автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Моделирование поверхностей сложной формы на основе интегродифференциальных сплайнов

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПИЩЕВЫХ ПРОИЗВОДСТВ

На права рукописи УДК 515.2

ЧЕКАЛИН АНДРЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ НА ОСНОВЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

СПЛАЙНОВ

Специальность 05.01.0! - Прикладная геометрия

и инженерная графика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва, 1998 г.

Работа выполнена в Московском государственном авиации онном институте (техническом университете) на кафедре при. кладной геометрии.

Научный руководитель: Заслуженный деятель науки и техник!

России, доктор технических наук профессор Якунин В.И.

Консультант: доктор физико-математическш

наук, профессор Киреев В.И.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профес^

сор Наджаров K.M.

кандидат технических наук, доцент Зубков В.А.

Защита состоится .1998 г. в часов на засе-

дании специализированного совета при Московском государственном университете пищевыхх производств. Отзывы на автореферат в 2-х экземплярах, заверенные гербовой печатью, просим направлять по адресу: 125080, Москва А-80 Волоколамское шоссе 11, отдел ученого секретаря. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГУПП.

Автореферат разослан к2й." 1998 г.

Ученый секретарь специализированного совета, п.п.н.профессор

И.Н, Акимова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. В последние два десятилетия сплайны заняли— прочное место в теории интерполирования и аппроксимирования функций. Круг задач, к решению которых привлекаются сплайны, разнообразен. В инженерной практике это особая подгруппа задач по геометрическому моделированию обводов и сложных криволинейных поверхностей, Сплайны широко применяется в таких отраслях промышленности как авиа-, судо-, автомобилестроение, где форма поверхности традиционно является сложной и в ряде случаев аналитически не описываемой. Здесь во многих случаях применение сплайнов для моделирования формы объекта предпочтительнее других функций, применяемых для аппроксимации.

При помощи сплайнов решаются задачи по аппроксимации функций, в том числе и с учетом их интегральных характеристик, например аппроксимация функций двух переменных с восстановлением кратных интегралов, решение интегральных и шпегродиффе-ренциальных уравнений и т.д. В инженерной практике также приходится решать задачи геометрического моделирования форм технических объектов с учетом их интегральных характеристик. Для их решения применяются традиционные универсальные сплайны (кубические, В-сплайны и др.). Процесс решения таких специфических задач с помощью универсальных сплайнов итерационный и, следовательно, трудоемкий. В целях снижения трудоемкости необходим поиск новых методов, специально приспособленных для решения указанного круга задач.

Одной их первых таких задач является моделирование кривой

с требованиями к ограниченной ею площади поверхности. Такая ж задача может стоять и для поверхности. Другая важнейшая задач« решаемая с помощью сплайнов - сглаживание экспериментальны данных. Данные, полученные экспериментально, как правиле предоставлены с некоторой погрешностью. Строить интерполяциог ный сплайн в этом случае не имеет смысла, а иногда невыгодно и; за резко выраженных осцилляции. Процесс построения сглаживаю щего сплайна, заключающийся в минимизации интегральног функционала, сложен и трудоемок уже для одномерного случае Применение специального сплайна с интегральными параметрам существенно облегчит решение этих задач.

При поиске новых методов аппроксимации основными зада нами являются:

- обеспечение необходимой точности аппроксимации, в то: смысле, что отклонение аппроксимирующей поверхности о аппроксимируемой не превышало наперед заданную величину

- сокращение количества аппроксимирующих сегментов пр сохранении точности аппроксимации, то есть уменьшени кусочности обвода.

Решение этих проблем так же является одной из целей данно: диссертации.

Существует еще одно назначение дополнительных свободны; параметров сплайнов. Это управление формой обвода - локальна модификация проектируемой кривой. Хорошие результаты дае метод напряженных сплайнов. К недостаткам метода следуе отнести:

- алгоритмы проектирования кривых на основе одного тип;

сплайнов весьма трудоемки, другие же сплайны в общем случа'

нс обеспечивают второго Порялка^гладкости проектируемого обвода при варьировании параметрами напряжения; ^ —

- на параметры напряжения сплайнов существуют некоторые ограничения;

- Ке исследованы двумерные напряженные сплайны, позволяющие оперативно изменять форму поверхности.

Одной из задач исследования является разработка методов >перативного управления формой обвода на основе интегродиффе->енциальной аппроксимации. Предлагаемый метод прост, удобен. 1агляден и легко реализуется на ЭВМ.

Цель исследований состоит в разработке методов и алгоритмов аппроксимации кривых и сложных технических поверхностей •штегролифференциальными сплайнами СИД-сплайнами). в том гисле в разработке новых методов сглаживания и управления Ьормой обволов.

