автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Анализ временных рядов при случайном числе данных в моменты измерений

Введение

1. Выделение трендов временных рядов при случайном числе измерений

1.1. Общий случай

1.1.1. Постановка задачи

1.1.2. Оценки параметров тренда

1.1.3. Свойства оценок параметров тренда

1.2. Выделение трендов временных рядов сплайнами первого порядка

1.2.1. Постановка задачи

1.2.2. Выделение тренда в виде сплайна первого порядка

1.2.3. Оценки параметров тренда

1.2.4. Свойства оценок параметров

1.3. Имитационное моделирование 40 Резюме

2. Оценка функции корреляции стационарного случайного процесса при случайном числе измерений

2.1. Общий случай

2.1.1. Постановка задачи

2.1.2. Оценки неизвестных параметров функции корреляции

2.1.3. Свойства оценок параметров

2.2. Оценка функции корреляции сплайнами первого порядка

2.2.1. Постановка задачи

2.2.2. Нахождение оценок неизвестных параметров функции корреляции

2.2.3. Свойства оценок параметров

2.3. Имитационное моделирование 65 Резюме

3. Оценка спектра мощности стационарного случайного процесса при случайном числе измерений

3.1. Постановка задачи

3.2. Алгоритм решения задачи

3.3. Оценки параметров спектра мощности

3.4. Статистические характеристики полученных оценок

3.5. Имитационное моделирование 80 Резюме

4. Программное обеспечение разработанных алгоритмов

4.1. Общая характеристика программы

4.2. Основы работы с программой

4.2.1. Системные требования

4.2.2. Инсталляция

4.2.3. Запуск программы

4.2.4. Окончание работы с программой

4.3. Работа с документом

4.3.1. Создание нового документа

4.3.2. Открытие существующего документа

4.3.3. Сохранение документа

4.3.4. Импортирование данных из текстового файла

4.3.5. Окна документа, управление окнами

4.3.6. Экспорт содержимого окна

4.3.7. Печать

4.4. Работа с таблицами и графиками

4.4.1. Ввод и редактирование данных в таблице

4.4.2. Настройка таблиц

4.4.3. Настройка графиков

4.5. Обработка данных

4.5.1. Тренды

4.5.2. Функция корреляции

4.5.3. Спектр мощности

4.6. Описание примеров

Резюме

АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ

Во многих задачах экономики, науки и техники приходится иметь дело с временными рядами [31]. Наблюдаемые значения случайного процесса у(7) в моменты времени образуют временной ряд. Одной из основных задач анализа временных рядов является задача выделения тренда [54] -систематической составляющей, так как выделенный тренд позволяет: а) предсказывать будущее на основе знания прошлого; б) управлять процессом, порождающим ряд; в) описывать характерные особенности ряда [1].

В классической теории временных рядов измерения процесса производят через равные промежутки времени. В последние годы значительно усилился интерес к разработке методов анализа временных рядов, когда измерения производятся в случайные моменты времени. При этом необходимо отметить, что в каждый момент времени, будь-то случайный или нет, производится ровно одно измерение. Однако, в реальной жизни часто встречаются ситуации, когда в каждый момент времени производится не одно, а несколько (вообще говоря, случайное число) измерений. Особенно часто такие ситуации возникают в экономических системах, например, на фондовом рынке. Это приводит к необходимости разработки теории анализа временных рядов для ситуации, когда в каждый момент времени число измерений случайно. Этим определяется актуальность данной работы.

Работа проводилась в соответствии с планом госбюджетных научно - исследовательских работ факультета прикладной математики Томского государственного университета, а также в порядке личной инициативы.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью данной работы являлось:

1. Разработка алгоритмов анализа временных рядов, когда число измерений в каждый момент времени случайно, а именно:

- выделение трендов временных рядов, исследование статистических характеристик оценок параметров тренда;

- оценка функции корреляции, исследование статистических характеристик оценок параметров функции корреляции;

- оценка спектра мощности, исследование статистических характеристик оценок параметров спектра мощности.

2. Разработка программного обеспечения на современном уровне, реализующего эти алгоритмы на персональных ЭВМ в операционных системах Windows 3.x, Windows - 95.

СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ

Поскольку отличительной особенностью данной работы является то, что в ней рассматриваются ситуации, когда в каждый момент времени производится случайное число измерений, поэтому еще раз укажем на те практические ситуации, в которых реализуется данный вариант измерений. Такие ситуации возникают в экономических системах, а именно, на фондовых рынках, когда имеется информация не о каждой сделке в отдельности, а лишь о числе сделок за каждую сессию, средней цены купли - продажи и среднего объема сделки. Поэтому возникает ситуация, когда число измерений в каждый момент времени случайно, изучаемая в данной работе.

Дадим теперь краткий обзор работ других авторов, тематика которых близка к данной работе.

Как уже подчеркивалось ранее, большинство исследований по анализу временных рядов посвящено случаю, когда измерения, составляющие временной ряд, получены через равные промежутки времени в каждый момент времени производится ровно одно измерение. Работ в этом направлении столь много, что укажем лишь на монографии [1 - 4, 6, 14, 29]. При рассмотрении теории временных рядов при измерениях в случайные моменты времени, необходимо задать модель процесса, определяющего моменты измерений [54]. Здесь возможны следующие ситуации:

1) наличие пропуска данных. Это одно из главных направлений в исследовании временных рядов, измерения которых получены в случайные моменты времени. Здесь можно сослаться на [42].

2) модель "дрожания" (]1Шп§) моментов измерений Первые работы в этом направлении появились с введением цифровой обработки в радиотехнических системах и системах связи. Для этой обработки характерна дискретизация сигнала через равные промежутки времени и в силу погрешностей аппаратуры происходит, так называемое, "дрожание" этих моментов. Здесь можно отметить такие работы, как [20, 25, 26, 54, 57, 64, 66, 67].

3) модель, в которой моменты измерений образуют некоторый рекуррентный поток событий. Впервые, алгоритмы выделения трендов временных рядов, когда моменты измерений образуют рекуррентный поток событий, были предложены в статье [77]. Более подробно эта модель исследовалась в работах [8, 9, 19, 20, 25, 27, 51, 52, 54, 65].

4) модель, в которой моменты измерений образуют пуассоновский поток событий постоянной интенсивности X [19, 20, 25, 27, 54, 55].

5) модель, в которой моменты измерений - случайные величины с неизвестным законом распределения.

Для моделей 1-4 исследовались вопросы оценки параметров исходного процесса[18, 49 - 52, 54 - 58], интерполирования временного ряда [68, 71, 72], строились оценки конечномерных функций распределений [67], среднего, дис

Персии, функции корреляции [8 - 11, 18, 23 - 26, 50, 51, 54], спектра мощности [18,23,25,27, 40, 69].

Данная работа является некоторым продолжением работы Ф. Ф. Идрисо-ва, поэтому можно обнаружить частичное сходство в подходах в решении поставленных задач. Ниже указывается в чем заключается совпадение и отличие результатов данной работы от других работ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итог проделанной работе, автор хотел бы отметить следующее. Автору представляется, что данная работа достаточно хорошо осветила вопрос о статистическом анализе временных рядов, когда измерения проводятся через равные промежутки времени, но число измерений в каждый момент времени случайно. В работе исследованы следующие аспекты анализа временных рядов:

- выделение тренда ряда;

- оценка функции корреляции;

- оценка спектра мощности.

Задачи выделения тренда временного ряда и оценка функции корреляции решаются в двух вариантах:

- в общем случае, когда функции ср5(/.)явно не заданы;

- ) описывают сплайн первого порядка. Спектр мощности оценивается сплайном первого порядка.

Для всех трех поставленных в работе задач (выделения тренда временного ряда, оценки функции корреляции, оценки спектра мощности) найдены:

- явный вид несмещенных оценок параметров тренда временного ряда, функции корреляции, спектра мощности;

- получено выражение для ковариационной матрицы оценок;

- построена ковариационная матрица оценок.

Автор реализовал разработанные им алгоритмы в виде дополнения к существующему пакету программ [18], в полном соответствии с требованиями, предъявляемыми к современному программному обеспечению.

