автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование некоторых нелинейных математических моделей с дискретной симметрией

УДК 530.182, 519.6 На правах рукописи

Рябов Денис Сергеевич 003487707

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ С ДИСКРЕТНОЙ СИММЕТРИЕЙ

Специальность: 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 о ДЕК 2009

г. Ростов-на-Дону — 2009

003487707

Работа выполнена в НИИ физики Южного федерального университета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, доцент Чечин Георгий Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор Тарасевич Юрий Юрьевич (Астраханский государственный университет, г. Астрахань)

доктор физико-математических наук, профессор Куповых Геннадий Владимирович (Таганрогский технологический институт Южного федерального университета, г. Таганрог)

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, г. Нижний Новгород

Защита диссертации состоится « » декабря 2009 г. в "/У часов минут на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 при Южном федеральном университете по адресу: 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д-406.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке Южного федерального университета по адресу: 344000, Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

' . Автореферат разослан «_» ноября 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.208.22, доктор технических наук, профессор

А. Н. Целых

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Нелинейная динамика играет исключительно важную роль в современном естествознании и является одной из бурно развивающихся областей науки, изучающей такие объекты и явления, как солитоны, бризеры, динамический хаос, различные виды самоорганизации материи и т.д. В настоящее время трудно указать те области естествознания, где не используются идеи и методы нелинейной динамики. Существенно, что задачи нелинейной динамики лишь в очень редких случаях имеют точные аналитические решения, в силу чего при их исследовании приходится прибегать к компьютерному эксперименту.

При изучении различных явлений природы решающее значение имеет построение адекватных математических моделей с последующим их исследованием с помощью точных и приближенных методов современной математики. С середины прошлого века началось бурное развитие вычислительной физики как некоторого самостоятельного направления, в основе которого лежит идея проведения компьютерных экспериментов при исследовании математических моделей естествознания. Особо следует подчеркнуть тот факт, что такие эксперименты позволяют не только количественно описывать изучаемые явления, но в ряде случаев приводят к открытию принципиально новых режимов поведения системы, т. е. могут играть ярко выраженную эвристическую роль.

Особую роль играют простейшие «классические» модели, которые включают в себя лишь основные свойства рассматриваемой системы, но при этом позволяют получать новые результаты, дающие толчок к дальнейшему развитию науки. Одной из таких моделей, сыгравшей существенную роль в становлении современной нелинейной науки, является предложенная Э. Ферми в 50-х годах прошлого века простейшая нелинейная модель [20], представляющая собой аналог одномерного кристалла, в которой учитывается взаимодействие только между соседними частицами. Эта модель, получившая название цепочки Ферми-Пасты-Улама (ФПУ), численно изучалась на первом мощном компьютере MANIAC-1 в Лос-Аламос-ской национальной лаборатории (США) и привела к открытию целого ряда важных особенностей поведения нелинейных систем и обнаружению новых динамических объектов. Упомянем в связи с этим открытие так называемых явлений «возврата» и «индукции», введение понятия о солитонах в работе Н. Забуски и М. Крускала, обнаружение ряда особенностей возникновения хаотической динамики, открытие полностью интегрируемой цепочки "Годы. Именно с этой модели фактически и началось развитие современной вычислительной физики и практики проведения компьютерных экспериментов. Интерес к цепочкам ФПУ не угас до настоящего времени: в последние годы появилось большое число работ, связанных как с исследованием процессов установления теплового равновесия в таких цепочках, их теплоемкости и теплопроводности, так и с обнаружением в них ряда новых динамических объектов (локализованные моды, хаотические бризеры, ç-бризеры и т.д.). Обзор последних достижений в области исследования модели ФПУ можно найти в специальном выпуске известного журнала Chaos [21], посвященного 50-летию со дня публикации работы Ферми, Пасты и Улама.

В последнее время получили развитие различные обобщения одномерной модели ФПУ на двумерные и трехмерные динамические системы с дискретной симметрией. В качестве одного из таких обобщений можно отметить двумерную модель Бутта-Ваттиса [22], которая находит применение при решении ряда задач твердотельной электроники [23]. В этой модели, в частности, исследуются дискретные бризеры (локализованные в пространстве и периодические во времени колебания).

Еще одним примером классических моделей нелинейной динамики является известная система Лоренца [24], в которой впервые было обнаружено явление динамического хаоса и которая, также как и модель ФПУ, оказала огромное влияние на последующее развитие науки. Эта динамическая модель используется, в частности, при исследовании конвекции в слое жидкости, работы одномодового лазера, и в некоторых задачах метеорологии.

Интерес к исследованию указанных моделей обусловлен тем, что все они, с одной стороны, являются достаточно простыми для проведения вычислительных экспериментов, а с другой стороны, качественно описывают динамику многих реальных систем. Именно поэтому эти модели до сих пор остаются актуальными, о чем свидетельствует огромное количество появляющихся в последнее время публикаций, связанных с их исследованием.

Предметом исследования в настоящей диссертации являются различные нелинейные системы с дискретной симметрией, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. К этому классу систем относятся все упомянутые выше модели.

Наличие дискретной симметрии у нелинейных динамических систем позволяет применять для их исследования специфические теоретико-групповые методы, которые начали интенсивно разрабатываться около 20 лет назад в работах В. П. Сахненко и Г. М. Чечина [25], где было введено фундаментальное понятие о бушах (кустах) нелинейных нормальных мод. Буши мод представляют собой точные динамические режимы в нелинейных системах с дискретной симметрией. В случае гамильтоновой системы энергия, локализованная в данном буше мод, не передается другим модам, и соответствующее возбуждение существует в системе бесконечно долго. В динамическом смысле буш мод представляет собой систему, размерность которой может быть существенно меньше размерности исходной динамической системы (например, часто встречаются одномерные, двумерные, трехмерные, четырехмерные и т. д. буши мод). Одномерные буши мод являются не чем иным, как нелинейными нормальными модами (НИМ), введенными в 60-х годах прошлого века Р. М. Розенбергом [26].

В литературе были исследованы некоторые из возможных ННМ в цепочках Ферми-Пасты-Улама а- и /3-типов [27—29]. Однако систематического перечисления и исследования всех возможных симметрийно-обусловленных ННМ в нелинейных цепочках проведено не было.

