автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Сглаживающие изогеометрические и робастные сплайны: методы и алгоритмы

На правах рукописи

гт5 од 3 С МАЯ 213

Березовский Михаил Витальевич

СГЛАЖИВАЮЩИЕ ИЗОГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И РОБАСТНЫЕ СПЛАЙНЫ: МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2000

Диссертация выполнена на кафедре прикладной математики Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета

Научный руководитель: д. ф.-м. н., профессор Ю.Е. Воскобойников

Официальные оппоненты: д. ф.-м. н., с.н.с. В.Н. Попов (ИТПМ)

к. ф.-м. н., с.н.с. А.И. Роженко(ИВМиМГ)

Защита состоится «15» июня 2000 года в 14 часов на заседании специализир ванного совета К 063.98.05 при Новосибирском Государственном Универснт те (630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова 2)

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки НГУ

Автореферат разослан «/ф» мая 2000

Ведущая организация: Институт математики СО РАН (г. Новосибирск)

Председатель специализированного совета К 063.98.05

8 -т&с з ^ ¿г*;

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одними из основных задач, возникающих при "работке результатов экспериментов, являются задачи аппроксимации и лфференцирования табличных данных. Обычно эти данные искажены шу-ами, и для обработки таких данных используются сглаживающие сплайны !аще всего кубические).

Во многих случаях у экспериментатора имеется-дополнительная ин-ормация о свойствах приближаемой функции, например, о положительности та отрицательности функции и (или) ее производных на некоторых отрезках ¡тсрвала определения функции. Целесообразно учесть эту априорную ин-ормацию при построении сглаживающего сплайна, или, другими словами, юбходимо сохранить в сплайне геометрические свойства функции, задавае-ые системой априорных ограничений. В работах Б.И.Квасова, .ИГребенникова, В.Л.Мирошниченко рассмотрены так называемые изогео-■гтрические сплайны, которые сохраняли геометрию приближаемой функ-га, но при очень существенном условии: табличные значения должны соот-ггствовать геометрическим свойствам функции. К сожалению, в экспери-;нте регистрируются «зашумленные» значения функции, которые, чаще :его, не соответствуют (из-за шума измерений) имеющейся априорной ин-эрмации. Поэтому, задача построения сплайна по зашумленным измерени-1, удовлетворяющего априорной информации о геометрии приближаемой /нкции является актуальной.

Возможны ситуации, когда амплитуда шума измерений в несколько д превосходит измеряемые значения функции, то есть некоторые измерения ляются аномальными, число которых может составлять 10-20% от общего юла измерений. Сглаживающие сплайны, при построении которых исполь-вался квадратичный функционал невязки очень «чувствительны» к ано-шьным измерениям: значения сплайна «подтягиваются» к аномальным из-:рениям, что существенно увеличивает ошибки сглаживания к дифферен-грования экспериментальных данных. Поэтому задача построения сглажи-ющих сплайнов, робастных (слабо чувствительных) к аномальным измере-[ям также является актуальной задачей.

Цель работы. Разработка вариационных подходов, алгоритмов и про-аммного обеспечения построения сглаживающих сплайнов, учитывающих ¡еющуюся у экспериментатора априорную информацию и робастных к шальным измерениям.

Методы исследования. Методы сплайн-функций, математического ограммирования, теории вероятностей, математической статистики и чис-нного анализа.

Научная новизна.

Введен новый класс сглаживающих сплайнов - изогеометрический оглашающий сплайн, позволяющий учесть априорную информацию о значени-

ях приближаемой функции и ее производных не только в узлах сетки, но и н интервалах.

2. Доказана теорема о существовании и единственности изогеометрическс го сглаживающего сплайна.

3. Введен новый класс сплайнов - сглаживающие сплайны, робастные н классах распределений шумов. Сформулирован вариационный подход к пс строению робастных сплайнов.

