автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение в математическом моделировании сплайн-функций с минимальной нормой производной

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова

Факультет вычислительной математики

4842042

Ингтем Женни Гастоновна

ПРИМЕНЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ СПЛАЙН-ФУНКЦИЙ С МИНИМАЛЬНОЙ НОРМОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2011

7 ДПР 2011

4842042

Работа выполнена на кафедре математической физики факультета ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель:

Доктор физико-математических

наук, профессор

Дмитриев Владимир Иванович

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических

наук, профессор

Трофимов Вячеслав Анатольевич

Ведущая организация:

Кандидат Физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики МИРЭА Куликов Сергей Павлович

Учреждение Российской академии наук Вычислительный центр им A.A. Дородницина РАН

Защита состоится

2011

мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.43 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова, расположенном по адресу: 119991, Российская Федерация, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, Факультет ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Факультета ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова. уу

Автореферат разослан "¿< / " 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор , Е.В. ЗАХАРОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Настоящая диссертация посвящена построению сплайна с минимальной нормой производной и его применению в задачах математического моделирования, в частности, для решения интегральных уравнений Фредгольма I - ого рода. Актуальность темы диссертации

Методы математического моделирования в настоящее время во многом определяют эффективность решения задач науки и техники, при этом широко используются сплайн-функции.

Настоящая диссертация рассматривает следующие области применения сплайн-функций:

1. Интерполяция данных, полученных при математическом моделировании, с целью аналитического задания расчетных характеристик в зависимости от параметров задачи.

2. Аппроксимация наблюденных данных для пересчета их на заданную сетку, используемую при математическом моделировании.

3. Использование сплайн функций при решении интегральных уравнений и аналитическом продолжении потенциала.

Методы математического моделирования прикладных задач, использующие сплайн-функции, сталкиваются с рядом проблем, связанных с накоплением ошибок сплайном:

1. При моделировании сложных систем расчеты проводятся в зависимости от параметра на сетке с крупным шагом. Полученные результаты, в дальнейшем, необходимо интерполировать, что обычно проводится с помощью сплайн-функций.

С одной стороны, полученные при математическом моделировании результаты на сетке значений параметров, не предоставляют достаточно условий для построения сплайна, в связи с этим необходимо дополнительно задать краевые условия, которые позволяют построить сплайн. В качестве таких краевых условий выступают условия периодичности или дополнительно задаются значения производных, чаще всего на границе. Например, в случае квадратичного сплайна задается значение первой производной в начальной точке, а в случае кубического сплайна необходимо задать два значения первой производной в соседних точках или задать значения первой и второй производных в начальной точке.

С другой стороны, кроме того, что сплайн - функция сама по себе обладает свойством появления колебаний, амплитуда которых растет по мере удаления от начальной точки, большой шаг сетки усиливает наращивание ошибок. Таким образом, чем с большей погрешностью задана производная в начальной точке, тем раньше возникают колебания в сплайн - функции.

2. Устойчивое решение интегрального уравнения Фредгольма I - ого рода позволяет решать ряд обратных задач, в частности, задачу аналитического продолжения гравитационного потенциала в сторону источников. Для таких задач можно эффективно построить математическую модель при помощи сплайнов. Эта задача принадлежит к классу некорректно поставленных задач, для решения которых наиболее широко используется метод регуляризации Тихонова, основывающийся на минимизации сглаживающего функционала. Метод регуляризации сводит задачу нахождения решения, устойчивого к малым колебаниям правой части, к построению минимизирующего функционала и определению параметра регуляризации при стабилизаторе. В качестве стабилизатора берется норма производной сплайна, приближающего решение в пространстве интегрируемых с квадратом функций. Таким образом, подбор параметра регуляризации усложняет нахождение решения интегрального уравнения.

Исследование и решение описанных вопросов являются актуальными в современной науке, поскольку позволяют упростить решение востребованных задач.

Цель работы

Цель диссертационной работы заключается в разработке нового подхода к построению сплайнов, основанного на требовании: норма производной сплайна должна достигать своего минимума. Сплайн с таким свойством позволяет:

1. определять краевые условия, основываясь на требовании минимума нормы его производной, предоставляющем возможность более точно задавать условия в начальной точке и подавлять возникающие колебания сплайна, выполнение такого требования позволяет аппроксимировать результаты математического моделирования на большем отрезке;

2. решать задачи аппроксимации, обходясь без стабилизатора - это означает, что регуляризация задачи достигается за счет свойства самого сплайна;

3. решать интегральные уравнения Фредгольма I- ого рода и осуществлять математическое моделирование задач гравиразведки. В частности, в за-

дачах аналитического продолжения, свойство минимальной нормы производной сплайна позволяет получить устойчивое решение.

