автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование геоэлектрических полей в осесимметричных средах со сплайн-аппроксимацией границ

На правах рукописи

ВИКТОРОВ СЕРГЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

Математическое моделирование геоэлектрических полей в осесимметричных средах со сплайн-аппроксимацией границ

05,13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Стерлитамак - 2005

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Стерлитамакской государственной педагогической академи-ии и в лаборатории дифференциальных уравнений отдела физико-математических и технических наук Стерлитамакского филиала Академии наук Республики Башкортостан

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

проф. Кризский В.Н. Научный консультант: доктор физико-математических наук,

проф. Спивак С.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

проф. Усманов С.М. (Бирская ГСПА),

доктор технических наук, проф. Каяшев А.И. (СФ УГНТУ).

Ведущая организация: Башкирский государственный университет.

Защита состоится «29» декабря 2005 г. в 16 часов 00 минут на заседании диссертационного совета К 212.315.01 при Стерлитамакской государственной педагогической академии по адресу: г. Стерлитамак, пр. Ленина, 37.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Стерлитамакской государственной педагогической академии

Автореферат разослан 28 ноября 2005г.

Кризский В.Н.

Жг±_ ШШЗ

С0.4 Общая характеристика работы

^ Актуальность проблемы.

Задача поиска и уточнения границ сред, составляющих геологический разрез земли, обуславливающая увеличение разведанных запасов минерально-сырьевых ресурсов, является актуальной Важное для исследователей значение приобретают глубинные поиски месторождений Учитывая осадочные отложения пород геоэлектрического разреза, осложненного локальными включениями, актуальной задачей остается определение как местоположения таких включений, так и формы их границ.

Среди большого числа известных геофизических методов исследований, ведущее место занимают методы электроразведки потенциальными полями, как наиболее эффективные и экологически безопасные Возможность применения электрических методов для изучения строения земных недр предопределяется различием значений удельных электрических проводимостей горных пород.

Основной задачей геоэлектрики является решение обратной задачи - задачи восстановления границ и удельных электрических проводимостей сред, составляющих структуру исследуемого района, по известным электрическим полям (интерпретация измеренных полевых данных).

Сложность формы включения обуславливает применимость аппарата сплайн-функций для описания их границ.

Необходимость создания эффективных алгоритмов обработки и интерпретации экспериментальных данных, является причиной развития следующих направлений, исследуемых в работе:

• разработка и программная реализация алгоритмов решения прямых задач для расчета потенциальных полей точечного источника постоянного электрического тока в кусочно-однородной среде, при наличии в ней локального включения с образующей аппроксимированной сплайном;

• разработка эффективных алгоритмов решения обратных задач поиска в кусочно-однородной среде параметров границы локального включения из класса «звездных» тел вращения по измеренным электрическим полям.

Ранее в работах В.Т. Иванова и В Н. Кризского был разработан алгоритм решения прямых квазитрехмерных осесимметричных задач, основанный на сочетании методов интегральных преобразований и интегральных уравнений. Для случая цилиндрических сред он был реализован в работах Галеевой (Кильдибековой) Г.Я.

В работах П.С. Мартышко предложены алгоритмы решения теоретической обратной задачи (без учета погрешностей) для «звездных» тел, но лишь для случая однородного вмещающего пРО-Ранства. Р^»»«]

И.А. Герасимовым программно реализованы алгоритмы решения обратных задач определения параметров включений в слоистых средах, но лишь в классе простых тел (шар, сфероид).

В отличие от работ других авторов, в данной работе рассматривается построение и исследование процедуры поиска в кусочно-однородной среде параметров границы тела вращения, образующая которого аппроксимирована сплайном по результатам исследований постоянным электрическим током.

Цели и задачи.

Целью работы является разработка алгоритмов и комплекса программ компьютерного моделирования прямых и обратных задач геоэлектрики в кусочно-однородных средах, позволяющих вычислять потенциальное поле от источников постоянных токов, интерпретировать результаты полевых элекгроразведочных измерений, определять границы осесимметричных включений с образующей, аппроксимированной сплайном, исследовать взаимное влияние основных параметров модели методом вычислительного эксперимента.

Научная новизна.

В работе впервые исследованы прямые задачи геоэлекгрики в кусочно-однородных средах с пространственной осевой симметрией, в присутствии тела вращения с аппроксимированной сплайном образующей. Для их решения применялся комбинированный способ, основанный на сочетании методов интегральных преобразований и интегральных уравнений, формируемых на базе теории потенциала двойного электрического слоя.

Методом регуляризации А.Н. Тихонова получено решение обратной задачи поиска границы локального включения сложной геометрии - как конечномерного вектора ограниченных параметров, входящего в состав параметрического описания образующей сп лай н-фу н кция ми.

С помощью разработанных соискателем алгоритмов, реализованных в комплексе программ, проведен вычислительный эксперимент по исследованию взаимного влияния различных параметров модели.

Практическая ценность.

Предложенные методы позволяют решать задачи геоэлектрики в кусочно-однородных средах, аналитическое решение которых отсутствует.

Разработанные алгоритмы позволяют: • на основе экспериментальных данных определять параметры границ трехмерных включений вращения в типичных для практики геофизических средах - однородном, горизонтально-слоистом пространстве и полупространстве;

• рассчитывать распределение потенциала поля в средах с заданной геометрией.

Методы решения- прямых и обратных задач геоэлекгрики реализованы в виде программного комплекса. Основные его модули интегрированы в программное средство, зарегистрированное в отраслевом фонде алгоритмов и программ Министерства образования и науки Российской Федерации (ОФАП МОиН РФ), Всероссийском научно-техническом информационном центре (ВНТИЦ).

На защиту выносятся.

1. Численные алгоритмы моделируемых прямых и обратных задач на основе методов интегральных преобразований, интегральных уравнений, сплайн-аппроксимации границ, вариационного метода А. Н.Тихонова.

2. Комплекс компьютерных программ реализации построенных алгоритмов.

3. Результаты вычислительных экспериментов по исследованию взаимного влияния основных геоэлектрических параметров моделируемых сред.

Апробация работы.

Основные положения работы обсуждались и докладывались

на:

• Всероссийской научной конференции «ЭВТ в обучении и моделировании» (Бирск - 2001),

• Международных научных конференциях "Математические методы в технике и технологиях"-"ММТТ-15" (Тамбов-2002г.), "ММТТ-16" (С.-Петербург - 2003 г.), "ММТТ-17" (Кострома - 2004 г.),

• Региональных школах-конференциях для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (БашГУ, Уфа, 2002 -2004 г.г.),

• II Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике - "ВСППМ" (Йошкор-Ола - 2001 г.),

• Международной конференции по математическому моделированию - "МКММ" (Херсон, Украина - 2003 г.),

• Международной научной Школе "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" (Средневолж-ское математическое общество, МордГУ, Саранск, 2003 г.),

• VI международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (СВМО, МордГУ, Саранск,2004 г.),

• Международной научной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы", посвященной 75-летию академика РАН В.А. Ильина (СФ АН РБ, СГПИ, Стерлитамак - 2003 г.),

• Всероссийской научной конференции «Современные проблемы

физики и математики» (Стерлитамак - 2004 г.),

• III Всероссийской молодежной научной школе-конференции (Казань - 2003 г.),

• Научных семинарах кафедр прикладной математики и механики, теоретической физики, математического моделирования СГПА (Стерлитамак - 2001 - 2005 гг.).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 21 печатная, 1 электронная работа Основные из них приведены в автореферате В совместных работах соискателю принадлежат разработанные алгоритмы и комплексы программ математического моделирования геоэлектрических полей в осесимметричных средах со сплайн-аппроксимацией границ, результаты вычислительных экспериментов по исследованию взаимного влияния основных геоэлектрических параметров моделей.

