автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование гладких неполиномиальных сплайнов

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

/7\ (

На правах рукописи

Демина Анна Федоровна

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЛАДКИХ НЕПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СПЛАЙНОВ

05 13 18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических

□озотозтз

Санкт-Петербург 2007

003070373

Работа выполнена на кафедре параллельных алгоритмов математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Бурова Ирина Герасимовна

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Жук Владимир Васильевич

доктор физико-математических наук, профессор Вагер Борис Георгиевич

Ведущая организация Петербургский государственный

университет путей сообщения

Защита состоится 3/ " ^ШкЛ 2007 г в 49

часов на заседании диссертационного совета Д 212 232 51 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф Университетский пр , 28

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им М Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб , 7/9

Автореферат разослан "___"____________ 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета, /

доктор физ -мат наук, rßila/l^

профессор I и/п Мартынепко Б К

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Интерес к неполшюмиальным сплайнам возник давно (Алберг Дж , Ниль-сон Э , Уолш Дж , Варга Р и др ) Наиболее простые стайны (называемые минимальными) получаются из аппроксимационных соотношений (Михлин С Г, Демьянович Ю К , Бурова И Г )

В настоящее время интерес многих авторов вновь привлекли неполиномиальные сплайны (Квасов Б И , G W Nuhlbach, Yu Tanq) Интерес к ним обусловлен удобством реализации на различных вычислительных системах и, в частности, с возможностью достижения более высокой точности результата при меньших затратах ресурсов ЭВМ Представляется особенно важным исследовать приближения, обладающие свойством "точности" на достаточно произвольном множестве функций, и оценить погрешности полученных приближений

Построение и свойства непрерывных и непрерывно дифференцируемых заданное число раз минимальных полиномиальных и тригонометрических интерполяционных сплайнов со свойством точности соответственно на алгебраических и тригонометрических полиномах заданной степени рассмотрены ранее некоторыми из упомянутых выше авторов Отличительная черта этих сплайнов заключается в том, что аппроксимация строится отдельно на каждом сеточном интервале в виде линейной комбинации базисных сплайнов с коэффициентами, равными значениям приближаемой функции в нескольких соседних узлах сетки Поскольку интерполяционные минимальные полиномиальные сплайны хорошо себя зарекомендовали при проведении постедовательной интсрпочяции в реальном масштабе времени, то было бы интересно получить формулы для минимальных неполиномиальных непрерывно дифференцируемых заданное число раз сплайнов со свойством точности на степенях заданной достаточно гладкой произвольной функции

Цель диссертационной работы Целью диссертации является построение приближений неполиномиальными сплайнами минимального дефекта, обладающими свойством точности на обобщенных полиномах заданного порядка, построение приближений минимальными неполиномиальными интерпотяционными непрерывно дифференцируемыми заданное число раз сплайнами, сравнение их с известными полиномиальными приближениями, получение оценок погрешности приближения с помощью полученных сплайнов, исследование свойств построенных сплайнов, составление алгоритмов и отладка соответствующих npoi раммных модулей

Методы исследования В диссертации используются методы теории функций вещественного переменного, методы линейной алгебры, теории обыкновенных дифференциальных уравнений Для построения базисов минимальных сплайнов применен метод аппроксимационных соотношений Аналитическое моделирование осуществляется в среде Maple

Достоверность и обоснованность

Достоверность результатов подтверждена доказанными теоремами и проведенными многочисленными тестами Результаты численных экспериментов приведены в диссертации

Результаты, выносимые на защиту

1 Исследованы минимальные ненолиномиальные сплайны, удобные для решения интерпочяционной задачи Лагранжа, обладающие локальным интерполяционным базисом и свойством точности на обобщенных полиномах заданного порядка Получена оценка погрешности на локальных квазиравномерных сетках Составлены оптимальные алгоритмы и отлажены соответствующие программные модули

2 Построены минимальные интерполяционные неполиномиальные непрерывно дифференцируемые заданное число раз сплайны со свойством точности на степенях, в том числе, возможно, отрицательных, заданной достаточно гладкой произвольной функции Получены оценки погрешности приближения Получены соотношения между неполиномиальными и известными минимальными полиномиальными сплайнами

3 Построены непрерывные и непрерывно дифференцируемые сплайны со свойством точности на положительных и отрицательных дробных степенях аргумента Носитель базисного сплайна состоит из трех соседних сеточных промежутков Получены оценки погрешности приближения

4 Исследованы некоторые неполиномиальные сплайны третьего порядка специального вида

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми Выделим основные

1 На локальной квазиравномерной сетке получена оценка погрешности приближения минимальными неполиномиальными сплайнами, обладающими локальным интерполяционным базисом и свойством точности на обобщенных полиномах заданного порядка, удобными для решения интерполяционной задачи Лагранжа

2 Построены минимальные неполиномиальные интерполяционные непрерывно дифференцируемые заданное число раз сплайны со свойством точности на степенях, в том числе возможно отрицательных, заданной достаточно гладкой произвотыюй функции Получена оценка погрешности приближения

3 Построены непрерывные и непрерывно дифференцируемые сплайны со свойством точности на положительных и отрицательных дробных степенях аргумента Почучены оценки погрешности приближения

4 Разработаны программные модули, генерирующие мшшматьные интерпо-мционные неполиномиальные непрерывно дифференцируемые заданное чисто раз базисные сп тайны со свойством точности на степенях (в том числе возможно отрицательных) заданной достаточно гладкой произвольной

ф) НКЦИ1!

