автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование потенциальных геоэлектрических полей

На правах рукописи

КРИЗСКИЙ ВЛАДИМИР НИКОЛАЕВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ГЕОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ ,

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Стерлитамак - 2004

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и механики Стерлитамакского государственного педагогического института и в лаборатории дифференциальных уравнений отдела физико-математических и технических наук Стерлитамакского филиала Академии Наук Республики Башкортостан

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ягола Анатолий Григорьевич;

доктор физико-математических наук Дерюгин Юрий Николаевич;

доктор физико-математических наук Степанова Инна Эдуардовна.

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится 13 октября 2004 г. в 1400 часов на заседании диссертационного совета ДР-212.117.03 при Мордовском государственном университете им. Н.П. Огарева по адресу: 430000, г. Саранск, ул. Большевистская, 68.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета. Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета,

к.ф.-м.н.

М.А. Борисов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Стратегический курс России направлен на увеличение разведанных запасов минерально-сырьевых ресурсов путем геологических и геофизических изысканий. Следовательно, одной из главных задач является задача поиска месторождений полезных ископаемых и оценка мощности запасов по выявленным контурам границ для обоснования экономической рентабельности их разработки. С другой стороны требуется переоценка уже разведанных запасов с учетом произведенной промышленной выработки, более полное опоискование продуктивных зон, уточнение контуров залежей.

Предотвращение техногенных, геологических, экологических катастроф, чрезвычайных ситуаций и аварий является предметом исследования новых геофизических направлений - инженерной и экологической геофизики. Здесь требуется осуществлять мониторинг опасных процессов - разрушений, сдвиговых геологических деформаций сред в зоне подземных и глубоководных промышленных сооружений (шахт, трубопроводов и т.п.), определение границ фильтрационных потоков и экологического состояния земных недр, выявляя границы зон, загрязненных распространением в земле жидкого продукта (нефти, воды и т.п.) в следствие утери герметичности резервуаров, скважин или трубопроводов.

Одним из методов повышения эффективности нефтяных и газовых скважин является наклонно-направленное и горизонтальное бурение, позволяющее существенно увеличить дебит за счет увеличения зоны их перфорации. Навигация скважины внутри узкого продуктивного пласта — насущная задача систем бурения. Здесь актуальной является проблема отслеживания границ пласта с целью своевременного управления буровым инструментом. Основой таких систем (LWD-системы) может служить математическая модель геонавигации низкочастотным и постоянным электрическим током, позволяющая определять границы продуктивного пласта в ближней зоне.

Следовательно задача поиска границ сред в геофизике - актуальная задача различных важных народнохозяйственных областей.

Электроразведка - один из основных эффективных и экологически безопасных геофизических методов. На ее долю приходится около трети всех ассигнований, выделяемых на геофизические исследования, из которых почти 90% средств приходится на методы электроразведки потенциальными полями.

Большое распространение в разведочных аппаратурных комплексах, в силу повышенной зоны проникновения поля, получили токи низкой частоты (4,88 Гц), а так же постоянные электрические токи. Так в России разработаны комплексы АНЧ-3, ЭРА (НПП "ЭРА", Г.С.Петербург).

За рубежом используются мобильные многоэлектродные низкочастотные аппаратурные комплексы фирм АВЕМ (Швеция), OYO Corporation (Япония), Scinttrex (Канада), Campus (Англия), DMT (Германия), Iris Instruments (Франция), Geometries (США).

Математические модели полей постоянных токов хорошо согласуются с низкочастотными по интерпретации результатов изысканий.

Конечной целью методов электромагнитных исследований является решение обратной и, как правило, некорректной задачи - интерпретация измеренных полевых данных, восстановление структуры исследуемого района: границ и удельных электрических проводимостей сред его составляющих (геоэлектрическая томография).

Теория интерпретации следует по пути усложнения моделей сред от одномерных к двумерным, квазитрехмерным и существенно трехмерным. На современном этапе универсальным методом решения обратных и некорректных задач является вариационный метод регуляризации

A.Н.Тихонова. Актуальным для его реализации является быстрое и точное численное решение прямых задач как для характерных геологических разрезов, так и для трехмерных разрезов со сложной геометрией. Отсюда следует важность двух направлений:

1) пополнение банка прямых задач математическими моделями квазитрехмерных и трехмерных разрезов сложной геометрии и разработка эффективных методов, алгоритмов и программ- их численного анализа;

2) решение обратных задач - интерпретация данных геофизических измерений с подбором наиболее адекватной модели из банка прямых задач с помощью алгоритмов и программ вариационного типа.

Исследованию этих направлений посвящены работы А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, Л.М. Альпина, А.Б. Бакушинского, Е.Г. Булаха,

B.Р. Бурсиана, В.Б. Гласко, А.М. Глюзмана, В.И. Дмитриева, А.И. Забо-ровского, Е.В. Захарова, В.К. Иванова, В.Т. Иванова, А.И. Кобрунова, А.К. Козырина, А.А. Колосова, П.С. Мартышко, Б.К. Матвеева, Б.С. Све-това, В.И. Старостенко, В.Н. Страхова, А.Г. Яголы, С. Schlumberger, J.R. Wait, G.V. Keller, R.G. Van Nostrand, K.L. Cook, T. Lee и учеников их школ. Имеющиеся в научной литературе работы по расчетам потенциальных геоэлектрических полей либо основаны на общих, достаточно трудоемких алгоритмах решения, либо исследуют упрощенные геофизические модели сред. Актуальной остается проблема построения математических моделей, более адекватно отражающих распределение потенциальных полей в трехмерных и квазитрехмерных средах сложной геометрии, разработки эффективных алгоритмов и программ их численного анализа. Обратные же задачи поиска границ включений методами геоэлектрики решались, как правило, только в классе тел простой формы в однородных средах, либо без учета погрешностей практических измерений поля, т.е. как теоретические обратные задачи.

4

Цель работы - построение новых математических моделей, разработка численных методов, алгоритмов и комплекса программ компьютерного моделирования прямых и обратных задач поиска границ сред посредством потенциальных геоэлектрических полей в кусочно-однородных квазитрехмерных и существенно трехмерных средах, позволяющих осуществлять расчет поля от источников постоянных токов, интерпретировать результаты полевых электроразведочных изысканий. Проведение исследований влияния различных геоэлектрических параметров на токораспределение в указанных средах методом вычислительного эксперимента.

Научная новизна полученных результатов. В настоящей работе впервые исследованы прямые задачи электроразведки в существенно-трехмерных кусочно-однородных средах. Разработаны новые математические модели и предложены новые комбинированные алгоритмы решений, базирующиеся на методе граничных интегральных уравнений. Предложена процедура поэтапного усложнения/упрощения геометрии среды. На основе данного метода решены задачи для следующих моделей сред: с геометрией, учитывающей влияние круговой вертикальной скважины, в том числе конечной глубины, при наличии локальных неоднородностей; искривленной скважины в пласте при горизонтальном бурении; в горизонтально-слоистом пространстве и в пространствах с куполовидными поднятиями. Приведены ранее не рассматривавшиеся решения задач геоэлектромониторинга подземных и глубоководных продуктопроводов.

Для решения квазитрехмерных прямых задач, обладающих пространственной осевой симметрией предложен эффективный комбинированный метод, основанный на сочетании методов интегральных преобразований и интегральных уравнений, формируемых на базе теории потенциала двойного электрического слоя.

На основе методов вариационного типа получены решения некорректных обратных задач поиска границ локальных включений как вектора ограниченных параметров, входящего в состав параметрического описания поверхностей. Определены параметры сплайна, аппроксимирующего границу области. Впервые осуществлен поиск образующей тела вращения, направляющей цилиндрического включения в горизонтально-слоистой среде. Предложены алгоритмы определения границ пласта в системах геонавигации при горизонтальном бурении скважин, определения поверхностей трехмерных локальных включений на основе сплайн-аппроксимации, позволяющие осуществлять геоэлекроразведку и геоэлектромониторинг исследуемого района, а также алгоритмы определения профиля скважин методами геоэлектрики.

Разработанные алгоритмы реализованы в комплексе оригинальных программ автора.

Практическая значимость результатов. Предложенные методы и алгоритмы позволяют эффективно решать задачи геоэлектрики: поиска, электроразведки, электрокаротажа, электрохимической защиты подземных сооружений и геоэлектромониторинга в трехмерных кусочно -однородных средах сложной геометрии, аналитическое решение которых отсутствует. Включение учета условий сопряжения на границах раздела сред вмещающего пространства в ядро интегральных уравнений, позволяет экономить объем оперативной памяти и время счета ЭВМ, что существенно при организации АРМ на базе персональных компьютеров. Предлагаемые алгоритмы допускают распараллеливание при использовании суперкомпьютеров, RISC- и CISC-многопроцессорных вычислительных комплексов или вычислительных кластеров с организацией параллельных процессов вычислений и могут быть использованы в теории различных методов электроразведки постоянным током: ВЭЗ, ВЭЗ ВП, профилировании, электрической корреляции, в методе заряда и др.

На основе разработанных алгоритмов и программ решения прямых задач расчета потенциала электрического тока в кусочно-однородных средах осуществлено решение обратных задач определения границ квазитрехмерных и трехмерных включений в важных для практики геофизических средах.

Работа выполнена в рамках научного направления СГПИ № 9 "Дифференциальные уравнения" по теме "Решение прямых и обратных задач электроразведки постоянного тока" (код ГРНТИ 27.29.15).

Результаты исследований внедрены в практику работ геологической партии Туймазинской геолого-поисковой конторы, Ишимбайского нефтегазодобывающего управления "Ишимбайнефть", использованы в научно-исследовательской работе отдела физико-математических и технических наук СФ АН РБ, а так же в научной и учебной работе физико-математического факультета Стерлитамакского госпединститута.

Произведена отраслевая и государственная регистрация программных средств в фондах алгоритмов и программ Министерства Образования и науки Российской Федерации (ОФАП МОН РФ) и во Всероссийском научно-техническом информационном центре (ВНТИЦ).

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались на: I Всесоюзной конференции по теоретической электротехнике (Ташкент - 1987); Всесоюзном симпозиуме по теории приближения функций (БФ АН СССР, Уфа - 1987); Международных конференциях "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Стерлитамак - 1996, Уфа - 2000); Всероссийской

научной конференции "Физика конденсированного состояния" (Стерли-тамак- 1997); III Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике - "ИНПРИМ" (Новосибирск- 1998); Международной научной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы", посвященной 70-летию академика РАН В.А. Ильина (СФ АН РБ, СГПИ, Стерлитамак- 1998); IV—VI Международных научных конференциях "Дифференциальные уравнения и их приложения" (СВМО, МГУ, Саранск - 2000, 2002, 2004); Международных научных конференциях "Математические методы в технике и технологиях" -"ММТТ-14" (Смоленск - 2001), "ММТТ-15" (Тамбов - 2002), "ММТТ-16" (С.-Петербург - 2003), "ММТТ-17" (Кострома- 2004); II и III Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике -"ВСППМ" (Самара, Йошкор-Ола - 2001, Сочи - 2002); Международных конференциях по математическому моделированию - "МКММ" (Херсон -2001-2003); научно-методическом совете ВНИИ "Нефтепромгеофизика" (Уфа - 1987); научном семинаре ВНИИ геофизических исследований геологоразведочных скважин "ВНИИГИС" (Октябрьский - 1990); научном семинаре НПЦ "Тверьгеофизика" (Тверь -2001); 'научном семинаре ОАО НПФ "Геофизика" (Уфа - 2002); научном семинаре кафедры геофизики БашГУ (Уфа - 2003); объединенных семинарах отдела вычислительной математики ИМ с ВЦ УНЦ РАН и кафедры вычислительной математики БашГУ (Уфа - 1989-1991); школе-семинаре СФ АН РБ "Дифференциальные уравнения и механика многофазных систем" (руководитель - академик РАН Р.И. Нигматуллин) (СФ АН РБ, Стерлитамак - 1999, 2001); XXVI школе-семинаре по проблемам механики сплошных сред в системах добычи, сбора, подготовки, транспорта и переработки нефти и газа (руководитель - академик АН Республики Азербайджан А.Х. Мирзаджанзаде) (ИПТЭР, Уфа - 2002); Международной конференции "Некорректные и обратные задачи", посвященной 70-летию академика РАН М.М. Лавретьева (СО РАН, Новосибирск-2002); 30-й и 31-й сессиях международного научного семинара "Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей" (руководители - академик РАН В.Н. Страхов, академик РАЕН А.А. Никитин) (ОИФЗ РАН, МГГРУ, Москва - 2003,2004); 3-й Всероссийской научно-практической Школе-семинаре "Обратные задачи химии" (Бирск - 2003); Международной научной Школе "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" (СВМО, МГУ, Саранск - 2003); Международной научной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы", посвященной 75-летию академика РАН В.А. Ильина (СФ АН РБ, СГПИ, Стерлитамак - 2003); Уфимском объединенном семинаре по вычислительной математике БГПУ и ИМ с ВЦ УНЦ РАН (БГПУ, Уфа -2003); Объединенной ассамблее Европейского Геофизического общест-

ва, Американского Геофизического Союза и Европейского Союза Геофизиков (EGS-AGU-EUG Joint Assembly) (Ницца, Франция -2003).

Достоверность результатов численных расчетов рассмотренных математических моделей и методов и алгоритмов обоснована и подтверждена: а) сравнениями с результатами аналитических решений тестовых задач; б) сравнениями с результатами других авторов, полученными для аналогичных задач в некоторых частных случаях; в) математической корректностью постановок краевых задач, строгостью применения математического аппарата исследования.

Публикации. Содержание и результаты диссертации опубликованы в 103 печатных и 12 электронных работах. Из них 56 работ представлены в изданиях, входящих в перечень ВАК изданий, отражающих основные результаты докторских диссертаций, в том числе 10 программных продуктов, зарегистрированных в отраслевом фонде алгоритмов и программ Министерства Образования Российской Федерации и во Всероссийском научно-техническом информационном центре.

Личный< вклад автора. Научные результаты, вынесенные на защиту, получены автором самостоятельно. В совместных работах ему принадлежат постановки и анализ задач, разработка численных методов -и алгоритмов решения, создание структуры программного комплекса.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения. Полный ее объем составляет 360 страниц машинописного текста, включая 84 рисунка, 12 таблиц, библиографию, содержащую 465 названий и приложение на 52 страницах, включающее акты внедрения и передачи, регистрационные документы фонда алгоритмов и программ МОН РФ и ВНТИЦ.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели и задачи исследования, отмечается научная новизна и практическая значимость результатов, приводятся положения, выносимые на защиту.

Глава 1. Обзор работ и состояние проблемы

В § 1.1. "Прямые задачи геоэлектрики и методы их решения" приведено основное уравнение геоэлектрики на постоянном токе

полученное из системы уравнений Максвелла относительно потенциала тока — функции u(x,y,z). Рассмотрены различные типы граничных условий, возникающие в разных задачах геоэлектрики. Обоснован переход к точечному электроду (выбору функции f(x,y,z) в виде

f{P,A) = lS(P-A). где A(xo,yo,z0) - точка, содержащая источник тока силы / , P(x,y,z) - приемник тока, 8 - функция Дирака) и кусочно-постоянной по удельной электрической проводимости среде (классу функций <j(x,y,z)).

Приводится обзор литературы по моделированию электрических полей в геоэлектрических системах. Изложена история формирования геоэлектрики (в том числе скважинной) как отрасли прикладной геофизики. Приведен обзор численных методов решения прямой задачи расчета электрических полей - внешней краевой задачи математической физики для уравнения второго порядка эллиптического типа. Даны характеристики методов зеркальных отражений Томсона, Фурье, интегральных преобразований, интегральных уравнений, дифференциально-разностного, вариационного, проекционного, комбинированных методов, основанных на сочетании интегральных преобразований с численными и получисленными методами. Рассматриваются ортогональные криволинейные системы координат в пространстве и соответствующие модели геологических разрезов, для которых решена прямая задача указанными методами.

Делается обоснованный выбор методов интегральных уравнений для существенно трехмерных задач и комбинированного метода интегральных преобразований и интегральных уравнений для квазитрехмерных задач как методов, в которых прослеживается явная зависимость потенциала тока от формы границ сред, что существенно важно с точки зрения решения обратных задач поиска этих границ. Отмечен другой важный аспект применимости данных методов - возможность распараллеливания процесса вычислений, что важно с точки зрения использования многопроцессорных вычислительных комплексов для ресурсоемких по времени обратных задач.

Применение всех методов к задачам геофизики иллюстрируется соответствующими работами.

Обратные задачи геоэлектрики являются, как правило, задачами некорректными. Методы их решения обсуждаются в § 1.2.

Современные методы решения некорректно поставленных задач были сформулированы в с основополагающих работах А.Н.Тихонова, В.К.Иванова, М.М.Лаврентьева и развиты усилиями большой группы математиков, учениками их школ. В качестве методов решения обратных задач поиска границ локальных включений выбраны метод квазирешений для решения теоретических обратных'задач на компактном множестве варьируемых параметров, входящих в параметрическое описание границы, а так же вариационный метод А.Н.Тихонова поиска границы как экстремали регуляризирующего функционала.

Обосновывается поиск границы кусочно-однородных сред в виде аппроксимирующих сплайн-функций. В качестве основных преимуществ использования сплайнов декларируется их высокая точность вычисления, изоморфность конечномерному пространству векторов при фиксировании типа граничных условий (получение компактного множества поиска параметров сплайна при ограничении их вариаций) и равномерная сходимость интерполяционного процесса. Метод сплайнов является специфической формой метода регуляризации А.Н.Тихонова, когда входные данные дискретны.

Задачи исследования, возникающие при анализе информационных источников сформулированы в § 1.3.

Глава 2. Прямые задачи геоэлектрики в квазитрехмерных кусочно-однородныхсредах

В § 2.1 рассматриваются задачи о поле точечного источника постоянного электрического тока в кусочно-однородных средах с пространственной осевой симметрией (Рис.1).

