автореферат диссертации по машиностроению и машиноведению, 05.02.11, диссертация на тему:Алгоритмы расчетов и моделирования прямых и обратных задач магнитостатической дефектоскопии и устройств технической магнитостатики

На правах рукописи

ПЕЧЕНКОВ Александр Николаевич

АЛГОРИТМЫ РАСЧЁТОВ И МОДЕЛИРОВАНИЯ

ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ МАГНИТОСТАТИЧЕСКОЙ ДЕФЕКТОСКОПИИ И УСТРОЙСТВ ТЕХНИЧЕСКОЙ МАГНИТОСТАТИКИ

05 02 11.- Методы контроля и диагностика в машиностроении

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Екатеринбург - 2007

003069266

Работа выполнена в Ордена Трудового Красного Знамени Институте физики металлов Уральского отделения Российской академии наук.

Научный консультант

член - корреспондент РАН, доктор технических наук, профессор, Щербинин В.Е

Официальные оппоненты:

член - корреспондент РАН, доктор физ.-мат наук, профессор Мартышко П С.,

Ведущая организация

доктор физ -мат. наук, профессор Кротов Л Н,

доктор физ -мат. наук, профессор Борисов А.Б.

Институт машиноведения УрО РАН, г Екатеринбург.

Защита состоится 29 июня 2007 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 004.003.01 при Институте физики металлов УрО РАН по адресу: 620041, г. Екатеринбург, ГСП-170, ул. С. Ковалевской, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИФМ УрО РАН Автореферат разослан 20 200?г.

Учёный секретарь диссертационного совета доктор физ. — мат наук

Лошкарева Н Н

Общая характеристика работы

Актуальность работы определяется возрастающими требованиями современной магнитостатической дефектоскопии, и технической магнитостатики в целом, к качеству и разнообразию программного обеспечения для научных исследований, прикладных задач, проектирования новых приборов и устройств

Область применения программного обеспечения в современной технической магнитостатике чрезвычайно широка Она простирается от задач магнитостатической дефектоскопии различных изделий в неразрушающих методах контроля, до задач построения распределения источников магнитных полей в энцефалографии головного мозга, задач магнитооптики пучков заряженных частиц, задач удержания плазмы в магнитных ловушках типа «то-камак» и «стелларатор», задач проектирования лазеров на свободных заряженных частицах и т.д

В основе всех этих приложений лежат формулы и алгоритмы расчета магнитных полей, создаваемых различными источниками, в трёхмерном пространстве, и - расчета движения заряженных частиц в этих полях

Несмотря на достаточно широкий спектр имеющихся в этом направлении результатов и программ, актуальность создания новых алгоритмов, особенно для специфических приложений, что является основным предметом данной работы, подтверждается регулярными сообщениями в различных научных журналах о разработке и использовании нового программного обеспечения в указанных выше областях магнитостатики

В работе содержится математический анализ актуальных для практики магнитостатической дефектоскопии вопросов однородного намагничивания образцов в неоднородных внешних полях, и - поведения магнитных диполей в магнитопорошковых методах неразрушающего контроля

Цель работы. Диссертация посвящена разработке численных алгоритмов для расчётов и моделирования прямых и обратных задач магнитостатической дефектоскопии, и - устройств технической магнитостатики, на основе интегральных представлений трёхмерных магнитных полей

Научная новизна В области магнитостатической дефектоскопии и технической магнитостатики автором получены следующие новые результаты

- сформулирована обратная задача магнитостатической дефектоскопии в виде системы трехмерных интегральных уравнений Фредгольма 1-го и 2-го рода,

- построен численный алгоритм решения обратной задачи магнитостатической дефектоскопии для неоднородной и, в общем случае, нелинейной среды, с коллинеарными векторами намагниченности и напряжённости внутреннего магнитного поля,

- произведена регуляризация решения обратной задачи для однородных сред на основе метода дискретного программирования,

- показана однозначность решения обратной задачи для однородно намагниченных трёхмерных прямоугольных и треугольных призм,

- предложен способ определения формы границ поверхностных дефектов по линиям одинакового уровня магнитного поля дефекта,

- получены аналитические формулы для расчета потенциала и напряжённости магнитного поля трехмерных прямоугольных и треугольных призм с однородным, произвольно направленным вектором намагниченности, и — с однородным по сечению вектором плотности тока;

- разработаны алгоритмы автоматического и интерактивного построения катушек сложной формы, и аппроксимации трёхмерных магнитных полей таких катушек,

- предложены способы однородного намагничивания и определения магнитных характеристик однородных образцов, путем компенсации поверхностных «магнитных токов», компенсации поверхностных «магнитных зарядов», комбинированный способ,

- построена математическая модель для расчета явления отталкивания магнитных частиц (диполей) вблизи дефектов, при наличии внешнего магнитного поля;

- построена математическая модель для расчета формы магни-топорошковых фигур на поверхности ферромагнетика в неоднородном внешнем поле.

На защиту выносятся следующие основные результаты, полученные соискателем

- формулировка обратной задачи магнитостатической дефектоскопии в виде системы трёхмерных интегральных уравнений Фредгольма 1-го и 2-го рода;

- численный алгоритм решения обратной задачи магнитостатической дефектоскопии для неоднородной и, в общем случае, нелинейной среды, с коллинеарными векторами намагниченности и напряжённости внутреннего магнитного поля;

- регуляризация решения обратной задачи для однородных образцов на основе метода дискретного программирования;

- однозначность решения обратной задачи для однородно намагниченных трехмерных прямоугольных и треугольных призм;

- способ определения формы границ поверхностных дефектов по линиям уровня магнитного поля дефекта,

- аналитические формулы для расчета потенциала и напряженности магнитного поля трёхмерных прямоугольных и треугольных призм с однородным, произвольно направленным вектором намагниченности, и - с однородным по сечению вектором плотности тока;

- алгоритмы автоматического и интерактивного построения катушек сложной формы, и аппроксимации трехмерных магнитных полей таких катушек,

- способы однородного намагничивания и определения магнитных характеристик однородных образцов, путем: компенсации поверхностных «магнитных токов», компенсации поверхностных «магнитных зарядов», комбинированный способ;

математическая модель явления отталкивания магнитных частиц (диполей) вблизи дефектов, при наличии внешнего магнитного поля;

- математическая модель формы магнитопорошковых фигур на поверхности ферромагнетика в неоднородном внешнем поле Личный вклад соискателя. Представленные в работе результаты . аналитические формулы, численные алгоритмы, результаты моделирования различных задач технической магнитостатики, получены лично соискателем Применимость результатов работы к задачам неразрушающего контроля обсуждалась с членом - корреспондентом РАН, профессором В Е. Щербининым

Практическая ценность работы. Представленные подробные алгоритмы и результаты применения метода интегральных уравнений для решения прямых и обратных задач магнитостатической дефектоскопии создают основу для развития отдельного направления в разработке эффективного программного обеспечения для научных исследований и для разработки новых приборов для магнитостатической дефектоскопии

Предложен способ создания однородной намагниченности в телах различной формы с помощью комбинации однородного и неоднородного внешних полей для проведения измерений магнитных свойств материалов и изделий

Разработанные алгоритмы расчета трёхмерных магнитных полей и движения в них заряженных частиц могут применяться при проектировании различных устройств технической магнитостатики устройств магнитной оптики пучков заряженных частиц, магнитных ловушек для плазмы, лазеров на свободных заряженных частицах и т д

Проведённый в работе анализ сил, действующих на магнитные диполи, создает качественную и количественную основу для интерпретации ряда результатов в магнитопорошковой дефектоскопии.

Материал, систематически изложенный в работе, может быть использован как учебно - справочное пособие для студентов, инженеров, физиков, программистов, работающих в области технической магнитостатики

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в монографии, в 14 статьях в рецензируемых журналах и в 1 сборнике статей.

Апробация работы и достоверность результатов

Алгоритмы решения обратной задачи магнитостатической дефектоскопии использовались для моделирования таких задач в Институте физики металлов УрО РАН

Результаты работы использовались также для моделирования трехмерных магнитных полей и расчета оптимальных характеристик магнитов в Институте неразрушающего контроля (Германия, Саар-брюкен), для изучения свойств и оптимизации магнитных ловушек для заряженных частиц совместно с Российским научным центром «Курчатовский институт»

Алгоритмы расчетов полей сложных систем источников проверялось на тестовых примерах с простыми источниками, для которых известны аналитические выражения для векторов поля Структура и объём диссертации Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы (79 наименований) и приложения. Объем диссертации составляет 269 страниц, включая 83 рисунка и 12 таблиц.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цели исследований, приведена оценка научной новизны и практической ценности полученных результатов, дана краткая аннотация работы по главам.

В первой главе подробно излагаются физико - математические вопросы интегральной формулировки магнитостатики, которая положена в основу разработанного комплекса алгоритмов и программ.

В параграфе 1.1 дана исходная дифференциальная формулировка рассматриваемой области магнитостатики А именно - рассматриваются намагничиваемые среды с заданными токами проводимости

Полные поля в каждой области пространства определяются как •

Н' = Н0 + Н ; В' = Во + В, где- Н0 — поле заданных токов, рассчитываемое по формуле Био -Савара,

Н - поле, создаваемое намагниченными средами,

Во/Цо = Н0;

jio - магнитная проницаемость вакуума. Поля, созданные намагничиваемыми средами подчиняются уравнениям :

rot Н = 0 , В/цо = Н + М, div В = О, М - вектор намагниченности среды

Эти уравнения нужно дополнить граничными условиями, которые можно получить из этих же уравнений с помощью стандартной процедуры

[n*(H, - Н к)] = О

(п*(В,-В „)) = <>

где : 1, к - индексы двух соседних областей пространства , п - единичный вектор нормали к поверхности раздела

областей,

( ..) - скалярное произведение во втором уравнении. Вышеприведенную систему уравнений можно преобразовать, используя понятия скалярного или векторного магнитных потенциалов В случае скалярного потенциала вводится только одна неизвестная функция, а в случае векторного потенциала - три Поэтому предпочтем здесь скалярный потенциал .

Н = - У£

Для скалярного магнитного потенциала получаются следующие граничные условия

д/, ди

СУ»-<=,>» = с*.'.-<«*>»

где • д {/да = (п*У0 , (Н) „ = (п*Н) ; (М) п = (п*М). На бесконечности магнитный потенциал должен убывать не медленнее, чем 1 / К.

Окончательный вид всех вышеприведенных уравнений зависит от так называемого "материального" уравнения, которое мы должны постулировать, чтобы связать намагниченность среды с напряженностью магнитного поля (и, тем самым, - с магнитным потенциалом)

Заметим, что все граничные условия характерны для задач дифракции полей на "прозрачных" телах.