Эффективное решение задач аппроксимации предлагаемыми :плайнами становится возможным за счет присутствия в их формулах интегральных параметров. В первую очередь это ггносится к задаче сглаживания, суть которой состоит в минимиза-дии некоторых функционалов, которые являются интегральными. Научная новизна работы заключается в следующем:

- разработаны методы интерполяции дискретно заданных кривых и поверхностей ИД-сплайнами второй и четвертой степеней;

- разработаны методы и алгоритмы управления формой одномерного и двумерного обводов на основе интегродифферен-циальной аппроксимации;

- разработана методика сглаживания данных, полученных

экспериментально;

- Исследована возможность уменьшения кусочности обвода целью сокращения объема хранимой информации об обводе. Методика выполнения работы. Решение задач, поставленны

в работе, базируется на методах начертательной, дифференциал! ной, вычислительной геометрии, математического анализе линейной алгебры и других смежных наук.

Теоретической базой для выполнения диссертационно работы послужили исследования Н.Ф. Четверухина, И.И. Kotobs С.А. Фролова, A.M. Тевлина, В.Е. Михайленко. В.А. Бусыгина. Н.Е Рыжова, В.А. Осипова, A.B. Павлова, K.M. Наджарова, Ю.С Завьялова, А.Д. Тузова, В.И. Якунина и др. и их учеников, а такж зарубежных ученых А. Фокс, М. Пратт, Дж. Алберг, Э. Нильсо! Дж. Уолш, С. Куне, Дж. Фергюссона, П.Безье и др.

Практическая ценность. Предложенные в диссертации метод: обладают высокой универсальностью, алгоритмы на их основ являются простыми и экономичными и легко программируются. П результатам исследований разработан комплекс программ.

Полученные результаты могут быть использованы при проек тировании различных изделий в авиа-, судо-, автомобилестроении, легкой и обувной промышленности и др. На защиту выносятся:

- методы аппроксимации обводов квадратичными ИД сплайнами:

- методы и алгоритмы аппроксимации обводов ИД-сплайнам] четвертой степени, метод управления формой обвода, мето. сглаживания на основе ИД-аппроксимации:

методы и алгоритмы аппроксимации криволинейных поверх

ностей биквадратичными ИД-сгглайнами и двумерными ИД-сплайнами четвертой степени, методы управления формой двумерного обвода.

Апробация работы. Основные результаты работы были обсуждены:

- на аспирантских семинарах кафедры «Прикладная геометрия» МАИ, 1994-1998 гг.

- на Всероссийской научно-технической конференции «Роль геометрии в искусственном интеллекте и системах автоматизированного проектирования» в г. Улан-Удэ, 1996 г

- на семинарах «Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации» в г. Саратове. 1996-1997 гг.

- на VII - Всероссийской конференции по компьютерной геометрии и графике «Кограф-97» в г. Нижний Новгород, 1997г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 научных работ, в которых отражены теоретические и прикладные результаты исследований.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех

глав, списка использованной литературы, включающего 119 наименование, и содержит 123 страницы машинописного текста, 28 рисунков, 4 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследования, сформулированы цели и задачи исследования, их научная новизна и

практическая ценность.

В первой главе диссертации проведен анализ некоторых видо! сплайнов, применяемых для решения задач сглаживания i управления формой обвода. При этом основное внимание уделяете? напряженным и обобщенным сплайнам. Применение этих сплайног для оперативного управления формой проектируемой кривой дает наилучшие результаты. На основе проведенного анализа указань преимущества и недостатки напряженных и обобщенных сплайнов Обосновывается выбор предлагаемых сплайнов в качестве объект, исследования.

В связи с изложенным, ставится задача исследования интег родифференциальных сплайнов и методов конструирования кривы? и поверхностей на их основе.

Интегродифференциальный сплайн получается путем добав ления в формулу сплайна дополнительного интегральноп параметра. Для одномерного сплайна таким параметром являетез площадь поверхности под кривой (Рис.1.), для двумерного - объе\ под сплайновой поверхностью.

Теперь при постановке задачи интерполяции можно поставит) условие равенства площадей под соответствующими дугам! интерполируемой кривой и сплайна. На рис. 2 показан сплайн S(t) интерполирующий вектор-функцию r(t), обеспечивающий по; кривой /(?(0) и под сплайном I(S(t)).

У

х

Рис Л. Дополнительный параметр - площадь поверхности под кривой. Свойство исследуемых сплайнов сохранять плошали и объемы

и минимизировать функционалы:

с,

п„

назовем консервативностью.

1,(5(0)

1Ш

Г, ^ _

' г('0

1 1 "" 1

X

Рис.2. Консервативность - свойство сохранять площадь.

Вторая глава посвящена одномерным ИД-сплайнам и методам проектирования кривых на их основе.