Потенциал поля постоянного тока интенсивности-/ , возбуждаемого в точке Л(хо,0,7о;} слоя П;, <г, в л-слойном в плоско-параллельном горизонтально-слоистом кусочно-однородном'полупространстве- О , состоящем из горизонтальных слоев П,-,^,...,^ с удельными электрическими проводимостями (т1,сг2,...,<тн, в присутствии тела вращения П0 с удельной электрической проводимостью в слое с номером1 в декартовой системе координат с осью г, являющейся осью вращения, описывается следующей краевой задачей для уравнения эллиптического типа:

Здесь Б - граница тела П0, плоскость г = г( - нижняя граница слоя (| = 1,я-1). Д- оператор Лапласа, 3 - функция Дирака; п - единичный вектор внешней нормали к поверхности 5

Переход к цилиндрической системе координат и применение интегрального преобразования по азимутальной- координате приводит к представлению решения в виде

"(г,<р, 2) = л'11 (2 -<5°)ит(г,г)соэ пир,

(8)

где <?° - символ Кронекера. Коэффициенты Фурье ищутся в следующем виде1:

//"(0 - плотность потенциала двойного слоя на образующей тела Щ определяемая решением интегрального уравнения ^ = 0,1,2,...):

I Воскобойников Г.М. О вычислении стационарных электромагнитных полей а некоторых кусочно-

однородных средах II Изв. АН СССР. Физика Земли. -1973. - N29. - С. 63-76.

Функция Грина горизонтально-слоистой среды представлена в виде интегрального преобразования Ханкеля с рекуррентно вычисляемой подынтегральной функцией.

Для случая однородного пространства и полупространства приводятся два идентичных по результату метода построения функции Грина. Показана абсолютная сходимость ряда (8). Выведены формулы нахождения верхнего предела суммы по заданной точности расчетов. Осуществлено сравнение с аналитическими решениями для случая шара и вытянутого сфероидов, показавшее эффективность предлагаемого метода. Проведены численные исследования электрического поля на ЭВМ для сложных тел в параметрическом классе границ.

В § 2.2 рассматриваются задачи геоэлектрики в средах с пространственной плоскостной симметрией.

П. 2.2.1. содержит решение задачи о поле точечного источника в кусочно-однородных цилиндрических средах в присутствии цилиндрических включений (.Рис. 2.). В математическую модель (2)-(7) здесь добавлено условие «0(Р)-»0, Р да. Для ее решения также применен комбинированный метод2, аналогичный § 2.1, но решение представлено в виде интеграла Фурье. Сделано численное сравнение решения с аналитическим для случая фугового цилиндра, показавшее эффективность метода.

В п. 2.2.2 на основе изложенного выше метода дается решение задачи о поле точечного источника в горизонтально-слоистой среде с параметрически заданными границами. Приведены результаты вычислительного эксперимента по расчету электрических полей точечных источников для различных типов горизонтальных пластов в системах бурения наклонно-направленных и горизонтальных скважин.

Глава 3. Прямые задачи геоэлектрики в существенно трехмерных кусочно-однородных средах В главе рассматриваются математические модели потенциальных электрических полей в существенно трехмерных кусочно-однородных средах. В качестве метода исследования предлагается метод интегральных уравнений, формируемых на основе интегральной формулы Грина с построением функции Грина вмещающего пространства. В качестве вмещающих пространств могут быть использованы как квазитрехмерные кусочно-однородные среды, представленные в главе 2 с указанными в

1 Иванов В Т.. Козырин А К, Кшьдибекова Г.Я. Метод расчета электрических полей в полупространстве с цилиндрическими неоднородностями // Из8 ВУЗов Геология и разведка — 1986 — № 9

ней численными методами вычислении, так и среды, рассматриваемые в текущей главе

Параграф 3 1 содержит изложение метода интегральных представлений решения существенно трехмерных задач геоэлектрики в кусочно-однородых средах

Рассмотрим кусочно-однородную среду (см. Рис 3)

С2 = и"оП( , состоящую из областей С!1. Пусть в среде П^ в точке Л(х0,у0,10) находится точечный источник постоянного электрического тока интенсивности / Математическая модель распределения потенциала поля и(Р), Р(х,у,г) в данной среде имеет вид

Здесь в, - граница области П,; /,,2,...,/4 - номера областей, участки границ которых являются частью границы "земля/воздух" - у0, т,т,а...,ты - номера областей с участками границ, уходящими в бесконечность, п - вектор внешней нормали

Рассмотрим вспомогательную задачу. (?(£,»1,<р)

СП

= 0; / = /„/,,...,/„, k\<N<Nt, к\ < к\

(14)

= 0; (15)

дп дп

У е Г"', бт(Л0-> 0, Роо, т = щ,тг.....тй], n\<n<N. (16)

Краевая задача (13)—<16) определяет функцию Грина в полупространстве для уравнения эллиптического типа с кусочно-постоянными коэффициентами. Без ограничения общности • рассуждении будем считать, что функция Грина в(Р,0) определяется в среде, состоящей из

первых Ы} областей П,.

Если Nl = N, то при 0=А решение задачи (9)-П2) имеет вид и{Р) = Ю(Р,А)/сг1о.

Если Ы<Ы, то рассмотрим для. каждой: области -П,, / = 0,М-формулу Грина

¡(иМ-^и^П, = (17)

Подставив в (17) вместо функции .V функцию Грина в(Р,0), определяемую решением граничной задачи (13)—(16), получим "обобщенное интегральное представление Грина решения краевой задачи (9)-(12) в области О,, / = О^У :

Умножив (18) на ст, и просуммировав результат по / от 0 до Ы, получим:

'=0 я, N

♦Е I

дпд

„,(е)ММ)-С(ле)

дпп

8пу

ди,Щ)

дпп

+

еЮ,

1о

С учетом граничных условий (10)—(12) и (14)—(16) и в силу непрерывности функции и(Р) получим более простое интегральное представление решения задачи (10)—(13):

-и(Р)±и1сг, + Ю(Р,А) = £ 2 (<7, -<7,(19)

1-0 уеГ,* Л,

где Г^ - множество номеров областей, которые имеют участки границ,

соприкасающиеся с границей области 5,.

Согласно формуле (19), решение задачи может быть получено в любой точке исходной кусочно-однородной среды если определено решение задачи (13)—(16) - функция Грина С(Р,0) и известны граничные значения потенциала на границах сред, не вошедших в задачу для функции Грина.

Опуская в (19) точку. Р на каждую из поверхностей'5,, /еГ*, получим систему интегральных уравнений Фредгольма второго рода относительно неизвестных граничных значений потенциала и,(Р) вида:

Ре, /е Г£, к = Г£, / = % = <г,±<т,,

Использование функции Грина, связанной с исходной постановкой задачи (как решение задачи (13)—(16) уменьшает число границ, по которым формируются интегральные уравнения. Вместе с этим метод становится более эффективным по использованию памяти ЭВМ.

Метод обладает определенной универсальностью - он позволяет варьировать вмещающее пространство от однородного (Ы1 =0) до исходного сложно-построенного (Ы, = Ы). Данный подход допускает реализацию процедуры упрощения геометрии среды, так как задача для функции Грина аналогична исходной задаче, но с меньшим числом областей. И для ее решения снова может быть применен описанный здесь метод интегральных уравнений. С другой стороны, этот метод позволяет и усложнять геометрию пространства, так как кусочно-однородное пространство, для которого получено решение прямой задачи,* может быть принято за вмещающее пространство более сложной среды, т.е. модель может быть,дополнена новым включением. К новой-задаче*применимы аналогичные интегральные формулы.

Дальнейшие параграфы демонстрирует применение метода к решению ряда прямых задач геоэлектрики,

Так в § 3.2. решается задача скважинной и межскважин ной электроразведки. В п. 3.2.1. рассмотрен случай конечной круговой скважины, аппроксимированной вытянутым полуэллипсоидом в полупространстве с локальными включениями (Рис. 4.).

г Гв У ......

а

4<»0.»0.«0)

^_____ '-X

Г °1-о<Х ©

__

1 \ с

Рис. 4. Точечный источник в полупро- Рис. 5. Точечный источник в полупро-

странстве с конечной скважиной в странстве с бесконечной сква-

присутствии локальных неодно- жиной в присутствии локальных

род ностей. неоднород ностей.

Получено интегральное представление решения задачи

дС

дп,

"(П + X СУ* = 2>о "<0 [ "(0

/»О 1»| '

I. _ [1.

V, = ч 1/2, Ре5„ / = о7й гс=1/2, О, Ре^иБ, [о,

^ +Ю(Р,А), (20)

ег. -<х„

1 = 1,и

дп.

с/5,. =

С

РеПс

Ре^, Аг = йл. 21

о", +<т„

Функция Грина представлена рядами по присоединенным полиномам Лежандра в системе втянутых эллипсоидальных координат.

В п. 3.2.2. исследуется случай бесконечной круговой скважины в полупространстве с локальными включениями (Рис. 5.). Решение так же дается формулами (20)—(21). Функция Грина вычисляется аналитически в цилиндрической системе координат последовательным применением интегральных Фурье-преобразований и представлена в виде рядов Фурье от несобственных интегралов по функциям Бесселя первого и второго рода. Например, для случая РеП^, 0еГ2с имеет место формула:

С(р, 0 = -^т £ (2 - Я)С05 т(Р - в)Г

/т (пр)Кт (пг)со$(пг)со$(пг])с1п

{<Т,/(Т0-\)Г,Г< Гя(пгс)Кт{пгг) + \ '

Произведена оценка сходимости рядов для функции Грина и ее частных производных, входящих в состав производной по нормали. Показана абсолютная их сходимость (при <гс >сг0) со скоростью бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим единицы. Приведены оценки замены бесконечных пределов интеграла и ряда конечными с заданной точностью расчетов е

Показана возможность использования расчетных формул и для задач межскважинной геоэлектрики, при учете второй скважины как дополнительного включения среды.

В п. 3.2.3. приведено решение задачи о поле точечного источника в горизонтальной скважине в слоистой среде с параметрически заданными границами. Функция Грина вмещающего горизонтально-слоистого пространства вычислена в п. 2.2.2.

Результаты вычислительного эксперимента приведены в пункте 3.2.4. Сделано сравнение предлагаемого метода решения с аналитическим для случая шара в однородном пространстве, показавшее не значительное (менее 1% относительной погрешности) отклонение решений при использовании квадратур Гаусса численного интегрирования. Приведены эпюры кажущегося сопротивления для различных положений источника и приемника в скважине, контрастностях сред, формы и положения включения и пр.

Параграф 3.3. содержит решение основной задачи разведочной геофизики о поле точечного источника в плоско-параллельном горизонтально - слоистом полупространстве в присутствии трехмерных локальных включений. Дана формула интегрального представления решения. Вычисление функции Грина горизонтально-слоистого полупространства основано на применении интегрального преобразования Ханкеля с вычислением подынтегральной функции по рекуррентным формулам В.А. Филатова и Е.А. Хогоева3.

В § 3.4. приведено решение прямых задач геоэлектрики при наличии трехмерных локальных включений в средах куполовидной структуры. Решаются задачи построения функций Грина куполовидных вмещающих пространств. Так в п. 3.4.1. на основе интегрального косинус-преобразования Фурье и интегрального преобразования Меллера-Фока в системе вытянутых эллипсоидальных координат строится решение для задачи о функции Грина полупространства с куполовидным подня-

' Филатов В А. Хогоев Е.А. Расчет поля точечного источника постоянного электрического тока в слоистой среде - Новосибирск, 1987. - 13 С. - Деп в ВИНИТИ 29 01 87, № Ю65-В87.

тием, аппроксимированным гиперболоидом вращения: Пункт 3.4.2. содержит решение задачи о функции Грина среды куполовидной структуры с аппроксимацией границ координатными поверхностями параболои-дальной системы координат.

В § 3.5. приведено решение прямой задачи экологического мониторинга загрязнения почвы продуктами трубопроводов (Рис. 6.) - определение потенциала поля точечного источника постоянного тока в полупространстве с круговым цилиндром и цилиндрической зоной измененной удельной электрической проводимости за счет фильтрации жидкого: продукта в землю.

В п. 3.5.1. построена математическая модель и дан метод решения* задачи, основанный на комбинации методов интегральных уравнений и интегральных преобразований.

Пусть в однородном полупространстве. О, с удельной электропроводностью , содержащем трубопровод с границей , имеется загрязнённая жидким продуктом цилиндрическая среда.П0 с границей 50 и удельной электропроводностью

Выберем систему координат таким образом, чтобы точечное анод-ное,заземление, находящееся>в среде П, , имело бы • координаты А(х0,0,г0), а начало координат находилось на поверхности земли. Математическая модель потенциального поля точечного источника постоянного электрического тока имеет следующий вид: Р(хуу£)

Равенство (25) — краевое условие III рода на поверхности трубопровода ST, где функция v(xty,z) задаёт распределение потенциала на границе трубы и вмещающей её среды; п - внешняя по отношению к Q, нормаль к данной границе; функция c(x,y,z) характеризует удельную поляризуемость трубопровода в среде. В дальнейшем будем полагать c(x,y,z) = const

Применим к задаче (22) - (26) cos -преобразование Фурье по переменной у в виде:

определяющее коэффициенты Фурье ил(х,г) интегрального представления решения.

Для нахождения решения последней задачи воспользуемся методом интегральных представлений Грина, описанным в параграфе 3.1. с функцией Грина, удовлетворяющей краевой задаче:

Получим интегральное представление решения:

При равенство (30) представляет собой интегральное урав-

нение Фредгольма II рода для определения граничного значения потенциала-функции

Найдем решение задачи (27)-(29). Повторно воспользуемся методом интегральных представлений параграфа 3.1. с функцией точечного источника в однородном вмещающем полупространстве

с" (лЗ) = (мр.Щ+ко (¿йЯЗ))}

Здесь К0 — функция Магдональда,

Получим интегральное представление: __

дп

5г

¿Ят.'

е

в котором граничные на значения функции определяются

как решение интегрального уравнения:

В формулах выше коэффициенты у((/ = 0,1) имеют значения:

V, =1, ?еП,; 1/2, РедП,; 0, ~Р*й,идй„

Пункт 3.5.2. содержит результаты вычислительного эксперимента при помощи программного средства, разработанного на языке Object Pascal системы визуального программирования Delphi операционной системы Windows. Протестирована правильность работы алгоритма и программы для однородного полупространства и для сред с плоскостной симметрией пространства и поля, приведены эпюры кажущегося сопротивления на профиле />е(-40..40, 1,0) т для среды с параметрами

круговой трубопровод радиуса , загрязнение представляет собой круговой соосный с трубопроводом цилиндр изменяющегося радиуса г,, г, =1.1, 2.0, 3.0, 4.0, 4.9т.

§ 3.6. содержит решение прямой задачи геоэлектромониторинга целостности морских трубопроводов (Рис. 7). Ищется потенциальное поле точечного источника тока в среде над глубоководным трубопроводом, содержащим трещину, в силу чего произошло обводнение продукта (изменение его удельной электропроводности).

Пункт 3.6.1. содержит математическую модель и метод решения задачи.

Рассмотрим горизонтально-слоистое полупространство, разделенное плоскими границами на два слоя: £3, (вода) и С12 (дно) с удельными электропроводностями о-,, аг и границей раздела y = h. Будем предполагать, что в слое ii, расположен трубопровод - фуговой цилиндр бесконечной протяженности с кусочно-постоянной электропроводностью: часть цилиндра Пл имеет электропроводность <тТХ , а часть ПГ2 - электропроводность агг. Границей раздела между ПГ1 и £1п

является сечение цилиндра плоскостью z = 0. Декартова система координат выбрана так, чтобы ось Ог была направлена параллельно образующей цилиндра. Начало координат расположено на "дневной" поверх-

ности полупространства - на границе воздух/вода, ось Оу направим в нижнее полупространство. Пусть в точке Л(х0,у0,г0)е П, находится точечный источник постоянного электрического тока силы / .

Потенциал электрического поля и(Р) в точке Р(х,у,1] описывается следующей краевой задачей:

Д и{Р)~±1!(Р-Л),

ст, ду

= 0,

у=о

ди,(Р)

= ег.

ди2(Р)

= <7,

ди,(Р)

• дп

, / = 1.2,

диТ1(Р)

а*

= а

диТ2(Р)

Т2

5z

и(Р)-> 0, Р—> со,

где п - внешняя нормаль к границам включений ПГ|, 072- 5Г, и

Для нахождения решения задачи воспользуемся методом'инте-грапьных представлений Грина, описанным в параграфе 3.1. с функцией Грина С(Л0. удовлетворяющей следующей задаче:

Получим интегральное представление решения задачи: u(P)fj(v,al + Vl,crTl) = (lт„-<тТ2) |u(Q)8G^Q)dS]2v + IG(P,A).

.=1 ST1 anQ

Неизвестные граничные значения потенциала u{Q) на sTl могут быть найдены из интегрального уравнения Фредгольма ll-го рода:

Решение задачи для функции Грина - функции точечного источника тока в горизонтально-слоистом полупространстве в присутствии кругового цилиндра - может быть получено комбинированным методом интегральных преобразований и, либо повторным применением метода интегральных представлений (см параграф 3.1 ), либо методом интегральных уравнений на основе потенциала двойного слоя (см параграф 2.1.)

В п 3 6 2. демонстрируются результаты вычислительного эксперимента. Проведенное сравнение приближенного решения задачи с аналитическим для случаев однородного полупространства (а,=<т2 = ), горизонтально-слоистой среды круго-

вого однородного цилиндра в однородном полупространстве

и в горизонтально-слоистой среде ап = атг) показало достаточное точное (менее 5% относительной погрешности) совпадение решений.

На Рис. 8 показан график потенциала источника постоянного электрического тока силы / = \Л\ излучаемого в точке /4(3,1,0) горизонтально-слоистой среды в присутствии однородного цилиндра (удельные электропроводности а, =0.9Бгп/т, а2 =0.0755т//и , аи =стГ2 = = 0.6Бт/т) на профиле x = -7..7m,<y = 3.5m, z = 0m.

