автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и анализ электрических и тепловых процессов в технических комплексах

На правах рукописи

Магомедов Курбан Ахмедович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ТЕХНИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСАХ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

С - Петербург 2003 г.

Работа выполнена на кафедре «Системный анализ и управление» Санкт-Петербургского государственного политехнического университета и на кафедре «Теоретическая и общая электротехника» Дагестанского государственного технического университета

Защита состоится 19 июня 2003 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д212.229.10 . при Санкт-Петербургском государственном политехническом университете по адресу 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул. 21 СПбГПУ.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке СПбГПУ.

Научный консультант-

доктор технических наук, профессор Козлов Владимир Николаевич.

Официальные оппоненты:

член-корреспондент Российской академии наук, доктор технических наук, профессор Бутырин Павел Анфимович; доктор технических наук, профессор Францев Роберт Эдуардович; доктор технических наук, профессор, Изранцев Виталий Васильевич.

Ведущая организация: Казанский государственный технический

университет им. А.Н. Туполева.

Ученый секретарь диссертационного совета

Д.Т.Н.

Г.Ф. Малыхина

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Научная база современной техники создается фундаментальными исследованиями в области математических, физических и технических наук. Соединение фундаментальных исследований и практической реализации возможно на основе решения проблем математического моделирования сложных технических комплексов, состоящих из разнородных подсистем. Это позволяет говорить о гибридных (гетерогенных) технических комплексах с неоднородными по функциям подсистемам, физическим принципам и классам их математических моделей. Проектирование гибридных (сосредоточенно-распределенных) технических комплексов методами математического моделирования наиболее эффективно на единой научной основе, что определяет актуальность тематики данной работы. Математическим аппаратом, определяющим научное единство, являются негладкие и, в частности, кусочно-линейные операторы, определенные в конечномерных и функциональных пространствах. Эти операторы позволяют в едином базисе построить модели сосредоточенно-распределенных подсистем комплексов.

Применения гибридных технических комплексов достаточно разнообразны, что объясняется функционированием современных технических систем на основе различных физических, химических и других принципов. К числу гибридных комплексов относятся энергетические системы, содержащие электрические, гидравлические, тепловые и другие подсистемы. Решение проблем моделирования технических комплексов важно для энергетики, медицины и других отраслей народного хозяйства.

Фундаментальные результаты в области исследования нелинейных электрических цепей получены акад. К.С. Демирчяном и чл.-корр. П.А. Бутыриным, проф. Ю.В. Ракитским и его учениками и другими исследователями, а в области математического моделирования тепловых процессов акад. A.A. Самарским, акад. С.К. Годуновым, проф. П.Д. Вабищевичем, B.C. Рябеньким, а также другими учеными.

В работе рассматриваются гибридные комплексы, состоящие из электрических и тепловых подсистем, в частности, построенные на основе принципа термоэлектрического охлаждения или нагрева. Эти комплексы используются в технике, медицине и других областях.

Теория термоэлектричества и новые полупроводниковые термоэлектрические устройства (ГТГЭУ) были разработана в Институте полупроводников АН СССР под руководством академика А.Ф.Иоффе.

В настоящее время основным разработчиком и производителем полупроводниковых термоэлектрических модулей и ряда систем на их основе является Санкт-Петербургская Инженерно-Производсхвенная__фирма КРИОТЕРМ i f 0C- КАЦИвНАДЬНАЯ

! БИБЛИОТЕКА

! оТтЖЖ

В лаборатории термоэлектричества Дагестанского государственного технического университета (ДГТУ), где работал автор данной работы, в течение ряда лет велась и ведется работа по созданию различных ПТЭУ, предназначенных для сохранения и восстановления здоровья человека. На протяжении ряда лет ДГТУ непрерывно сотрудничает с ведущими учеными Дагестанской медицинской академии (ДМА) по разработке новых приборов.

Автоматизированное проектирование термоэлектрических приборов требует разработки фундаментальных основ автоматизированного проектирования приборов данного класса. Фундаментальные основы формируются с учетом принципов действия приборов и моделей, отражающих электрические и физические подсистемы. Это требует формирования математических моделей подсистем с учетом теплофизических свойств процессов на основе обобщенных уравнений теплопроводности, диффузии или переноса, адаптированных для учета многослойности и неоднородности материалов. Последнее обстоятельство приводит к необходимости теоретического обобщения и разработки аналитических и численных моделей для анализа и синтеза термоэлектронных систем и приборов, имеющих широкое применение в науке и технике.

Диссертационная работа выполнена в рамках комплекса хоздоговорных работ Дагестанского государственного технического университета в 1990-1996 гг. и работ по Межвузовской комплексной программы Министерства образования Российской Федерации «Наукоемкие технологии образования», выполненных в 2000 - 2003 гг.

Цели работы: развитие и теоретическое обобщение методов математического моделирования анализа и синтеза гибридных технических комплексов, состоящих из электрических и тепловых подсистем на основе адекватных дифференциальных уравнений, конструктивных разностных схем для сосредоточенных и распределенных систем с ориентацией на создание приборов и систем на основе комплексных целевых условий. В связи с этим в работе решены следующие основные подпроблемы:

Подпроблема 1. Создание методики моделирования сложных систем, состоящих из электрических и теплофизических подсистем.

Подпроблема 2. Разработка математических моделей электрических подсистем в виде кусочно-линейных электрических цепей, являющихся исполнительными элементами систем термостабилизации и управления.

Подпроблема 3. Разработка методов численного анализа кусочно-линейных электрических цепей, исследование условий и способов улучшения их устойчивости, синтеза цепей по заданным требованиям.

Подпроблема 4. Разработка обобщенных математических моделей теплофизических процессов и разностных схем для анализа динамики изменения температуры в различных средах, учитывающих специфику технических комплексов, разработка разностных схем для моделирования процессов распространения тепла в кусочно-неоднородных средах.

Подпроблема 5: синтез модальных, комплексно-целевых, локально-оптимальных систем температурной стабилизации распределенных объектов.

Создание моделей программного управления для теплофизических процессов на основе аналитических и численных моделей.

Подпроблема 6. Адаптация разработанных методов для разработки математического обеспечения автоматизированного проектирования систем термостабилизации для медицины и управления техническими объектами.

Методика выполнения работы: основой для разработки математических моделей гибридных технических комплексов явились - теория кусочно-линейных операторов, методы теоретической электротехники, методы вычислительной математики, методы функционального анализа.

Авторский вклад. Автором работы сформулированы:

- концептуальные основы проектирования гибридных технических комплексов на основе опыта проектирования приборов, использующих ПТЭУ;

- определены постановки проблем разработки комплекса математических моделей на основе вариантных поисковых исследований автора и лаборатории термоэлектричества ДГТУ, выполненных в предшествующие десять лет;

- предложено обобщение методов проектирования гибридных систем с учетом многообразия подсистем, образующих комплексы технических систем общего назначения;

разработано математическое описание и разностные схемы электрических цепей и теплофизических подсистем технических комплексов;

- определены требования к вариантам развития математических моделей теплофизических процессов с учетом обобщенных факторов моделирования процессов;

- разработаны методические основы исследования устойчивости разностных схем на основе единства методологии для сосредоточенных и распределенных параметров.

Научная новизна:

1. Предложен подход, обеспечивающий научную общность решения проблем математического моделирования гибридных технических комплексов на основе обобщенных дифференциальных уравнений в обыкновенных и в частных производных и разностных схем, использующих кусочно-линейные алгебраические и интегральные операторы.

2. Разработаны математические модели электрических подсистем, содержащих нелинейные электрические цепи со статическими и динамическими элементами описываемые кусочно-линейными непрерывными алгебраическими и интегральными операторами, сформулированы кусочно-линейные обыкновенные дифференциальные уравнений цепей.

3. Созданы операторно-адцитивные и параметрически-аддитивные кусочно-линейные разностные схемы для моделирования электрических подсистем, доказаны расширенные условия их устойчивости, допускающие применение для анализа процессов в широком классе нелинейных цепей,

в частности, в цепях с ПТЭУ.

4. Разработаны обобщенные математические модели теплопроводности для многослойных объектов, сформулированы задачи Коши и краевые задачи

для обобщенных кусочно-линейных уравнений теплопроводности в канонических формах. Предложен комплекс кусочно-линейных однородных разностных схем для первой и второй канонических форм, обобщающий известные модели тепловых объектов. Сформулированы достаточные условия устойчивости кусочно-линейных двухслойных явных и частично-неявных разностных схем.

5. Предложены кусочно-линейные разностные схемы для многомерных задач теплопроводности, построенные на основе «принципа расщепления», расширяющего сферы применения моделей.

6. Сформулированы математические модели для синтеза систем температурной стабилизации, ориентированные на различные типы целевых условий, обеспечивают вариативность выбора моделей синтеза с учетом широкого комплекса требований к техническим комплексам и приборам. Разработаны методы моделирования программных управлений на основе аналитических решений задач Коши и кусочно-линейных разностных схем. Предложено сведение задач моделирования для распределенных объектов температурной стабилизации к задачам моделирования динамики многослойных объектов, прогнозирования их состояний и численно-аналитического представления воздействий на подсистемы с помощью конечномерной оптимизации и уравнений или решения неравенств.

Практическая значимость. Выполнена адаптация разработанных разностных схем для электрических и тепловых подсистем медико-технических комплексов, позволяющая исследовать тепловых процессы в одномерной, двумерной и трехмерной постановках. Полученные результаты иллюстрируют эффективность качественных и количественных характеристик медико-технических систем.

Полученные результаты позволяет сделать вывод о целесообразности разработки систем автоматизированного проектирования и исследования на базе предложенных методов математического моделирования подсистем на базе адекватных моделей. Постановки и решения подпроблем, подзадач и выбор направлений исследования позволяют создать математические и алгоритмические основы обеспечения отечественных систем проектирования гибридных технических комплекс.

Реализация результатов: полученные результаты нашли применение: 1. При проектировании алгоритмического обеспечения технических комплексов, в частности, для проектирования комплекса приборов ПТЭУ.

2. Методы моделирования и анализа электрических подсистем адаптированы для моделирования нелинейных элементов ПТЭУ на основе кусочно-линейной аппроксимации.

3. Общие принципы создания элементов САПР ПТЭУ были использованы при создании ряда конкретных приборов с учетом того, что высокая степень интеграции и увеличение мощностей приводит к ужесточению теплофизических ограничений и требованию применения эффективных систем охлаждения для точности поддержания температуры.

4. Разработанные модели теплофизических режимов ПТЭУ позволяют

повысить точность расчетных инженерных методик, что позволит определить их теплофизические, весогабаритные и электрические параметры.

Апробация работы: материалы работы докладывались на Международном семинаре «Возобновляемые нетрадиционные источники энергии - проблемы и перспективы», г. Махачкала, 1997; на 1 Международной конференции «Новые технологии управления движением технических объектов», Ставрополь, 1999; на IV НТС «Актуальные проблемы механики, прочности и теплопроводности при низких температурах», С-Петербург, 1998; на 4-ой Международной конференции «Измерения, контроль и автоматизация производственных процессов» («ИКАПП-97»), Барнаул, 1997; на научном семинаре «Актуальные проблемы механики, прочности и теплопроводности материалов и конструкций при криогенных температурах», С-Петербург, 1998; на НТК «Датчики и преобразователи информации систем измерения, контроля и управления» (Датчик-99), Гурзуф, 1999; на Всероссийской научно-технической конференции "Информационно-управляющие системы и специализированные вычислительные устройства дм обработки и передачи данных", Махачкала, 1996; на П Международном симпозиуме «Мониторинг и прогнозирование чрезвычайных ситуаций», Махачкала, 1997; на I Международной конференции «Новые технологии управления движением технических объектов», Ставрополь, 1999; на 3-ей Международной НТК «Новые информационные технологии в региональной инфраструктуре», Астрахань, 1997; на тех международных научно-методических конференциях «Высокие интеллектуальные технологии образования и науки», С-Петербург, 2001, 2002, 2003; на трех международных научно-технических конференциях «Фундаментальные исследования в технических университетах», С-Петербург, 2001, 2002, 2003; на международной научно-практической конференции «Теоретические и практические проблемы развития электроэнергетики России», С-Петербург, 2002; на III межвузовской научно-методической конференции "Компьютеризация учебного процесса по электротехническим дисциплинам", Астрахань, 1995.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первом разделе дан анализ проблемы разработки математических моделей для анализа и синтеза гибридных технических комплексов из подсистем с сосредоточенными и распределенными параметрами. Сформулированы требования к решению проблемы на единой фундаментальной основе, в качестве которой предложено использование кусочно-линейных (негладких) операторов, действующих в конечномерных и функциональных пространствах. Даны постановки проблемы в целом с выделением подпроблем моделирования электрических, тепловых и других подсистем. Отмечены возможные области применения предлагаемых методов моделирования, включая создание термоэлектронных и других систем для приборостроения, энергетики и других отраслей народного хозяйства. Сформулированы задачи моделирования, анализа и синтеза, возникающие при

проектировании электрических подсистемы, подсистем температурной стабилизации и управления. Отмечена роль методов математического моделирования и алгоритмов в синтезе новых технических комплексов.

