автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Оптимизация рекуррентных моделей временных рядов на основе B-сплайнов 2-го и 3-го порядков

На правах рукописи

Э шаров Элзарбек Асанович

ОПТИМИЗАЦИЯ РЕКУРРЕНТНЫХ МОДЕЛЕЙ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ НА ОСНОВЕ Б-СПЛАЙНОВ 2-го и 3-го ПОРЯДКОВ

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003458206

Томск 2008

003458206

Работа выполнялась на кафедре вычислительной математики и компьютерного моделирования в ГОУ ВПО «Томский государственный университет» и на кафедре прикладной математики в ГОУ ВПО «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Шумилов Борис Михайлович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Лившиц Климентий Исаакович

кандидат физико-математических наук, доцент

Шевелев Геннадий Ефимович

Ведущая организация: Институт математики

им. С.Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится 25 декабря 2008 г. в 10.30 час. на заседании диссертационного совета Д 212.267.12 при ГОУ ВПО «Томский государственный университет» по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ГОУ ВПО «Томский государственный университет» по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 34 а.

Автореферат разослан 24 ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н., профессор

В.И. Смагин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. При решении широкого круга научно-технических задач встречаются явления, которые интересно и важно проследить в их развитии и изменении во времени. Например, в задачах мониторинга окружающей среды, при обработке данных траекторных наблюдений, в задачах слежения и управления на рынке недвижимости. При этом весьма желательно получать результаты обработки получаемых временных рядов с некоторым опережением, т.е. в режиме прогнозирования. Это приводит к необходимости выделения трендов, то есть некоторых функций времени, описывающих изменение характеристик изучаемых явлений (Т. Андерсон, Б.Е. Тривоженко и др.).

Пусть предполагается, что измеряемый процесс Дг) регистрируется в моменты времени /„ /=1,2,..., со случайной погрешностью

Различают две задачи оценивания Д/): восстановление значений тренда в моменты времени /=1, 2,..., при последующей их интерполяции, и восстановление функциональной зависимости Д?) по ограниченному набору измерений у, при последующем ее аналитическом продолжении (Альберт А., Себер Дж.).

Типичной является ситуация, когда параметрическая модель может содержать лишь ограниченное число базисных функций и поэтому не всегда адекватно описывать процесс ДО- Использовать ее для целей прогнозирования можно только тогда, когда изменение тенденции не ожидается.

В противном случае целесообразно использовать параметрические модели, но с переменными параметрами на последовательности разбиений интервала измерения.

Среди моделей с переменными параметрами особый интерес для систем реального времени представляют модели с кусочно-постоянными параметрами и полиномиальным базисом. Этот вид аппроксимации широко используется в различных прикладных задачах вследствие простоты реализации на ЭВМ и возможности использования в системах реального времени. Однако на границах отрезков полученные многочлены являются разрывными функциями. Это порождает нежелательные свойства восстановленной зависимости, так как затрудняет интерпретацию и исследование динамики процесса. Дополнительное требование непрерывности аппроксимирующей функции на границах участков и определенной степени гладкости приводит к использованию сплайн-функций, хорошо зарекомендовавших себя в вычислительной математике.

В данной работе рассматриваются рекуррентные модели временных рядов, представленные в виде полиномиального сплайна. Известные методы

3

построения рекуррентных сплайнов не учитывают свойство точности на многочленах. Поэтому с повышением степени точность аппроксимацион-ного сплайна, как правило, понижается. Более того, трудности с обеспечением сшивки соседних звеньев многочленов полиномиального сплайна не позволяют построить рекуррентные схемы глубины выше 1, что не позволяет в достаточной мере использовать память рекуррентного алгоритма. Поэтому возникает необходимость разработки алгоритмов построения рекуррентных полиномиальных сплайнов, свободных от указанных недостатков.

Цель работы - разработка методов оптимизации рекуррентных моделей временных рядов на основе Л-сплайнов 2-го и 3-го порядков. В связи с этим в работе поставлены следующие задачи:

• Построить серию вычислительных схем рекуррентной аппроксимации сплайнами 2-й и 3-й степени разной глубины.

• Провести оптимизацию рекуррентной аппроксимации сплайнами 2-й и 3-й степени с использованием критерия минимума остаточной дисперсии оценок.

• Разработать теоретическое обоснование использования рекуррентных сплайнов в решении проблемы точечного и интервального прогнозирования

• Исследовать возможность применения рекуррентных методов сплайн-аппроксимации для краткосрочного прогнозирования на рынке жилья при разработке \УеЬ-приложений.

Научная новизна. Кратко можно выделить следующие результаты, которые были получены в ходе выполнения работы:

• Построены рекуррентные схемы, точные на многочленах: случаи 1-ой, 2-ой и 3-ей степени, обоснована устойчивость рекуррентных схем глубины 1,2с применением спектральных свойств устойчивости разностных схем и устойчивость рекуррентных схем произвольной глубины р с применением принципа диагонального преобладания эквивалентных разностных уравнений.

• Вычислена остаточная дисперсия рекуррентных оценок аппроксимаци-онных сплайнов и выполнена оптимизация построенных схем по критерию минимума остаточной дисперсии оценок.

• Обоснована несмещенность рекуррентных сплайн-аппроксимаций для всех рассмотренных случаев.

• Построен интервальный прогноз для случая сплайнов 1-ой степени. Практическое значение работы состоит в том, что метод рекуррентной сплайн-аппроксимации применен к разработке систем автоматизации

проектирования автомобильных дорог и для краткосрочного прогнозирования цен на рынке жилья при создании Web-приложения.

Работа выполнялось на кафедре вычислительной математики и компьютерного моделирования Томского государственного университета в соответствии с основными направлениями НИР в рамках темы 1.12.06 ЕЗН Министерства образования РФ, а также на кафедре прикладной математики Томского государственного архитектурно-строительного университета по научным проектам, поддержанным грантами РГНФ (№ 06-02-64202 а/Т, № 07-02-94773 и/м), РФФИ (№ 07-01-90812 моб_ст.).

Методы исследования. При решении поставленных задач применялись методы теории аппроксимации, теории матриц, теории разностных уравнений, теории вероятностей и математической статистики, а также численное моделирование на компьютере.

Научные положения, выносимые на защиту:

• Построение рекуррентных схем, точных на многочленах: случаи 1-ой, 2-ой и 3-ей степени.

• Обоснование устойчивости рекуррентных схем глубины 1 и глубины 2 с применением спектральных свойств разностных схем и устойчивости рекуррентных схем произвольной глубины р с применением свойства диагонального преобладания.

• Вычисление остаточной дисперсии рекуррентных оценок аппроксимацион-ных сплайнов и оптимизация построенных схем по критерию минимума остаточной дисперсии оценок.

• Обоснование несмещенности рекуррентных сплайн-апроксимаций для всех рассмотренных случаев.

• Построение точечного и интервального прогнозов временных рядов на основе рекуррентных сплайнов первой степени.

Достоверность и обоснованность научных положений и выводов, полученных в диссертационной работе, основана на утверждениях, доказанных с использованием аппарата символьных вычислений, и подтверждается согласием численных результатов с результатами теоретических расчетов.

Апробация работы. Часть работы выполнялась в рамках научных стажировок в Институте математики СО РАН (г. Новосибирск) при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и Российского гуманитарного научного фонда. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры вычислительной математики и компьютерного моделирования механико-механического факультета ТГУ (рук. проф. Старченко A.B.), факультета прикладной математики и кибернетики ТГУ (рук. проф. Горцев A.M.),

5

кафедры прикладной математики ТГАСУ (рук. проф. Колупаева С.Н.) и лаборатории численных методов математического анализа Института математики СОРАН (рук. доц. Мирошниченко B.JI.), а также на ряде всероссийских и международных научных конференций:

VI Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых), Кемерово, 2005; Всероссийской научной конференции молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации», Новосибирск, 2005; Международной научно-практической конференции «Наука та шноваци - 2005». -Дшпропетровськ: Наука i осв1та, 2005; VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых), Красноярск, 2006; V международной научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2006)», Томск, 2006; V Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и современные информационные технологии», Томск, 2007; XIII Международной научно-практической конференции студентов и молодых ученых "Современные техника и технологии", Томск, 2007; VII Международной научно-практической конференции «Интеллектуальные информащонно-телекоммуникационные системы». Томск, 2007; XLV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 2007; Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2007, Новосибирск. 2007; Третьей азиатской международной школе-семинаре «Проблемы оптимизации сложных систем», Новосибирск. 2007; Четвертой сибирской школе-семинаре по параллельным и высокопроизводительным вычислениям, Томск, 2007.

Публикации. По результатам выполненной работы опубликовано 14 печатных работ, из них 1 в журнале, рекомендованном ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.

Личным вкладом диссертанта является вывод теоретических результатов, разработка вычислительных алгоритмов рекуррентной аппроксимации сплайнами третьей степени, а также численное моделирование и анализ полученных результатов.

Постановка изложенных в диссертации задач и формулировка общего подхода к их решению принадлежит научному руководителю соискателя.

В совместной работе с Ярушкиной H.A. автору принадлежит разработка численных методов рекуррентной аппроксимации сплайнами второй степени и их компьютерная реализация. Экономическая интерпретация полученных результатов выполнена соавтором.