Сплайн произвольной степени п зависит от п+\ коэффициентов. В традиционных сплайнах в качестве коэффициентов используются функциональные и дифференциальные параметры • значения функций и производных в узлах. Для удобства стыковки звеньев друг с другом количество таких параметров на обоих концах звена сплайна должно быть равно. Следовательно, их число будет четным. Интегральный параметр единственен для всего звена, Число параметров ИД-сплайна будет нечетным, а степень ИД-сплайна - четной.

Далее в диссертации параллельно рассматриваются И/ сплайны второй (квадратичные или параболические) и четверто степеней.

Интегродифференциальным сплайном, интерполирующи функцию f(t) на сетке А, будем называть алгебраический многочле Sm(t;f), который вместе с несколькими производными непрерывен удовлетворяет условиям:

на всем отрезке [а,Ь], а на каждом частичном отрезке 1,+1] и и всем отрезке [а,Ь] с наперед заданной точностью удовлетворяв интегральному условию:

'»1

5/;+1= j[S(tJ)-f(t)]dt = 0, (б//+1 = 0), или

t,

Параболическая сплайн-функция имеет вид:

где V.'.;-./:.,--./;

Или в лагранжевой форме:

Ц+1

в параметрическом виде:

г = Г(о = гх(/>ё, №2 .

где ф(и) - базисные функции:

9>,(гО = 0-и)(1-Зм); <р2(;/) = (Зи-2)и; - 6?/(1-и)',

У,(и). 1'И] - радиус-векторы начала и конца участка, -

интеграл - вектор участка сплайна, представляющий собой вектор с компонентами - интегралами по параметру от скалярных функций, задающих кривую.

Заметим, что

Яг(г,+1) = 1; = 0:

',,1

Теперь можно применить сплайн для аппроксимирования ривой, если будут известны интегралы /)'+1. Для обеспечения ладкости проектируемого обвода интегралы вычисляются из систем

линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), полученных и;

условия непрерывности первых производных в узлах сплайна:

\

.+1Ы. 1,2 1,2

/

Г V

где в правой части находятся неизвестные коэффициенты. Однако в этом случае не удастся получить точного выполнения условия сохранения интегралов.

Для точного выполнения условий интегралы должны быть рассчитаны другим методом. При перезадании кривой, то есть когда аппроксимируемая кривая известна полностью - задана графически или уравнением, можно ввести дополнительную сетку Д, мельче, чем сетка А и рассчитать интегралы, например методом трапеций. Если кривая задана таблично, то интегралы находятся из квадратурных формул, полученных из параболических сплайнов. В этил случаях для обеспечения гладкости обвода необходимо сместит! узлы сплайна, пересчитав их по предыдущей системе уравнений, с той разницей, что неизвестными теперь будут значения в левой части. На этой методике основан интегральный метод сглаживания, когда узлами сплайна выбираются некоторые узлы интерполяции, а остальные, не включенные в сетку Д используются для численного интегрирования.

В этом случае сплайн сохраняет площадь поверхности под ломаной, как показано на рис.3. Таким образом решается задача уменьшения кусочности обвода. Основное неудобство параболического сплайна в том, что для него не существует краевых условий. В диссертации разработан способ замыкания обвода, путем пересчета коэффициента последнего или первого звена.

У

/ Г0=г0

rrV

I'm Гм

X

Рис, 3. Интегральный метод сглаживания.

ИД-сплайн четвертой степени имеет вид:

_ _ T'+l

К» - К'М'О + ^ООЧ^зМ + ^ЖО')] + f—

где <р{и)- базисные функции:

<р,(ы) = (1 + 5и)(1-3м)(1-и)г;

^(н) = (3н-2)(6-5н)н:; Фу(1>)=п{2-5и)(\-иУ ¡2\ <РА 00 - (1 - «)(3 - 5и)и: / 2; <р5(н) = 30 г/2 (1-й)2. Каждый участок определяется радиус-векторами начала и конца звена, касательными к кривой на концах звена и вектор интегралом 7/+l. Для построения сплайна коэффициенты

интегралы находятся также, как и для параболических сплайнов. Затем из СЛАУ, аналогичной системе для кубических сплайнов рассчитываются касательные векторы. Матрица системы трехдиаго-нальная, поэтому при заданных граничных условиях сплайн существует и единственен. Для данного сплайна существуют те же типы граничных условий, что и для кубических сплайнов. При помощи сплайна четвертой степени решается такая же задача сглаживания, как и при помощи параболического, с тем отличием, что узлы сплайна не смещаются.

