автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое и компьютерное моделирование нелинейных распределенных механических систем

На правах рукописи

Жигалов Максим Викторович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Саратов 2013

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» (СГТУ имени Гагарина Ю.А.)

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель пауки и техники РФ Крысько Вадим Анатольевич

Григоренко Ярослав Михайлович

доктор технических наук, профессор, академик HAH Украины, «Институт механики имени С.П. Тимошенко HAH Украины», главный научный сотрудник отдела вычислительных методов

Немировский Юрий Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБУН «Институт теоретической и прикладной механики имени С.А. Христиановича СО РАН», главный научный сотрудник лаборатории «Физика быстропротекающих процессов»

Талонов Алексей Владимирович

доктор физико-математических наук, ФГАОУ ВГТО «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», профессор кафедры №67

ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского»

Защита состоится 3 июля 2013 года в 1330 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77, СГТУ, корпус 1, ауд. 319.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. но адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77.

Автореферат разослан « » —ц_2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

A.A. Терентьев

РОССИЙСКАЯ "ОСУ ДАРСТВЕННАЯ

ВИБЛИОТЕКА

ЯП13 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Математические модели распределенных механических структур описываются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, которые могут быть решены с помощью аналитических методов только в редких случаях. Использование численных методов сопряжено с большими трудностями из-за «проклятия размерности», высокого порядка дифференциального оператора и нелинейности. Одним из способов разрешить указанную проблему является аппроксимация исходного дифференциального оператора оператором более простого вида.

Среди методов, позволяющих решить эту проблему, можно выделить следующие: методы линеаризации исходных уравнений, методы понижения порядка дифференциального оператора и методы понижения размерности.

Методам линеаризации посвящены работы Баженова В.А., Валишвили Н.В., Вайнберга Д.В., Шалашилина В.И., Паймушина В.Н., Григолюка Э.И., Григоренко Я.М., Морозова Н.Ф., Товстика П.Е., Каюмова P.A., Карнаухова В.Г., Крысько В.А., Петрова В.В., Grüters J., Mescall J., Temple G., Thurston G.A., Weinitschke H.J. и др., в которых линеаризация исходных уравнений производится без понижения порядка дифференциального оператора.

Методы, понижающие порядок дифференциального оператора, описаны в работах Асадова Ф., Буйвола В.М., Воронко В.П., Гринберга Г.А., Крысько В.А., Демьяненко В.И., Кобелькова Г.М., Уздалева А.И., Nowacki W., Kaczkowski Z., Giangreco E., Conway H.D. и Leissa A.W., Nishihara Т. и Tanaka К. и др. Отметим, что в известной литературе приемы, понижающие порядок, не распространяются на решение нелинейных задач.

Поэтому актуальными являются создание, обоснование и численное исследование итерационного метода линеаризации и дальнейшего понижения порядка, а также доказательства сходимости итерационных процедур. Предлагаемый подход можно использовать как в статических, так и в динамических задачах для областей с прямоугольными и криволинейными границами.

Однако при использовании численных методов для криволинейных границ возникает парадокс Сапонджяна - невозможность аппроксимировать такую границу полигональными контурами. Поэтому актуальной является разработка процедур и подходов для решения данной проблемы.

з

Использование предлагаемой процедуры сведения исходного оператора к оператору Лапласа позволяет создать достаточно простые алгоритмы для методов конечных и граничных элементов при моделировании нелинейных нестационарных процессов.

Интерес к исследованию нелинейной динамики пространственно-распределенных систем, несмотря на длительную историю, не только не уменьшается, но и в последние годы возрастает, что свидетельствует о фундаментальности и актуальности этой проблемы. Исследованию нелинейной динамики в распределенных механических системах, таких как балки, пластины и оболочки, посвящены работы Немировского Ю.В., Кантора Б.Я., Пикуля В.В., Якупова Н.М., Талонова A.B., Крысько В.А., Коноплева Ю.Г., Баженова В.Г., Крысько A.B., Ерофеева В.И., Бабешко В.А., Марчук М.В., Lepik U., Awrejcewicz J., Pietraszkiewicz W., Van der Heijden, Cheng Chang-jun, Magnucki K., Wang Xin-zhi и др. Явлением синхронизации колебаний занимались Анищенко B.C., Астахов В.В., Блейхман И.И., Короновский A.A., и др. Несмотря на достигнутые успехи, остаётся достаточно много нерешенных проблем.

К ним относятся: учет влияния на нелинейную динамику различных типов математических моделей механических структур; выявление наиболее общих закономерностей перехода к хаотическим колебаниям; исследование динамических процессов механических структур с учетом различного рода нелинейностей; пространственно-временной хаос и фазовая хаотическая синхронизация.

Поэтому актуальными являются разработка математических моделей нелинейных систем и построение методов, алгоритмов и программ для исследования хаотической динамики таких систем.

Целью диссертационной работы является построение нового метода решения нелинейных, дифференциальных уравнений в частных производных, сочетающего в себе понижение порядка дифференциального оператора и его линеаризацию, создание программных комплексов на основе этого метода, а также математическое и компьютерное моделирование нелинейной динамики распределенных механических конструкций с учетом геометрической и физической нелинейности и контактного взаимодействия.

Для достижения этой цели были решены следующие задачи: • Анализ и оценка применимости известных методов линеаризации и понижения порядка нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

• Разработка теоретических положений и области применимости нового метода понижения порядка и линеаризации дифференциальных уравнений.

• Развитие итерационных вычислительных схем численного решения нелинейных многомерных уравнений статики и динамики.

• Построение на основе созданных итерационных методов и алгоритмов комплексов программ для проведения численного исследования математических моделей нелинейной динамики механических структур в виде балок, пластин и оболочек.

• Решение на основе разработанных подходов и расчетных схем ряда задач для изучения новых явлений в нелинейной динамике механических структур в виде балок, пластин и оболочек. Научная новизна положений, выносимых на защиту:

1. Предложен и обоснован новый эффективный итерационный метод линеаризации и понижения порядка нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, основанный на сведении исходного уравнения к уравнению типа Пуассона на каждом шаге итерационной процедуры. Доказана сходимость предложенных итерационных процедур.

2. На основе предложенного метода разработаны алгоритмы и комплексы программ для различных типов граничных условий и вида областей. Использование предложенного метода позволило ускорить получение численного решения, уменьшить машинную погрешность.

3. Предложена итерационная процедура сведения бигармонического уравнения к уравнению типа Пуассона для областей с криволинейной границей, позволяющая разрешить парадокс Сапонджяна. Доказана сходимость предложенной итерационной процедуры.

4. Построены алгоритмы и разработаны комплексы программ для численного исследования нелинейной динамики балок, математические модели которых построены на основе гипотез Бернулли-Эйлера, С.П. Тимошенко, Шереметьева - Пелеха. Комплексы программ имеют адаптацию к различным видам нелинейности: геометрической, физической и конструктивной. Для программ получены охранные свидетельства.

5. Разработан универсальный программный комплекс для численного исследования и графического представления результатов на основе спектра Фурье, вейвлет-спектров (с различными материнскими вейвлетами), сечения Пуанкаре, показателей Ляпунова и автокорреляционной функции, фазового и модального портретов. Для программ получены охранные свидетельства.

7. Получены как классические, так и модифицированные сценарии перехода гармонических колебаний в хаотические для трех типов математических моделей балок и пластин. Проведены анализ и обобщение сценариев.

8. С помощью вейвлет-анализа впервые изучено явление потери устойчивости балок и пластин при действии поперечной знакопеременной нагрузки, а также замкнутых цилиндрических оболочек при действии радиальной знакопеременной и полосовой знакопеременной нагрузки.

9. На основании эвристического анализа спектра мощности, показателей Ляпунова, автокорреляционной функции построены 56 карт режимов колебаний балок для трех математических моделей, различных типов граничных условий, материалов балки и типов нагрузки, что позволило создать схему диагностики режимов колебаний. Исследовано влияние относительной толщины балки Л = a/h на результаты решения задач статики и динамики.

10. Исследовано динамическое поведение многослойных балок на основе гипотез Бернулли - Эйлера, С.П. Тимошенко, Шереметьева - Пелеха, а также пакетов балок, соединенных между собой только через краевые условия, с учетом трех типов нелинейности. Получены новые эффекты:

а) эффект фазовой хаотической синхронизации как для упругого материала, так и для физически нелинейного материала балок;

б) явление «расслоения» пакета, когда колебания одной из балок после бифуркации происходят вокруг нового положения равновесия;

в) явление «полной синхронизации», т.е. фазовой синхронизации и синхронизации сигналов.

Методы исследования

Используются общая методология математического моделирования, математический аппарат начально-краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений математической физики, методы нелинейной динамики. Для создания программных комплексов на основе разработанных алгоритмов были использованы системы программирования С++ и FORTRAN.

Теоретическая и практическая значимость

Разработанный метод решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных может быть применен при компьютерном анализе широкого класса математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных.

Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы для анализа пространственно-временной динамики и частотных характеристик механических распределенных структур в проектной и расчетной практике конструкторских и научно-исследовательских организаций строительного, авиа-, судо- и машиностроительного профилей и приборостроения.

Полученные в диссертации результаты используются в учебном процессе при чтении курсов: «Методы линеаризации, понижения порядка и размерности», «Математические методы в нелинейной динамике», «Математическое моделирование динамических систем», «Проблемы хаоса и нелинейности. Синхронизация колебаний» для специальности «Прикладная математика и информатика», а также для других специальностей Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. С использованием полученных результатов издано учебное пособие «Математические модели и методы исследований сложных колебаний неклассических распределенных механических систем».

