом и наличием слабой особенности, а также системы из двух таких уравнений на основе метода граничных элементов.

2. Разработать вычислительный алгоритм и программный комплекс для решения задач моделирования поля магнитной системы с ферромагнитным телом в форме трехосного эллипсоида. С использованием этого комплекса: а) оценить погрешность решения при различном выборе параметров дискретизации, геометрических параметров эллипсоида и; магнитной проницаемости ферромагнетика; б) исследовать влияние ферромагнитного тела на внешнее магнитное поле в: зависимости от ориентации. эллипсоида относительно токовой системы и соотношения его полуосей; в) для токовой системы, состоящей из круговых витков с током, провести исследование зависимости характеристик поля от радиусов круговых витков при фиксированных геометрических параметрах эллипсоида.

Решить перечисленные выше задачи для ферромагнитного тела в форме эллиптического тора.

3. Разработать вычислительный алгоритм и программный комплекс для решения задач моделирования поляшагнитной системы с экраном в форме эллипсоидальной оболочки.Оценить экранирующие действие в зависимостиi от толщины, магнитной проницаемости и полуосей эллипсоидальной; оболочки.

Таким образом, объектом исследования являются слабые стационарные поля магнитных систем с ферромагнитными телами с гладкой границей, а предметом исследования — оценка влияния ферромагнитного тела на внешнее магнитное поле токовой системы в зависимости от геометрических и магнитных параметров этого тела.

Научная; новизна полученных результатов заключается в следующем: разработаны математические модели стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде на основе линейных интегральных уравнений; вычислительный алгоритм и программный комплекс MagnostatS (свидетельство об официальной; регистрации; в Российском• агентстве по патентам и товарным знаками № 2004611907) для решения практических; задач моделирования трехмерных полей; магнитных систем; с: ферромагнитными» телами, ограниченными: гладкими : поверхностями: Впервые * с: использованием метода интегральных уравнений решены г эти задачш для- ферромагнитных тел в форме трех, часто встречающихся на практике, гладких:поверхностей: эллипсоида, эллиптического тора и эллипсоидальной; оболочки. В частности, исследовано влияние ферромагнитного эллипсоида на внешнее магнитное поле в зависимости от соотношения его полуосей и ориентации относительно токовой системы. Произведена оценка экранирующего действия магнитного экрана в форме эллипсоидальной оболочки* в зависимости от толщины, оболочки, и магнитной проницаемости ферромагнетика;

Достоверность, полученных результатов подтверждается: корректностью использованных методик исследования, основанных на: математическом аппарате теории: потенциала, интегральных уравнений, теории вычислительных методов; сравнением численных и аналитических решений интегральных уравнений:

Практическая значимость работы состоит в том, что программный комплекс MagnostatS, а также полученная путем вычислительного эксперимента информация? о точностных характеристиках численного метода; могут быть использованы; при- проектировании электротехнических; приборов и устройств i преимущественным; образом для; решения: задач моделирования слабых стационарных магнитных полей? токовых систем с телами из "мягких" ферромагнетиков, ограниченными гладкими; поверхностями. Такими ; электротехническими; устройствами являются, например, магнитные экраны в форме:замкнутой -гладкой оболочки, предназначенные для: настройки, проверки, и защиты от влияния внешнего магнитного поля высокочувствительных приборов, помещаемых в эти экраны. Кроме того, на основе результатов диссертационной работы были выработаны методические указания, которые используются в процессе обучения студентов СевКавГТУ по специальности "Прикладная математика" (акт внедрения от 22.09.04).

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и двух приложений;

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем.

1. Рассмотрены вопросы, связанные с построением при помощи метода интегральных уравнений и обоснованием математических моделей трехмерных стационарных магнитных полей в кусочно-однородных средах. Построены математические модели с использованием потенциалов простого и двойного слоя: на основе интегральных уравнений второго рода со слабой особенностью; рассмотрена модель магнитного поля для случая, когда граница раздела магнитных сред является многосвязной. Кроме того, показано, каким образом можно построить математические модели, если ферромагнитную среду считать неоднородной и нелинейной.