Положения выносимые на защиту

1. Разработан алгоритм построения квадратичного и кубического сплайнов с минимальной нормой первой производной, что позволяет уменьшить погрешность сплайн аппроксимации результатов математического моделирования. Разработан алгоритм построения двумерного параболического сплайна, который сводится к последовательному построению одномерных сплайнов с минимальной нормой производной.

2. Показано, что применение сплайна с минимальной нормой производной в задачах аппроксимации позволяет обходиться без стабилизатора, то есть регуляризация задачи достигается с помощью свойства самого сплайна.

3. Исследовано применение сплайна при решении интегрального уравнения Фредгольма I - ого рода и математическом моделировании задач грави-разведки. В частности, рассмотрена задача аналитического продолжения и получено устойчивое решение этой задачи при помощи сплайна с минимальной нормой производной.

Научная новизна работы

Диссертационная работа предлагает оригинальный подход к построению сплайн-функций. Сплайн строится, исходя из условия достижения минимума нормы его производной. Таким образом, полученные результаты математического моделирования на сетке значений, позволяют построить сплайн, норма производной которого, заведомо минимальна. Новшество построения сплайна двух переменных состоит в том, что строится сплайн с минимальной нормой производной по одной переменной, а коэффициенты этого сплайна сами являются сплайнами с минимальной нормой производной по второй переменной.

В задачах аппроксимации было предложено построить регуляризацию, не обращаясь к стабилизатору, которым обычно выступает норма производной сплайна, приближающего решение в пространстве интегрируемых с квадратом функций. Новизна данного подхода состоит в том, что регуляризация задачи достигается за счет свойства самого сплайна, это позволяет избежать решение дополнительной задачи - подбора параметра регуляризации при стабилизаторе.

Теоретическая и практическая значимость

Работа имеет как практическую, так и теоретическую значимость. Теоретическая значимость заключается в разработке и исследовании сплайна с ми-

нимальной нормой производной в одномерном и двумерном случаях. Получена оценка остаточного члена интерполяционного квадратичного сплайна с минимальной нормой производной. Разработан и описан метод решения интегральных уравнений Фредгольма I - ого рода с использованием полученного сплайна.

Практическая ценность заключается в применении разработанного сплайна в задачах интерполяции, в частности, при численном интегрировании; в задачах аппроксимации, при математическом моделировании задач гравиразвед-ки. Полученный алгоритм позволил определить гравитационный потенциал по результатам математического моделирования для двумерного и трехмерного случаев, а также решить задачу аналитического продолжения гравитационного потенциала в сторону источников. Результаты, полученные в диссертации, могут применяться во многих обратных задачах, где требуется решение интегральных уравнений Фредгольма I - ого рода. Личный вклад автора

Личный вклад автора состоит в разработке и исследовании предложенного в диссертации метода построения сплайна, разработке метода регуляризации на основе полученного сплайна, применении и исследовании этих методов в задачах интерполяции, аппроксимации и при математическом моделировании задач гравиразведки.

Основные результаты, изложенные в диссертационной работе, были впервые получены автором. Постановка задач и ход научных исследований осуществлялись под руководством д.ф - м.н. профессора Дмитриева В.И. Основное содержание диссертационной работы и ее результатов полностью отраженно в пяти научных публикациях автора. В материалах совместных публикаций личный вклад автора является определяющим. Публикации

Положения диссертации отражены в 5 публикациях автора, 3 из которых в изданиях рекомендованных ВАК [2,3,5]. Структура работы

Диссертация написана на 121 странице, состоит из титульного листа, оглавления, введения, трёх глав, заключения и списка литературы (35 наименований).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В.И. Дмитриеву за поддержку и постоянную помощь в работе.

Краткое содержание работы

Глава1. Построение сплайна с минимальной производной. В настоящей главе рассматривается построение сплайн-функции с минимальной нормой

производной.

Параграф 1.1 посвящен построению сплайна с минимальной нормой производной на примере полиномиального квадратичного сплайна. Для построения параболического сплайна:

= & - *)(*„+1 + * - 2хп)

(1)

где х б [жп)®п+1], а = < ац < • • • < — Ь, на отрезке [а, Ь] кроме заданных значений /п, обычной является известность первой производной в начальной точке ро- Условие гладкой склейки: = дает ре-

куррентное соотношение между производными рп+1 и рп двух соседних участков: Рп+1 = — рп + приводящее к выражению всех производных через производную в начальной точке

Рп = (-1)" (ро + \ ¿("^(Л " Л-1)) ■ (2)

В случае отсутствия краевых условий, позволяющих вычислить эту производную, используют разностную производную или же вычисляют её с помощью формул численного дифференцирования. Однако, для близости полученной производной с точной, необходим маленький шаг измерений, что бывает затруднительным, особенно, если данные получены экспериментально. Но, даже, если производная точно известна, квадратичный сплайн, вообще говоря, не является устойчивым, и, следовательно, будет накапливать ошибки.