Как показывает вычислительный эксперимент, буши мод (и в том числе сим-метрийно-обусловленные ННМ) являются устойчивыми не при любых амплиту-

дах колебаний. При достижении некоторой критической амплитуды НИМ может потерять устойчивость в линейном приближении — при любом сколь угодно малом отклонении от точного инвариантного многообразия решение будет экспоненциально удалятся от него. Отметим, что исследованию устойчивости в нелинейных цепочках только одной из возможных ННМ — так называемой пи-моды — посвящено весьма большое число работ разных авторов [27]. В связи с вышесказанным весьма актуальным является вопрос о выделении всех возможных симметрийно-обусловленных ННМ в нелинейных цепочках и определении областей их устойчивости.

Другим интересным и перспективным объектом исследования являются дискретные бризеры, обнаруженные в численных экспериментах в начале 90-х годов прошлого века. В настоящее время такие возбуждения обнаружены в самых разных физических объектах (массивах контактов Джозефсона, квазиодномерных кристаллах, оптических волноводах, фотонных кристаллах, Бозе-Эйнштей-новских конденсатах в оптических ловушках, цепочках микромеханических осцилляторов и др. [30]). Дискретные бризеры в основном исследовались в нелинейных одномерных цепочках, где уже сложилась определенная их классификация («четная» мода Сиверса-Такены [31] и «нечетная» мода Пейджа [32]), которая вытекает из симметрии соответствующего профиля колебаний. Однако, целенаправленного поиска дискретных бризеров различной симметрии в более сложных объектах (например, в плоских решетках) до сих пор не проводилось.

Большинство известных приложений теории бушей мод связано с гамильто-новыми системами, в то время как широкий класс нелинейных систем с дискретной симметрией включает также и диссипативные системы. Одной из особенностей таких систем является возможность существования в них хаотического поведения, в частности, наличия странных аттракторов. Примером являются классические системы Лоренца и Ресслера, обладающими точечными группами симметрии С2 и соответственно. При этом возникает естественный вопрос о возможности существования систем, принадлежащих к тому же классу (трехмерные диссипативные системы с квадратичными нелинейностями), но обладающих более высокой симметрией, а также о применении к ним идей теории нелинейных динамических систем с дискретной симметрией.

Цели работы. С помощью компьютерного моделирования, теоретико-групповых и аналитических методов выполнить следующие исследования:

1. Вывести все возможные симметрийно-обусловленные нелинейные нормальные моды (ННМ) в одномерных нелинейных цепочках и исследовать их устойчивость по отношению к величинам амплитуд колебаний в моделях Ферми-Пасты-Улама а- и /3-типов.

2. Провести поиск дискретных бризеров разной симметрии в плоской квадратной решетке Бутта-Ваттиса и исследовать устойчивость этих динамических объектов.

3. Найти все трехмерные диссипативные системы с квадратичными нелинейностями и выделить те из них, которые допускают хаотическое поведение при

определенных значениях своих параметров.

Научная новизна. В настоящей диссертационной работе впервые были получены следующие научные результаты:

1. Установлено, что в цепочках типа Ферми-Пасты-Улама с периодическими граничными условиями в случае потенциала межчастичного взаимодействия общего вида может существовать только 3 симметрийно-обусловлен-ные ННМ, а в случае четного потенциала имеется 6 таких мод.

2. Предложен метод численного построения диаграмм, позволяющих определять как границы устойчивости ННМ в цепочках из произвольного числа частиц, так и выделять те совокупности мод, взаимодействие с которыми является причиной потери устойчивости рассматриваемой ННМ.

3. Проведен анализ устойчивости всех возможных симметрийно-обусловлен-ных ННМ в моделях Ферми-Пасты-Улама а- и ¡3-типов и построены соответствующие диаграммы устойчивости.

4. Предложена классификация дискретных бризеров в кристаллических решетках по точечным подгруппам групп симметрии этих решеток.

5. С помощью компьютерного моделирования рассчитаны различные по симметрии дискретные бризеры в квадратной решетке Бутта-Ваттиса и исследована их устойчивость.

6. Исследован класс трехмерных динамических систем, описываемых автономными дифференциальными уравнениями первого порядка с квадратичными нелинейностями, которые являются инвариантными относительно кристаллографических точечных групп. Установлено, что только 6 из 32-х возможных классов таких систем могут демонстрировать хаотическое поведение при некоторых значениях своих параметров. Этим системам отвечают точечные группы Сь С8, С2, Сз, £>2 и 54.

7. Для всех указанных в предыдущем пункте классов систем возможность хаотического поведения была подтверждена численным моделированием.

Научная и практическая значимость. Полученные в работе результаты и разработанные методы представляют собой вклад в исследование ряда фундаментальных проблем нелинейной динамики систем с дискретной симметрией. Они могут быть использованы различными коллективами ученых, проводящих исследования в области нелинейной динамики. Об этом, в частности, свидетельствует тот факт, что на опубликованные автором результаты уже имеются ссылки из работ таких известных специалистов, как Н. Забуски, Р. Гилмор, А. Лихтенберг, С. Руффо, С. Флах и др.

Предложенный в главе 1 метод построения диаграмм устойчивости и их анализа может использоваться для исследования ННМ в различных моделях одномерных и квазиодномерных кристаллов (цепочке Ферми-Пасты-Улама, Френ-келя-Конторовой, разнообразных диатомных цепочках и др.). Предложенная в главе 2 классификация дискретных бризеров по подгруппам группы симметрии соответствующей решетки может использоваться как при анализе эксперименталь-

ных данных, так и с целью предсказания возможных локализованных колебаний в кристаллических структурах. Предложенные в главе 3 новые трехмерные диссипа-тивные модели, демонстрирующие хаотическое поведение, могут использоваться для задач информационной безопасности, а двухпараметрическая система с симметрией D2 является удобной моделью при обучении студентов основам теории динамического хаоса.

Методы исследования и достоверность научных результатов. В работе применяются теоретико-групповые, аналитические и численные методы исследования систем нелинейных дифференциальных уравнений. Достоверность результатов подтверждается согласием аналитических и численных расчетов, а также непротиворечивостью с известными в литературе данными.