Автор надеется, что ему удалось внести свой скромный вклад в теорию анализа временных рядов при случайном числе измерений.

В заключение автор хотел бы выразить огромную благодарность доктору физико - математических наук, профессору А. Ф. Терпугову за неоценимую помощь в работе над диссертацией, доктору технических наук Ф. Ф. Идрисову.

1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов - М.:Мир,1976- 755 с.

2. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. М.: Мир, 1974.-464 с.

3. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. -М.: Мир, 1974. Вып.1 406 с.

4. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. -М.: Мир, 1974. Вып.2 197 с.

5. Боровков A.A. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1972. - 287 с.

6. Бриллинджер Д.Р. Временные ряды. Обработка данных и теория. М.: Мир, 1980.-536 с.

7. Венцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1964. - 576.

8. Высоцкий В.И. Выделение полиномиальных трендов характеристик случайных процессов, измеряемых в случайные моменты времени. Томск: Том. ун-т, 1987. - 26с.Деп. в ВИНИТИ 27.04.87, №2989-В87.

9. Высоцкий В.И. Оценка дисперсии временных рядов при случайных измерениях // Поиск сигнала в многоканальных системах. Томск, 1987. с.49 - 54.

10. Ю.Высоцкий В.И. Оценка корреляционной функции стационарного случайного процесса, измеряемого в случайные моменты времени // Управляемые системы массового обслуживания. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1986. - Вып.4. -С. 14-21.

11. П.Высоцкий В.И. Оценка характеристик случайного процесса по случайным выборкам // Поиск сигнала в многоканальных системах. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1987. - Вып.2. - С. 41-48.

12. Гнеденко Б.В., Коваленко И.А. Введение в теорию массового обслуживания. -М.: Наука, 1966.-431 с.

13. И.Грибанов Ю.И., Мальков B.JI. Применение случайной выборки к спектрально-корреляционному анализу случайных процессов. Обнинск, 1977. - 22 с. (Препринт. Физико-энергет. ин-т. № 782).

14. Денио Кл., Оппенхейм Ж., Виано Кл. Выборка в случайные моменты времени: параметрическое оценивание // Тр. 1 Всемирн. конгр. об-ва Бернулли, Москва-Тула, 1988. -Вып.2. -Секц. 6-8.-М., 1988.-С. 184-189.

15. Дьяконов В.П. Справочник по MathCad PLUS 6.0 PRO. М.: СК Пресс, 1997. -328 с.

16. Журбенко И.Г. Спектральный анализ временных рядов. М.: Изд-во МГУ, 1982.- 168 с.

17. Завьялов Ю.С., Jleyc В.А., Скороспелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии. М.: Машиностроение, 1985. - 224 с.

18. Идрисов Ф.Ф. Анализ временных рядов при измерениях в случайные моменты времени // Дис.докт.техн.наук. Томск, 1998.

19. Идрисов Ф.Ф. Выделение трендов временных рядов при измерениях в случайные моменты времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1995. Т. 38. - № 3. - С. 3-10.

20. Идрисов Ф.Ф. Выделение трендов временных рядов при наличии ошибок в измерениях моментов времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1996. Т.39. - № 4. - С. 11-16.

21. Идрисов Ф.Ф., Константинова И.Г. Выделение трендов временных рядов при случайном числе измерений. // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1999. Т.42. - №4. - с. 14-18.

22. Идрисов Ф.Ф. Оценка функции корреляции и спектра мощности гауссовско-го случайного процесса при измерениях в случайные моменты времени // Радиотехника, 1995. № 9. С. 3-9.

23. Идрисов Ф.Ф. Оценка функции корреляции случайного процесса при измерениях в случайные моменты времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1995. Т. 38. - № 3. - С. 11-16.

24. Идрисов Ф.Ф. Оценивание сплайнами функции корреляции и спектра мощности при измерениях в случайные моменты времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1997. Т.40. - № 4. с. 32-37.

25. Идрисов Ф.Ф. Полиномиальные оценки функции корреляции при измерениях в случайные моменты времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1996. Т.39. - № 4. - С. 17-22.

