автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование и оптимизацияпроцессов электро и теплоперепосав электрохимических системах

РГ8 ОД

1 3 да №97

На правах рукописи

Л у б ы ш е в

Федор Владимирович

Математическое моделирование и оптимизация процессов электро и теплоперепоса в электрохимических системах

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук •

Уфа - 1996

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики математического факультета Башкирского государственного университета

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ф.П.Васильев доктор физико-математических наук,

профессор В.Н.Абрашин доктор физико-математических наук,

профессор М.Д.Рамазанов

Ведущая организация - ВЦ СО РАН, г.Красноярск

Защита состоится 1997

в /часов на заседании диссертационного совета Д-064.13.02 при Башкирском государственном университете (450074, Уфа, ул. Фрунзе, 32, математический факультет)

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Башкирского госуниверситета

Автореферат разослан " 1&" г.

Ученый секретарь диссертационного

совета Н.Д.Морозкин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Многие современные технологические процессы определяются явлением электро и теплопереноса в сложных системах с распределенными параметрами. К таким процессам относятся прежде всего электрохимические технологии: гальванообработка, гальванопластика, электрохимическая защита металлов от коррозии, цветная металлургия. Методы проектирования экономичных электролизеров, решение задач качественного и количественного совершенствования технологических процессов приводят к задачам оптимального распределения электрических л тепловых полей в сложных электрохимических системах. Основная задача оптимизации процессов электро и теплопереноса в таких системах, связанная с проектированием систем и прогнозированием их работы состоит в нахождении таких оптимальных "управляющих" параметров процесса, при которых плотность тока на электродах и в межэлектродном пространстве, а также распределение температуры среды, будут близки к заданным в том или ином смысле. Современные математические методы для решения данной проблемы пока используются совершенно недостаточно.

Теории, постановкам задач оптимизации различных процессов, а также разработке приближенных и численных методов их решения посвящена обширная литература. Отметим, прежде всего, работы А.Армана, Н.В.Баничука, А.И.Бояринова, Я.М.Берщанского, Б.М.Будака, А.Г.Бутковского, Ф.П.Васильева, А.И.Егорова, Ю.В.Егорова, В.В.Кафарова, В.Комкова, Н.Н.Красовского, Н.В.Крылова, А.Б.Куржанского, Н.Е.Кирина, Р.Латтеса,

й.-Л.Лионса, М.Л.Литвака, В.Г.Литвинова, К.Л.Лурье, М.В.Меерова, Н.Н.Моисеева, Б.Ш.Мордуховича, Ю.С.Осипова, Г.М.Островского, С.П.Охезина, В.П.Плотникова, Л.М.Пустыльникова, У.Е.Райтума, С.Я.Серовайского, Т.К.Сиразетдинова, В.И.Сумина, В.А.Троицкого, Р.П.Федоренко, Ф.Л.Черноусько, Е.М.Чубарова. Вместе с тем, анализ литературы по данной проблеме показывает, что задачи оптимизации процессов электро и теплопереноса с учетом их особенностей

и разнообразия постановок как при раздельном моделировании процессов, так и при моделировании процессов взаимосвязи, с учетом их нестандартности (многоэлектродности систем, разрывности коэффициентов уравнений состояния, нелинейности граничных задач, наличия граничных условий на внутренних границах типа идеального и неидеального контактов, а следовательно с решениями для состояния, допускающими разрыв, наличия нелокальных граничных условий), несмотря на их практическую и теоретическую значимость мало изучены. Недостаточно исследованы математические вопросы корректности моделей оптимизации процессов электро и теплопере-носа. Эта проблема, в свою очередь, связана с исследованием вопросов корректности нестандартных моделей для состояния. Процессы электро и теплопереноса можно подразделить на две группы:-процессы, в которых взаимное влияние электрических и тепловых полей слабое; процессы, в которых эти поля сильно взаимосвязаны. Процессы первой группы допускают изучение отдельных ветвей для состояния путем раздельного моделирования. Однако, при изучении второй группы процессов очевидна необходимость построения и изучения единой математической модели для описания состояния взаимодействующих полей. Состояния в таких системах описываются нестандартными сильно связанными нелинейными граничными задачами для систем нелинейных уравнений в частных производных, с нелинейными граничными условиями. Эти обстоятельства требуют специального исследования задач для состояния, разработки и обоснования приближенных и численных методов их решения, что является необходимым и должно предшествовать проведению численных расчетов. Особый интерес представляют конструктивные методы доказательства существования решений. Заметим, что математическое моделирование и оптимизация процессов электро и теплопереноса относится к проблеме исследования математическими методами нелинейных процессов [Самарский A.A., Курдюмов С.П., Ахромеева Т.С., Малинецкий Г.Г.//Вестн. АН СССР. 1987. N9. С.64-67]. Многие из задач оптимизации в таких системах обладают той особенностью,что управлениями являются коэффициенты уравнения состояния или граничных условий. Как известно [Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир. 1972. 414 с.]"исследование таких задач и разработка методов их решения представляет значительные трудности. Характерной осо-

бенностью почти всех изучаемых в работе задач оптимизации является то, что отображение g—iu(x\g) из множества допустимых управлений Ч в пространство состояний И системы является нелинейным. Теоремы существования оптимального управления в таких задачах далеко не очевидны*. Основная трудность заключается в доказательстве слабой непрерывности отображения *и(х;#). Нелинейность, вызванная вхождением управлений в коэффициенты уравнений состояния и граничных условий (даже если состояние системы описывается линейной задачей) еще более усугубляется, когда состояния систем описываются нелинейными граничными задачами. Кроме того, не являются выпуклыми функционалы цели. В задачах с управлениями в коэффициентах функционал цели не является выпуклым даже в том случае, когда уравнение состояния линейное и функционал цели является линейной функцией от решения этого уравнения. Эти обстоятельства порождают существенные трудности в исследовании таких задач, при построении и обосновании численных методов. В силу отмеченных трудностей проблема численного решения задач оптимизации процессов электро и теплопереноса мало изучена. Таким образом, актуальна проблема разработки и обоснования численных методов оптимизации процессов электро и теплопереноса, позволяющих решать широкие классы задач с учетом указанной выше специфики задач. Актуальным является вопрос разработки и исследования следующих двух подходов к реализации алгоритмов оптимального управления: 1) построение методов решения задач оптимизации в пространстве управлений и состояний исходных "непрерывных задач" (с добыванием и использованием информации о градиенте функционала цели) с дальнейшей разностной аппроксимацией граничных задач для состояния и сопряженной задачи на стадии их численного решения; 2) непосредственное построение конечномерных аппроксимаций для исходных задач -"непрерывная задача" сразу заменяется конечномерным аналогом, например, методом сеток и с дальнейшим рассмотрением аппроксимаций либо как задачи математического программирования, либо как задачи оптимального управления в дискретном пространстве сеточных функций; причем редукция задач к конечномерным представляет собой отдельную проблему [Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М: Наука. 1931. 400 е.]. В связи с такими подходами возникают важные вопросы, связанные с доказательствами непрерывной дифференцируе-