Совместная работа с Ивачевой Т.Е. представляет результаты дипломной работы, выполненной под руководством автора на ММФ ТГУ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Материал изложен на 179 страницах, содержит 13 таблиц, 38 рисунков и 3 приложения. Список цитируемой литературы содержит 86 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, показана необходимость получения рекуррентных формул, определены цели и методы исследования и основные отличия работы от работ других авторов, показаны научная новизна и практическая значимость работы, приведены основные результаты апробации работы и краткое содержание диссертации.

В первой главе приведены основные понятия, необходимые для дальнейшего использования при построении рекуррентных сплайн-схем, а также в демонстрационных целях обоснован вывод рекуррентной формулы аппроксимационного сплайна степени 1 глубины 2 и выполнена её оптимизация на основе минимума остаточной дисперсии полученных оценок коэффициентов сплайна.

Определение. Рекуррентным аппроксимационным сплайном S„(t) назовем функцию вида

j--»

с коэффициентами у,, удовлетворяющими рекуррентному соотношению

J0 л, .ЛГ-1,

I-1

и начальным условиям dj = (/), j - -и,...,р — п — 1.

Здесь B'n(t),i = -n,N -1 - нормализованные 2?-сплайны, {А. (/), У = -«,...,/V — 1 j - множество линейных непрерывных функционалов, определенных по значениям функции j{t) на [а,Ь]. Величину р> 1 можно определить как память алгоритма.

Лемма 1.1. Для того чтобы сплайн S„(t) вида (1) с коэффициентами (2) тождественно совпадал с fit) для любой функции fit) из пространства многочленов степени не выше /, р<1<п, необходимо и достаточно выполнения при ц=0,1,..., / равенств

где = ^=(-1)^^(0), = [/,.„ - узлы в

носителе 2?-сплайна степени п дефекта 1;

Функционалы Х,(/) удобно конструировать в виде

к т г=0

где произвольное ти>0 - коэффициент сжатия, ¿>0 - ширина шаблона усреднения, 1 - сдвиг шаблона усреднения, коэффициенты а1г - свободные параметры усредняющего алгоритма, +/+,)„,тг - наблюдения.

Полученные формулы будем называть далее рекуррентными формулами аппроксимационного сплайна степени п.

В частности, при к=0, I-0 диапазон усреднения сосредоточен на одном звене сплайна - получаются схемы рекуррентной аппроксимации со сжатием вида

у. = Е +X

5-1 гЛ

исследованные при р= 1, п=1 в работе Лившица К.И.

При ¿>0, 1=0, /?=1, п= 1 получается семейство рекуррентных алгоритмов с «забеганием» вперед (Лившиц К.И.):

к т ?=0 /■=0

Если т=0, то рекуррентный алгоритм будет использовать только заданные значения сплайна в узлах сетки - при р>0 эта схема представляет собой обобщение локальной аппроксимации сплайнами

р t

При ¿=0, 1= -1, р= 1, и=1 получается рекуррентная схема прогнозирования сплайнами первой степени

т

У,*, = Ьу, +1£агУ,(^,н г.»'= 0.- •

г= 0

Вторая глава посвящена конкретизации общей схемы рекуррентной аппроксимации сплайнами на основе свойства точности на многочленах для сплайнов второй и третьей степени.

В разделе 1 рассматриваются рекуррентные формулы аппроксимации со сжатием (рис. 1) сплайнами степени 2 глубины р= 1,2. Приведено доказательство теоремы точности на многочленах второй степени.

т

т

ш

Рис.

т т т т т

1. График функций 52'(/)

Постановка задачи. Пусть измеряемый процесс /(/) регистрируется в равноотстоящие моменты времени I с шагом измерения А1!т, причем ДО допускает адекватное представление в виде сплайна второй степени и между соседними узлами имеется т-\ измерение. Тогда измеренные значения д* могут быть представлены в виде разложения по Л-с план нам на отрезках [4, 4+1/2]) к=0,1,..., вида:

У,л = ■

1

1 i

2 т

+

Г

т,

2 Л

Ук-

1

+ — 2

1 г

— + —

2 т

\2

У к +

где i=0, ..., т/2 и на отрезках [4+1,-2, 4+1] - вида:

-+1

У. +

1 (1

(1)

(2)

где /=/и/2+1, ...,т, ^¿-погрешность измерения.

Сначала для нахождения оценок ук коэффициентов разложения квадра-тического сплайна будем использовать рекуррентный фильтр глубины 1, требующий вычисления оценки очередного коэффициента ук через уже известный у^ 1 с учетом наблюдений, поступивших с Аг-го этапа. При этом к-я группа наблюдений не влияет на значения оценок коэффициентов уо, ...,ук-\, вычисленных ранее. Такой фильтр можно определить соотношением

У к = \ Ук-, + Л*»к = 2' -

(3)

где уо - начальное условие, которое может быть получено по МНК на первом шаге, т - количество измерений на каждом звене сплайна, у,<к - наблюдения, поступающие с к-го этапа, коэффициенты а, - свободные параметры рекуррентного усредняющего алгоритма.

9

Теорема 2.1. Пусть для заданного т коэффициенты А.,, а, удовлетворяют условиям

±а,=1-К ±а,('/>п) = 1 Ха(^)г=(>-,-3)/4. (4)

1=0 /«О <=0

|Я.,|<1. (5)

Тогда коэффициенты ук аппроксимационного сплайна степени 2 глубины 1, определенные по алгоритму (3) вычисляются устойчивым образом.

Сплайн, построенный в условиях теоремы 2.1, обеспечивает точность на многочленах второй степени.

В отличие от рекуррентного фильтра глубины 1, для нахождения оценок Ук коэффициентов разложения квадратического сплайна будем использовать рекуррентный фильтр глубины 2, требующий вычисления оценки очередного коэффициента ук через уже известные коэффициенты укА, % 2 с учетом наблюдений поступивших с к-го этапа. При этом к-я группа наблюдений не влияет на значения оценок коэффициентов уо, ..., у к-и вычисленных ранее. Такой фильтр можно определить соотношением

т

где уо, у\ - начальные условия, которое может быть получено по МНК на первом шаге, т - количество измерений на каждом звене сплайна, у,гк - наблюдения, поступающие с £-го этапа, коэффициенты Х2, а, - свободные параметры рекуррентного усредняющего алгоритма.

Теорема 2.2. Пусть для заданного т коэффициенты Хь 12, а, удовлетворяют условиям

+ К = (7)

73? 73> т 7^ \т) 4

X,2 +4Х.2 >0; |А,,| + |А.2|<1. (8)

Тогда коэффициенты ук аппроксимационного сплайна степени 2 глубины 2, определенные по алгоритму (6) вычисляются устойчивым образом.

Сплайн, построенный в условиях теоремы 2.2, обеспечивает точность на многочленах второй степени.

В разделе 2 рассматриваются рекуррентные формулы аппроксимации со сжатием сплайнами степени 3, численные примеры и эксперименты.

В диссертации отдельно рассмотрены рекуррентные формулы аппроксимации сплайнами третьей степени глубины р= 1, 2 и произвольной глубины р. Здесь сразу представлены рекуррентные формулы аппроксимации сплайнами степени 3 произвольной глубины р.

Постановка задачи. Пусть процесс Д/) допускает адекватное представление в виде разложения по В-сплайнам третьей степени. Тогда измеренные значения у,на отрезках ¿=0,1,..., имеют вид:

^ = 6

.• л3

^ И;

Ук-\ +

1

+ — 2

1 i

- + — +

3 т

ytnj

Í-T

<т) з

2{т

: Л3

Ук+\ +"

'-У

(9)

У i* 2

где - погрешности измерения.

Для нахождения оценок % коэффициентов сплайна в общем случае будем использовать рекуррентный фильтр глубины р, с шаблоном усреднения ширины от+1;

р т

й^ХЧА^+Х^м' к = р~\,р,..., (10)

1=0

где начальные условияуь к = -1,0, ..., р-2, определяются по измеренным значениям у{() на начальных отрезках, например, по способу наименьших квадратов, т - количество измерений на каждом звене сплайна, у,,ж - наблюдения, поступающие с (¿+1)-го этапа, коэффициенты а, - свободные параметры рекуррентного усредняющего алгоритма.

Теорема 2.5. Пусть для заданного т коэффициенты Хч, а, алгоритма (10) удовлетворяют условиям

(П)

Í> = 1 ~£К. Ía,(i/mf=2/3-£\{2 + 6q + 3q%

1.0 ,=1 1=0

í=0 ,=0 qx I

tw |<1 (12)

,.1

Тогда коэффициенты yk аппроксимационного сплайна степени 3 произвольной глубины р, вычисляются устойчивым образом.

Сплайн, построенный в условиях теоремы 2.5, обеспечивает точность на многочленах третьей степени.

В разделе 3 рассмотрена рекуррентная аппроксимация кубическими сплайнами по заданным значениям в узлах сетки.

Пусть S¡(t) - кубический сплайн с узлами на сетке Д: t¡=c&ih, i = 0, 1,..., N, h-(b-a)/N и запишем по системе центрированных кубических 5-сплайнов (см. рис. 2)

Л+1

5,(0 = £^(0, /еМ].