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и приложения. Полный объем составляет 106 страниц, включая 29 рисунков, 13 таблиц, библиографию.

Основное содержание работы

В главе 1 проведен обзор существующих методов решения прямых и обратных задач электроразведки.

В главе 2 исследованы математические модели прямых задач расчета потенциальных полей точечных источников постоянного электрического тока в кусочно-однородной среде, обладающей осевой пространственной симметрией, при наличии в ней локального включения вращения с образующей, аппроксимированной сплайном.

В п.2.1 главы 2 описан способ расчета поля точечного источника постоянного тока в трехмерных однородных (п.2.1.2), горизонтально-слоистых (п.2.1.3) средах, обладающих осевой пространственной симметрией, при наличии в них локального включения с образующей, аппроксимированной сплайном (п.2.1.1)

Рассмотрено Л/-слойное кусочно-однородное полупространство Q., состоящее из горизонтальных слоев Qi,n2>--->^w с удельными электрическими прово-димостями cxb...,aN, в к-ом слое которого находится локальное

Рис. 1. Тело вращения в слоистом полупространстве

включение типа тела вращения i^o с постоянной удельной электрической проводимостью сг0 (рис. 1).

Математическая модель прямой задачи, описывающая потенциальное поле точечного источника постоянного тока интенсивности /, возбуждаемого в точке A(x0,0,z0) слоя П/, сг, , представлена в видехледующей краевой задачи: Ди,(Р) =0, P(x,y,z) е П/, i = 0,Л/; /' * /; I

Au,(Р) =--¿>(х - х0)S(y)S(z-z0), Р(х,у,z) е П, ;

(1) (2)

ди,(Р)

'lz=z,

диЛР)

dz

dz

z=0

0-, u0(P)\s = uk(P%-, а0

dz ди0(Р)

, / = 1,Л/-1;

дик(Р)

дп

(3)

(4)

(5)

3 -ку '15' а„

ц(Р)-»0, -¡х2+у2 ->оо, / = 1,Л/-1 ; ин(Р)-+0, ^х2+у2+г2 -юо, где плоскость г=0 - уравнение «дневной» поверхности, г = г, -нижняя граница слоя О,- (/ = 1.Л/ — 1), ¿> - функция Дирака, л -единичный вектор внешней нормали к поверхности Э = 5(^(5, Решение задачи (1) - (5) сводится к следующим этапам: 1. Найти функцию Грина, в™(Р,0), как решение краевой задачи:

a2G,m = 0, / = Щ/*/;

dz" d2G" dz2

a2G,m = -Jm(arQ)S(z - z0), i - /;

G,"

Z=Z,

Gm

/+1

dG,"

z=z;

dz

= er,

c/Gi

/+1"

7+1

dz

/ = 1, Л/ — 1;

z=z,

dG{"

dz

= 0;

Gm ->0,

Z -> 00.

z=0

где (/ = 1, Л/), S - азимутальные сечения плоскостью ^ = const соответственно области Q, и поверхности тела S, которая аппроксимирована сплайном C(s,t). Для вычисления G,m(P,Q) применялись рекуррентные формулы, построенные по методу Филатова -

Хогоева1.

2. Решить интегральные уравнения для различных значений т= О, 1,2, ..., относительно плотности потенциала двойного слоя

мт для P(r,z),Q(rQ,zQ)eÇ(s,t):

¿ЛР) - 2^^ Um(Q) • rQdGm(^à)dCQ = ^^ ■ - ■ Gm(P, À).

°о +akalt) dnQ o-Q+Vk

1. Найти:

Vm(P) = -!-Gm(P,À) - потенциал источника;

2ст,

fm ~ dGm(P Q)

W (P) Ы (Q)-/q- ' dÇQ - потенциал двойного слоя;

ait) дпо

и£(Р) = Wm(P)+Vm(P), P(r,z) e

u"(P) = (ak/<j0) • (Wm(P) + \/m(P)), P(r,z) e Qq -коэффициенты ряда Фурье, где P(r,z), Q(rQ,zQ), Â(re>ze).

4. Искомое решение задачи (1) - (5) восстанавливается формулой обращения:

и(г, (р,2) = -^{2-80т)ит (г, z)cos тер. (6)

л т=0

В п.2.2 исследовались математические модели прямых задач. Здесь проведены сравнения численных решений для однородного пространства с известным аналитическим (с включением в виде шара), показавшие высокую точность построенных алгоритмов.

Были рассмотрены решения прямой задачи, рассчитанные в однородном и аналогичном ему 3-х слойном полупространстве с одинаковыми электрическими проводимостями слоев оЛ - а2 - аъ = 0.01 (См/м) (рис. 2.). Здесь сравнивались полученные решения для шара с радиусом Юм (рис. 2.2.5 а)) и для тела вращения с границей неправильной формы (рис. 2.2.5 б)) на глубине 40м. Вкладки детализируют участки графиков в области наибольшего различия потенциала тока, и демонстрируют достаточную согласованность результатов работы алгоритмов для однородного и горизонтально-слоистого полупространств при наличии фиктивных границ раздела (относительная погрешность не превосходит 3%).

1 Филатов В.А., Хогоев Е.А. Расчет поля точечного источника постоянного электрического тока в слоистой среде Новосибирск, 1987.-1 Зс.-Деп. в ВИНИТИ 29.01.87. №1065-В87.

и,0)

Рис. 2. Сравнение решений для однородного и трехслойного горизонтально-слоистого (с одинаковой проводимостью слоев ) полупространств в присутствии а) шара, 6) тела с границей, заданной сплайном (/-=3)

12 Х(Я)0

Рис. 3. Потенциал тока в двухслойной среде в присутствии тела вращения при' а) различных проводимостях слоев; б) различном положении источника.

Результаты (см. рис.3) характеризуют влияние удельной электрической проводимости слоя, содержащего источник тока. Влияние тела (наблюдаемая аномалия кривой на уровне включения) проявляется тем в большей степени, чем больше удельная

электрическая проводимость слоя содержащего источник Выполнено численное исследование влияния различных параметров модели на распределение электрического тока.

Полученные результаты соответствуют геофизическим закономерностям. Построенный алгоритм, обладая достаточно высокой точностью, позволяет находить поле источника тока в горизонтально-слоистых средах, имеющих важное практическое значение в разведочной геофизике.

В главе 3 построены и исследованы процедуры поиска в кусочно-однородной среде границы тела вращения. Рассмотрены трехмерные среды вращения с осевой пространственной симметрией. Здесь образующая включения аппроксимировалась сплайном. Решение задачи сведено к поиску параметров, входящих в описание границы поверхности тела, на компактном множестве ограниченных векторов конечномерного пространства.

В п.3.1 рассмотрен вариационный метод решения обратной задачи электроразведки определения границы произвольного тела вращения в плоско-параллельном горизонтально-слоистом полупространстве.

Граница 8 локального включения с удельной электрической проводимостью сг0, находящегося в слое С1к горизонтально-слоистой кусочно-однородной среды О., состоящей из плоскопараллельных слоев с удельными электрическими

проводимостями сг1,сг2,...1сгд,(см. рис.1), искалась как экстремаль сглаживающего функционала А.Н. Тихонова вида

Я* (в) = ад + аР2(5) = || и(А,Р,3) - ив(ДР)£(ехЕ) + «|| 5 - в'Ц^, (7)

где ив(А,Р) - экспериментальные геофизические данные, измеряемые на многосвязной области ЕхЕ «дневной» поверхности среды , на которой размещалась площадка Е источников А и

приемников Р тока (ДР е Е сС1:),и(А,Р,$) - решение прямой задачи (1) - (5), - априори известное приближенное описание границы, Н с Я2 - множество изменения параметров описания границы. Здесь ^(Б) - функционал невязки, Р2(Э) - стабилизирующий функционал, а - параметр регуляризации.