Управление формой обвода производится изменением вектора 7/+1. В отличии от напряженных сплайнов, у которых существуют ограничения на параметры напряжения, интегральным параметром можно варьировать практически без ограничений. При изменении вектор-интеграла на одном из участков на границе этого участка будет наблюдаться разрыв второй производной, но первая производная останется неразрывной, остальные участки сплайна не изменятся. Таким образом можно оперативно управлять формой обвода без пересчета всего сплайна, сохраняя в выбранных узлах первый порядок гладкости, а в остальных - второй. При этом можно количественно оценить разрыв второй производной вектор-интеграла. Если сплайн не удовлетворяет требованиям поставленной задачи, можно пересчитать не весь сплайн, а несколько соседних участков. При создании системы автоматизированного проектирования часть этапов можно производить в автоматическом режиме, а часть в интерактивном. Указанные алгоритмы хорошо программируются. В диссертации приведены результаты экспериментов, показавшие большую эффективность интегродифференциального метода сглаживания по сравнению с методом напряженных сплайнов.

В третьей главе дана методика аппроксимации поверхностей, редставленных произвольным точечным каркасом, двумерными 1Д-сплайнами. Рассматриваются также сплайны второй и четвертой тепени.

Биквадратичный сплайн имеет вид:

где <р (и) = ((р1(и),<р2(и),<р3(и)/Ь1+1),

(Г =

Щ

/.у+1

ц+\зп) /;+1//+1,

щ

Ф) =

г \

(Z»l(v) <Рг(V) <Рз 00/

е-о .

v -

(5-5.)

V« 'V

Ячейка биквадратичного сплайна задается девятью векторами:

>адиус-векторами углов ячейки, частичными интегралами /?,'+1(5/) и и полным вектор-интегралом У,'"1//1 (Рис.4).

Построение гладкой сплайновой поверхности заключается в ычислении коэффициентов - интегралов из условия непрерывности гервых производных.

Частичные интегралы Т^ия^) и являются коэффици-

нгами одномерных частичных ИД-сплайнов, описывающих линии клейки. Алгоритм их вычисления описан во второй главе. Полные ектор-интеграл вычисляются из аналогичных систем, полученных ¡з условий непрерывности производных на линиях склейки. Все лгоритмы, варианты задания краевых условий и примеры риводятся в третьей главе.

и

/ *

/

/

/ X

Рис. 4. Задание ячейки биквадратичного сплайна. Двумерный ИД-сплайн четвертой степени имеет вид:

= v),

где (рт(и) = (р,(н),<рг (и),<ръ (м)*/г, ^. / Л(+1),

Г г. '•У л01

л01

дй д10 АЗ Л11

Л10 л11 Лп

Я1+1х(ум) г'+1 гУ+1 у У

Ч>1<У) <Рг (V)

<Р-Р)8л-1

л — -

5 - ,•

^(м), <рк{\>),к = 1,2,3,4,5 - базисные функции определенные для )дномерного ИД-сплайна четвертой степени. Ячейка сплайна ¡адается двадцатью пятью векторами. Левый верхний квадрат 4x4 соэффициента в матрице № аналогичен матрице бикубического :плайна. Правый столбец умноженный, на матрицу-строку <рт(и), и тижняя строка, умноженная на матрицу-столбец <р(х), представляют ;обой интеграл-функцию - интегральные параметры сплайна. ИД-лтлайн четвертой степени несколько сложнее бикубического и зиквадратного, но алгоритм вычисления линейный и легко фограммируется. Сначала вычисляются интегральные коэффициенты из систем рекуррентных соотношений или квадратурных формул тля квадратных и биквадратных ИД-сплайнов. Затем вычисляются штегродифференциальные параметры - коэффициенты интеграл-пункций из систем для одномерных ИД-сплайнов четвертой :тепени. На третьем этапе рассчитываются дифференциальные тараметрьг - частные и смешанные производные.

В сравнение с бикубическим сплайном сплайн четвертой :тепени более гибок, устойчив, в том смысле, что процесс штерполяции в меньшей степени зависит от сетки и быстрее [справляются погрешности в краевых условиях. Сплайн четвертой

степени моделирует поверхность второго порядка гладкости, в то числе и замкнутую.

В третьей главе рассмотрены алгоритмы моделировани поверхности с помощью ИД-сплайнов. Эти задачи аналогичн! задачам для одномерных сплайнов: сглаживание и минимизаци кусочности обвода, управление формой обвода.

Сглаживание и минимизация производятся так же, как и дл одномерного случая: вводится новая сетка параметров, крупнее, че: имеющаяся. При этом узлы, не включенные в новую сетку служа для расчета интегральных параметров. Частичные интеграл] вычисляются как для одномерного сплайна. Векторы полног интеграла вычисляются как параметры поверхности многогранник с вершинами в промежуточных точках.

При управлении формой проектируемой поверхности можн изменять любые интегральные и интегродифференциальны коэффициенты. В главе анализируются изменение форм! поверхности при варьировании теми или иными параметрами.

В четвертой главе приведен пример аппроксимации техниче ских обводов и реальной технической поверхности ИД-сплайнами.