мости функционалов цели и липшиц-непрерывности их градиента, получения необходимых и достаточных условий оптимальности, конструктивного вычисления градиента функционала цели; построения конечномерных аппроксимаций, доказательства сходимости конечномерных аппроксимаций по состоянию, функционалу и управлению и проведения регуляризации разностных аппроксимаций при естественных незавышенных требованиях на гладкость обобщенных решений для состояния. Основы теории разностных схем заложены в работах В.Н.Абрашика, В.Б.Андреева, А.В.Гулина, Е.Г.Дьяконова, А.Д.Ляшко, Г.И.Марчука, В.Л.Макарова, А.А.Самарского, Н.Н.Яненко и многих других. Представляется актуальным построение и исследование конечномерных. аппроксимаций на основе аппроксимации множества допустимых управлений методом Ритца. Основы теории и методов устойчивости и аппроксимации экстремальных задач заложены в работах Б.М.Будака, Ф.П.Васильева,В.В.Васина, Р.Ф.Габасова, В.В.Дикусара, А.Дончева, Л.И.Егорова, Ю.М.Ермольева,

A.3.Ишмухаметова, В.Г.Карманова, Ф.М.Кирилловой,

B.Б.Колмановского, ; А.И.Короткого, П.С.Краснощекова, А.В.Кряжимского, Е.С.Левитина, Ж.-Л.Лионса, В.И.Максимова, Н.Н.Моисеева, Ю.В.Осипова, В.И.Плотникова, А.И.Прилепко, Б.Т.Поляка, Т.К.Сиразетдинова, А.Н.Тихонова, В.М.Тихомирова, Р.П.Федоренко, В.В.Федорова, Ф.Л.Черноусько и многих других. Устойчивость и аппроксимация различных задач оптимального управления для систем с распределенными параметрами рассматривались в работах Ф.П.Васильева, А.И.Егорова, А.3.Ишмухаметова, А.И.Короткого, М.А.Куржанского, О.А.Кузенкова, А.А.Кулешова, А.В.Разгулина, Ж.-Л.Лионса, В.Г.Литвинова, М.М.Потапова, М.Р.Рахимова, Т.К.Сиразетдинова, В.И.Плотникова, Т.К.Тагиева, М.И.Сумина, В.И.Сумина, Т.Ю.Шамеевой, А.Д.Юрия и многих других.

Целью настоящей работы является: разработка математических моделей оптимизации процессов электро и теплопереноса в сложных электрохимических системах как при раздельном моделировании, так и при моделировании оптимизации взаимосвязанных электрических и тепловых шлей; математическое обоснование (по возможности конструктивное) постановок прямых задач и задач оптимизации (исследование вопросов существования и единственности решений прямых задач и задач оптимального управления); разработка и матема-

тическое обоснование приближенных и численных методов решения прямых задач и задач оптимизации процессов электро и теплопере-носа, использование полученных методов для решения конкретных прикладных задач.

Общая методика исследований базируется на математической теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, теории численных методов, теории дифференциальных уравнений в частных производных и функциональном анализе.

Научная новизна работы. Основные результаты диссертации (они указаны отдельно) являются новыми.

Практическая ценность. Предложенные в работе математические модели оптимизации и разработанные методы решения задач оптимизации могут найти широкое применение при оптимизации процессов, связанных с электрохимическими технологиями: оптимизации технологических процессов гальванообработки, электролитического формирования деталей, при оптимальном конструировании экономичных электролизеров и прогнозирования их работы в цветной металлургии. Под общим руководством В.Т.Иванова, автор в составе коллектива сотрудников кафедры вычислительной математики БашГУ и коллектива сотрудников ВАМИ (г.Ленинград) принимал непосредственное участие в разработке методов решения задач электротеплопереноса в алюминиевых электролизерах (середина семидесятых годов), а также в составе коллектива сотрудников кафедры вычислительной математики БашГУ и коллектива инженеров Уфимского моторостроительного производственного объединения принимал участие в разработке алгоритмов оптимизации гальванопокрытий. Результаты этих исследований затем экспонировались на ВДНХ СССР в 1979 г.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (г.Уфа, 1996 г.), на международных конференциях ШМ0Ш-ШЮ1Г7 (г. Галле, Германия, 1985, 1987, 1989, 1992, 1994 гг.), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г.Саранск, 1994 г.), на Всесоюзном симпозиуме по теории приближения функций (г.Уфа, 1987 г.), на 1-ой Всесоюзной конференции по теоретической электротехнике (г.Ташкент, 1987 г.), на 1-ой Всесоюзной конференции "Проб-

лема защиты металлов от коррозии" (г.Казань, 1985 г.), на У-ой Всесоюзной конференции "Математические методы в химии" (г.Грозный, 1985 г.), на У1-ой Всесоюзной конференции по электрохимии (г.Москва, 1982 г.), на Всесоюзной конференции "Проблемы нелинейной электротехники (г.Киев, 1981 г.), на У-ом Всесоюзном совещании по электрической обработке металлов (г.Кишинев, 1980 г.), на Ш-ей Всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах (г.Киев, 1979 г.), на Ш-ем Всесоюзном симпозиуме ТИССУРП-3 (г.Уфа, 1976 г.), обсуждались на семинарах Ф.П.Васильева на факультете ВМиК МГУ, на семинарах В.Н.Абрашина в институте математики АН Белоруссии, в Вычисл. центре СО РАН, г.Красноярск, на семинарах в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН, в Башгосуниверситете, в Стерлитамакском государственном педагогическом институте.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-34].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, приложения и списка литературы, содержащего 228 наименований. Объем работы до списка литературы 434 страницы машинописного текста, включая рисунки и таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор работ по теме диссертации, обосновывается актуальность темы исследования, сформулирована цель работы, указана научная новизна с описанием полученных результатов работы и кратко изложено содержание диссертации.

Глава I посвящена общим вопросам проблемы оптимизации процессов электро и теплопереноса в электрохимических системах. В

1,2 излагаются некоторые вопросы и основные принципы моделирования процессов для состояния, рассматриваются основные уравнения и граничные задачи для состояний как при раздельном моделировании процессов электро и теплопереноса так и при моделировании процессов взаимосвязи электрических и тепловых полей. В .3 даются общие положения, связанные с математической постановкой задач оптимизации, рассматриваются вопросы о структуре функционалов цели, функций управления, множеств допустимых управлений. В 2 дается модифицированная модель электротеплопереноса дивер-

гентного типа. Пусть ПсК3 - заданная ограниченная область переменных х=(х ,х ) с кусочно-гладкой границей Г=ап, и в области п существуют градиенты температуры Т(х) и электрического потенциала и(х). Тогда их распределение находится из решения следующей нелинейной системы уравнений в частных производных

div(a-(T)grad и) = -fix), ХеП, (1)

div{\(Dgrad Т) + div^(Lj2(T)T +■ а(Т)u)grad uj -

- q(x,T) + f(x)u = 0, хеП.

Данная модель на достаточно гладких решениях эквивалентна следующей модели электротеплопереноса

div(o-(7)grad и) = -f (х), хеп,

div[x(T)grad Т) + div[Ljz(l)Tgrad и) = (2)

= -о-(Т) |grad и |2 + q(x,T) х^п.

