автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование геоэлектрических полей в осесимметричных кусочно-однородных средах

На правах рукописи

ГЕРАСИМОВ ИГОРЬ АЛЕКСАНДРОВИЧ

Математическое моделирование геоэлектрических полей в осесимметричных кусочно-однородных средах

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

АВТОРЕФЕРАТ

Стерлитамак - 2004

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и механики Стерлитамакского государственного педагогического института и в лаборатории дифференциальных уравнений отдела физико-математических и технических наук Стерлитамакского филиала Академии Наук Республики Башкортостан

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Морозкин Н.Д., кандидат физико-математических наук, доцент Кризский В.Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Болотнов А.М., кандидат физико-математических наук* доцент Хусаинов И.Г.

Ведущая организация: Институт математики с ВЦ

Уфимского научного центра РАН

Защита состоится 28 июня 2004 г. в 16 часов 00 минут на заседании диссертационного совета К 212.315.01 при Стерлитамак-ском государственном педагогическом институте по адресу: г. Стерлитамак, пр. Ленина, 37.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Стерлитамакского государственного педагогического института

Автореферат разослан Л7 2004г.

Ученый секретарь диссертационного совета канд. физ.-мат. наук,

Кризский В. Н.

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы:

Одной из основных задач изучения геологического строения •Земли является задача поиска и оценки месторождений полезных ископаемых. Все более важное значение приобретают поиски глубоко залегающих месторождений.

Различные горные породы характеризуются различными значениями удельной электрической проводимости, что и предопределяет возможность применения электрических методов для изучения строения земных недр.

Ведущая роль при поисках рудных месторождений принадлежит геоэлектрике. Электрические методы поиска и разведки позволяют осуществлять исследования наиболее эффективно, являясь для недр экологически безопасными. Искусственное электрическое поле обладает большой проникающей способностью. Достигая глубоких горизонтов и искажаясь имеющимися неоднородностями, оно становится носителем информации об изменении электрической проводимости в зоне исследования.

Основной задачей геоэлектрики является решение обратной задачи - задачи определения параметров среды по измеренным электрическим полям.

Интерпретация структуры исследуемого района выполняется на основе моделей, приближенно соответствующих реальным геологическим объектам. Сущность моделирования сводится к аппроксимации разведываемых объектов телами более простой геометрической формы.

Развитие вычислительной техники, совершенствование методики проведения электроразведочных работ требуют создания эффективных алгоритмов обработки и интерпретации экспериментальных данных при помощи ЭВМ.

Отсюда следует важность развития следующих направлений:

разработка и программная реализация алгоритмов решения прямых задач для моделей сред усложненной геометрии, наиболее полно описывающих геологическую ситуацию;

разработка эффективных алгоритмов решения обратной задачи геоэлектрики, т.е. восстановление структуры исследуемого района.

Ранее, в работах Серебренниковой Н.Н. было получено решение прямой задачи, но лишь для модели слоистого изотропного полупространства с локальными включениями, для нахождения численного решения использовался метод интегральных уравнений, построенных на основе теории

I БИБЛИОТЕКА 3 У

Эффективные алгоритмы расчета поля точечного источника постоянного электрического тока в трехмерных кусочно-однородных средах с различными включениями, основанные на сочетании методов интегральных преобразований и интегральных уравнений разработаны Кризским В.Н.

Мартышко П.С. предложил алгоритм решения трехмерной обратной задачи для электромагнитных геофизических полей, в его работах построены примеры решений теоретической обратной задачи для электромагнитного поля с учетом рельефа границы земля-воздух. Получены решения ТОЗ, но лишь для однородных сред.

В отличие от работ других авторов в данной работе рассматривается усложненная геологическая модель осесимметричной кусочно-однородной среды с неплоскими границами, содержащей тело вращения с параметрически заданной образующей.

Многие геофизические тела (нефтяные линзы и т.п.) можно аппроксимировать телами с осевой симметрией. В работе предлагается подход, при котором находятся параметры геологических тел, имеющих форму тела вращения в кусочно-однородных средах по результатам исследований постоянным электрическим током.

Цель:

Разработка численных методов и алгоритмов решения прямых и обратных задач геоэлектрики для осесимметричных, кусочно-однородных сред; практическая реализация построенных алгоритмов в виде программного комплекса для ЭВМ; исследование взаимного влияния различных параметров модели методом вычислительного эксперимента.

Научная новизна:

В работе впервые исследована задача геоэлектрики в осесимметричных, кусочно-однородных средах с неплоскими границами с включением в виде тела вращения.

Для решения прямой задачи предложен комбинированный метод, основанный на сочетании методов интегральных преобразований и интегральных уравнений. Обратная задача решается методом регуляризации А.Н.Тихонова.

Разработан программный комплекс решения поставленных в работе задач.

Проведен вычислительный эксперимент.

Практическая ценность:

Полученные методы и алгоритмы позволяют определять параметры среды на основе экспериментальных данных, рассчитывать распределение потенциала в средах с заданной геометрией.

Построенные алгоритмы могут быть использованы в различных методах геоэлектрики: электрозондировании, электропрофили-ровнии, методе 'заряда и др. Предложенные алгоритмы допускают

распараллеливание вычислений и могут быть использованы в многопроцессорных вычислительных системах.

Построенные в работе методы решения прямых и обратных задач геоэлектрики реализованы в виде программного комплекса. Программные продукты зарегистрированы в отраслевом фонде алгоритмов и программ Министерства образования Российской Федерации (ОФАП МО РФ), Всероссийском научно-техническом информационном центре (ВНТИЦ) и переданы в практическое использование в ООО «Нефтегазодобывающее управление «Ишимбай-нефть»».

На защиту выносятся:

1) Решения прямых и обратных задач геоэлектрики для осесимметричных кусочно-однородных сред с включением в виде тела вращения.

2) Программная реализация построенных алгоритмов.

3) Результаты вычислительного эксперимента в рамках построенных моделей.

Апробацияработы:

Основные положения работы обсуждались и докладывались

на:

- XXXIX научной студенческой конференции «Студенческая наука - в действии» (Стерлитамак, 1999);

- Научной студенческой конференции «Современные подходы в формировании будущих специалистов по физическим и математическим дисциплинам» (Уфа, 1999);

- Всероссийской научно-практической конференции «Проблемы физико-математического образования в педагогических вузах России на современном этапе» (Магнитогорск, 1999);

- Региональной конференции «Резонансные и нелинейные явления в конденсированных средах» (Уфа, 1999);

- Международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Уфа, 2000);

- IV Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2000);

- Воронежской зимней школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2001);

- II межрегиональной научной конференции «Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России» (Киров, 2001);

- Второй Всероссийской научно-теоретической конференции «ЭВТ в обучении и моделировании» (Бирск, 2001);

- Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ - 14» (Смоленск, 2001);

- Республиканской научно-практической конференции «Проблемы интеграции науки, образования и производства южного региона Республики Башкортостан» (Салават, 2001);

- Втором Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Йошкар-Ола, 2001);

- Школе-семинаре по ДУ и механике многофазных систем (руководитель - академик РАН Р.И. Нигматулин, Стерлитамак, 8ОДЩ<дународной конференции по математическому моделированию (Херсон, 2002);

- Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ- 15» (Тамбов, 2002);

- Научных семинарах физико-математического факультета СГПИ (Стерлитамак, 1999-2004).