26. Идрисов Ф.Ф. Сплайновая оценка спектра мощности при измерениях в случайные моменты времени // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1997. -Т. 40.-№4.-С. 27-31.

27. Идрисов Ф.Ф., Устинова И.Г. Оценка функции корреляции стационарного случайного процесса при случайном числе измерений: Сб. науч. метод. тр./Вестник ТГПУ/Отв. ред. Ф. Ф. Идрисов. - Томск, 2000 - в печати.

28. Ильин В.П., Кузнецов Ю.И. Трехдиагональные матрицы и их приложения. -М.: Наука, 1985.-208с.

29. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир, 1975.'

30. Кендал М. Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976. - 736 с.

31. Кендал М. Дж., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973.-899 с.

32. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. М.: Мир, 1977 - Т.2. -723с.

33. Константинова И. Г. Выделение трендов временных рядов при случайном числе измерений сплайнами первого порядка // Математическое моделирование. Кибернетика, Информатика. Томск: Изд - во Том. ун - та, 1999, С.81-88.

34. Константинова И. Г., Терпугов А. Ф. Выделение трендов временных рядов сплайнами первого порядка // Мат. моделирование и теория вероятностей -Томск: Пеленг, 1998, С. 201-206.

35. Константинова И. Г., Терпугов А. Ф. Оценка спектра мощности стационарного случайного процесса сплайнами первого порядка при случайном числе измерений // Вестник ТГУ, 1999. Т. 269.

36. Коняев К.В. Спектральный анализ случайных процессов и полей. М.: Наука, 1973.- 169 с.

37. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. -М.: Наука, 1984. 352 с.

38. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. - 648 с.

39. Круглов В.В., Дли Н.И. Вид спектральных плотностей сигналов, квантованных в случайные моменты времени. Смоленск: Смол. фил. моек, энерг. инта., 1993. - 17 с. Деп. в ВИНИТИ 28.08.93, № 2451-В93.

40. Куликова Т.М. Оценивание линейными сплайнами функции корреляции стационарного случайного процесса // Изв. высш. учебн. завед., сер. Физика, 1996. Т.39. - № 4. - С. 23-29.

41. Литтл Дж. А., Рубин Д.В. Статистический анализ данных с пропусками. -М.: Финансы и статистика, 1991. 336 с.

42. Лифшиц К.И. Сглаживание экспериментальных данных сплайнами. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991. 180 с.

43. Максимов Ю.Д. Теория и упражнения по случайным процессам. Ленинград: ВАС, 1972.-313 с.

44. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. М.: Мир, 1982. - 428 с.

45. Прабху Н.У. Стохастические процессы теории запасов. М.: Мир, 1984. -С. 180-189.

46. Прабху Н.У. Методы теории массового обслуживания и управления запасами. М.: Машиностроение, 1969. - 356 с.

47. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981.-800 с.

48. Степанова Н.В., Терпугов А.Ф. Выделение трендов временных рядов при измерениях в случайные моменты времени// Методы и программное обеспечение обработки информации и прикладного статистического анализа. Минск, 1985. с. 103-104.

49. Степанова Н.В. Выделение полиномиальных трендов временных рядов при измерениях, производимых в случайные моменты времени. Томск. ТГУ, 1986. 54с. Деп. в ВИНИТИ 16.04.86 № 2748.-В.

50. Степанова Н.В. Выделение трендов временных рядов при измерениях, производимых в случайные моменты времени // Управляемые системы массового обслуживания. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1986. Вып. 4. с. 180-189.

51. Степанова Н.В. Выделение циклических трендов временных рядов при измерениях, производимых в случайные моменты времени // Поиск сигнала в многомерных системах. Томск, 1987 - № 2 - С. 162-171.

52. Сухотина Л.Ю. Выделение тренда временных рядов с помощью сплайнов первого и второго порядков. // Поиск сигнала в многоканальных системах -Томск, Изд-во Том. ун-та, 1985 Вып. 1. - С. 144 - 151.

53. Тривоженко Б.Е. Выделение трендов временных рядов и потоков событий. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1989. - 284 с.