Для устранения этих недостатков предлагается построить сплайн, который будет обладать свойством минимальной нормы производной в пространстве 1<2 [а, Ь]. Это приведет к тому, что в начальной точке отрезка, из условия тт||5'(а;)|||^а()|, получается следующее значение первой производной сплайна:

Л = +-/*-!)) - (3)

п=0 V к=1 )

Таким образом, вопрос о необходимости задания краевых условий отпадает.

На примере функции /(¡с) = -—г--г^ проиллюстрирована её интерполя-

1 "Ь (3 х)

ция квадратичным сплайном на отрезке [0,6], с шагом Л = 0,6. На представленном рисунке можно заметить, что интерполяция сплайном с минимальной нормой производной (рисунок 16) более гладкая, чем, когда в качестве

производной в начальной точке задается точная производная (рисунок 1а).

|||||1111|1111|1111|11М|1Ш| О 1 2 3 4 5 6 х

а

i) 1111111111111111111111111111 0 1 2 3 4 6 6

- - - сплайн;

• интерполируемая функция рисунок 1

Получена оценка остаточного члена интерполяционного квадратичного сплайна с минимальной нормой производной, которая обусловлена следующими теоремами.

Теорема 1. Если f(x) £ С[а,Ь], тогда |S(x) — f(x)\ < 2Nui{f,h), для х € [о,Ь].

где для некоторой функции дф-непрергшной на отрезке [с, d] величина и(д, 5)= max \д(Ь) - g(t2)\, (0 < 6 < (d - с))

Теорема 2. Если f(x) е С^а, Ь], то

| S'{x)-f{x)\<:ZNu{f',h) и \S(x)-f(x)\^3(b-aHf',h),

х € [а,Ь].

Теорема 3. Если f(x) е С2[а, Ь], то

Is"(x) - f"(x)I I \\f"(x)\\c[aM + №+ 1)«(ЛЛ), |S'(x) - f(x)I < ^ \\f"(x)\\cia,b] + 4(b - а)u(f", h),

№) -7(«)| < ll/"Wllc[a,b] + ^-«(T.fc)

(b -a)2

a; 6 [a, 6].

В параграфе 1.2 рассматривается двумерная задача построения сплайна на равномерной прямоугольной сетке, которая сводится к последовательному построению одномерных сплайнов с минимальной нормой производной. Двумерный сплайн представляется на каждом частичном прямоугольнике сетки в виде сплайна с минимальной нормой производной по одной переменной с коэффициентами, являющимися сплайнами с минимальной нормой производной, по другой переменной. Показано, что, построенный таким образом двумерный сплайн, принадлежит к классу С^'^.

В параграфе 1.3 рассмотрено построение сплайна с минимальной нормой производной на примере кубического полиномиального сплайна. В данном случае, кроме заданных значений на сетке, требуется два дополнительных условия на границе. В качестве таких условий обычно выступают условия периодичности или дополнительно задаются значения первой и второй производной в начальной точке. В диссертации предложено находить значение первой производной в начальной и следующей точке из условия минимума нормы производной.

В параграфе 1.4 исследуется применение сплайна с минимальной нормой производной в задачах интерполяции на примере вычисления интеграла от функции Весселя.

ГлаваП Сплайн с минимальной нормой производной в задачах аппроксимации посвящена задачам аппроксимации. Построена аппроксимационная сплайн - функция с минимальной нормой производной в одномерном и двумерном случаях. Построен метод решения интегрального уравнения Фредгольма I - ого рода при помощи сплайна с минимальной нормой производной.

В параграфе 11.1 рассматривается задача аппроксимации функции по значениям, заданным с погрешностью. Такие задачи решаются с помощью методов регуляризации. В диссертации исследуется метод регуляризации Тихонова. При решении задач аппроксимации показано, что в процессе регуляризации:

min {||Г - S(xJ,PQ)\\lM+1 + a||S'(:r, /,ро)|Ц} > (4)

f,Po

где f* = (/q, //,.•■, /лгЮ11) измеренные значения, можно обойтись без дополнительных вычислений, связанных с поиском параметра регуляризации а, поскольку учитывается, что сплайн S(x,f,po) достигает минимума нормы своей первой производной в пространстве 1*2 по ро (производная в начальной точке). В соответствии с этим, второе слагаемое опускается. Учитывая также, что Ро(/)- выражается через "искомые" аппроксимационные значения

/ — (/о, Л, ■ • • > /лО предлагается вместо (4) решать следующую задачу:

ппп||/* -5(а;,/)|||м+1 ,

которая позволяет получить устойчивое решение. Следующий пример показывает применение вышеописанного метода при аппроксимации квадратичным

сплайном с минимальной нормой производной функции /(ж) = . --г^,

I -г (о — л?)

заданной 81-м значением на отрезке [0,6] с относительной погрешностью 8 « —. Чтобы избежать сильного влияния погрешности, число аппроксимаци-онных значений, по которым строится сплайн, следует брать в несколько раз меньше числа заданных. На рисунке 2а сплайн построен по 41 аппроксимаци-онному значению, рисунок 26 получен по 16-и аппроксимационным значениям.