Публикации:

Основные результаты исследований опубликованы в 13 печатных работах.

Объем и структура работы:

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и приложения. Полный объем составляет 97 страниц, включая 2 приложения на 9 страницах, 25 рисунков, 6 таблиц, библиографию.

Основное содержание работы

В главе 1 проведен обзор существующих методов решения прямых и обратных задач. Для расчета электрического поля в трехмерных кусочно-однородных средах при наличии включения типа тела вращения предложен алгоритм, основанный на методах интегральных преобразований и интегральных уравнений. Методы, понижая размерность задачи, позволяют получить решение, явно зависящее от границ включений, что существенно значимо для решения обратной задачи. Для решения обратной задачи электроразведки обоснованно выбран вариационный метод А.Н. Тихонова.

В §2.1 главы 2 разработан метод расчета поля точечного источника постоянного электрического тока в трехмерных кусочно-

однородных средах при наличии включения типа тела вращения, основанный на, методах интегральных преобразований и интегральных уравнений.

л

Пусть в кусочно-однородной среде .О = осесимметрич-

/=1

ной относительно оси Ог, в области с номером к находится включение типа тела вращения П0. Удельные электрические проводимости сг/ имеют индексацию, совпадающую с индексами соответствующих областей; Поле силы / возбуждается в точке А(Ха,0,г0) слоя Ц (рис.1).

Сформулируем математическую модель данной задачи: найти функцию потенциала тока и(х,у,г) еСг(£})ПС1(Й), как решение-следующей краевой задачи:

где Б - граница тела Оа , поверхности у) являются нижними границами сред Ц (¡-1,...,п-1), /о - граница раздела земля-воздух.

Решение задачи (1) - (5) сводится к следующим процедурам: 1. Найти функцию Грина, £(т(Р,0), как решение краевой задачи:

8G.Г en

Г" I _ rm I rr ^L. G,m -> О, г->oo, i = %...,n-t

'=1.....n-1;

G„m -> 0, Vr2 + z2 -> да, где S- сечение поверхности S тела плоскостью (p = const, П, (f = 0,n) - азимутальное сечение области /2/.

2. Решить интегральные уравнения для различных значений

т:

dGlPWdS6=X±G»(P,A),

S W'Q - "I

т = 0, 1, 2, ... ; P(r.z), Q(rQ,zQ) е S; Л = {а^а0)/{a^ool 3. Найти \Л(Р), W^P), и?(Р),и£(Р):

Vm(P) = ~Gm(P,A); Wm{P) = [Mm{Q)rc 3Gm(P,Q) 2°t J

u"(P) = Wm{P) + Vm(P), P(r,z) г Q0;

и0т(Р) -ак/а0-{\ЛГ(Р) + \/т(Р)), Р(г,г)еЙ0; Р(г,г), С3(г0,гч)1 Д(г0,г0).

4. Искомое решение задачи (1) - (5) восстанавливается формулой обращения:

1

i/(r, z) = - £ (2 - Si) ит (г, z) cos /пр.

Я" ш=0

Сходимость ряда (6) следует из следующих оценок:

\иГ(г,2)\<В Др2Г—, 8 = тах| 1 1 1 ^(1 -р2) '-0"

(6)

7Г<Г,

|l/,(W)| <^£|<(r,z)| < - Г-В Ё (Р2Г, ' Т^о1 1 л- VP+(1-P2)

= ^Б? < 1. = V(r+ro)3+(*-*„)* , P(r.z). Л(Гв,*,).

где р

Из оценки, приведенной выше, можно вычислить верхний предел суммы при вычислении ряда с заданной точностью расчетов.

Таблица 1. Сравнение аналитического и приближенного решений при наличии сжатого эллипсоида,

0(150, 0,150), А(500, 0, 0), Р(х,0, 0;, <г,/<т0=0.01.

В §2.2 проведены- практические сравнения, с известными аналитическими решениями (с включениями в виде шара, сжатого и вытянутого сфероидов), показавшие высокую точность построенных алгоритмов: В табл. 1 показано, что величина относительной погрешности при сравнении

аналитического1 и численного решения при наличии сжатого эллипсоида не превышает 0,4%, что иллюстрирует точность построенного решения. Возможность учета в модели включений с произвольно-заданной образующей демонстрируется следующим примером - на рис.2 показана поверхность кажущегося сопротивления над телом: вращения типа линзы S с параметрически заданной образующей : г— ЗО'собО), -л12<{<л12

•X, м Аналит., Р каж. Ом*м Приближ., Р каж, Ом*м • Абсолют, погр., Ом*м Относит. погр.,%

130 49,831 49,666 0,165 0,33

135 49,810 49,643 0,168 0,34

140 49,790 49,622 0,168 0,34

145 49,771 49,603 0,168 0,34

150 49,753 49,588' 0,165 0,33

155 49,736 49,575 0,161 0,32

160 49,721 49,565 0,156 0,31

ИСТэгМ+ЗОО, -лг/2 < М) : \б0*в1г

*йп(Ц+300, Аномалия - поверхности кажущегося сопротивления выделяет неоднородность.

Выполнено численНОе исследование ВЛИЯНИЯ различных параметров модели на распределение электрического тока.

В §3.1 главы 3 рассмотрена обратная задача - задача поиска границ осесимметричных включений в кусочно-однородных средах.

Рассмотрим геоэлектрическую модель п-слойного кусочно -однородного полупространства. с удельными электриче-

Рис.2. Поверхность кажущегося сопротивления над телом вращения Б с параметрически заданной образующей а,1<т, = 100,^500, 0, 0).

1 Халфин Л. А. Поле точечного источника в присутствии сжатого и вытянутого сфероидов// Известия АН СССР.- Серия геофизическая,-1956.- №6.- С. 657-668.

скими проводимостями слоев ..., а„, где в слое с номером к находится включение типа тела вращения П0 с границей S и постоянной удельной электрической проводимостью ет0 (рис.1).

Пусть ЕаП^- некоторая область (площадка исследования), на которой располагаются источники А и приемники тока Р. Располагая информацией и3 о распределении потенциала электрического тока на площадке Е в точках приемника Р, необходимо определить границутела S.

Большинство обратных задач являются некорректными. Для описанной геоэлектрической модели единственность решения обеспечивается теоремой Друскина2.

Пусть заданна граница локального включения Па в параметрическом классе границ характеризуется некоторым набором параметров д(д^д2,—>&). подлежащих определению (если П0 - шар, то параметры - координаты центра и его радиус, если эллипсоид, то координаты центра и полуоси, в общем случае, если тело вращения, то координаты точек образующей, по которым осуществляется аппроксимация поверхности включения). Перейдем от задачи нахождения границы тела S к определению параметров, описывающих включение.