54. Тривоженко Б.Е. Нелинейные оценки параметров линейного тренда временного ряда при измерениях, произведенных в случайные моменты времени // Стохастические и детерминированные модели сложных систем Новосибирск, 1988. - С. 154 - 170.

55. Тривоженко Б.Е. Оценка параметров тренда временного ряда методом максимального правдоподобия при измерениях, произведенных в случайные моменты времени.// Стохастические модели и информационные системы. -Новосибирск: 1987.-С. 180- 194.

56. Тривоженко Б.Е. Сглаживание временных рядов кривыми первого и второго порядка при измерениях, производимых в случайные моменты времени // Поиск сигнала в многоканальных системах. Томск: Изд-во Том. ун-та,1987.-Вып. 2.-С. 193-199.

57. Трофимчук С.Ю. Оценка коэффициентов полиномиального тренда процесса, наблюдаемого в случайные моменты времени // ДАН УССР. Сер. А, 1985.-№ 11.-С. 67-70.

58. Трофимчук С.Ю. Оценка параметров регрессии случайного процесса на основании наблюдений в случайных точках. Киев, ун-т, Киев, 1985. 38 с. Деп. в Укр. НИИНТИ 04.12.85. № 2659-ИК.

59. Фаронов В.В. DELPHI 4. М.: Нолидж, 1999. - 448 с.

60. Форсайт Дж. Э., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. - 279 с.

61. Штрауб Э. Актуарная математика имущественного страхования. Цюрих,1988.- 147 с.

62. Эмбрехтс П., Клюппельберг К. Некоторые аспекты страховой математики. // Теория вероятностей и ее применения. 1993. - 38, № 2. - С.374 - 416.

63. Balakrishnan A.V. On the problem of time-jitter in sampling // IRE Trans. Inform. Theory, 1962. Vol. 8. - P. 226-236.

64. Bentler F.J. Alias-free randomly time sampling of stochastic processes // IEEE Trans. Inform. Theory, 1970. Vol. 16. - P. 147-152.

65. Blum J.R., Rosenblatt J. On randomly sampling from a stochastic process // Ann. Math. Statist., 1964.-Vol.35.-№ 3.-P. 1713-1717.

66. Blum J.R., Boyles R.A. Random sampling from a continuous parameter stochastic process//Lect. Notes Math., 1981.-Vol.861. -P. 15-24.

67. Daudpota O.I., Dowrick G., Greated C.A. Estimation of moments of a Poisson -Sampled random process. J. Phys. A.: Math, and Gen., 1977. vol.10. № 4. p. 471-483

68. Garter M., Roberts J.B. Spectral analysis of randomly sampled signals // J. Inst. Meth. and Appl., 1975.-Vol. 15.-№2.-P. 195-216.

69. Grandell J. Doubly stochastic Poisson processes // Lect. Notes Math. Berlin: Springer Verlag, 1976. - 234 p.

70. Leneman O.A.Z., Lewis J.P. Random sampling of random processes: meansquare comparision of various interpolators // IEEE Trans. Automat. Control, 1966. -Vol. 11.-P. 396-403.

71. Leneman O.A.Z. Random sampling of random processes: optimum linear interpolation // J. Franklin Inst., 1966. Vol. 281. - P. 302-314.

72. Scott P.F. Estimation of the correlation function and spectra from randomly sampled data // IEEE Int. Conf. Acoust., Speech and Signal Proc. Hartford, 1977. -New York, 1977.-P. 70-73.

73. Siotani M., Hayakawa Т., Fujikoshi Ya. Modern multivariate statistical analysis. Columbus, Ohio. Amer. Sci. Press, 1985. 759 p.

74. Snyder D.L. Random point processes. N.-Y., Willey, 1975. 485 p.

75. Solo V. Topics in advanced time series analysis // Lect. Notes Math., 1986. № 1215. -P. 165-328.

76. Stoyanov J.M., Vladeva D.I. Estimation of unknown parameters of continuous time stochastic processes by observation at random points // Докл. АН НРБ, 1982.-Т. 35. -№ 2. С. 153-156.a um'00