На первом этапе исследования поставлена проблема создания методики моделирования сложных систем, состоящих из электрических и теплофизических подсистем. Ориентация на теплофизические процессы в подсистеме с распределенными параметрами охватывает широкий круг проблем управления и приборостроения.

На втором этапе необходима разработка математических моделей подсистем с сосредоточенными и распределенными параметрами на основе кусочно-линейных обобщенных дифференциальных и алгебраических уравнений, постановка и математическая формулировка, анализ качественных свойств системы с учетом развития вычислительных методов.

Разрабатываемые методы моделирования должны быть ориентированы на получение качественных результатов - учет существенных нелинейностей процессов в подсистемах, анализ устойчивости разностных схем для систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, создающими условия для создания современных САПР гибридных технических комплексов.

Постановка основных проблем исследования. Решение проблемы теоретического обобщения методов моделирования, анализа и синтеза выполнено с учетом основных подпроблем исследования.

Постановка подпроблемы 1. Создание методики моделирования сложных систем, состоящих из электрических и теплофизических подсистем отличающихся физическими принципами и классами описывающих уравнений и функциональным назначением.

Постановка подпроблемы 2. Разработка математических моделей электрических подсистем с учетом нелинейностей их компонентов на основе кусочно-линейных операторов, действующих в конечномерных и бесконечномерных пространствах. Формулировка кусочно-линейных дифференциальных уравнений электрических цепей.

Постановка подпроблемы 5. Разработка разностных схем для анализа процессов в нелинейных электрических цепях на основе «принципа операторной и параметрической аддитивности» для кусочно-линейных дифференциальных систем, обеспечивающих расширенные условия устойчивости, поскольку полиномиальное описание нелинейностей не позволяет сформулировать разностные схемы с улучшенными свойствами устойчивости из-за немонотонности полиномиальных описаний и невозможности построения неявных или частично-неявных разностных схем.

Постановка подпроблемы 4. Разработка математических моделей процессов распространения тепла в многослойных средах как задач Коши и краевых задач для обобщенных уравнений теплопроводности на основе кусочно-линейных разностных схем, формулировка условий устойчивости разностных схем по начальным данным и правым частям. Моделирование, анализ и синтез теплофизических систем аналитических и численных решений должны выполняться по комплексным целевым условиям.

Постановка подпроблемы 5. Разработка моделей для синтеза регуляторов для распределенных объектов на основе обобщения известных методов синтеза. Формулировка методов синтеза программных управлений на основе комплексных целевых условий и аналитических представлений оператора теплопроводности для краевых задач, формирование алгоритмов локально-оптимального стабилизирующего управления на основе интервально-координатного прогнозирования температурного состояния объектов с помощью разностных схем и операторов конечномерной оптимизации. Представляется целесообразным строить теоретическое обобщение на основе принципах декомпозиции, включающих уровни: уровень разделения комплексов на электрические и физические подсистемы; уровень синтеза электротехнических подсистем, математические модели которых строятся на основе кусочно-линейных операторов; уровень синтеза физических частей систем, для которых могут использоваться однослойные или многослойные модели сред типа - «среда-среда», «среда-воздушная среда» и «среда-воздушная среда-среда». Весьма важен синтезирующий уровень, сводящий синтез к задачам математического программирования, формулируемых на основе целевых функций, аналитических моделей или разностных схем.

Во втором разделе дана системно-матричная классификация и характеристики нелинейных резистивных, емкостных и индуктивных элементов электрических цепей, сформулированы математические модели и методы анализа нелинейных электрических цепей, включая термоэлектронные элементы. Рассмотрена классификация и комплекс математических моделей нелинейных электрических цепей в виде кусочно-линейных дифференциальных уравнений. Сформулированы разностные схемы для анализа нелинейных цепей на основе «принципа аддитивности» в форме операторной и параметрической аддитивности, обобщающие известные модели с кусочно-линейными характеристиками элементов.

Нелинейные резистивные, емкостные и индуктивные элементы цепей определены их статическими и динамическими характеристиками. Резистивные нелинейные двухполюсные элементы характеризуются статическими «вольт-амперными» или «ампер-вольтовыми» характеристиками: и - (р(0, /' = ср(и), заданными в кусочно-линейном базисе функций. Емкостные двухполюсные элементы определены «кулон-вольтовыми» («вольт-кулоновыми») зависимостями между зарядом q и напряжением и:

I

д = дг(и) = , и = и(ц), Ы ¿д/Ж, для случая линейных элементов и описывается

I

соотношениями 9 = (?(и)= (&}/сй = <р(}(1)) в случае кусочно-линейных

-со

характеристик элемента. Индуктивные двухполюсные элементы имеют «вебер-

амперные» характеристики для линейных элементов: Ч7 = Ч'О), / = ¡(Ч'),

/ I

Ч' = Ч'(?')= и = е№/Ж, и представляются в форме: ^ = У (Г) - ^<р(и)Ж,

с№ / Ж = <р(и(Т)) для кусочно-линейных характеристик элементов, где -

функция кусочно-линейного типа. На основе классификации и характеристик формируются дифференциальные или интегральные уравнения и операторы. Основой для формулировки операторов и уравнений являются кусочно-линейные функции:

у = р,(г) = Ь + а0г + ~ а\>ау > а*> 1 > к > С1)

Экспериментальные характеристики аппроксимируют в кусочно-линейном или полиномиальном базисах функций. Операторы (1) позволяют объединить аналитические, графические и табличные задания характеристик элементов. Для определения параметров оператора (1) по данным таблицы значений ар и функций от ар составляется система линейных алгебраических уравнений задачи кусочно-линейного интерполирования:

<Р1(ар) = ь + «оа, + К-.К -а\,р = \,б,

(р1(с) = Ъ + сс + (2)

где Фх(ар), 9\(с), 9>,(с)- известные из таблицы значения; с = (тта )-г;с = (таха ) + / = 1,$;г>0.

I 1 1 '

Общие принципы формирования уравнений цепей. Для составления уравнений цепей необходимо использовать законы Кирхгофа, а для моделирования характеристик нелинейных элементов - кусочно-линейные операторы (1). Применение (1) позволяет сформулировать кусочно - линейные дифференциальные уравнения цепей. Кусочно-линейные дифференциальные уравнения цепей даны в канонических формах.

Кусочно-линейные операторы элементов цепей и их свойства. В работе даны определения кусочно-линейных операторов. Пусть г.уеЯ1. Тогда кусочно-линейный оператор (1), построенный по системе узлов {а,} с параметрами Ъ, ад,

а, € Я' , является непрерывным. В ряде задач необходимо использовать разрывные операторы

у = <р2(г) = Ъ + + - а\ + (3)

г а1

построенные по системам узлов [а;\и с параметрами Ь, а0, а, и Д еЛ1.

Если 2 и У - множества функций, причем функция г - функция временного аргумента /,то оператор

ЯО = Ф( 2(1) ) = р,(2(0), I = 1,2, (4)

где операторы <р, определены равенствами (1) или (3) для непрерывных или

разрывных характеристик цепей, действует на множестве функций.

Гистерезисные элементы цепей можно описать интегральными операторами на множествах непрерывных или разрывных функций 2 и ¥ :

у(0 = Ф(2(1))=)<р,Ш)с1г, (5)

о

где <р/. ¡=1,2, определены (1) или (3).

Для случая, когда 2 е Я", У е Я" - конечномерные пространства в работе используются векторные кусочно — линейные операторы:

у = ф(г) =Ь + ааг + Лмсх\г-а\, (б.а)

где ад, а.] е Ятхп - числовые матрицы размером (тхп); Ъ, а, е Я", а, е Я" -векторные узлы оператора. Оператор (6), как и оператор (4), может быть задан на множестве функции. Оператор (6) можно задать вектор-функцией с координатными функциями вида (1) так, что:

у = Ф{2) = (6.6)

В классе операторов (б.а) и (6.6) можно представить правые части кусочно-линейных систем дифференциальных и разностных уравнений цепей.

В работе использованы операции обращения, суперпозиции операторов. Предложены оценки постоянных Липшица операторов типа (1) и (6).

Первая каноническая форма кусочно-линейных уравнений имеет вид

* = ЛФж(х) + ДФ,(у), = = + (7)

где хеЯ", V е /?"' - векторы токов (или напряжений) цепей и входных воздействий; у е Я*- вектор выходных координат цепей (выхода); А, В, С и Б -числовые матрицы размера (пхп), (пхт), (ххп) и (зхт) соответственно; ФЛх')=:(РЛх1)>"'>РЛх1)>—'РЛх"У)1 ~ векторный оператор с координатными функциями <Р]{х'), зависящими только от одной компоненты У вектора х; Фу(.у) = (<Р1(.у>),...,<рп^"'))Т - векторный оператор с координатными функциями зависящими от одной компоненты вектора входов;

(х) и (V) -аналогично определяемые векторные операторы. Координатные функции операторов системы (7) являются операторами (1) или (3).

Вторая каноническая форма кусочно-линейных уравнений дана в виде: х = Ф,(Ах) + Фгт, х(1а) = ха,у = Ч,(Сх) + ЧЧЩ. (8)

Для уравнений (7) далее целесообразна координатная форма уравнений х' + ,) = х, + (9)

Кусочно-линейные разностные схемы даны в канонических формах.

Первая каноническая форма разностных схем имеет вид:

+ = *о. + (10)

где правые части представляют собой линейные комбинации кусочно-линейных операторов с учетом вычисления процессов в дискретные моменты кИ, причем А - шаг численного интегрирования по времени.

Вторая каноническая форма имеет вид

хм=А,Фл(АЛ) + В1ФЛВ^к), хко=х0, ук=0¥х(.Схк) + т'Л^) (11)

и описывает конструкции явных и частично - неявных разностных схем.

В работе применяется третья каноническая форма:

= Н(х,) + Р(ук\хка=ха, ук = Ч',(Сх1) + Ч\ (12)

где Н(хк) и Р{ук) - векторные операторы с координатными функциями (1).

Моделирование функциональных блоков электрических цепей выполняется на основе последовательного или параллельного включения операторов. При параллельном включении эквивалентный оператор имеет вид:д = {г). При последовательном соединении нелинейных элементов с характеристиками <рХ^), г = 1,5, эквивалентный оператор задается суперпозицией д = ... <р2<р1)(г). Аналогичные конструкции предложены для включения элементов в обратные связи.

Операторно-аддитивные кусочно-линейные разностные схемы для анализа электрических цепей. Операторно-адцитивным представлением (7) называется их преобразование к форме

х = АФх(х) + АФ^х) + ВФ,(у), *(Г0) = х0, у = 0¥я(х) + т1,(у),

(13)

Ф,(х) + Ф,(х) = Ф,(х) . Утверждение 1. Пусть выполнены следующие условия:

1. Кусочно-линейная система имеет вид:

где (0) = о , [х'к) | < \х'к | , / * ). т.е. условия типа Липшица для

операторов выполнены в окрестности нулевого стационарного состояния.

2. Разностная схема имеет вид:

= ад + , ¡ = й>, (14)

гден„=е^,н'¥ =(Я„-1)а;/а,/. |Я,Х+Я>,((х;)|< К,\х'к \ .

Тогда для устойчивости нулевого стационарного состояния разностной схемы (при = 0 ) достаточно выполнение условия

шах | +£ |Я,;| Ц ) < 1 . (15)

1-1

Утверждение 2. Пусть выполнены следующие условия:

1. Задача Коши для кусочно-линейной системы имеет вид:

1-1

где я, (0) = 0 , у, (х'к) | < \х'к | , I*

2. Разностная схема частично-неявного типа, построенная на основе координатной операторной аддитивности имеет вид:

1-1

&

где оператор у/и(х^,) = х;+1 - монотонный.

Тогда разностная схема устойчива при выполнении соотношений:

А,р + й£к|1,]< 1 , = ■ (16)

Утверждение 3. Пусть выполнены следующие условия:

1. Задача Коши для кусочно-линейной системы имеет вид:

X = (х) + Л2Ф2(х) + ВФ„(У), *(/„) = х0,

2. Разностная частично-неявная схема представлена равенством:

соответствующим представлению в операторно-аддитивной форме: д

Ф.(**ц) = ** +ЬА2Ф2(хк) + кВФ^к)

3.Стационарная точка разностной схемы единственна и определяется

при ut=u.= const, к e [0, со), системой алгебраических уравнений х.=Ч>'] [х. + М2Ф2 (х,) + ИВФи (vv.))],

4.0ператоры системы и разностной схемы (13) удовлетворяют условию Липшица в некоторой области О с Я", содержащей последовательность векторов {дгД к = 0,1,2,...:

ЩуЛ-ФЛУ'^ЦУ 'А

Тогда разностная схема устойчива при выполнении неравенства 1,(1 + ф2||12)<1 , I, =1,(й) .

(17)

В работе математическим моделированием показано преимущество частично-неявных разностных схем (рис.1.а) в части улучшения устойчивости по сравнению с явными схемами (рис. 1.6).

tic

с

а)

б)

Рис. 1

Устойчивость параметрически аддитивных частично-неявных разностных схем. Параметрически аддитивным представлением (а-представлением) кусочно-линейных дифференциальных систем (7) называется их представление в форме

х = аАФл(х) + (1-а)АФ + ВФ„(у), х(70) = х0,

у^ОВД + ОТЦу), где числовой параметр а такой, что 0 < а <1, а переменные и матрицы

имеют тот же смысл, что и в системе (7).