В параграфе 1.2 получены интегральные представления для скалярного магнитного потенциала, используя формулу Грина и функцию Грина для неограниченного пространства, и - результаты теории потенциала

Если ввести обозначение множителя

а = {(4л, г р ев) , (2я, г р её) ; (0, г р ё (С+ё ))} где г р - радиус - вектор точки рассчета,

в - область, занятая намагниченным телом, ё - граница области в то можно записать:

аДг ) = [{у^-/—}<&

^ " * дп дп

с г

где V - функция Грина для неограниченного пространства. Применив соотношения векторного анализа, получаем другое интегральное представление скалярного потенциала

о г г

Комбинируя эти два представления, можно получить другие формы интегральных представлений скалярного магнитного потенциала

В параграфе 1 3 в полученных интегральных представлениях для скалярного магнитного потенциала производятся преобразования, с учетом граничных условий, для случая наличия в постановке задачи нескольких сред с различными магнитными характеристиками. Например, для двух сред имеем-

или, в другой форме

°2

В параграфе 1.4 получены интегральные уравнения для скалярного магнитного потенциала и обсуждаются вычислительные вопросы их решения Для получения интегральных уравнений необходимо использовать некоторое материальное уравнение. Часто рассматриваются задачи, в которых намагниченность в любой точке пространства считается линейной функцией от напряженности полного магнитного поля в этой точке • М = М0 + к(Н0 + Н) = М0 + кН0 - кУГ

где • М0 - часть намагниченности не зависящая от магнитного поля,

к - "магнитная восприимчивость" среды Может зависеть от координат точки в неоднородных средах, или может быть тензором в анизотропных средах

Тогда, например, из второй вышеприведенной интегральной формы получается следующее интегральное уравнение

4л/"(г )= | ((М +* Н ^УУУРЧ / ((М^+у^Н^УУ)^-

Р в в 1 2

в в 1 2

В параграфе 1 5 Полнены интегральные представления для напряженности магнитного поля, создаваемого магнитными средами как внутри этих сред, так и вне их

Первая форма представления для двух магнитных сред-4^)=- | УУ*<йуМ2ЛУ+](М1п-М2п)^<1з

С?! в2 £

Вторая форма представления для двух магнитных сред 4лН(г ) = (1ш1 /(М^Уу^ + Шп КМ^Уу^-Ь

1 в^ 1 е1

+ (11т£ |(М2*У)Уу^ + 11Ше /(Мз^УУ)^)

2 °2~Е2 2 е2 где Е1>2, - вырезаемые вокруг точки г р области и их границы, когда эта точка лежит в соответствующей области О! или 02 пространства. Здесь поверхностные интегралы есть интегралы второго рода

Третья форма представления для двух магнитных сред 4лН(г ) = - /(Уу*У)М1£/Г- ДУу^М^Г-

Р <П ъ

- |(Уу*У)М2ау- |[Уу*го1М2]^+ |((М1-М2)*УуУ8

°2 °2 8 Обсуждены вычислительные особенности приведенных формул В параграфе 1 6 рассмотрен вопрос об аналитическом вычислении интегральных представлений для областей с простыми геометрическими формами

Аналитические выражения магнитных потенциалов или полей для областей с простыми геометрическими формами полезны по ряду причин Во-первых, они могут использоваться в численных методах, когда пространство, занятое средой, разбивается на ряд "элементарных" объемчиков, поля которых суммируются Во-вторых, они могут служить "тестовыми" примерами при отладке более сложных компьютерных программ Наконец, они могут использоваться для точного расчета полей тонких соленоидов или -для приближенного расчета полей постоянных магнитов простых форм При численных расчетах использование аналитических выражений позволяет надеяться на возможность уменьшения числа "элементарных" объемчиков, на которые разбивается пространство, по сравнению, например, с методом конечных разностей, или - с методом конечных элементов Это может уменьшить время расчетов и требования к памяти компьютера

В параграфе 1 7 получены некоторые возможные формы интегральных уравнений для намагниченности среды. Рассмотрим случай, когда область в 2 немагнитная (т.е. М 2 = 0 ). Пусть область в ] - линейная анизотропная среда, т е. ее материальное уравнение есть

=М0+к*(Н0+Н)

где • к- постоянный тензор "магнитной восприимчивости"; М о — намагниченность не зависящая от поля ; Н0- намагничивающее поле, Н - поле созданное намагниченной средой. Выразим магнитное поле с помощью обратного тензора магнитной восприимчивости

Н = к(~1)*(М1-М0)-Н0

Тогда из приведенных выше интегральных формул для магнитного поля можно получить следующие интегральные уравнения для намагниченности среды

кё

Л С\-Е\

М (г ) = М0(г ) + к*(Н0(г ) + КУу^М^Г-

Р Р Р 4яг § ^

Первое и третье уравнение дополняются уравнениями для поверхностных значений намагниченности

Как частный случай получается известное интегральное уравнение Гринберга для нормальной компоненты вектора намагниченности на поверхности среды, у которой дивергенция намагниченности равна нулю.

Если мы хотим решать нелинейную задачу, т. е предполагаем нелинейную зависимость намагниченности от поля :

М = М(Н, Н о, м о )

то скорее всего мы не сможем явно выразить Н через М Следовательно, мы не сможем получить "явных" интегральных уравнений для намагниченности. Однако для численных методов задача не становится намного сложнее Например, если используется итерационный способ расчета, то по значению намагниченности М к на "к" - ом шаге итерационного процесса вычисляется поле этой намагниченности Н к А затем это поле подставляем в данную нелинейную формулу, и вычисляем значение намагниченности для следующего "к + 1" - го шага Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения намагниченности в расчетных точках внутри тела станут относительно мало изменяться

В параграфе 1 8 приведены способы получения различных форм интегральных уравнений для вектора напряженности магнитного поля

Для случая линейной неоднородной анизотропной среды в области Оь например, находим уравнение .

4яН(г )=- /Уу*^уШК+|(к*(Н+Н0)+М0)иУу&

g

которое должно быть дополнено уравнением для поверхностных значений поля

Запишем еще один вид уравнения для произвольного нелинейного материального уравнения

4лН(г {(М1(Н,Н0,М0ГУ)Ууй?^-^М1(Н,Н0,М0)

Отметим, что это уравнение не нужно дополнять уравнениями для поля на поверхности ё

Во второй главе получены аналитические выражения для скалярного потенциала и напряженности магнитного поля однородно намагниченных тел простой геометрической формы, используя полученные в первой главе интегральные формы этих величин Полученные выражения являются краеугольным камнем численных алгоритмов разработанного программного обеспечения для расчета трехмерных полей тел произвольной формы, с произвольными магнитными характеристиками

Приведены примеры топологии полей таких тел, рассчитанные с помощью разработанного ПО Даны примеры моделирования трёхмерных полей достаточно однородно намагниченных тел более сложной формы. При этом для визуализации результатов расчетов были применены графические средства отличные от традиционного представления полей в виде векторов - стрелок. Это позволило, в частности, наблюдать линии одинаковых значений поля, которые имеют форму границ тела при расчете поля вблизи тела, и - «расплываются» в сферическую форму вдали от тела Так и должно быть в соответствии с известной возможностью представления поля любой совокупности зарядов (в данном случае - «магнитных») полем диполя на значительном удалении от этих зарядов В параграфе 2 1 получено аналитическое выражение для скалярного магнитного потенциала, созданного прямоугольным параллелепипедом с произвольно направленным вектором однородной намагниченности

4т#-М

\у-урт{2-2р) + К\+{2-2р)Щ_{у-ур) + Щ-

-(х-х п )агсЩ---£—

Р 5 (х-хп)Я

а,Ь\с

+М

У

+м.

(х-хр ) 1п [(2-2р)+Щ+(г-гр ) Щ*-*^ )+Щ-

(х-х ) -(У-У р )агс1ё—-—-

Ь-Ур) Ч(х-хр )+к\Чх-хр) щ.{у-ур (у-ур)(х-хр)

а--Ь, а\Ь,с

а;Ь;с

В параграфе 2 2 получено аналитическое выражение для вектора напряженности магнитного поля, созданного прямоугольным параллелепипедом с произвольно направленным вектором однородной намагниченности:

- а,Ь,с

4*^(1- )=

4Ж (г ) = У Р

(г-г )(у-у ) -Мхагсщ ^ ^ +Му

+ММЦу-уп)]

)(х-х )

Мх 1п[Д+(г-г)]-М агсЩ Р Р + У У (у-ур)Я

+М Лп[К+(х-х п)]

-а-Ъ-с а,Ъ,с

-а-Ъ-с

ЛяН2(гр)=

'Мх \п[11+(у-ур)]+Му 1п[11Цх-хр)]-

(х-Х )(у-у )

-М^агМя,---—

2 (г-гр)Я

а,Ь,с

-а'-Ъ'—с

В параграфе 2 3 получено аналитическое выражение для вектора напряженности магнитного поля, созданного треугольной призмой с произвольно направленным вектором однородной намагниченности-

4л-Н = а*М

где а—симметричная матрица:

Я1Г

А0*агс1ё —2-2-У-—

)(1+(1+г,2/у?)(х2/^2)))1/2

агс^

У^р

У\~У,

'г-

Я'])=-О)Л'2)=-«яК^ );

я12~

(н^2)172

1п

2 2 2(1+21)1/2^+2(1+^)7+

Ч

+2

уМ2р-2\(У1-Ур))

х\~хр

р г\~гр

Я =(х2 + г2 + ((у-у + гп))2)1/2,Л = (х2 +22 + у2)1/2;

1 Р Р 1 Р

«13= заменить в а^ букву у на букву г и наоборот;

а22 ~~

агс1ё-^-

Ур*2

VI 12л

у К Ь(хЩ)

а23 ~ ~~

-1п(х+/г2)+

+-

2Т2;1п(*+Л1)

-х.

= заменить в а^ букву у на букву г и наоборот,

Несмотря на кажущуюся громоздкость, все эти формулы достаточно легко программируются

В параграфе 2 4 приведены примеры расчета топологии трехмерных полей указанных выше тел, при расчете этих полей на плоскости, и - вдоль линии в пространстве. Ниже приведены выборочно два примера компонента поля Ну, рассчитанная в плоскости сбоку от полюсов намагниченного параллелепипеда, и - компонента поля

Н„, рассчитанная в плоскости перед полюсом намагниченного параллелепипеда:

На рис.3 приведён пример расчёта зависимости топологии компоненты поля, показанной на рис.2 от расстояния между плоскостью, в которой рассчитывалось поле, и - полюсом намагниченного тела. Здесь видна отмеченная выше особенность изменения формы линий одинакового значения поля в зависимости от удаления от по-

Рис. КзМШШРКЙ »Л*Г1Л1ЁТУДЬД И формы ПЙ-ПИ Н* а зависимости от ныспты нал полисом: 10,5; И; 30.