Видно возникновение аномалии в виде локального максимума потенциала над трубопроводом, дающей возможность обнаружения трубопровода. При движении приемника тока вдоль трубы (Рис. 9) на границе контакта продукта (оу, =0.15>я//и) и обводненного продукта

также возникает аномалия (локальный

максимум), позволяющая обнаружить дефект трубы. Здесь а, =0.95т//я, а, = 0.075 Бт/т . Аномалия потенциала сглаживается с уменьшением контрастности Л

Глава 4. Обратные задачи геоэлектрики в трехмерных кусочно - однородных средах

Разработанные методы и алгоритмы решения прямых задач геоэлектрики кусочно-однородных сред, изложенные в главах 2 и 3, являются основой для решения обратных задач поиска границ и других параметров сред вариационными методами - как экстремалей регуляри-зирующего функционала А.Н. Тихонова.

В главе строятся и исследуются процедуры поиска в кусочно-однородной среде границ "звездных" тел, граница которых описывается однозначной функцией расстояния от некоторого внутреннего, может быть вырожденного в точку, отрезка в параметрическом классе границ.

Рассмотрен квазитрехмерный случай сред - с осевой (среды вращения) и плоскостной (цилиндрические среды) пространственной симметрией. Здесь ищется образующая тела вращения или направляющая цилиндрического включения. Задача сводится к поиску решения на компактном множестве конечномерных векторов ограниченных параметров, входящих в описание границ как тел простой формы - типа шара, сфероида, эллипсоида, кругового и эллиптического цилиндров, так и границ тел, аппроксимируемых сплайном.

Параграф 4.1. содержит математическую модель обратной задачи поиска границы среды в пространстве И^ЧЯ) по экспериментальным данным и'(РуА), полученным на множестве ЕхЕ, Р, А е Е с у0. Она имеет вид:

где и(Р,А,8ь) — решение прямой задачи (9)-(12), - априори известное описание границы, - множество изменения параметров параметрического описания границы. Т.е. искомая граница является нормальным относительно ЯЦ квазирешением задачи (31),(9)—(12) - экстремалью регуляризирующего функционала А.Н.Тихонова (31) на решении задачи (9)-(12). Здесь = |и(Р,/4,54)-и'(Л^)||) (£жЕ) - есть

функционал невязки, /г2(51) = |51 -^Ц^, н - стабилизирующий функционал, а- параметр регуляризации.

Единственность определения кусочно-постоянной функции удельной электрической проводимости среды, когда экспериментальные данные и'(Р,А) известны точно, обосновывается теоремой В.Л. Друскина4. Из единственности определения удельной электрической проводимости следует также и единственность определения границ контакта сред с различными удельными электропроводностями.

Пункт 4.1.1. содержит описание вариационного регуляризирующего алгоритма решения обратной задачи для уравнения 1-го рода Аи = Ь в виде двух вложенных циклов: внешнего по параметру регуляризации а-> 0 и внутреннего - поиска решения иа при фиксированном а.

В пункте 4.1.2. обсуждается конечномерная аппроксимация задачи. Поиск параметрической границы , где

включения сведен к поиску элемента компактного множества - конечномерного вектора , входящего в описание границы

при ограничении вариации его компонент т1 <5, <М,, / = 1,1. А в общем случае - к поиску аппроксимирующей границу сплайн-функции , в котором конечномерным вектором л является вектор значений функции в узлах сеточной области ¡Уц с[а(,6,]х[аг,6г3. Число параметров L - есть количество узлов сетки ..

§ 4.2. содержит решение задачи определения границы тела вращения в кусочно-однородных средах с пространственной осевой симметрией методом А.Н. Тихонова. В п. 4.2.1. приводятся результаты вычислительных экспериментов по определению границ в классе простых тел (шара, сжатого, вытянутого и комбинированного сфероидов).

Для определения уверенного распознавания включения, с относительной погрешностью г = ||Г-1',осА||/||5"1о,.>,|-100% да4-5% (здесь -

Евклидова норма вектора в пространстве Л'"), рассмотрен следующий случай: в однородное полупространство помещалось включение

'Друскин В.Л. О единственности решения обратной задачи электроразведки и электрокаротажа для кусочно-постоянных проводимостей// Физика Земли. — 1982. — № I. — С. 72-75.

- шар радиуса Я = ]0т с варьируемым на глубине zt =20m положением центра (х°,у°,20) (<т,/ст0 =0.01). В узлы сетки на площадке Ец = [-5,5]х[-5,5]/и помещался точечный источник постоянного тока силы 7 = 1/1 и, как решение прямой задачи/ вычислялись экспериментальные значения потенциала и"(Р;А) в остальных узлах сеточного множества Б-ь, в которые датчиком случайных чисел вносилась погреш-

\у1

ат IГА /Л-♦ ях "" 134 Щ/- X

4» * - 10* _ «к т .-•"г 1

- -

• •« ■ *»■*»»* *М «М «*•!*• т < М ам «4м «и <м м аы «ц м

■) 6=0«/. б) 8«5%

- г * ж • » • 1» < * * 1 * « * *> * 1?®* \

— У I • ~ з^-* ♦ * * ** ♦** Д < * , »<1 / 4 ^ ил

— т- » 4 * г -

в) &>10% г) 6»15%,

Рис. 10. Зависимость погрешности г от величины ошибки в данных 8 ■

ность величины* 5. Затем начальное положение шара "забывалось", отыскивалась экстремаль регуляризирующего функционала с начальным положением центра шара (0.1т;0.1от;0.1ш) и начальным радиусом

/^=0.1»».. После нахождения вектора Т = (хс,ус12с,Я1) , /, = 4 определялась погрешность г для заданного положения центра шара.

На Рис. 10 а)-г) показана диаграмма, характеризующая зависимость области сходимости (погрешности г) от величины ошибки Б, привносимой в экспериментальные данные - в функцию и'{Р,А). Видно, что с ростом величины погрешности Б сходимость итерационной процедуры ухудшается (см.- Рис. 10 а)-г) в соответствии со шкалой погрешностей г).

Влияние количества источников и приемников /V- на площадке £-

"дневной" поверхности на область сходимости демонстрируется на Рис. 11. Увеличение количества источников/приемников на площадке ведет к расширению области сходимости (сравни Рис. 11 а) - 11 б)), что согласуется с результатами теоремы В.Л Друскина

* "5Г < > *

мм f Ч -ь *- — X* — и* — *

— — 10% "*

с — «с

- — т

- \ г > гГ-

ш т »т я ш «*• «к* мк* аМ ш а) //,=4(2x2) ^ X « « Щ •« «* «4« м* «4* >*• ММ ем' С) Л", =16 (4x4) •

Рис. 11. Зависимость погрешности Г от количества источников и приемников тока Л^-

Табл. 1. Случай сжатого сфероида.

Положение сфероида Координаты центра, т Полуоси, т Кол-во итераций Прям задач Значение функционала Г (Б,) Величина погрешности г, %

Хс Ус К

'Начальное 0.10 010 1 00 0.10 0.10 - - 3 74-Ю*05 9 76 10""

Найденное 1000 10 00 20 00 20 00 1000 112 1043 1.55 Ю-04 5 73 1004

Истинное 1000 10 00 20 00 20 00 1000 - - 0 0

В Табл. 1 (случай о-,/о-0=0,01 ; Ец = [-5,5]х[-5,5]т; ^-=4) демонстрируются результаты действия алгоритма для случая поиска сжатого сфероида. Здесь Л^ - количество обращений к решению прямой

задачи,* характеризующее время работы алгоритма. Счет в итерацион-

ном методе Хука-Дживса велся до достижения шагом метода значения 1.0ХЮ-04

Поиск аппроксимирующего образующую тела вращения сплайна осуществляется в п. 4.2.2. Рассмотрены тела сложной формы. Вычислительным экспериментом показана сходимость процесса приближений. Исследовано применение параболических и кубических сплайнов.

На рис. 12 а) демонстрируется сходимость процесса определения образующей шара, аппроксимированной сплайном с числом параметров, равным трем (1 = 3) при следующих значениях: I = \А сг1/<т0=0.01, 2^ = 60 т, Ец = [-50,50] х[-50,50]т . N¡=9. й=(50,50)от.

На рис. 12 б) представлены результаты вычислительного эксперимента для произвольного тела вращения. Здесь число варьируемых параметров /_=Д сг/сг0 = 0.01, / = \А гм = 70/и, Ех =[-60,60]

х[-60,60]т , N = 25. Л = (30т,30т).

Параграф 4.3. содержит решение обратных задач определения

границ цилиндрических кусочно-однородных сред. В п. 4.3.1. рассматриваются результаты вычислительного эксперимента по определению направляющих цилиндрических тел.

Пункт 4.3.2. содержит математическую модель и метод решения задачи геонавигации постоянным током при управлении бурением наклонно - направленных и горизонтальных скважин.

Параграф 4.4. содержит постановку задачи для определения профиля скважины в кусочно-однородной среде геоэлектрическими методами. В частном случае, когда проводимость бурового раствора не учитывается, профиль скважины может быть найден как путь наименьшей погрешности на дереве возможных сопоставимых по точности траекторий скважины (положений источника тока). Приведены результаты вычислительного эксперимента.

В § 4.5. производится расчет контуров рудных залежей Изыгского железорудного месторождения по данным полевых геоэлектрических изысканий, предоставленным Горным Институтом УрО РАН (г.Пермь).

0|_О 10

•I 6)

Рис. 12. Сходимость процесса поиска аппроксимирующего сплайна: а) случай шара (I = 3); _б) произвольное тело вращения (I = 4).

Сопоставление с границами, найденными ранее, дает достаточное для практики согласование.

Глава 5. Комплекс программ математического моделирования потенциальных геоэлектрических полей

Предложенные в главах 2-4 методы и алгоритмы реализованы в виде программного комплекса "POLE", предназначенного для расчета потенциальных полей и интерпретации экспериментальных данных. В параграфе 5.1. изложены принципы и средства разработки. В качестве средства реализации программ комплекса выбраны высокоуровневые средства программирования: языки TurboPascalm7.0, ObjectPascal

ш7.0 и Borland Delphi3.0-6.0- среда визуального программирования операционной системы Windows 9X/2000/ME/XP. Это позволило разработать программные средства, не требующие значительных аппаратных ресурсов для вычислительных действий при работе с графикой, и, следовательно, позволяющие использование программных средств в мобильных аппаратно-программных георазведочных комплексах.

Библиотеки реализованы либо в системе TurboPascal™7.0 в виде TPU-модулей, либо в системе ObjectPascal™ 1.0 в виде DLL-библиотек (в некоторых случаях и в том и в другом видах). Графические приложения были реализованы с применением модулей для работы с трехмерной графикой библиотеки OpenGL, не требующей обязательного наличия ЗР-ускорителя, в отличие от других подобных библиотек. Использовался также модуль Fortr из пакета TurboVision для работы в Delphi, который является быстрым и гибким синтаксическим анализатором формул, а также модифицированные модули для работы с ini-файлами.

Программный комплекс реализует принцип передачи информации между модулями посредством текстовых файлов ( ш/-файлов и файлов данных). Ini -файл — стандартный для Windows файл инициации, который в Delphi связан с объектами класса TIniFile. Эти объекты являются глобальными, что позволяет их сделать носителями информации из одного модуля программного комплекса в другой. — это

текстовый файл, состоящий из секций. Каждая секция имеет свой заголовок и содержит строки, в которых производится описание некоторого объекта путем назначения определенных значений его параметрам с помощью строки вида <ИМЯ ПАРАМЕТРА> = <ЗНАЧЕНИЕ>. Объекты класса TIniFile предоставляют удобные средства чтения-записи по именам секций и параметров. Для программного комплекса класс TIniFile был модифицирован для работы с дробными числами.

Параграф 5.2. содержит описание оболочки комплекса программ. Здесь объясняются действия по подключению нового вычислительного модуля, ввод данных для вычислительного модуля. Описывается библиотека N12 и объект TMFilel, структура файла просмотра данных.

В п 5.2.1 описан интерфейс программы, основные окна и режимы работы в них: главное окно "Оболочки", окно добавления нового вычислительного модуля, создание новой задачи, окно просмотра результатов счета, окно просмотра 3D изображения.

Параграф 5.3. содержит описание библиотек, функций и модулей. В нем пункт 5.3.1. содержит описание разработанного библиотечного модуля «Специальные функции», содержащего 12 процедур и функций для вычисления используемых специальных, в том числе цилиндрических и сферических функций: Функции Г(дс) и 1/Г(х), функция Бесселя

1-го рода Jl,(x) и 2-го рода Уу(х), функция Бесселя мнимого аргумента

1„{х), функция Макдональда К„{х), сферическая функция Бесселя 1-го

рода уп(х) и 2-го рода з>в(х), модифицированная сферическая функция

Бесселя 1-го рода ;и(х) и 2-го рода ки(х) , полином Лежандра 1-го рода

Р"{х) и 2-го рода ОЦ'(х), эллиптический интеграл 1-го рода К(т) и 2-го

рода Е(т).

В п. 5.3.2. описаны процедуры и функции, входящие в состав библиотечного модуля «Сплайн-аппроксимация». Здесь программно реализованы алгоритмы построения параболических и кубических сплайнов; сплайнов Эрмита, Бесселя, Акимы; параметрического и В-сплайна.

Описание библиотечного модуля «Методы минимизации функционалов» дано в пункте 5.3.3. Программную реализацию получили следующие методы нулевого и первого порядка: Хука-Дживса, Нелдера-Мида, Розенброка, Пауэла, адаптивного случайного поиска, градиентного спуска, Флетчера-Ривса, Девидсона-Флетчера-Пауэла, Ньютона, Нью-тона-Рафсона, Марквардта.

Основные программы комплекса, включая его оболочку, библиотеки подпрограмм и программные расчетные модули задач зарегистрированы в отраслевом фонде алгоритмов и программ министерства образования и науки Российской федерации (ОфАп МОН РФ) и во Всероссийском научно-техническом информационном центре (ВНТИЦ).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Построены новые математические модели распределения потенциальных геоэлектрических полей в кусочно-однородных по удельной электрической проводимости средах, актуальные для ряда народно-, хозяйственных задач.

2. Разработаны эффективные комбинированные методы и алгоритмы расчета полей точечных источников постоянного электрического тока в квазитрехмерных и существенно трехмерных кусочно-однородных средах, основанные на сочетании методов интегральных преобразований и интегральных уравнений. Предложена процедура усложнения/упрощения геометрии среды. Обоснована сходимость конечномерных аппроксимаций.

3. Построены новые математические модели обратных задач определения параметрически заданных границ включений. Предложены алгоритмы и программы вариационного типа поиска решений обратных задач как экстремалей функционала А.Н.Тихонова.

4. Разработан комплекс компьютерных программ решения поставленных прямых и обратных задач. Проведен обширный вычислительный эксперимент по исследованию взаимовлияния параметров моделей. По полевым площадным данным электроразведки Изыгского железорудного месторождения осуществлен расчет его контуров, хорошо согласующихся с найденными иными геофизическими методами. Произведена отраслевая (ОФАП МОН РФ) и государственная (ВНТИЦ) регистрация программных средств. Результаты исследований внедрены в геологопоисковых и нефтегазодобывающих организациях.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Иванов ВТ., Болотнов A.M., Гадилова Ф.Г., Кильдибекова Г.Я., Криз-ский В.Н., Надергулов И.У., Карабельская И.В. Комплекс программно-алгоритмического обеспечения численных исследований электрических полей в некоторых сложных системах // Изв. ВУЗов. Элек-тромеханика.-1987.-№ 11 .-С. 21-26.

2. Иванов ВТ., Кризский В.Н. Решение некоторых задач электроразведки методом граничных интегральных уравнений // Известия ВУЗов. Геология и разведка. - 1993. - № 4. - С. 122-127.

3. Кризский В.Н., Заваруева М.Б. Определение параметров пространственной ориентации траектории скважины методами электроразведки постоянным током // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. -Т. IV. Прикладная математика. - Уфа: ИМ с ВЦ УНЦ РАН, 2000. - С. 100-105.

4. Кризский В.Н., Герасимов И А., Заваруева М.Б. Математическое моделирование и оптимизация обратных задач определения геоэлектрических параметров кусочно-однородных сред // Математическое моделирование. - 2000.- т. 12. - № 3. - С. 32-33.

5. Кризский В.Н. Определение границ квазитрехмерных локальных включений по данным геоэлектрических измерений // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2001. - Т. 8. - Вып. 2. -С. 620-621.

6. Кризский В.Н., Викторов СВ., Валитов Р.А. Определение параметров аппроксимирующего границу квазитрехмерного "звездного" включения в кусочно-однородной среде сплайна // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2001. — Т. 8. - Вып. 2. - С. 621-623.

7. Кризский В.Н. Определение поверхностей квазитрехмерных рудных тел методами электроразведки на постоянном электрическом токе // Труды СФ АН РБ. Серия "Физико-математические и технические науки". - Вып. 2. - Уфа: Гилем, 2001. - С. 59-65.

8. Ермолаев А.В., Кризский В.Н. К задаче определения параметров эллиптического цилиндрического включения в горизонтально-слоистой среде // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2001. - Т. 8. - Вып. 2. - С. 589.

9. Беляева М.Б., Кризский В.Н. Об определении траектории скважины в кусочно-однородной среде по данным электроразведки постоянным током // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2001. - Т. 8.- Вып. 2. - С. 537-538.

10. Кризский В.Н., Герасимов И.А., Ермолаев А.В , Заваруева М.Б. К задаче определения границ квазитрехмерных включений в слоистых средах кусочно-постоянной проводимости // Труды института прикладной матем. и механики нАн Украины. - 2001. - Т. 6. - С. 71-74.

11. Герасимов И.А., Кризский В.Н. Определение пространственного положения сфероида по результатам геофизических исследований постоянным током // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2001. - Т. 8. - Вып. 2. - С. 564-565.

12. Валитов Р.А., Кризский В.Н. Сплайн-аппроксимация функций. - М.: ВНТИЦ, 2002, № 50200200073.

13. Беляева М.Б., Кризский В.Н. Определение профиля скважины в среде кусочно-постоянной проводимости по данным электроразведки постоянным током // Труды Средневолжского Математического Общества. - 2002. - Т. 3-4. - № 1. - С. 40-47.

14. Кризский В.Н., Герасимов И.А. Поле точечного источника в присутствии шара, сжатого и вытянутого сфероидов. - М.: ВНТИЦ, 2002, № 50200200256.