Вычислительные схемы и устойчивость разностных схем. Пусть кусочно - линейная дифференциальная система имеет вид: х = Л1Ф(Л2х) + ВУ(у),

а расщепление системы приводит к уравнениям вида:

х = Л1аФ1(Л2х)+ Л2(1 - а)Ф1(Л1;е)+.8Ч'(у), где скалярный параметр аддитивности удовлетворяет условию: 0 < а < 1 Утверждение 1. Пусть выполнены следующие условия: 1. Алгебраическое уравнение для разностной схемы имеет вид:

хы=хк +а/4Ф,(ЛЛ^+(1-«)ЦФ,(ЛЛ) + ) .

в которой показатель аддитивности а удовлетворяет условию 0<а<1, матрица А1 - диагональная; обратимый оператор (7) характеризуется соответствующим условием Липшица для операторов <р1 в оператореФ, (г);

2. Стационарное состояние разностной схемы описываются уравнением :

х.=ф-1[(1-аУг4Ф1(А2х,) + ИВ^.%

3. Координатные функции обращаемого оператора монотонны.

Тогда разностная схема устойчива при выполнении условий: у кг+р Н + р <0,

Г = 2а(1 - а ) ||4[| Ц Щ, Р = Щ Ц Щ (1 -а)-а,р = -1, 0 < а < 1,

II " I I I! I! II 2

причем м | =тах V а , Ы = тахрс, , и неравенства р -4у р <0, которое

является условием вещественности решений, обеспечиваемым параметрами системы, разностной схемы и параметром аддитивности.

В разделе 3 сформулированы математические модели и разностные задачи для канонических форм кусочно-линейных уравнений теплопроводности, исследована устойчивость разностных схем.

Кусочно-линейные задачи теплопроводности и методы их решения. Для формулировки обобщенных уравнений предложена методика кусочно-линейных преобразований переменных. Пусть исходные уравнения имеют вид

Ч^Эи/а, ди/дх, д*и/дх., /(*,/)]= 0, 0<х<1,0</<Г. (19)

При выполнении операторно-функциональных преобразований аргументов уравнения (19) можно получить уравнения

^[фдаи/до, Ф, (ди/дх), Ф2(дги/дх), /(х,Г)] = 0,

(20)

0 < х < 1, 0<1<Т.

Кусочно-линейные уравнения теплопроводности в первой канонической форме имеют вид:

= Й + /(м)0<х<1,0<«Г, (21)

Уравнения теплопроводности во второй канонической форме представляются равенствами:

¥ = Ф,(й) + /(*.йО<х<1,0</<Г

от ох

(22)

а уравнения в третьей канонической форме обобщают (21) и (22):

= + /(*. 0<х< 1,0</<Г,

о1 ох

(23)

На основе уравнений (21) - (23) и соответствующих краевых условий первая краевая задача в прямоугольнике £> = (0 < х < 1,0 < / < т). формулируется следующим образом. Найти непрерывное в области ТЗ решение и = и(х, /) задачи

= Ф2(§) + /(х.гХ0<х<1,0<г<Г.

д1 дх

и{х, 0) = и0(х),0<х<1>

м(0, /) = и,(г), и(1, /)=«2(0, 0 < Г < Г.

(24.а)

Аналогичным образом для обобщенных уравнений теплопроводности формулируется задача Коши:

Ф,^) = Ф2(|^) + /(х,»)10<*<1,0</<Г,

о/ а*

и(дг, 0) = «0 (х), 0 < х < 1,

(24.6)

Рассмотренные формы уравнений используются в зависимости от свойств и характеристик среды, специфики границ и других свойств задачи. В работе дан анализ существующих разностных схем для линейных и квазилинейных задач теплопроводности, развиты схемы для кусочно-линейных уравнений.

Разностные задачи для первой канонической формы кусочно-линейных уравнений теплопроводности. Переход к кусочно-линейным уравнениям теплопроводности связан с тем, что свойства теплопроводности материалов могут изменяться в широких пределах. Учет свойств возможен несколькими способами: при переходе к квазилинейным или нелинейным, в частности,

кусочно-линейным) уравнениям. Разностным схемам для квазилинейных уравнений посвящено большое количество работ. Разностные схемы для кусочно-линейных уравнений в первой канонической форме приведены в табл. 1.

Таблица 1

Разностные схемы для первой канонической формы

_кусочно-линейных одномерных уравнений теплопроводности_

1. Явные двухслойные кусочно-линейные разностные схемы: у;* =у;+ г фгЧС УЬ

2. Двухслойные частично-неявные разностные схемы: уГХ=у{+ ТЧ>{>

к

где для прогноза используется явная схема,

3. Двухслойные разностная схема «предиктор-корректор»:

где для прогноза используется явная схема.

4.Двухслойная схема типа Кранка - Никольсона:

у;

}* 1

■У! + г

2й

+ <Р,},

где для прогноза используется явная схема.

5.Неявные двухслойные кусочно-линейные разностные схемы

■У1

№+РЯ -2У1+У'м

у?1-у{

уГ-У'Л^ 2Т уГ-У!

Ьв+ ас

УГ-У!

2т УГ -У!

1=1

УГ -У/

6. Трехслойный кусочно-линейный аналог разностной схемы Дюфорта-Франкела:

"уЬ+уЬ-гу!*

У',

/♦I

УГ' + 2т чу1

+ <р;

Разностные задачи для второй канонической формы кусочно-линейных уравнений теплопроводности. Различные типы разностных схем для второй

канонической формы кусочно-линейных уравнений теплопроводности сведены в табл. 2.

Таблица 2

Однородные и неоднородные двухслойные разностные схемы для второй канонической формы одномерных уравнений теплопроводности_

1. Явная однородная разностная схема:

у= у" +т ф2 О^""-' ~ + У™-*)

т = 0, ±1, ±2,..., и = 0,1,..., ЛГ-1, М = Т.

2. Неявная разностная схема:

у"+1 - у"

J т ✓ я»

- ф,

, т = 0, ±1, ±2,..., и = 0,1,..., N-1.

Г

3. Частично-неявная неоднородная разностная схема:

Л

(*-.о

4. Частично-неявная однородная разностная схема:

-[^1-2 Л+Л.,] + 2**.,*.)

т

Разработанные математические модели позволили выявить существенное влияние на процессы характеристик теплопроводности на различных слоях, что иллюстрируется на рис. 2. Температура начала неоднородного полубесконечного стержня поддерживается постоянной. Результаты вычислений (рис. 2) иллюстрируют существенные отличия процессов нагрева неоднородного стержня (в нелинейной модели теплопроводности) при одинаковых начальных условиях и отсутствии объемных источников и стоков тепла по сравнению с процессом нагрева при неизменной теплопроводности по длине стержня (рис. 2.6).

Км

'г1

--[ V

I • I I

I , 1%

-1-|-1-

7 9 11 13 ¡3 17 IV

а)

Рис.2

б)

Для многомерных (двух и трехмерных) задач теплопроводности в рабоге сформулированы разностные схемы и проведены вычислительные эксперименты на основе метода расщепления, который позволяют свести многомерные задачи Коши к решению совокупности одномерных задач теплопроводности. Эти одномерные задачи решаются с помощью разностных схем, приведенных в табл. 1 и 2. Разностные схемы для двухмерных кусочно-линейных уравнений теплопроводности. Данные задачи формулируются следующим образом: найти решение задачи Коши:

и(х, у, 0) = <р{х, у\

В качестве одномерных задач можно использовать задачи вида: V, = Ф, (V,,), » = {х, у, 1р) = и{х, у, 1р\

у, = Ф2(>%), (х, у, '„) = 1>(х, у, гр „)

(25)

Устойчивость кусочно-линейной разностных схем по правой части. Для исследования устойчивости явных кусочно-линейных разностных схем для решения задачи Коши они представлены в форме:

Уп:1=У:+гф2

т = 0, ± 1, ±2,..., и = 0,1,..., jv-1, nh-t.

Пусть оператор Ф2[г] удовлетворяет условию типа Липшица: О< |Ф2(w)\<,р |vc|, р>0 . В результате перехода к оценке по модулю и применения оценки можно перейти от равенства (26) к неравенству:

1>Г' \у! + -2 fy: ^ I + 1 *?<*.. Ol (27.а)

или:

IJC11 - I'(с, + )l +1(1 -З'-К I+1 Мхт,/„)], (27.6)

где в соответствии с классическим условием устойчивости < l^.

Если перейти к норме и далее просуммировать эти неравенства в пределах от О до N - 1, то можно получить одно неравенство вида:

: (maxj/?„,[) + AYmax j«;,|< max„ \ß\m+Tmsaimn\a"m\ <

(28)

< шах(1,Г) (max„,,„|<| + maxm|Ä|) = M ,

где M = max (1,T); M = 1, если Т < 1, b М = 'Г, если Т > 1. На основании соотношения (28) можно сделать вывод об устойчивости по правой части в силу выполнения соответствующего определения .

Операторно-разностный метод анализа устойчивости кусочно-линейных разностных схем. Анализ устойчивости начально-краевых задач и анализ устойчивости можно выполнить операторно-разностным методом A.A. Самарского на основе построения локальных операторов (действующих на слое). Для исследования устойчивости кусочно-линейных задач Коши операторно-разностным методом необходимо определить локальный кусочно-линейный оператор задачи Коши на n-ом временном слое, а затем сформулировать достаточные условия устойчивости на основе принципа сжимающих отображений. На первом этапе целесообразно определить кусочно-линейные операторы на отдельных слоях для явных и частично-неявных схем, а затем формулировать достаточные условия. В работе разработана общая схема исследования устойчивости и показано, что анализ устойчивости будет базироваться на основной лемме об устойчивости. Основу метода исследования составляют метрические пространства сеточных функций скалярного и векторного типов, в которых метрика задается нормой, оценки постоянных Липшица операторно-разностных схем и принцип сжимающих отображений. В

пространстве сеточных функций определена норма конечномерных сеточных пространств:

И^М, (29)

в которой учтен «слоистый» характер функций. Доказана лемма об оценке константы Липшица для кусочно-линейных операторов.

Лемма 1. Пусть непрерывные кусочно-линейные операторы задаются в канонической форме. Тогда справедливы следующие утверждения: 1. Неравенство и оценка константы Липшица для операторов (1), определенных на числовой оси, имеют вид:

Н*)-^< I, .|х->| , ¿,= а„| + 1>,|] • (30)

2. Неравенство и оценка константы Липшица для векторных кусочно-

линейных операторов типа (6): у = * = В°+ + >>

действующих в вещественном конечномерном пространстве векторов с нормой (29), имеют вид:

НВД-ЧЧУ)!! 5 , шах

(31)

Векторная форма операторно-разностного сеточного оператора для решения одномерной задачи Коши уравнения теплопроводности на (п+1)-ом временном слое, полученная в работе, принимает вид:

У"+,= ЧЧГ.ЛГ") = Г +тп2[а Г7Й2]+г л(л"\?Л

У" = (у?, у;.....у: У , = (Ф2(гг),... ,ф2(2"„))т, (32)

г; = (ЛГ/И2), , \{х*,о= (<р (*„о..., <Р (х„,г„))Г. Операторы в (32) представляются в канонической форме:

г= у (г) = я0\2-2\, в0= гЛ(Г,д,

у- а2(у) = ьв + вву+т, .

(33)

Из соотношений (33) следуют уравнения стационарных состояний:

Г = ¥(Г,Х') = 7' +т С12[А Г /А1 ]+ г л(х*)

АСАГ- )= (р (*. ), ... , <р (х.))т.

Оценки нормы для отклонений координат системы (32) от исследуемого на устойчивость стационарного состояния, описываемого (34), имеют вид:

||Г+,-У II = \\Ч>(¥",Хп)-Ч(Г\Х')\\ =

(35)

= ||Г-Г + г [П2[лг/Й2]~ П2[Л Г*/Й2]] + г [ЛОГ,О - II .

Далее для преобразования (35) использованы неравенство треугольника, условия Липшица для координатных функций кусочно-линейного оператора разностной схемы на слое, а также свойства нормы образа линейного оператора, на котором определен кусочно-линейный оператор. Тогда

||Г+,-Г || =

= IIФ(Г",ЛГ-)-II <1^— ЦГ-Г 11+ Г||лог,0-Л0г,011 ,

п

Т(Г,Х")=Г+ г а,[лг//г2]+г [Л(ЛГ",0] , (36)

МИ = шах X

Тл

Константа Липшица в (36) вычисляется с помощью леммы об оценке, что позволяет получить ее значения с учетом структуры и параметров операторов, заданных равенствами (33). Тогда условия сжатия (36) с учетом примут вид:

¿ш = тах

7-'

+21

р-1

\ш

А2

< 1

Ч*. =Е + т Вл, 1Р„ =г В„

(37)

Приведенные соотношения являются доказательством утверждения.

Утверждение 1 (об устойчивости явных кусочно-линейных разностных схем). Пусть выполнены следующие условия:

1. Явная разностная схема задачи Коши для одномерного кусочно-линейного уравнения теплопроводности представлена в табл. 2, п. 1.