/—I

О- О"' О 0+1

Рис. 2. Графики функций

Коэффициенты сплайна задаются в виде рекуррентной зависимости

+!>/(<,-.Л (13>

(«О

где произвольное р - глубина рекурсии, »г- ширина шаблона усреднения, к - сдвиг шаблона усреднения, коэффициенты а„ - свободные параметры рекуррентного усредняющего алгоритма.

Теорема 2.6. Пусть для заданного шага сетки к и ширины шаблона усреднения т, коэффициенты сплайна у, определяются по алгоритму (13), где коэффициенты \ и а, удовлетворяют условиям

/=0

9=1

(=0

з £ V з.

т р т р / \

1=0

о=1

при

1=0

9=1

(14)

(15)

Тогда коэффициенты^ аппроксимационного сплайна степени 3 вычисляются устойчивым образом и являются асимптотически несмещенными при у—«о.

Сплайн, построенный в условиях теоремы 2.6, обеспечивает точность на многочленах третьей степени.

Приведены численные примеры, которые представляют собой обобщение известной схемы локальной аппроксимации, когда глубина р = 0 (рекурсивное слагаемое отсутствует) ир=1.

Случай 1. Пусть р=О, значения т=3, к=2. В результате имеем 4 неизвестных значения а0, аь а2, аз для определения которых требуется решить систему линейных алгебраических уравнений вида

а0+а1 + а2 + а3-1, ~ 2а0 - а, + а3 - О, 4а0 +а, +а3 --1/3, - 8а0 - а, + а3 = 0.

Детерминант матрицы системы равен 12, поэтому существует единственное решение а0=0, а\= -1/6, йг2=4/3, а3- -1/6, и оно совпадает с локальной аппроксимацией.

Случай 2. Пусть р= 1, ти=2, ¿=1. В результате имеем 4 неизвестных значения ай, аи а2, для определения которых требуется решить систему линейных алгебраических уравнений

а0 + а, + аг + А,, = 1, -ай + а2-Хх =0, \ 1

-ай + а2 = 0.

Детерминант матрицы системы равен 2, поэтому существует единственное решение аа~ -1/6, а 1=4/3, а2= -1/6, )ч=0, и оно также совпадает с локальной аппроксимацией.

Случай 3. Пусть теперьр=1, т= 3, ¿=3. В результате имеем 5 неизвестных значений а0, аь а2, для определения которых требуется решить недоопределенную систему 4-х линейных алгебраических уравнений

а0 + а1+а2+а3

<

9а0 + 4а, + а2 = -1/3-^/3,

-27а0 -8а, -а2 = 0.

Детерминант матрицы системы равен 12, поэтому существует общее решение, зависящее от параметра

2 1 •»

---1-—А,, а, :

6 6 1 2

5

---А,, а,

6 3 1 3

2 1 1 3 6 1

В частности, при =0 получаем неизвестную ранее 4-х точечную схему локальной аппроксимации

д0 = 1/6, ах = -2/3, а2 =5/6, а3 = 2/3.

Случай 4. Пусть теперь р= 1, т=3, к=2. В результате имеем 4 неизвестных значений а0, аи а2, аъ, >,ь для определения которых требуется решить недоопределенную систему 4-х линейных алгебраических уравнений

а0+а,+а2 + о3+Х,1 =1,

-2 а0 -а, +а3~\ =0,

4 а0 + а, + аъ +2Х.,/3 = -1/3, -8о0 -о, +а3 =0.

Детерминант матрицы системы равен 12. Существует общее решение, зависящее от параметра Я,]-.

__1_

" 6 24

2 X,

- +

29

' ^ ~ 6 +24:

-2Х,

4

3 12' * 6 24' ' 3 В частности, при Я,] =0 получаем еще одну неизвестную ранее 4-х точечную схему локальной аппроксимации

а0 = -1/24, «1= 1/12, а2 =29/24, а3 = - 1/4. Графики полученных значений коэффициентов в зависимости от при Рч|<1 представлены на рис. 3.

Рис. 3 Графики коэффициентов а<>, а\, а2 и аз в зависимости от при ¡Х^!

Таким образом, получено два класса рекуррентных вычислительных процессов, удовлетворяющих условию устойчивости |х,1|<1, оценки коэффициентов ^ экспериментальной зависимости, представленной в виде сплайна третьей степени. Это допускает проведение дополнительной оптимизации по (например, согласно критерию минимума погрешности аппроксимации на многочленах четвертой степени). При этом минимальное запаздывание -И обеспечивается для второй схемы при аз=0 (соответственно, 3/8, | Х.11 <1), что предоставляет возможность устойчивого прогнозирования измеренных сеточных значений на шаг вперед.

14

В третьей главе рассмотрено математическое описание рекуррентного сплайн-преобразования данных с погрешностями.

Пусть в модели измерения (1), (2) погрешности - некоррелированные случайные величины с нулевым средним и конечной дисперсией о2, т.е. удовлетворяют условиям М(^к)=0, М(^асЛ;.)=5,/52, Здесь М означает операцию вычисления математического ожидания, - символ Кронекера.

Теорема 3.1. В условиях теоремы 2.2 оценки ук параметров квадратиче-ского сплайна (3) являются несмещенными и имеют дисперсию при к—юэ

2 т

!>&} =—(16)

1-Х

1

Так как остаточная дисперсия оценок зависит от коэффициентов а, и дисперсии о2, то естественно определить такие параметры, которые минимизировали бы величину

(17)

1 ~ Л, |=о

удовлетворяя при этом условиям точности на многочленах (4) и устойчивости (5). Решение поставленной задачи дает следующая теорема.

Теорема 3.2. При заданной дисперсии ошибок измерения о2 оптимальные параметры алгоритма (3), минимизирующие (17) при условиях (4) и (5), имеют вид: а) при т-2

Х{ =-2л/2+3*0.172,

Зд/2г + 41 - 2 - 2-У2г'2 - 2? + 2;'г . л,„ (18,а)

а, =---, 2=0,1,2.

4

Дисперсия, соответствующая оптимальным параметрам (18, а), имеет значение

¡2

В{ук} = — а2 «0.707о2;

б) при/и=10

373

X. -—-у/34710 - ——и-0.023, 1 17 17 (18,6)

а, = 1.88451 - 0.596/2 - 0.596, г = (Щ,

Дисперсия, соответствующая оптимальным параметрам (18, б), имеет

значение

429/я

в) при т—>»

X, = -7 + 4 л/з~»-0.072, а,=а- + аХ,—+5|—--1 . (18,в)

/я от \т 2)

Дисперсия, соответствующая оптимальным параметрам (18, в), имеет значение

= (19)

т т

Теорема 3.3. Пусть в модели измерения (1), (2) погрешности - некоррелированные случайные величины с нулевым средним и конечной дисперсией о2, т.е. удовлетворяют условиям М(^1ук)=0,

Тогда в условиях теоремы 2.2 оценки являются несмещенными и имеют дисперсию

/>&} = —— I«.1.

Так как остаточная дисперсия оценок 0{ук} зависит от коэффициентов Х,ь 12> а, и дисперсии о2, то естественно определить такие параметры, которые минимизировали бы величину

У{КХг,а,)= 1 (21)

удовлетворяя при этом условиям точности на многочленах (7) и устойчивости (8). Решение поставленной задачи дает следующая теорема.

Теорема 3.4. При заданной дисперсии ошибок измерения а2 оптимальные параметры алгоритма (6), минимизирующие остаточную дисперсию оценок (21) при условиях (7) и (8), имеют вид при т—>со

X, = — » -0.016, Х2 = — я -0.047,

1468 1468

/ . Л! 4

I г.т-1 у! "

а, =а—+ р-+ 5

т т

±_1 т 2

Дисперсия, соответствующая оптимальным параметрам, имеет значение

П{ук}*3-^. (23)

т

Полученных результатов достаточно, чтобы сделать вывод о том, что остаточная дисперсия оценок уменьшается с увеличением глубины сплайн-фильтра.

Аналогичные теоремы доказываются для кубического сплайна.

Пусть в модели измерения (9) погрешности ^ - некоррелированные случайные величины с нулевым средним и конечной дисперсией о2, т.е. удовлетворяют условиям М(с1к)=0, Здесь М означает опера-

цию вычисления математического ожидания, - символ Кронекера.

Теорема 3.5. В условиях теоремы 2.3 оценки ук параметров кубического сплайна (10) являются несмещенными и имеют дисперсию при к—>со

= (24)

1-Я," '=' 1

Так как остаточная дисперсия оценок зависит от коэффициентов 1и а, и дисперсии о2, то естественно определить такие параметры, которые минимизировали бы величину

1

^.ЬтЛтЕ*.2' (25)

1 - Л-1 1=0

удовлетворяя при этом условиям точности на многочленах (11) и устойчивости (12). Решение поставленной задачи дает следующая теорема.

Теорема 3.6. При заданной дисперсии ошибок измерения о2 оптимальные параметры алгоритма (10), минимизирующие остаточную дисперсию оценок (24) при условиях (11) и (12), имеют вид при т—>со

19568-л/357171295 „ п;

/ . \2 / . \з

/

I

--—:-»0.132, а, =а + р— + 5 — + Ш — . (26)

5073 т \т у \т)

Дисперсия, соответствующая оптимальным параметрам (26), имеет значение

п/„ 188.285 2

0\ук}«-о2. (27)

т

Пусть в модели измерения (9) погрешности ^ - некоррелированные случайные величины с нулевым средним и конечной дисперсией о2, т.е. удовлетворяют условиям 0, Здесь М означает опера-

цию вычисления математического ожидания, - символ Кронекера.

