автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Оценка функции корреляции стационарного случайного процесса, измеряемого в случайные моменты времени

Томский государственный университет

РГБ ^^ На пРавах рукописи

, , ...л« «дгй удк 519•2

КУЛИКОВА ТАТЬЯНА МИХАЙЛОВНА

ОЦЕНКА ФУНКЦИИ КОРРЕЛЯЦИИ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА, ИЗМЕРЯЕМОГО В СЛУЧАЙНЫЕ МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ

Специальность 05.13.16 -Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Научный руководитель: доктор физико - математических наук, профессор Терпугов А.Ф.

Томск - 1996

Работа выполнена в Томском государственное университете и Сибирском Физико - Техническом Институте при ТГУ.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Лившиц К.И.

кандидат технических наук, ст. науч. сотр. Теущеков В.Д.

Ведущее предприятие: Белорусский государственный

университет (г. Минск)

Защита состоится сентября 1996 г. в /^часов

на заседании специализированного Совета Д 063.53.03 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан 1996 г.

Учёный секретарь специализированного Совета, кандидат физ.- мат. наук, доцент

Б.Е.Тривоженк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Оценка функции корреляции случайного процесса является обычно одной из первых задач, возникающих при экспериментальном исследовании реальных случайных процессов.

Большая часть теории, посвященной оценке функции корреляции стационарных случайных процессов, построена для следующих случаев:

а) . измерения изучаемого случайного процесса производятся через равные промежутки времени;

б) . наблюдению доступна вся реализация случайного процесса на некотором интервале времени [0,Т].

Однако на практике встречаются и ситуации, когда измерения изучаемого случайного процесса производятся в случайные моменты времени. Это может иметь место как в силу технических причин (так называемое "дрожжание" момента измерения) , так и при специальных схемах организации измерений. Так, например, в системах телеметрии, применяемых в некоторых спутниках, съём информации на борту происходит тогда, когда там происходят какие-то события - срабатывает реле, включаются и выключаются какие-то блоки и т.д. Эти события образуют некоторый случайный поток событий и поэтому измерения контролируемого . процесса также происходят в случайные моменты времени.

Кроме того, организация измерений в случайные моменты времени позволяет избежать ряда неприятных эффектов, таких как "свёртывание спектра".

Всё это вызвало к жизни работы, посвященные оценке функции корреляции случайного процесса при измерениях в случайные моменты времени, среди которых особо отметим работы В.И. Высоцкого, Ю.И. Грибанова, А. Жилинскаса, И.Г. Журбенко, Ф.Ф. Идрисова, Г.А. Медведева, J.R. Blum, 0.1. Daudpota, J. Istas, Р.F. Scott.

Однако, исследование этой проблемы нельзя считать законченным и ещё имеются "белые пятна" и неисследованные типы оценок.

Частичному исследованию этой проблемы и посвящена данная диссертационная работа. Работа выполнялась в соответствии с планом госбюджетной НИР "Стохастическое моделирование систем информации" (шифр "Модель"), выполненной в СФТИ в рамках программы Госкомобразования "Математическое моделирование в научных и технических системах" (задание № 129, раздел № 9 "Стохастическое моделирование", регистрационный № 01900002126), а также в рамках хоздоговорной НИР "Сеть", выполнявшейся в Томском университете для Омского НИИ Приборостроения.

Цель работы. Целью настоящей работы является:

1. Построение и исследование оценок корреляционной функции стационарного гауссовского случайного процесса на основе разложения корреляционной функции в обобщённый ряд Фурье, когда моменты измерений образуют пуассоновский поток событий.

2. Построение и исследование рекуррентных сплайновых оценок (сплайнами первого и второго порядка) корреляционной функции гауссовского стационарного случайного процесса, когда моменты измерений образуют пуассоновский поток событий.

3. Проверка предложенных алгоритмов оценивания методом имитационного моделирования.

4. Разработка программного обеспечения, реализующего предложенные алгоритмы.

Методы исследований. При выполнении диссертационной работы использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов, математической статистики, теории уравнений в конечных разностях. При проверке результатов теоретического исследования использовались приёмы и методы имитационного моделирования случайных потоков и диффузионных случайных процессов.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Предложены алгоритмы оценки коэффициентов разложения функции корреляции в обобщённый ряд Фурье по ортонормированной системе функций, когда измерения образуют пуассоновский поток событий постоянной и известной интенсивности X. Показано, что эти оценки

1

имеют смещение, убывающее как т^г, и их дисперсии и

1

ковариации убывают также как у, где Т - интервал наблюдения.