5 Разработаны алгоритмы для i операции непрерывно дифференцируемых сплайнов минимального дефекта

Теоретическая и практическая полезность

Работа носит теоретический характер и представтяет теоретический и практический интерес, может быть использована как в исстедовательских, так и в обучающих цетях Попяченные результаты могут быть применены для создания высокоэффективных алгоритмов решения разтичных практических прикладных задач Результаты могут быть использованы при решении задач интерполяции и аппроксимации вещественных функций одной и многих переменных как на конечной, так и на бесконечной сетке узлов, сгущающейся к точке особенности, при сжатии и последующем восстановлении с заданной погрешностью больших объемов графической информации, при численном решении ряда задач математической физики, в гом числе при решении краевых задач вариационными методами, а также при построении параллельных форм алюритмов перечисленных здесь задач

Апробация работы

Основные результаты быти доложены на следующих конференциях л семинарах

1 International conference in memory of V I Zubov "Stability and Control Processes" 29 06-1 07 2005 SPb

2 XXXVII Международная научная конференция аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость", 11-13 апретя 2006 г СПб

Результаты были использованы при чтении лекций по вычислительной математике для ст}дентов математнко-механического факультета

Основные резулыаты опубликованы (см раздет "Г1>бтнкации автора по теме диссертации"в конце автореферата) в статьях [1|, [2], |5) н материалах конференций |3], [41

Структура и объем работы

Диссертация объемом 153 страницы состоит из введения, четырех пав, разбитых на разделы и параграфы, двух лритожений и списка литературы Содержит 24 таблицы, 24 рисунка и список цитируемой литературы

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

1 В первой главе рассматривается аппроксимация функций с помощью неполлночиальных ептайнов минимального и максимально о дефектов Приводятся оценка погрешности прибтижения и выражение остатка, рассматриваются частные случаи Сетка узлов может быть как равномерной, так и неравномерной

Пусть I, п — цечые числа, связанные соотношениями I > 1, « > 1, I! + <; = гс, — упорядоченная по возрастанию сетка узлов на промежутке [а, 6] Предположим, что функция и € С\а, Ь] задана в узлах сетки х}, а <а(х), г = 1, ,— некоторые достаточно гладкие и линейно независимые на промежутке [а, 6] функции

Обозначим Ф(х) = {<ру(х), ,{р„(х))т Считаем, что функции г =

1, ,п, и сетка {х}} выбраны таким образом, что определитель

Д, =<1е1(Ф(^_1+1), ,Ф(х;+я))^0

Приближение й(х) к функции и(х) строим в виде з + <

"(х) - £ и{хк)ык(х), х е \х„ х]+1) к=,-1+1

Здесь сплайны ы3(х), вирри^ = называемые базисными, находим из

усчовня

й(х) = и{х) при и(х) = <р,(х), г — 1, ,п, I 6 [о, I], что приводит к системе уравнений

J + s

£ ^,(хк)^к(х) = <р,(х), г = 1,2, , п, х 6 [х_,, х_,+О (1)

к—]—

Таким образом, базисные сплайны определяются следующим соотношением ш,.к(х) = с1е1(Ф(х^т), , Ф(х_,_*:_1), Ф^.Ф^-^+х), ,Щх]+а))/&},

к = -5, + 1, ,1-1 (2)

Получено выражение дая остатка приближения интерполяционными минимальными сплайнами максимального дефекта, а также оценка погрешности приближения Рассмотрена погрешность приближения на равномерной и равномерно сгущающейся сетках узлов

Пусть Ьи = 0 — однородное дифференциальное уравнение, имеющее фундаментальную систему решений <р1(х), , ¡?п(х), предпотожим, что определитель Вронского \\'(х),

W(x) =

<Pi(x), 4>2(z), <рп(х)

отличен от нуля при х £ [а, Ь]

Пусть И'ш(х) — алгебраические дополнения г-го элемента n-й строки опре-дпителя И'(х)

Дчя непрерывной функции /(/), / е Гс, сЛ, обозначим ||/||[С1л = П1ах 1/(01

Теорема 1 Остаток приближения функции и(х) 6 Cn¡a,b] непрерывными лагранэюевыми сплайнами имеет вид

k~j->+1

где и Ть находятся между х/, их, а оценка погрешности приближения такова

1ДМ1 г , < +

1=1 " ** "Ил-' + ьХЛ-.! £=¡-1 + 1

Далее рассматривается сетка узюв {х^.} со свойством

=В< в>0 (5)

^3 % у — 1

Обозначим

[ к - ], при В — \

Теорема 2 Пусть дана сетка узлов со свойством (5) и х 6 [х}, х^] Тогда оценка погрешности приближения имеет вид

,= 1 II УГ Щх,_,+ 1 х,+,]

Теорема 3 При равномерной сетке узлов с шагом /г, х* = Хо + АА, оценка погрешности приближения имеет вид

П , = 1 И ку + |

}+'

х У^ шах \к — ]— ¿1" шах |ьь?(.(хо + 7Й + 11 'г1° 1)

где х € х^-ц]

Главу завершает построение неполиномиальных сплайнов минимального дефекта

2 Глава 2 посвящена интерполяционным минимальным неполиномиальным непрерывно дифференцируемым заданное число раз сплайнам со свойством точности на степенях заданной достаточно гладкой произвольной функции Подсчитана оценка погрешности приближения и остаток

Пусть /, s и n — целые числа, связанные соотношением I + s = п + 1, / > 1, s > 1 Предположим что в каждой точке х3 упорядоченной сетки узлов {х,}, < Xj_i < х} < xJ+i , задано значение и(х}) функции и 6 Сп+1[а, Ь] Пусть далее, функция <f(x) — строго монотонна и <р е Сп+1[а,6] Показано, что определитель Вронского построенный по системе функций 1, 1р2(х), ,<рп(х) равен 1' 21 n*(ip'(x

Функция и(х) приближается выражением

J + S

й(х) = J2 "(xk)uJk(x), ie[i„i,+i), i=j-l+l

где базисные сплайны ш;(х) находятся из условий

й(х) = и(х), при и(х) = <р'(х), г = 0,1, , п,

что приводит к выражению вида

jj(x) =

п

¥>(х) - (¿>(х/)

, х е [хк% ifc+i),

JVJ V(Xj) --¡+1</-«:<S

k = ]-s, 1,

0, X g [l,-., Xj+'I

(6)

Пос троены непрерывно дифференцируемые заданное число раз сплайны ш;(х) со свойством "точности" на системе функций 1, <^(х), ¥>2(х), Сплай-

ны строились путем расширения носителя базисного сплайна <^(х) на один сеючмый интервал

Теорема 4 Аппроксимация й(х), вида

3 + >

= ]г и(хк)йк(х), х е [х„ хл-о, где й; 6 Сг[а,6] строится по формулам

Рк(х) П —т-;—г+

-1 + 1 <}'-к<з

+ П *6 [**,**«),

у*} <р{*з) ~ Ч>\ХУ)