Искомая поверхность задавалась параметрически 8(д(з^),<р), t е[-ж/2,л/2], <р &[0,2л], с аппроксимированной сплайном образующей, где В = (80,зь...,ви),

т, < s, <Мп i = 0,L - вектор ограниченных параметров входящих в описание границы. Поиск границы S сводился к нахождению компонент s, вектора s, описывающего сплайн g(s,t) е 1/V21 на компактном (конечной размерности и ограниченном) множестве векторов2.

Большинство обратных задач являются некорректными. Для описанной геоэлектрической модели единственность решения обеспечивается теоремой В. Л. Друскина3

Задача (1)—(5),(7) решалась с помощью выполнения внешнего и внутреннего циклов. Внешний цикл заключался в формировании сходящейся к нулю последовательности (ак), на элементах которой искался минимум функционала (7) при а = ак. В качестве элементов такой последовательности использовались члены геометрической прогрессии, определяемые с помощью соотношения:

я/с-и =<?■«*, <7 <1-

Во внутреннем цикле при закрепленном a = ak¡ искался элемент Süi<. доставляющий минимум функционала (7). Выход из цикла производился по критерию невязки

II " и £х£

В п.3.2 приведены результаты вычислительного эксперимента при различных значениях параметров модели.

Для построенных моделей сред программно реализован вариационный метод решения обратной задачи нахождения параметров в описании границы тела вращения, с аппроксимированной сплайном образующей, на основе анализа экспериментальных данных.

На рис.4 представлены результаты вычислительного эксперимента по исследованию сходимости процесса поиска образующей тела вращения в однородном пространстве Приведенные в

табл.1 компоненты S¡ вектора s описания образующей демонстрируют найденное квазирешение задачи для следующего случая: ^/<70=0.01, /=1А, 0(0,0,70), Е:[-60,60]х[-60,60], р=25, ие = 0. Функционал F,(s) минимизировался методом Хука - Дживса. Здесь и далее метрические величины приведены в метрах.

^Тихонов А.Н.,Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.:Наука,19в6,288с.

3Друскин В Л О единственности решения обратной задачи электроразведки и электрокаротажа для кусочно-постоянных проводимостей//Физика Земли.-19в2-№1.-С.72-75

Таблица 1. Сходимость процесса поиска образующей те-

О 10

I -О— m mjmSjUMC.

1) 7 ое KfVÍJaac.

2) X 60-оя Mfn&nOK.

3) -О— течам ржапы

i ■нал - ■ . ^тж щм»

" дгцт IUIÍI 1 Í 0 7 60 Точное решение

" -. > j 1 39 421 1

•е м — 20.00 40 00 49.11 50 00

S , м 20 00 44 00 49.47 50.00

. м g 20.00 35.00 30.73 30.00

"•feí. м 20.00 30.00 39.74 40.00

1Ц1- |Щ, Í.MJ4 погрешность О ,| SÍ- i, Ц/1,6 || 0 55 0.19 0.01 0.00

Значение ф/нк циоиа(1ч)невяз- ки №*<1Л 3.16Е-1 7.81Е-2 1.23Е-3 0.00

Рис. 4. Сходимость процессса поиска образующей тела вращения, аппроксимированной сплайном

Исследована сходимость метода поиска минимума функционала (7) в зависимости от количества источников/приемников тока и погрешности экспериментальных данных на площадке исследования, выбора формы начального приближения границы включения, коэффициента контрастности сред, и др.

Сравнительный анализ полученных решений (см. табл.2) для изменяемого числа варьируемых параметров II описания образующей, показал значительные преимущества метода конфигураций по точности найденного решения с/, скорости счета и количеству обращений к прямой задаче (значения выделены курсивом)

Таблица 2. Сравнение эффективности методов поиска минимума функционала, ст,/^ =0,01, 0(0,0,150), £[-50,50]х[-50,50], источников/приемников - 16

sr Шифр/, ящлщода)-; ■ 'JColЩМьпт^ ¿ЗГ/хы / v 4 ц г / . „ Расчетное вре-. ^ %мя, mwfé&GK ¿s. а'ФлМ*

А) 177 00:46 1.87Е-5 0.15

3 Б) 685 02:04 3.85Е-5 0.23

В) 353 01:15 1.81Е-5 0.15

Г) 347 01:28 1.97Е-3 0.17

А) 429 02:11 1.03Е-5 0.12

4 Б) 1002 03:52 1.74Е-5 0.12

В) 6143 26:38 3.00Е-4 0.12

П 553 02:05 4.33Е-2 0.13

А) 518 02:21 1.83Е-6 0.07

5 Б) 1082 04:08 1.91Е-4 0.23

В) 6090 23:10 1.56Е-4 0.14

п 941 03:54 5.08Е-2 0.10

А) -конфигураций (Хукка-Дживса), Б) -локальных вариаций,

В) - покоординатной минимизации, Г) -глобальной минимизации на основе адаптивных кривых.

Рассмотрено влияние погрешности в исходных данных на -точность нахождения решения (табл 3). Рост погрешности исходных данных «Уведет к росту относительной погрешности с) найденного решения.

Таблица 3. Отклонение найденного решения от точного в зависимости от величины погрешности 8 в исходных данных ив.

Шифр крйвбй Г.......< ШШрМ, шш ж ¡¡§Р

ой?. 100 10 5 2 0,1 0,01

:9.9б 35 87 42 24 60 60 60

0.00 32.75 35.67 47.13 60 60

0 00 30.66 31 15 32.11 52.60 53 74

'^■рЛ 1.54Е-7 8.22Е-6 1 39Е-5 2 60Е-5 6.32Е-3 7 14Е-3

Построена система эквивалентных по отклику включений с удельной электрической проводимостью, изменяющейся в заданном диапазоне - задача практически важна для интерпретационной геофизики (см табл. 4).

Проведено поэтапное усложнение формы включения с использованием ранее найденных более простых аппроксимаций в качестве начальных приближений (см. табл.5, рис.5).

Таблица 5. Зависимость решения обратной задачи от выбора формы начального приближения.

. Шифр кривом?

упщщыщ, «//("¿Й&ШФЖ ■л-. ' ^ЬпойШ л

0 1 2 3 4 5

20.00 10 39.07 49.23 46.72 40.00

20.00 18.53 57.86 60.00 54.97 51.03

20.00 34.55 27.07 43.68 54.29 50.29

- - 38.24 28.24 33.03 35.44

- - - 40.65 30.23 31.52

- - - - 40.81 40.00

- 10.17 1.30 0.14 0.1242 -

- 190 970 1289 1550 -

- 0.57 0.27 0.19 0.09 -

Л>------- --1

I

<п

уи

*Т&7—' -4— ;

1.00

0.15

Ми.

0.01

0 18

Рис.5. Поэтапное усложнение Таблица 6. Зависимость решения обратной искомой формы включения задачи от проводимостей пластов.

Вычислено решение обратной задачи (табл.6) для 2-х слойно-го полупространства с различной проводимостью верхнего слоя

при одинаковом наборе параметров: а2=0ЛСм/м, сг0 = 0.001 См/м,

/=1А, 0(0,0,90), Е:[-60,60]х[-60,60], р=9, ¿.=3. Результаты вычислительного эксперимента показали увеличение относительной погрешности с1 решения при = 0.01 См/м . Причиной этому являлось экранирование отклика от включения из-за низкой удельной электрической проводимости верхнего пласта, содержащего источник

Исследовано влияние контрастности тела и среды его содержащей (табл. 7).

