автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Теоретические основы метода сплайн-схем, точных на многочленах, и решение прикладных задач идентификации и моделирования

Р Г Б ОД

Нн правах ругопнси

Г1, ' ' ". - -

ШУМИЛОВ Борис Михайлович

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА СПЛАЙН-СХЕМ, ТОЧНЫХ НА МНОГОЧЛЕНАХ, И РЕШЕНИЕ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ ИДЕНТИФИКАЦИИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ

Специальность 05.13.1С — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов а научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Томск — 1997

Работа выполнена в Кибернетическом центре Томского политех-ннческого университета.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Профессор Василенко U.A. доктор физико-математических наук, профессор Осипов В.М. доктор физико-математических наук, профессор Терпугов А.Ф.

Ведущая организация: Институт математики Сибирского отделения РАН, г. Новосибирск.

Зашита состоится 'А' ^V^felOQ- г. и Ä часов на заседании специализированного Соиет.^'Д 0G3.53.03 Томского государ-стоенного зтшверснтста по адресу: G31050, г. Томск, пр. Ленина, 3G.

С диссертацией можно ознакомиться d Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан " 7 "_OtJQA ä._5997 Г-

Ученый секретарь специализированного Совета, кандидат фтшсо-ыатематпчсских наук,

доцент • О Л /1 Б.Е. Трпвожеико

Общал характеристика работы

Актуальность темы. В областях прикладной. ^г/г^гатхки, шязаыпых с о(")рабогкой и представлением; экспсрнмепталькь:^ двн-|цх при комплексной информатизации научных т: прикладных ес-:ледосашш, дискретизацией н алгоритмизацией мптгкатгги'Г^г;: поклей и уравнений лля вычислений на ЭЦВМ, фундаментальную )оль играет решение проблемы аппроксимации. Теергга кусо'г^Ь-юлниомиальних («тллйк-)функШ1Й служит ярким примере.;.; пастрз-■пня прпмежуточпмх математических моделей, п р:: Пя:;;хавх а ом или ином емпеле математический объекты шалышх классов н имеющих при это-: сравнительно ¡п.'сстук1 гатпчоскукз структуру. В план?, создания статисткчесхЕгг мзтегеп ¡бработкп данных сплаГн¡-функции заполняют прс1ге.7 меухду парг-гетрпческнмц п нптараметрнпсскнмп группам:! методе;:, в реда "лущен обеспечивая ¿1Иполпен;:е условий робастаоста получаем'-;:: оцс-

!ОК.

Сшкйпы нашля практическое применение г.рп ргпиди:! о кругл научно-технических задач, к одной пз хоторых пр'гсодиг [еоСходимосп. выделения тркпдоа случайных пронгс^аз, тс г^ть ео-:оторых функций времени, описывающих пз;ле::енпз зсарахтсрг^спп: юу чаемых явлений (Лндерссн, Брпллшгдгсср, Ксндаяя, Тритго":?"-:о, Хсниан, Каткошшк, Рубан, Холленде]), Цибакоз, Ва.к:л.е.-;хо) Зг»-;»:). С учетом требования реализации да Сортовых мпкрс-ЗВМ и делимо поточной обработки информации особое моего п дались кс ексте занимает ;.-.етод локилыюй аппроксимации еялайнакъ, когда

¿„(О = в„х(0 = ± €(•',-,(2)

¡десь О1(0 У; — базисные /З-шлайци степени п с фшштпыми кисп-елямн и — линейные функционалы, определяемые чергз гка-ения функции х(1) на некотором интервале, обычно ыс зыходвдем а пределы носителя сплайна (*). В этом случае вычисление сцлай-:а сводится к вычислению многочлена степени п с коэффицнента^ая, авпеящимп от значений на отрезке (Гребешзстсз,

Келудев, Завьялов, Лигул, Юферев, Де Бор, Лайк, Шумсйкер, Мар-ден н др.).

В эту же схему укладывается группа нелинейных методов постро-

сшш онлайновых и спланново-подоСных моделей трендов с адаптивным выбором дли» шагов н параметроп сгллживаппя по мерспоступ-лска» информации о соответствии с критерием минимума среднеква-драт л ческой ошибки (Архипов, Годьдснберг, Гутин, Коршунов, Ко-чегу]юва, Лившиц, Попов, Трусов, Сухотннл, Шакнп). К сожалению, при этом но всегда обращается должное внимание на выполнение услозпн точности аппрокспмацпошюй схемы на многочленах.

Второй важной задачей, и которой эффективно используются салышы, построенные но значениям наблюдаемых показателей Х1„,... ,г,„л. ь моменты времени < = 0,1,..., Л', является задача прогнозирования ч]>с;лс>шь'и рядпо. С'опременш.ш подход к решению згдачп численного прогнозирования использует то обстоятельство, •2та а случае динамических систем с хаотическим поведением фазовые траектории системы расположены на ыиожестпе сложной фрактальной структуры с дробной размерностью — странном аттракторе, который плотно заполняет часть фазового пространства ди-намп-геекгкч переменных, и поэтому становится возможной ид сити-фш:с.цн£ нелинейных дифференциальных уравнений, моделирующих сложную динамическую систему, в виде поверхностей, моделирующих поседение .производных динамических переменных в многомерном фазовом пространстве (Батуинн. Дмитриев. Широков, Беликов, Грпоксв, Грибкова, Кравцов, Кузнецов. Ржашш).

Есхлз наблюдению доступны не все фазовые переменные и, более того, остается неизвестной даже размерность фазового пространства системы, то структуру и значения скрытых динамических переменных псевдофазового пространства, дпффеоморфпого исходному пространству системы, можно восстановить, используя метод временной задержки ц метод главных компонент (Такепс, Деппежсико, Ландь, Розскблюм, Паркер, Грассбергер).

Лла целей визуализации вычисленных фазовых траектории достаточно обеспечить лишь визуальную гладкость полученных сплайи-решепмй (Фокс, Фарпн, Хоффманн, Джпанг, Пайпер). При этом в качество меры визуальной близости исходной и аппроксимирующей кривых наиболее адекватной является метрика Хаусдорфа (Андреев, Вакарчук, Вссслннов, Долженко, Мартышок, Сеидов, Костова, Мариной, Жпвков).

Цель работы. Основной трудностью при примеиешш стандартных методов теории сплайнов является то, что получаемые вы-

числительные схемы часто трудно поддается решению п исследованию. Особенно это касается сплайнов высоких степеней на неравномерных сетках, приближенного решения дифференциальных уравнений с повышенной точность*!, интерполяция гладких функций многих переменных и случаев, когда требуется пести рекурсивную обработку данных б темпе поступления информации.

С другой стороны, в теории разностных схем (акад. А.А. Самарский) давпо эксплуатируется следующая идея. Фиксируется некоторая вычислительная схема а

где Л'о — классы смежности по некоторому замкнутому подпространству, например, дискретна* аппроксимация решения X цля коэффициенты разложения А' по базисной системе, условием чтобы получающаяся матрица была ленточной, или апркулянтноц и тему подобное. Затем коэффициенты схемы п функционалы выбираются так, чтобы уравнения схемы обращались в тождественные равенства для любых элементов Л' из некоторого пространства функций. Чаще всего это бывают степенные или тригонометрические многочлены. Аналогично получаются многие формулы численного интегрирования (акад. С.М. Никольский). Последовательным применением подобного подхода н люстна томская кибернетическая школа (Дмитриев, Тарасснко, Кошкин, Лившиц, Сухотина). О простейшей случае такой подход выражается и следующем. Вместо тоге чтоОы сначала применять какой-либо фиксированный метод (например, наименьших квадратов) п затеи исследовать полученные итерационные, схемы па устойчивость вычисляемых оценок, напротив, выделяют и заданном классе множество устойчивых схем и в дальнейшем уже их оптимизируют по различным критериям (например, минимума среднеквадратической погрешности). В серил работ (Борисов, Конев и др.) изучались различные модификации метода наименьших квадратов ва оспове идеи последовательного оценивании с отказом от фиксированного объема выборки, надлежащим выбором момента прекращения наблюдений и специальным, подбором весовых коэффициентов в сумме квадратов невязок. Подчеркнем, что в обоях примерах применение обычного метода наименьших квадратов может приводить к расходящимся вычислительным процедурам оценивания параметров.

ОсЕванад идея предлагаемого подхода к создаппю теории сплайн-сигм состоит о том, что коэффициенты вычислительной схемы А п функционалы при ой части решаемой системы <3 выбираются так, <Ш> шшрозссоы&шюнный сплайн 5(<) с параметрами, пайдспными из урвшений схемы, совпадает с точным решением X прп любых X — Многочленах степени / < я п (возможно) сплайнах. Практически это позволяет формировать решения с заранее фиксированными по-редхозымп свойствами точности и экономичности п (прп желании) Еогыишостыо оптимизации о нужном направлении.