Методы и программы были внедрены и использованы для проектирования некоторых систем дугогасительных камер в ОАО «Контакт».

Работа выполнялась в рамках госбюджетной темы кафедры «Математика и моделирование» - «Математическое моделирование нелинейных колебаний распределенных систем». Исследования проводились при финансовой поддержке Грантов Министерства образования РФ в рамках целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы на 2009-2011 годы», Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №10-08-91153, №10-08-91332, № 12-08-00569), федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы, финансируемых за счет средств федерального бюджета, выделяемых по направлению расходов «НИОКР», мероприятию 1.2.1 «Проведение научных исследований научными группами под руководством докторов наук» (контракт № П321).

Достоверность результатов, представленных в диссертационной работе, обеспечивается корректностью применения математического аппарата, доказательством теорем сходимости решения по предложенным методам и алгоритмам, непротиворечивостью фундаментальным положениям методологии анализа нелинейной динамики распределенных механических систем, сравнением с признанными зарубежными и

отечественными аналогами в области анализа, практическим использованием материалов диссертации и разработанных программных комплексов. Все основные результаты, представленные в диссертации, опубликованы в ведущих российских (из списка ВАК РФ) и зарубежных журналах и прошли рецензирование.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 11 международных и 22 всероссийских съездах, конференциях, симпозиумах: 9, 10, 11 Conference on Dynamical Systems: Analytical, Numerical Methods, Stability, Bifurcation and Chaos (Lodz, Poland 2007, 2009, 2011); IV Международной конференции в механике неоднородных структур.-(Тернополь, Украина, 1995); 1-й Международной научно-практической конференции «Дифференциальные уравнения и применения» (Санкт-Петербург, 1996); XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов, 1997); 8, 9, 11, 12 межвузовских и 1, 2, 3, 4, 7 всероссийских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1998 - 2011); VIII, IX, X Всероссийских съездах по теоретической и прикладной механике (2001, 2006, 2011); Международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ - 2007» (Санкт-Петербург, 2007); Международном семинаре «Актуальные проблемы нелинейной механики оболочек» (Казань, 2008); International Conference «Chaotic modeling and Simulation»-CHAOS 2009 (Technical University of Creet, Chania, Greece, 2009); 9,h SSTA Conference «Shell Structures: Theory and Applications» (Gdañsk-Jurata, Poland, 2009); 2 Международной конференции «Проблемы нелинейной динамики деформируемого твердого тела» (Казань, 2009); VIII Международной научной конференции «Математические проблемы механики неоднородных структур» (Украина, Львов, 2010).

В законченном виде диссертация докладывалась на научных семинарах кафедры «Математика и моделирование» ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А. Крысько (Саратов, 2012); на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м. п., профессора В.Б. Байбурина (Саратов, 2012).

Публикации

Результаты диссертационного исследования опубликованы в 45 печатных работах, из них 1 глава в монографии в издательстве Springer, 20 статей в ведущих иностранных журналах и входящих в «Перечень ведущих рецензируемых журналов ВАК РФ», 10 авторских свидетельств о государственной регистрации программы для ЭВМ, а также 1 учебное пособие.

Личный вклад

Все основные результаты, на которых базируется диссертация, получены лично автором. Во всех совместных исследованиях автор принимал участие в выборе направления исследования и формулировки задач. Автору диссертации принадлежит ведущая роль в реализации численных методов и алгоритмов, проведении численных экспериментов и трактовке полученных результатов.

На защиту выносятся следующие основные результаты н положения:

1. Обоснован теоретически и реализован в виде комплекса программ метод линеаризации и понижения порядка нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для различных типов граничных условий и вида областей, позволяющий ускорить получение решения, уменьшить вычислительную ошибку, решить парадокс Сапонджяна и упростить использование методов конечных и граничных элементов для сложных нелинейных задач.

2. Доказательство сходимости предложенных итерационных процедур.

3. Алгоритмы и комплекс программ для решения задач нелинейной динамики математических моделей балок на основе гипотез Бернулли, С.П. Тимошенко, Пелеха - Шереметьева с учетом трех типов нелинейности (геометрической, физической и конструктивной), а также алгоритмы и комплексы программ для анализа результатов на основе спектра Фурье, вейвлет-спектра, автокорреляционной функции, фазового и модального портретов.

4. Для различных математических моделей однослойных и многослойных балок впервые получен эффект динамической потери устойчивости при действии поперечной знакопеременной нагрузки. Для многослойных пакетов, связанных через краевые условия, это явление характеризуется «расслоением», т.е. балки перестают воздействовать друг на друга.

5. Построенные и проанализированные 56 карт характеров колебаний для трех математических моделей, ряда граничных условий, типов

материала и видов нагрузки дают возможность построить схему диагностики режимов колебаний с возможностью предсказания последствий работы балочных структур. Для построения одной карты решено 9 -104 задач и проведено исследование полученных данных с помощью методов нелинейной динамики.

6. Проведенный анализ сценариев перехода к хаотическим колебаниям для трех математических моделей балок позволил найти наиболее общий сценарий, заключающийся в формировании вокруг независимой частоты (или частоты бифуркации удвоения) парных частот, приводящих к зашумлению спектра и появлению хаотических колебаний.

7. Исследование фазовой хаотической синхронизации показали, что зоны синхронизации увеличиваются при смене граничных условий для одной из балок.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы из 155 наименований. Общий объем диссертации 335 страниц машинописного текста, включающего 126 рисунков, 17 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Бо Введении приведен краткий обзор работ по методам линеаризации и понижения порядка нелинейных дифференциальных уравнений, а также нелинейной динамике распределенных систем. Сформулированы цель и задачи исследования, положения, выносимые на защиту, а также кратко изложено содержание диссертационной работы.

В первой главе предложен и обоснован метод линеаризации и понижения порядка нелинейных дифференциальных уравнений.

В § 1.1 построена процедура метода линеаризации применительно к системе нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных восьмого порядка, описывающих математическую модель пластинки, построенную на основе гипотез Кирхгофа - Лява. Уравнения приведены для функций прогиба w и усилий F ':

кА2 w - L(w, F)-q + ew+w = О, A2 F + (\/2)L(w,w)= 0. (1)

Здесь Д2,Цу) - бигармонический и известный нелинейный операторы соответственно. Граничные и начальные условия могут быть произвольными.

1 Вольмир А С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.

10

Итерационная процедура линеаризации системы дифференциальных уравнений имеет вид

МеП (2)

На первом шаге итерационной процедуры решается бигармоническое уравнение для заданной нагрузки д(дс,у)\ кА2ы°'(х,у) = ч(х,у). Полученное

значение тл>(п(х,у) подставляется в правую часть второго уравнения системы (2), в результате получаем бигармоническое уравнение для Рт(х,у) с известной правой частью. Найденное значение функции усилий подставляется в первое уравнение системы, формирование правой части. Процесс решения продолжается до достижения заданной точности.

Доказаны 3 теоремы, обосновывающие сходимость процедуры (2). Теоремы 1 и 2 показывают, что решение задачи (2) эквивалентно решению

задачи минимизации функционала ■^||Ди,)|2п + _ (?>и').

при ограничениях {уу, Построим итерационный процесс

минимизации J(w,F) на М по следующей схеме: а) элемент и^ еЯ02(О) выбирается произвольно; б) после вычисления н>п определяем последовательно Ри е Я02 (о) и и^, е Я02 (о) из решений следующих задач: /?(и-„,Г„,//) = 0, (Дн<я+1, Д//) = (Ди',,, Д//) -рп(ф( и>„,в) коэффициент Рп выбирается из условия: ,)-,,РЛ)<,), -

О < е < 1 где £ - параметр метода. Сходимость итерационного процесса доказана в теореме 3. Здесь к(Ач>,Ар)~ (¿(и\F\fj)-

В § 1.2 рассмотрен метод понижения порядка для бигармонического уравнения:

= (3)

Граничные условия могут быть двух типов: 1) заданы функция и вторая производная на границе

™(Х-Ук,уеГ = 0< д1^Х'У^дП\у,Г = 02) заданы функция и первая производная на границе

^Х>У)/д"1,уеГ=0- (5)

Условие (4) позволяет ввести функцию М(х,у) в виде М(х,у) = Аы(х,у).2 Тогда уравнение (3) можно записать в виде системы уравнений

' Бублик Б.Н. Численное решение задач пластин II оболочек. Киев: Иэд-во Киев, ун-та,1969.

11

Г Ш(х, у) = д( х, у), Мх, у) I г;,бГ = о,

\&w(x,y) = M(x,y), 'ГР-ичными условиями Щх>у)1^г=0_ «»)

Граничное условие (5) осложняет операцию понижения порядка путем введения новой функции, в связи с этим для этого граничного условия построена процедура с использованием представления решения в ряд по малому параметру, предложенному в работе A.A. Дородницына3. Получаем итерационную процедуру решения исходной задачи: АЛf0=g

Aw0 = М0 АМк =0

Awk = Мк ' w*lr=°'M*Ur:

дп *

Л/0|г=0, н»0|г = 0,

(7)

, к = 1,2...

х.уеГ

Таким образом, построены итерационные процедуры сведения бигармонического уравнения к системе уравнений типа Пуассона для различных граничных условий.

