автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование электрических полей в цилиндрических кусочно-однородных средах со сплайн-аппроксимацией границ

На правах рукописи

БЕЛЯЕВА МАРИНА БОРИСОВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ СО СПЛАЙН-АППРОКСИМАЦИЕЙ ГРАНИЦ

05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□03070365

Стерлитамак - 2007

003070365

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Стерлитамакской государственной педагогической академии и в лаборатории математического моделирования процессов и систем отдела физико-математических и технических наук Стерлитамакского филиала Академии наук Республики Башкортостан

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор

Кризский Владимир Николаевич Научный консультант доктор физико-математических наук,

профессор

Спивак Семен Израилевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Александров Павел Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент

Галеева Гульшат Явдатовна

Ведущая организация Уфимский государственный нефтяной

технический университет

Защита состоится 29 мая в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета К 212 315 01 при Стерлитамакской государственной педагогической академии по адресу г Стерлитамак, пр Ленина, 37

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Стерлитамакской государственной педагогической академии

Автореферат разослан апреля 2007г

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ -мат наук

Кризский В Н

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы При изучении геологического строения Земной коры основной является задача поиска и оценки месторождений полезных ископаемых

Среди большого числа известных геофизических методов исследований в настоящее время отдается предпочтение методам электроразведки потенциальными полями, как наиболее эффективным и экологически безопасным

Интерпретация элекгроразведочных экспериментальных данных сводится к определению строения и свойств среды по наблюдаемым значениям поля Известная информация о положении месторождения и его размерах позволяет оценить мощность залежей и перспективу их дальнейшей разработки

Задача определения геометрических параметров среды на основе известных значений потенциала электрического тока относится к классу обратных задач, решение которых, вариационными методами, сводится к многократному решению прямой

Особый интерес всегда представляло исследование горизонтально - слоистых кусочно-однородных сред, т к осадочные отложения пород часто приводят к горизонтально-слоистому профилю, который может быть усложнен локальными включениями Не редко в практике геофизических работ встречаются случаи, когда включения представляют собой некоторые цилиндрические достаточно протяженные тела (сифоны, кимберлитовые трубки, трубопроводы, скважины), которые с определенной степенью достоверности могут быть описаны бесконечными цилиндрами Следовательно актуальной является задача выявления направляющих цилиндрических включений в горизонтально-слоистых средах

Сложность формы направляющей цилиндра обуславливает использование аппарата сплайн - функций для их описания

Необходимость создания эффективных алгоритмов обработки и интерпретации экспериментальных данных, является причиной развития следующих направлений, исследуемых в работе

-разработка и программная реализация алгоритмов решения прямых задач для расчета потенциального поля точечного источника постоянного электрического тока в кусочно-однородной горизонтально-слоистой среде при наличии в ней цилиндрического включения с направляющей, аппроксимированной сплайном,

-разработка эффективных алгоритмов решения обратных задач геоэлектрики - задач поиска в кусочно-однородной среде границ локальных цилиндрических включений с произвольной «звездной» направляющей по измеренным электрическим полям

Ранее в работах В Т Иванова и В Н Кризского были разработаны алгоритмы расчета поля точечного источника постоянного элекгри-

ческого тока в трехмерных кусочно-однородных средах с различными включениями, основанные на сочетании методов интегральных преобразований и интегральных уравнений

Для случая цилиндрических и коаксиальных сред были получены решения и реализованы алгоритмы в работах Г Я Галеевой (Кильди-бековой), но лишь для включений в виде круговых и эллиптических цилиндров

В работах П С Мартышко предложены алгоритмы решения теоретической обратной задачи (без учета погрешностей) для локальных «звездных» тел, но в однородном вмещающем пространстве

И А Герасимовым программно реализованы алгоритмы решения обратных задач определения параметров включений вращения в слоистых средах, но лишь в классе простых тел (шар, сфероид)

В работах С В Викторова были программно реализованы алгоритмы решения прямой и обратной задач для случая осесимметрич-ной кусочно-однородной среды в присутствии тела вращения, образующая которого аппроксимирована сплайном

В отличие от работ этих авторов, в данной работе рассматривается построение и исследование по результатам электроразведки постоянным электрическим током процедуры поиска в цилиндрической кусочно-однородной среде границы бесконечного цилиндрического тела, направляющая которого аппроксимирована сплайном

Цели и задачи. Целью работы является построение математической модели, разработка устойчивых алгоритмов, а также их реализация в виде комплекса программ компьютерного моделирования прямых и обратных задач геоэлектрики в кусочно-однородных слоистых средах, позволяющих вычислять потенциальное поле источников постоянного тока, интерпретировать результаты полевых электроразведочных измерений, определять границы цилиндрических включений с направляющей, аппроксимированной сплайном, исследовать взаимное влияние основных параметров модели методом вычислительного эксперимента

Научная новизна. В настоящей работе впервые исследованы прямые задачи геоэлектрики в кусочно-однородных плоскосимметричных средах, усложненных наличием протяженных цилиндрических включений, с аппроксимированной сплайном направляющей Для их решения используется эффективный комбинированный способ, основанный на сочетании методов интегральных преобразований и интегральных уравнений, формируемых на основе теории потенциала двойного электрического слоя

На основе метода регуляризации А Н Тихонова получено решение обратной задачи поиска направляющей цилиндрического включения сложной геометрии как конечномерного вектора ограниченных па-

раметров, входящего в состав ее параметрического описания сплайн-функциями

С помощью разработанных соискателем алгоритмов, реализованных в комплексе программ, проведены вычислительные эксперименты по исследованию взаимного влияния различных параметров модели

Практическая ценность. Предложенные алгоритмы и комплекс программ позволяют эффективно решать задачи геоэлекгрики в кусочно-однородных средах, аналитическое решение которых отсутствует

Разработанные алгоритмы позволяют

• на основе экспериментальных данных определять параметры границ цилиндрических включений в типичных для практики геофизических средах - однородном, горизонтально-слоистом пространстве и полупространстве,

• рассчитывать распределение потенциала поля в средах с заданной геометрией

Основные программные средства зарегистрированы в фондах алгоритмов и программ Министерства образования и науки Российской Федерации и Всероссийского научно-технического информационного центра (ВНТИЦ)

Полученные решения могут найти применение в теории различных методов электроразведки постоянным током при зондировании, профилировании, в методе заряда

Предлагаемые алгоритмы допускают распараллеливание вычислений и могут быть реализованы на многопроцессорных вычислительных системах

На защиту выносятся:

1 Математические модели прямых и обратных задач электрических полей в цилиндрических средах кусочно-постоянной проводимости со сплайн-аппроксимацией границ

2 Численные алгоритмы моделируемых прямых задач на основе методов интегральных преобразований и интегральных уравнений

3 Численные алгоритмы моделируемых обратных задач поиска направляющих бесконечных «звездных» цилиндров (аппроксимирующих их сплайнов) на основе вариационного метода А Н Тихонова

4 Комплекс компьютерных программ реализации построенных алгоритмов

5 Результаты вычислительных экспериментов по исследованию взаимного влияния основных геоэлектрических параметров моделируемых сред

Апробация работы. Основные положения работы обсуждались и докладывались на • Первой межвузовской научно-теоретической конференции «ЭВТ в

обучении и моделировании» (Бирск, БирГПИ, 1996),

• Всероссийской научной конференции «Физика конденсированного состояния» (Стерлитамак, СГПИ, 1997 ),

• Международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Уфа, ИМ с ВЦ УНЦ РАН, 2000),

• V Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, МордГУ, 2002),

• Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ- 15» (Тамбов, 2002),

• V Международной конференции по математическому моделированию (Херсон, 2002),

• Всероссийской научной конференции «Современные проблемы физики и математики» (Стерлитамак, СГПА, 2004),

• Региональных школах-конференциях для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (БашГУ, Уфа, 2003),

• 33-й, 34-ой сессии Международного семинара им Д Г Успенского «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» ( Екатеринбург, ИГ УрО РАН, 2006, Москва, МГГРУ, ИФЗ РАН, 2007),

• Международной конференции «Тихонов и современная математика» (Москва, МГУ, 2006),

• Восьмой Уральской молодежной научной школе по геофизике (Пермь, ГИ УрО РАН, 2007 г),

• Объединенном научном семинаре кафедр мат моделирования и выч математики БашГУ (Уфа, 2007),

• Научном семинаре ИМ с ВЦ УНЦ РАН (Уфа, 2007),

• Научных семинарах кафедр прикладной математики и механики, теоретической физики, математического моделирования, математического анализа СГПА и лаборатории математического моделирования процессов и систем отдела физико-математических и технических наук СФАН РБ (Стерлитамак, 1999-2007)

Публикации. Результаты по теме диссертации опубликованы в 21 печатных работах Основные из них приведены в автореферате В совместных работах соискателю принадлежат разработанные алгоритмы и комплексы программ математического моделирования геоэлектрических полей в плоско симметричных средах со сплайн - аппроксимацией границ, результаты вычислительных экспериментов по исследованию взаимного влияния основных геоэлектрических параметров моделей

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и приложения Полный объем составляет 129 страниц, включая 32 рисунка, 15 таблиц, библиографию

Основное содержание работы В главе 1 проведен обзор существующих методов решения прямых и обратных задач электроразведки

В главе 2 исследованы математические модели прямых задач расчета потенциальных полей точечных источников постоянного электрического тока в кусочно-однородной среде, обладающей плоскостной пространственной симметрией Одна из сред - протяженное цилиндрическое включение с направляющей, аппроксимированной сплайном

В п.2.1 главы 2 описан способ расчета поля точечного источника постоянного тока в трехмерных однородных (п.2.1.2, п.2.1.3), горизонтально-слоистых (п.2.1.4) средах, обладающих плоскостной пространственной симметрией, при наличии в них локального цилиндрического включения С направляющей, аппроксимированной Рис 1 Цилиндрическое включе-сплайном (п.2.1.1) ние в кусочно-однородной среде

Рассмотрено Л/-слойное кусочно-однородное полупространство О, состоящее из горизонтальных слоев п,,п2, с удельными электрическими проводимостями о- в к-ом слое которого находится цилиндрическое тело о0 с границей £ удельной электрической проводимостью сг0 Введем систему координат так, чтобы образующие

плоскостей были параллельны оси ОУ (рис 1)

Математическая модель, описывающая потенциальное поле точечного источника постоянного тока интенсивности I, возбуждаемого в точке а(;(„,0,1ц) слоя , а,, представлена краевой задачей р(х,у,=), у> 0

А и, (/») = -—8{х - х0)3(уЩ: - =,), Р{х,у, г) е £2,, 2ог,

Аи,(Р) = 0, Р(х,у,=) еП„ 1 = 0Л,1±1,

8щ(Р)

дп

= 0,

ди,(П

оу

м(Р)-> 0, Р-> оо,

= 0, ¡ = 0,^, дщ (Р)

дп

= ст,

дп

диХР) дп ,

' дп .

