автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Структурно-инвариантный анализ и синтез нелинейных моделей в аналитической форме

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ИНФОРМАТИКИ И АВТОМАТИЗАЦИИ

ФЛЕГОНТОВ Александр Владимирович п

На правах рукописи

РГВ од

Ц »/!ЛП 2 УДК 517.9+681.3:001.89

СТРУКТУРНО-ИНВАРИАНТНЫЙ АНАЛИЗ И СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

05.13.16 - ПРИМЕНЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ, МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ - 2000

Работа выполнена в Санкт-Петербургском институте информатики и автоматизации РАН.

С. Н. АНДРИАНОВ - доктор физико-математических наук;

Н. В. ХОВАНОВ - доктор физико-математических наук, профессор;

Ю. Н. ПАВЛОВСКИЙ - член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный технический университет.

Защита состоится « ¿С» 2000 г. в часов на

заседании специализированного совета Д.003.62.01 при Санкт-Петербургском институте информатики и автоматизации РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург, 14-я линия, д. 39. . - ..

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке специализированного совета Д.003.62.01

Официальные оппоненту:

Автореферат разослан « »

сд 2000 г.

Ученый секретар! специализированного со: кандидат технических не

А. Н. СОЛОДУХИН

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Хорошо известно, что среда возможных инструментов для моделирования различных процессов и сложных явлений одно из центральных мест занимает теория дифференциальных уравнений. Исследование конкретных задач сопряжено с преодолением значительных математических трудностей, обусловленных, главным образом, либо нелинейностью, либо наличием большого числа неопределенных параметров в исходных уравнениях. Поэтому методы конструирования сложных систем в форме дифференциальных уравнений и построения их решений играют важную роль в прикладной математике и математической физике. Непосредственное получение решений для таких сложных систем обычно сводится к весьма трудоемким вычислительным процедурам, основывающимся на численных методах поиска частных решений.

Если исследуемые процессы моделируются в реальном масштабе времени или необходимо строить управляющие воздействия для объекта моделирования (например, при управлении режимом работы турбины, химического реактора и т.п.), то получение численных решений требует применения мощных вычислительных средств и дорогой аппаратуры управления. При наличии же аналитического решения те же задачи могут быть решены ценой значительно меньших ресурсов и, очевидно, с большей точностью.

В настоящее время, широкое распространение получили именно такие аналитические исследования, опирающиеся на накошенные знания об отдельных классах дифференциальных уравнений и их точных решений. Каждое точное решение имеет большую информационную ценность, во-первых, как точное описание реального сложного процесса в рамках данной аналитической модели, во-вторых, как эталон или результат первого приближения для реализации различных численных методик, в-третьих, как фундаментальный теоретический факт, помогающий совершенствовать используемые модели.

В свою очередь, задание структуры системы базисных образующих и определяющих соотношений дает полное представление для математической модели. Выбираемое для этой цели, как правило, полиномиальное представление является удобным, в силу, конечномерности базиса системы инвариантов и компактности полиномиальной топологии, а

также давно используемым в формальных теориях математического моделирования.

Свойства инвариантности, симметрии модельных уравнений являются фундаментальными свойствами любого сложного процесса и, соответственно, математической модели, описывающей этот процесс. Инвариантные методы эффективны практически для всех типов математических моделей - от алгебраических до динамических.

Знание группы симметрии — группы допускаемых преобразований - также дает существенную информацию об изучаемой модели, а именно: средство классификации множества решений; средство классификации семейств дифференциальных уравнений, зависящих от произвольных параметров или функций; возможность определения типов дифференциальных уравнений, допускающих заданную группу симметрии.

При решении задач структурного синтеза дифференциальных уравнений с априорной симметрией и задач анализа симметрийной структуры уравнений рассматривается не только отдельное уравнение инвариантное к определенной группе симметрий, но и класс уравнений, связанных дискретной симметрией, а также дифференциальный комплекс уравнений разных порядков, базирующихся на одном многообразна

Разработанная и реализованная на ПК теоретико-групповая методология получения аналитических решений для широкого класса систем нелинейных дифференциальных уравнений, охватывающая случаи, для которых ранее возможно было лишь получение решений численными методами, кардинально облегчает процессы моделирования и построения управлений.

На современном этапе развития математического моделирования возросла роль компьютерного анализа сложных нелинейных многопараметрических задач. Подчас применение алгоритмов аналитических вычислений (компьютерной алгебры) на современных компьютерных системах (Mathematica, Maple, Reduce) является единственным рабочим инструментом исследователя.

Полиномиальная алгебра, редукция полиномов, алгоритмы формального интегрирования составляют основные алгоритмы компьютерной алгебры. Полиномиальные же вычисления и алгебраический анализ базисных функций для дифференциальных полей обладают высокой степенью стандартизации и легко реализуются на компьютере.

Благодаря развитым возможностям систем аналитических вычислений, реализуются основные алгоритмы группового анализа: алгоритм Ли, алгоритм построения и частичного решения определяющих систем, алгоритмы поиска дискретных групп преобразований. Такие алгоритмы составляют ядро программных средств, которые существенно ускоряют процесс научных исследований. Работая с библиотечными файлами и программами, часто приходится создавать новые разделы и пакеты программ, модернизировать старые, тем самым порождать, в конечном итоге, собственный инструмент научных исследований. С увеличением разнообразия решаемых задач обогащаются и методы достижения результатов. Здесь уже используемая система аналитических вычислений начинает играть роль базы знаний (БЗ) и служить наполнением для систем искусственного интеллекта (ИИ).

Современные компьютерные технологии предоставляют исследователям не только разнообразные системы аналитических вычислений, но и средства обработки сложной математической информации, а также обеспечивают новые возможности по организации, хранению, иллюстративности и сетевой (доступных для многих пользователей посредством Интернет) передачи такой информации. Таким образом, появление и развитие компьютерных банков моделей, основу которых составляет справочная литература, также приводит к БЗ и интеллектуальным справочным системам.

Разработка простых и эффективных электронных справочников, основанных на новых принципах организации БД и БЗ, является важной задачей на пути совершенствования современных информационных систем (ИС), АСНИ, экспертных систем и САПР, широко используемых для автоматизации научного поиска, организации вычислительных экспериментов, идентификации неизвестных моделей и закономерностей, нелинейного анализа сложных процессов и явлений. На сегодняшний день известно более 6000 дифференциальных уравнений, допускающих аналитическое решение (см., например, справочники Э.Камке (1976), М.Мерфи (1960), ДЦвиллингера (1989), В.Ф.Зайцева, АДПолянина (1993, 1994, 1995, 1997)), а также около 3000 уравнений в частных производных 1-го порядка (см., например, справочники Э.Камке (1966), В.Ф.Зайцева, АДПолянина (1996)). Однако их анализ «вручную» сложен и нуждается в автоматизации с помощью современных средств компьютерной алгебры и методов организации, выборки и хранения для БЗ.

Основной целью настоящей диссертационной работы является разработка новых методов структурного синтеза и установление общих принципов инвариантного анализа сложных, как правило, нелинейных моделей, имеющих, аналитическое представление в виде многопараметрических дифференциальных уравнений, динамических систем с управлением, экологических или эколого-зкономических систем. Предлагаются алгоритмы и программы аналитических вычислений для разработанных методов, а также информационная поддержка созданных справочных баз данных и интеллектуальных поисковых систем.

В соответствии с поставленной целью в диссертационной работе формулируются и решаются следующие задачи:

• исследование методов структурного синтеза нелинейных моделей, обладающих априорной симметрией заданного вида;

• разработка методов структурного синтеза на базе формальных интегральных многообразий и дифференциальных комплексов;

• структурная классификация уравнений типа Брио и Буке;

• структурная классификация уравнений полиномиального типа;

• инвариантный анализ и синтез сингулярных структур и дискретных орбит некоторых классов ОДУ;

• симметрийный анализ некоторых обратимых управляемых систем;

• симметрийный анализ и синтез экологических и эколош-экономических систем минимального типа;

• приложение разработанных структурных методов к автогенерации сложных нелинейных моделей в аналитической форме;

• разработка справочных баз данных, интеллектуальных поисковых систем и дополнительных информационных комплексов в области дифференциальных уравнений и динамических моделей.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации являются новыми. Это относится как к теоретическим разработкам так и к прикладным результатам и реализациям.

Автор защищает следующие положения и результаты, совокупность которых, в первую очередь, оказывает влияние на развитие перспективного научного направления - дискретно-группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений, а также, приводит к эффективному использованию современных информационных технологий

в области дифференциальных уравнений и динамических моделей в целом:

• Разработаны методы структурно-инвариантного синтеза математических моделей на базе формальных интегральных много-

♦ образий и дифференциальных комплексов;

• Проведена структурная классификация уравнений типа Брио-Буке и полиномиального типа;

• Синтезированы новые математические модели с априорной симметрийной структурой. Выявлены связи этих моделей на разных уровнях с инвариантными моделями, полученными ранее;

• Разработаны алгоритмы современных аналитических вычислений для синтеза нелинейных моделей, допускающих базисные формы аналитического представления решений в классе полиномиальных функций;

• Разработана интеллектуальная справочная система поиска и хранения динамических моделей в аналитической форме с возможным распределенным доступом по сети Интернет;

• Осуществлена программная реализация интеллектуальной математической справочной системы в области дифференциальных уравнений.

Выполненные в диссертационной работе исследования проводились в соответствии с планами института по научному направлению №4 «Теоретические основы построения информационных технологий для интеллектуальных систем автоматизации научных исследований, управления и производства».

Практическая значимость. Разработанные алгоритмы и реализованные программные комплексы, ориентированные на символьные вычисления для сложных систем в виде многопараметрических дифференциальных уравнений, открывают широкий доступ исследователям к наукоемким прикладным пакетам.

Разработанные электронные справочные базы данных, интеллектуальные поисковые системы и дополнительные информационные комплексы в области дифференциальных уравнений и динамических моделей обеспечивают новые возможности по организации, хранению, иллюстративности и сетевой многопользовательской передачи такой информации. Они существенно восполняют набор современных ИС, особенно математических ИС, широко используемых дом автоматизации научного

s

поиска, организации вычислительных экспериментов, идентификации неизвестных моделей и закономерностей, нелинейного анализа сложных процессов и явлений.

Практическое значение полученных результатов определяется повышением эффективности научных исследований и обучения за счет . широкого привлечения средств вычислительной техники, снижения трудозатрат на разработку специализированного программного обеспечения и применеш« общедоступных современных компьютерных технологий.

Проведенные исследования и разработки в период 1994-1999 гг. имели частичную поддержку в виде грантов: «Создание новых методов математической физики, поиск точных решений и первых интегралов для нелинейных дифференциальных уравнений» - 1994, ISF, N R6I0Q0; 1995, IS F, N R6I300; «Подготовка и издание- справочника по обыкновенным дифференциальным уравнениям» - 1995, РФФИ, N 95-0102180; «Издание справочника по дифференциальным уравнениям с частными производными: Точные решения» - 1996, РФФИ, N 96-01-14171; «Информационная система «Дифференциальные уравнения и динамические системы» -1997-1999, РФФИ, N 97-07-90088.

Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения регулярно докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах, в частности, на:

• Международном конгрессе по компьютерным системам и прикладной математике CSAM'93 (Санкт-Петербург -1993);

• Международном симпозиуме «Математическое моделирование процессов тепломассообмена и термопрочности» (Санкт-Петербург -1993);

• Международном математическом симпозиуме IMS'99 (Hagenberg, Австрия-1999);

• IX Международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (Орел - 2000);

• Международной мулътиконференции «Circuits, Systems, Communications & Computers (CSCC - MCP - MCME)» (Афины, Греция - 1999, 2000);

• Международной конференции по новым информационным технологиям в образовании (Санкт-Петербург -1993);

• Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск -1994);

• Международной конференции «Региональная информатика» (Санкт-Петербург-1994, 1998);

• Международной конференции по эволюции инфосферы. Ин-форматика'95 (Москва -1995);

• Международной конференции по экологическому моделированию и оптимизации в условиях техногенеза. ЭМО-96 (Беларусь, Минск -1996);

• Международной конференции по алгебраическим и аналитическим методам в теории дифференциальных уравнений (Орел -1996);

• Международной конференции по современному групповому анализу «Modem Group Analysis УЛ. Lie Groups and Contemporary Symmetry Analysis» (Норвегия -1997);

• Международной конференции по симметриям в нелинейной математической физике (Киев -1997);

• Международной конференции по информатике и управлению, ICI&C97 (Санкт-Петербург - 1997);

• Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их применения» (Санкт-Петербург -1996,1998,2000);

• Международной конференции «Tools for Mathematical Modelling» (Санкт-Петербург -1997,1999).

• Международной конференции по приложениям методов компьютерной алгебры в научных вычислениях (Санкт-Петербург - 1998, 2000; Мадрид, Испания -1999);

• Международной конференции по сверх-болыпим базам данных (Эдинбург, Шотландия -1999);

• 1-ой Международной конференции по мехатронике и робототехнике (МиР'2000) (Санкт-Петербург - 2000);

• Международной конференции «Интеллектуальные системы и информационные технологии управления» (Псков - 2000);

• Международном семинаре «Современный групповой анализ» (Уфа -1991);

• Международном семинаре по полиномиальным вычислениям «PoSSo'95» (Ираклия, Греция -1995);

• Международном семинаре по символьно-численному анализу дифференциальных уравнений, SNADE'97 (Прага -1997);

• 1-ом Международном семинаре по компьютерным наукам и информационным технологиям (Москва-1999);

• Российском коллоквиуме «Современный групповой анализ: методы и приложения» (Нижний Новгород - 1992, Самара -1993);

• Всероссийской научно-методической конференции «Компьютерные технологии в высшем образовании» (Ижевск -1994);

• Ежегодных Республиканских конференциях «Герценовские чтения» (Санкт-Петербург -1991-2000);

• Всероссийской конференции «Анаявггачесхая механика, устойчивость и управление движением». VII Четаевская конференция (Казань -1997);

• Всероссийской конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Новгород -1999);

• 1-ой Российской конференции по распределенным библиотекам (Санкт-Петербург -1999);

• Городском семинаре «Математическая теория точных моделей» (Санкт-Петербург -1991-1998);

• Городском семинаре «Дифференциальные уравнения и математическая физика» (Санкт-Петербург -1991-1995).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 70 работ. Основные результаты диссертации опубликованы в трех монографиях [2,4,15] и 36 научных работах [1,3,5-14,16-39}.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений. В приложении вынесены тексты программ и распечатки результатов по некоторым из них. Общий объем работы составляет 254 страницы, включая 25 рисунков и 7 таблиц. Библиография насчитывает 195 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, определены цели и задачи исследований, приводится краткое изложение работы по главам. Дается краткий общий обзор основных подходов к поиску точных решений дифференциальных уравнений, составляющих ядро современного симметрийного анализа, а также подходы к структурному синтезу уравнений с априорной симметрией.

Предлагаемая в данной работе методика исследования относится к аналитическим методам структурного синтеза и симметрийного анализа

сложных, как правило, нелинейных систем. При исследовании фундаментальных симметрийных и структурных свойств таких систем используются знания накопленные в области современной теории сложных математических систем, теории динамических моделей, аналитической теории дифференциальных уравнений, современного группового анализа.

Обосновывается эффективное решение проблемы автоматизации научного поиска в рассматриваемых областях и приводится разнообразие методов информационной поддержки на уровне современных компьютерных технологий.

В первой главе диссертации - «Задачи симметрийного анализа и синтеза» - приводятся основные понятия, вводятся определения и рассматриваются задачи современного симметрийного анализа и синтеза

Приводится обзор наиболее эффективных го разнообразных теоретико-алгебраических подходов к поиску точных решений дифференциальных уравнений, классического группового анализа и дискретно-группового анализа (ДГА), составляющих современный симметрийный анализ дифференциальных уравнений.

Отмечается, что поиск нового подхода к классификации, исследованию и интегрированию ОДУ лежал на пути объединения эвристического опыта таких известных математиков прошлого, как Абель, Бер-нулли, Клеро, Лагранж, Эйлер, Якоби, стандартных приемов понижения порядка уравнений, собранных в учебниках и справочниках с регулярными методами классического группового анализа Этот путь и привел к созданию ДГА, а, впоследствии, и к организации Санкт-Петербургской школы современного группового анализа

Развитый новый подход к исследованию групповых свойств ОДУ оказался весьма плодотворным и позволил как описать дискретные симметрии классов уравнений, вообще неинтегрируемых, так и найти на основе известных разрешимых уравнений ряд новых, которые, как правило, не могут быть найдены ни классическими, ни регулярными групповыми методами.

К настоящему времени накоплен большой практический опыт применения подобных методов и проанализировано около 7000 уравнений нелинейной динамики, которые ранее рассматривались как не имеющие аналитических решений и не приводились ни в одном из широко известных до 90 годов XX века справочников по дифференциальным уравнениям.

Приводятся понятия об обратных задачах, как мощных инструментах синтеза систем по заданным свойствам. Выделяются задачи структурного синтеза и инвариантного анализа.

Дается аналитический обзор систем компьютерной алгебры и приводятся основные алгоритмы автоматизации вычислений, ориентированные на симметрийный анализ для различных подходов в рассмотренных задачах.

Во второй главе - «Методы и математические модели структурного синтеза» - обосновывается связь выбранной методики для структурного синтеза и основных богатых методов аналитической теории дифференциальных уравнений, а также дополнительных структурных и симметричных соображений современного анализа.

Одна из главных задач общей теории дифференциальных уравнений состоит в изучении структуры решений любого заданного дифференциального уравнения непосредственно по его аналитическому виду независимо от возможности проинтегрировать это уравнение в конечном виде. Исследуется связь между аналитической структурой уравнений и их решений. При этом используются методы аналитической теории дифференциальных уравнений, которые дают возможность ответить на следующие вопросы: какой структурой должно обладать дифференциальное уравнение, чтобы оно имело решение, удовлетворяющее заданным дополнительным свойствам или обладающее заданной структурой; как построить это дифференциальное уравнение. Устанавливается, в некотором смысле, адекватность структур уравнений и их решений.

Рассматриваемые модели естественным образом отражают изучаемые процессы и явления с помощью введенных формализмов. Динамические минимальные модели описываются дифференциальными уравнениями

Р{х,уУ,...,у«\я)~ 0, (2.1)

решения которых будем рассматривать, как правило, в параметрической форме

Г* = ф(т,С„...Св),

а уравнения интегральных многообразий, соответственно, в виде

= 0, (¡ = йг;у = Мг;/ = 1^;т<и), (2.3)

где у;(т) - фазовые переменные; Су,2,(т) - в общем случае, неопределенные неизвестные, причем DCf = 0.

Пусть Р[т,ф(т),\|/(т)] - дифференциальное поле алгебраических функций, порожденное двумя функционально-независимыми полиномами ф(т) и х(/(-г). Образуем множество полиномов вида

Ф, ^С-'ф^М)''1, V}), = C^'V*1- (2.4)

Из условия инвариантности дифференциального поля Р[т,<р(т),\у(т)] относительно любой дискретной группы преобразований, получаем следующие теоремы.

Теорема (структурная! 2.1. Если 3 пара (ф,ч>) такая, что

^(ф,у,1]//ф,(фф - ,д)= 0, (2.5)

при й = а„ с априорной дискретной группой симметрии Ga, то найдутся такие k и < rn,ru,rîl,su,sin,sJ1 >, что и (<р,,у,) вида (2.4) будет допускаться (2,5) при й-а„.

Теорема 2.2. Пусть пара полиномов вида (2.4) удовлетворяет какому-либо дифференциальному уравнению

.....

тогда группа G, порождает семейство дифференциальных уравнений в неявной форме

где х„>Х, - элементы дифференциального поля, at - const, k = l,n .

Методы инвариантного синтеза обыкновенных дифференциальных уравнений базируются на технике представления интегральных многообразий ft над дифференциальным полем базисных полиномов Р[т,ф(т),1|/(т)], Продифференцируем систему уравнений многообразия (2.3) по -с

дх м dyt дх

&, 8%

Разрешая эти уравнения относительно и исключая произвольные

СП

константы, получим систему ОДУ вида:

0=1,«), (2.6)

ах

где ФДт,^) - полиномы над полем 0[г;,—]. Разрешая базисные по-

дь

линомы относительно параметра т и исключая его из приведенной системы, получим ОДУ первого порядка у' = F(x>y).

Дифференцируя базисное многообразие несколько раз, получим В -комплексы уравнений старших порядков связанных между собой.

Уравнения многообразий (2.3) характеризуется размерностью, которая для математических моделей в форме ОДУ определяется размерностью фазового пространства, а также условием неприводимости.

Т.о., задача структурного синтеза сводится к построению (2.1) с априорными свойствами по заданной паре функций (ф(т),у(т)) определенной структуры, а задача инвариантного анализа ставится как задача восстановления многообразия (2.3) по системе (2.1) в заданном классе функций с симметрийными свойствами.

Если записать соответствующее общее уравнение многообразия формальным образом (через формальные коэффициенты, которые требуется определить, для простоты выбран полином 2-го порядка, где у}. и г, выражены через ср и ):

+а10С2т + аиС2ф + ааС2\)/ = 0, (2.7)

то, дифференцируя (2.7) и подставляя вместо производных их соответствующие значения, получим определяющее уравнение, расщепление которого по степеням х и произвольным константам С^ , приведет к определяющей системе, откуда и получим искомое интегральное многообразие.

Формирование таких динамических моделей существенным образом опирается на структурно-инвариантный анализ и синтез, т.к. знание симметрии уравнений (2.1) приводит к применению групповых операторов и всему многообразию методов современной теории групп Ли-Беклунда. Возникающие при этом генераторы групп преобразований (особенно дискретных) и порождают семейства соизмеримых подобных динамических моделей. А структурное подобие, в свою очередь, позволяет выделить класс моделей в виде определенного £>- комплекса

Для заданных интегральных многообразий Ми , Мч , оператора полного дифференцирования 2) и оператора дискретной симметрии X, е X (генератора группы) определим £> -комплекс в ввде

Для начального отображения ВС} = 0 при любой постоянной Сг В общем случае введенный комплекс определяет для Уд /-параметрическое семейство решений для /-класса дифференциальных уравнений общие решения класса уравнений Б* и частные решения для их дифференциальных продолжений (л><?).