В § 1.3 на основе процедур, предложенных в § 1.1, 1.2, построены итерационные процедуры понижения порядка и линеаризации для нелинейных дифференциальных уравнений моделей пластин на основе гипотез Кирхгофа, С.П. Тимошенко4 и Шереметьева - Пелеха5. Процедура заключается в сведении исходной задачи к решению уравнения типа Пуассона на каждом шаге. Сходимость итерационных процедур обоснована в теоремах, доказанных в § 1.1. Итерационная процедура для уравнений Кармана (модель Кирхгофа) имеет вид

[ДМ/' =Ци/*>У*>), =М/\ МеО. где М„(х,у) = Аю(х,у), МР(х,у) = АР(х,у). Граничные условия для функции и второй производной (4) преобразуются к виду (6). В случае граничных условий вида (5) используется итерационная процедура (7).

Для моделей С.П. Тимошенко и Шереметьева - Пелеха имеем

1 Дородницын А.А. Асимптотическое решение уравнения Ван-дер-Поля // ПММ. Т. XI/ 1947.

4 Timoshenko S.P. On Ihe correction for shear of differential equation for transverse vibration of prismatic bar // Philosophical Magazine. 1921. 41. № 6. P. 744-746.

5 Шереметьев М П., Пелех Б.Л. К построению уточненной теории пластин // Инженерный журнал. 1964. Т.4. Вып. 3. С. 34-41.

■ АШ(к) =-(1/2)Ц™(к\п(к)У,АГ(к)=МГ(к)-, (Ю)

Итерационные процедуры (8)-(10) имеют преимущества по сравнению с итерационной процедурой (2), т.к. на каждом шаге решается уравнение второго порядка вместо уравнения четвертого порядка. Таким образом, происходит понижение порядка в 4, 5 и 6 раз соответственно. В связи с тем, что уравнения, входящие в систему, решаются на основе численных методов (метод конечных разностей - МКР, метод вариационных итераций - МВИ, метод конечных элементов - МКЭ и др.), а аппроксимация бигармонического оператора в этих методах накладывает более высокие требования на аппроксимирующие функции, чем для гармонического оператора, при использовании процедур (8)-(10) можно сократить трудоемкость решения за счет более простых аппроксимирующих функций.

В § 1.4 дано общее описание метода понижения порядка и линеаризации для нелинейных уравнений, содержащих бигармонический или гармонический операторы. Рассмотрим систему квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных порядка (2и).

, д2"[й] А д1п[й] А д2"[й] Г д2-к[й] ) _

А—Н + л,—Н + л3—Н + ^ А—г—г^Чг =£, (п)

1 2 дх\" 3 дх]" [ ' дх^дх^дх^) и и

где к]+к2+к3 = 2п - к, к = 0, 2и , Г - функционал, содержащий функции и их производные, /4М(/= 1,2,...) - постоянные коэффициенты, имеющие некоторый физический или геометрический смысл. Выделяя из функционала F производные для формирования оператора Лапласа Д" (•) и проводя процедуры линеаризации и понижения порядка п раз, приходим к системе п уравнений типа Пуассона, для решения которой предложена следующая итерационная процедура:

Преобразование граничных условий проводится по предложенным процедурам (6) и (7).

Приведены различные варианты итерационных процедур.

В § 1.5 рассмотрены численные результаты по предложенным итерационным процедурам, полученные с помощью методов вариационных итераций (МВИ)6, конечных разностей, конечных элементов для различных математических моделей. Ниже приведены результаты для системы Кармана.

Рис.1. Результаты по итерационной Рис. 2. Результаты по итерационной

процедуре(2) процедуре(10)

На рис. 1 приведены полученные автором результаты по итерационной процедуре (2) для двух типов граничных условий полученных методами вариационных итераций (линии 1, 2), методом конечных элементов (линии 3, 4), методом конечных разностей - кружок, а также экспериментальные результаты, полученные в работе Ramberg W at all7 - звездочка.

На рис. 2 приведены полученные автором результаты по итерационной процедуре (8) для одного типа граничных условий, полученных по методу вариационных итераций (линия 3 - процедура (8), линия 2 - процедура (2)), методу конечных разностей (линия 1). Результаты достаточно близки, однако при использовании процедуры (8) сетка для

4 Кириченко В.Ф., Крысько В.А. Метод вариационных итераций в теории пластин и его обоснование // Прикладная механика. 1981. Т. 17. № 4. С.71-76.

7 Ramberg W„ Pherson А.Е., Levy S. Normal pressrre tests of rectangular plates // NACAT. 1942. № 849.

14

МКР может быть более «грубой», а количество элементов для МКЭ меньше.

Рассмотрены численные алгоритмы для ускорения сходимости итерационной процедуры: на основании подхода, предложенного В.А Крысько и В.В. Бочкаревым8, метода невязок, описанного в статьях Аграновского, Баглая и Смирнова9. По методу невязок после решения систем уравнений (2) значения w(x,_y), F(x,y) использовались при

формировании невязки qx(x,y)\qt{х,у) = q(x,>>)-Д2w(x,у) + l(w(х,у),F(x,у)), которая играет роль нагрузки для следующего шага итерационной процедуры метода невязок, которая заканчивается при достижении наперед заданной точности.

Вторая глава посвящена применению созданного программного комплекса на основе методов конечных разностей, конечных и граничных элементов при исследовании математических моделей, с разрешающими уравнениями Пуассона и Жермен - Лагранжа. Для последнего использовался прием понижения порядка для двух типов граничных условий.

Для случая прямоугольной границы данная процедура не представляет особых трудностей. Если же область имеет криволинейную границу, то при попытке применить метод конечных или граничных элементов для расчета свободно опертых пластин с криволинейным контуром возникает так называемый парадокс О.М. Сапонджяна10 -невозможность получить решение для пластинки с криволинейным контуром как предел решения для пластинок с полигональными контурами, аппроксимирующими криволинейный контур.

В § 2.1 для этого случая построена итерационная процедура, сходимость которой обоснована в трех теоремах. В первых двух теоремах установлена связь между решением задачи о минимуме функционала

= -j\i//\2dQ-jg^dfl-^-jz\a\2ds и задачи (5)-(6). Далее ^п п 2 г

показывается, что решение задачи может быть сведено к решению

последовательности задач Дирихле для оператора Лапласа. Основная идея

состоит теперь в применении итерационного градиентного метода к задаче

минимизации. В теореме 3 обосновывается выбор параметра итерационного

процесса. Результаты доказательства описанной процедуры могут быть

* Бочкарев В.В. Квазионтимальное проектирование гибких прямоугольных пластин с учетом геометрической и физической нелинейности: дис... канд. техн. наук. Саратов, 1983.

9 Баглай Р.Д., Смирнов К.К. К обработке двумерных сншалов на ЭВМ //ЖВМиМФ.1974. №1. С. 241-248.

10 Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. С. 226.

15

распространены на другие типы уравнений, включая и нелинейные, содержащие бигармонический оператор.

В § 2.2 рассмотрены температурные задачи для двухсвязных областей неканонической формы. Численные решения получены методами конечных и граничных элементов и сопоставлены с аналитическим методом -методом возмущений (МВ)". Следует отметить, что на внутреннем контуре значение температуры в обоих случаях одинаково. На внешнем контуре разница между результатами составляет около 1%. Однако в силу специфики МВ дает на границе менее точное значение по сравнению с МГЭ. Метод конечных элементов дает более близкие значения к методу граничных элементов, чем к методу возмущений.

В § 2.3 с помощью программного комплекса методами МКР, МКЭ, МГЭ решены задачи кручения для стержней с разнообразной формой поперечного сечения. Проведено сравнение с точным решением для одного вида поперечного сечения.

В § 2.4 дано сравнение аналитического решения уравнения Жермен -Лагранжа с численным решением МКР, МКЭ, МГЭ. При использовании процедуры понижения порядка для бигармонического уравнения количество конечных и граничных элементов можно сократить в два раза без потери точности. Это позволяет увеличить скорость получения результата, уменьшить погрешности машинного счета, что является особенно актуальным при решении сложных нелинейных задач для областей со сложной границей, особенно для динамических задач.

Численные алгоритмы, предложенные в 1 и 2 главах, использованы в последующем для изучения систем нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих математические модели балок, пластин и оболочек. Алгоритмы и программные комплексы методов МКР, МКЭ и МГЭ использовались при исследовании колебаний пластин с криволинейной границей.

Третья и четвертая главы посвящены математическому и компьютерному моделированию нелинейной динамики однослойных балок. Рассмотрены математические модели: первого приближения - Бернулли -Эйлера, второго приближения - С.П. Тимошенко и третьего приближения -Шереметьева - Пелеха.

В §3.1 построена математическая модель на основе гипотезы Бернулли - Эйлера, где предполагается, что нормаль, перпендикулярная к

" Уздалев А.И. Температурные напряжения в пластинках, ограниченных двухсвязным контуром. Саратов: Иад-воСГУ, 1975.