2. Проведено обсуждение особенностей использования метода граничных элементов для численного решения линейных интегральных уравнений математических моделей магнитных полей в кусочно-однородных средах. Предложены способы вычисления поверхностных интегралов в численном решении интегрального уравнения и методы решения системы линейных алгебраических уравнений, к которой: сводится интегральное уравнение в. результате дискретизации.

3.-Осуществлено- построение-вычислительной- схемы, решения: интегрального уравнения математической модели стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде для ферромагнитного тела в форме эллипсоида на основе метода граничных элементов с кусочно-постоянной аппроксимацией искомой функции Построена вычислительная схема решения системы интегральных уравнений математической модели стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде для ферромагнитного тела в форме эллипсоидальной оболочки на основе метода Крылова-Боголюбова. При этом: предложен способ построения на поверхности сетки граничных элементов; показано, каким образом при построении вычислительного алгоритма можно за счет учета центральной или вращательной симметрии ферромагнитного тела, сократить объем вычислений; предложен способ вычисления несобственных интегралов при формировании матрицы алгебраической системы к которой сводится интегральное уравнение.

4. На основе разработанного программного комплекса MagnostatS осуществлено решение задач моделирования характеристик магнитного поля токовой системы с ферромагнитным телом в форме эллипсоида.

Проведен анализ погрешности приближенного решения; показано, каким образом погрешность решения интегрального уравнения и значений напряженности результирующего поля зависит от геометрических параметров эллипсоида, параметров дискретизации и значения относительной магнитной проницаемости fi+ ферромагнетика.

Проведено исследование влияния ферромагнитного тела на поле магнитной i системы в зависимости от ориентации эллипсоида относительно этой системы. Исследованы зависимости характеристик поля от соотношения полуосей г эллипсоида. В частности показано, в каких случаях ферромагнитное тело оказывает наибольшее влияние на магнитное поле. Выполнено исследование зависимостей характеристик поля от радиусов круговых витков токовой системы при фиксированных геометрических параметрах ферромагнитного тела.

5. С использование комплекса программ MagnostatS решены задачи моделирования характеристик магнитного поля заданной токовой системы при наличии экрана в форме эллипсоидальной оболочки.

Выполнено исследование зависимости модуля напряженности поля в точках, расположенных внутри экрана, от значения толщины этого экрана. Показано, что при увеличении d экранирующее действие усиливается; но при этом скорость уменьшения модуля напряженности убывает и, начиная с некоторого значения толщины, величина модуля практически не изменяется.

Проведено исследование зависимости модуля напряженности поля в точках, расположенных внутри- экрана, от- значения- относительной- магнитной-проницаемости экрана Полученные результаты показывают, что при увеличении проницаемости экранирующее действие усиливается. При этом интенсивное уменьшение модуля напряженности имеет место при небольших значениях цэ> а при дальнейшем увеличении проницаемости модуль напряженности практически не меняется.

Выполнено исследование зависимости модуля напряженности поля от значений полуосей эллипсоидов, образующих эллипсоидальную оболочку. В частности показано, каким образом изменяется значение модуля напряженности в центре экрана при его горизонтальном и вертикальном вытягивании.

Заключение

1. Антонов, В.А. Введение в теорию ньютоновского потенциала. М.:Наука,1988. 268 с.

2. Апполонский С.М., Ерофеенко В.Т. Электромагнитные поля в экранирующих оболочках. Минск: Университетское, 1988. 245 с.

3. Апполонский С.М. Справочник по расчету магнитных экранов. Минск: Университетское, 1988. 135 с.

4. Балбеков В.И., Ткаченко JI.M., Федосеев А.И. Программа MULTIC для расчета трехмерных магнитных полей. Серпухов: Препринт ИФВЭД981. С.81-121.

5. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. 624 с.

6. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. М.: Наука, 1985. 253 с.

