автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Автоматизация методов дискретного симметрийного анализа с помощью систем аналитических вычислений

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ИНСТИТУТ ИНФОРМАТИКИ И АВТОМАТИЗАЦИИ

На правах рукописи

ФЛЕГОНТОВ

Александр Владимирович

УДК 517.9 + 681.3:001.89

АВТОМАТИЗАЦИЯ МЕТОДОВ ДИСКРЕТНОГО СИММЕТРИЙНОГО АНАЛИЗА С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

05.13.16—ПРИМЕНЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ, МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЛЕНИНГРАД — 1991

Работа выполнена в Ленинградском институте информатики и автоматизации АН СССР.

Научные руководители: доктор физико-математических наук ЛЯШЕНКО Н. Н. кандидат физико-математических наук ЗАЙЦЕВ В. Ф.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук профессор ОСКОЛКОВ А. П. кандидат физико-математических наук доцент ШЕФТЕЛЬ М. Б.

Ведущая организация: Всесоюзный Центр математического моделирования АН СССР.

Защита состоится « 3 о » /Ш( % 1991 г. в часов на

заседании специализированного совета Д.003.62.01 при Ленинградском институте информатики и автоматизации АН СССР по адресу: 199178, Ленинград, 14-я линия, д. 39.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке специализированного совета Д.003.62.01

Автореферат разослан « 30 » СШре1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета,

кандидат технических наук В. Е. МАРЛЕЙ

■ - 3 -

; ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

I

j Диссертация посвящена проблематике автоматизации научного "'поиска в области дискретных симметрийных исследований нелинейных динамических процессов. Реализация методов дискретно-группового анализа на ЭВМ с помощью систем аналитических вычислений (CAB) способствует получению на основе разработанных программ и автоматизированных комплексов точных аналитических, решений в известных функциях в соответствии с классификацией модельных уравнений.

Практическим приложением диссертации является создание автоматизированной системы симметрийных исследований в виде пакета прикладных программ в CAB REDUCE (использовались различные версии), предназначенной для работы на ЭВМ CDC Cyber-172/б, ЕС ЭВМ и персональных ЭВМ, программно совместимых с IBM PC. Хотя для некоторых сложных задач универсальная система REDUCE создает-дополнительные трудности пользователю в силу жестких требований к оперативной памяти ЭВМ, однако в системе существуют средства для передачи аналитических результатов языку численного программирования, что создает дополнительные возможности "для использования вне среды REDUCE обширнейших библиотек стандартных программ, а также обеспечиваются возможные связи с базами данных и графическими программными средствами. Таким образом, автоматизированные системы симметрийных исследований способствуют сохранению и пополнению научного капитала, накопленного огромным трудом высококвалифицированных специалистов - математиков, физиков и специалистов из других областей.

Актуальность темы диссертации определяется все более широким распространением ЭВМ и ПЭВМ в практике научных исследований .и научно-технических разработок. Особую ценность представляют пакеты прикладных программ , которые стали привычным инструментом для проведения машинных расчетов и экспериментов. Использование интеллектуальных возможностей современных ЭВМ' для программирования без языков программирования, развитых CAB, диалоговых средств работы с научнрй графикой,' табличными и текстовыми объектами, а также формализованного представления предметной области и друнественности программного обеспечения

ПЭВМ способствует максимальному вовлечению вычислительной техники как. инструмента научного исследования в процесс выполнения математических расчетов и экспериментов.

Аналитические преобразования являются неотъемлемой частью научных исследований и, зачастую, на их выполнение затрачивается больше труда, чем на остальную часть исследований, а для реализации групповых методов поиска решений модельных уравнений особенное значение имеет точность аналитических выражений. Однако ручные вычисления по любому из подобных методов современного симметрийного анализа требуют непомерно больших затрат времени. Именно здесь и помогают методы компьютерной алгебры и соответствующие CAB, являющиеся практически единственным средством решения задач, требующих больших затрат ручных вычислений, и очень чувствительных к потере точности при численном счете на ЭВМ.