срединной линии до деформации, остается перпендикулярной к ней в процессе деформирования балки, но поворачивается на угол по отношению к недеформированному состоянию. Связь между деформациями и перемещениями для этой и других моделей принята в форме Т. Кармана. Рассматривается упругая балка, т.е. зависимость между деформациями и напряжениями линейна. На основании вариационного принципа получаем уравнения движения с учетом диссипации энергии, уравнения записаны в безразмерном виде:

и" + 0.5 • ¿,(м',и>)- Я = 0, где = + \ч"и', = , е - коэффициент

диссипации; Я = а/(2И)\ ц = ц(х,1) = д0 зт(<2> г) - поперечная нагрузка,

точка обозначает производную по переменной с, штрих обозначает производную по х. Рассмотрены три типа граничных условий — для функции и первой производной, для второй производной и смешанные. Исследование проводилось для трех типов внешней нагрузки: постоянная; переменная во времени, распределенная по всей длине балки; переменная во времени и распределенная на некоторых отрезках балки.

В § 3.2 проведена проверка достоверности получаемых результатов. Для этого были использованы разные по самой сути методы: прямой -метод конечных разностей и вариационный - метод конечных элементов. Сопоставление проводилось для различных режимов колебаний.

С помощью программного комплекса, реализующего метод установления, проведено исследование влияния вида граничных условий для статических и динамических задач и для разных типов нагрузки на поведение системы. Шаг по времени Д/= 3.9052 • 10~3 и количество разбиений для пространственной координаты п = 40, с = 1/40 определялись из условия устойчивости расчетной схемы на основании принципа Рунге. Результаты решения динамической задачи (Л =50, £,=1, <7 = вшСв^/),

сор = 6.9) показывают наличие резкого скачка значений прогиба при малом

изменении нагрузки, т.е. происходит жесткая потеря устойчивости при действии поперечной знакопеременной нагрузки. Однако для симметричных граничных условий он гораздо меньше, чем для смешанных граничных условий. При исследовании влияния типов нагрузки: нагрузка, заданная по всей длине балки; нагрузка, распределенная на 4 отрезках разбиения балки, симметрично расположенных относительно середины;

17

нагрузка, распределенная на 4 отрезках разбиения балки, расположенных слева от центра балки (8-12 отрезки) выявлено, что при симметричном относительно центра балки нагружении чем больше область приложения нагрузки, тем быстрее растет прогиб с ростом значения нагрузки. Наибольшее влияние несимметричный тип нагружения оказывает для симметричных граничных условий.

В диссертационной работе исследованы сценарии перехода от гармонических к хаотическим колебаниям для различных типов граничных условий и типов нагрузки. Получены как известные сценарии Фейгенбаума, Рюэлля - Такенса - Ньюхауза, модифицированный сценарий Фейгенбаума (МФ), а также две различные модификации комбинированных сценариев МФ+перемежаемость. Однако следует отметить, что наиболее часто встречается сценарий, по которому по мере увеличения нагрузки появляются одна или две независимые частоты, вокруг которых впоследствии возникают парные частоты.

Вычислена константа Фейгенбаума (теоретическое значение -4,66906..) с помощью удвоения периода для прогиба (4,6461) на четвертой бифуркации и для перемещения (4,6626) на пятой бифуркации.

Созданы алгоритмы и программный комплекс для построения карт режимов колебаний, в зависимости от управляющих параметров \сор, ) -

частоты возбуждения и амплитуды внешней нагрузки соответственно, основанные на оригинальном алгоритме анализа спектра Фурье, Ляпуновских показателей и др. Было построено 18 карт для двух материалов, для трех типов граничных условий и трех значений Л: 30, 50 и 100. Построение карт для различных типов нагрузки позволило создать схему диагностики режимов колебаний с возможностью предсказания последствий работы балочных структур. Отмечено, что при увеличении параметра Л зоны хаотических колебаний уменьшаются. Результаты для граничного условия с первой производной (заделка обоих концов) приведены в табл. 1.

Карты характеров колебаний для несимметричных граничных условий существенно отличаются от симметричных при всех значениях Л. Наибольшие зоны хаотических колебаний имеются для граничных условий шарнир-шарнир. Построены карты характеров колебаний для разных случаев расположения кусочно-неоднородной нагрузки. Тип нагрузки существенно влияет на характер колебаний. Отметим, что для симметричных нагрузок зоны гармонических колебаний существенно больше. Несимметричная нагрузка существенно осложняет картину колебаний.

18

Построены карты для одного типа граничных условий при использовании для решения системы (13) метода Бубнова — Галеркина в одночленном приближении. Отмечено практически полное отсутствие зон хаоса и наличие большой зоны гармонических колебаний на высоких частотах в отличие от использования МКР. Проведено исследование алгоритмов и программ для получения старшего показателя Ляпунова. Для получения численного значения старшего показателя Ляпунова выбран алгоритм, предложенный в статье A. Wolf et all12. Проведено тестирование созданной программы по этому алгоритму для различных нагрузок.

В § 3.3 приведено исследование математической модели нелинейной динамики балок Бернулли - Эйлера с помощью вейвлет-преобразования. Созданы алгоритм и программа построения вей влет-спектров и их временных срезов. Временные срезы вейвлет-поверхности позволяют проследить перераспределение энергии спектра. Создан алгоритм подсчета суммарной энергии по значениям вейвлет-коэффициентов. Проведено исследование влияния материнского вейвлета на информативность частотного спектра. Лучшую локализацию частот во времени дает вейвлет Морле.

Проведено исследование колебаний, в частности при исследовании сценариев перехода к хаотическим колебаниям, с помощью вейвлет-анализа, на основании которого выявлены качественные изменения спектра частот с течением времени (табл. 2). Спектр Фурье указывает на наличие частот, но не дает информацию об изменении частотного спектра во времени. На графиках 2D и 3D вейвлет-спектра видно, что частота и>х - 2.51 появляется начиная с / = 800, а со2 = 3.75 - при / = 1800. Временной срез (6) показывает, что с течением времени происходит качественная перестройка частотного спектра.

1! Determining Lyapunov Exponents from a Time Series / A. Wolf, J. B. Swift, H. L. Swinney, J. A. Vastano // Physica D. 1985. Vol. 16. P. 285-317.

йсЗ ■2

а>

2 6 Ю 1) Спектр Фурье

4) 20 вейвлет-спектр

0.1 о 0.1

!) Сигнал

0.1} *

5) ЗБ вейвлет-спектр

3) Фазовый портрет

6) Временной срез

Четвертая глава посвящена исследованию нелинейной динамики математических моделей на основе гипотез С.П. Тимошенко и Шереметьева - Пелеха.

Для модели С.П. Тимошенко вводится предположение о том, что нормаль не остается перпендикулярной относительно срединной линии и поворачивается на угол, равный ух, оставаясь прямолинейной. Математическая модель Шереметьева - Пелеха учитывает поворот нормали и ее искривление. Как и в §3.1, рассматриваются геометрически нелинейные балки.

С учетом введенных гипотез на основании вариационного принципа

из § 3.1 получаем уравнение движения, а также соответствующие

граничные условия. Модель С.П. Тимошенко описывается системой

дифференциальных уравнений 6 порядка гиперболического типа:

Ок2{ы" + у'х)+ Л'2 {Ц (ы,и) + ¿2 (ы,ч>)} + - и> - £•, и> = О,

,/ ч (14)

и" + 0.5 • 1,0,и>)-м=0, у" - \Юк Л2(и/ + ух)~ух = О,

здесь операторы ¿,(н>,и), имеют вид, аналогичный уравнениям

Бернулли - Эйлера. При рассмотрении модели Пелеха - Шереметьева

система нелинейных дифференциальных уравнений имеет 8 порядок:

- ¿3и/'")+ йк2 (уу" + у'х)+Л~2{Ц^,и) + 12(*,*0}+

+ <7-= ^

и" + 0.5 • 1|(Н>,Н') - и = 0, </4 у" + уГ -\Юк2 Д2(и>' + ух)-ух = О, где </, = 1/63, = 4/5, ¿з = 1/4, е14 = 136/315, </5 = 32/315.

В §4.2 приведен анализ зависимостей {сор,д0) для трех типов граничных условий и трех значений относительной толщины Л: 30,50 и 100. Анализ показал, что учет поворота нормали (сопоставление моделей Бернулли - Эйлера и С.П. Тимошенко, Бернулли - Эйлера и Шереметьева -Пелеха) приводит к существенному изменению режимов колебаний на карте {а>р,д0\, в то же время при учете искривления нормали (сопоставление моделей С.П. Тимошенко и Шереметьева - Пелеха) изменения видны только на высоких частотах (сор > 6.5) (табл. 3).

Сравнение карт колебаний, полученных для различных материалов (сталь и графитопластик), показало, что режимы колебаний моделей С.П. Тимошенко и Шереметьева - Пелеха имеют различия на всем диапазоне частот. Проведено исследование влияния параметра Л = а/И на характер колебаний, отмечено, что при его увеличении результаты, полученные по трем моделям, сближаются, особенно для задач статики (результаты получены методом установления). При этом для балок Л = 40,60 получен эффект жесткой потери устойчивости, сопровождающийся резким изменением прогиба >у(

Таблица 3

а) модель Бернулли - б) модель С.П. Тимошенко в) модель Шереметьева -Эйлера Пелеха

Были построены сценарии перехода от гармонических колебаний к хаотическим для трех типов граничных условий. Полученные сценарии являются модифицированными сценариями Фейгенбаума, Рюэлля -Такенса - Ньюхауза. Основным сценарием для моделей С.П. Тимошенко, и Пелеха - Шереметьева является следующий: появление одной либо двух независимых частот, около которой (которых) в дальнейшем возникает серия парных зависимых частот, приводящая к возникновению «пьедестала» и переходу к хаотическим колебаниям.