Последовательное применение операторов полного дифференцирования и симметрии для задач синтеза динамических моделей приводит к следующему алгоритму автогенерации.

Алгоритм автогенерации моделей (общий случай).

1. [Представление]. Задание структуры интегрального многообразия над дифференциальным полем алгебраических функций, причем для явной формы достаточно одно образующее соотношений, а для параметрической - два

2. [Дифференцирование], Применение оператора полного дифференцирования £> к многообразию по независимой переменной или по параметру.

3. [Нормализация]. Исключение произвольных констант. Если задана параметрическая форма представления, то необходимо обратить ее относительно параметра и затем исключить его из системы. Приведение к нормальному виду.

4. [-О-генерация]. Построение дифференциальных продолжений и формирование моделей в соответствии с шагами 2 и 3.

5. [X,-генерация]. Применение генераторов трупп Х1еОак полученным моделям и формирование классов подобных моделей.

Выполнение шага 4 сохраняет все априорные симметрии для получаемых моделей и порождает новые продолженные для каждого к-продолжения. На 5-ом шаге изменяется структура интегральных многообразий получаемых моделей, порожденная на шаге 1 и определяемая тем же полем.

В третьей главе - «Структурный синтез нелинейных моделей и симметрии» - рассматриваются системы типа Врио и Буке, их частные представители - многопараметрические системы полиномиального типа 1-го порядка и обобщения их на многопараметрические системы полиномиального типа 2-го порядка. В п.3.2 приводятся сингулярные структуры с дискретной симметрией. Пункт 3.3 посвящен симметрийным особенностям обратимых управляемых систем, а в п.3.4 излагаются некоторые симметрии (балансовые соотношения) экологических и эколого-экономических систем.

Значительное количество работ посвящено исследованию голоморфной и неголоморфной структуры решений уравнений вида

/=/уе, (зл)

где Р и <2 голоморфны в точке (0,0). Фундаментальные результаты по исчезающим структурам решений уравнений типа (3.1) были впервые сформулированы в работах Брно и Буке и Пуанкаре и касались частного случая уравнения (3.1)- уравнения Врио и Буке

+ апху + а12у2+...+аах'у'+... (3.2)

ах

Важные исследования проводились в работах I. Нош, Н.М. Матвеева и В.И. Зубова В дальнейшем рядом авторов был выполнен большой цикл работ по изучению и обобщению систем такого типа (таблица 1), где рассматривались системы

х"У',=РпУ1+Р,Л>г +/,<*)+ 1Г(*ЛЛ). ' = (З-З) Часто встречаются в теории динамических систем при исследовании поведения динамики 2-го порядка многопараметрические нелинейные уравнения первого порядка принадлежащие некоторому семейству моделей полиномиального типа, коэффициенты которых являются полиномами относительно зависимой и независимой переменных. Такие модели также представляются в виде (3.1), где число свободных параметров ъ Рк п ()к определяется структурой и соответствующими параметрами интегрального многообразия. Будем синтезировать такие модели из голоморфного подмножества в параметрическом виде

* = у = (3.4)

В 8

где

/(=а(1С,'с + £айт>,

и

(3.5)

Таблица!.

К

г О к а 2 к!> 3

л О м о /, = № а = 1 Марков С.Н. (1974) Полянин А.Д., Журов А.Й. (1994) Флегонтов А.В. (2000)

р-

;а=р

н е МячинВ.Ф. (1958)

г о N¡ = N¡¿1 Зубов В.И. (1973)

л О м О 4-) а^р/д Флегонгов А.В. (1974) Флегонтов А.В. (2000)

р ф н. N¡=2 ЛГ2 = 1/2; »-1 а-р!д Ефимов С.Б. (1974)

Применение алгоритма автогенерации приводит к полиномиальным моделям, структура которых отражена в таблице 2. Из таблицы 2 видна связь между структурами < /,,/2,£> и < Р,£?>> а также степенями полиномов: 1) при тах<1е§{/„/2,£} £3=>тах(1ед{Р,£}} <2; 2) при тахс^{/,,/2^}>4 тахс1е§{Р,<2}й3. Т.о., синтезируются не только 10-параметрические нелинейные динамические модели, частично изученные, но, при п й 4, уже и 18-параметрические.

В современном симметрийном анализе при рассмотрении дискретных групп преобразований встречаются некоторые сингулярные значения вектора параметров а*, т.е. такие, которые под действием дискретных преобразований переходят в бесконечные. При этом осуществляется гладкое продолжение действий дискретных групп и происходит формальная замена функциональных переменных степенного роста на функции экспоненциального роста.

Таблица 2.

№ в /, 8 Р&<2

1а 2 а(1С,т + а^х2 Со^ Р = В10х+Вту, б-Ло^

1Ь 2 алСхх + аахг Сопзг Р = Впх* + В11ху, 0 = Ашх2

2 2 а^т + а^т3 У ОС, + гг*г Р^ВиХ+ВпУ+ВнХу+ВъУ*, <2=+

3 V а^т + с^т" Го Р = В10х+В01у + В„х3 + Впху + Вау\ д=А,0х+4)1у+А^х1 + 4 +А2У1

4 3 ка1гС1х + а(3т3 Р = + В01у+В^*2 + + Ва2у\ д = + А^у+А^х2 + Апху

5 4 «„С.т + ^т9- К К К Р = В)0х + Вту+В2йх2 + + В0У + В21х2у + Вихуг + + Вхх3 + Вюу\ (2 = ^длс + \у+А10х7 + Апху + АКу* + Апх2у+ А^1 + + Ахх3 + Ашу3

Рассмотрим такой подкласс уравнений класса обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера (ОУЭФ) у" = Ах"у"у'1, представляемый вектором параметров а~(п,т,1), над базисным многообразием интегралов вероятностей, структура которого имеет вид:

\х=<р(т) = -С,л/я X + с2, ^ ^

= = С,<Г\

Цепочка О -отображений с учетом композиций преобразований сингулярных орбит вида

: (<Р»Ч>)->

1Ш|У-1пф, \|/ —ф

.у

(3.7)

приведет к остальным элементам И -комплекса, связанных диаграммой на рис. 1.

»1

*%(«,-1/2,3/2)-»(-1/2,шД/2)

■1

Рис. 1. Диаграмма сингулярных интегралов вероятностей.

С учетом управления, в векторной форме, динамические модели описываются дифференциальными уравнениями

Р(*,у,у\...,у("\Ф(и(х,у,у^..,у^1>,с),Ь),а) = 0, (3.8)

где у — «-мерный фазовый вектор, у'"'— его производная и-ого порядка, и — тп -мерный вектор управлений, а,Ь,с — соответствующие вектора варьируемых параметров, а векторные функции Г и Ф обладают достаточной гладкостью.

Если система вида (3.8) разрешима относительно Ф(и,Ь) , то она является обратимой управляемой системой и представляется, очевидно, в виде:

= Ф(и(*,у,у',...,у<"~'),с),Ь). (3.9)

В зависимости от интерпретации управляющего воздействия и структурных свойств системы (3.9) введем несколько базисных групповых определений симметрии.

Определение. Однопарсшетртеская группа

в.:

х' = х,

у' = у(х,у,а), вс: и' -и

х' -х,

У=У, О, и' = и(х,у,с)

х' -X,

У-у.

и' = и, Ф' = Ф(к,Ь)

(3.10)

1) вида б, называется группой симметрии по состоянию системы (3.9), если любое ее преобразование приводит к замене лишь фазовых переменных;

2) вида называется группой симметрии по управлению (3,9), если любое ее преобразование приводит к замене управляемых параметров;

3) вида б, называется группой симметрии по структурному состоянию системы (3.9), если любое ее преобразование приводит к структурной замене выделенной правой части.

Наличие симметрии дает возможность строить инвариантные к груше преобразований поверхности, имеющие смысл только для фазовых траекторий, а не для управлений.

Для динамических вполне управляемых по состоянию систем приведенные условия влекут отсутствие инвариантных поверхностей, в частности, отсутствие первых интегралов. Здесь уже с системой (3.9) связано семейство операторов

д л -, , 3

I, = Х0(и) = — + £/,Сад,и)- , ах »-1 су,

(3.11)

параметризованное управлением и операторов дифференцирования по и

(3-12)

Нахождение условий инвариантности таких моделей приводит к процедуре дополнения до специальных систем с максимальной группой симметрии.

С парой (3.11), (3.12) связан и алгоритм Ли для решения задач оптимального управления. Здесь оптимальное значение функционала качества на траекториях системы (3.8) - функция Беялмана - является единственным совместным инвариантом операторов (3.11), (3.12). Согласно алгоритму Ли, решение задач синтеза оптимального управления сводится к решению задачи Коши для системы п линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка или линейного уравнения »-го порядка

Ци = ^(рс.у.и^щЦи,...,^)

с соответствующими граничными условиями.

Выполнение алгоритма приводит к структурному соотношению для функции Т, либо к полному решению относительно управления.

Для многопараметрических семейств в виде (3.9) могут существовать и совместные группы симметрий, которые действуют на дизъюнкции введенных базисных групп.

Наряду с анализом групп симметрий оказывается полезным рассмотрение групп эквивалентности с операторами вида

* - Мх,у) ~+£ л, (х,у)— + £ ^ (в,,а) ~+ £ ц* (и,а) —. (3.13) дх ы ду1Тл ди1 к. I оак

Изучение операторов вида (3.13) позволяет решить следующие вопросы: 1) выделение «безразмерных переменных», т.е. преобразование системы (3.9) к системе с минимальной размерностью пространства параметров; 2) определение симметрийно-структурных связей (по заданным координатам оператора (3.11) определять структуру правых частей системы (3.9) и наоборот); 3) симметрийная характеристика оптимальных процессов (подмечено, что среди множества возможных движений именно оптимальные наследуют симметрийные свойства собственных движений.

Симметрии типа (3.13) для автономных лагранжевых систем вида У" = ф1 (у,г,Ъ), {2" = Ф20,2,Ь)

приводят к существенному сужению пространства параметров и дают априорную связь между конкретным ввдом правых частей Ф, и допускаемыми системой первыми интегралами, а также общий вид функций Лагранжа и Гамильтона

В четвертой главе - «Компьютерные вычисления и алгебраические алгоритмы» - даются основы алгоритмов компьютерной алгебры, получившие широкое распространение в современных прикладных исследованиях. Вводятся начальные понятия о полиномиальной алгебре, редукции полиномов, полиномиальных субрезультантах.

Прикладная сторона рассматриваемых методов касается алгоритмов современного группового анализа, который базируется на понятии инвариантности математической модели относительно группы преобра-

зований. Приводятся алгоритмы и их реализации для построения определяющих систем, поиска дискретных групп преобразований и т.д. Дается краткий аналитический обзор систем компьютерной алгебры с примерами для реализации в Mathematica, Maple и Reduce, а также аналитический обзор алгоритмов и программ современного симметрийного анализа.

В пятой главе - «Информационная поддержка. Интеллектуальные справочные системы» - рассматриваются вопросы представления математических выражений в Интернет-среде и средства их кодирования. Приводятся структура математических ИС, интеллектуальные поисковые системы. Рассматриваются и другие вопросы информационной поддержки при создании баз данных и поисковых систем в области дифференциальных уравнений и динамических моделей.

