автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование обратной геометрической задачи магнитостатики в магнитном контроле

На правах рукописи

КРОТОВ ЛЕВ НИКОЛАЕВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБРАТНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ МАГНИТОСТАТИКИ В МАГНИТНОМ КОНТРОЛЕ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Пермь 2004

Работа выполнена на кафедре прикладной физики Пермского государственного технического университета.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Дякин Вильям Вячеславович.

доктор физико-математических наук, профессор

Абдуллаев Абдулла Рамазанович.

доктор физико-математических наук, профессор

Волынцев Анатолий Борисович.

Ведущая организация:

Институт механики сплошных сред УрО РАН

Защита состоится 16 ноября 2004 года в 14 часов на заседании диссертационного совета ДР 212.188.04 при Пермском государственном техническом университете по адресу: 614000, г. Пермь, Комсомольский пр. 29, аудитория 212.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Пермского государственного технического университета.

Автореферат разослан октября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ДР 212.188.04 доктор технических наук, профессор

Аношкин А.Н.

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена решению проблемы локального бесконтактного восстановления формы границы ферромагнитного тела по созданному им пространственному распределению поля рассеяния в условиях намагничивания внешним полем.

Актуальность проблемы. Для повышения надежности изделий машиностроения в практике мирового производства широкое применение нашли методы неразрушающего контроля. Магнитные методы контроля, основанные на взаимосвязи магнитного поля рассеяния с конфигурацией контролируемого ферромагнитного изделия, являются одними из наиболее перспективных, благодаря их высокой чувствительности и бесконтактному характеру контроля.

Физической основой взаимосвязи формы ферромагнетика с пространственным распределением магнитного поля рассеяния является задача магнитостатики. Теоретические и экспериментальные исследования, практика применения магнитных методов позволяют заключить, что закономерности формирования магнитных полей рассеяния, составляющие предмет прямой задачи магнитостатики, в основном могут считаться установленными.

В металлургии и машиностроении широкое распространение получила магнитная дефектоскопия поверхности изделий, т. е. обнаружение поверхностных трещин, коррозионного разрушения материала изделия, в том числе под слоем защитного покрытия и т.п. В настоящее время оценка опасности обнаруженного дефекта поверхности производится при помощи сопоставления магнитного поля рассеяния с полем эталонного дефекта, что в ряде случаев является причиной неправильной браковки изделий. Дальнейшее развитие магнитной дефектоскопии поверхностных дефектов, связанное с повышением достоверности при браковке изделий, может быть достигнуто на основании реконструкции границы изделия в месте обнаруженной неоднородности.

Проблема восстановления формы границы ферромагнитного тела по распределению поля рассеяния тесно связана с решением обратной геометрической задачи магнитостатики. Отсутствие постановки таких задач применительно к магнитному контролю поверхностных дефектов, а также методов их решения делает проведение исследований в этом направлении актуальным.

гОС. НАЦИОНАЛЬНА» I БИБЛИОТЕКА 1

Цель работы заключается в разработке устойчивых методов реконструкции формы границы ферромагнетика, более полно использующих информативность пространственного распределения магнитного поля рассеяния.

Направления исследований

1. Адаптация методики восстановления гармонической функции на основании измерений в отдельных точках к магнитному контролю поверхности изделий.

2. Постановка обратной геометрической задачи магнитостатики применительно к магнитному контролю и обоснование ее условной корректности.

3. Разработка устойчивых методик для приближенной локальной реконструкции формы границы дефекта контролируемой поверхности.

4. Разработка устойчивых методов для оценки геометрических параметров дефектов границы по приближенной реконструкции пространственного распределения магнитного поля рассеяния.

5. Теоретическое и экспериментальное исследования влияния внешнего магнитного поля на преобразование энергии при выключении тока в электрических цепях, содержащих нелинейную индуктивность, для создания миниатюрных многоэлементных преобразователей.

Методы исследования, достоверность и обоснованность результатов. Диссертация содержит результаты теоретического и экспериментального исследований. Теоретические исследования основываются на общих положениях и законах электродинамики с применением аппарата дифференциального и интегрального исчислений, векторного анализа, уравнений математической физики, теории поля, теории обобщенных функций, а также на применении методов решения некорректных задач, численных методов решения краевых задач, методов математического моделирования и вычислительного эксперимента. Реализации численных методов и вычислительного эксперимента производились в среде МАТЛАБ (СКАИЛАБ). Все экспериментальные измерения проводились стандартными методами, приборами, аттестованными метрологической службой.

Достоверность полученных результатов основана на применении классических законов физики, проверке адекватности построенных математических моделей, соответствии полученных теоретических результатов данным вычислительного и натурного экспериментов. Достоверность новизны метода преобразования магнитного поля и технической новизны преобразователя, примененного в составе магнитного дефектоскопа, подтверждена авторскими свидетельствами.

На защиту выносятся следующие основные результаты, полученные соискателем:

- постановка обратной геометрической задачи магнитостатики для магнитного контроля;

- формулировка и доказательство теоремы единственности решения и выбор области условной корректности обратной геометрической задачи магнитостатики;

- методика контроля адекватности при измерении и реконструкции поля рассеяния;

- определение взаимосвязи спектров Фурье функции формы границы и пространственного распределения поля рассеяния;

- алгоритм приближенной реконструкции формы границы ферромагнетика по магнитному полю рассеяния с дефектной стороны изделия при малых возмущениях формы границы;

-алгоритм приближенной реконструкции формы границы ферромагнетика с коррекцией Фурье-спектра магнитного поля при значительных возмущениях формы границы;

- алгоритмы приближенной реконструкции формы границы ферромагнетика по регистрации магнитного поля рассеяния с противоположных сторон изделия и по магнитному полю со стороны бездефектной границы;

- метод устойчивого определения нижней границы глубины дефекта;

- результаты теоретического и экспериментального исследования влияния внешнего магнитного поля на нестационарный процесс при выключении электрического тока в колебательном контуре с нелинейной индуктивностью;

- новый преобразователь для регистрации магнитных полей рассеяния.

Научная новизна. В работе автора впервые:

- предложена постановка обратной геометрической задачи магнитостатики для неразрушающего контроля;

- выделен класс границ ферромагнетика, для которого доказана единственность решения обратной геометрической задачи магнитостатики и выполняются требования условной корректности;

- установлена взаимосвязь формы границы с пространственным локальным распределением магнитного поля рассеяния в приближении малых возмущений границы;

- предложены критерии адекватности при измерении и реконструкции пространственного распределения магнитного поля рассеяния по измерениям в отдельных точках пространства;

- разработана устойчивая методика оценки нижней границы глубины дефектов поверхности на основе функционалов от пространственного распределения магнитного поля рассеяния;

- предложен метод приближенной локальной реконструкции границы ферромагнетика по Фурье-спектру пространственного распределения скалярного магнитного потенциала поля рассеяния при малых возмущениях границы;

- предложен приближенный метод реконструкции границы ферромагнетика по скорректированному Фурье-спектру распределения поля рассеяния при существенных неоднородностях границы;

- предложены методы приближенного решения обратной геометрической задачи магнитостатики, основанные на регистрации пространственного распределения магнитного поля рассеяния с противоположных сторон образца или только со стороны бездефектной границы;

- исследовано влияние внешнего магнитного поля на преобразование энергии при выключении электрического тока в колебательном контуре с нелинейной индуктивностью;

- разработана конструкция и изготовлен преобразователь для регистрации магнитных полей рассеяния.

Научная и практическая ценность работы. Получена новая информация о взаимосвязи пространственного распределения магнитного поля рассеяния с формой границы ферромагнитного изделия. Адаптированы для магнитно-

го контроля методики восстановления и разработаны методики контроля адекватности при восстановлении пространственного распределения магнитного поля рассеяния по измерениям в отдельных точках пространства. Получены алгоритмы для решения обратной геометрической задачи магнитостатики, позволяющие осуществить приближенную локальную реконструкцию границы ферромагнетика. Предложен новый принцип преобразования магнитного поля. Созданы миниатюрные магниточувствительные элементы для регистрации магнитных полей рассеяния, реализующие новый принцип преобразования магнитного поля.

Методика реконструкции формы границы ферромагнетика по пространственному распределению магнитного поля внедрена на ЗАО «Новомет -Пермь» в технологическом процессе неразрушаюшего контроля при производстве насосов для нефтяной промышленности, что позволяет повысить качество продукции и уменьшить деловые отходы производства.

Кроме того, некоторые результаты диссертационной работы могут найти применение в учебном процессе высших учебных заведений по соответствующим дисциплинам специальности 010200 «Прикладная математика и информатика».

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались:

- на Уральских научно-технических конференциях Научного совета РАН по проблеме «Неразрушающие физические методы контроля» (1986-1995 );

- на Зимних школах по дефектоскопии (ИФМ УрО РАН, Екатеринбург, 1987-1996);

на И Международной конференции «Криогеник-92» (Брно, 1992); на ХШ Всероссийской НТК «Неразрушающие физические методы и средства контроля» (Санкт-Петербург, 1993);

на XV Всероссийской НТК «Неразрушающие методы и средства контроля» (Москва, 1996);

на XXII Зимней школе по механике сплошных сред (ИМСС УрО РАН, Пермь, 1999);

на II Международной конференции «Фундаментальные проблемы физики» ФПФ 2000 (Саратов, 2000);

на VI Всероссийской НТК «Аэрокосмическая техника и высокие техно-логии-2003» (Пермь, 2003);

- на научных конференциях ПГТУ (1986-2002);

- на семинаре отдела неразрушающего контроля ИФМ УрО РАН, руководитель д-р техн. наук, чл.-корр. РАН В. Е. Щербинин (2003).

- на Всероссийской с международным участием научно-технической конференции «Сварка и контроль-2004», посвященной 150-летию со дня рождения Н. Г. Славянова (Пермь, 2004).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 47 печатных работ. Получено два авторских свидетельства.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и заключения, содержит 140 рисунков, библиографический список из 186 наименований, изложена на 244 страницах.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность исследований, сформулированы цель, научная и практическая ценность работы, научная новизна и основные научные положения, выносимые на защиту.

Первая глава «Математическое моделирование магнитного поля рассеяния» состоит из пяти параграфов.

В параграфе I. I рассмотрены различные постановки прямой задачи магнитостатики являющейся физической основой математического моделирования магнитного поля рассеяния в неразрушающем контроле. Задача рассмотрена в постановке на плоскости. Ферромагнетик предполагается линейным, т. е. гистерезис отсутствует, магнитная проницаемость ферромагнетика постоянна и Ц» 1. Пространственное распределение магнитного поля описывается скалярным магнитным потенциалом который удовлетворяет уравнению Лапласа в рассматриваемой области, непрерывен на границе ферромагнетик -воздух и имеет непрерывные нормальные к границе раздела компоненты индукции магнитного поля. Намагничивание может осуществляться однородным магнитным полем Если контролируемое изделие имеет аксиальную сим-

метрию, то применяется циркулярное намагничивание электрическим током /0, проходящим по оси симметрии изделия. В данной работе, если не оговаривается иное, автор придерживается определения скалярного магнитного потенциала, принятого в среде МАТЛАБ, по которому И{х,у) = -^-1

В параграфе 1.2 рассмотрено разложение скалярного магнитного потенциала в ряды по гармоническим функциям для различных областей постановки задачи и различных форм границы ферромагнетика. Коэффициенты разложения магнитного потенциала несут полную информацию, заключенную в магнитном поле рассеяния, в том числе и о форме неоднородности границы ферромагнетика.

В параграфе 1.3 приведены приближенные аналитические решения прямых задач магнитостатики для различных моделей неоднородностей границы ферромагнетика.

В параграфе 1.4 изложен метод конечных элементов для численного решения задачи магнитостатики на плоскости и рассмотрен прикладной пак^ pdetool в составе вычислительной среды МАТЛАБ, реализующий этот метод. Приведены результаты расчета магнитных полей рассеяния для типичных геометрических форм дефектов границы изделий.