15. Кризский В.К, Герасимов И.А. Поле точечного источника в присутствии тела вращения. - М.: ВНТИЦ, 2002, № 50200200257.

16. Кризский В.Н., Герасимов И.А., Викторов СВ. Математическое моделирование обратных задач потенциальных геоэлектрических полей в осесимметричных кусочно-однородных средах // Вестник Запорожского гос. университета. -2002. - № 1. - С. 49-53.

17. Кризский В.Н., Ермолаев А.В., Беляева М.Б. Математическое моделирование обратных задач потенциальных геоэлектрических полей в цилиндрических кусочно-однородных средах // Вестник Херсонского гос. техн. университета. - 2002. - № 2 (15). - С. 239-243.

18. Кризский В.Н., Викторов СВ. Математическое моделирование геоэлектрических полей в однородном полупространстве в присутствии тела вращения с образующей, аппроксимированной сплайном. - М.: ВНТИЦ, 2002, № 50200200499.

19. Кризский В.Н., Байшугурова P.P. Программа расчета поля точечного источника в кусочно-однородной'клиновидной среде в присутствии трехмерных локальных включений. - М.: ВНТИЦ, 2002, № 50200200500.

20. Герасимов И.А., Кризский В.Н. Определение параметров эллипсоида вращения по результатам исследований постоянным током. - М.: ВНТИЦ, 2002, № 50200200507.

21. Ермолаев А.В., Кризский В.Н. Математическое моделирование потенциальных геоэлектрических полей в однородном пространстве в присутствии цилиндрического включения. - М.: ВНТИЦ, 2002, № 50200200508.

22. Кризский В.Н. Определение границ пласта в системах наклонно-направленного и горизонтального бурения скважин // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2002. - Т. 9. - Вып. 2. - С. 405-407.

23. Кризский В.Н., Горшенев А.В. Оболочка программного комплекса "POLE". - М.: ВНТИЦ, 2002, № 50200200650.

24. Кризский В.Н. Определение границ квазитрехмерных кусочно-однородных сред методами электроразведки // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: Материалы 30-й сессии Международ, семинара им. Д.Г.Успенского. - М: ОИФЗ РАН, 2003. - С. 59-60.

25. Кризский В.Н., Хлесткий П.Н. Библиотека подпрограмм "Методы г 33

нимизации функционалов". - М

рос национальнля ¡200300038. БИБЛИОТЕКА j СПеирбург * 09 УМ «т__I

26. Кризский В.Н., Викторов СВ. К решению обратной краевой задачи поиска границ разрыва кусочно-постоянного коэффициента уравнения эллиптического типа // Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы - Т. 2. - Уфа: Гилем, 2003. - С. 250-257.

27. Кризский В.Н., Ермолаев А.В. К решению обратной краевой задачи определения цилиндрических границ разрыва кусочно-постоянного коэффициента эллиптического уравнения // Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы - Т. 2. -Уфа: Гилем, 2003. - С. 258-262.

28. Кризский В.Н., Ермолаев А.В., Морозкин Н.Д. Поиск границы цилиндрических включений в кусочно-однородных средах методами геоэлектроразведки // Математические модели в образовании, науке и промышленности -С.-Пб.: С-Пб. отд. МАН ВШ, 2003. -С. 116-119.

29. Кризский В.Н., Викторов СВ., Спивак СИ. Задача поиска аппроксимированной сплайном границы локального включения в кусочно-однородной среде по данным электроразведки постоянным током // Труды Средневолжского Математического Общества. - 2003. - Т. 5, №1.-С. 174-183.

30. Кризский В.Н., Ермолаев А В., Морозкин Н.Д. Численная реализация алгоритма решения обратной задачи поиска границ цилиндрических включений по данным электроразведки // Труды Средневолжского Математического Общества. - 2003. - Т. 5, № 1. - С. 195-202.

31. Кризский В.Н., Викторов СВ., Спивак СИ. Определение параметров аппроксимирующего образующую тела ращения в горизонтально-слоистой среде сплайна // Вестник Херсонского государственного технического университета. -2003. - № 3 (19). - С 185-189.

32. Кризский В.Н., Ермолаев А.В., Морозкин Н.Д. Математическое моделирование прямых и обратных задач геоэлектрики цилиндрических кусочно-однородных сред // Геоинформатика. - 2003. - № 3. - С. 6064.

33. Krizsky V. Determination of inclusion's boundary in quasi-3D part-homogeneous media by geoelectrical probing method // Gephysical Re-seach Abstracts of EGS-AGU-EUG Joint Assembly. - France: European Geophysical Society, 2003. -Vol. 5. - 01035.

34. Кризский В.Н. Математическая модель геонавигации в системах управления бурением горизонтальных скважин // Автоматика и телемеханика. - 2004.- № 5.- С. 45-51.

Лицензия на издательскую деятельность, выданная Министерством Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и средств массовой коммуникации, серия ИД № 05649. код 21 от 20.08.2001 г. Лицензия на полиграфическую деятельность, выданная Министерством печати и массовой информации Республики Башкортостан. Б 848063, № 57 от 27.07.1999 г.

Подписано в печать_._. 2004 г. Бумага офсетная. Формат 60x84 •

Компьютерный набор. Гарнитура «Ariel». Печать оперативная. Усл.-печ. л. 2,4. Усл.-изд. л. 1,8. Тираж 100 экз. Заказ ^АИ/ОЬ Редакционно-издательский отдел Стерлитамакского государственного педагогического института: 453103, Стерлитамак, пр. Ленина, 49

04-1*5«

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР РАБОТ И СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ

§ 1.1. Прямые задачи геоэлектрики и методы их решения.

§ 1.2. Обратные задачи геоэлектрики

§ 1.3. Задачи исследования.

2. ПРЯМЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОЭЛЕКТРИКИ В КВАЗИТРЕХМЕРНЫХ КУСОЧНО - ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

§2.1. Поле точечного источника в кусочно-однородных средах с пространственной осевой симметрией. п. 2.1.1. Поле точечного источника в плоско-параллельной горизонтально-слоистой среде в присутствии тела вращения

2.2. Поле точечного источника в кусочно-однородных цилиндрических средах 88 п. 2.2.1. Поле точечного источника постоянного тока в горизонтальнослоистых средах в присутствии цилиндрических включений . 89 п. 2.2.2. Поле точечного источника в горизонтально-слоистой среде с параметрически заданными границами.

3. ПРЯМЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОЭЛЕКТРИКИ В СУЩЕСТВЕННО ТРЕХМЕРНЫХ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

§3.1. Метод интегральных уравнений решения трехмерных задач геоэлектрики кусочно-однородных сред с включениями

§ 3.2. Решение задач скважинной и межскважинной электроразведки п. 3.2.1. Случай конечной круговой скважины. п. 3.2.2. Случай бесконечной круговой скважины.". п. 3.2.3. Поле точечного источника в горизонтальной скважине. п. 3.2.4. Вычислительный эксперимент

§3.3. Поле точечного источника в горизонтально - слоистом полупространстве в присутствии трехмерных локальных включений.

§ 3.4.Трехмерные локальные включения в средах куполовидной структуры . 150 п. 3.4.1. Проводящее тело в полупространстве с куполовидным поднятием 150 п. 3.4.2. Трехмерные локальные включения в среде куполовидной структуры

§3.5. Математическая модель экологического загрязнения почвы продуктами трубопроводов. п. 3.5.1. Математическая модель и метод решения задачи п. 3.5.2. Вычислительный эксперимент

§ 3.6. Математическая модель мониторинга целостности морских трубопроводов п. 3.6.1. Математическая модель и метод решения задачи п. 3.6.2. Вычислительный эксперимент

4. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОЭЛЕКТРИКИ В ТРЕХМЕРНЫХ КУСОЧНО - ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

§4.1. Математическая модель поиска границ кусочно-однородных сред п. 4.1.1. Вариационный метод решения п. 4.1.2Конечномерная аппроксимация задачи. Сплайн-функции

§4.2. Определение границ тел вращения в кусочно - однородных средах с пространственной осевой симметрией. п. 4.2.1. Определение границы в классе простых тел. п. 4.2.2. Аппроксимация образующей тела вращения сплайном.

§4.3. Определение границ цилиндрических кусочно-однородных сред п. 4.3.1. Электроразведка цилиндрических тел. п. 4.3.2. Математическая модель геонавигации при бурении наклонно направленных и горизонтальных скважин.

§ 4.4. Определение профиля скважины геоэлектрическими методами

§ 4.5. Оценка контуров залежей Изыгского железорудного месторожения

5. КОМПЛЕКС ПРОГРАММ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ГЕОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

§ 5.1. Принципы и средства разработки.

§ 5.2. Оболочка комплекса программ. п. 5.2.1. Интерфейс программы. Основные окна и режимы работы.

§ 5.3. Библиотеки, функции, модули. п. 5.3.1. Библиотечный модуль «Специальные функции». п. 5.3.2. Библиотечный модуль «Сплайн-аппроксимация». п. 5.3.3. Библиотечный модуль «Методы минимизации функционалов»

Актуальность темы: Стратегический курс России на социально-экономическое развитие обуславливает увеличение разведанных запасов минерально-сырьевых ресурсов путем геологических и геофизических изысканий. Следовательно, одной из главных задач изучения внутреннего строения Земли является задача поиска месторождений полезных ископаемых и оценка мощности их запасов по выявленным контурам границ для обоснования экономической рентабельности их разработки. С другой стороны требуется переоценка уже разведанных запасов с учетом произведенной промышленной выработки, более полное опоискова-ние продуктивных зон, уточнение контуров залежей.

Предотвращение техногенных, геологических, экологических катастроф, чрезвычайных ситуаций и аварий является предметом исследования новых геофизических направлений — инженерной [288, 320] и экологической [55] геофизики. Здесь требуется осуществлять мониторинг опасных процессов — разрушений, сдвиговых геологических деформаций сред в зоне подземных и глубоководных промышленных сооружений (шахт, трубопроводов и т.п.), определение границ фильтрационных потоков [275] и экологического состояния земных недр, выявляя границы зон, загрязненных распространением в земле жидкого продукта (нефти, воды и т.п.) [395, 387] в следствие утери герметичности резервуаров, скважин или трубопроводов.

Одним из методов повышения эффективности нефтяных и газовых скважин является наклоннонаправленное и горизонтальное бурение, поз4 воляющее существенно увеличить дебит за счет увеличения зоны их перфорации. Навигация скважины внутри узкого продуктивного пласта — насущная задача автоматизированных систем бурения [287, 189] . Здесь актуальной является проблема отслеживания границ пласта с целью своевременного управления буровым инструментом. Основой таких систем (LWD-системы) может служить математическая модель геонавигации низкочастотным [56] и постоянным электрическим током , позволяющая определять границы продуктивного пласта в ближней зоне.

Следовательно, задача поиска границ сред в геофизике — актуальная задача различных важных народохозяйственных областей.

Электроразведка — один из основных эффективных и экологически безопасных геофизических методов. На ее долю приходится около трети всех ассигнований, выделяемых на геофизические исследования, из которых почти 90% средств приходится на методы электроразведки потенциальными полями [327].

Большое распространение в разведочных аппаратурных комплексах, в силу повышенной зоны проникновения поля, получили токи низкой частоты (4,88 Гц), а так же постоянные электрические токи. Отметим растущий интерес к таким исследованиям российских и зарубежных компаний. Так в России разработаны комплексы АНЧ-3, ЭРА (НПП "ЭРА", г. С.Петербург) [457]. Мобильные многоэлектродные низкочастотные аппаратурные комплексы фирм АВЕМ (Швеция) (терраметр SAS-1000 и 4х64-канальная система съемки LUND Imaging System) [453], OYO Corporation (Япония) [460], Scinttrex (Канада) [458], Campus (Англия) [454], DMT (Германия) [455], Iris Instruments (Франция) [459], Geometries (CHIA) [456] имеют встроенные блоки энергонезависимой памяти для хранения полевых данных, программное обеспечение первичной их обработки и последующей передачи по каналам локальных и глобальных сетей.

Математические модели полей постоянных токов являются асимптотическими для частотных моделей при стремлении частоты тока к нулю и позволяют проверять достоверность и прогнозировать поведение решений для высокочастотных методик разведки и каротажа. С другой стороны эти модели хорошо согласуются с низкочастотными при интерпретации результатов низкочастотных изысканий.

Конечной целью методов электромагнитных исследований является решение обратной и, как правило, некорректной задачи, т.е. интерпретация измеренных полевых данных, восстановление структуры исследуемого района, границ и удельных электрических проводимостей сред его составляющих (геоэлектрическая томография [336, 108, 67, 68]).

Теория интерпретации следует по пути усложнения моделей сред от одномерных к двумерным, квазитрехмерным и существенно трехмерным. На современном этапе универсальным методом решения обратных и некорректных задач является вариационный метод А.Н.Тихонова. Актуальным для его реализации является быстрое и точное численное решение прямых задач как для характерных геологических разрезов, так и для трехмерных разрезов со сложной геометрией. Отсюда следует важность двух направлений:

1) пополнение банка прямых задач построением математических моделей квазитрехмерных и трехмерных разрезов сложной геометрии и разработка эффективных методов, алгоритмов и программ их численного анализа;

2) решение обратных задач — компьютерная интерпретация данных геофизических измерений с подбором наиболее адекватной модели из банка прямых задач на основе алгоритмов и программ вариационного типа.

Цель и задачи работы: Цель работы — построение математических моделей, разработка численных методов, алгоритмов и комплекса программ компьютерного моделирования прямых и обратных задач поиска границ сред посредством потенциальных геоэлектрических полей в кусочно-однородных квазитрехмерных и существенно трехмерных средах, осложненных локальными неоднородностями, позволяющих осуществлять расчет поля от источников постоянных токов, интерпретировать результаты полевых электроразведочных изысканий. Проведение исследований влияния различных геоэлектрических параметров на то-кораспределение в указанных средах методом вычислительного эксперимента.

Для достижения указанной цели в работе были поставлены и решены следующие основные задачи:

• Анализ состояния вопроса и определение перспективного направления в области;

• Развитие теории численных методов решения прямых и обратных задач геоэлектроразведки: разработка комбинированных методов (на основе сочетания методов интегральных преобразований и интегральных уравнений) решения прямых квазитрехмерных задач полей точечных источников в кусочно-однородных средах с локальными включениями;

- применение методов интегральных представлений к решению существенно - трехмерных задач с построением функций Грина типичных для геофизической практики вмещающих пространств Построение процедур поэтапного усложнения/упрощения геометрии среды;

- обоснование сходимости конечномерных аппроксимаций, несобственных интегралов и рядов, с помощью которых выражается аналитическое решение; построение алгоритмов методов решения прямых задач и алгоритмов вариационного типа для решения обратных задач, в том числе на основе сплайн-аппроксимации границ;

• Разработка программного комплекса, в интерактивном режиме дающего возможность: построения компьютерной модели геологической среды заданием границ и удельных электрических проводимостей ее областей; задания параметров установок и зоны исследований для источников и приемников тока; выбора методов численного решения; расчета потенциала, кажущегося сопротивления и относительного кажущегося сопротивления в исследуемых средах; определения границ трехмерных включений, а также квазитрехмерных включений, заданных параметрически или аппроксими-рованых сплайнами; графического отображения среды, одномерных и двумерных функций (задаваемых и/или найденных вычислительным экспериментом кривых, поверхностей);

• Проведение вычислительных экспериментов по исследованию взаимного влияния параметров математических моделей.

Научная новизна: В настоящей работе впервые исследованы прямые задачи электроразведки в существенно-трехмерных кусочно-однородных средах с локальными включениями, для решения которых предлагается метод граничных интегральных уравнений, формируемых на основе обобщенного интегрального представления Грина с построением функции Грина вмещающего пространства в аналитическом виде. Обосновывается процедура поэтапного усложнения геометрии среды. На основе данного метода решаются задачи для следующих моделей сред: с геометрией, учитывающей влияние круговой вертикальной скважины, в том числе конечной глубины, при наличии локальных неоднородностей; искривленной скважины в пласте при горизонтальном бурении; в горизонтально-слоистом пространстве и в пространствах с куполовидными поднятиями. Приведены решения задач геоэлектромониторинга подземных и глубоководных продуктопроводов.

Для решения квазитрехмерных прямых задач, обладающих пространственной осевой симметрией предлагается эффективный комбинированный метод, основанный на сочетании методов интегральных преобразований и интегральных уравнений, формируемых на базе теории потенциала двойного электрического слоя.

На основе методов вариационного типа получены решения некорректных обратных задач поиска границ локальных включений как вектора ограниченных параметров, входящего в состав параметрического описания поверхностей. Определяются параметры сплайна, аппроксимирующего границу области. Впервые осуществлен поиск образующей тела вращения, направляющей цилиндрического включения в горизонтально-слоистой среде; предлагаются алгоритмы определения границ горизонтального пласта в системах геонавигации горизонтального бурения скважин, определения поверхностей трехмерных локальных включений на основе сплайн-аппроксимации, позволяющие осуществлять геоэлекрораз-ведку и геоэлектромониторинг исследуемого района.

Разработанные алгоритмы реализованы в комплексе оригинальных программ автора, зарегистрированных в фондах алгоритмов и программ министерства образования Российской Федерации и Всероссийского научно-технического информационного центра (ВНТИЦ).

Практическая ценность: Предложенные методы и алгоритмы позволяют эффективно решать задачи геоэлектрики: поиска, электроразведки, электрокаротажа, электрохимической защиты сооружений и геоэлектромониторинга в трехмерных кусочно - однородных средах сложной геометрии, аналитическое решение которых отсутствует. Включение учета условий сопряжения на границах раздела сред вмещающего пространства в ядро интегральных уравнений, позволяет экономить объем оперативной памяти и время счета ЭВМ, что существенно при организации АРМ на базе персональных компьютеров. Предлагаемые алгоритмы допускают распараллеливание при использовании суперкомпьютеров, RISC- и CISC-многопроцессорных вычислительных комплексов или вычислительных кластеров с организацией параллельных процессов вычислений и могут быть использованы в теории различных методов электроразведки постоянным током: ВЭЗ, ВЭЗ ВП, профилировании , электрической корреляции, в методе заряда и др. [57]

На основе разработанных алгоритмов и программ решения прямых задач расчета потенциала электрического тока в кусочно-однородных средах осуществлено решение обратных задач определения границ квазитрехмерных и трехмерных включений в типичных для практики геофизических средах - однородном пространстве и полупространстве, горизонтально- и вертикально-слоистом пространстве.