В § 4.3 для исследования частотных характеристик математических моделей С.П. Тимошенко и Шереметьева - Пелеха используется вейвлет-преобразование. Вейвлет Морле позволил выявить изменение спектра частот с течением времени, окна периодичности в хаотическом сигнале и др. Приведенные на рис. 3 характеристики колебаний моделей Шереметьева -Пелеха (модель 1), С.П. Тимошенко (модель 2) показывают, что учет

искривления нормали в нЩ; I) *<0.5,0 до модели Шереметьева -

1НЦнК| 1 Пелеха и в связи с этим

'^■■мшввн [В появление в уравнениях системы

^^Г^ШШ характеризующих моменты

_____Ц___' '■ _' • высших порядков,

^ Ш IСы.иа | п!01,1) Ш ЮОИ

1 . л показателя Ляпунова

; А \ о}\

позволяет проследить его изменения во времени. Сопоставление вейвлет-спектра и графика старшего

Сямрчшк ппкаштмь.Чшпгшт Л< тт

1 показателя Ляпунова

Рис. 3. показывает, что при

Модель1 Модель 2 появлении новой частоты

происходит резкий рост показателя, а при установившимся частотном режиме показатель Ляпунова плавно стремится к нулю.

При исследовании пространственно-временного сигнала для некоторых зон сигнала, в которых старший показатель Ляпунова положителен (IV, V для модели Шереметьева - Пелеха и II для модели Тимошенко), получено явление пространственно-временного хаоса (табл. 4). Следует отметить, что для модели Шереметьева - Пелеха картина пространственно-временного хаоса более разнообразна вследствие учета в математической модели таких факторов как изгиб нормали.

а

а) модель Шереметьева -Пелеха (IV)

б) модель Шереметьева -Пелеха (V)

Пятая глава посвящена построению математических моделей многослойных балок и решению контактных задач.

В § 5.1, 5.2 построены математические модели и приведены результаты компьютерных исследований математических моделей многослойных балок моделей Бернулли - Эйлера и С.П. Тимошенко на основе гипотез для всего пакета в целом с учетом нелинейной связи деформаций и перемещений в форме Т. Кармана. Рассмотрены трехслойные балки: стеклопластик - алюминий - стеклопластик, медь - сталь - медь, стеклопластик - сталь - стеклопластик.

Проведено исследование динамических характеристик в зависимости от толщины слоев. Для различных соотношений толщин слоев построены карты характеров колебаний. Для многослойных балок характер колебаний существенно зависит от малых изменений частоты. Некоторым частотам соответствует хаотическое состояние системы во всем диапазоне амплитуды внешней нагрузки. Таким образом, малейшее изменение значения частоты колебаний может привести к потере устойчивости системы. Если рассматривать однослойную балку, то для частот сор >5,5

изменение амплитуды не приводит к смене характера колебаний, а значит, система более устойчива к изменению частоты внешней нагрузки. Исследования проводились с помощью вейвлета Морле и показателя Ляпунова. Построены сценарии перехода в хаос.

В § 5.3 построены математические модели контактных задач балок Бернулли - Эйлера, С.П. Тимошенко и Шереметьева - Пелеха. Для учета контактного взаимодействия используется связь между обжатием и контактным давлением в виде13: дк/ =(-1)'АГ(уу, -¿¡-М})!//, (/ = 1,2), здесь К-коэффициент, определяющий пропорциональность между контактным

11 Кантор Б.Я. Контактные задачи нелинейной теории оболочек вращения. Киев: Наук. Думка, 1990.

23

давлением и обжатием, функция ц/ учитывает размер зоны контакта и вычисляется по правилу 4/ = 0.5{1 + - 5 - и^]}. Наличие множителя

у/ в уравнениях приводит к новому типу нелинейности - конструктивной, т.е. в процессе деформации во времени меняется расчетная схема задачи. Предполагаем, что зависимость Е, =£,(.*,г,£-0,е,) задана в начальный момент времени. Для определения этой зависимости используется теория малых упругопластических деформаций Генки14. Для учета нелинейного деформирования используется метод переменных параметров упругости15.

В § 5.4 рассмотрены сложные колебания физически,

геометрически и конструктивно нелинейных балок. Исследования проводились для пакетов, состоящих из двух и трех балок. Рассматривались разные величины зазоров между балками.

Отмечено, что для геометрически нелинейных балок при смене граничных условий «заделка - свободный край», «шарнир - шарнир» и «заделка -заделка» области синхронизации увеличиваются - она происходит на всем диапазоне частот в отличие от двух других, где она имеет место в основном на «низком» диапазоне. Для физически нелинейных балок области синхронизации уменьшаются для всех граничных условий. В задачах с учетом физической нелинейности материала получен ряд интересных явлений: при определенных значениях управляющих параметров происходит динамическая потеря устойчивости одной из балок, в результате которой колебания происходят вокруг положения равновесия и при отсутствии соприкосновения со второй балкой (рис. 4). Кроме этого, получено явление полной синхронизации, т.е. фазовой синхронизации и синхронизации сигналов балок.

Для пакета из двух геометрически нелинейных балок получен

14 Ильюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории пластичности. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

15 Биргер И.А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности // Прикладная математика и механика 1951. Т. 15. Вып. 6. С. 765-770.

W_a01_20.75_0utput1_ w_Q01_20 75_Outpul2_

Графики прогиба 1 балка 2 балка

ао1. 20 75_01Л&(Л1„.то|1_20"М1» Q01 30 75 Ou1P(jt2_mort_2l>*avelel вн

20 40 60 80 100

20 40 вО во 100

2D вейвлет Морле 1 балка 2 балка

Рис. 4

модифицированный сценарий Фейгенбаума перехода из гармонических колебаний в хаотические.

Шестая глава посвящена исследованию нелинейной динамики пластин и оболочек.

В §6.1 приведены математические модели пластин и оболочек, основанные на гипотезе Бернулли - Эйлера. Разрешающие уравнения получены как в перемещениях, так и в смешанной форме - для прогиба и функции усилий.

В § 6.2 рассмотрено применение вейвлет-анализа к исследованию замкнутых цилиндрических оболочек. Для решения применяется метод Бубнова - Галеркина в высших приближениях. Исследовалась динамическая потеря устойчивости замкнутых цилиндрических оболочек при действии радиальной знакопеременной нагрузки и при действии полосовой знакопеременной нагрузки. Применение вейвлет-анализа и анализа старшего показателя Ляпунова позволило исследовать это явление с позиций нелинейной динамики. После потери устойчивости фазовый портрет представляет собой странный аттрактор, вейв лет-анализ показывает неоднородность спектра во времени, что не наблюдалось до этого.

В § 6.3 рассмотрен анализ нелинейной динамики пластины произвольного очертания. Решение по пространственной координате проводится методом конечных элементов, по времени - методом Рунге -Кутга 4 порядка. Методом установления проведено исследование решения статических задач для различных типов нагрузки: равномерно распределенной и локальной. Приведены линии равных прогибов для различных типов нагрузки.

Для пластинки под действием знакопеременной нагрузки вида ц(х,у,1) = ца%т{а>р1), ар=6.9 построен сценарий перехода от

гармонических колебаний к хаотическим.

В заключении приводятся основные результаты диссертации.

1. Предложен метод линеаризации и понижения порядка нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Доказаны теоремы сходимости. На основе предложенного метода создан комплекс программ с использованием методов вариационных итераций, конечных разностей, конечных и граничных элементов, для разных типов граничных условий и видов областей.

2. Созданы алгоритмы и комплексы программ для исследования балок математических моделей на основе гипотез Бернулли, С.П. Тимошенко,

Пелеха - Шереметьева, в которых учитываются три типа нелинейности (геометрическая, физическая и конструктивная).

3. Создан программный комплекс для численного исследования и графического представления результатов на основе спектра Фурье, вейвлет-спектров с различными материнскими вейвлетами, сечения Пуанкаре, показателей Ляпунова и автокорреляционной функции, фазового и модельного портретов.

4. Получены как классические, так и модифицированные сценарии перехода к хаотическим колебаниям. Проведен анализ и выявлен наиболее общий сценарий.

5. Исследовано влияние относительной толщины балки Л = а/И на результаты решения задач статики и динамики. Выявлено, что увеличение параметра приводит к сходимости результатов для моделей, построенных на основе гипотез Бернулли - Эйлера, С.П. Тимошенко, Шереметьева - Пелеха.

6. Изучено явление потери устойчивости балок и пластин при действии поперечной знакопеременной нагрузки и замкнутых цилиндрических оболочек при действии радиальной знакопеременной и полосовой знакопеременной нагрузки.

7. Исследовано явление синхронизации колебаний для математических моделей контактных задач для пакетов, состоящих из двух и трех балок.

Основные публикации по теме диссертации: Глава в монографии

1. Zhigalov M.V. Analysis of regular and chaotic dynamics of the Euler-Bemoulli using finite difference and finite element methods / M.V. Zhigalov, A. V. Krysko, O. A. Saltykova, J. Awrejcewicz // Modeling, Simulation and Control of Nonlinear Engineering Dynamical system, Springer, 2009. P. 255265. ISBN 978-1-4020-8777-6.

Статьи в периодических изданиях, включенных в список ВАК РФ, и в иностранных периодических изданиях

2. Жигалов М.В. Фазовая хаотическая синхронизация многослойных балочных структур / М.В. Жигалов, В.А. Крысько, М.И. Коч, A.B. Крысько // ПМиТФ. 2012. № 3. С. 166-175.