7. Беляев Н.М., Рядно А.Г. Методы теории теплопроводности. Tl. М.: Высшая школа, 1982. 328 с.

8. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках: Пер. а англ. М.: Мир, 1984. 496 с.

9. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. М.: Гардарики, 2001. 317 с.

10. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. М.: Высшая школа, 1990. 543 с.

11. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубелл Л. Методы граничных элементов: Пер. с англ. М.: Мир, 1987. 524 с.

12. Бухгольц Г. Расчет электрических и магнитных полей. М.: Изд-во иност. лит., 1961. 712 с.

13. Васильева А.Б., Тихонов А.Н. Интегральные уравнения. М.: Изд-во МГУ,1989. 157 с.

14. Вербицкий Б.В., Коваленко Н.А. Интегральные уравнения. Основы теории и простейшие методы решения. М.: Издательство МАИ, 1991. 35 с.

15. Вержбицкий В.М. Численные методы, (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения) М.: Высшая школа, 2001.382 с.

16. Вержбицкий В.М; Численные методы, (линейная алгебра и нелинейные уравнения) М.: Высшая школа, 2000. 266 с.

17. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы: Справочное пособие. Киев: Наукова Думка, 1986. 542 с.18; Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Физ.-мат. лит., 2000.400с.

18. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Т.Н. Приближенные методы математической физики. М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.700 с.

19. Галанин М. П., Попов Ю.П. Квазистационарные магнитные поля в неоднородных средах: математическое моделирование. М. Наука, 1995. 320с.

20. Геворкян Р.Г., Шепель В.В: Курс общей физики. М: Высшая школа, 1972. 600 с.

21. Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М. ИЛ, 1952.210 с.

22. Голуб Д.Х., Ван Лоун Ч.Ф. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. 548 с.

23. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. М.: Наука, 1972.

24. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. Гостехиздат, 1953.

25. Демирчян К.С., Чечурин В.Л. Машинные расчеты электромагнитных полей. М.: Высшая школа, 1986. 239 с.

26. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Изд-во МГУ, 1987. 165 с.

27. Дыбин В. Б. Корректные задачи для сингулярных интегральных уравнений. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1988. 158 с.

28. Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике. М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. 496 с.

29. Ильин В.А. Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть1. М.: Наука, Физматлит, 2000. 616 с.

30. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики; М;: Наука, 1985. 334 с.

31. Ионкин П;А., Даревский А.И., Кухаркин Е.С. Теоретические основы электротехники. В 2-х т. Том 1 М.: Высшая школа, 1976. 282 с.

32. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. M.-JL: Физматгиз, 1962, 696 с.

33. Кит Г.С., Хай М.В. Метод потенциалов в трехмерных задачах термоупругости тел с трещинами. Киев: Наукова думка, 1989. 282 с.

34. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.:Мир, 1987.311 с.

35. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров, М.: Наука, 1968, 720 с,

36. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Начала теории вычислительных методов. Интегральные уравнения, некорректные задачи и улучшение сходимости. Минск: Наука и техника, 1984. 263 с.

37. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Начала теории вычислительных методов. Интерполирование и интегрирование. Минск: Наука и техника, 1983. 287с.

38. Курбатов П.А., Аринчин С.А. Численный расчет электромагнитных полей. М.: Энергоатомиздат, 1984. 168 с.

39. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966 г. 202 с.42; Маергойз И. Д. Итерационные методы расчета статических полей в неоднородных, анизотропных и нелинейных средах. Киев: Наукова думка, 1979.210 с.

40. Марков Г.Т., Васильев Е.Н. Математические методы прикладной электродинамики. М.: Сов. радио, 1970. 120 с.

41. Миролюбов Н.Н., Костенко М.В., Левинштейн МЛ, Тиходеев Н.Н. Методы расчета электростатических полей. М.: Высшая школа, 1963. 415 с.

42. Михлин С.Г. Курс математической физики. СПб.: Лань, 2002. 576 е.

43. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959. 232 с.

44. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1972.

45. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. М.: Наука, 1981. 336 с.

46. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Т.2. М.: Высшая школа, 1981. 533 с.

47. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1979. 233 с.

48. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М: Гос. из-дат. техн.-теорет. лит, 1951.128с.52: Подбельский В.В* Язык Си++. М.: Финансы и статистика, 1996. 560 с.

49. Положий Г.Н; Уравнения математической физики. М.: Высшая школа, 1964; 560 с.

50. Саядян Д.Л. Математическое моделирование магнитных полей при наличии экранов методом интегральных уравнений. // Труды участников 5-ой

51. Международной конференции «Компьютерное моделирование 2004». Санкт-Петербург, 2003. С.58-59.

52. Саядян Д:Л.Моделирование магнитостатического поля в кусочно-однородной среде. // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу. Ростов-на-Дону, 2002 . С.218-219.

53. Саядян Д.Л.Оценка погрешности приближенного решения в задаче расчета стационарного магнитного поля в пространстве с ферромагнитным эллипсоидом. // Сборник научных трудов 4-ой региональной научной конференции

54. Проблемы компьютерных технологий и математического моделирования в естественных, технических и гуманитарных науках», Георгиевск, 2004. С. 32-33.

55. Саядян Д.Л.Численное решение интегрального уравнения задачи расчета магнитостатического поля в кусочно-однородной среде. // Материалы третьей межрегиональной научной конференции «Студенческая наука---экономике России», Ставрополь, 2002. С. 56.

56. Саядян Д.Л. Об одной задаче расчета стационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде с многосвязной границей раздела сред. // Материалы 5-ой региональной конференции «Вузовская наука — СевероКавказскому региону». Ставрополь, 2002. С. 44.

57. Татур Т.А. Основы теории электромагнитного поля. М.: Высшая школа, 1989.270 с.

58. Теллес Д. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач. М.: Строй издат., 1987. 159 с.

59. Тихонов АН., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.

60. Ткаченко Л.М. Пакет программ MULTIC для расчета магнитных полей произвольной конфигурации. Протвино: Препринт ИФВЭ, 1998. 48 с.70.-Толмачев,С.Т. Специальные-методы-решения-задач магнитостатики. Киев: Вища школа, 1983. 166 с.

61. Тозони О.В. Расчет электромагнитных полей на вычислительных маши-нах.Киев: Техника, 1967. 252 с.

62. Тозони О.В: Метод вторичных источников в электротехнике. М.: Энергия, 1975.296 с.

63. Тозони О.В., Маергойз И.Д. Расчет трехмерных электромагнитных полей. Киев: Техника, 1974.352с.

64. Урман Ю.М. Теория расчета силовых характеристик электромагнитного подвеса сверхпроводящего тела. // Журнал технической физики, 1997, том 67, №1, с 3-15.

65. Ушаков А.Н., Ушакова Н.Ю. О развитии метода вторичных источников.// Электричество. 1999, № 9. С.22-31.

66. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. СПб.: Лань, 2002, 736 с.

67. Atkinson К. Е., Graham I.G. Iterative solution of linear systems arising from the boundary integral methods. SIAM J. Sci. Stat. Сотр., vol.13 ,1992,pp. 694-722.

68. Ykka Sarvas, Pasi Yla-Oijala. Integral equation method in computational electromagnetics. Electromagnetics Laboratory, Helsinki University of Technology, Spring term, 2003, 80 p.

69. Amini S., Chen K., Harris P. J. Iterative solutions of the boundary elements equations for the exterior acoustic problem. ASME, J. Vib. Acous., vol.112 ,1990, pp. 257-262.

70. Chen K. Conjugate gradient method for the solutions of boundary integral equations on apiecewise smooth boundary. J. Comput. Phys., vol. 97, 1991 ,pp. 127-143.

71. Erdogan F. Gupta G.D. On the numerical solution of singular integral equations. Q. Appl. Math., vol. 30, 1972, pp. 525-524.