автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование потенциальных полей в кусочно-однородных средах методом точечных источников

0050511*°

На правах рукописи

Щербаков Антон Андреевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ В КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ МЕТОДОМ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ

05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 8 МАР 2013

г. Новочеркасск - 2013

005051146

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)» на кафедре «Прикладная математика».

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Доктор технических наук, профессор Бахвалов Юрий Алексеевич

Ковалев Олег Федорович,

доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)», профессор кафедры «Электронные вычислительные машины» Ляпин Александр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный строительный университет», заведующий кафедрой «Информационные системы в строительстве»

Ведущая организация:

Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет», г. Ростов-на-Дону

Защита состоится 19 апреля 2013г. в 10-00 на заседании диссертационного совета Д 212.304.02 при Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)» в 149 ауд. главного корпуса по адресу: 346428, г. Новочеркасск Ростовской области, ул. Просвещения, 132.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)».

Автореферат разослан «_» марта 2013 года

Ученый секретарь диссертационного совета Кандидат технических наук, профессор //УОСУ5*^7 А.Н. Иванченко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований. Важнейшим этапом моделирования технических устройств различного назначения является расчет потенциальных физических полей в кусочно-однородных средах. При этом физическая природа моделируемых полей может быть самой разной.

Работа электротехнических устройств весьма часто определяется электрическими и магнитными полями в смежных областях устройств с различными значениями диэлектрической или магнитной проницаемости. Одним из значимых технологических параметров ряда устройств является температура, расчет которой производится в сопрягающихся областях, обладающих различными теплопроводящими свойствами.

Таким образом, задачи моделирования физических полей в кусочно-однородных, многослойных средах являются одними из типичных задач инженерной практики. Эти задачи имеют особенности, отличающие их от других задач моделирования физических полей.

В первую очередь эти особенности обусловлены условиями на сопрягающихся границах, разделяющих среды с различными свойствами. При этом необходимо учитывать развитие различных физических процессов на сопрягающихся границах, например, накопление поверхностных зарядов или выделение теплоты межфазных переходов. Все это осложняет задачу моделирования поля в многослойной среде, особенно на этапе ее численного решения.

Обычно, при численном решении задач моделирования физических полей используется метод конечных разностей (МКР) или метод конечных элементов (МКЭ). Однако, при решении задач в многослойных средах применение этих испытанных численных методов может оказаться малоэффективным.

Условия на сопряженных границах, связывающие нормальные производные расчетного параметра поля в двух средах, вносят существенную погрешность в результаты вычислений, что может затруднить окончательное решение задачи. Эта проблема может быть устранена при использовании бессеточного метода точечных источников поля (МТИ).

При решении задач в многослойных средах МТИ может обеспечить решение с большей точностью и с меньшим временем вычислений, чем традиционные сеточные методы МКР и МКЭ. Поэтому применение МТИ позволяет повысить эффективность решения таких задач, что свидетельствует об актуальности работы по моделированию физических полей в многослойных средах технических устройств с использованием МТИ.

МТИ наиболее эффективен в случае решения задач с линейными средами. В случае решения задач с нелинейными средами или средами, содержащими источники, рекомендуется применение комбинированного метода точечных источников и сеточного метода (МКР, МКЭ).

Работа выполнена в соответствии с приоритетным направлениям развития науки, технологий и техники РФ «Информационно-телекоммуникационные технологии и электроника» (утверждено Указом Президента РФ от 30.03.02 г.), а также по теме НИР «Математические модели и численные методы для решения комплексных проблем электродинамики, механики, теплофизики и экологии», выполняемой в ЮРГТУ (НПИ) при поддержке Министерства Образования и Науки РФ.

Цель работы заключается в повышении эффективности процессов проектирования технических устройств и управления ими, достигаемой за счет применения компьютерных моделей потенциальных полей в кусочно-однородных средах, разработанных на основе метода точечных источников. .

Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие основные задачи:

- разработка дискретных математических моделей потенциальных полей в кусочно-однородных, многослойных средах на основе МТИ;

- разработка алгоритмов решения краевых задач для уравнения Лапласа в кусочно-однородных, многослойных средах с использованием МТИ;

- разработка комплекса вычислительных программ для ЭВМ на базе МТИ для моделирования потенциальных полей в кусочно-однородных, многослойных средах;

- решение конкретных инженерных задач с помощью разработанного комплекса программ.

Методы исследования. Методом исследования физических полей в расчетных областях многослойных сред, является численное моделирование рассматриваемых процессов с использованием МТИ. Анализ корректности разрабатываемых моделей производится путем получения оценок условий единственности, устойчивости и сходимости решений на основе вычислительных экспериментов и сопоставления этих оценок с результатами физических экспериментов и результатами, полученными другими исследователями.

Достоверность полученных результатов подтверждается согласованием полученных с помощью численных моделей результатов с априорными оценками, с данными других исследователей, а также с данными, полученными экспериментально (расхождение по скорости плавки для гололеда на воздушных линиях электропередачи не превышает 10 %). Выводы, полученные с помощью разработанных моделей, находятся в логическом соответствии с известной физической интерпретацией полученных данных. Полученные результаты обсуждались на конференциях различного уровня и получили положительные оценки.

Научная новизна представленных в диссертации результатов состоит в следующем:

- впервые получены оценки погрешности численного решения МТИ краевых задач для уравнения Лапласа для областей различной конфигурации, случаев равномерного и неравномерного распределения зарядов, различных круговых частот гармоник, определенных при разложении искомого поля в ряд Фурье, различной аппроксимации границ, применяемой при вычислении углов нормали;

- разработаны алгоритмы решения краевых задач для уравнения Лапласа, основанные на использовании МТИ, отличающиеся возможностью их использования для нахождения поля в кусочно-однородных, многослойных средах;

- построена математическая модель плавки ледяной муфты на проводах воздушных линий электропередач, основанная на МТИ, и в отличие от известных моделей, позволяющая рассчитать температурные поля, токи и время плавки путем решения последовательности краевых задач для уравнения Лапласа в трехслойной среде с изменяющимися границами;

- впервые построены компьютерные модели, основанные на МТИ, электрических полей в электромеханических устройствах различного типа (в пазах изоляции тяговых двигателей, в объеме фильтра с коронным разрядом, в средах, содержащих заряды на границах раздела сред), отличающиеся многослойностью расчетных областей.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость работы состоит в обосновании устойчивости и сходимости МТИ при решении двумерных и трехмерных краевых задач для уравнения Лапласа в кусочно-однородных, многослойных средах на основе численных экспериментов. Эти качества делают МТИ перспективным методом численного моделирования потенциальных полей, позволяя ему в ряде случаев составлять конкуренцию таким признанным численным методам, как метод конечных разностей, метод граничных элементов, что также свидетельствует и о практической значимости работы.

На основе полученных математических моделей и алгоритмов разработан комплекс программ, предназначенный для расчета двумерных и трехмерных потенциальных полей с помощью метода точечных источников. Комплекс программ и другие результаты диссертации могут найти применение, например: при проектировании технических устройств, работа которых определяется потенциальными полями (тепловыми, электрическими, магнитными и т.д.) в многослойных средах; в вузах при обучении по специальностям, учебные планы которых предполагают изучение численных методов моделирования потенциальных полей, а также выполнении научно-исследовательской работы студентами (НИРС), курсовых и дипломных работ.