а

сплайн;

интерполируемая функция;

+ заданные значения; • полученные значения рисунок 2

В параграфе II.2 исследуется задача построения двумерной сплайн аппроксимации. Аналогично одномерному случаю, задача минимизации:

min {IIГ - S||!(W„J+1) + а|№, iOHU /.pS

где fx = (р2'%2'\...,р£М)-производные в точках (х0,yj), j = 0,1,...,М, сетки искомых значений сводится к следующей задаче:

min ||/*-SH2

Эффективность использования этого метода проиллюстрировано на примере

функции /(ж, у) = -2—2' заДанной с относительной погрешностью ^^

на прямоугольной сетке значений Дц|ц([—2,2] х [—1,1]). На рисунках отображено сечение графика плоскостью у = —1/8. На рисунке За аппроксимация построена на сетке полученных значений Дв,б([—2,2] х [—1,1]). На рисунке 36 искомые значения получены на сетке Д^]—2,2] х [—1,1]).

Ж

(

/ : / о.в—

/ ^ I I I I I I I I I I

\

-2

-1

I I I I | I I I I | 1 2

■ интерполируемая функция ----сплайн

интерполируемая функция ---- сплайн

рисунок 3

В параграфе II.3 разрабатывается метод решения интегральных уравнений 'Фредгольма 1-ого рода с использованием сплайна с минимальной нормой производной. Построенный метод основывается на методе регуляризации Тихонова и состоит из двух этапов. На первом этапе строится решение интегрального уравнения:

/

функция у(Ь) аппроксимируется сплайном. При построении регуляризации, как упоминалось раньше, учитывается, что сплайн построен таким образом, что норма его первой производной достигает своего минимума в пространстве ¿2 и р0(/) выражается через искомые значения /, следовательно, можно считать что, условия, накладываемые на стабилизатор, частично выполняются, соответственно, задача минимизации:

гшп{|)Л5 — /*||дм+1 + аП[5]}

Ра,у*

сводится к следующей задаче:

у5

где Л- линейный интегральный оператор, 5-сплайн, /* - вектор заданных значений.

Второй этап заключается в том, что, по полученным на первом этапе значениям у\ строится аппроксимация, описанная в параграфе 11.1, которая и дает окончательное решение.

Рисунок 4 показывает, что, описанный метод, позволяет эффективно решать интегральные уравнения Фредгольма I - ого рода. Для следующего интегрального уравнения

1

У ^ (мМг)ой =/(я), -1

где К{ х,Ь) = 1п—. , строится аппроксимация решения

и(Ь) = (1 — ¿2)2 при заданном 41 значении правой части с относительной погрешностью » Ю-3, промежуточное решение строится по 21 значению, а окончательное по 10 значениям (рисунок а). Рисунок б отображает решение при заданном 61 значении с погрешностью ~ 10~6; промежуточное решение получено по 31 значению, и окончательное по 15 значениям, полученным на втором этапе описанного метода.

точное решение;........промежуточное решение;

---окончательное решение

рисунок 4

ГлаваШ посвящена применению сплайн функции с минимальной нормой производной при математическом моделировании задач гравиразведки. В параграфе III.1 рассматривается аппроксимация результатов математического моделирования в двумерном случае при помощи разработанного сплайна и метода на примере задачи определения гравитационного потенциала по измеренным значениям. На рисунке 5а задано 31 значение с относительной погрешностью ^ 1% на промежутке 2км с равномерным шагом. На рисунке 56 отображена смоделированая ситуация, когда в силу природных или другого рода условий не удается получить измерения с равномерным шагом на всем отрезке (участки, на которых измерение пропущено выделены жирными точками).

t К

/- \

/ -1 i \

f _ / t

/ ч < - \ \

1 / 4- \

/ : / к \

/ \ 4

: 4.

111 м 11111 111 11 11 i 11

/ -

/ = / -

/

/ 4-

1111111111

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

а

___:*>

I II I I I I II I -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

Ь

........гравитационный потенциал;---сплайн аппроксимация

рисунок 5

В параграфе III.2 рассматривается аппроксимация результатов математического моделирования в трехмерном случае. Рисунок 6 показывает результат математического моделирования задачи определения гравитационного потенциала, когда достаточно близко расположены два тела.

-2

-1

О

2

■2

-1.0

а

гравитационный потенциал; ..

рисунок 6

Ь

сплайн аппроксимация

Проведенные исследования показали, что можно, таким образом, успешно решать интегральные уравнения первого рода и достаточно хорошо восстанавливать решение задачи аналитического продолжения потенциала поля.

В параграфе III.3 рассматривается задача аналитического продолжения потенциала в сторону источников; исследуется случай, когда в силу большого количества заданных значений, отрезок, на котором строится сплайн, приходится разделить, и на каждой половине построить сплайн с минимальной нормой производной, что в точке стыка сплайнов приводит к разрыву первой производной. В диссертации предложено устранить этот разрыв с помощью кубического сплайна. Описанный подход позволяет эффективно решать задачу аналитического продолжения гравитационного потенциала.