л юса намагниченного тела.

В параграфе 2.5 отмечены особенности преобразования расчётных формул для трёхмерных полей путём изменения системы коорди-

наг, при произвольном расположении намагниченных элементов сетки тела в пространстве.

В параграфе 2.6 описаны алгоритмы моделирования трёхмерных

полей цилиндрических и трубчатых магнитов в тех случаях, когда их можно считать намагниченными практически однородно. Здесь приведён пример расчёта трёхмерного поля циркулярно намагниченного грубчатого тела с выре-

В параграфе 2.7 Доказано применение разработанного 110 для определения условий раздельной регистрации двух намагниченных тел.

Задача оценки параметров двух (или нескольких) ис-

Рис. 5, Топология компонент вшора поля циркулярке намагниченном

трубчатого тел» с Еьгреш. ' ТОЧНИКОВ, раСПОЛОЖеННЫХ

настолько близко, что их поля сильно перекрываются в точках наблюдения является обычной для различный областей науки и техники. Например, она давно и хорошо изучена и постоянно решается в спектроскопических измерениях. Для магнитных полей можно назвать технологию изготовления магнитных носителей информации высокой плотности, когда требуется различать поля соседних, близко расположенных магнитных "островков". Такая же задача иногда возникает в магнитной дефектоскопии, если требуется оценить параметры близко

расположенных дефектов по их измеренному суммарному полю. На рис.6 показаны линии равного значения одной из компонент вектора поля на разной высоте регистрации

■4 i

-я*

.¿¡vi-

bre. 4. а .щи и равном значения т киагсй кодонншы wmpi гюдя Щфкулярко намагничение!о г из с вырезом.

зом, в плоскости над телом.

Нх "

Ну . -i

■ ■ fk

• ¡ff-

Нг :

полей двух тел, а во втором - поле с одним пиком регистрируется как одно тело ПО позволяет получать аналогичные графики, а также топологию в трехмерном пространстве для всех компонент вектора поля.

В третьей главе разработаны алгоритмы решения прямой и обратной задач магнитостатической дефектоскопии Обратная задача для магнитомягких материалов сформулирована как решение системы уравнений Фредгольма 1-го и 2-го рода, в общем случае - в нелинейных и неоднородных средах

4яН*(г )= J (M1(H1,H0,M0)*V)VvJF G1

4^^)= J (M1(HrH0,M0)*V)Vvrfr Gl

Здесь H* , Hi, H0 — поля вне тела, внутри тела, внешнее поле; М], М0 — намагниченность тела переменная и постоянная части; v - функция Грина

В параграфе 3.1 получен алгоритм численного решения прямой задачи на основе интегральных уравнений приведенных в первой главе

Разделим тело математически на более мелкие области в виде однородно намагниченных параллелепипедов или призм рассмотренных ранее Будем называть эти области "элементами" сетки тела Поле внутри каждого однородно намагниченного элемента может быть представлено в виде суммы полей создаваемых им самим и другими элементами (без внешнего поля)-

4nRJ=aß*Ml

Здесь 1, j - номера элементов. По повторяющимся индексам производится суммирование, как это принято обозначать в тензорном исчислении. Мы условимся, что векторы поля и намагниченности вычисляются только в одной точке элемента, например, - в его центре, или - в одной из его вершин

Используя материальное уравнение для линейного анизотропного тела, мы можем записать следующую систему уравнений

для вектора намагниченности в выбранных расчетных точках внутри тела :

где" N — число элементов

Эту систему уравнений можно рассматривать как один из возможных способов дискретизации интегрального уравнения. Далее обсуждены особенности численного решения этой системы уравнений

В параграфе 3.2 разработаны основы численного решения обратной задачи магнитостатической дефектоскопии

В пункте 3 2.1 рассмотрен вопрос о неоднозначности решения обратной задачи. Показано, что наряду с телами, имеющими неоднозначное решение обратной задачи в однородных внешних полях (однородно намагниченный шар, эллипсоид, бесконечный круговой цилиндр и др ), существует широкий класс тел с неляпуновскими поверхностями, решение обратной задачи для которых однозначно (прямоугольная однородно намагниченная призма, треугольная призма, тела, составленные из таких призм) Это объясняется тем, что поле таких призм эквивалентно полю точечных источников, расположенных в вершинах этих призм. «Заряд» таких источников равен намагниченности призмы Т о. намагниченность и положение вершин призм определяются однозначно из измерений внешнего поля в достаточном числе точек

В пункте 3 2 2 рассмотрен вопрос об адекватности модели и устойчивости численного решения

В пункте 3 2.3 приведены рекомендации по использованию максимально возможной экспериментальной и априорной информации для решения обратной задачи В частности, рекомендуется измерять внешнее поле, по возможности, в различных областях пространства вокруг тела Численное подтверждение этому будет приведено ниже

В пункте 3 2 4 предложены и проанализированы возможные упрощенные подходы к решению обратной задачи

В параграфе 3 3 разработан алгоритм решения обратной задачи магнитостатической дефектоскопии, реализованный в комплексе программ

В пункте 3 3 1 дано общее описание результатов численного моделирования указанной обратной задачи В данной работе изучалась устойчивость численных методов расчета обратной задачи магни-тостатической дефектоскопии по отношению к отклонению исходного предполагаемого значения магнитной восприимчивости однородного тела от ее истинного значения

Программа состоит из трех частей Первая часть программы решает прямую задачу расчет намагниченностей ячеек тела в заданном внешнем поле, и - при заданной конфигурации тела На рис 7 приведен графический результат такого расчёта для тела без дефектов На рис 8 - для тела с заданными дефектами.

Рис 7 Распределение намагниченности в теле без дефектов

Рис 8. Распределение намагниченности в теле с дефектами

Центры ячеек - дефектов отмечены звездочками, и векторы намагниченности в них отсутствуют В данной работе взята следующая совокупность дефектов. Дефект А - угловой дефект одной ячейки Дефекты В и Д - сплошные «кана-вочные» дефекты, расположенные на противоположных сторонах тела Дефект С - внутренний дефект одной ячейки

Расчет намагниченностей производится согласно соответствующему интегральному уравнению М = М(х, Но) где % - тензор магнитных восприимчивостей ячеек, Но - внешнее магнитное поле

Вторая часть программы вычисляет компоненты магнитного поля в заданной плоскости вне тела. Это поле равно сумме внешнего полк и поля, которое создано намагниченным телом: Н = Н(Но, М)

Эти две части программы легко использовать, также, для создания базы данных для полей дефектов различного вида. Такую базу данных можно использовать в программах распознавания дефектов по их измеренным полям.

На рис.9 приведён результат расчёта одной из компонент вектора поля для тела без дефектов, а на рис.10 - для тела с дефектами.

Рио.9.Поле Нгтела без дефектов. Рис.Ю.Поле Нгтела с дефектами.

Третья часть программы решает обратную задачу нахождения дефектных ячеек тела по выборке из полей, приведённых на рис.10:

х=х(Н)

В качестве исходной матрицы магнитных восприимчйво-стей задастся матрица тела без дефектов. Оптимизация матрицы магнитных восприимчивостей производится итерационным методом.

Были опробованы различные алгоритмы решения этой задачи. Наиболее устойчивым оказался отмеченный выше «томографический» метод использования выборки из гтолей, измеренных на

противоположных сторонах тела. В этом случае алгоритм производил полное восстановление картины дефектов, т.е. полное восстановление формы тела. Рис. 11. Расчёт дефектов по полю с двух сторон тела.

Кроме того, практически точно находилось значение магнитной восприимчивости тела, исходное значение которой задавалось с отличием в 20 процентов от истинного На рис.11 показан графический результат работы в данном случае

В пункте 3 3 2 подробно изложен алгоритм численного решения обратной задачи, положенный в основу разработанного программного обеспечения Рассмотрены способы программной организации сложной структуры массивов векторов и матриц

Обозначим точку пространства, в которой рассчитываются поля тройкой индексов, например, ), к) Номер каждой ячейки сетки тела также будем обозначать тройкой индексов, например, (ш, п, р) Тогда полное поле, созданное всеми ячейками сетки тела в точке (1,}, к) можно записать в векторном виде следующим образом •

тт _ т Лч.к) „(А/Д)

о* V)^ <0)

где поле, созданное ячейкой (т,п,р),

в точке

— намагничивающее поле в точке (у,к)

Намагничивающее поле считается заданным Далее, поле, создаваемое каждой ячейкой сетки, можно записать как

) = а(у.* ) * м (т,п,р ) (т,п,р ) (т,п,р )

где ^ — матрица коэффициен тов, учитывающа я

расстояния между вершинами ячейки и точкой

расчета поля Вычисляете я заранее ,

М, . — вектор намагничен ности данной ячейки сетки (т,п,Р ) И

Теперь следует выбрать вид предполагаемого материального уравнения для намагниченного тела Мы возьмем «псевдолинейный» вид этого уравнения

М — у *Н

(т,п,р) (т,п,р) (т,п,р)

где:%пр^—магнитная восприимчивость ячейки,

тпр)~ПОЛе в ЧентРе ячейки

Здесь намагничиваемое тело предполагается изотропным. Магнитная восприимчивость дефектных ячеек равна нулю. Несмотря на «линейный» вид уравнения, мы допускаем, что магнитная восприимчивость тела может нелинейно зависеть от полного поля внутри ячеек.

Теперь мы можем записать полное поле в центре каждой

ячейки

Обозначим поле, измеренное вне тела, как Н*(н,я,к1) Тогда наша задача заключается в минимизации функционала

Л= 1[Н*(гии1)-

01</Ш)

- X (л О1«/1'*1)* У, Ч*Н, ^-Н^1'-71'*1)-!2 (тп,р)С Х(т-п-Р) Н(т,п,р)) Н(0) J

по значениям элементов матрицы магнитной восприимчивости тела

Для программной реализации и изучения был выбран следующий итерационный алгоритм минимизации. Пусть на ( Ь ) - ой итерации известна матрица магнитной восприимчивости

у, ч (Ъ) Тогда вычисляем поле Н, ч (Ь) в центре каж-т,п,р) (т.п.р)

дой ячейки сетки Затем подставляем это поле в выражение для минимизируемого функционала, и минимизируем этот функционал по значениям элементов матрицы магнитной восприимчивости В результате получаем матрицу магнитной восприимчивости для (Ь+1)

- го итерационного шага Остановка итерационного процесса производится, если относительное изменение минимизируемого функ-

ционала становится меньше заданной величины, или если произведено заданное число итераций.