Теоретические и программные разработки диссертации нашли практическое применение в проектно-конструкторской деятельности и научно-исследовательской работе ВЭлНИИ, в учебном процессе ЮРГТУ (НИИ) и ДГТУ, что подтверждается документально.

Зарегистрирован в Реестре программ для ЭВМ комплекс на базе МТИ для моделирования потенциальных физических полей при решении конкретных задач инженерной практики.

Основные результаты работы, выносимые на защиту

1. Получены оценки погрешности МТИ численного решения краевых задач для уравнения Лапласа в областях с различной конфигурацией, которые свидетельствуют об эффективности численного метода при моделировании потенциальных полей в многослойных средах технических устройств.

2. Предложены варианты расположения зарядов, моделирующих искомое поле при численном решении краевых задач для уравнения Лапласа с помощью МТИ, которые обеспечивают получение более точной и устойчивой компьютерной модели.

3. Разработаны алгоритмы решения краевых задач для двумерного и трехмерного уравнения Лапласа в кусочно-однородных, многослойных средах, позволяющие значительно расширить прикладные возможности МТИ при моделировании потенциальных полей.

4. Разработаны алгоритмы решения двумерных и трехмерных краевых задач с граничными условиями второго и третьего рода, основанные на использовании

МТИ, в которых нормальные производные от искомой функции аппроксимируются формулами различного порядка точности, что позволяет значительно снизить погрешность без существенного усложнения компьютерной модели и увеличения времени счета.

5. Построены с использованием МТИ дискретные математические модели электрических полей в электромеханических устройствах различного типа (в пазах изоляции тяговых двигателей, в объеме фильтра с коронным разрядом, в средах, содержащих заряды на границах раздела).

6. Построена математическая модель плавки ледяной муфты на проводах воздушных линий электропередач, основанная на МТИ, и в отличие от известных моделей, позволяющая рассчитать температурные поля, токи и время плавки путем решения последовательности краевых задач для уравнения Лапласа в трехслойной среде с изменяющимися границами.

7. Построенные компьютерные модели на базе МТИ потенциальных полей в технических устройствах различного назначения, реализованы в виде комплекса программ для ЭВМ.

Апробация работы: Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных конференциях ЮРГТУ (НПИ) в 2005 - 2011 гг.; IV - VI международных семинарах «Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах» (г. Воронеж, 2006 - 2008 гг.); конференции «Нанотехнологии- производству- 2005» (Фрязино, 2005 г.), .); VII Международной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования", Волгодонск, 2009г. /Юж. мат. ин-т ВНЦ РАН и РСО-А; - Владикавказ: ВНЦ РАН и РСО-А, 2009.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 20 печатных работ, среди которых 10 статей в ведущих научных журналах из списка ВАК, 1 монография, 1 свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ. В автореферате приведен список основных публикаций из 20 наименований.

Личный вклад автора в опубликованных в соавторстве работах: [2, 4-10, 12-17, 19-20] разработка моделей и алгоритмов реализации; [3, 11, 18] теоретическое обоснование, развитие МТИ.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 148 наименований и приложения. Общий объем работы составляет 149 страниц, в тексте содержится 52 рисунка, 2 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности, теоретической и практической значимости проводимых в представленной работе исследований, формулируется цель работы, основные результаты, выносимые на защиту, и описывается структура диссертации.

В первой главе «Состояние вопроса и постановка задачи исследования»

анализируются материалы, представленные в научных публикациях, которые характеризуют состояние решаемых в диссертации проблем. Отмечается актуальность решения проблемы моделирования физических полей в кусочно-однородных, многослойных средах. Анализируются возможности традиционных численных методов, используемые при моделировании потенциальных полей в многослойных средах

технических устройств и возникающие при этом трудности. Показано, что эффективным альтернативным методом моделирования потенциальных полей в многослойных средах является бессеточный метод - МТИ. На основании сделанного анализа сформулированы задачи исследования и определены пути решения этих задач.

Во второй главе «Применение МТИ при численном решении краевых задач для уравнения Лапласа» дается краткое описание МТИ, исследуются основные вычислительные свойства данного метода.

В МТИ потенциал искомого поля в произвольной точке М области решения Г2 приближенно представляется в виде суммы:

и(м)=^д18(М,Р,), (1)

где <7,- точечные заряды (общее число которых А'), моделирующие искомое поле и располагающиеся в точках Р, вокруг области решения О., за ее пределами; g(M,P¡) определяет поле в точке М, созданное единичным точечным положительным зарядом, расположенным в точке Р. Функция g(M,P) выражается через фундаментальное решение уравнения Лапласа и при решении трехмерных задач может определяться соотношением g(M,Pl) = ■—1—г, где \М -Р\ - расстояние между точками

\М — Щ

Мы Р,. При решении двумерных задач следует использовать соотношение

^-"¡¡Г^г

Для нахождения неизвестных зарядов с/,, моделирующих искомое поле, требуется выполнение граничного условия в N точках, узлах коллокации М/ на границе сО. области О.. Если граничное условие имеет вид

где а, р и у- известные функции, заданные на границе Ш (или постоянные величины), то требование выполнения условия (2) в узлах коллокации М} приводит к системе линейных уравнений, системе МТИ, имеющей вид

(3)

После того, как система МТИ (3) решена и найдены заряды , моделирующие искомое поле, потенциал искомого поля в произвольной точке М приближенно представляется в виде суммы (1). При этом точность решения зависит как от количества зарядов Ы, так и от расположения зарядов и узлов коллокации.

Численное решение, полученное с помощью МТИ, совпадает с точным решением задачи во всех узлах коллокации. Однако, в точках между узлами коллокации численное решение отклоняется от точного. Были проведены численные эксперименты, показавшие, что эти отличия представляют собой гладкие «всплески» между соседними узлами коллокации (рис.1). На рис.1 представлены результаты расчетов потенциала на одном элементе между соседними узлами коллокации границы круговой области. Моделировалось поле с постоянным потенциалом во всей области расчета. Кривая 1 соответствует точному решению, кривая 2 - решению, полученному с помощью МТИ. Данные графики были получены при небольшом числе то-

= 0, (2)

Мегл

чечных источников (10 элементов), при этом относительная погрешность составила

£=3-10"3. Увеличение количества точечных источников приводит к экспоненциальному убыванию разницы между точным и приближенным решением. При 30 элементах относительная погрешность составила менее 10"6.

Как известно, результирующая погрешность численного решения Е складывается из погрешности метода Еп и погрешности округления Ес: Е = Е„+ЕС. При устойчивом решении задачи МТИ погрешность округления

1,0035 1,003

1,001 1,0005

________

/1 \

0 0,2 0,4 0,6 0,8 X

Рис. 1. Распределение потенциала на отдельном элементе круговой области. Ох - расстояние от начала элемента в долях его длины.