Симметрийный анализ нелинейных динамических процессов, описываемых дифференциальными уравнениями , существенно ускоряет поиск точных аналитических решений, так как при этом используются дополнительные групповые свойства изучаемой математической модели, которые делают ее более прозрачной и снимают, тем самым, многочисленные трудности, порождаемые большой размерностью (многопараметричностыо) модели. Знание групповых свойств дает средство классификации множества решений, средство классификации семейств дифференциальных уравнений, зависящих от произвольных параметров или. функций, возможность для определения типов математических моделей, допускающих заданную группу симметрии и т.д.-

■ Поиск дискретных симметрий для моделей, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, столь же важен, как и поиск непрерывных симметрий, хотя методы нахождения дискретных групп преобразований отличаются от методов теории С.Ли и не доставляют средство классификации множества решений одного уравнения (проводится классификация семейств уравнений). Так же как и непрерывные симметрии, дискретные симметрии находятся с помощью точных вычислительных методов, которыми оснащены современные CAB. Огромное преимущество рассмотрения дискретных групп симметрий (в противоположность непрерывным симметриям)

состоит в возможности прогнозирования не только разрешимости уравнений рассматриваемого класса, но и представимости общего решения в конкретных (достаточно узких) классах известных функций.

Поэтому автоматизация основных методов дискретного симметрийного анализа с помощью эффективных CAB представляется весьма актуальной и своевременной.

Целью диссертационной работы является автоматизация методов дискретно-группового анализа (ДГА) с помощью систем аналитических вычислений и получение на основе разработанных программ и автоматизированных комплексов точных решений некоторых классов обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в известных функциях в соответствии с орбитальной классификацией дифференциальных уравнений.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе формулируются и решаются следующие задачи.

Исследование, разработка и программная реализация алгоритмов вычисления дискретных симметрии ОДУ.

Исследование, разработка и программная реализация алгоритмов построения орбит (как алгебраических, так и орбит решений).

- Проведение анализа CAB, полезных для исследования симметрийных свойств дифференциальных уравнений, и выделение наиболее ' эффективных из них для достижения основной цели исследования.

- Создание программных комплексов для автоматизации научного поиска методами ДГА,

- Получение с помощью разработанных программ и программных комплексов точных решений некоторых классов ОДУ в известных функциях в соответствии с орбитальной классификацией дифференциальных уравнений.

- Проведение с помощью CAB и дополнительных программных средств анализа регулярных орбит в заданных классах ОДУ.

Научная новизна результатов диссертации состоит в следующем:

1. Разработана и реализована программа для вычисления с

помощью CAB REDUCE определяющих уравнений точечных дискретных симметрии различных классов дифференциальных уравнений.

2. Разработаны и реализованы в виде системы программ частные алгоритмы решения систем определяющих уравнений, а также алгоритмы построения алгебраических орбит и орбит решений.

3. Впервые созданы программные комплексы DISAM, AP_DSDS, AP_Orblt, ориентированные на симметрийный анализ различных классов дифференциальных уравнений и работающие на перечисленных выше ЭВМ, включая IBM PC/XT и PC/AT. Разработанные программные комплексы коренным образом меняют технологию научных исследований в современном групповом анализе, в особенности, связанные с использованием ПЭВМ и применением методов информатики. Разработанные программные средства являются по существу математическим консультантом по дискретным симметриям аналитических моделей, реализованным с помощью CAB REDUCE.

4. С помощью разработанных программ и программных комплексов получены и исследованы не известные ранее точные решения класса обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера и класса уравнений Абеля 2-го рода в полиномиальных функциях, функциях Эйлера, Р-функциях Вейерштрасса, эллиптических интегралах 1-го и 2-го рода и т.д., в соответствии с орбитальной классификацией рассматриваемых классов.

5. Разработан подход к выделению регулярных подклассов и инвариантных множеств класса обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера.

6. Получена оценка приближенно инвариантных решений для подкласса полиномиальных функций класса обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера.

7. Построены новые преобразования Беклунда, индуцированные преобразованием автономных уравнений подкласса эллиптических Р-функций Вейерштрасса в подкласс эллиптических интегралов первого рода, позволяющие быстро и эффективно строить точные решения связанных орбит исходя из известной ДТП одной из них и хотя бы одного разрешимого элемента.

8. С помощью системы REDUCE и дополнительных программных средств выполнен алгебраический анализ базисных функций подкласса полиномов, позволяющий указать границы возможно разрешимых в этом подклассе краевых задач.

Выполненные в диссертационной работе исследования связаны с реализацией целевой комплексной программы "Разработка научных основ построения, методов анализа, синтеза и испытаний программного обеспечения ИПК, ГПС, автоматических и автоматизированных систем", определенной совместным постановлением Госплана СССР, ГКНТ Совета министров СССР и Президиума АН СССР Л 164/364/Э2 от 10.07.84.