Апробация работы. Полученные автором научные результаты обсуждались на международных конференциях: «Dynamical chaos in classical and quantum systems» (Новосибирск, 2003), «Nonlinear dynamics» (Харьков, Украина, 2004), «Chaos 2004» (Саратов, 2004), «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения» (Санкт-Петербург, 2006), «Nonlinear Dynamics of Acoustic Modes in Finite Lattices: Localization, Equipartition, Transport» (Дрезден, Германия, 2006), «Chaos 2007» (Саратов, 2007), «Nonlinear Science and Complexity» (Афины, Греция, 2008), «Multi-ferroics-2» (Ростов-на-Дону — JIoo, 2009) и ряде всероссийских научных конференций. В 2009 г. по теме диссертации автором были проведены два семинара в Институте Макса Планка Физики сложных систем (Дрезден, Германия).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 19 работах. Из них 2 статьи опубликованы в известных международных журналах, специализирующихся на публикации статей по нелинейной динамике, именно, в «Physical Review Е» и «Physica D», а одна — в отечественном журнале «Известия вузов. Прикладная Нелинейная Динамика». Указанные журналы входят в список изданий, рекомендованных ВАК. В соавторстве с Г. М. Чечиным и В. П. Сахненко автором написана отдельная глава «Bushes of normal modes as exact excitations in nonlinear dynamical systems with discrete symmetry» (103 стр.) в коллективной монографии «Nonlinear Phenomena Research Perspectives» (NY: Nova Science Publishers, 2007), переизданная также в монографии «New Nonlinear Phenomena Research» (NY: Nova Science Publishers, 2008).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 164 страницы, в том числе 38 рисунков и 9 таблиц. Список литературы включает 143 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, формулируются цели и задачи работы, приведены основные результаты, отмечена их новизна, научное и практическое

значение, приведены сведения об апробации работы, отмечен личный вклад соискателя.

Глава 1. Нелинейные нормальные моды и их устойчивость в цепочках с трансляционной симметрией

Модель Ферми-Пасты-Улама. Система Ферми-Пасты-Улама (ФПУ) является аналогом одномерного моноатомного кристалла (цепочки), совершающего продольные колебания, при учете взаимодействия только между соседними атомами. Если Хг означает смещение г-го атома из его начального положения, то гамильтониан такой цепочки, состоящей из N частиц при наличии периодических граничных условий (ждг+1 = хх) имеет вид

N 2

Н^^ + иЫг-ц). (1)

1=1

Здесь и(х) — некоторый потенциал межчастичного взаимодействия. В оригинальной работе Э. Ферми, Дж. Пасты и С. Улама (20] изучались цепочки с кубической нелинейностью 17(х) = Цр +а(такая модель получила название ФПУ-а)

2 4

и нелинейностью 4-го порядка и(х) = (модель ФПУ-/3).

Запишем все смещения рассматриваемой моноатомной цепочки в виде ^-мерного конфигурационного вектора Х(Ь) = {Х1^),Х2{Ь),... В поло-

жении равновесия такая цепочка инвариантна относительно оператора сдвига а на постоянную решетки, который порождает циклическую перестановку атомов цепочки:

аХ(р) = =

= {xN{t), Хх{Ь), Х2Ц), . . • , и относительно оператора инверсии г:

гХ{г) = г {х1{1),х2{1),... ,хм-1{1),хц{1)} =

Полный набор всех возможных произведений чистых трансляций ак (к = 1,2,..., N — 1) и инверсии г образует так называемую группу диэдра Б = {ё, ак, г, акг | к = = 1,2,..., /V — 1} (здесь е — единичный оператор).

Если потенциал межчастичного взаимодействия II(х) является четной функцией, как это имеет место в цепочке ФПУ-/3, то такая модель содержит дополнительный оператор симметрии й, который меняет знак всех смещений на противоположный без перестановки соответствующих частиц:

йХ{г) = й{Xl{t),X2{t),■■.,XN-■í{t),XN{t)} =

= {—хх (*), -ж2(г), ■ • • > -XN-l{t), -хх{г)}. Таким образом, такая модель инвариантна относительно более высокой группы симметрии Б = Б® {ё,й} = {ё,ак^, акг,й, акй, ш, акт | к = 1, 2,... — 1}.

Как было показано в работах В. П. Сахненко и Г. М. Чечина [25], каждой подгруппе С^ группы симметрии С динамической системы (в качестве которой, например, будет выступать группа диэдра П и расширенная группа Г) в случае мо-

делей ФПУ-а и ФПУ-/3 соответственно) отвечает определенный колебательный режим — буш мод.

Понятие о бушах мод. Рассмотрим гамильтонову систему из N частиц, обладающую группой симметрии ¿7 в состоянии равновесия. Возбудим в начальный момент времени только одну нормальную моду, задав соответствующие начальные условия. Эта мода называется «корневой модой». Нормальные моды являются независимыми друг от друга только в гармоническом приближении. Если же учесть в гамильтониане нелинейные члены, то возбуждение от корневой моды будет передаваться определенному числу других нормальных мод, которые в начальный момент времени обладали нулевой амплитудой. Это так называемые «вторичные моды». Так как существуют определенные симметрийно-обусловлсн-ные правила отбора для передачи возбуждения между модами различной симметрии [25], количество вторичных мод может быть достаточно небольшим. Полный набор корневой (в некоторых случаях корневых) и всех вторичных мод, соответствующих ей, образуют буш нелинейных нормальных мод. Количество мод в этом наборе является размерностью данного буша.

Важно подчеркнуть, что определенные таким образом буши мод являются симметрийно-обусловленными динамическими объектами: набор мод, входящих в буш, не зависит от взаимодействий между частицами системы. Учет специфического характера этих взаимодействий может только уменьшить размерность буша.

Отметим, что одномерные буши (т. е. такие, в которых не возбуждаются вторичные моды) могут рассматриваться как нелинейные нормальные моды (ННМ), введенные Р. М. Розенбергом [26]. ННМ в механических системах являются обобщением нормальных колебаний линейных систем и представляют собой синхронные периодические колебания, при которых в любой момент времени смещения всех частиц пропорциональны смещению одной из них: X(¿) = сг/(г).

ННМ в моделях моноатомных цепочках. В результате проделанной работы нами были проанализированы возможные буши мод в моноатомных цепочках и из полученного их множества выделены все симметрийно-обусловленные ННМ (одномерные буши), список которых приведен в таблице 1. В первом столбце в квадратных скобках, входящих в символ нелинейной нормальной моды, указаны генераторы ее группы симметрии. Во втором столбце таблицы приведены смещения частиц в пределах одной примитивной ячейки колебательного состояния цепочки. В третьем столбце представлены соответствующие колебательные режимы в виде разложения по нормальным координатам рассматриваемой моноатомной цепочки. В четвертом столбце приведены динамические уравнения ННМ для случаев цепочек ФПУ-а и ФПУ-/?.