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

где у1 - нижняя граница слоя о.» = у0 - «дневная» поверх-

ность, п - вектор нормали, 8 - функция Дирака Условия (3) выражают соответственно не протекание тока через границу «земля/воздух» и симметрию поля относительно плоскости у = о

Решение прямой задачи (1) - (6) найдено комбинированным методом, основанном на сочетании методов интегральных Фурье-преобразований, интегральных уравнений теории потенциала двойного слоя и сводится к следующим этапам

1 Найти функции Ох(Р,(2) как решение краевой задачи

с?С,х(р,й) сгС(Р,0) „ , -^-+-~2--Л в (Р,0) = -¿¡(х-х^Щг-г-).

-.Л/

оп

' дп Iй ,+1 дп ^

<5*(Лб)->0, Р(х,г)->оо, где области п0,Й,, ¡ = и границы 50, р;,7 = о,Лг-1 получены сечением соответствующих областей и границ 50 и плоскостью у = со^ Для вычисления вх(р,0) применялись рекуррентные формулы, построенные по алгоритму Филатова - Хогоева1

2 Решить интегральные уравнения для различных значений Я относительно плотности потенциала двойного слоя цлф) для

Р{х,г\ £>(х^)е$0,А(х0,=0)

адпд - ак + а0 2а,

¿0

3 Найти

= 2) - потенциал источника,

4а,

¡ух(?) = ¿з _ - потенциал двойного слоя,

и?(Р) = Игх(Р) + У*(Р), РеП,, /=1,ЛГ, их(Р) = с (жл(Р) + Гл(Р)}РеП0,

1 Филатов В А , Хогоев Е А Расчет поля точечного источника постоянного электрического тока в слоистой среде Новосибирск, 1987 -13с -Деп в ВИНИТИ 29 01 87 №1065-В87

где мя(Р)-коэффициенты ряда Фурье А(х0,г0), с = ак/а0

4 Искомое решение задачи (1) - (6) восстанавливается формулой обращения косинус - преобразования Фурье

х

и(х,у,2)=—\их{х,г)со%1у (IX Ф)

Л 1

о

В п.2.2 исследовались математические модели прямых задач Здесь проведены сравнения численных решений для однородного пространства с известным аналитическим (с включением в виде кругового цилиндра), показавшие высокую точность построенных алгоритмов

Было проведено исследование влияния на решение прямой задачи таких параметров, как количество отрезков п_у/с/ дискретизации кривой 50, число узлов сплайна, а также метода интегрирования Результаты показали, что при увеличении значения параметра л_у/с/ (возрастании количества расчетных точек) время счета увеличивалось и, при п_ук1>Ъ2 полученные решения практически совпадали с аналитическими Также было продемонстрировано, что при увеличении числа узлов сплайна, величина относительной погрешности уменьшается, а наиболее эффективным для интегрирования сильно осциллирующей функции в (7) является метод «Гаусса с определением нулей подынтегральной функции»

Рис 2 Сравнение решений для случая однородного и трехслойного горизонтально-слоистого (с одинаковой проводимостью слоев) полупространств методами интегрирования

а) - метод вычисления основанный на приближении функции рац-ми дробями,

б) - метод «Гаусса с определением нулей подынтегральной функции»

Были рассмотрены решения прямой задачи, рассчитанные в однородном и аналогичном ему 3-х слойном плоско-параллельном полу-

пространстве с одинаковыми проводимостями слоев сг, = ст2 = ст3 - о \{См/м) (рис 2) Вкладки детализируют участки графиков в области наибольшего различия потенциала тока, и демонстрируют достаточную согласованность результатов работы алгоритмов для однородного и горизонтально-слоистого полупространств при наличии фиктивных границ раздела

Здесь сравнивались полученные решения для цилиндра с направляющей аппроксимированной сплайном (рис 2) на глубине 50м

Графики потенциала на рис 3 характеризуют влияние удельной электрической проводимости верхнего слоя, содержащего источник тока Влияние тела (наблюдаемая аномалия кривой на уровне включения) проявляется тем в большей степени, чем больше удельная электрическая проводимость слоя содержащего источник

Выполнено численное исследование влияния других параметров модели на распределение электрического тока

Г" I • 1

- = ">} 1 1 1 1

/' 1 4-

Г1:

V / К)!

I I I I

---- I I ( » -

./1

N

/

II.

а) 6)

Рис 3 Потенциал тока в двухслойной среде в присутствии тела вращения при а) различных проводимостях первого слоя, б) различном положении источника

Полученные результаты соответствуют геофизическим закономерностям

В главе 3 построены и исследованы процедуры поиска в кусочно-однородной среде границы бесконечного цилиндрического включения с направляющей, аппроксимированной сплайном Рассмотрены трехмерные плоскостно-симметричные среды, в которых ищется направляющая цилиндра Решение задачи сводится к поиску параметров, входящих в описание границы цилиндрического тела, на компактном множестве ограниченных векторов конечномерного пространства

В п.3.1 рассмотрен вариационный метод решения обратной задачи электроразведки определения границы «звездного» цилиндрического тела в горизонтально-слоистом полупространстве

Граница в локального включения о0 удельной электрической

проводимости а0, находящегося в слое С1к горизонтально-слоистой

кусочно-однородной среды о., состоящей из плоско-параллельных слоев с удельными электрическими проводимостями

(Т|,ст2, (см рис 1), искалась как экстремаль регуляризирующего

функционала А Н Тихонова вида

^ (5) = .ад + 0^(5) = || и(А, Р, Б) - ие(А, Р)||^ (ЕхЕ) + а|| 5 - ^ , (8)

где ие(А,Р) - экспериментальные геофизические данные, измеряемые на многосвязной области Е «дневной» поверхности среды ц, на которой размещалась площадка Е источников А и приемников Р тока (л,РеЕ<=у0), и(А,Р,5) - решение прямой задачи (1) - (6), 5"-априори

известное приближенное описание границы, я с Л2- множество изменения параметров описания границы Здесь ^(5)-функционал невязки, ^(^-стабилизирующий функционал, «-параметр регуляризации Искомая граница задавалась параметрически ,

/е[о,2яг], уе[о,оо) с аппроксимированной сплайном д(1,1) направляющей, где 1 = т, <5, <А/„/ = ОД - вектор ограниченных параметров, входящих в описание границы Поиск границы Э сводился к нахождению компонент ^ вектора $е.к£+1, описывающего

сплайн $•(?,/) на компактном (конечной размерности и ограниченном) множестве векторов2

Большинство обратных задач являются некорректными Для описанной геоэлектрической модели единственность решения обеспечивается теоремой В Л Друскина3

Задача (1)-(6),(8) решалась с помощью выполнения внешнего и внутреннего циклов Внешний цикл заключался в формировании сходящейся к нулю последовательности (ак) параметров регуляризации,

на элементах которой искался минимум функционала (8) В качестве элементов такой последовательности использовались члены геометрической прогрессии, определяемые с помощью соотношения

2

Тихонов А Н , Арсенин В Я Методы решения некорректных задач -М Наука, 1986,-288с

3Друскин В Л О единственности решения обратной задачи электроразведки и электрокаротажа для кусочно-постоянных проводимостей//Физика Земли -1982 -№1 -С 72-75

к^=д-ак, 0 < <] < 1. Во внутреннем цикле при закрепленном а = ак, искался элемент ^ . доставляющий минимум функционала (8). Выход из

а

цикла производился по критерию невязки М(ГЯ )-и*| й 8 ■

В п.3.2 приведены результаты вычислительного эксперимента при различных значениях параметров модели.

На рис,4 представлены результаты вычислительного эксперимента по исследованию сходимости процесса поиска направляющей цилиндрического тела в однородном полупространстве. Приведенные в табл.1 компоненты вектора 5 описания направляющей демонстрируют найденное квазирешение задачи для спедующего случая: £т1у<т0 — 0.1. 1-1 А, цилиндр размешался на глубине 30 м, площадка наблюдения Е:[-20,20]х[-20,20]м с количеством источников/приемников р~16, погрешность в исходных данных и равна нулю. Функционал минимизировался методом Хука - Дживса. Здесь и далее метрические величины приведены в метрах, с1 - относительная погреш-ность</ = Ц5—5, ¡|/||Ц, 3, -точное решение.

Таблица 1.

Сходимость процесса поиска направляющей цилиндри-

№ кривых О 1 2 3

№ итерации 0 10 64 Точное решаниэ

Количество решений прямой задачи, к 1 174 756 1

м 30.00 19.00 19.12 20.00

«1, М 30.00 10.25 10.25 10.00

Щ, м 30.00 15.25 15.34 15.00

5з, М 30.00 13.75 21.04 20.00

£4, м 30.00 13.00 20 В8 20.00

У% 46,93 1630 4.31 о.оо

ф.) 3.17Е-1 4.37Е-4 2.19Е-7 0.00

Рис. 4. Сходимость процесса поиска

направляющей цилиндрического тела, аппроксимированной сплайном.

Исследована сходимость метода поиска минимума функционала (8) в зависимости от количества источников/приемников тока и погрешности экспериментальных данных на площадке исследования, выбора формы начального приближения границы включения, коэффициента контрастности сред, и др.

Сравнительный анализ полученных решений (см. табл.2) для изменяемого числа варьируемых параметров £_ описания направляющей показал значительные преимущества метода конфигураций (Хука Дживса) по точности найденного решения сI, стрости счета и количеству обращений к прямой задаче (значения выделены курсивом). Вы-

числения проводились для случая: ¿г,/^ = 0.1, 1=1А, цилиндрическое тело (рис. 5 ) располагалось на глубине 50, Е:[-20,20]х[-20,20], р=16.

Таблица 2.