Теорема 3.7. В условиях теорема 2.5 оценки ук параметров кубического сплайна (10) являются несмещенными и имеют дисперсию при к-><х>

2 т

9=1

1=1

Таким образом, получен устойчивый рекуррентный вычислительный процесс оценки параметров у^ экспериментальной зависимости, представленной в виде сплайна третьей степени.

Так как остаточная дисперсия оценок D\yCs зависит от коэффициентов а, и дисперсии о2, то естественно определить такие параметры, которые минимизировали бы величину

1 V „2

а, ) =---, (29)

ч=I

удовлетворяя при этом условиям точности на многочленах (11) и устойчивости (12). Решение поставленной задачи для случая р=2 дает следующая теорема.

Теорема 3.8. При заданной дисперсии ошибок измерения а2 оптимальные параметры алгоритма (10), минимизирующие остаточную дисперсию оценок (29) при условиях (11) и (12), имеют вид при т» 1

а, =а+р—— +ц — , т \т) \т)

где

296-1976 Л,-5816Аг п -3120+22500 Я,- 67440 Х2

(30)

а= р =

т т

с 7260-54600X., -165300Я., -4620+35700?.,+108780А., § =-!-1> р =-!-2..

т т

Дисперсия, соответствующая оптимальным параметрам (30), ограничена сверху значением

88.863

-о2.

т

В четвертой главе рассмотрена рекуррентная схема прогнозирующего сплайна 1-й степени и выполнена её оптимизация на основе минимума остаточной дисперсии коэффициентов, разработан метод краткосрочного прогнозирования цен на рынке жилья на основе рекуррентных сплайнов. Рассмотрено построение точечного и интервального прогнозов на основе сплайнов 1-й степени и рассматриваются результаты численных экспериментов. Проводится сравнение полученных результатов с другими методами прогнозирования.

С целью прогнозирования можно рекомендовать любую рекуррентную схему, для которой дополнительно на каждом участке выполняется линейное продолжение (рис. 4).

к, ■■ ■> 4-ь 4, 4+1

Рис 4 —►Прог ноз по линейному продолжению рекуррентного сплайна; —► Расчет коэффициента В-сплайна по схеме прогнозирования

Оптимальные результаты дает применение рекуррентного сплайн-фильтра по схеме прогнозирования (рис. 4), когда для нахождения оценок коэффициентов сплайна используется рекуррентный алгоритм глубины 1, требующий пересчета коэффициента ук+\ через известный ук с учетом наблюдений, поступивших с (£-1)-го участка

т

Ум = \ к + £в- У«-ч- > к = \, 2,- (31)

1=0

(см. рис. 5, где изображены также графики соответствующих В-сплайнов 1-й степени).

¡к-1 & 4+1

Рис. 5 Жирным - выделен участок расчета коэффициента (£+1)-го В-сплайна, пунктиром -участок прогноза с использованием найденного коэффициента

При этом (к-1 )-я группа измерений не влияет на значения оценок коэффициентов у0, ...,ук, вычисленных ранее, причем значения у0,у\, определяются, например, по МНК на начальном шаге сплайна.

Теорема 4.1. Пусть параметры алгоритма (31) удовлетворяют условиям

т т •

£ а,=\-\, £-*,= 2-Х,, (32)

1=0 1=0 т

М<1. (33)

Тогда оценки ук вычисляются устойчивым образом, являются при А/—>0 асимптотически несмещенными и имеют дисперсию при к-><х>

При этом сплайн, построенный в условиях теоремы 4.1, то есть у которого оценки коэффициентов % определены соотношением (31), обеспечивает точность на многочленах первой степени.

Дисперсия (34) оценок коэффициентов % в условиях теоремы 1 зависит при к » 1 только от параметров самого алгоритма и а, и дисперсии с2. Поэтому естественно определить такие параметры алгоритма, которые минимизировали бы величину

(35)

I- Л, ,=о

давая при этом несмещенные оценки коэффициентов, то есть, удовлетворяя условиям (32) и оставаясь при этом устойчивыми (33). Решение поставленной задачи дает следующая теорема.

Теорема 4.2. Оптимальные параметры алгоритма (31), минимизирующие (35) при условиях (32), (33), при т» 1 имеют вид

. 13-л/78 (8 + л/78 )(бг + бот - »гл/78)

=-=-. а, = 1-и—-2-1 ■ (36)

7 1т

Дисперсия, соответствующая оптимальным параметрам (36) имеет вид

_2 -819 + 14л/78 (37)

о{Ук)=а--г—'

(-3909 + 445л/78)от

В разделе 2 рассмотрено построение точечного и интервального прогнозов на основе сплайнов 1-й степени.

Принципиальная разница между прогнозированием по 5-сплайну и прогнозированием по многочлену состоит в том, что прогнозирование по 5-сплайну сходит на нуль, а прогноз по многочлену выполняется его линейным продолжением (рис. 4).

При наличии случайной колеблемости уровней коэффициенты уравнения сплайна содержат ошибки. Тогда можно рассчитать доверительные границы, внутри которых с заданной, достаточно большой вероятностью проходит линия тренда. Такой прогноз называется интервальным прогнозом (рис. 6).

к ... 4-1 4 4+1

Рис. 6 Прогноз по многочлену и интервальный прогноз 20

Теорема 4.3. Пусть тренд выполняется линейным продолжением рекур-ентного сплайна 1-й степени. В точке 4 средняя квадратическая ошибка

юложения линии тренда равна ошибке коэффициента сплайна, т.е. а, а в

4т

побой иной точке тренда его средняя ошибка вычисляется как

о 147351 г Г" /. ,ч12 936(8-439), Г

Вывод: дисперсия коэффициента оптимальной схемы меньше, чем дисперсия родолжения сплайна на шаг вперед по простой схеме, хотя исходные данные еругся одинаковые.

В диссертационной работе приведены сравнения результатов, полученных по ростому и оптимальному рекуррентным алгоритмам, методу Брауна и «наив-ому методу», а также получена итоговая погрешность применяемых методов по КО и статистике Тейла.

В заключении сформулированы основные результаты по диссертаци-нной работе, приводимые ниже.

В соответствии с поставленными целями в работе получены следующие езультаты:

. Предложена и исследована серия вычислительных схем рекуррентной аппроксимации, точной на многочленах, сплайнами 2-й и 3-й степени разной глубины.

. Показана общая схема рекуррентной аппроксимации сплайнами на основе свойства точности на многочленах, получены условия характеризации для рекуррентного сплайн-фильтра степени 2 глубины 1, 2 и степени 3 глубины 1,2 и произвольной глубины р. . Доказаны теоремы устойчивости, несмещенности и оценки дисперсии коэффициентов рекуррентных сплайнов степени 2 глубины 1, 2 и степени 3 глубины 1 и произвольной глубины р. . Выполнена оптимизация рекуррентных сплайнов по критерию минимума дисперсии коэффициентов и получены оценки дисперсии коэффициентов оптимальных рекуррентных сплайнов степени 2 и 3 глубины /7=1,2.

5. Разработан метод краткосрочного прогнозирования временных рядов на основе рекуррентных сплайнов. Приложение состоит из трех частей: Приложение 1. Табличные данные.

Приложение 2. Разработанное \УеЬ-приложение. Страницы пользователя. Приложение 3. Акты внедрения

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Эшаров Э.А. Рекуррентная сплайн-аппроксимация степени 3 произвольной глубины р И Вычислительные технологии. - 2008. - Т. 13. -Вып. 4.-С. 131-137.

2. Эшаров Э.А. Оптимизация инвестиционного портфеля на рынке недвижимости // Проблемы оптимизации сложных систем: Материалы Третьей азиатской международной школы-семинара. Труды ИВМиМГ СО РАН. Сер. Информатика. - 2007. - Вып. 7. - С. 317-323.

3. Эшаров Э.А. Две 4-точечные схемы прогнозирования рекуррентными кубическими сплайнами // Студент и научно-технический прогресс. Математика: XLIV Международная научная студенческая конференция / Новосиб. гос. ун-т. - Новосибирск, 2006. - С. 183-184.

4. Эшаров Э.А. Оценка погрешности и примеры рекуррентного сплайна третьей степени глубины 2 // Студент и научно-технический прогресс. Математика: XLIV Международная научная студенческая конференция / Новосиб. гос. ун-т. - Новосибирск, 2007. - С. 213.

5. Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Нестационарные сплайн-вейвлеты в ГИС и САПР линейно-протяженных пространственных объектов // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета.

- 2006. - № 1 (12).-С. 153-163.

6. Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Устойчивость рекуррентных сплайнов степени 3 глубины 2 // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям / отв. ред. М. Иманалиев; Институт математики HAH Кыргызской Республики. - Бишкек: Илим, 2007. - Вып. 36. - С. 54-61.

7. Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Рекуррентные сплайн-фильтры // Четвертая Сибирская школа-семинар по параллельным и высокопроизводительным вычислениям / под ред. A.B. Старченко. - Томск: Дельтаплан, 2008,-С. 218-233.

8. Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Построение эрмитовых сплайн-вейвлетов // Вестник Томского государственного университета. Сер. Математика. Кибернетика. Информатика. Приложение. - 2006. - № 19. - С. 260-266.

9. Ярушкина H.A., Эшаров Э.А. Моделирование временных рядов методом рекуррентной сплайн-аппроксимации степени 2 глубины 2 // Моделирование неравновесных систем - 2005: VIII Всероссийский семинар.

- Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2005. - С. 210-212.

Ю.Ивачева Т.Е., Эшаров Э.А. Анализ и краткосрочное прогнозирования стоимости жилья рекуррентными квадратическими сплайнами. // VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых): программа и тез. докл. - Красноярск, 2006. - С. 50.

П.Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Моделирование временных рядов методом рекуррентной сплайн-аппрокцимации степени 3 глубины 1 // Наука та шновацн -2005. Техшчш науки: Международная научно-практическая конференция. - Дншропетровськ: Наука I освгга, 2005. -Т. 1.-С. 114-116.

12.Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Вопросы анализа и прогнозирования цен на рынке недвижимости томской области // Молодежь и современные информационные технологии: сб. трудов V Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. -Томск: Изд-во ТПУ, 2007. - С. 204-206.

13.Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Анализ и прогнозирование цен на региональном рынке жилья // Современные техника и технологии: XIII Международная научно-практическая конференция студентов и молодых ученых. - Томск: Изд-во ТПУ, 2007. - С. 481-483.

14.Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Метод рекуррентного сплайн-прогнозирования степени 3 глубины 1 // VI Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых): программа и тез. докл. - Кемерово, 2005. - С. 27.

Тираж 100 экз. Отпечатано в КЦ «Позитив» 634050 г. Томск, пр. Ленина 34а

ВВЕДЕНИЕ.

1. БАЗИСНЫЕ СПЛАЙНЫ И ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1. Нормализованные базисные сплайны.

2. Непараметрические модели экстраполяции временных рядов.

2.1. Приведение непараметрической модели временного ряда к рекуррентному виду (Метод движущихся средних).

3. Рекуррентные схемы аппроксимации сплайнами 1-й степени.

3.1. Рекуррентные формулы аппроксимационного сплайна степени 1 глубины

3.2. Оптимизация рекуррентного аппроксимационного сплайна степени 1 глубины

4. Общая схема рекуррентной аппроксимации сплайнами на основе свойства точности на многочленах.

4.1. Доказательство теоремы 1.2.

4.2. Рекуррентные формулы аппроксимационного сплайна степени 1 глубины 2.

4.3. Оптимизация рекуррентного аппроксимационного сплайна степени 1 глубины 2.

5. Вычислительные основы рекуррентных алгоритмов, использующих В-сплайны.

6. Выводы по 1-й главе.

2. РЕКУРРЕНТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ КВАДРАТИЧЕСКИМИ И КУБИЧЕСКИМИ СПЛАЙНАМИ

1. Рекуррентные формулы аппроксимации со сжатием сплайнами степени 2.

1.1. Рекуррентные формулы аппроксимации со сжатием сплайнами степени 2 глубины

1.2. Рекуррентные формулы аппроксимации со сжатием сплайнами степени 2 глубины 2.

1.3. Численные примеры и результаты экспериментов.

2. Рекуррентные формулы аппроксимации со сжатием сплайнами степени 3'.

2.1. Рекуррентные формулы аппроксимации со сжатием сплайнами степени 3 глубины

2.2. Рекуррентные формулы аппроксимации со сжатием сплайнами степени 3 глубины 2.

2.3. Рекуррентные формулы аппроксимации со сжатием сплайнами степени 3 произвольной глубины р.

2.4. Численные примеры и результаты экспериментов.

3. Рекуррентная аппроксимация кубическими сплайнами по заданным значениям в узлах сплайна.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Теорема характеризации.

3.3. Численные примеры и результаты экспериментов.

4. Выводы по 2-й главе.'.

3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ РЕКУРРЕНТНОГО СПЛАЙН ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДАННЫХ С ПОГРЕШНОСТЯМИ

1. Постановка задачи.

2. Оценки дисперсии коэффициентов рекуррентных сплайнов степени 2 в случае аппроксимации данных с погрешностями-.

2.1. Оценка дисперсии коэффициентов рекуррентных сплайнов степени 2 глубины

2.2. Оптимизация рекуррентных сплайнов степени 2 глубины

2.3. Оценка дисперсии коэффициентов рекуррентных сплайнов степени 2 глубины 2.

2.4. Оптимизация рекуррентных сплайнов степени 2 глубины 2.

3. Оценки дисперсии коэффициентов рекуррентных сплайнов степени 3 в случае аппроксимации данных с погрешностями.

3.1. Оценка дисперсии коэффициентов рекуррентных сплайнов степени 3 глубины

3.2. Асимптотическая оптимизация рекуррентных сплайнов степени 3 глубины

3.3. Оценка дисперсии коэффициентов рекуррентных сплайнов степени

3 глубины р.

3.4. Асимптотическая оптимизация рекуррентных сплайнов степени 3 глубины 2.

4. Выводы по 3-й главе.

4. РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ КРАТКОСРОЧНОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СПЛАЙНОВ

1. Рекуррентная схема прогнозирования сплайнами 1-й степени.

1.1. Вывод рекуррентных формул прогнозирующего сплайна степени 1 глубины 1.

1.2. Оптимизация рекуррентного прогнозирующего сплайна степени 1 глубины 1.

2. Построение интервального прогноза.

3. Результаты численных экспериментов (Сравнение с методом Брауна и другими стандартными методами прогнозирования).

4. Примеры прогнозирования на основе рекуррентных сплайнов.

4.1. Прогнозирование цен на рынке жилья на основе рекуррентных сплайнов для случая степени

4.2. Прогнозирование цен на рынке жилья на основе рекуррентных сплайнов для случая степени 2.

5. Разработка метода краткосрочного прогнозирования цен на рынке жилья на основе рекуррентных сплайнов.

5.1. Экономическая модель выделения тренда из стоимости жилья

6. Выводы по 4-й главе.

Актуальность работы. При решении широкого круга научно-технических задач встречаются явления, которые интересно и важно проследить- в их развитии и изменении во времени. Например, в задачах мониторинга окружающей среды, при обработке данных траекторных наблюдений, в задачах слежения и управления на рынке недвижимости. При этом весьма желательно получать результаты обработки получаемых временных рядов с некоторым опережением, т.е. в режиме прогнозирования. Это приводит к необходимости выделения трендов, то есть некоторых функций времени, описывающих изменение характеристик изучаемых явлений. Данному направлению посвящено много работ, из них выделим основные монографии [4, 9-11, 28, 51, 52].

Пусть предполагается, что измеряемый процесс flj) регистрируется в моменты времени th i= 1,2, ., со случайной погрешностью yrAtd+^ (1)

Различают две задачи оценивания J{t): восстановление значений тренда в моменты времени th i=I, 2, . и восстановление функциональной зависимости flj) по ограниченному набору измерений yh i— 1, ., п. В соответствии с этим для построения оценки f(t) функции f{t) могут использоваться непараметрические и параметрические методы оценивания. Непараметрические методы не предполагают связи оценки с некоторым базисом (координатными функциями), и выделяемый тренд представляется в виде дискретных значений восстановленной функции J{t). Параметрические методы оценки сводятся к вычислению некоторой заданной функции fit), зависящей от вектора неизвестных параметров а={аь а2,., а*}. Наиболее употребительный вид функции

Дг,а) = £ауфу(0> (2)

У=1 где (pj{t) ~ заданные базисные функции, а а,- — определяются из условия а^тт-/(¿(., а)]2, п а

3) а например, классический метод наименьших квадратов (МНК). Естественно, что при этом базисные функции, представленные набором своих измерений, восстанавливаются точно, т.е. с нулевой погрешностью.

Получающаяся задача хорошо исследована (см. монографии [3, 40]), но большинство разработанных методов работают в условиях апостериорного оценивания, т.е. когда априорной информации достаточно для получения состоятельных оценок а и построения простой параметрической модели (2) при малом к.

Типичной является ситуация, когда модель (2) может содержать лишь ограниченное число координатных функций и поэтому не всегда адекватно описывать процесс /(/). Например, для развивающихся рынков жилья различных городов закономерность изменения стоимости жилья имеет вид [43] где Г — средняя за период цена, t — порядковый номер периода, А, В, С -параметры модели. Использовать ее для целей прогнозирования можно только тогда, когда изменение тенденции не ожидается.

В противном случае целесообразно использовать модели типа (2), но с переменными параметрами а(7) на последовательности разбиений интервала измерения [28, 48].

Среди моделей с переменными параметрами особый интерес для систем реального времени представляют модели с кусочно-постоянными параметрами и полиномиальным базисом. Этот вид аппроксимации широко используется в различных прикладных задачах вследствие простоты реализации на ЭВМ и возможности использования в системах реального времени [1, 22, 31]. Однако на границах отрезков полученные многочлены являются разрывными функциями. Это порождает нежелательные свойства восстановленной зависимости, так как затрудняет

4) интерпретацию и исследование динамики процесса. Необходимо дополнить кусочно-многочленную аппроксимацию условиями, обеспечивающими непрерывность аппроксимирующей функции на границах участков и определенную степень гладкости. Такой подход приводит к использованию сплайн-функций, хорошо зарекомендовавших себя в вычислительной математике [2, 13-15, 18-21, 24, 25, 27, 30, 34, 39].