Таблица 7 Влияние контрастности тела и среды его содержащей

Результаты эксперимента продемонстрировали, с одной стороны, быстрый рост погрешности полученных решений при стремлении отношения проводимостей к единице, а с другой - приемлемую точность решения при контрастности сред порядка 10.

- ш : * АриЬой Г ''/'"ШЦ&К. шш

] ' ^ 0.1 1Е-05 10000 0.0004

0.1 0.0001 1000 0.0029

0.1 0.001 100 0.0014

4 < . ».-г- X*" 0 1 0 01 10 0.0187

.. $л 0.1 0.03 3.33 0.1836

0.1 0.08 1.25 0.2286

0.1 0.095 1.05 0.3120

Проведено сравнение решений полученных методом регуляризации и методом подбора на компактном множестве решений. Показано, что метод регуляризации является более эффективным по сравнению с методом подбора при значительном зашумлении исходных данных и росте числа искомых параметров.

Алгоритмы решения прямых и обратных задач программно реализованы на языке Object Pascal средствами Borland Delphi. В главе 4 приведено описание функционального назначения и режимов работы программных средств комплекса.

Составляющие модули программного комплекса: Модуль PrZad (динамическая библиотека алгоритмов решения прямых задач) включает следующие функции: function U_sf(Prm, Ist- TPointXYZ; Telo: TVkluch):Extended

- возвращает в точке Prm(x,y,z) значение потенциала (или кажущегося сопротивления) электрического поля точечного источника lst(x,y,z) при наличии неоднородности - параметра Telo:TVkluch. Описавающий тело вращения (с аппроксимированной сплайном образующей) тип TVkluch, состоит из полей: Koord.TPointXYZ - координат центра включения, Si:Extended - удельной электрической проводимости. Функция U_sf использует функции Грина вмещающих однородного (модуль Grin_Odnor) и горизонтально-слоистого (модуль Grin_Sloi) пространств/полупространств

function U_sh(Prm, Ist TPointXYZ; Telo: TVkluch):extended

- для анологичных параметров возвращает значение потенциала, вычисленного по аналитическим формулам в случае, когда параметр Telo описывает шар.

Модуль ObrZad (алгоритм решения обратной задачи) содержит procedure RunObrZad

- подпрограмма решения обратной задачи, использующая процедуру MUpoP[(var Ма:ТМи) для вычисления экспериментальных данных Ма по площадке Е, функцию F(var x.Tvec) .extended для вычисления значения сглаживающего функционала от вектора х параметров описания образующей, и процедуры методов минимизации (модуль Metod_Min).

Модуль Metod_Min (алгоритмы методов многомерной минимизации):

procedure Hook_Djivs(var pO.Tvec; var MinPsi:Extended) - метод Хука-Дживса;

procedure Koord_Min(var pO.Tvec; var psi_j>0:Extended) - метод

покоординатной минимизации; procedure Lok_Var(var pO :Tvec; var MinPsi:Extended) - метод

локальных вариаций; procedure SL(var pO :Tvec; var MinPsi:Extended) - метод адаптивного поиска;

procedure Metod_Mngrk(var pO :Tvec; var MinPsi:Extended) - метод глобальной минимизации на основе адаптивных кривых. Здесь pO.Tvec начальные и найденные значения параметров описания образующей, MinPsi - величина функционала, при

достижении которого происходит выход из процедуры поиска минимума.

Модуль Spline (сплайн-функции) содержит:

процедуру Koef(p:Tvec) для вычисления коэффициентов интерполяционного сплайна, функции S(x:Extended):Extended, function dS(x:Extended):Extended - вычисления сплайна и его производной для аргумента х. Модуль Vkl (функции параметрического описания образующей включения) содержит функции параметрического описания образующей включения: R_t(t:Extended)¡Extended, Z_t(t:Extended) Extended, dR_t(t Extended) :Extended, dZ_t(t:Extended) Extended

Все перечисленные модули включены в программную оболочку «Вычислительный эксперимент». Программное средство зарегистрированно в отраслевом фонде алгоритмов и программ МОиН РФ.

Схема работы программы:

1 Задание параметров описания модели (вмещающего пространства и включения, площадки исследования и др.).

2. Заполнение массива экспериментальными (измеренными) значениями потенциала по площадке Е (процедура MUpoPI модуль ObrZad) посредством считывания из файла или вычисления (решение прямой задачи) для построенного включения

4. Задание начальных значений параметров для методов минимизации выбранного функционала F.

5. Накопление результатов в процессе вычисления 6 Формирование отчета результатов.

Использован модульный принцип построения программы, позволяющий модернизировать отдельные её части с учетом возникающих потребностей и включать их в иные пакеты программ.

В приложении приведено свидетельство о регистрации программного средства автора в ОФАП МО РФ и ВНТЙЦ.

Основные результаты работы

• Расширен класс исследуемых включений вращения в кусочно-однородной среде применением сплайн-функций для описания их границ.

• Разработаны алгоритмы решения прямых задач определения потенциальных полей точечных источников постоянного электрического тока в осесимметричных кусочно-однородных средах на основе методов интегральных преобразований и интегральных уравнений, а так же обратных задач поиска границ включений вращения (аппроксимирующих их сплайнов) на основе вариационного метода А.Н.Тихонова.

• Разработан комплекс компьютерных программ, реализующий построенные алгоритмы. Показана высокая эффективность

численных алгоритмов сравнением с более простыми задачами, полученными ранее другими авторами. Проведены вычислительные эксперименты, позволяющие:

- построить систему эквивалентных по отклику включений в заданном диапазоне удельных электрических проводимо-стей, имеющую практическое значение для интерпретационной геофизики;

- констатировать более точное определение верхней части границы включения по сравнению с нижней в задачах электроразведки;

- обосновать возрастание точности определения границы включения с ростом коэффициента контрастности среда/включение.

Программное средство зарегистрировано в ОФАП МО РФ и ВНТИЦ.

Основные публикации по теме диссертации

1. Кризский В.Н., Викторов C.B. Определение границы тела вращения, образующая которого аппроксимирована кубическим сплайном // ЭВТ в обучении и моделировании: Сб.научн.тр.: в 2-х ч. - 4.1. - Бирск: Бирск. гос. пед. ин-т, 2001. - С. 86-92.

2. Кризский В.Н., Викторов C.B., Валитов P.A. Определение параметров аппроксимирующего границу квазитрехмерного "звездного" включения в кусочно-однородной среде сплайна // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2001. - Т.8. - Вып. 2. -С. 621-623.

3. Кризский В.Н., Герасимов И.А., Викторов C.B. Математическое моделирование обратных задач потенциальных геоэлектрических полей в осесимметричных кусочно-однородных средах // Вестник Запорожского государственного университета. - 2002 - № 1. - С 4953.

4. Кризский В.Н., Викторов C.B. Математическое моделирование геоэлектрических полей в однородном полупространстве в присутствии тела вращения с образующей, аппроксимированной сплайном. - М: ВНТИЦ, 2002, № 50200200499.

5. Кризский В.Н., Викторов C.B., Спивак С.И. Определение параметров аппроксимирующего образующую тела ращения в горизонтально-слоистой среде сплайна // Вестник Херсонского государственного технического университета. - 2003. - № 3 (19). - С. 185-189.