Подчеркнем, что вывод данных ННМ основан только на анализе подгрупп групп симметрии рассматриваемых цепочек, в силу чего их существование не привязано исключительно к модели Ферми-Пасты-Улама. Приведенные в таблице 1 ННМ могут реализовываться в математических моделях любых моноатомных це-

Таблица 1. Нелинейные нормальные моды (одномерные буши мод) в нелинейных

моноатомных цепочках.

ННМ Шаблон атомных смещений Разложение по норм, координатам Динамические уравнения

ФПУ-а

В [а2, г] \х,-х\ ¿> + 4^ = 0

В [а3, г] \х, —х, 0| .. 3\/ба 2 г/ + Зг/ =- 2 y/N

В[а4,аг] \х, 0, —х, 0| (^N/i+lPsN/i) ¿> + 2г/ = 0

ФПУ-/3

В [а2, г] \х,-х\ .. , 160 , N

В [а3, г] \х,-х,0\ •• 0 Mß з

В[а4,аг] |ж,0, —ж,0| v(t) (^/V/4 + Фз W/4) ■■о ^ , v + 2v=—-v3 N

В [а3, г«] \х, х, —2х\ ■■ 0 '¿<ß з

В [а4, г«] | } £С j »2? ^ СС | v{t)i]>N/4

В[а6,аг',а3«] |ж,ж,0, —х, -х, 0| '¿ß 3 u + u =--— z/ 2 N

почек с периодическими граничными условиями (например, в модели Френкеля-Конторовой), и таких ННМ может быть только шесть или три в зависимости от четности или произвольности потенциала межчастичного взаимодействия. Полученные ННМ являются точными решениями рассматриваемой нелинейной модели с N степенями свободы.

Устойчивость ННМ. Линеаризуем уравнения движения в окрестности периодического режима X(t) =cv(t), соответствующего рассматриваемой ННМ. Для этого введем малое возмущение ö(t) рассматриваемого колебательного режима и подставим выражение x(t) =cv(t) +£(i) в исходные уравнения движения, оставляя только линейные по 6(t) члены. В результате получим следующую систему линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

5 = B(i)<5. (2)

Эту систему можно исследовать методом Флоке. Недостатком данного подхода является сложность проведения вычислений при больших значениях N (особенно при переходе к пределу N —> оо), так как при этом необходимо, с одной стороны, интегрировать систему из N связанных дифференциальных уравнений и, с другой стороны, находить собственные значения матрицы 2N х 2N.

Однако, в работе [28] для ННМ В[а2, г] в цепочке ФПУ-а было обнаружено, что при разложении вектора 8{t) по нормальным координатам, система (2) расщепляется на подсистемы, содержащие только одно (в случае j = N/4) или два

7Г

Рис. 1. Области устойчивости (белый цвет) различных мод цепочки ФПУ-а, взаимодействующих параметрически с ННМ В[а3, г].

уравнения:

i>j+A sin2 (#) Vj = sin uN/í4 cos(2í),

+ 4eos2 (#) i^/2-j = sin (2Ы) ^ cos(2í). Здесь A — амплитуда колебаний ННМ, а индекс j нумерует отдельные моды колебаний, полученные в результате разложения вектора ó(t) по нормальным коор-

JV-1

динатам <5(í) = J2 Uj(t)ipj.

з=о

В диссертационной работе показано, что аналогичным образом можно получить независимые подсистемы дифференциальных уравнений для исследования устойчивости и всех остальных ННМ. В итоге, полные системы линеаризованных дифференциальных уравнений, соответствующие различным ННМ, для любого N расщепляются на независимые подсистемы, размерности которых равны 1, 2, 3, или 4. Как было в дальнейшем показано Г. М. Чечиным и К. Г. Жуковым в работе [33], полученное расщепление является прямым следствием симметрии исходной системы и рассматриваемых динамических режимов.

Заметим, что в результате определенного масштабирования пространственных координат Xi(t) можно перейти от исходных уравнений движения, содержащих параметры а, ¡3 и N, к уравнениям, не содержащим этих величин (что соответствует формальной подстановке а = 1, /3 = sign /3 = ±1 и N = 1).

В результате, мы приходим к набору независимых систем уравнений, которые нумеруются волновым числом q = 2nj/N и зависят лишь от одного параметра — амплитуды колебаний ННМ. Это, в свою очередь, позволяет построить диаграммы устойчивости в плоскости (q, А).

В качестве примера на рис. 1 приведена диаграмма устойчивости ННМ В[а3, г]. Черные точки (q, А) соответствуют случаю, когда мода j = q-^ возбуждается за счет взаимодействия с рассматриваемой нелинейной нормальной модой. Белый цвет означает противоположный случай: мода j продолжает оставаться с нулевой амплитудой, несмотря на взаимодействие с данной ННМ. Пунктирные вертикальные линии соответствуют модам (j = 1,2,..., 12) цепочки ФПУ с N = 12 частицами (им отвечают волновые числа д = §, •f ,-§,..., Область, окра-

шенная серым цветом, соответствует инфинитному движению частиц цепочки (они

покидают потенциальные ямы, в которых происходит колебательное движение).

Представим горизонтальную линию на рис. 1, соответствующую некоторой амплитуде А рассматриваемой НИМ. Эта линия может частично пересекать черные и белые области диаграммы устойчивости. Те части этой линии, которые пересекают черные области неустойчивости, представляют набор мод, которые возбуждаются из-за взаимодействия с НИМ данной амплитуды А. Предположим, что ./V = 12 и Л <§; 1. Тогда из рис. 1 легко видеть, что только две моды j = N/2 и; = = 2Ы/3 будут возбуждены в нашей механической системе, что видно из таблицы 1. Более того, можно найти границу области устойчивости НИМ В [а3, г] непосредственно из диаграммы на рис. 1, принимая во внимание, что все моды для случая N = 12 отмечены вертикальными пунктирными линиями. Эта граница определяется минимальным расстоянием от горизонтальной координатной оси до области неустойчивости черного цвета при = 1,2,3, 5,6,7, 9,10,11. С другой стороны, если N —> оо (континуальный, или термодинамический предел), плотность мод, т. е. плотность вертикальных пунктирных линий на рис. 1, увеличивается и неустойчивыми становятся узкие группы мод около значений = 0, N/3, 2N/3, N. Таким образом, НИМ В[а3,г], которая устойчива для малого числа N частиц в цепочке и конечного значения ее амплитуды, становится неустойчивой в континуальном пределе /V —► оо.