2. Стационарное решение кусочно-линейной разностной схемы задачи Коши для уравнения кусочно-линейного уравнения теплопроводности удовлетворяет кусочно-линейному алгебраическому уравнению (34).

Тогда решение задачи Коши устойчиво в некоторой окрестности стационарного решения, определяемого (34), если выполнено условие (37).

Устойчивость частично-неявных разностных схем. При использовании частично-неявных разностной схемы, приведенной в табл. 2, п. 4, можно сформулировать операторно-разностный сеточный кусочно-линейный оператор на (п+1)-ом временном слое и уравнения для отклонений от стационарного состояния:

у"*' - у =у[ ч>2 [г-] ]+ а2у-а2у,

г= ОГ, у\.....%'1(У)= .....,

(ЗВ.а)

А,У /Т+ 2Ф ( X", О. ЧХ",гп) = (.<р{х1,ц\...,<р{хт,1т)У,

АХ!г + 2Ф(Х',1„), Ф{Х\1„) = (<р(Х;,11)...,Ф:,1„) После перехода к оценке нормы левой части (З8.а) можно получить оценку нормы вектора:

II*""1 -г ц = ц-у[ Фг'И- ^'[г-] ]+ а2у-а2у Ц < < г--г-1| + || ЛIIII г-г ц ^ £ yi_.ll 4 II ¡1Г-ГЦ +2 ,

где (38.6)

г = СУ"» у1, - , ^ )7, )= (-^(О - , -¥1\у"т))\ г"= Л,Г + 2Ф(Г\ г„), фсх",/„) = (^(х,,^),...,))г, а,г + 2Ф(х-,о, ф(х-,о = (<р(х;,1,)...мх:,0 ■

где: - постоянная Липшица обратного оператора, координатные функции

состоят из обратных (функционально) операторов кусочно-линейных операторов, введенных при построении исследуемой разностной схемы. Из

цепочки неравенств (38.6) с помощью леммы о сжимающем отображении можно получить достаточные условия устойчивости частично-неявных разностных схем в форме

Й21,11411/2+11411 /г < 1 ,

(39)

а2£Л, \\х"-х'\\ < +»,

где константа Липшица вычисляется с помощью леммы 1, а нормы матриц с помощью соотношений, приведенных в (36).

В разделе 4 разработаны математические модели синтеза программных и стабилизирующих воздействий для тепловых процессов для целевых условий «типа равенств», «типа неравенств», а также условий «типа минимума функционала».

Модели синтеза модальных управлений распределенных тепловых подсистем используют функций u (х, t), задающих аналитические решения начально-краевых задач. Тогда целевые условия «типа равенств» имеют вид:

«(*,/)= u(xj^) , (40)

где «(x.r^J - заданное значений температуры в фиксированные моменты времени. Поскольку решение определено с точностью до параметров нагреваемого объекта (подсистемы) и внешних возмущений, то последняя алгебраическая система может быть разрешена относительно искомых переменных (параметров аналитического решения).

Целевые условия «типа неравенств» формируются по аналогии с условиями (1), и определяют интервальные требования к координатам объекта для заданных моментов времени (при многоточечных условиях по времени). Задача сводится к решению конечного числа систем неравенств:

и < u(x,f)= и*, (41)

относительно параметров объекта или параметров входных воздействий.

Целевые условия «типа минимума функционала», определенного на отклонениях теплового режима от заданных требований, реализуются минимизацией параметров объекта или входных воздействий. Это позволит свести задачу синтеза к задачам конечномерной минимизации:

Л «(*„.'„). ] -> min , (42)

где u(xm,t„) и u(_xMm,tMK) - аналитические значения температуры в заданные

моменты времени и координат и их численные значения. Минимизация (3) выполняется вычислением конечного числа параметров объекта или входных воздействий алгоритмами математического программирования.

На основе общей методики сформулирована группа задач температурной стабилизации на конечном интервале времени.

Задача 1. Пусть уравнение распространения тепла в изотропном стержне:

ди(х,1)/д(= а7д2и(х,1 )/дх2 , (43)

с начальными и краевыми условиями вида:

«(*,') 1,=о= «„(*) , «(/,*) и= «(*,/)!,.,= О , (44)

Требуется найти параметры решения и(хД), которые выбираются из условия удовлетворения заданным целевым условиям «типа равенств», «типа неравенств» или «минимума функционала». Для представления обобщенного решения можно использовать формальный бесконечный ряд:

2^ | к2 л2 а2

I \sin-

клх

(45)

или его простейшую аппроксимацию:

, 2а, Г л2а2 1 . лх

и(х,1)ъ—-ехр<--— —.

е { е ) е

(46)

В случае одноточечного целевого условия «типа равенства» по времени и по координатам задача сведена к решению равенства относительно параметров:

и(х,1)

2а,

х=х 1=1

еЩ-

л2а2 -1

г\яп— = и.ш6(хл). е ] е

(47)

которое представляет собой нелинейное алгебраическое уравнение относительно параметров аь обеспечивающих выполнение целевых условий. В случае многоточечных целевых условий «типа равенств», задающих тепловые режимы объекта на семействах точек временной и координатной осях, задача сведена к решению системы уравнений:

и(х^)

ех\

л а

, . лх

= и1мд

(х4).

(48)

относительно параметров.

Задача 2. Для модели синтеза управлений объектом, описываемым уравнением теплопроводности, начальными и граничными условиями:

и, = а2&м , и(х,у)\1=0=иНУ(х,у) , и(х,у)\гу= 0 , для которого сформулирована начально-краевая задача, можно также использовать решение в виде формального ряда:

"гх.у.о = — £ехр\~я2а'

ет

)

т

I \sin-

клх

(49)

если Б - прямоугольник с параметрами, определенными в предыдущих соотношениях. Многоточечные целевые условия «типа равенств» представляются системой уравнений вида:

4 _ I,

I

,е2

л ■ кпх / (50)

Соотношение типа (9) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно параметров а^. Аналогично формулируются многоточечные целевые условия типа (2) в виде двусторонних неравенств. Аналогично сформулированы и другие задачи.

Экспериментальное исследование моделей. Рассмотрено моделирование функции начального нагрева для обеспечения заданной температуры в заданной точке однородного бесконечного стержня. При необходимости определения функцию начального нагрева тонкого бесконечного стержня для обеспечения в момент времени I = 0.3 в точке с координатой х = 0.5 температуру величиной 0.164 можно воспользоваться одноточечными целевыми условиями и определим из соотношения (6) коэффициент а/. и синтезируем функцию начального нагрева у(х). Затем можно проверить обеспечение заданной температуры в заданной точке. Вид функции начального нагрева и процесс остывания стержня иллюстрируется на рис. 3.

Рис.3

В работе рассмотрена также задача с трехточечными целевыми условиями.

Модели для локально-оптимальных стабилизирующих управлений синтезированы на основе программно-замкнутого управления с прогнозированием динамики тепловых объектов разностными схемами. Пусть объект описывается уравнениями теплопроводности:

с начальными и краевыми условиями вида:

Л 1 0/1 н(0,+со> = 0, и(0,0) = и°°,

В последних уравнениях заданы краевые условия, соответствующие случаям бесконечного и конечного (с единичной длиной) одномерного стержня. Для синтеза модели использовать функционалы качества трех видов:

3 = \и(1,х)-и'ад(1,х^ -» тт,

(52)

ч

в которых учитываются ошибки по времени и по координате в течение программирования процесса изменения температуры как функции времени и координаты на интервале [¡, ¡+к]:

и(Ь,х) = аи(^+к,х). (53)

Введенные функционалы являются интервально-оптимальным, поскольку характеризует локальные характеристики на интервале. В работе сформулирован алгоритм в виде этапов:

Этап 1: построение сеточной модели для уравнения теплопроводности:

т Ь* (54) .

Этап 2: целевые условия преобразуются с учетом моделей типа (54):

+ ^ - '-Г <*>

где введены мгновенные отклонения от заданного температурного режима и отклонения управляющего воздействия от экономически оптимального. Этап 3: формулируется модель динамики по пространству и времени:

*=0, Чо-Що , г

х=0 т к* оя'

г=0 ии-щ, ^щ2-2и0,+щ0 : -=аг-п-+/„„

х = 1 т гг

1=0 ип-щ:2 _^и03-2и02+и0:1 | г

г) ¿02*

х-2 т К

х=0 Г к* ],я'

и2,-и„ } ии-2ии+и10

х=1: -=аг---+/и,

т п

- и22~Ыи_„2 и1.3 +и1,1 , у

х-2. — а- л + /„•

Этап 4: закон стабилизации формулируется как решение задачи минимизации функционалов (52) на пересечении линейного многообразия (56), представленного множеством

Оо={г|А2 = Ь} (57)

и параллелепипеда, задающего ограничения типа неравенств:

£>, = (г | г" < г < г+). (58)

Предложено численно-аналитическое решения операторами оптимизации:

й = Пр=ТРт(20) = Т[2-а1Р1\ 2 = Р°(г°), = ]. (59)

Обозначения и переменные в (57) - (59) имеюг следующий смысл: матрица Т введена для выделения управлений из вектора расширенных переменных -Вектор г°-точка безусловного минимума функционала. Операторы Р"(гк) и Р' проекторы на линейные многообразие Бо, и подпространство Д,, причём Р1 -операторы проектирования на множества Б]. Скаляр а, определяет величину шага в направлении Р, для достижения допустимого множества.

В разделе 5 рассмотрено применение математических моделей для проектирования алгоритмического обеспечения технических комплексов. В качестве одного из примеров рассмотрены математические модели для проектирования приборов на базе термоэлектронных устройств (ПТЭУ).

1. Методы моделирования и анализа электрических и электронных частей ПТЭУ. Эти методы должны быть адаптированы для моделирования нелинейных элементов ПТЭУ, что было выполнено на основе кусочно-линейной аппроксимации, позволившей сформулировать адекватные модели установившихся и переходных режимов. На основе полученных результатов математические модели отдельных элементов ПТЭУ приведены в разделе 2. В этом же разделе даны основные методы численного анализа переходных процессов в электрических частях приборов. Приведенные результаты могут быть дополнены необходимыми средствами в случае необходимости учета специфики нелинейностей ПТЭУ

Общие принципы формирования элементов САПР ПТЭУ были использованы при создании ряда приборов. При проектировании было учтено, что современные системы радиоэлектроники характеризуются высокой степенью интеграции и увеличением мощностей, что приводит к ужесточению теплофизических параметров и требует применения эффективных систем охлаждения. Причем, большое значение имеет не только количество отводимого тепла, но и точность поддержания температуры на заданном уровне для прецизионных полупроводниковых приборов. Наиболее эффективны системы охлаждения с использованием полупроводниковых

термоэлектрических устройств, позволяющих осуществить точно дозированный отвод или подвод тепла, а также термостабилизацию

электронных схем в условиях дестабилизирующего состояния среды, нестационарных процессов в самой электронной схеме и переходных процессов при включении заданных режимов. Существующие методики расчета теплофизических параметров полупроводниковых термоэлектрических устройств в ряде случаев малоэффективны.

Разработанные методы будут использованы для повышения точности расчетных инженерных методик при определении параметров полупроводниковых термоэлектрических модулей. Это позволит более точно определить теплофизические, весогабаритные и электрические параметры разрабатываемых устройств. 2. Приборы на базе полупроводниковых термоэлектрических устройств. К числу термоэлектрических приборов можно отнести ряд приборов.

1. Устройство для термостатирования микросхемы (рис. 4), которое обеспечивает температуру статирования 7/ при температуре окружающей среды Т2.

2. Полупроводниковое

термоэлектрическое устройство для регулирования температуры

трансфузионных средств. Устройство предназначено для использования в медицине для контроля и управления температурой трансфузионных средств в процессе их введения в организм человека (рис. 5), содержащее теплообменник, систему изменения температуры в теплообменнике в виде батареи термоэлектрических модулей и устройство автоматики, включающее блок контроля и регулировки.

Рис.4

Разработанные методы математического моделирования использованы в лаборатории термоэлектричества Дагестанского государственного технического университета при создании и других приборов и систем: термоэлектрического устройства для преобразования солнечной энергии, интерференционного измерителя микроперемещений, фотоэлектрического устройства для измерения степени прозрачности оптических сред глаза, автоматизированной методики расчета температурного поля в кольцевом полупроводниковом термоэлектрическом модуле, резонансного аттенюатора

Рис. 5

сверхвысокочастотного дианазона, информационного обеспечения автоматизированного определения параметров радиоэлектронных схем при питании постоянным и переменным токами, термоэлектрического полупроводникового устройства охлаждения, прибора термоуправления и термостабилизации, термоэлектрического полупроводникового устройства для борьбы с монотонней.

Заключение по работе:

1. Разработанные методы математического моделирования, анализа и синтеза технических комплексов с неоднородным математическим описанием электрических и тепловых подсистем различными классами моделей позволяет эффективно решить возникающие подпроблемы. На основе предлагаемого подхода обеспечивается научная общность на основе обобщенных

дифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных с применением кусочно-линейных алгебраических и интегральных операторов.