Работа выполнена в рамках научного направления СГПИ № 9 "Дифференциальные уравнения"по теме "Решение прямых и обратных задач электроразведки постоянного тока" (код ГРНТИ 27.29.15).

Результаты исследований внедрены в практику работ в геологической партии Туймазинской геологопоисковой конторы, в Ишимбайском нефтегазодобывающем управлении "Ишимбайнефть", используются в научно-исследовательской работе отдела физико-математических и технических наук СФ АН РБ, а также применяются в учебном процессе физико-математического факультета Стерлитамакского госпединститута ( см. приложение С на стр. 353). Защищаемые положения:

1. Математические модели электрического поля точечного источника постоянного тока в различных трехмерных кусочно-однородных средах с различными включениями.

2. Алгоритмы решения моделируемых прямых и обратных задач на основе методов интегральных представлений, интегральных преобразований и интегральных уравнений, сплайн-аппроксимации границ, вариационного метода А.Н.Тихонова.

3. Программный комплекс для IBM-компьютера численной реализации алгоритмов (вычислительные модули, библиотеки подпрограмм, интегрирующая оболочка).

4. Результаты вычислительного эксперимента по исследованию взаимного влияния различных геоэлектрических параметров моделируемых сред.

Объем и структура работы: Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения. Полный ее объем составляет 360 страниц машинописного текста, включая 84 рисунка, 12 таблиц, библиографию, содержащую 465 названий и приложение на 52 страницах, включающее акты внедрения, передачи, регистрационные карты программных средств фонда алгоритмов и программ МО РФ и ВНТИЦ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа является итогом теоретических и экспериментальных исследований автора в области математического моделирование потенциальных геоэлектрических полей за период 1985-2003 гг. Работа выполнялась в рамках планов научных исследований Башкирского госуниверситета, ИМ с ВЦ УНЦ РАН, Стерлитамакского госпединститута, Стерлитамакского филиала АН РБ.

Проведенные исследования позволили сформулировать следующие основные результаты и выводы:

1. Построены математические модели актуальных для практики прямых задач потенциальных геоэлектрических полей в различных кусочно-однородных по удельной электрической проводимости средах.

2. Разработаны эффективные методы и алгоритмы расчета полей точечных источников постоянного электрического тока в квазитрехмерных кусочно-однородных средах, основанные на сочетании методов интегральных преобразований и интегральных уравнений. Метод применен к решению задач о поле точечного источника в среде, обладающей пространственной осевой симметрией и для цилиндрических сред с параметрически заданными границами.

3. Для существенно трехмерных сред с различными включениями применен метод интегральных представлений и интегральных уравнений с построением функций Грина ряда вмещающих пространств в аналитическом виде. Обоснована процедура усложнения/упрощения геометрии среды.

4. Исследованы сходимости рядов, которыми представлены решения в ряде важных случаев. Обоснована сходимость конечномерных аппроксимаций.

5. Для ряда построенных моделей сформулированы постановки обратных задач определения параметрически заданных границ включений. В общем виде поиск границы тела сведен к нахождению аппроксимирующего границу сплайна.

6. Для решения обратных задач разработаны алгоритмы и программы вариационного типа, основанные на поиске экстремали регуляризи-рующего функционала А.Н.Тихонова. ,

7. Осуществлено интегрирование программ решения прямых и обратных задач в комплекс под управлением оболочки с дружественным исследователю интерфейсом.

8. Проведено значительное количество расчетов в рамках вычислительного эксперимента по исследованию взаимовлияния параметров моделей.

9. Произведен расчет контуров Изыгского железорудного месторождения по полевым площадным данным геоэлектрики.

1. Агафонова М.Б., Филатов В.В. Алгоритм и программа решения прямой задачи магниторазведки при моделировании железно-рудных месторождений Урала // Геофизические методы поисков и разведки рудных и нерудных месторождений. - Свердловск, 1982. - С. 89-93.

2. Азизов X. Ф. Метод функций Грина решения неоднородных краевых задач сопряжения теории поля и некоторые его применения. Деп. в ВИНИТИ 8.02.1982, №564-82Деп. 19 с.

3. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач— М.: Наукова думка, 1978.

4. Альпин JI.M. Заметки по теории электроразведки. — M.-JL: ОН-ТИ, 1935. 56 с.

5. Альпин JI.M. Обобщение теории каротажа сопротивлений// Изв. ВУЗов. Геология и разведка. 1968. - № 9. - С. 104-109.

6. Альпин JI.M. Источники поля в теории электроразведки// Прикладная геофизика. — 1947. — JV« 3. — С. 56-100.

7. Альпин JI.M. Метод вторичных зарядов// Прикладная геофизика. 1981. - Вып. 99. - С. 124-138.

8. Альпин JI.M. Применение метода вторичных зарядов// Изв. ВУЗов. Геология и разведка. — 1981. — № 1. — С. 77-83.

9. Альпин JI.M. Электрод в вершине системы телесных углов Ц Бюлл. неф. геофизики. ВКРГ. 1936. - Вып. 2. — С. 5-9.

10. Альпин JI.M., Даев Д.С., Каринский А. Д. Теория полей, применяемых в разведочной геофизике. — М.: Недра, 1985. — 407 с.

11. Арсенин В.Я, Иванов В.В. О решении некоторых интегральных уравнений 1-го рода типа свертки методом регуляризации. Ц ЖВМиМФ. 1968. - 8, № 2. - С. 310-321.

12. Ахметов С.М., Халитов Н.Т. О методе подобластей для интегральных уравнений. // Изв. ВУЗов. Математика. — 1976. — № 8.- С. 9-15.

13. Байрак В.В., Мельников Ю.А., Титаренко С.А. Численное решение трехмерных граничных задач методом потенциала. — Днепропетровск, 1986. 16с. - Деп. В ВИНИТИ 7.02.86, № 1616-В.

14. Байрак В.В., Титаренко С.А. Численное решение граничных задач уравнения Лапласа для осесимметричных областей методом потенциала. — Днепропетровск, 1986. — 12 с. — Деп. в ВИНИТИ 7.02.86, № 1617-В.

15. Бакушинский А.Б. Об одном численном методе решения интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода.// ЖВМиМФ. — 1965.- 5, К0- 4. С. 744-749.

16. Бакушинский А.Б. Один общий прием построения регуляри-зирующих алгоритмов для линейного некорректного уравнения в гильбертовом пространстве.// ЖВМиМФ. — 1967. — № 3. — С. 672677.

17. Бакушинский А.Б. Регуляризирующий алгоритм на основе метода Ньютона-Контаровича для решения вариационных неравенств.// ЖВМиМФ. 1976. - Т.16. - № 6. - С. 1397-1404.

18. Бакушинский А.Б. К принипу итеративной регуляризации.// ЖВМиМФ. 1979 - Т.19.— № 4.- С. 1040-1043.

19. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. — 199 с.

20. Бакушинский А.Б., Трутников В.Н. Методы численного анализа линейных и нелинейных операторных уравнений с необратимыми операторами.— Кемерово: Изд-во Кемеров. ун-та, 1990. — 76 с.

21. Бастис A.M., Кусков В.В. О численном решении двумерно-неоднородных задач электроразведки методом сопротивлений // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1985. - № 3. - С. 70-76.

22. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. — М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965. — 296 с.

23. Белоцерковская О.Н., Васильев Ю.П., Золотой О.В. Решение краевой задачи для уравнения Лапласа в сложной области пространства трех измерений // Вычислительные методы и программирование. — Саратов, 1984. — N 5. — С. 48-55.

24. Беляева М.Б., Кризский В.Н. Об определении траектории скважины в кусочно-однородной среде по данным электроразведки постоянным током // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2001. — Т. 8. — Вып. 2. С. 537-538.

25. Беляева М.Б., Кризский В.Н. Определение профиля скважины в среде кусочно-постоянной проводимости по данным электроразведки постоянным током // Труды Средневолжского Математического Общества. 2002. - Т. 3-4. — № 1. — С. 40-47.

26. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках. — М.: Мир, 1984. — 494 с.

27. Березина С. А. Разработка алгоритмов прямых и обратных задач метода сопротивлений для неоднородных сред.Дис. . канд. физ.-мат. наук. М., 1993. - 99 с.

28. Берж К. Теория графов и ее применения. // — М.: Изд-во ин. лит-ры, 1962. 320 с.

29. Беспалов Н.С. Электрические зондирования на протяженных телах трапецевидного сечения. // Прикладная геофизика. — М., 1981. — № 101. — С. 117-126*

30. Бобрик А.Н., Михайлов В.Н. Решение некоторых задач для уравнения Пуассона с граничными условиями IV рода // ЖВ-МиМФ. 1974 - № 1. - С. 126-134.

31. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. — М.: Мир, 1987. — 524 с.

32. Будак Б.М., Самарский А.А, Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. — М.: Наука, 1980. — 688 с.

33. Булах Е.Г. Автоматизированная система интерпретации гравитационных аномалий (метод минимизации).— Киев: Наукова думка, 1973. 111 с.

34. Булах Е.Г., Маркова М.Н. Прямые и обратные задачи гравиметрии в классе тел, заданных горизонтальными пластинами Ц Геофизический журнал. — 1994. — 16. — № 3 — С. 51-60.

35. Булах Е.Г., Маркова М.Н. Решение обратных задач гравиметрии методом подбора // Геофизический журнал. — 1992. — 14. — № 4. С. 9-19.

36. Булах Е.Г., Маркова М.Н., Тимошенко В.И., Бойко П.Д.

37. Математическое обеспечение автоматизированной системы интерпретации гравитационных аномалий (метод минимизации). — Киев: Наукова думка, 1984. — 112 с.

38. Булашевич Ю.П. Расчет поля вызванных потенциалов для руд4ных тел сферической формы // Изв. АН СССР. Сер. геофизическая. 1956. - № 5. - С. 802-809.

39. Бурсиан В.Р. Теория электромагнитных полей, применяемых электроразведке — Л.: Недра, 1972. — 368 с.

40. Вабищевич П.Н., Пулатов П.А. Численное решение внешней задачи Неймана // ЖВМиМФ. 1987. - Т.27. - № 4. - С. 536543.

41. Вабищевич П.Н., Пулатов П.А. Численное решение задачи продолжения потенциальных полей // Математическое моделирование. 2002. - Т. 14. — № 6. — С. 91-104.

42. Ваксман К. Г. О численном решении интегральных уравнений теории электрического каротажа сопротивлений // Электромагнитный каротаж неоднородных сред. — М.: ВЦ МГУ, 1973. — С. 95-99.

43. Валитов Р.А., Кризский В.Н. Библиотека прикладных программ: сплайн-аппроксмация функций // ЭВТ в обучении и моделировании: Сб.науч. тр. : В 2-х ч. — Ч. 1. — Бирск: Бирск. гос.пед.ин-т, 2001. С. 80-86.

44. Валитов Р.А., Кризский В.Н. Сплайн-аппроксмация функций // Компьютерные учебные программы и инновации. — 2002. — № 6. С. 45.

45. Валитов Р.А., Кризский В.Н. Сплайн-аппроксимация функций.- М: ВНТИЦ, 2002, № 50200200073.

46. Валитов Р.А., Кризский В.Н. Сплайн-аппроксимация функций.- М: ОФАП МО РФ, 2002, № 1860.

47. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах — М.: Наука, 1986. — 182 с.

48. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы— Новосибирск: Наука, 1983. — 210 с.

49. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией — Екатеринбург: Урал, фирма "Наука", 1993. — 263 с.

50. Васин В.В., Танана В.П. Приближенное решение операторных уравнений первого рода. // Матем. зап. Уральского университета 1968. - т.6 - тетр. 2. - С 27-37.

51. Вахитов Г.Г. Разностные методы решения задач разработки нефтяных месторождений. — М.: Недра, 1970. — 248 с.

52. Вахромеев Г. С. Основы методологии комплексирования геофизических исследований при поисках рудных месторождений. — М.: Недра, 1987.

53. Вахромеев Г.С. Экологическая геофизика. — Иркутск, 1995.

54. Векслер В.И., Перекамин С.О., Слонимский А.Р. Сква-жинная низкочастотная электроразведка// НТВ "Каротажник".— Тверь: Изд. АИС, 1999. Вып. 55. - С. 15-24.

55. Вешев А.В. Электропрофилирование на постоянном и переменном токе. — Л.: Недра, 1980.

56. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теори представления групп — М.: Наука, 1991. — 576 с.

57. Вильге Б.И., Обухов Г.Г., Бердичевский М.Н. Поле точечного источника на оси скважины с учетом влияния пластов конечной мощности // Изв. ВУЗов. Геология и разведка. — 1971. № 8. -С. 107-111.

58. Вильге Б.И., Цейтлин С.Д. Численное решение задач теории бокового и индукционного каротажа // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1979. - № 9. - С. 69-76.

59. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.— М.: Наука, 1988. 512 с.

60. Воеводин В.В. О методе регуляризации.// ЖВМиМФ. — 1969. — 9. № 3. - С. 671-673.

61. Воскобойников Г.М. О вычислении стационарных электромагнитных полей в некоторых кусочно-однородных средах //Изв. АН СССР. Физика Земли. 1973. - № 9. - С. 63-76.

62. Воскобойников Ю.Е. Методы решения некорректных задач параметрической идентификации. — Новосибирск: Изд-во Новосиб-го гос. техн. ун-та, 1996. — 82 с.

63. Воскобойников Ю.Е., Кисленко Н.П. Адаптивный рекуррентный регуляризирующий алгоритм решения задачи восстановления сигналов и изображений // Автометрия. — 1997. — Xs 4.

64. Воскобойников Ю.Е., Кисленко Н.П., Устюжанин К.В. Адаптивные алгебраические алгоритмы вычислительной томографии. // Автометрия. — 1997. — № 6.

65. Восончук С. И. К расчету электростационарного поля в плоскосекторной среде// Математические методы и физико-механические поля. Киев, 1975. - Вып. 2. - С. 145-151.

66. Восончук С.И. Теория электрических зондирований на секторных структурах // Геофизический журнал. — 1983. 2. — С. 18-29.

67. Галицин А.С., Жуковский А.Н. Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности — Киев: Наукова думка, 1976. — 282 с.

68. Галицин А. С. Об одном обобщении метода конечных интегральных преоб- разований на случай неоднородных краевых задач // Исследования по теории функций комплексного переменного с приложениями к механике сплошных сред. — Киев, 1986. — С 172-183.

69. Гапоненко Ю.Л. Метод стягивающихся компактов для решения нелинейных некорректных задач // ЖВМиМФ. — 1981. — Т. 21, № 6. С. 1365-1375.

70. Гельфанд И.М., Вул Е.Б., Гинзбург C.JI., Федотов Ю.Г.

71. Метод аврагов в задачах рентгеноструктурного анализа. — М.: Наука, 1966. 80 с.

72. Гельфанд И.М., Цетлин M.JI. Метод аврагов // Успехи мат. наук. — 1962. Т. 17, ДО 1. - С. 3-25.

73. Герасимов И.А., Кризский В.Н. Влияние начальных значений некоторых параметров на сходимость в задаче определения границы эллипсоида // ЭВТ в обучении и моделировании: Сб.научн.тр.: в 2-х ч. 4.1. — Бирск: Бирск.гос.пед.ин-т, 2001. — С. 99-103.

74. Герасимов И.А., Кризский В.Н. Определение параметров эллипсоида вращения по результатам исследований постоянным током.- М: ВНТИЦ, 2002, ДО 50200200507.

75. Герасимов И.А., Кризский В.Н. Определение параметров эллипсоида вращения по результатам исследований постоянным током.- М: ОФАП МО РФ, 2002, ДО 2134.

76. Герасимов И.А., Кризский В.Н. Определение пространственного положения сфероида по результатам геофизических исследований постоянным током // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. — Т. 8. - Вып. 2. — С. 564-565.

77. Гилязов С.Ф. Приближенное решение некорректных задач. Теория и алгоритмы.— М.: Изд-во Моск. ун-та, 1995. — 199 с.

78. Глазунов В.В. Принципы моделирования и интерпретации потенциальных геофизических полей скрытых археологических объектов.Дис. . д-ра техн. наук. — С-Петербург, 1996. — 377 с.

79. Гласко В.Б. Некоторые математические вопросы интерпретации геофизических наблюдений: // Дис. . д-ра физ.-мат. наук. — М., 1972.

80. Гласко В.Б., Старостенко В.И., Оганесян С.М. Алгоритмы подбора в заданных классах, основанные на регуляризации // Гра-виразведка: Справочник геофизика. — М.: Недра, 1990. — С. 388402.

81. Глузберг В.Е., Дегай З.Г., Шафаренко В.А. Численное моделирование поля постоянного тока в присутствии цилиндрических тел в анизотропной среде. — Новосибирск, 1987. — 25 с. — Деп. в ВИНИТИ 17.12.87, N 8879-В87.

82. Глюзман A.M. Об электроразведке локальных включений // Изв. ВУЗов. Геология и разведка. 1966. -ДО 4. - С. 111-120.

83. Глюзман A.M. Об электроразведке конических структур // Изв. ВУЗов. Геология и разведка. — 1966. ДО 11. — С. 138-141.

84. Глюзман A.M. Решение краевой задачи для гиперболоида вращения в электроразведке// Изв. АН СССР. Сер. геофизическая. — 1961. — № 5. С. 717-724.

85. Глюзман A.M. Решение краевой задачи для конической области в электро- разведке // Изв. АН СССР. Сер. геофизическая. — 1961.- ДО 7. С. 1004-1014.

86. Глюзман A.M. Решение краевой задачи для параболического цилиндра в электроразведке // Изв. АН СССР. Сер. геофизическая.- 1961. -ДО6.- С. 910-914.

87. Глюзман A.M., Юльякшин М.Г. Об одной краевой задаче теории электрокаротажа // Изв. ВУЗов. Геология и разведка. — 1966.- ДО 5. С. 105-108.