Нахождение приближенного решения обратной задачи, устойчивого к погрешностям измерений характеристик поля сводится к минимизации функционала:

Ф(Э) = Ид)-и'|Е>Е+аЧ'(д), (7)

^(9) - стабилизирующий функционал, а - параметр регуляризации, А - оператор решения прямой задачи (1)-(5) в соответствующих точках области Е.

I.

Примем - искомые пара-

КИ

метры модели, - априорные данные о возможных значениях

параметров, «7*>0- весовые множители. Обозначим через т относительное отклонение параметров найденного решения от параметров точного (истинного), - параметры найденного решения; дт - точного решения, в - компактное (конечномерное и ограниченное) множество векторов

Задача (7) решается с помощью выполнения внешнего и

2 Друскин В Л О единственности решения обратной задачи электроразведки и электрокаротажа для кусочно-постоянных проводимостей// Физика Земли -1982.— N81.-0 72-75.

внутреннего циклов. Внешний цикл заключается в формировании сходящейся к нулю последовательности {ар}, на элементах которой ищется минимум функционала (7) при сс=ар, В качестве элементов такой последовательности удобно использовать члены геометрической прогрессии, определяемые с помощью соотношения:

ар+,=^ар, р=0,1,2,.--, Р <1.

Во внутреннем цикле при закрепленном а=ар, ищется элемент, доставляющий минимум функционала (7).

Останов алгоритма производится по титерию невязки:

В §3.2 приведены результаты вычислительного эксперимента при различных значениях параметров модели.

Для построенных моделей сред программно реализован вариационный метод решения обратных задач нахождения параметров включений на основе анализа экспериментальных данных.

Исследована сходимость метода поиска минимума функционала в зависимости от количества источников/приемников тока на площадке исследования, глубины залегания включения, коэффициента контрастности сред и др.

Сравнение эффективности различных методов поиска экстремали функционала А.Н. Тихонова приведено в табл. 2. Видно, что наилучшим среди рассматриваемых методов является метод Хука-Дживса.

Таблица 2. Сравнение эффективности методов поиска минимума функционала, ст,/с70 =0,01, 0(250, О, 15Ш, а=50, Е: [-500,500]х[-500,500], ист-ов/пр-ов-16. ...

Метод Кол-во обращ. к Ф Расчетное время, сек. т Ф

Хука-Дживса 641 -1 2.8-10"3 5.9-10"

Локальных вариаций 23421 -20 6.4-10"3 2.3-10"4

Покоорд. минимизации 2219 -2 2.2-102 5.4-10^

Адаптивный случайного поиска 4580 ~ 9 1.9-Ю-3 6.1-10"5

Рассмотрено влияние погрешности в исходных данных на точность нахождения решения (табл. 3).

Построена система эквивалентных по отклику включений с удельной электрической проводимостью, изменяющейся в заданном диапазоне - задача практически важна для интерпретационной геофизики.

Таблица 3. Отклонение найденного решения от точного в зависимости от величины погрешности в исходных данных, о-,/ст0 = 0,01, 0(250, 0,150^1,

а=30, Ь=60, В. r-500.5001xf-500.5001. ист-ов/пр-ов-16._

X, м У. м Z, м а, м Ь, м г Ф

Истинное 250 0 150 30 60 0 0

0% 250.0 0 149.9 29.9 60 5.2-10"2 1.3-10"4

5% 250.7 0.8 147.2 29.6 61.2 1.1 9.2-10"3

10% -249.5 3.2 154.1 30.6 58.7 1.8 1.8-10"2

15% 252.7 2.1 147.8 29.7 61.4 2.4 2.7-10'2

Рассмотрен случай аппроксимации включения, в форме вытянутого эллипсоида телом более простой формы - шаром (рис. 3).

Данный подход позволяет осуществлять поэтапное усложнение формы включения, используя найденные простые аппроксимации в качестве начальных приближений в вариационных методах поиска геометрически более сложных тел.

Проведено сравнение решений полученных методом регуляризации и методом подбора на компактном множестве решений. Показано, что метод регуляризации является более эффективным по сравнению с методом подбора при значительном зашумлении исходных данных и росте числа искомых параметров.

В главе 4 приведено описание программного комплекса. Алгоритмы решения прямых и обратных задач, описанные в главах 2,3 программно реализованы. В качестве средства разработки был выбран пакет Borland Delphi, базирующийся на языке Object Pascal. Составляющие модули программного комплекса (рис.4): Модуль Main включает следующие процедуры и функции: Для доступа к набору экспериментальных данных служит процедура U Omega, в ней происходит считывание экспериментальных (измеренных) значений потенциала по площадке Е в массив u tt.

250 *

Рис. 3. Аппроксимация включения

1- шаром, 0,(268.1; 2.4; 208.9), а= 47.1;

2-вытянутым эллипсоидом,02(250,0,150), а=30, ¿=60 (плоскость XOZ), о-,/сг0 = 0,01 Е [-500,500]х[-500,500], ист-ов/пр-ов-16.

Рис. 4. Схема программы.

Функция Fi_reg(alpha_reg,p) возвращает значение сглаживающего функционала, который строится на основе априорных данных и зависит от параметров р и параметра регуляризации а\~ phareg.

В функции Fi_n(p) вычисляется значение нормы разности (функционала невязки) между измеренным и вычисленным решением: Fi_n(p)=\\u_tt- и(р)||.

В функции R(p) вычисляется уклонение найденных значений параметров включения от истинных значений параметров.

Модуль Pr_Z (алгоритмы решения прямых задач) оформлен в виде динамической библиотеки DLL (u.dll), что позволяет использовать функции, входящие в состав библиотеки в приложениях, написанных на различных языках программирования: C++, Delphi, Visual Basic и др.

Модуль Pr_Z включает следующие функции: U_sf(ii, siO, si1, xjst,yjst,zjst, x,y,z, x_vkl,y_vkl,z_vkl), которая возвращает значение потенциала в точке P(x,y,z) при наличии-неоднородности, в форме тела вращения с параметрически заданной образующей, с центром в точке O(x_vkl,y_vkl,z_vkl), удельная электрическая проводимость которого si1, проводимость

вмещающего пространства si0; источник тока силы // расположен в точкеЛ (xist, y_ist,z_ist).

Функция U_sf содержит функции R_t(t), Z_t(t), описывающие образующую тела вращения; функцию Грина Grin(m,r,z,r_q,z_q)-вмещающего пространства.

Функция U_S(ii, siO, sil, x_ist,yjst,z_ist, x,y,z, x_vkl,y_vkl,z_vkl, a,b) - возвращает значение потенциала, при наличии включения типа сжатого или вытянутого эллипсоида с центром в O(x_vkl,y_ykl,z_vkl) и полуосями а,Ь.

Функция U_sh(ii, siO, sil, xjst,yjst,z_ist, x,y,z, x_vkl,y_vkl,z_vkl, a) - возвращает значение потенциала в точке P(x,y,z) при наличии неоднородности в форме шара радиуса а, центр в точке O(x_vkl, y_vkl,z_vkl).