2. Математические модели электрических подсистем, содержащих электрические цепи со статическими и динамическими нелинейностями, сформулированные в виде кусочно-линейных непрерывных алгебраических и интегральных операторов позволили разработать необходимый класс разностных схем для моделирования динамики процессов. Кусочно-линейные операторы обеспечили формулировки адекватных математических модели в виде кусочно-линейных обыкновенных дифференциальных и алгебраических уравнений электрических цепей.

3. Разностные схемы, учитывающие при моделировании свойства монотонности и обратимости кусочно-линейных операторов, обладают расширенными условиями устойчивости, необходимыми для анализа процессов в расширенных классах нелинейных цепей, в частности, в цепях с управляемыми источниками и преобразователями энергии (с термоэлементами). Операторно-аддитивные и параметрически-аддитивные кусочно-линейные разностные схемы определяют расширенные множества устойчивых схем для анализа цепей.

4. Математическое моделирование процессов теплопроводности в многослойных объектах (приборах) определило формулировки задач Коши и краевых задач для обобщенных кусочно-линейных уравнений теплопроводности в различных канонических формах, которые взаимно однозначно связаны в случае монотонности операторов. Кусочно-линейные однородные разностные схемы для первой канонической формы, построенные при условии монотонности и обратимости операторов, обобщают и дополняют известные методы математического моделирования объектов с кусочно-линейными и кусочно-интервальными изменениями свойств теплопроводности как функции скорости изменения температуры во времени. Кусочно-линейные двухслойные и трехслойные аналоги явных и частично-неявных классических разностных схем расширяют возможности математического моделирования. Кусочно-линейные однородные разностные схемы для второй канонической формы расширяют класс кусочно-линейных схем за счет получения более широкого множества частично-неявных схем двухслойного и трехслойного типа.

5. Кусочно-линейные разностные схемы для многомерных задач теплопроводности, построенные на основе принципа расщепления, позволяют получить математические модели для анализа многомерных процессов в объектах многослойного типа, что охватывает широкие сферы применения моделей.

6. Условия устойчивости кусочно-линейных разностных схем по правой части и начальным условиям подтверждают существование непустого множества устойчивых схем и определяют ограничения на шаги по времени и координатным переменным.

7. Математические модели для синтеза систем температурной стабилизации, ориентированные на различные типы целевых условий

обеспечивают вариативность выбора моделей для синтеза с учетом широкого комплекса требований к техническим системам и приборам. Разработаны методы моделирования программных управлений- на основе аналитических решений задач Коши и кусочно-линейных разностных схем. Предложено сведение задач моделирования систем управления распределенными объектами температурной стабилизации к задачам моделирования динамики многослойных объектов, прогнозирования их состояний и численно-аналитического представления воздействий на объект с помощью операторов конечномерной оптимизации и решения неравенств.

8. Выполнена адаптация разработанных разностных схем для электрических и тепловых подсистем медико-технических комплексов, позволяющая исследовать тепловых процессы в одномерной, двумерной и трехмерной постановках. Полученные результаты иллюстрируют эффективность оценки качественных и количественных характеристик медико- ш технических систем.

9. Проведенный анализ позволяет сделать вывод о целесообразности I разработки систем автоматизированного проектирования и исследования на ' х базе предложенных декомпозиций проблемы и методов математического * моделирования подсистем на базе адекватных моделей. Постановки и решения подпроблем, подзадач и выбор направлений исследования позволили создать математические и алгоритмические основы обеспечения отечественных систем проектирования гибридных технических комплексов.

Публикации по теме диссертации;

!

1. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Аддитивные кусочно-линейные разностные j схемы для анализа электрических цепей // Известия РАН «Энергетика», 2002,

№ 4. с.83 - 92.

2. Козлов В.Н., Магомедов К.А.Синтез управлений частотой и активной мощностью энергообъединений с учетом тепловых процессов // Известия РАН j * «Энергетика», 2003, № 2. с.146-155.

3. Магомедов К.А., Козлов В.Н. Разностные задачи для кусочно-линейных уравнений теплопроводности // Изв. Северо - Кавказского научного центра 4» РАН. 2003.Технические науки, № 2. с.68-73.

4. Магомедов К.А., Евдулов О.В. Устройство для борьбы с «эффектом монотонии» на основе преобразователя Пельтье // Приборостроение 2000. т.43, №5. с.22-24.

5. Аминов Г.И., Магомедов К.А., Хамидов А.И. Термоэлектрический комплекс для трансфузиологии // Приборостроение 2000. т.43, №5. с.32-36.

6. Исмаилов Т.А, Магомедов К.А, Гаджиев Х.М., Гаджиева С.М. Повышение эффективности термоэлектрических интенсификаторов для охлаждения радиоэлектронной аппаратуры // Приборостроение 1997. т.40, №9. с.55-56. 1.

7. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Негладкие операторы и распределенные системы,- СПб: изд. СПбПТУ, 2003. -160с.

8. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Негладкие операторы и электрические цепи.- СПб.: изд. СГОГПУ, 2003. -120с.

9. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Анализ электромеханических и электротехнических объектов на основе негладких моделей // «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем», Материалы 1У Всероссийской научной конференции.- Чебоксары, изд. Чувашского госуниверситета, 2001,- с.3-17.

10. Магомедов К.А., Козлов В.Н. Синтез систем термостабилизации энергетических объектов //Труды международной научно-практической конференции «Теоретические и практические проблемы развития электроэнергетики России».- СПб.: Изд. СПбГПУ, 2002.- с. 262 - 270.

11. Магомедов К.А. Повышение устойчивости кусочно-линейных разностных схем для анализа электрических цепей // Труды СПбГПУ.- СПб.: Изд. СПбГПУ, 2002.- с. 92-95.

12. Магомедов К.А. Управление электрофизическими процессами термостатирования на основе методов математического программирования // сб. «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем». Материалы 1У Всероссийской научной конференции.- Чебоксары, изд. Чувашского госуниверситета. 2001.- с.125-126.

13. Магомедов К.А. Анализ нелинейных электрических цепей при сложных воздействиях // Труды международной научно-практической конференции «Теоретические и практические проблемы развития электроэнергетики России»,- СПб.: Изд. СПбГПУ, 2002,- с.231 - 232.

14. Магомедов К.А., Козлов В.Н. Разностные схемы на основе принципов аддитивности для кусочно-линейных систем // Материалы 5 Всероссийской конференции «Фундаментальные исследования в технических университетах». - СПб.: Изд. СПбГТУ.- с. 46 - 49.

15. Магомедов К.А., В.Н. Козлов. К модальному управлению распределенными системами термостабилизации // Труды СПбГТУ «Фундаментальные исследования в технических университетах.- СПб.: Изд. СПбГПУ, 2002,- с.115 - 116.

16. Магомедов К.А., Козлов В.Н. Разностные схемы для моделирования динамики распределенных систем в ограниченных средах // Труды СПбГПУ «Фундаментальные исследования в технических университетах».- СПб.: Изд. СПбГПУ, 2002,- с. 116 - 117.

17. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Разностные схемы на основе принципа аддитивности для кусочно - линейных систем. - Сб. «Фундаментальные исследования в технических университетах».- СПб.: изд. СПбГТУ, 2001.с.34-35.

18. Магомедов К.А., Козлов В.Н. Об устойчивости кусочно-линейных разностных схем для распределенных систем // Научно-технические ведомости СПбГПУ, 2003, № 2.С.75-76.

19. Магомедов К. А., Козлов В.Н. Кусочно-линейные задачи теплопроводности и разностные схемы.- Труды СПбГПУ «Высокие интеллектуальные технологии образования и науки», СПб.: изд. СПбГПУ,-

2003.С.89-92.

20. Исмаилов Т.А., Магомедов К.А., Хамидов А.И., Алиев А.Г. Термоэлектрические полупроводниковые преобразователи в медицине/Махачкала.: ДГТУ, 2000 г.- 236 с.

21. Патент РФ №2156424, 2000 г. Термоэлектрический полупроводниковый теплообменник. Исмаилов Т.А., Магомедов К.А., Гаджиева С.М., Мурадова М.М.

22. Магомедов К.А. Расчет электрических цепей на персональном компьютере: Учебное пособие с грифом Минобразования РФ- Махачкала, Дагестанское книжное издательство, 1993. - 277с.

23. Середа В.П. Магомедов К.А. Исмаилов Т.А. Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами: Учебное пособие с грифом Минобразования РФ - Махачкала, изд. ДГТУ, 1996. -244 с.

24. Середа В.П. Магомедов К.А. Исмаилов Т.А. Методы анализа переходных процессов в нелинейных электрических цепях. Элементы теории колебаний: Учебное пособие с грифом Минобразования РФ - Махачкала, изд. ДГТУ, 1997. -250 с.

25. Магомедов И.А., Магомедов К.А. Микропроцессорные устройства систем управления: Микропроцессоры и микроконтроллеры. Книга 1. Учебное пособие с грифом Минобразования РФ-Махачкала, изд. ДГТУ, 2003. 220 с.

26. Магомедов И.А., Магомедов К.А. Микропроцессорные устройства систем управления: Проектирование микропроцессорных систем управления. Книга 2. Учебное пособие с грифом Минобразования РФ,- Махачкала, изд. ДГТУ, 2003. 202 с.

27. Исмаилов Т.А., Магомедов К.А., Гафурова З.М., Гаджиева С.М. Применение полупроводниковых термоэлектрических устройств для создания искусственной мышцы // Материалы 1 Международной конференции. «Новые технологии управления движением технических объектов».- Ставрополь.: НИИ СуиП, 1999.-с.42-43.

28. Гаджиев Х.М., Исмаилов Т.А., Магомедов К.А. Применение полупроводниковых термоэлектрических устройств для преобразования солнечной энергии // Тезисы докладов Международного семинара «Возобновляемые нетрадиционные источники энергии: проблемы и перспективы», г. Махачкала, 1997.С.34-35.

29. Исмаилов Т.А., Магомедов К.А., Гаджиев Х.М., Гафурова З.М. Применение полупроводниковых термоэлектрических устройств для медицинской интенсивной реабилитации пострадавших // Тезисы докладов 4-ой Международной конференции «Кшерения, контроль и автоматизация производственных процессов» («ИКАПП-97»), Барнаул, 1997. т.Ш. - с.19-21.

30. Исмаилов Т.А., Магомедов К.А., Гаджиев Х.М. Автоматизированная методика расчета температурного поля в кольцевом полупроводниковом термоэлектрическом модуле // Тезис и докладов научного семинара «Актуальные проблемы механики, про "мости и теплопроводности материалов и конструкций при криогенных темпера г\ ¡-ах», СПб.: МАХ, 1998. -с.68-69.

31. Исмаилов Т.А., Гаджиев Х.М., Магомедов К.А., Гаджиева С.М. Резонансный аттенюатор сверхвысокочастотного диапазона // «Вестник университета. Технические науки», Махачкала.: Д1 "ГУ, 1998, № 2. с.71-74.

32. Исмаилов Т.А., Магомедов К.А., Юсуфов Ш.А.. Термостатирование тепловых режимов микроэлектронной аппаратуры с использованием полупроводниковых термоэлектрических интенсификаторов теплопередачи // «Вестник университета. Технические науки», Махачкала.: ДГТУ, 1997, № 1. -с. 104-107.

33. Т.А.Исмаилов, К.А.Магомедов. Термоэлектрические полупроводниковые устройства в медицине // «Вестник Университета. Технические науки», Махачкала.: ДГТУ,1999, № 3, с.11-17.

Исмаилов Т.А., Гаджиев Х.М., Магомедов К.А. Термоэлектрический датчик тепловой энергии // Материалы НТК «Датчики и преобразователи информации систем измерения, контроля и управления» (Датчик-99), Гурзуф.: 1999. с.78.

34. Исмаилов Т.А., Магомедов К.А. Разработка информационного обеспечения автоматизированного определения параметров радиоэлектронных схем при питании постоянным и переменньм токами // Тезисы доклада Всероссийской научно- технической конференции "Информационно-управляющие системы и специализированные вычислительные устройства для обработки и передачи данных".- Махачкала.: ДГТУ, 1996.С.21-22.

35. Исмаилов Т.А., Магомедов К.А., Гаджиева С.М. Интерференционный измеритель микроперемещений с компенсатором на базе полупроводникового термоэлектрического устройства // Тезисы докладов Второго Международного симпозиума «Мониторинг и прогнозирование чрезвычайных ситуаций».-Махачкала.: ДГТУ, 1997.-е. 111-112.

36. Исмаилов Т.А., Магомедов К.А. Применение полупроводниковых термоэлектрических интенсификаторов теплопередачи в криомедицине для локального охлаждения оперируемых органов// Материалы Международной конференции «Холодильная техника. Проблемы и решения».-Астрахань.: АГТУ, 1999. с.172.

37. Исмаилов Т.А., Магомедов К.А., Гаджиев Х.М. Система автоматизированного проектирования параметров полупроводниковых термоэлектрических устройств// Тезисы докладов 3-ей Международной НТК «Новые информационные технологии в региональной инфраструктуре».-Астрахань.: АГТУ, 1997. - с. 206.

38. Исмаилов Т.А., Магомедов К.А., Гаджиев Х.М. Моделирование термоэлектрических интенсификаторов теплопередачи для охлаждения электронных узлов // Тезисы докладов 4-ой Международной НТК «Актуальные проблемы информатики».-Минск.: БГУ, 1998. с.136.