88. Глюзман A.M., Янбулатов Д.М. Рудная линза в поле точечного источника // Изв. ВУЗов. Геология и разведка. — 1967. 7. — С. 126-129.

89. Голиздра Г. Я. Комплексная интерпретация геофизических полей при изучении глубинного строения Земной коры. — М.: Недра, 1988. 212 с.

90. Гончарский А.В. Численные методы решения обратных задач математической физики на компактных множествах: Дисс. . д-ра физ.-мат. наук. — М., 1980.

91. Гончарский А.В., Степанов В.В. Алгоритмы приближенного решения некорректно поставленных задач на некоторых компактных множествах // ДАН СССР.- 1979.- 245 № 6 - С. 1296-1299.

92. Гончарский А.В., Ягола А.Г. О равномерном приближении монотонного решения некорректных задач // ДАН СССР. — 1969. — 184 № 4 - С. 771-773.

93. Гончарский А.В., Леонов А.С., Ягола А.Г. Некоторое обобщение принципа невязки для случая оператора, заданного с ошибкой // ДАН СССР. 1972.- 203- № 6 - С. 1238-1239.

94. Гончарский А.В., Леонов А.С., Ягола А.Г. Обобщенный принцип невязки // ЖВМиМФ.- 1973 13- № 2 - С. 294-302.

95. Гордонова В.И., Морозов В.А. Численные алгоритмы выбора параметра в методе регуляризации // ЖВМиМФ. — 1973. — 13. — №3.

96. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Наука, 1971. — 1108 с.

97. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. — 208

98. Гребенников А.И. Сплайн-аппроксимационный метод и его приложения: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. — М., 1988. — 283 с.

99. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. — M.-JL: Изд-во АН СССР, 1948.- 728 с.

100. Гуревич Ю.М. Магнитное поле тока, стекающего с точечного источника в присутствии сжатого сфероида // Электроразведка в области скважин на колчеданных месторождениях Урала. — Свердловск, 1975. С. 60-72.

101. Гурин Л.Г., Поляк Б.Т., Райк Э.В. Методы проекций для отыскания общей точки выпуклых множеств // ЖВМиМФ. — 1967. — № 6. С. 1211-1228.

102. Дайпс К., Лайтл Р. Машинная томография в геофизике // Труды ин-та инженеров по электротехнике и радиоэлектронике — 1979.- Т. 67. К7.

103. Дахнов В.Н. Электрические и магнитные методы исследования скважин.— М.: Недра, 1981. — 344 с.

104. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам — М.: Радио и связь, 1985. — 304 с.

105. Дегтярева Т.В., Вонсович С.В., Воронко А.И., Меррик

106. Б.Р. Обобщение метода отражений на многослойную среду. М., 1984. - 15 с. - Деп. В ВИНИТИ 04.07.84, № 4649-84.

107. Дикусар В.В., Кошька М., Фигура А. Методы оценки решений в некорректных задачах линейного и квадратичного программирования. М.: ВЦ РАН, 2001. - 35 с.

108. Дмитриев В.И. Дифракция произвольного электромагнитного поля на цилиндрических телах // Вычислительные метода и программирование. — М.: МГУ, 1966. — Вып. 5. — С. 253-259.

109. Дмитриев В.И. Методы решения обратных задач геофизики. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. — 36 с.

110. Дмитриев В.И. Обратные задачи электромагнитного зондирования // Физика Земли. — 1977. — № 1. С. 19-23.

111. Дмитриев В.И. Общий метод расчета электромагнитного поля в слоистой среде // Вычислительные методы и программирование. — 1968. № 10. - С. 55-65.

112. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. — М.: МГУ, 1987. — 167 с.

113. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Метод расчета поля постоянного тока в неоднородных проводящих средах // Вычислительные методы и программирование — М.: МГУ, 1973. — Вып. 20. — С. 202-209.

114. Дмитриев В.И., Серебренникова Н.Н. Численный расчет электрического поля точечного источника в слоистой среде с осесимметричным включением // Изв. ВУЗов. Геология и разведка. — 1987. — J№ 2. — С. 109-113.

115. Доманский Е.Н. Эквивалентность сходимости регуляризацион-ного процесса существованию решения некорректной задачи: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. — Челябинск, 1992. — 248 с.

116. Доманский Е.Н. Эквивалентность сходимости регуляризацион-ного процесса существованию решения некорректной задачи. — Челябинск: Изд-во ЧГТУ, 1996. 159 с.

117. Друскин B.JI. О единственности решения обратной задачи электроразведки и электрокаротажа для кусочно-постоянных проводи-мостей // Физика Земли. — 1982. — № 1. — С. 72-75.

118. Друскин В.Л., Книжнерман Л. А. Метод решения прямых задач электрокаротажа и электроразведки на постоянном токе // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1987. - № 4. - С. 63-71.

119. Дьяконов Б.И. Цилиндр в поле точечного источника тока // Изв. АН СССР. Сер. геофизическая. 1957. - № 1. - С. 116-121.

120. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке Basic для ПЭВМ. М.: Наука, 1987. - 240 с.

121. Егоров И.В. Сравнение двумерных и осесимметричных трехмерных магнитотеллурических аномалий // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1987. - № 1. - С. 106-112.

122. Ермолаев А.В., Кризский В.Н. К задаче определения параметров эллиптического цилиндрического включения в горизонтально-слоистой среде // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. - Т. 8. - Вып. 2. - С. 589.

123. Ермолаев А.В., Кризский В.Н. Математическое моделирование геоэлектрических полей в цилиндрических неоднородных средах // Математические методы в технике и технологиях ММТТ-16: Сб. трудов XVI Международ, науч. конф.: В 10-и т. — Т. 1. —

124. С-Пб: Изд-во Санкт-Петербургского гос.технол. ин-та(техн. ун-та), 2003. С. 164-166.

125. Ермолаев А.В., Кризский В.Н. Математическое моделирование потенциальных геоэлектрических полей в однородном пространстве в присутствии цилиндрического включения // Компьютерные учебные программы и инновации. — 2003. — ДО 4. — С. 23-24.

126. Ермолаев А.В., Кризский В.Н. Математическое моделирование потенциальных геоэлектрических полей в однородном пространстве в присутствии цилиндрического включения— М: ВН-ТИЦ, 2002, ДО 50200200508.

127. Ермолаев А.В., Кризский В.Н. Математическое моделирование потенциальных геоэлектрических полей в однородном пространстве в присутствии цилиндрического включения — М: ОФАП МО РФ, 2002, ДО 2135.

128. Ермохин К.М. Расчет полей постоянного тока в трехмерных неоднородных средах. JL, 1985. - 9 с. — Деп. в ВИНИТИ 19.09.85, ДО 6732-В85.

129. Ермохин К.М. Решение трехмрных задач детальной электро- и магниторазведки на основе метода объемных дипольных источников: Дис. . д-ра техн. наук. — С-Петербург, 1998.

130. Жданов М.С. Электроразведка. — М.: Недра, 1986. — 316 с.

131. Жданов М.С., Спичак В.В. Конечно-разностное моделирование электромагнитных полей над трехмерными геоэлектрическими неоднородностями // Проблемы морских электромагнитных исследований. М.: ИЗМИРАН, 1980. - С. 102-114.

132. Жданов М.С. Методы преобразования и интерпретации аномалий гравитационных, магнитных и переменных электромагнитных полей: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. — Москва, 1976. — 337 с.

133. Жданов М.С., Спичак В.В. Состояние и перспективы численного моделирования электромагнитных полей в трехмерных средах // Алгоритмы и программы решения прямых и обратных задач электромагнитной индукции в земле. — М., 1983. — С. 3-10.

134. Журавлев И. А. О решении трехмерной нелинейной обратной задачи гравиметрии // Геофизический журнал. — 1998. — Т.20. — ДО 5. С. 87-95.

135. Заборовский А.И. Электроразведка — М.: Гостоптехиздат, 1963. 423 с.

136. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко B.JI. Методы сплайн-функций. — М.: Наука, 1980. — 352 с.

137. Завьялов Ю.С., Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближений. — М.: Наука, 1984. — 352 с.145j Завьялов Ю.С., Леус В.А., Скороспелое В.А. Сплайны в инженерной геометрии. — М.: Машиностроение, 1985. — 224 с.

138. Захаров Е.В. Метод интегральных уравнений в задачахэлек-тромагнитного каротажа скважин // Электромагнитный каротаж неоднородных сред. — М.: ВЦ МГУ, 1973. — С. 4-15.

139. Захаров Е.В., Ваксман К.Г. Интегральные уравнения теории электрического каротажа неоднородных сред // Электромагнитный каротаж неоднородных сред — М.: ВЦ МГУ, 1973. — С. 95-104.

140. Захаров Е.В., Ильин И.В. Метод интегральных уравнений в задачах бокового каротажа // Численные методы в геофизике. — М.: МГУ, 1978. Вып. 1. - С. 52-68.

141. Захаров Е.В., Ярмахов И.Г. Численное исследование модели теории бокового каротажа методом конечных разностей // Математические модели задач геофизики. — М.: МГУ, 1981. — С. 19-30.

142. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах. // ДАН СССР- 1962. 145 - № 2. - С. 270-272.

143. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. — М.: Наука, 1978. — 208 с.

144. Иванов В. Т. О методе прямых решения смешанных краевых задач в многосвязаных областях // Дифф. уравнения. — 1982. № 3. -С. 526-529.

145. Иванов В. Т. Решение краевых задач методом плоскостей и интегральных преобразований // Дифф. уравнения. — 1970. — N8 10. — С. 18-25.

146. Иванов В. Т. Решение методом прямых некотрых краевых задач для уравнения эллиптического типа // Дифф. уравнения. — 1967.- Т.З. № 6. - С. 25-34.

147. Иванов В.Т., Глазов Н.П., Макаров В.А. Математическое моделирование электрохимической защиты . // Итоги науки и техники. Сер."Коррозия и защита от коррозии".— Т. 13. — М.: ВНТИЦ, 1987. С. 117-194.

148. Иванов В.Т., Глазов Н.П., Махмутов М.М. Расчет трехмерных электрических полей в неоднородной среде с протяженными тонкими цилиндрическими электродами // Электричество. — 1985.- № 6. С. 48-52.

149. Иванов В.Т., Гусев В.Г., Фокин А.Н. Оптимизация электрических полей, контроль и автоматизация гальванообработки. — М.: Машиностроение, 1986. — 216 с.

150. Иванов В.Т., Козырин А.К., Кильдибекова Г.Я. Метод расчета электрических полей в полупространстве с цилиндрическими неоднородностями // Изв.ВУЗов. Геология и разведка. — 1986. — № 9. С. 79-85.

151. Иванов В. Т., Козырин А.К., Кильдибекова Г.Я. Поле точечного источника в среде с цилиндрическими неоднородностями Ц Изв. АН СССР. Физика Земли. 1986. - № 12. - С. 53-61.

152. Иванов В.Т., Козырин А.К., Масютина М.С. Решение прямой задачи электрометрии скважин для непроводящего пласта // Изв. ВУЗов. Геология и разведка. 1982. - № 4. — С. 98-109.

153. Иванов В.Т., Комаров В.Л. Решение задач электрокаротажа для неоднородной анизотропной среды // Изв.АН СССР. Физика Земли. 1970. - № 9. - С. 23-32.

154. Иванов В. Т., Комаров B.JI. Решение задач электрометрии скважин в неоднородной среде с учетом зоны проникновения // Тр. БашНИПИнефть Уфа, 1972. - Вып. 30. - С. 166-178.

155. Иванов В.Т., Комаров В.Л., Подлипчук JI.H. Решение задач теории электрометрии скважин дифференциально-разностным методом // Изв. ВУЗов. Геология и разведка. — 1971. — JVfi 1. — С. 106-112.

156. Иванов В.Т., Кризский В.Н. Методы решения некоторых краевых задач математической физики и их приложение к геофизике // Численные методы решения краевых задач. — Уфа: БНЦ УрО АН СССР, 1989. С. 59-66.

157. Иванов В.Т., Кризский В.Н. Решение некоторых задач геофизики на постоянном токе методом интегральных уравнений. — Уфа: Б ГУ, 1988. 56 с. - Деп. В ВИНИТИ 06.07.88, № 5442-В88.

158. Иванов В.Т., Кризский В.Н. Решение некоторых задач электроразведки методом граничных интегральных уравнений // Известия ВУЗов. Геология и разведка. — 1993. — № 4. — С. 122-127.

159. Иванов В.Т., Масютина М.С. Методы решения прямых и обратных задач электрокаротажа. — М: Наука, 1983. — 143 с.

160. Иванов В.Т., Нехаева Г.Н. К вопросу численных методов решения внешних краевых задач электрического поля // Изв. ВУЗов. Электромеханика. — 1984. — № 6. — С. 5-11.

161. Иванов В.Т., Нехаева Г.Н. К расчету поля однородного зонда в радиально неоднородной среде // Сложные электромагнитные поля и электрические цепи. — Уфа, 1983. — N11. — С. 33-37.

162. Иванов В.Т., Нехаев а Г.Н. К численному решению внешних краевых задач эллиптических уравнений // ЖВМиМФ. — 1986.- ДО 1. С. 65-71.

163. Иванов В.Т., Подлипчук JI.H. Электрическое поле экранированного цилиндрического электрода в неоднородной анизотропной среде // Изв. ВУЗов. Геология и разведка. — 1974. — ДО 1. — С. 123-131.

164. Иванов В.Т., Щербинин С.А., Галимов А.А. Математическое моделирование электромассопереноса в сложных системах. — Уфа.: БНЦ УрО АН СССР, 1991. 199 с.

165. Игнатова И. Д. Электроразведка методом сопротивлений при изучении сложно-построеных сред для подземных и надземных условий: Дис. . канд. техн. наук. — Москва, 1995. — 93 с.

166. Ильин В.П., Катешов В. А. Решение трехмерных краевых задач методом интегральных уравнений // Пакеты программ для задач математической физики. — Новосибирск, 1985. — С. 56-66.

167. Каледин В. О., Ластовецкий В.П. Решение прямой задачи электроразведки методом конечных элементов // Физика Земли. — 1988.- ДО 12. С. 31-39.

168. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные метода высшего анализа. — М.: Физматгиз, 1962. — 708 с.

169. Квасов Б.И., Яценко С.А. Изогеометрическая интерполяция рациональными сплайнами // Аппроксимация сплайнами. Выч. системы. — Вып. 21. — Новосибирск, 1987. — С. 11-36.

170. Квасов Д.Е., Сергеев Я.Д. Многомерный алгоритм глобальной оптимизации на основе адаптивных диагональных кривых Ц ЖВМиМФ. 2003. - Т. 43. - ДО 1. - С. 42-59.

171. Кильдибекова Г. Я. Расчет поля точечного источника в целом пространстве в присутствии бесконечного кругового цилиндра // Алгоритмы и программы: Инф. Бюлл. — 1987. — № 3. — С. 16.

172. Кисленко Н.П. Нелинейные алгоритмы и программное обеспечение решения обратных задач: Дис. . канд. техн. наук. — Новосибирск, 1997 194 с.

173. Кобрунов А.И. О методе оптимизации при решении обратной задачи гравиразведки // Физика Земли. — 1978. — № 8. — С. 73-78.

174. Кобрунов А.Н. Теоретические основы решения обратных задач геофизики — Ухта: УИИ, 1995. 226 с.

175. Кобрунов А.И. Теория интерпретации данных гравиметрии для сложно построенных сред. — Киев, 1989. — 100 с.

176. Кобрунов А.И. Экстремальные классы в задачах гравиметрии и их использование для построения плотностных моделей геологических сред: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. — Ивано-Франковск, 1983.- 439 с.

177. Ковалков А.В. О приближенном вычислении сплайна с непрерывными ограничениями типа неравенств // Вычислительные алгоритмы в задачах математической физики. — Новосибирск, 1983.- С. 78-86.

178. Козловский Е.А., Гафиятуллин Р.Х. Автоматизация процесса бурения геологоразведочных скважин. — М.: Недра, 1978. — 160 с.

179. Колдоба А.В., Повещенко Ю.А., Самарская Е.А., Тишкин

180. В.Ф. Методы математического моделирования окружающей среды. М.: Наука, 2000. - 254 с.

181. Колосов А.Л. Прямые, смешанные и обратные задачи электрометрии скважин.— Киев: Наукова Думка, 1985. — 196 с.

182. Колосов А.Л. Решение задач электрометрии скважин методом потоковой прогонки // Геофизические исследования литосферы: по ме- ждународным проектам КАПТ. — Киев, 1985. — С. 152-157.

183. Колосов А.Л. Решение задач электрометрии скважин на ЭВМ. — Киев: Наук.думка, 1977. — 147 с.

184. Колосов А.Л. Смешанная краевая задача в теории боковых методов электрометрии скважин // Докл. АН УССР. — 1984. — Б. — № 9. С. 7-11.

185. Комаров В.А. Электроразведка методом вызванной поляризации. Л.: Недра, 1980. - 391 с.

186. Комаров В.А., Кашкевич М.П., Мовчан И.Б. Геофизические поля тел сфероидальной формы. — СПб.: Изд-во С.-Пб. ун-та, 1998. 112 с.

187. Комаров С.Г. Кажущиеся удельные сопротивления пластов конечной мощности и высокого удельного сопротивления // Прикладная геофизика. M.-JL: Гостоптехиздат, 1945. — Вып. 1. — С. 96-114

188. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М: Наука, 1984. — 832 с.

189. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1975. — 304 с.

190. Кризский В.Н. Комбинированные методы решения трехмерных задач геофизики постоянного тока // 3-й Сибирский конгресс поприкладной и индустриальной математике (ИНПРИМ98): Тез. докл. Ч. II. - Новосибирск: ИМ СО РАН, 1998. - С. 46.

191. Кризский В.Н.Комбинированный метод расчета поля точечного источника тока в слоистой среде при наличии тела вращения // Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения: Тез. докл. Уфа: БНЦ УрО АН СССР, 1989. - С. 60.

192. Кризский В.Н. Математическое моделирование обратных задач потенциальных электрических полей в кусочно-однородных средах // Обратные задачи химии — Вып.8. — Бирск: Бирск.гос.пед.ин-т, 2003. С. 20-22.