Установлены достаточные условия обрыва ряда, при которых оценка функции корреляции сходится к её истинному виду в средне-квадратичном смысле на конечном интервале.

2. Предложены оценки функции корреляции в виде бесконечного ряда по системе ортонормированных функций с корректирующими сомножителями при коэффициентах разложения.

Установлены достаточные условия для зависимости сомножителей от времени наблюдения Т и от номера коэффициента разложения, при которых оценка функции корреляции сходится к истинному значению в среднеквадратичном смысле на любом конечном интервале.

3. Рассмотрена модель функции корреляции

стационарного случайного процесса в виде сплайна первого порядка и сплайна второго порядка дефекта 1. Путём модификации метода наименьших квадратов построены рекуррентные оценки параметров сплайновой модели первого порядка. Показано, что эти оценки являются несмещёнными

1

и их дисперсии.и ковариации убывают не медленнее, чем ^

Для модели в виде сплайна второго порядка дефекта 1 получены рекуррентные оценки параметров сплайновой модели в виде системы разностных уравнений, зависящих от двух параметров а и р. Показано, что эти оценки являются несмещёнными и их дисперсии и ковариации убывают не

1 - „ медленнее, чем Получена область значении параметров

а и Р, в которой система уравнений, определяющих оценки, будет устойчивой, найдены оптимальные значения параметров а и р.

4. Предложенные сплайновые оценки применены для оценки функции корреляции произвольного вида. Найдена средне-квадратичная ошибка оценки и показано, что она состоит из двух слагаемых: первое слагаемое описывает неустранимую ошибку, возникающую из-за аппроксимации функции корреляции сплайном, а второе слагаемое,

1

убывающее не медленнее, чем ^ ~ случайную погрешность,

возникающую из-за конечного объёма выборки.

Практическая ценность диссертационной работы состоит в том, что предложенные алгоритмы могут быть использованы для оценки функции корреляции стационарного случайного процесса, когда моменты измерений образуют пуассоновский поток событий постоянной интенсивности.

Реализация полученных результатов. Результаты исследований по построению и изучению оценок функции корреляции стационарного гауссовского процесса, в случае, когда моменты измерений образуют пуассоновский поток событий постоянной интенсивности, а также программы, реализующие эти алгоритмы, были переданы Омскому НИИ Приборостроения в рамках НИР "Сеть". Эти результаты использовались для обработки

экспериментальных данных при исследовании помех естественного и техногенного происхождения, а именно для оценки функции корреляции этих помех.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Вид оценок коэффициентов разложения функции корреляции в ряд Фурье по ортонормированной системе функций; свойства этих оценок - а именно то, что их

смещение убывает как их дисперсии и ковариации

1

убывают не медленнее, чем ^> гДе Т-интервал наблюдения.

2. Условия, при которых имеет место сходимость оценки функции корреляции к истинному значению в среднеквадратичном смысле на любом конечном интервале.

3. Вид регуляризирующих сомножителей и условия, при которых оценка функции корреляции в виде бесконечного ряда с регуляризирующими сомножителями сходится к истинной функции корреляции в средне-квадратичном смысле на любом конечном интервале.

4. Вид рекуррентных оценок параметров сплайновой модели первого порядка и свойства этих оценок: их несмещённость и убывание их дисперсий и ковариаций не

1

медленнее, чем

5. Вид рекуррентных оценок параметров сплайновой модели второго порядка дефекта 1 и свойства этих оценок; область значений параметров а и 3, при которой система уравнений, определяющая эти оценки, будет устойчивой; оптимальные; значения параметров а и р,

6. Сплайновые оценки для функции корреляции произвольного вида; выражение для предельной среднеквадратичной погрешности при Т—ко. Убывание второго слагаемого, определяющего средне-квадратичную

1

погрешность, не медленнее, чем Tjr.

Публикации по теме диссертации приведены в конце автореферата.

Апробация работы. Основные положения диссертации и её отдельные результаты докладывались и обсуждались на

1. VII Всесоюзном семинаре "Непараметрические и робастные статистические методы в кибернетике и информатике", Иркутск, 1990.

2. Республиканской научно-технической школе-семинаре "Анализ и синтез систем массового обслуживания и сетей ЭВМ", Одесса, 1990.

3. Республиканской научной конференции "Математическое и программное обеспечение анализа данных", Минск, 1990.

4. Всесоюзной научно-технической конференции "Распределённые микропроцессорные управляющие системы и локальные вычислительные сети", Томск, 1991.