В параграфе 1.5 рассмотрен метод решения прямой задачи магнитостатики, основанный на применении граничного интегрального уравнения [1,2]. Показаны преимущества метода при решении задачи магнитостатики, связанные с тем, что снижается размерность решаемой задачи на единицу. Отмечено, что метод теряет свои преимущества при решении задач с нелинейными средами.

Вторая глава «Постановка обратной геометрической задачи магнитостатики в магнитном контроле» состоит из пяти параграфов.

В параграфах 2.1 и 2.2 анализируется определение геометрических параметров поверхностных дефектов на основании сопоставления приближенных аналитических моделей магнитного поля рассеяния с измерениями поля в отдельных точках. На основании обобщения результатов, опубликованных многими исследователями, сделан вывод о том, что точность такого определения, как правило, неудовлетворительна. Рядом исследователей при определении размеров дефекта предложено применить обработку экспериментальных измерений магнитного поля методом наименьших квадратов. Однако практика маг-

нитного контроля показывает, что определение геометрических параметров этим методом неустойчиво и причина этой неустойчивости, по-видимому, обусловлена самим характером задачи определения геометрии ферромагнитной области по пространственному распределению магнитного поля рассеяния, т.е. свойствами решения обратной задачи магнитостатики.

Свойства обратных задач и постановка предложенной В. В. Дякиным задачи определения пространственного распределения магнитной проницаемости среды по зарегистрированному распределению поля вокруг ферромагнетика рассмотрены в параграфе 2.3. На основании решения такой задачи можно полностью определить границу ферромагнетика, однако, как отмечает сам автор постановки задачи, методы решения ее в настоящее время отсутствуют.

В параграфе 2.4 рассматривается постановка обратной геометрической задачи магнитостатики применительно к магнитному контролю [3-6]. Задача заключается в непосредственном определении формы границы по пространственному распределению магнитного поля рассеяния. Пусть функция формы границы ферромагнетика д (л') е . Оператор задачи магнитостатики А такой, что

(И

Соотношение (1) представляет собой операторное уравнение для определения формы границы по пространственному распределению магнитного поля рассеяния, т.е. представляет постановку обратной геометрической задачи магнитостатики. Следует отметить, что на практике мы всегда располагаем только приближенным пространственным распределением магнитного поля и

поэтому имеем дело с другим уравнением:

(2)

Сформулированная задача, в общем случае, принадлежит к классу некорректных задач. А. Н. Тихоновым для задач типа (I) сформулированы требования, при соблюдении которых рассматриваемая задача условно корректна. Для выделения области условной корректности в качестве множества }), предлагается

ауь{х)=%Ах>У)

А УА(л-) = ф,„(дг,у)

выбрать функции, представимые отрезками ряда Фурье с ограниченными коэффициентами

Л'

.,'/>(-т)= С05(СОАЛ) + />* БЦОЬ)], (3)

где со - основная пространственная частота, протяженность об-

ласти по оси - коэффициенты разложения функции формы границы

удовлетворяющие условиям На основании критерия Арцеля можем заключить, что У/, является компактом в С . Доказывается следующая

Теорема. }{ля пространственного распределения магнитного поля ф„,(л',_у) решение обратной геометрической задачи магнитостатики (1) единственно на множестве функций формы границы ферромагнетика }),, представимы.х отрезкамиряда Фурье с ограниченными коэффициентами (3/.

Таким образом, для выбранного класса границ выполняются оба требования, обеспечивающие условную корректность задачи (1) по А. Н. Тихонову, следовательно, обратный оператор непрерывен.

В параграфе 2.5 приведена формальная математическая модель реконструкции границы изделия в месте поверхностного дефекта. Модель содержит два этапа. На первом этапе по экспериментально измеренным приближенным

значениям магнитного поля в отдельных точках пространства про-

изводится реконструкция приближенного пространственного распределения магнитного поля рассеяния Второй этап состоит в приближенной ре-

конструкции границы ферромагнетика решением обратной геометрической задачи магнитостатики для восстановленного магнитного поля при помощи какой-либо реализации обратного оператора В результате формируется функция формы границы ферромагнетика . Полученный результат является основой для принятия решения о браковке изделия на более высоком

уровне управления процессом контроля. Схематично математическая модель неразрушающего контроля представлена на рис. 1.

Оператор восстановления магнитного поля

Оператор реконструкции границы дефекта

Я,

%(х)

От датчиков магнитного паля

фт Восстановленное

Восстановленная форма границы

магнитное поле

Рис. 1

Третья глава «Математическое моделирование восстановления магнитного поля рассеяния по измерениям в отдельных точках пространства» состоит из пяти параграфов.

В параграфе 3.1 рассмотрено осреднение магнитного поля по размерам датчика.

Параграф 3.2 посвящен локальной реконструкции магнитного поля рассеяния по измерениям в отдельных точках [7-13]. В линейном приближении для магнитного поля в ферромагнетике нормированный скалярный магнитный потенциал представлен в виде суммы потенциала поля намагничивания и потенциала поля рассеяния ^ + Безразмерное магнитное поле в воздухе

Магнитное поле дефекта от неоднородности на плоской границе ферромагнетика описывается прямой задачей магнитостатики. Рассмотрена задача восстановления магнитного поля от дефекта в области, геометрия которой представлена на рис. 2. Скалярный магнитный потенциал является гармонической функцией в области Магнитное поле достаточно быстро спадает при удалении от дефекта, и расстояние до внешних границ выбрано на-

столько большим, что магнитным полем дефекта на этих границах можно пре-

небречь. Выполнено условие ф^ =0. Из однородности поля йд следует

Таким образом, имеет место смешанная постановка прямой задачи магнитостатики, описывающей формирование магнитного поля рассеяния. Измерения тангециальной компоненты магнитного поля производится в 2Ы равноотстоящих точках на расстоянии от границы ферромагнетика, которые составляют входной вектор

для модели реконст- п рукции магнитного поля. Величина шага измерения Ах определяет размер мелких подробностей восстанавливаемого поля. Восстановление магнитного поля рассеяния производится на основе решения вспомогательной прямой задачи для области ГУ. Величина компоненты магнитного поля является гармонической функцией, которая на границе Г2 обращается в ноль, а на границах Г|,Г'3 обращаются в ноль ее нормальные производные. На границе Г4 экспериментально определенное значение компоненты магнитного поля в отдельных точках задано вектором

. Приближенное решение задачи представлено в виде усеченного ряда по гармоническим функциям

N

к=\

(4)

где (о-основная пространственная частота разложения, (<) = — . Значения Л' коэффициентов | определяются из преобразования Фурье вектора вход-

модели реконструкции поля Наибольшая простран-

ных величин

ственная частота, представленная в (4), в соответствии с теоремой Котельнико-

ва определяется из соотношения мтач = —. Приближенное пространственное

распределение скального магнитного потенциала этого поля можно представить в виде ряда

ы

(5)

где Полученное приближенное решение (5) вспомогательной за-

дачи для области совпадает с реконструируемым полем рассеяния. На рис. 3 приведен потенциал магнитного поля, полученный в вычислительном эксперименте по модели (5) на расстоянии 0,4 мм от границы ферромагнетика с дефектом. Конфигурация дефекта представлена на рис. 2. Размеры дефекта /> = 0,1

мм, мм, магнитная проницаемость ферромагнетика длина реги-

страции поля /. = 8 мм, измерения произведены на расстоянии К„, = 0,1 мм. Погрешность восстановления не превосходит 0,1 %. При уменьшении горизонтального размера области О' нарушаются условия на границах Г'], Г3, что приводит к погрешности при определении коэффициентов разложения в приближенном решении (4).

На рис. 4 приведен результат реконструкции поля при условиях предыдущего примера, но длина регистрации Ь = 1,6 мм. Кривая / представляет магнитное поле, рассчитанное методом конечных элементов для области р, кривая 2 представляет восстановленное поле для > = 0,3 мм. Погрешность восстановления магнитного поля рассеяния в этом случае составляет около 10 %. Известно, что процедура восстановления поля для у>Ут является корректной. Иначе обстоит дело при восстановлении поля для у < Ут . Малые ошибки в определения высокочастотных компонент поля на уровне измерения, будучи умноженными на ехр((о£Ду), при трансформации поля в сторону ферромагнетика могут стать очень большими и привести к потере устойчивости процедуры восстановления поля. Пример такой неустойчивости приведен на рис. 5, где длина регистрации поля /. = 4 мм. На рис. 6 показано, как при увеличении длины ре-

X. мм х, им

Рис. 5 Рис. 6

гистрации до /. = 8 мм восстановление поля становится стабильным. Совершенно аналогично рассмотрена реконструкция магнитного поля для изделий, имеющих аксиальную симметрию. Полученные результаты имеют только количественное различие.

В параграфе 3.3 рассматриваются критерии адекватности при регистрации и восстановлении магнитных полей рассеяния [11-13]. Рассмотрены две причины грубого нарушения точности при регистрации магнитного поля. Во-первых, отказ одного или нескольких магниточувствительных элементов преобразователя магнитного поля. Во-вторых, отклонение от параллельности линии регистрации поля границе изделия. Обнаружение указанных искажений в процессе регистрации может быть основано на измерении датчиками величины

намагничивающего поля Вд. Обнаружить отказ магниточувствительного элемента преобразователя можно по несоответствию его выходной величины уровню В0. Нарушение параллельности линии регистрации намагничивающему полю может быть проверено по величине измеренного поля в отсутствие дефекта. Правильная установка преобразователя соответствует значению Н0. При наклоне линии регистрации по отношению к индукции намагничивающего поля под углом а выходная величина у датчиков магнитного поля

/* = #0^^) .

Основой проверки адекватности восстановления магнитного поля, в соот-

ветствии с моделью (5), является экспоненциальный спад гармонических компонент при удалении от границы изделия. Показатели экспонент различны для всех компонент и определены теоретически.

Рассматривается функция для множест-

ва значений к является совокупностью линейных зависимостей, выходящих из точки (0,0) с угловыми коэффициентами -0)А'. Область адекватности восстановления магнитного поля наглядно иллюстрирует рис. 7, где приведены типичные зависимости для некоторых из 128 гармоник разложения поля рассеяния от дефекта, рассмотренного ранее. Точками отмечены величины

рассчитанные по измерениям в вычислительном эксперименте, а сплошными линиями представлены теоретические зависимости

Причиной неадекватности магнитного поля для младших гармоник (на рис. 7 зависимость для к =3) является специально выбранное близкое расположение границы . Отклонение от теоретической зависимости остальных гармоник обусловлено добавками в спектре, вызванными невыполнением условий на границах при недостаточной длине регистрации поля Ь. Влияние указанных причин иллюстрирует рис. 8, где вследствие изменения Ь для прежних пространственных частот изменился номер гармоники к. прежний номер указан в круглых скобках. Контроль адекватности восстановления магнитного поля можно осуществлять при измерении компоненты маг-I нитного поля на двух уровнях Ут\ и Ут2, с последующей проверкой соответствия в изменении амплитуд модели (4).

Наибольшее внимание необходимо обратить на адекватность высокочастотных компонент, так как ошибки при их воспроизведении могут стать причиной неустойчивости реконструкции магнитного поля непосредственно на границе ферромагнетика. При обнаружении такой неустойчивости можно рекомендовать увеличение длины регистрации до выполнения критерия адекватности восстановления поля и ограничение высокочастотной части спектра восстанавливаемого поля.