193. Кризский В.Н. Метод решения некоторых задач геофизики на постоянном токе в кусочно-однородных средах сложной геометрии Уфа: Б ГУ, 1987. - 35 с. - Деп. В ВИНИТИ 26.03.87. № 2217-В87.

194. Кризский В.Н. Метод решения некоторых краевых задач эллиптического типа в сложнопостроенных кусочно-однородных средах // Тезисы докладов конференции молодых ученых. — Уфа: БНЦ УрО АН СССР, 1989. С. 159.

195. Кризский В.Н. Методы решения некоторых трехмерных задач геофизики на постоянном токе в кусочно-однородных средах с различными включениями: Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Уфа, 1992. -212 с.

196. Кризский В.Н. О методе решения некоторых краевых задач для уравнения Пуассона с однородными условиями сопряжения на границах области сложной геометрии.] Всесоюзный симпозиум по теории приближения функций: Тез. докл. — Уфа: БФАН СССР, 1987. С. 87-88.

197. Кризский В.Н. О методе решения задач геофизики в кусочно-однородных средах // Тезисы докладов конф. молодых ученых. -Уфа: БФАН СССР, 1987. С. 152.

198. Кризский В.Н. Определение границ квазитрехмерных включений в слоистых средах кусочно-постоянной проводимости // Вопросы математического моделирования и механики сплошных сред. — Бирск: Бирск. гос. пед. ин-т, 2000. — Вып. 5. — С. 161-166.

199. Кризский В.Н. Определение границ квазитрехмерных локальных включений по данным геоэлектрических измерений// Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2001. — Т. 8. — Вып. 2. С. 620-621.

200. Кризский В.Н. Определение границ пласта в системах наклонно-направленного и горизонтального бурения скважин // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2002. — Т. 9. — Вып. 2. С. 405-407.

201. Кризский В.Н. Определение поверхностей квазитрехмерных рудных тел методами электроразведки на постоянном электрическом токе // Труды СФ АН РБ. Серия "Физико-математические и технические науки". — Вып. 2. — Уфа: Гилем, 2001. — С. 59-65.

202. Кризский В.Н. Программно-педагогическое средство "MAIN1" Ц // Тезисы докладов межвузовской конференции — Орехово-Зуево: ОЗПИ, 1992. С. 56

203. Кризский В.Н. Программно-педагогическое средство "MAIN4" // Тезисы докладов межвузовской конференции — Орехово-Зуево: ОЗПИ, 1992. С. 57.

204. Кризский В.Н. Решение некоторых задач геофизики на постоянном токе// Проблемы динамики релаксирующих сред. — Уфа: БФАН СССР, 1987.- С. 156-161.

205. Кризский В.Н. Решение одной задачи скважинной электроразведки // Численные методы решения уравнений математической физики. Уфа: БФАН СССР, 1986. - С. 75-81.

206. Кризский В.Н., Байшугурова P.P. Программа расчета поля точечного источника в кусочно-однородной клиновидной среде в присутствии трехмерных локальных включений // Компьютерные учебные программы и инновации. — 2003. — № 4. — С. 59-60.

207. Кризский В.Н., Байшугурова P.P. Программа расчета поля точечного источника в кусочно-однородной клиновидной среде в присутствии трехмерных локальных включений — М: ВНТИЦ, 2002, № 50200200500.

208. Кризский В.Н., Байшугурова P.P. Программа расчета поля точечного источника в кусочно-однородной клиновидной среде в присутствии трехмерных локальных включений — М: ОФАП МО РФ, 2002, ДО 2120.

209. Кризский В.Н., Викторов С.В. Математическое моделирование геоэлектрических полей в однородном пространстве в присутствии тела вращения с образующей, аппроксимированной сплайном Ц Компьютерные учебные программы и инновации. — 2003. — ДО 4. С. 23.

210. Кризский В.Н., Викторов С.В. Математическое моделирование геоэлектрических полей в однородном полупространстве в присутствии тела вращения с образующей, аппроксимированной сплайном.- М: ВНТИЦ, 2002, ДО 50200200499.

211. Кризский В.Н., Викторов С.В. Математическое моделирование геоэлектрических полей в однородном полупространстве в присутствии тела вращения с образующей, аппроксимированной сплайном.- М: ОФАП МО РФ, 2002, ДО 2115.

212. Кризский В.Н., Викторов С.В. Определение границы тела вращения, образующая которого аппроксимирована кубическим сплайном // ЭВТ в обучении и моделировании: Сб.научн.тр.: в 2-х ч. — Ч. 1. — Бирск: Бирск.гос.пед.ин-т, 2001. — С. 86-92.

213. Кризский В.Н., Викторов С.В., Спивак С.И. Определение параметров аппроксимирующего образующую тела ращения в горизонтально-слоистой среде сплайна // Вестник Херсонского государственного технического университета. — 2003. — ДО 3 (19). — С. 185-189.

214. Кризский В.Н., Герасимов И. А. К решению задачи определения образующей тела вращения в горизонтально-слоистом полупространстве // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. зимней матем. шк. — Воронеж: ВГУ, 2001. — С. 158-159.

215. Кризский В.Н., Герасимов И.А. Поле точечного источника в присутствии тела вращения // Компьютерные учебные программы и инновации. 2003. - № 2. - С. 40.

216. Кризский В.Н., Герасимов И.А. Поле точечного источника в присутствии тела вращения — М: ВНТИЦ, 2002, № 50200200257.

217. Кризский В.Н., Герасимов И.А. Поле точечного источника в присутствии тела вращения. — М: ОФАП МО РФ, 2002, № 2002.

218. Кризский В.Н., Герасимов И.А. Поле точечного источника в присутствии шара, сжатого и вытянутого сфероидов // Компьютерные учебные программы и инновации. — 2003.— № 2.— С. 39.

219. Кризский В.Н., Герасимов И.А. Поле точечного источника в присутствии шара, сжатого и вытянутого сфероидов. — М: ВНТИЦ, 2002, № 50200200256.

220. Кризский В.Н., Герасимов И.А. Поле точечного источника в присутствии шара, сжатого и вытянутого сфероидов. — М: ОФАП Мо РФ, 2002, № 2001.

221. Кризский В.Н., Герасимов И.А., Викторов С.В. Математическое моделирование обратных задач потенциальных геоэлектрических полей в осесимметричных кусочно-однородных средах //

222. Вестник Запорожского государственного университета. — 2002. — № 1. С. 49-53.

223. Кризский В.Н., Герасимов И.А., Заваруева М.Б. Математическое моделирование и оптимизация обратных задач определения геоэлектрических параметров кусочно-однородных сред // Математическое моделирование. — 2000.— т. 12. — Л® 3. — С. 32-33.

224. Кризский В.Н., Горшенев А.В. Оболочка программного комплекса "POLE" // Компьютерные учебные программы и инновации. 2003. - № 5. - С. 25-26.

225. Кризский В.Н., Горшенев А.В. Оболочка программного комплекса "POLE".- М.: ВНТИЦ, 2002, № 5020200650.

226. Кризский В.Н., Горшенев А.В. Оболочка программного комплекса "POLE".- М.: ОФАП МО РФ, 2002, № 2222.

227. Кризский В.Н., Ермолаев А.В. К решению задачи определения направляющей цилиндрического включения в горизонтально-слоистой среде // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. зимней матем. шк. — Воронеж: ВГУ, 2001. — С. 159-160.

228. Кризский В.Н., Ермолаев А.В. Решение задачи о нахождении границы цилиндрического включения в горизонтально-слоистой среде // Вопросы математического моделирования и механики сплошных сред. — Бирск: Бирск. гос. пед. ин-т, 2000. — Вып. 5. С. 149-154.

229. Кризский В.Н., Ермолаев А.В., Морозкин Н.Д. Поиск границы цилиндрических включений в кусочно-однородных средах методами геоэлектроразведки // Математические модели в образовании, науке и промышленности — С.-Пб.: С-Пб. отд. МАН ВШ, 2003. С. 116-119.

230. Кризский В.Н., Ермолаев А.В., Морозкин Н.Д. Численная реализация алгоритма решения обратной задачи поиска границ цилиндрических включений по данным электроразведки // Труды Средневолжского Математического Общества. — 2003. — Т. 5. — ДО 1. С. 195-202.

231. Кризский В.Н., Мухамедьяров Э.Т. Цилиндрические и сферические функции // Компьютерные учебные программы и инновации. 2003. — № 2. — С. 40.

232. Кризский В.Н., Мухамедьяров Э.Т. Цилиндрические и сферические функции М: ВНТИЦ, 2002, № 50200200255.

233. Кризский В.Н., Мухамедьяров Э.Т. Цилиндрические и сферические функции — М: ОФАП МО РФ, 2002, № 2003.

234. Кризский В.Н., Одинокова О. JI.Программно-алгоритмическое обеспечение численных исследований в электроразведке// Автоматизированные системы научного исследования и управления: Тез. докл. науч.-практ. конф. — Свердловск: УПИ, 1988. — С. 26.

235. Кризский В.Н., Туктарова А.Ф. Катодная защита трубопровода в пространстве с локальными неоднородностями // Вопросы математического моделирования и механики сплошных сред. Бирск: БирГПИ, 1997. - С. 38-43.

236. Кризский В.Н., Хлесткин П.Н. Библиотека подпрограмм "Методы минимизации функционалов" — М. : ВНТИЦ, 2003, ДО 50200300038.

237. Кризский В.Н., Хлесткин П.Н. Библиотека подпрограмм "Методы минимизации функционалов".— М. : ОФАП МО РФ, 2003, ДО 2296.

238. Кузьменко Э.А., Кириллов С.А., Выгодский Е.М., Силуя-нов В.Н. Расчет электрического поля точечного источника в неоднородной среде с учетом поверхности Земли // Разведка и разработка нефтяных и газовых скважин. — Львов, 1986. — ДО 3. — С. 38-40.

239. Кузьменко Э.Д., Вдовина Е.И Решение прямой и обратной задачи электроразведки фильтрационных потоков в горизонтальнослоистой среде // Геофизический журнал. — 1997. — Т. 19. — № 5.- с. 63-69.

240. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новос-к: Изд-во СО АН СССР, 1962.

241. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. — М.: Наука, 1980. 287 с.

242. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некорректные задачи. — Новос-к: Изд-во ин-та матем., 1999. — 702 с.

243. Ластовецкий В.П., Белоголов В.Т., Муковкина В.А. Прямая задача электроразвеки методом сопротивлений // Геология и разведка. 1987. - № 6. - С. 76-81.

244. Левитан Б.М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка. — M.-JL: Гостехиздат, 1950.- 178 с.

245. Леонов A.M. Общий алгоритм расчета потенциала точечного источника постоянного тока в слоистой среде // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1987. - № 3. — С. 104-108.

246. Лешихина И.Е., Пирогова М.А. Применение В-сплайновых аппроксимирующих кривых в геометрическом моделировании. — М.: Изд-во МЭИ, 2000. 23 с.

247. Липилин А.В. Принципы и технологии обработки и интерпретации потенциальных полей при изучении глубинного строения земной коры: Дис. . канд. техн. наук. — М., 1999.

248. Липская Н.В. Поле точечного электрода, наблюдаемое на поверхности Земли вблизи погруженной сферы // Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз. — 1949. — Т. 8. — № 5. С. 35-48.

249. Лисковец О. А. Вариационные методы решения неустойчивых задач. — Минск: Наука и техника, 1981. 344 с.

250. Лисковец О.А. Способ выбора параметра регуляризации при решении нелинейных некорректных задач // ДАН СССР. — 1976. — Т. 229. № 2. - С. 292-295.

251. Лукьянов Э.Е. Пути решения задач геонавигации и мониторинга при разработке месторождений горизонтальными скважинами Ц НТВ "Каротажник". Тверь: Изд. АИС, 2001. - Вып. 85. - С. 10-29.

252. Ляховицкий Ф.М., Хмелевской В.К., Ященко З.Г. Инженерная геофизика. — М.: Недра, 1989. — 253 с.

253. Майе Р. Математические основания электрической разведки постоянным током. — М: ГОНТИ, 1935. 111 с.

254. Макагонов 17.17. Прямая и обратная задачи теории индуктивной электро- разведки для систем оболочек // Изв. ВУЗов. Геология и разведка. 1977. - № 10. - С. 134-142.

255. Мартышко П. С. Обратные задачи электромагнитных геофизических полей. — Екатеринбург: УрО РАН, 1996. — 144 с.

256. Мартышко П. С. О решении обратной задачи метода заряда // Физика Земли. — 1993. — № 5.

257. Мартышко П. С. О решении обратной задачи электроразведки на постоянном токе для произвольных классов потенциалов // Физика Земли. 1986. - № 1. - С. 87-92.

258. Мартышко П. С. О решении прямой и обратной трехмерных задач метода искусственного подмагничивания в параметрических классах // Физика Земли. — 1983. — № 3. — С. 52-57.

259. Мартышко П. С. Математическая теория и алгоритмы решения прямых и обратных задач электромагнитных геофизических полей: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. — Еатеринбург, 1993. — 148 с.

260. Мартышко П. С., Пруткин И.Л. О решении прямой и обратной задач магниторазведки // Геофизический журнал. — 1982. — Т. 4. ДО 6. - С. 39-49.

261. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — Киев: Наука, 1980. 535 с.

262. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно сеточные методы. — М.: Наука, 1981. — 416 с.

263. Маслов В.П. Существование решения некорректных задач эквивалентной сходимости регуляризованного процесса. // УМН. — 1968. Т.23. - Вып.2. - С. 183-184.

264. Матвеев Б.К. Электроразведка при поисках месторождений полезных ис- копаемых — М.: Недра, 1982. — 375 с.

265. Матвеев Б. К., Шкабарня Н.Г. Электропрофилирование над шаром, рас- положенным вблизи контакта двух сред // Изв. АН СССР. Сер. геофизическая. 1959. - ДО 10. - С. 217-225.

266. Матусевич А.В. Объемное моделирование геологических объектов на ЭВМ. М.: Недра, 1968. - 184 с.

267. Меньшиков В.А., Меньшикова Г.А. Электрическое поде точечного источника тока, погруженного в двухслойную среду. // Геофизические исследования при поисках и разведке полезных ископаемых в Восточной Сибири. — Новосибирск, 1985. — С. 53-59.

268. Меррик Б.Р., Чечин Г.М., Попов В.В. Поверхностная плотность электрического заряда на границах осесимметричной многослойной среды, пересеченной скважиной // Изв. АН СССР. Геология и геофизика. 1979. - ДО 3. - С. 113-120.

269. Меррик Б.Р., Чечин Г.М., Попов В.В. Численное решение прямой задачи метода кажущихся сопротивлений для тонкослоистой среды при наблюдениях в скважине // Изв. АН СССР. Физика

270. Земли. 1979. - ДО 5. - С. 81-86.

271. Миловзоров Г.В. Анализ инструментальных погрешностей ин-клинометрических устройств. — Уфа: Гилем, 1997. — 184 с.

272. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. — М.: Физматгиз, 1959. 232 с.

273. Могилатов В. С. Поля электрического и магнитного типов в электроразведке с контролируемыми источниками: Дис. . д-ра. техн. наук. — Новосибирск, 2000. — 400 с.ч

274. Морозов В.А. О приближенном решении операторных уравнений методом сплайнов. // ДАН СССР. 1971. - Т. 200. - ДО 1. - С.35-38.

275. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. — М.: Наука, 1987. — 240 с.

276. Морозов В.А. Теория сплайнов и задача устойчивого вычисления значений неограниченного оператора // ЖВМиМФ. — 1971. — Т. 11. -ДО 3. С. 545.

277. Морозов В.А., Гольдман Н.П., Самарин М.К. Метод дис-крептивной регуляризации и качество приближенных решений Ц ИФЖ. 1977. - Т.38. - ДО 6. - С. 1117-1124.

278. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики — Т.1. М.: ИЛ, 1958. - 898 с.

279. Московская Л. Ф. Построение моделей локальных рудных объектов по данным потенциальных и квазистационарных методов электроразведки: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — С.-Петербург, 1995. — 131 с.

280. Нямбаа III., Чеверда В.А. Оптимизационный метод решения обратной задачи электроразведки на постоянном токе для вертикально-неоднородных сред. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1988, препринт ДО 794. 28 с.

281. Оганесян С.М. Теория и численные методы решения трехмерных задач гравиметрии: Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук. Киев, 1987. - 36 с.

282. Оганесян С.М., Старостенко В.И. Двойственный метод решения линейных задач гравиметрии // Гравиразведка: Справочник геофизика. М.: Недра, 1990. - С. 428-433.

283. Оганесян С.М., Старостенко В.И. О корректности постановки задач геофизики, представленных в виде систем уравнений, и итерационных методах их решений // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1978. - ДО 8. - С. 54-64.

284. Огильви А. А. Основы инженерной геофизики. — М.: Недра, 1990.

285. Овчинников В.К. Теория поля. — М.: Недра, 1979. — 352 с.

286. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. — М.: Мир, 1975. 560 с.

287. Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах— М.: Высшая школа, 2002. — 544 с.

288. Пантюхин В.А., Юматов А.Ю. Решение прямой задачи электрокаротажа в средах с осевой симметрией методом конечных элементов. Калинин, 1983. - 13 с. - Деп. в ВИНИТИ 24.08.83, ДО 4607-83.

289. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. — М.: Наука, 1977. — 311 с.

290. Певзнер С.Л. Скважинные шаровые вибраторы как источник сейсмических сигналов для обращенного ВСП // Разведка и охрана недр. 1985. - ДО 1. - С. 31-33.

291. Петров А.А. Теоретическое обеспечение поэтапного построения геоэлектрической модели рудных объектов по данным методов электроразведки потенциальными полями: Дис. . д-ра. физ.-мат. наук. — С.-Петербург, 1991. — 234 с.

292. Положим Г.Н. Уравнения математической физики.— М.: Высшая Школа, 1964. — 560 с.

293. Поляков Г. Ф. Анализ и расчет электростатических систем.— Новосибирск: Наука, 1976. — 250 с.