Практическая значимость. Разработанные •программные комплексы, ориентированные на дискретный симметрийный анализ различных классов аналитических моделей, открывают широкий доступ исследователям к наукоемким прикладным пакетам.

Практическое' значение полученных результатов определяется повышением эффективности научных исследований и обучения за счет широкого привлечения средств вычислительной техники и снижения трудозатрат на разработку специализированного программного обеспечения.

Исследуемые модельные . уравнения представляют интерес и с точки зрения приложений. Они принадлежат классу обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера, к которому сводятся многие практически важные модели нелинейной механики (уравнение Томаса-Ферми, пограничного слоя степенных жидкостей, диффузионного пограничного слоя и т.д.), и классу уравнений Абеля, занимающих центральное место среди уравнений первого порядка, имеющих подвижные точки ветвления;

Апробация работы. Результаты проведенных исследований докладывались и обсуждались на:

1. Всесоюзном коллоквиуме "Современный групповой анализ: методы и приложения" (Баку - 1988, Красноярск - 1989);

2. Республиканских конференциях "Герценовские чтения" (Ленинград - 1988, 1989, 1990, 1991);

3. Городском семинаре "Математическая теория точных моделей" (Ленинград - 1988, 1989, 1990, 1991);

4. Городском семинаре "Информатика и автоматизация научных исследований" (Ленинград - 1989);

5. Совещании-семинаре "Дискретно>-групповой анализ: методы и приложения" (Ереван - 1989).

Основные результаты диссертации опубликованы в одной

- а -

монографии и 11 научных работах.

' Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 75 наименований и приложений. Объем основного текста диссертации -100 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность тематики диссертационной работы, определяется цель и задачи исследования, приводится краткое изложение работы по главам.

В первой главе диссертации -"Дискретные симметрии и компьютерная алгебра" - раскрывается сущность ДГЛ, даются основные понятия, определения и методы дискретного симметрийнсго аппарата. Вводятся понятия класса уравнений, класса преобразований, дискретной группы преобразований (ДТП), алгебраической орбиты и орбиты решений. Приводится классификация преобразований: точечные, преобразования Ееклунда (дифференциальные подстановки) и нелокальные преобразования. Даются примеры модельных классов уравнений.

Описываются основные методы поиска ДГП - прямые методы, использующие в той или иной форме прямую подстановку преобразования искомого вида в исследуемое уравнение с последующим наложением условия замкнутости рассматриваемого класса, и методы, использующие вспомогательные преобразования. Отмечается, что прямые методы наиболее эффективны для ОД.У порядка выше второго, и позволяют алгоритмически искать как произвольные преобразования Беклунда, так и нелокальные преобразования. Для уравнений второго порядка прямой метод эффективен лишь для поиска точечных преобразований, для уравнений же первого порядка регулярный алгоритм вообще отсутствует, и решения определяющих уравнений могут быть- получены подбором или с помощью дополнительной информации.

При наличии регулярного алгоритма элементы преобразований, определяющих образующие ДГП или отображения классов ОДУ, находятся из определяющей, системы - переопределенной системы нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными.

Сложность определяющей системы резко возрастает с увеличением порядка уравнений, при этом растет и число уравнений системы (в общем случае для уравнений третьего порядка при поиске точечных преобразований оно не меньше десяти). Именно поэтому для прямых методов' наиболее целесообразно использование CAB.

На основе обзора литературы по существующим CAB обосновывается наиболее эффективное использование системы REDUCE для достижения поставленной цели. К неизбежности подобного выбора приводят и такие обстоятельства, как наличие в CAB REDUCE пакетов прикладных программ для решения ряда дифференциальных уравнений (начиная с версии REDUCE 3.3 существуют даже встроенные в систему решатели уравнений), а также наличие пакетов прикладных программ для симметрийного анализа (непрерывного классического и современного).

Дается сравнение с классическим подходом С.Ли, а также приводится физический смысл ДТП, объясняющий, в первую очередь,, полиэдральную структуру орбиты дискретной группы в пространстве параметров и, что любая образующая группы задаёт дискретную симметрию этого полиэдра, подобную кристаллографической группе.

Во второй главе - "Вычисление дискретных симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений" - рассматриваются алгоритмы и программы вычисления дискретных симметрии ОДУ, построения алгебраических орбит и орбит решений. Приводится связь основных методов, используемых в ДГА, и построенных алгоритмов, а также орбитальная классификация классов ОДУ.