Аналогичным образом, в диссертации были построены и проанализированы диаграммы устойчивости для всех НИМ в моделях Ферми-Пасты-Улама. В частности, было обнаружено, что НИМ В[о4,аг] в модели ФПУ-а и В[а6,аг, а3ы] в модели ФПУ-/? (при ¡3 < 0) неустойчивы при любой отличной от нуля амплитуде А и для любого N. Этот полученный численно результат был подтвержден аналитически с использованием метода Пуанкаре-Дюлака построения нормальных форм ОДУ. В модели ФПУ-/3 (/3 > 0) для трех ННМ (В[а3, г], В[а3, ги] и В[а4, ги}) установлено существование критического значения амплитуды, при превышении которого они вновь становятся устойчивыми.

Особый интерес в рамках статистической физики представляет исследование устойчивости НИМ в пределе N —* оо. В том случае, если амплитуда потери устойчивости Ас уменьшается с ростом N, важное значение имеет исследование скейлинговых соотношений для ЛС(ЛГ). Действительно, разные НИМ могут демонстрировать различный скейлинг, и следовательно, существенно различные амплитуды (энергии) потери устойчивости. Такие скейлинговые соотношения были получены нами численно и приведены в таблице 2.

Аналитические оценки границ устойчивости ННМ в пределе ./V—>со. Как видно из табл. 1, динамическое уравнение для любой ННМ в цепочке ФПУ-/? представляет собой уравнение Дуффинга и + аи + 6г/3 = 0, где а = и2 — квадрат частоты, Ь ~ ^ — коэффициент нелинейности. Это уравнение для начальных условий ¡/(0) = А и г>(0) = 0 имеет периодическое решение = = А сп(Ш, к2), где О2 = а/( 1 - 2к2) и 2к2 = ЬА2/(а + ЬА2). Период такого решения равен Т = 4К(к)/£1, где К (к) — полный эллиптический интеграл первого рода. Расщепленные системы линеаризованных уравнений в окрестности ННМ для

Таблица 2. Численные значения границ областей устойчивости (Ас) нелинейных нормальных мод в цепочках ФПУ-а и ФПУ-/3 в пределе N —> оо.

ННМ А ■ HL Лс N ФПУ-а ФПУ-/3,/3>0 ,/Ш V N ФПУ-/3,/3<0

В[а2,г] 0.303 1.28JV-1 0.394

В [а3, г] 1.30ЛГ1/2 2.09ЛГ-1 0.273

В [а4, аг] 0 \AbN-1'2 1.45Л/-1/2

В[а3,ги] 2.0ЭЛГ-1 0.361

В [a4, iu] 2.57 N-1 2.57ЛГ"1

В[а6, аг, а3и] 3.63АГ-1 0

цепочки ФПУ-/? имеют следующий общий вид

[aw2 + to2(i) М,]м = 0, (4)

где шч — диагональная матрица, содержащая квадраты частот, деленные на квадрат частоты ННМ, а М9 — матрица, описывающая взаимодействие между модами. После масштабирования времени т = irQt/(2K(k)) и разложения уравнения (4) в ряд по малому параметру е = ЬА2/а получим: {¿D2+[-|^+(i + icos2r)M9]e+

+ [m + ("I - Icos 2т + ^ cos iT) Я] £2 + (5)

+ [- ( S + ^ 2r- ^ cos 4r+ ^ cos 6r)M,] £3 I p + О (e4) = 0.

Для того, чтобы найти аналитически границу устойчивости ННМ, необходимо построить характеристический полином матрицы монодромии системы (5) и разложить дискриминант этого полинома, порядок которого для всех рассматриваемых нами случаев не превышает 6, в ряд по е и Aq = q — qICS в окрестности приводящего к неустойчивости резонансного волнового числа q[es. Из условия равенства нулю вышеуказанного дискриминанта можно получить зависимости порога потери устойчивости для амплитуды (Лс) и удельной энергии (Ec/N) от числа частиц JV.

Описанная процедура была реализована в виде программы в среде MAPLE. Основные результаты анализа устойчивости всех нелинейных нормальных мод в цепочке ФПУ-/? представлены в таблице 3. Эти результаты полностью подтверждают численные оценки границ областей устойчивости, приведенные в табл. 2.

Следует отметить, что четыре из шести границ областей устойчивости для Ec/N в случае (5 > 0 равны одной и той же величине 2ir2/(3f3N2).

Глава 2. Дискретные бризеры в модели Бутта-Ваттиса

Исследованные в предыдущей главе нелинейные нормальные моды представляют собой периодические делокализованные колебания, в которых участвуют все частицы цепочки. В настоящей же главе диссертации рассматриваются локали-

Таблица 3. Аналитические значения границ областей устойчивости нелинейных

нормальных мод в цепочке ФПУ-/3.

ННМ /3>0 /3<0

Ас EJN Ac EJN

В [а2, г] 7г/ у/ 6/3 N ■к2/(3(3N2)

В [а3, г] 2ж/{Зу/Щ) 2n2/(30N2)

В [а4, ai] у/2кЦ30) 2ix/{3f3N) y/2*/m) 2ж/(ЩЫ)

В[а3,ш] 2w/(3y/PN) 2tt2/(3¡3N2)

В[а4,ш] 2tt2/(3 ¡3N2) л/гтг/УзИ^ 2-к2 / (3\j3\N2)

В[а6,аг,а3ы] 2ir/^/3¡3N 2tt2/(3 (5N2) 0 0

зованные в пространстве периодические колебания в нелинейных гамильтоновых решетках, которые получили название дискретные бризеры. Возможность существования таких динамических объектов была установлена в ряде работ отечественных авторов [34]. Однако, бурное развитие теории дискретных бризеров и их интенсивное экспериментальное изучение в периодических структурах различной физической природы началось после появления в 1988 году статьи А. Сиверса и С. Такены [31]. Эти авторы обратили внимание на то, что дискретные бризеры являются структурно-устойчивыми объектами, которые могут существовать в решетках с межчастичным взаимодействием достаточно общего вида.