4. Доказана теорема о существовании и единственности робастных сплаГ нов. Предложены вычислительные схемы построения робастных сплайнов.

Практическая ценность работы заключается в следующем. Методы и алгоритмы, разработанные в диссертационной работе даю возможность эффективно использовать изогеометрические и робастны сплайны при обработке различных экспериментальных данных.

Разработан пакет прикладных программ «Spline tool», реализующи построение интерполяционных и сглаживающих сплайнов (в том числе изс геометрических и робастных). Он имеет удобный и понятный интерфейс реализован для наиболее массовых и производительных операционных сис тем. Пакет может обрабатывать данные, которые представлены в различно: виде (вводятся с клавиатуры, загружаются из файла или запрашиваются к базы данных).

Результаты работы позволяют сделать вывод об избыточности ил противоречивости задаваемой априорной информации, что дает возможное! пользователю правильно сформировать априорные ограничения.,

Пакет прикладных программ «Spline tool» использовался при обрабоч ке данных летного эксперимента в институте теоретической и прикладно механики СО РАН и это позволило получить из эксперимента более достс верную информацию об исследуемых аэродинамических процессах.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы обсуждалис на семинарах научного направления «Создание новых информационных те? нологий и систем автоматизированного проектирования» Новосибирског государственного архитектурно-строительного университета (НГАСУ) и до5 ладывались на следующих конференциях:

• международная Байкальская школа-семинар «Методы оптимизации их приложение» г. Иркутск, 1998 г;

• международная конференция KORUS-99;

• всероссийская конференция «Алгоритмический анализ некорректны задач», г. Екатеринбург, 1998г;

• российская конференция «Обратные и некорректно поставленные зад; чи», г. Москва 1998; 1999 г;

• научно-техническая конференция Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета (Новосибирск) 1999, 2000 годов.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ. Структу ра и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, че-ырех глав, заключения, списка литературы и содержит 113 страниц, включая таблиц и 11 иллюстраций. Список литературы содержит 92 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается необходимость построения двух новых лассов сглаживающих сплайнов - изогеометрических и робастных. Кратко слагается содержание диссертационной работы по главам.

Глава 1 содержит необходимые для изложения результатов работы ал-эрнтмы построения сглаживающих кубических сплайнов. Вводятся точностью характеристики сглаживающего сплайна, и формулируется вариационная здача выбора параметра сглаживания по заданным точностным характери-гикам.

В § 1.1 формулируется новая вариационная задача построения сглажи-ающего сплайна Яа (х) из условия минимума функционала

КЩ = а\*"(х)с1х+± Р: (Г-Я(х))г (1)

а

ри краевых условиях

Я"(а) = Я"(Ь) = 0, (2)

де / = /(*,) + ?/, ■ ' = 1,...,« , г), - случайная погрешность измерения значе-н.ч /(х) и узле г,. Лемма 1.1.

ь

Пусть заданы краевые условия (2). Тогда функционал (х)) йх

а

южно представить квадратичной формой

]{,Ч:(х))2их = *Т(Ь (3)

а

■)е л = - вектор, составленный из значений спяай-

а в узлах матрица <2 размером их и положительно полуопреде-

гна и имеет два пулевых собственных значения. Эта лемма позволяет переписать (1) в виде

а построение сглаживающего сплайна (х) представить двумя этапами: Этап 1. Нахождение вектора ха как решение вариационной задачи

rom

¡eí"

1 т г т

—s U„s+s u+const

2

проекции которого равны значению сплайна (х) в узлах г, , / = 1,2,..

иа = ад+р-,

Этап 2. По вектору строится интерполяционный сплайн, тожде венно равный сглаживающему сплайну Ба (х). Теорема 1.1

При любых а > 0 и векторе / существует единственное решение вариационной задачи (4).