Первый пример - аппроксимация кривой, заданной аналити чески. Анализ результатов (интегральные оценки, отклонение среднеквадратичное отклонение, наличие точек перегиба аппроксимации и его сравнении с кубическим сплайном, позволяе сделать вывод о предпочтительности метода ИД сплайна четверто) степени для решения такого рода задач.

Второй пример восстановление сегмента поверхности гори зонтального оперения самолета, представленной точечным базисом Эта поверхность линейчатая, задаваемая инженерным способом, т<

;сть при помощи двух направляющих. Таким образом, интерес тредставляет математическое описание самих направляющих.

Каждый профиль горизонтального оперения задан 114 точками с неравномерным шагом. Предполагая, что у восстанавливаемых оправляющих радиусы кривизны всюду непрерывны, из оценок точности интерполяции кубического сплайна рассчитывается точность восстановления. Затем решается задача уменьшения <усочности по методике, описанной выше, а именно: из оценок для ЯД-сплайна выбирается новая сетка крупнее, приблизительно в три )аза, из 38 точек и аппроксимируется сплайном четвертой степени. Тогрешность вычисляется, как отклонение кубического сплайна от ;плайна четвертой степени. В результате максимальное отклонение 4Д-сплайна в 1,5 раза меньше, чем отклонение для кубического :плайна на мелкой сетке.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенных исследований по разработке методов геометрического моделирования сложных технических юверхностей получены следующие основные результаты:

1. Разработана методика аппроксимации поверхностей ин-тегродифференциальными сплайнами второй и четвертой степени.

2. Разработан новый экономичный, безытерационный метод сглаживания экспериментальных данных.

3. Разработан новый метод управления формой обвода, в том числе двумерного.

. В приложении диссертации приведены несколько программ, описанных на языке «Pascal», реализующих основные разработан-[ые в диссертации методы моделирования.

Список работ, опубликованных по теме диссертации.

1. Чекалин A.A., Якунин В.И. Аппроксимация пространс венных кривых интегродифференциальными сплайнами//Роль геометр! в искусственном интеллекте и системах автоматизированного проектиров ния: доклады научно-технической конференции - Улан-Удэ, ВСГТУ, 1996 i

2. Киреев В.И., Якунин В.И., Чекалин A.A. Аппроксимац* сложных технических поверхностей двумерными квадратным интегродифференциальными сплайнами. //Совершенствован! подготовки учащихся и студентов в области графики, конструир« вания и стандартизации: Научно-методический сборник докладе семинара по организации Всероссийского конкурса учащихся студентов по начертательной геометрии и компьютерной график Саратов 1996 г. с. 123 - 125.

3. Чекалин A.A., Якунин В.И. Построение обвода и управл! ние его формой на основе интегродифференциальной Интерпол: ции//Тезисы докладов VII Всероссийской конференции по компьн терной геометрии и графике,-Нижний Новгород, 1997, с. 88, 89.

4. Киреев В.И., Чекалин A.A. Аппроксимация кривых одн< мерными биквадратными интегродифференциальными сплайнам: //Совершенствование подготовки учащихся и студентов в облает графики, конструирования и стандартизации: Научно-метод! еский сборник докладов семинара по организации Всероссийског конкурса учащихся и студентов по начертательной геометрии компьютерной графике. Саратов 1997 г с. 120, 121.

5. Киреев В.И., Чекалин A.A. Аппроксимация плоских Kpi вых интегродифференциальными сплайнами четвертой степен (находится в печати).

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

На правах рукописи УДК 515.2

Чекалин Андрей Александрович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ НА ОСНОВЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СПЛАЙНОВ

Специальность 05.01.01 - Прикладная геометрия и

инженерная графика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата

технических наук

Научный руководитель

- Заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор Якунин В.И.

Москва - 1998

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.......................................3

ГЛАВА 1. Сравнительный анализ некоторых видов сплайнов. ... 9 ГЛАВА 2. Моделирование кривых интегродифференциальными сплайнами........................................19

2Л .Одномерный ИД-сплайн. Вычислительный аспект .... 19

2.1.1. Параболический ИД-сплайн...................20

2.1.2. ИД-сплайн четвертой степени.................25

2.2. Моделирование кривых.......................32

2.3. Решение задачи сглаживания...................40

2.4. Управление формой обвода на основе интегродифферен-

циальной интерполяции.............................44

Выводы к главе 2..................................49

ГЛАВА 3. Моделирование поверхностей ИД-сплайнами......50

3.1. Двумерные ИД-сплайны. Методы расчета..........50

3.2. Геометрический аспект моделирования поверхности . .66

3.3. Локальная модификация поверхности............71

3.4. Уменьшение кусочности обвода................73

Выводы к главе 3..................................78

ГЛАВА 4. Примеры моделирования реальных объектов......79

4.1. Аппроксимация плоской кривой, заданной аналитически ....................................79