Недавние эксперименты продемонстрировали существование дискретных бризеров в самых различных физических системах: в массивах контактов Джозеф-сона, в квазиодномерном кристалле [Pt(en)2] [Pt^enfeCb] (004)4, в квазиодномерном двуосном антиферромагнетике (СгНдМНз^СиСЦ, в кристалле Nal, О ЦК квантовом кристалле 4Не, a-фазе урана, биополимерах, оптических волноводах, фотонных кристаллах, Бозе-Эйнштейновских конденсатах в оптических ловушках, цепочках микромеханических осцилляторов. Подробный обзор этих экспериментов можно найти в работе [30].

Симметрийная классификация дискретных бризеров. Большинство работ, посвященных исследованию дискретных бризеров, выполнены с помощью методов математического моделирования для нелинейных цепочек [30]. При этом принято различать «четную» моду Сиверса-Такены [31] и «нечетную» моду Пей-джа [32]. Фактически, такое различие связано с тем, что эти локализованные моды имеют различную точечную симметрию. С другой стороны, в работах [4,25], посвященных бушам мод, которые являются делокализованными объектами, широко используется возможность классификации различных динамических режимов в нелинейных системах с дискретной симметрией по подгруппам группы их симметрии. В связи с этим, представляется естественным исследование возможности аналогичной симметрийной классификации дискретных бризеров в двумерных и трехмерных решетках.

В настоящей главе диссертации анализируется идея классификации дискретных бризеров по точечным группам симметрии различных положений в двумерных

и трехмерных кристаллических структурах.

Модель плоской квадратной решетки Бутта-Ваттиса. В рамках идеи о классификации решений динамических уравнений по подгруппам группы их симметрии, наибольший интерес представляют двумерные и трехмерные решетки. Тем не менее, в связи с трудностями исследования, в большинстве работ по математическому моделированию дискретных бризеров рассматривались одномерные цепочки, и лишь немногие статьи посвящены решеткам больших размерностей. Среди этих работ следует особо отметить статью И. А. Бутта и Д. А. Д. Ваттиса [22], в которой исследуются дискретные бризеры в модели, представляющей собой плоскую квадратную решетку с определенным взаимодействием между находящимися в ее узлах нелинейными осцилляторами. В этой модели динамика каждого узла описывается скалярной величиной ип<т, которая подчиняется динамическим уравнениям

+ 4 У'(ип,т) = У(ип+^т) + У'( п,т— 1 ), (6)

где У(и) = |и2 + \и4. Эта модель, в частности, находит применение при решении ряда задач твердотельной электроники [23]. Авторам работы [22] удалось обнаружить дискретный бризер, локализованный на одном узле и обладающий симметрией

Построение дискретных бризеров в модели Бутта-Ваттиса. Следствием теоретико-группового подхода является вывод о том, что все возможные типы локализованных решений уравнений (6) должны быть инвариантны относительно одной из точечных групп выделенных позиций рассматриваемой плоской квадратной решетки: С4„(00), С4„(^), С4(00), СА(\\), С2„(00), С2у(0±), СЦ00),

С2(00), С2{\\), С2{0±), С,(Ох), С5{\х), С*(хх), С^ху). Здесь в скобках после символов Шенфлиса указаны координаты соответствующих позиций, которые можно найти в таблицах правильных систем точек плоской группы симметрии С\п.

Для демонстрации возможности существования в рамках модели (6) дискретных бризеров различной симметрии, мы использовали метод поиска локализованных периодических решений, предложенный Ж. Л. Марином и С. Обри [35]. С этой целью нами была разработана компьютерная программа, реализующая этот метод в комплексе с методами симметрийной классификации и анализа устойчивости решений по Флоке. Для построения адекватного начального приближения при работе с методом Ньютона использовалось продолжение периодического решения по частоте бризерного колебания.

Результаты компьютерного моделирования. В результате проведенного моделирования нам удалось получить устойчивые дискретные бризеры для следующих 4-х групп точечной симметрии: САу(00), С4(||), С^(00), Са(0|). Для всех четырех полученных бризеров было показано, что на интервале частот 3.2 <шь < 20.0 они являются устойчивыми в линейном приближении. В качестве примера на рис. 2 приведен профиль колебаний для бризера симметрии 64(51).

Рис. 2. Дискретный бризер с симметрией С4(||) в решетке Бутта-Ваттиса К = 3.2).

Глава 3. Странные аттракторы в трехмерных диссипативных системах с точечной кристаллографической симметрией

Многочисленные приложения хаотической динамики в самых разных областях физики и техники обязаны тому принципиально важному обстоятельству, что хаотическое поведение могут демонстрировать даже системы с очень небольшим числом степеней свободы. Например, при определенных условиях динамический (детерминированный) хаос возможен в автономных системах из трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Впервые такая система была обнаружена в работе Э. Лоренца [24]. В дальнейшем, аналогичная и столь же известная модель была предложена О. Ресслером [36]. Данные две системы могут демонстрировать сложное поведение, в частности, они обладают хаотическими (странными) аттракторами в некоторых диапазонах изменения их параметров. Заметим, что обе вышеуказанные модели зависят от трех произвольных параметров. Система Лоренца инварианта относительно группы симметрии Сг, задаваемой преобразованиями {х —► — х, у —> —у, г —> г}, в то время как система Ресслера не имеет нетривиальных преобразований симметрии.

В настоящей диссертационной работе был поставлен вопрос о возможности существования трехмерных диссипативных систем с квадратичными нелинейно-стями, которые обладают более высокими группами симметрии и демонстрируют при этом хаотическое поведение. Как и в предыдущих главах, нами применялись теоретико-групповые методы анализа динамики нелинейных систем с дискретной симметрией.

На основе теории представлений групп нами был разработан общий метод построения Л^-мерных диссипативных систем данного класса, в динамике которых может проявляться хаотическое поведение. Этот метод был реализован в случае N = 3 для всех возможных точечных групп кристаллографической симметрии.