5. VIII Международном симпозиуме "Непараметрические и робастные статистические методы в кибернетике и информатике", Красноярск, 1995.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав основного текста, заключения и списка литературы. Общий объём работы - 133 страницы, включая 12 рисунков и 1 справку об использовании результатов. Библиография содержит 73 названия.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, даётся краткий анализ других работ в этом же научном направлении, формулируется цель работы, основные защищаемые результаты, даётся характеристика полученных в работе результатов.

В первой главе работы функция корреляции и(т) гауссовского стационарного случайного процесса х^) с

м{х(1:)} = 0 представляется в виде ряда Фурье

00

КЫ = X СпФп^)

П = 1

по ортонормированной на интервале [0, +оо) системе функций фп(т), п = 1,оо, удовлетворяющих условию

ОО

Уп | X | срп ( X ) | <±С < + оо .

о

Сначала строятся оценки Сп коэффициентов разложения Сп функции Я(х). Путём некоторой модификации метода наименьших квадратов эти оценки получаются в виде

1 м

Сп = X - Ъ),

где Т - интервал наблюдения, М - число сделанных измерений (в силу случайности моментов измерений число

измерений также является случайным) , 1 = 1, М

моменты измерений, х(^) - сами измеренные значения

процесса х (11) , X. - интенсивность потока моментов измерений. Предполагается, что сами моменты измерений образуют пуассоновский поток интенсивности X.

Далее в работе исследуются свойства оценок сп . В частности, показывается, что

1 °° ( 1 ^ м{сп} = Сп - ^ | Э иЫфпЫсЗз + о! — ],

о ^ '

т.е. оценки коэффициентов с^ являются асимптотически

несмещёнными и их смещение убывает как .

Далее показывается, что при выполнении условия

оо

J|r(t)|c1t < +00 дисперсии и ковариации оценок с^ убывают

о

1

как —. Т

Что касается оценки R(x) функции корреляции R(t), то рассматриваются два варианта.

1. В качестве оценки R(x) функции корреляции R(t) берутся конечные суммы вида

N

R(^) = X^nix),

п = 1

но число членов разложения N зависит от времени наблюдения Т так, что при Т +<ю n(t) —> +00. в работе показывается, что если число членов разложения N брать

N

так, что при Т —> +оо N —» +оо, но так, что — —> 0 и

^¿||kn(s)|dsj —> О,

то для любого конечного интервала [О, TJj] выполняется условие

lim m||[r(t) - RWfdxj = О,

т.е. r(t) сходится к R(x) в средне-квадратичном смысле на любом конечном интервале.

2. Рассмотрены оценки R(x) вида

00

R(t) = Х^п(т)фп(х),

П = 1

содержащие бесконечное число слагаемых с регуляризирующими сомножителями Уп(т)- Показано, что если limyn(T) = 1, то такие оценки являются

Т—>оо

асимптотически несмещёнными. Класс коэффициентов уп(т) вида

( « \2

Уп(т) =

т - 2

Сп

обеспечивает сходимость квадратичном смысле при интервале [0, То].

dn2 = J|9n(s)|ds

R(x) к R(x) в

Т —^ оо на любом

средне-конечном

Рассмотрены частные случаи выведенных формул, когда cpn(s) берутся в виде полиномов Чебышёва 1-го рода или полиномов Лагерра с экспоненциальным сомножителем.

Правильность теоретических выводов была проверена методом имитационного моделирования, которое подтвердило достаточно хорошее качество предложенных оценок. Для удовлетворительного оценивания функции корреляции было достаточно 4-6 членов разложения, правда при больших объёмах выборки - Я.Т должно быть порядка нескольких тысяч.

Во второй главе изучается модель, когда функция корреляции является сплайном первого или второго порядка дефекта 1. Конечно, реально такие функции корреляции вряд ли встречаются, но смысл проведённого исследования состоит в том, чтобы применить полученные алгоритмы оценивания к произвольной функции корреляции.

Пусть функция корреляции R(x) является кусочно-

линейной функцией с точками излома к • х0, к = 0, п - 1. Тогда R(x) на отрезке кт0 < х < (к + 1)х0 может быть представлена в виде

/ л (к + l)xn - х R(t) = --т-2-+ R

к+1

кхп

т.е. она является сплайном первого порядка. Для оценки R(x) в этом случае надо оценить коэффициенты Ик .

В данной работе предлагается и исследуется рекуррентный алгоритм оценки коэффициентов Ик, который заключается в том, что сначала оценивается И0, затем И!, И2 и т.д.

Оценку R0 параметра И0 можно взять в стандартном

виде

i=i

где М - число измерений на отрезке [0, т]. Эта оценка является несмещённой и её дисперсия

D{R0b^R02 + f{R2(z)dz

убывает как — .