10

10"

10'

10-

10-"

Es не зависит от числа зарядов, моделирующих поле; относительное значение погрешности Es при вычислениях на

компьютере с использованием чисел типа double в этом случае имеет порядок £ ~ 10'15. Так как, согласно известным теоретическим разработкам, погрешность МТИ убывает с ростом числа зарядов по экспоненциальному закону, то график зависимости результирующей погрешности МТИ от числа зарядов будет иметь вид кривой 1 на рис. 2. Такой вид зависимости часто наблюдается в ходе численных экспериментов и свидетельствует о возможности получения с помощью МТИ численного решения ряда краевых задач с предельно высокой компьютерной точностью. При этом наблюдается экспоненциальный рост точности решения при возрастании числа зарядов, моделирующих поле, до некоторого значения Nm. При дальнейшем росте числа зарядов точность решения практически не меняется.

Анализ устойчивости МТИ показывает, что погрешность округления может существенно изменяться (возрастать) с ростом размерности системы МТИ. Скорость возрастания погрешности округления определяется величиной числа обусловленности системы МТИ. Так как это число экспоненциально возрастает с ростом числа зарядов, то экспоненциальное убывание результирующей погрешности МТИ при относительно малых значениях числа N, меньших некоторого числа Nm (N<Nm), может смениться экспоненциально быстрым ее возрастанием при N>Nm. Характер зависимости погрешности МТИ от числа зарядов в этом случае будет соответствовать кривой 2 на рис. 2. В этом случае задачу МТИ можно назвать условно устойчивой, так как убывание погрешности с ростом числа N будет наблюдаться лишь при N<Nm.

Для возможности практического использования МТИ при моделировании потенциальных полей необходимо, чтобы характер зависимости результирующей по-

\ ; 2 -.................................

1

N. '' '

N. N

Рис. 2. Зависимость погрешности МТИ от числа зарядов

грешности МТИ от числа зарядов соответствовал кривым 1 или 2 на рис. 2. Вычислительная практика показывает, что это условие выполняется, если при моделировании поля возможно ограничиться относительно небольшим количеством зарядов, не превышающем 2-3 тысячи.

Погрешность МТИ, как отмечалось выше, существенно зависит от формы области решения задачи. Наиболее подробно исследованы свойства МТИ при решении внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круговой области. Однако, проблема использования МТИ при решении краевых задач в областях со сложной конфигурацией сохраняется. Это связано с тем, что при определенных формах областей может проявляться плохая обусловленность матрицы системы МТИ. Это, в свою очередь, может приводить к появлению неустойчивости решения. Тем не менее, несмотря на возможность появления неустойчивости решения МТИ, при практическом использовании метода обычно удается получить численное решение с достаточной точностью даже для областей со сложной формой. В диссертации приведены примеры решения ряда тестовых задач в областях с различной конфигурацией, подтверждающих это. Приводятся, например, результаты моделирования потенциального поля в областях, ограниченных эллипсами с различными отношениями главных осей а/Ь. На рис. 3 показаны зависимости погрешности МТИ от количества зарядов, полученные для областей с отношениями главных осей а/Ь, равными 1, 2, 3 и 4. При моделировании узлы и заряды располагались на соответствующих контурах равномерно. Заряды, моделирующие поле располагались на расстоянии, равном 0,4 а от соответствующих узлов колло-кации. Моделировалось поле, которое определялось соотношением

= С08(4<р). (4)

Из рис. 3 видно, что экспоненциальный характер убывания погрешности МТИ с ростом количества зарядов, моделирующих поле, сохраняется для областей с эллиптической формой границ, независимо от величины отношения главных осей а/Ь. Однако, как видно из рис. 3, показатель экспоненты, определяющий быстроту убывания погрешности с увеличением количества зарядов, при возрастании разности между главными осями эллипса уменьшается. Аналогичные численные эксперименты были выполнены для областей прямоугольной формы с различным соотношением сторон. Экспоненциальный характер убывания погрешности МТИ с ростом количества зарядов, моделирующих поле, сохраняется также и для областей прямоугольной формы, независимо от величины отношения его сторон а/Ь. Однако, в отличие от соответствующих зависимостей для областей в форме эллипса, в данном случае заметного различия в скорости убывания погрешности для прямоугольных областей с различным отношением сторон не наблюдается.

го 30 40 50 60 70 во 90 100 Количество ЫряДМ

Рис. 3. Зависимости погрешности МТИ от количества зарядов, полученные для областей в форме эллипса с отношениями главных осей а/Ь, равными 1, 2, 3 и 4.

С помощью МТИ можно моделировать потенциальные поля в областях с границами, участки которых могут иметь как положительную или нулевую, так и отрицательную кривизну. В качестве примера в диссертации исследовалась зависимость погрешности МТИ от количества зарядов, полученная для серповидной области. Показано, что экспоненциальный характер убывания погрешности с возрастанием числа зарядов, моделирующих поле, сохраняется и в этом случае. Однако, точность результата, полученного для серповидной области, значительно ниже, чем для прямоугольных и эллиптических областей. При количестве зарядов равном 100 относительная погрешность для серповидной области составила 4-10"5, в то время как для квадратной области она равнялась 5-Ю"9, а для круговой области - 5-10"11. Причины такого различия могут быть связаны как с особенностью формы расчетной области (особенно с наличием вогнутых участков границы), так и с наличием угловых точек, а также с характером распределения зарядов, моделирующих поле, вокруг области решения.

В диссертации приведен также пример, иллюстрирующий эффективность применения МТИ при численном решении краевой задачи для уравнения Лапласа в дву-связной области. Решалась задача Дирихле для двухсвязной эллипсообразной области П с круговым отверстием, смещенным относительно центра эллипса. Моделировалось поле (4). На рис. 4 показано взаимное расположение узловых точек (точки черного цвета), которые обозначают контуры двусвязной области, и зарядов, моделирующих поле (на рисунке изображены в виде серых точек).

• « • .

•

/ * / \

ч. * ♦ » /

> * У

* » , г „ « " *

Рис. 4. Распределение узловых точек (черного Рис. 5. Зависимость погрешности МТИ

цвета) и зарядов, моделирующих поле (точки от количества зарядов, полученные для

серого цвета) двусвязной области

Как видно из рис. 5, устойчивость МТИ при численном решении краевой задачи наблюдается при количестве зарядов N>100. Кроме того, видна некоторая нерегулярность уменьшения погрешности с ростом числа зарядов. Эта нерегулярность связана как со сложностью области решения, так и с неоптимальным расположением зарядов, моделирующих поле. Проблема оптимального расположения зарядов, моделирующих поле, также исследуется в диссертации. Показано, что предпочтительным является равномерное расположение узловых точек, точек коллокации на граничном контуре д£1. Такой же вывод можно сделать и относительно расположения зарядов, моделирующих искомое поле на вспомогательном контуре 55. Этот вывод иллюстрируют результаты численных экспериментов, представленных на рис. 6.

Количество зарядов

Рис. 6. Зависимости погрешности МТИ от количества зарядов при равномерном (а, кривая 1) и неравномерном (б, кривая 2) распределении узлов и зарядов

Как видно из рис. 6 экспоненциальный характер убывания погрешности МТИ с увеличением числа зарядов сохраняется и при неравномерном расположении узлов коллокации и зарядов. Однако, при равномерном расположении узлов и зарядов погрешность МТИ существенно меньше.