Динамические системы, инвариантные относительно групп точечной симметрии. Рассмотрим автономную Я-мерную динамическую систему, описывае-

мую N переменными

¿ = 1,2,..(7)

Выберем некоторую группу точечной симметрии й и построим все возможные ее ДГ-мерные представления (в общем случае, приводимые). Эта процедура действительно возможна, так как любое представление Г группы С? может быть записано в виде прямой суммы некоторого числа ее неприводимых представлений Г^

Г = £®Г,-, сИт Г = ./V, (8)

Для N = 3 каждому из представлений можно приписать некоторую точечную группу симметрии в трехмерном пространстве. С другой стороны, в трехмерном пространстве существуют 32 различные точечные группы кристаллографической симметрии. Каждой из них отвечает класс динамических систем, определяемый с точностью до некоторого числа произвольных параметров. В диссертации показано, что многие из этих систем не могут демонстрировать хаотическое поведение.

В самой общей форме трехмерная динамическая система с квадратичными нелинейностями может быть записана в виде

' х = а\ +ЬЦХ + Ь12У + Ь132 + сшх2+

+СЦ2 ху + Сц Зхг + С122У2 + С1232/2 + С133г2, у = а2 + Ь21Х + Ь22У + Ь23г + С211х'2+ д.

+С212ху + С21зхг + С222у2 + С22зуг + С2ззг2, к = аз + Ьз\х + Ъз2У + Ьззг + сзцж2+

+С312ХУ + С313хг + С322У2 + с32зуг + с333г2.

Требование инвариантности этой системы относительно некоторой группы симметрии приводит к уменьшению числа параметров, которые входят в уравнения (9). Например, из условия инвариантности относительно группы симметрии В2 получим динамическую систему с шестью произвольными коэффициентами, которые не могут быть найдены при помощи теоретико-групповых методов:

X = ЬцХ + <31232/2,

У = Ъ22у + С21зхг, (10)

г = Ь33г + с312ху.

Анализ возможности существования хаотических аттракторов в системах с дискретной симметрией. Имеется целый ряд ограничений на возможность существования хаотического поведения в системах типа (9). Наиболее существенными из них являются следующие:

1. Из условия инвариантности системы (9) относительно инверсии {х—> — х, у->—у,г-+—г} следует обращение в нуль коэффициентов при всех квадратичных членах. В результате, искомая динамическая система оказывается линейной, и, как следствие, в ней невозможно хаотическое поведение. В силу этого, динамический хаос не может существовать во всех системах типа (9), группа симметрии которых содержит инверсию.

2. Динамический хаос невозможен в так называемых градиентных системах, т. е. системах вида Х{ = —д11/дх{ (¿ = 1,2,..., И). Эти уравнения фактически опи-

сывают метод скорейшего спуска для минимизации функции [/, в результате чего фазовая траектория постепенно приближается к некоторому локальному минимуму. Динамика такой системы не может быть хаотической.

3. Если удается подобрать такую функцию Ф(х,у,г), для которой будет выполняться соотношение с£Ф/сЙ = аФ, то у системы существует интеграл движения 1{х, у, г, Ь) = е~а1Ф(х, у, г). Как следствие, размерность такой системы может быть уменьшена на единицу, а по теореме Пуанкаре-Бендиксона в двумерных системах хаотические решения не могут существовать.

Анализ всех динамических систем, соответствующих трехмерным представлениям 32 точечных кристаллографических групп, с учетом вышеуказанных ограничений приводит нас лишь к следующим шести группам симметрии, которые могут генерировать динамические системы, обладающими хаотическими аттракторами:

С1,С„С2,1>2,СЗ)54. (11)

Фактически, каждая группа определяет некоторый класс динамических систем, так как в соответствующие дифференциальные уравнения входит некоторое множество произвольных коэффициентов (см., например, (10)). С помощью непосредственного компьютерного моделирования были обнаружены хаотические аттракторы для всех систем из списка (11).

Хаотические аттракторы в системе с симметрией ©2- Рассмотрим очень простую и изящную динамическую систему (10) с точечной группой £>2- Масштабируя соответствующим образом каждую из четырех переменных (х, у, г, £), можно положить четыре коэффициента этой системы равными ±1 и привести ее к форме:

х = — ах + уг,

у = -Ьу + хг, (12)

г = г — ху.

Таким образом, в отличие от систем Лоренца и Ресслера, эта система зависит лишь от двух произвольных постоянных.

Хаотическое поведение системы (12) наблюдается при некоторых положительных значениях обоих её параметров: а > 0, Ь > 0. В результате проведенного компьютерного моделирования для этой системы нами построены карта областей регулярного и хаотического поведения в плоскости параметров (а, 6) (рис. За), бифуркационные диаграммы, аттракторы разных типов, исследована устойчивость симметрийно-определенных инвариантных многообразий, проведена классификация аттракторов по подгруппам группы симметрии рассматриваемой системы. Хаотический аттрактор для системы (12) при а = 4, 6=1 (рис. 36) обладает симметрией Сч С ГЬ.

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. В математических моделях моноатомных цепочек с периодическими граничными условиями могут существовать только шесть или три нетривиальных симметрийно-обусловленных нелинейных нормальных мод (ННМ) Розен-

а)

Рис. 3. Области регулярного (белый цвет) и хаотического (черный цвет) движений в системе (12) с симметрией _02 (о) и пример хаотического аттрактора (б).

берга в зависимости от четности или произвольности потенциала межчастичного взаимодействия. Эти ННМ, явный вид которых приведен в тексте диссертации, являются точными пространственно-периодическими решениями для рассматриваемого класса математических моделей.

2. Предложенный в работе метод построения диаграмм устойчивости симмет-рийно-обусловленных ННМ в динамических системах с дискретной симметрией позволяет выявлять ряд качественных закономерностей картины их устойчивости, в частности, выделять те совокупности степеней свободы, взаимодействие с которыми является причиной потери устойчивости рассматриваемой ННМ.

3. Скейлинговые соотношения для цепочек Ферми-Пасты-Улама-/3 (/?> 0) для критической удельной энергии ес(Ы), при которой происходит потеря устойчивости ННМ при числе частиц N —* оо, имеют вид: ес ~ \/И2 (для 5 ННМ)иес~ 1/ЛГ (для одной ННМ).