3. Жигалов М.В. Сходимость одной итерационной процедуры решения уравнений Кармана-Власова-Муштари из теории оболочек /

M.B. Жигалов, С.П. Павлов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52. №9. С. 1694-1699.

4. Жигалов М.В. Итерационная процедура сведения бигармонического уравнения к уравнению типа Пуассона / М.В. Жигалов, С.П. Павлов // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2011. № 1. С. 22-29.

5. Жигалов М.В. Об учете влияния поперечных сдвигов на сложные нелинейные колебания упругих балок / М.В. Жигалов, В. А. Крысько, A.B. Крысько, O.A. Салтыкова// ПМиТФ. 2011. Т. 52. № 5. С. 186-193.

6. Жигалов М.В. Нелинейная динамика балок Эйлера-Бернулли. (Математическая модель, сценарии перехода колебаний из гармонических в хаотические) / М.В. Жигалов, В. А. Крысько, Е.Ю. Крылова // Известия вузов. Строительство. 2011. № 2. С. 15-21.

7. Жигалов М.В. Динамическая потеря устойчивости замкнутых цилиндрических оболочек при действии полосовой знакопеременной нагрузки / М.В. Жигалов, В. А. Крысько, Э.С. Кузнецова, К.Ф. Шагивалеев // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2011. № 2. С. 42-48.

8. Zhigalov M.V. Analysis of regular and chaotic dynamics of the Euler-Bernoulli using finite difference and finite element methods / M.V. Zhigalov, J. Awrejcewicz, O. Saltykova, A. Krysko, J. Mrozowski // Acta Mechanica Sinica. 2011. Vol. 27 (1). P. 36-43.

9. Жигалов М.В. Исследование сложных колебаний балок в рамках кинематической модели Шереметьева - Пелеха с привлечением вейвлет-анализа / М.В. Жигалов, В. А. Крысько, O.A. Салтыкова, В.В. Солдатов // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010. № 4. С. 12-17.

Ю.Жигалов М.В. Вейвлет-анализ колебаний замкнутых цилиндрических оболочек / М.В. Жигалов В. А. Крысько, В.В. Солдатов, Э.С. Кузнецова // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2009. № 4. С. 24-30.

11 .Жигалов М.В. О выборе типа вейвлета при изучении нелинейных колебаний балок с учетом поперечных сдвигов / М.В. Жигалов, A.B. Крысько, В.В. Солдатов, М.Н. Подтуркин // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2009. № 3. С. 14-22.

12.Жигалов М.В. Анализ хаотических колебаний распределенных систем в виде балок Эйлера-Бернулли с помощью вейвлет преобразования / М.В. Жигалов, А. В. Крысько, В.В. Солдатов // Изв вузов. Авиационная техника. 2009. №4. С. 21-24.

1 З.Жигалов M.В. Особенности нелинейных колебаний балок С.П. Тимошенко / М.В. Жигалов, А. В. Крысько, В.В. Солдатов // Изв. вузов. Строительство. 2009. № 5. С. 25-35.

H.Zhigalov M.V. Chaotic vibrations in flexible multilayered Bernoulli-Euler and Timoshenko type beams / M.V. Zhigalov, V.A. Krysko, A. V. Kiysko, O.A. Saltykova, J. Awrejcewicz // Latin American Journal of Solids and Structures. 2008. V. 5. № 4. P. 319-363.

15.Жигалов М.В. Методы линеаризации дифференциальных уравнений механики деформированного твердого тела / М.В. Жигалов, Т.В. Бабенкова // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2009. №2. С. 24-38.

16.Жигалов М.В. Управление сложными колебаниями нелинейных многослойных балок / М.В. Жигалов, А. В. Крысько, О.А. Салтыкова // Известия вузов. Авиационная техника. 2008. № 3. С. 10-13.

17.Жигалов М.В. Особенности сложных хаотических колебаний балок Эйлера-Бернулли и типа Тимошенко в зависимости от граничных условий / М.В. Жигалов, В.А. Крысько, О.А. Салтыкова // Известия вузо. Строительство. 2008. № 9. С. 4-10.

18.Жигалов М.В. Нелинейная динамика балок Эйлера-Бернулли и типа Тимошенко / М.В. Жигалов, В.А. Крысько, О.А. Салтыкова // Известия вузов. Машиностроение. 2008. № 6. С. 7-27.

19.Жигалов М.В. Диссипативная динамика геометрически нелинейных балок Бернулли - Эйлера / М.В. Жигалов, В.А. Крысько, О.А. Салтыкова, А.С. Десятова // Известия РАН. Механика твердого тела. 2008. №6. С. 128-136.

20.Жигалов М.В. Влияние начальных температурных напряжений на оптимальную форму скручиваемых стержней / М.В. Жигалов, С.П. Павлов // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2007. №1. С. 14-21

21.Жигалов М.В. Методы понижения порядка дифференциальных уравнений механики деформированного твердого тела (обзор) / М.В. Жигалов // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2006. №1. С. 13-32.

Статьи в сборниках трудов научных конференций и других изданиях

22.Zhigalov M.V. Analysis of regular and chaotic dynamics of multi-layered Timoshenko-type beams using wavelets / M.V. Zhigalov, J. Awrejcewicz, O.A. Saltykova, V.A. Krysko // Abstracts of the International Conférence on

Structural Nonlinear Dynamics and Diagnosis (CSNDD 2012), Marrakech, Morocco, April 30 - May 02, 2012. P. 39-40.

23.Zhigalov M. Chaotic vibrations of flexible infinitely length plates / J. Awrejcewicz, A.V. Krysko, I. Kutepov, N. Zagniboroda, M. Zhigalov, V.A. Krysko // Proceedings of the 1 llh Conference on Dynamical Systems -Theory and Applications. Lodz, Poland. P. 117-128.

24.Жигалов M.B. Нелинейная динамика неоднородных структур / М.В. Жигалов, В. А. Крысько, А. В. Крысько // Математические проблемы механики неоднородных структур: тр. VIII Междунар. науч. конф. Украина, Львов, 14-17 сентября 2010 г. С. 14-21.

25.Жигалов М.В. Математическая модель перехода к хаосу балок Эйлера-Бернулли / М.В. Жигалов, В. А. Крысько, Е.Ю. Крылова // Математическое моделирование и краевые задачи: тр. VII Всероссийской научной конференции. Самара, 2010. С. 147-148.

26.Zhigalov M.V. Analysis of regular and chaotic dynamics of the Euler-Bemoulli beams using finite-difference and finite-element methods / M.V. Zhigalov, A. V. Krysko O.A. Saltykova // Proceedings 10lh Conference on Dynamical System: Theory and Applications. Lodz, Poland, 2009. P.283-294.

27.Жигалов М.В. Управление сложными колебаниями гибких вязкоупругих пластин / М.В. Жигалов, Крысько В.А., Папкова И.В., Коч М.И. // Проблемы нелинейной динамики деформируемого твердого тела: сб. докл. 2-й Междунар. конф. Казань, 8-11 дек. 2009. Казань, 2009. С. 237-240.

28.Zhigalov M.V. Investigation of nonlinear dissipative chaotic dynamics of plates and shells / M.V. Zhigalov V.A. Krysko, J. Awrejcewicz, V. Soldatov, S. Mitskievitch, E.S. Kuznetsova, K.F. Shagivaleev, J. Mrozowski // Proceedings of the 9,h SSTA Conference 'Shell Structures: Theory and Applications', Gdansk-Jurata, Poland, October 14-16, 2009. 2. P. 175-178.

29.Zhigalov M.V. Dynamic stability loss of closed circled cylindrical shells estimation using wavelets / M.V. Zhigalov, V. A. Krysko, J. Awrejcewicz, V. V. Soldatov, E.S. Kuznetsova, S. Mitskevich // Proc. of the International Conference "Chaotic modeling and Simulation"-CHAOS 2009, 1-5 June 2009. Technical University of Creet, Chania, Greece. P. 121-128.

30.Жигалов М.В. Нелинейная динамика упругих балок моделей Бернулли-Эйлера, С.П. Тимошенко и Шереметьева-Пелеха / М.В. Жигалов, В.А. Крысько, А. В. Крысько, О.А. Салтыкова // Актуальные проблемы нелинейной механики оболочек: докл. Междунар. семинара, Казань, 1517 сентября 2008 г. Казань, 2008. С. 80-83.

31.ZhigaIov M.V. Analysis of regular and chaotic dynamics of the Euler-Bemoulli using finite difference and finite element methods / M.V. Zhigalov, A. V. Krysko, O. A. Saltykova // Theory and Application, DSTA 2007: Proceedings 9,h conference of Dynamical systems. Lodz, Poland, 2007. Vol. 2. P. 657-668.

32.Zhigalov M.V. Control of nonlinear flexible beam vibrations / M.V. Zhigalov, V. A. Krysko, N.P. Erofeev // Theory and Application, DSTA 2007: Proceedings 9lh conference of Dynamical systems. Lodz, Poland, 2007. Vol. 2. P. 253-264.

33.Жигалов M.B. Применение метода сведения к уравнению типа Пуассона для гибких прямоугольных пластинок с разными вдоль сторон граничными условиями / М.В. Жигалов, В.А. Крысько // Математическое моделирование и краевые задачи: тр. 11-й межвузовской конференции. Самара, 2001. С. 104-107.

34.Жигалов М.В. Один метод решения нелинейных многомерных задач МДТТ / М.В. Жигалов // 11-я Международная зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь, 1997. С. 130.