Современные возможности математического моделирования хорошо иллюстрируются справочной литературой. Однако качественный анализ представленных модельных уравнений и технические трудности при поиске новых уравнений, удовлетворяющих прикладным физическим задачам, требуют привлечения современных аналитических систем вычислений и новых информационных технологий обработки сложной математической информации.

Симметрийная природа сложных динамических объектов естественным образом порождает граф-представление классов уравнений и соответствующих им групповых структур. Так, например, группа эквивалентности класса ОУЭФ может быть задана графом на рис.2 (рядом представлен соответствующий нешанарный граф - рис.3).

Линейные дифференциальные уравнения допускают, как правило, бесконечные дискретные группы, причем бесконечная подгруппа имеется по любой компоненте вектора существенных параметров (см., например, схематическое изображение на рис.4). Хорошей иллюстрацией также может служить граф дискретной группы преобразований гипергеометрического уравнения Гаусса представляющий собой бесконечную трехмерную решетку (с шагом, равным единице по каждому из параметров гипергеометрической функции Гаусса а,Ь,с), в каждом из узлов которой находится усеченный кубооктаэдр (граф группы Сг х SA порядка 48 - максимальной конечной подгруппы, см. рис.5).

Разработанная на начальном этапе ИС DIGRAN (DIscrete-GRoup ANalysis) сочетала в себе простые возможности представления текста на экране и достоинства программируемого знакогенератора для отображе-

ния математических формул с ограниченными средствами ввода текста и графики. Информационная структура системы ВГСКАЫ послужила основой для новой версии НС «Дифференциальные уравнения» КОПТ 1.0, которая является составной

Рис.2

Рис.3

Рис.4

Рис.5

частью общей ИС «Дифференциальные уравнения и динамические системы». Система предназначена в первую очередь для конечного пользователя-математика, использующего современные средства телекоммуникации и, работающего с динамическими моделями.

При организации поисковой части ИС ЕЮПТ 1.0 учитывались следующие необходимые требования: простота набора математических символов; поддержка интеллектуального уровня поиска; обеспечение возможности использования шаблонов (масок) при вводе уравнений.

По мере расширения глобальной компьютерной сети количество доступной информации увеличивается в геометрической прогрессии. Для

обнаружения и использования всей информации, объединенной некоторой темой, актуально воспользоваться сетевыми услугами распределенных систем. В этом случае объединение локальных баз данных порождает сверх-больпше распределенные базы данных. Для разработанных математических баз данных в области дифференциальных уравнений и динамических систем схема взаимодействия в Интернет сети представлена на рис.6.

I Java search system |

MS SQL Seiver

1 Windows NT] Server SPb-STO

T

www

www

A

Java applet Javascript

DB3

(Windows 95/NTl

Server Oiyot-QSU

Java search system | |Java search system!

Hp

DB,

Шх

Server SPb-CGRTC л "

DB2

Ibis

ServerSPb-SPHRAS

A

Рис.6. Схема взаимодействия распределенных баз данных.

В заключении диссертации кратко сформулированы основные результаты, выносимые на защиту и составляющие научную новизну диссертационной работы.

В приложения вынесены тексты основных программ симметрийно-го синтеза и анализа сложных систем и некоторые программные распечатки.

Публикация исследований. Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Флегонтов А.В. О существовании исчезающих решений системы типа Брио и Буке// Методы и модели управления. Рига РПИ, вып.8,1974. -с. 105-110.

2. Иванищев В.В., Михайлов В.В., Флегонтов А.В. и др. Имитационное моделирование природной системы «озеро-водосбор». Л.: ЛЙИАН, 1987.-230с.

3. Флегонтов А.В. Укрупненная алгоритмическая модель природной системы «озеро-водосбор»// Проблемы информационной технологии и интегральной автоматизации производства. Л.: Наука Лен.отд., 1989. -с. 137-144.

4. Зайцев В.Ф., Флегонтов А.В. Дискретно-групповые методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Л.: ЛЙИАН, 1991.-240с.

5. Флегонтов А.В. О базисах сингулярных орбит класса ОУЭФ// Современный групповой анализ. Методы и приложения, IX Росс, коллоквиум. Нижний Новгород.: НИРФ, 1992. - с.50.

6. Зайцев В.Ф., Флегонтов А.В. Конечные системы полиномиальных функций, замкнутые на некотором классе преобразований обобщенного уравнения Эмдена-Фаулера// Методы и средства информационной технологии в науке и производстве. СПб.: Наука, 1992. - с.67-73.

7. Flegontov A. The information approach to problems of modeling of nonlinear systems with a prioiy symmetry// CSAM193 St.Petersburg, July 1923, 1993. Abstracts, -p.74-75.

8. Зайцев В.Ф., Флегонтов A.B. Дискретно-групповой анализ и автоматизация научного поиска// Вопросы прикладной информатики. С.Петер-бург : СПИИРАН, 1993. - с.88-98.

9. Флегонтов А.В. Некоторые оценки приближенных дискретно-инвариантных решений Л Современный групповой авалю и задачи математического моделирования, XI Росс, коллоквиум. Самара: Самарский университет, 1993.-C.128-129.

10. Флегонтов А.В. Применение компьютерного справочника DIGRAN и системы Reduce для симметрийного анализа дифференциальных уравнений// Моделирование процессов управления и обработки информации. М.: МФТИ, 1994. -с.200-216.

11.Flegontov A.V. DIGRAN - Computerized Reference Book//PoSSo Open Workshop on Applications of PoSSo and Real Solving. PoSSo-95, IraMio (Greece),June 7-10,1995. Abstracts of the talks. Univ.de Cantabria, 1995. - c.24

12.Флегонтов А.В. MAPLE-реализации одного алгебраического алгоритма// Сб. научных трудов ОГТУ, т.8. Орел: Орел ГТУ, 1996. - с.93-98.

13.Флегонтов А.В., Ноздрунов Н.В. Язык описания формул и гипертекстовая обработка для текстово-графической базы данных// Сб. научных трудов ученых Орловск. обл. Вып.2 Орел: ОрелГТУ, 1996. -с.227-230.

Н.Флегонтов А.В., ЖердевН.Л. Применение пакета Autodesk 3D Studio в дискретно-групповом анализе и теории графов// Сб. научных трудов ученых Орловск. обл. Вып.2 Орел: ОрелГТУ, 1996. - с. 247-250.

15.Флегонтов А.В. Основы символьных и алгебраических вычислений на персональном компьютере. Орел: ОГПУ, 1996. -30с.

16.Флегонтов А.В. Инвариантный синтез модельных уравнений// Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений. Труды Межд. конф. Орел: ОГУ, 1996. - с.64-66.

17.Флегонгов А.В., Ноздрунов Н.В. Информационная структура интеллектуальных справочных систем// Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений. Труды Межд. конф. Орел: ОГУ, 1996. - с. 105-107.

18.Флегошов А.В., Жердев Н.Л. Компьютерные методы анимационной графики для группового анализа// Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений. Труды Межд. конф. Орел: ОГУ, 1996. - с. 103-104.

19.Flegontov A. Invariant polynomials of representation and information structure of mathematical models// Informatics and Control. Proceedings of the International Conference ICI&C97. V.2. StPetersburg, Russia: SPDRAS, 1997. -c.572-579.

20.Flegontov A.V., ZaitsevV.F. Creation of new methods of mathematical physics, search of the exact solutions and first integrals of nonlinear differential equations// Дифференциальные уравнения и процессы управления. N2, 1998. Эл.ж. Рег.н.Л23275 от 07.03.1997. http://www.neva.ra/journal - 10р.

21.Флегонтов А.В. Синтез дифференциальных уравнений и их групп на многообразиях// Дифференциальные уравнения и процессы управления. N2, 1998. Эл.ж. Рег.н.:П23275 от 07.03.1997. http://www.neva.ru/journal - Юс.

22.Flegontov A.V. Synthesis of differential equations and their groups on manifolds// Computer Algebra in Scientific Computing. Extended abstracts of the IntConf.CASC-98. StPetersburg: Euler IMI, 1998. - c.42-47

23.Зайцев В.Ф., Ноздрунов Н.В., Флегонтов А.В. Обработка математических выражений в информационной системе «Дифференциальные уравнения»// Сборник тез. докл. 2 Международной Конференции «Дифференциальные уравнения и их применения». СПбГТУ, Санкт-Петербург, 1998-с. 108-110

24.0сипенко Г.С., Зайцев В.Ф., Флегонтов А.В. Структура информационной системы «Дифференциальные уравнения»//Сборник тез. докл. 2 Международной Конференции «Дифференциальные уравнения и их применения». СПбГТУ, Санкт-Петербург, 1998 - с.136-138

25. Флегонтов А.В. Индуцируемые симметрии синтезируемых уравнений// Сборник тез. докл. 2 Международной Конференции «Дифференциаль-ные уравнения и их применения». СПбГТУ, Санкт-Петербург, 1998 - с. 166-167

26. Флегонтов А.В. Полиномиальные системы в задачах инвариантного анализа и синтеза на многообразиях// Теоретические основы и прикладные задачи интеллектуальных информационных технологий. Санкт-Петербург, СПИИРАН, 1998. - с. 261-267

27.0сипенко Г.С., Зайцев В.Ф., Флегонтов А.В. Информационная система «Дифференциальные уравнения»//Труды 2 Международной Конференции «Дифференциальные уравнения и их применения». СПбГТУ, Санкт-Петербург, 1998 - с. 162-173

28.0sipenko, V. Zaitsev, A. Flegontov. About Coding of Mathematical Notations and Structure of Mathematical Information Systems «Differential Equations»// CSIT99, Proceedings of 1st International Workshop on Computer Science and Information Technologies, January 18-22, 1999, Moscow, Russia, МЕРЫ Publishing, 1999, ISBN 5-7262-0263-5, http://msu.jurinfor.ru/CSIT99 -5p.

29.Флего1ггов A.B., Осипенко Г.С. Распределенные математические базы данных// Tools for Mathematical Modelling. Book of abstracts. The Second International Conference June 14-19, 1999. SPb. STGU, 1999 -c.217-218.

30.Флегонгов A.B. Дифференциальные уравнения: симметрийный синтез, базы знаний// Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-12. Тез. докл. 12 Международной научн. конф. 1-4.06. Новгород, НовГУ, 1999-2с.

31.Flegontov A., Osipenko G. Distributed Mathematical Databases// 25th International Conference on Very Large Data Bases (VLDB'99).

Edinburgh, Scotland 07-10.09.1999, http://www.dcs.napier.ac.uk/~vldb99 -4p.

32.Flegontov A. About Synthesis of Differential Equations and Their Groups// IMS'99 - International Mathematica Symposium. August 26-29, 1999 HageribergAustria-lp,

http://south.rotol.ramk.fi/~keranen/I^99/irns99papers/ims99pq)ers.html

33.Flegontov A. About of Symmetry of Synthesisable Equations// 4th World Multiconference on Circuits, Systems, Communications & Computers (CSCC 2000 - MCP 2000 -MCME 2000). Vouliagmeni, Greece, july 1015,2000, http://www.sofflab.ntua.gr/~cscc/czm302.htm, 549.pdf-3p.