-1+1<з'-к<в

^ = J ~ +'- 1,

-Рз+Ах), [1,+|,1,+1ц),

0, X £ [х_,_„, Х; + (+1],

р[х)Ы = -

\ М

П Mz) - ¥>(*/))

-i+l<J'-Jfc<»—1 /1=1

П (v(^-i) - vfoO)

-!+l<y-k<s~l

V-1 Мс чг+1 ,»(г » О1 {Х-Хк)х+'

обладает свойством

й(х) = и(х) при и(х) = уз'(х), г = 0,1, , п Также рассмотрены сплайны с носителем

Изучены свойства полученных гладких неполиномиальных базисных сплайнов Рассматривались левые и правые гладкие минимальные сплайны

Проведено сравнение непрерывных полиномиальных и неполиномиальные сплайнов на равномерной сетке узлов

Теорема 5 Пусть {х— равномерная сетка узлов с шагом /г Непрерывные полиномиальные сплайны ^¡(х), определяемые из условия точности аппроксимации на функциях х", и — 0,1, , п, и непрерывные неполиномиалъные сплайны со свойством точности на функциях <р"(х), V — 0,1, ,п, свя-

заны соотношением

ш'3(х, + Щ = ш,{х, + <Л) + 0(Ь)

Далее определяется остаток и }станавливается оценка погрешности приближения полученными сплайнами

Теорема 6 Остаток приближения функции и(х) функцией

й(х) = Е и(хк)шк(х), 1е[1„1,+|),

где базисный сплайн и)} 6 х^-и] определяется формулой (6), имеет вид

Здесь ап(г) = (-1)п+,+1(п - г + 1)'(г _ 1)', а£к итк находятся между хь и х Оценка по?региности приближения такова

1 щх))1ф] < Е |х*-хг1к(х)|х

(П "Г 1) к=}-1+1

X £(„ - г + 1)1(, -.=1

Рассмотрены непрерывные и непрерывно дифференцируемые заданное число раз сплайны со свойством точности на положительных и отрицательных степенях заданной достаточно гладкой функции

Пусть /, 5, т и п — целые числа, связанные соотношением 1 + в — т + п + 1, / > 1, я > 1 Предположим, что в каждой точке х; упорядоченной сетки узлов {х.,}, 0 < а < ха < < х,-\ < х, < х1+\ < < Ь, задано значение и(х}) функции и 6 Ст+п+1[а, 6] Пусть, далее, функция ¡р(х) ф 0 — строго монотонна и <ре Ст+"+1М

(<Л

Теорема 7 Если сплайн и>3 6 С[а, b] строится по формуле 'Ф,)Y tj 9(г) - íp{xy)

UJj(x) =

<p(x)

JVJ Ф,)~ФУ)

-l+\<j'-k<a

к = J - S, + t - 1,

0, x £ [Xj_s, Xj+|],

то аппроксимация ü(x) вида j+'

"(z) = u(xk)uk(x), i£[ij, i,ti),

k=]-l+l

обладает свойством

ü(x) = u(x) при u(x) = <p'(x), г = —л, , m Теорема 8 .Если сплайн ütj 6 С [а, 6] строится по формулам ЛФ^Х" тг y(xic-¡) - у(ху)

¿^(х) ^

Рк{х

+

\<p(xk-l)

Фз)

<р(х)

ТТ i-+

-í+i<j'-*<>

y¿ ^(ij) - Фу)

-1+1<]'-к<ч

к. = j — s, ,3+1-1, -p]+t{x), ie[i,+¡,x1+¡+i), 0, x £ [xj_s, ij+1+i],

П (v(it-i) - yfay))

PkM = Ej¡Pk (*k)(x-xk+1) g(-l) r,d, (lt_at+i)r+d+l.

то аппроксимация ü(x), вида

(9)

(10) (11)

= £ u(xk)uk(x), X€[Xj, xJ+i),

обладает свойством

й(х) = u(x) при u(x) — f'(x), г — —n, ,m

3 В третьей главе рассматриваются непрерывные и непрерывно дифференцируемые сплайны со свойством "точности" на положительных и отрицательных степенях аргумента Базисные функции предложенных сплайнов имеют носите чь, состоящий из трех соседних сеточных промежутков Приводятся оценки погрешности прибчижения и численные эксперименты

Построены непрерывные сплайны со свойством "точности" на функциях 1, х, 1/х Приводятся оценки погрешности приближения На равномерной сетке узлов {х.,} с шагом Л 0 < х0 < XI < , оценка погрешности приближения имеет вид

|й(х) - и(х)| < Л3 № + II- и" + и'"||

I48 Мхо) Их Н[*,-„

Построены непрерывные сплайны со свойством "точности" на функциях 1, 1/х, 1/х2 Приводятся оценки погрешности приближения На равномерной сетке узлов {х;} с шагом И 0 < Хо < XI < , оценка погрешности прибчижения имеет вид

. , ч| „ „/17 , 5х0 + 2/Л II 6 , ,6 „ „,|| и,) - «(,)! < Л» ^ 4- к-^г-] + -и" + «"Ц^ ^

Далее получены непрерывно дифференцируемые сплайны минимального дефекта со свойством "точности" на функциях 1, х, 1/ха, где а может быть как целым, так и дробным положительным или отрицательным числом, а ^ 0,-1 Рассматриваются задачи интерполяции следующего вида

То(к)й(х,) + Т1(к.)й'(х,) = То(к)и(х,)+Т1(к)и'(х,), 5 = 0,±1,±2, ,

где

„а + 1 _ _п+1 хк+\хк

Т ~ахмх" + ах"+1 + - хкхМ

^(/с)---

Теорема 9 Пусть [хо, хт] е (а, Ь), приближение й(х) к функции и е С'[хо, хт] задается формулами

Й(х)= (Щк^к+Щку^и^х), к=,-\

где

а,,_,(х) - (ах°+1 - (а + 1)х°х,+1 + х^,1) ,

х(х;+11 - х^1)] - (о + - х;_1)(х:1+2 - I,«)-

-ХЛ-2^ + 1(1"+2 - х°+1 )(Х3 - ^-0] + [ХЛ-ЛХ° - <-1)х

х(х°++21 - - Х, + 2Х,+ - + 1 - X?«)])

^(лг) = - (а + + ^Г1)

x

Здесь

ц =

«(а + '

V = Xj-l)x»;l + (xjM - х,+1)х?+1 + (x;+1 -

n = (^+1 - + fa - + (iJ+2 -

Тогда при x Ç [x0, xm)

u(x) = iï(x), если u(x) = 1, x, l/xQ При q = 1 погрешность приближения может быть подсчитана по формуле

¡ü(x) -u(x)| < i II- u" + u"'||

8 Иг lili,., i,.