Сравнение

эффективности методов минимизации функи

ионала

1. метод к 1 t Р

А) 216 14 06:32 1.11Е-4 12.22

8 Б) 724 г 318 12:42 6.59Е-5 19.04

В) 392 5 8:14 7.48Е-5 24.5

А) . 314 18 (39:15 7.83Е-5 12.41

Б) 887 401 10:52 4.396-5 15.62

В) 6028 44 35:38 7.27Е-5 17 10

А) 311 16 09:38 9.34Е-7 6.17

10 Б) 875 482 11:08 4.3ЭЕ-5 15 62

В) 5883 29 26:10 7.27Е-5 17.10

Рис 5 Направляющая цилиндрического тела В таблице приняты следующие обозначения:

к- число обращений к прямой задаче, А) - метод конфигураций (Хука-Дживса),

?— количество итераций. Б) - адаптивный метод локальных вариа-

t-время расчета на Реп1шт(Р)-4 (мин:сек), ций, Я - значение минимизируемого функционала В) - координатный метод.

Рассмотрено влияние погрешности в исходных данных на точность нахождения решения (табл.3).

Таблица 3.

Отклонение найденного решения от точного в зависимости от величины погрешности 8 в исходных данных и0.

Графическое , решение

......I

"'чч

! У

Погрешность в априорных даи-ных, 3, %

10

15

Погрешность решения, б, %

8 60

14 39

18 17

Значение функционала,^^)

2.35Е-3

5.12Е-3

1.22Е-4

Рост погрешности исходных данных 6 ведет к росту относительной погрешности с/найденного решения.

Влияние количества источников/приемников на площадке исследования Е показано на рис.5. На рис.6а) эксперимент проводился при наличии 4 источников/приемников на площадке исследования Е. При увеличении их числа до 16 (рис.бб)) и до 25 (рис.бв)) найденное решение уточнялось, расчетное время при этом увеличивалось {табл. 4). Полученные результаты демонстрируют более точное определение

верхней части границы включения по сравнению с нижней.

а) р = 4;

б) р = 16;

В)р = 25;

Рис. 6. Зависимость решение задачи от числа источнлков/приемников р тока.

Таблица 4.

N2 рисунка Число приемников, р Значение функционала минимизации, Р Относительная погрешность, с? Число обращений к прямой задаче, к

а) 4 6.15Е-5 2918 444

б) 16 3.32Е-6 11 37 437

в) 25 1.05Е-6 5.36 1027

Построена система эквивалентных по отклику включений с удельной электрической проводимостью, изменяющейся в заданном диапазоне - задача практически важна для интерпретационной геофизики (см. табл. б). Здесь демонстрируется изменение размеров цилиндрического тела и формы аппроксимирующего сплайна (¿-=3) в зависимости от его проводимости на одном и том же наборе экспериментальных данных - отклике от кругового цилиндрического тела радиуса 20, расположенного на глубине 40, £?[-20,20]х[-20,20], р=4, проводимости <7р=10См/м в пространстве проводимости щ=\См!Ы

Таблица 5.

№ кривой 0 1 2 3 4 5

сгл См/м 10 20 5 г 0.1 0.01

5л м 20 16.45 20.15 22 46 25-13 22.5

19.35 19.12 20 98 21 08 22.45 21.56

м 20.31 18.31 21.74 2418 26-21 22.96

Зз, М 20 12.5 22.13 2648 28.16 33.12

Р1 3.87Е-6 1.23Е-3 1.22Е-5 [ 7.36Е-5 2.60Е-5 6.32Е-3

Проведено поэтапное усложнение формы включения с использованием ранее найденных более простых аппроксимаций в качестве начальных приближений (см. табл.6, рис.7).

Вычислено решение обратной задачи (табл.7) для 2-х слойного полупространства с различной проводимостью <7, верхнего слоя при одинаковом наборе параметров: (т2 = 0ЛСм/м, См/м, /=1А,

г^гЗО, Я:[-20,20]х[-20,20]. р=25, ¿=6.

Таблица 6.

Зависимость решения обратной задачи от формы

0 1

к >

£ Йл" ы ■

Начальная форма Найденные решения Искомая форма

Шифр кривой 0 1 2 3 4

а * Ж 12.00 24.05 23.44 21.03 20.00

12.00 5.27 12.37 11.12 10.96

с в . 0) X IX 12.00 16.13 12.72 14,32 14.27

111 12.00 21.14 21.36 20.33 21.11

й-». 12.00 5.12 19.33 21.16 20.04

ш 8 1 ¡Ц 12,00 14.27 11.23 14.89 1570

- - 15.49 15 62 16 63

- - - 22.39 21.31

6 29.1В 19.06 4.82

Рис. 7. Поэтапное уточнение искомой формы направляющей.

Результаты вычислительного эксперимента показывают, что относительная погрешность с/ решения больше при сг, =0Д5€м/м> чем при ^=0.2См/м. Причиной такого результата является экранирование отклика от включения верхним пластом.

Таблица 7.

0 / 1 0 1 ■

(5 К —— ■ 1 !

Графическое отображение решен 1 _________

' ¡1 Г Л м / ( у

Г' ' ; I \ \ \ V ;))

3 А ж

* 1 ' ... _ _. .1

Щ 0.2 0.05

8,37 11.46

! Исследовано вгмяние контрастности тела и среды его содержз-

| щей (табл. 8).

Результаты эксперимента (табл. 8) демонстрируют рост погрешности получаемых решений при стремлении отношения проводимо-стей к единице. Проведено сравнение решений полученных методом регуляризации и методом подбора на компактном множестве решений. Показано, что метод регуляризации является более эффективным по сравнению с методом подбора при значительном зашумлении исходных данных и росте числа искомых параметров.

Алгоритмы решения прямых и обратных задач программно реализованы на языке Object Pascal средствами Borland Delphi В главе 4 приведено описание функционального назначения и режимов работы программных средств комплекса

Составляющие модули программного комплекса Unit Spez_Funk - библиотечный модуль "Специальные функции" Для вычисления функций используются точные, асимптотические формулы и разложения в ряды и рекуррентные формулы Модуль включает следующие функции

Функция Бесселя и Макдональда мнимого аргумента !0 (х), Цх), Ко(х), K-i(x), lm(x), Km(x)

function l_0( xj_0 extended) extended, function l_1( x_l_1 extended) extended, function K_0( x_K_0 extended) extended, function K_1(x_K_1 extended) extended, function l_m( m integer, x extended) extended, function K_m( m integer, x extended) extended, Производные функций l0 (x), K0(x), function dl_0( x_l_0 extended) extended, function dK_0(x_K_0 extended) extended, Unit Unit_function - модуль, реализующий основные функции для решения прямой задачи

Построение функции Грина в однородном пространстве / полупространстве

function Gnnjamdaflamda Extended, P,Q TPomt_XZ) Extended, Нахождение производной функции Грина по нормали в однородном пространстве/ полупространстве

function dG_dn(lamda Extended, Р, Q TPoint_XZ) Extended, Расчет потенциала в точке (А - источник тока, В - приемник) function U (А,Р Tpomt_XYZ) Extended, Построение ф-ии Грина в слоистом пространстве/ полупространстве

function Grm_Sloi (lamda Extended, P,Q TPomt_XZ) Extended, Нахождение производной функции Грина по нормали в слоистом пространстве/ полупространстве

function DG_SI_dn (lamda Extended, P,Q TPoint_XZ) Extended, Unit Unit metods - модуль алгоритмов методов интегрирования и минимизации

Интегрирование методом Гаусса

Таблица 8

Влияние контрастности Teia и среды его содержащей_

№ кри- ст2, 00. 2к d

вой См/м См/м °г

1 0 1 10 100 5,54

2 0 1 1 10 6 15

3 0 1 05 5 6 64

4 0 1 02 2 7 02

5 0 1 0 15 1 5 8 64

6 0 1 0 11 1 1 9 95

function Gaussjntegral (a, b Real, Fnc TFunc) Real, Решение систем линейных алгебраических уравнений

function Gauss_Matrix (A TMatrixtype, В TResulttype, var X TResulttype) boolean,

Решение интегрального уравнения Фредгольма II рода

function FredHolm( a, b, Imd Extended, Kernel TFunc2, F TFunc, var Res TResulttype) Boolean,

Процедура, реализующая метод Хука-Дживса (метод конфигураций)

procedure Metod_HG( рО TSplme, var psi_pQ extended), Процедура, реализующая метод локальных вариаций

procedure Metod_SL (рО TSplme, varpsi_pO Extended), Процедура, реализующая метод покоординатной минимизации

procedure Metod_PK ( рО TSplme, var psi_pO Extended), Процедура, реализующая метод глобальной минимизации на основе адаптивных кривых

procedure Metod_MK ( рО TSplme, var psi_pO Extended), Здесь рО TSplme начальные и найденные значения параметров описания образующей, psi_р0 - величина функционала, при достижении которого происходит выход из процедуры поиска минимума

Unit UnitjObrZad- алгоритмы решения обратной задачи Вычисление значения минимизирующего функционала

function Mm_Func( S TSplme) Extended, Определение начальных значений

procedure Nach_Znach, Вычисление нормы невязки

procedure Delta_d ( Sp TSplme, var mind Extended), Заполнение значений потенциала по произвольной площадке

procedure Value_U_PI ( Sp Tsphne, varX TMatnx_4), Заполнение значений потенциала по симметричной площадке

procedure Value_U_PI1 (Sp TSplme, varX TMatrix_4), Подпрограмма решения обратной задачи

procedure Run_ObrZad, Unit Unit_Parametrs - модуль создания формы для задания параметров задачи

Unit UnitGL3D- модуль для построения поверхностей

Unit UnitPrZad- алгоритмы решения прямых задач

Unit Cylind - функции параметрического описания направляющей

цилиндра

Unit GlobalVar_Const - описание глобальных типов, переменных констант

Unit GraphUnit- функции для построения динамических графиков Unit Spline - Модуль предназначен для вычисления сплайн-функций аппроксимирующих направляющую цилиндрического включения

Процедура вычисления коэффициентов интерполяционного сплайна

procedure Koef(Sp TSpline), Функция вычисления сплайна и его производной для аргумента х function S(x Extended) Extended, function dS(x Extended) Extended, Все перечисленные модули включены в программный комплекс «GeoPole» Программные средства зарегистрированы в отраслевом фонде алгоритмов и программ МО РФ

Схема работы программы:

1 Задание параметров описания модели (вмещающего пространства и включения, площадки исследования и др )

2 Заполнение массива экспериментальными (измеренными) значениями потенциала по площадке Е посредством считывания из файла или вычисления (решения прямой задачи с зашумлением) для построенного включения

4 Задание начальных значений параметров для методов минимизации выбранного функционала F

5 Накопление результатов в процессе вычисления

6 Формирование отчета результатов

Использован модульный принцип построения программы, позволяющий модернизировать отдельные ее части с учетом возникающих потребностей и включать их в иные пакеты программ

Основные результаты работы

• Построены математические модели прямых и обратных задач электрических полей в цилиндрических средах кусочно-постоянной проводимости Расширен класс исследуемых цилиндрических включений в кусочно-однородной среде применением сплайн-функций для описания их границ

• Разработаны алгоритмы решения прямых задач определения потенциальных полей точечных источников постоянного электрического тока в цилиндрических кусочно-однородных средах на основе методов интегральных преобразований и интегральных уравнений

• Разработаны алгоритмы решения обратных задач поиска направляющих бесконечных цилиндров (аппроксимирующих их сплайнов) на основе вариационного метода А Н Тихонова

• Разработан комплекс компьютерных программ, реализующий построенные алгоритмы Показана высокая эффективность численных алгоритмов сравнением с решениями более простых задач, полученных ранее другими авторами

• Проведены исследования взаимного влияния различных параметров модели методом вычислительного эксперимента, позволяющие

- построить систему эквивалентных по отклику включений в заданном диапазоне удельных электрических проводимостей, имеющую пракги-

ческое значение для интерпретационной геофизики,

- констатировать более точное определение верхней части границы включения по сравнению с нижней в задачах электроразведки,

- обосновать возрастание точности определения границы включения с ростом коэффициента контрастности среда/включение

Программные средства зарегистрированы в ОФАП МО РФ и ВНТИЦ Основные публикации по теме диссертации

1 Кризский, В Н Решение задач геоэлектрики постоянного тока трехмерных сред кусочно-постоянной проводимости / В Н Кризский, М Б Заваруева // Актуальные вопросы механики, электроники, физики Земли и нейтронных методов исследований // Всеросс научн конф «Физика конденсированного состояния» - Стерлитамак СГПИ, 1997 -ТЗ -С 112-116

2 Кризский, В Н Математическое моделирование и оптимизация обратных задач определения геоэлектрических параметров кусочно-однородных сред / В Н Кризский, И А Герасимов, М Б Заваруева // Математическое моделирование, 2000 - Т 12, №3 - С 32-33

3 Кризский, В Н К задаче определения границ квазитрехмерных включений в слоистых средах кусочно-постоянной проводимости / В Н Кризский, И А Герасимов, А В Ермолаев, М Б Заваруева // Труды института прикладной математики и механики HAH Украины, Донецк -2001 -Т6 - С 71-74

4 Кризский, В Н Математическое моделирование обратных задач потенциальных геоэлектрических полей в цилиндрических кусочно-однородных средах / В Н Кризский, А В Ермолаев, М Б Беляева // Материалы V Междунар конф по Мат Моделированию - Вестник Херсонского государственного технического университета, 2002, №2(15) - С 239-243

5 Беляева, М Б Определение границы цилиндрического включения в среде кусочно-постоянной проводимости по данным электроразведки постоянным током / М Б Беляева , В Н Кризский // Современные проблемы физики и математики Материалы Всероссийской научной конференции г Стерлитамак - 2004 - СГПА - Т 1 - С 186-192

6 Беляева, М Б Математическое моделирование геоэлектрических полей кусочно-однородных сред в присутствии цилиндрического тела, с аппроксимированной сплайном границей /МБ Беляева // Труды Средневолжского математического общества -2006 - Т 8 , №1 - С 170-175

7 Беляева, М Б Программно-алгоритмическое обеспечение геоинформационных систем электроразведки протяженных тел /МБ Беляева // Труды Стерлитамакского филиала Академии наук РБ Серия «Физико-математические и технические науки» - Выпуск 3 , Уфа Ги-лем -2006-С 40-45

8 Беляева, М Б Математическое моделирование электрических полей в цилиндрических кусочно-однородных средах со сплайн-аппроксимацией границ /МБ Беляева, В Н Кризский // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей Материалы 33-й сессии Международного семинара им Д Г Успенского, - Екатеринбург 2006 - С 30-34

9 Кризский, В Н Математическое обеспечение информационных систем геоэлектроразведки кусочно-однородных сред / В Н Кризский, М Б Беляева, С В Викторов, И Р Рахимов, Н В Трегубов, П Н Хлесткин, В А Чекрыжев // Тихонов и современная математика Математическая геофизика Международ конф, М МГУ 2006 - С 47-49

10 Беляева, М Б Программный комплекс математического моделирования электрических полей в цилиндрических кусочно-постоянных среда / М Б Беляева, В Н Кризский // Электронная программа, разработка, ВНТИЦ -№50200602198 -2006

11 Беляева, М Б Программа расчета поля точечного источника постоянного тока в горизонтально-слоистой среде в присутствии цилиндрического включения с направляющей, аппроксимированной сплайном /МБ Беляева, В Н Кризский // Электронная программа, разработка, - ВНТИЦ - №50200601774 - 2006

12 Беляева, М Б Программный комплекс моделирования геоэлектрических полей кусочно-однородных сред с протяженными цилиндрическими неоднородностями /МБ Беляева, В Н Кризский // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей Материалы 34-й сессии Международного семинара им Д Г Успенского - Москва - М ИФЗ РАН - 2007 -С 29-33

13 Беляева, М Б Комплекс программ для моделирования и расчета геоэлектрических полей кусочно-однородных горизонтально-слоистых сред в присутствии цилиндрического включения с направляющей, аппроксимированной сплайном / М Б Беляева // Восьмая уральская молодежная школа по геофизике Сб науч матер - Пермь Горный институт УрО РАН - 2007 - С 29-34

Подписано в печать Формат 60 х 84)/16 Гарнитура «Aria!» Печать оперативная Уел печ л 1,00 Тираж 100 экз Заказ U°¿?¿I0? Отпечатано в типографии Стерлитамакской государственной педагогической академии 453103, г Стерлитамак, пр Ленина, 49

Введение.

Глава 1. Обзор работ и состояние проблемы.

1.1. Математические модели прямых задач геоэлектрики и методы их решения.

1.2 Математические модели обратных задач геоэлектрики и методы их решения.

Глава 2. Математическое моделирование электрических полей в цилиндрических кусочно-однородных средах.

2.1 Потенциал точечного источника постоянного тока в горизонтально-слоистых средах в присутствии цилиндрического включения.

2.1.1 Поле точечного источника при наличии одного цилиндрического включения.

2.1.2. Случай однородного вмещающего пространства и полупространства.

2.1.3. Круговой цилиндр в поле точечного источника тока в однородном пространстве.

2.1.4 Случай горизонтально-слоистого плоско-параллельного полупространства.

2.1.5. Сплайн-аппроксимация направляющей цилиндрического тела.

2.2. Вычислительный эксперимент.

2.3. Выводы.

Глава 3. Решение обратных задач геоэлектрики в цилиндрических кусочно- однородных средах.

3.1. Постановка обратной задачи и вариационный метод ее решения

3.2. Вычислительный эксперимент.

3.2.1. Определение геофизических параметров цилиндрического включения в однородной среде.'.

3.2.2. Определение геофизических параметров локального включения в горизонтально-слоистой среде.

3.3. Выводы.

Глава 4. Комплекс программных средств решения прямых и обратных задач геоэлектрики в цилиндрических кусочно-постоянных средах.

4.1. Функциональное назначение. Описание режимов работы и интерфейса программного комплекса.

4.2. Перечень основных модулей составляющих программу.

Актуальность темы. При изучении геологического строения Земной коры основной является задача поиска и оценки месторождений полезных ископаемых.

Среди большого числа известных геофизических методов исследований в настоящее время отдается предпочтение методам электроразведки потенциальными полями, как наиболее эффективным и экологически безопасным. Это связано и с тем, что практически не осталось не обнаруженных приповерхностных месторождений и приходится переходить к изучению больших глубин. Поиск и разведка таких месторождений часто недоступны для геологических методов исследования или сопряжены с большими затратами труда и средств.

Возможность применения электрических методов для изучения строения земных недр предопределяется различием значений удельных электрических проводимостей горных пород. Искусственное электрическое поле, обладающее большой проникающей способностью, может достигать глубоких горизонтов. Искажаясь имеющимися неоднородностями, оно становится носителем информации об изменении электрической проводимости среды в зоне исследования, что используется для поиска и оценки месторождений полезных ископаемых.

Интерпретация электроразведочных экспериментальных данных нацелена на определение строения и свойств среды по наблюдаемым значениям поля. Известная информация о положении месторождения, форме его границ позволяет оценить мощность залежей и перспективу их дальнейшей промышленной разработки.

Задача определения геометрических параметров среды на основе известных значений потенциала электрического тока относится к классу обратных задач электроразведки. В геофизике сложность решения обратных задач следует из принципа эквивалентности структур, когда двум существенно различным геофизическим разрезам могут соответствовать близкие значения экспериментальных данных. Академиками А.Н. Тихоновым и М.М. Лаврентьевым, а также учениками их научных школ, разработана теория решения подобных задач [168, 124 - 126].

Учитывая, что осадочные отложения пород геоэлектрического разреза часто приобретают форму, которая с определенной степенью достоверности может быть описана бесконечными цилиндрами, актуальной является задача выявления направляющих цилиндрических включений в горизонтально-слоистых средах. Сложность формы направляющей цилиндра обуславливает использование аппарата сплайн-функций для их описания.

Таким образом, актуальной представляется проблема разработки эффективных алгоритмов решения прямых и обратных задач электроразведки и их реализация в виде комплексов программ расчета на ЭВМ.

Необходимость создания эффективных алгоритмов обработки и интерпретации экспериментальных данных является причиной развития следующих направлений, исследуемых в работе:

- разработка и программная реализация алгоритмов решения прямых задач для расчета потенциального поля точечного источника постоянного электрического тока в однородной и кусочно-однородной горизонтально-слоистой среде при наличии в ней цилиндрического включения с направляющей, аппроксимированной сплайном;

- разработка эффективных алгоритмов решения обратных задач геоэлектрики - задач поиска в кусочно-однородной среде границ локальных цилиндрических «звездных» включений с произвольной направляющей по измеренным электрическим полям.