На рисунке 7 показано решение задачи аналитического продолжения с помощью разработанного метода решения интегральных уравнений Фредгольма I- ого рода. Рисунок а иллюстрирует полученное решение в случае, когда два источника близко расположены: X} = —0,5 и Х2 = 0,5 на глубине С = 0,9 и С = 1 так, что потенциал на дневной поверхности, заданный с погрешностью 6 « 10~6 41 значением, не указывает на существование второго источника. Рисунок б: отрезок продолжения потенциала делится пополам и на каждой половине строится свой сплайн с минимальной нормой производной. Производная для каждого сплайна строится в точке стыка т.е. в точке 0 причем норма производной каждого сплайна минимальна. Значение производной справа и слева

от точки стыка, вообще говоря, не совпадают. Как показывает рисунок б, в точке стыка образуется "нежелательный угол".

На рисунке в. показано, что от недостатка разрыва производной в точке стыка квадратичных сплайнов, можно избавиться. Для этого в окрестности точки стыка строится кубический сплайн соединяющий квадратичные сплайны.

-гравитационный потенциал;.....сплайн аппроксимация

......гравитационный потенциал на дневной поверхности

рисунок 7

В Заключении приведены основные полученные результаты диссертационной работы:

1. Разработан алгоритм построения квадратичного и кубического сплайнов с минимальной нормой первой производной, что позволяет уменьшить погрешность сплайн аппроксимации результатов математического моделирования. Разработан алгоритм построения двумерного параболического

сплайна, который сводится к последовательному построению одномерных сплайнов с минимальной нормой производной.

2. Показано, что применение сплайна с минимальной нормой производной в задачах аппроксимации позволяет обходиться без стабилизатора, то есть регуляризация задачи достигается с помощью свойства самого сплайна.

3. Исследовано применение сплайна при решении интегрального уравнения Фредгольма 1-ого рода и математическом моделировании задач гравираз-ведки. В частности, рассмотрена задача аналитического продолжения и получено хорошее решение этой задачи при помощи сплайна с минимальной производной.

Основные положения диссертации изложены в работах

1. Дмитриев В.И. Ингтем Ж.Г. Использование сплайн аппроксимации при решении интегрального уравнения первого рода//Прикладная математика и информатика №14, М: Изд-во ВМиК МГУ, 2003, с.5-10.

2. V.I.Dmitriev, J.G. Ingtem Solving an Integral Equation of the First Kind by Spline Approximation // Computational Mathematics and Modeling vol.15, №2, 2004, p.99-104.

3. Ингтем Ж.Г. Сплайн функция с минимальной нормой производной в задачах интерполяции и аппроксимации // Вестник Московского Университета Вычислительная математика и кибернетика//2008 №4 (стр.16-27).

4. Дмитриев В.И. Ингтем Ж.Г. Двумерный сплайн с минимальной производной// Прикладная математика и информатика, №33 - М., МАКС Пресс,

2009, (стр.101-107).

5. V.I.Dmitriev J.G. Ingtem A two-dimensional minimum-derivative spline// Computational mathematics and modeling vol.21 №2 pp 206-211// Springer

2010.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано в печать 18.03.2011 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,0. Тираж 75 экз. Заказ 115. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Введение

I Построение сплайна с минимальной производной

1.1 Построение квадратичного сплайна с минимальной нормой производной.

1.2 Построение двумерного параболического сплайна с минимальной нормой производной.

1.3 Построение кубического сплайна с минимальной производной

1.4 Применение сплайна с минимальной нормой производной в задачах интерполяции.

ТТ О о и и *. п ах ^плйип ^ минимально*! кормой производной б задачах аппроксимации.

II. 1 Построение сплайн аппроксимационной функции с минимальной производной.

11.2 Построение двумерной сплайн аппроксимационной функции с минимальной производной.

11.3 Построение метода решения интегрального уравнения первого рода при помощи сплайна с минимальной нормой производной.

III Применение сплайн функции с минимальной нормой производной при математическом моделировании задач гравираз-ведки.

III. 1 Аппроксимация результатов математического моделирования в двумерном случае.

III.2 Аппроксимация результатов математического моделирования в трехмерном случае.

III.3 Использование сплайна с минимальной нормой производной в задачах аналитического продолжения гравитационного потенциала.

Методы математического моделирования в настоящее время во многом определяют эффективность решения задач науки и техники. Создание суперЭВМ с большими вычислительными ресурсами позволяет решать сложные нелинейные задачи. При математическом моделировании широко используются сплайн-функции. Настоящая диссертация рассматривает следующие области применения сплайн-функций:

1. Интерполяция данных, полученных при математическом моделировании, с целью аналитического задания расчетных характеристик в зависимости от параметров задачи.