Цель работы состоит и том. чтобы па оспоое предложенной идеи рлзр^Сотать теоретические основы нового метода вычисления ап-прехекмацпонных сплайн-функций — метода сплайн-схем, точных Е& многочленах, п па базе разработанной теории сконструировать бявзхие к наилучшим алгоритмы решения практических задач при-блшхгкпг функций, рассмотренных выше.

Сояхь с планами научно-исследовательских работ. Работа выполнялась по плану научло-исследоватсЛьских работ Кибернетического центра ТПУ в рамках госбюдха'тиых тем "Разработать и внедрять а опытную эксплуатацию з ТПИ автоматизированную систему научных исследований и обучения в области электрофизики", "Создать интеллектуальную систему моделирования и организации вычислительного эксперимента иа основе персональных компьютеров, автоматизированных банков данных н знаний", "Разработка инструментальных интеллектуальных средств анализа и прогнозиро-Еааза динамических систем с хаотическим поведением, обесиечива-юизх телекоммуникационный доступ в глобальную компьютерную сеть ЫегасГ (Л^Лй гос. регистрации 5.2.8С, 5.2.91.4, 5.2.96).

Часть исследований была выполнена по программам, поддержанным стипендией Джорджа Сороса по математике (Москва, РАЕН, 19ЭЗ-1994г.г.), грантами Госкомитета РФ по высшему образованию (Новосибирск, НГУ, 1994-1995г.г.; Санкт-Петербург, СШГЭТУ, 19%~19Э7г.г.), грантом РФФИ № 95-01-00019 (1995-1996г.г.).

Прикладные разработки, связанные с применением методики использования трехмерной интерполяции при создашш САПР, алгоритмов построения сплайи-фупкшш одцой и двух персмсшшх на прямоугольных и треугольных сетках, сглаживающих локальпо-аппрокспмацпониых сплайпов в форме кривых Безье, дуг окружностей и клотоид, выполнялись по договору па проведеппе НИР с

Инженерным дорожным центром "Пидор", г. Томск (199?. 1.' 00г.г.).

Методика исследований. При выполнении дигсерталкс^Еой работы использовались понятия н методы функционального 15 математического анализа, теории вероятностей и математической статистики, теории матриц, теории разностных и диффг'резддальЕЫй уравнений, теории оптимизации. Для иыччелеиня точных по-

грешности, а также при решении практических задач и рагс>.готр-г-нин иллюстративных примеров использовалось нмпташюлчее лмрование на Э1Ш.

Научная испизяа « практическая тзнтесть. Крата: а и делить следующие наиболее па::л.'т:,.> полые результаты, котяри; Зыли получены а ходе ниполпсипя рпОоты:

о разработана уннперенльная теор:п спланн-тсем, пг.'лючгш!".:— "2 :еГ>я как предельные случаи методы сплайн-колло!;аш:п и ^.".¡гл'У^.о'!: шпрскашашш;

о на основе спойства точности на многочлг-'гах лолучеггк етзьге .'ПЛаГш-схемы для рекуррентной аппроксимации данных, краевых задач дли обыкновенных дифференциальных ур'авкег;:!?;

о реализован векторный вариант моделмрогшшх неллпеГекйС шеимостеп сплайна:*.л на основе свойства точности па >шога-;:е"а:: I метода Пыогом.) но экспериментально заданны:; з!1аче;:иг..'.з пег:-гепных функций отклика измерительного прибора;

о для обеспечения свойства интерполяции рекуррентных е моио-гошшх спланпов исследовано применение метода дополпиггльЕЫХ. гл лов;

в предложены п обоснованы методы приближения (с заданной ак> решноегью в хаусдорфовоц метрике) плоских кривых силашгамг; 1ериой степени;

в предложены и обоснованы методы обеспечения визуальной г;:ал-:остп параметричеекпх и неявно заданных спл.шиоп на керегулзр-юн треугольной сетке;

в на основе свойства точности иа сплайнах решены задача идеи-гнфикадпп п устранения протяженных выбросоз, обнаружения хсчех »азрыва производных в экспериментальных зависимостях;

в обоснован силайн-аплрокснмацноняын метод адентпфикацш а юделпроваиля нелинейных динамических систем экспоненциального

тгша для групп однородных объектов.

Пояупгшше результаты служат осиопой прп решении задач моделирования крив их и поверхностей в евклидовом пространстве. В тси числе, в диссертации дм: пример построения промышленной системы геометрического модгли]м>п.ипш в области проектирования реконструкции автомобильных дорог. Разработанные алгоритмические п. программные реализации могут быть использованы в различав« обл.четях пауки и техники, например, при обработке эксперимеи-тмзкыг ланны;: о физике высоких энергий, медицинской биологии, !ipsj создании пнтерлолятороп и аналого-цифровой вычислительной '¿гхшаг, синтезе геометрических изображений в компьютерной графах«, ¡ароектиросании и рекой; трушип транспортных коммуникаций, сжипш сигналов реп; а изображения.

2 совокупность разработанных в диссертации тсоретнче-

с:с™ псложозшй п полученных практических результатов классифицируется как коиос крупное достижение ;< развитии псрспемпгю-лою капрс?./,еиия — аычпслитслшаИ тпссрии сплайнов, гсомгтри-»«скогя наде&ирозаг.ил и прикладной идентификации динамических систем.

Реализггщня полученных розультстоп. Алгоритмы трехмерной :и-:тг;:!!ил; ц1ш и методики геометрического моделирования s САПР били использованы при выполнении в период 1981-19801.г. xoirorosopucfj 5ШР по теме "Русалка" (НГЮ "Энергия", г. Калп-ЕЕИГраД, МОСКОВСКОЙ обл.).

Разработанные программы испсльзшллксь прп выполнении работ пэ медицинской тематике на кафедре прикладной математики ТПУ и были включены в состав автоматизированной системы проектирования реконструкции автомобильных дорог САПР "ReCAD" (Инженерный дорожный цеитр "Индор", г. Томск).

На устройство для иитерполяшш функций получено авторское свидетельство на изобретение.

Теоретические результаты диссертации использовались прп разработке курсов лекций и постановке курсовых работ "Прикладная теория информации*1, "Численные методы", "Прикладной анализ данных", "Планирование и обработка результатов эксперимента", "Анимация и синтез видеографических изображении", "Компьютер-пая математика и визуализация информации на ЭВМ", "Идентификация систем управления п планирование эксперимента" по спеип-

шьностн 0G47 — прикладная математика в Томском пол.г. ехшгк-•ком университете, а также пошли п опубликованные методические указания.

На защпту выносятся следующие осиопныс каучныэ по-

гсожения: 1. Главное защищаемое положение состоит 2 том, чтз з диссертации сформировано новое научное напраплшнс в иычнслп-гельной теории сплайнов, которое состоит а построении, теоретическом обосновании.» практически:,: использовании lunp'iïoro к::лг-

сплайп-схем, включающих п себя как предельные случаи методы :плайн-коллокпцни и локальной .'шпром-пмашш, на оснояе свойства гочпости схем ¡:а многочленах и сплайнах.

2. Новы» метели решения зад:;ч обработки экспериментальных данных, решения дифференциальных уравнений, геометрическою моделирования, ндентифик.щпн î-лпп<.-Лî:дннамичес;.!;:: ;<■:.:. обладающие такими замечательными свойствами как попиленная ТОЧНОСТЬ, уменьшенное КОЛИЧесТПО ненулеэых :«ЛСМе!ГГ';"Ч 1! М!"ТрЧ-тах решаемых систем уравнений или возможность г;0г;;:;'л-.::дт.'л'.-аого учета вновь поступающей информации по схеме рскурс.л-зсп лшльтрацпн.

3. Результаты применения прсллскеуцых метсдоэ э !пд;>.-:;их (/•;•)?.-5<шл временных pa;-'-m и геометрического моделирования п САЯР.

4. Данное направленна имект шарочне nepcneKTnsi: р^лзптыя, :-•> юрые открываются при выборе дополнительных пегг>? сгтлг.йп-гг.см, шшрнмер, дли реализации смлн'тла точности на mïTq>n(4"s:;uc;Hi'!!." многочленах либо многочленах наилучшего приблнжеипг,

ного учета и югеометри'ич-кн.ч cdchctii (мо.читешюгть, ^¿гу.чг.сеч'ь -ч т.д.), накладываемых ил искомое решение.