Были опробованы различные алгоритмы минимизации функционала по значениям элементов вектора магнитной восприимчивости тела. Эти алгоритмы можно разделить на два больших класса- алгоритмы непрерывной оптимизации, и алгоритмы дискретной оптимизации. В первом случае магнитная восприимчивость каждой ячейки сетки тела считается непрерывной величиной, способной принимать любые значения Во втором случае, который хорошо подходит для работы с однородными средами, магнитная восприимчивость всех ячеек сетки тела считается одинаковой и равной некоторому неизвестному значению, или - равной нулю

Было найдено, что непрерывная оптимизация, которая является более универсальной и может применяться для работы с неоднородными телами, работает достаточно устойчиво только в случае применения алгоритмов минимизации с ограничениями. Внесение ограничений на возможные значения вектора магнитной восприимчивости тела означает введение в задачу дополнительной априорной информации, т е регуляризацию задачи. Минимизация функционала без этих ограничений, например, обычным линейным методом наименьших квадратов, давала совершенно ошибочные и далекие от истины результаты Одним из наилучших алгоритмов для работы с неоднородными средами, по мнению автора, мог бы быть метод оврагов с ограничениями Однако, полная реализация такого метода в этой задаче требует больших усилий на разработку соответствующего программного обеспечения, больших вычислительных мощностей, и - значительного времени счета.

Т к в магнитной дефектоскопии наиболее часто принимается, что исследуемая среда достаточно однородна, то автор основное внимание уделил разработке алгоритма дискретной оптимизации функционала В этом случае априорная информация об одинаковости значения магнитной восприимчивости во всех ячейках сетки тела, вносимая в задачу, наиболее полна, и, следовательно, наиболее сильно регуляризует задачу, т е стабилизирует результаты расчетов

Строгое решение задачи дискретной оптимизации теоретически возможно только в результате перебора и проверки всех возможных сочетаний значений магнитной восприимчивости во всех

ячейках сетки тела Очевидно, что это невозможно сделать за разумное время расчетов В некоторых вероятностных методах минимизации есть вероятность найти глобальный минимум за относительно небольшое число шагов В данной работе был предложен другой алгоритм минимизации, который хотя и не гарантирует нахождение глобального минимума функционала, но хорошо согласуется с идеями «настройки» алгоритма на дефекты различного вида А именно, методом перебора проверялись за несколько циклов те комбинации возможных дефектных ячеек сетки тела, топология которых была задана заранее. Та комбинация ячеек, которая давала максимальное уменьшение функционала невязки на данном цикле проверки, оставлялась как найденный дефект. Затем начинался повторный цикл проверки, где исходным было новое значение функционала невязки. Минимизация заканчивалась, если на очередном цикле проверки функционал невязки больше не уменьшался

В четвертой главе разработаны численные алгоритмы расчета трёхмерных магнитных полей катушек произвольной формы, с конечными размерами сечения шины, и - полей систем таких катушек. Разработаны алгоритмы компьютерного конструирования таких катушек в трехмерном пространстве

Разработанные программы могут применяться для научных приборов и установок, в которых используются такие катушки В параграфе 4.1 рассмотрен теоретический вопрос о замене в расчетах поля тонкого соленоида полем намагниченного тела. В параграфе 4.2 содержатся основные результаты вычисления аналитических выражений для трехмерных векторов поля, создаваемых сегментами произвольной катушки. Во многих практических задачах при расчете трехмерных полей желательно учитывать конечные размеры, и более или менее произвольную форму катушки с током, или - системы таких катушек Для компьютерного моделирования наиболее универсальным является такой способ, когда желаемые катушки разбиваются на множество "элементарных" сегментов заданной формы (или формы достаточно близкой к заданной) В каждом сегменте течет одинаковый для всех сегментов ток с постоянной плотностью по сечению сегмента Рассчитываются поля всех сегментов и складываются во всех точках пространства, в которых нужно найти общее поле катушек. Наиболее часто сечение катушек является прямоугольным

В пункте 4 2 1 получено аналитическое выражение для трехмерного вектора магнитного поля сегмента катушки в виде прямоугольного параллелепипеда. Если параллелепипед перпендикулярен плоскости Хг, и ток течет вдоль оси У, то его поле имеет только две компоненты Нх, Нг Для компоненты Нх получена следующая формулами

/ ~ "

4лН (г хк р'

Ь-Ур)\^{х-хрШх-хрШЯ+{у-урУ)\

-(г-

2 р)ШС\&Г)г

(х-хр)(у-ур)

-I

-п

—т

В виду явной симметрии задачи относительно соответствующих осей системы координат формула для Нг компоненты имеет такой же вид, с заменой координаты х на координату ъ и наоборот У закрывающих скобок указаны пределы интегрирования по трем осям координат

В пункте 4 2 2 получено аналитическое выражение для трехмерного вектора магнитного поля сегмента катушки в виде треугольной призмы Получены следующие результаты

/1-

1ч

Г?-

(х-хр)

(ХЛ)У1

ГГ-

Ш/.

(\А)У1

1п(-

пР- -

:=-ту/п

(х-х )(у-у )

/2 = < (у-у )Ъ((х-х )+R)+(x-x )\a((y-y)+R)-(z-z ; arctan---—

\ Р Р Р Р Р R(z_z )

Л-

(z-z ) + —(у-у ) (y-y )- — (z-z )

Р п Р Р п Р

(у-у )Ы ((z-z J+R)----In (Ж ----)■

Р Р 2 2

(\ +-)

2

п

1/2

п +—Г 2

я

-2(х - х ) arctan -Р

m m 1/2

(У-У ) + [- + (1 +-) J (R + (z-z ))

P n 2 P

(x-x ) P

z — —my/n

f4 = <

(У-У ) P

(y-yj ln ((2-z )+R)+(z-z ) In ((y-y )+R)+(x-x )( arctan-■

P P P P P (x-x )

P

(z-z )(y-y ) P p

- arctan-

R(x-x )

P

где. 21, 2n, 2m - размеры призмы по осям х, у, z соответственно В параграфе 4 3 приведены алгоритмы компьютерного конструирования и сегментации сложных катушек, и некоторые результаты, полученные с помощью разработанного алгоритма

Одно из наиболее трудоемких, но и полезных применений компьютера заключается в создании программных комплексов для помощи инженерам и научным работникам в проектировании и решении различных технических и научных проблем (Computer Aided Design - CAD) Были использовали два вида алгоритмов построения катушек с "интерактивным" управлением процессом построения, и — с автоматическим построением катушки вдоль заданной аналитическим выражением линии. Общим для обоих алгорит-

мов является геометрический элемент - сечение катушки, которое на каждом шаге построения либо переносится параллельно самому себе на некоторое расстояние, либо - поворачивается на определённые углы вокруг одной из своих четырёх сторон. При ручном построении инженер может произвольно задавать длину переноса или угол и направление поворота на каждом шаге построения. При автоматическом построении катушки эти величины определяются самой программой.

Сегментация катушек необходима для расчёта трёхмерного поля каждого сегмента, и - всей катушки в целом.

■ -^г.

я* <

' -- „ л. г

8& - Г.-,-. .

у ■

<Г~

т

Рис. 12. Построение и сегментация катушек и их систем в "интерактивном" режиме управления процессом построения.

На рис. 12 представлены некоторые результаты с "интерактивным" управлением процессом построения, а па рис. 13-е построением катушки вдоль заданной аналитическим выражением линии.

1.Х

. /"V ■

Рис.13. Построение и сегментация катушек, с построением катушки вдоль заданной аналитическим выражением линии.

В параграфе 4 4 Разработан эффективный алгоритм расчета трехмерного магнитного поля специально для катушки круглой формы с прямоугольным сечением, поскольку такие катушки очень часто применяются в физических приборах Пример их использования будет показан ниже для случая магнитной ловушки для заряженных частиц Ускорение расчетов движения таких частиц достигается путем применения алгоритма пространственной интерполяции точных значений поля, рассчитанных заранее

В пятой главе рассмотрены вопросы однородного намагничивания тел с различными формами в неоднородных внешних полях Создание однородных силовых магнитных условий внутри тела может быть полезно для проведения физических экспериментов Кроме того, такая однородность желательна при определении магнитных характеристик вещества

Следует отметить, что физические методы создания однородной намагниченности в неоднородных полях ранее в литературе не рассматривались В большинстве учебных пособий кратко рассматривается лишь классический пример однородного намагничивания эллипсоидальных (или - шарообразных) тел в однородных внешних полях

В параграфе 5 1 предложен способ однородного намагничивания со слабой напряженностью полного внутреннего поля в теле Этот метод реализуется с помощью двух внешних полей однородного поля электромагнита (или "внешнего" соленоида) и поля тонкого соленоида надетого на поверхность образца Этот метод можно назвать методом "компенсации поверхностных "магнитных" токов" однородно намагниченного образца

Метод основан на представлении магнитного поля, созданного намагниченностью образца, в виде суммы полей "объемных и поверхностных магнитных токов" в образце и его намагниченности

Р у 4лИ 4пЯ

где А - веторный магнитный потенциал ,

М - намагниченность образца , К = (г - г р) - расстояние от точки образца г до точки измерения поля г р ,

R = [(x- xp)2 + (у - Ур)2 +(z- zP)2 ]1 /2 , V - объем образца ; '

S - поверхность образца , n - внешняя нормаль к поверхности S

Пусть мы хотим создать однородную намагниченность М i = Const в образце Тогда объемный интеграл исчезает и остаётся только поле, создаваемое тангенциальной составляющей намагниченности, которую иногда называют "поверхностным магнитным током" .

j.= [M,*n]

Чтобы упростить техническую реализацию метода мы рассмотрим только такие образцы, на боковой поверхности которых модуль тока j s постоянен, а на двух параллельных основаниях он равен нулю Некоторые примеры форм таких образцов и желаемое направление намагниченности приведены на рис 14:

Рис.14. Формы образцов Возьмём однородный изотропный образец с линейным или нелинейным материальным уравнением в виде М1 = к (Н о + Н) где • к = Const — магнитная восприимчивость образца ;

Но- поле заданных токов в пространстве без образца

Тогда требуемое внешнее поле Н 0 должно быть равно

Н о = (М! /к) - Н = (к+1)М,/к - Н,= Н,о+ Н20 где: Н 1 обозначает поле в созданное "поверхностным током" Отсюда видно, что внешнее поле должно состоять из двух полей Первое - однородное поле Н10 должно быть направлено как и желаемая намагниченность и пропорционально ей с коэффициентом (к+1)/к. Это поле может быть создано, например, между полюсами постоянного магнита или - электромагнита, или - "внешнего" соленоида, в области занимаемой образцом Второе поле Н2о = - Hi можно создать если на поверхность образца надеть тонкий солено-

ид такой же формы и размера как эта поверхность, и пустить по нему ток равный по величине но - противоположно направленный.