2. Аппроксимация наблюденных данных для пересчета их на заданную сетку, используемую при математическом моделировании.

3. Использование сплайн функций при решении интегральных уравнений и аналитическом продолжении потенциала.

Полученные при математическом моделировании результаты на сетке значений параметров, не предоставляют достаточно условий для построения сплайна. Необходимо дополнительно задать краевые условия, которые позволяют построить сплайн. В качестве таких краевых условий выступают условия периодичности или же дополнительно задаются значения производных, чаще всего на границе. Например, в случае квадратичного сплайна задается значение первой производной в начальной точке, а в случае кубического сплайна необходимо задать два значения производной в соседних очках или задать значения первой и второй производной в начальной точке. Можно задать производную в начальной точке, используя разностную производную по имеющимся значениям на сетке. Необходимо заметить, что сплайн функция обладает свойством появления колебаний, амплитуда которых растет по мере удаления от начальной точки. Чем с большей погрешностью задана производная в начальной точке, тем раньше возникают колебания в сплайн функции. В диссертации предлагается условие в начальной точке определять из минимума нормы производной сплайна; это позволяет точнее определить условие в начальной точке и подавить возникающие колебания. Такой сплайн позволяет аппроксимировать результаты математического моделирования на большем отрезке. В диссертации рассматривается построение квадратичных и кубических сплайнов, норма первой производной которых достигает своего минимума. Такие сплайны позволяют эффективно решать задачи аппроксимации данных математического моделирования.

При моделировании сложных систем расчеты проводятся в зависимости от параметра на сетке с крупным шагом. Полученные результаты в дальнейшем необходимо интерполировать, что обычно проводится с помощью сплайн-функций. Однако, большой шаг сетки приводит к возникновению и наращиванию ошибок. В данной работе за счет минимизации нормы производной сплайна интерполяция производится именно таким сплайном, который проходит через заданные значения и обладает минимальной нормой производной, что позволяет в определенной мере сдерживать накопление ошибок.

Во многих задачах обработки экспериментальной информации требуется проводить сглаживание результатов для дальнейшего использования их в обратных задачах. Применение сплайна с минимальной нормой производной позволяет получить необходимое гладкое решение. Обычно при восстановлении функции по заданным на некотором отрезке значениям, дополнительно задаются краевые условия, чаще всего, это значения производных (первой или второй) в начальной точке. Если производные не заданны, то необходимо использовать методы приближения высокой точности для их вычисления. В случае сплайна с минимальной нормой производной, краевые значения производной, как раз, находятся из условия минимума нормы первой производной. Нередко для хорошего сглаживания экспериментальных данных, возникает необходимость в высокой точности вычислений и в данных, измеренных с мелким шагом. Свойство минимальной нормы производной позволяет построить хороший аппроксимационный сплайн по данным, полученным приближенно, с достаточно крупным шагом измерений.

При решении обратных задач часто необходимо решать интегральные уравнения 1-ого рода, для которых можно эффективно построить математическую модель при помощи сплайна с минимальной нормой производной. Особенно, настоящая работа обращает внимание на задачу решения интегрального уравнения Фредгольма 1-ого рода. Эта задача принадлежит к классу некорректно поставленных задач, решению которых посвящено много литературы, в частности: [6], [8], [17], [26]—[30], [34]. Наиболее успешно она решается с помощью метода регуляризации Тихонова [17], [27]—[29], который основывается на минимизации сглаживающего функционала. Метод регуляризации сводит задачу нахождения решения, устойчивого к малым колебаниям правой части, к построению минимизирующего функционала и определению параметра регуляризации при стабилизаторе. В качестве стабилизатора, зачастую, берется норма производной сплайна, приближающего решение в пространстве интегрируемых с квадратом функций.

Хотя квадратичные сплайны, вообще говоря, не являются устойчивыми по отношению к погрешности в исходных данных, минимальная норма производной ограничивает возможность сильной осцилляции сплайна. Эта особенность позволяет применять сплайн с минимальной нормой производной в задаче решения интегрального уравнения Фредгольма 1-ого рода. Поскольку при этом сплайн заведомо строится с минимальной нормой производной, то выдвигается гипотеза, что стабилизатор можно опустить, а для решения, полученного с помощью минимизации сглаживающего функционала, построить сплайн аппроксимацию. Таким образом, алгоритм решения данной задачи состоит из двух этапов: на первом этапе строится решение интегрального уравнения при помощи сплайна с минимальной нормой производной, а на втором этапе производится аппроксимация полученного решения интегрального уравнения для нахождения искомого решения. Применение разработанного сплайна позволяет построить достаточно простой алгоритм для решения интегральных уравнений и получить эффективное решение по небольшому количеству заданных значений в правой части. Данный подход является достаточно выгодным, особенно, когда в правой части интегрального уравнения стоят данные экспериментальных измерений.