В параграфе 3.4 рассматривается взаимосвязь спектров Фурье функции формы контролируемой границы и пространственного распределения магнитного поля рассеяния [14]. В системе координат, аналогичной рис. 2, граница ферромагнетика представлена разложением в ряд Фурье по косинусам

где р^ - амплитуда к-й гармоники границы. Амплитуды гармонических компонент границы предполагаются малыми. Введены безразмерные амплитуды

нормированием на период гармоники. Принят критерий малости

амплитуд

Основное уравнение магнитостатики для безразмерного поля в воздухе над границей с дефектом имеет вид

где £- координата точки интегрирования на границе: Я,','(4) =

нормальная к границе ферромагнетика составляющая безразмерного магнитного поля.

Компонента магнитного поля определяется соотношением

7.

Подынтегральный множитель

можно рас-

сматривать как приближение к 8-последовательности. Заметим, что при малых амплитудах р'д! поле дефекта тоже мало и, следовательно, На основании

свойств 5-функции можем записать

//?(*) I (8>

->Л Ц-3

Из приближенного соотношения (8) следует, что коэффициенты разложения Фурье приблизительно равны:

р 2* «Г- (9)

Проведен вычислительный эксперимент по определению границ применимости соотношения (9). В качестве функции формы границы ферромагнетика выбиралась У/,(л) = р^- С08(соАл) . Для характеристики соотношения (9) выбран

коэффициент связи амплитуд гармоник границы и магнитного поля

На основании геометрического подобия границ с одинаковыми безразмерными амплитудами сделан вывод о зависимости коэффициента от безразмер-

ной амплитуды. Вычисления выполнены для пяти значений пространственной

частоты и восьми значений амплитуд границы. Одинаковые безразмерные ам-

плитуды получаются несколькими сочетаниями. В эксперименте обнаружено

0.05 0,1 0.15 0.2 0,25 0.3 0.35 а Рис 9

0,05 0.1 0.15 0,2 0,25 0.3 0.35 а" Рис 10

дальной границей исследован коэффициент второй гармоники Отно-

Рк

сительные погрешности коэффициентов к и уз при одинаковых безразмерных

амплитудах границы не превосходят 0,01. Аппроксимации для и

приведены на рис.9 и рис. 10 соответственно.

В параграфе 3.5 рассмотрена реконструкция магнитного поля в ферромагнетике по измерениям в воздухе вблизи идеальной границы [5, 15]. Геометрия задачи представлена на рис. 11. Нижняя граница ферромагнетика Г/] идеальна, толщина изделия d невелика. Обозначим скалярный магнитный потенциал в воздухе,

вблизи границы Г,|, как фяю(л',}'), а Рис. И.

в ферромагнетике как ф/)(/ (-<■,.)'). С учетом направления оси оу выражение для

потенциала в воздухе запишется в виде (p„,„(x,j ) = У üj, exp(coAy)cos((oA:v),

¿=1

для

магнитный

потенциал потенци-

ферромагнетика

Фя?/"(дг«>') = X % ехр(-соЬ')+ехр(о)Лу) |соз(®Ь'). На границе Г(1 *=г

ал должен удовлетворять двум условиям: непрерывности потенциала и непрерывности тангециальных компонент напряженности

11/1 1Г,-|

магнитного поля

С>,„17

CV

п

ду

. Восстановление магнитного поля в фер-

ромагнетике представляет задачу Коши, которая неустойчива. Учитывая принятую систему координат, при подстановке потенциалов в граничные условия, получается система из двух уравнений, откуда определяются неизвестные коэффициенты разложения потенциала в ферромагнетике

п*

1+М

ъь

Щ=—Амплитуда k-й гармонической компоненты в

ферромагнетике ГЦ- (у)= ^[(м + 1)ехр(<а^у) - (ц — 1)ехр(—ta^'jji^j'. Вычислительным экспериментом проведено моделирование реконструкции магнитного поля в ферромагнетике по измерениям в воздухе вблизи идеальной границы.

Параметры геометрии задачи мм, амплитуда синусоидальной границы р = 0,25 мм, пространственная частота

По измерениям магнитного поля была восстановлена основная гармоническая составляющая магнитного поля в воздухе и далее построена функция которая приведена на

рис. 12 (сплошная линия). При возникновении неустойчивости реконструкции поля в ферромагнетике рекомендуется аналогично 3.3 увеличение длины регистрации и ограничение восстанавливаемого спектра. Из решения прямой задачи магнитостатики методом конечных

элементов для семи значений у преобразованием Фурье определены амплитуды спектральной компоненты в ферромагнетике, которые представлены точками на рис. 12. Из сопоставления результатов, приведенных на рис. 12 можно сделать вывод о хорошем согласии теоретических результатов реконструкции магнитного поля в ферромагнетике с результатами численного моделирования.

Четвертая глава «Методы приближенного решения обратной геометрической задачи магнитостатики» состоит из трех параграфов.

В параграфе 4.1 рассматривается построение алгоритма реконструкции формы границы по измерениям магнитного поля рассеяния со стороны дефектной границы ферромагнетика [11, 12, 14, 16]. Сначала рассматриваются дефекты, гармонические компоненты функции формы которых удовлетворяют соотношению (7). В этом случае на основании (9) по пространственному спектру Фурье магнитного ноля сразу находится спектр функции формы и обратным преобразованием Фурье сама форма границы, т. е. с точностью до константы граница приближенно совпадает с распределением магнитного потенциала на уровне границы ферромагнетика. Примером таких дефектов может быть зарож-

Рис. 13

дающаяся коррозия, в том числе под слоем защитного покрытия. На рис. 13 приведен пример реконструкции для модели дефекта, функция формы которого представляет сумму пяти гармонических компонент. Оценку адекватности восстановления границы дефекта предлагается производить на основании сопоставления измеренного магнитного поля и рассчитанного из решения прямой задачи магнитостатики для реконструированной границы (^Ои))! • Для оценки адекватности восстановления границы дефекта

рукции границы для прямоугольной канавки в вычислительном эксперименте по Ж = 256 измерениям на расстоянии ут = 0,1 мм от границы при длине регистрации поля 1. = 2 мм. На рис. 15 представлен магнитный потенциал для исходного поля (сплошная кривая) и полученного расчетом для восстановленной границы (пунктир). Характеристика адекватности реконструкции (/%0,01 весьма мала, однако здесь следует заметить, что она работает только для дефектов, границы которых удовлетворяют требованиям условной корректности обратной геометрической задачи. На рис. 16 представлен результат восстановления формы границы, неудовлетворяющей требованиям условной корректности. Видно, что квазирешение, полученное при решении обратной геометрической задачи, очень сильно отличается от истинной формы дефекта.

0.1

0.05

8

-0,05

-0.1

----- исходная граница -восстановленная граница

/.".'Л.' ' — >'*

-0.5

X, ии Рис. 16

0.5

Построен алгоритм реконструкции формы границы, реализующий модель рис.], который включает одиннадцать этапов. В алгоритме предусмотрены регистрация и реконструкция магнитного поля, реконструкция формы границы, проверка адекватности регистрации, восстановления поля и реконструкция формы границы ферромагнетика.

При увеличении амплитуд гармонических компонент функции формы границы соотношение (7) может быть нарушено. В этих условиях необходимо

учитывать коэффициент связи амплитуд к(р")- Кроме того, вследствие нелинейности задачи, в спектре возникнут дополнительные добавки к спектральным компонентам. При восстановлении дефекта ""-образной формы, результаты которого представлены на рис. 17, произведена коррекция спектра вычитанием рассчитанной по коэффициенту

у-) р" добавки из компонент удвоен--V 1 0!|-,-------—,-,—)

ной частоты. Применение коррекции 0[5

спектра повышает устойчивость при "

трансформации спектра за пределы грай ^1

ницы ферромагнетика, что позволяет £

■О 15

лучше восстановить форму границы в ^ области дна дефекта. Как показал опыт, -о и глубина дефекта хорошо определяется из трансформации магнитного поля на

н

А

дт,-о:: «и

-1 -оз -06 -си -ог о зз (и

Рис. 17

уровень границы ферромагнетика. При трансформации поля за уровень невозмущенной границы у/,) происходит искажение масштаба реконструируемой границы по оси оу щий коэффициент

расстояние трансформации поля от уровня невозмущенной границы. Умножением трансформированного спектра на К)Т можно, с некоторой погрешностью, сохранить масштаб формы дефекта по оси оу.

В параграфе 4.2 рассматривается способ реконструкции границы по измерениям магнитного поля с противоположных сторон изделия [5, 6, 15]. В ос-

та\ ФтД>М|) - 1тт

ФыЫО+АУ,) тах Ф пАУМ + Ь») тт

нову положена непрерывность скалярного магнитного потенциала на границе воздух - ферромагнетик. По измерениям над дефектом границы восстанавливается скалярный магнитный потенциал в воздухе <р^п| (х,у)- По измерениям в воздухе с противоположной стороны восстанавливается магнитный потенциал вблизи бездефектной границы <¡>¡^2 (-*,>'), на основании которого по методике параграфа 3.5 реконструируется магнитное поле в ферромагнетике Для множества |л';} получим совокупность нелинейных алгебраических уравнений Фот(г|(-ТмУ) = Ут/(х1 ».У)» решения которых {.V),;} задают приближенное представление Г^(.т) . В качестве примера рассмотрено восстановление формы W-образного дефекта. На рис. 18 графически проиллюстрировано выполнение условия непрерывности скалярного магнитного потенциала в различных точках границы дефекта. На рис. 19 приведен результат восстановления формы границы дефекта. Отмечена возможность реконструкции границы дефекта и по измерениям магнитного поля только со стороны, противоположной дефекту. Приведены алгоритмы реконструкции границы по измерениям как с двух сторон, так

V. им X. нм

Рис. 18 Рис. 19

и только с противоположной стороны изделия.

В параграфе 4.3 рассматривается задача определения геометрических параметров дефектов границы ферромагнетика, если форма дефекта и некоторые из его параметров приближенно определены или заранее известны [17-21]. Предлагаемая методика опирается на реконструкцию магнитного поля на круге радиуса Я над дефектом в воздухе. Скалярный магнитный потенциал пред-

Коэффициенты

ы

ставлен в виде

содержат информацию о геометрии неоднородности границы. Вводится в рассмотрение эквивалентный диполь, координаты которого {0,-а) заданы

в декартовой системе с началом в центре круга восстановления поля. Диполь-ный момент и координата а этого диполя могут быть найдены из коэффициентов разложения скалярного магнитного потенциала на круге

А Л3

Расстояние от поверхности ферромагнетика до эк-

Л В~

Бивалентного диполя" и названо за-глубленностью эквивалентного дефекта. Эта величина является оценкой снизу для глубины дефекта. В безразмерных величинах Возможности определения геометрических параметров дефекта продемонстрированы на примере модели магнитного поля от прямоугольной канавки. Показано, что глубина дефекта в широких пределах может быть определена по величине за-глубленности эквивалентного диполя. На рис. 20 представлено семейство кривых, выражающих зависимость безразмерной глубины прямоугольной трещины от заглубленности эквивалентного диполя. Из приведенных результатов можно заключить, что раскрытие дефекта мало влияет на зависимость в

области Предложена методика независимого определения раскрытия

по старшим коэффициентам разложения магнитного потенциала. Устойчивость рассмотренной методики определяется устойчивостью определения коэффициентов и характером зависимости типа зависящей от формы

дефекта. Так, например, для погрешность определения по рис. 20

резко возрастает.

Пятая глава «Моделирование влияния внешнего магнитного поля на процесс выключения электрического тока в колебательном контуре с нелинейной индуктивностью» содержит четыре параграфа.

В параграфе 5.1 кратко рассмотрены основные требования к магниточув-ствительным элементам преобразователя магнитного поля при реконструкции формы границы ферромагнетика. Сделан вывод о необходимости создания микроминиатюрных чувствительных элементов, выполненных по технологии интегральных микросхем.