Пусть мы уже оценили R0, R1, . . . , Йк. Используя модификацию метода наименьших квадратов, предлагается следующая оценка Rk+1 параметра Rk+1

R

k+1 " " 2 Rk +

o i,jeJk

где Jk - множество индексов i,j, соотношение {kx0 < 1— t±I < (k + Dio}-

ti - кх0

i

о

для которых верно

Показано, что

а) . оценки Йк несмещённые, т.е. м{кк] = ёк;

б) . дисперсии оценок Ик убывают как при Т —» а>;

в). оценка функции корреляции в виде

кх0 < х < (к + 1)т0

R(x) = Rk (k + l)T° "T + Rk+i ^^

ТС

сходится к я(х) в средне-квадратичном смысле в любом конечном интервале [о, То].

Вторая модель состоит в том, что функция корреляции представляется в виде сплайна второго порядка дефекта 1, т.е. в виде

Як(т) = Ак + Вк(т - кт0) + Ск(т - кт0)2, кх0 < х < (к + 1)т0,

сшитых в точках кх0, т.е. удовлетворяющих условиям

Кк-1 (кх0) - Кк(кт0); ^-1(кх0) = К£(кт0). В данном случае оценка функции корреляции сводится к оценке параметров Ак,Вк/Ск.

В работе предлагается и исследуется следующий рекуррентный алгоритм оценки этих параметров.

1. Сначала оцениваются параметры Ао, В0, Со по формулам

1 Г

Ао -

X2 Тт,

X xítjxítj)

0

зб -ü + зо -4-

x0

W

Bn =

Cn =

^ TTo i,jeJo

£ xítjxítj)

^2тт03 i, jeJ0

Tin tin

-36 + 192 -ü - 180

30

180 + 180 -Íií

где х^ = Ц -

Показано, что эти оценки являются несмещёнными и их

дисперсии и ковариации убывают как —

2. Далее производится параметров Ак, Вк, Ск по формулам

А]с = + Вк_гх0 + Ск_1х02,

Вк = Вк_1 + 2Ск_!Х0,

рекуррентная

оценка

- 2( ol ß 1Л « fa ß CkTo [з + 4 + 5j + BkT42 +I + 4j

+ Ak,a + f + 3 =

£ xitiJxitj)

g+ßT^-kT° +(Ti3~2kT°)2 To T0

В работе показано, что

а), оценки Äk,Bk,Ck являются несмещёнными;

б). найдена область значений параметров (a,ß), при которых эти оценки являются устойчивыми;

в) . из условия => Ш.П, где ¡Х]^ -

максимальный по модулю корень характеристического уравнения, соответствующий системе разностных уравнений,

определяющих Ak, Вк, Ск, найдены оптимальные значения

параметров а и ß :

а » 0. 1264; ß я -0. 9025;

г), дисперсии и ковариации оценок Ak,Bk,Ck убывают

1

как —. Т

В третьей главе рассматривается оценка, гладкой функции корреляции сплайнами первого порядка.

Пусть x(t) - стационарный гауссовский случайный процесс с M{x(t)}=0 и функцией корреляции R(t). Разобьём ось т на отрезки длиной т0 и будем искать оценку R(t) функции корреляции R(t) в виде

R(T) = Rk (k + 1T)T°'T + Rk+i ^ "о т0

отрезке кт0 < т < (к + 1)т0, к = 0, п - 1. Параметр R0 возьмём в виде

1 м = ХТ §x2(ti)'

а параметры Rk оцениваются по рекуррентной формуле 1 ~

Rk+l — — ~2 ^ +

где

. . , х, если 0 < х < 1,

- 1 q^ если х < 0 или х > 1.

в

В работе найдены

г i f i \к -ч Ь"1/ i Vt~v_l(v+Í)',i ( _ л

»{«•} = ("i) »(0)4S(-|) i

и показано, что дисперсии и ковариации величин Rk убывают как ¿ .

Точность оценки функции корреляции R(t) берётся в

виде

J[R(x)-á(.T)fdx|f-

т.е. в виде среднеквадратичной погрешности.

Показывается, что Е можно представить в виде Е = Ei + Е2, где Ех = lim Е - неустранимая погрешность,

Т-»оо

возникающая из-за неточности замены R(t) сплайном первого порядка, а Е2 - погрешность, возникающая из-за конечности объёма выборки и случайности x(t±) и ti,

убывающая как i.