Здесь L (Т)=—а(Т)о-(Т), а(Т) - коэффициент термоэдс, f(x) -удельная мощность источников (стоков) зарядов в области п, q(x,T) - мощность источников (стоков) тепла, обусловленных неэлектрическими причинами. Взаимосвязь теплового и электрического полей в системах (1) и (2) проявляется в том, что в них учитывается выделение джоулева тепла g =о-(Т)\grad u|2= |j|2/<r(T) при прохождении электрического тока, где j=-cr(T)grad и - плотность электрического тока, зависимость электропроводности среды от температуры и перекрестные эффекты при взаимодействия полей, что нашло отражение в выражении для обобщенного теплового потока: I=-a(T)grad T-Lia(T)Tgrad и (поток I зависит теперь не только от градиента температуры, но и от градиента электрического потенциала). Пренебрегая перекрестными эффектами, т.е. полагая а(Т)=0, получим систему уравнений электротеплопереноса из [5]. Пусть г - открытое подмножество Г, а Го=Г\Г1 - подмножество Г, имеющее положительную поверхностную меру; г=г иГ . На границе г ставятся следующие граничные условия: эй

<г(Т) — + a(x,T,u) = g(x), хеГ,

an

эТ эи

Х(Т) — + L (Т)Т — + b(x,T,u) = fi(x), ХеГ, (3)

ал 12 an 1

Т(х) = Т (х), ХбГ ,

п - внешняя нормаль к границе г области п. Математическая модель электротеплопереноса (1), (3) представляет собой нестандартную краевую задачу для нелинейной системы уравнений в частных производных с нелинейными граничными условиями, для которых не были изучены вопросы корректности (существование и единственность) и для которых не было обоснованных приближенных методов решения.

В главе II наряду с задачей (1), (3) изучается следующая третья краевая задача электротеплопереноса

сИу(о-(Т)ёгас1 и) = -Пх), ХеП, (4)

div(\(x)grad Т) + с/1У^(Ь12(Т)Т + <г(Т)и)ггаа и| -

- д(х,Т) + Пх)и = 0, хеп,

аи

<г(Т) _ + аСхД.и) = £(х), ХеГ, (5)

ап

аТ аи

х(х) — + I _(Т)Т — + ЫхД.и) = д(х), ХеГ. ап ап

В этой главе изучаются математические вопросы корректности моделей взаимосвязей (1), (3) и (4), (5). В 1 даются строгие математические постановки данных нелинейных граничных задач электротеплопереноса в обобщенном смысле (определение 1.1, определение 1.2). Под решением систем электротеплопереноса понимается обобщенное решение, которое определяется в виде пары элементов из соболевских пространств, удовлетворяющих соответствующим интегральным тождествам. Так для задачи (1), (3) обобщенное решение определяется следующим образом (рассматривается случай Т (х)аО): Определение 1.1. Пару функций Т(х), и(х) назовем обобщенным решением задачи (1), (3), если Т(х)еУ, и(х)еН1 (п)зйг'(п) , ст(Т) (и-а(Т)Т) |£Гас1 и|е12(п) И ДЛЯ КОТОРЫХ

|ст(Т)£гас1 и-¿гас! д (1п +| а(х,Т,и)л с1г =| /(х)о с!п +| с!г,

с2 г п г

УйбНЧп), (6)

||х(Т)йтас( Т + (о-(Т)и - a(T)(т(T)T)grad uJ■grad ч сШ +

п _ -

+ Г(д(х,Т)-/(х)и)т) с!п + I [а(х,Т,и)-и + Ь(х,Т,и) - ^(х)и]ч с1г; = п гг

= Г 1±(.х)п (1г1 ¥Т)6У={Т(х)еН1(п): Т(х)=0, Х€Го].

г

В 2 при различных ограничениях на входные данные исследуется вопрос о существовании обобщенного решения задач элекгротеплопе-реноса в смысле определений 1.1, 1.2. К основным результатам данного параграфа относятся теоремы 2.1,2.4 о существовании решения. Доказательство теоремы 2.1 опирается на метод монотонных и псевдомонотонных операторов в смысле определения Брезисп и использует теорию Лионса И.-Л. о разрешимости операторных уравнений с псевдомонотонными и коэрцитивными операторами. Доказательство теоремы 2.4 опирается на топологический принцип ' Лоре-Юаудера о разрешимости уравнений с вполне непрерывными операторами. В 3 исследуется вопрос единственности решений нелинейной граничной задачи электротеплопереноса, решение которой понимается в смысле определения 1.1. Доказана теорема 3.1 о единственности решений.

Глава III посвящена построению и исследованию сходимости двухступенчатых итерационных методов линеаризации нелинейных задач взаимосвязи электрических и тепловых полей, исследовании в гл.II. Ввиду непосредственной сложности численного решения нелинейных граничных задач (1), (3) и (4), (5) в 1 построены внешние итерационные процессы расщепления по физическим процессам на последовательности одиночных краевых задач (либо нелинейных, либо нелинейной и линейной) отдельно для электрического и теплового полей. Приведем два внешних итерационных процесса для задачи (10, (3).

Внешний итерационный процесс I. Последовательные приближения {un Д"4"1}, п=0,1,2,... строятся на основе итерационного процесса:

L(Tn,u") = div(<r(Tn)grad и") = -f(x), хеЯ, (7)

div(x(Tn)grad Т"*1) - qixj"*1) + div^(Li2(Tn)r +

+ a(7")un)grad un] + f(x)un = О, ХеП,

aun

KT" ,u") = <r(T") - + а(х,Г,ип) = g(x), xer,

an

aT"-1 ou"

A(T")- + bCx.T"*1,u") + L (T")Tn- = д(х), ХеГ ,

an 12 an 1

T"*1(x) = 0, П=0,1,2________ХеГ ,

о

где Т°(х)бН1(п) - произвольная функция.

Внешний итерационный процесс III. Последовательные приближения {u",Tn*1}, п=0,1,2,... строятся на основе процесса итераций

L(T",un) = .-f(x), Х<=П, (8)

div(x(Dgrad Г"1) - рЫТ"*1 = q(x,Tn) - ß(x)T" -

- div[(Lia(T")Tn + o-(Tn)u")grad u"j - f(x)un, x6n,

KT" ,un) = g(x), xer,

aT"*1 au"

Л(Г)- + т(х)Г^ = u(x) - L (Tn)Tn- -

an an

- b(x,Tn,un) + т(х)Г, ХеГ^

,тп"1(х) = 0, n=0,1,2,... ХеГо,

где T°(x)eW*(n) - произвольная функция; HxieL^i^), ß(x)eLm(n); т(х)г0, ХеГ^ , (З(х)гО, Xeil.

В итерационном процессе III на каждой итерации мы имеем нелинейные граничные задачи относительно функции un(x) (электрического потенциала) как и в процессе I. Однако относительно функций Тп(х) (температуры) в процессе расщепления III имеем линейные граничные задачи в отличие от процесса ращепления I.

Определение 1.1. Пару функций un(x), Т^^Чх) назовем обобщенным решением задачи (7), если Т"*1^, ц"еН1(п), o-(Tn)(un-a(Tn)T")\grad u"|ei,2(n) и для которых справедливы тождества:

Jcr(Tn)grad u"-grad * dn+Ja(x,Tn,un)i> dr=Jf(x)i> dn+Jg(x)tf dr, il г n г

voeH1 (n); j|a(T")grad Т"+(сг(Г)u"-o(Tn)tr(Tn)T,l)grad u"\-grad r)dn+ f!