5. Проведенный з диссертации хомплеьс исследований поэ.'-огиет вплотную подойти к решению проблемы иятерполпроваияч, саатия ц прогнозирования хаотически:-: уремегш^х рядов.

Апробация и публикации. Результаты диссертации догладывались ааторим на VI конференции пэ теории кодирования и передачи информации (Томск, 1975г.), Всесоюзной научно-технической конференции по применению машинных методой для решенаа краевых задач (Москва, 197Сг.), Всесоюзных совещаниях ио теории сплайн-функции (Новосибирск, 1980, 1984г.г.), Международной коп-

фсрг!:аг,'Е со теории приближения функций (Киев, 1983г.), Международной конференции по конструктивной теории функций (Варна, 198'г.), Всесокппо: конференции по применению математических мзтодоз и ЭВМ в медицинской технике (Москва, 19Э4г.), Всесоюзной кснЛерениии по методам п микроэлектронным устройствам цн-фрс-аго преобразования и обработки информации (Москва, 19351.), Всгсоюзксй конференции по методам и средствам обработки сложной информации (Горький. 1985г.), региональных конференциях колодмх умелых и специалистов (Красноярск, 1985г., Тодсас, 198£г.), Все< шим сопещапии по диалоговым ИБС (Иркутск, 195бг.). Всесоюзной лпучно-техничсской конференции но про-рашьтпя аппаратных и программных средств вычислительной '¿ехпикБ (Москва, 1987г.). Всесоюзном семинаре но вопросам сстдоазагам: ничнглели;: (Алушта, 19571-.), конференции по вопро-саас геаметрнтаскего моделнропаиня ь САШ' (Свердловск, 1937г.), конференции г.с автоматизации. математическим методам и упра-злезиго клрод'-ш; хозяйство:,! (Томск, 1990г.), II и III Междуна-;>г.д.аых по компьютерной графпко н визуализации (Мос£П&, 1001г., Санкт-Петербург, 1993г.). Международной кауч;;«-тг^лзтоегааз конференцнн по развитию и применению открытых систем (Казань, 2094г.), семинар;- СО РАН по комплексам программ математической физики (Новосибирск, 199!г.), II и III Всеросспй-«;гг:Х шкояа^-уолясквнумах по стохастическим методам (Йошкар-Ола, 19Э5г., Туапсе, 199Сг.), Международной конференции по до-стяшсюмод вычислительной и прикладной математики, посвященной 7О-ягтшо академика Г.Е. М ар чу к а (Новосибирск, 1995г.), II сибпр-саказ конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Но-вэшбярск, 1996г.), Международной конференции по математике и пике (Томск, 1997г.), на научных семинарах "Методы сплайн-фунхЕЕй" Института математики СО РАН (г. Новосибирск) и кафедра прикладной математики Томского политехнического уннверсн-лгета.

По тгмг диссертации опубликовано 80 печатпых работ, в том числа 45 научных статей в центральных п республиканских изданиях (пз нпх 5 — на английском языке п за рубежом).

Кроме того, в сотрудничестве с автором на кафедре прикладной математики ТПУ выполнены о кандидатских работ, в которых получили практическое применение некоторые теоретические положения, развитые о настоящей диссертации.

Структура н объем работы. Диссертация состоит га введения, семи глав осповного текста, списка цитированной литературы из 239 назвалпн и приложения, в котором приведены документы о внедрении. Общий объем работы составляет 302 ьштдакшскыэ страницы. Изложение иллюстрировано 62 рисунками и 7 табл¡щами.

Краткое содержание диссертации

Во введение: приводится обзор работ, близких к тема диссертации, формулируются пели исследования, обсуждаются акту ель кость работы, се научная и практическая значимость и дается характеристика полученных в работе результатов.

Первая глава посвящена построению теории сплайн-сягм, точных па многочленах, для случая векторного пространства наблюдений. В 51 излагается общий метод построения схем аппрогхямг&шш сплайнами. Пусть изучаемые показатели (переменпые состояния) X(t) = {xi(i), J"2(')>... ,rm(<)} исследуемой системы оценпваготгея по юмереппмм значениям наблюдаемых показателей (переменных наблюдения)

Y(t) = G(X,Z,t), (2)

где 45 — векторная либо скалярная в общем случае нелинейная функция, которая представляет собой известную, так называемую аппаратную функпню, Z(t) = {:i(t),zi(t),-..} — показатели гаедшей среды (случайные помехи).

В предположении, что закономерности изменения показателей X (1) могут быть адекватно представлены в виде векторного сплайна

ldiBl(t) (3)

•=—я

на интервале наблюдения [0,Т], дпя чпелейного отыскания сплайна £x(t) по вектору наблюдений У (i) необходимо приближенно решить иеяакейиое функциональное уравнение

G(SXtZ,t)*Y(t).

Разработанный в диссертации универсальный подход состоят а следующем. Пусть {АДУ)}, »' => -n,...,N - 1, — шюиестЕО ев-

прерывных линейных векторных функционалов, действующих в линейном векторном пространстве вешествешгаэпачиых функций, в ко-то'юг переводит пространство С(0, Г] отображение G, а векторные параметры é¡ сплайна (3) определяются итеративно с помощью векторной системы уравнений

£ oj(A)(d$ - 4iT}) = M^h-i), i = • • -1, (4) гдг к ~ 1,2,..r = m'm(: 4- я, г), p — min(j>, N - 1 — i) и

Шкгв" место следующая

Тгзлрелас. 1. Пусть множество |ДХ(<)} содержит множество utzz с шторных тюгочленов степс:ш «с сышс I, р + г < I < п, а определитель системы уравнений ( 4) не равен нулю. Для того, чтобы иа кохедой операции поправка к аг.проксииаг,ионному сплайну ранках

AS(t)=E{4)-4l'l)mt) (5)

i—-»1

с параметрами найденными из уравнений схемы, совпадала с точным решением функционального уравнении

|j£{S%-l\Z,t)&X{t) & C4.,(í) ДХ(0 = AY(t) (6)

с npasoü частью вычисленной при любых Ó.X € *P¡ — сск-

торнааг многочленах: степени ! < п, необходимо и достаточно выполнения равенств

А,(С*_,(0 Т„) = t <#) i = -n, • • •, N - 1, (7)

ко всех векторах = (f), S 1+j = ^¡Vy] о пространстве состояний c кол4Яокемги<ши. равными (f1,... ,í',m), ■ ■ • ,{'+;)> соответственно, для всех /ip = 0,1,...,/ и 1 < p < гл.

Общие свойства погрешности полупепных приближений на каждой итерации описывает следующая

Теорема 2. Если ЛХН) € ^^'[О.Г), то в условиях теоремы 1

ЦДХ - АВ\\с < К#п+1 ||(Д.^)(п+|,||оо,

где К < оо — константа и Н — п«ах Л/, Л,- = ?,-+! — <,-.

0<|<Л'-1

В §2 решается задача построения схем аппроксимации сплайнами, точных па многочленах степени I > п о интерполмдаящсм смысле. Предполагается, что одномерный сплайн степени п, интерполирующий фуцкцшо <"+1 по системе скалярных функционале {1ь(-)}(к = — п,..., N — 1) построен. Это означает, что фиксированы такие коэффициенты i = —п,... ,/V — 1, что

£

Е' «ШЭД = л(г-+|), * = -я,... ,лг-1.

1— - м

Лемма 3. Пусть схема Ц), (5) точна на векторных многочленах степени п и

Л,(С(*)Т„+1) = £ «} « = -п.....N -I. (8)

;=-г

Тогда формула (5) интерполирует любые векторные многочлены степени не выше »4-1.

Аналогично рассматривается вопрос построения аппрокспмаци-онных формул впда (-1), (5), связапных с многочленами степени п + 1 требованием точности в смысле наилучшего равномерного приближения. В этом случае коэффициенты д', V/ определяются из усясиия

|к+1 - Е* <1;в4 = ш !г„+1 - г' 4в;| (з) II >=-» 1С[10,/«] ' II •="■>

и схема (4), (5) приближает в чебышевском смысле любую компоненту векторного многочлена степени не выше п +1.