Свидетельства о регистрации программ

35.Программа расчета и анализа нелинейных колебаний балки модели Эйлера-Бернулли на основе метода конечных элементов в форме Бубнова-Галеркина / Жигалов М.В., Крысько В.А., Салтыкова О.А.; Свидетельство Роспатента о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011611367 (зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 11.02.2011).

36.Программа расчета и анализа напряжений и перемещений в плоской статической задаче термоупругости / Жигалов М.В., Павлов С.П.; Свидетельство Роспатента о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010613296 (зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 19.05.2010).

37.Программа расчета и анализа нелинейных колебаний балки модели Шереметьева-Пелеха на основе метода конечных элементов в форме Бубнова-Галеркина / Жигалов М.В., Крысько В.А., Салтыкова О.А.; Свидетельство Роспатента о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011611368 (зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 11.02.2011).

38.Программа расчета и анализа нелинейных колебаний балки модели С.П. Тимошенко на основе метода конечных элементов в форме

Бубнова-Галеркина / Жигалов М.В., Крысько В.А., Салтыкова O.A.; Свидетельство Роспатента о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011611369 (зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 11.02.2011).

39.Программа оптимизации процессов передачи и сохранения тепла в промышленных объектах / Жигалов М.В., Павлов С.П.; Свидетельство Роспатента о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011611370 (зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 11.02.2011).

40.Программа для исследования многослойного пакета геометрически линейных, упругих балок с учетом контактного взаимодействия под действием различных нагрузок / Жигалов М.В., Крысько В.А., Папкова И.В., Бочкарев В.В., Яковлева Т.В., Коч М.И.; Свидетельство Роспатента о государственной регистрации программы для ЭВМ №2011616992 (зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 8.09.2011).

41.Контактное взаимодействие пластин под действием знакопеременной распределенной нагрузки / Жигалов М.В., Крысько В.А., Папкова И.В., Бочкарев В.В., Яковлева Т.В., Коч М.И.; Свидетельство Роспатента о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011618689 (зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 08.11.2011).

42.Программа расчета и анализа сложных колебаний нескольких балок с учетом контактного взаимодействия и геометрической нелинейности под действием различных нагрузок / Жигалов М.В., Крысько В.А., Папкова И.В., Бочкарев В.В., Яковлева Т.В., Коч М.И.; Свидетельство Роспатента о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012610724 (зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 16.01.2012).

43.Программа для исследования многослойного пакета, состоящего из геометрически линейных пластины и двух балок, с учетом контактного взаимодействия под действием различных типов нагрузки / Жигалов М.В., Крысько В.А., Папкова И.В., Яковлева Т.В., Коч М.И.; Свидетельство Роспатента о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012612066 (зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 22.02.2012).

44.Программа для исследования колебаний однородных упругих пластин и панелей под действием поперечной нагрузки / Жигалов М.В., Крысько В.А., Кириченко A.B., Кутепов И.Е., Загниборода H.A.;

Св„де™ Рос™ о госУда_й регйс^и npi

для ЭВМ № 2012615709 (зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 22.06.2012).

45.Программа для исследования колебаний однородных упругих пластин и панелей в температурном поле под действием поперечной нагрузки / Жигалов М.В., Крысько В.А., Кириченко A.B., Кутепов И.Е., Загниборода H.A.; Свидетельство Роспатента о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012615710 (зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 22.06.2012).

2012499906

Жигалов Максим Викторович МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Автореферат

Подписано в печать 27.03.13 Формат 60*84 1/16

Бум. офсет. Усл. печ. л. 2,0 Уч.-изд. л. 2,0

Тираж 100 экз. Заказ 47

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Тел.: 24-95-70; 99-87-39, e-mail: izdat@sstu.ni

ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет

имени Гагарина Ю.А.»

На правах рукописи

05201351516

Жигалов Максим Викторович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант:

доктор технических наук, профессор

Крысько Вадим Анатольевич

Саратов 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение. Исторический обзор...................................................................................5

Глава 1. Метод линеаризации и понижения порядка нелинейных дифференциальных уравнений математических моделей распределенных

механических структур..............................................................................................33

§1.1 Метод линеаризации для математических моделей, содержащих бигармонический оператор. Уравнения Кармана. Доказательство сходимости

итерационной процедуры.............................................................................................33

§1.2 Метод понижения порядка дифференциального оператора

для математических моделей, содержащих бигармонический оператор................47

§ 1.3 Метод линеаризации и понижения порядка для математических моделей

на основе гипотез Кирхгофа, С.П. Тимошенко, Шереметьева - Пелеха................52

§ 1.4. Метод линеаризации и понижения порядка для нелинейных уравнений,

содержащих бигармонический или гармонический операторы...............................60

§1.5 Численные примеры.............................................................................................63

Выводы по главе............................................................................................................81

Глава 2. Численные методы решения уравнений, содержащих бигармонический и гармонический операторы, для областей

с криволинейной границей........................................................................................82

§ 2.1 Итерационная процедура сведения бигармонического уравнения к уравнению типа Пуассона для областей с криволинейной границей.

Доказательство сходимости итерационной процедуры............................................82

§ 2.2 Численные процедуры методов конечных и граничных элементов

для двумерных задач с криволинейной границей......................................................94

§ 2.3 Результаты решений методами конечных разностей, конечных и граничных элементов уравнения кручения стержня. Переход от уравнения Пуассона к уравнению Лапласа..................................................................................................106

§ 2.4 Численное решение бигармонического уравнения. Сравнение результатов

для процедуры понижения порядка, полученных различными численными

методами.......................................................................................................................116

Выводы по главе..........................................................................................................122

Глава 3. Нелинейная динамика однослойных балок, математической модели

Бернулли — Эйлера....................................................................................................123

§3.1 Математическая модель нелинейной балки Бернулли - Эйлера..................123

§ 3.2 Сценарии перехода от гармонических колебаний к хаотическим.

Карты характеров колебаний.....................................................................................139

§ 3.3 Исследование математической модели нелинейной динамики балок

Бернулли - Эйлера с помощью вейвлет-преобразования.......................................162

Выводы по главе..........................................................................................................178

Глава 4. Нелинейная динамика однослойных балок, математических моделей

С.П. Тимошенко и Шереметьева - Пелеха..........................................................180

§4.1 Математические модели нелинейных балок С.П. Тимошенко

и Шереметьева - Пелеха.............................................................................................180

§ 4.2 Сценарии перехода от гармонических колебаний к хаотическим.

Карты характеров колебаний. Сравнение моделей.................................................191

§ 4.3 Исследование математических моделей нелинейной динамики балок С.П. Тимошенко и Шереметьева - Пелеха

с помощью вейвлет преобразования.........................................................................222

Выводы по главе..........................................................................................................246

Глава 5. Нелинейная динамика многослойных балок......................................248

§ 5.1 Математические модели многослойных балок с использованием гипотез

Бернулли - Эйлера, С.П. Тимошенко, Шереметьева - Пелеха..............................248

§ 5.2 Анализ нелинейной динамики многослойных балок. Карты характеров

колебаний.....................................................................................................................259

§ 5.3 Математические модели контактных задач балок с использованием гипотез

Бернулли - Эйлера, С.П. Тимошенко, Шереметьева - Пелеха..............................268

§ 5.4. Численное исследование балок с учетом трех типов нелинейности...........274

Выводы по главе..........................................................................................................291

Глава 6. Нелинейная динамика пластин и оболочек.........................................294

§6.1 Математические модели пластин и оболочек, основанные на гипотезе

Бернулли - Эйлера......................................................................................................294

§ 6.2 Вейвлет-анализ при исследовании цилиндрических панелей и замкнутых

цилиндрических оболочек..........................................................................................299

§ 6.3 Анализ нелинейной динамики пластины произвольного очертания............310

Выводы по главе..........................................................................................................316

Заключение.................................................................................................................317

Список сокращений и условных обозначений....................................................318

Список литературы...................................................................................................320

Введение. Краткий исторический обзор

При описании физического явления обычно вводят в рассмотрение гипотезы, строят функционал и из минимума его получают некоторую систему дифференциальных уравнений, обыкновенных или в частных производных, справедливую в определенной области, а также краевые и начальные условия. На этой стадии математическая модель замкнута, и для практического применения требуется получить решение, чаще всего численное, для конкретных значений числовых данных. Здесь, однако, возникают основные трудности, так как точному решению существующими аналитическими методами поддаются лишь уравнения самого простого вида внутри геометрически тривиальных границ.

В связи с этим возникла потребность в методах, позволяющих упростить исходные дифференциальные уравнения. Эти методы условно можно разбить на три большие группы: 1) линеаризация уравнения; 2) понижение размерности искомой функции; 3) понижение порядка дифференциального оператора.

Методы линеаризации

Существующие методы решения нелинейных задач в зависимости от уровня, на котором происходит линеаризация, можно разделить на две группы. Первая - линеаризация систем дифференциальных уравнений, вторая — линеаризация алгебраических уравнений, получающихся в результате применения к исходным дифференциальным методов дискретизации. Далее рассмотрены методы первой группы.

Одними из представителей этой группы являются методы Ньютона [1] и Ньютона-Канторовича [1]. Суть их в следующем: пусть задано нелинейное уравнение

Вд = 0, (1)

с нелинейным, дифференцируемым по Фреше оператором, действующим из некоторого множества О банахова пространства Е\ в банахово пространство Е2. Если определен действующий из Е] в Е2 линейный оператор

{¿'[Xм]}-1, (2)

то для решения исходного дифференциального уравнения применима следующая итерационная процедура

Модификацией этой итерационной процедуры является следующая

где х(0) - начальное приближение.