Ранее в работах В.Т. Иванова и В.Н. Кризского были разработаны алгоритмы расчета поля точечного источника постоянного электрического тока в трехмерных кусочно-однородных средах с различными включениями, основанные на сочетании методов интегральных преобразований и интегральных уравнений [78-81, 84-93,114].

Для случая цилиндрических и коаксиальных сред были получены решения и реализованы алгоритмы в работах Г.Я. Галеевой (Кильдибековой) [44, 99 - 101], но лишь для включений в виде круговых и эллиптических цилиндров.

В работах П.С. Мартышко предложены алгоритмы решения теоретической обратной задачи (без учета погрешностей) для локальных «звездных» тел, но лишь для случая однородного вмещающего пространства [130 - 133].

И.А. Герасимовым программно реализованы алгоритмы решения обратных задач определения параметров включений вращения в слоистых средах, но лишь в классе простых тел (шар, сфероид) [45].

В работах С.В. Викторова [36 - 38] были программно реализованы алгоритмы решения прямой и обратной задач для случая осесимметричной кусочно-однородной среды в присутствии тела вращения, образующая которого аппроксимирована сплайном.

В отличие от работ этих авторов, в данной работе рассматривается построение и исследование по результатам электроразведки постоянным электрическим током процедуры поиска в цилиндрической кусочно-однородной среде параметров границы бесконечного цилиндрического тела, направляющая которого аппроксимирована сплайном.

Цели и задачи: Целью работы является построение математической модели, разработка устойчивых алгоритмов, а также их реализация в виде комплекса программ компьютерного моделирования прямых и обратных задач геоэлектрики в кусочно-однородных средах, позволяющего вычислять потенциальное поле источников постоянного тока, интерпретировать результаты полевых электроразведочных измерений, определять границы цилиндрических включений с направляющей, аппроксимированной сплайном, исследовать взаимное влияние основных параметров модели методом вычислительного эксперимента.

Для достижения указанной цели в работе были поставлены и решены следующие задачи:

• Разработка численных алгоритмов решения прямых и обратных задач геоэлектроразведки в цилиндрических средах со сплайн-аппроксимацией границ:

- применение комбинированных методов интегральных преобразований и интегральных уравнений [12, 18 - 20, 122] для решения прямых задач о поле точечного источника с построением функций Грина для горизонтально-слоистых вмещающих пространств в присутствии бесконечного цилиндрического включения, с аппроксимированной сплайном направляющей;

- построение алгоритмов вариационного типа для решения обратных задач определения направляющей протяженного цилиндрического включения как аппроксимирующего его сплайна. [11, 117-120].

• Разработка комплекса программ [18, 19,22, 23], дающего возможность:

- построения компьютерной модели геологического разреза путем задания границ и удельных электрических проводимостей его областей;

- задания параметров зоны исследования, источников и приемников тока;

- выбора метода численного решения;

- расчета потенциала и кажущегося сопротивления в исследуемых средах;

- определения границ цилиндрических тел, заданных параметрически и аппроксимированных сплайнами;

- графического отображения процесса поиска решения, одномерных и двумерных функций (задаваемых или найденных вычислительным экспериментом кривых, поверхностей);

• Проведение вычислительных экспериментов по исследованию взаимного влияния параметров математических моделей.

Научная новизна. В настоящей работе впервые исследованы прямые задачи геоэлектрики в кусочно-однородных плоско-симметричных средах, усложненных наличием бесконечных цилиндрических включений, с аппроксимированной сплайном направляющей. Для их решения используется эффективный комбинированный способ, основанный на сочетании методов интегральных преобразований и интегральных уравнений, формируемых на основе теории потенциала двойного электрического слоя [37, 38,116].

На основе метода регуляризации А.Н. Тихонова получено решение обратной задачи поиска направляющей цилиндрического «звездного» включения сложной геометрии как конечномерного вектора ограниченных параметров, входящего в состав ее параметрического описания сплайн-функциями [173, 180].

Разработанные алгоритмы реализованы в комплексе оригинальных программ автора. Основные программные средства зарегистрированы в фондах алгоритмов и программ Министерства образования и науки Российской Федерации и Всероссийского научно-технического информационного центра (ВНТИЦ) [18, 19, 22, 23].

Практическая ценность. Предложенные алгоритмы и комплекс программ позволяют эффективно решать задачи геоэлектрики в кусочно-однородных средах, аналитическое решение которых отсутствует.

На основе разработанных алгоритмов и комплекса программ решения прямых задач расчета потенциала электрического тока в кусочно-однородных средах осуществлено решение обратных задач определения границ цилиндрических включений в типичных для практики геофизических средах - однородном, горизонтально-слоистом пространстве и полупространстве.

Полученные решения могут найти применение в теории различных методов электроразведки постоянным током: при зондировании, профилировании, в методе заряда.

Предлагаемые алгоритмы допускают распараллеливание вычислений и могут быть реализованы на многопроцессорных вычислительных системах.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Математические модели прямых и обратных задач электрических полей в цилиндрических средах кусочно-постоянной проводимости со сплайн-аппроксимацией границ.

2. Численные алгоритмы моделируемых прямых задач на основе методов интегральных преобразований и интегральных уравнений.

3. Численные алгоритмы моделируемых обратных задач поиска направляющих бесконечных «звездных» цилиндров (аппроксимирующих их сплайнов) на основе вариационного метода А.Н.Тихонова.

4. Комплекс компьютерных программ реализации построенных алгоритмов.

5. Результаты вычислительных экспериментов по исследованию взаимного влияния основных геоэлектрических параметров моделируемых сред.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Полный ее объем составляет 129 страниц машинописного текста, включая 32 рисунка, 15 таблиц, библиографию, содержащую 192 название и приложение, включающее регистрационные карты программных средств в фонде алгоритмов и программ МОН РФ и ВНТИЦ.

Основные результаты работы заключаются в следующем: Построены математические модели прямых и обратных задач электрических полей в цилиндрических средах кусочно-постоянной проводимости. Расширен класс исследуемых цилиндрических включений в кусочно-однородной среде применением сплайн-функций для описания их границ. Разработаны алгоритмы решения прямых задач определения потенциальных полей точечных источников постоянного электрического тока в цилиндрических кусочно-однородных средах на основе методов интегральных преобразований и интегральных уравнений. Разработаны алгоритмы, решения обратных задач поиска направляющих бесконечных цилиндров (аппроксимирующих их сплайнов) на основе вариационного метода А.Н.Тихонова.

Разработан комплекс компьютерных программ, реализующий построенные алгоритмы. Показана высокая эффективность численных алгоритмов сравнением с решениями более простых задач, полученных ранее другими авторами.

Проведены исследования взаимного влияния различных параметров модели методом вычислительного эксперимента, позволяющие:

- построить систему эквивалентных по отклику включений в заданном диапазоне удельных электрических проводимостей, имеющую практическое значение для интерпретационной геофизики;

- констатировать более точное определение верхней части границы включения по сравнению с нижней в задачах электроразведки;

- обосновать возрастание точности определения границы включения с ростом коэффициента контрастности среда/включение.

Программные средства зарегистрированы в ОФАП МО РФ и ВНТИЦ.

Заключение

1. Алъпин, J1. М. Заметки по теории электроразведки / JI. М. Альпин - М.: ОНТИ, 1935.-56 с.

2. Алъпин, Л. М. К теории электрического каротажа буровых скважин / J1. М. Альпин М.: ОНТИ, 1938. - 88 с.

3. Алъпин, JI. М. Палетки БКЗ / JI. М. Альпин М.: Госоптехиздат, 1958. — 45 с.

4. Альпин, JI. М. Сеточное моделирование каротажа сопротивлений / Л. М. Альпин // Прикладная геофизика М.: Госоптехиздат, 1945. - Вып. 1. - С. 24-36.

5. Алъпин, JI. М. Теория полей, применяемых в разведочной геофизике / Л. М. Альпин, Д. С. Даев, А. Д. Каринский М.: Недра, 1985. - 407 с.

6. Алъпин, JI. М. Выводы из расчетного материала по каротажу / JI. М. Альпин, С. Г. Комаров // Прикладная геофизика М.: Госоптехиздат, 1952. -Вып. 8. - С. 25-34.

7. Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции / В. Я. Арсенин М.: Наука, 1974. - 431 с.

8. Байрак, В. В. Численное решение трехмерных граничных задач методом потенциала / В. В. Байрак, Ю. А. Мельников, С. А. Титаренко Днепропетровск - 1986, - 16 с. - Деп. в ВИНИТИ 7. 02. 86., № 1616.

9. Белаш, П. М. Моделирование задач промысловой геофизики с помощью электроинтергратора / П. М. Белаш, 3. Н. Дахнов, Е. А. Нейман // Нефтяное хозяйство. 1973. - № 7 - С. 33-38.

10. Белоцерковская, О. Н. Решение краевой задачи для уравнения Лапласа в сложной области пространства трех измерений / О. Н. Белоцерковская, Ю. П. Васильев, О. В. Золотой // Вычислительные методы и программирование. Саратов, -1984. №5. с. 48- 55.

11. Беляева, М. Б. . Программно-алгоритмическое обеспечение геоинформационных систем электроразведки протяженных тел / М. Б. Беляева // Труды Стерлитамакского филиала Академии наук РБ Вып. 3. - 2006 - С. 40-45.

12. Беляева, М. Б. Об определении траектории скважины в кусочно-однородной среде по данным электроразведки постоянным током / М. Б. Беляева, В. Н. Кризский // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2001. Т.8. - Вып.2. - С. 537-538.

13. Беляева, М. Б. Программный комплекс математического моделирования электрических полей в цилиндрических кусочно-постоянных среда / М. Б. Беляева, В. Н. Кризский // Электронная программа, разработка. ВНТИЦ. -№50200602198.-2006.

14. Беляева, М.Б. Программный комплекс математического моделирования электрических полей в цилиндрических кусочно-постоянных средах / М. Б. Беляева, В. Н. Кризский // Электронная программа, разработка, МО РФ ОФАП ФАО: МОСКВА. №7390. - 2006.

15. Березина С. А. Разработка алгоритмов прямых и обратных задач метода сопротивлений для неоднородных сред. / С. А. Березина Дисс. канд. физ -мат наук. - М.: 1993. - 99 с.