Во второй глапе рассматриваются более конкретизировало задачи аппроксимации скалярных наблюдений. В §1 изучается аппроксимация сплайнами степени п = 5, точная на многочленах степени I — 5, по трехдиг.гоиалъной схеме с р = г = 1 на равномерной сетке узлов г* = + Получен нелокальный метод построения аппрохеи-мационных сплайнов, отличающийся уменьшенным количеством не-

вугкгых элементов п матрице решаемой системы по сравнению с ик-отрЕсяащюпцьш случаем. Доказало уменьшение погрешности при-бшокешш ио сравнению с локальными сплайнами. Например, справедлива следующая

Теорема 6. Если х{1) е и <1+$ = + » 6 (-оо, со), то дли схемы

к-1 + <1. + \лм = 1*{и+3) - ^х"(<1+э), V«, (10)

где

3 т 3 v 12 1к-5||с</ГЛв

г. 13343%/5 - 17047

К --rrrrr—-« 0,00463.

2764800

Основным результатом §2 является построение схемы рекуррент-пой атфоксимаипи сплайнами на основе свойства точности на многочленах.

(Определение 1. Рекуррентным аппроксимациоккым сплайном SB(t) называется функция вида

Sn(t) = е' àiD^t), a<i<b,

i=—n

с коэффициентами (¡¡, удовлетворяющими рекуррентному соотношению

р

Û = -£<*'< j, i=P~n,...,N-I,

j=i

u «aхалы:ым условиям di — i = -n,...,р — г. — Ï.

Здгсь |Ла{х), i = —п,..., Лт—1} — множество лилейных непрерывных функционалов, определенных по значениям функции x(t) па [а, 6]. Даны условия, при выполнении которых сплайн S„(t) тождественно сошадает с i(i) для любой функции x(i) из пространства многочленов степени не выше I, р < I < п . В частности, если глубина вложения рекурсии минимальна р = 1, то согласно теории разностных уравнений выполнение условия |aj| < 1, гарантирует устойчивость рекуррентного процесса вычисления параметров сплайна к влияния» начального значения А_„(х). "Рассмотрен аналитически и иллюстрирован численным моделированием на ЭВМ ряд примеров

рекуррентной аппроксимации. В частности, для случая

= А_2(х) = х(а) - /¡_,.с'(я)/2, i = -2,0,..

доказана

Теорема 7. i. Рекурсии устойчива при асег г„- > (»,• -¡- it\>j}/?2. 2. Если j-(t) € и Л,- - h У/,

si третьей главе изучаются методы построения c::sm гдяып:еп-иой точности решения краевых задач для диффеуеетзаль^ога yem-::мшя второго порядке.

в предположении существования ц единственности решеаггг „(i) двухточечной краевой задачи (11), (12).

Применение для отыскания коэффициентов силайиа тесран схем, точных на многочленах, приводит к следующему результату.

Лемма S. Пусть p{t), q{t) — постоянные коэффициенты, и определитель соответствующей системы ¡/равнений вида (4) к; равен нулю. Для того, чтобы сплайн S{t) тождественно совпадал с x(t) для любого многочлена х £ Vi, необходимо и достаточно ак-полнепим при ц = 0,1,...равенств

Lr{t) = ¿"(f) Jrp{t)x'{t) + q{t)x{t) = y[i), a<t<

с граничными условиями

¡,(х) = äjr(ü) + Äx'(a) = 7i, /■>(:) - б2:г(Ь) + ¡hx'(b) =

(12)

Ч1Т,МТ,)МТ,)) = £ < = -п.....я - 1, (13)

где

г„(0 = (Г = (-1)"^Г"(о). = - i,4i)-• •(»-«,+„).

Если формально считать коэффициенты p(t), q(t) переменными, то для случая кубических сплайнов решение уравнений системы (13) приводит к N + 1 -параметрическому семейству трехднагональных сплайн-схем, простейшая из которых совпадает с хорошо известной вычислительной схемой метода сплапн-коллокашга (Завьялов, Квасов, Мирошниченко) точности 0(Hi). Из представленных в диссертации результатов численных экспериментов видно, что, дейстЕК-тгельво, в случае постоянных коэффициентов /)(<), q(t) с точностью до ошибок округлеппя многочлены третьей степени восстанавливаются точно. Кроме того, оставшиеся неиспользованными в стандартном подходе параметры дают возможность уменьшить погрешность восстановлении монома четвертой степени. Однако проблема состоит в том, что данную потенциальную точность для случая непостоянных коэффициентов реализовать очень п очень непросто (Жанлав). Позтсму далее в диссертации рассматривается вопрос повышение тсчеостп прыблих<спного решения дифференциальных уравнений на «1сда>ю? теории сплайн-схем, интерполирующих многочлены по заданной системе функцпоаалоз. В качестве первого приближения используется локальная аппроксимация по схеме (Дс Бор-Фикс)

М+{ . JV+l / h — h , h h I \

6.r(0 = E( A¡(x)Bi(O = .E + - ^s':) B'3(t).

Точное выражение остаточного члена аппроксимации пмгет вид

1 Н

s(t) - 6r{t) = £ Е ¡(T-U-iHT-tMr-ti+^Wdr-BW). (14) Главная часть выражения (14) подобна некоторому моносплайну

*М(0-(вг)М(1) = i!^>(Qi)W(0 + pi')(0, (15) 0<г<4, *<<«,г <«(+,,

где

¡+1

«4(0 = 4 Е f(r-tj-i)(r~tj)(r-tHl)dT.Bi(t).

Для краевой задачи (11), (1?) рассматривается сплайн-аппрокси-мацЕонная схема иа трехточечном шаблоне

S? + ¿¡Si + qtSi = fan, + + /3|у,+|, « = 0,1,..., N,

«15ц + /5|5о = 7ь + А= т2,

з предположении, что правая часть — функция »/(*) известна па расширенном интервале [х_1,тлг+|]- Оказывается, что можно повысить ее порядок аппроксимации на решении х = х(<) до О (Я1) VI , гели выбрать р,, д„ /Зд, Д1], /?[ V» из равенств

Р> - РоР.' + - 7,-1Л,_|) + /3{(р.+1 + д.+Л).

1 = + Р-Л* ~ Р.-1Л.-1 + +

о = Л,-

-§ « - -,/»<-,) + #Л?(1 + |Л+,Л4).

гае

д = 1 / + 2ЛН>) | А?-|(А<-1 + 2Л,-3)\

Дополнительное уравнение 0 =

в случае равномерной сетки, когда;)(/) = 0, совпадает с четаертьш уравнением с точностью до малых более высокого порядка га счет того, что

~ 9.-» = О(Л),

а оно влечет выполнение четвертого порядка аппроксимация О (Л4) V« полученной схемы на решении х — х(4) исходного уравнения. Доказательство устойчивости построенной вычислительной схемы сводится к исследованию величины диагонального преобладания у матрицы системы уравнений, полученпоп относительно коэффициентов в разложении решения но базису из В-сплайнов,

= |С<| ~ 1-^1 - |С<| > О V/. Основной вывод, который можно сделать пз вычислений, прове-

деипых и диссертации, состоит в том, что для регулярной сетки (то

есть, когда Я/v A'. j — O(l)) с достаточно малым Н при

g(i) < 0 Ус в силу достаточной гладкости функций p(t), q(t) имеют иеста соотношения

F; > 0, Gi > 0. С, < 0, s = 0,1.....N.

Тогда jC,j — Fi — G-, — -g, 4- 0(IIl), г — 0.1,..., Л*, то есть матрица ьагеет строгое диагональное преобладание. Результаты соответству-к;1д:г,: числовых экспериментов подтверждают повышенный порядок аппроксимации силапи-схемы на решении дифференциального уравнения в классе достаточно гладких функций.

Дальнейшее продвижение по пути повышения качества схем состонг в использовании такого мощного средства, как изменение структуры обращаемой матрицы (то, что в методе сплайн-изялокации относится к выбору узлов коллокацнп, па ссзпадаюшдх с узлами сплайна). Например, для краевой задачи (И), (12) рассматривается силайк-апироксимацнонноя схема, на четирехточечиом шаблоне для равномерной сетки с шагом h

S"(v2;)-rV,S'(v2,) + q,S(v2i) =

-- H- РоУгi + Р\У2Ш + /%2,>2,

+ p}S'(v2H-i) + v!S(v!i+1) =

= -f + /Л'Wl + W2,

,3-^/3, , s +

V2i - 12: -i----ft, f2,+l = hi + -jj-

> = 0,1,...,Tii.

«.So + faS'o - 71. StSs + (hS'i-i = 72В диссертации показано, что можно повысить се порядок аппроксимации па решении х — x(t) до О (/И) V», если выбрать соответствующие р,-,..., д}, Ро Vi, и представлены результаты числовых зкспериментов.

В четвертой главе изучаются оригинальные схемы введения дополнительных узлоз в пространствах интерполяционных сплайнов второй и третьей степеней. Указаны схемы локальной интерполяции четвертого (наивысшего для кубических сплайнов) порядка точности

по II п построены локальные фундаментальные гилайны гладкости С2.