В третьей главе «Моделирование потенциальных полей в многослойных средах с использованием МТИ» построена математическая модель потенциального поля в кусочно-однородной, многослойной среде.

Пусть область решения П представляет собой объединение п однородных подобластей Q, ¿п. Первые т{т<п) подобластей имеют границы сП, с внешней средой, на которых заданы условия, имеющие вид CJUI (г) = (г), г <= dQ,. , 1 <; < т , где I- линейный оператор, действующей на внешней границе подобласти Q,. На границах Ш(/ между подобластями с номерами / и j выполняются условия сопряжения (некоторые из границ 6ПУ могут отсутствовать, если соответствующие подобласти не имеют общих участков границы; в этом случае границе соответствует пустое множество). В результате математическую модель потенциального поля в многослойной, кусочно-однородной среде можно представить в виде

Д£/,(г)=0,геП, ,\<i<n ; (5,)

I,U, (г) = ср1(г), г s ЗС2,., 1 < i < т ; (52)

U, (г) = Uj (г), г е an,, 1 <», j < п , (53)

(54)

Здесь уравнения (52) представляют собой условия на внешней границе составной области £1, а соотношения (53) и (54>- условия сопряжения на границах д£10, где к,— «проводимость» среды с номером г. В зависимости от решаемой задачи проводимость может иметь различный физический смысл. При расчете температурного поля в многослойной среде проводимость есть теплопроводность среды, а при расчете электрического поля- диэлектрическая проницаемость. Функции /Дг) в (54)

учитывают возможность «межграничных процессов», например, тепловыделения на межфазных границах.

При решении граничной задачи с помощью МТИ на всех участках границ 5Q, и öQ. размещают, по возможности равномерно, узловые точки, точки коллокации. Число узловых точек на границах 5П, обозначим как п„ а координаты этих точек -

как г;( 1<к<п:). На границах число узловых точек обозначим как пч, а координаты этих точек - как г/ ( 1<А < ). Как некоторые из чисел п„ так и некоторые из чисел помогут равняться нулю. Так как узлы г* и г/' тождественны друг другу, то для исключения повторяемости узлов можно полагать /'</'. Полное число узловых точек для рассматриваемой многослойной системы равно Л'„ = + X"» • Вокруг

каждой из подобластей О,, на некотором удалении от их границ, по возможности равномерно, размещаем заряды, моделирующие поле в этих подобластях. Каждой узловой точке на границе подобласти О, соответствует некоторый заряд. Число зарядов, моделирующих поле в подобласти а, обозначим как Л1', . Это заряды (¡[, которые соответствуют узловым точкам г^. Координаты зарядов обозначим как И', (1 < к < п,). Это также заряды , соответствующие узловым точкам г/. Координаты

зарядов ^ обозначим как Щ (1 <к<пи). Следовательно Л', = и, + . Полное число зарядов, моделирующих поле в области £2 равно Л:'9 = X + X "« •

Предположим, что решается третья краевая задача и на внешней границе заданы условия

а(гМг)+/?(г)^ = Иг), г € эа . (6)

011

Условие (6) соответствует условию (52) в математической модели потенциального поля. Приближенное решение в подобласти О, ищется в виде суммы

им^чЖмЬ^^Ж-*^ (7)

1=1 у-1 V )

Подставляем (7) в (6) (в (52)) и требуем точного выполнения получившегося выражения во всех узловых точках г^,( 1 <т <»,) на граничном участке 8С1,. В результате для каждого значения г (1 < г < п) получаем систему уравнений. Уравнение с номером т этой системы имеет вид

, \ і. , \ Зп

(В)

Аналогичным образом получим системы уравнений, соответствующие условиям сопряжения (53) и (54) в узловых точках г*( 1 <т<пи) на граничном участке дП9. В результате для каждого значения і и і (і < /, у < п) получаем системы уравнений. Уравнение с номером т, соответствующее условию непрерывности потенциала (53), имеет вид

І <т<п„. (9)

А уравнение с номером т, соответствующее условию непрерывности «потока проводимости» (54), имеет вид

2>;

дп

I ш

Уч\

иа Н к=\

дп

-Мг

1 < т < п..

(10)

Совокупность систем (8) - (10) образуют полную систему уравнений МТИ, позволяющую найти все заряды, моделирующие поле в многослойной среде. Число подлежащих определению зарядов, моделирующих поле в многослойной среде в точности равно полному количеству ненулевых уравнений в системе МТИ. После решения этой системы приближенное значение потенциала поля в произвольной точке области £2, принадлежащей подобласти П,, может быть вычислено с помощью формулы (7).

При вычислении производных по нормали для фундаментальных решений, входящих в уравнения системы МТИ, необходимо знать направляющие углы нормали. Направляющие углы должны быть заданы во всех узловых точках многослойной системы. Однако, в ряде случаев направляющие углы нормали заранее неизвестны и их приходится вычислять в процессе решения задачи. В диссертации всесторонне исследуются различные варианты численной аппроксимации направляющих улов нормали и оценивается погрешность МТИ для этих вариантов. Предложены наиболее эффективные способы вычисления направляющих углов нормали, обеспечивающие наименьшую погрешность вычислений.

Отметим одно из преимуществ МТИ - производная по направлению вычисляется аналитически.

В четвертой главе «Моделирование потенциальных полей в многослойных средах технических устройств различного назначения» приводятся примеры моделирования физических полей в многослойных средах при решении конкретных технических задач, в которых используются различные варианты МТИ.

Исследована возможность применение МТИ для расчета электрических полей в изоляции пазовых частей обмоток тяговых электродвигателей. Эта работа выполнялась по заказу ВЭл-НИИ. Расчет производился в многослойной среде с искривленными границами. На рис. 7 показан скриншот

1 —

—

—

-:—1

-

— 0И1 09ЧЕ 1.2® '»Ж» 1.ТЭ »«8 г

:::

..V Л

"Л •*

••

\Ч ч»;..

N \\> 4

\\ ■ Ч" : :

чх :

Рис. 7. Скриншот программы с распределением напряженности в случае 6 слоев изоляции.

программы с распределением напряженности электрического поля в случае 6 слоев изоляции по линии А-Б. Требуемая точность (8 = 0.1%) расчетов МТИ достигалась при количестве точечных источников, равным 100, время счета составляло 1 с. Ана-

rv

,к

логичная точность была получена с помощью МКЭ, реализованным в пакете MAXWELL, при сетке в 70000 элементов и времени расчета около 2 мин.

Апробация на тестовых задачах численного алгоритма МТИ расчета распределения электрических полей в изоляции пазов реальных тяговых двигателей подтвердила его быстродействие, высокую точность, а также возможность оперативной оценки распределения электрической нагрузки по слоям изоляции в зависимости от диэлектрических свойств используемых материалов.