+ £

k=J-l } + l

3x

x£ - 3x^ + 8x3,xk -6x*xl 2 хЫ + x] T0(k)—--—^-£-£ +7\(fc)—--i

3x¿

Mx)i,

a на равномерной сетке узтов {xj} с шагом h 0 < xq < Xi <

|ù(x) - u(x)| < h3 U- +

12 48xc

- и + u

IX 111J-j -1 ij + i]

Построены непрерывно дифференцируемые сплайны со свойством "точности" на функциях 1, 1/х", 1/х-3, где а, /? могут быть как целыми, так и дробными положительными паи отрицательными числами, а /0, /3^0, а^/З

Теорема 10 Пусть [х0, хт] € (а, Ь), приближение й(х) к функции и € С[хо, хот] задается формулами

й(х) = 53 (Щ^+Т.ЩиУчЙ, к=]-1

Щк) = а/?

71 (fc) = а

1 ¿3+1 >3+1 а+1

о + 1 о+/3+1

+ /3

Q + /3 + 1

хк+1хк

с,_,(х) = ((/3 - а)*°+' + ах°х?+1 - /?х"х?+1) ,

Wj(x) = ((/5 - [К+2 - -

-(x; - x;_,)(xf+2 - x?+1)] + ax° [(x?+2 - z^Xzf^-i-~ tf ~ x?-,)(x?+2x°+1 - x°+2xf+1)] - /Зх*3 [(x°+2 -~I°+i)(xfIJ-i ~ xj-ix]) ~ (x" - xj_i)(xf+2x°+1 - af+li°+2)]) ,

ы,+1(х) = ^ГЧ^Г1 (С? - + - 0*'*?)

Здссь

«/ = (I- - х?_1)1?+1 + (х°_г - х°+1)х? + (х«+1 - х«^, ? "" " *!)*?+* ^ (*? - + -Тогда при х С ¡Хо, хт„)

и(х) = й(х), если и(х) — 1, 1/х°, 1/х^

При а = 1, /3 = 2, погрешность прибчижения может быть подсчитана, формуле

|й(х) -и(х)| < -1 ||«в'+ -«" + «" 40 Их2 х

х5 - 6x5 4 15х1х - ЮА2

Зх2

+ Е

Тр(к) 3x1

4-Ъ(к)

(бх5 -х\- \ЪхЛхк + 10х3х£) + х\ - 5х*х^ + 4х^

хк

. на равномерной сетке узлов {х;} с шагом к 0 < хо < XI < , |й(х) - к(х)| < Л3

5 Хо + 0 3/г 24 + 48x2

6 < 6 „ ,„|| —и' + -и + и X X И|г,-Ь I, И)

Здесь же построены мультипликативные базисные сплайны по системам функций 1, х, 1/х и 1, 1/х, 1/х2

4 В четвертой главе рассмотрены непрерывные и дважды непрерывно дифференцируемые сплайны третьего порядка, обладающие свойством точности на ф)нкциях 1, х, еЛх, е~Ах, А > 0

Попучены непрерывные сплайны третьего порядка, обладающие свойством точности на функциях 1, х, еАх, е~Ах, А > 0, позволяющие решать интерполяционную задачу Лагранжа

Теорема 11 Пусть сетка узлов {х3} равномерная с шагом Л, и € С4 (а Ь), и приближение й(х) задается формулами

"(*) = Е и(х^и'](х)< х е х;+1]

где при обозначении А = еАк, Ь = (х — х^/(х;+1 — х^) Л Л3

^-1(0 =

(А-1):

(А + 1)(А — 1);

(А-' - А'-2'),

ШЛ) (А — 1 у + (А+ 1)(А-1)3 (А + 1)(А-1)3 4 (А-I)2'

A2 + A + l (2A+l)All+t> (A + 2)A(J"" А

wJ+>W = м _ 1 1 ~ м .. ча + ;

(А - I)2 (А + 1)(А - I)3 (А+1)(А —I)3 (А - I)2' = -+ (А + 1КЛ-1)з(Л' - A_t)

Тогда

и(х) = й(х), если и(х) = 1, х, еАх, e'Al, и справедлива следующая оценка

|й(я) - и(х)\ < ||uIV - А2и"\\ [2(елл + e~Ah) - 2A2h2 -4 +

2Л4 11 HFj-I. + [

(~5 A2 h2 - 4 + eAh + e~Ah + e2Ah + e~2Ah)

27

Далее получены дважды непрерывно дифференцируемые базисные сплайны минимального дефекта, обладающие свойством точности на функциях 1, х, eAl, е~Лх, А > 0 Рассматриваются задачи интерполяции следующего вида

й(х,) - Ti(h)u(x,) + T2(h)u"(x.) = u(xs) - Г,(Л)«'(х.) + Ti(h)u"(x,),

i = 0, ±1, ±2,

где

з+l

а)й(х) = ¿2 ("(i*)+ 71(ЛК(г*) + Гг(ЛК(и=))^(г), (12)

J+2

б)S(x) = ]Г («(xO + T^ftJu'ii^ + Tji/iKiiO)^^),

rm п тгм 2AheM + 1 ~e2M 7\(Л) = о, T2(h) = л2(е2Л/1 _ ^

j+3

с) й(х) = ]Г (u(x*) + 7\(/1)и'(х*) + T2{h)u"(xk))wk{x), k=l

T(h\ h Tth\ 2AheA* + 1 - e2M

Теорема 12 Пусть сетка узлов {х^} равномерная с шагом h, приближение й(х) к функции и(х) задается выражением

й(х) = 2 (u(xk) + T^h)u'{xk) + T2{h)u"{xk))uk(x), t=j-2

где коэффициенты Ti(h), T2(h) ищем в виде (13), а базисные сплайны формулам

- e7Ah-е2Л1+ 2Ae2A^{x-h) Ш,-2[Х) ~ 2Ahe**(eM - I)2

U>~l{x) = ~ 2AheAx(eA'1 - I)2 ' ^^ + ^^ ~ +2(e2Ah - е2Ах) + 2AeAz{x - h + хел'')) ,