6. Кризский В.Н., Викторов C.B., Спивак С.И. Задача поиска аппроксимированной сплайном границы локального включения в кусочно-однородной среде по данным электроразведки постоянным током // Труды Средневолжского Математического Общества. -2003. -Т.5. -№ 1. - С. 174-183.

7. Кризский В.Н., Герасимов И А., Викторов C.B., Ермолаев A.B. Моделирование обратных задач геоэлектрических полей кусочно-однородных квазитрехмерных сред // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-16: Сб. трудов XVI Междунар. науч. конф.: В 10-и т. - Т. 1. - С-Пб: Изд-во С-Пб. гос. технол. ин-та(техн. ун-та), 2003. - С. 166-168.

8. Кризский В Н., Викторов C.B. К решению обратной краевой задачи поиска границ разрыва кусочно-постоянного коэффициента уравнения эллиптического типа // Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы - Т. 2.: Труды междунар. конф - Уфа: Гилем, 2003. - С. 250-257

9. Кризский В H, Иванов В Т., Герасимов И.А., Викторов C.B. Определение границы тела вращения в горизонтально-слоистых кусочно-однородных средах методами геоэлектроразведки //Физика Земли, №9, 2003. - С 86-94.

10 Викторов C.B. Решение обратной задачи поиска параметров сплайна, аппроксимирующего образующую тела вращения в горизонтально-слоистой среде // Современные проблемы физики и математики - Т. 1 ' Труды всероссийской конф - Уфа: Гилем, 2003 -С. 197-201.

11. Кризский В.Н., Герасимов И А., Викторов C.B. Определение границы тела вращения в плоскопараллельной горизонтально-слоистой кусочно-однородной среде по данным электроразведки постоянным током. //Труды Средневолжского Математического Общества - 2004. - Т.6. - № 1 - С 357-358.

12. Викторов C.B., Кризский В.Н. Численное исследование прямых задач геоэлектрики в осесимметричных кусочно-однородных горизонтально-слоистых средах // Труды Средневолжского Математического Общества. - 2004 - Т.6 - № 1 - С. 193-197.

Подписано в печать Формат 60 х 84,лв. Гарнитура «Arial». Печать оперативная Усл. печ. л. 1,00 Тираж 100 экз. Заказ

Отпечатано в типографии Стерлитамакской государственной педагогической академии: 453103, г. Стерлитамак, пр. Ленина, 49.

»2463t

РНБ P) сский фонд

2006-4 26591

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ ПРОБЛЕМЫ.

Модели прямых задач геоэлектрики.

Сравнительный анализ методов решения прямых задач потенциальных электрических полей.

Модели обратных задач геоэлектрики и методы их решения.

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ ГЕОЭЛЕКТРИКИ В ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ.

2.1. Тело вращения в кусочно-однородной среде.

2.1.1. Сплайн-аппроксимация образующей тела вращения.

2.1.2. Поле точечного источника постоянного тока в однородном пространстве и полупространстве в присутствиителавращения.

2.1.3. Электрическое поле точечного источника в горизонтально-слоистом полупространстве в присутствии тела вращения.

2.2. Вычислительный эксперимент.

2.3. Выводы.

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГЕОЭЛЕКТРИКИ В ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ.

3.1. Постановка обратной задачи и вариационный метод ее решения

3.2. Вычислительный эксперимент.

3.2.1. Определение геофизических параметров локального включения в однородной среде.

3.2.2. Определение геофизических параметров локального включения в горизонтально-слоистой среде.

3.3. Выводы.

ГЛАВА 4. КОМПЛЕКС ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГЕОЭЛЕКТРИКИ В КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ

ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ СРЕДАХ.

4.1. Функциональное назначение. Описание режимов работы и интерфейса оболочки программ.

4.2. Перечень основных модулей составляющих программу.

4.4. Выводы.

Актуальность темы. При изучении геологического строения Земной коры основной является задача поиска месторождений полезных ископаемых. Важно не только выявить наличие продуктивных зон, но и определить их границы для оценки мощности запасов. Необходимость в более детальном опоисковании и переоценке уже разведанных месторождений также приводит к задаче уточнения контуров границ залежей, для выяснения экономической рентабельности их дальнейших промышленных разработок.

Таким образом, задача поиска и уточнения границ сред, составляющих геологический разрез земли, обуславливающая увеличение разведанных запасов минерально-сырьевых ресурсов, является актуальной задачей.

В связи с тем, что практически не осталось не обнаруженных приповерхностных месторождений, все более важное для исследователей значение приобретают глубинные поиски. Разведка таких месторождений геологическими методами, основанными на бурении, не рентабельна из-за больших затрат трудовых и материальных ресурсов. Среди большого числа известных геофизических методов исследований в настоящее время отдается предпочтение методам электроразведки потенциальными полями, как наиболее эффективным и экологически безопасным.

Различают прямые и обратные задачи геофизики. Под прямыми задачами понимают определение (расчет) полей по известному распределению свойств среды и источников поля. Под обратными, как правило некорректными, - нахождение распределения свойств среды по известному полю (интерпретация измеренных полевых данных), т.е. восстановление структуры исследуемого района, границ и удельных электрических проводимостей сред его составляющих. На практике исследование реального геологического разреза приводит, как правило, к решению обратной задачи.

Учитывая осадочные отложения пород геоэлектрического разреза, который часто осложнен локальными включениями сложной формы, актуальной задачей является выявление формы границ включений в горизонтальнослоистых средах.

Сложность формы включения обуславливает применимость аппарата сплайн-функций для описания их границ.

Необходимость создания эффективных алгоритмов обработки и интерпретации экспериментальных данных, является причиной развития следующих направлений, исследуемых в работе:

- разработка и программная реализация алгоритмов решения прямых задач для расчета потенциального поля точечного источника постоянного электрического тока в однородной и кусочно-однородной горизонтально-слоистой среде, при наличии в ней локального включения с образующей аппроксимированной сплайном;

- разработка эффективных алгоритмов решения обратных задач геоэлектрики - задач поиска в кусочно-однородной среде границ локальных включений вращения произвольной формы по измеренным электрическим полям.

Ранее в работах В.Т. Иванова и В.Н. Кризского был разработан алгоритм решения прямых квазитрехмерных осесимметричных задач, основанный на сочетании методов интегральных преобразований и интегральных уравнений [51 - 56, 67]. Для случая, цилиндрических сред он был реализован в работах Г.Я. Галеевой (Кильдибековой) [28, 63].

В работах П.С. Мартышко предложены алгоритмы решения теоретической обратной задачи (без учета погрешностей) для «звездных» тел, но лишь для случая однородного вмещающего пространства [86 - 89].

И.А. Герасимовым программно реализованы алгоритмы решения обратных задач определения параметров включений в слоистых средах, но лишь в классе простых тел (шар, сфероид) [30].

В отличие от работ других авторов, в данной работе рассматривается построение и исследование процедуры поиска в кусочно-однородной среде параметров границы тела вращения, образующая которого аппроксимирована сплайном по результатам исследований постоянным электрическим током.

Цели и задачи: Целью работы является разработка алгоритмов и комплекса программ компьютерного моделирования прямых и обратных задач геоэлектрики в кусочно-однородных средах, позволяющих вычислять потенциальное поле от источников постоянных токов, интерпретировать результаты полевых электроразведочных измерений, определять границы осесиммет-ричных включений с образующей, аппроксимированной сплайном, исследовать взаимное влияние основных параметров модели методом вычислительного эксперимента.