В параграфе 5.2 теоретически исследовано влияние внешнего магнитного поля на величину нелинейной индуктивности [21 - 25]. В принятых обозначениях: Ьг - индуктивность при техническом насыщении сердечника, к - кратность изменения индуктивности, Яу - напряженность магнитного поля при переходе сердечника в состояние технического насыщения, Н! - напряженность внешнего магнитного поля, N - число витков индуктивности, / - длина намотки, а- безразмерный параметр формы катушки, /- электрический ток, Лу('г)- функция Хэвисайда, математическая модель нелинейной индуктивности представлена в виде

и М Не- а—

Выключение электрического тока в колебательном контуре с нелинейной индуктивностью вызывает нестационарный процесс. Максимальное напряжение на конденсаторе 11 т, наблюдающееся сразу после выключения тока, оказывается зависящим от внешнего магнитного поля. Перейдем к безразмерному , Нс

полю пе = —-. Тогда математическую модель преобразователя можно описать соотношениями:

В параграфе 5.3 описаны экспериментальные исследования работы преобразователей магнитного поля (10) и (11) [26, 27]. Изготовлены образцы нелинейных индуктивностей, соленоид для создания однородного внешнего магнитного поля, собрана экспериментальная установка. На основании проведенных экспериментальных исследований получены передаточные характеристики магниточувствительных элементов. Экспериментальные результаты хорошо совпадают с (10), (11), что демонстрирует рис. 21, на котором приведена одна из типичных зависимостей. На устройство, реализующее рассмотренный принцип преобразования величины магнитного поля в электрический сигнал получено авторское свидетельство [26].

В параграфе 5.4 рассмотрено применение микропроцессорных средств для управления многоэлементным преобразователем магнитного поля в дефектоскопии [28-31]. Показано, какими средствами необходимо дополнить стандартное микропроцессорное устройство, чтобы реализовать необходимые функции. Приведена структурная схема микропроцессорного контроллера для многоэлементного преобразователя магнитного поля. Функции предложенного микропроцессорного контроллера моделировались на персональном компьютере. Одна из важных функций - устранение разброса начальных сдвигов и линеаризация передаточных характеристик, позволила, в пределах ограничений, обусловленных аналого-цифровым преобразованием, полностью ликвидировать нелинейность преобразования. На рис. 22 приведен график нормальной

Н(. А/си У., ш

Рис 21 Рис.22

составляющей магнитного поля рассеяния от физической модели дефекта в форме прямоугольной канавки глубиной 2 мм, раскрытием 0,2 мм на высоте 0,5

мм над поверхностью ферромагнетика. Теоретическая кривая представляет приближенную аналитическую модель магнитного поля рассеяния.

Заключение. Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом:

1. Впервые, применительно к проблемам неразрушающего метода контроля, предложена постановка обратной геометрической задачи магнитостатики.

2. Обратная геометрическая задача магнитостатики условно корректна, если искомая форма границы ферромагнетика представима отрезком ряда Фурье с ограниченными коэффициентами.

3. Адаптирована методика реконструкции гармонической функции по измерениям в отдельных точках к применению в магнитном контроле и разработана методика проверки адекватности восстановления магнитного поля.

4. Нижняя граница глубины дефекта устойчиво определяется первыми двумя коэффициентами разложения скалярного магнитного потенциала.

5. Предложенная линейная математическая модель позволяет приближенно восстановить форму границы ферромагнетика при малых ее возмущениях.

6. Приближенная реконструкция формы границы при существенных ее возмущениях достигается исключением наведенных кратных гармоник из трансформированного спектра Фурье магнитного поля рассеяния и последующим применением линейной модели реконструкции границы.

7. Реконструкция формы дефектной поверхности может осуществляться на основе условия непрерывности скалярного магнитного потенциала, если геометрия изделия позволяет регистрировать магнитное поле рассеяния с противоположных сторон изделия и при этом одна из границ является идеальной. Возможна реконструкция границы по восстановлению магнитного поля только со стороны бездефектной границы.

8. Величина первого максимума электрического напряжения на емкости колебательного контура после выключения тока в нелинейной индуктивности в определенных пределах монотонно зависит от интенсивности внешнего магнитного поля, что положено в основу принципа действия нового измерителя

магнитного поля, подтвержденное авторским свидетельством на способ измерения магнитного поля.

9. Созданы многоэлементные преобразователи с миниатюрными магни-точувствительными элементами на основе колебательного контура с нелинейной индуктивностью для магнитного контроля. Магнитный дефектоскоп с таким преобразователем защищен авторским свидетельством.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ

1. Компьютерное моделирование магнитных полей дефектов. Двумерная задача / Кротов Л.Н., А. С. Шлеенков, С. В. Щербинин // Дефектоскопия, -1995,-№9.-С. 27-32.

2. Исследование магнитных полей рассеяния от трехмерных неоднородно-стей / Л.Н.Кротов, А.С.Шлеенков, Р.С.Мельник. В.Е.Щербинин, И.Р.Каминский // Неразрушающие физические методы и средства контроля. Тез. докл. Всерос. XIII НТК. - СПб., - 1993. -СП.

3. Кротов Л.Н. Постановка и решение обратной геометрической задачи магнитостатики для магнитной дефектоскопии // Тез. докл. VI Всерос. НТК Аэрокосмическая техника и высокие технологии - 2003: - Пермь, 2003, - С. 88.

4. Кротов Л.Н Постановка обратной геометрической задачи // Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, №1, Перм. гос. техн. ун-т. - Пермь,

2003, - С. 124-128.

5. Кротов Л.Н. Реконструкция границы раздела сред по пространственному распределению магнитного поля рассеяния. П. Постановка и метод решения обратной геометрической задачи магнитостатики // Дефектоскопия, - 2004, -№6, - С. 36-44.

6. Кротов Л.Н. Приближенное восстановление формы дефекта поверхности сварного соединения магнитным методом / Л.Н.Кротов, Р.С.Мельник, М.В.Яковлев // Сборник докладов Всероссийской с международным участием научно-технической конференции «Сварка и контроль - 2004», Т. 2, - Пермь,

2004,-С. 318-325.

7. Анализ возможностей метода восстановления магнитного поля применительно к магнитной дефектоскопии I / А.С.Шлеенков, Р.С.Мельник, Л.Н.Кротов, В.Е.Щербинин //Дефектоскопия. - 1991,-№5,-С. 33-38.

8. Анализ возможностей метода восстановления магнитного поля применительно к магнитной дефектоскопии II / А.С.Шлеенков, Р.С.Мельник, Л.Н.Кротов,В.Е.Щербинин //Дефектоскопия.- 1991,-№5,-С. 38-45.

9. Анализ возможностей метода восстановления магнитного поля применительно к магнитной дефектоскопии III / А.С.Шлеенков, Л.Н.Кротов, Р.С.Мельник, В.Е.Щербинин // Дефектоскопия. - 1991, - №6, - С. 34-42.

10. Магнитная томография дефектов / Л.Н.Кротов, А. С. Шлеенков, Р. С. Мельник, В. Е. Щербинин // Неразрушающие методы и средства контроля: Тез. докл. Всерос. XV НТК - М., 1996. -С.78.

11. Кротов Л.Н. Решение прямой задачи с синусоидальной границей для магнитной дефектоскопии / Аэрокосмическая техника и высокие технологии -2003: Тез. докл. VI Всерос. НТК - Пермь, 2003, - С. 89.

12. Кротов Л.Н. Метод решения обратной геометрической задачи магнитостатики при малых возмущениях границы / Л.Н. Кротов, М.В. Яковлев // Вестник 111 I У. Прикладная математика и механика, №1, Перм. гос. техн. ун-т. -Пермь, 2003,-С. 111-114.

13. Кротов Л.Н. Реконструкция границы раздела сред по пространственному распределению магнитного поля рассеяния. I. Исследование свойств решения прямой вспомогательной задачи (линейное приближение) // Дефектоскопия, -2004,-№2,-С. 76-82.

14. Кротов Л.Н. Взаимосвязь Фурье спектров пространственного распределения магнитного поля рассеяния и функции формы границы / Л.Н. Кротов, Р.С. Мельник // Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, № 1, Перм. гос. техн. ун-т. - Пермь, 2003, - С. 115-119.

15.Кротов Л.Н. Метод решения обратной геометрической задачи магнитостатики на основе регистрации поля рассеяния с противоположных сторон изделия /Л.Н. Кротов, Е.Л. Кротова// Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, №1, Перм. гос. техн. ун-т. - Пермь, 2003, - С. 120-123.

16. Кротов Л.Н. Реконструкция границы раздела сред по пространственном}' распределению магнитного поля рассеяния. III. Методика решения обратной геометрической задачи магнитостатики при малых возмущениях границы // Дефектоскопия, - 2004. - №6, - С. 45-51.

17. Отстройка от зазора при магнитной дефектоскопии поверхностных трещин / Р.С.Мельник, Л.Н.Кротов, А.С.Шлеенков, В.Е.Щербинин // Дефектоскопия. - 1991. - №2.-С. 89.

18. Определение глубины трещины малого раскрытия по значениям компонент магнитостатического поля дефекта / Л.Н.Кротов, Р.С.Мельник,

A.С.Шлеенков, В.Е.Щербинин //Дефектоскопия.- 1991,-№7,-С. 89-91.

19. Определение геометрических параметров дефектов по восстановленному магнитному полю рассеяния / Л.Н.Кротов, Р.С.Мельник, А.С.Шлеенков,

B.Е.Щербинин, А.Б.Золотовицкий // Дефектоскопия. - 1991. - № 10. - С. 49-55.

20. Решение обратной задачи магнитной дефектоскопии при помощи функционалов от распределения полей рассеяния / Л.Н.Кротов, А.С.Шлеенков, Р.С.Мельник. В.Е.Щербинин, Ю.Н.Шмотин // Неразрушающие физические методы и средства контроля: Тез. докл. Всерос. XIII НТК - СПб., - 1993. - С. 11.

21. Кротов Л.Н. Определение некоторых параметров формы ферромагнитных тел по пространственному распределению магнитного поля рассеяния // Тезисы докладов XII Зимней школы по механике сплошных сред. ИМСС РАН, -Пермь. 1999.-С. 203.

22. Анализ работы феррозонда с управляемым нелинейным электрическим сопротивлением в цепи возбуждения / Л.Н.Кротов, А.С.Шлеенков, Е.В.Розенфельд, В.Е.Щербинин, МАКопьев // Дефектоскопия. - 1987. - №7. -

C.14-22.

23. Многоэлементный преобразователь для магнитной дефектоскопии на основе переходных процессов / Л.Н.Кротов, А.С.Шлеенков, В.Е.Щербинин. О.А.Булычев // Неразрушающие физические методы и средства контроля: Тез. докл. XI Всесоюзной НТК. Ч. 2. - М., 1987, - С. 131.

24. О возможности измерения внешних магнитных полей по параметрам переходных процессов в цепях с нелинейной индуктивностью. 1. Влияние внешнего поля и закона изменения сопротивления на процесс установления тока / А.С.Шлеенков, В.Е.Щербинин, Л.Н.Кротов, О.А.Булычев // Дефектоскопия. -1988.-№12.-С. 56-65.

25. Преобразователи магнитного поля на основе переходных процессов с нелинейной индуктивностью / Л.Н.Кротов, А.С.Шлеенков, В.Е.Щербинин, О.А.Булычев // Дефектоскопия. - 1989, - №1, - С. 27-33.

Р18 8 8 4

26. А. с. № 1521062 СССР от 8.7.89. Устройство для измерения напряженности магнитного поля / Л.Н.Кротов, ОА.Булычев, А.С.Шлеенков, В.Е.Щербинин.

27. Кротов Л. Н. Экспериментальное исследование преобразователей магнитного поля на основе переходных процессов в цепях с нелинейной индуктивностью / Л.Н.Кротов, АС.Шлеенков // Дефектоскопия. - 1990, - №10, - С. 5565.

28. Многоэлементный преобразователь для магнитной дефектоскопии / АС.Шлеенков, Л.Н.Кротов, В.Е.Щербинин, М.А.Копьев // Дефектоскопия. -1987,-№9,-С. 60-64.