<*> = -2^*4»-0» -+ 2ЛеЛ(1+Л)('1 - 1)4

+2eAh(e2Ax - 1) - 2AxeAx(l + e2Ah)) , e2/l1 - 2АхеЛг - 1

2AheA<-x'h\eAk - I}2 Тогда

u(x) = й(х), если u(x) = 1, x, eAx, е~Л1, причем € C2(a,b)

Здесь же построены мультипликативные базисные сплайны по этой же системе функций

Заключают pa6oiy два Приложения Первое содержит численные эксперименты и графики некоторых базисных функций, второе — тексты программ

список опубликованных работ по теме диссертации

|1] Бурова И Г., Демина А.Ф Построение приближений с особенностью в нуле//Методы вычислений Вып 21 Сб статей / Под редакцией В М Рябова - СПб Издательство С -Петербургского государственного университета, 2003 г, с 20-31

[2] Бурова И Г , Демина А Ф Построение прибчижений с особенностью в нуле на неравномерной сетке ДЕП в ВИНИТИ N'220 В2005 от 15 февраля 2005 г , 10 с

[3] Демина А Ф О длительности вычисления приближений функций с особенностью гладкими сплайнами Proceedings International conference m memory of V I Zubov "Stability and Control Processes" 29 06-1 07 2005 SPb V 2 p 808815

[4] Бурова И Г , Демина А Ф. О гладких сплайнах с заданным свойством точности//Материалы XXXVII международной научной конференции аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость", 11-13 апреля 200G г, СПб , с 113-115

|5) Бурова И Г, Демина А.Ф О построении гладких ингерпотяционных сплайнов//Вестн С-Петербург ун-та Сер 1 2007 Вып 1 С 88-93

и

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 05.04.07 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ л. 1 Тираж 70 экз., Заказ № 506/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.

Введение

1 О построении неполиномиальных сплайнов минимального и максимального дефекта

1.1 Построение интерполяционных минимальных сплайнов максимального дефекта.

1.2 Оценка погрешности приближения непрерывными лагран-жевыми сплайнами и выражение остатка.

1.2.1 Построение решения ассоциированного дифференциального уравнения.

1.2.2 Остаток приближения и оценка погрешности.

1.2.3 Погрешность при равномерной и равномерно сгущающейся сетке.

1.3 Построение непрерывных лагранжевых сплайнов в частных случаях.

1.3.1 Непрерывные лагранжевые сплайны при п —

1.3.2 Непрерывные лагранжевые сплайны при п =

1.4 Построение сплайнов минимального дефекта на равномерной сетке.

1.5 Построение сплайнов минимального дефекта на неравномерной сетке при п —

1.6 Построение мультипликативных координатных функций на плоскости.

1.7 О решении задачи Коши с помощью неполиномиальных минимальных сплайнов.

2 О гладких интерполяционных сплайнах

2.1 Построение непрерывных минимальных сплайнов, точных на степенях заданной функции.

2.2 Построение гладких минимальных сплайнов, точных на степенях заданной функции

2.2.1 Первый вариант расположения носителя

2.2.2 Второй вариант расположения носителя.

2.3 Свойства гладких минимальных сплайнов.

2.4 О совпадении базисных сплайнов.

2.5 Левые и правые гладкие минимальные сплайны.

2.6 О непрерывных полиномиальных и неполииомиальных сплайнах

2.7 Выражение остатка и оценка погрешности приближения

2.7.1 Оценка погрешности для непрерывных сплайнов

2.7.2 Оценка погрешности для гладких сплайнов.

2.8 Непрерывные и гладкие сплайны, точные на отрицательных степенях заданной функции.

2.8.1 Аппроксимация непрерывными сплайнами.

2.8.2 Аппроксимация гладкими сплайнами

3 О сплайнах со свойством точности на положительных и отрицательных степенях аргумента

3.1 Непрерывные сплайны со свойством точности на функциях 1,х,1/х.

3.2 Непрерывные сплайны со свойством точности на функциях

1, 1/х, 1/х2.

3.3 Непрерывно дифференцируемые приближения со свойством точности на функциях 1, х, 1/ха.

3.3.1 Построение приближений на неравномерной сетке

3.3.2 Построение приближений на равномерной сетке

3.3.3 Численные эксперименты.

3.4 Непрерывно дифференцируемые приближения со свойством точности на функциях 1, 1/ха, 1/х13.

3.4.1 Построение приближений на неравномерной сетке

3.4.2 Построение приближений на равномерной сетке

3.4.3 Численные эксперименты.

3.5 Приближение мультипликативных координатными функциями на плоскости.

4 Построение и свойства сплайнов третьего порядка специального вида

4.1 Непрерывные лагранжевые сплайны со свойством точности на функциях 1, х, еАх, е~Лх.

4.2 Гладкие сплайны со свойством точности на функциях 1, х, еЛх, е~Лх.

4.3 Приближение мультипликативных координатными функциями на плоскости.

4.4 Числовые примеры.

В математике интенсивное изучение сплайнов началось, фактически, только в середине XX века, когда в 1946 году Исаак Шёнберг [66] впервые употребил этот термин в качестве обозначения для рассмотренных им функции с "кусочными" свойствами.

До 1960-х годов сплайны были в основном инструментом теоретических исследований, они часто появлялись в качестве решений различных экстремальных и вариационных задач, особенно в теории приближений. Однако довольно скоро область их применения начала быстро расширяться, и обнаружилось, что существует очень много сплайнов самых разных типов. Например, в начале 70-х годов появились дискретные сплайны [67], которые недавно вновь стали объектом интенсивных исследований (см. [3], [36], [38], [43], [52], [69]). А в 1966 году Швайкерт ввел в рассмотрение гиперболические сплайны с натяжением [68], которые до сих пор остаются весьма популярным аппаратом решения задачи изогеометри ческой интерполяции (см. [59], [61], [62], [64]).