Установлено, чт? для решения задач!? рекуррентной нктерп'ляя-ипн достаточно введения специальным образом подобранных "спсл-нптельиых узлов сплайна. Получены соответствующие сценхм погрешности, приведены результат?-! многочисленных чиеллпмх г::сзс-риментоп. Например, •»стетическцй рид построенного прафкла î.xno-тонной интерполяции оказывается более прлплекателып.::.:, ~ результате применения известных параболических Л'-сслайгесч (1-.лг-сов).

В пятой гляае: некоторые результаты рпсиро'.'-^ам.гг-сй zr. случай приближения явно з,чллп:г;:.. фупккпл пых. В частности, покато, что д.и случая сгем, т'чт.шх кл гочленах, вполне допу." гимо построение гс:кр;«ценл»лх еы*::-.гг.!\т;-,:ч-пых схем (г, теории разностных схем пому подходу гоотгт^гс'-'зут применение кычнелигельной cxcmi,' тлла "крест" на З-точечпо:/. шаблоне вместо полной 9-точечной схемы) п приводится ггрпкер, мо дифггцнропанной аппроксимации б:!л::г'еГгг;г.!.'.гн сплайкамр е ■

угольной области на плоскости, oGecnento.irouwü умсг&шздв? по-' грешности аппроксимации но сравнению с иктергтзляапкгайг случаем. Кроме -.того, дана схема аппроксимации фуцхцяй SEKTES переменных, заданных значенными а нерегулярных точках rrpsj-coj rc.Ti-ной области, с нрнмепеннем метода "■жегоненциалыгага езесшпвл.-иня".

Особого внимания заслуживает задача построения сплайноз ыкс-гих переменных на непрямоугольном разбпешш области. Простейший вариант таких спллйноз соответствует пространству непрерывных кусочно-лилейных элементов Р. Куранта на треугольном разбиении, для которых л диссертации предложена усовершенствованная методика иолучеиия оценки погрешности пптерЕоляцш;. С использование:.! компьютерной системы аналитических вычислений Maple V Release 3.0 for Microsoft Windows показана, что максимум оценки погрешности интерполяции линейными многочленами двух переменных функции у) £ П'^Д,^] по значениям и углах треугольной области A/ji достигается на границе а он равеп

-И2 max где Я—длина наибольшей из сторон тре-

4 д.,«. 0<J><2' 1

угольника.

Дальнейшие обобщения на сплайны более высокой степени н гладкости возможны в самых разных направлениях, одно из которых рассматривается в §4. Пусть Д — разбиепые плоскости на одинаковый треугольные ячейка линиями, параллельными одному из трех попарно аг ссвп&ддояцш: направлений. Невырожденным преобразованием (Чуя) оао цере,годятся в разбдеаие Д', которое определяется линиями

¡U : у/Зх + у - 2\f%j = О, hj : \/3х-у- 2\/2j = О,

hj ■ у + \/3j = о, j =..., -1,о, i,...

Искомые В-сшшшы четвертой а третьей степеней не равны нулю в 24-х треугольных ечейках, расположенных в окрестности пачала координат, в симметричны относительно линий I¡j, ijj, hj, х = 0.

Поскольку носители обоих В-снлайнов совпадают, п они язляютег етлейко цезавкашыьш, то можно построить функцию

$(*, у) = аВ*(х,у) + рв\х, у),

обладающую свойстзамя ^(^ш) = 1> — 0, причем в

салу стшетрвн равенство пулю пмеет место такае в точках Аь, А», Ац> Au, Ais. Если G¡ s= (cí,y¡) есть узел сетвш Д' , причем Go г (0,0), то определяя

у) = £ - х -, у - y¡), <

£кшш> Полу»?ить локальную аппроксимацию сплайнами четвертой степени гладкости С1, обладающую свойством интерполяции и точках Gt: 5(*5, tfî) = zt V».

D частности, для х,у € имеет место •i *vpi{z>v) + *8Ve(*.l/) + íioVío{I,I/) + +

+ *UVIS(-*,1/) + 2|4V?15.

гхг

. ч 1,^2 17л/3 , 14 1,, 1 ,

^+ ~24 -Ш» + ~ 12* * " 72 . . , 3 2 3 2 7\/3 2 , 35 уЗ 3,1- 1 , , 2 . Ы*. У) = I - ?X - + + _у' + -*< - -

9.»(г. V) = -г - — у - —ху + -у + - -

Ых,;;) = ^юОЛ/), = ЫЛу"),

» 5 ^ , , , I , /г

Растягивая ямгпор разбиение плоскости па трсуго.'гьякг 2*ге5хя с длпкамп стором Л можно прийти, иаггрзмср, к стапугоще!.гу оэзу.ть-татх'.

Теоргма 25. Пусть а -* О, F С Тогда

aiax |(; = ||г - <

j г€С(1>);

/TU)

Здесь

|03.-| =тах{|03ф,у)|, (*,»)€ 0}

и |й3с(х, у)| есть норма (Хилле) отображения ?/)) («, «•) = у)«3 +

Ö3^ У ч 9 - 53

д

Далее решаются задачи моделирования кривых и поверхностей а евклидовом пространстве (глава VI). В том числе, в § 1 рассматривается вопрос приближения пространственных кривых в метрике Хаусдорфа. В первой главе уже затрагивалась задача построения

наилучшего равномерного (чебышевского) приближения векторных функций н был обоснован асимптотически наилучший метод се ре-иекыг на основе сплайн-схем, точных на многочленах в смысле наилучшего равномерного приближенна. При этом, фактически, речь шла о построении наилучшего приближения для каждой компоненты£Вло заданной векторной функции времени, которая на самом дело представляет собой пространственную кривую в соответствующем векторном пространстве 3?'", тогда как время играет роль некоторого паралхетра, в соответствии с изменением которого измеряются (вычисляются) послоцователыше координаты точек кривой. Ясно, ^.то если в каждый момент времени координаты кривой, описанной аппроксимирующим векторным сплайне:.!, близки к координат-функциям исходной кривой, то и совокупная аппроксимирующая силайн-крпзаа Судет проходить в пространстве вблизи неходкой крм-аой. Но ясно н то, что при нзмепенпп скорости прохождения точек нехедцой кривой построение аппроксимация теряет свою оптимальность (например, в смысле наименьшего количества звеньев при заданной погрешности), так же как ясно то, что понятие наилучшего приближения кривой как протяженного пространственного объекта далеко не совпадает с понятием наилучшего приближения отдельных ек проекций. Определить действительную меру близости двух пространственных кривых Г1 (I), »'-¿(О можно как расстояние между ьсдожестиамп в соответствии с определением Хаусдорфа

Л'(»,1.»,г) = шах|тах шы(«,г2),шазс <Ш1(г,,и)|, (17) где <и$1(и,Гг) -- пнп р(щу), />(и,г>) —евклидово расстояние между

иеГз

точками и, V.

■ В связи с' неразвитостью вычислительных аспектов применения иетрпкп Хаусдорфа в имеющихся руководствах в диссертации это понятие исследовано более подробно.

Леима 14. Пусть заданы регулярная риманова дуга гЦз) е $1"*, не имеющая точек самопересечения, и множество ее нормальных гиперплоскостей р = {Я}, Р е й'"-1. Пусть далее г2(<) 6 йг" — кривая, удовлетворяющая условиям:

а) для любой плоскости Р в р существует точка г2(<о) такая, что г3(<о) С Р;

б) для любой точки г2(<) существует единственная плоскость

Р* <£ р такав, что € Р°.

Тогда расстояние Хаусдорфа между криеыки 5-1(3) и можхо вычислить как

,,г2) = т« сИ81{г,(я),г2(<0)).

Лемма 2 «проделеег условия, прл которых ргхстошпе Хаударфз может оичнслатьса как одностороннее расстояние от кривей гг(2) со

КОНВОЙ (Г|(в).

ОпрсЗеяехие <5. Параметрические векторные аъегочлг-лы Р„(1), соответствующие точкам локального минимума фуккции расстояния Хяусоорфа до фиксированной кривой, иал:ле.с'.отся зъе-тггрсмальныаи.