29. А. с. № 1469437 СССР от 01.12.88. Магнитографический дефектоскоп / Л.Н.Кротов, МЛ.Шур, С.Л.Ваулин, В.ЮАкулов, В.Е.Щербинин.

30. Экспериментапьное исследование алгоритмических методов повышения достоверности магнитного контроля / Л.Н.Кротов, А.С.Шлеенков, В.Е.Щербинин, Р.С.Мельник // Дефектоскопия. - 1991. - №8. - С. 45-49.

31. К вопросу об определении объемной концентрации сверхпроводящей фазы/Л.Н.Кротов, Б.М.Смоляк, Е.В.Пострехин, Г.В.Ермаков Г.В. // Тезисы II Международной конференции «Криогеник - 92». - Брно, 1992. - С. 161-162

Сдано в печать 27.09.04. Формат 60x90/16. Объем 2 п. л. Тираж 100. Заказ № 121. Редакционно-издательский отдел и ротапринт Пермского государственного технического университета.

Введение.'.

Глава 1. Математическое моделирование магнитного поля # рассеяния.

1.1. Прямая задача магнитостатики как математическая модель магнитного поля рассеяния.

1.2. Разложение магнитного поля рассеяния в ряд по гармоническим функциям.

1.3. Аналитические приближённые модели магнитного ф поля рассеяния от дефектов границы ферромагнетика.

1.4. Метод конечных элементов для двухмерного оператора

Лапласа и пакеты прикладных программ для его реализации.

1.5. Решение прямой задачи магнитостатики методом граничного интегрального уравнения.

Глава 2. Постановка обратной геометрической задачи Ф магнитостатики в магнитном контроле.

2.1. Определение геометрических параметров дефекта поверхности по приближённым аналитическим моделям магнитного поля.

2.2. Повышение устойчивости решения методом наименьших квадратов.

2.3. Обратная задача магнитостатики.

2.4. Постановка обратной геометрической задачи магнитостатики.

2.5. Формальная математическая модель локального восстановления формы границы ферромагнетика.

Глава 3. Математическое моделирование восстановления магнитного поля рассеяния по измерениям в отдельных точках пространства.

3.1. Регистрация магнитного поля магниточувствительными элементами.•.

3.2. Локальная реконструкция магнитного поля рассеяния по измерениям в отдельных точках.

3.3. Критерии адекватности восстановления магнитного поля рассеяния.

3.4. Взаимосвязь спектров Фурье функции формы границы ферромагнетика и пространственного распределения магнитного поля рассеяния. 135.

3.5. Реконструкция магнитного поля в ферромагнетике по измерениям в воздухе, вблизи идеальной границы.

Глава 4. Методы приближённого решения обратной геометрической задачи магнитостатики.

4.1. Построение алгоритма реконструкции формы границы по измерениям магнитного поля рассеяния со стороны дефектной границы ферромагнитного изделия.•.

4.2. Реконструкция границы ферромагнетика по регистрации магнитного поля рассеяния с противоположных сторон изделия.

4.3. Определение геометрических параметров дефектов поверхности без полной реконструкции формы границы.

Глава 5. Моделирование влияния внешнего магнитного поля на процесс выключения электрического тока в цепях с нелинейной индуктивностью.

5.1. Магниточувствительные элементы и их соответствие требованиям, предъявляемым при восстановлении поля рассеяния.

5.2. Моделирование влияния внешнего магнитного поля на нестационарные процессы в электрических цепях с нелинейной индуктивностью.

5.3. Экспериментальное исследование влияния внешнего магнитного поля на нестационарные процессы при переключении тока в колебательном контуре с нелинейной индуктивностью.

5.4. Микропроцессорное управление многоэлементным преобразователем.

Для повышения надёжности изделий машиностроения в практике мирового производства широкое применение нашли методы неразрушаюшего контроля. Магнитные методы контроля, основанные на взаимосвязи магнитного поля рассеяния с конфигурацией контролируемого ферромагнитного изделия, являются одними из наиболее перспективных, благодаря их высокой чувствительности и бесконтактному характеру контроля.

В металлургии и машиностроении широкое распространение получила магнитная дефектоскопия поверхности изделий, т. е. обнаружение поверхностных трещин, коррозионного разрушения и т. п. В процессе контроля, наряду с обнаружением дефектов поверхности, необходимо принять решение о допустимости или недопустимости эксплуатации контролируемого изделия с обнаруженными дефектами. Это решение принимается на основе анализа зарегистрированного пространственного распределения магнитного поля рассеяния с учётом некоторой априорной информации о свойствах дефектов, характерных для данной технологии и материала изделия.

Идея магнитного контроля качества ферромагнитных материалов и изделий принадлежит академику А. Н. Крылову, который применил эти методы в начале XX столетия для контроля корпусных деталей в судостроении. Теоретические основы магнитной дефектоскопии были заложены в 30х - 40х годах прошлого века в работах В. К. Аркадьева, Р. И. Януса, С. В. Вонсовского, А. Б. Сапожникова и других исследователей.

В России исследованиями закономерностей формирования магнитных полей рассеяния от дефектов поверхности ферромагнитного изделия занимаются В. Е. Щербинин, Н. Н. Зацепин, В. В. Дякин, В. Ф. Мужицкий, И. А. Новикова, А. С. Шлеенков и другие исследователи. За рубежом аналогичные исследования проводили F. Förster, G. Zizelmann, I. Uetake, Н. Ito, Y. Uno, К. Orito и другие.

Физической основой взаимосвязи формы ферромагнетика с пространственным распределением магнитного поля рассеяния является задача магнитостатики. Теоретические и экспериментальные исследования, практика применения магнитных методов позволяют заключить, что закономерности формирования магнитных полей рассеяния, составляющие предмет прямой задачи магнитостатики, в основном могут считаться установленными. Совершенствование методики регистрации магнитных полей рассеяния в дефектоскопии позволили существенно повысить чувствительность и помехозащищённость оборудования.

Оценка опасности обнаруженного дефекта поверхности в настоящее время производится при помощи сопоставления магнитного поля рассеяния с полем эталонного дефекта, что в ряде случаев является причиной неправильной браковки изделий. Дальнейшее развитие методов магнитного контроля поверхности, связанное с повышением достоверности при браковке, может быть достигнуто на основании реконструкции границы ферромагнетика в месте обнаруженной неоднородности.

Практика магнитного контроля показывает, что определение геометрических параметров неоднородности границы ферромагнетика характеризуется неустойчивостью результатов. Это обусловлено тем, что дефекты различной формы могут вызывать близкие распределения магнитных полей рассеяния. Восстановление формы границы ферромагнитного тела по пространственному распределению поля рассеяния тесно связано с решением обратной задачи магнитостатики, которая часто является некорректной. Благодаря работам А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова, В. Я. Арсенина и других исследователей разработаны методы решения некорректных задач и сформулированы условия, позволяющие выделить область их условной корректности. Применительно к магнитному контролю известна только одна постановка обратной задачи магнитостатики, выполненная В. В. Дякиным. однако, как отмечает сам автор, методы решения этой задачи в настоящее время отсутствуют.

Цель диссертационной работы заключается в разработке устойчивых методов реконструкции формы границы ферромагнетика, более полно использующих информативность пространственного распределения магнитного поля рассеяния, имеющих существенное значение для развития теоретических основ магнитного контроля поверхности изделий.

Диссертационная работа направлена на повышение надёжности мегодов магнитного контроля поверхности снижением вероятности ошибок при браковке изделий за счёт реконструкции формы границы изделия на основе разработанных методов решения обратной геометрической задачи магнитостатики.

Научная проблема диссертационного исследования состоит в постановке обратной геометрической задачи магнитостатики и разработке устойчивых методов её решения.

Исследования проводились по следующим направлениям.

1. Адаптация методики восстановления гармонической функции на основании измерений в отдельных точках к магнитному контролю поверхности изделий.

2. Постановка обратной геометрической задачи магнитостатики применительно к магнитному контролю и обоснование её условной корректности.

3. Разработка устойчивых методик для приближённой локальной реконструкции формы границы дефекта контролируемой поверхности.

4. Разработка устойчивых методов для оценки геометрических параметров дефектов границы по приближённой реконструкции пространственного распределения магнитного поля рассеяния.

5. Теоретическое и экспериментальное исследование влияния внешнего магнитного поля на преобразование энергии при выключении тока в электрических цепях, содержащих нелинейную индуктивность, для создания миниатюрных многоэлементных преобразователей.

Теоретические исследования основаны на общих положениях и законах электродинамики с применением аппарата дифференциального и интегрального исчислений, векторного анализа, уравнений математической физики, теории поля, теории обобщённых функций, а также на применении методов решения некорректных задач, численных методов решения краевых задач, методов математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Все экспериментальные измерения проводились стандартными методами, приборами, аттестованными метрологической службой.

В первой главе диссертационной работы приведены постановки прямой задачи магнитостатики применительно к магнитному контролю поверхности, представления решений прямой задачи в виде рядов, приближённые решения в аналитической форме, численные методы конечных элементов и граничных интегральных уравнений для решения прямой задачи магнитостатики.

Во второй главе исследуются причины погрешности определения геометрических параметров дефектов на основании аналитических моделей магнитных полей рассеяния. Дана постановка обратной геометрической задачи магнитостатики и определена область её условной корректности.

В третьей главе рассмотрена адаптация методов, нашедших применение в геофизике, для реконструкции пространственного распределения магнитного поля рассеяния по измерениям в отдельных точках пространства. Методами математического моделирования исследованы причины потери устойчивости при восстановлении распределения магнитного поля. Предложены критерии адекватности при измерении и восстановлении магнитного поля. Для неоднородностей границы малой амплитуды в линейном приближении установлена взаимосвязь спектров Фурье функции формы границы и пространственного распределения магнитного поля. Рассмотрена реконструкция магнитного поля в ферромагнетике по измерениям в отдельных точках в воздухе вблизи идеальной границы.

Четвёртая глава посвящена методам приближённого решения обратных задач магнитостатики. В линейном приближении, при малых гармонических амплитудах функции формы границы, предложен метод решения обратном геометрической задачи по измерениям магнитного поля в воздухе со стороны дефектной границы. В нелинейном приближении, при значительных амплитудах, предложен метод коррекции спектра. Рассмотрен метод приближённого решения обратной геометрической задачи по измерениям с противоположных сторон изделия. Предложен устойчивый метод определения геометрических параметров неоднородности границы, в частности оценка снизу для глубины дефекта.

Пятая глава посвящена исследованиям нового принципа построения преобразователей магнитного поля на основе нестационарных процессов в нелинейном колебательном контуре, позволяющем создавать многоэлементные преобразователи с микроминиатюрными магниточувствительными элементами. Предлагается микропроцессорное управление работой многоэлементного преобразователя.