Б § 1.2 вводятся точностные характеристики сглаживающего с план которые трактуются как низкочастотный фильтр. При предположениях

а) шаг сетки одинаков и равен X - х(Ч1 -х,;

б) весовые множители р, = р, г = 1,2,...,л , частотная характерисг: сглаживающего сплайна представляется соотношением

„ соХ12 )

Хсо1

l-cos©X

(5)

X+2/и eos соХ + lp eos 2cúX где ¡3 - ар! X2, /6~4ар/X2, А = 2Х/Ъ+6ар/Х2. Аппарат!

функция ha (х) сплайна связана с На (о) преобразованием Фурье

К (*) = (fi?)exp(icox)dco

и эта аппаратная функция характеризует систематическую ошибку сглажя ния и дифференцирования: чем меньше «ширина» функции ha (х), ^ меньше систематическая ошибка сглаживания и дифференцирования. В ка стве числовой характеристики аппаратной функции примем ее ширину S ( на уровне 0,4 от максимального значения, то есть

6 (а) = 2 max (х: х > 0, ha (х) < 0.4АЯ (0)}.

Для дисперсии al (а) случайной ошибки вычисления произвол!

f k] (х) получено выражение: а2к (а) - Кк (а)ст^, где а\ - дисперсия ш> измерения.

Лемма 1.2 Ширина б (а) аппаратной функщш является монотонно фастающей функцией а, а дисперсия су] (а) и коэффициент передачи ;персии Кк (а) монотонно убывающими функциями а, то есть,

'>;, < ; ст* (а,) > о-; (а2) ; А',(а,)> Кк (а2), если а, < а2. (6)

Величины Л" («), о\ (а), («) достаточно полно описывающие льтрутощие свойства сплайна названы в работе точнос тными характерными сплайна.

Противоречивое влияние параметра а на величины систематической и лгайной ошибок (см. (6)) позволяет подойти к выбору параметра а, как к шчс построения (синтеза) сплайна с заданными точностными характери-жами. Задача синтеза сглаживающего сплайна формулируется в виде сле-етцих вариационных задач:

Задача А

шГ <5 (а) при ограничении Кк (а) 2 Кк пр (7)

Задача В

тГ Кк (а) при ограничении ба < 5 (8)

й>0

Решение задачи А синтезирует сплайн с максимальным разрешением аннмальная систематическая ошибка) при ограничении на коэффициент редачи дисперсии Кк пр. Решение задачи В минимизирует коэффициент

редачи дисперсии Кк (а) при гарантированном значении дпр ширины ап-ратной функции.

Теорема 1.2. Решение вариационных задач (7), (8) существуют, един-генны н определяются как решения следующих нелинейных уравнений:

• Решение задачи А есть корень нелинейного уравнения

Кк{а) = ККпр- (9)

• Решение задачи В есть корень нелинейного уравнения

(Ю)

Сформулированные задачи А и В наполняют задачу выбора парамет-сглаживания содержательным смыслом и позволяют интерпретировать строенный при таком параметре сплайн в терминах измерительных систем, пользуя понятие аппаратной функции, частотной характеристики, полосы опускания и т.д.

Глава 2 посвящена построению изогеометрического сглаживающего дайна, то есть сплайна, который учитывает априорную информацию в виде эаиичешш на значения функции и ее производных на заданных интервалах.

Предполагается, что функция /(х) в узлах х,, / = 1,2,...,и сеть Д - {я - Х[ <... <; х/М < == Ь } задана своими значениями = /(х.) + . г;

- погрешность измерения - случайная величина с нулевым средним и дт Персией а].

В § 2.1 приведена классификация априорной информации, заданной виде ограничений на значения функции и ее производных. Введены два тщ ограничений.

Тип 1. Ограничения в узлах сетки

Априорная информация задается в виде системы неравенств, для зн; чений функции /(х) или ее производных /''' (.г) в узлах таблицы, т.е.

(Ч)

где , - минимальное и максимальное допустимые значен! производной /-го порядка /"''в узлах х, ,/„ - множество, составленное 1 индексов узлов г сстки А ~ {я = х, < хг <... < хп - .