294. Прилепко А.Н. Обратные задачи теории потенциала // Матем. заметки. 1973. - Вып. 14. - ДО 5. - С. 755-765.

295. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. — М.: Наука, 1983. — 752 с.

296. Рвачев В.Л., Слесаренко А.П. Алгебра логики и интегральные преобразования в краевых задачах. — Киев: АН УССР, 1976. — 287с.

297. Романов В.Г., Кабанихин С.И. Обратные задачи геоэлектрики— М.: Наука, 1991. 304 с.

298. Романов В.Г., Кабанихин С.И., Пухначева Т.П. Обратные задачи электродинамики. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1984. 202 с.

299. Рыжиков Г. А., Троян В.Н. Томография и обратные задачи дистанционного зондирования. — СПб.: Изд-во СПб. ун-та, 1994. — 220 с.

300. Самарский А.А. Теория разностных схем.— М.: Наука, 1977. — 656 с.

301. Самарский А. А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений.— М.: Наука, 1976. — 352 с.

302. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Разностные методы решения решения обратных задач математической физики // Фундаментальные основы математического моделирования. — М.: Наука, 1997. С. 5-97.

303. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 590 с.

304. Самостюк Г.П., Вешев А.В. Поле точечного источника тока в присутствии сферы // Уч. записки ЛГУ. Сер. физич. и геол. наук. 1960. - Вып. 12. - № 286. - С. 3-12.

305. Сапожников В.М. Приближенное решение задачи о возмущении электри- ческого поля точечного источника шаром // Геофизические методы поисков и разведки рудных и нерудных месторождений. — Свердловск, 1981. — С. 69-77.

306. Сапожников В.М. Скважинная электроразведка даек на рудных месторождениях // Геофизические методы поисков и разведки: Межвуз. науч. тематич. сб. — Свердловск: СГИ, 1975. — Вып. 1. -С. 113-119.

307. Сахарников Н.А. Поле точечного источника в среде, состоящей из клино- видных однородных частей // Ученые записки ЛГУ. Сер. физ. и геол. наук. 1966. - № 329. - Вып. 16. — С. 129-170.

308. Сахарников Н.А. Поле точечного источника при наличии наклонных границ раздела, имеющих общую линию пересечения наземной поверхности // Ученые записки ЛГУ. Сер. физ. и геол. наук.- 1963. К°- 320. - Вып. 14. - С. 15-20.

309. Светов Б. С. Теория, методика и интерпретация материалов низкочастотной индуктивной электроразведки. — М.: Недра, 1973.

310. Светов Б.С. Электродинамические основы квазистационарной геоэлек- трики. — М.: ИЗМИРАН, 1984. — 183 с.

311. Серебренникова Н.Н. Расчет электрической аномалии над моделью типа залеж" // Геофизические метода поисков и разведки месторождений нефти и газа. — Пермь: ПермГУ, 1986. — С. 137143.

312. Скальская И.П. Поле точечного источника, расположенного на поверхности Земли над наклонным пластом // ЖТФ. — 1948. — 18.- Вып. 10. С. 1242-1254.

313. Скутин Н.Е., Масютина М.С., Махмутов М.М. Применение метода прямых при разработке методических вопросов электроразведки клиновидных залежей // Численные методы решения краевых задач математической физики. — Уфа: БФАН СССР, 1979. — С. 70-76.

314. Смирнова Т.Ю. Математическое моделирование сложнопостро-енных сред в электроразведке методом сопротивлений: Дис. . канд. геол.-минерал, наук. — М., 1994. — 122 с.

315. Спичак В.В. Пакет программ FDM3D для численного моделирования трехмерных электромагнитных полей // Алгоритмы и программы решения прямых и обратных задач электромагнитной индукции в Земле. — М., 1983. С. 58-68.

316. Справочник по специальным функциям /Под ред. М. Абра-мовица и И. Стигана. — М.: Наука, 1979. — 832 с.

317. Сретенский JI.H. О единственности определения формы притягивающего тела по значениям его внешнего потенциала // ДАН СССР. 1954. - Т. 199. - С. 21-22.

318. Старостенко В.Н. Вопросы теории и методики интерпретации гравиметрических наблюдений устойчивыми численными методами: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. — Киев, 1976. 406 с.

319. Старостенко В.И., Оганесян С.М. Некорректно поставленные задачи по Адамару и их приближенное решение методом регуляризации А.Н.Тихонова // Геофизический журнал. — 2001. — Т. 23. — № 6. С. 3-20.

320. Старостенко В.И., Оганесян С.М. Устойчивые операторные процессы и их применение в задачах геофизики // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1977. - № 5. - С. 61-74.

321. Старостенко В.И., Черная О. А., Черный А.В. Об интегральных уравнениях обратной задачи логарифмического потенциала определения контура звездного тела, близкого к заданному // Геофизический журнал. 1997. — Т. 19. — № 6. — С. 3-17.

322. Стечкин С.В., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. — М.: Наука, 1976. — 248 с.

323. Страхов В.Н., Страхов А.В. Универсальные алгоритмы регуляризации систем линейных алгебраических уравнений с аддитивной помехой в правой части, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии // Физика Земли. — 2000. — ДО 10. — С. 3-28.

324. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. — М.: Наука, 1981.

325. Титов К.В. О возможности обобщения метода электростатических изображений на задачи о полях в областях, содержащих границу произвольной конфигурации // Зап. Ленингр. горн, ин-та. — 1987. ДО 13. - С. 135-136.

326. Тихонов А.Н. О единственности решения задач электроразведки // ДАН СССР. 1949. - Т. 69. - ДО 6. - С. 797-800.

327. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1963. - Т. 151. - ДО 3. - С. 501-504.

328. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // ДАН СССР. 1963. - Т. 153. - ДО 1. - С. 49-52.

329. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР. — 1943. Т.39 - ДО 5. - С. 195-198.

330. Тихонов А.Н. Об электрозондировании над наклонным пластом // Труды ин-та теор. геофизики. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1946. -Т. 1. С. 116-136.

331. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. - 288 с.

332. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. — М.: Наука, 1983. 200 с.

333. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1990. — 230 с.

334. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. — М.: Наука, 1995. — 311 с.

335. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1966. — 724 с.

336. Ткач М.М. Решение одной задачи электроразведки методами теории потенциала. — Донецк, 1980. — 100 с. — Деп. в ВИНИТИ 23.06.80, ДО 3293-80.

337. Трантер К. Интегральные преобразования в математической физике. — М.: Гостехиздат, 1956. — 204 с.

338. Троян В.Н. Применение сплайн-функций для аппроксимации геофизической информации // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. — 1981. — Вып.20.

339. Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в теории упругости.- JL: Наука, 1967. 402 с.

340. Уфлянд Я. С. О некоторых новых интегральных преобразованиях и их приложениях к задачам математической физики // Вопросы математической физики. — JL: Наука, 1976. — С. 93-106.

341. Фаддеева В.Н. Метод прямых в применении к некоторым краевым задачам // Тр. матем. инс-та им. В.А.Стеклова — М.- JL, 1949.- Т. 28. С. 73-103.

342. Федотов A.M. Методы построения оптимальных приближений решений некорректных задач со случайными ошибками в данных: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. — Новосибирск-Красноярск, 1985. — 365 с.

343. Федотов A.M. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных. — Новосибирск: Наука, 1990. — 280 с.

344. Филатов В.А., Хогоев Е.А. Расчет поля точечного источника постоянного электрического тока в слоистой среде. — Новосибирск, 1987. 13 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.01.87, ДО Ю65-В87.

345. Филатов В.В., Виноградов В.Б. Прямая задача магниторазведки на основе представления поверхности геологических объектов сплайнами // Геофизический журнал. — 1988. — Т. 10. — ДО 2.- С. 67-73.

346. Фок В.А. Теория каротажа. — М.: Гостехтеориздат, 1933. — 157с.

347. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. — М.: Мир, 1982. — 304 с.

348. Халфин Л.А. Поле точечного источника в присутствии сжатого и вытянутого сфероидов // Изв. АН СССР. Сер. геофизическая. — 1956. ДО 6. - С. 657-668.

349. Харьковский К. С. Поиск и оконтуривание очагов засоления подземных вод методами наземной электроразведки (на примере нефтедобывающих районов Татарстана): Дис. . канд. геол.-минерал. наук. — С.-Петербург, 1998. — 161 с.

350. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование.— М.: Мир, 1967. 506 с.

351. Хвитца Г. П. Расчетные формулы кажущегося удельного сопротивления при сектороидальном распределении пород // Труды да ТГУ. Тбилиси, 1971. - А2(141). - С. 181-185.

352. Хмелевский В. К. Основной курс электроразведки. — 4.1. — М.: МГУ, 1971. 245 с.

353. Хуторянский В.К., Голубева Н.А. Об одном способе численного решения прямой задачи электроразведки // Геология и геофизика. 1985. - ДО 12. - С. 120-128.

354. Цимринг III.Е. Специальные функции и определенные интегралы. Алгоритмы. Программы для микрокалькуляторов: справочник.

355. М.: Радио и связь, 1988. — 272 с.

356. Цок Н. О. Решение обратной задачи гравиразведки при полином-миальной сплайн-аппроксимации контактных поверхностей: Дис. канд. физ.-мат. наук. — Киев, 1985.

357. Черный А.В. Избранные задачи гравиметрии и гравиразведки и методы их решения: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. — Киев, 1991. — 489 с.

358. Черняк Г.Я. Электромагнитные методы в гидрогеологии и инженерной геологии. — М.: Недра, 1987. — 213 с.

359. Шак В.Г. Параболические структуры в поле точечного источника тока // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1987. - № 3. - С. 68-73.

360. Шак В.Г. Цилиндрические структуры в поле точечного источника// Прикладная геофизика. — 1985. — JV2 112. — С. 86-94.

361. Шеметов В.А. Моделирование методов постоянного тока в задачах электроразведки для сложного разреза с использованием метода конечных элементов: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — Новокузнецк, 1996.

362. Шикин Е.В., Плис А.И. Кривые и поверхности на экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользователя. — М.: Диалог МИФИ, 1996. 240 с.

363. Шкабарня Н.Г., Шак В.Г., Бунин В.М. Анализ возможности использования разностных методов при расчете на ЭВМ кажущихся сопротивлений // Прикладная геофизика. — М.: Недра, 1980. — ДО 98. С. 97-109.

364. Щукина В.Е. Приближенное решение обратных задач гравитационной и магнитной разведок: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — Пенза, 1990. 120 с.

365. Эпов М.И. Численный анализ и программно-алгоритмические средства интерпретации электромагнитных зондирований в индукционной электроразведке: Дис. . д-ра техн. наук. — Новосибирск, 1992. 498 с.

366. Юдин М.И. Алгоритм итерационного построения граничных условий при численном решении геолого-геофизических задач Ц Математические методы исследований в геологии. — М.: ВИНИТИ, 1981. Вып. 6. — С. 12-19.

367. Юдин М.Н. О расчете магнитотеллурического поля в трехмерной среде методом сеток // Геомагнитные исследования. — М.: Радио и связь, 1982. ДО 29. - С. 84-90.

368. Якубовский Ю.В. Электроразведка. — М.: Недра, 1973. — 304 с.

369. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. — М.: Наука, 1968. — 344 с.

370. Яновская Т.Б., Порохова Л.Н. Обратные задачи геофизики. — JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — 211 с.

371. Ярмахов И. Г. Численное решение задачи о распределении поля постоян- ного тока в неоднородных проводящих средах // Численные методы в геофизических исследованиях. — М.: МГУ, 1979. — С. 76-90.

372. Backus G., Gilbert F. Numerical application of formalism for geophisical inverse problems // Geophys. J. Royal Astron. Soc. — 1967.- 13. P. 247-276.

373. Bragg L.R., Dettman J.W. Related partial differential equations and their applications // SIAM. J. Appl. Math. — 1968. — V. 16. — № 3.

374. Cook K., Van Nostrand R. Interpretation of resistivity data over filled sinks // Geophysics. 1954. - 19. - № 4.

375. Denisov A.M. Elements of the Theory of Inverse Problems. — Utrecht: VSP, 1999.

376. Dey A. Morrison H.F. Resistivity modeling for arbitrarily shaped three- dimensional structures I I Geophysics. — 1979. — 44. — P. 753780.

377. Dey A., Morrison H.F. Resistivity modeling for arbitrarily shaped two- dimensional structures // Geophys. Prospect. — 1979. — 27. — P. 106-136.

378. Eaton P.A. 3-D electromagnetic inversion using integral equations // Gephys.Prosp. 1989. - V. 37. - P. 407-426. .

379. Eicke B. Iteration methods for convexly constrained ill-posed problems in Hilbert space // Numer.Funct.Anal. and Optimiz. — 1992. — V. 13.- №5-6. P. 413-429.

380. Eloranta E.H. Potential fiel of a stationary electric current using Fredholm's integral equations of the second kind // Geophys. Prospect.- 1986. 34. - № 6. - P. 856-872.

381. Guy J., Mangeot В., Sales A. Solution for Fredholm equations through nonlinear iterative processes // J. Phys. A. Math, and Gen. — 1984. 17. — ДО 7. — P. 1403-1413.

382. Hadamard J. he probleme de Cauchiy et les equation aux durivees partielles lineaires hyperboliques.— Paris: Hermann, 1932. — V. 13. — P. 49-52.

383. Hooke R., Jeeves T.A. "Direct search "solution of numerical and statistical problems // J. Assoc. Сотр. Math. — 1961. — V.8. — ДО 2. P. 221-229.

384. Huber A. Die randwertaufgabe der Geoelektrik fur Kugel und zylinder // Z. Angew. Math. Mech. 1953. - 33. - S. 388-393.

385. Huber A. Geoelektrishe Tiefeumessungen in Talern // Arch. f. Met. Geophys. u. Bioklimat. A.III. - 1951. - S. 464-469.

386. Hvozdara M. Electric and magnetic field of a stationary current in a stratified medium with a three-dimensional conductivity inhomogeneity // Stadia Geophysica et Geodaetica. 1983. — 27. — ДО 1. - P. 59-84.

387. Hvozdara M. Solution of the direct problem of magnetometry with the aid of potential of dipole layer // Contrib. Geophys. Inst. Slov. Aead. Sci. 1983. - 14. - P. 23-46.

388. Krizsky V. Determination of inclusion's boundary in quasi-3D part-homogeneous media by geoelectrical probing method // Gephysical Reseach Abstracts of EGS-AGU-EUG Joint Assembly. — France: European Geophysical Society, 2003. — Vol. 5. — 01035.

389. Lee K.H., Pridmore D.F., Morison H.F. A hybrid three-dimensional electro-magnetic modeling scheme j/ Geophysics. — 1981.- V.46. ДО 5. - P. 796-805.

390. Moon P., Spencer D.E. Field Theory Handbook. — Berlin: Springer-Verlag, 1971.

391. Mufti I.R. A practical approach to finite-difference resistivity modeling // Geophysics. —1978. V.43. - P.930-942.

392. Mufti I.R. Finite-difference resistivity modeling for arbitrarily shaped two-dimensional structures // Geophysist. — 1976. — V.41. — P. 62-78.

393. Park S.K., Van G.P. Inversion of pole-pole data for 3-D resistivity structure beneath arrays of electrodes //Geohysics. — 1991. — V.56. — ДО 7. P. 951-960.

394. Pridmore D.F., Hohmann G.W., Ward S.H., Sill W.R. Investigation of finit element modeling for electrical and electromagnetic data in three-dimensions // Geophysics. — 1981.- V. 46. ДО 7. - P. 1009-1024.

395. Scriba H. Computation of the electric potential in three-dimensional structures // Geophys. Prospect. — 1981. — 29. — ДО 5. — P. 790-802.

396. Shulz R. The method of integral equation in the direct current resistivity method and it's accuracy // J. Gophys. — 1985. — 56. — ДО 3. P. 192-200.

397. Spiegel M.R. Mathematical Handbook of Formulas and Tables. — New Work.: McGraw Hil Book Company, 1968. — P. 126-130.

398. Tarantola A. Inverse problem theory. Methods for data fitting and model parameter estimation. — Amsterdam and New York: Elsevier, 1987. — 613 p.

399. Trowbridge C.W. Numerical solution of electromagnetic field problems in two and three dimensions // Numer. Meth. Coupl. Syst. —1984. P. 505-526.

400. Xiong Z., Kircsch A. Tree-Dimensional earth conductivity inversion // J.Coinp.Appl.Math. 1992. - V. 42. - P. 109-121.

401. Yang F.W., Ward S.H. Single-borehole and cross-borehole resistivity anomalies of thin ellipsoids and spheroids // Geophysics. —1985. 50. - № 4. - P. 637-655.

402. Zidarov D. Inverse gravimetric problem in geoprospecting and geodasy. — Amsterdam, Oxford, New York, Tokyo: Elsevier, 1990. — 284 p.

403. Электронные информационные источники

404. Валитов Р.А., Кризский В.Н. Сплайн-аппроксимация функций Электронный ресурс] // Компьютерные учебные программы и инновации. — 2002. — JV® 6. — Режим доступа: http:// www. informika. гц/ text/ magaz/ innovat/ п62002/ n6222.html.

405. Кризский B.H., Горшенев А.В. Оболочка программного комплекса "POLE" Электронный ресурс] // Компьютерные учебные программы и инновации. —2003. — ДО 5. — Режим доступа: http: // www. informika. ru/ text/ magaz/ innovat/ n52003/ n5sp.html.

406. Krizskii V.N., Muhamedyarov E.T. Cylindrical and spherical functions Электронный ресурс] // Computer teaching programs and innovations. — 2003. — ДО 2. — Режим доступа: http: // www. informika. ru/ text/ magaz/ innovat/ eng/ n22003/ n2sp.html.

407. Valitov R.A., Krizskii V.N. Spline-approximation of functions Электронный ресурс] // Computer teaching programs and innovations. — 2002. — ДО 6. — Режим доступа: http: // www. informika. ru /text/ magaz/ innovat/ eng/ n62002/ n6222.html.

408. Valitov R.A, Krizskii V.N. Spline-approximation of functions // Computer teaching programs and innovations, 2002, ДО6. http: // www.informika.ru/ text/ magaz/ innovat/ eng/ n62002/ пб 222.html