Основным этапам ДГА ОДУ соответствуют следующие алгоритмы и программы реализации:

1. Макроалгоритм поиска основной ДТП G, допускаемой классом !)± в классе преобразований Р^;

2. Общий алгоритм поиска точных решений;

3. Алгоритм Ли;

4. Алгоритм построения системы определяющих уравнений для прямого метода (алгоритм ОС);

5. Ri'-алгоритм, соответствующий методу RF-nap, основанному на последовательном повышении и понижении порядка исходного уравнения;

6. Алгоритм Картана;

7. Частный алгоритм последовательного расщепления;

. 8. Комбинаторный алгоритм выбора;

9. Алгоритм движения вдоль элементарного куста;

10. Алгоритм полной обработки куста и ряд других.

Работа алгоритма 2 зависит от заданного класса преобразований, в котором отыскивается ДТП. Полученные с помощью алгоритма 3 коэффициенты при различных степенях независимой переменной представляют собой линейные однородные выражения относительно координат инфинитезимального оператора С и г; и их производных по х и у. Условие равенства этих выражений нулю и дает искомые уравнения определяющей системы. В силу большой переопределенности ОС удается получить наиболее общее ее решение и, таким образом, найти полную алгебру Ли. в результате работы алгоритма 4 получается переопределенная система нелинейных определяющих уравнений в частных производных.

Для получения частных решений переопределенной системы определяющих уравнений или возможного получения всех ее решений применяются общие и частные алгоритмы. К общим относится, например,алгоритм 6, в котором анализируется совместность и произвол систем Пфаффа, а среди множества частных алгоритмов можно выделить алгоритм скобок Пуассона (или алгоритм скобок Якоби-Майера) и алгоритм последовательного расщепления V. Процедура расщепления легко заменяется на процедуру добавления дифференциальных следствий для анализируемого уравнения, хотя при этом можно получить неинформативные тривиальные соотношения. Алгоритм 7 особенно эффективно работает с исходной ОС в треугольном виде.

Далее, рассматриваются вопросы автоматизации вычислений точных решений модельных уравнений.

Если в классе 1) существует набор корней ¿>(ак1), то можно

найти их орбиты - кусты с'(ак1), элементы которых соответствуют уравнениям, допускандал представление точных решений в виде элементарных или специальных функций, выражаемых через решения корней кустов ф4, <1^. Вид зависимости от корневых решений определяется классом преобразований, в котором допускается ДТП.

На основе выделенных элементарных кустов (соответствующих

циклической груше С_ и группе диэдра D3) и приведенных алгоритмов описываются основные возможности разработанных программных комплексов в CAB REDUCE.

Создание подобного программного комплекса и дополнительных пакетов прикладных программ, из которых исследователь собирает требуемый ему путь поиска решений, существенно ускоряет процесс фундаментальных исследований. Работая с библиотечными файлами или программами, часто приходится создавать новые разделы и программы в дополнение к прикладному пакету, усовершенствовать старые и т.д., тем самым порождать для себя инструмент научного исследования. С увеличением разнообразия решаемых задач увеличивается и разнообразие методов достижения результатов. Здесь уже используемая CAB играет роль базы знаний и служит наполнением систем искусственного интеллекта.

Третья глава - "Построение общих интегралов" - посЕщена Еопросам интегрирования классов обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера (ОУУФ) и уравнений Абеля 2-го рода. Приводятся структуры используемых для этих целей процедур.

Основная идея состоит в следующем. При построении кустов используются базовые элементы, индуцированные основными дискретными преобразованиями, а именно, для рассматриваемых классов уравнений, точечными г,s,и и преобразованием Беклунда g. Обозначим корневую пару решений исходного разрешимого уравнения класса ОУЭФ символом (ф.ф). Тогда основные дискретные преобразования приведут к решениям преобразованных уравнений в виде (несущественные коэффициенты опущены):

г : (ф,ф) -* (Ф.ф), (1)

g : (ф,ф)---* (ф^У"1, фп+1), (2)

в : сф.ф) -* (Ф~\ (3)

и : (ф.ф) -> (ф1"г\ фф"к- -Л*±2рнЗ) (4)

Исходя из теоремы о максимальности ДТП, допускаемых классом ОУЭФ и его специализациями, получаем следующие утверждения.