Тип 2. Интервальные ограничения

Ограничения на значения функции или ее производной задаются / интервалах аргумента.

Для каждой степени производной / (/ = 0,1,2 ) вводится система мн жеств Х^, /=1....,А'Г. Каждое множество соответствует интервалу, на к торый наложено _/-е ограничение для 1-й производной функции /(х). О/ содержит узлы таблицы х™п(/,/), х"'ах(7,0, индексы которых задаются >1 ловиямн 1 < 1та (у, /) < 1т (у. /) < и .

Для каждого множества Л'у., задается система неравенств

/<0(у) < </;" или /"> (х) > при X е Хр . (12)

В § 2.2 предложен алгоритм построения нзогсомстрического егдаж ваюшего сплайна, состоящего из трех этапов.

На первом этапе строится система ограничений (11) в узлах х, по а) риорной информации (12).

На втором этапе строится дескриптивный сглаживающий отдан удовлетворяющий системе ограничений (11).

На третьем этапе строится изогеометричеекпй сплайн по «хорошич данным, полученным на предыдущем этапе.

Рассмотрим каждый из приведенных этапов.

Этап 1.

Каждый узел сетки х проверяется на вхождение в одно из мно-

ксств Хи. / =1,2,3 . Для каждого случая вхождения узла во множество, вы-

шсывается неравенство вида (11). Этап 2.

Для перехода от системы ограничений (11) к системе ограничений в герминах вектора ла доказывается следующая

Лемма 2.1. Систему ограничений (11) для сглаживающего кубического жчайна можно записать в виде

(13)

•дс О - (Л/г х .У) матрица, составленная из строк матриц связы-

¡ающнх значения производных Л1^' (х), / = 0,1,2 в узле х, с проекциями век-ора л„.

На основе (4) формулируется следующая вариационная задача:

пип

три ограшгчениях

(14)

¡К 5 <1 ■ (15)

Решение этой задачи - вектор содержит значения кубического

тшайна Л'* (х) в узлах .г,, который удовлетворяет ограничениям (11) и на-

ван дескриптивным сглаживающим сплайном. Доказана следующая

Теорема 2.1. Решение вариационной задачи (14), (15) существует и •динственно, если решением системы

[)Т а = 0 (16)

вляется нулевой вектор.

Эта теорема дает не только условия существования и единственности, (сходя из нее, можно сделать вывод об избыточности априорных ограничена!

Для повышения вычислительной эффективности алгоритма нахожде-!ия решения л;* предлагается переход от задачи (14), (15) к двойственной по 1агранжу задачи

шш

ри условии

^цТА(1 + ЬМ 1 (17)

р>0, (18) де р - вектор размерности Мг, А = ШГ'/У, Ь = ОН. 4/ + й .

После вычисления решения ц этой вариационной задачи, вектор определяется соотношением

s:=se-UeDru\ (19

где sa - решение задачи (4) при выбранном параметре сглаживания а. выбор рекомендуется осуществлять на основе решения задач (7), (8).

Этап 3. Проекции вектора s'a, построенного на предыдущем эт; трактуются как исходные данные, соответствующие требуемой геомет приближаемой функции. По этим данным строится изогеометричес сплайн, обозначаемый SJa (х) двумя методами: на основе В-сплайнов

использованием эрмитовых сплайнов.

В § 2.3 производится анализ вышеприведенных способов построе изогеометрического сплайна с точки зрения вычислительных затрат. Рез; таты оформлены в виде таблицы. Показано, что использование аппарата митовых сплайнов эффективнее. Причем количество операций, затрачег

на вычисление эрмитовых сплайнов в О (N2) раз меньше чем при испол

вании В-сплайнов.