Основные достоинства сплайн-функций состоят в том, что они устойчивы относительно локальных возмущений, т.е. поведение сплайна в окрестности некоторой точки не оказывает существенного влияния на поведение сплайна в целом, как это имеет место в многочленной аппроксимации [24], а также хорошие свойства сходимости сплайнов для функций невысокой гладкости. И, наконец, заданная степень гладкости сплайна уменьшает количество оцениваемых параметров а по сравнению с кусочно-многочленной аппроксимацией. Все это делает целесообразным использование сплайн-функций для оценивания трендов случайных процессов с нерегулярными свойствами гладкости при наблюдении в реальном масштабе времени.

Для непараметрических методов оценивания, работающих в реальном масштабе времени, доказывается возможность построения рекуррентных моделей временных рядов [9, 10]. Использование рекуррентных сплайн-моделей временных рядов в сочетании с моделями множественной регрессии, устраняя имеющиеся недостатки непараметрических моделей, дает возможность обрабатывать эмпирические данные в реальном масштабе времени, опираясь при этом на методы факторного анализа, позволяющие решать такие задачи, как:

• отыскание скрытых, но объективно существующих закономерностей, которые определяются воздействием внутренних и внешних причин на изучаемый процесс;

• сжатие информации путем описания процесса при помощи общих факторов или главных компонент, число которых значительно меньше количества первоначально взятых признаков;

• выявление и изучение статистической связи признаков с факторами или главными компонентами. Руководитель же после выявления признаков, наиболее тесно связанных с данным фактором, может выработать научно-обоснованное управляющее решение, способное повысить эффективность функционирования процесса;

• гладкое восполнение и прогнозирование хода развития процесса на основе уравнения регрессии; уравнения регрессии, построенные при помощи результатов, полученных в факторном или компонентном анализе, обладают значительными преимуществами перед классическим регрессионным анализом [50].

Как известно, задача прогнозирования относится к числу плохо обусловленных задач в математике. Прогнозы можно разделить на длительные, среднесрочные и краткосрочные. Математическая теория по длительным прогнозам пока не существует. Среднесрочное прогнозирование обеспечивается построением нелинейной авторегрессии, включая применение детерминированного хаоса и нейро-сетевого моделирования [36]. Что касается краткосрочных прогнозов, то вполне уместно применять кусочно-многочленные (сплайновые) модели.

Методологическая предпосылка экстраполяции состоит в признании преимущественной связи между прошлым, настоящим и будущим. Суть методов прогнозирования состоит в том, чтобы по данным наблюдений предсказать будущее значение измеренных характеристик, или, более подробно, г-ый элемент представить как некоторую функцию от т предшествующих.

Однако существующие фундаментальные теории прогнозирования экономических систем обнаруживают ограничения в решении проблемы прогноза [8]. Наиболее перспективный подход в моделировании нестационарных экономических явлений основан на теории динамических систем. Основой нелинейно-динамического подхода является учет внутренних особенностей системы, в отличие от статистических методов, в которых все факторы полагаются случайными и неопределенными. Нелинейная динамика позволила предложить несколько действительно новых подходов к исследованию временных рядов, а также новые характеристики систем, которые могут быть использованы для их идентификации [36].

Восстановление динамических систем по экспериментальным данным состоит в решении задачи реконструкции фазового пространства системы по данным измерения зависимости от времени лишь одной переменной. Результатом решения данной задачи является т-мерная реконструированная траектория х(У), в заданном приближении воспроизводящая фазовый портрет исходной системы. В эту же задачу входит прогнозирование зависимости на время t > ^ , где ¿0 -длительность экспериментальной реализации. Если модель найдена, то решение с допустимой степенью точности должно воспроизводить экспериментальную зависимость и давать прогноз на время t > Го-Кроме того (и это главный результат), наличие реконструированных уравнений, дает возможность описания не только процесса но и его зависимость от управляющих параметров модельной системы.

Известно [24], что интерполяционные сплайны дефекта 1 определяются по заданным значениям интерполируемой функции на всем отрезке наблюдения. Это усложняет обработку данных в темпе их поступления, например, требуется введение дополнительных узлов [59]. С другой стороны, использование локального сглаживания [24] приводит к увеличению времени запаздывания в зависимости от степени сплайна и порядка аппроксимации.

Вопросы построения рекуррентных моделей временных рядов на основе полиномиальных сплайнов изучались в работах [32, 33, 45], ориентированных на обработку данных.

Недостатки работы [45], на наш взгляд, состоят в том, что рекуррентный сплайн степени 1 имеет значительное запаздывание, что затрудняет его использование в схеме с прогнозированием. В работе [45] была предпринята попытка построения рекуррентных сплайнов глубины 1 для случая произвольной степени. Однако точность построенных сплайнов понижалась с повышением степени. Видимо, это явилось следствием того, что при построении в схему не было заложено свойство точности на многочленах. Кроме этого, затруднения с использованием полиномиального базиса сплайнов не дало возможности построения рекуррентных сплайнов глубины выше 1. А повышение глубины фильтра, как правило, благоприятно сказывается на точности аппроксимации. Таким образом, основные направления развития состоят в использовании базиса Б-сплайнов и повышении степени сплайна, вплоть до третьей, увеличении глубины рекуррентного сплайн-фильтра и, наконец, разработке прогнозирующих сплайн-схем. Поэтому в диссертации на основе теории сплайн-схем, точных на многочленах [60], строятся формулы рекуррентной аппроксимации квадратическими и кубическими сплайнами, позволяющие за счет учета предыстории обработки уменьшить время запаздывания или снизить погрешность приближения. При этом ожидается, что для гладких функций с повышением степени сплайна погрешность будет уменьшаться.

Цель работы — разработка методов оптимизации рекуррентных моделей временных рядов на основе 5-сплайнов 2-го и 3-го порядков. В связи с этим в работе поставлены следующие задачи:

• Построить серию вычислительных схем рекуррентной аппроксимации сплайнами 2-й и 3-й степени разной глубины.

• Провести оптимизацию рекуррентной аппроксимации сплайнами 2-й и 3-й степени с использованием критерия минимума остаточной дисперсии оценок.

• Разработать теоретическое обоснование использования рекуррентных сплайнов в решении проблемы точечного и интервального прогнозирования.

• Исследовать возможность применения рекуррентных методов сплайн-аппроксимации для краткосрочного прогнозирования временных рядов при разработке \УеЬ-приложений.

Состояние проблемы

Теория сплайн-функций (сплайнов) прошла к настоящему времени длинный путь развития. Термин «сплайн-функция» впервые был использован И. Шёнбергом (1946) для обозначения кусочно-полиномиальной функции, достаточно гладко «склеенной» в узлах сетки. В дальнейшем эта конструкция модифицировалась, но идея оставалась неизменной [56].

Значительные успехи в развитии алгебраической теории сплайнов принадлежат школе новосибирских математиков во главе с Завьяловым Ю.С. Решающее значение для распространения понятия сплайнов на новые объекты сыграли работы Холлидея (1957) [53] и Шёнберга (1962) [57], в которых была получена вариационная формулировка задачи сплайн-интерполяции, а также Корнейчука [30] и Тихомирова [47], в которых была установлена связь между сплайн-функциями и наилучшим приближением на классах дифференцируемых функций.

Методы сплайн-функций достаточно хорошо исследованы в рамках классической теории приближения функций [2, 13, 14, 24, 44], однако в условиях зашумленных данных эти методы малопригодны.

Свойства сплайн-функций могут быть применены не только для численного решения задач прикладной и вычислительной математики, но и для повышения точности восстановления трендов в задачах прогнозирования экономической динамики, уменьшения влияния случайных составляющих погрешности при динамических измерениях.

При использовании сплайн-функций большое значение имеет форма их представления, т.е. выбор базиса линейного пространства сплайнов. Известны возможные формы представления - в виде суммы усеченных степенных функций, через фундаментальные сплайны, кусочно-полиномиальные и с помощью 5-сплайнов [24, 44]. 5-сплайны подробно изложены в [21], полиномиальные сплайны рассмотрены во всех упомянутых выше работах.

Представление сплайнов в виде суммы усеченных степенных рядов, удобное для теоретических исследований, малопригодно для вычислений на практике даже для небольших объемов данных ввиду быстрого накопления ошибок округления.

Фундаментальные сплайны также малоупотребимы вследствие большого объема вычислений. Кроме того, эти формы представления не позволяют использовать сплайны при обработке данных в реальном масштабе времени.

Наиболее наглядную и простую интерпретацию физических явлений дает кусочно-полиномиальное представление сплайнов. При этом на каждом отрезке (участке) сплайн представлен моделью вида (2) с системой условий, обеспечивающих непрерывную склейку на границах отрезков (в узлах) и определенную степень гладкости. В этом случае задача определения коэффициентов а, в (2) обычно решается методом наименьших квадратов (МНК) [21, 32, 33, 45].