На защиту выносятся следующие основные результаты, полученные соискателем:

- математическая модель взаимосвязи пространственного распределения магнитного поля рассеяния с формой неоднородности границы ферромагнетика;

- формулировка и доказательство теоремы единственности решения и выбор области условной корректности обратной геометрической задачи магнитостатики;

- методика контроля адекватности при измерении и реконструкции поля рассеяния;

- определение взаимосвязи спектров Фурье функции формы границы и пространственного распределения поля рассеяния;

- алгоритм приближённой реконструкции формы границы ферромагнетика по магнитному полю рассеяния с дефектной стороны изделия при малых возмущениях формы границы;

- алгоритм приближённой реконструкции формы границы ферромагнетика с коррекцией Фурье-спектра магнитного поля при значительных возмущениях формы границы;

- алгоритмы приближённой реконструкции формы границы ферромагнетика по регистрации магнитного поля рассеяния с противоположных сторон изделия и по магнитному полю со стороны бездефектной границы;

- метод устойчивого определения нижней границы глубины дефекта;

- результаты теоретического и экспериментального исследования влияния внешнего магнитного поля на нестационарный процесс при выключейии электрического тока в колебательном контуре с нелинейной индуктивностью; новый преобразователь для регистрации магнитных полей рассеяния.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались:

- на Уральских научно-технических конференциях Научного совета РАН по проблеме «Неразрушающие физические методы контроля» (1986 -1995 гг.);

- на Зимних школах по дефектоскопии (ИФМ УрО РАН, Екатеринбург, 1987- 1996 гг.);

- на II Международной конференции «Криогеник - 92» (Брно, 1992);

- на XIII Всероссийской НТК «Неразрушающие физические методы и средства контроля» (С.Петербург, 1993);

- на XV Всероссийской НТК «Неразрушающие методы и средства контроля»

Москва, 1996);

- на XII Зимней школе по механике сплошных сред (ИМСС УрО РАН, Пермь, 1999);

- на II международной конференции «Фундаментальные проблемы физики»

ФПФ 2000 (Саратов, 2000);

- на VI Всероссийской НТК «Аэрокосмическая техника и высокие технологии - 2003» (Пермь, 2003);

- на научных конференциях ПГТУ (1986 - 2002 гг.);

- на семинаре отдела неразрушающего контроля ИФМ УрО РАН, руководитель д.т.н., чл. корр. РАН Щербинин В.Е. (2003).

- на Всероссийской с международным участием научно-технической конференции, посвященной 150-летию со дня рождения Н. Г. Славянова «Сварка и контроль - 2004», Пермь, 2004.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Тозони О. В., Майергойз И. Д. Расчет трехмерных электромагнит-^ ных полей. Киев: Техника, 1974. - 352 с.

2. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М. -Л.: Гос. изд. тех. - теор. лит., 1949. - 695 с.

3. Янус Р. И. Приближенное решение задачи магнитной дефектоскопии//ЖТФ. 1935. - Т.5. - Вып. 7. - С.1314-1315.

4. Янус Р. И. Некоторые вопросы по магнитной дефектоскопии // * ЖТФ. 1938. - Т. 8. - Вып. 2. - С.308-315.

5. Янус Р. И. Некоторые вопросы тории магнитной дефектоскопии // Труды ИФМ АН СССР. 1948. - Вып. 7. - С. 23-29.

6. Аркадьев В. К. Электромагнитные процессы в металлах. М. -Л.: ОНТИ, 1934.-230 с.

7. Зацепин Н. Н. Экспериментальное исследование топографии магнитного поля от естественных поверхностных дефектов в ферромагнитных телах//ЖТФ. 1954. -Т. 24.-№7.-С. 1224-1228.

8. О полях поверхностных дефектов остаточно-намагниченных ферромагнитных тел // Субботина 3. С., Штуркин Д. А., Янус Р. И. // ФММ.1962. -Т. -Вып. 4. -С.529-535.

9. Зацепин Н. Н., Щербинин В. Е. О некоторых особенностях топографии магнитного поля рассеяния поверхностных дефектов ферромагнетиков. // Сб. Неразрушающие методы контроля материалов и изделий. М.: ОНТИ, - 1964. - С. 271-277.

10. Щербинин В. Е., Зацепин Н. Н. Магнитное поле дефекта при малой ■0 остаточной намагниченности изделия // труды ИФМ АН СССР. 1965.1. Вып. 24. С. 83-89.

11. Зацепин Н. Н., Щербинин В. Е. К расчету магнитостатического поля дефектов II // Дефектоскопия. -1966, № 5, - С. 59-65.

12. Щербинин В. Е. Исследование возможности спектрального выявления нарушения сплошности в ферромагнитных изделиях феррозондовым методом: Дис. канд. физ.-мат. наук. -Свердловск, 1967. 178 с.

13. Щербинин В. Е., Пашагин А. И. О поляризации трещин при неоднородном намагничивании изделия // Дефектоскопия. 1974, - № 3, -С. 17-24.

14. Щербинин В. Е., Пашагин А. И. Об объемной поляризации трещины // Дефектоскопия. 1974, - № 4, - С. 106-110.

15. Щербинин В. Е., Пашагин А. И. Плотность поверхностных зарядов на гранях дефектов типа трещины // Труды ИФМ УНЦ АН СССР Магнитные методы неразрушающего контроля. 1979. - Вып. 37. - С. 54-57.

16. Маринчук М. Е., Саворовский Н. С. Исследование магнитостатиче-ских полей некоторых поверхностных дефектов // Дефектоскопия. 1969, -№ 6, - С. 63-69.

17. Щербинин В. Е., Пашагин А. И. Влияние протяженности дефекта на величину магнитного поля // Дефектоскопия. 1972, - № 4, - С.74-82.

18. Новикова И. А., Мирошин Н. В. Исследование полей искусственных открытых дефектов в однородном постоянном магнитном поле // Дефектоскопия. 1973, -№ 4, - С.95-101.

19. Волков Б, И. Оценка точности измерения полей дефектов датчиками Холла // Дефектоскопия. 1976, - № 6, - С.57-63.

20. Бурцев Г. А., Федорищева Э. Э. Простая аппроксимация магнито-статических полей дефектов и неоднородностей // Дефектоскопия. 1974. -№ 2, - С. 111-119.

21. Щербинин В. Е., Пашагин А. И. Влияние границ изделия на величину поля дефекта // Дефектоскопия. 1976, - № 2, - С.85-89.

22. Щербинин В. Е., Шур М. Л. Учет влияния границы изделия на поле цилиндрического дефекта // Дефектоскопия. 1976, - № 6, - С.30-36.

23. Шур М. Л., Щербинин В. Е. Поле сильно вытянутого эллиптического цилиндра в нелинейной среде // Дефектоскопия. 1978, - №10, - С.28

24. Гордон A. M. К вопросу о томографии магнитных полей локальных дефектов // Дефектоскопия. 1976, - № 3, - С. 109-111.

25. Щербинин В. Е., Шур М. Л. Приближение технического насыщения при расчетах магнитного поля дефекта // Дефектоскопия. 1979, - № 9, -С.11-15.

26. Uno Y., Orito К., Morita H., Aohi M., Hoshiyima T. Automatic surfase and internai inspection system for round bar // Ninth world confererence on nondestructive testing. Melburne, 1979, p. 11.

27. Новикова И. A. Экспериментальные исследования магнитных полей рассеяния поверхностных дефектов // Труды СФТИ. 1976. - Вып. 61-С. 122-136.

28. Ферстер Ф. Выявление поверхностных дефектов в горячекатаных прутках без удаления окалины // Дефектоскопия. 1977, - № 6, - С 19-25.

29. Магнитное поле наклонных к поверхности изделия и групповых дефектов / Новиков М. К., Щербинин В. Е., Филиппов Б. А. // Дефектоскопия. 1980, - № 3, - С. 106-108.

30. Шарова А. М., Новиков В. А. Топография поля дефекта на поверхности стыкового сварного шва // Дефектоскопия. 1981, - № 8, - С.39-47.

31. Куликов В. П. Исследование магнитостатических полей в зоне точечного сварного соединения // Дефектоскопия. 1981, - № 8, - С.39-47.

32. Влияние способа намагничивания на выявляемость дефектов сварных швов электросварных труб / Пашагин А. И., Щербинин В. Е., Бенклев-ская Н. П., Филиппов Б. А., Марулин А. П. // Дефектоскопия. 1984, - № 12, - С.13-18.

33. Förster F. Neue Erkentnisse auf dem Gebiet der Zerstörungsfreier Prüfung mit dem Streufluss. 3rd Eur. Conf. N. Florence, 1984, Oct. 15-18. Conf. Proc. Techn. Sess. V. 5. Brescia, p. 287-303.

34. Янус Р. И. Некоторые вопросы теории магнитной дефектоскопии // ЖТФ. 1945. - Т.15. - Вып. 1,2,- С.3-14.

35. Зацепин H. Н., Щербинин В. Е. К расчету магнитостатического поля поверхностных дефектов. I // Дефектоскопия. 1966, - № 5, - С.50-59.

36. Ферстер Ф. Неразрушающий контроль методом магнитных полей рассеяния. Теоретические и экспериментальные основы выявления поверхностных дефектов конечной и бесконечной глубины // Дефектоскопия. 1982,-№ 11.-С.З-25.

37. Förster F. Jn the Way from the "know how" to the "know - why" in the Magnetic Leakage Field Method of Nondestructive Testing. - Mater. Evaluation, - 1985,-44,-№ 10, p. 1154-1168.

38. Förster F. Jn the Way from the "know how" to the "know - why" in the Magnetic Leakage Field Method of Nondestructive Testing. - Mater. Evaluation, - 1985, - 43. - № 11, p. 1398-1408.

39. Förster F., Zizelmann G., Die schnell zerstorungafreie Bestimmung der Bechanisotropie mit dem Restpunctolverfahren. Zs. Metallkundle, -1954, -№4, s.245-249.

40. Мужицкий В. Ф. Модель поверхностного дефекта и расчет топографии его магнитного поля // Дефектоскопия. 1987, - № 3, - С.24-30.

41. Мужицкий В. Ф. Поперечная тангециальная составляющая магнитного поля дефекта // Дефектоскопия. 1987, - № 4, - С.3-7.

42. Мужицкий В. Ф. К расчету магнитных полей рассеяния от поверхностных дефектов конечной глубины // Дефектоскопия. 1987, - № 7, - С.8-13.

43. Мужицкий В. Ф. Расчетная модель топографии магнитного поля поверхностного дефекта // Тез. докл. XI Всесоюзн. НТК «Неразрушающие физические методы и средства контроля»: М., 1987, - С. 145.

44. Мужицкий В. Ф., Карабчевский В. А. К. Спектральная плотность сигнала преобразователя магнитного поля, обусловленного поверхностным дефектом // Дефектоскопия. 1987, - № 9, - С.53-57.

45. Федосенко Ю. К., Капелин Г. Г. Спектры электрических сигналов на выходе феррозондовых датчиков при контроле сферических дефектов Дефектоскопия. 1968, - № 4. - С.34-37.

46. Федосенко Ю. К. О спектральной плотности электрических сигналов, наводимых в индукционных датчиках магнитным полем дефектов типа линейного диполя // Дефектоскопия. 1965, - № 3, - С.53-60.

47. Фурье анализ сигнала, обусловленного магнитным полем поверхностного дефекта / Карабчевский В. А., Власов В. С., Винокуров В. Е. // Тез. докл. XI Всесоюзн. НТК «Неразрушающие физические методы и средства контроля»: М., 1987, - С. 151.

48. Мужицкий В. Ф. Модель поверхностного дефекта при нормальном намагничивании и расчет топографии магнитостатического поля // Дефектоскопия, 1988, - № 7, - С.3-7.

49. Теоретические вопросы формирования поля поверхностных трещин / Шур М. Л., Загидулин Р. В., Щербинин В. Е. // Дефектоскопия. 1988, -№3, - С.14-25.

50. Самосогласованный расчет магнитного поля поверхностных дефектов / Шур М. Л., Загидулин Р. В., Щербинин В. Е. // Дефектоскопия. -1988, №10, - С.3-13.

51. Влияние нелинейной ферромагнитной среды на формирование магнитного поля внутреннего дефекта / Золотовицкий А. Б., Шур М. Л., Загидулин Р. В. // Дефектоскопия. 1989, - №5, - С.42-50.

52. Поле поверхностного дефекта, намагниченного переменным высокочастотным полем / Кротов Л.Н., Мужицкий В.Ф., Шур М.Л. // Тез. докл. VII Уральской НТК «Современные методы неразрушающего контроля и их метрологическое обеспечение»: Ижевск, 1986, - С. 52.

53. Математика и САПР: в 2-х кн. Кн. 2. Пер. с французского / Жермен Лакур П., Жорж П. Л., Пистр Ф., Безье П. - М.: Мир, 1989. - 264 с.