В § 2.4 приводятся результаты вычислительного эксперимента и о( ботки реальных экспериментальных данных. Эти результаты показали вь кую эффективность применения изогеометрическик сглаживающих сплаш Приведем результаты одного вычислительного эксперимента, в к<

.(*-')'

ром значения функции f{x) = e 01 +е 01 искажались нормально pací деленным шумом с нулевым средним с относительным уровнем шума 1 от максимального значения функции. В качестве ограничений использое следующая априорная информация

Дх)> 0, *е[0,7]; f\x)t О, xe[0,l]; /'<*)£0, хе[1,3]; f'(x) 10, хе [3,5.1]; (20

Л*)SO, ге[5.1,7]; На рис. 1 приведены: зашумлекные значения ft, обозначенные сил лом Д ; Значения сглаживающего сплайна Sa ), построенного бе з у ограничений (20) - символ □;. значения изогеометрического сглаживаю и сплайна SIa , построенного с учетом (20) - символ О.

1

1 л Л Из* / д 'Гсор-цдтрич л 1 1 л

1 Л I ! 1 ! н без огра 3 С п МЗР"' ■ гачеиш! 1

Рисунок 1. Результат вычислительного эксперимента.

На рис. 2 приведены экспериментальные данные, полученные при исследовании зависимости продольного аэродинамического коэффициента от угла атаки набегающего потока воздуха (Институт теоретической и прикладной механики СО РАН). Здесь же приведены значения сглаживающего сплайна 8а (х) и изогеометрического сглаживающего сплайна ЛУа (.т), построенного с учетом априорной информации: тх (а) > 0.

, Рисунок 2. Обработка реального эксперимента.

Глава 3 посвящена построению нового класса сплайнов - робастных сглаживающих сплайнов, нечувствительных к нарушению априорных пред-

положений о плотности распределения шума ?/,. Они отличаются от обычнь; сглаживающих сплайнов тем, что в функционале (1) второе слагаемое, н; званное функционалом невязки образуется с помощью отличной от квадр; тичной функции.

В § 3.1 формулируется задача построения робастного сглажнвающе1 сплайна. Рассмотрена модель измерений вида

1-,п (21)

В каждом узле л;, значение /(*:) искажается одним из двух шумов; г

с вероятностью (1 - у) или s, с вероятностью у, при этом А/[//,.] = С

Dh] = < > ' .....« • Лф,] = 0; £>fe] = cr* □ crl .

Вводится функционал вида

Fa[S] + (22)

■=i \ а J

Второе слагаемое будем называть функционалом невязки, образова! ным функцией р(1). Функция pit) должна удовлетворять условиям: ; /)(0) = 0; б) производная y(t) = p'(t) имеет следующие знаки: у/(/)> 0, ссл t > 0 и tf/(t) < 0, если / < 0.

Величина d исполняет роль нормирующего множителя и зависит с дисперсии шума.

Функцию SRa (л) , доставляющую минимум (22) и удовлетворяют)! условиям: а) на каждом отрезке [г,,г(Ч) является кубическим многочлено\ б) на интервале имеет непрерывную вторую производную, назовем рс бастньш сглаживающим сплайном.

Для выбора функции /?(/) рассмотрены несколько классов распред(

лений шума р (т/) и в каждом классе определено устойчивое распределен!« принятие которого в качестве распределения шума р(//) приводит к мак«

мальной потере качества оценивания методом максимального правдоподобш 1. Класс распределений с ограниченной дисперсией. Он задается oi

раничениями./?(?/)> 0; ¡p(j])dt} = 1; jf)p(T))cirj = 0 ; jtj2p(tj)d?7<ег„21Ш( . В этом классе устойчивое распределение является нормальным /V ((), <тт.)

плотностью p(ji)= ,—- ;— exp -I ——-

v^L I 2trL

Распределения такого класса возникают при проведении экспеример тов при одних и тех же условиях.

2. Класс невырожденных распределений. Этому классу принадлежат отности, для которых р (0) й . В этом классе устойчивым распределени-

является экспоненциальное 1(0, .у) с плотностью = —ехр

.Ы'

•У ,

Распределение такого класса возникает при проведении эксперимен-в при меняющихся условиях.