К настоящему моменту существует большое количество статей и серия монографий, посвященных теоретическим исследованиям и практическому применению сплайнов (см. [1], [19], [21], [22], [29], [32], [35], [37], [40], [41], [48] и библиографию в них). Заметим, что сплайны играют фунда5 ментальную роль в бурном развитии теории вейвлетов (см. [30], [31], [54], [56], [60]), а также тесно связаны с конечно-элементной аппроксимацией (см. [2], [40], [47], [50], [51], [53], [58], [65]). Сплайны активно используются при построении конечно-элементного и сеточного методов приближенного решения задач математической физики, в системах автоматического проектирования и автоматизации научных исследований, при сжатии и восстановлении потоков числовой информации, во многих других областях человеческой деятельности и, конечно, в компьютерной графике и моделировании (см., например, [44], [45], [55], [57], [63]).

Стремление к разработке более экономичных методов приводит к использованию функций с малым носителем (локальных функций — см. [23]) с теми или иными минимальными свойствами. Наиболее часто применяются пространства с базисом из функций, носители которых имеют минимальную кратность перекрытия (обычно именуемую кратностью накрытия). К ним относятся В-сплайны (см. [1], [22], [49]), сравнительно недавно разработанные интерполяционные минимальные сплайны (см. [10], [25], [47]), а также ряд конечно-элементных аппроксимаций (см., например, [51]). Подобные аппроксимации называются минимальными [26], [28] и позволяют значительно снизить трудоемкость вычислений [27]. Сплайн В. С. Рябенького [47] был, по-видимому, первым интерполяционным минимальным сплайном.

В работах Буровой И.Г. и Демьяновича Ю.К. (см., например, [6], [11]) рассматривались построение и свойства непрерывных и непрерывно дифференцируемых заданное число раз минимальиых полиномиальных и тригоиометрических интерполяционных сплайнов со свойством "точности" соответственно на алгебраических и тригонометрических полиномах заданной степени. Отличительная черта этих сплайнов заключается в том, что аппроксимация строится отдельно на каждом сеточном интервале в виде линейной комбинации базисных сплайнов с коэффициентами, равными значениям приближаемой функции в нескольких соседних узлах сетки. При этом интерполирующая функция строится достаточно просто, поскольку решение интерполяционной задачи в точке не зависит от поведения функции в достаточно удаленных узлах сетки.

Интерполяционные минимальные полиномиальные сплайны хорошо себя зарекомендовали при проведении последовательной интерполяции в реальном масштабе времени, а иеиолиномиальные сплайны в настоящее время вновь привлекают интерес многих авторов (см., например, [34]). Интерес к ним обусловлен удобством реализации на различных вычислительных системах и, в частности, с возможностью достижения более высокой точности результата при меньших затратах ресурсов ЭВМ. Поэтому представляется особенно важным исследовать приближения, обладающие свойством "точности" на достаточно произвольном множестве функций, и оценить погрешности полученных приближений.

В данной работе исследованы минимальные неполиномиальные сплайны, удобные для решения интерполяционной задачи Лагранжа, обладающие локальным интерполяционным базисом и свойством точности на обобщенных полиномах заданного порядка. Получены оценки погрешности на локальных квазиравномерных сетках.

Построены минимальные интерполяционные неиолиномиальные непрерывно дифференцируемые заданное число раз сплайны со свойством точности на степенях, в том числе возможно отрицательных, заданной достаточно гладкой произвольной функции. Получены оценки погрешности приближения, а также соотношения между неполиномиальными и известными (см. [И]) минимальными полиномиальными сплайнами.

Построены непрерывные и непрерывно дифференцируемые сплайны со свойством точности на положительных и отрицательных, возможно дробных, степенях аргумента, а также исследованы некоторые неполиномиальные сплайны третьего порядка специального вида. Получены оценки погрешности приближения.

Разработаны программные комплексы для генерации исследованных сплайнов.

Диссертация содержит 4 главы (24 параграфа) и два Приложения. В первой главе рассматривается аппроксимация функций с помощью неполиномиальных сплайнов минимального и максимального дефекта, получены оценка погрешности приближения и выражение остатка. В первом параграфе приводятся формулы интерполяционных минимальных сплайнов максимального дефекта, а также аппроксимационные соотношения, из которых они могут быть получены. Во втором параграфе получены выражение для остатка приближения интерполяционными минимальными сплайнами максимального дефекта и оценка погрешности приближения; рассмотрена погрешность приближения на равномерной и равномерно сгущающейся сетке узлов. В третьем параграфе рассмотрены частные случаи непрерывных лагранжевых сплайнов. В четвертом и пятом параграфах приводятся методы построения минимальных сплайнов минимального дефекта на равномерной и неравномерной сетке соответственно. Шестой параграф посвящен построению мультипликативных координатных функций на плоскости, а седьмой — подходу к решению задачи Коши с помощью неполиномиальных минимальных сплайнов.

Глава 2 посвящена интерполяционным минимальным неполиномиальным непрерывно дифференцируемым заданное число раз сплайнам со свойством точности на степенях, возможно отрицательных, заданной достаточно гладкой произвольной функции. В первом параграфе приведены формулы для построения непрерывных интерполяционных минимальных неполиномиальных сплайнов со свойством точности на степенях заданной достаточно гладкой произвольной функции. Во втором параграфе с помощью расширения носителя базисного сплайна на один сеточный интервал построены непрерывно дифференцируемые заданное число раз сплайны со свойством "точности" на степенях заданной достаточно гладкой произвольной функции. В третьем, четвертом и пятом параграфах изучены свойства полученных гладких неполиномиальных базисных сплайнов. Рассматривались левые и правые гладкие минимальные сплайны. В шестом параграфе получены соотношения между неполиномиальными и известными [11] минимальными полиномиальными сплайнами. В седьмом параграфе получены выражение остатка приближения и оценка погрешности. Там же показано, что определитель Вронского построенный по системе функций 1, <р(х), ip2(x),.(рп(х) равен = 1! 2!. n\((f'(x))Js^~L.

Восьмой параграф посвящен интерполяционным минимальным иеполи-номиальным сплайнам со свойством точности на отрицательных степенях заданной достаточно гладкой произвольной функции.