Теорема 1. Допускаемая уравнением класса ОУЭФ в классе точечных преобразований Р основная группа с, и цепочка ее

- гг -

расширений порсвдают в К алгебраическую орбиту с базисом {а0,

а,= га0, аг= ва0, а3= ш0) и, соответственно, орбиту решений с базисом <.(ф,ф), (1), (3), (4)}.

Если к соотношениям (1)-(4) добавить выражение для g, имеющей порядок 3, в виде

ёг= е-1: (ф.ф) -- (фт+\ ф1'2^-1), (5)

то получим

Теорема 2. Допускаемая уравнением ОУЭФ в классе преобразований Беклувда Р*. общая груша порождает орбиту решений с базисом С(ф,ф), (1), (2), (5)>.

На основе выделенного базиса и легко вычисляемых композиций преобразований получаем все точные решения орбиты полиномиальных функций, орбиты Эйлера, регулярные орбиты Р-функций Вейерштрасса, эллиптических интегралов 1-го и 2-го рода, сингулярные орбиты и т.д., которые определяют орбитальную классификацию уравнений.

Аналогично получаются все точные решения орбит уравнений класса Абеля 2-го рода, связанные с разрешимыми уравнениями высших порядков, для которых известны группы симметрии и отображения.

Для сингулярных орбит, т.е. множеств, образованных действием

ДТП на особые значения а* исходного вектора параметров, также получены теорема о базисе решений и утверждение о структуре орбит на множестве всех расширений группы в частности, получена орбита интегралов вероятности.

В главе четвертой - "Нрименешш ЭВМ для анализа регулярных орбит" - для класса ОУЭФ производится выделение регулярных подклассов и инвариантных множеств, строятся новые преобразования Бе1слунда, индуцированные преобразованием автономных уравнений подкласса эллиптических Р-функций Вейерштрасса б подкласс эллиптических интегралов первого рода, выполняется алгебраический анализ базисных функций подкласса полиномов, позЕоляюпдай указать границы разрешимых в этом подклассе краевых задач.

Понятие и -инвариантного множества связано с сообщением

понятия g1~иивapIШHтa группы С и приводит к следующему утверждению.

Теорема 3. Для любой образующей ^ группы С множество

решений алгебраического уравнения Б± = ^(г^) - векторы

существенных параметром исходного и преобразованного уравнений класса В), удовлетворяющих неравенствам

а11 < aí < а12' а11 < < а1г'

(6)

порождает подкласс и, с и, охватываемый и -инвариантным множеством.

Аналогично инвариантам композшдай образующих, не существуют

инвариантные множества для композиций бг и гз в силу того, что

система неравенств несовместна при одновременном выполнении

требований 1 > 2 и 1 < 1. Для композиций тё и инвариантные

множества существуют и легко находятся.

Используя понятие и -приближенного центра, которое в1.....

определяется как пересечете и - _____ и -инвариантных

множеств, и особое положение иг гк -приближенного центра, приходим к следующим утверждениям.

Теорема 4. Для любого а £ Я* € если й*

определяется неравенствами:

п1. < 1 '

т1( . -1 , (7)

1 ' 1,

1*'

Теорема 5. для любого а. е Я = и и] , Н п 3

1 1..1 - 1,з 0

к к

также

и любой образующей gi^; 1г,е,Б,ш, Пб(а1) £ Я, V В6 К й .

Теорема ь. Максимально возможной группой Б, такой что

С(а.) с и к' , является С0- Ьг.

1 , . 13 2 о 1. J

адесь а1-(п1,я1,11), Я* и 11^(1 = Т79; 3 = 1ТЗ)

причем Я* ^ н1и . Н^,.

В качестве примеров приводятся регулярная часть орбиты Р(т)-функций Вейерштрасса,. занимающая только три области в К3, регулярная часть орбиты полиномов и функций Эйлера, занимающие одни и те же 12 областей, при этом полностью поглощающие регулярную Эб и ряд других.