16. Бобрик, А. И. Решение некоторых задач для уравнения Пуассона с граничными условиями 4 рода / А. И. Бобрик, В. Н. Михайлов // ЖВМ и МФ. -1974. -№1.- С. 126-134.

17. Будак, Б. М. Сборник задач по математической физике / Б. М. Будак, А. А. Самарский, А. Н. Тихонов М.: Наука. - 1980. - 688 с.

18. Буллах, Е. Г. Автоматизированная система интерпретации гравитационных аномалий (метод минимизации) / Е. Г Буллах Киев: Наукова думка. - 1973.- 111 с.

19. Буллах, Е. Г. Прямые и обратные задачи гравиметрии в классе тел, заданных горизонтальными пластинами / Е. Г Буллах, М. Н. Маркова // Геофизический журнал. 1994. -№3. - С. 51-60.

20. Буллах, Е. Г. Решение обратных задач гравиметрии методом подбора / Е. Г. Буллах, М. Н. Маркова // Геофизический журнал 1992. - №4. -С. 9-19.

21. Бурсиан, В. Р. Теория электромагнитных полей, применяемых в электроразведке / В. Р. Бурсиан -1-е изд. JL, М.: Госгетеориздат, 1936. - С. 232., 2-е изд.-Л.: 1972.- 128 с.

22. Бурсиан, В. Р. Теория определения сопротивления горных пород по методу каротажа / В. Р. Бурсиан, В. А. Фок М. - Д.: Гостехтеориздат, 1933. -179 с.

23. Вабищевич, П. Я Численное решение внешней задачи Неймана / П. Н. Вабищевич, П. А. Пулатов // ЖВМ и МФ. 1987. - №84. - С. 536-543.

24. Ваксман, К. Г. О численном решении интегральных уравнений теории электрического каротажа сопротивлений / К. Г. Ваксман // Электромагнитный каротаж неоднородных сред: Тр. вычислительного центра МГУ. М., 1973.-С. 95-99.

25. Васин, В. В. Некорректные задачи с априорной информацией / В. В. Васин, A. J1. Агеев Екатеринбург - Урал фирма «Наука» - 1993. -263 с.

26. Вержбицкий, В. М. Основы численных методов / В. М. Вержбицкий -М.: Высш. шк., 2002 840 с.

27. Викторов, С. В. Математическое моделирование геоэлектрических полей в осесимметричных средах со сплайн-аппроксимацией границ, дисс. канд. физ -мат наук / С. В. Викторов. Стерлитамак, 2006.

28. Викторов, С. В. Численное исследование прямых задач геоэлектрики в осесимметричных кусочно-однородных горизонтально-слоистых средах / С.

29. B. Викторов, В. Н. Кризский // Материалы Междунар. научн. школы "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" // Труды Средневолжского Математического Общества, 2004. T.6., № 1.1. C.193 197.

30. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / B.C. Владимиров М.: Наука., 1988. - 512 с.

31. Восанчук, С. И. К расчету электростационарного поля в плоскосекторной среде / С. И. Восанчук // Математические методы и физико-механические поля Киев: Наукова думка, 1975. - Вып. 2. - С. 145-151.

32. Восанчук, С. И. Теория электрических зондирований на секторных структурах / С. И. Восанчук // Геофизический журнал. 1983. - Т. 5., № 2. -С. 18-29.

33. Воскобойников, Г. М. О вычислении стационарных электромагнитных полей в некоторых кусочно-однородных средах / Г. М. Воскобойников // Изв АН СССР Физика Земли, 1973. №9. - С. 73-76.

34. Воскобойников, Ю. Е. Методы решения некорректных задач параметрической идентификации / Ю. Е. Воскобойников Новосибирск: Изд-во Но-восиб-го гос техн. ун-та, 1996. - 82 с.

35. Галеева, Г. Я. Методы расчета электрического поля точечного источника в некоторых неоднородных средах с цилиндрическими включениями, дисс. канд. физ -мат наук / Г. Я. Галеева Уфа, 1991.

36. Герасимов, И. А. Математическое моделирование геоэлектрических полей в осесимметричных кусочно-однородных средах, дисс. канд. физ -мат наук / И. А. Герасимов Стерлитамак, 2004.

37. Гласко, В. Б. Обратные задачи математической физики / В. Б. Гласко -М. Изд-во Моск. ун-та., 1984. - 112 с.

38. Гласко, В. Б. Регуляризирующий алгоритм решения системы нелинейных уравнений в обратных задачах геофизики / В. Б. Гласко, В. И. Старос-тенко // Изв АН СССР. Физика Земли. 1976. - №3. - С. 44-53.

39. Гласко, В. Б .Алгоритмы подбора в заданных классах, основанных на регуляризации / В. Б. Гласко, В. И. Старостенко, С. М. Оганесян // Гравираз-ведка: Справочник геофизика М. - Недра. - 1990. - С. 388 - 402.

40. Гончарский, А. В. Некоторое обобщение принципа невязки для случая оператора, заданного с ошибкой / А. В. Гончарский, А. С. Леонов, А. Г. Яго-ла//ДАН СССР, 1972.-203.-№6.-С. 1238-1239.

41. Гончарский, А. В. Обобщенный принцип невязки / А. В. Гончарский, А. С. Леонов, А. Г Ягола // ЖВМ и МФ„ 1973. 13. - №2. - С. 294-302.

42. Гринберг, Г. А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений / Г. А. Гринберг М.: Изд-во АН СССР. - 1948. -728 с.

43. Дахнов, В. Н. Интерпретация результатов геофизических исследований разрезов скважин / В. Н. Дахнов М.: Недра, 1972. - С. 365.

44. Дахнов, В. Н. Каротаж скважин. Интерпретация каротажных диаграмм / В. Н. Дахнов М.: Госоптехиздат, 1941. - 496 с.

45. Дахнов, В. Н. Электрические и магнитные исследования скважин / В. Н. Дахнов М.: Недра, 1967. - 390 с.

46. Дахнов, В. Н. Основы теории электрометрии скважин методами сопротивления заземлений / В. Н. Дахнов, Е. А. Нейман // Труды МНИ.: Госоптехиздат, 1955. Вып. 15. - С. 26-38.

47. Дегтярева, Т. В. Обобщение метода отражений на многослойную среду / Т. В. Дегтярева, С. В. Вонсович, А. И. Воронко, Б. Р. Меррик М., 1984. -15 е.- Деп. в ВИНИТИ 04.07.84, № 4649.

48. Дмитриев, В. И. Математические модели в электромагнитных методах изучения строения Земли / В. И. Дмитриев // Проблемы вычислительной математики и математической физики. М.: Наука, 1977. - С. 116 - 127.

49. Дмитриев, В. И. Методы решения обратных задач геофизики / В. И. Дмитриев М.: Издательство Московского университета, 1990. - 36 с.

50. Дмитриев, В. И. Обратные задачи электромагнитного зондирования / В. И. Дмитриев // Физика Земли, 1977. №1. - С. 19 - 23.

51. Дмитриев, В. И. Общий метод расчета электромагнитного поля в слоистой среде / В. И. Дмитриев // Вычислительные методы и программирование, 1968.-№10.-С. 55-65.

52. Дмитриев, В. И. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики / В. И. Дмитриев, Е. В. Захаров М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. -167 с.

53. Дмитриев, В. И. Метод расчета поля постоянного тока в неоднородных проводящих средах / В. И. Дмитриев, Е. В. Захаров // Вычислительные методы и программирование М.: Изд-во МГУ, 1973. - Вып. 20. -С.202 - 209.

54. Дмитриев, В. И. Численный расчет электрического поля точечного источника в слоистой среде с осесимметричным включением / В. И. Дмитриев, Н. Н. Серебренникова // Изв ВУЗов, Сер. Геология и разведка 1987. - №12. -С. 109-113.

55. Доллъ, Г. Г. Электрический каротаж пластов высокого сопротивления / Г. Г. Долль // Каротаж. -М.: ОНТИ НКТП, 1934. С. 3-15.

56. Друскин, В. Л. О единственности решения обратной задачи электроразведки и электрокаротажа для кусочно-постоянных проводимостей / В. JL Друксин // Физика Земли, 1982. №1. - С. 72-75.

57. Друскин, В. Л. Метод решения прямых задач электрокаротажа и электроразведки на постоянном токе / В. JL Друксин, JI. А. Книжнерман // Изв АН СССР Сер. Физика Земли. 1987. - № 4. - С. 63-71.

58. Дубровский, Б. Г. Электрическое поле постоянных токов в многослойной среде с цилиндрическими границами раздела / Б. Г. Дубровский // Геофизический сб. АН УССР. Киев; Наукова думка, 1965. - Вып. 3(14). -С. 72-80.

59. Дьяконов, Б. П. Цилиндр в поле точечного источника электрического тока / Б. П. Дьяконов // Изв АН СССР, Сер. Геофизическая. 1957. - №1. -С. 116-121.

60. Жданов, М. С. Электроразведка / М. С. Жданов М.: Недра, 1986. -316с.

61. Журавлев, И. А. О решении трехмерной нелинейной обратной задачи гравиметрии / И. А. Журавлев // Геофизический журнал, 1998. Т. 20. - № 5. -С. 87-95.

62. Заборовский, А. И. Геофизические методы разведки / А. И. Заборовский -М.:ГНТИ, 1932.- 152 с.

63. Заборовский, А. И. Электроразведка / А. И. Заборовский М.: Госоп-техиздат, 1963. - 423 с.

64. Захаров, Е. В. Метод интегральных уравнений в задачах электромагнитного каротажа скважин / Е. В. Захаров // Электромагнитный каротаж неоднородных сред. М.: Изд-во МГУ, 1973. С. 4 - 15.

65. Захаров, Е. В. Интегральные уравнения теории электрического каротажа неоднородных сред / Е. В. Захаров, К. Г. Ваксман М.: Изд-во МГУ, 1973.-С. 95-104.

66. Захаров, Е. В. Метод интегральных уравнений в задачах бокового каротажа / Е. В. Захаров, И. В. Ильин // Численные методы в геофизике-М.: Изд-во МГУ, 1978. Вып. 1. - С. 52-68.