4.2. Аппроксимация поверхности типа «линейчатое крыло»...................................85

Выводы к главе 4..................................89

ЗАКЛЮЧЕНИЕ....................................90

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.............................91

ПРИЛОЖЕНИЯ...................................102

ВВЕДЕНИЕ

Системы автоматизированного проектирования изделий нашли широкое применение при проектировании, конструировании и изготовлении различных технических объектов. Такие системы в настоящее время интенсивно разрабатываются и внедряются в производство. Применение САПР позволяет значительно сократить сроки проектирования и подготовки производства. Одной из важных областей применения автоматизированных систем проектирования являются задачи геометрического моделирования сложных технических поверхностей. При автоматизированном проектировании летательных аппаратов, морских и речных судов и других кон-

w V 1

струкции, имеющих в своем составе изделия сложной формы, значительную часть математического обеспечения систем проектирования составляет представление и обработка на ЭВМ геометрической информации, которая используется при решении многих проектных и технологических задач. Из этого следует, что блок геометрического моделирования является важнейшей частью САПР, от которого зависит работа остальных модулей.

Алгоритма моделирования формы проектируемых объектов строятся на основе методов прикладной геометрии, теоретические основы которой, применительно к расчетам на ЭВМ разработаны Советскими учеными Н.Ф. Четверухиным, И.И. Котовым, В.А. Бусыгиным, Ю.С. Завьяловым, Г.С. Ивановым, В.Е. Михайленко, K.M. Наджаровым, В.А. Осиповым, A.B. Павловым, A.JL Подгорным, H.H. Рыжовым, A.M. Тевлиным, П.В. Филипповым, С.А. Фроловым, В.И. Якуниным и их учениками.

Значительный вклад в изучение этого вопроса внесли зарубежные ученые Дж. Алберг, Э. Нильсон, Дж. Уолш, С. Куне., И

Шенберг, К. Де Бор, Дж. Ризенфельд, П. Бизье, А. Форрест и др.

Наиболее полно задачи блока «Геометрия в САПР сформулированы проф. В.И. Якуниным в его работах [90,92]. Среди этих задач основной является задача математического моделирования обводов и поверхностей сложных форм. В настоящее время известно большое количество способов решения этой задачи.

Один из самых распространенных способов решения - это каркасно-кинематические методы проектирования поверхности. Основы этого метода были разработаны проф. Котовым И.И., Рыжовым H.H. и их учениками.

Одним из разновидностей каркасного способа проектирования является каркасно-кусочный способ при помощи «порций» поверхностей, ограниченных криволинейными четырехугольниками или треугольниками. Вся проектируемая поверхность при этом способе составляется из гладко состыкованных порций поверхностей, каждая из которых задается отдельным параметрическим уравнением. Частным случаем каркасно-кусочного способа является метод сплайн-функций.

Весьма распространенным является класс задач по моделированию поверхностей на основе дискретно-точечного каркаса. Решению задач этого класса посвящены работы Ю.С. Завьялова, K.M. Наджарова, Е.А. Стародетко, В.И. Якунина, Ю.И. Бадаева, Э.В. Егорова, В.К. Исаева, Квасова, В.А. Леуса, В.И. Макутова, B.JI. Мирошничеснко, В.А. Надолинного. В.А. Скороспелова, С.А. Старкова, А.Д. Тузова и многих других.

Большое разнообразие существующих способов проектирования поверхностей объясняется сложностью процесса проектирования. Этим обуславливается известные трудности при попытках создания более или менее универсальных САПР. Включение в со-

став системы большого количества способов проектирования усложняет ее, затрудняя как процесс создания, так и работу с ней.

С другой стороны существующие наиболее универсальные методы моделирования, такие, например, как кубические сплайны не позволяют эффективно решать некоторые специфические задачи проектирования, например проектировать кривые и поверхности с теми или иными наперед заданными свойствами, управлять формой обвода и т.д.

Таким образом актуальной является задача развития методов проектирования с целью с одной стороны сохранения их универсальности, а с другой придания им новых возможностей, по возможности не усложняя их.

На практике, при построении поверхностей летательных аппаратов широко применяются кубические сплайны [29,30]. Этот математический аппарат хорошо изучен, прост и удобен для проектирования одномерных и двумерных обводов. Основная задача, решаемая с помощь сплайнов это интерполяция. Кубический сплайн кроме этого позволяет решить другую важнейшую задачу -задачу сглаживания [29,30]. Процесс построения сглаживающего сплайна трудоемок, так как он итерационный, а кромке того системы уравнений для вычисления коэффициентов сглаживающего сплайна сложнее, чем для интерполяционного.