34.Флегоятов A.B. О сингулярных структурах интегральных многообразий с дискретной симметрией// Труды IX Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в'задачах математической физики (МДОЗМФ - 2000)». Орёл, ОГУ, 2000 - с.448-451.

Зб.Флсгонтов А.В. О симметрийном и структурном анализе управляемых систем// Сб. Трудов 1-ой Международная конференция по мехатрони-ке и робототехнике (МиР'2000), т.2, Санкт-Петербург, НПО Омега

■ БФ Омега, 2000.-с.349-354.

36.Флегонтов А.В. Инвариантный анализ и структурный синтез сложных математических систем// Дифференциальные уравнения и процессы управления. N1, 2000. Эл.ж. Рег.н.:П23275 от 07.03.1997. http://www.neva.ru/journal - 30с.

37.Флегонтов А.В. Полиномиальные структуры с априорной симметрией// Сборник тез. докл. 3 Международной Конференции «Дифференциаль-ные уравнения и их применения». СПбГТУ, Санкт-Петербург, 2000 - 2с. (в печати).

38.Флегонгов А.В. Автогенерация нелинейных динамических моделей// Международная конференция «Интеллектуальные системы и информационные технологии управления». Псковский политехнический институт, Псков, 2000 - 4с. (в печати).

39.Flegontov A. Polynomial Structures in Problems of the Invariant Analysis and Synthesis// Mathematical Structures in Computer Science. 2000. -1 lp. (в печати).

Введение.

Глава I. Задачи симметрийного анализа и синтеза.

1.1. Основные понятия, определения и задачи современного группового анализа.

1.2. Обратные задачи.

1.3. Алгоритмы основных методов. Общее описание.

1.4. Обзор методов и компьютерных систем для аналитических преобразований.

Глава II. Методы и математические модели структурного синтеза.

2.1. Аналитические методы. Формальные полиномы.

2.2. Формальные интегральные многообразия.

2.3. Дифференциальные комплексы.

Глава III. Структурный синтез нелинейных моделей и симметрии.

3.1. Голоморфные структуры.

3.1.1. Системы типа Брио и Буке.

3.1.2. Системы полиномиального типа.

3.2. Сингулярные структуры с дискретной симметрией.

3.3. Обратимые управляемые системы.

3.4. Экологические и эколого-экономические модели.

Глава IV. Компьютерные вычисления и алгебраические алгоритмы.

4.1. Основы алгебраических алгоритмов.

Хорошо известно, что среди возможных инструментов для моделирования различных процессов и сложных явлений одно из центральных мест занимает теория дифференциальных уравнений. Исследование конкретных задач сопряжено с преодолением значительных математических трудностей, обусловленных, главным образом, либо нелинейностью, либо наличием большого числа неопределенных параметров в исходных уравнениях. Поэтому методы конструирования сложных систем в форме дифференциальных уравнений и построения их решений играют важную роль в прикладной математике и математической физике. Непосредственное получение решений для таких сложных систем обычно сводится к весьма трудоемким вычислительным процедурам, основывающимся на численных методах поиска частных решений.

Если исследуемые процессы моделируются в реальном масштабе времени или необходимо строить управляющие воздействия для объекта моделирования (например, при управлении режимом работы турбины, химического реактора и т.п.), то получение численных решений требует применения мощных вычислительных средств и дорогой аппаратуры управления. При наличии же аналитического решения те же задачи могут быть решены ценой значительно меньших ресурсов и, очевидно, с большей точностью.

В настоящее время, широкое распространение получили именно такие аналитические исследования, опирающиеся на накопленные знания об отдельных классах дифференциальных уравнений и их точных решений. Каждое точное решение имеет большую информационную ценность, во-первых, как точное описание реального сложного процесса в рамках данной аналитической модели, во-вторых, как эталон или результат первого приближения для реализации различных численных методик, в-третьих, как фундаментальный теоретический факт, помогающий совершенствовать используемые модели.

В свою очередь, задание структуры системы базисных образующих и определяющих соотношений дает полное представление для математической модели. Выбираемое для этой цели, как правило, полиномиальное представление является удобным, в силу, конечномерности базиса системы инвариантов и компактности полиномиальной топологии, а также давно используемым в формальных теориях математического моделирования.

Свойства инвариантности, симметрии модельных уравнений являются фундаментальными свойствами любого сложного процесса и, соответственно, математической модели, описывающей этот процесс. Сим-метрийные методы эффективны практически для всех типов математических моделей - от алгебраических до динамических.

Знание группы симметрии - группы допускаемых преобразований -также дает существенную информацию об изучаемой модели, а именно: средство классификации множества решений; средство классификации семейств дифференциальных уравнений, зависящих от произвольных параметров или функций; возможность определения типов дифференциальных уравнений, допускающих заданную группу симметрии.

Среди разнообразных теоретико-алгебраических подходов к поиску точных решений дифференциальных уравнений наиболее эффективными оказались три подхода - теория первых интегралов (законов сохранения), классический групповой анализ и дискретно-групповой анализ, составляющие теперь современный групповой анализ дифференциальных уравнений.

Классический групповой анализ впервые был предложен Софусом Ли в XIX веке как обобщение идей Н. Абеля и групповой теории Э. Га-луа, и основывался на применении непрерывных групп преобразований дифференциальных уравнений.

Современное состояние группового анализа во многом определяется работами 60-х годов (Л. В. Овсянников и его Новосибирская школа [83-85]). Алгоритмы поиска группы Ли, развитые академиком Л. В. Овсянниковым, открыли новый этап в исследовании ряда нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными.

Расширение области приложений групп Ли преобразований к уравнениям нелинейной математической физики произошло благодаря обобщению теории С. Ли, созданному к 1977 году Н. X. Ибрагимовым и Р. Л. Андерсоном (группы Ли-Беклунда) [63,172]. В дальнейшем стали использоваться и группы с формальными рядами (формальные симметрии) и приближенные симметрии [11,12,60].

Для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) сфера применения метода Ли оказалась намного уже, чем для уравнений с частными производными. Как показал уже сам С. Ли, для уравнений первого порядка метод приводит к уравнению, эквивалентному по сложности исходному; а для уравнений высших порядков допускаемая группа часто тривиальна.

Поиск нового подхода к классификации, исследованию и интегрированию ОДУ лежал на пути объединения эвристического опыта таких известных математиков прошлого, как Абель, Бернулли, Клеро, Лагранж, Эйлер, Якоби, стандартных приемов понижения порядка уравнений, собранных в учебниках и справочниках [66,67,76,179,195] с регулярными методами классического группового анализа. Этот путь привел к созданию в 1976 году В. Ф. Зайцевым дискретно-группового анализа (ДГА)

36,37,39-45], а, впоследствии, к организации Санкт-Петербургской школы современного группового анализа.

Развитый новый подход к исследованию групповых свойств ОДУ оказался весьма плодотворным и позволяет как описать дискретные симметрии классов уравнений, вообще неинтегрируемых, так и найти на основе известных разрешимых уравнений ряд новых, которые, как правило, не могут быть найдены ни классическими, ни регулярными групповыми методами [38,48,52,54].

Для задач структурного синтеза дифференциальных уравнений с априорной симметрией, также как и для задач анализа симметрийной структуры уравнений, наравне с лиевским (классическим) и дискретно-групповым анализом дифференциальных уравнений используется техника интегральных многообразий. При этом рассматривается не только отдельное уравнение инвариантное к определенной группе симметрий, но и класс уравнений, связанных дискретной симметрией, а также дифференциальный комплекс уравнений разных порядков, базирующихся на одном многообразии.

Разработанная и реализованная на ПЭВМ теоретико-групповая методология получения аналитических решений для широкого класса систем нелинейных дифференциальных уравнений, охватывающая случаи, для которых ранее возможно было лишь получение решений численными методами, кардинально облегчает процессы моделирования и построения управлений [53, 107].

К настоящему времени накоплен большой практический опыт применения подобных методов и проанализировано около 7000 уравнений нелинейной динамики, которые ранее рассматривались как не имеющие аналитических решений и не приводились ни в одном из широко известных до 90 годов XX века справочников по дифференциальным уравнениям [66,67,179,195].

На современном этапе развития математического моделирования возросла роль компьютерного анализа сложных нелинейных многопараметрических задач. Подчас применение алгоритмов аналитических вычислений (компьютерной алгебры) на современных компьютерных системах (Mathematica, Maple, Reduce) является единственным рабочим инструментом исследователя.

Полиномиальная алгебра, редукция полиномов, алгоритмы формального интегрирования составляют основные алгоритмы компьютерной алгебры. Полиномиальные вычисления и алгебраический анализ базисных функций для дифференциальных полей обладают высокой степенью стандартизации и легко реализуются на компьютере.

Благодаря развитым возможностям систем аналитических вычислений, реализуются основные алгоритмы группового анализа: алгоритм Ли, алгоритм построения и частичного решения определяющих систем, алгоритмы поиска дискретных групп преобразований. Такие алгоритмы составляют ядро программных средств, которые существенно ускоряют процесс научных исследований (так, например, вычисления по дискретной группе 24-го порядка в системе Reduce занимает считанные минуты реального времени). Работая с библиотечными файлами и программами, часто приходится создавать новые разделы и пакеты программ, модернизировать старые, тем самым порождать, в конечном итоге, собственный инструмент научных исследований. С увеличением разнообразия решаемых задач обогащаются и методы достижения результатов. Здесь уже используемая система аналитических вычислений начинает играть роль базы знаний (БЗ) и служить наполнением для систем искусственного интеллекта (ИИ).

Современные компьютерные технологии предоставляют исследователям не только разнообразные системы аналитических вычислений, но и средства обработки сложной математической информации, а также обеспечивают новые возможности по организации, хранению, иллюстративности и сетевой (доступных для многих пользователей посредством Интернет) передачи такой информации. Таким образом, появление и развитие компьютерных банков моделей, основу которых составляет справочная литература, также приводит к БЗ и интеллектуальным справочным системам.

Разработка простых и эффективных электронных справочников, основанных на новых принципах организации БД и БЗ, является важной проблемой на пути совершенствования современных информационных систем (ИС), АСНИ, экспертных систем и САПР, широко используемых для автоматизации научного поиска, организации вычислительных экспериментов, идентификации неизвестных моделей и закономерностей, нелинейного анализа сложных процессов и явлений. На сегодняшний день известно более 6000 дифференциальных уравнений, допускающих аналитическое решение (см., например, справочники Э.Камке (1976), М.Мерфи (1960), Д.Цвиллингера (1989), В.Ф.Зайцева, А.Д.Полянина (1993, 1994, 1995, 1997)), а также около 3000 уравнений в частных производных 1-го порядка (см., например, справочники Э.Камке (1966), В.Ф.Зайцева, А.Д.Полянина (1996)). Однако их анализ «вручную» сложен и нуждается в автоматизации с помощью современных средств компьютерной алгебры и методов организации, выборки и хранения для БЗ.