+J(q(x,Tn*1)-f(x)un)D dn+| [а(х,Т",ип)и"+Ь(х,Тп^1,un)-n г

1

-g(x)lin]n dr5= | ц(х)т) drt VTieV, 11=0,1,2,...,

Г

l

где Т°(х)бЙГ*(п) - произвольная функция.

Аналогично определяется обобщенное решение задачи (8). В 1 главы III доказаны теоремы 1.1, 1.2, 1.4, 1.6 о сходимости внешних итерационных процессов расщепления. В ходе доказательства

теорем о сходимости одновременно получены также другие доказательства теорем 2.1, 2.4 из гл.II о существовании решений задач электротеплопереноса с решениями в смысле определения 1.1 и определения 1.2 из гл.II, не использующие понятие псевдомонотонного оператора в смысле определения Брезиса.

Численное решение возникающих в процессе расщепления нелинейных задач требует, в свою очередь, применения итерационных методов. Таким образом, речь идет о построении двухступенчатых итерационных методов решения нелинейных граничных задач для систем электротеплопереноса. В 2 гл. III для нелинейных одиночных задач расщепления построены и исследованы внутренние итерационные процессы простой итерации и метод квазилинеаризации. Доказаны теоремы 2.1-2.6 о сходимости этих процессов с оценками скорости сходимости. Сходимость метода квазилинеаризации решающим образом зависит от выбора начального приближения, но он обладает квадратичной скоростью сходимости. Поэтому его целесообразно применять на этапе уточнения приближенного решения, полученного методом простой итерации, сходящемся при выборе любого начального приближения.

Глава IV посвящена математическим постановкам и исследованию математических вопросов корректности нелинейных моделей 'оптимизации процессов электро и теплопереноса как при раздельном моделировании, так и при моделировании процессов взаимосвязи. В 1,2,4 изучаются задачи оптимизации распределения плотности тока на катодах в электрохимических системах. Математические постановки задач сводятся к минимизации функционала цели g —» Jig)

л au(x,g) .г

Jig) = <?(x)- - p(x) , fT-CkM, (9)

II an 2 ;

при условиях, что функция состояния системы u(x.g') (потенциал электрического поля), отвечающая допустимым управлениям geU, удовлетворяет в области п (занимаемой электролитом с электрической проводимостью сг(х)) с кусочно-гладкой границей г=г1а>иг"°и иГ(и) уравнению эллиптического типа

div ( сг(х) grad и ) = -fix), ХеП, (10)

где г'л>, г'к>, г(и)- непересекающиеся куски границы г - границы анодов, катодов и изоляторов. Предполагается, что катоды rllt> нелинейно поляризованы

<г(х) + я(х,и) = 0, ХеГ"°, (И)

на границах г'и> заданы условия

(Г(х)-|^ = 0. ХеГ(и) . (12)

all

На анодах Г'°', в зависимости от постановки задачи оптимизации задаются различные виды граничных условий. В 1 гл.IV оптимизация распределения тока на катоде осуществляется выбором переменного удельного сопротивления, введенного в прианодный слой. В данном случае анодные процессы на гСа) характеризуются краевыми условиями

сг(х) -|Н = е(х)-( u'a,(x) - и(х) ), ХбГ"\ (13)

all

в которых коэффициент e(x)=g(x) служит управлением. В 4 оптимизация распределения тока на катоде осуществляется выбором функции распределения тока на многосекционных анодах. В этом случае граничное условие на аноде имеет вид

сг(х) = j<"(x), х.г'»', (14)

где функция j(el(x)=g(x) служит управлением. В 2 регулирование подачи тока на катод осуществляется введением в электролит, в межэлектродное пространство переменного омического сопротивления в виде тонкого слоя проводящего ток включения Sen. Влияние таких плохо проводящих ток включений на процесс распределения потенциала можно учесть заданием условия сопряжения

Iv e(x)[u1' lc Is. • XeS' (15)

где функция e(x)=g(x), характеризующая удельную электрическую проводимость включения, служит управлением, а на катодах и анодах граничные условия имеют вид (11),(13). Состояния систем могут описываться граничными задачами с нелокальными условиями на некоторых электродах, а также с дополнительными, плохо проводящими или непроводящими ток включениями, полностью неперекрываю-щими сечение электролита (щелевые ячейки). При исследовании процессов элвктро и теплопереноса существуют трудности с выбором достоверных теплофизических и электрических свойств материалов электролизеров - теплопроводности и электропроводности среды. Экспериментальные данные, получаемые в лабораторных условиях на небольшом количестве образцов, часто далеки от реальных. Между

тем известно, что свойства материалов в промышленных электролизерах меняются во время эксплуатации и сильно отличаются от лабораторных образцов. Важной задачей является идентификация параметров моделей. При инженерных разработках современных конструкций электролизеров возникают задачи, связанные со свойствами материалов при изготовлении конструкций электролизеров, при которых температура в области электролита и величина горизонтальных токов в области жидкого металла или электролита, будут близки к заданным. По сути эти задачи являются обратными задачами электро и теплопсреноса и могут рассматриваться как задачи управления. В 3 изучается задача оптимизации горизонтальных токов в области жидкого катода алюминиевого электролизера (большое промышленное значение имеет уменьшение горизонтальных токов в металле). Математическая постановка задачи сводится к минимизации функционала цели g —> Jig)

. , auix\g) \2

Jig) = Г стЫ--- dn (16)

а 1 3xi

г

где ПгсПсКг- область, занимаемая жидким металлом, при условиях,

что функция состояния системы u(x;g) (потенциал электрического

поля), отвечающая допустимым управлениям gsU, удовлетворяет в

области имеющей структуру многослойной, неоднородной

горизонтально-слоистой среды с электропроводностями сг (х), ХеП ,

_ к к

к=Г7Ч граничной задаче для уравнения эллиптического типа с

нелинейными граничными условиями. Оптимизация заключается в определении функции электропроводности о- (x)=g среды п - конструкции подового блока электролизера при которой минимизировался бы функционал цели (16). В 5 рассматривается задача минимизации функционала

г г i зи(х;я) лг Jig) = а Г|7Чх,g)-T (х) | dfl + 0 Г <т(Г(х,£))--dn,

а п эх\ '

где 0^,(3^0, pi+i?2>0, g=xix)eU, а(х) - теплопроводность среды, Го(х) - заданный элемент пространства Ьг(п), Tix.g), uix,g) -функции состояния системы, удовлетворяющие граничной задаче для системы электротеплопереноса (2),(3) (х=х(х)). В качестве множеств допустимых управлений U выступают выпуклые, замкнутые, ограниченные множества. Для поставленных задач оптимизации дока-

заны теоремы существования, а вряде случаев и единственности оптимальных управлений ( теоремы 1.2, 1.3, 2.2, 2.3, 3.1, 3.2, 4.1, 4.2, 4.4, 4.5, 5.1-5.3 ).