Модуль MetMin (методы многомерной минимизации) содержит процедуры поиска минимума функционала Fi_reg(p). В процедуре . H_D минимизируется функционал методом Хука-Дживса; в LV - минимум ищется методом локальных вариаций; в К_т - методом покоординатной минимизации; в SL используется метод адаптивного поиска. В процедуре Regular реализован алгоритм решения вариационной задачи. Производится поиск минимума сглаживающего функционала Fi__reg при различных значениях alpha reg. Определяется оптимальное значение параметра alpha reg, при котором значение сглаживающего функционала минимально.

Начальные значения параметров записываются в переменную p nach, начальный шаг смещения по параметрам - в h nach, в константах е и е_Fi хранятся минимальные значения шага сдвига и величина функционала Fi, при достижении которых происходит выход из процедуры поиска минимума. Результирующие значения параметров помещаются в переменную P_t

Результаты вычислений и все промежуточные итерации -значения параметров на каждом шаге и величина функционала -записываются в текстовые файлы и могут быть обработаны во внешних приложениях.

Разработан достаточно универсальный программный комплекс- реализованы алгоритмы расчета потенциала в трехмерных кусочно-однородных средах при наличии включения в форме тела вращения с параметрически заданной образующей, а также алгоритмы решения обратной задачи для заданных моделей сред.

Использован модульный принцип построения программы, что позволяет модернизировать отдельные её части с учетом возникающих потребностей и включать их в любые пакеты программ.

Программные модули расчета входят в состав программного комплекса «POLE» и зарегистрированы в ОФАП МО РФ и ВНТИЦ

[2,9,10].

В приложении содержатся акты внедрения и свидетельства о регистрации программных средств автора.

Основные результаты работы

- Решены прямые задачи геоэлектрики для осесимметричных кусочно-однородных сред с включением в виде тела вращения, на основе методов интегральных преобразований и интегральных уравнений и обратные задачи вариационным методом А.Н. Тихонова.

- Построенные алгоритмы программно реализованы.

- Проведено численное исследование взаимного влияния различных параметров моделей.

- Разработан программный комплекс численной реализации алгоритмов для построенных моделей сред.

Основные публикации по теме диссертации

1. Кризский В.Н., Герасимов И.А. Определение параметров сфероида в однородном пространстве по результатам геоэлектрических исследований постоянным током // Резонансные и нелинейные явления в конденсированных средах. Сб. статей в 3-х томах.- Т.П.

- Уфа.- Изд-во Башкирского гос. ун-та. -1 999.- С.24 - 26.

2. Кризский В.Н., Герасимов И.А. К выбору начального приближения процедуры минимизации функционала в задаче определения границы тела вращения // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. Сб. статей в 4-х томах.- T.IV. -Уфа.- Изд-во Башкирского ун-та.- 2000.- С.95 - 99.

3. Кризский В.Н., Герасимов ИЛ, Заваруева М.Б. Математическое моделирование и оптимизация обратных задач определения геоэлектрических параметров кусочно-однородных сред // Математическое моделирование. - 2000. - т. 12.- №3.- С.32 - 33.

4. Кризский В.Н., Герасимов И.А. Решение задачи о нахождении границы составного сфероидального включения в горизонтально-слоистом полупространстве // Вопросы математического моделирования и механики сплошных сред: Сб. науч. тр. - Бирск.- Бирск. гос. пед. ин-т.- 2000.- С. 155 -159. .

5. Кризский В.Н., Герасимов И.А., Ермолаев А.В. Определение границ включений кусочно-постоянных квазитрехмерных сред // Математические методы в технике и технологиях.- ММТТ - 14: Сб. трудов Международ. науч. конф. в 6-и томах - Т. 1. - Смоленский филиал Московского энергетичес. инс-та (техн. ун-та).- Смоленск.-2001.-С.91 -93.

»12 2 2"/

6. Кризскип В.Н., Герасимов И.А., ЕрмолаевА.В., Заваруева М.Б. К задаче определения границ квазитрехмерных включений в слоистых средах кусочно-постоянной проводимости // Труды института прикладной математики и механики Национальной Академии наук Украины.-Донецк-2001.-С.71 -74.

7. КризскипВ.Н., Герасимов И.А., Трефилова Е.В. Определение параметров сфероида в пространстве по отклику от точечного источника постоянного тока // Труды Стерлитамакского филиала Академии наук Республики Башкортостан.- Серия «Физико-математические и технические науки».- Выпуск 2. - Уфа.- Гилем.-2001 .-С.66-69.

8. Кризскип В.Н., Герасимов И.А. Поле точечного источника в присутствии шара, сжатого и вытянутого сфероидов. - М.: ВНТИЦ, 2002. - №50200200256.

9. Кризский В.Н., Герасимов И.А. Поле точечного источника в присутствии тела вращения. - М.: ВНТИЦ, 2002. - №50200200257.

10. Кризский В. Н., Герасимов И.А., Викторов СВ. Математическое моделирование обратных задач потенциальных геоэлектрических полей в осесимметричных кусочно-однородных средах // Вестник Запорожского государственного университета. - 2002. - №1.- С.49 -53.

11. ГерасимовИ.А., КризскипВ.Н. Определение пространственного положения сфероида по результатам геофизических исследований постоянным током // Обозрение прикладной и промышленной математики.- 2001.- т.8.- вып.2.- С.564 - 565.

12. Герасимов И.А., Кризский В.Н. Определение параметров эллипсоида вращения по результатам исследований постоянным током. - М.: ВНТИЦ, 2002. - №50200200507.

13. Герасимов И.А., Кризский В.Н. Определение границы тела вращения по результатам геоэлектрических исследований постоянным током // Математические методы в технике и технологиях. -ММТТ - 15: Сб. трудов XV Международ. науч. конф. в 10-и томах -Т. 1. -Тамбов-2002.-С. 137 - 140.

Подписано в печать Формат 60 х 841/16. Гарнитура «Arial». Печать оперативная. Усл. печ л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ NSiOflO*/ Отпечатано в типографии Стерлитамакского государственного педагогического института: 453103, г. Стерлитамак, пр. Ленина, 49.

Введение.

Глава 1. Анализ проблемы и обзор информационных источников.

Глава 2. Математическое моделирование прямых задач геоэлектрики осесимметричных кусочно-однородных сред.

§ 2.1. Электрическое поле точечного источника в слоистом полупространстве в присутствии тел вращения.

§ 2.2. Вычислительный эксперимент.

Выводы.

Глава 3. Решение обратных задач геоэлектрики осесимметричных кусочнооднородных сред.

§ 3.1 Постановка задачи.

§ 3.2. Определение геофизических параметров включений.

Выводы.

Глава 4. Комплекс программных средств решения прямых и обратных задач геоэлектрики.

Выводы.

Актуальность проблемы:

Одной из актуальных прикладных задач является задача поиска и оценки месторождений полезных ископаемых. Все более важное значение приобретают поиски глубоко залегающих месторождений.

Различные горные породы характеризуются различными значениями удельной электрической проводимости, что и предопределяет возможность применения электрических методов для изучения строения земных недр.