» z Применение МТИ оказывает-

ся эффективным при решении осе-симметричных задач для уравнения Лапласа. В этом случае предпочтительно использовать обобщенный вариант МТИ, т.е. метод интегрированных источников поля (МИИ). В работе выполнен расчет электрического поля между двумя коаксиальными проводниками конечной длины при моделировании процессов, наблюдаемых в электрических фильтрах с коронным разрядом (рис. 8). На рисунке схематически изображены электроды фильтра и дискретные интегрированные источников поля: К - узловые точки на внутреннем и внешнем электродах; Г, , Г2 - поверхности внутреннего и внешнего электродов, соответственно; s,, S, -

■/S

л

Рис. 8. . Схематическое изображение электродов фильтра и дискретных интегрированных источников поля

Q

а

ТАг)

П.

ТМ) тв(г)

<»« J

ж

Рис. 9. Схематичное представление процесса плавки льда

дискретные протяженные заряды, моделирующие электрическое поле, для внутреннего и внешнего электродов соответственно.

Удовлетворительная точность решения (порядка десятой доли процента) достигалась уже числе интегрированных источников, равном 50; время счета составило около 2 с. Расчет электрического поля при тех же условиях был произведен также методом конечных элементов с помощью пакета MAXWELL. Полученные результаты практически полностью совпадали. Однако, при использовании пакета MAXWELL для обеспечения требуемой точности вычислений потребовалось использование сетки размером 70000 элементов и

время счета около 2 мин.

Эффективным оказалось применение МТИ при моделировании плавки гололеда на воздушных линиях электропередачи за счет нагрева фазных проводов и грозозащитных тросов. Компьютерное моделирование плавки позволяет прогнозировать ее результаты и обеспечить выбор оптимальных параметров, обеспечивающих наи-I более эффективный режим устранения последствий гололедных явлений на проводах линий электропередачи.

Во время плавки гололеда под действием выделяющегося в проводе джоулева тепла в гололедной муфте проплавляется канавка, толщина которой несколько больше диаметра провода (рис.9). Время плавки гололеда определяется моментом, когда глубина канавки становится равной толщине стенки гололеда.

Время, за которое температурное поле в объеме ледяной муфты станет установившимся можно приближенно оценить с помощью формулы

_ Г'ср

'уст.про« _ ~~^ ! (11)

где / - толщина ледяной муфты; с - удельная теплоемкость льда; р - плотность льда; к - коэффициент теплопроводности льда. Если реальная длительность процесса больше гуетпроц, то можно предположить, что реальное распределение

температурного поля в ледяной муфте в каждый момент времени близко к установившемуся распределению, т.е. температурное поле Т„(г) в объеме льда Д и поле Тв(г) в объеме заполненной водой проплавленной канавки Д описываются уравнениями Лапласа.

В результате для расчета температурных полей Г,(г) и 7;(г) получается система соотношений:

АТ„ =0; Т„(г)=Т„ .ге®„; -к &?1^1с1а> = Р ; Г,(г) = Г0 .ге®,; (12)

а & П

ДГ,=0 ;Г,(г) = 7-0,ге®, ; = г)),ге®„. (13)

В системах (12) - (13) <и, - внешняя граница ледяной муфты; со, - межфазная граница вода - лед; поверхность провода; Т„ - температура провода; Т„- температура плавления льда; ТА - температура атмосферы; Р - тепловая мощность, приходящаяся на единицу длины провода; к, и к, - коэффициенты теплопроводности воды и льда соответственно; а- коэффициент теплоотдачи, учитывающий действие конвекции воздуха окружающей среды.

Соотношения (12) - (13) образуют математическую модель для расчета температурного поля Тл{г) в объеме ледяной муфты Д. Совместное решение задач (12) и (13) позволяет найти температурное поле во всем объеме системы, после чего скорость

Упш.л.<90зз Уаж'-яРга

в е ; 5

по

|25 0 12 3*5 6 7 8 5

¡зоо........................ ;

Мощность натрем. Вт/м

Теьтеоврдо с репы т-ооп*»а»-10а;с Прсйимкйгцп.- 80мм (

\

..."

Старт 1

'-ра Провом1 * Ту, в 9 50 ч.

Рис. 10. Скриншот работы программы

перемещения межфазной границы вода- лед в произвольной ее точке может быть определена с помощью формулы

М 1 (¡. 8ТЛ

Лг) = — к,—— Ар дп

ЗТ_,(г) к дт,{г)

дп

где Х- удельная теплота плавления льда; р- плотность воды.

Данная математическая модель была реализована в виде компьютерной программы, скриншот которой изображен на рис. 10. В качестве примера, иллюстрирующего возможности этой компьютерной модели на рис. 11, 12 приведены графики зависимости времени сброса ледяной муфты от ее толщины и графики, представляющие динамику изменения температуры провода со временем (при различных тепловых мощностях).

200 Вт

300

400

Толщина ледяной муфты, мм

10 15 20 Время, мин

- - '200 Вт

-300

_400

Рис. 11. Зависимость времени сброса ледяной муфты от ее толщины и мощности нагрева провода.

Рис. 12. Зависимость средней температуры проводы от времени и мощности нагрева (толщина ледяной муфты 15мм).

В работе содержится также описание математической модели электростатического поля при наличии свободных поверхностных электрических зарядов на границе раздела сред. Необходимость расчета таких полей возникает, например, при проектировании анти-электростатической одежды, которая используются в местах добычи нефти и газа в Сибири и на Дальнем Востоке. Для решения этой задачи составлена компьютерная программа для расчета поля в случае неравномерного распределения зарядов по поверхностям раздела сред. Показано, что разработанные алгоритм и программа обеспечивают хорошую точность и могут быть использованы для оценки напряженности поля при электризации одежды.

В качестве трехмерной рассмотрена модель расчета электростатического поля в двухслойной шаровой среде при наличии электростатического заряда между слоями. Полученная в ходе численного эксперимента экспоненциальная зависимости погрешности МТИ от квадратного корня из числа зарядов в точности соответствует полученному ранее теоретическому результату.

В заключении сформулированы основные научные результаты диссертации и выводы из проведенных исследований.

В приложениях приведены акты использования результатов диссертационных исследований, копия свидетельства о регистрации программы для ЭВМ, описание метода для расчета одномерных полей с применением эквивалентных электрических цепей.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ РАБОТЫ

1. В работе показано, что применение МТИ при решении достаточно широкого круга прикладных задач при достаточно высокой точности может сократить время в сотни раз по сравнению с сеточными методами (МКЭ, МКР), т.е. расчеты могут проводиться в режиме реального времени, что может быть необходимо для моделирования процессов управления техническими устройствами.

2. Получены оценки погрешности МТИ численного решения краевых задач для уравнения Лапласа в областях с различной конфигурацией, которые свидетельствуют об эффективности численного метода при моделировании потенциальных полей в многослойных средах технических устройств.

3. Предложены варианты расположения зарядов, моделирующих искомое поле при численном решении краевых задач для уравнения Лапласа с помощью МТИ, которые обеспечивают получение более точной и устойчивой компьютерной модели.

4. Разработаны алгоритмы решения краевых задач для двумерного и трехмерного уравнения Лапласа в кусочно-однородных, многослойных средах, позволяющие значительно расширить прикладные возможности МТИ при моделировании потенциальных полей.

5. Разработаны алгоритмы решения двумерных и трехмерных краевых задач с граничными условиями второго и третьего рода, основанные на использовании МТИ, в которых нормальные производные от искомой функции аппроксимируются формулами различного порядка точности, позволяют значительно снизить погрешность без существенного усложнения компьютерной модели и увеличения времени счета.