Особенностью большинство работ по использованию сплайнов с полиномиальным базисом является апостериорный режим обработки наблюдений. Такой подход приводит, как правило, к необходимости решать системы линейных алгебраических уравнений большой размерности, что при реализации на ЭВМ сопряжено с рядом известных трудностей. Кроме того, обеспечивая высокую точность оценок, такой подход усложняет обработку данных по мере их поступления.

Форма представления через 5-сплайны позволяет использовать сплайны при обработке данных в реальном масштабе времени. Она позволяет сглаживать информацию по мере ее поступления, а условия гладкой склейки в узлах сплайна выполняются автоматически в силу свойств 5-сплайнов. С этой точки зрения использование ^-сплайнов имеет преимущество в силу простоты и компактности представления [21]. При этом в силу финитности базиса Б-сплайнов, когда для каждого момента времени ^ используется значение базиса и коэффициенты разложения по этому базису только в окрестности момента Л-сплайны дают непараметрическую оценку функции, несмотря на наличие базиса.

В последнее время появился ряд работ, посвященных применению сплайн-функций, ориентированных на обработку данных. Дадим краткий обзор работ других авторов, тематика которых близка к данной работе. В работах [33, 45] оценки параметров аппроксимирующих сплайнов строятся с помощью метода наименьших квадратов. Работа [38] охватывает широкий круг вопросов, связанных с применением сплайн-функций в эконометрии. Здесь рассмотрены проблемы применения линейных, кубических и билинейных сплайнов, особое внимание уделяется различным параметризациям и методике проверки гипотез о наличии структурных изменений, представлены некоторые способы оценивания моделей с неизвестными точками структурных изменений.

Вообще говоря, число работ, рассматривающих различные вопросы, возникающие при использовании сплайновых моделей, а также применение этих моделей для решения конкретных прикладных задач, довольно велико. Существенной особенностью этих работ является тот факт, что аппроксимирующий сплайн строится на заданном интервале [а, Ь\ возможных значений независимой переменной, при этом оценки параметров используемых моделей строятся с учетом всего объема наблюдений, полученных с данного интервала, что, как правило, приводит к довольно громоздким алгоритмам. Кроме того, такой подход, хотя и обеспечивает достаточно высокую точность аппроксимации, лишает сплайновые модели одного из их преимуществ: возможности обработки данных по мере их поступления, т.е. в реальном масштабе времени. Примерами такого подхода могут служить работы [33, 45].

В работе Е. А. Кочегуровой [31] построение рекуррентных алгоритмов сглаживания кубическими сплайнами проведено на основе вариационного подхода.

В работе [33] предложен рекуррентный алгоритм построения сплайна 1-й степени на основе МНК. Для выделения тренда случайного процесса используется аппроксимация тренда кусочно-полиномиальным сплайном первого порядка. Также предложена рекуррентная оценка параметров сплайна на основе рекуррентного МНК и МНК для данных, объединенных в группы. Для всех случаев исследованы асимптотические свойства построенных оценок. При исследовании оценок, построенных с помощью МНК, получен интересный результат. Оказывается, что поведение сплайна на некотором участке существенно зависит лишь от поведения сплайна на участках, непосредственно примыкающих к рассматриваемому, т.е. построенный сплайн обладает свойством локальности [24]. Этот факт дает основание для построения более простых алгоритмов оценивания, не требующих пересчета уже оцененных параметров модели с поступлением новых данных [33].

В работе [45] предложенный подход развит на основе рекуррентной процедуры оценивания сплайнами «-порядка. Однако, как отмечают сами авторы, увеличение гладкости сплайна приводит к резкому ухудшению точности оценок и уже при третьем порядке сплайна становится невозможным использование приведенного подхода. Способом улучшения точности оценок авторы считают увеличение числа наблюдений внутри звена сплайна, и приводят результаты для двухсот наблюдений на участке. Однако такой способ улучшения делает неэффективным использование разработанных алгоритмов в системах реального времени, т.к. запаздывание результата в этом случае на несколько порядков превышает интервал дискретизации. Кроме того, при таком размере группы наблюдений целесообразнее использовать полиномиальный МНК, оценки которого обладают высокой точностью.

Способ, примененный в [33, 45], приводит к затруднениям при построении рекуррентного сплайн-фильтра и не позволяет эффективно использовать известное свойство сплайнов — повышения точности аппроксимации для гладких функций по мере увеличения степени сплайна.

Основные отличия работы от работ других авторов состоят в следующем:

1. Схемы рекуррентной аппроксимации данных сплайнами степени 2 и 3 глубины р получены на основе алгебраического подхода.

2. На основе теории сплайн-схем в схему построения рекуррентного сплайн-фильтра закладывается свойство точности на многочленах.

3. Устойчивость рекуррентного сплайн-фильтра произвольной глубины р доказана с использованием свойства диагонального преобладания построенных разностных уравнений.

Методы исследования. При решении поставленных задач применялись методы теории аппроксимации, теории матриц, теории разностных уравнений, теории вероятностей и математической статистики, а также численное моделирование на ЭВМ.

Научная новизна. Кратко можно выделить следующие результаты, которые были получены в ходе выполнения работы:

• Построены рекуррентные сплайн-схемы, точные на многочленах: случаи 1-ой, 2-ой и 3-ей степени, обоснована устойчивость рекуррентных схем глубины 1,2 с применением спектральных свойств устойчивости разностных схем и устойчивость рекуррентных схем произвольной глубины р с использованием свойства диагонального преобладания эквивалентных разностных уравнений.

• Вычислена остаточная дисперсия рекуррентных оценок коэффициентов аппроксимационных сплайнов и выполнена оптимизация построенных схем по критерию минимума остаточной дисперсии оценок.

• Обоснованы несмещенность рекуррентных сплайн-апроксимаций для всех рассмотренных случаев.

• Построен интервальный прогноз для случая сплайнов 1-ой степени.

Научные положения, выносимые на защиту: • 1. Построение рекуррентных схем, точных на многочленах: случаи 1-ой, 2-ой и 3-ей степени.

2. Обоснование устойчивости рекуррентных схем глубины 1 и глубины 2 с применением спектральных свойств разностных схем и устойчивости рекуррентных схем произвольной глубины р с применением свойства диагонального преобладания.

3. Вычисление остаточной дисперсии рекуррентных оценок аппроксимационных сплайнов и оптимизация построенных схем по критерию минимума остаточной дисперсии оценок.

4. Обоснование несмещенности рекуррентных сплайн-апроксимаций для всех рассмотренных случаев.

5. Построение точечного и интервального прогнозов временных рядов на основе рекуррентных сплайнов первой степени.

Практическое значение работы состоит в том, что метод рекуррентной сплайн-аппроксимации применен к разработке систем автоматизации проектирования автомобильных дорог и для обработки и краткосрочного прогнозирования цен на рынке жилья при создании \УеЬ-приложения [П.З].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Материал изложен на 179 страницах, содержит 13 таблиц, 38 рисунков и 3 приложения. Список цитируемой литературы содержит 86 наименования.

6. Выводы по 4-й главе

В настоящей главе изучены следующие ситуации: . Получены рекуррентные схемы аппроксимационного сплайна степени 1 глубины 2.

• Изучены рекуррентные схемы прогнозирующего сплайна 1-й степени. Обосновано применение рекуррентных сплайнов в задаче прогнозирования, включая построение интервального прогноза.

• Рассмотрена разработка методов краткосрочного прогнозирования цен на рынке жилья на основе рекуррентных сплайнов 1-й и 2-й степени глубины 1 и 2.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении сформулированы основные результаты по диссертационной работе, приводимые ниже.

• Предложена и исследована серия вычислительных схем рекуррентной аппроксимации, точной на многочленах, сплайнами 2-й и 3-й степени разной глубины.

• Показана общая схема рекуррентной аппроксимации сплайнами на основе свойства точности на многочленах, получены условия характеризации для рекуррентного сплайн-фильтра степени 2 глубины 1, 2 и степени 3 глубины 1, 2 и произвольной глубины р.

• Доказаны теоремы устойчивости, несмещенности и оценки дисперсии коэффициентов рекуррентных сплайнов степени 2 глубины 1, 2 и степени 3 глубины 1 и произвольной глубины р.

• Выполнена оптимизация рекуррентных сплайнов по критерию минимума дисперсии коэффициентов и получены оценки дисперсии коэффициентов оптимальных рекуррентных сплайнов степени 2 и 3 глубины р~ 1,2.

• Разработан метод краткосрочного прогнозирования временных рядов на основе рекуррентных сплайнов.

1. Агеев Ю.М., Кочегурова Е.А. Последовательная сегментация временных рядов методом кусочной аппроксимации. — М.: 1985. 12 с.- Деп. в. ЦНИИ ТЭИ приборостроения 03.12.85, №3124-пр.

2. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972.-316 с.

3. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. — М.: Наука, 1977.-223 с.

4. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976. 775 с.

5. Бендат Дж. Пирсоль А. Измерение и анализ случайных процессов: Пер. с англ. / Под ред. H.H. Коваленко. М.: Мир, 1974. - 463 с.

6. Бендат Дж. Пирсоль А. Прикладной анализ случайных данных: Пер. с англ.- М.: Мир, 1989. 540 с.

7. Бендат Дж. Пирсоль А. Применение корреляционного и спектрального анализа. М.: Мир, 1989. - 540 с.

8. Бережная Е.В. Математические методы моделирования экономических систем М.: Мир, 1999 - 412с.