Теорема НО. Пусть «■{/) € ??"* — регулг^ная римаповй дуги Из точек самопересечения и Рп(2) — -¡ъ э:;~:г.рел;альхпа аехтору.ый многочлен степени п по каждой переменной. Если / 6 {/} — гвгксс? параметризация кривой = {г1 = /'(?) гз х'(/('.)} V»,/}, чггзз выполнены условие лемкы 2, то существуют N > п-1-2 точек глских, что

а Лгу каждой проекции х' имеется подлшохссяъво кл г. -г 2 С {¿А}-£=!« которых оь:г!о/!:;г»тсл' езоекстаа

- АО)) = - «5п(х'(^+1) - /'(«,+,)), ) = (18)

3 явссертляяя приведены прицепы фплтпчгс^сгз посгрзгптг! гт.гг-лучтек» прйЗдажепня дуги полуокружности едпнпчкото радиуса гг.--раметричапашя многочленами нерпой (отрезком пргмгоё) и третье.»-степеней п пространстве К2 (на плоскости).

Затем с тягая прения хаусдорфовсй аппроксимации сбгуждагтея задача прибляж^ияя плоских регулярных рпманопых кэтгшых сплайнами первой степени (ломаными) —

Вфодптс« оботяятеяпе ¡¿/(6, г) максимального углотсго колебания касанезыий на участие кривой, стягивающем хорду длины 6, п

Теорема 17. Пусть и>(£,г) < тг/2. Тогда х(г,5,)<^1апИ1,г)/2). Коэффициент 1/2 не может быть уменьшен.

Пусть теперь г = г(<) — регулярная рпманова дуга без точек Егрегкба, а которых кривая пересекает свою касательную, и точки р, аа кривой г удовлетворяют условию

^ £(') = 2£соз2(ъ/2), » = С?^.

Здесь ^ = тах(о,/3) < 7г/2 и о, ¡3 — максимальные угловые отклонения касательной в одну и другую стороны от хорды р,р|+1; Е — положительная константа. Пусть Б\ обозначает ломаную, полученную сдвигом оиорных точек р1 интерполяционного сплайна. э направлении нормалей к кривой на величину Е.

Теорема 18. х(г>^0 5; Е. При этом для случая приближения окружности Л > 0 и Е — 1ии2(тг/(2А')) реализуется наилучшее ваусдорфово приближение.

Следствие 1. При £—* 0 количество звеньев локально-иппроксимационного сплайна £¡1 всегда меньше количества звеньев интерполяционного сплайна 3\, удовлетворяющего условиям е(з) = Е для каждого г.

Б §§2,3 предложены и обоснованы методы построения сплапновой Ештерполящш поверхностей параметрическими и неявно заданными сплайнами второй степени на нерегулярной треугольной сетке и случае лагр&нжевых и эрмитовых пншшеиций; рассматриваются вопросы обеспечения визуальной гладкости построенных онлайновых поверхностей; даны результаты численных экспериментов.

В §4 подробно рассматривается пример построения промышленной системы геометрического моделирования — системы автоматизированного проектирования реконструкции автомобильных дорог САПР "ЯеСАО" . разработанной в Инженерном дорожном центре "Индор" (г. Томск) при непосредственном участии автора. Обсуждаются проблемы трассирования реконструируемых автомобильных дорог с использованием онлайновых алгоритмов, которые апробированы на практике , и вопросы использовали а триан-

гуляшмпных методов построения интерполяционных и локгльпс-аппроксимационпых сплайнов двух переменпых па неравномерной сетке п качестве цифровой модели Местности. Приведены фрагмез-ты пользовательского интерфейса системы н примеры шпуяличасп-полученных результатов на различных этапах проектирования.

В последней главе рассматриваются задачи, отнесенные :: проблем« идентификации. Это — задача идентификации и устранения протяженных выбросов в экспериментальных зависимостях, задача отыскания точек разрыва производных, а которых эффехтив-по используются методы построения, ixest, точных на сплайнах. Суть дела здесь состоит п том. что п окрестности точек разрыва производной, порядок которой равен степени сплайна дефекта I, аппроксимация, точная па сплайнах, п число узлов которой попадает towi разрыва, отличается от аппроксимации, jvj имеющей там узла, по существу совпадая с пей вне этой окрестности. Поэтому пз сраснгпкй двух аппроксимаций, пи численных ко одним и тем же лохалыгм.ч: формулам, но со сдвигом в один узел, можно судить о место расположения точек разрыва производных а некоторым образом о величине разрывов.

Все алгоритмы тестированы па реальных электрокардиограммах. Эффективность разработанной методики при автоматизированием обработке экспериментальных временных последовательностей (га-прпмер, электрофизиологпчеекпх сигпалов) заключается в уменьшении времеящ счета и экономии памяти по сравнению с другими методами.

Наконец, з §3 дан пример решения задачи идентификации нелинейных дляаюэтескнх систем для случая систем экспоненциального типа. Пусть для отдельного динамического объекта математическое описание взаимосвязей переменпых состояния X объекта с учетом темпов пх изменения в общем случае представлено в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений относительно времени t, запнеапных в векторной форме (Льюнг)

= (19)

где X = {х|,г2,.. -.,хт} — изучаемые показатели (переменные состояния системы)"lU = {ui,uj,...} — входные переменные (управляющие воздействия); Ш = {Ili(<), П2(<),. - -} — параметры систе-

мы; F(X,U,Ш,t) - ШХ> £/, П, <).-••» /.«№ И, г)} — векторная функция, в сбздем виде нелинейная, характеризующая динамическую связь показателей.

Под групповым моделированием понимается моделирование но данным, измеренным на группе пз Л/ однородных объектов, отлм-' чающихся начальными условиями и, возможно, слабыми возмущениями в правой части оператора (19), с целью выявления основных закономерностей изучаемых процессов (Кочегуров). В этом случае динамические свойства системы в целом исследуют по экспериментальный данным, усредненным на группе однородных относительно значений показателей индивидуальных объектов, составляющих окисшую динамическую систему. Применение разработанной в диссертации методики построения динамических моделей для усредкен-еых на группе значений показателей системы даст некоторую рав-иааесиую траекторию Хслл({), О"о(<) и для прогнозирования процессов, происходящих в сложной динамической системе, ее уразнепке Еспользуетсг в линеаризованном виде. При этом компоненты вектора состсгнш = у индивидуального объекта, входящего в однородную группу, выражаются через отклонения от основной закономерности, представленной сплайнами, з внде

=*(»«(<)+д*<(0>«=1,..., »п.

Определение 5. Пусть процессы в сложной динамической системе проходят о режиме становления, то есть равновесное траектория монотонна ко всем интервале наблюдения (в этом случае ¿«»^(Я) ф О Тогда такую группу можно назвать группой экс-поисициалъного типа (акад. Г.И. Марчук).

Теорема 24. Для нелинейных динамических систем зкепоненци• алыш^о типа справедливо представление

ЛЩ1) = Е(()ЛХ(0,

еде элементами матрицы Е{1) являются коэффициенты вида - 1-Тл> ».7 - 1..• •. П»,

6 моменты времени

Полученное выражение является основным при моделировании

индивидуальных траекторий по измерениям па однородной rpyrrrre. Для ".того в параметры модели (начлль ные условия п коэффициенты) вводятся случайные малые возмущения. При -»том сущсствеягсов значение имеет условие устойчивости переходной матрицы E(i) в любой момент Интерпола моделирования (которое состоит з тем, vre все собственные значения матрицы должны быть но модули < 2), так как п протипном случае малым изменениям в параметрах модели отвечают неконтролируемо большие Р'имуьчспня з траехторцгх и группа "развалипастся".

В диссертации приведен пример модрл?!]к;вани« показателе иммунитета по измерениям Т- и Б-лимфоцитов крови, которые играют важную роль л опенке состояния oprami ota детей зерпся году жпзнп (Степанова).

Кратко обсулсдаются вопрогг т реконструкции фазового пространства многомерных хаознчгсхих временных рядов, выбора подход г-:ттего метода аппроксимации в динамическом пространств ссстс,z-?:пй для идентификации :: моделирования, нелпнешгых динамических систем с хаотическим повелением и возможности пу. применения в Проблеме фрактального сжатия изображений.

Заключение

Постоянно усложняющиеся задачи обработки тгпалол п пштей, необходимость моделирования все более сложных с;;-тем п пропрг-ссв з условиях направления на массовую автоматтаппю обработан' результатов эксперимента. и широкого распространения пелпкейиых итерационных методов настоятельно диктуют необходимость создания новых подходои, способных давать обоснованные зттойчпвые результаты с ¡фиксированными вычислительными затратами. Все чаше встречаются ситуации, когда так называемые "оптимальные" методы {включал решения задач наилучшего приближения) оказываются несостоятельными з смысле утраты вычислительной устойчивости при продвижении по временным слоям, а стремление абсолютно точно удовлетворить заданным уравнениям (как в метода коллокаипи) приводит к потере потенциальной точности промежуточного аппарата приближения. "Использовать робастпке методы" вместо прежней ориентации па сплошную оптимизацию призывает в последнее врем* .акад. Я.З. Цыпкпп.