Ведущая роль при поисках рудных месторождений принадлежит геоэлектрике. Электрические методы поиска и разведки позволяют осуществлять исследования наиболее эффективно, являясь для недр экологически безопасными. Искусственное электрическое поле обладает большой проникающей способностью. Достигая глубоких горизонтов и искажаясь имеющимися неоднородностями, оно становится носителем информации об изменении электрической проводимости в зоне исследования, что используется для поиска и оценки месторождений полезных ископаемых.

Развитие вычислительной техники, совершенствование методики

-Л проведения электроразведочных работ позволяют создать эффективные алгоритмы обработки и интерпретации экспериментальных данных при помощи ЭВМ.

В работе развиваются следующие направления:

- разработка и программная реализация алгоритмов решения прямых задач для моделей сред усложненной геометрии, наиболее полно описывающих геологическую структуру;

- разработка эффективных алгоритмов решения обратных задач геоэлектрики - задач определения параметров и структуры исследуемого района по измеренным электрическим полям.

Ранее, в работах Серебренниковой H.H. было получено решение прямой задачи, но лишь для модели слоистого изотропного полупространства с локальными включениями, для нахождения численного решения использовался метод интегральных уравнений, построенных на основе теории потенциала простого слоя.

Алгоритмы расчета поля точечного источника постоянного электрического тока в трехмерных кусочно-однородных средах с различными включениями, основанные на сочетании методов интегральных преобразований и интегральных уравнений разработаны в работах В.Н. Кризского.

Мартышко П.С. предложил алгоритм решения трехмерной обратной задачи для электромагнитных геофизических полей, в его работах построены примеры решений теоретической обратной задачи (ТОЗ) для электромагнитного поля с учетом рельефа границы земля-воздух. Получены решения ТОЗ, но лишь для однородных сред.

В данной работе рассматривается усложненная геологическая модель осесимметричной кусочно-однородной среды с неплоскими границами, содержащей тело вращения с параметрически заданной образующей. В такой постановке модель более адекватно описывает реальные физические процессы.

Цель:

Построение математических моделей прямых и обратных задач постоянных электрических полей в осесимметричных, кусочно-однородных средах.

Разработка процедур решения моделируемых прямых и обратных задач; практическая реализация построенных процедур в виде программного комплекса для ЭВМ; исследование взаимного влияния различных параметров модели методом вычислительного эксперимента.

Научная новизна:

В работе впервые исследована задача геоэлектрики в осесимметричных, кусочно-однородных средах с неплоскими границами с включением в виде тела вращения:

- Разработаны математические модели прямых и обратных задач постоянных электрических полей в осесимметричных, кусочно-однородных средах с включением в виде тела вращения с параметрически заданной образующей.

- Предложен способ расчета потенциала и удельного электрического сопротивления точечного источника постоянного электрического тока, основанный на методе интегральных преобразований и интегральных уравнений. Проведены вычислительные эксперименты, подтверждающие эффективную работу предложенного алгоритма как при исследовании поставленных в работе задач, так и в более простых задачах, изученных ранее другими авторами.

- Разработан программный комплекс решения рассмотркнных задач. Построена система эквивалентных по отклику включений с удельной электрической проводимостью, изменяющейся в заданном диапазоне, имеющая практическое значение для интерпретационной геофизики.

Проведено исследование взаимного влияния различных параметров модели методом вычислительного эксперимента

Практическая ценность:

Полученные модели, методы и алгоритмы позволяют определять параметры среды на основе экспериментальных данных, рассчитывать распределение потенциала в средах с заданной геометрией.

Найденные решения могут быть использованы в различных методах геоэлектрики: электрозондировании, электропрофилировнии, методе заряда и др. Предложенные алгоритмы допускают распараллеливание вычислений и могут быть использованы в многопроцессорных вычислительных системах.

Методы решения прямых и обратных задач геоэлектрики реализованы в виде программного комплекса. Программные продукты зарегистрированы в отраслевом фонде алгоритмов и программ Министерства образования и науки Российской Федерации (ОФАП МОН РФ), Всероссийском научно-техническом информационном центре (ВНТИЦ) и переданы в практическое использование в ООО «Нефтегазодобывающее управление «Ишимбайнефть»».

На защиту выносятся:

1) Решения прямых и обратных задач геоэлектрики для осесимметричных кусочно-однородных сред с включением в виде тела вращения.

2) Программная реализация построенных алгоритмов.

3) Результаты вычислительного эксперимента в рамках построенных моделей.

Апробация работы:

Основные положения работы обсуждались и докладывались на:

- XXXIX научной студенческой конференции «Студенческая наука - в действии» (Стерлитамак, 1999);

- Научной студенческой конференции «Современные подходы в формировании будущих специалистов по физическим и математическим дисциплинам» (Уфа, 1999);

- Всероссийской научно-практической конференции «Проблемы физико-математического образования в педагогических вузах России на современном этапе» (Магнитогорск, 1999);

- Региональной конференции «Резонансные и нелинейные явления в конденсированных средах» (Уфа, 1999);

- Международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Уфа, 2000);

- IV Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2000);

- Воронежской зимней школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2001);

- II межрегиональной научной конференции «Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России» (Киров, 2001);

- Второй Всероссийской научно-теоретической конференции «ЭВТ в обучении и моделировании» (Бирск, 2001);

- Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ - 14» (Смоленск, 2001);

- Республиканской научно-практической конференции «Проблемы интеграции науки, образования и производства южного региона Республики Башкортостан» (Салават, 2001);

- Втором Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Йошкар-Ола, 2001);

- Школе-семинаре по ДУ и механике многофазных систем (Стерлитамак, 2001);

- V Международной конференции по математическому моделированию (Херсон, 2002);

- Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ - 15» (Тамбов, 2002);

- Научных семинарах физико-математического факультета СГПИ (Стерлитамак, 1999-2004).

Публикации:

По результатам исследований опубликовано 25 печатных [18-25; 67-83] и 3 электронные работы [151-153].

Объем и структура работы:

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и приложения. Полный объем составляет 98 страниц, включая 2 приложения на 9 страницах, 26 рисунков, 6 таблиц, библиографию.

Заключение

1. Алексанин А. И. Разработка методов и программных средств оптимизационного подхода для решения обратных задач геофизики. -Владивосток. - 1987.

2. Альпин Л. М. Заметки по теории электроразведки. - М. - Л. ОНТИ.- 1935.-56 с.

3. Альпин Л.М. Электрод в вершине системы телесных углов // Бюлл. неф. геофизики. ВКРГ. - 1936. - Вып. 2. - с. 5-9.

4. Байрак В.В., Мельников Ю.А., Титаренко А. Численное решение трехмерных граничных задач методом потенциала. - Днепропетровск. — 1986. - 16 с. - Деп. в ВИНИТИ 7.02.86, № 1616 - В .

5. Бакушинский А. Б., Гончарский А. В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. - М.- Изд-во Моск. ун-та 1989. - 199 с.

6. Бакушинский А.Б. Один общий прием построения регуляризирующих алгоритмов для линейного некорректного уравнения в гильбертовом пространстве // Журн. вычисл. математики и матем. физики. -1967. -№3 . - с. 672-677.