3. Класс распределений, образованный суммой распределений, спредслення этого класса служат для описания общей модели измерений 1) и в общем виде плотность таких распределений представляется выраже-

ем р (?/) = (1 - у) Л' (V), а2п) уЬ (?/), где к (г/) - любое симметричное относимою 0 распределение.

Устойчивым в этом классе является распределение с плотностью

О-г)

-е.\р<

2о-

|'/| < ксгп

Введенные таким образом устойчивые распределения позволяют осла-ть требования к априорной информации о статистических свойствах шума мерения и достаточно указать априори только класс распределений, к кото-му относится «истинный» шум измерения.

В разделе 3.1.2 вводятся определения сглаживающих сплайнов, роба-чых на классах распределений шумов.

1. Сглаживающий сплайн, доставляющий минимум функционалу (22) с 'нкцией

зовем робастным на классе распределений с ограниченными дисперсиями.

2. Сглаживающий сплайн, доставляющий минимум функционалу (22) с ■нщией

зовем робастным на классе невырожденных распределений.

3. Сглаживающий сплайн, доставляющий минимум функционалу (22) с •нкцией

' ? н

-г. И<«;

а ' 1 (25)

Щ-а, > а.

а(0 =

назовем робастным на классе невырожденных смешанных распределений. Дополнительно была введена функция

Г'г и,

при |г|2<а,

Р4(0 =

а

~ + при а <\t\<2a, (26)

а а I

2, при \t\>2а.

используемая в теории робастного оценивания. Предложены со от f шения для определения величин к, а , входящих в (24)-(26).

В § 3.2 рассматривает алгоритмы построения робастных сглажива] щих сплайнов. Для построения эффективных вычислительных алгоритм предлагается представление функционала невязки в виде г 7

~d

V

где 7 (л) - (Л7 х ¡V) - матрица, зависящая от значений S (л;). Например, д функции р2 (У) матрица Т2 (.у) диагональная с элементами

d:

Sa. (

Вводится вариационная задача

(«<2 +Тт (»)* - 2/7,„ (.)/ + ГТТ„, (*)/] • (

Лемма 3.1. Проекции вектора решения этой вариационной зада равны значениям робастного сплайна в узлах сетки х,, то есть,

5-,* / = 1,...,и. (

Эта лемма позволяет построение робастного сглаживающего сплай представить двумя этапами:

Этап 1. Решение вариационной задачи (28).

Этап 2. Построение интерполяционного кубического сплайна по та

личным значениям |.г , .

В разделах 3.2.2-3.2.4 построены и анализируются различные алг ротмы минимизации функционала (28).

В § 3.3 анализируются различные способы выбора параметра сглаж вания. Показано, что наилучшее приближение дает выбор а по заданнь точностным характеристикам из решения задач (7), (8).

§ 3.4 рассматривает ряд вычислительных экспериментов, иллюстр рующих возможности робастных сплайнов по сглаживанию и дифференцир

аягшо данных, содержащих аномальные измерения. Приведем результаты дного из экспериментов. /

Значения функции /(х)~е~"""'2, в узлах х1, / = 1,...,40 искажались

¡умом в соответствии с моделью (21) с параметрами аге~ 2, у = 0.1,

г2 =0.1, то есть, имеет место класс распределений, образованный суммой

аспределений. По данным ]'} были построены сглаживающие сплайны с

ункцшши невязок р[ (г) - р4 (г) . Точность построенного сплайна характе-

изовалась относительной среднеквадратичной ошибкой сглаживания, опре-гляемой соотношением:

Д =

1 1-1

ю / (х() - точное значение функции в точке х,. Значения этой ошибки приданы в таблице 1. .