9. Бокс Д., Дженикис Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление.- М.: Мир, 1974, Вып. I. 406 с.

10. Ю.Бокс Д., Дженикис Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление.- М.: Мир, 1974, Вып. II. 197 с.11 .Брилинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. М.: Мир, 1980, 536 с.

11. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, 13-е изд., исправл. — М.: Наука, ГФМЛ, 1986.-544 с.

12. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. М.: Мир, 1974. 126 с.

13. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1983. 216 с.161

14. Вершинин В.В., Завьялов Ю.С., Павлов H.H. Экстремальные свойства сплайнов и задача сглаживания. Новосибирск.: Наука, 1988. - 102 с.

15. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. 3-е изд., испр. - М.: Наука, 1967.-376 с.

16. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию). М., 1977.-440 с.

17. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. — М.: Изд-во МГУ, 1983, — 208 с.

18. Дарвин Дж. (Дарвин J.) Efficient estimation of parameters in moving average models.-Biometric, 1959, vol. 46, pp. 306-316.

19. Де Бор К. (De Boor С., Fix G. J.). Spline approximation by quasiinterpolants. J.Approxim. Theory, 1973, 8, №1, p. 19-45.

20. Де Бор К. (de Boor С). A practical Guide to Splines. Springer-Verlag, 1978. (Applied Math. Sciences; 27) / Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. М.: Радио и связь, 1985 304 с.

21. Дмитриев А.Г. Методы кусочной аппроксимации многомерных кривых и их практическое использование: Автореф. дис. . канд. техн. наук. -М., 1985.-28 с.

22. Журбенко И.Г. Спектральный анализ временных рядов. М. Изд-во МГУ, 1982.-168 с.

23. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко B.JI. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. - 352 с.

24. Завьялов Ю.С., Леус В.А. Скороспелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии. — М.: Машинастроение, 1985. 224 с.

25. Квасов Б.И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами.

26. М.: Физматлит, 2006. 360 с.

27. Кендалл М.Д., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976. - 736 с.

28. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1978. - 832 с.

29. Лившиц К.И. Выделения тренда случайного процесса сплайнами первого порядка // Автометрия. 1987. — №3. с. 30-37

30. Лившиц К.И. Сглаживание экспериментальных данных сплайнами. -Томск: Изд-во ТГУ, 1991. 181 с.

31. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир, 1975. 496 с.

32. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. -М., Статистика, 1979.-253 с.

33. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: 2000. 336 с.

34. Овсянникова Т., Празукин Д. Инвестиционный потенциал населения на региональном рынке жилья // Вопросы экономики, № 5, 2001. С. 107-112.

35. Пуарье Д. Эконометрия структурных изменений. (С применением сплайн функций). - М.: Финансы и статистика, 1981. - 183 с.

36. Рагозин Д.Л. (Ragozin D.L.) Error bounds for derivatives estimates based on spline smoothing of exact or noisy data // J. of approximation theory. 1983,37, P. 335-355.

37. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. М.: Мир. 1980. - 456 с.

38. Спраговская И.В., Шумилова Е.Б. Рекуррентная сплайн-функция временных рядов // Современное развитие и применение математических методов: Сб. статей студ. и асп. Томск: Изд-во Института оптики атмосферы СО РАН, 2001, С. 64-69.

39. Статистический ежегодник: Статистический сборник / Томскоблкомстат. Т. 2003. — 282 с.

40. Стерник Г.М. Статистический подход к прогнозированию цен на жилье // Экономика и математические методы. 1998. - Т. 34, вып. 1 — с. 85-90.

41. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. -М.: Наука, 1976.-248 с.

42. Сухотина JI. Ю. Рекуррентные алгоритмы оценки параметров онлайновых моделей временных рядов. Дисс. .канд. ф.-м. наук. -Томск. 1988.-169 с.

43. Сюдсетер Г. Справочник по математике для экономистов. М.: ЮНИТИ, 2001.-306 с.4

44. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-воМГУ, 1976.-304 с.

45. Тривоженко Б.Е. Выделение трендов временных рядов и потоков событий. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 1989. 284 с.

46. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. М.: ИНФРА-М, Финансы и статистика, 1995. - 384 с.

47. Хачатрян С.Р. Прикладные методы математического моделирования экономических систем. М. 2002. 192 с.

48. Хенан Э. Анализ временных рядов. М.: Наука, 1964. 215 с.

49. Хенан Э. Многомерные временные ряды. -М.: Мир, 1974. 575 с.

50. Холлидей Дж. (Xolladay J.C.) Smothest curve approximation // Math Tables Aids Computation. 1957, v. II. p. 233-243.

51. Цены и финансы Томской области. Статистический сборник. Томскоблкомстат. — Т. 2002. — 130 с.

52. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. — М.: Статистика, 1977. -384 с.

53. Шёнберг (Schoenberg I.J.). Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions // Quart. Appl. Math. 1946. Vol. 4. P. 45-99, 112-141.

54. Шёнберг (Schoenberg I J.). On best approximation of linear operators // Kon. Neder. Akad. Weteusch. Proc, Scr. A. 1964. Vol. 67. P. 155-163.

55. Шумилов Б.М. Рекуррентная аппроксимация сплайнами // Известия вузов. Математика. 1996. -№1. - С. 85-87.

56. Шумилов Б.М. Рекуррентная интерполяция кубическими сплайнами с дополнительными узлами // Журн.вычисл. матем. и матем. физ. 1990. Т.29.-№ 2. - С. 179-185.

57. Шумилов Б.М. Сплайн-аппроксимационные схемы, точные на многочленах // Журн.вычисл. матем. и матем. физ. — 1992. Т.32. № 8. -С. 1187-1196.

58. Шумилов Б.М., Карлова И.В., Ярушкина H.A. Рекуррентные и прогнозирующие сплайн-фильтры 1-го и 2-го порядков // Труды Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Ч. 1, Новосибирск, изд-во ИВМ и МГСО РАН, 2004, С. 152-157.

59. Шумилов Б.М., Шумилова Е.Б. Анализ временных рядов и прогнозирование / Методические указания, часть I. — Томск: Томский государственный университет, 2004. — 31 с.

60. Шумилов Б.М., Шумилова Е.Б. Анализ временных рядов и прогнозирование / Методические указания, часть II. — Томск: Томский государственный университет, 2005. — 37 с.

61. Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Методы рекуррентной сплайн-аппроксимации степени 3 глубины 1 на равномерной сетке // Наука. Технологии. Инновации. Всероссийская научная конференции молодых ученых. Новосибирск. - 2005. -Ч. I. - С. 177-178.

62. Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Нестационарные сплайн-вейвлеты в ГИС и САПР линейно-протяженных пространственных объектов // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. -2006.-№ 1 (12).-С. 153-163 .

63. Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Построение эрмитовых сплайн-вейвлетов // Вестник Томского государственного университета. Сер. Математика. Кибернетика. Информатика. Приложение. 2006. - № 19. - С. 260 — 266.

64. Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Рекуррентная сплайн-аппроксимация степени 3 произвольной глубины р // Всероссийская конференция по вычислительной математике КВМ-2007. Новосибирск. - 2007. - С. 32-33.

65. Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Устойчивость рекуррентных сплайнов степени 3 глубины 2 // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. / отв. ред. М. Иманалиев; Институт математики HAH Кыргызской Республики. Бишкек: Илим, 2007. - Вып. 36. - С. 54-61.

66. Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Эрмитовы сплайн-вейвлеты // Всероссийская конференция «Математика в современном мире». — Новосибирск. 2007. С. 248-249.

67. Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Анализ и прогнозирование цен на региональном рынке жилья // Современные техника и технологии. XIII Международная научно-практическая конференция студентов и молодых ученых. Томск: Изд-во ТПУ, 2007. С. 481-483.

68. Шумилов Б.М., Эшаров Э.А. Рекуррентные сплайн-фильтры // Четвертая Сибирская школе-семинар по параллельным и высокопроизводительным вычислениям / под ред. проф. A.B. Старченко. Томск: Дельтаплан, 2008. - С. 218-233.

69. Эшаров Э.А. Две четырехточечные схемы прогнозирования рекуррентными кубическими сплайнами // Студент и научно-технический прогресс. Математика: XLIV Международная научная студенческая конференция // Новосиб. гос. ун-т. — Новосибирск, 2006.- С. 183-184.

70. Эшаров Э.А. Оптимизация инвестиционного портфеля на рынке недвижимости // Проблемы оптимизации сложных систем: Материалы Третьей азиатской международной школы-семинара. Труды ИВМиМГ СО РАН. Сер. Информатика. 2007. - Вып. 7. - С. 317-323.

71. Эшаров Э.А. Оценка погрешности и примеры рекуррентного сплайна третьей степени глубины 2 // Студент и научно-технический прогресс. Математика: XLV Международная научная студенческая конференция // Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2007, - С. 213.

72. Эшаров Э.А. Рекуррентная сплайн-аппроксимация степени 3 произвольной глубиныр II Вычислительные технологии. — 2008. Т. 13. Вып. №4. С. 131-137.

73. Ярушкина H.A., Анализ и краткосрочное прогнозирование стоимости жилья методом рекуррентной сплайн-аппроксимации // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. -2005. -№ 1.-С. 221-225.