7. Белоцерковская О.Н., Васильев Ю.П., Золотой О. В. Решение краевой задачи для уравнения Лапласа в сложной области пространства трех измерений // Вычислительные методы и программирование. - Саратов. -1984 . -№5. -с . 48-55.

8. Березина А. Разработка алгоритмов прямых и обратных задач метода сопротивлений для неоднородных сред, дисс. к. ф.-м. н. - М. - 1993.

10. Васин В. В., Агеев А. Л. Некорректные задачи с априорной информацией. - Екатеринбург. - Урал, фирма «Наука». - 1993. - 263 с.

11. Вахитов Г.Г. Разностные методы решения задач разработки нефтяных месторождений. - М. - Недра.- 1970. - 248 с.

12. Воскобойников Г.М. О вычислении стационарных электромагнитных полей в некоторых кусочно-однородных средах // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1973. - №9. - с. 73-76.

13. Восончук СИ. Теория электрических зондирований на секторных структурах // Геофиз. журн. - 1983. - №2. - с. 18-29. •

14. Галеева Г. Я. Методы расчета электрического поля точечного источника в некоторых неоднородных средах с цилиндрическими включениями, дисс. к. ф. -м.н . -Уфа.-1991.

15. Галицин А.С. Об одном обобщении метода конечных интегральных преобразований на случай неоднородных краевых задач // Исследования по теории функций комплексного переменного с применением к механике сплошных сред. - Киев.- 1986.-е . 172-183.

16. Герасимов И.А., Ермолаев А.В. Об алгоритме решения обратной задачи электроразведки// Студенческая наука в действии. Сб. матер, конф. -Стерлитамак. - СГПИ. - 1999. - с. 132-133.

17. Герасимов И.А., Ермолаев А.В. Об обратной задаче электроразведки постоянным током // Современные подходы в формировании будущ;их специалистов по физическим и математическим дисциплинам. Сб. тезисов. -Уфа.- БГПИ. - 1999. - с. 98-99.

18. Герасимов И.А., Кризский В.Н. Определение параметров эллипсоида вращения по результатам исследований постоянным током// Компьютерные учебные программы и инновации. - 2003 - №4. - с.29-30.

19. Герасимов И.А., Кризский В.Н. Определение параметров эллипсоида вращения по результатам исследований постоянным током. - М.: ОФАП МО РФ.-2002.-№2134.

20. Герасимов И.А., Кризский В.Н. Определение пространственного положения сфероида по результатам геофизических исследований постоянным током// Обозрение прикладной и промышленной математики.-2001.-Т.8.- вып.2. - с.564-565.

21. Герасимов И.А., Кризский В.Н. Определение параметров эллипсоида вращения по результатам исследований постоянным током. - М.: ВНТИЦ. -2002.-№50200200507.

22. Гласко В. Б. Некоторые математические вопросы интерпретации геофизических наблюдений, дисс....д.ф.-м. н, - М. - 1972.

23. Гласко В. Б. Обратные задачи математической физики. - М. - Изд-во Моск. ун-та. - 1984. - 112 с.

24. Гласко В. Б., Старостенко В. И. Регуляризирующий алгоритм решения системы нелинейных уравнений в обратных задачах геофизики //Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1976. - №3. - с. 44-53 .

25. Гласко В. Б., Старостенко В. И., Оганесян М. Алгоритмы подбора в заданных классах, основанных на регуляризации //Гравиразведка: Справочник геофизика. - М. - Недра. - 1990. - с. 388 - 402.

26. Глюзман A.M. Решение краевой задачи для гиперболоида вращения в электроразведке // Изв. АН СССР. Сер. геофизическая. - 1961. - №5. - с. 717-724.

27. Гринберг Г. А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. - М. - Л.- Изд-во АН СССР. - 1948. - 728 с.

28. Дахнов В.Н. Электрические и магнитные методы исследования скважин.- М.-Недра.-1981.-344 с.

29. Дегтярева Т. В., Воносович СВ., Воронко А.И., Меррик Б. Р. Обобщение метода отражений на многослойную среду. - М. - 1984. - 15 с. - Деп. в ВИНИТИ 04.07.84, № 4649-84.

30. Дмитриев В. И. Общий метод расчета электромагнитного поля в слоистой среде // Вычислительные методы и программирование. - 1968. - №10. - с.55-65.

31. Дмитриев В. И. Осесимметричное электромагнитное поле в цилиндрически слоистой среде // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. - 1972.-№12. - с . 56-61.

32. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. - М. - МГУ. -1987. - 167 с.

33. Дмитриев В.И. Дифракция произвольного электромагнитного поля на цилиндрических телах // Вычислительные методы и программирование. -М.- МГУ.- 1966.- Вып. 5. - с. 253-259.

34. Дмитриев В.И., Серебренникова Н.Н. Численный расчет электрического поля точечного источника в слоистой среде с осесимметричным включением// Изв. ВУЗов. Геология и разведка. - 1987. - № 2. - с. 109-113.

35. Друскин В.Л. О единственности решения обратной задачи электроразведки и электрокаротажа для кусочно-постоянных проводимостей// Физика Земли. - 1982. - №1 . - с.72-75.

36. Друскин В.Л. Разработка методов интерпретации бокового каротажного зондирования в неоднородных осесимметричных средах, дисс....к.ф.-м. н. -М.-1984.

37. Егорова Л. В. Численное решение прямых задач электроразведки для точечных и линейных источников в горизонтально-слоистых средах. -Ленинград. - 1989. (Автореф.)

38. Жданов М.С. , Спичак В.В. Конечно-разностное моделирование электромагнитных полей над трехмерными геоэлектрическими неоднородностями // Проблемы морских электромагнитных исследований. -М. - ИЗМРАН. - 1980. - с. 102-114.

39. Жданов М.С. Методы преобразования и интерпретации аномалий гравитационных, магнитных и переменных электромагнитных полей Земли, дисс. д. ф.-м. н. - М. - 1976.

40. Жданов М.С. Электроразведка - М. - Недра. - 1986. - 316 с.

41. Заборовский А.И. Электроразведка. - М.- Гостоптехиздат. - 1963. - 423 с.

42. Захаров Е. В. Математическое моделирование в электромагнитном каротаже. - М.- Недра. - 1979. - 96 с.

43. Захаров Е.В., Ваксман К.Г. Интегральные уравнения теории электрического каротажа неоднородных сред // Электромагнитный каротаж неоднородных сред. Труды ВЦ МГУ. - М. - МГУ. - 1973. - с. 95-104.

44. Зиненберг В. И. Решение прямой и обратной задачи метода ВЭЗ. Новосибирск. - 1973. (Автореф.)

45. Иванов В .Т., Гусев В.Г., Фокин А.Н. Оптимизация электрических полей, контроль и автоматизация гальванообработки. - М, - Машиностроение.-1986.-211 с.

46. Иванов В. Т., Козырин А. К., Окутин Н. Е. Устойчивый метод решения обратных задач прикладной электрометрии // Изв. ВУЗов. Геология и разведка. - М. - 1983. - №10. - с. 138 - 133.