В задачах аппроксимации часто используются сплайны, получаемые на основе метода регуляризации Тихонова [6], [8], [17], [26]. Для построения таких сплайнов, как было отмечено выше, требуется построить и минимизировать сглаживающий функционал и подобрать параметр регуляризации при стабилизаторе. Измерительный шаг в таких задачах должен быть достаточно мелким.

Предложенный в работе алгоритм решения интегрального уравнения первого рода позволяет получить довольно хорошее решение при малом количестве заданных значений правой части. Процесс поиска решения сводится к построению аппроксимационного сплайна, обладающего свойством минимальной нормы производной.

Данный алгоритм может использоваться в обратных задачах математической физики. В частности, в диссертации исследовалась задача о продолжении потенциала в сторону источников. Как известно, задача аналитического продолжения состоит в определении по гравитационному потенциалу, полученному на дневной поверхности земли, информации о размере, форме, глубине, расположении залегания его источников и т.д. В настоящей работе, с помощью разработанного алгоритма решения интегрального уравнения, была построена и исследована математическая модель задачи аналитического продолжения поля ниже поверхности земли. Также была смоделирована ситуация, когда рядом расположены два источника на разных глубинах. Полученный результат показывает эффективность данного метода.

Настоящая диссертация состоит из трех глав. В первой изучается вопрос построения сплайна с минимальной нормой производной, вторая глава посвящена использованию сплайна с минимальной нормой производной в задачах аппроксимации, третья глава рассматривает использование разработанного сплайна при математическом моделировании задач гравиразведки.

Первая глава: построение сплайна с минимальной производной посвящена построению сплайна с минимальной нормой производной. В первом параграфе описывается метод построения одномерного сплайна и исследуется порядок приближения такого сплайна. Во втором параграфе рассматривается двумерная задача построения сплайна с минимальной нормой производной. Третий параграф посвящен применению свойства минимальной нормы к кубическим сплайнам. В четвертом параграфе рассматривается применение сплайна при интерполяции данных.

Вторая глава: сплайн с минимальной нормой производной в задачах аппроксимации. Первый параграф посвящен построению метода решения задачи аппроксимации на основе сплайна с минимальной нормой производной. Во втором параграфе рассматривается двумерный случай задачи аппроксимации. В третьем параграфе решается интегральное уравнение первого рода на основе метода регуляризации Тихонова. Метод регуляризации строится с учетом свойства минимальной нормы производной таким образом, чтобы не прибегать к стабилизатору.

Третья глава: применение сплайн функции с минимальной нормой производной при математическом моделировании задач гравиразведки. В первом параграфе рассматривается аппроксимация результатов математического моделирования в двумерном случае. Здесь исследуется плоская задача определения гравитационного потенциала. Во втором параграфе рассматривается трехмерный случай аппроксимации результатов математического моделирования. Третий параграф посвящен построению математической модели задачи аналитического продолжения гравитационного потенциала при помощи сплайна с минимальной нормой производной.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Разработан алгоритм построения квадратичного и кубического сплайнов с минимальной нормой первой производной, что позволяет уменьшить погрешность сплайн аппроксимации результатов математического моделирования. Разработан алгоритм построения двумерного параболического сплайна, который сводится к последовательному построению одномерных сплайнов с минимальной нормой производной.

2. Показано, что применение сплайна с минимальной нормой производной в задачах аппроксимации позволяет обходиться без стабилизатора, то есть регуляризация задачи достигается с помощью свойства самого сплайна.

3. Исследовано применение сплайна при решении интегрального уравнения Фредгольма 1-ого рода и математическом моделировании задач грави-разведки. В частности, рассмотрена задача аналитического продолжения и получено хорошее решение этой задачи при помощи сплайна с минимальной производной.

Заключение

В настоящей диссертации рассмотрена задача построения сплайна, обладающего свойством минимальной нормы производной и применение такого сплайна в задачах интерполяции и аппроксимации. На основе полученного сплайна разработан новый подход к методу регуляризации для решения интегральных уравнений 1-го рода. А так же рассматривается применение данного сплайна при математическом моделировании задач гравиразведки.

Квадратичные сплайны сами по себе интересны тем, что алгоритм построения таких сплайнов является простым и экономичным в том смысле, что не требуется запоминания большого количества значений при построении. Недостаток состоит в том, что, вообще говоря, квадратичные сплайны не являются устойчивыми по отношению к погрешности в исходных данных.

1. Альберг Дж. Нильсон Э. Уолш Дж. Теория сплайнов и её приложения. Москва. Мир. 1972

2. Василенко В.А. Сплайн функции: теория алгоритмы программы, Новосибирск, Наука 1983.

3. Верлань А.Ф. Сизиков B.C. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ. Киев: Наукова Думка, 1986.

4. Гласко В.Б. Мудрецова В.Н. Страхов В.Н. Обратные задачи гравиметрии и магнитометрии.//Некоторые задачи естествознания: сб. статей под ред. А.Н. Тихонова, J1.B. Гончарского. М.:Изд-во МГУ,1987.