С npjnoÄ стороны, "есть истинные ценности". В задаче отыскался гладкшс впиествеинозпачных функций к таковым относятся форму-

ла Тейлора и вытекающий из нее принцип локальной замены решения отрезкам полинома. В работе похазаио, что на основе разложения искомого решения по системе базисных сплайн-функций возможно эффективное решение разнообразных задал обработки числовой информации с фиксированными заранее вычислительными свойствами (структурой обращаемой матрицы) и возможностью аналитического восстановления решения в любой точке пространства наблюдения.

Осесвой разливаемого подхода является последовательное применение принципа точности вычислительных схем для любых много-чяе2:о.ъ степени I < п, п — степень сплайна, или для любых интерполяционных многочленов степени п + 1. Различные формы его реализации приводят во многих случаях к созданию вычислительно гфйаективных процедур получения гарантированных оценок в задачах моделирования, обработки данных и идентификации систем.

Основные научные результаты диссертационной работы состоят а следующем.

1. Разработаны теоретические основы нового конструктивного

построению разнообразных вычислительных схем отыс-х&н&а коэффициентов полнномпалышх сплайнов одной и многих ае-рексиЕИХ, основанного па использовании свойства точности полученных сплайнов на многочленах.

2. Предложены и исследованы классы вычислительных схем, обес-печхшздзщпх точность для интерполяционных многочленов и миого-«шжоэ наилучшего равномерного приближенна.

3. На примере сплайнов пятой степени рассмотрены вычислительные схемы, промежуточные между Интерпол анионными системами ур"л".е:;ий к явными формулами локальной аппроксимации сплайнами: получены экономичные трехдиагональные системы для отыска-ши коэффициентов сплайна; доказана оценка погрешности.

г I. Предложены и исследованы линейные рекуррентные алгоритм;,: сцскнг.анпЕ коэффициентов анпрокшмацноцного сплайна на одно- г. многоточечном шаблоне значений аппроксимируемой функции; дли случая сплайнов второй степени выделены области устойчивости, доказана оценка погрешности.

5. На основе разработанной в диссертации теории сплайн-схем, точных на многочленах в интерполяционном смысле, выполнены две модификации известных методов приближенного решения краевых зддач для дифференциальных уравнешш второго порядка кубаче-езшыв сплайнами на трех- и четырехточечном шаблонах; показано

существенное повышение точности приближенного решения я сбои?: случаях.

0. Получены и исследованы оригинальные схемы локальной, рг-куррентпой (для кубических сплайнов) и общей лагранжевой (для параболических сплайнов) интерполяции с дополнительными узлами; доказаны соответствующие оценки погрешности; графически г.г-люстрнропаиа большая прт'плек.чтелыктть полученного монотонного профиля, чем п результате применения известных параболических сплайнов.

7. Обосновано применение сокращенных вычислительных схем па шаблоне типа "крест" я припежч? пример модифшшроваппой аппроксимации билинейными с^лглшами в прячоугол;,пой области !та плоскости, обеспечивающей уменьшение погрешности аппроггепмашп; по сравнению с пнтерполягглоппым случае?.!.

8. С использованием компьютерной системы аналитических исчислении доказана уточненная опенка погрешности шпррпг,лгц;:п а узлах п'срсгулярной треугольной сетки л!н:еЙ1Шмп сплайнами дзух переменных.

С. Построены в явном виде базисные сплайны четвертой п третьей степеней на равномерном треугольном разбиении плоскости; рги:спа задача локальной интерполяции сплайнами четвертой степени гладкости С'1, доказана оценка погрешности.

10. Доказан аналог теоремы Чебышёва для характсрпзацЕК наилучшего приближения пространственных кривых секторными многочленами в хаусдорфовой метрике; приведены примеры фактического построения многочленов наилучшего хаусдорфоаа(пркближе£ШЯ плоских кривых.

11. С точки зрепш хаусдорфовой аппроксимация решены задачи интерполяции, и асимптотически наилучшего приближения плоских регулярных римаповых кривых сплайнами первой степени (ломапы-мп).

12. Предложены и обоснованы методы построения гладкой интерполяции поверхностей параметрическими и неявно задапными силайнями второй степени в вердшыах ^нерегулярной треугольной сетки с заданными в них направлениямиформальных векторов.

13. На основе построения •схем, точных яа •сплайнах, решены задачи идентификации и устранения яротяжедшых выбросов в экспериментальных зависимостях, отыскания точек разрыва производных п условиях гауссова характера вямех.

14. Обоснована решение задачи идентификации нелинейных динамических систем экспоненциального типа и предложен метод моделирования индивидуальных траекторий по измерениям на однородной группе.

15. Спяайповые модели временных рядов применены для трассн-• роаанпя реконструируемых автомобильных дорог.

16. Триангуляционные методы построения питерполяциошшх и локаяько-аппроксимацнонных сплайнов двух переменных au перегу-яяркой сетке использованы для создания цифровой модели местности.

17. Алгоритмы обработки нестационарных временных сигналов применены для анализа реальных электрокардиограмм при массовых обследованиях здоровья населения.

18. Методы группового моделирования применены для анализа измерений У- и В- «пмфоцнтоп кровп при оценке состояния организма детей па первом году жизни.

Таким образом, полученные и работе результаты обладают ио-пхзкой, имеют научную значимость и практическую ценность, значительные перспективы развития и могут претендовать, по нашему мнению, на ¡к;ль нового научного направление в вычислительной теории сплайнов, геометрическом моделирования н прикладной идентификации динамических систем.

Публмкахшн

Ссаоцаые результаты по теме диссертацт! опубликованы в следующих работах:

L Шумилов Б.М. О сплайн-аппроксимации функций многих переменных // Вычислительные системы. — Вып. G5. — Новосибирск, 'l'j;:,. — С. 83-88.

¡2. Шумилов Б.М. О локальной аппроксимации сплайнами первой степени // Вычислительные системы. — Вып. 75. — Новосибирск, 1978. — С. 16-22.

3, Шумилов Б.М. Локальные приближения линейными сплайнами двух иеремешшх // Вычислительные системы. — Выа. 75. — Новосибирск, 1978. — С. 23-35.

4). Шумилов Б.М. О локальной аппроксимации билинейными силай-ешн // Вычислительные системы. — Вып. 81. —Новосибирск, 1979. — С. 42-47.

5. Шумилов Б.М. О локальной аппроксимации параболическими сплайнами // Вычислительные системы. — Вып. 81. — Новосибирск, 1979. — С. 48-54.

6. Шумилов Б.М. Локальная аппроксимация сплайнами, точная шв многочленах по задан поп системе функционалов // Вычислительные системы. — Вып. 87. — Новосибирск, 1981. — С. 25-34.

7. Шумилов Б.М. Локальная аппроксимация сплайнами: формулы, точные па сплайнах — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР (Препринт № 86), 1981. — 24 с.

8. Шумилов Б.М. О локальной аппроксимации дискретно заданных функций сплайнами первой степени // Моделирование процессов я систем. — Томск, 1982. — С. 136-141.

9. Шумилов Б.М. Применение локальной аппроксимации сплайсгмз з задаче предварительной обработки информации // Вычислительные системы. — Вып. 93. — Новосибирск, 1982. — С. 66-72.

10. Шумилов Б.М. О локальио-аппрокспмагаояпыхмокосплайнаяпв равномерной сетке // Вычислительные системы. — Виг. 93. — Новосибирск, 1983. — С. 35 41.

11. Шумилов Б.М. Локальная однородно-минимальная шпрокскма-дия сплайнами // Конструктивная теория функций: Тез. дохл. Мсжс-дупар. конф. (Варна, нюнь 1984 г.). — София, 1984. — С. 171.

12. Шумилов Б.М. Лаграпжепа гштерполгшя кубпчесхгшз сплайнами с дополнительными узлами // Вычислительные системы. — Вып. 106. — Новосибирск, 1984. — С. 29- 40.

13. Шумилов Б.М. Локальные еднородпо-мшшмальннг (йермулы для сплайи-прсекторов // Мсзелпров. и оптимизация структура, систем. — Барнаул, 1984. — С. 49-53.

14. Шумилов Б.М. О численном отыскании разрывов арстамдаяшк в экспериментальных данных // Автоматизация научн. шссдаюв. — Куйбышев, 1984. — С. 79-84.

15. Шумилов Б.М. Алгоритм сжатия равных, содержащих протяженные выбросы // Автометрия. ~ 1985. — № 2. — С. 25-29.