Разработанная для этих целей на начальном этапе (3 -версия системы БЮКЛЫ (БЬ^е-ОКоир АЫа^э) [109,114,129,147,148,150] сочетала в себе простые возможности представления текста на экране и достоинства программируемого знакогенератора для отображения математических формул с ограниченными средствами ввода текста и графики. Информационная структура системы ОЮКАКг послужила основой для новой версии ИС «Дифференциальные уравнения» КБИТ 1.0, которая является составной частью общей ИС «Дифференциальные уравнения и динамические системы» [88]. Система предназначена в первую очередь для конечного пользователя-математика, использующего современные средства телекоммуникации и, работающего с динамическими моделями. Структура ИС полностью согласована с принятой и отработанной структурой современной справочной литературы и групповой классификацией дифференциальных уравнений [49-51,173,183-185,194].

Основной целью настоящей диссертационной работы является разработка новых методов структурного синтеза и установление общих принципов инвариантного анализа сложных, как правило, нелинейных систем, имеющих аналитическое представление в виде многопараметрических дифференциальных уравнений, динамических систем с управлением, экологических или эколого-экономических систем. Предлагаются алгоритмы и программы аналитических вычислений для разработанных методов, а также информационная поддержка созданных справочных баз данных и интеллектуальных поисковых систем.

В соответствии с поставленной целью в диссертационной работе формулируются и решаются следующие задачи:

• исследование методов структурного синтеза нелинейных моделей, обладающих априорной симметрией заданного вида;

• разработка методов структурного синтеза на базе формальных интегральных многообразий и дифференциальных комплексов;

• структурная классификация уравнений типа Брио и Буке;

• структурная классификация уравнений полиномиального типа;

• инвариантный анализ и синтез сингулярных структур и дискретных орбит некоторых классов ОДУ;

• симметрийный анализ некоторых обратимых управляемых систем;

• симметрийный анализ и синтез экологических и эколого-экономических систем минимального типа;

• приложение разработанных структурных методов к автогенерации сложных нелинейных моделей в аналитической форме;

• разработка справочных баз данных, интеллектуальных поисковых систем и дополнительных информационных комплексов в области дифференциальных уравнений и динамических моделей.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений. В приложении вынесены тексты программ и распечатки результатов по некоторым из них. Общий объем работы составляет 254 страницы, включая 25 рисунков и 7 таблиц. Библиография насчитывает 195 наименований.

Заключение

Кратко перечислим основные результаты диссертационной работы, совокупность которых, в первую очередь, оказывает влияние на развитие перспективного научного направления - дискретно-группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений, а также, приводит к эффективному использованию современных информационных технологий в области дифференциальных уравнений и динамических моделей в целом:

• Разработаны методы структурно-инвариантного синтеза математических моделей на базе формальных интегральных многообразий и дифференциальных комплексов;

• Проведена структурная классификация уравнений типа Брио-. Буке и полиномиального типа;

• Синтезированы новые математические модели с априорной симметрийной структурой. Выявлены связи этих моделей на разных уровнях с инвариантными моделями, полученными ранее;

• Разработаны алгоритмы современных аналитических вычислений для синтеза нелинейных моделей, допускающих базисные формы аналитического представления решений в классе полиномиальных функций;

• Разработана интеллектуальная справочная система поиска и хранения динамических моделей в аналитической форме с возможным распределенным доступом по сети Интернет;

• Осуществлена программная реализация интеллектуальной математической справочной системы в области дифференциальных уравнений.

205

Выполненные в диссертационной работе исследования проводились в соответствии с планами института по научному направлению №4 «Теоретические основы построения информационных технологий для интеллектуальных систем автоматизации научных исследований, управления и производства».

Разработанные алгоритмы и реализованные программные комплексы, орйентированные на символьные вычисления для сложных систем в виде многопараметрических дифференциальных уравнений, открывают широкий доступ исследователям к наукоемким прикладным пакетам.

Разработанные электронные справочные базы данных, интеллектуальные поисковые системы и дополнительные информационные комплексы в области дифференциальных уравнений и динамических моделей обеспечивают новые возможности по организации, хранению, иллюстративности и сетевой многопользовательской передачи такой информации. Они существенно восполняют набор современных ИС, особенно математических ИС, широко используемых для автоматизации научного поиска, организации вычислительных экспериментов, идентификации неизвестных моделей и закономерностей, нелинейного анализа сложных процессов и явлений.

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987.-479 с.

2. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979. 832с.

3. Аврашков П.П., Зайцев В.Ф. Лиевские симметрии и первые интегралы одного класса дифференциальных уравнений// Сб. научных трудов ОГТУ, Т.8.-Орел: Орел ГТУ, 1996. С. 44-49.

4. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. М.: Мир, 1994. 544с.

5. Аладьев В.З., Шишаков М.Л. Введение в среду пакета Mathematica 2.2. М.: Инф.-изд. дом «Филинъ», 1997. 368с.

6. Аладьев В.З., Тупало В.Г. Алгебраические вычисления на компьютере. М.: Минтопэнерго, 1993. 251 с.

7. Алексеева Т.А. Уравнения Абеля второго рода, обладающие полуфундаментальной системой решений// Сб. научных трудов ОГТУ, т. 8.-Орел: Орел ГТУ, 1996. С. 54-63.

8. Аналитические вычисления на ЭВМ и их применение в теоретической физике// Труды Международного совещания. Дубна: ОИЯИ, 1980. -187с.; 1983. 260с.; 1985. - 420с.

9. Ю.Арайс Е.А., Шапеев В.П., Яненко H.H. Реализация метода внешних форм Картана на ЭВМ// ДАН СССР, т. 214, N4, 1974. С. 296-298.

10. П.Ахатов И.Ш, Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Нелокальные симметрии. Эвристический подход Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т.34 (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР). ML, 1989.-C.3-83.

11. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Методы возмущений в групповом анализе// Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т.34 (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР). М., 1989 С.85-147.

12. Берман B.C., Климов Д.М. Система muMATH muSIMP для символьных вычислений на персональном компьютере. Препринт N298. М.: ИПМАН СССР, 1987.-31с.

13. Боголюбская A.A., Жидкова И.Е., Ростовцев В.А. Система программирования REDUCE-2. Дубна: ОИЯИ, Б1-11-83-512, 1983. 35с.

14. Галактионов В.А., Посашков С.А., Свирщевский С.Р. Обобщенное разделение переменных для дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями. Дифференциальные уравнения, 1995, т.31, N2, с. 253-261.

15. Ганжа В.Г., Мелешко C.B., Мурзин Ф.А., Шапеев В.П., Яненко H.H. Реализация на ЭВМ алгоритма исследования на совместность систем уравнений в частных производных. ДАН СССР, т.261, N5, 1981. -С. 1044-1046.

16. Геометрический центр университета Миннесоты (Center for the Computation and Visualization of Geometric Structures, a National Science Foundation Science and Technology Center at the University of Minnesota) http://www.geom.umn.edu/

17. Герд В.П., Тарасов O.B., Ширков Д.В. Аналитические вычисления на ЭВМ в приложении к физике и математике. УФН, т. 130, вып.1, 1980. -С.113-147.

18. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. М.: Мир, 1997. 208 с.

19. Городецкий O.A., Климов Д.М., Корлюков A.B., Проворов JI.B. Программирование компонент систем аналитических выкладок на РЕФА-Ле. Препринт N295. М.: ИПМ АН СССР, 1987. 65с.

20. Грошева М.В., Ефимов Г.Б., Брумберг В.А. и др. Системы аналитических вычислений на ЭВМ: Информатор N1. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1983. 65с.

21. Грошева М.В., Климов Д.М. Опыт использования аналитических преобразований на ЭВМ в задачах механики. Препринт N296. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1987. 40с.

22. Турин Н.И., Скоморохов А.Г. Аналитические вычисления в системе REDUCE: Справочное пособие. Минск: Наука и техника, 1989. 119с.

23. Гутник С.А. и др. Основы применения прикладных программных систем: Учебное пособие. М.: МФТИ, 1993. 128с.

24. Дородницын В. А. Групповые свойства и инвариантные решения уравнений нелинейной теплопроводности с источником или стоком. М.: Препринт N 57, ИПМ АН СССР, 1979. 32 с.

25. Дородницын В. А. Об инвариантных решениях уравнения нелинейной теплопроводности с источником.// Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1982, т.22, N 6, с. 1393-1400.

26. Дородницын В. А., Свирщевский С. Р. О группах Ли Беклунда, допускаемых уравнением теплопроводности с источником. М.: Препринт N 101, ИПМ АН СССР, 1983. - 28 с.

27. Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра. М.: Мир, 1991.352с.

28. Дьяконов В.П. Справочник по применению системы PC MatLab. М.: Наука, 1993.-112с.

29. Елисеев В.П., Корняк В.В., Федорова Р.Н. REDUCE программа для определения симметрий Ли дифференциальных уравнений : Препринт 11-84-238, Дубна: ОИЯИ, 1984. - 10с.

30. Ефимов С.Б. О существовании решения системы двух уравнений Брио и Буке// Методы и модели управления. Рига. РПИ, вып.8, 1974.-С.98-102.

31. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988.-328с.

32. Журов А.И., Карпов И.И., Шингарева И.К. Основы Maple. Применение в механике. Препринт №536, М.: ИПМ РАН, 1995. 76с.

33. Зайцев В.Ф. К вопросу о конечных группах преобразований нелинейных дифференциальных уравнений 2-го порядка// Дифференциальные уравне-ния. Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР. Вып.7, Рязань, 1976. С.57-62.

34. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповые методы теории дифференциальных уравнений. ч.1. Деп. ВИНИТИN5739, Л.: ЛГУ, 1982. 130с.

35. Зайцев В.Ф. Интегрирование уравнения Эмдена-Фаулера методом дискретных групп нелокальных преобразований// Дифференциальные уравнения с частными производными. Л.: ЛГПИ, 1988. С.81-85.

36. Зайцев В.Ф. О дискретно-групповом анализе обыкновенных дифференциальных уравнений// ДАН СССР, т.299, N3, 1988. С.542-545

37. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения, т.25, N3,1989. -С.379-387.

38. Зайцев В.Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений. Л.: ЛГПИ, 1989. 80с.

39. Зайцев В.Ф. Построение точной модели, обладающей некоторой точечной симметрией// Математическое моделирование, т.7, №5, 1995. -С.12-14.

40. Зайцев В.Ф. Введение в современный групповой анализ. Учебное пособие. СПб.: РГПУ,ч.1, 1996-40с.; ч.2, 1996-40с.

41. Зайцев В.Ф. О современном групповом анализе обыкновенных дифференциальных уравнений// Труды 2 Международной Конференции "Дифференциальные уравнения и их применения". СПбГТУ, Санкт-Петербург, 1998 с. 137-151.

42. Зайцев В.Ф., Кормилицына Т.В. Дискретно-групповые методы теории дифференциальных уравнений. ч.2. Деп. ВИНИТИ N3720, Л.: ЛГПИ, 1985.- 150с.

43. Зайцев В.Ф., Кормилицына Т.В. Дискретно-групповой подход к спектральным и обратным задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. Деп. ВИНИТИ N3529-686, Л.: ЛГПИ, 1986. 31с.

44. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Дискретно-групповой метод интегрирования уравнений нелинейной механики: Препринт N339. М.: ИПМ АН СССР, 1988. -44с.

45. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям: Приложения в механике, точные решения. М.: Наука, 1993. 464 с.

46. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Точные решения. М.: Физматлит, 1995. 560с.

47. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Факториал, 1997. 430 с.

48. Зайцев В.Ф., Флегонтов A.B. Дискретно-групповой анализ дифференциальных уравнений. Методы и алгоритмы: Препринт N84. Л.: ЛИИАН, 1988. -66с.

49. Зайцев В.Ф., Флегонтов A.B. Дискретно-групповые методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. J1.: ЛИИАН, 1991.-240с.

50. Зайцев В.Ф., Флегонтов A.B., Хакимова З.Н. Дискретно-групповой анализ дифференциальных уравнений. Точные решения уравнений: Препринт N 105. Л.: ЛИИАН, 1989. 61с.

51. Зайцев В.Ф., Флегонтов A.B. Конечные системы полиномиальных функций, замкнутые на некотором классе преобразований обобщенного уравнения Эмдена-Фаулера// Методы и средства информационной технологии в науке и производстве. СПб.: Наука, 1992. с.67-73.

52. Зайцев В.Ф., Флегонтов A.B. Дискретно-групповой анализ и автоматизация научного поиска// Вопросы прикладной информатики. С.-Петербург : СПИИРАН, 1993. с.88-98.

53. Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский JL П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980. 320 с.

54. Зотов Ю.К., Тимофеев A.B. Управляемость и стабилизация программных движений обратимых механических и электромеханических систем//ПММ. 1992. Т.56, вып.6. С.968-975.

55. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973.

56. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. -280с.

57. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание, 8, 1989. 48с.

58. Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Знание, 7,1991.-48с.

59. Ибрагимов Н.Х., Андерсон P.JI. Группы касательных преобразований Ли-Беклунда// ДАН СССР, т.227, N3, 1976. С.539-542.

60. Иванищев В.В., Михайлов В.В., Флегонтов A.B. и др. Имитационное моделирование природной системы «озеро-водосбор». Л.: ЛИИАН, 1987.-230с.

61. Иртегов Д.В. Опыт использования конвертора LaTeX2HTML в электронной публикации. ЦНИТ НГУ, fancy@cnit.nsu.ru Institute of Computation Technologies SB RAS, Novosibirsk 1996

62. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966. 260 с.

63. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям // Пер. с нем. Под ред. Н.Х. Розова: Изд.5-е. М.: Наука, 1976. -576с.

64. Касти Дж. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы. М.: Мир, 1982.-216с.

65. Климов Д.М., Руденко В.М. Методы компьютерной алгебры в задачах механики. М.: Наука, 1989. 215с.

66. Компьютерная алгебра// Ред. Б.Бухбергер, Дж.Коллинз, P.JIooc /Пер. с англ. Под ред. H.H. Говоруна. М.: Мир, 1986. 392с.

67. Комягин В.Б. 3D Studio: Трехмерная компьютерная мультипликация или 3D Studio от версии 2 к версии 4. Практическое пособ. -М.: ЭКОМ.,1995. 416с.

68. Легенький В.И. Симметрии и проблема редукции в синтезе оптимальных систем// Кибернетика и вычислительная техника. Вып. 95, 1992. С. 12-18.

69. Легенький В.И. Приложение групп Ли к решению задач управления летательными аппаратами// Современный групповой анализ. Меж. сб., М., МФТИ, 1993.-С. 69-74.

70. Лопатин А.К. О разрешимости дифференциальных уравнений в классе алгебраических функций// Труды семинара по дифференциальным и интегральным уравнениям. Вып.1, Киев : ИМАН УССР, 1969 -с.273-280.

71. Марков С.Н. О формальном построении голоморфных решений системы двух уравнений типа Брио и Буке// Методы и модели управления. Рига. РПИ, вып.8, 1974. С. 103-104.

72. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений: Изд.З-е. М.: Высшая школа, 1967. 564с.

73. Матвеев Н.М. Аналитическая теория дифференциальных уравнений. Л.: ЛГПИ, 1988.- 101с.

74. Матвеев Н.М. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений: Учеб. Пособие. СПб.: Изд. СПбГУ, 1995. - 314с.

75. Математические методы в теории систем. М., Мир, 1979. 328с.

76. Мешков А.Г. Введение в Maple. Основы программирования: Учебное пособие. Орел: ОГУ, 1998. 134с.

77. Мячин В.Ф. О системе двух уравнений Брио и Буке// Вестник ЛГУ, вып.2,№7, 1958.-С. 36-43.

78. Нелепин P.A. и др. Алгоритмический синтез нелинейных систем управления. Л.: ЛГУ, 1990. 240с.

79. Овсянников Л.В. Группы и инвариантно-групповые решения дифференциальных уравнений// ДАН СССР, т. 118, N 3, 1958. С.439-442.

80. Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск.: Изд. СО АН СССР, 1962. 240с.

81. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.-399с.86.0лвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989.-637с.

82. Осипенко Г.С., Зайцев В.Ф., Флегонтов A.B. Структура информационной системы "Дифференциальные уравнения"//Сборник тез.докл. 2 Международной Конференции "Дифференциальные уравнения и их применения". СПбГТУ, Санкт-Петербург, 1998 с.136-138

83. Осипенко Г.С., Зайцев В.Ф., Флегонтов A.B. Информационная система "Дифференциальные уравнения"//Труды 2 Международной Конференции "Дифференциальные уравнения и их применения". СПбГТУ, Санкт-Петербург, 1998 с. 162-173

84. Павловский Ю.Н., Яковенко Г.Н. Группы, допускаемые динамическими системами// Методы оптимизации и их приложения. Новосибирск, Наука, 1982, с.155-189.

85. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970. 279 с.

86. Полянин А.Д., Журов А.И. Алгебраический метод интегрирования дифференциальных уравнений нелинейной механики// ДАН, т.339 , N2, 1994. С.22-25

87. Попов М.Д. Автоматизация вычисления определяющих уравнений группы Ли// Изв. АН БССР, Физико-математические науки, N2, 1985. -С.33-37.

88. Руденко В.М. Символьные вычисления на языке REDUCE для задач механики: Препринт N297. М.: ИПМ АН СССР, 1987. 25с.

89. Свирщевский С.Р. Высшие симметрии линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и линейные пространства, инвариантные относительно нелинейных операторов: Препринт №14, М.: ИММ РАН, 1993.-24с.

90. Свирщевский С.Р. Симметрии Ли-Беклунда линейных ОДУ и инвариантные линейные пространства// Современный групповой анализ. М.: МФТИ, 1993.-С.75-83.

91. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко H.H. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1984.-272с.

92. Современный групповой анализ: методы и приложения. Некоторые задачи современной физики// Под ред. Флегонтова A.B. : Препринт № 116, Л.: ЛИИАН, 1990. 70с.

93. Тимофеев A.B. Методы синтеза диофантовых нейросетей минимальной сложности// ДАН, 1995, т.345, N 1, с.32-35.

94. Тимофеев A.B. Мультиагентное и интеллектуальное управление сложными робототехническими системами// Теоретические основы и прикладные задачи интеллектуальных информационных технологий. Санкт-Петербург, СПИИРАН, 1998,-С. 71-81.

95. ЮО.Тимофеев A.B., Юсупов P.M. Интеллектуализация систем автоматического управления// Изв.АН. Техническая кибернетика, 1994, N5.

96. Флегонтов A.B. О существовании исчезающих решений системы типа Врио и Буке// Методы и модели управления. Рига. РПИ, вып.8, 1974. -с.105-110.

97. Ю2.Флегонтов A.B. О машинной реализации алгоритмов дискретно-группового анализа// Современный групповой анализ/ Методы и приложения. Баку: ЭЛМ, 1989. 8с.

98. ЮЗ.Флегонтов A.B. и др. Современный групповой анализ: методы и приложения. Дискретно-групповой анализ: Препринт № 107. Л.: ЛИИАН, 1989. -58с.

99. Ю4.Флегонтов A.B. и др. Укрупненная алгоритмическая модель природной системы "озеро-водосбор"// Проблемы информационной технологии и интегральной автоматизации производства. -Л.: Наука. Лен.отд., 1989.-С.137-144.

100. Ю5.Флегонтов A.B. и др. Современный групповой анализ: методы и приложения. Симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений: Препринт № 130, Л.: ЛИИАН, 1990. 39с.

101. Юб.Флегонтов A.B. и др. Симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений. Препринт N137. Л.: ЛИИАН, 1991. -41с.

102. Флегонтов A.B. Автоматизация методов дискретного симметрийного анализа с помощью систем аналитических вычислений: Автореферат дисс. на соиск. уч. степ. канд. ф.-м. н. Ленинград, 1991. 16 с.

103. Ю8.Флегонтов A.B. О базисах сингулярных орбит класса ОУЭФ// Современный групповой анализ. Методы и приложения, IX Росс, коллоквиум. Нижний Новгород.: НИРФ, 1992. с.50.

104. Ю.Флегонтов A.B. Некоторые оценки приближенных дискретно-инвариантных решений // Современный групповой анализ и задачи математического моделирования, XI Росс, коллоквиум. Самара.: Самарский университет, 1993. с.128-129.

105. П.Флегонтов A.B. Компьютерный справочник нелинейных дифференциальных уравнений. Система ДИГРАН и ее расширения.// Региональная информатика'94. СПб., СПИИРАН. 1994 2с.

106. Флегонтов A.B. ДИГРАН компьютерный справочник по точным решениям дифференциальных уравнений.// Дифференциальные уравнения и их приложения. Саранск.: МГУ, 1994. - С. 133

107. Флегонтов A.B. Применение компьютерного справочника DIGRAN и системы Reduce для симметрийного анализа дифференциальных уравнений// Моделирование процессов управления и обработки информации. М.: МФТИ, 1994. С. 200-216.

108. Флегонтов A.B. Компьютерный справочник поиска аналитических решений о.д.у. (система ДИГРАН и ее расширения)// Компьютерные технологии в высшем образовании. СПб. ИТМО. 1994 2с.

109. Флегонтов A.B. MAPLE-реализации одного алгебраического алгоритма// Сб. научных трудов ОГТУ, т.8.-Орел: Орел ГТУ, 1996. С. 93-98.

110. Пб.Флегонтов A.B. Основы символьных и, алгебраических вычислений на персональном компьютере. Орел: ОГПУ, 1996. 30 с.

111. П.Флегонтов A.B. Инвариантный синтез модельных уравнений// Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений. Труды Межд. конф. Орел: ОГУ, 1996. С. 64-66.

112. Флегонтов A.B. Инвариантный синтез некоторых дифференциальных уравнений// Аналитическая механика, устойчивость и управление движением. VII Четаевская конф. Тез. докл. Казань: Изд. Казан, гос. техн. ун-та, 1997.- С. 120

113. Флегонтов A.B. Синтез дифферениальных уравнений и их групп на многообразиях// Дифференциальные уравнения и процессы управления. N2, 1998. Эл.ж. Рег.н.:П23275 от 07.03.1997. http://www.neva.ru/journal 10с.

114. Флегонтов A.B. О кодировке и структуре математических информационных систем// Региональная информатика 98. Тезисы РИ'98. - 1с.