67. Иванов, В. Т. О методе решения прямых смешанных краевых задач в многосвязаных областях / В. Т. Иванов // Дифф. ур-ия, 1982. № 3. -С. 526-529.

68. Иванов, В. Т. Решение краевых задач методом плоскостей и интегральных преобразований / В. Т. Иванов // Дифференциальные уравнения. 1970. -№10.-С. 18-25.

69. Иванов, В. Т. Решение методом прямых некоторых краевых задач для уравнения эллиптического типа / В. Т. Иванов // Дифференциальные уравнения. 1967. -Т. 3., №6. - С. 1002-1008.

70. Иванов, В. Т. Математическое моделирование электрохимической защиты / В. Т. Иванов, Н. П. Глазов, В. А. Макаров //Итоги науки и техники Сер. "Коррозия и защита от коррозии" М.: ВНТИЦ, 1987. - Т. 13. -С. 117-194.

71. Иванов, В. Т. Оптимизация электрических полей, контроль и автоматизация гальванообработки / В. Т. Иванов, В. Г. Гусев, А. Н. Фокин М.: Машиностроение, 1986. - 216 с.

72. Иванов, В. Т. Метод расчета электрических полей в полупространстве с цилиндрическими неоднородностями / В. Т. Иванов, А. К. Козырин, Г. Я. Кильдибекова // Изв ВУЗов, Сер. Геология и разведка. 1986. - № 9. -С. 79-85.

73. Иванов, В. Т. Поле точечного источника в среде с цилиндрическими неоднородностями / В. Т. Иванов, А. К. Козырин, Г. Я. Кильдибекова // Физика Земли, 1986.-№12.-С. 53-61.

74. Иванов, В. Т. Решение прямой задачи электрометрии скважин для неф-тепроводящего пласта / В. Т. Иванов, А. К. Козырин, М. С. Масютина // Изв ВУЗов, Сер. Геология и разведка. 1982. - №4. - С. 98-109.

75. Иванов, В. Т. Решение задач теории электрометрии скважин дифференциально-разностным методом / В. Т. Иванов, В. JI. Комаров, JI. Н. Подлипчук // Изв ВУЗов, Сер. Геология и разведка. 1971. - № 1. - С. 106-112.

76. Иванов, В. Т. К теории скважинной электрометрии / В. Т. Иванов, В. JI. Комаров // Геологическое строение и перспективы нефтеносности Башкирии Уфа, 1972. - Вып. 29. - С. 349-354.

77. Иванов, В. Т. Решения задач электрометрии скважин в неоднородной среде с учетом зоны проникновения / В. Т. Иванов, В. JI. Комаров // Теория и практика разработки нефтяных месторождений. Уфа, 1972. - Вып. 30. -С. 166-178.

78. Иванов, В. Т. Решение некоторых задач электроразведки методом граничных интегральных уравнений / В. Т. Иванов, В. Н. Кризский // Известия ВУЗов, Геология и разведка, 1993. №4. - С. 122-127.

79. Иванов, В. Т. Методы решения прямых и обратных задач электрокаротажа / В. Т. Иванов, М. С. Масютина М.: Наука, 1983. - 143 с.

80. Иванов, В. Т. К вопросу численных методов решения внешних краевых задач электрического поля / В. Т. Иванов, Г. Н. Нехаева //Изв ВУЗов, Сер. Электромеханика. 1984. - №6. - С. 5-11.

81. Иванов, В. Т. К численному решению внешних краевых задач для эллиптических уравнений / В. Т. Иванов, Г. Н. Нехаева // ЖВМ и МФ. 1986. -№1. - С. 65-71.

82. Иванов, В. Т. Электрическое поле экранированного цилиндрического электрода в неоднородной анизотропной среде / В. Т. Иванов, JI. Н. Подлип-чук // Изв ВУЗов, Сер. Геология и разведка -1974. № 11. - С. 123-131.

83. Иванов, В. Т. Решение задач электрокаротажа для неоднородной анизотропной среды / В. Т. Иванов, В. JL Комаров // Изв АН СССР, Сер. Физика Земли. -1970. №9. - С. 23-32.

84. Изотова, Е. Б. Решение прямых и обратных задач электроразведки на постоянном токе для горизонтально слоистых сред: автореф. дис. . канд. физ. мат. наук / Е. Б. Изотова - Ленинград, 1969.

85. Израильский, Ю. Г. Разработка методов и программ решения прямых и обратных задач электроразведки: автореф. дис. . канд. физ. мат. наук / Ю. Г. Израильский - Владивосток, 1986.

86. Израильский, Ю. Г. Алгоритм расчета кажущихся сопротивлений и по-ляризуемостей для среды с неоднородностью в виде сфероида / Ю. Г. Израильский, Н. Г. Шкабарня // Прикладная геофизика М.: 1984. - №110. -С. 89-98.

87. Канторович, Л. В. Приближенные методы высшего анализа / Л. В. Канторович, В. И. Крылов М.: Физматгиз, 1962. - 708 с.

88. Килъдибекова, Г. Я. Поле точечного источника в горизонтально-слоистой среде с цилиндрическими включениями / Г. Я. Кильдибекова // Численные методы решения уравнений математической физики Уфа, 1986. -С. 64-74.

89. Кильдибекова, Г. Я. Расчет поля точечного источника в целом пространстве в присутствии бесконечного кругового цилиндра / Г. Я. Кильдибекова // Алгоритмы и программы: Инф. Бюлл. 1987. - № 3. - С. 16.

90. Кильдибекова, Г. Я. Решение задачи электроразведки в неоднородном пространстве с цилиндрическими включениями / Г. Я. Кильдибекова // Численные методы в прикладной математике Уфа, 1985. - С. 45-57.

91. Кобрунов, А. И. О методе оптимизации при решении обратной задачи гравиразведки / А. И. Кобрунов Физика Земли, 1978. - №8. - С. 73-78.

92. Кобрунов, А. И. Теория интерпретации данных гравиметрии для сложно построенных сред / А. И. Кобрунов Киев, 1989. - 100 с.

93. Козырин, А. К Электрическая корреляция разрезов скважин / А. К. Ко-зырин М.: Кедра, 1985. - 240 с.

94. Колосов, А. Л. Решение задач электрометрии скважин на ЭВМ / A. JI. Колосов Киев: Наукова думка, 1977. - 147 с.

95. Комаров, С. Г. Геофизические методы исследования скважин / С. Г. Комаров М.: Госоптехиздат, 1963. - 407 с.

96. Комаров, С. Г. Кажущиеся удельные сопротивления пластов конечной мощности и высокого удельного сопротивления / С. Г. Комаров // Прикладная геофизика М., Л.: Госоптехиздат, 1945. - Вып. 1. - С. 96-114.

97. Комаров, С. Г. Каротаж по методу сопротивлений Интерпретация / С. Г. Комаров М.: Госоптехиздат, 1950. - 229 с.

98. Королюк, Г. И. Об одном способе численного аналитического продолжения потенциальных полей / Г. И. Королюк Изв. АН СССР, Сер. Физика Земли, 1967. - №6. - С. 25-30.

99. Костянев, С. Г. Исследование поля постоянного тока в горизонтально-градиентных средах / С. Г. Костянев Изв. ВУЗов, Сер. Геология и разведка, 1977.-№9.-С. 108-112.

100. Костянев, С. Г. Поле постоянного тока в градиентных средах / С. Г. Костянев // Вычислительные методы и программирование М.: изд-во МГУ, 1975.-Вып. 24.-С. 156-160.

101. Костянев, С. Г. Потенциал источника тока в сферическом градиентном полупространстве / С. Г. Костянев//Годишник на висшите учебни заведения. Приложна математика София, 1974, - Т. 10, кн. 4. - С. 59-67.

102. Костянев, С. Г. Расчет поля тока в цилиндрической градиентной среде / С. Г. Костянев // Численные методы в геофизике М.: Изд-во МГУ, 1979. -С. 81-86.

103. Кризский, В. Н. Математическое моделирование потенциальных геоэлектрических полей / В. Н. Кризский дисс. докт. физ-мат наук. - Стер-литамак, 2004.

104. Кризский, В. Н. Математическое моделирование и оптимизация обратных задач определения геоэлектрических параметров кусочно-однородных сред / В. Н. Кризский, И. А. Герасимов, М. Б. Заваруева // Математическое моделирование, 2000. Т.12. - №3. - С.32-33.

105. Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа / В. И. Крылов, Н. С. Скобля М.: Наука, 1974.-223 с.

106. Лаврентьев, М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики / М. М. Лаврентьев Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.

107. Лаврентьев, М. М. Некорректные задачи математической физики и анализа / М. М. Лаврентьев, В. Г. Романов, С. П. Шишатский М.: Наука, 1980.-287 с.

108. Лаврентьев, М. М. Теория операторов и некорректные задачи / М. М. Лаврентьев, Л. Я. Савельев Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. - 702 с.

109. Лебедев, Н. Н. Специальные функции и их приложения / Н. Н. Лебедев М.:, Л.: Физматгиз, 1967. - 358 с.

110. Липилин, А. В. Принципы и технологии обработки и интерпретации потенциальных полей при изучении глубинного строения земной коры / А. В. Липилин дисс. канд. тех. наук., Москва, 1999.

111. Майе, Р. Математические основания электрической разведки постоянным током / Р. Майе М.: ГОНТИ, 1935. -111 с.

112. Мартышко, П. С. О решении обратной задачи метода заряда / П. С. Мартышко // Физика Земли, 1993. №5.

113. Мартышко, П. С. О решении обратной задачи электроразведки на постоянном токе для произвольных классов потенциалов / П. С. Мартышко // Физика Земли, 1986. №1. - С. 87-92.

114. Мартышко, П. С. О решении прямой и обратной трехмерных задач метода искусственного подмагничивания в параметрических классах / П. С. Мартышко // Физика Земли, 1983. №3. - С. 52-57.

115. Мартышко, П. С. О решении прямой и обратной задач магниторазведки / П. С. Мартышко, И. Л. Пруткин Геофизический журнал, 1982. - Т. 4. -№6. - С. 39^9.

116. Марчук, Т. Н. Методы вычислительной математики / Т. Н. Марчук -М.: Наука, 1980.-535 с.

117. Масютина, М. С. Поле точечного источника в средах с вертикальными неоднородностями / М. С. Масютина // Фазовые переходы и свойства упорядоченных структур. Уфа: БФАН СССР, 1977. - С. 41-45.