Еще одной важной задачей, которую иногда приходится решать на практике является локальная модификация кривых и поверхностей - задача управления формой обводов. Решение этой задачи при помощи кубических сплайнов затруднительно. Для этого используются обобщенные [29], напряженные [68] и некоторые другие виды сплайнов. Эти сплайны также обладают некоторыми недостатками. Например не изучены двумерные сплайны, позво-

ляющие управлять формой каркасной поверхности.

В связи с этим объектом наших исследований выбраны ин-тегродиффернциальные сплайны [41-48, 83, 84], имеющие дополнительные - интегральные параметры и позволяющие более эффективно решать эти и некоторые другие задачи по моделированию кривых и поверхностей.

Для достижения этой цели нами поставлены и решены следующие теоретические и прикладные задачи:

- исследование геометрических и вычислительных свойств интегродифференциальных сплайнов;

- разработка методов аппроксимации кривых и поверхностей интегродифференциальными сплайнами, в том числе и со сглаживанием;

- разработка метода управления формой обвода на основе ин-тегродифференциальной аппроксимации;

- исследования возможности уменьшения кусочности обвода, основанного на методе интегрального сглаживания;

- разработка алгоритмов и программ, реализующих данные методики.

Методика выполнения работы. Решение задач, поставленных в работе, базируется на методах начертательной, дифференциальной, вычислительной геометрии, математического анализа, ли-неинои алгебры и других смежных наук.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- разработаны методы интерполяции дискретно заданных кривых и поверхностей интегродифференциальными сплайнами второй и четвертой степеней;

- разработаны методы и алгоритмы управления формой одномерного и двумерного обводов на основе интегродифференциаль-

ной аппроксимации;

- разработана методика безытерационного сглаживания данных, полученных экспериментально на основе минимизации нового интегрального функционала;

- Исследована возможность уменьшения кусочности обвода с целью сокращения объема хранимой информации об обводе..

Эффективное решение задач аппроксимации предлагаемыми сплайнами становится возможным за счет присутствия в их формулах интегральных параметров. В первую очередь это относится к задаче сглаживания, суть которой состоит в минимизации некоторых функционалов, которые являются интегральными.

- Научная новизна работы заключается в следующем:

- разработаны методы интерполяции дискретно заданных кривых и поверхностей ИД-сплайнами второй и четвертой степеней;

- разработаны методы и алгоритмы управления формой одномерного и двумерного обводов на основе интегродифференциаль-ной аппроксимации;

- разработана методика сглаживания данных, полученных экспериментально;

- Исследована возможность уменьшения кусочности обвода с целью сокращения объема хранимой информации об обводе.

Практическая ценность. Предложенные в диссертации методы обладают высокой универсальностью, алгоритмы на их основе являются простыми и экономичными и легко программируются. По результатам исследований разработан комплекс программ.

Полученные результаты могут быть использованы при проектировании различных изделий в авиа-, судо-, автомобилестроении, в легкой и обувной промышленности и др.

На защиту выносятся:

- методы аппроксимации обводов квадратичными интегро-диффернциальными сплайнами;

- методы и алгоритмы аппроксимации обводов интегродиф-ференциальными сплайнами четвертой степени, метод управления формой обвода, метод сглаживания на основе интегродифференци-альной аппроксимации;

- методы и алгоритмы аппроксимации криволинейных поверхностей биквадратичными интегродифференциальными сплайнами и двумерными интегродифференциальными сплайнами четвертой степени, методы управления формой двумерного обвода.

Апробация работы. Основные результаты работы были обсуждены:

- на аспирантских семинарах кафедры «Прикладная геометрия» МАИ, 1994-1998 гг.

- на Всероссийской научно-технической конференции «Роль геометрии в искусственном интеллекте и системах автоматизированного проектирования» в г. Улан-Удэ, 1996 г

- на семинарах «Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации» в г. Саратове, 1996-1997 гг.

- на VII - Всероссийской конференции по компьютерной геометрии и графике «Кограф-97» в г. Нижний Новгород, 1997г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 научных работы, одна работа находится в печати, в которых отражены теоретические и прикладные результаты исследований.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка использованной литературы, включающего 110 наименование, и содержит 101 страницу машинописного текста, 30 рисунков, 2 таблицы.

ГЛАВА 1. Сравнительный анализ некоторых видов сплайнов

В последние два десятилетия сплайны заняли прочное место в теории приближения и ее различных приложениях и продолжают стремительно развиваться. Об этом свидетельствует огромное количество опубликованных за последнее время научных трудов по этой теме, а так же неубывающий поток журнальных статей.

Круг задач, к решению которых привлекаются сплайны необычайно разнообразен. В теоретических приложениях это от аппроксимации сеточных функций до решения интегральных и дифференциальных уравнений. В инженерной практике, это особая подгруппа задач по геометрическому моделированию кривых и криволинейных поверхностей, особенно в таких отраслях, как авиа-, судо-, автомобилестроение, где форма поверхности традиционно считается сложной и в ряде случаев аналитически неопи-сываемой. Во многих таких случаях применение сплайнов предпочтительней других аппаратов приближения или единственно возможно.