Глава V посвящена приближенным методам решения задач оптимизации электро и теплопереноса, построенным в пространстве управлений и состояний исходных <«непрерывных задач>>. Доказаны теоремы 1.1, 2.1, 3.1, 4.1 о принадлежности функционалов цели классу С1'1(и) и получены необходимые условия оптимальности в задачах оптимизации: с нелинейным состоянием, граничным управлением и наблюдением ( 1); с нелинейным состоянием, управлением в коэффициентах граничных условий (в том числе в коэффициенте внутреннего условия сопряжения) и граничным наблюдением ( 2,3); а также в задаче оптимизации горизонтальных токов в области жидкого катода электролизера для нелинейной модели состояния с управлением в коэффициенте уравнения состояния ( 4). Найденные выражения для градиентов функционалов цели и необходимые условия оптимальности (для выпуклых функционалов условия оптимальности являются и достаточными, например, для задач с граничным управлением и наблюдением, в случае линейной поляризации катода) могут быть положены в основу численных методов решения задач оптимизации. В 5 предложен новый итерационный процесс приближенного решения нелинейных граничных задач для состояния допускающих разрыв решения на внутренних границах сопряжения с итерациями на границе разрыва решения. Доказана теорема 5.1 о сходимости процесса итераций. Предложенный метод позволяет для численного решения такого класса задач для состояния эффективно применять разностные методы и метод конечных элементов в каждой из подобластей, где коэффициенты уравнений достаточно гладкие. Метод допускает обобщение на общие уравнения эллиптического типа.

Глава VI посвящена конечномерным аппроксимациям задач оптимального управления. В 1 рассматриваются общие принципы и приводятся некоторые результаты об условиях аппроксимации экстремальных задач. В 2 изучаются разностные аппроксимации и проводится регуляризация аппроксимаций задач оптимального управления для квазилинейных эллиптических граничных задач с обобщенными решениями. Пусть п=((х},хг): 0<Ха<^,а=1,2}, Г1а), гск), г|и), Г^и>- непустые, открытые, попарно не пересекающиеся подмножества границы г области п, Г=Г<а'иГ1к>иГ^и)иГ^и), г'а>пг(к)=0.

Пусть управляемый процесс описывается в Q задачей

Lu s ~ 1 1ПгК(х) Щ- ) + q(x',j) = £{х)' (17)

Of-1 а ^ с* '

§H = j(x), хег'а>, |Н = 0. xer;u,wr^u), ~ + *(х) и =■ 0, ХеГ(к',

о N

где q(x,u),*(х)- известные функции, g=(g1(x),g (х),g (х),g (х))= ~(к (х),к (х),j(x),f(x)) - управление. Функция <?(х,£) определена на n*R со значениями в и, измерима по х на п при всех fjeiR и удовлетворяет условиям: |q(x,0) | <U =const, Os[q(x,C] )-q(x,C2) ]/

/(с )sl <», e - z(x)eff,(r"t))rj5,(rik,)1 >o, xerlk>.

M q 1 2 со со О

Рассматривается задача минимизации функционала

II au(x,g) it2

J(g) = aj——— - p(x)jL (г1 k 1)+ «21!uCx,5")~uo(x) (n), (18)

где <p(x)e№Hr'k>), uo(x)eff^(n) - заданные функции, a^-const*0, a +oc >0, k=l,2, на решениях u(x,g) задачи (17), отвечающих всем допустимым управлениям

geU= П U ей = (V1(n)xff1(n)xiV1(r("> )*L (n), (19)

° k 2 2 2 2 k = 1

где U -выпуклые.замкнутые.ограниченные множества в соответствующих пространствах, задающие локальные ограничения. Решение задачи (17) при фиксированном gel! понимается в обобщенном смысле, как функция u(x)eN\(n), удовлетворяющая обычному интегральному тождеству. Задача (17) однозначно разрешима в классе 1У'(п), более того обобщенное (из !V4n)) решение задачи принадлежит также пространству й'^(п) и для него справедлива соответствующая априорная оценка. Задаче оптимального управления ставятся в соответствие следующие разностные аппроксимации: минимизировать функционал

h h Jh(fh)= aJx + f 2(x)»I (7 ) +

+ ejy(x.»h) - ^(x)||Г1 (20)

при условиях, что сеточная функция у(х, (¡3), называемая

решением разностной схемы для задачи (17), удовлетворяет соответствующему сумматорному тождеству [17]

Q (ф ;y,i») = d (ф ,Ф vtfelV'iu), (21)

h lh 2h h 3h 4h 2

а сеточные управления Ф (х) таковы, что

Ф (х) = ( Ф ,Ф ,Ф ,Ф )е П и =и сН , (22)

h lh' Zh 3 h 4h ah h h'

« = 1

Здесь для определенности рассмотрен случай, когда г=я§,(г_„и

иГ ), Г ={х =0, 0<Х <1 }, Г —[х =1 , 0<Х <1 1, р=3-а,Я а=1,2,

Г —Г , r'kT=r , г'"'=г , Г""=Г , a XU) , (J , a=l,2

_ -i' • -г _2 »2' 1 z' («•)' '

и 7+ - сетки в n и на границе г+1, h=(hi,hz) - параметр, характеризующий густоту сетки в п шаг сетки в направлении оси х ); через Ь£(и), W*(и) обозначены пространства сеточных функ-фй, заданных на соответствующих сетках ысй с нормами Ц ■

[.^, являющимися разностными аналогами соответствующих норм 2

в пространствах функций непрерывного аргумента; сеточные

аппроксимации множеств допустимых управлений V , а=Г73; через uh- обозначены, сеточные аппроксимации функций непрерывного аргумента, определяемые через соответствующие усредняющие операторы по Стеклову. Обозначим J^-inf Jig), gnU, Jh.=inf «Лф ), Фhe(/h. При |h|—» 0 будем рассматривать последовательность сеточных задач минимизации (20)-(22).

Априорная оценка погрешности метода по состоянию устанавливается в следующей теореме.

Теорема 2.5. Пусть geU и - произвольные управления,

u(x.g) и y(x,$h) -соответствующие им решения задач (17) и (21). Тогда справедлива оценка

|y<x.*b)-uU.*>|ff.(5)* И f(|h| - { (- j),

2 LV ос = 1 оо («* ) '

x|u(X.g)|ffa(n)+ ¡/2j - . |L )+ ||/f - *4h|L (-)], 2 2-1 2 J

X X

где S S , p=3-a, a=l,2 - операторы усреднения по Стеклову.

Оценку погрешности сеточного функционала устанавливает

Теорема 2.6. Для любых управлений geU и Ф <=U справедливы

h h

оценки

I ле) - Jjth)\ -< #(v«a)[|A| + I cz )+

u «=1 m (<x* )

+1 s**j - t3h»L2(7_i)+ ls*f - *.JL2(i)]-Теорема 2.7. Семейство сеточных задач минимизации (20)-(22)

при |h|—> 0 аппроксимирует экстремальную задачу (17)-(19) по функционалу, т.е. liiri J =J, при |/i| —> О, причем справедлива оценка скорости сходимости |J J.\ 5 W(ai+a2).