В третьей главе рассматриваются сплайны со свойством "точности" на положительных и отрицательных, возможно дробных, степенях аргумента. В первом и втором параграфе получены непрерывные минимальные сплайны со свойством "точности" на системах функций 1. х, 1/х и 1, 1/х, 1/х2 соответственно. Получены оценки погрешности приближения как на равномерной, так и на неравномерной сетках. В третьем параграфе получены непрерывно дифференцируемые сплайны минимального дефекта со свойством "точности" на функциях 1, х, 1/ха, где а может быть как целым, так и дробным положительным или отрицательным числом, а ф 0,-1. Согласно методу работы [24] поставлены интерполяционные задачи; подсчитаны погрешности приближения. Четвертый параграф посвящен непрерывно дифференцируемым сплайнам со свойством "точности" на функциях 1, 1/ха, 1/х®, где а, (3 могут быть как целыми, так и дробными положительными или отрицательными числами, а ф 0, (3 ф 0, а ф Р; поставлены интерполяционные задачи, подсчитаны погрешности приближения. В пятом параграфе построены мультипликативные базисные функции по предложенным системам функций.

В четвертой главе рассмотрены непрерывные и дважды непрерывно дифференцируемые сплайны третьего порядка, обладающие свойством точности на функциях 1, х, еЛх, е~Лх, А > 0. В первом параграфе получены непрерывные сплайны третьего порядка, обладающие свойством точности на функциях 1, х, еАх, е~Ах, Л > 0, позволяющие решать интерполяционную задачу Лагранжа. Получена оценка погрешности приближения. Второй параграф посвящен дважды непрерывно дифференцируемым базисным сплайнам минимального дефекта, обладающие свойством точности на функциях 1, х, еАх1 е~Ах, А > 0. Поставлены интерполяционные задачи. В третьем параграфе рассматриваются приближения мультипликативными координатными функциями на плоскости, а четвертый параграф посвящен числовым примерам, рассмотренных также в работе [34].

Заключает работу Приложение, которое содержит численные эксперименты, графики некоторых базисных функций и тексты программ. Нумерация формул — своя в каждой главе: ссылка из другой главы сопровождается номером главы, отделяемым точкой от номера формулы. Например, ссылка на формулу (1.3.2) означает ссылку на формулу (3.2) главы 1.

1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972.- 316 с.

2. Астраханцев Г.П., Руховец JI.A. Метод релаксации на последовательности сеток для эллиптических уравнений с естественными краевыми условиями // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1981. Т. 21. №4. С. 926 944.

3. Белоусов А.В. Дискретные кубические В-сплайны//Сплайны в вычислительной математике. Сб. трудов иод ред. К).С. Завьялова иB.J1. Мирошниченко. Новосибирск: ИМ СО АН, 1986. С. 72-84.

4. Бурова И.Г. Интерполяция минимальными сплайнами и вариационно-разностные методы: учебное пособие. СПб: Изд-во СПбГУ, 1998. 52 с.

5. Бурова И. Г. Приближения минимальными сплайнами максимального и минимального дефекта // Вестн. С.Петербург, ун-та. Сер. 1. 2005. Вып. 1 С. 9-13.

6. Бурова И.Г. О построении тригонометрических сплайнов // Вестн.C.Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 2. С. 9-14.

7. Бурова И.Г. Минимальные вещественные и комплексные сплай-Hbi//International Conference C)FEA'2001 Optimization of Finite element Approximation Splines and Wavelets. June 25-29 2001

8. Бурова И.Г. Optimization of finite element approximations & splines and wavelets // Proc. of the 2-nd Intern, conference OFEA-2001. St.Petersburg (Russia). June 25-29.2001. St.Petersburg, 2002. C.56-64.

9. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Граничные минимальные сплайны и их применение: Курс лекций. СПб.: Изд-во Петерб. гос. ун-та путей сообщ., 1996. 88 с.

10. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. О построении сглаженных сплайнов с минимальным носителем /'/' Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1983. №13. С. 10-15.И. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Теория миниимальных сплайнов. СПб. 2000. 316 с.

11. Бурова И. Г., Демьянович Ю.К. О сплайнах максимальной гладкости // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2005. Вып. 2. С. 5-9.

12. Бурова И.Г., Дюбина А.В. Приближения с помощью экспоненциальных сплайнов четвертого порядка и максимальной гладкости // Международный семинар "Супервычисления и математические вычисления". Саров. 5-8 октября 2004 г. С. 19-20

13. Бурова И.Г., Дюбина А.В. Построение приближений экспоненциальными сплайнами. // Деп в ВИНИТИ N 221-В2005 от 15 февраля 2005. 12 с.

14. Бурова И.Г., Дюбина А.В. О построении экспоненциальных сплайнов // Труды XXXV науч конф. "Проблемы управления и устойчивость". СПб. 2004. С. 151-157.

15. Бурова И.Г., Евдокимова Т.О. О гладких тригонометрических сплайнах второго порядка // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер 1. Мат., мех., астр. 2004. Вып. 3. С. 13-19.

16. Бурова И.Г., Евдокимова Т.О. О гладких тригонометрических сплайнах третьего порядка // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер. 1. Мат., мех., астр. 2004. Вып. 4. С. 12-23.

17. Вагер Б.Г., Серков Н.К. Сплайны при решении прикладных задач метеорологии и гидрологии. Л.: Гидрометеоиздат, 1987. 160 с.

18. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. Новосибирск, 1983. 215 с.

19. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе.- М.: Мир, 1974.- 126 с.

20. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. 208 с.

21. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций М., 1954. 327 с.

22. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. М., 1984. 303 с.

23. Демьянович Ю. К. Биортогональная система для минимальных сплайнов и решения задач интерполяции // Докл. РАН 2001. Т. 377, N 6. С. 739-742.

24. Демьянович Ю.К. Локальная аппроксимация на многообразии и минимальные сплайны. СПб., 1994. 356 с.

25. Демьянович Ю.К. Об аппроксимации локальными функциями в пространстве с дробными производными // Диф. уравнения и их применение: Тр. семинара. Вып. 11. Вильнюс, 1975. С. 35-48.

26. Демьянович Ю.К. Об аппроксимации пространствами локальных функций // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1977. №1. С. 35-41.

27. Демьянович Ю.К. О построении пространств локальных функций на неравномерной сетке // Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР. 1983. Т. 124. С. 140-163.