39. Магомедов К.А., Гаджиева С.М. Расчет электрических цепей на ПЭВМ // Тезисы доклада Ш межвузовской научно-методической конференции "Компьютеризация учебного процесса по электротехническим дисциплинам".-Астрахань.: АГТУ, 1995. с.34.

40. Юсуфов Ш.А., Исмаилов Т.А^. ^^Дашмедоа-КтА., Гаджиев Х.М.

Электрическая модель

теплового

воздействия// «Вестник Университета. Тех. науки», г.Махачкала, ДГТУ, 1998, № 2, с. 29-33.

41. Аминов Г.И., Магомедов К.А., Гаджиев Х.М. Математическая модель теплопередачи в процессе кровообращения.// «Вестник Университета. Тех. науки», г.Махачкала, ДГТУ, 1998, № 2, с. 25-29.

42. Исмаилов Т.А., Магомедов К.А., Гаджиев Х.М. Моделирование термоэлектрических интенсификаторов теплопередачи для охлаждения электронных узлов// Тезисы докладов 3-ей Международной НТК «Новые информационные технологии в региональной инфраструктуре», г. Астрахань, АГТУ, 1997.-c.206.

43. Исмаилов Т.А., Магомедов К.А., Гаджиев Х.М. Модель динамического термостатирования тепловых режимов электронной аппаратуры на базе полупроводниковых термомодулей // Статья в книге: "Научные основы высоких технологий". Материалы Международной НТК, г.Новосибирск, НГТУ, 1997, т.1. -с.98-100.

44. Аминов Г.И., Магомедов К.А., Исмаилов Т.А. Система переливания трансфузионных средств на основе термоэлектрических полупровдниковых преобразователей // НТОРЭС им. A.C. Попова, материалы 3-ей Международной конференции «Радиоэлектроника в медицинской диагностике»г.Москва, 1999. с. 147.

45. Аминова И.Ю., Алиев А.Д., Магомедов К.А. Фотоэлектрическое устройство для измерения степени прозрачности оптических сред глаза // НТОРЭС им. A.C. Попова, материалы 3-ей Международной конференции «Радиоэлекгроника в медицинской диагностике» г.Москва, 1999.с.67.

46. Магомедов К.А., Евдулов О.В. Использование полупроводниковых термоэлектрических преобразователей для диагностики в медицине // НТОРЭС им. A.C. Попова, материалы 3-ей Международной конференции «Радиоэлектроника в медицинской диагностике»г.Москва, 1999.С.76.

Лицензия ЛР №020593 от 07.08.97.

Подписано в печать /5 «/ЙЙЗ Объем в п.л.

Тираж X00 Заказ 25~6

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в типографии Издательства СП6ГГ1У 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29.

Отпечатано на ризографе 1Ш-2000 ЕР Поставщик оборудования — фирма "Р-ПРИНТ" Телефон: (812) 110-65-09 Факс: (812) 315-23-04

-А

7 862

Введение.

1. Анализ проблемы и постановки задач моделирования.

1.1. Актуальность, основные цели, этапы и задачи исследования.

1.2. Постановка основных задач исследования.

2. Математические модели и разностные схемы для анализа нелинейных электрических цепей.

2.1 Математические модели резистивных, емкостных и индуктивных элементов цепей.

2.2. Математические модели полупроводниковых и термоэлектронных элементов.

2.3. Кусочно-линейные дифференциальные уравнения электрических цепей.

2.4. Операторно-аддитивные кусочно-линейные разностные схемы для анализа электрических цепей.

2.5. Устойчивость параметрически аддитивных частично-неявных разностных схем.

3. Математические модели и разностные задачи для кусочно-линейных уравнений теплопроводности.

3.1. Кусочно-линейные задачи теплопроводности и методы их решения.

3.2. Разностные задачи для линейных уравнений теплопроводности.

3.3. Разностные задачи для первой канонической формы кусочно-линейных уравнений теплопроводности.

3.4. Разностные задачи для второй канонической формы кусочно-линейных уравнений теплопроводности.

3.5. Кусочно-линейные разностные схемы для задач с пространственными переменными.

3.6. Устойчивость кусочно-линейных разностных схем.

4. Математические модели синтеза программных и стабилизирующих управлений тепловыми процессами.

4.1. Анализ методов температурной стабилизации распределенных объектов и постановка задач синтеза.

4.2. Синтез модальных управлений для распределенных тепловых систем.

4.3. Синтез локально-оптимальных стабилизирующих управлений.

5. Применение математических моделей для проектирования алгоритмического обеспечения технических систем.

5.1. Математические модели для проектирования приборов на базе термоэлектронных элементов.

5.2. Применение полупроводниковых термоэлектронных устройств в медицине.

Научная база современной техники создается фундаментальными исследованиями в области математических, физических и технических наук. Соединение фундаментальных исследований и практической реализации возможно на основе решения проблем математического моделирования сложных технических комплексов, состоящих из разнородных подсистем. Это позволяет говорить о гибридных (гетерогенных) технических комплексах, неоднородных по функциям подсистем, физическим принципам построения и классам описывающих математических моделей. Создание гибридных (сосредоточенно-распределенных) технических комплексов методами математического моделирования требует использования совокупности неоднородных математических моделей, что определяет актуальность создания на единой научной основе моделей для анализа и синтеза. В данной работе в качестве объединяющего математического аппарата используются негладкие операторы, в частности, кусочно-линейные операторы, определенные в конечномерных и функциональных пространствах, которые позволяют в едином базисе построить модели сосредоточенно-распределенных систем.

Примеры гибридных технических комплексов достаточно разнообразны. Последнее обстоятельство объясняется функционированием современных технических систем на основе различных физических, химических и других принципов. В частности, к числу таких гибридных систем относятся энергетические системы, содержащие электрические, гидравлические, тепловые и другие подсистемы. Решение проблем моделирования гибридных технических комплексов весьма важно для энергетики, медицины и других отраслей национального хозяйства.

В данной работе рассматриваются гибридные комплексы, состоящие из электрических и тепловых подсистем, построенные на основе принципа термоэлектрического охлаждения или нагрева. Эти комплексы используются в технике, медицине и других областях. В медицине термоэлектрическое охлаждение используется в новых областях - криотерапии и криохирургии. Разработанные термоэлектрические холодильники успешно используются в нейрохирургии, пластической хирургии, травматологии, патологической анатомии, офтальмологии, урологии, дерматологии. В 70-х годах прошлого столетия были разработаны термоэлектрические устройства для гипотермии головного мозга.

До разработки электронных устройств наибольшее распространение в нейрохирургической практике получили аппараты, в которых в качестве генератора холода используются компрессионные фреоновые агрегаты. Конструкции предусматривали размещение испарителя холодильника непосредственно на голове больного, применялись промежуточные теплоносители (лед, твердая углекислота и другие средства), не удовлетворяющие требованиям технологичности. Положение существенно изменилось после разработки теории термоэлектричества в Институте полупроводников АН СССР под руководством академика А.Ф.Иоффе. В результате были разработаны новые приборы и устройства для медицины. Среди них термоэлектрический охлаждающий столик для замораживающего микротома - термоэлектрический прибор для физиологических исследований «Термод».

Большое количество отечественных разработок в области медицинского термоэлектричества выполнено в лаборатории охлаждающих приборов при НИИ промышленной и морской медицины. К ним относятся термоэлектрический криоинструмент "КРИОМЕД ТЕ", используемый в офтальмологии, кардиологии, дерматология и косметологии. Приборы использовали эффект Пельтье, обеспечивающий высокую скорость охлаждения и отогрева при отсутствии хладагентов, что исключило травмирование прилегающих тканей.

В Государственном специальном конструкторском бюро теплофизического приборостроения (ГСКВ ТФП) разработан ряд различных термоэлектрических приборов для широкого применения в отраслях народного хозяйства. Это термоэлектрические модули "СЕЛЕН", термоэлектрический слаботочный модуль МТС, который предназначен для создания заданных температурных режимов объектов медико-биологического исследования, и различные типы преобразователей теплового потока, которые могут служить в качестве датчиков во многих отраслях народного хозяйства (ПБ-2, ТБО, ТМО, МТС-П). Кроме этого в ГСКБ ТФП разработан целый ряд микрокалориметров предназначенных для измерения теплоемкости твердых, жидких и сыпучих веществ, количества теплоты и постоянно действующего теплового потока процессов, происходящих в калориметрической ячейке (КДА, МИД-200, микрокалориметр проточный КДП - 100, микрокалориметр КДУ и т.п.). Для стабилизации температуры веществ температурные стабилизаторы ТСП-2, ТСП-3, ТСП-4 и "Биостат". В качестве чувствительных датчиков температуры в последнее время все чаще используются термоэлектрические термометры. В ГСКБ ТФП разработан целый ряд нуль - термостатов (НТ-50, НТ-30, НТ-2). Существуют зарубежные аналоги приборов данного класса. Фирмой "Whirepool Corp." (США) разработан аналогичный погружной охладитель, снижающий за один час температуру двух литров жидкости на 20К.

В лаборатории термоэлектричества Дагестанского государственного технического университета (ДГТУ) в течение ряда лет ведется работа по созданию различных термоэлектрических устройств, предназначенных для сохранения и восстановления здоровья человека. На протяжении нескольких лет ДГТУ непрерывно сотрудничает с ведущими учеными Дагестанской медицинской академии (ДМА) при разработке данных устройств. 4

Лабораторией термоэлектричества ДГТУ совместно с кафедрой общей хирургии ДМА разработано термоэлектрическое устройство для теплового воздействия и интенсификации теплопередачи, которое широко может применяться для локальной гипотермии в различных областях медицины.

Эффективное конструирование термоэлектрических приборов требует формирования фундаментальных основ для создания систем автоматизированного проектирования приборов данного класса. Фундаментальные основы могут формироваться с учетом принципов действия приборов и систем подобного типа, имеющих электрическую подсистему и физическую подсистему. При этом формирование математических моделей приводит к необходимости создавать для первой подсистемы адекватные модели электрических и электронных устройств с учетом нелинейностей их характеристик. Для разработки второй подсистемы адекватное моделирование может строиться на основе уравнений математической физики. В частности, для этой цели могут применяться уравнения теплопроводности, адаптированные к специфике данного класса подсистем за счет учета свойств многослойных материалов.

Дальнейшее развитие методов математического моделирования технических комплексов и создание новых отечественных приборов на основе теории термоэлектричества приводит к необходимости теоретического обобщения и разработки аналитических и численных математических моделей для задач анализа и синтеза совокупности термоэлектронных систем и приборов, имеющих широкое применение в науке, технике и промышленности. Решению этой проблемы посвящена данная работа.

Материалы работы докладывались на Международном семинаре «Возобновляемые нетрадиционные источники энергии: проблемы и перспективы», г. Махачкала, 1997; на III межвузовской научно-методической конференции "Компьютеризация учебного процесса по электротехническим дисциплинам", Астрахань, 1995; на 1 Международной конференции. «Новые технологии управления движением технических объектов», Ставрополь, 1999; на IV НТС «Актуальные проблемы механики, прочности и теплопроводности при низких температурах», С-Петербург, 1998; на 4-ой Международной конференции «Измерения, контроль и автоматизация производственных процессов» («ИКАШ1-97»), Барнаул, 1997; на научном семинаре «Актуальные проблемы механики, прочности и теплопроводности материалов и конструкций при криогенных температурах», С-Петербург,1998; на НТК «Датчики и преобразователи информации систем измерения, контроля и управления» (Датчик-99), Гурзуф, 1999; на Всероссийской научно- технической конференции "Информационно-управляющие системы и специализированные вычислительные устройства для обработки и передачи данных", Махачкала, 1996; на Втором Международном симпозиуме «Мониторинг и прогнозирование чрезвычайных ситуаций», Махачкала, 1997; на 1 Международной конференции «Новые технологии управления движением технических объектов», Ставрополь, 1999; на 3-ей Международной НТК «Новые информационные технологии в региональной инфраструктуре», Астрахань, 1997; на международной научно-методической конференции «Высокие интеллектуальные технологии образования и науки», С - Петербург, 2001,

2002, 2003; на международной научно-технической конференции «Фундаментальные исследования в технических университетах», С-Петербург, 2001, 2002, 2003; на международной научно-практической конференции «Теоретические и практические проблемы развития электроэнергетики России», С-Петербург, 2002; на научной конференции «Информационные технологии и управление», С-Петербург, СПбГЭТУ,

2003.

ВЫВОДЫ ПО РАЗДЕЛУ 5:

1. Выполнена адаптация разработанных разностных схем для электрических и тепловых подсистем медико-технических комплексов, позволяющая исследовать тепловых процессы в одномерной, двумерной и трехмерной постановках.

2. Полученные результаты иллюстрируют эффективность оценки качественных и количественных характеристик медико-технических систем.