6. Построены с использованием МТИ дискретные математические модели электрических полей в электромеханических устройствах различного типа (в пазах изоляции тяговых двигателей, в объеме фильтра с коронным разрядом, в средах, содержащих заряды на границах раздела).

7. Построена математическая модель плавки ледяной муфты на проводах воздушных линий электропередач, основанная на МТИ, и в отличие от известных моделей, позволяющая рассчитать температурные поля, токи и время плавки путем решения последовательности краевых задач для уравнения Лапласа в трехслойной среде с изменяющимися границами.

8. Построены компьютерные модели на базе МТИ потенциальных полей в технических устройствах различного назначения, реализованные в виде комплекса программ для ЭВМ.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Монография

1. Моделирование потенциальных полей с применением метода точечных источников / Ю.А. Бахвалов, A.A. Щербаков [и др.]. - Новочеркасск • ЮРГТУ (НПИ), 2012. - 158 с.

Публикации в ведущих научных журналах из списка ВАК

2. Бахвалов, Ю.А. Расчет двумерных потенциальных полей методом интегрированных фундаментальных решений / Ю.А. Бахвалов, С.Ю. Князев, А.А.Щербаков //Вестн. ВГУ / Воронеж, гос. ун-т. - 2007. - Т. 3, № 8. - С. 39-41.

3. Бахвалов, Ю.А. Математическое моделирование физических полей методом точечных источников / Ю.А. Бахвалов, С.Ю. Князев, A.A. Щербаков // Изв. РАН. Сер. физическая. - 2008. - Т. 72, № 9. - С. 1259-1261.

4. Расчеты потенциалов и напряженностей электрического поля в изоляции пазовых частей обмоток тяговых электродвигателей / А.Ю. Бахвалов, А.А.Щербаков [и др.] //Вестник ВЭлНИИ,- 2008.- Т. 1 (55).- С. 37-46.

5. Расчет двумерных электрических полей в изоляции пазовых частей обмоток тяговых электродвигателей методом эквивалентных зарядов / А.В.Киреев, A.A. Щербаков [и др.] // Изв. вузов. Электромеханика. - 2008. - № 5. - С. 3 -7.

6. Расчет электрических полей в изоляции тяговых электродвигателей методом эквивалентных зарядов / А.Ю. Бахвалов, А.А.Щербаков [и др.] // Электротехника. - 2009. - № 3. - С. 35-39.

7. Применение зарядов двойного слоя в методе точечных источников поля / А.Ю. Бахвалов, A.A. Щербаков [и др.] // Системы управления и информационные технологии. -2009. - № 3.1 (37). - С. 108-112.

8. Бахвалов, Ю.А. Математические модели электростатических полей свободных электрических зарядов на границах раздела диэлектрических сред / Ю.А. Бахвалов, A.A. Щербаков // Вестник Всероссийского научно-исследовательского и проектно-конструкторского института электровозостроения. - 2010. - № 1. - С. 1724.

9. Бахвалов, Ю.А. Математическое моделирование электростатических полей свободных поверхностных электрических зарядов методом точечных источников / Ю.А. Бахвалов, A.A. Щербаков // Изв. вузов. Электромеханика. - 2011. - № 1. -С. 22-25.

10. Щербаков, A.A. Компьютерная модель плавки гололеда на проводах воздушных линий электропередач / A.A. Щербаков // Изв. вузов. Электромеханика. -2012. №2,- с.31-33.

11. Бахвалов, Ю.А. Погрешность метода точечных источников при моделировании потенциальных полей в областях с различной конфигурацией / Ю.А. Бахвалов, A.A. Щербаков [и др.] // Изв. вузов. Электромеханика. - 2012. - №5. - с. 17-21.

Свидетельство о регистрации программы для ПЭВМ

12. Расчет потенциального поля с помощью метода точечных и интегрированных источников поля : свидетельство о гос. регистр, программы для ЭВМ № 2010614284 : Князев С.Ю. Щербаков A.A. . - заявка № 2010612460 ; заявл. 06.05.2010 ;зарег. в Реестре программ для ЭВМ 01.07.2010.

Прочие работы по теме диссертации

13. Бахвалов Ю.А. Расчет индуктивности сглаживающего реактора электровоза / Ю.А. Бахвалов, A.A. Щербаков // Студенческая научная весна - 2005 : сб. науч. тр. аспирантов и студентов ЮРГТУ (НПИ) / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ) -Новочеркасск : ЮРГТУ, 2005. - С. 219-220.

14. Изменение свойств нанокристаллических оксидных слоев на поверхности никелевых контактов / Е.И. Бубликов, A.A. Щербаков [и др.] // Нанотехнологии - производству - 2005 : тез. докл. конф., г. Фрязино, 30 нояб. - 1 дек. 2005 г. / ЗАО "Концерн НАНОИНДУСТРИ" - М. : Янус-К, 2005. - С. 21-22.

15. Моделирование термомиграции дискретных зон с помощью метода то-

чечных источников поля / С.Ю. Князев, A.A. Щербаков [и др.] // Научно-педагогические школы ЮРГТУ (НПИ) : История. Достижения. Вклад в отечественную науку : сб. науч. ст. / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). - Новочеркасск : ЮРГТУ (НПИ), 2007. - Т. 2. - С. 429-436.

16. Бахвалов, Ю.А. Расчет двумерных потенциальных полей методом интегрированных фундаментальных решений / Ю.А. Бахвалов, С.Ю. Князев, А.А.Щербаков // Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах : материалы V Междунар. семинара, г. Воронеж, 26 -27 мая 2007 г. / Воронеж, гос. техн. ун-т. - Воронеж 2007 - С 175 -180.

17. Расчет электрического поля в изоляции тяговых электродвигателей с помощью метода точечных источников поля / С.Ю.Князев, A.A. Щербаков [и др.] // Физико-математическое моделирование систем : материалы V Междунар. семинара (г. Воронеж, 28-29 ноября 2008 г.) / Воронеж, гос. техн. ун-т. - Воронеж 2008 - Ч 2 -С. 36-41.

18. Князев, С.Ю. Применение метода мгновенных точечных источников поля при численном решении граничных задач для уравнения теплопроводности / С.Ю.Князев, A.A. Щербаков // Физико- математическое моделирование систем : материалы V Междунар. семинара (г. Воронеж, 28-29 ноября 2008 г.) / Воронеж, гос. техн. ун-т. - Воронеж, 2008. - Ч. 2. - С. 47-54.

19. Математическое моделирование магнитных полей электрических машин с постоянными магнитами методами фундаментальных решений и конечных элементов / Ю.А. Бахвалов, A.A. Щербаков [и др.] // Исследования по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию : [сб. докл. УП Междунар. конф. «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования», Волгодонск, 24-29 авг. 2009 г.] / Юж. мат. Ин-т ВНЦ РАН и РСО-А ; Юж. федер. ун-'т ; Юж.-Рос. гос. ун-т экономики и сервиса. - Владикавказ : ВНЦ РАН и РСО-А 2009 - С 1925. '

20. Бахвалов, Ю.А. Математические модели электростатических полей со свободными электрическими зарядами на границах раздела сред / Ю.А. Бахвалов, A.A. Щербаков // Физико-математическое моделирование систем : материалы VI Междунар. семинара, г. Воронеж, 27-28 нояб. 2009 г. / Воронеж, гос техн ун-т -2010.-Ч.З.-С. 25-28.