28. Демьянович Ю.К., Михлин С.Г. О сеточной аппроксимации функций соболевских пространств // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1973. Т. 35. С. 6-11.

29. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ "Регуля-торная и хаотическая динамика", 2001. 464 с.

30. Желудев В.А. О вейвлетах на базе периодических сплайнов // Докл. РАН. 1994. т. С. 9-13.

31. Жук В.В., Натансон Г.И. К теории кубических периодических спланов по равноотстоящим узлам//Вестн. Ленингр.ун-та. 1984.Т1.С.5-11.

32. Завьялов Ю.С., Квасов В.И., Мирошниченко В.К. Методы сплайн-функций. М. 1980. 352 с.

33. Квасов Б.И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2006. 416 с.

34. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближений. М., 1984. 352 с. 416 с.

35. Малоземов В.Н., Сергеев А.Н. Дискретные непериодические сплайны на равномерной сетке//Тр. С.-Петербург, матем. об-ва. 2000. Т. 8. С. 199-213.

36. Малоземов В.Н., Певный А.Б. Полиномиальные сплайны. Л., 1986. 120 с.

37. Малоземов В.Н., Певный А.Б. Дискретные периодические В-сплайны// Вестник СПбГУ. Сер.1. 1997. Вып. 4 (№19). С. 14-19.

38. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. СПб, М.-Краснодар. 2003. 832 с.

39. Михлин С.Г. Вариационно-сеточная аппроксимация // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1974. Т. 48. С. 32-188.

40. Морозов В.А. Теория сплайнов и задача устойчивого вычисления значений неограниченных операторов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1971. Т. 11. №3. С. 545-558.

41. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. М., 1998. 472 с.

42. Певный А.Б. Дискретные сплайны и вейвлеты: Учебное пособие. Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарского университета, 2004, 166 с.

43. Панкратова Т. В. Freehand 9. Учебный курс.С.-Петербург: Изд-во Питер, 2000, 448 с.

44. Роджерс Д., Адаме Дж. Математические основы машинной графики. М.: Мир, 2001.

45. Рябенький B.C. Об устойчивости конечно-разностных уравнений: Дис. канд. физ.-мат. наук. М., 1952.

46. Рябенький B.C. Метод разностных потенциалов для некоторых задач механики сплошных сред. М., 1987. 320 с.

47. Стечкин С.В., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М. 1976. 248 с.

48. Стечкин С.В., Субботин Ю.Н. Добавления к книге Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения.- М.: Мир, 1972.

49. Стрэнг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М., 1977. 349 с.

50. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М., 1980. 512 с.

51. С. de Boor, К. Hollig, S. Riemenschnieder. Box splines. New York: Springer-Verlag, 1994.

52. Dahmen W., Prossdorf S., Schneider R. Wavelet approximation methods for pseudodifferential equations I: stability and convergence. Preprint W 7. Berlin, 1992.

53. Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets. CBMS-NSF Lecture Notes nr. 61, SI AM, 1992. 351 p.

54. David F. Rogers and J. Alan Adams. Mathematical Elements for Computer Graphics 2nd Ed., McGraw Hill 1990, ISBN 0-07-053530-2

55. Demjanovich Yu.K. New properties of minimal splines // Proceedings of St.-Petersburg Jyvaskyla Seminars of Applied Mathematics and Numerical Analysis. 1992. P. 27-44.

56. Gerald E. Farin. Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design: A Practical Guide, 3rd Edition,Academic Press 1993. ISBN 012-249052-5

57. Hackbusch W. Multi-grid convergence theory // Multi-grid methods. Proc. of the Conf. Held at Koln-Porz. Lecture Notes in Math. 1982. Vol. 960. 170-219 p.

58. Koch P.E., Lyche T. Interpolation with exponential B-splines in tension//Geometric Modeling, Computing Supplementum 8.G. Faring ed al.(eds.) — Wien: Springer-Verlag, 1993.-P.173-190.

59. Mallat S. Multiresolution approximation and wavelet orthonormal bases of L2 // Trans. Amer. Soc. 1989. Vol. 315. P. 69-68.

60. Renka R.J. Interpolation tension splines with automatic selection of tension splines factors//CIAM J. SCI. St. Сотр.- 1987.-Vol.8-P.393-415.

61. Rentrop P. An algorithm for the computation of exponential splines//Numer.Math.— 1980.-Vol.35.-P.81-93.

62. Richard H. Bartels, John C. Beatty, Brian A. Barsky. An1.troduction to Splines for Use in Computer Graphics and Geometric Modeling. Morgan Kaufman Publishers, 1987, ISBN 0-934613-27-3.

63. Sapdis N.S., Kiklis P.D. An algorithm for the constructing convesity and monotonicity preserving splines in tension//Computer Aided Geometric Design.- 1988.-Vol.5.-P.127-137.

64. Strang G., Fix G. Fourier analysis of the finite element method in Ritz-Galerkin theory // Stud. Appl. Math. 1969. Vol. 48. N 3. P. 265273.

65. Schoenberg I.J. Contributions to the problem of approximation of equidistant date by analytic function // Qaurt. Appl. Math. 1946. Vol. 4. Pt A. P. 45-99; Pt B. P. 112-141.

66. Schumacker L.L. Constructive aspects of discrete polinomial spline functions. Approximation Theory (G.G. Lorentz ed.), 1973. P. 469-476.

67. Schweikert D.G. An interpolating curve using a spline tension//G. Math. Phys.—1966.—Vol.45.—P.312-317.

68. Zheludev V.A. Integral representation of slowly growing equidistant splines and spline wavelets. Technical Report 5-96. Tel Aviv University, School of Math. Sciences, Tel Aviv, 1996.Работы автора по теме диссертации:

69. Демина А.Ф. О длительности вычисления приближений функций с особенностью гладкими сплайнами. Proceedings International conference in memory of V.I.Zubov. "Stability and Control Processes". 29.06-1.07.2005. SPb. V.2. p 808-815.

70. Бурова И.Г., Демина А.Ф. О гладких сплайнах с заданным свойством точности//Материалы XXXVII международной научной конференции аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость", 11-13 апреля 2006 г., СПб., с.113-115.

71. Бурова И.Г., Демина А.Ф. О построении гладких интерполяционных сплайнов //Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. 2007. Вып. 1. С. 88-95.