54. Компьютерное моделирование магнитных полей дефектов. Двумерная задача / Кротов JI.H., А. С. Шлеенков, С. В. Щербинин // Дефектоскопия, 1995, - № 9. - С. 27-32.

55. Расчет магнитных полей рассеяния от неоднородностей в приближении линейного ферромагнетика / Кротов Jl. Н., Мельник Р. С., Цылова Е. Г.; Пермский гос. техн. ун-т. Пермь, -12 с. - Деп. в ВИНИТИ №2820,-В94,- 1994.

56. Исследование магнитных полей рассеяния от трёхмерных неоднородностей / Кротов Л.Н., Шлеенков A.C., Мельник P.C. Щербинин В.Е., Каминский И.Р. // Тез. докл. Всерос. XIII НТК «Неразрушающие физические методы и средства контроля»: СПб. 1993. - С. 11.

57. Исследование магнитных полей рассеяния 3-х мерных дефектов / Кротов Л. Н., Шлеенков А. С., Щербинин В. Е., Мельник Р. С. // Тез. докл. XV Уральской конф. «Контроль технологий, изделий и окружающей среды физическими методами»: Пермь, 1999. - С. 203.

58. Поле цилиндрического дефекта в магнитной пластине ограниченных размеров / Дякин В. В., Умергалина О. В., Сандовский В. А. ./ Дефектоскопия, 1997, - № 11. - С. 37-41.

59. Поле дефекта в виде эллиптического цилиндра в пластине, помещенной в однородное магнитное поле / Сандовский В. А., Дякин В. В. Умергалина О. В. // Дефектоскопия, 1999, - № 11. - С. 45-56.

60. Приборы для неразрушающего контроля материалов и изделий. Справочник в 2 т. Под ред. Клюева В. В. М.: Машиностроение, 1986. 351 с.

61. Новикова И. А. Математическая модель, количественно описывающая магнитостатические поля поверхностных дефектов Дефектоскопия, 1986, - № 2. - С. 37-45.

62. Джонсон Ф. Лион. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. М.: Мир, 1980. - 610 с.

63. Дьяконов В. П. МАТЛАБ 6/6.1/6.5 + 8нтшНпк 4/5. Основы применения. Полное руководство пользователя. М.: СОЛОН-Пресс, 2002. -768 с.

64. К определению геометрических размеров поверхностного дефекта / Загидулин Р. В., Дякин В. В., Дударев М. С., Щербинин В. Е. // Тез. докл. X Уральской НТК «Физические методы и приборы неразрушающего контроля»: Ижевск. 1989. - С. 82.

65. Печенков А. Н., Щербинин В. Е. Об одном методе решения обратной задачи магнитостатики // Дефектоскопия, 1999, - № 10. - С. 6466.

66. Матеатическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 3 Коо -Од М.: Советская энциклопедия, 1982. - 1184 с.

67. Алифанов О. М. и др. Экстремальные методы решения некорректных задач / Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. М.: Наука, 1988.-286 с.

68. Дякин В. В. Прямая и обратная задачи магнитостатики // Дефектоскопия, 1996, - № 3. - С. 3-6.

69. Хижняк Н. А. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики. Киев: Наук, думка, 1988. - 286 с.

70. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР. 1943. - Т. 39, № 5, - С. 195-198.

71. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Докл. АН СССР. 1963. - Т. 151, № 3, - С. 501-504.

72. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Докл. АН СССР, 1963.-Т. 153,№ 1,-С. 49-52.

73. Тихонов А. Н. К математическому обоснованию электромагнитных зондирований //ЖВМ и МФ. 1965. - Т.5 , № 3, - С. 545-548.

74. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979, - 288 с.

75. Тихонов А. Н., Гласко В. Б. О приближенном решении интегральных уравнений Фредгольма первого рода // ЖВМ и МФ. 1964. - Т.4 , № 3, -С. 564-571.

76. Тихонов А. Н., Гласко В. Б. К вопросу о методах определения температуры поверхности тела // ЖВМ и МФ. 1967. - Т.7 , № 4, - С. 910— 914.

77. Тихонов А. Н. и др. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация / Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. -М : Наука, 1983,- 198 с.

78. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР, 1962. - 68 с.

79. Лаврентьев М. М. Некорректные задачи математической физики и анализа / Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. М.: Наука, 1980.-288 с.

80. Лаврентьев М. М. Некоторые вопросы аналитического продолжения с внутренних множеств // Сибирский мат. журнал. 1983. - Т. 24, №5. - С. 123-128.

81. Иванов В. К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода// ЖВМ и МФ. 1966. Т. 6, № 6. - С. 1089-1093.

82. Иванов В. К. и др. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. М.: Наука, 1978. - 206 с.

83. Страхов В. Н., Валяшко Г. М. О проблеме выбора параметра регуляризации при решении линейных некорректных задач // Докл. АН СССР. 1976. - Т. 228,№1.-С. 48-51.

84. Страхов В. Н., Валяшко Г. М. О методе регуляризации линейных некорректных задач с учетом априорной информации о свойствах помех во входных данных //Докл. АН СССР. 1976. - Т. 228, № 2. - С. 314-318.

85. Кротов Л.Н., Мельник P.C. Постановка и метод решения обратной геометрической задачи электростатики применительно к проблемам неразрушающего контроля // «Известия научно-исследовательского центра «Математика»», Выпуск 1, ПГТУ. Пермь. 2003. С. 59 - 67.

86. Кротов Л.Н. Постановка и решение обратной геометрической задачи магнитостатики для магнитной дефектоскопии // Тез. докл. VI Всероссийской НТК «Аэрокосмическая техника и высокие технологии -2003»: Пермь. 2003. - С.-88.

87. Кротов Л.Н. Реконструкция границы раздела сред по пространственному распределению магнитного поля рассеяния. II. Постановка и метод решения обратной геометрической задачи магнитостатики // Дефектоскопия, 2004, -№6, - С. 36-44.

88. Кротов Л.Н Постановка обратной геометрической задачи // Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, №1, Перм. гос. техн. ун-т. -Пермь, 2003,-С. 124 -128.

89. Функциональный анализ. Справочная математическая библиотека. Под редакцией Крейна С. Г. М.: Наука, 1964. - 424 с.

90. Фридман Л. А., Табачник В. П. Феррозонды с малой проницаемостью формы сердечника и с прямоугольно-импульсной формой для возбуждения // Дефектоскопия. 1973, № 5. - С. 7-12.

91. Есилевский В. П., Пеликан А. Г. Магнитный метод и приборы для автоматизированного контроля изделий из аустенитных сталей на содержание ферритной фазы. Труды НИИИН, 1969, вып. 2, - С. 3-19.

92. Shiraiwa Т., Hiroshima Т. Recent Developments in Automatic Magnetic Inspection Method Using Magnetoresistive Element. The seventh internetional conference on nondestructive testing. - Warszawa. - 1973.

93. Беркман Р. Я. Феррорезонансный режим возбуждения магнитных модуляторов и феррозондов / Беркман Р. Я., Бондарук Б. JT., Федотов В. М. // Сб. Геофизическая аппаратура. 1972, вып. 50. - С. 20-27.

94. Денель А. К. Дефектоскопия металлов. М.: Металлургия, 1972.304 с.

95. Пономарев Ю. Ф. К расчету гармоник эдс феррозонда с продольным возбуждением при больших измеряемых полях // Дефектоскопия. 1970, № 1. - С. 68-77.

96. Хватов J1. А., Клюев В. В. О состоянии автоматизации магнитного контроля горячекатаных труб // Дефектоскопия. 1979, № 10. - С. 38-47.

97. Еремин Н. И. и др. Применение феррозондов для контроля дефектов и структуры металлов / Н. И. Еремин, Е. Я. Симонова, Ю. С. Калинин. М.: Машиностроение, 1971. - 43 с.

98. Абакумов А. А. Устройство преобразователей для визуализации магнитного поля // Дефектоскопия. 1984, № 1. - С. 3-13.

99. Михалычев А. П. и др. Влияние внешнего магнитного поля на статические и динамические характеристики магнитных сердечников с ППГ // Автоматика и телемеханика. 1970, № 6. - С. 149-155.

100. А. с. № 862060. Матричный преобразователь магнитных полей / Абакумов А. А. // Бюл. изобр. 1981, № 33.

101. А. с. № 974239. Матричный преобразователь магнитных полей к структуроскопу / Абакумов А. А. // Бюл. изобр. 1982, № 42.

102. А. с. № 859904. Матричный преобразователь магнитных полей к структуроскопу / Абакумов А. А. // Бюл. изобр. 1981, № 32.

103. А. с. № 960615. Преобразователь магнитного поля / Абакумов А. А. // Бюл. изобр. 1982, № 35.

104. Мельгуй М. А. Импульсный магнитный структуроскоп КИМ I / Мельгуй М. А., Кратиров В. Б., Цукерман В. Л // Дефектоскопия. - 1988, № 3. -С. 31-35.

105. А. с. № 974238. Матричный преобразователь магнитных полей Абакумов А. А. // Бюл. изобр. 1982, № 42.

106. А. с. № 525902. Устройство для измерения напряженности магнитного поля / Тарасов С. И., Гобатенко Н. И., Малашенко А. Г., Тушканов Н. Б. // Бюл. изобр. 1976, №31.

107. Мельгуй М. А. Импульсный магнитный анализатор ИМА 4А / Мельгуй М. А., Пиунов В. Д., Цукерман В. Л // Дефектоскопия. - 1986, №11. - С. 63-67.

108. Хватов Л. А., Калинин Ю. С. Автоматизированная феррозондовая установка МД 10Ф // Дефектоскопия. - 1976, № 6. - С. 107-109.

109. Кротов Л. Н., Мельник Р. С. Взаимосвязь Фурье спектров пространственного распределения магнитного поля рассеяния и функции формы границы // Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, №1, Перм. гос. техн. ун-т. -Пермь, 2003, С. 115-119.

110. ПЗ.Положий Г. Н. Уравнения математической физики. М.: Высшая школа, 1964. - 559 с.

111. Кротов Л.Н. Решение прямой задачи с синусоидальной границей для магнитной дефектоскопии / Аэрокосмическая техника и высокие технологии 2003: Тез. докл. VI Всерос. НТК - Пермь, 2003, - С. 89.

112. Кротов Л.Н. Реконструкция границы раздела сред по пространственному распределению магнитного поля рассеяния. I. Исследование свойств решения прямой вспомогательной задачи (линейное приближение) // Дефектоскопия, 2004, - №2, - С. 76-82.

113. Кротов Л.Н. Метод решения обратной геометрической задачи магнитостатики при малых возмущениях границы / Л.Н. Кротов, М.В. Яковлев // Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, №1, Перм. гос. техн. ун-т. -Пермь, 2003, С. 111-114.

114. Сизиков В. С. Математические методы обработки результатов измерений. СПб.: Политика, 2001. - 239 с.

115. Задирака В. К. Теория вычисления преобразования Фурье. Киев: Наук, думка, 1983. - 218 с.

116. Сизиков В. С. Использование регуляризации для устойчивого вычисления преобразования Фурье // ЖВМ и МФ. 1998. - Т38, №3. - С. 376-386.

117. Начапкин Н. И. О возможностях метода особых точек при интерпретации магнитных полей // Изв. АН СССР, сер. Физика Земли. -1976.-С. 59-70.

118. Трошков Г. А. Вопросы интерпретации гравитационных и магнитных полей методом особых точек // Вопросы разведочной геофизики.- М .: Недра, 1978. Вып. 8. - С. 40-44.

119. Цирульский А. В. о единственности решения обратной задачи теории потенциала // Изв. АН СССР, сер. Физика Земли. - 1969. - № 6. - С. 60-65.

120. Воскобойников Г. М. Интегральные преобразования и расположение особенностей логарифмического потенциала // Изв. АН СССР,- сер. Физика Земли. 1981. - № 3. - С. 60-67.