Щербаков Антон Андреевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ В КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ МЕТОДОМ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ

Автореферат

Подписано в печать 12.03.2013. Формат 60х 84Ухь. Бумага офсетная. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,0. Уч-изд. л. 1,0. Тираж 120 экз. Заказ № 46-222.

Отпечатано в ИД «Политехник» 346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения, 132 idp-npi@mail.ru

I

I

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)»

На правах рукописи

1

ЩЕРБАКОВ АНТОН АНДРЕЕВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ В КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ МЕТОДОМ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ

05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и ком-^ плексы программ»

СО 00

Ю со

Ю Диссертация на соискание ученой степени кандидата

СО см технических наук

^ ю

О Я

СМ ™

о

Научный руководитель д.т.н., проф. Бахвалов Ю.А.

Новочеркасск - 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ.................................................................................................................5

ВВЕДЕНИЕ................................................................................................................................................6

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ...............................................................................................................................12

1.1. Однородные, кусочно-однородные и слоистые среды в технике...............12

1.2. Физические поля в многослойных средах...........................................................14

1.3. Моделирование потенциальных полей в многослойных средах...............17

Постановка задач исследования.......................................................................................20

ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ МТИ ПРИ ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА........................................................................................21

2.1. Краткое описание метода точечных источников поля....................................21

2.2. Метод интегрированных источников поля...........................................................25

2.3. Применение МИИ при решении задач с осевой симметрией......................29

2.4. Особенности аппроксимации в МТИ......................................................................30

2.5. Погрешность МТИ при моделировании потенциальных полей с различной степенью неоднородности............................................................................................36

2.6. Тестовые примеры, подтверждающие эффективность МТИ при решении краевых задач в областях с различной конфигурацией...........................................40

2.7. Исследование проблемы расположения зарядов, моделирующих потенциальное поле, и точек коллокации..................................................................................48

Выводы по главе 2....................................................................................................................52

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ В МНОГОСЛОЙНЫХ СРЕДАХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МТИ.......................................................................54

3.1. Математические модели потенциальных полей в многослойных

средах54

3.2. Система МТИ для двухслойной среды..................................................................58

3.3. Система МТИ для многослойной среды................................................................62

3.4. Системы МТИ при решении двумерных и трехмерных задач в многослойных средах..........................................................................................................................66

3.4.1. Неоднозначность фундаментальных решений....................................66

3.4.2 Системы МТИ при решении двумерных задач в многослойных средах.............................................................................................................................................68

3.4.3. Системы МТИ при решении трехмерных задач в многослойных средах.............................................................................................................................................71

3.5. Вычисления направляющих углов нормали.........................................................73

3.5.1. Вычисления направляющих углов нормали. Двумерная

задача.............................................................................................................................................73

3.5.2. Вычисления направляющих углов нормали. Трехмерная задача..............................................................................................................................................80

3.6. Система МТИ для решения задач с осевой симметрией в многослойных средах.............................................................................................................................................83

3.7. Применение метода мгновенных точечных источников поля при численном решении граничных задач для уравнения теплопроводности............85

Выводы по главе 3...................................................................................................................88

ГЛАВА 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ В МНОГОСЛОЙНЫХ СРЕДАХ ТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ РАЗЛИЧНОГО НАЗНАЧЕНИЯ.......................................................................................................................................................89

4.1. Уравнения электрического поля для изоляции тяговых двигателей электровозов.........................................................................................................................................89

4.2. Расчет полей в изоляции тяговых электродвигателей методом точечных источников 92

4.3. Расчет электрического поля в объеме электростатического фильтра высокого напряжения.................................................................................................................100

4.4. Математическое моделирование электростатических полей при наличии свободных поверхностных электрических зарядов на границе раздела сред................................................................................................................................................106

4.5. Компьютерная модель плавки гололеда на проводах воздушных линий электропередач.........................................................................................................................112

4.6. Пример моделирования трехмерного электростатического поля при наличии свободных поверхностных зарядов на границе раздела сред..............118

4.7. Используемое и разработанное программное обеспечение......................120

Выводы по главе 4 121

ЗАКЛЮЧЕНИЕ....................................................................................................................................124

ЛИТЕРАТУРА......................................................................................................................................126

ПРИЛОЖЕНИЯ...................................................................................................................................142

Приложение 1. Расчет полей в пазах изоляции тяговых электродвигателей

методом эквивалентных электрических цепей.........................................................142

Приложение 2. Акты об использовании материалов диссертации..................146.

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

МГЭ - метод граничных элементов

МИИ - метод интегрированных источников поля

МКР - метод конечных разностей;

МКЭ - метод конечных элементов;

ММТИ - метод мгновенных точечных источников;

МНК - метод наименьших квадратов;

МТИ - метод точечных источников поля;

МФР - метод фундаментальных решений;

МЭЗ - метод эквивалентных зарядов;

СЛАУ - система линейных алгебраических уравнений.

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследований. Важнейшим этапом разработки технических устройств различного назначения является моделирование потенциальных физических полей в многослойных средах. При этом физическая природа моделируемых полей может быть самой разной.

Работа электротехнических устройств весьма часто определяется электрическими и магнитными полями в смежных областях устройств с различными значениями диэлектрической или магнитной проницаемости. Одним из значимых технологических параметров ряда устройств является температура, расчет которой производится в сопрягающихся областях, обладающих различными тепло-проводящими свойствами. Диффузионные процессы в многофазных средах, которые характеризуются различными значениями коэффициента диффузии, также могут определять работу соответствующих технических устройств.

Таким образом, задачи моделирования физических полей в кусочно-однородных, многослойных средах являются одними из типичных задач инженерной практики. Эти задачи имеют особенности, отличающие их от других задач моделирования физических полей.

В первую очередь эти особенности обусловлены условиями на сопрягающихся границах, разделяющих среды с различными свойствами. При этом необходимо учитывать развитие различных физических процессов на сопрягающихся границах, например, накопление поверхностных зарядов или выделение теплоты межфазных переходов. Все это осложняет задачу моделирования поля в многослойной среде, особенно на этапе ее численного решения.

Обычно, при численном решении задач моделирования физических полей используется метод конечных разностей (МКР) [116, 132, 140] или метод конечных элементов (МКЭ) [76, 85, 141]. Однако при решении задач в многослойных средах применение этих испытанных численных методов может оказаться малоэффективным.

Условия на сопряженных границах, связывающие нормальные производные расчетного параметра поля в двух средах, вносят существенную погрешность в

результаты вычислений, что может затруднить окончательное решение задачи. Эта проблема может быть устранена при использовании бессеточного метода точечных источников поля (МТИ) [8, 16, 19, 46, 53].