Для достижения указанной цели в работе были поставлены и решены следующие задачи:

• Разработка численных алгоритмов решения прямых и обратных задач геоэлектроразведки в осесимметричных средах со сплайнаппроксимацией границ:

- применение комбинированных методов интегральных преобразований и интегральных уравнений [54, 55] для решения прямых задач о поле точечного источника с построением функций Грина для горизонтально-слоистых вмещающих пространств в присутствии осе-симметричного локального включения, с аппроксимированной сплайном образующей;

- построение алгоритмов вариационного типа для решения обратных задач определения образующей осесимметричного локального включения как сплайна, аппроксимирующего его границу.

• Разработка комплекса программ, дающего возможность:

- построения компьютерной модели геологического разреза путем задания границ и удельных электрических проводимостей его областей;

- задания параметров зоны исследования, источников и приемников тока;

- выбора метода численного решения;

- расчета потенциала и кажущегося сопротивления в исследуемых средах;

- определения границ тел вращения, заданных параметрически и аппроксимированных сплайнами;

- графического отображения процесса поиска решения, одномерных и двумерных функций (задаваемых или найденных вычислительным экспериментом кривых, поверхностей);

• Проведение вычислительных экспериментов по исследованию взаимного влияния параметров математических моделей.

Научная новизна. В настоящей работе впервые исследованы прямые задачи геоэлектрики в кусочио-одпородиых средах, обладающих пространственной осевой симметрией, в присутствии локального включения - тела вращения с аппроксимированной сплайном образующей. Для их решения используется эффективный комбинированный способ, основанный на сочетании методов интегральных преобразований и интегральных уравнений, формируемых на базе теории потенциала двойного электрического слоя.

На основе метода регуляризации А.Н. Тихонова получено решение обратной задачи поиска границы локального включения сложной геометрии как конечномерного вектора ограниченных параметров, входящего в состав ее параметрического описания сплайн-функциями.

Разработанные алгоритмы реализованы в комплексе оригинальных программ автора. Основное программное средство зарегистрировано в фондах алгоритмов и программ министерства образования и науки Российской Федерации и Всероссийского научно-технического информационного центра (ВНТИЦ).

Практическая ценность. Предложенные алгоритмы и комплекс программ позволяют эффективно решать задачи геоэлектрики в кусочно-однородных средах, аналитическое решение которых отсутствует.

На основе разработанных алгоритмов и комплекса программ решения прямых задач расчета потенциала электрического тока в кусочно-однородных средах осуществлено решение обратных задач определения границ включений вращения в типичных для практики геофизических средах -однородном, горизонтально-слоистом пространстве и полупространстве.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Численные алгоритмы моделируемых прямых и обратных задач на основе методов интегральных преобразований, интегральных уравнений, сплайн-аппроксимации границ, вариационного метода А.Н.Тихонова.

2. Комплекс компьютерных программ реализации построенных алгоритмов.

3. Результаты вычислительных экспериментов по исследованию взаимного влияния основных геоэлектрических параметров моделируемых сред.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Полный ее объем составляет 106 страниц машинописного текста, включая 29 рисунков, 13 таблиц, библиографию, содержащую 131 название и приложение на 2 страницах, включающее акт внедрения и регистрационную карту программного средства в фонд алгоритмов и программ МОН РФ и ВНТИЦ.

Основные результаты работы заключаются в следующем:

• Расширен класс исследуемых включений вращения в кусочно-однородной среде применением сплайн-функций для описания их границ.

• Разработаны алгоритмы решения прямых задач определения потенциальных полей точечных источников постоянного электрического тока в осесимметричных кусочно-однородных средах на основе методов интегральных преобразований и интегральных уравнений, а так же обратных задач поиска границ включений вращения (аппроксимирующих их сплайнов) на основе вариационного метода А.Н.Тихонова.

• Разработан комплекс компьютерных программ, реализующий построенные алгоритмы. Показана высокая эффективность численных алгоритмов сравнением с более простыми задачами, полученными ранее другими авторами. Проведены вычислительные эксперименты, позволяющие: построить систему эквивалентных по отклику включений в заданном диапазоне удельных электрических проводимостей, имеющую практическое значение для интерпретационной геофизики; констатировать более точное определение верхней части границы включения по сравнению с нижней в задачах электроразведки; обосновать возрастание точности определения границы включения с ростом коэффициента контрастности среда/включение.

Программное средство зарегистрировано в ОФАП МО РФ и ВНТИЦ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Альпин Я.М., Даев Д.С., Каринский А.Д. Теория полей, применяемых в разведочной геофизике. - М.:Недра,1985. 407 с.

2. Ахметов С.М., Халитов Н. Т. О методе подобластей для интегральных уравнений //Изв. ВУЗов. Математика. 1976.- N 8.- С. 9-15.

3. Байрак В.В., Мельников Ю.А., Титаренко С.А. Численное решение трехмерных граничных задач методом потенциала. Днепропетровск. -1986. - 16 с. - Деп. в ВИНИТИ 7.02.86, № 1616 -В.

4. Белоцерковская О.Н., Васильев Ю.П., Золотой О.В. Решение краевой задачи для уравнения Лапласа в сложной области пространства трех измерений // Вычислительные методы и программирование. Саратов, -1984.- N5.- С. 48- 55.

5. Березина С.А. Разработка алгоритмов прямых и обратных задач метода сопротивлений для неоднородных сред: Дисс. канд.физ.-мат. наук. -М., 1993.-99 с.

6. Беспалов Н. С. Электрические зондирования на протяженных телах трапецевидного сечения// Прикладная геофизика. Москва. 1981. -№101.-С. 117-126.

7. Бреббия К., Телес Ж., Вроубел JI. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987.- 524 с.

8. Будак Б.М., Самарский А.А, Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике.- М.: Наука, 1980.- 688 с.

9. Булах Е.Г. Автоматизированная система интерпретации гравитационных аномалий (метод минимизации) Киев: Наукова думка, 1973. - 111с.

10. Булах Е.Г., Маркова М.Н. Прямые и обратные задачи гравиметрии в классе тел, заданных горизонтальными пластинами // Геофизический журнал. 1994. -16. - №3. - С.51-60.

11. Булах Е.Г., Маркова М.Н. Решение обратных задач гравиметрии методом подбора // Геофизический журнал. 1992. - 14. - №4 - С.9-19.

12. Булашевич Ю.П. Расчет поля вызванных потенциалов для рудных тел сферической формы // Изв. АН СССР. Сер. геофизическая. 1956.- N 5.-С. 802- 809.

13. Васин В. В., Агеев A. JI. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург. - Урал, фирма «Наука», 1993. - 263 с.

14. Вахитов Г.Г. Разностные методы решения задач разработки нефтяных месторождений. М.: Недра, 1970.- 248 с.

15. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высш. шк., 2002. - 840 с.

16. Викторов С.В. К решению обратной задачи электроразведки включений с аппроксимированной сплайном границей // Региональная школа конференция по математике и физике: Тез. докл. Уфа: РИО БашГУ, 2003.-С. 116-117.

17. Материалы третьей всероссийской молодежной научной школы-конференции. Казань: Из-во Казанского мат. общества, 2003. - С.90-92.

18. Викторов С.В. Решение обратной задачи поиска параметров сплайна аппроксимирующего образующую тела вращения в горизонтально-слоистой среде // Современные проблемы физики и математики Т.1.: Труды всероссийской конф. - Уфа: Гилем, 2003. - С. 197-201.

19. Вильге Б.И., Цейтлин С.Д. Численное решение задач теории бокового и индукционного каротажа // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1979.- N 9.- С. 69- 76.

20. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. -512 с.

21. Воскобойников Ю.Е. Методы решения некорректных задач параметрической идентификации.- Новосибирск: Изд-во Новосиб-го гос. техн. унта, 1996.-82 с.