К сожалению, несмотря на хорошую изученность большинства сплайн-функций, в исследовании вопросов моделирования кривых поверхностей с их помощью сделано в десятки раз меньше, чем в задачах аппроксимации функций. Основные трудности здесь связаны с геометрической спецификой рассматриваемых объектов, а так же с тем, что хорошо известные методы аппроксимации не могут быть непосредственно перенесены на такие задачи.

Теория сплайн-функций началась с опубликования в 1946 г. Шенбергов (США) работы [105]. Развитие теории Шенбергом последовало в работах [106-109]. В числе первых статей, посвященных кусочно-многочленной интерполяции наиболее значимыми

были работы Биркгоффа и Гарабедяна, Уолша, Алберга [1], Ниль-сона [100-102], де Бора [21] в начале 60х гг. Среди первых отечественных работ по приближению функций одной и двух переменных кусочно-многочленными функциями наиболее значимыми являются работ Ю.С. Завьялова [27-31], Ю.С. Субботина, В.А. Василенко [11], B.C. Рабинского , и др.

В настоящее время к числе наиболее известных работ, посвященных теории сплайнов можно отнести работы [12,21,30,36,37,39,68,78].

Рассмотрим некоторые виды сплайнов и задачи, решаемые с их помощью.

Как известно, большинство решаемых на практике задач геометрического моделирования по содержанию можно отнести к одной из трех групп:

•Приближенное описание кривой или поверхности (перезадание) - подбор для геометрического объекта достаточно простого математического выражения;

•Восстановление кривой или поверхности по некоторым данным о них;

•Генерация - построение кривой или поверхности с заданными свойствами.

При решении задач и приближенного описания и восстановления, например аппроксимации массива точек, (особенно больших массивов) лучше всего зарекомендовали себя кусочные методы приближения, когда аппроксимируемая кривая заменяется гладко состыкованными кусками кривых конечного порядка, среди которых наиболее популярны методы сплайн-функций.

Основы теории сплайнов изложены в работах [1,29,30]. Напомним основные положения.

Как сказано выше, сплайн является кусочно-полиномиальной функцией, состоящей из гладко состыкованных звеньев - многочленов одного порядка.

Пусть на отрезке [а,Ь] некоторого параметра / задана сетка узлов

А:а = ¿0 < ц < ¿2 <...<

Функция называется сплайном степени п класса

Ст (0 < т< щу = п~ т) с узлами на сетке А, если:

а) на каждом отрезке N = N функция ^„(О, является многочленом степени п, т.е.

п

Я„,у(0 = ^(0= Е^С"'/)* для ; (1)

к-о

б) 8п &Ст[а,Ь] ( Имеет т непрерывных производных на всем участке [а,Ь]).

Производные сплайна порядка выше т до п включительно, вообще говоря терпят конечные разрывы в точках Индекс V = п- т, указывающий на число таких производных, называется дефектом сплайна.

Из таких сплайнов для решения инженерных задач в настоящее время используются только сплайны нечетных степеней. Наиболее распространенные из них - кубические сплайны дефекта 1, являющиеся дважды непрерывно дифференцируемыми функциями, то есть звенья которых состыкованы по второму порядку гладкости. Собственно с них и началось развитие теории сплайнов. Причина такого предпочтения - хорошие аппроксимативные свойства и простота вычисления. Среди всех известных сплайнов они изучены лучше остальных и обладают наибольшей универсальностью.

Именно поэтому на основе кубических и бикубических сплайнов созданы многие системы автоматизированного проектирования, пакеты прикладных программ вплоть до графических редакторов и др.

В свою очередь причина простоты заключается в следующем.

Каждое звено (участок зависит от п + 1 коэффициен-

тов а\ (1), то есть от п + 1 параметров, значит для сплайнов нечетных степеней их число будет четным. В качестве параметров используются функциональные и дифференциальные характеристики: координаты концов звена, первые, вторые и т.д. производные на концах звенев. Таким образом легко состыковываются звенья сплайнов нечетных степеней, имеющие одноименные параметры на обоих концах. Это обстоятельство и делает непригодным для решения большинства задач сплайны четных степеней (например второй и четвертой).

При построении интерполяционных параболических сплайнов дефекта 1 узлы сплайна смещаются относительно узлов интерполяции. В противном случае последовательность сплайнов может расходиться.

Сплайны первой степени составляют обвод нулевого порядка гладкости. То есть в узлах сплайна уже первая производная терпит разрыв. Такая гладкость не удовлетворяет требованиям в условиях большинства инженерных задач.

Использование сплайнов пятой степени связано с увеличением трудности вычисления в с