При решении задач в многослойных средах МТИ может обеспечить решение с большей точностью и с меньшим временем вычислений, чем традиционные сеточные методы МКР и МКЭ. Поэтому применение МТИ позволяет повысить эффективность решения таких задач, что свидетельствует об актуальности работы по моделированию физических полей в многослойных средах технических устройств с использованием МТИ [55, 56, 128, 129].

МТИ наиболее эффективен в случае решения задач с линейными средами. В случае решения задач с нелинейными средами или средами, содержащими источники, рекомендуется применение комбинированного метода точечных источников и сеточного метода (метода конечных элементов, метода конечных разностей).

Работа выполнена в соответствии с приоритетным направлениям развития науки, технологий и техники РФ «Информационно-телекоммуникационные технологии и электроника» (утверждено Указом Президента РФ от 30.03.02 г.), а также по теме НИР «Математические модели и численные методы для решения комплексных проблем электродинамики, механики, теплофизики и экологии», выполняемой в ЮРГТУ (НПИ) при поддержке Министерства Образования и Науки РФ.

Цель работы заключается в повышении эффективности процессов проектирования технических устройств и управления ими, достигаемой за счет применения компьютерных моделей потенциальных полей в кусочно-однородных средах, разработанных на основе метода точечных источников.

Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие основные задачи:

- разработка дискретных математических моделей потенциальных полей в кусочно-однородных, многослойных средах на основе МТИ;

- разработка алгоритмов решения краевых задач для уравнения Лапласа в кусочно-однородных, многослойных средах с использованием МТИ;

- разработка комплекса вычислительных программ для ЭВМ на базе МТИ для моделирования потенциальных полей в кусочно-однородных, многослойных средах;

- решение конкретных инженерных задач с помощью разработанного комплекса программ.

Методы исследования. Методом исследования физических полей в расчетных областях многослойных сред, является численное моделирование рассматриваемых процессов с использованием МТИ. Анализ корректности разрабатываемых моделей производится путем получения оценок условий единственности, устойчивости и сходимости решений на основе вычислительных экспериментов и сопоставления этих оценок с результатами физических экспериментов и результатами, полученными другими исследователями.

Достоверность полученных результатов подтверждается согласованием полученных с помощью численных моделей результатов с априорными оценками, с данными других исследователей, а также с данными, полученными экспериментально (расхождение по скорости плавки для гололеда на воздушных линиях электропередачи не превышает 10 %). Выводы, полученные с помощью разработанных моделей, находятся в логическом соответствии с известной физической интерпретацией полученных данных. Полученные результаты обсуждались на конференциях различного уровня и получили положительные оценки.

Научная новизна представленных в диссертации результатов состоит в следующем:

- впервые получены оценки погрешности численного решения МТИ краевых задач для уравнения Лапласа для областей различной конфигурации, случаев равномерного и неравномерного распределения зарядов, различных круговых частот гармоник, полученных при разложении искомого поля в ряд Фурье, различной аппроксимации границ, применяемой при вычислении углов нормали;

- разработаны алгоритмы решения краевых задач для уравнения Лапласа, основанные на использовании МТИ, отличающиеся возможностью их использования для нахождения поля в кусочно-однородных, многослойных средах;

- построена математическая модель плавки гололеда на проводах воздушных линий электропередач, основанная на МТИ, и в отличие от известных моделей, позволяющая рассчитать температурные поля, токи и время плавки путем решения последовательности краевых задач для уравнения Лапласа в трехслойной среде с изменяющимися границами;

- впервые построены компьютерные модели, основанные на МТИ, электрических полей в электромеханических устройствах различного типа (в пазах изоляции тяговых двигателей, в объеме фильтра с коронным разрядом, в средах, содержащих заряды на границах раздела сред) отличающиеся многослойностью расчетных областей.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость работы состоит в обосновании устойчивости и сходимости МТИ при решении двумерных и трехмерных краевых задач для уравнения Лапласа в кусочно-однородных, многослойных средах на основе численных экспериментов. Эти качества делают МТИ перспективным методом численного моделирования потенциальных полей, позволяя ему в ряде случаев составлять конкуренцию таким признанным численным методам, как метод конечных разностей, методы конечных и граничных элементов, что также свидетельствует и о практической значимости работы.

На основе полученных математических моделей и алгоритмов разработан комплекс программ, предназначенный для расчета двумерных и трехмерных потенциальных полей с помощью метода точечных источников. Комплекс программ и другие результаты диссертации могут найти применение, например: при проектировании технических устройств, работа которых определяется потенциальными полями (тепловыми, электрическими, магнитными и т.д.) в многослойных средах; в вузах при обучении по специальностям, учебные планы которых предполагают изучение численных методов моделирования потенциальных полей, а также при

выполнении научно-исследовательской работы студентами (НИРС), курсовых и дипломных работ.

Теоретические и программные разработки диссертации нашли практическое применение в проектно - конструкторской деятельности и научно-исследовательской работе ВЭлНИИ, в учебном процессе ЮРГТУ(НПИ) и ДГТУ, что подтверждается документально.

Зарегистрирован в Реестре программ для ЭВМ комплекс на базе МТИ для моделирования потенциальных физических полей при решении конкретных задач инженерной практики.

Основные результаты работы, выносимые на защиту

1. Получены оценки погрешности МТИ численного решения краевых задач для уравнения Лапласа в областях с различной конфигурацией.

2. Предложены варианты расположения зарядов, моделирующих искомое поле при численном решении краевых задач для уравнения Лапласа с помощью МТИ, которые обеспечивают получение более точной и устойчивой компьютерной модели.

3. Разработаны алгоритмы решения краевых задач для двумерного и трехмерного уравнения Лапласа в кусочно-однородных, многослойных средах с подвижными границами, позволяющие значительно расширить прикладные возможности МТИ при моделировании потенциальных полей.

4. Разработаны алгоритмы решения двумерных и трехмерных краевых задач с граничными условиями второго и третьего рода, основанные на использовании МТИ, в которых нормальные производные от искомой функции вычисляются формулами различного порядка точности, что позволяет значительно снизить погрешность без существенного усложнения компьютерной модели и увеличения времени счета.

5. Построены с использованием МТИ дискретные математические модели электрических полей в электромеханических устройствах различного типа (в пазах изоляции тяговых двигателей, в объеме фильтра с коронным разрядом, в средах, содержащих заряды на границах раздела).

6. Построена математическая модель плавки гололеда на проводах воздушных линий электропередач, основанная на МТИ, и в отличие от известных моделей, позволяющая рассчитать температурные поля, токи и время плавки путем решения последовательности краевых задач для уравнения Лапласа в трехслойной среде с изменяющимися границами.

7. Построенные компьютерные модели на базе МТИ потенциальных полей в технических устройствах различного назначения, реализованы в виде комплекса программ для ЭВМ.

Апробация работы: Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных конференциях ЮРГТУ (НПИ) в 2005 -2011 гг.; IV - VI международных семинарах «Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах» (г. Воронеж, 2006 - 2008 гг.); конференции «Нанотехнологии- производству-2005» (Фрязино, 2005 г.), .); VII Международной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования", Волгодонск, 2009г. /Юж. мат. ин-т ВНЦ РАН и PCO-А; - Владикавказ : ВНЦ РАН и PCO-А, 2009.

Публикации