Идея метода заключается в том, что поле соленоида компенсирует поле намагниченности, которое обычно "искривляет" саму намагниченность внутри образца Тогда однородная намагниченность в образце устанавливается фактически полем внешнего постоянного магнита или - электромагнита, или - соленоида Момент, когда намагниченность образца становится однородной и равной М] характеризуется тем, что снаружи образца исчезает создаваемое им и поверхностным соленоидом поле Остается только поле внешнего соленоида. Следовательно, этот момент можно засечь, измеряя общее поле вне образца Чтобы проиллюстрировать это, ниже приведены три рисунка, на которых показаны результаты расчетов силовых линий поля В для намагниченного усечённого

конуса.

Рис 15 Вектор В суммы однородного внешнего поля и поля намагниченного конуса

Рис. 16 Вектор В поля поверхностного соленоида, надетого на конус

Рис.17 Вектор В суммы . однородного внешнего поля, поля намагниченного конуса, поля поверхностного соленоида. Намагниченное тело «не видно» во внешнем однородном поле

Ввиду аксиальной симметрии приведена только половина каждой картинки в произвольной плоскости сечения, проходящей через центр конуса. На рис 15 показан вид силовых линий вне и внутри конуса, когда ток поверхностного соленоида отсутствует и конус

намагничивается только внешним однородным полем На втором рисунке (рис 16),наоборот, показан вид силовых линий создаваемых только поверхностным соленоидом на конусе, когда отсутствует внешнее однородное поле. Наконец, на третьем рисунке (рис 17) показаны силовые линии суммарного поля, создаваемого и внешним соленоидом, и - поверхностным соленоидом Видно, что поле намагниченного конуса и поверхностного соленоида скомпенсировали друг друга, и осталось во всем пространстве только однородное поле внешнего соленоида

Т е. можно сказать, что намагниченное тело становится «невидимым» во внешнем магнитном поле

Основная физическая особенность рассматриваемого метода заключается в том, что приложенные к образцу внешние поля создают в нём однородную намагниченность при слабой напряжённости полного внутреннего поля Нвн в образце А именно, мы имеем •

М, =кН,0/(к+1)

Нвн = (Но + Н) = Ню -М1 = Н10/(к+1)

Ввн/ро = НВ11 + М, = Н10 Для ферромагнетика, например, значение восприимчивости к может быть очень велико Тогда напряжённость полного внутреннего поля в нём будет очень мала по сравнению с напряжённостью приложенного поля внешнего соленоида А силовая характеристика поля внутри образца ( индукция магнитного поля В ) всегда в точности такая же, как у поля внешнего соленоида в вакууме Т е. сам образец вместе с соленоидом на нём не оказывает макроскопического силового действия на движущиеся внутри него заряды

С экспериментальной точки зрения это означает, что если мы хотим, например, изучить зависимость восприимчивости к от величины полного внутреннего поля в широком диапазоне, то для создания больших внутренних полей нам придется создавать очень сильные поля внешнего соленоида, и - токи поверхностного соленоида, для многих ферромагнитных образцов Эти величины можно значительно уменьшить если изучать данный ферромагнетик не в чистом виде, а - в виде однородного сплава с немагнитными материалами, т к в этом случае "средняя" величина магнитной восприимчивости образца к сильно уменьшается

В параграфе 5 2 предложен метод измерения магнитной восприимчивости однородного изотропного тела, однородно намагничиваемого указанным в параграфе 5 1 способом.

В параграфе 5.3 предложен метод измерения тензора магнитной восприимчивости однородного анизотропного тела, однородно намагничиваемого указанным в параграфе 5.1 способом В параграфе 5.4 предложен способ однородного намагничивания тел различной формы с созданием сильной напряжённости полного поля внутри тела Этот способ основан на представлении поля, созданного намагниченным телом, в виде суммы полей «объемных и поверхностных магнитных зарядов»

р V R3 S R Пусть мы хотим создать однородную намагниченность Mi = Const в образце. Тогда объемный интеграл в (5 35) исчезает и остается только поле, созданное "поверхностными магнитными зарядами" с плотностью:

ps=(M, *п)

Тогда требуемое внешнее поле Н 0 должно быть равно .

Н0 ^(М^-Н^М^-Н, где Н 1 обозначает поле созданное только поверхностным "зарядом"

Видно, что внешнее поле должно состоять из двух полей. Первое -однородное поле Ню должно быть направлено как и желаемая намагниченность, и пропорционально ей с коэффициентом 1/к. Это поле может быть создано, например, внешним соленоидом в области занимаемой образцом. Второе поле Н20 = - Hi можно было бы создать, если на "заряженные" поверхности образца "нанести" "магнитные заряды", но - с противоположным знаком Т к в природе не существует тел, на которых могли бы быть "магнитные заряды" одного знака, то сделать это можно лишь приближенно А именно, воспользуемся рассмотренной нами в параграфе 4 1 эквивалентностью полей соленоида и однородно намагниченного тела Каждый конец соленоида можно представить бесконечно тонким листком заряженным "магнитными зарядами" одного знака с равномерной плотностью. Т о поле однородного соленоида эквивалентно полю двух таких листков расположенных на разных концах

соленоида Поэтому для нашей задачи мы должны совместить один конец соленоида с противоположно "заряженной" поверхностью образца Второй конец соленоида должен быть достаточно далеко от этой поверхности, чтобы мало влиять на поле вблизи первого конца Для второй "заряженной" поверхности образца мы должны точно так же использовать второй соленоид

Теперь внутри ферромагнитного образца получается "обычное" сильное полное внутреннее поле М1 =кН10 II вн = (Н о + Н) = Ню Ввн/р0 = Нвн + М1 = (1+к)Н]0 Видно, что индукция поля внутри ферромагнетика во много раз превосходит напряженность внешнего поля Т о идея этого "зарядового" метода заключается в том, что теперь поле внешних поверхностных "зарядов" (причем на торцевых поверхностях образца) компенсирует поле намагниченности, которое "искривляет" саму намагниченность внутри образца Тогда однородная намагниченность в образце устанавливается фактически однородным полем внешнего соленоида

Момент, когда намагниченность образца становится однородной и равной М] характеризуется тем, что снаружи образца (вблизи него) исчезает поле создаваемое им и внешними поверхностными "зарядами" соленоидов. В идеальном случае остается только однородное поле внешнего соленоида Следовательно этот момент можно засечь, измеряя общее поле вблизи образца.

Далее в работе показано, что способы однородного намагничивания, предложенные в параграфах 5.1 и 5.4 можно объединить в одну универсальную схему, позволяющую однородно намагничивать тела различной формы, с варьированием величины полного внутреннего поля в широких пределах

В шестой главе рассмотрены основы моделирования устройств с движущимися заряженными частицами Численные методы решения задач движения зарядов очень многообразны Трудности, как правило, связаны с большим временем счета и большой необходимой компьютерной памятью для огромных систем зарядов (сотни тысяч и миллионы зарядов) Для решения таких задач привлекаются "параллельные" компьютеры - ряд компьютеров (или процессоров) одновременно решающих одну и ту же задачу, и -

обменивающихся информацией в процессе решения Однако, и в более простом случае, который мы рассмотрим, существует трудность большого времени расчёта "длинных" траекторий, и - точности конечного результата До настоящего времени продолжаются поиски способов повышения эффективности численных алгоритмов с учетом специфики конкретных задач

В параграфе б 1 предложена модификация метода Эйлера для численного решения уравнения движения заряда в совокупности электрического и магнитного полей, которая обеспечивает сохранение полной механической энергии движущегося заряда Разработан численный алгоритм. На рис.18 и 19 показаны результаты применения разработанного ПО для моделирования движения траекторий заряда в магнитном поле системы катушек типа "токамак" На них показаны трехмерные траектории, и - по две двумерных проекции этих трёхмерных траекторий.

На рис.18 представлен случай, когда не учитывается влияние магнитного поля тока самой плазмы движущихся зарядов. В этом случае расчет показывает "вертикальный дрейф" траектории в неоднородном поле системы катушек-

Рис 18 Траектория заряда в магнитном поле токамака без учета тока плазмы

)

4(1 1 ^^

41« 4М С

4« 4Я /Л

На следующем рис 19 ток плазмы приближённо аппроксимирован соответствующим линейным круговым током. При этом траектория заряда начинает "виться" вокруг этого тока

Рис ^.Траектория заряда в токамаке при учете тока плазмы

В параграфе 6 2 построена математическая модель для объяснения явления отталкивания магнитных частиц (диполей) вблизи от дефекта, наблюдаемого в магнитопорошковой дефектоскопии

Но

г

-X" м I

V л' х

Рис,20а,Сила, действующая на магнитную частицу вблизи от дефекта.

В параграфе 6.3 построены математические модели для объяснения геометрических фигур, образуемых магнитными частицами при магнитопорошковом методе анализов анизотропии и дефектов сред.

. Картины магнитопорошкового анализа, и их моделирова-

В параграфе 6.4 приведены результаты моделирования с помощью разработанного ПО магнитной ловушки для заряженных частиц, предназначенной для исследований в области термоядерного синтеза. Разработанное ПО позволяет строить модели приборов по модульному принципу, используя программные модули для отдельных сторон задачи. В данном случае, совместно с Российским научным центром «Курчатовский институт», изучались: топология магнитных полей, движение зарядов, возможности оптимизации прямоугольной тороидальной зеркальной ловушки. Не вдаваясь в подробности физико - математической основы этой сложной области науки, приведём ниже несколько примеров моделирования с помощью разработанного ПО,

На рис.21 показана ловушка, составленная из круглых катушек прямоугольного сечения, и - картина силовых линий магнитного поля вО внутренней области ловушки. Графика системы МАТ1..АВ позволяет вращать любую фигуру в трёхмерном пространстве, разглядывая её с различных точек зрения. Это необходимо при исследовательских работах.

ние

Рис.21. Магнитная ловушка для плазмы, и силовые линии магнитного поля.

На рис.22 приведён график одной из магнитных поверхностей в данной ловушке. Магнитная поверхность, в тех случаях, когда она существует, образуется силовой линией, которая многократно обходит контур ловушки, не замыкаясь.

Рис.22. Магнитная поверхность для данной ловушки.

На этой поверхности интеграл ог ¿1 / В, взятый по одному витку силовой линии, является постоянной величиной. Здесь сП - элемент длины линии. Это свойство использовано в ПО для построения графика магнитной поверхности. Важность анализа магнитных поверхностей заключается в том, что на этих поверхностях равновесная плазма имеет постоянное давление.

На рнс.23 показана топология линий одинакового значения поля на магнитной поверхности.

Рис.23. Линии одинакового значения поля на магнитной поверхности.