Теорема 2.8. Пусть последовательность сеточных управлений {ф }cU определена из условий J í J (í )s J + с , ф ell ,

hC h h h h С h* h hC h

h h h

где с^гО и ch—» 0 при |Л| —» 0. Тогда последовательность .управлений (N ф ] является минимизирующей для задачи (17)-(19),

h h С

h

слабо в Н сходится к множеству Um*и точек минимума функционала Jig) и справедлива априорная оценка скорости сходимости О < J(W ф )-J s 2М(а +a ) IЛI+с , где W ф еГ/ - некоторые воспол-

h h С • 1 2 1 h hhC

h h

нения ф e(J .

hC h

Рассмотрен вопрос о регуляризации аппроксимаций ( сильной сходимости в Я по аргументу ). Справедлива

Л

Теорема 2.9. Пусть последовательность {ф ) определена из

Л

условий: Т —ínf (Г (ф ): ф cí/ ]s Г (ф Ы , где v аО и v —>

^ Ь • h h hh hhh*h' h h

—> 0 при ihl —» 0, где Т (ф )=j (ф )+a п (ф ) - функционал Тихо-11 h h h h h h h

нова, q (ф )=|l ф \Ь , ф 6U - сеточный аналог стабилизатора nig)=

Л

=!l£íllft- Т°гДа последовательность ÍWh$h] является минимизирующей

л

для задачи (17)-(19) и О з JiN Ф )-J í Aí[ (a +a )|h|+i> +<x ]. £c-

n h • 1 2 ' 1 h h

ли, кроме того a —> О, (|Л|+1> )/a —> 0 при Ihl —> 0, то последо-h 1 1 h h 1

Л

вательность [Hi ) сильно в И сходится к множеству п - нормаль-h h

них оптимальных управлений задачи (17)—(19).

Полученные результаты не зависят от конкретного метода решения задач минимизации.

В этом же параграфе рассматриваются замечания, связанные с исследованием и получением аналогичных результатов разностных аппроксимаций задач оптимального управления и в других постановках задач, когда управлениями являются коэффициенты граничного условия третьего рода, коэффициенты при решении уравнения и младших производных в уравнении состояния, а также когда состояние системы описывается первой краевой задачей для эллиптических уравнений в произвольной выпуклой области с управлениями в коэффициентах и правой части уравнения состояния. Рассмотрено также замечание, связанное с исследованием и получением аналогичных результатов для задач оптимизации, когда нелинейность содержится

и в граничном условии третьего рода.

В 3 изучаются разностные"аппроксимации и проводится регуляризация аппроксимаций задач минимизации функционала

J(^)=a1lu(x,t;^)-uo(x,t)||^(^)+ot2||u(x,T;g)-(f(x)||^(n), (23)

где uo(x,t)e^'°(QT), iMxJeiy'(п) - заданные функции, ak=const*0, k=l,2, а +а >0, при условиях, что состояние системы u(x,t;g)

о

является обобщенным решением в V2'°(QT) начально-краевой задачи

+ Lu = fix, t), (x,tbQr=nx(0,7], (24)

u(x,t) = 0, (x,t)6ST, u(x,0) = -pix), ХеП, (25)

где эллиптический оператор L определен в (17), причем к -о

=к (x,t), q=q(x,t); f(x,t)eL (Q ), р(х)б1У1(п) - заданные функции; gix)=ig^x,t) ,^2(x,t),l3(x,t))=(ki(x,t),if2(x,t),Q(x,t)) -управление

g<=U= П C/kcH = JV^(Qt)xI^(Qt)xL2(Qt) , (26)

k = 1

U - выпуклые, замкнутые, ограниченные множества в соответствующих пространствах управлений, заданные локальными ограничениями. В 4 изучаются разностные аппроксимации и проводится регуляризация аппроксимаций задач минимизации функционала цели

||u(x.r;g-5-^(x)||£ (n)-ta2|lu(x,t;^)-ui(x,c)||i; (27)

где ^(x)cff2(n), (x)eW2(Q'*«') - заданные функции; Q^.*«'- сечение цилиндра 3 плоскостью х =х , Osx si , где «=1 или а=2, а =

Т се « а сх к

=const*0, к=1,2, a +a2>0, при условиях, что состояние u(x,t;g) системы является обобщенным решением в V2,0(Qr) третьей начально-краевой задачи для уравнения (24) с условиями

-|Н- = 0-(x,t)[i>(x,t) - u(x,t)j + n(x,t), (x,t)eST, (28)

u(x,0) = fix) , xei2,

где f(x,t) ,д(х, t) ,tf(x,fc) ,«>(x)- известные функции, cr(x.t)=<r (x.t)

известна на S(M)= г х(0,Т], но o-(x,t)=cr (x,t) неизвестная на т м о

£ (х,Ь)) = {к (х,Ь),к (х,Ь) 1QCx.t) ,<?о(х,Ь)) - управление, Ах,Ь)еЬ (0 ), к(х,<;), Лх.ОеИЧЗ ), р(х)€ИГ1(п), сг(х, Ь) ей'1 (Я ),

2 Т 2 Г 2 со Т

gzV= п г/ сн = (29)

к = 1

!/ - выпуклые, замкнутые, ограниченные множества в соответствующих пространствах управлений, заданные локальными ограничениями. Построены разностные аппроксимации задач оптимального управления (23)-(26) и (24), (27)-(29), изучены вопросы сходимости аппроксимаций по состоянию, функционалу и управлению, установлены оценки точности аппроксимаций по состоянию и функционалу и проведена регуляризация аппроксимаций. Приведем некоторые результаты для разностных аппроксимаций задачи (23)-(26). Задаче (23)-(26) ставятся в соответствие следущие аппроксимации: минимизиро-зать функционал

2 Т

+ а2Пу(х,Г;Фьх) - *Ь(Х)|£ (ы), (30)

'г

при условиях, что сеточная функция у=у(х^;4 ) является решением задачи

У£ +Лу = ^(х,Ь), (х,Ь) еит, (31)

у(х,0) = 0, (х,^6Т_, у(х,0) = рЬ(х), хеы,

= А + « £,

ЗЬт

а=Р а1

а сеточные управления таковы, что

Ф (х) = (Ф ,» ,Ф Ь П и =1/ сН , (32)

Ьт 1Ьт 2Ьх ЗЬт «Лг Ьг

ос — 1

Здесь равномерная сетка в ^ с шагами и по пере-

менным х и хг и шагом х по переменной t, гт=гхит-множество узлов сетки на боковой поверхности цилиндра (2т, о - сетка в п,

сетка на [О,Г], г - множество граничных узлов сетки <3, сетка, на которой определено сеточное управление а-1,2.

Теоремы 3.4-3.6. Пусть и Ф^^мТ произвольные управле-

ния. Тогда справедливы оценки

|y(x.t;• )-0(х.t.fi-) .о(ь> м[>|+т"г+ l \S_S г -

2 T L «= 1

- K^h (M«-»)+|s!sX4 - *3hJL (U )] = M [|A| +

ю * T аз T J L

+ e(k ,п,ф ,ï ,ф )1,

1 2 Ihr 2hx' 3hi j'

* + T*-) =

p= i

t X X X

где u={ S S u, (x,t)eu ; 0, (x,t)er ; S »>, Xeu, t=0 }, u= ( S u, T x T

(x,t)eu ; 0, (x,t )er , S Хеш, t=0 }; U1 * °( t j ) - сеточный ана-

T T t X X X 2 т

лог пространства V1,0(Q ); =S 'S 2- усредняющие операторы

Стеклова; я: =1, *г~0.5.