22. Воскобойников Г.М. О вычислении стационарных электромагнитных полей в некоторых кусочно-однородных средах // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1973. №9. - С. 73-76.

23. Галеева Г. Я. Методы расчета электрического поля точечного источника в некоторых неоднородных средах с цилиндрическими включениями. Дисс. . канд.физ.-мат. наук.-Уфа, 1991.

24. Галицин А. С. Об одном обобщении метода конечных интегральных преобразований на случай неоднородных краевых задач // Исследования по теории функций комплексного переменного с применением к механике сплошных сред. Киев, 1986. - С. 172-183.

25. Герасимов И.А. Математическое моделирование геоэлектрических полей в осесимметричных кусочно-однородных средах. Дисс. канд.физ.-мат. наук. Стерлитамак, 2004.

26. Гласко В. Б. Обратные задачи математической физики. М. - Изд-во Моск. ун-та, 1984. - 112 с.

27. Гласко В. Б., Старостенко В. И. Регуляризирующий алгоритм решения системы нелинейных уравнений в обратных задачах геофизики //Изв. АН СССР. Физика Земли. 1976. - №3. - С. 44-53.

28. Гласко В. Б., Старостенко В. И., Оганесян С. М. Алгоритмы подбора в заданных классах, основанных на регуляризации //Гравиразведка: Справочник геофизика. М. - Недра. - 1990. - С. 388 - 402.

29. Гласко В.Б., Старостенко В.К, Оганесян С.М. Алгоритмы подбора в заданных классах, основанные на регуляризации // Гравиразведка: Справочник геофизика. М.: Недра, 1990. - С. 388-402.

30. Гончарский А.В., Леонов А. С., Ягола А.Г. Некоторое обобщение принципа невязки для случая оператора, заданного с ошибкой // ДАН СССР, 1972. 203- №6 - С. 1238-1239.

31. Гончарский А.В., Леонов А.С., Ягола А.Г. Обобщенный принцип невязки // ЖВМиМФ, 1973.- 13- №2 С.294-302.

32. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. М.: - JL- Изд-во АН СССР, 1948. - 728 с.

33. Дахнов В.Н. Электрические и магнитные методы исследования скважин- М.: Недра, 1981.-344 с.

34. Дегтярева Т.В., Вонсович С.В., Воронко А.И., Меррик Б.Р. Обобщение метода отражений на многослойную среду. М., 1984.-15 С.- Деп. В ВИНИТИ 04.07.84, N 4649-84.

35. Дмитриев В.И. Методы решения обратных задач геофизики.- М.: Изд-во Московс. ун-та, 1990. 36 с.

36. Дмитриев В.И. Обратные задачи электромагнитного зондирования // Физика Земли, 1977. №1. - С. 19-23.

37. Дмитриев В. И. Общий метод расчета электромагнитного поля в слоистой среде // Вычислительные методы и программирование, 1968. №10. - С.55-65.

38. Дмитриев В.К, Серебренникова Н.Н. Численный расчет электрического поля точечного источника в слоистой среде с осесимметричным включением // Изв. ВУЗ-ов. Геология и разведка, 1987. № 2. - С. 109113.

39. Друскин B.JI. О единственности решения обратной задачи электроразведки и электрокаротажа для кусочно-постоянных проводимостей // Физика Земли, 1982. №1. - С.72-75.

40. Жданов М. С. Электроразведка. М.: Недра, 1986. - 316с.

41. Жданов М.С., Спичак В.В. Состояние и перспективы численного моделирования электромагнитных полей в трехмерных средах // Алгоритмы и программы решения прямых и обратных задач электромагнитной индукции в земле. М., 1983.- С. 3-10.

42. Журавлев И.А. О решении трехмерной нелинейной обратной задачи гравиметрии //Геофизический журнал, 1998. Т.20. - № 5. - С.87-95.

43. Заборовский А.И. Электроразведка. М - Гостоптехиздат, 1963. - 423с.

44. Захаров Е.В., Ярмахов И.Г. Численное исследование модели теории бокового каротажа методом конечных разностей // Математические модели задач геофизики. М., 1981. - С. 19-30.

45. Иванов В. Т. О методе решения прямых смешанных краевых задач в многосвязаных областях // Дифф.ур-ия., 1982. № 3. - С. 526-529.

46. Иванов В. Т., Глазов Н.П., Макаров В.А. Математическое моделирование электрохимической защиты //Итоги науки и техники. Сер."Коррозия и защита от коррозии". М.:ВНТИЦ, 1987. - Т.13. - С.117-194.

47. Иванов В. Т., Гусев В.Г., Фокин А.Н. Оптимизация электрических полей, контроль и автоматизация гальванообработки. М.: Машиностроение, 1986. - 216с.

48. Иванов В. Т., Кризский В.Н. Решение некоторых задач электроразведки методом граничных интегральных уравнений // Известия ВУЗов, Геология и разведка, 1993. №4. - С. 122-127.

49. Иванов В. Т., Козырин А.К., Кильдибекова Г.Я. Поле точечного источника в среде с цилиндрическими неоднородностями // Физика Земли, 1986. №12. - С.53-61.

50. Иванов В.Т., Масютина М.С. Методы решения прямых и обратных задач электрокаротажа. М: Наука, 1983. - 143 с.

51. Игнатова ИД. Электроразведка методом сопротивлений при изучении сложно-построеных сред для подземных и надземных условий. Дисс. канд. техн.наук. Москва, 1995. - 93 с.

52. Изотова Е. Б. Решение прямых и обратных задач электроразведки на постоянном токе для горизонтально слоистых сред: Автореф. Ленинград, 1969.

53. Израильский Ю. Г. Разработка методов и программ решения прямых и обратных задач электроразведки: Автореф Владивосток, 1986.

54. Израильский Ю. Г., Шкабарня Н.Г. Алгоритм расчета кажущихся сопротивлений и поляризуемостей для среды с неоднородностью в виде сфероида // Прикладная геофизика. М, 1984. - №110. - С. 89-98.

55. Канторович Л.В.Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962. - 708 с.

56. Квасов Д.Е., Сергеев ЯД. Многомерный алгоритм глобальной оптимизации на основе адаптивных диагональных кривых //ЖВМиМФ, 2003. -т.43. №1. - С.42-59.

57. Кильдибекова Г.Я. Расчет поля точечного источника в целом пространстве в присутствии бесконечного кругового цилиндра // Алгоритмы и программы: Инф. Бюлл.- 1987.- N 3.- С. 16.

58. Кобрунов А.И. О методе оптимизации при решении обратной задачи гравиразведки // Физика Земли, 1978. №8. - С. 73-78.

59. Кобрунов А.И. Теория интерпретации данных гравиметрии для сложно построенных сред // Киев, 1989. 100с.

60. Краснов M.JI. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1975. - 304 с.

61. Крнзский В.Н. Математическое моделирование потенциальных геоэлектрических полей. Дисс. . докт. физ-мат. наук. Стерлитамак, 2004.

62. Кризский В.Н., Викторов С.В. Математическое моделирование геоэлектрических полей в однородном пространстве в присутствии тела вращения с образующей, аппроксимированной сплайном // Компьютерные учебные программы и инновации. 2003. - № 4. - С. 23.

63. Кризский В.Н., Викторов С.В. Математическое моделирование геоэлектрических полей в однородном полупространстве в присутствии тела вращения с образующей, аппроксимированной сплайном. М: ВНТИЦ, 2002, № 50200200499.

64. Кризский В.Н., Викторов С.В. Математическое моделирование геоэлектрических полей в однородном полупространстве в присутствии тела вращения с образующей, аппроксимированной сплайном. М: ОФАП МО РФ, 2002, №2115.