Согласно современной теории, развитой академиком В.Д.Шафрановым и его учениками, оптимизация ловушки должна,

й частности, заключаться в подборе таких параметров, чтобы линии одинакового значения поля охватывали магнитную ось, и — не образовывали замкнутых «островков» на магнитной поверхности. Магнитная ось - это силовая линия с минимальным значением интеграла от ¿1 / В на ней. ПО было дополнено модулем, находящим линии одинакового значения поля на магнитной поверхности. На рис.24 показана траектория заряженной частицы в ловушке.

Рис.24. Траектория заряда в ловушке.

На рис.25 траектория заряженной частицы совмещена с топологией магнитной поверхности, что дает дополнительную информацию при анализе работы ловушки.

Рис.25. Магнитная поверхность с траекторией заряда.

В параграфе 6.5 приведен результат моделирования с помощью разработанного ПО траектории заряженной частицы в трёхмерном периодическом магнитном поле ондулятора. Ондуляторы применяются в лазерах на свободных заряженных частицах, и - в установках для генерации синхротронного излучения.

Рис.26. Траектория заряда в магнитном поле ондулятора.

Основные результаты и выводы

- дана формулировка обратной задачи магнитостатической дефектоскопии для магнитомягких образцов в виде системы трехмерных интегральных уравнений Фредгольма 1-го и 2-го рода, Уравнение Фредгольма 2-го рода стабилизирует решение задачи Для магнитожестких материалов уравнение Фредгольма 2-го рода исключается из постановки задачи,

- ■ построен итеративный численный алгоритм решения обратной задачи магнитостатической дефектоскопии для неоднородной и, в общем случае, нелинейной среды, с коллинеарными векторами намагниченности и напряжённости внутреннего магнитного поля;

- для однородных образцов в численный алгоритм решения обратной задачи вводится дополнительная информация, ограничивающая область определения неизвестных величин, что приводит к регуляризации решения обратной задачи на основе метода дискретного программирования;

- показана однозначность решения обратной задачи для однородно намагниченных трёхмерных прямоугольных и треугольных призм, магнитное поле которых эквивалентно магнитному полю «эффективных» точечных «магнитных зарядов», расположенных в вершинах этих призм;

- по результатам численного моделирования трёхмерных магнитных полей дефектов предложен способ определения формы границ поверхностных дефектов по линиям уровня магнитного поля дефекта,

- получены аналитические формулы для расчёта потенциала и напряжённости магнитного поля трехмерных прямоугольных и треугольных призм с однородным, произвольно направленным вектором намагниченности, и - с однородным по сечению вектором плотности тока, которые позволяют рассчитывать трёхмерные поля постоянных магнитов и доменов, служат основой для численного решения интегральных уравнений, и являются основой для аппроксимации трехмерных магнитных полей катушек сложной формы, применяемых в различных устройствах технической магнитостатики;

- построены алгоритмы автоматического и интерактивного построения катушек сложной формы, и аппроксимации трехмерных

магнитных полей таких катушек Даны примеры компьютерного моделирования трёхмерных магнитных полей технических устройств содержащих катушки,

- предложены способы однородного намагничивания и определения магнитных характеристик однородных образцов Особенность способа компенсации поверхностных «магнитных токов» заключается в том, что магнитная индукция внутри образца равна магнитной индукции внешнего однородного магнитного поля При применении способа компенсации поверхностных «магнитных зарядов» магнитная индукция внутри образца равна произведению магнитной индукции внешнего однородного магнитного поля на магнитную проницаемость материала образца. Комбинированный способ позволяет получать магнитную индукцию внутри образца в широком диапазоне значений;

- на основе расчета сил, действующих на магнитные частицы (диполи), показано, что, при наличии внешнего магнитного поля, существуют области, в которых диполи отталкиваются от дефекта;

- построена математическая модель для расчета формы магни-топорошковых фигур, появляющихся на поверхности ферромагнетика, помещенного в неоднородное внешнее поле

Основные публикации

Монография-

1 А Н.Печенков, В.Е Щербинин Некоторые прямые и обратные задачи технической магнитостатики - Екатеринбург- УрО РАН, 2004. - 177с Статьи

1 Печенков А Н , Щербинин В Е Возбуждение полей в полупространстве гармоническим током // Дефектоскопия.-1999 -вып 8 -С 26-31

2 Печенков А Н , Щербинин В Е Об одном методе решения обратной задачи магнитостатики // Дефектоскопия-1999.-вып.10.-С 6467

3 Печенков А Н., Щербинин В Е О программном обеспечении магнитостатической обратной задачи определения параметров дефектов // Дефектоскопия - 2001.- вып.6 -С 72 - 77

4 Печенков А Н, Щербинин В Е Метод создания однородной намагниченности и определения магнитной восприимчивости // Дефектоскопия - 2002 - вып.7.- С 47 - 50.

5. Печенков А.Н, Щербинин В.Е Метод определения матрицы магнитной восприимчивости и главных осей анизотропных материалов в линейной области их характеристик // Дефектоскопия.-2002 - вып.8 - С 92 - 96

6. Печенков А.Н. Математический алгоритм решения обратной задачи // Дефектоскопия - 2005 - вып.11С.20 - 25 .

7. Печенков А.Н. Численное моделирование обратной задачи магнитостатической дефектоскопии // Дефектоскопия - 2005 - вып 11.-С.25 - 30.

8 Печенков А Н., Щербинин В Е Обратная задача магнитостатической дефектоскопии//ДАН -2006.-Т.408 -вып 6 -С.758-762.

9 Печенков А.Н., Щербинин В Е. К вопросу о неединственности решения обратной задачи магнитостатической дефектоскопии // Контроль. Диагностика. - 2006. - вып.9. - С 59 - 60

10. Щербинин В.Е, Печенков А.Н Силы, действующие на магнитную частицу в поле дефекта // Дефектоскопия.-1997 -вып.9.- С.3-10.

11. Печенков АН Расчёт трёхмерного магнитного поля круглой катушки с прямоугольным сечением и постоянным током // Дефектоскопия - 2006 - вып.9. - С 65 - 71.

12 Щербинин В.Е, Печенков А Н Расчёты сил, действующих на магнитные диполи, для задач магнитопорошковой дефектоскопии // Сб.Магнетизм переходных металлов и сплавов.- Екатеринбург: НИСО УрО РАН, 2000.-С 157 - 166

13. Печенков А.Н., Щербинин В Е Поле рассеяния тонкого анизотропного диска // Дефектоскопия. - 1997. - вып 9. - С 10 -19.

14 Печенков АН Аппроксимация сложных катушек с конечной толщиной для расчета трехмерных магнитных полей этих катушек // Дефектоскопия - 2006 - вып 10 - С 27 - 32

15 Печенков AHO влиянии формы тела на единственность решения обратной задачи магнитостатической дефектоскопии (ОЗМД) // Дефектоскопия - 2006. - вып 10 - С 24 - 26

Отпечатано на Ризографе ИФМ УрО РАН тир. 85 зак. 32

объем 2 печ л. формат 60x84 1/16 620041 г Екатеринбург ГСП-170 ул С Ковалевской, 18

Введение.

Глава 1. Интегральные формулировки магнитостатики как основа для разработанного ПО.

1.1. Дифференциальная формулировка магнитостатики.

1.2. Интегральные представления для скалярного магнитного потенциала.

1.3. Учёт граничных условий.

1.4. Интегральные уравнения для скалярного магнитного потенциала.

1.5. Интегральные представления для напряжённости магнитного поля.

1.6. Об аналитическом вычислении интегральных выражений для поля.

1.7. Интегральные уравнения для намагниченности.

1.8 Интегральные уравнения для напряжённости магнитного поля.

Глава 2. Аналитические выражения для поля тел с однородной намагниченностью.

2.1. Скалярный потенциал прямоугольного параллелепипеда.

2.2. Напряжённость поля прямоугольного параллелепипеда.

2.3. Напряжённость поля прямой треугольной призмы.—.

2.4. Примеры расчёта топологии полей.

2.5. Преобразование системы координат.

2.6. Моделирование полей цилиндрических и трубчатых тел.

2.7. Моделирование условий раздельной регистрации намагниченных "островков". . . .-.-.•. .--.-■

Глава 3. Решение прямой и обратной задачи магнитостатической дефектоскопии. . —.

3.1. Прямая задача определения намагниченности тела. "Проклятие размерности".

3.2. Обратная задача.

3.2.1.0 неоднозначности решения.

3.2.2. Адекватность и устойчивость модели.

3.2.3. "Самосогласованные" решения . "Томографический" метод измерений.

3.2.4. Упрощённые подходы к решению обратной задачи.

3.3. Численное моделирование обратной задачи магнитостатической дефектоскопии. .i.

3.3.1. Общее описание результатов моделирования.

3.3.2. Математический алгоритм решения обратной задачи.

Глава 4. Моделирование трёхмерных магнитных полей токовых катушек различной формы, с конечным сечением.

4.1. Замена тонкой катушки магнитным телом. Векторный потенциал статического поля.

4.2. Конечно - объёмное моделирование катушек произвольной формы с прямоугольным сечением.

4.2.1. Поле сегмента в виде параллелепипеда.

4.2.2. Поле сегмента в виде прямой призмы.

4.3. Пример системы компьютерного конструирования сложных катушек и расчёта их трёхмерных полей.:.

4.4. Поле круглой катушки

Глава 5. Однородное намагничивание в неоднородных внешних полях.

5.1 .Метод однородного намагничивания тел различной формы со "слабой" напряжённостью полного внутреннего поля.

5.2. Определение магнитной восприимчивости однородного изотропного тела с использованием метода компенсации поверхностных "магнитных токов".;.

5.3. Определение тензора магнитной восприимчивости и его главных осей для однородного анизотропного тела с использованием метода компенсации поверхностных "магнитных токов".

5.4. Метод однородного намагничивания тел различной формы с "сильной" напряжённостью полного внутреннего поля.

Глава 6. Моделирование магнитопорошковых явлений и движения заряженных частиц.

6.1. Модификация метода Эйлера.

6.2. Моделирование явления отталкивания магнитных частиц вблизи от дефекта. ;.,.

6.3. Моделирование геометрических фигур, наблюдаемых в магнитопо-рошковом анализе.

6.4. Моделирование магнитной ловушки.

6.5. Моделирование лазера на свободных заряженных частицах.

Актуальность работы определяется возрастающими требованиями современной магнитостатической дефектоскопии, и технической магнитостатики в целом, к качеству и разнообразию программного обеспечения для научных исследований, прикладных задач, проектирования новых приборов и устройств.

Область применения программного обеспечения в современной технической магнитостатике чрезвычайно широка. Она простирается от задач магнитостатической дефектоскопии различных изделий в неразрушающих методах контроля, до задач построения распределения источников магнитных полей в энцефалографии головного мозга, задач магнитооптики пучков заряженных частиц, задач удержания плазмы в магнитных ловушках типа «токамак» и «стелларатор», задач проектирования лазеров на свободных заряженных частицах и т.д.