Для Ех в работе получено явное выражение (оно не приводится здесь в виду громоздкости), для Е2 получена оценка сверху. Эти формулы конкретизированы для случая r(t) = R0e_c". Для этой же функции корреляции правильность предложенного алгоритма оценивания проверена методом имитационного моделирования. Общие закономерности здесь следующие: для достаточно точного оценивания R(t) надо, чтобы были велики (много больше

1) две величины - Я.Т и Тк°рр//' г где ткорр - время

корреляции процесса x(t) . Для случая а = 0. 1, X = 1 достаточно хорошее совпадение R(t) с её оценкой получалось при Т порядка 5000.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основные результаты настоящей работы состоят в следующем:

1. Рассматривается задача оценки функции корреляции стационарного гауссовского случайного процесса с нулевым математическим ожиданием, когда моменты измерений образуют стационарный пуассоновский поток событий постоянной интенсивности.

2. Предложены оценки функции корреляции в виде частной суммы обобщённого ряда Фурье по некоторой системе ортонормированных функций. Построены оценки

коэффициентов разложения, доказана их асимптотическая несмещённость, а также то, что их дисперсии и ковариации

убывают не медленнее, чем где Т - интервал

наблюдения.

3. Получены достаточные условия, касающиеся числа членов в частной сумме ряда, при которых оценка функции корреляции сходится к истинной функции корреляции в средне-квадратичном на любом конечном интервале.

4. Предложены оценки функции корреляции в виде бесконечного ряда Фурье с корректирующими множителями. Получены достаточные условия, налагаемые на эти множители, при которых эта оценка сходится к истинной функции корреляции в средне-квадратичном смысле на любом конечном интервале.

5. Рассмотрена модель функции корреляции в виде сплайна первого порядка и сплайна второго порядка дефекта 1. Для модели в виде сплайна первого порядка построены рекуррентные оценки параметров сплайна, показана их несмещённость и доказано, что их дисперсии и

ковариации убывают не медленнее, чем

6. Для модели функции корреляции в виде сплайна второго порядка дефекта 1 построены рекуррентные оценки параметров сплайна. Показана несмещённость этих оценок, а также то, что их дисперсии и ковариации убывают не

1

медленнее, чем

Построена область коэффициентов, определяющих оценки, в которой эти оценки будут устойчивыми. Найдены оптимальные (в смысле минимума максимального по модулю корня характеристического уравнения) значения параметров, определяющих рекуррентные оценки.

7. Оценки, полученные для сплайновой модели первого порядка, применены для оценки функции корреляции произвольного вида. Найдена средне-квадратичная погрешность оценивания функции корреляции на конечном интервале и показано, что она состоит из двух слагаемых: первое слагаемое (для него выведено явное выражение) определяет средне-квадратичную погрешность от аппроксимации функции корреляции сплайном, второе же слагаемое (для него показано, что оно убывает не

1,

медленнее, чем определяет случайную погрешность,

возникающую из-за конечного времени наблюдения.

8. Основные результаты теоретического исследования подтверждены путём имитационного моделирования на

частном случае гауссовского процесса с функцией корреляции R(t) = R(0)e_c".

Публикации по теме диссертации.

1. Куликова Т.М., Терпугов А.Ф. Оценка функции корреляции стационарного случайного процесса, измеряемого в случайные моменты времени. // Непараметрические и робастные методы статистики в кибернетике и информатике: Материалы VII Всесоюзного семинара, Иркутск, 1990. Томск. 1990. Ч II. С. 284-294.

2. Куликова Т.М., Терпугов А.Ф. Оценка функции корреляции стационарного случайного процесса, измеряемого в случайные моменты времени, сплайнами второго порядка. // Математическое и программное обеспечение анализа данных: Тезисы докладов Республ. научной конференции, Минск, дек., 1990. Минск. 1991. С. 115.

3. Куликова Т.М., Терпугов А.Ф. Оценка функции корреляции стационарного случайного процесса, измеряемого в случайные моменты времени, сплайнами первого порядка. // Распределённые микропроцессорные управляющие системы и локальные вычислительные сети: Материалы Всесоюзной научно-технической конференции. Томск: Изд-во Томск, унта, 1991. С. 149-151.

4. Куликова Т.М. Оценка сплайнами функции корреляции стационарного случайного процесса, измеряемого в случайные моменты времени. // Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов: Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции, Новосибирск, май, 1991. Новосибирск. 1991. С. 120.

5. Куликова т.М. Оценивание линейными сплайнами функции корреляции стационарного случайного процесса. // Изв. высш. уч. завед. Физика. 1996. № 4. С. 23-29.

6. Куликова Т.М. Оценивание линейными сплайнами функции корреляции стационарного случайного процесса. // Информатика и процессы управления: Межвузовский сборник научных статей. Красноярск: КГТУ. 1996. С. 100-107.