121. Никонова Ф. И., Цирульский А. В. Интерпретация гравитационных потенциалов на основе классов потенциалов, для которых обратная задача разрешима в конечном виде // Изв. АН СССР, сер. Физика Земли. - 1978. -№2.-С. 60-65.

122. Никонова Ф. И., Цирульский А. В. К вопросу о граничных особых точках логарифмического потенциала // Изв. АН СССР, сер. Физика Земли.- 1975. -№ 6. С. 76-80.

123. Страхов В. Н. и др. Определение особых точек двумерных потенциальных полей / Страхов В. Н., Григорьева О. М., Лапина М. И. Прикладная геофизика. М.: Недра, 1977. - Вып. 85. - С. 96-113.

124. Страхов В. Н. К теории биполярного анализа двухмерных потенциальных полей /7 Изв. АН СССР, сер. Физика Земли. - 1975. - № 8. - С. 56-74.

125. Страхов В. Н. Определение особых точек двумерных потенциальных полей на основе аппроксимации целыми функциями экспоненциального типа конечной степени // Прикладная геофизика. М.: Недра, 1971,- Вып. 64. - С. 85-109.

126. Цирульский А. В. О некоторых свойствах комплексного логарифмического потенциала однородной области // Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, - 1963,-№7.-С. 1072-1076.

127. Мудрецова Е. А. Аналитическое продолжение в нижнее полупространство аномальных полей гравитационного и магнитного на нефтяных месторождениях // Прикладная геофизика. М.: Недра, 1984. -Вып. 108.-С. 59-77.

128. Анализ возможностей метода восстановления магнитного поля применительно к магнитной дефектоскопии I / А.С.Шлеенков, Р.С.Мельник, Л.Н.Кротов, В.Е.Щербинин // Дефектоскопия. 1991, - №5, - С. 33-38.

129. Анализ возможностей метода восстановления магнитного поля применительно к магнитной дефектоскопии II / А.С.Шлеенков, Р.С.Мельник, Л.Н.Кротов, В.Е.Щербинин //Дефектоскопия. 1991,-№5,-С. 38-45.

130. Анализ возможностей метода восстановления магнитного поля применительно к магнитной дефектоскопии III / А.С.Шлеенков, Л.Н.Кротов, Р.С.Мельник, В.Е.Щербинин // Дефектоскопия. 1991, -№6, - С. 34-42.

131. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Гос. изд. физ. -мат. л-ры, 1958. - 439 с.

132. Кротов Л. Н., Мельник Р. С. Приближенное определение формы границ раздела сред по пространственному распределению поля для некоторого класса задач // Вестник ПГТУ. Вычислительная математика и механика, Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2000, - С. 60-62.

133. Кротов JI.H. Реконструкция границы раздела сред по пространственному распределению магнитного поля рассеяния. III. Методика решения обратной геометрической задачи магнитостатики при малых возмущениях границы // Дефектоскопия, 2004, -№6, - С. 45-51.

134. Гравиразведка. Справочник геофизика. Под ред. Мудрецовой Е.А., Веселова К.Е. 2-е изд. М.: Недра, 1990. - 607 с.

135. Кротов Jl. Н., Мельник Р. С. Решение обратной геометрической задачи магнитостатики при малых возмущениях круговой границы ферромагнетик воздух // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная механика, Перм. гос. техн. ун-т. - Пермь, 2002, - С. 35-38.

136. Мельник P.C. Отстройка от зазора при магнитной дефектоскопии поверхностных трещин / Р. С. Мельник, Л. Н. Кротов, А. С.Шлеенков, В. Е. Щербинин // «Дефектоскопия». 1991. №2. - С. 89.

137. Метод решения обратной нелинейной задачи магнитной дефектоскопии поверхностных трещин / А. И. Домошницкий, М. F. Драхлин,, JI. Н. Кротов, Р. С. Мельник // Тез. докл. Уральской НТК. Пермь. 1989,-С. 95.

138. Кротов Л.Н. Определение глубины трещины малого раскрытия по значениям компонент магнитостатического поля дефекта / Л.Н.Кротов, P.C.Мельник, А.С.Шлеенков, В.Е.Щербинин // «Дефектоскопия». 1991. №7. С. 89- 91.

139. Кротов Л.Н. Определение геометрических параметров дефектов по восстановленному магнитному полю рассеяния / Л.Н.Кротов, Р.С.Мельник, А.С.Шлеенков, В.Е.Щербинин, А.Б.Золотовицкий // «Дефектоскопия». -1991. №10. С. 49 - 55.

140. Кротов Л. Н. Выявление дефектов методами магнитной дефектоскопии при электронно-лучевой сварке / Тез. докл. XV Уральской НТК «Контроль технологий, изделий и окружающей среды физическими методами». Пермь, 1995. - С. 6.

141. Магнитная томография дефектов / Л. Н. Кротов, А. С. Шлеенков, Р. С. Мельник, В. Е. Щербинин // Тез. докл. Всерос. XV НТК «Неразрушающие методы и средства контроля». М., 1996. - С. 76.

142. Кротов Л. Н. Определение некоторых параметров формы ферромагнитных тел по пространственному распределению магнитного поля рассеяния / Тез. докл. XII Зимней школы по механике сплошных сред. ИМСС РАН.-Пермь, 1999.-С. 203.

143. Совершенствование технологии электронно-лучевой сварки с адаптацией фокусировки электронного пучка / Язовских В. М., Беленький В. Я., Кротов Л. Н. // Тез. докл. НТК «Высокие технологии в машиностроении и высшем образовании» Пермь, - 2000, - С. 30-31.

144. Приборы для неразрушающего контроля материалов и изделий. Справочник в 2-х томах / под ред. Клюева В. В. М.: Машиностроение, 1986. -351с.

145. Болванович Э. И. Полупроводниковые пленки и миниатюрные измерительные преобразователи. Минск: Наука и техника, 1981. - 212 с.

146. Хомерики О. К. Полупроводниковые преобразователи магнитного поля. М.: Энергоатомиздат, 1986. - 136 с.

147. Вайс Г. Физика гальваномагнитных полупроводниковых приборов и их применение. М.: Энергия, 1974. - 381 с.

148. Котенко Г. И. Гальваномагнитные преобразователи и их применение. М.: Энергоиздат, 1982. - 80 с.

149. Викулин И. М., Стафееф В. И. Полупроводниковые датчики. -М.: Сов. радио, 1975.- 105 с.

150. Викулин В. М. и др. Коллекторные магнитотраннзисторы // Приборы и системы управления. 1981, № 10. - С. 34-35.

151. Афанасьев Ю. В. Феррозонды. М.: Энергия, 1969. - 165 с.

152. Датчики эдс Холла из монокристаллического антимонида индия на керамических подложках / Информация управления научного приборостроения АН СССР и СКБ Физ. техн. ин-та им А. Ф. Иоффе. 6 с.

153. Коэн J1. Миниатюрные датчики Холла // Электроника. 1979, № 2. -С. 18-20.

154. Кобус А., Тушинский Я. Датчики Холла и магниторезисторы: пер. с польск. М.: Энергия, 1971. - 350 с.

155. Реутов Ю. Я. Феррозондовый магнитометр с прямоугольным возбуждением // Дефектоскопия. 1973, № 2. - С. 34-38.

156. А. с. № 859899. Матричный преобразователь магнитных полей / Абакумов А. А. // Бюл. изобр. 1981, № 32.

157. Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости. -М. Л.: Госэнергоиздат, 1956. - 223 с.

158. Кротов Л.Н. Анализ работы феррозонда с управляемым нелинейным электрическим сопротивлением в цепи возбуждения/ Л.Н.Кротов, А.С.Шлеенков, Е.В.Розенфельд, В.Е.Щербинин, М.А.Копьёв// «Дефектоскопия». -1987. №7. С. 14-22.

159. Шлеенков A.C. О возможности измерения внешних магнитных полей по параметрам переходных процессов в цепях с нелинейной индуктивностью. I. Влияние внешнего поля и закона изменения сопротивления на процесс установления тока / А.С.Шлеенков,

160. B.Е.Щербинин, Л.Н.Кротов, О.А.Булычев // «Дефектоскопия». 1988. №12.1. C. 56 -65.

161. Кротов Л.Н. Преобразователи магнитного поля на основе переходных процессов с нелинейной индуктивностью / Л.Н.Кротов, А.С.Шлеенков, В.Е. Щербинин, О.А.Булычев // «Дефектоскопия». 1989, №1, С. 27-33.

162. ПО.Тамм И. Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1966.624 с.

163. Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний. М. -Л.: Гос. изд. техн. теор. лит., 1950. - 344 с.

164. Авторское свидетельство № 1521062 СССР от 8.7.89. Устройство для измерения напряжённости магнитного поля / Кротов Л.Н., Булычев O.A., Шлеенков A.C., Щербинин В.Е.

165. Кротов Л. Н. Экспериментальное исследование преобразователей магнитного поля на основе переходных процессов в цепях с нелинейной индуктивностью / Кротов Л. Н., Шлеенков А. С. // «Дефектоскопия». 1990, №10, С. 55 -65.

166. Мирский Г. Я. Радиоэлектронные измерения. М.: Энергия, 1969.- 367 с.

167. Гольцман Ф. М. Физический эксперимент и статистические выводы. Л.: Изд. ЛГУ, 1982. - 191 с.

168. Шлеенков A.C. Многоэлементный преобразователь для магнитной дефектоскопии/ А.С.Шлеенков, Л.Н.Кротов, В.Е.Щербинин, М.А.Копьёв // «Дефектоскопия». -1987, №9, С. 60 64.

169. Козаченко В. Ф. Микроконтроллеры. М.: ЭКОМ, 1997. - 688 с.

170. Разработка математического обеспечения вихретокового толщиномера на основе микропроцессора. / А. А. Родин, А. Л. Тетерин, Ш. Р. Минзулин // Тез. докл. IX Всесоюзн. НТК по неразрушающим методам контроля. - Минск, 1981. С. 248-250.

171. Кротов Л.Н. Экспериментальное исследование алгоритмических методов повышения достоверности магнитного контроля /Л.Н.

172. A.С.Шлеенков, В.Е.Щербинин, P.C.Мельник // «Дефектоскопия». 1991. №8. -С. 45-49.

173. Многоэлементные преобразователи для магнитной дефектоскопии с микропроцессорной обработкой / Л.Н.Кротов, А.С.Шлеенков,

174. B.Е.Щербинин, М.А.Копьёв // Тез. докл. VIII Уральской НПК «Современные методы и средства неразрушающего контроля». Челябинск, 1987. - С. 11.

175. Кротов Л.Н., Мельник P.C. Средства графического отображения информации в магнитной дефектоскопии // Тез. докл. Уральской НТК. -Пермь, 1987. -С.21.

176. Авторское свидетельство № 1469437 СССР от 01.12.88. Магнитографический дефектоскоп / Кротов Л.Н., Шур М.Л., Ваулин СЛ., Акулов В.Ю., Щербинин В.Е.

177. К вопросу об определении объёмной концентрации сверхпроводящей фазы / Л.Н.Кротов, Б.М.Смоляк, Е.В.Пострехин. Г.В.Ермаков // Тез. докл. II Международной конференции «Криогеник 92».- Брно, 1992. С. 161 162.

178. Измерение концентрации сверхпроводящей фазы / Л.Н.Кротов, Е.В.Пострехин, Г.В.Ермаков, Б.М.Смоляк // Тез. докл. «I Межгосударственной конференции». Харьков, 1993. Т.З. - С. 67.

179. Прибор для бесконтактного измерения критического тока в таблетках из ВТСП керамики / Л.Н.Кротов, Е.В.Пострехин, Г.В.Ермаков, Б.М.Смоляк, Щукин B.C. // Тез. докл. «I Межгосударственной конференции». Харьков, 1993. Т.З. - С. 70-71.