3. Проведенный анализ позволяет сделать вывод о целесообразности разработки систем автоматизированного проектирования и исследования на базе предложенных методов математического моделирования на основе декомпозиции проблемы на подпроблемы и разработки адекватных моделей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Декомпозиция проблемы математического моделирования, анализа и синтеза технических комплексов с неоднородным математическим описанием электрических и тепловых подсистем различными классами моделей позволяет эффективно решить возникающие подпроблемы. На основе предлагаемого подхода обеспечивается научная общность на основе обобщенных дифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных с применением кусочно-линейных алгебраических и интегральных операторов.

2. Математические модели электрических подсистем, содержащих электрические цепи со статическими и динамическими нелинейностями, сформулированные в виде кусочно-линейных непрерывных алгебраических и интегральных операторов позволили разработать необходимый класс разностных схем для моделирования динамики процессов. Кусочно-линейные операторы обеспечили формулировки адекватных математических модели в виде кусочно-линейных обыкновенных дифференциальных и алгебраических уравнений электрических цепей.

3. Разностные схемы, учитывающие при моделировании свойства монотонности и обратимости кусочно-линейных операторов, обладают расширенными условиями устойчивости, необходимыми для анализа процессов в расширенных классах нелинейных цепей, в частности, в цепях с управляемыми источниками и преобразователями энергии (с термоэлементами). Операторно-аддитивные и параметрически-аддитивные кусочно-линейные разностные схемы определяют расширенные множества устойчивых схем для анализа цепей.

4. Математическое моделирование процессов теплопроводности в многослойных объектах (приборах) определило формулировки задач Коши и краевых задач для обобщенных кусочно-линейных уравнений теплопроводности в различных канонических формах, которые взаимно однозначно связаны в случае монотонности операторов. Кусочно-линейные однородные разностные схемы для первой канонической формы, построенные при условии монотонности и обратимости операторов, обобщают и дополняют известные методы математического моделирования объектов с кусочно-линейными и кусочно-интервальными изменениями свойств теплопроводности как функции скорости изменения температуры во времени. Кусочно-линейные двухслойные и трехслойные аналоги явных и частично-неявных классических разностных схем расширяют возможности математического моделирования. Кусочно-линейные однородные разностные схемы для второй канонической формы расширяют класс кусочно-линейных схем за счет получения более широкого множества частично-неявных схем двухслойного и трехслойного типа.

5. Кусочно-линейные разностные схемы для многомерных задач теплопроводности, построенные на основе принципа расщепления, позволяют получить математические модели для анализа многомерных процессов в объектах многослойного типа, что охватывает широкие сферы применения моделей.

6. Условия устойчивости кусочно-линейных разностных схем по правой части и начальным условиям подтверждают существование непустого множества устойчивых схем и определяют ограничения на шаги по временному и координатным переменным.

7. Математические модели для синтеза систем температурной стабилизации, ориентированные на различные типы целевых условий обеспечивают вариативность выбора моделей для синтеза с учетом широкого комплекса требований к техническим системам и приборам. Разработаны методы моделирования программных управлений на основе аналитических решений задач Коши и кусочно-линейных разностных схем. Предложены процедуры сведения задач моделирования систем управления распределенными объектами температурной стабилизации к задачам моделирования динамики многослойных объектов, прогнозирования их состояний и численно-аналитического представления воздействий на объект с помощью операторов конечномерной оптимизации и решения неравенств.

8. Выполнена адаптация разработанных разностных схем для электрических и тепловых подсистем медико-технических комплексов, позволяющая исследовать тепловых процессы в одномерной, двумерной и трехмерной постановках. Полученные результаты иллюстрируют эффективность оценки качественных и количественных характеристик медико-технических систем.

9. Проведенный анализ позволяет сделать вывод о целесообразности разработки систем автоматизированного проектирования и исследования на базе предложенных декомпозиций проблемы и методов математического моделирования подсистем на базе адекватных моделей. Постановки и решения подпроблем, подзадач и выбор направлений исследования позволили создать математические и алгоритмические основы обеспечения отечественных систем проектирования гибридных технических комплексов.

1. Аббасов Г.М. Исследование устойчивости возмущенной задачи вытеснения одной жидкости другой в подвижных разножидкостных областях // Сб. «Средства математического моделирования».- СПб.: Изд. СПбГТУ, 2001,-с. 64.

2. Алексидзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям.-Наука, Физматлит, 1978.-351 с.

3. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции.-М.: Наука, 1974.- 431 с.

4. Авт.свид. SU, 240175 (СКБПП), 21.03.69 А61 7/00, 2с. Устройство для гипотермии Ю.Д.Смирнов, Н.М.Аксаков и др.

5. Авт. свид СССР№ 1801473. Полугрсжодникшое -термоэлектрическое устройство для термопунктуры -Исмаилов ТА, Хамвдов А.И., Гусейнов АБ. БИ № 10,1993.

6. Афанасьева ВИ, Зимина ОБ., Кириллов АИ и др. Высшая математика. Спещильные разделы.- М: Фюмаглиг, 2001.- 397 с.

7. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Нелокальные симметрии. Эвристический подход / В кн. Современные проблемы математики, т. 34. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР,- М.: 1989, с. 3-83.

8. Бабичев А.В., Бутковский А.Г., Сеппо Похьолайнен. К единой геометрической теории управления.- М.: Наука, 2001.-352 с.

9. Бакельман И.Я. Геометрические методы решения эллиптических уравнений.- М.: Наука, 1965.-340 с.

10. Бакулин В.Н., Образцов И.Ф., Потопахин В.А. Динамические задачи нелинейной теории многослойных оболочек. Действие интенсивных термосиловых нагрузок, концентрированных потоков энергии,- М.: Наука, 1998,- 463 с.

11. Барилович В.А., Смирнов Ю.А. Основы технической термодинамики и теории тепло- и массообмена.- СПб.: Изд. «Нестор», 2001.-402 с.

12. Барилович В.А., Смирнов Ю.А. Основы термогазодинамики двухфазных потоков и их численное моделирование.- СПб.: Изд. «Нестор», 2001.-294 с.

13. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.-М.: Лаборатория Базовых знаний, 2001.-632 с.

14. Белов Г. А. Математические основы динамики нелинейных дискретных электронных систем.- Чебоксары: Изд. Чуваш. Ун-та, 1999.-324 с.

15. Белоцерковский О.М. Математическое моделирование на суперкомпьютерах // в кн. «Новое в численном моделировании. Алгоритмы, вычислительные эксперименты, результаты».- М.: Наука, 2000.- 247 с.

16. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М., Демьянов А.Ю. Взаимодействие мод возмущений при неустойчивости Рэлея-Тейлора // Докл. АН СССР. 1986. т. 288. с.1071.

17. Белоцерковский О.М., Гущин В. А., Коныпин В.Н. Метод расщепления для исследования течений стратифицированной жидкости со свободной поверхностью // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1987, т.27, № 4, с. 594-609.

18. Бернпггейн С.Н. Собрание сочинений, т. Ш (уравнения в частных производных), Изд. АН СССР, 1960.

19. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики.- М.: Наука, Физматлит, 1977.-224 с.

20. Блихер А. Физика силовых биполярных и полевых транзисторов. Пер. с англ. под ред. И.В. Грехова.- Л.: Энергоатомиздат, 1986. 248 с.

21. Богомолов Д.Ю. Применение численных методов к решению задачтечения рабочей среды в соединениях с учетом трехмерной топографии поверхности. Автореф. дисс. на соискание ученой степени канд. техн. наук. М.: 2002,- 19 с.

22. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами.- М.: Наука, 1965.

23. Бутырин П.А., Жохова М.П. Установившиеся составляющие решений неканонических уравнений состояния электрических цепей // Электричество, 2001, № 2.

24. Бутырин П.А., Жохова М.П. Формирование и обработка уравнений состояния для нелинейных электродинамических систем.- Сб. «Теоретические и практические проблемы развития электроэнергетики России».- СПб.: Изд. СПбГПУ, 2002,- с.226-227.

25. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.- М.: изд. иностр. литер., 1963.-487 с.

26. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике.-М.: Наука, Физматлит, 1979.-320 с.

27. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики.- М.: Физматлит, 2000.- 399 с.

28. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Т.Н. Приближенные методы математической физики.- М.: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.-699 с.

29. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1973,-245с.

30. Гомоюнов К.К. Транзисторные цепи,- СПб.: БХВ- Петербург, 2002,240 с.

31. Гусев В.Г. Физические методы и технические средства для лечебных воздействий.- Уфа, изд. Уфимского гос. авиац. техн. ун-та, 2001.-126 с.

32. Гущин В.А., Лихачев А.П., Нечипоренко Н.Г., Павлюкова Е.Р. Применение гибридной аппроксимации в газодинамических приложениях // Сб. «Новое в численном моделировании. Алгоритмы, вычислительные эксперименты, результаты».- М.: Наука, 2000.- с. 165-177.

33. Дегтярев Г. Л. Об оптимальном управлении процессами тепло- и массопереноса, Труды КАИ, вып. 97,1968. с.67-72.

34. Демирчян К.С., Бутырин П.А. Моделирование и машинный расчет электрических цепей М.: Высш. школа, 1988 - 335 с.

35. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами.- М.: Наука, 1978.- 463 с.

36. Зино И.Е., Троп Э.А. Асимптотические методы в задачах теории теплопроводности и термоупругости.- Л.: изд. ЛГУД978.-234с.

37. Инкин А.И. Электромагнитные поля и параметры электрических машин.- Новосибирск: ООО «Издательство ЮКЭА», 2002.- 464 с.

38. Патент РФ №2156424, 2000 г. Термоэлектрический полупроводниковый теплообменник. Исмаилов Т.А., Магомедов К.А. и др.

39. Исмаилов Т.А., Гаджиев Х.М., Магомедов К.А., Гаджиева С.М. Резонансный аттенюатор сверхвысокочастотного диапазона // «Вестник университета. Технические науки», Махачкала: ДГТУ, 1998, № 2.

40. Т.А.Исмаилов, К.А.Магомедов. Термоэлектрические полупроводниковые устройства в медицине // «Вестник Университета. Технические науки», Махачкала: ДГТУ,1999, № 3. с.11-17.

41. Исмаилов Т А., Гаджиев Х.М., Магомедов К.А. Термоэлектрический датчик тепловой энергии // Материалы НТК «Датчики и преобразователи информации систем измерения, контроля и управления» (Датчик-99), Гурзуф: 1999. с.78.

42. Исмаилов Т.А, Магомедов К.А, Гаджиев Х.М., Гаджиева С.М. Повышение эффективности термоэлектрических интенсификаторов для охлаждения радиоэлектронной аппаратуры // Приборостроение 1997. т.40, №9. с.55-56.

43. Исмаилов Т.А., Магомедов К.А., Гаджиев Х.М. Система автоматизированного проектирования параметров полупроводниковых термоэлектрических устройств // Тезисы докладов 3-ей Международной НТК

44. Новые информационные технологии в региональной инфраструктуре». -Астрахань: АГТУ, 1997.-е. 206.

45. Исмаилов Т.А., Магомедов К.А., Гаджиев Х.М. Моделирование термоэлектрических интенсификаторов теплопередачи для охлаждения электронных узлов // Тезисы докладов 4-ой Международной НТК «Актуальные проблемы информатики».-Минск.: БГУ, 1998. с. 136.

46. Исмаилов Т.А., Магомедов К.А., Хамидов А.И., Алиев А.Г. Термоэлектрические полупроводниковые преобразователи в медицине.-Махачкала: ДГТУ, 2000 г.- 236 с.

47. Карпилова О.И., Сисоев Г.М., Шкадов В.Я. О ветвлении линейных мод неустойчивости в стекающей пленке вязкой жидкости с ПАВ // Сб. «Средства математического моделирования».- СПб.: Изд. СПбГТУ, 2001.-е. 93.

48. Карташев Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел.-М.: Высшая школа, 2001.-550 с.

49. Карташев Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в области с движущимися границами (обзор).- Инженерно-физический журнал, 2000, т.74, № 2, с. 1 24.

50. Карташев Э.М. Аналитические методы решения смешанных граничных задач теории теплопроводности (обзор). Изв. АН СССР, Энергетика и транспорт, 1986, № 6, с. 116 129.

51. Коздоба JI.A. Методы решения нелинейных задач теплопроводности.- М.: 1975. -320 с.

52. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Негладкие операторы и электрические цепи, СПб.: изд. СПбГПУ,- 2003. -120 с.275

53. Козлов В.Н. Метод нелинейных операторов в автоматизированном проектировании динамических систем- Л.: Изд-во ЛГУ им. А.А.Жданова, 1986. -166 с.

54. Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Заборовский B.C. Вычислительные методы синтеза систем автоматического управления,- Л.: Изд. ЛГУ им. А.А. Жданова, 1989. 232 с.

55. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Разностные схемы на основе принципа аддитивности для кусочно линейных систем. - Сб. «Фундаментальные исследования в технических университетах».- СПб.: изд. СПбГТУ, 2001. с. 34-35.

56. Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Шапшхин В.Н. Вычислительная математика и теория управления СПб, изд. СПбГТУ - 1996 - 170 с

57. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Аддитивные кусочно-линейные разностные схемы для анализа электрических цепей // Известия РАН «Энергетика», 2002, № 4. с.83 92.

58. Козлов В.Н., Магомедов К.А.Синтез управлений частотой и активной мощностью энергообъединений с учетом тепловых процессов // Известия РАН «Энергетика», 2003, № 2. с. 146-155.

59. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Негладкие операторы и распределенные системы. СПб.: изд. СП6ГПУ,-2003. -160 с.

60. Кораблев В.А., Тахистов Ф.Ю., Шарков А.В. Прикладная физика. Термоэлектрические модули и устройства на их основе. СПб.: изд. СПбГИТМО (ТУ), 2003.- 39 с.

61. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы,- Т. 1, 2, М.: Наука, 1977, 1978.

62. Кудинов В.А., Карташев Э.М. Техническая термодинамика, М.: Высшая школа.-2000.- 261 с.

63. Кулик Л.М., Шаповалов Г.Е. Неустановившаяся теплопередача через многослойную плоскую пластину.- Изв. АН СССР, серия «Энергетика и автоматика», 1971, № 2, с. 72-77.

64. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений.-М.: Физмат лит, 2001.-608 с.

65. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные дифференциальные уравнения в частных производных.- М.: Наука, 1964.-340 с.

66. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М.: Физматлит, 1971.-287 с.

67. Лаптинский В.Н. К задаче представления решений нелинейных дифференциальных систем // Сб. «Средства математического моделирования».- СПб.: Изд. СПбГТУ, 2001.- с.98.

68. Латтес Р., Лионе Ж-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: «Мир», 1970. -336 с.

69. Леонтьев А.И. Теория тепломассопереноса.- М., 1997.-398 с.

70. Лурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики. Наука, 1975. -430 с.

71. Магомедов К.А. Расчет электрических цепей на персональном компьютере Махачкала, изд. ДЛИ, 1993. - 277 с.

72. Магомедов К.А., Козлов В.Н. Разностные задачи для кусочно-линейных уравнений теплопроводности // Изв. Северо Кавказского научного центра РАН. 2003.Технические науки, № 2. с.68-73.

73. Магомедов К.А., Козлов В.Н. Об устойчивости кусочно-линейных разностных схем для распределенных систем // Научно-технические ведомости СП6ГПУ.2003, № 2. с.75-76.

74. Магомедов К.А., Козлов В.Н. Кусочно-линейные задачи277теплопроводности и разностные схемы,- Труды СПб! ИУ «Высокие интеллектуальные технологии образования и науки», СПб.: изд. СПбГПУ,-2003. с.89-92.

75. Магомедов К.А. Повышение устойчивости кусочно-линейных разностных схем для анализа электрических цепей // Труды СПбГПУ.- СПб.: Изд. СПбГПУ, 2002,- с. 92 95.

76. Магомедов К.А. Анализ нелинейных электрических цепей при сложных воздействиях // Труды международной научно-практической конференции «Теоретические и практические проблемы развития электроэнергетики России»,- СПб.: Изд. СПбГПУ, 2002.- с.231 232.

77. Магомедов К.А., Козлов В.Н. Синтез систем термостабилизации энергетических объектов //Труды международной научно-практической конференции «Теоретические и практические проблемы развития электроэнергетики России».- СПб.: Изд. СПбГПУ, 2002.- с. 262 270.

78. Магомедов К.А., Козлов В.Н. Разностные схемы на основе принципов аддитивности для кусочно-линейных систем // Материалы 5 Всероссийской конференции «Фундаментальные исследования в технических университетах». СПб.: Изд. СПбГТУ.- с. 46 - 49.

79. Магомедов К.А., Гаджиева С.М. Расчет электрических цепей на ПЭВМ // Тезисы доклада III межвузовской научно-методической конференции "Компьютеризация учебного процесса по электротехническим дисциплинам".- Астрахань: АГТУ, 1995. с.34.

80. Магомедов К.А., В.Н. Козлов. К модальному управлению распределенными системами термостабилизации // Труды СПбГТУ «Фундаментальные исследования в технических университетах.- СПб.: Изд. СПбГПУ, 2002.- с.115 -116.

81. Магомедов К.А., Козлов В.Н. Разностные схемы для моделирования динамики распределенных систем в ограниченных средах // Труды СПбГПУ «Фундаментальные исследования в технических университетах».- СПб.: Изд. СПбГПУ, 2002,- с. 116-117.

82. Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно-характеристические численные методы.- М.: Наука, 1988.-252 с.

83. Марчук Г.И., Агошков В.И., Шутяев В.П. Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики.- М.: Физматлит, 1993.-224 с.

84. Математическая физика. Энциклопедия / Гл. ред. Л.Д. Фаддеев.- М.: Большая Российская энциклопедия, 1998.- 691 с.

85. Мартыненко Н.А., Пустыльников Л.М. Конечные интегральные преобразования и их применение к исследованию систем с распределенными параметрами.- М.: Наука, 1986.- 303 с.

86. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи.- М.: Высшая школа, 1986.- 352 с.

87. Матханов П.Н., Данилов Л.В., Филиппов Е.С. Теория нелинейных электрических цепей.- Л.: Энергоатомиздат, 1990.- 256 с.

88. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.- М.: Наука, 1970.-512 с.

89. Линейные уравнения в частных производных. -М.: «Высш. школа», 1977.-431 с.

90. Назмеев Ю.Г. Теплообмен при ламинарном течении жидкости в дискретно-шероховатых каналах.- М.: Энергоатомиздат, 1998.- 372 с.

91. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Т. 2.- Л.: Энергия, 1981.- 352 с.

92. Новое в численном моделировании: алгоритмы, вычислительные эксперименты, результаты.- М.: Наука, 2000.-247 с.

93. Олейник О. А. Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и параболического типа с разрывными коэффициентами. Изв. АН СССР, сер. матем., 25, 1961. с.45-51.

94. Охотин А.С., Пушкарский А.С., Горбачев В.В. Теплофизические свойства полупроводников.- М., Атомиздат.-1972.-342 с.

95. Патент, РФ, № 2033777, Термсвдектрическое устройство дли теплового воздействия при лечении заболеваний пальцев кисти. Исмаилов ТА., ХамвдовАИ/БИ №12,1995.

96. Петухов JI.B., Троицкий В.А. Вариационные задачи оптимизации для уравнений гиперболического типа, ПММ, т. 36, № 4, 1972.- 272 с.

97. Никулин В.П., Похожаев С.И. Практический курс по уравнениям математической физики.- М.: Наука, 1995.- 224 с.

98. Полежаев Ю.В., Юркевич Б.В. Тепловая защита.- М., 1976. -230 с.

99. Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики,- М.: Физматлит, 2001.-576 с.

100. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения.- М.: Физматлит, 2002.-432 с.

101. Попечителев Е.П. Методы медико-биологических исследований. Системные аспекты.- Житомир: ЖИТИ, 1977.-186 с.

102. Проблемы механики жидкости и газа. СПб.: Изд. СПбГТУ, 2000.255 с.

103. Ракитский Ю.В., Черноруцкий И.Г., Устинов С.М. Численные методы решения жестких систем.- JL: Изд-во ЛПИ. 1979. 60 с.

104. Рапопорт Э. Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла.- М.: Металлургия, 1993.-279 с.

105. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике: пер. с англ.- М.: Мир.-590 с.

106. Русак В.Н. Математическая физика.- Минск: Изд. «Дизайн про», 1998.- 207 с.

107. Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику.- М.: Физматлит, 2000.- 296 с.

108. Садовский В.М. Разрывные решения в задачах динамики упругопластических сред. М.: Наука. Физматлит, 1997.-208 с.

109. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем.- М.: Наука, 1971.-552 с.

110. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений,- М.: Наука, 1976.-352 с.

111. Самарский А.А., Вабшцевич П.Н. Аддитивные схемы для задач математической физики. М.: Наука, 1999. — 319 с.

112. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем.- М.: Наука, 1973,- 415 с.

113. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.- М.: Наука, Физматлит, 1977.-590 с.

114. Сапожников С.З., Китанин Э.Л. Техническая термодинамика и теплопередача,- СПб.: Изд. СП6ГТУ,2001.-319 с.

115. Саульев В.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток.- М.: ГИФМЛ, 1960.-324 с.

116. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977.- 479 с.

117. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными параметрами.-Новосибирск.: Наука, 1987.-231 с.

118. Смольников Л.П. Бычков Ю.А., Гудкова Н.В. Расчет систем управления,-Л.: 1981- 111 с.

119. Станкевич И.В. Численный анализ нелинейных задач вычислительной термомеханики. Автореф. дисс. на соискание ученой степени д.т.н,- М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001,- 29 с.

120. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов: пер. с англ.-М.: Мир, 1977.-352 с.

121. Субботина Т.Н. Использование треугольных кососимметричных разностных схем в математическом моделировании транспортно-химических процессов в стратосфере. Автореф. дисс. на соиск. ученой степени канд. физ.-мат. наук,- Ростов-на-Дону, 2002.-16 с.

122. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач: пер. с англ.- М.: Мир, 1980,- 352 с.

123. Термоэлементы и термоэлектрические устройства. / Л.И. Анатычук Справочник.- Киев, 1979. -456 с.

124. Толстых А. И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики,- М.: Наука, 1991.- 235 с.

125. Толстых А.И. Схемы заданного порядка, основанные на линейных комбинациях операторов компактного численного дифференцирования //Сб. Новое в численном моделировании. Алгоритмы, вычислительные эксперименты, результаты.-М.: Наука, 2000.- с. 100-120.

126. Федоров Ф.М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики.- Новосибирск.: Наука, 2000.-220 с.

127. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения.- Новосибирск, Научная книга, 1999.-352 с.

128. Хесс П. Периодическо параболические граничные задачи и положительность: Пер. с англ.- М.: Мир, 2001.-176 с.

129. Холодов А.С. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений параболического типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1978. т.24, № 9. с. 1646-1358.

130. Холодов А.С. Монотонные разностные схемы на нерегулярных сетках для эллиптических уравнений в области со многими несвязными границами. Журнал «Математическое моделирование». 1991, т. 3, № 9. с. 104-113.

131. Цой П.В. Теплообмен системы тел при нестационарном режиме.-Инж. Физ. журн., 1961, т. 4, № 1, с. 121 123.

132. Чуа Л., Пен Мин Лин. Машинный анализ электронных схем:282

133. Алгоритмы и вычислительные методы / пер. с англ. М.: Энергия, 1980.-320 с.

134. Чуа Л., Паркер Т. Введение в теорию хаотических систем для инженеров // ТИИЭР.-1987.- т.75, № 8.- с. 16 21.

135. Шкодырев В.П. Нейроинформатика и нейротехнологии.- ч.1 (сети прямого распространения).- СПб.: Изд. СПБГТУ, 2001. -113 с.

136. Юсуфов Ш.А., Исмаилов Т.А., Магомедов К.А., Гаджиев Х.М. Электрическая модель биполярного транзистора с учетом теплового воздействия // «Вестник университета». Технические науки». Махачкала. ДГТУ, 1998, № 2. с.25-29.

137. Semadeni Z. Banach spaces continuous functions. Warszawa, 1971, 600 p.

138. Belenky V.L. Some problems of stochastic dynamics of piecewise linear and nonlinear systems // Read at the seminar at the University of Michigan, 13 march, 1997, 12 c.1. Дополнительная литература

139. Д.1. Лыков A.B. Теория теплопроводности. М.: 1967.

140. Д.2. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями в частных производных, М.: Мир, 1972.

141. Д.З. Лионе Ж.-Л. Управление нелинейными распределенными системами, М.: Мир, 2002.

142. Д.4. Лучаков Ю.И., Осипенко Г.С., Морозов Г.Б.Ю Румянцев Г.В. Теплообмен оргапнизма человека со средой в термонейтральной зоне // Сб. «Средства математического моделирования», СПб.: Изд. СПбГТУ, 2001.

143. Д.5. Быстрое И.Е., Козлов В.Н., Козлов Ю.В. Аналитическое решение задач математического программирования // Сб. «Высокие интеллектуальные технологии образования и науки», СПб.: Изд. СПбГПУ, 2003.

144. Д.6. Ковалев О.Ф. Численно-экспериментальные методы моделирования магнитных и температурных полей в электромагнитных устройствах.-Автореферат диссертации на соискание ученой степени д.т.н.- Новочеркасск: Южн.- росс. гос. техн. ун-т, 2001.- 39 с.

145. Д.8. Бирич Т.А., Чекина А.Ю., Марченко JI.H. Глазные болезни. Мн.: Вышейшая школа, 1997. -231с.

146. Д. 10. Патент, РФ, № 2033777, Термоэлектрическое устройство для теплового воздействия при лечении заболеваний пальцев кисти. Исмаилов Т.А., Хамидов А.И. Б.И. № 12, 1995.

147. Д.11. Исмаилов Т. А., Полупроводниковое термоэлектрическое устройство для термостатирования электрофоретических камер. Представлено на ВДНХ СССР, Москва, (Серебряная медаль), 1988.

148. Д. 12. Магомедов К.А., Евдулов О.В. Устройство для борьбы с «эффектом монотонии» на основе преобразователя Пельтье // Приборостроение 2000. т.43, №5. с.22-24.

149. Д. 13. Аминов Г.И., Магомедов К.А., Хамидов А.И. Термоэлектрический комплекс для трансфузиологии // Приборостроение 2000. т.43, №5. с.32-36.