В основе всех этих приложений лежат формулы и алгоритмы расчёта магнитных полей, создаваемых различными источниками, в трёхмерном пространстве, и - расчёта движения заряженных частиц в этих полях.

Несмотря на достаточно широкий спектр имеющихся в этом направлении результатов и программ, актуальность создания новых алгоритмов, особенно для специфических приложений, что является предметом данной работы, подтверждается регулярными сообщениями в различных научных журналах о разработке и Использовании нового программного обеспечения в указанных выше областях магнитостатики.

В работе проделан также математический анализ актуальных для практики магнитостатической дефектоскопии вопросов однородного намагничивания образцов в неоднородных внешних полях, и - поведения магнитных диполей в магнитопорошковых методах неразрушающего контроля. Цель работы. Диссертация посвящена разработке численных алгоритмов для расчётов и моделирования прямых и обратных задач магнитостатической дефектоскопии, и - устройств технической магнитостатики, на основе интегральных представлений трёхмерных магнитных полей.

Научная новизна. В области магнитостатической дефектоскопии и технической магнитостатики автором получены следующие новые результаты:

- сформулирована обратная задача магнитостатической дефектоскопии в виде системы трёхмерных интегральных уравнений Фредгольма 1 -го и 2-го рода;

- построен численный алгоритм решения обратной задачи магнитостатической дефектоскопии для неоднородной и, в общем случае, нелинейной среды, с коллинеарными векторами намагниченности и напряжённости внутреннего магнитного поля;

- произведена регуляризация решения обратной задачи для однородных сред на основе метода дискретного программирования;

- показана однозначность решения обратной задачи для однородно намагниченных трёхмерных прямоугольных и треугольных призм;

- предложен способ определения формы границ поверхностных дефектов по линиям одинакового уровня магнитного поля дефекта;

- получены аналитические формулы для расчёта потенциала и напряжённости магнитного поля трёхмерных прямоугольных и треугольных призм с однородным, произвольно направленным вектором намагниченности, и -с однородным по сечению вектором плотности тока;

- разработаны алгоритмы автоматического и интерактивного построения катушек сложной формы, и аппроксимации трёхмерных магнитных полей таких катушек;

- предложены способы однородного намагничивания и определения магнитных характеристик однородных образцов, путём: компенсации поверхностных «магнитных токов», компенсации поверхностных «магнитных зарядов», комбинированный способ;

-7- построена математическая модель для расчёта явления отталкивания магнитных частиц (диполей) вблизи дефектов, при наличии внешнего магнитного поля;

- построена математическая модель для расчёта формы магнитопорошко-вых фигур на поверхности ферромагнетика в неоднородном внешнем поле.

На защиту выносятся следующие основные результаты, полученные соискателем:

- формулировка обратной задачи магнитостатической дефектоскопии в виде системы трёхмерных интегральных уравнений Фредгольма 1-го и 2-го рода;

- численный алгоритм решения обратной задачи магнитостатической дефектоскопии для неоднородной и, в общем случае, нелинейной среды, с коллинеарными векторами намагниченности и напряжённости внутреннего магнитного поля;

- регуляризация решения обратной задачи для однородных образцов на основе метода дискретного программирования;

- однозначность решения обратной задачи для однородно намагниченных трёхмерных прямоугольных и треугольных призм;

- способ определения формы границ поверхностных дефектов по линиям уровня магнитного поля дефекта;

- аналитические формулы для расчёта потенциала и напряжённости магнитного поля трёхмерных прямоугольных и треугольных призм с однородным, произвольно направленным вектором намагниченности, и - с однородным по сечению вектором плотности тока;

- алгоритмы автоматического и интерактивного построения катушек сложной формы, и аппроксимации трёхмерных магнитных полей таких катушек;

- способы однородного намагничивания и определения магнитных характеристик однородных образцов, путём: компенсации поверхностных «магнитных токов», компенсации поверхностных «магнитных зарядов», комбинированный способ;

- математическая модель для расчёта явления отталкивания магнитных частиц (диполей) вблизи дефектов, при наличии внешнего магнитного поля;

- математическая модель для расчёта формы магнитопорошковых фигур на поверхности ферромагнетика в неоднородном внешнем поле.

Личный вклад соискателя. Представленные в работе результаты : аналитические формулы, численные алгоритмы, результаты моделирования различных задач технической магнитостатики, получены лично соискателем.

Научным консультантом работы в области неразрушающего контроля является член - корреспондент РАН, профессор В. Е. Щербинин. Практическая ценность работы. Представленные подробные алгоритмы и результаты применения метода интегральных уравнений для решения прямых и обратных задач магнитостатической дефектоскопии создают основу для развития отдельного направления в разработке эффективного программного обеспечения для научных исследований и для разработки новых приборов для магнитостатической дефектоскопии.

Предложен способ создания однородной намагниченности в телах различной формы с помощью комбинации однородного и неоднородного внешних полей для проведения измерений магнитных свойств материалов и изделий.

Разработанные алгоритмы расчёта трёхмерных магнитных полей и движения в них заряженных частиц могут применяться при проектировании различных устройств технической магнитостатики: устройств магнитной оптики пучков заряженных частиц, магнитных ловушек для плазмы, лазеров на свободных заряженных частицах и т.д.

Проведённый в работе анализ сил, действующих на магнитные диполи, создаёт качественную и количественную основу для интерпретации ряда результатов в магнитопорошковой дефектоскопии.

Материал, систематически изложенный в работе, может быть использован как учебно - справочное пособие для студентов, инженеров, физиков, программистов, работающих в области технической магнитостатики. Публикации. Основные результаты работы опубликованы в монографии, в 14 статьях в рецензируемых журналах, и в 1 сборнике статей. Апробация работы и достоверность результатов.

Алгоритмы решения обратной задачи магнитостатической дефектоскопии использовались для моделирования таких задач в Институте физики металлов УрО РАН.

Результаты работы использовались для моделирования трёхмерных магнитных полей и расчёта оптимальных характеристик магнитов в Институте не-разрушающего контроля (Германия, Саарбрюкен), на предприятиях «Микроакустика», «Интротест», для изучения свойств и оптимизации магнитных ловушек для заряженных частиц совместно с Российским научным центром «Курчатовский институт».

Основные результаты работы апробированы в рецензируемых научных журналах, подтверждены актами использования, доложены на научных конференциях (см. после списка литературы).

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы (79 наименований) и приложения. Объём диссертации составляет 269 страниц, включая 83 рисунка и 12 таблиц. Основное содержание работы

Заключение:

- дана формулировка обратной задачи магнитостатической дефектоскопии для магнитомягких образцов в виде системы трёхмерных интегральных уравнений Фредгольма 1-го и 2-го рода; Уравнение Фредгольма 2-го рода стабилизирует решение задачи. Для магнитожёстких материалов уравнение Фредгольма 2-го рода исключается из постановки задачи;

- построен итеративный численный алгоритм решения обратной задачи магнитостатической дефектоскопии для неоднородной и, в общем случае, нелинейной среды, с коллинеарными векторами намагниченности и напряжённости внутреннего магнитного поля;

- для однородных образцов в численный алгоритм решения обратной задачи вводится дополнительная информация, ограничивающая область определения неизвестных величин, что приводит к регуляризации решения обратной задачи на основе метода дискретного программирования;

- показана однозначность решения обратной задачи для однородно намагниченных трёхмерных прямоугольных и треугольных призм, магнитное поле которых эквивалентно магнитному полю «эффективных» точечных «магнитных зарядов», расположенных в вершинах этих призм;

- по результатам численного моделирования трёхмерных магнитных полей дефектов предложен способ определения формы границ поверхностных дефектов по линиям уровня магнитного поля дефекта;

- получены аналитические формулы для расчёта потенциала и напряжённости магнитного поля трёхмерных прямоугольных и треугольных призм с однородным, произвольно направленным вектором намагниченности, и - с однородным по сечению вектором плотности тока, которые позволяют рассчитывать трёхмерные поля постоянных магнитов и доменов, служат основой для численного решения интегральных уравнений, и являются основой для аппроксимации трёхмерных магнитных полей катушек сложной формы, применяемых в различных устройствах технической магнитостатики;

- построены алгоритмы автоматического и интерактивного построения катушек сложной формы, и аппроксимации трёхмерных магнитных полей таких катушек. Даны примеры компьютерного моделирования трёхмерных магнитных полей технических устройств содержащих катушки;

- предложены способы однородного намагничивания и определения магнитных характеристик однородных образцов различной формы, в неоднородных внешних полях.

- построена математическая модель для расчёта явления отталкивания магнитных частиц (диполей) вблизи дефектов, при наличии внешнего магнитного поля;

- построена математическая модель для расчёта формы магнитопорошковых фигур, появляющихся на поверхности ферромагнетика, помещённого в неоднородное внешнее поле.

1.В.Пановский , М.Филипс.Классическая электродинамика., М.,ГИФМЛ, 1963.

2. С.Л.Соболев.Уравнения математической физики., М., Наука, 1966, 444с.

3. И.Е.Тамм.Основы теории электричества., М., Наука., 1976, 616с.

4. Дж. Джексон . Классическая электродинамика . М.,Мир , 1965 .

5. А.С.Ильинский, В.В.Кравцов, А.Г.Свешников. Математические модели электродинамики., М., Высшая школа, 1991, 224с.

6. В.С.Владимиров.Уравнения математической физики., М., Наука, 1988, 512с.

7. А.Н.Тихонов, А.А.Самарский.Уравнения математической физики., М., ГИТТЛ, 1951,660с.

8. Н.С.Кошляков,Э.Б.Глинер,М.М.Смирнов.Основные дифференциальные уравнения математической физики., М., ГИФМЛ, 1962,767с.

9. С.Г.Михлин.Курс математической физики., М., Наука, 1968, 575с.

10. Н.Н.Миролюбов,М.В.Костенко,М.Л.Левинштейн, Н.Н.Тиходеев. Методы расчёта электростатических полей., М., Высшая школа, 1963, 415с.

11. Н.М.Гюнтер.Теория потенциала и её применение к основным задачам математической физики., М., ГИТТЛ, 1953, 416с.

12. Е.А.Туров.Материальные уравнния электродинамики., М., Наука, 1985.

13. А.Ф.Верлань,В.С.Сизиков.Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ.,Киев,Наукова думка, 1978,291с.

14. Б.М.Будак,С.В.Фомин.Кратные интегралы и ряды.,М., Наука, 1965, 607с.15 . В.П.Ильин.Численные методы решения задач электрофизики., М., Наука, 1985, 334с.