5. Гласко В.Б. Володин Б.А. Мудрецова В.Н. Нефедова Н.Ю. О решении обратной задачи гравиметрии на основе метода регуляризации.//изв. АНСССР физика земли 1973 №2 с. 30-41.

6. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. М.: Изд-во. МГУ 1983.

7. Гребенников А.И. О выборе узлов при аппроксимации функции сплайнами.// Ж.В.М. и М.Ф. 1976 т16 М с.219-223

8. Гребенников А.И. сплайн аппроксимационный метод решения некоторых некорректных задач.//ДАНСССР 1988 Т298 №3 с.533-537.

9. Гребенников А.И. О явном методе аппроксимации функций одной и многих переменных сплайнами.//Ж.В.М. и М.Ф. 1978 т. 18 №4 с.853-859.

10. Дмитриев В.И., Ингтем Ж.Г. Использование сплайн аппроксимации при решении интегрального уравнения первого рода. //Прикладная математика и информатика //№14, (стр. 5-10). Труды факультета ВМиК МГУ, М., 2003.

11. Дмитриев В.И., Ингтем Ж.Г. двумерный сплайн с минимальной производной. //Прикладная математика и информатика //№33, (стр. 101-107). Труды факультета ВМиК МГУ, М.: МАКС Пресс 2009.

12. Завьялов Ю.С. Квасов Б.И. Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.:Наука, Главная редакция физико-математической литературы 1980.

13. Зматраков Н.Л. Сходимость интерполяционного процесса для параболических и кубических сплайнов.// Тр.МИАН 1975 Т.138 с.71-93.

14. Ингтем Ж.Г. Сплайн функция с минимальной нормой производной в задачах интерполяции и аппроксимации// Вестник Московского Университета Вычислительная математика и кибернетика №4, 2008, с. 16-27.

15. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения, М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы 1984.

16. Лаврентьев М.М Романов В.Г. Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа М.: Наука, 1980.

17. Морозов В.А. Регулярные методы.решения некорректных поставленных задач. М.: Наука 1987.

18. Самарский Л.А. Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука 1978

19. Силаев Д.А., Якушина Г.И. Приближение S-сплайнами гладких функций. В кн.: Труды семинара имени И. Г. Петровского. Вып. 10. М.: Изд-во МГУ, 1984, с.197.

20. Силаев Д.А., Амилющенко A.B., Лукьянов А.И.,Коротаев Д.О. Полулокальные сглаживающие сплайны класса С1. В кн.: Труды семинара имени И.Г.Петровского. Вып. 26, 2007, с. 347-367.

21. Силаев Д.А. Дважды непрерывно дифференцируемый полулокальный сглаживающий сплайн. Вест. Моск. Ун-та. Сер. 1, математика, механика, 2009, №5, с. 11 -19

22. Стечкин C.B., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике, М.: Наука 1976.

23. Субботин Ю.Н. О кусочно-полиномиальной интерполяции.// Математические заметки. 1967 Т.1 вып.1 с.63-70. с. 1043-1058.

24. Субботин Ю.Н. Вариация на тему сплайнов.// Фундаментальная и прикладная математика. 1997 ТЗ вып.4 с. 1043-1058.

25. Субботин Ю.Н. Приближение производных интерполяционных сплайнов.// Тр. Мат. Инст-та Стеклова РАН 2003 Т.243. с.320-333.

26. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач, М.: Наука 1979.

27. Тихонов А.Н. Некорректно поставленные задачи и методы их решения.// Методы решения некорректных задач и их применение. Тр. всесоюзной школы молодых ученных. М.: МГУ 1974 с. 6-11.

28. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. ДАНСССР 153 Ж 1963 с.4-9.

29. Тихонов А.Н. О некорректных поставленных задачах.// Вычислительные методы и прогр.вып.8 1967

30. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. О приближенном решении интегрального уравнения Фредгольма 1-ого рода методом регуляризации// ЖВМ и МФ 1964 Т.4 №3 с.564-571.

31. V.I.Dmitriev, J Ingtem Solving an integral equation of the first kind by spline approximation// Computational mathematics and modeling vol.15 №2 AprilJune 2004//Kluwer academic consultants bureau.

32. V.I.Dmitriev J.G.Ingtem A two-dimensional minimum-derivative spline// Computational mathematics and modeling vol.21 №2 pp 206-211// Springer 2010.

33. Holger Mettke, Eckehard Pfeifer, Edward Neuman. Quadratic spline interpolation with coinciding interpolation and spline grids. //Journal of computational and applied mathematics//, V.8, №1, 1982.

34. Morozov V.A Grebennikov A.I Methods for solution of ill-posed problem ¡algorithmic aspect. MSU, M., 2005.

35. Nürnberger Gunther Approximation by spline functions. Springer, Berlin,1989.