Таблица 1

Функции Значение А

А(^) 1,164826

А 0,557831

РЛ3) 0,266927

А (*) 0,160163

На рис. 3 приведены графики сплайнов Ж (г), построенных при раз-«гных функциях />(/), Из таблицы и рисунка видно, что наименьшая ошиб-I сглаживания у робастного сплайна, соответствующего функции р{ (?) шибка на порядок меньше по сравнению с обычным сглаживающим сплай-)м с функцией ру (/)). В рассматриваемом эксперименте рА (г) оказалось

)едпочтительнее р, (?) из-за игнорирования аномальных измерений с >льшой амплитудой выбросов

Рнсунок 3. Восстановление сигнала с использованием различии функционалов невязок.

В главе 4 описывается программный комплекс «Spline Tool», пред] значенный для построения сплайнов с использованием алгоритмов, пред женных в диссертации. Этот комплекс способен считывать данные из разл! ных источников: из подготовленных файлов, из баз данных; вводить данны клавиатуры; выводить результаты в файл и на экран, отображать графики.

основные результаты работы

1. Предложен новый класс сглаживающих сплайнов - изогеомстрическ сглаживающий сплайн, позволяющий учесть априорную информацию о п метрии приближаемой функции даже в том случае, когда измеренные зна1 ния противоречат этой априорной информации.

2. Доказаны теоремы о существовании и единственности нзогсометричса го сплайна, а также определены условия о неизбыточности и непротивореч восги ограничений, формируемых при построении сплайна.

3. Разработан эффективный алгоритм построения изогеометрическс сглаживающего сплайна и выполнен многочисленный вычислительный э> перимент, показавший существенное повышение точности решения зад сглаживания и дифференцирования зашумленных данных.

4. Предложен новый класс сглаживающих сплайнов - робастных сплайн с обладающих малой чувствительностью к аномальным измерениям. РазраС тан алгоритм построения робастных сплайнов. Выполнены исследования э

ективности этих сплайнов при обработке данных, искаженных шумами с пличными распределениями,-

Разработан комплекс программ «Spline Tool», предназначенный для об-аботки экспериментальных данных с использованием сплайн-функций. Этот омплекс включает в себя методы построения интерполяционного, сглажи-зющего, нзогеометрического сглаживающего и робастного сглаживающего плайнов. В нем реализована возможность получети данных как из файлов, 1к и из баз данных. Этот комплекс использован для решения ряда практичс-ких задач.

По теме диссертации опубликованы следующие работы.

М.В.Березовский, Ю.Е.Воскобойников Изогеометрнческие сглаживаю-(ие сплайны. // Научный вестник НГТУ/ НГТУ. Новосибирск, 1999.,№2(7), с. •12.

М.В.Березовский, Ю.Е.Воскобойников Построение дескриптивных принижений с использованием локальных сплайнов. // 11-я Байкальская между -)родная школа-семинар Методы оптимизации и их приложения (Труды шференции) Иркутск, 1998, с. 11-14.

М.В.Березовский, Ю.Е.Воскобойников Построение дескриптивных при-тажений на основе рациональных сплайнов. // Тезисы докладов Всероссий-сой научной конференции, посвященной памяти В.К. Иванова «Алгоритми-:ский анализ некорректных задач» - Екатеринбург. 1998, с.53.

М.В.Березовский Робастные сглаживающие сплайны // Обратные и не->рректно поставленные задачи (тезисы докладов конференции), М:. МГУ., )98..с. 19.

M.V.Berezowsky Local approximation algoritlmis in B-spline basis // 3-rd ternational conferencc KORUS'99 (Abstract), Новосибирск. 1999, P. 532.

М.В.Березовский Изогеометрнческие сглаживающие сплайны в обратных дачах И Обратные и некорректно поставленные задачи (тезисы докладов мференции). М:. МГУ., 1999.. с. 16.

М.В.Березовский, Ю.Е. Воскобошшков Изогеометрнческие и робастные лайны: алгоритмы и применение - Новосибирск, 2000. - 32 с. - (Препринт / "АСУ №4).