Если задаться исходными оценками для решений фиф ф0<ф(т;)<ф1, ф0<ф(т)<ф1,

тогда для монотонно возрастающих полиномиальных функций ф(т) и ф(г) порядка к, и соответственно, на интервале а е (т0,т1] при п+КО, пн-КО, 0<1-1.<1, -1 <1-2<0 и представлении -(п+1) = р ^ , -(т+1) = рг/Цг. 1-1 = Р3/Ч3. 2-1 = р/чл. получим следующие оценки приближенно инвариантных решений для подкласса полиномиальных функций класса ОУЭФ: для г преобразования

г V Г<Ф> <ч>1 •

1 Ф0< г(ф) <ф, ; ' (а>

рз

для g преобразования

<1з/(Кг? + (ч3- П) < < <к!2 + (Ч3~ 1))/ч3

р р (9)

ч/«*1,1 + И,- 1)) < в«1» < («Р/О 1 + (ч,- ;

для преобразования

■ Чг/(ф*г + (Чг- 1)) < ^(ф) < ((ф/Ф0г)Рг + (Чг- 1))Л}2

. + 1 )) < в2«» < (К^ + (ц.л- ШЛц ;

ФЛ<гг V

(10)

где

К

12

(ф - ф0)/ (Т - т0)(11- ТУ

Ч^МУ V (ф - фо)_/" (г - т0)(У г)-

Для получения новых преобразований Беклунда, индуцированных преобразованием автономных уравнений подкласса эллиптических

Р-функций Вейерштрасса в подкласс эллиптических интегралов первого рода, используется теорема о расширениях дискретных груш и техника алгебраических продолжений на элементы регулярных расширений. Найденные в этой главе преобразования на связанных орбитах позволяют быстро и эффективно строить точные решения двойных орбит, исходя из знания ДТП одной из них, а также хотя бы одного разрешимого уравнения.

Выполненный алгебраический анализ базисных функций подкласса полиномов, использующий технику результантов парных полиномов и некоторых дискриминантов, -с помощью системы REDUCE позволяет указать границы разрешимых в этом подклассе краевых задач.

В заключении диссертации формулируются основные результаты и даются рекомендации по дальнейшему развитию и практическим приложениям рассматриваемых задач.

В приложения вынесены тексты основных программ автоматизированной системы дискретного симметрийного анализа и программные распечатки результатов работы некоторых из них.

Публикация исследований. Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Зайцев В.Ф., Флегонтов A.B. Дискретно-групповые методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Л. : ЛИИАН, 1991. -240с.

2. Зайцев В.Ф., Флегонтов A.B. Дискретно-групповой анализ дифференциальных уравнений. Методы и алгоритмы: Препринт N 84. -Л. ЛИИАН, 1988. -66с.

3. Флегонтов A.B. О машинной реализации алгоритмов дискретно-группового анализа// Современный групповой анализ/ Методы и приложения. Баку: ЭМ, 1989.-8с.

4. Зайцев В.Ф., Флегонтов A.B.,"" Хакимова З.Н. Дискретно-групповой анализ дифференциальных, уравнений. Точные решения уравнений: Препринт N I05. - Л. ЛШАН, 1989. -61с.

5. Флегонтов A.B. и др. Современный групповой-анализ: методы, и приложения. Дискретно-групповой анализ: Препринт' Jé 107. - Л. ^ ЛИИАН, 1989. -58сТ

6. Современный групповой анализ: методы и приложения. Некоторые задачи современной физики/ Под ред. Флегонтова A.B. -

Препринт * 116, Л.: ЛИИАН, 1990. -70с.

7. Флегонтов A.B. и др. Современный групповой анализ: методы и приложения. Симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений: Препринт JS 130, Л.: ЛИИАН, 1990. -39с.

8. Вольф З.С., Зайцев В.Ф., Перес Лопес А., Флегонтов A.B. Симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений: Препринт N137. - Л. ЛИИАН, 1991. -41с.

9. Зайцев В.Ф., Флегонтов A.B. Конечные системы полиномиальных функций, замкнутые на некотором классе преобразований обобщенного уравнения Эмдена-Фаулера// Методы и средства информационной технологии в науке и производстве. Л.: Наука, 1991, (в печати).

10. Флегонтов A.B. Преобразования Беклунда на связанных орбитах// Методы и средства информационной технологии в науке и лроизводстве. Л.: Наука, 1991, (в печати).

11. Зайцев В.Ф., Флегонтов A.B. Дискретно-групповой анализ и автоматизация' научного поиска// Вопросы прикладной информатики. Л.: ЛИИАН, 1991, (в печати).

12. Зайцев В.Ф., Флегонтов A.B. Дискретно-групповой анализ дифференциальных уравнений. Сингулярные точки и нелокальные преобразования: Препринт Ji 143, Л.: ЛИИАН, 1991. -35с.