47. Иванов В.Т. О методе прямых решения смешанных краевых задач в многосвязных областях // Дифф. ур-ия. - 1982. - №3. - с. 526-529.

48. Иванов В.Т., Козырин А.К., Кильдибекова Г.Я. Метод расчета электрических полей в полупространстве с цилиндрическими неоднородностями // Изв. ВУЗов. Геология и разведка. - 1986. - №9. - с.79-85.

49. Иванов В.Т., Кризский В.Н. Решение некоторых задач электроразведки методом граничных интегральных уравнений // Известия ВУЗов. Геология и разведка. - 1993.-№4.- с. 122-127.

50. Иванов В. Т., Масютина М. Методы решения прямых и обратных задач электрокаротажа. - М. - Наука. - 1983. - 143 с

51. Изотова Е. Б. Решение прямых и обратных задач электроразведки на постоянном токе для горизонтально слоистых сред. - Ленинград. — 1969. (Автореф.)

52. Израильский Ю. Г. Разработка методов и программ решения прямых и обратных задач электроразведки. - Владивосток. - 1986. (Автореф.)

53. Израильский Ю. Г., Шкабарня Н.Г. Алгоритм расчета кажуш;ихся сопротивлений и поляризуемостей для среды с неоднородностью в виде сфероида // Прикладная геофизика. - М. - 1984. - №110. - с. 89-98.

54. Канторович Л. В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. - М. - Наука. - 1977.-744 с.

55. Кнеллер Л. Е., Потапов А. П. Решение прямой и обратной задачи электрокаротажа для радиально неоднородных сред // Геол. и геофиз. -1989.-Вьш. L-C. 88-96.

57. Комаров В.А., Кашкевич М.П., Мовчан И.Б. Геофизические поля тел сфероидальной формы.- СПб. - Изд-во -Пб ун-та.- 1998. - 112 с.

58. Корбунов А. И. К вопросу об интерпретации аномальных гравитационных полей методом оптимизации (трехмерная задача) // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1979. - №10. - с. 67-76.

59. Корбунов А. И. К теории методов подбора // Геофиз. журн. - 1983. - т. 5. № 4 . - с . 34-43.

60. Корбунов А. И. О методе оптимизации при решении обратной задачи гравиразведки // Физика Земли. - 1978. - №8. - с. 73-78.

61. Корбунов А.И. Теория интерпретации данных гравиметрии для сложно построенных сред. - Киев. - 1989. - 100 с.

62. Кризский В.Н., Герасимов И.А. Поле точечного источника в присутствии тела вращения. - М.: ВНТИЦ, 2002. - №50200200257.

63. Кризский В.Н., Герасимов И.А. Поле точечного источника в присутствии шара, сжатого и вытянутого сфероидов.- М.: ВНТИЦ, 2002. -№50200200256.

64. Кризский В.Н. , Герасимов И.А., Заваруева М.Б. Математическое моделирование и • оптимизация обратных задач определения геоэлектрических параметров кусочно-однородных сред// Математическое моделирование. - 2000. - т. 12.- №3. - с.32-33.

65. Кризский В.Н., Герасимов И.А. Поле точечного источника в присутствии тела вращения. - М.: ОФАП МО РФ. - 2002. - №2002.

66. Кризский В.Н., Герасимов И.А. Поле точечного источника в присутствии шара, сжатого и вытянутого сфероидов. - М.: ОФАП МО РФ. - 2002. -№2001.

67. Кризский В.Н., Герасимов И.А. К решению задачи определения образующей тела вращения в горизонтально-слоистом полупространстве // Современные методы теории функций и смежные проблемы. - Тезисы докладов. - Воронеж.- ВГУ. - 2001. - с. 158-159.

68. Кризский В.Н., Герасимов И.А. Поле точечного источника в присутствии тела вращения// Компьютерные учебные программы и инновации. - 2003. -№2. - 40.

69. Кризский В.Н., Герасимов И.А. Поле точечного источника в присутствии шара, сжатого и вытянутого сфероидов // Компьютерные учебные программы и инновации. - 2003. - №2. - с.39.

70. Кризский В.Н., Герасимов И.А., Викторов СВ. Математическое моделирование обратных задач потенциальных геоэлектрических полей в осесимметричных кусочно-днородных средах // Вестник Запорожского государственного университета. - 2002. - №1. - с. 49 - 53.

71. Кризский В.Н., Горшенев А.В. Оболочка программного комплекса «POLE» // Компьютерные учебные программы и инновации - 2003 - №5. -с.25-26.

72. Кузьменко Э.А., Кириллов А., Выгодский Е. М. ,Силуянов В.Н. Расчет электрического поля точечного источника в неоднородной среде с учетом поверхности Земли // Разведка и разработка нефтяных и газовых скважин. -Львов. - 1986. - № 3 . - с.38-40.

73. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. - Новосибирск. - Изд-во СО АН СССР. - 1962. - 92 с.

74. Лаврентьев М. М,, Романов В. Г., Шишатский П. Некорректные задачи математической физики и анализа - М. - Наука. - 1980. - 287 с.

75. Леонов A.M. Общий алгоритм расчета потенциала точечного источника постоянного тока в слоистой среде // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1987. -№ 3 . - с . 104-108.

76. Летова Т.А., Пантелеев А.В. Экстремум функций в примерах и задачах. - М.- Изд-во МАИ. - 1998. - 376 с.

80. Мартышко П.С. О решении обратной задачи электроразведки на постоянном токе для произвольных классов потенциалов.- Изв. АН СССР. Физика Земли. -1986. - №1. - с. 87-93.

81. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. - М. - Наука. - 1980.- 535 с.

82. Марчук Г.И., Агошков В. И. Введение в проекционносеточные методы. - М. -Наука . -1981 . -416 с.

83. Михлин Г. Вариационные методы в математической физике. - М.- Наука.-1970.-512с.

84. Морозов В. А. Линейные и нелинейные некорректные задачи // Итоги науки и техники. Математический анализ. - М. - ВИНИТИ. - 1973. - Вып. 11 . -с . 129-178.

85. Морозов В. А. О регуляризирующих семействах операторов // Вычисл. методы и программирование. - 1967. - Вып. 8. - с. 63-95.

86. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. - М. - Наука. - 1987. - 240 с.

87. Муравина О. М. Решение обратных задач гравиразведки для сложнопостроенных сред.- Воронеж. - 1994. (Автореф.)

88. Овруцкий И. Г. Применение методов минимизации негладких функционалов для решения обратных задач геофизики. - Киев. - 1983. (Автореф.)

89. Овчинников И.К. Теория поля. М. - Недра. - 1979. - 352 с.

90. Оганесян М., Старостенко В. И. Двойственный метод решения линейной некорректной задачи, использующий параметрический »' модифицированный функционал Лагранжа и вариационный способ А. Н. Тихонова // Докл. АН СССР. - 1982. - 263. - с. 297-301.

91. Оганесян М., Старостенко В. И. Итерационные методы решения некорректно поставленных задач // Докл. АН СССР. - 1977. - 234. - №2. - с. 312-315.