1С. Шумилов Б.М. Применение локальной аппроксимации сплайнами в задаче предварительной обработки информации, II // Автометрия. — 1985. — № 3. — С. 36 40.

17. Шумилов Б.М. О локальной интерполяции кубическими сплапна-ша с дополнительными узлами // Вычислительные системы. — Вып. 1С8.— Новосибирск, 1985. — €. 37-43.

18. Шумилов Б.М. Локальная однородно-минимальная аппроксимация сплайнами // Изв. вузов. Математика. — 1986. — № 12. — С. 72-75.

19. Шумилов Б.М. Локальные методы добавления и сжатия информация бикубическими сплайнами // Вычислительные системы. — Вьш. 121. — Новосибирск, 1937. — С. 90 101.

20. Шумилчв Б.М. О лагранжевой интерполяции параболическими сплайнами с дополнительными узлами // Изв. вузов. Математика. — 1987. -№1.-С. 58-62.

21. Шумилов Б.М. О локальной интерполяции на равномерной треугольны! сетке сплайнами четвертой степени гладкости С1 // Изв. вузов. Математика. — 1988. — № 5. — С. 77-81.

22. Шумилов Б.М. Неявно заданные квадратнчес.кие сплайы-позерхности // Вычислительные системы. — Вып. 128. — Новосибирск, 1988. — С. 89-98.

23. Шумилов Б.М. Эрмитова интерполяции поверхностей неявно заданными квадратическими сплайнами // Вычислительные системы.

— Вьш. 128. — Новосибирск, 1988. — С. 99-108.

24. Шумилов Б.М. Рекуррентная интерполяция кубическими сплайнами с дополнительными узлами // Ж. вычнел. матем. и матем. физ.

— 1900. — Т. 29, № 2. — С. 179-185.

25. Шумилов Б.М. Гладкая интерполяция поверхностей параметрическими сплайнами второй степени на нерегулярной треугольной сетке // Ж. вычнел. матем. и матем. фнз. — 1992. — Т. 32, № 5. — С. 802-907.

' 26. Шумилов Б.М. Сплайн-аппроксимационные схемы, точные на многочленах Ц Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1992. — Т. 32, №8. — С. 1187-1196.

27. Шумилов Б.М. Генерирование сплайн-схем приближенного решение дифференциальных уравнений методом точности на многочленах // Вычислительные технологии. — 1995. — Т. 4, № 10. — С. 317-321.

28. Шумилов. Б.М. Сплапн-аппроксимационный метод идентификации нелинейных динамических систем и теория хаоса // Вторая Все-

российская школа-коллоквиум по стохастическим методам (Йспзкг.р-Ола, 18-23 декабря 100.» г.): Толпы цокладои. — М.: ТЗШ, Ш5, — С. 119-150.

29. Шумилов Б.М. Рекуррентная аппроксимация сплайнами // йзз. вузов. Математика. - 1D9G. — -V: 1. С. 85-87.

30. Шумился Б.М. О реконструкции фшового пространства пели-кеппых динамических систем по векторным наблюдениям п задаче сжатия изображений // Третья Всероссийская и: ко л а- кол.ток п лук по стохастическим методам (Туапсе. 17 'Л сентября 199G г.): Тезисы докладов. — М.: ТВИ. l'jw. - С. 109 17(1.

31. Shumilov B.N. Smooih iuterpohtion of surfaces by ;.econd-dfgrce parametric splines он an ЬтгдиЬч- и^шцмЬг grid // Comput. Maths Math. Phys. — 1992. - - V. 02, 5. P. 701-703.

32. Shumilov B.N. Spline approximation schemes that ere exr.ci Cos polynomials // Comput. Malb Math. Phys. -• 1992. — V. 32, К fl. - P. 10G5-1073.

33. Shumilov B.N. Tiic theory of spline-schemes and its .ippucations I/ Актуальны;' проблемы современной математики. Т. 2. — Нопосп->прск: Изд-по НИИ МИОО ПП\ PJ9G. - С'. 172-ISO.

34. Бсрсстнг.ва О.Г.. ///вшпм Г.Я.. Шунилон Б.М. Ллгори'мы лл-гоматизнровлнпой обработки электрофнзиологнчоекдх сиг.чаяоп при «ассопых обследованиях /'/ Применение мат. методов обработал кед.-¡пол. данных н ЭВМ п м--д. технике, ч. 2. — М., 1934. — €. G5-C7.

35. Бойкое D.H., Шумилов Б.М., Люстп С.Р. Трлсспрогггмг автемо-¡ильпых дорог: аспекты компьютерной реализаиии // Лзтт'обпльстле юроги. — 1995. - X 12. — С. 23-25.

36. Грошаз А,Г.. Шумилов Б.М. Спите? обьектоэ сложных техличе-кпх форм на основе ■объемного моделирования и саланнол // Асто-|атизаштя, математические методы и упразл. пароли, хоч. — Томск, 990. — С. 26.

37. Завьялов Ю.С., Шумилов Б.М. Локальная аппроксимация и пап-учшее равномерное приближение сплайнами // Теория приближения унхцпй: Тр. Междула;р. ,колф. (Киев, май -нюнь 1083г.). — М.: Нау-а, 1987. — С. ICS 171.

38. Козловских AJB.., Шумилов Б.М. Интерполяция кубическими

3.1

сплайп-фушашямн na аналоговых вычислительных машинах // Вычислительные система. — Вып. 72. — Новосибирск, 1977. — С. 69-73.

39. Козловских A.B., Шумилов Б.М. Устройство для интерполяции функций // A.C. Nä 057231 (СССР). — Опубл. в Б.Н. № 33, 1982.

•20. Кочегуроа В.А., Констаптикоаи Л.И., Шумилов Б.М. Параме-трзгаеская идентификация нелинейных дифференциальных уравнений ей основе метода сплайн-схем, точных на многочленах // Актуальные проблемы современной математики: Сборник научных трудов. Т. 1. — Иозосабирсх: Изд-во НИИ МИОО НГУ, 1995. — С. 82-94.

41. Рыбалха С.А., Шумилов Б.М. О локальной аппроксимации плоских кривых сплайнами первой степени п хаусдорфо^ой метрике — Изв. зузса. Математика. — 1S91. — № S. — С. 80-81.

42. Рыбалка O.A., Шумилов Б.М. Приближение плоских и пространственных кривых параметрическими многочленами ц сплайнами в хаусдорфовой метрике // Третья Международная конференций ко компьютерной графике и визуализации Графикон-93, Санкт-Петербург, 13-17 сект. 1993 г. Том 2. Учебные курсы и семинары. — Санкт-Петербург, 1993. — С. 20-27.

43. Рыбалка С.А., Шумилов, Б.М. Сплашыштерполяциа в геометри-=зеск0Ы моделировании // Второй Сибирский конгресс по прикладной в индустриальной математике (ШШРП.М-ОС), Новосибирск, 199С г.: Тез. дохл. — Новосибирск: Ни-т математики СО РАН, 199G. — С. 184.

44. Шумилов Б.М., Берестнсаа О.Г., Паалюх Т.М. Применение девятиточечного еялайи-фильтра на пе]>вом этапе автоматизироваииого анализа электрокардиографических сигналов // Цифровые и оптико-электроллые методы обработки изображений. — Томск, 19S5. — С. 71-74.

45. Шумилов Б.М., Маиюк Т.П. Подготовка исходной информация ДЛЯ СКНТеЗй сложных поверхностей // Автоматизация обработки сложной графической информации. — Горький, 1937. — С. 63-78.

46. Bojkov V.N., Shumilov D.M., Lyust S.R. Use oí parametric spline • emcothiag iu highways reconstruction // Advanced Mathematics: Com-

j/Uiatioas aad Applications. Proc. Int. Con!'. AMCA-95. Novosibirsk, Russia, 20-24 June, 1S95, ed. A.S. Alekseev, N.S. Bakhvalov. — Novosibirsk: NCC Publisher,1S95. — P. 463- 466.

47. Константинова Л.И., Кочегуров В.А., Шумилов Б.М. Параметрическая идентификация нелинейных дифференциальных уравнений на основе сплайн-схем, точных на многочленах // Автоматика и телемеханика. — 1997. — № 5. — С. 53-63.

48. Шумилов Б.М. Теоретические основы метода сплайн-схем, точных на многочленах, и решение прикладных задач идентификация и моделирования // Международная конференция "Осесхбирскис чтения по математике и механике" (Томск, 17-20 июня 1997 г.): Тез. докл. Т.1. Математика. — Томск: Иэд-во Том.ун-та, 1997. — С. 231-232.