Теорема 3.7. Семейство сеточных задач (30)—(32) при |й|,т—> —» 0 аппроксимирует экстремальную задачу (23)-(26) по функционалу, т.е. lim JhT.„=J. при |h|,r —» 0, причем справедлива оценка IJ -J , где J =inf J (ф ), Ф е(/ . Если последова-

1 hx* * ' h "с hx* hT ht hT ht

тельность сеточных управлений (thT;C определена из условий

h

J <J (ф „ )íJ +c ,где с >0 и с -»0 при |Л| ,т —> 0,то пое-

hx* hT hxC hx* h hr hx 111 '

h

ледовательность управлений {"hl:\xC ) является минимизирующей

X h

для задачи (23)-(26), слабо в H сходится к Um*a, причем справедлива оценка скорости сходимости 0 s J(Whxrф ) - J s 2r +c

hxC • hx hx

h

Доказана теорема 3.8 о регуляризации аппроксимаций. Оценки скорости сходимости аппроксимаций получены без предположения т= -rhz, r=const>0 (которое обычно накладывается) на зависимость между параметрами сетки h иг. Поскольку результаты получены при . произвольных т и h, то они соответствующим образом могут быть перенесены на дифференциально-разностные методы аппроксимаций задач оптимального управления. В 4 для задачи (24),(27)—(29)

изучены разностные аппроксимации:Л ,р=1,2. Доказаны теоремы о

р

скорости сходимости аппроксимаци Лр,р=1,2 по состоянию и функционалу (теоремы 4.4, 4.6). Регуляризация аппроксимаций установлена в теореме 4.7. Из теоремы 4.6 можно получить различные оценки

скорости сходимости аппроксимации Л , р=1,2 по функционалу. Так при т"|й| ' и семейства сеточных аппроксимаций Л , р-1,2

аппроксимируют задачу (24), (27)- (29) по функционалу, причем при г~|Ь|3/г справедливы оценки ми'|3/4. Р=1,2, а

при т~ | Ь |2 оценки I а |Л|р/2, р -1,2, где и

нижние грани функционала (27) и сеточного функционала в

аппроксимациях Л , р=1,2 соответсвенно. В 5 рассматривается р

способ построения конечномерных аппроксимаций экстремальных задач с ограничениями на основе идеи Ритца. Рассмотрен вопрос о разрешимости и сходимости конечномерных аппроксимаций, построенных на основе идеи Ритца. В 6 изучаются конечномерные аппроксимации задач оптимального управления для эллиптических уравнений на основе идеи Ритца. Устанавливаются теоремы о разрешимости аппроксимаций и сходимости минимизирующих последовательностей. Рассматриваются вопросы,связанные с приближенным решением конечномерных задач.

В приложении приводятся примеры и результаты численных расчетов конкретных задач исследования и оптимизации процессов в гальванических ваннах и в алюминиевых электролизерах, иллюстрирующие применение разработанных в работе математических методов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТ!!

1. Предложены нелинейные модифицированные модели дивергентного вида взаимодействующих электрических и тепловых полей; исследованы математические вопросы корректности нелинейных моделей взаимосвязи (существование и единственность решений); ряд доказательств теорем существования носят конструктивный характер.

2. Разработаны двухступенчатые итерационные процессы приближенного решения, нелинейных граничных задач для систем уравнений в частных производных взаимосвязи электротеплопереноса; доказана сходимость этих процессов; вычислительные эксперименты, выполненные на основе предложенных итерационных процессов для расчета явления электротеплопереноса в электрохимических системах (для катодного узла алюминиевого электролизера), подтвердили высокую эффективность алгоритмов, позволили проанализировать и оценить учет в математических моделях электротеплопереноса явлений термоэлектрических эффектов.

3. Предложены новые математические модели оптимизации о распределении плотности тока на электродах и в межэлектродном пространстве в сложных электрохимических системах, учитывающие нелинейную поляризуемость электродов, многоэлектродность систем, а также новые математические модели оптимизации о распределении тока в межэлектродном пространстве, температуры среды в нелинейных моделях взаимосвязи электротеплопереноса. Исследованы вопросы математической корректности предложеных моделей оптимизации.

4. Для широкого класса задач оптимизации процессов электро и теплопереноса разработаны приближенные методы их решения, построенные в пространстве управлений и состояний исходных <<непрерывных>> задач; доказана принадлежность функционалов цели классу С1''(И) в задачах управления системами с нелинейными граничными условиями, с граничным наблюдением, с наблюдением в межэлектродном пространстве и граничным управлением, управлением в коэффициентах граничных условий и уравнения состояния; найденные выражения для градиентов функционалов и необходимые условия оптимальности могут быть положены в основу численных методов решения указанных классов задач оптимального управления; предложенные методы апробированы на задачах оптимизации распределения тока на электродах в гальванических процессах; теоретическое обоснование предложеных методов, ориентированных на решение широких классов задач оптимизации значительно увеличивает надежность работы алгоритмов оптимизации при их численной реализации на ЭВМ. Предложен новый эффективный итерационный процесс приближенного решения нелинейных граничных задач, описывающих состояния процессов электро и теплопереноса, допускающих разрыв на внутренних границах сопряжения типа неидеального контакта с итерациями на границе разрыва решения; доказана сходимость процесса итераций; предложенный метод допускает обобщение на решение указанного класса задач для общих эллиптических уравнений.

5. Разработаны конечномерные аппроксимации задач оптимального управления, основанные на разностных методах для квазилинейных эллиптических уравнений с переменными коэффициентами и нелинейными граничными условиями, а также для параболических уравнений: исследована сходимость и точность разностных аппроксимаций по состоянию и функционалу, изучена сходимость по управлению, проведена регуляризация по Тихонову. Разработаны конечно-

мерные аппроксимации задач оптимального управления, основанью на идее Ритца аппроксимации множества допустимых управлений; доказаны теоремы о разрешимости конечномерных задач оптимизаций и сходимости минимизирующих последовательностей; предложен алгоритм построения конечномерных подпространств для задач с граничным управлением и наблюдением, позволявший строить программы решения рассматриваемого класса экстремальных задач, пригодные для произвольной формы поверхности анода. При этом информация о геометрии поверхности анода и ее разбиении на куски задается как исходная информация для решения задачи оптимизации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1. Лубышев Ф.В. О сходимости дифференциально-разностного метода при решении некоторых краевых задач для многомерных нестационарных уравнений математической физики и его реализации// Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10. U5. С. 926-932.

2. Иванов В.Т., Лубышев Ф.В., Шафеев А.И. Решение некоторых прямых и обратных задач электрических полей в электролитах// Электрохимия. 1974. Т.10. N3. С. 502 (Полный текст статьи деп. в ВИНИТИ редколл. жур. АН СССР Электрохимия. 1973. W7325-73. 30 с.).

3. Иванов В.Т., Лубышев Ф.В. Математические вопросы тепловых и электрических полей в электрохимических системах// Краевые задачи математической физики и их приложения. Уфа: ВФАН СССР. 1976. С. 51-81.