92. Оганесян М., Старостенко В. И. Параметрический функционал А.Н. Тихонова и итерационные методы решения некорректных задач геофизики // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1978. - №1. - с.63-75.

93. Оганесян М., Старостенко В. И. Регуляризирующий итерационный процесс, основанный на параметрическом функционале А.Н. Тихонова // Докл. АН СССР. - 1978. - 238. - №2. - с. 227-230.

94. Оганесян СМ. Оценка скорости сходимости одного класса итерационных методов, применяемых при решении линейных некорректных задач геофизики // Теория и методика интерпретации гравимагнитных полей. - Киев. - Нак. думка. - 1981. - с. 154 - 170.

95. Оганесян СМ. Решение линейных некорректных задач гравиметрии двойственным методом//Докл. АН УССР. -Сер . Б. - 1982. -№9 . - с .13 -18 .

96. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. - М. - Мир. - 1975. — 560 с.

97. Приходько Л. Л. Математическое моделирование квазитрехмерных задач электроразведки, дисс. к. ф.-м. н. - М. - 1990.

98. Рвачев В.Л., Слесаренко А.П, Алгебра логики и интегральные преобразования в краевых задачах. - Киев. - АН УССР. - 1976. - 287 с.

99. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. - М. - Наука.- 1984.-264 с.

100. Самостюк Г.П., Вешев А.В. Поле точечного источника тока в присутствии сферы // Уч. записки ЛГУ. - Сер. физич. и геол. наук. - 1960. -Вып. 12.- №286. - с . 3-12.

101. Сапожников В.М. Приближенное решение задачи о возмущении электрического поля точечного источника шаром // Геофизические методы поисков и разведки рудных и нерудных месторождений. - Свердловск. -1981.-с. 69-77.

102. Светов Б.С. Электродинамические основы квазистационарной геоэлектрики. - М.- ИЗМИР АН. - 1984. - 183 с.

103. Смирнова Т. Ю. Математическое моделирование сложнопостроенных сред электроразведки методом сопротивлений, дисс. .. .к. геол. - н. - М.-1994.

104. Старостенко В. И., Оганесян М Устойчивые операторные процессы и их применение в задачах геофизики // Изв. АН СССР.- Физика Земли. -1977. - № 5 . - с . 61-74.

105. Старостенко В. И., Оганесян М. Некорректно поставленные задачи по Адамару и их приближенное решение методом регуляризации А.Н. Тихонова // Геофиз. журн.. - 2001. - №6. - Т. 23. - с. 3-20.

106. Страхов В. Н. Критический анализ классической теории линейных некорректных задач // Геофизика. - 1999. - №3. - с. 3-9.

107. Страхов В. Н., Голиздра Г.Я., Старостенко В.И. Развитие теории и практики интерпретации потенциальных полей в XX веке // Физика Земли. -2000.- № 9 . - с . 41-64.

108. Страхов В.Н., Страхов А.В. Универсальные алгоритмы регуляризации систем линейных алгебраических уравнений с аддитивной помехой в правой части, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии // Физика Земли. - 2000. - №10. - с. 3-28.

109. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. - М. -Наука . -1986 . -288 с.

110. Тихонов А. Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. - М. - Наука. -1983.-200 с.

111. Тихонов А. Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. - М. - Наука. - 1990. - 230 с.

112. Тихонов А. Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. - М. - Наука. - 1995. - 311 с.

113. Тихонов А.Н. О единственности решения задачи электроразведки. - Докл. АН СССР. - 1949. - т. 69.- №6.- с.780-797.

114. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.- Наука. - 1966. - 724 с.

115. Трантер К. Интегральные преобразования в математической физике. - М. - Гостехиздат. - 1956. - 204 с.

116. Филатов В. Г. Решение обратных задач гравиметрической разведки с применением метода регуляризации. - М. - 1974. (Автореф.)

117. Филатов В.А., Хогоев Е.А. Расчет поля точечного источника постоянного электрического тока в слоистой среде. - Новосибирск. - 1987. -13 с - Д е п . в ВИНИТИ 29.01.87. № 1065-В87.

118. Фридман В.М. Метод последовательных приближений для интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода// Успехи матем. наук. -1956.- 11 вып. - 1 (67). - с. 233-234.

119. Халфин Л. А. Поле точечного источника в присутствии сжатого и вытянутого сфероидов// Известия АН СССР. - Серия геофизическая.- 1956.-№6. - с. 657-668.

120. Хмелевский В.К. Основной курс электроразведки. 4 1 . - М. - МГУ. - 1971.-245 с.

121. Хуторянский В. К. Численное решение прямых и обратных задач электроразведки постоянным током. - Новосибирск. - 1985. (Автореф.)

122. Цирульский А.В. Функции комплексного переменного в теории и методах потенциальных геофизических полей. - Свердловск. - Изд. Ур.О АН СССР.-1990.

123. Цирульский А.В., Прудкин И.Л. О решении обратной задачи для произвольных классов двумерных и трехмерных потенциалов. - Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1981. - № 11. - с. 45-61.

124. Цок Н. О. Решение обратной задачи гравиразведки при полиномиальной сплайн-интерполяции контактных поверхностей. - Киев. -1985. (Автореф.)

125. Шеметов В. А. Моделирование методов постоянного тока в задачах электроразведки для сложного разреза с использованием методов конечных элементов. - Новокузнецк. - 1997. (Автореф.)

126. Эткина Н. И. Разработка и математическое моделирование процедур выделения геофизических аномалий, дисс. ... к.т.н. - Екатеринбург.- 1993.

127. Яновская Т. Б., Порохова Л. Н. Обратные задачи геофизики. - Л. - Изд- во Ленингр. ун-та. - 1983. - 211с.

129. Cook K., Van Nostrand R. 1п1ефге1а11оп of resistivity data over filled sinks// Geophysics. - 1954. - 19. - №4.

130. Langez R. E. An inverse in differential equations. // Am. Math. Soc. Bull. - 1933.-ser .2.-v.29.- p. 814-820.

131. Moore E.H. General analysis / / 1 . Memoirs Amer. Philos. Soc. - 1935. - 1. - p.1-231.

132. Penrose R. A generalized inverse for matrices // Proc. Cambridge Philos. Soc . -1955 . -51 . - p . 406-413. Электронные источники

133. Герасимов И.A., Кризский В.Н. Определение параметров эллипсоида вращения по результатам исследований постоянным током// Компьютерные учебные программы и инновации. - 2003. - №4. http://www.informika.ru/ text/magaz/innovat/n4_2003\ п4_2003 .html.

134. Кризский В.Н., Герасимов И.А. Поле точечного источника в присутствии тела вращения// Компьютерные учебные программы и инновации. - 2003. - №2. http://www.informika.ru/text/magaz/innovat/n2_2003\ n2_2003.html.

135. Кризский В.Н., Герасимов И.А. Поле точечного источника в присутствии шара, сжатого и вытянутого сфероидов // Компьютерные учебные программы и инновации. - 2003. - №2. http://www.informika.ru/ text/magaz/innovat/n2_2003\ п2_2003 .html.