65. Кризский В.Н., Викторов С.В. Определение границы тела вращения, образующая которого аппроксимирована кубическим сплайном // ЭВТ в обучении и моделировании: Сб.научн.тр.: в 2-х ч. 4.1. - Бирск: Бирск. гос. пед. ин-т, 2001. - С. 86-92.

66. Кризский В.Н., Иванов В.Т., Герасимов И.А., Викторов С.В. Определение границы тела вращения в горизонтально-слоистых кусочно-однородных средах методами геоэлектроразведки //Физика Земли, 2003. №9- С. 86-94.

67. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.

68. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа М.: Наука, 1980. - 287 с.

69. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некорректные задачи Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. - 702 с.

70. Левитан Б.М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка.- M.-JL: Гостехиздат, 1950.- 178 с.

71. Липилин А.В. Принципы и технологии обработки и интерпретации потенциальных полей при изучении глубинного строения земной коры. Дисс. канд.тех.наук., Москва, 1999.

72. Майе Р. Математические основания электрической разведки постоянным током. М: ГОНТИ, 1935. -111 с.

73. Мартышко П.С. О решении обратной задачи метода заряда // Физика Земли, 1993.-№5.

74. Мартышко П.С. О решении обратной задачи электроразведки на постоянном токе для произвольных классов потенциалов // Физика Земли, 1986. №1. - С.87-92.

75. Мартышко П.С. О решении прямой и обратной трехмерных задач метода искусственного подмагничивания в параметрических классах // Физика Земли, 1983. №3. - С.52-57.

76. Мартышко П.С., Пруткин ИЛ. О решении прямой и обратной задач магниторазведки// Геофизический журнал, 1982. Т.4. - №6. - С. 39-49.

77. Матусевич А.В. Объемное моделирование геологических объектов на ЭВМ. -М.: Недра, 1968. 184 с.

78. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959. - 232 с.

79. Морозов В.А. Алгоритмические основы методов решения некорректно поставленных задач // Вычислительные методы и программирование, 2003.-Т.4.-С. 130-141.

80. Морозов В.А. О приближенном решении операторных уравнений методом сплайнов // ДАН СССР, 1971. Т.200.- №1. - С.35-38.

81. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач М.: Наука, 1987, 240 с.

82. Морозов В.А. Теория сплайнов и задача устойчивого вычисления значений неограниченного оператора //ЖВМиМФ, 1971. т.11. - №3. -С.545.

83. Московская Л. Ф. Построение моделей локальных рудных объектов по данным потенциальных и квазистационарных методов электроразведки. Дисс. к.ф.-м.н., С.-Петербург, 1995. 131с.

84. Оганесян С.М. Теория и численные методы решения трехмерных задач гравиметрии. Автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук. Киев, 1987. - 36 с.

85. Оганесян С.М., Старостенко В.И Двойственный метод решения линейных задач гравиметрии//Гравиразведка: Справочник геофизика. М.: Недра, 1990. - С.428-433.

86. Овчинников В.К. Теория поля. М.:Недра,1979. 352с.

87. Пантелеев А.В., Jlemoea Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах. М. Высшая школа, 2002. 544с.

88. Пантюхин В.А., Юматов А.Ю. Решение прямой задачи электрокаротажа в средах с осевой симметрией методом конечных элементов. Калинин, 1983. - 13 С.- Деп. в ВИНИТИ 24.08.83, N 4607-83.

89. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Разностные методы решения обратных задач математической физики. //Фундаментальные основы математического моделирования М.гНаука, 1997. - С.5-97.

90. Самостюк Г.П., Вешев А.В. Поле точечного источника тока в присутствии сферы // Уч. записки ЛГУ. Сер. физич. и геол. наук, 1960. - Вып. 12.- №286. -С. 3-12.

91. Сапожников В.М. Приближенное решение задачи о возмущении электрического поля точечного источника шаром // Геофизические методы поисков и разведки рудных и нерудных месторождений. Свердловск, 1981.-С. 69-77.

92. СветовБ.С. Электродинамические основы квазистационарной геоэлектрики. М.- ИЗМИРАН., 1984. - 183 с.

93. Старостенко В.И. Вопросы теории и методики интерпретации гравиметрических наблюдений устойчивыми численными методами. Дисс. д.ф.-м.н., Киев, 1976. 406 с.

94. Старостенко В.И., Оганесян С.М. Некорректно поставленные задачи по Адамару и их приближенное решение методом регуляризации А.Н.Тихонова//Геофизический журнал, 2001. т.23. - № 6. - С.3-20.

95. Старостенко В.И., Оганесян С.М. Устойчивые операторные процессы и их применение в задачах геофизики //Изв. АН СССР. Физика Земли, 1977.-№5.-С. 61-74.

96. Страхов В.Н., Страхов А.В. Универсальные алгоритмы регуляризации систем линейных алгебраических уравнений с аддитивной помехой в правой части, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии //Физика Земли, 2000. №10. - С.3-28.

97. Титов КВ. О возможности обобщения метода электростатических изображений на задачи о полях в областях, содержащих границу произвольной конфигурации. //Зап.Ленингр.горн.ин-та, 1987. №13. - С. 135136.

98. Тихонов А.Н. О единственности решения задач электроразведки. //ДАН СССР, 1949. т.69. - №6. - С. 797-800.

99. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач. //ДАН СССР, 1963. т.153. - №1. - С. 49-52.

100. Тихонов А.Н. Об электрозондировании над наклонным пластом // Труды ин-та теор. геофизики.- М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1946.- Т.1.- СЛ 16136.

101. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.:Наука, 1986.-288с.

102. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.:Наука,1986. 288с.

103. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач М.: Наука, 1990. - 230 с.

104. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляризи-рующие алгоритмы и априорная информация М.:Наука, 1983. - 200 с.

105. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи М.: Наука, 1995. - 311 с.

106. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

107. Троян В.Н. Применение сплайн-функций для аппроксимации геофизической информации. // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. 1981, Вып.20.

108. Филатов В.А., ХогоевЕ.А. Расчет поля точечного источника постоянного электрического тока в слоистой среде. Новосибирск, 1987. — 13с. — Деп. в ВИНИТИ 29.01.87, N Ю65-В87.

109. Халфин JI. А. Поле точечного источника в присутствии сжатого и вытянутого сфероидов// Известия АН СССР. Серия геофизическая-1956.-№6.-с. 657-668.

110. Хмелевский В. К. Основной курс электроразведки. 4.1. М.: МГУ, 1971.-245 с.

111. Шкабарня Н.Г., Шак В.Г., Бунин В.М. Анализ возможности использования разностных методов при расчете на ЭВМ кажущихся сопротивлений //Прикладная геофизика. М.: Недра, 1980, N 98, С. 97-109.

112. Щукина В.Е. Приближенное решение обратных задач гравитационной и магнитной разведок. Дисс. к.ф.-м.н., Пенза, 1990, 120 с.

113. Юдин М.Н. О расчете магнитотеллурического поля в трехмерной среде методом сеток // Геомагнитные исследования.- М.: Радио и связь, 1982.-N 29.- С. 84-90.

114. Яновская Т.Е., Порохова JI.H. Обратные задачи геофизики. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983, 211 с.

115. Krizskii V.N., Ivanov V.T., Gerasimov I.A., Viktorov S.V. Localization of a Body of Revolution in a Horizontally Layered Medium by Geoelectric Survey Methods // Izvestiya, Physics of the Solid Earth, Vol.40, No.9, 2004, pp.777785.1. Электронные