Метод Ньютона-Канторовича использован в статье Ю.Н. Санкина [2] для решения системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих большие деформации оболочек вращения при симметричной нагрузке. При этом метод применен ко всей системе. Для нахождения матрицы функциональных производных предлагается использовать либо численную процедуру типа разностной, либо непосредственное дифференцирование операторов. Эффективность метода подтверждена решением задачи о нелинейном деформировании плоской мембраны. Тот же метод применен в статье В.Н. Мальгина [3] для создания алгоритмов, позволяющих решать задачи прочности, устойчивости и колебаний оболочек вращения, математических моделей, построенных на гипотезах типа С.П. Тимошенко. Метод Ньютона-Канторовича применяется последовательно к каждому из шести обыкновенных нелинейных уравнений. Линейные уравнения решаются методом ортогональной прогонки. Автором отмечается, что контрольные расчеты по всем программам показали хорошую сходимость алгоритмов и их устойчивость. В статье

Н.В. Валишвили [4] с помощью метода Ньютона исходная нелинейная краевая задача теории оболочек сводится к задаче Коши, для решения которой используется метод Рунге-Кутта. Что касается доказательств сходимости методов Ньютона и Ньютона-Канторовича для нелинейных уравнений, то они даны в статьях В.М. Вержбицкого [5] и А.В. Машкова [6]. Модификация метода Ньютона с использованием ряда Тейлора относится к другой группе и описана ниже.

Наиболее известный метод линеаризации — метод последовательных приближений. Существуют две модификации этого метода. В первой из нелинейного оператора выделяется линейный оператор со старшими производными. Все остальные составляющие исходного уравнения перебрасываются в правую часть и их формирование происходит за счет значений искомых функций, полученных на предыдущих итерациях.

Наиболее часто встречающимся является метод простой итерации. Суть его в следующем. Для решения нелинейной системы

т=/, (5)

предлагается представить оператор в виде

(6)

где Ьх - линейный оператор старшей степени, а Ь2 - линейный оператор младшей степени, Ь3 - нелинейный оператор. В результате получается следующая итерационная процедура:

Метод, предложенный в 1958 году В.З. Власовым и получивший название метода последовательных нагружений, заключается в представлении нагрузки в виде суммы отдельных ступеней. В пределах каждой ступени нагрузки считаются линейные теории рассматриваемых объектов (пластинки, оболочки и др.). Величины ступеней нагрузки выбираются так, чтобы, например, отношение прогиба к толщине пластинки укладывалось в рамки лимитной теории. Таким

образом, решение системы нелинейных уравнений сводится к последовательному решению нескольких систем линейных уравнений. Этот метод был разработан В.В. Петровым в статье [7]. Этим методом решены как геометрически, так и физически нелинейные задачи, контактные задачи и задачи для массивных тел. В работах Э.И. Григолюка, В.И. Шалашилина, В.И. Кузнецова [8, 9] предложено уточнять решение, полученное методом последовательных нагружений, методом наискорейшего спуска, разработанным JI.B. Канторовичем, или методом Ньютона.

Одной из разновидностей методов последовательных приближений является метод квазилинеаризации, описанный в книге R.E. Bellman, R.E. Kalaba [10]. Этот метод представляет собой дальнейшую разработку метода Ньютона и его обобщенного варианта, предложенного JI.B. Канторовичем. Применение этих методов описано в статьях Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко, H.H. Крюкова и многих других [11, 12].

Другой разновидностью методов последовательных приближений являются методы спуска, которые впервые были описаны G. Temple [13] и JI.B. Канторовичем [14]. Они состоят в том, что для решения функционального уравнения

(А-ЯВ)Х-Р = 0, (8)

отыскивают на каждом шаге итерационного процесса минимум одной из форм: Oí - потенциальная энергия системы, Ф2 — сумма квадратов левых частей уравнений или других на некотором подпространстве минимизации. Помимо геометрической интерпретации, метод спуска может быть истолкован «механически». Он имитирует движение системы, когда она освобождена в начальном положении, не представляющем положение равновесия. Для такой интерпретации достаточно номеру шага процесса присвоить название «дискретного времени». Таким образом, статическая система заменяется динамической с искусственно введенным временем, что обеспечивает ранее недостижимые вычислительные результаты. Классификация методов спуска и

обзор работ по использованию их в задачах механики приведены в работах Д.В. Вайнберга и С.В. Симеонова [15-17].

Методы, принадлежащие третьей группе, используют представление искомых функций в виде суммы известного решения и малой добавки, играющей роль уточнения решения. Это представление дает возможность линеаризовать исходное уравнение. Одним из таких методов является метод, изложенный в статьях В.А. Пухлий, G.A. Thurston и других [18-21]. Суть его в следующем. Пусть дано нелинейное уравнение

y\x) + f{y{x\x) = V. (9)

Будем искать решение в виде

(10)

где Jo - заданное решение, А - поправка. Подставляя в исходное уравнение и разлагая нелинейные члены в ряд Тейлора в окрестности точки (х0,_у0), получаем

^ + A" + /(70,x0) + /'(7o^o)0;i-J;o) + - = 0. (11)

Отбрасывая слагаемые, начиная с

0>,~Л)2=Д2, (12)

приходим к линейному уравнению

A" + kA = F(y0,x0). (13)

Решая это уравнение, находим поправку, которую используем для нахождения первого приближения. Затем процесс повторяется до достижения заданной точности. Статья J. Griiters [22] посвящена применению аналогичного подхода к решению задачи для тела типа диска из анизотропного материала, нагруженного по краю. Нулевое приближение получается из решения задачи для изотропного тела.

Разновидностью методов, использующих малые добавки к решению, являются методы малого параметра. Д.Ф. Давиденко в [23, 24] предложен метод

решения систем нелинейных уравнений, содержащих параметр, в случае, когда одно из значений параметра известно. Изложим кратко существо этого метода. Пусть дана система уравнений

/к(хх,х2,...,хп,Л) = Ъ £ = 1,2,...,и. (14)

Пусть также для л = л0 известны такие х;0, что

Ук(х10,х20,...,хп0,Л10) = к = 1,2,...,п. (15)

Функции /к определены и непрерывны в некоторой (и+1)-мерной области О изменения хх,х2,...,хп,Л и точка (х10,х20,...,хп0,Ад) е О. Пусть также в области (7 Якобиан

1(Х1,Х2,...,ХП,Л) = ^'/2'''''-(16)

и\Х^,Х2,...,Хп)

Параметр Л принимается за независимую переменную, и хх,х2,...,хп считаются функциями Я. Исходная система дифференцируется по Л. В результате получается система обыкновенных уравнений, линейных относительно производных:

к=1'2'-'п- <17>

;=1 дх1 аЛ дЛ

Так как якобиан этой системы отличен от нуля, она может быть решена

<1х1

относительно производных —В итоге задача сводится к системе уравнении

с1Л

вида

с!х

1- = Е({хх,..,хп,Л), / = 1,2,...72. (18)

аЛ

К этой системе присоединяются граничные условия

х,(Л0) = х109 / = 1,2,..., л. (19)

Полученная задача является задачей Коши для переменной X. Интегрирование этой задачи любым из известных методов для значений на отрезке С даёт

приближенное решение для исходной системы. Описанный метод нашел широкое применение для решения разнообразных задач механики, например в работах Э.И. Григолюка, М.И. Карасика и В.И. Шалашилина, А.И. Уздалева [25-29].

Описанные выше подходы линеаризуют исходную задачу, т.е. сводят ее к решению последовательности линейных задач. Однако все эти подходы не понижают порядок исходного дифференциального оператора, что приводит к дополнительным трудностям при численной реализации указанных подходов.

Остается еще одна важная проблема - размерность пространства исходной задачи. В связи с тем, что решение проводится в основном численными методами, размерность пространства существенно влияет на затраты машинного времени и точность полученного решения. Поэтому важным направлением являются методы понижения размерности пространства исходной задачи.

Методы понижения размерности

Численное решение трехмерных по пространственным координатам задач теории упругости даже на современном этапе развития вычислительной техники сопряжено со значительными трудностями.

Поэтому наиболее распространенным подходом трехмерных задач является понижение их размерности каким-либо приемом. На практике обычно используется один из следующих приемов.

Первый из них заключается в осреднении (интегрировании) по координате, по которой размер объекта мал по сравнению с двумя другими. Применимость такого приема связана с необходимостью знать (хотя бы приближенно) распределения параметров НДС по соответствующей координате. Если это

распределение известно, например из геометрических соображений, то этот прием весьма эффективен и достаточно экономичен.

Второй из них применим для расчета тел вращения; суть его состоит в разложении параметров НДС в направлении угловой координаты (в цилиндрической системе координат) в ряды по тригонометрическим функциям.

После разложения в такие же ряды внешних наг система уравнений, описывающих объект, распадается на «К» независимых систем уравнений, где «К» - число гармоник, удерживаемых в разложении. Таким образом, вместо трехмерной задачи решаются «К» двумерных.

До середины 30-х годов XX столетия господствующим методом численного решения краевых задач был метод конечных разностей; достаточно упомянуть работы JI.B. Канторовича, В.З. Власова, A.A. Сам