4. Лубышев Ф.В. О дифференциально-разностных аппроксимациях многомерных задач оптимального управления с распределенными в пространстве параметрами//Дифференц.уравнения.1977. Т.13. М. С. 920-928.

5. Иванов В.Т., Лубышев Ф.В., Деркач A.C., Меркурьев В.Г. Методы совместных расчетов электрических и тепловых полей в электрохимических системах// В кн.: Электрические и тепловые поля в электролитах. Вопросы теории и методы расчета. М. : Наука. 1978. С. 3-31.

6. Лубышев Ф.В. Решение некоторых задач управления электрохимическими процессами// В кн.: Электрические и тепловые поля

в электролитах. Вопросы теории и методы расчета. М.: Наука. 1978. С. 32-51.

7. Лубышев Ф.В. О граничном управлении распределенной системой, описываемой эллиптическим уравнением// Тез. докл. Ш-ей Всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах. Т. III. Киев. 1979. С. 58-59.

8. Лубышев Ф.В. О граничном управлении в задачах расчета электрических полей в электролитах// Численные методы решения краевых задач математической физики. Уфа: БФАН СССР. 1979. С. 46-52.

9. Иванов В.Т., Лубышев Ф.В., Махмутов М.М. О некоторых методах решения неклассических краевых задач электрических полей в электролитах// Численные методы решения краевых задач математической физики. Уфа: БФАН СССР. 1979. С. 3-27,

10. Иванов В.Т., Лубышев Ф.В. Математические методы исследования тепловых и электрических полей в электролитах. Уфа: // Препринт БФАН СССР. 1980. 40 с.

11. Иванов В.Т., Лубышев Ф.В., Гадилова Ф.Г., Султанов У.Ш. О граничном управлении электрическими полями в электролитах. Алгоритмы и численные расчеты// Электрохимия. 1981. Т. 17. N10. С. 1583 (Полный текст статьи деп. в ВИНИТИ редк. журн. АН СССР Электрохимия. 1981. W1888-81. 25 с.)

12. Лубышев Ф.В., Иванов В.Т. О граничном управлении электрическими полями в электролитах. I. Вопросы теории// Электрохимия. 1982.Т.18.W3.С.429.(Полный текст статьи деп. в ВИНИТИ редк. журн. АН СССР Электрохимия. 1981. N4719-81. 30с.)

13. Лубышев Ф.В. О граничном управлении в многоэлектродных электрохимических системах// Некоторые вопросы вычислительной математики и теоретических основ вычислительной техники. Уфа: БФАН СССР. 1981. С. 19-31.

14. Лубышев Ф.В., Иванов В.В. Решение осесимметричных задач расчета и оптимизации электрических полей в электрохимических системах методом интегральных уравнений// Межвузовский сб.:Физико-химическая гидродинамика.Уфа:БашГУ.1983.С.28-35.

15. Иванов В.Т., Лубышев Ф.В., Глазов Н.П. Некоторые вопросы математического моделирования электрохимических процессов// Тез. докл. VI-ой Всесоюзной конференции по электрохимии. T.II. М. : Наука. 1982. С.309.

16. Лубышев Ф.В. О сходимости разностных аппроксимаций и регуляризации задач оптимального управления для эллиптических уравнений со смешанными граничными условиями// Численные методы в прикладной математике. Уфа:БФАН СССР.1985.С.21-35.

17. Лубышев Ф.В. О сходимости разностных аппроксимаций и регуляризации задач оптимального управления для эллиптических уравнений// Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1985. Т. 25. N7. С. 983-1000.

18. Lubyshev F.V. Difference approximation and regularization in optimal control problems for elliptic equations// Teub-ner Texte zur Mathematic. Leipzig.1986.Band 82.PP.106-109.

19. Лубышев Ф.В., Щербинин С.А. Математические вопросы исследования некоторых нелинейных граничных задач теплоэлектропе-реноса// Деп. в ВИНИТИ 11.05.86. W3357-B 86. 44 с.

20. Лубышев Ф.В., Торопчин В.Д., Кобяков А.И. Оптимальное управление пусковыми режимами химического реактора с кипящим слоем// Численные методы решения уравнений математической физики. Уфа БФАН СССР. 1986. С. 101-114.

21. Лубышев Ф.В. 0 точности разностных аппроксимаций и регуляризации задач оптимального управления на решениях эллиптических уравнений// Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27. N4. С. 490-500.

22. Лубышев Ф.В. О некоторых задачах оптимального управления электрическими полями в многоэлектродных электрохимических системах// Тез. докл. 1-ой Всесоюзной конференции по теоретической электротехнике. Ташкент. 1987. С. 56-57.

23. Лубыщев Ф.В. О разностных аппроксимациях и регуляризации в задачах оптимального управления// Тез. докл. Всесоюзн. симпозиума по теории приближения функций. Уфа.1987.С. 102-103.

24. Лубьшев Ф.В. Аппроксимация и регуляризация некоторых задач оптимального управления// Численные методы в прикладной математике. Уфа: БНЦ УрО АН СССР. 1988. С.. 64-72.

25. Лубышев Ф.В. О точности разностных аппроксимаций и регуляризации задач оптимального управления на решениях эллиптических уравнений с управлениями в его коэффициентах и правой части// Межвузовский сб. (СССР, Германия): Вычислительная и прикладная математика. Уфа: БашГУ. 1988. С. 14-36.

t

26. Лубышев Ф.В. О некоторых задачах оптимального управления электрическими полями в многоэлектродных электрохимических системах// Изв. вузов. Электромеханика. 1989. N7.0.115-118*

27. Лубышев Ф.В. Точность разностных аппроксимаций и регуляризация задач оптимального управления для эллиптического уравнения с управлениями в коэффициентах// Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1989. Т. 29. N9. С. 1431-1433 (Полный текст статьи деп. в ВИНИТИ редк. Шурнала вычисл. матем. и матем. физ. АН СССР. 1989. М784-В 89. 38 е.).

28. Лубышев Ф.В., Батталов Р.М. Об одной задаче оптимального управления// Численные методы решения краевых задач. Уфа: БНЦ УрО АН СССР. 1989. С. 75-89.

29. Лубышев Ф.В. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления для несамосопряженного эллиптического уравнения с переменными коэффициентами// Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31. N1. С. 17-30.

30. Лубышев Ф.В. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления коэффициентами параболических уравнений// Журнал вычисл.матем. и матем.физ. 1993.Т.33.N8.С.1166-1183.

31. Лубышев Ф.В. Разностные аппроксимации и регуляризация задач оптимального управления для параболических уравнений с управлениями в коэффициентах// Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35. N9. С. 1313-1333.

32. Лубышев Ф.В. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления для параболических уравнений с управлениями в коэффициентах// Доклады РАН. 1996. Т.349. N5. С.598-602.

33. Лубышев Ф.В. 0 некоторых задачах оптимального управления// Комплексный анализ, дифференциальные уравнения,' численные методы и приложения.Уфа:Инс-т матем. с ВЦ УНЦ РАН. С.35-46.

34. Лубышев Ф.В., Щербинин С.А. К обоснованию математических моделей взаимосвязи электрических и тепловых полей с учетом перекрестных эффектов// Вестник БашГУ. 1996. N2. С. 12-15.