15. И.С.Градштейн,И.М.Рыжик.Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений., М., ГИФМЛ, 1962, 1098с.

16. К.Флетчер.Численные методы на основе метода Галёркина., М., Мир, 1988, 352с.

17. Г.А.Гринберг.Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений., М., Издательство АН СССР, 1948.

18. А.Б.Сапожников.Теоретические основы электромагнитной дефектоскопии металлических тел.Т1., Томск, Изд. Томского университета, 1980, 307с.

19. Г.Б.Двайт.Таблицы интегралов., М., Наука, 1977, 224с.

20. А.Ф.Тимофеев.Интегрирование функций., М., ГИТТЛ, 1948,432с.

21. Кротов JI.H. Моделирование обратной геометрической задачи магнитостатики в магнитном контроле:Дисс.д-ра физ.-мат. наук.-Пермь, 2004,244с.

22. А.Н.Тихонов,A.B.Гончарский,В.В.Степанов,А.ГЛгола. Регуляризую-щие алгоритмы и априорная информация., М., Наука, 1983.

23. В.В.Васин,А.Л.Агеев.Некорректные задачи с априорной информацией., Екатеринбург, Наука, 1993, 262с.

24. Н.Н.Винничук,Н.П.Костров,А.Н.Ратушняк.Применение объёмных интегральных уравнений в задачах магнитометрии, Екатеринбург, 1999,52с.

25. В.В.Кормильцев,А.Н.Ратушняк.Моделирование геофизических полей при помощи объёмных векторных интегральных уравнений, Екатеринбург, 2000,98с.

26. П.С.Мартышко.Обратные задачи электромагнитных геофизических полей., Екатеринбург, 1996, 144с.

27. В.В.Дякин,В.Я.Раевский.Прямая и обратная задачи классической электродинамики., Дефектоскопия, 10, 1996, с.31 -40.

28. J.P.Wikswo, J.M.Thomas, S.Tan,Y.P.Ma.Reconstruction of two dimensional Magnetization and Susceptibility Distributions from the Magnetic Field of Soft Magnetic Materials. IEEE Transactions on Magnetics, 1986, v.32, N1, pp.230 -235.

29. ЗО.А.Н.Тихонов,В.Я.Арсенин.Методы решения некорректных задач. М., Наука, 1979.

30. Обратные задачи в оптике., Под ред. Г.М.Болтса, М., Машиностроение, 1984.

31. Н.С.Бахвалов.Численные методы., М., Наука, 1975, 631с.

32. В.И.Мудров,В.Л.Кушко. Методы обработки измерений., М., Сов. радио, 1976, 192с.

33. Д.Химмельблау. Прикладное нелинейное программирование., М., Мир, 1975, 534с.

34. Е.П.Гильбо, И.Б.Челпанов.Обработка сигналов на основе упорядоченного выбора., М., Сов. радио, 1975, 343с.

35. И.М.Гельфанд и др.Метод оврагов в задачах рентгеноструктурного анализа., М., Наука, 1966, 214с.

36. Л.А.Растригин.Статистические методы поиска., М., Наука, 1968.

37. А.Н.Печенков,В.Е.Щербинин.Об одном методе решения обратной задачи магнитостатики., Дефектоскопия, 10, 1999, с.64 67.

38. А.Н.Тихонов, В.Я.Арсенин,А.А.Тимонов.Математические задачи компьютерной томографии., М., Наука, 1987, 159с.

39. Приборы для неразрушающего контроля материалов и изде-лий.Справочник., Под ред. В.В.Клюева, М., Машиностроение, 1986.

40. Магниторазведка.Справочник.,М., Недра, 1990, 470с.

41. А.Н.Печенков,В .Е.Щербинин.О программном обеспечении магнитоста-тической обратной задачи определения параметров дефектов., Дефектоскопия, 6, 2001, с. 72 77.

42. H.Fukushima,Y.Nakatani,N.Hayashi.Volume Average Demagnetizing Tensor of Rectangular Prisms.IEEE Transactions on Magnetics,vol.34, N1,1998.

43. М.Силадьи.Электронная и ионная оптика.М.,Мир, 1990,639с.

44. Л.А.Арцимович,Р.З.Сагдеев.Физика плазмы для физиков.М., Атомиз-дат, 1979,317с.

45. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве .М, Мир, 1982

46. В.А.Бирюков,В.И.Данилов. Магнитное поле прямоугольной катушки с током., ЖТФ, т.31, 4, с.428 435.

47. Л.Р.Нейман,П.Л.Калантаров.Теоретические основы электротехни-ки.Теория электромагнитного поля., М., ГЭИ, 1948, 343с.

48. А.Н.Печенков,В.Е.Щербинин.Метод создания однородной намагниченности и определения магнитной восприимчивости., Дефектоскопия,7,2002,с.47 50.

49. А.Н.Печенков , В.Е.Щербинин.Метод определения матрицы магнитной восприимчивости и главных осей анизотропных материалов в линейной области их характеристик., Дефектоскопия,8,2002,с.92 96.

50. Дж. Най .Физические свойства кристаллов . М., Мир , 1967, 385с.

51. А. Анго . Математика для электро- и радиоинженеров .М., Наука , 1967 , 779с.

52. В.В.Дякин.Прямая и обратная задача магнитостатики. Дефектоскопия,3, 1996, с.З 6 .

53. Р.Хокни,Дж.Иствуд.Численное моделирование методом частиц., М., Мир, 1987, 638с.

54. Д.Поттер.Вычислительные методы в физике., М., Мир, 1975,392с.

55. Ю.Н.Днестровский,Д.П.Костомаров.Математическое моделирование плазмы., М., Наука, 1993, 336с.

56. Вычислительные методы в физике плазмы.М.Мир,1974,514с.

57. А.И.Морозов,Л.С.Соловьёв.Движение заряженных частиц в электромагнитных полях., Сборник "Вопросы теории плазмы", Выпуск 2, М., Гос-атомиздат, 1963, с. 177 261.

58. П.А.Курбатов,С.А.Аринчин.Численный расчёт электромагнитных полей., М., Энергоатомиздат, 1984, 167с.

59. Л.А.Саркисян.Аналитические методы расчёта стационарных магнитных полей. Справочное пособие., М., Энергоатомиздат, 1993.

60. Г.А.Штамбергер.Устройства для создания слабых постоянных магнитных полей.Новосибирск, Наука, 1972,174с.

61. В.А.Говорков.Электрические и магнитные поля.М.,Энергия,1968, 486с.

62. А.Н.Печенков, В.Е.Щербинин.Возбуждение полей в полупространстве гармоническим током., Дефектоскопия, 8, 1999, с.26 31.

63. Б.А.Трубников.Введение в теорию плазмы.,М.,МИФИ, 1969,187с.

64. A.A.Skovoroda.New linked mirrors.Transactions of Fusion Technology, 2001, v.39,NIT,p.41.

65. Ф.Спренгл,Т.Коффи.Новые источники мощного когерентного излучения. УФЫ, 1985,т. 146,N2.

66. А.Н.Печенков, В.Е.Щербинин. Некоторые прямые и обратные задачи технической магнитостатики., Екатеринбург, УрО РАН, 2004, 177с.

67. А.Н.Печенков. Математический алгоритм решения обратной задачи., Дефектоскопия,11,2005,с.20-24.

68. А.Н.Печенков. Численное моделирование обратной задачи магнитоста-тической дефектоскопии., Дефектоскопия, 11,2005,с.25-30.

69. А.Н.Печенков. О влиянии формы тела на единственность решения обратной задачи магнитостатической дефектоскопии., Дефектоскопия, 10, 2006,с.24 -26.

70. А.Н.Печенков, В.Е.Щербинин. К вопросу о неединственности решения обратной задачи магнитостатической дефектоскопии, Контроль. Диагностика, 9,2006,с.59 60.

71. В.Е.Щербинин,А.Н.Печенков. Силы, действующие на магнитную частицу в поле дефекта., Дефектоскопия, 9, 1997, с.З 10.

72. А.Н.Печенков. Расчёт трёхмерного магнитного поля круглой катушки с прямоугольным сечением и постоянным током,Дефектоскопия,9,2006,с.65 -71.

73. А.Н.Печенков.Методы однородного намагничивания образцов различной формы в широком диапазоне полных внутренних полей в образце, Контроль. Диагностика, 12,2006,с.15 18 .

74. В .Е.Щербинин, А.Н.Печенков. Расчёты сил, действующих на магнитные диполи, для задач магнитопорошковой дефектоскопии., сб. Магнетизмпереходных металлов и сплавов, Екатеринбург, НИСО УрО РАН, 2000,с. 157- 166.

75. А.Н.Печенков,В.Е.Щербинин.Поле рассеяния тонкого анизотропного диска., Дефектоскопия, 9, 1997, с. 10 19.

76. А.Н.Печенков, Аппроксимация сложных катушек с конечной толщиной для расчёта трёхмерных магнитных полей этих катушек., Дефектоскопия, 10,2006, с.27-32.

77. А.Н.Печенков, член корреспондент РАН В.Е.Щербинин.Обратная задача магнитостатической дефектоскопии., ДАН,2006,т.408, 6,с.758-762.

78. А.А.Литвиненко,Г.Ю.Ваулина,Г.С.Корзунин,Л.А.Литвиненко. Определение магнитной анизотропии листовых сталей магнитопорошковым методом., Дефектоскопия, 1994, 3, с. 10 20.

79. Основные результаты работы доложены на конференциях:

80. Расчетный счет 40702810200000000003 Кор /счет 30101810500000000768в КБ " КОЛЬЦО УРАЛА " г. Екатеринбург БИК 046577768 ИНН 6661010721 КПП 6661010011. ЛЩт/1. Актоб использовании результатов научных исследований А.Н.Печенкова

81. Настоящим актом НПО «Интротест» подтверждает, что при проектировании установок и приборов для неразрушающего контроля:

82. Ферритометр МК 1Ф объёмный - предназначен для определения объёмного содержания ферритной фазы в образцах сварных швов и изделий из аустенитных сталей;

83. Ферритометр МК 2Ф накладной - предназначен для определения локального содержания ферритной фазы в сварных швах и изделий из аустенитных сталей;

84. Указанные приборы имеют соответствующие сертификаты и широко используютсяв РФ.

85. СМ-401 структуроскоп магнитный,

86. МСН17.01, МСН17.02 намагничивающие устройства для контроля корпуса авто-чки и тягового хомута,

87. МСН21 намагничивающее устройство для контроля пассажирских тележек, МСН10М - намагничивающее устройство для контроля пассажирских тележек. Производилась корректировка характеристик магнитоизмерительных приборов Ф-ЗОА, ДФ-201.1А, Ф-215.1.

88. ОГРН 1026602971933 ИНН 6659000081 КПП 665901001 ОКПО 20883295