118. Матусевич, А. В. Объемное моделирование геологических объектов на ЭВМ / А. В. Матусевич М.: Недра, 1968. - 184 с.

119. Меррик, Б. Р. Численное решение прямой задачи метода КС для тонкослоистой среды при наблюдении в скважине / Б. Р. Меррик, Г. И. Чечин, В.

120. B. Попов // Изв. АН СССР, Сер. Физика Земли, 1979. №5. - С. 81-86.

121. Морозов, В. А. Алгоритмические основы методов решения некорректно поставленных задач / В. А. Морозов // Вычислительные методы и программирование, 2003.-Т. 4.-С. 130-141.

122. Морозов, В. А. О приближенном решении операторных уравнений методом сплайнов / В. А. Морозов // ДАН СССР, 1971.- Т. 200. №1.1. C. 35-38.

123. Морозов, В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач / В. А. Морозов М.: Наука, 1987. - 240 с.

124. Морозов, В. А. Теория сплайнов и задача устойчивого вычисления значений неограниченного оператора / В. А. Морозов // ЖВМ и МФ, 1971. Т. 11.-№3.-С. 545.

125. Московская, Л. Ф. Построение моделей локальных рудных объектов по данным потенциальных и квазистационарных методов электроразведки /

126. J1. Ф. Московская Дисс. к. ф. -м. н., С. -Петербург, 1995. - 131с.

127. Овчинников, В. К. Теория поля / В. К. Овчинников М.: Недра, 1979. -352с.

128. Овчинников, И. К. К теории распределения тока точечных заземлений в неоднородном полупространстве / И. К. Овчинников // Изв. АН СССР, Сер. Геофизическая, 1956. №4. - С. 419-430.

129. Оганесян, С. М. Теория и численные методы решения трехмерных задач гравиметрии / С. М. Оганесян Автореф. дис. д-ра физ-мат. наук. - Киев, 1987.-36 с.

130. Оганесян, С. М. Двойственный метод решения линейных задач гравиметрии / С. М. Оганесян, В. И. Старостенко // Гравиразведка: Справочник геофизика М.: Недра, 1990. - С. 428-433.

131. Пантелеев, А. В. Методы оптимизации в примерах и задачах / А. В. Пантелеев, Т. А. Летова- М.: Высшая школа, 2002. 544с.

132. Петровский, А. А. Изолинии естественного электрического поля, создаваемого сферической залежью / А. А. Петровский // Изв. Инст-та прикл георизики 1928.- Вып. 4. - С. 81-92.

133. Петровский, А. А. Электроразведка постоянным током / А. А. Петровский, Нестеров А. Я М.:, Л: Гелогиз, 1932. - 164 с.

134. Рудерман, Е. Н. Поле точечного источника в трехслойной среде с промежуточным градиентным слоем / Е. Н. Рудерман // Изв. ВУЗов, Сер. Геология и разведка, 1971.-№11.-С. 124-128.

135. Самарский, А. А. Разностные методы решения обратных задач математической физики / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич // Фундаментальные основы математического моделирования. М.: Наука, 1997. - С. 95-97.

136. Самостюк, Г. П. Поле точечного источника тока в присутствии сферы / Г. П. Самостюк, А. В. Вешев // Уч. записки ЛГУ Сер. физич и геол наук, 1960.-Вып. 12.-№286.-С. 3-12.

137. Сапожников, В. М. Приближенное решение задачи о возмущении электрического поля точечного источника шаром / В. М. Сапожников // Геофизические методы поисков и разведки рудных и нерудных месторождений -Свердловск, 1981. С. 69-77.

138. Сапожников, В. М. Поле вызванной поляризации в некоторых типах градиентных сред / В. М. Сапожников, В. Е. Петряев, В. Г. Шевченко // Ред. ж. Изв. ВУЗов Сер. Геология и разведка М.:, 1984. - 15 с. Деп. в ВИНИТИ 22. 05. 84., №3273.-74.

139. Стариков, В. Я. Статистическое моделирование прямых задач нефтегазовой скважинной ядерной геофизики / В .Я. Стариков Дисс. д-ра физ-мат наук. - Новосибирск, 1988.

140. Старостенко, В. И. Вопросы теории и методики интерпретации гравиметрических наблюдений устойчивыми численными методами / В. И. Старостенко Дисс. д. ф -м н., Киев, 1976. - 406 с.

141. Старостенко, В. И. Некорректно поставленные задачи по Адамару и их приближенное решение методом регуляризации А Н Тихонова / В. И. Старостенко, С. М. Оганесян // Геофизический журнал, 2001. Т. 23. - № 6. -С. 3-20.

142. Старостенко, В. И. Устойчивые операторные процессы и их применение в задачах геофизики / В. И. Старостенко, С. М. Оганесян // Изв. АН СССР Физика Земли, 1977. -№5. С. 61-74.

143. Страхов, В. Н. Универсальные алгоритмы регуляризации систем линейных алгебраических уравнений с аддитивной помехой в правой части, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии / А. В. Страхов // Физика Земли, 2000.- №10. С. 3-28.

144. Титов, К. В. О возможности обобщения метода электростатических изображений на задачи о полях в областях, содержащих границу произвольной конфигурации / К. В. Титов // Зап. Ленингр. горн, ин-та, 1987. №13. -С. 135-136.

145. Тихонов, А. Н. О единственности решения задач электроразведки / А. Н Тихонов ДАН СССР, 1949. - Т. 69. - №6. - С. 797-800.

146. Тихонов, А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач / А. Н. Тихонов ДАН СССР, 1963. - Т. 153. - №1. - С. 49-52.

147. Тихонов, А. Н. Об электрозондировании над наклонным пластом / А. Н. Тихонов // Труды ин-та теор. Геофизики М.: -Л: Изд-во АН СССР, 1946. -Т. 1.-С. 116-136.

148. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин М.: Наука, 1986. - 288 с.

149. Тихонов, А. Н. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация / А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степанов, А. Г. Ягола М.: Наука, 1983.-200 с.

150. Тихонов, А. Н. Численные методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степанов, А. Г. Ягола М.: Наука, 1990. -230 с.

151. Тихонов, А. Н. Решение задач электроразведки в неоднородных средах / А. Н. Тихонов, В. И. Дмитриев, Е. В. Захаров // Изв. АН СССР, Сер. физика Земли 1977. - №12.- С. 9-19.

152. Тихонов, А. Н. Нелинейные некорректные задачи / А. Н. Тихонов, А. С. Леонов, А. Г. Ягола М.: Наука, 1995. - 311 с.

153. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский М.: Наука, 1966. - 724 с.

154. Троян, В. Н. Применение сплайн-функций для аппроксимации геофизической информации / В. Н. Троян // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн, 1981. Вып. 20.

155. Филатов, В. А. Расчет поля точечного источника постоянного электрического тока в слоистой среде / В. А. Филатов, Е. А. Хогоев Новосибирск, 1987. - 13с. - Деп. в ВИНИТИ 29 .01. 87., N Ю65-В87.

156. Фок, В. А. Теория каротажа / В. А. Фок М.: Гостехтеориздат, 1933. -157 с.

157. Халфин, JI. А. Поле точечного источника в присутствии сжатого и вытянутого сфероидов / Л. А. Халфин // Известия АН СССР. Серия геофизическая - 1956. - №6. - с. 657-668.

158. Хисамутдинов, А. И. Алгоритмы Монте Карло в ядерной геофизике / А. И. Хисамутдинов, В. Я. Стариков, А. А. Морозов - Новосибирск: Наука, 1985.- 157 с.

159. Хмелевский, В. К. Основной курс электроразведки 4.1 / В. К. Хмелев-ский М.: МГУ, 1971.-245 с.

160. Хуторянский, В. К. Об одном способе численного решения прямой задачи электроразведки / В. К. Хуторянский, В. К. Голубева // Геология в геофизике 1985. -№12. - С. 120-128.

161. Цок, Н. О. Решение обратной задачи гравиразведки при полиномиальной сплайн-интерполяции контактных поверхностей / Н. О. Цок Автореф. -Киев, 1985.

162. Шак, В. Г. Параболические структуры в поле точечного источника тока / В. Г. Шак // Изв. АН СССР, Сер. Физика 1987. - №3. - С. 68-73.

163. Шак, В. Г. Цилиндрические структуры в поле точечного источника / В. Г. Шак // Прикладная геофизика 1985. - №112. - С. 86-94.

164. Шеметов, В. А. Моделирование методов постоянного тока в задачах электроразведки для сложного разреза с использованием метода конечных элементов / В. А. Шеметов Дисс. к. ф. -м. н., Новокузнецк, 1996.

165. Шкабарня, Н. Г. Особенности поведения кривых электрического зондирования над средой с наклонной границей / Н. Г. Шкабарня, Г. А. Кияшко // Геология и геофизика 1990. - №8. - С. 140-146.

166. Щукина, В. Е. Приближенное решение обратных задач гравитационной и магнитной разведок / В. Е. Щукина Дисс. к. ф. -м. н., Пенза, 1990,120 с.

167. Янке, Е. Специальные функции: формулы, график таблицы / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш М.: Наука, 1977. - 342 с.

168. Яновская, Т. Б. Обратные задачи геофизики / Т. Б. Яновская, Л. Н. По-рохова Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. - 211 с.

169. Ярмахов, И. Г. Численное решение задачи о распределении поля постоянного тока в неоднородных проводящих средах / И. Г. Ярмахов // Численные методы в геофизических исследованиях М.: Изд-во МГУ, 1979. - С. 76-96.

170. Adam, G. Przyblione rozwianie podstawowego zadanienie odwiertowych profilowan opomosci / G. Adam // Acta geophys Pol 1976. - v. 24, №1. -P. 89-91.

171. Donald, D. Method for modeling the resistivity and ip response of twodi-mensional bodies / D. Donald, A. Snyder // Geophysics October. - 1976. - v. 41, №5.-P. 997.- 1015.

172. Eloranta, E. N. Potential field of a stationary electric current using Fred-holm's integral equations of the second kind / E. N. Eloranta // Geophys Prospect, 1986. v. 36, №6. - P. 856. - 872.

173. Yang, F. W. Single-borehole and cross-borehol resistivity anomalies of thin ellipsoids and spheroids / F. W. Yang, S. H. Ward // Geophysics 1985. - v.50, №4.-P. 637-655.