115. Флегонтов A.B. Индуцируемые симметрии синтезируемых уравнений// Сборник тез.докл. 2 Международной Конференции "Дифференциальные уравнения и их применения". СПбГТУ, Санкт-Петербург, 1998 с. 166-167

116. Флегонтов A.B. Полиномиальные системы в задачах инвариантного анализа и синтеза на многообразиях// Теоретические основы и прикладные задачи интеллектуальных информационных технологий. Санкт-Петербург, СПИИРАН, 1998,- С. 261-267

117. Флегонтов A.B. Дифференциальные уравнения: симметрийный синтез, базы знаний// Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-12. Тез. докл. 12 Международной научн. конф. 1-4.06. Новгород, НовГУ, 1999 2 с.

118. Флегонтов A.B. О сингулярных структурах интегральных многообразий с дискретной симметрией// Труды IX Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики (МДОЗМФ 2000)». Орёл, ОГУ, 2000 - с.448-451.

119. Флегонтов A.B. О симметрийном и структурном анализе управляемых систем// Сб. Трудов 1-ой Международная конференция по мехатронике и робототехнике (МиР'2000), т.2, Санкт-Петербург, НПО Омега БФ Омега, 2000. с.349-354.

120. Флегонтов A.B. Инвариантный анализ и структурный синтез сложных математических систем// Дифференциальные уравнения и процессы управления. N1, 2000. Эл.ж. Рег.н.:П23275 от 07.03.1997. http://www.neva.ru/journal 30с.

121. Флегонтов A.B., Жердев H.JI. Применение пакета Autodesk 3D Studio в дискретно-групповом анализе и теории графов// Сб. научных трудов ученых Орловск. обл. Вып.2 Орел: ОрелГТУ, 1996. С. 247-250.

122. Флегонтов A.B., Жердев H.JI. Компьютерные методы анимационной графики для группового анализа// Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений. Труды Межд. конф. Орел: ОГУ, 1996. С. 103-104.

123. Флегонтов A.B., Зайцев В.Ф. Система ДИГРАН компьютерный справочник поиска аналитических решений обыкновенных дифференциальных уравнений// Новые информационные технологии в образовании. Ижевск, Удмуртский государственный университет, 1993. -Зс.

124. Флегонтов A.B., Зайцев В.Ф. Обратные задачи математического моделирования// Экологическое моделирование и оптимизация в условиях техногенеза. Тез. I Межд. конференции ЭМО-96. Беларусь, Минск, БГПА, 1996. 1 с.

125. Флегонтов A.B., Ноздрунов Н.В. Язык описания формул и гипертекстовая обработка для текстово-графической базы данных// Сб. научных трудов ученых Орловск. обл. Вып.2 Орел: ОрелГТУ, 1996. С. 227-230.

126. Флегонтов A.B., Ноздрунов Н.В. Информационная структура интеллектуальных справочных систем// Алгебраические и аналитическиеметоды в теории дифференциальных уравнений. Труды Межд. конф. Орел: ОГУ, 1996. С. 105-107.

127. Флегонтов А.В., Осипенко Г.С. Распределенные математические базы данных// Tools for Mathematical Modelling. Book of abstracts. The Second International Conference June 14-19, 1999. SPb. STGU, 1999 -c.217-218.

128. Четверкин С.A. 3D Studio: справочник. Казань: ГАРМОНИЯ Комь-юникейшнз, 1995. - 160с.

129. Яковенко Г.Н. Симметрии по состоянию в системах с управлением// В кн. Прикладная механика и математика. М.: МФТИ, 1992. С. 155176.

130. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции (Формулы, графики, таблицы). М.: Наука, 1968. 344с.

131. Autodesk Animator Pro: Создадим анимацию сами. Мн.; ООО "Поли-Биг", 1995. -176с.

132. Baumann G. Lie Symmetries of Differential Equations: Preprint. Univ. Of Ulm, Germany, 1992.

133. Baumann G. Lie Symmetries of Differential Equations. A Mathematica program to determine Lie symmetries. Wolfram Research Inc. Champaign, Math-Source 0202-622, 1997.

134. Baumann G. Symmetry Analysis of Differential Equations using MathLie. Univ. Of Ulm, Germany, 1998.

135. Bluman G. W., Cole J. D. Similarity Methods for Differential Equations. New York, Springer Verlag, 1974. 332 p.

136. Brio J.C., Bouquet C.A.A. Recherches sur les propriétés des fonctions, defmies par des equations différentielles// J.Ecole Polytechn., 21, cahier 36, 1856.

137. Denk W. FORMAC 84. User's Manual. Friedrich-Schiller-Universitat, Jena. DDR, 1986,- 75p.

138. Engelman S. MATHLAB-68. Proc. IFIP 68. Amsterdam: North-Holland, 1969. -P.462-467.

139. Fedotov A., Oleinik O. WebEQ: Набор математических формул для WWW.www@www-sbras.nsc.ru

140. Flegontov A. The information approach to problems of modeling of nonlinear systems with a priory symmetry// CSAM'93 St.Petersburg, July 1923, 1993. Abstracts. 74-75 p.

141. Flegontov A. DIGRAN 1.0 Computer look-up systems new generation// CSAM'93 St.Petersburg, July 19-23, 1993. Abstracts. - p.75

142. Flegontov A.V. DIGRAN-computerized reference book// New computer technologies in control systems. July 11-15, 1994. Abstracts. Pereslavl-Zalessky, PSI RAS, 1994. 2p.

143. Flegontov A. Exact solutions of nonlinear equations and organization of computerized reference book// Эволюция инфосферы. Информатика'95. Тез. междун. конф. Москва, 21-23.11.95. -2 с.

144. Flegontov A. Invariant synthesis of some differential equations// Modern Group Analysis VII. Lie Groups and Contemporary Symmetry Analysis.

145. Abstracts of the Int. Conference. Nordfjordeid in Norway, NTNU, 1997. 1 P

146. Flegontov A. Invariant controlled convertible systems// Symmetry in nonlinear mathematical physics. Abstracts of the Second International Conference. IM NASU, Kiev, Ukraina, 1997. 1 p.

147. Flegontov A. Invariant polynomials of representation and information structure of mathematical models// Informatics and Control. Proceedings of the International Conference ICI&C97. V.2. St.Petersburg, Russia.: SPIIRAS, 1997. 572-579 c.

148. Flegontov A.V. Information system "Differetial equations"// Intern. Conf. of Mathtools'97. Abstracts. St.- Peterburg, GTU, 1997. C. 24.

149. Flegontov A.V. Synthesis of differential equations and their groups on manifolds// Computer Algebra in Scientific Computing. Extended abstracts of the Int.Conf.CASC-98. St.Petersburg: Euler IMI, 1998. c.42-47

150. Flegontov A.V. About Syntesis of Differential Equations and their Groups//C6opHHK тез. докл. 2 Международной Конференции "Дифференциальные уравнения и их применения". СПбГТУ, Санкт-Петербург, 1998 с.ЗЗ

151. Flegontov A. Invariant Controlled Convertible Systems// Abstract of the 6th SPb. Symposium on adaptive systems theory (SPAS'99). 1999 Saint-Petersburg, Russia, St-Petersburg State University 2p.

152. Flegontov A. About Synthesis of Differential Equations and Their Groups// IMS'99 International Mathematica Symposium. August 26-29, 1999 Hagenberg,Austria.-lp, http://south.rotol.ramk.fi/~keranen/IMS99/ims99papers/ims99papers.html

153. Gerdt V.P., Shvachka A.V., Zharkov A.Y. Computer Algebra Applications for Classification of Integrable Non-Linear Evolution Equations// J.Symbolic Сотр., 1, 1985.-P.101-107.

154. Head A.K. LIE, a PC program for Lie analysis of differential equations// Computer Physics Communications, v.71, 1993. P.241-248.

155. Hearn A.C. REDUCE. User's Manual (version 2.0). Utah: Univ. of Utah, 1973.

156. Hearn A.C. REDUCE. User's Manual (version 3.0). Santa Monica, 1983.

157. Hearn A.C. REDUCE. User's Manual (version 3.2). Santa Monica: The Rand Corporation, 1985.

158. Hereman W. Review of Symbolic Software for the Computation of Lie Symmetries of Differential Equations. Euromath Bulletin 2, n.l, MCS-93-01, Summer 1993.-32p.

159. Horn J. Gewohnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung. Berlin, 1905.

160. Horn J. Gewohnliche Differentialgleichungen. Berlin, 1948.

161. Ibragimov N.H., Anderson R.L. Lie-Backlund tangent Transformations// J.

162. Mathem. Analysis & Appl. V.59, N 1, 1977.-P.145-162.

163. Ibragimov N. H. (editor). CRC Handbook of Lie Group to Differential Equations, vol.1. Boca Raton, CRC Press, 1993.

164. Ito M. and Kako F. A REDUCE program for finding Conserved Densities of Partial Differential Equations with Uniform Rank// Comput. Physics Comm., 38, 1985. P.415-419.

165. Kovacic J.J. An Algorithm for Solving Second Order Linear Homogeneous Differential Equations// J.Symbolic Comp., 2, 1986. P.3-43.

166. Lie S. Sur les equations différentielles ordinaires qui possèdent les systèmes fondamentaux d'integrales// Comptes rendues de l'Academie des Sciences de Paris. CXVI, 1893.-P.1233-1235.

167. MATLAB. High-Performance Numeric Computation and Visualization Software. Math Works Inc. Reference Guide, 1992. -548p.; - User's Guide, 1993.-184p.

168. Moussiaux A. CONVODE. Un programme REDUCE pour la resolution des equations différentielles. Editeur:Didier Hatier: Bruxelles, 1993. -286p.

169. Moscow, Russia, MEPhI Publishing, 1999, ISBN 5-7262-0263-5, http://msu.jurinfor.ru/CSIT99 5p.

170. Pohle H.J., Wolf T. Automatic Determination of Dynamical Symmetries of Ordinary Differential Equations: Preprint N/87/15. FSU, Jena, DDR, 1987.-16p.

171. Polyanin A. D., Dilman V. V. Methods of Modeling Equations and Analogies in Chemical Engineering. Boca Raton, CRC Press, 1994. 364 p.

172. Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations. Boca Raton New York: CRC Press, 1995. - 720 p.

173. Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbuch der linearen Differentialgleichungen. Heidelberg Berlin: Spectrum Akad. Verlag, 1996.-460p.

174. Poljanin A. D., Sajzew V. F. Summlung gewöhlnlicher Differentialgleichungen. Frankfurt am Main, Verlag Harri Deuisch, 1996. -212 p.

175. Rayna G. REDUCE. Software for Algebraic Computation. New York: Springer-Verlag, 1987.-330p.

176. Rich A., Stoutemyer D.R. Capabilities of the muMATH-79 Computer Algebra System for the INTEL-8080 Microprocessor. EUROSAM, 1979. -P.241-248.

177. Schmidt P. Substitution Methods for the Automatic Solution of Differential Equations of the 1st Order and 1st Degree. EUROSAM, 1979. - P.164-176.

178. Schwarz F. A REDUCE Package for Determining Lie Symmetries of Ordinary and Partial Differential Equations// Computer Physics Communications, 27, N2, 1982. P. 179-186.

179. Schwarz F. Automatically Determining Symmetries of Partial Differential Equations// Computing, 34, 1985. -P.91-106.