4. В результате анализа трехмерных диссипативных систем с квадратичными иелинейностями, являющихся инвариантными относительно кристаллографических точечных групп, показано, что только 6 из 32-х возможных систем демонстрируют хаотическое поведение при некоторых значениях своих параметров.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Для моноатомных цепочек предложен метод декомпозиции системы уравнений, линеаризованных в окрестности нелинейной нормальной моды, на независимые подсистемы малой размерности, позволяющий, с одной стороны, существенным образом упростить анализ ее устойчивости, а с другой стороны — выделить те совокупности мод, взаимодействие с которыми является причиной потери устойчивости рассматриваемой нелинейной нормальной моды Розенберга.

2. На основе вышеуказанного метода декомпозиции рассчитаны диаграммы устойчивости для всех симметрийно-обусловлениых нелинейных нормальных мод Розенберга (указанных выше в первом пункте положений, выносимых на защиту) в цепочках Ферми-Пасты-Улама а- и /?-типов.

3. Полученные диаграммы позволили выявить целый ряд качественных закономерностей потери устойчивости ННМ, в частности:

— были найдены скейлинговые соотношения для порога потери устойчивости ННМ относительно величины их амплитуд Ас при стремлении к бесконечности числа частиц N в цепочке;

— для ННМ В[а4,аг] в модели ФПУ-а и ННМ В[аб,аг, а3и] в модели ФПУ-/3 (/3 < 0) обнаружены нулевые значения Ас при любом ./V;

— для трех ННМ в модели ФПУ-/3 (/3 > 0) установлено существование критического значения амплитуды (энергии), при превышении которого они вновь становятся устойчивыми.

4. С помощью асимптотических методов в термодинамическом пределе (Ы —> оо) проведено аналитическое исследование скейлинговых соотношений для порога устойчивости ННМ в цепочке Ферми-Пасты-Улама /?-типа. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами компьютерного моделирования.

5. Предложено классифицировать дискретные бризеры, являющиеся периодическими во времени и локализованными в пространстве решениями динамических уравнений для нелинейных гамильтоновых решеток, по подгруппам группы инвариантности этих уравнений. В рамках такой классификации с помощью математического моделирования нами были найдены дискретные бризеры с группами симметрии С^, С4, С2, См, локализованные, соответственно, в точках (00), (0^), (2^)в плоской квадратной решетке Бутта-Ваттиса.

6. Показано, что среди всех трехмерных диссипативных систем уравнений с квадратичными нелинейностями, инвариантных относительно кристаллографических точечных групп, хаотические режимы колебаний могут существовать только в системах с группами симметрии Сь С3, Сг, Сз. Аг и £4. С помощью компьютерного моделирования для них построены примеры хаотических аттракторов и проведена их классификация по подгруппам групп инвариантности этих систем.

7. Среди вышеуказанных трехмерных динамических систем особый интерес представляет система с симметрией Л2, которая в отличие от трехпарамет-рических моделей Лоренца и Ресслера является двухпараметрической. Для этой системы исследованы симметрийно-обусловленные инвариантные многообразия, построены карта областей регулярного и хаотического движений, бифуркационные диаграммы, аттракторы разных типов.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОТРАЖЕНО В ПУБЛИКАЦИЯХ

Публикации в ведущих рецензируемых изданиях

1. Chechia G.M., Ryabov D.S. Three-dimensional Chaotic Flows with Discrete Symmetries // Physical Review E. 2004. V. 69. R 036202.

2. Никифоров A.M., Рябов Д. С., Чечин Г.М. Динамический хаос в трехмерной диссипативной системе с группой симметрии £>2 // Известия вузов «Прикладная нелинейная динамика». 2004. Т. 12, № 6. С. 28—43.

3. Chechia G.M., Ryabov D.S., Zhukov K.G. Stability of low-dimensional bushes of vibrational modes in the Fermi-Pasta-Ulam chains// Physica D. 2005. V.203. P. 121-166.

Глава в коллективной монографии

4. Chechia G. M., Ryabov D. S., Sakhneako V. P. Bushes of Normal Modes as Exact Excitations in Nonlinear Dynamical Systems with Discrete Symmetry // Nonlinear Phenomena Research Perspectives / Ed. by C. W. Wang. Nova Science Publishers, NY, 2007. P. 225-327; Переиздано в: New Nonlinear Phenomena Research / Ed. by Т. B. Perlidze. Nova Science Publishers, NY, 2008. P. 5-107.

Публикации в других изданиях

5. Жуков К. Г., Рябов Д. С., Чечин Г. М. Построение бушей мод для нелинейных моноатомных цепочек// Электронный журнал «Исследовано в России». 2003. Т. 137. С. 1616-1644. URL: http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/ 137.pdf.

6. Жуков К. Г., Рябов Д. С., Чечин Г. М. Исследование устойчивости одномерных и двумерных бушей колебательных мод для цепочек Ферми-Пасты-Улама // Электронный журнал «Исследовано в России». 2003. Т. 161. С. 1945-1964. URL: http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/161.pdf.

Тезисы докладов на конференциях

7. Chechia G.M., Ryabov D.S. Dynamical chaos in physical systems with discrete symmetry // International Conference "Dynamical Chaos in Classical and Quantum Physics", Budker Institute of Nuclear Physics, Novosibirsk, Russia, August 4-9, 2003. URL: http://sky.inp.nsk.su/events/confs/dc2003/talks/ Chechia/chechin.pdf.

8. Рябов Д. С. Исследование новых типов нелинейных динамических режимов в цепочках Ферми-Пасты-Улама. Часть 1. Способы возбуждения бушей мод// Сборник тезисов 9-ой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых. Тезисы докладов. 2003.

9. Жуков К. Г., Рябов Д. С. Исследование новых типов нелинейных динамических режимов в цепочках Ферми-Пасты-Улама. Часть 2. Анализ устойчивости бушей мод// Сборник тезисов 9-ой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых. Тезисы докладов. 2003.

10. Рябов Д. С. Новый класс точных динамических режимов малой размерности в нелинейных атомных цепочках. Устойчивость и способы возбуждения // Де-

сятая Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2003». Секция «Физика». Сборник тезисов. М.: Отдел оперативной печати физического факультета МГУ, 2003.296с. С. 169-170.

11. Рябов Д. С. Новые типы странных аттракторов в трехмерных диссипативных системах с дискретной симметрией // Сборник тезисов Десятой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых: Тезисы докладов: В 2 т. Т. 1. Екатеринбург — Красноярск: Издательство АСФ России, 2004. 653 с. С. 87-88.

12. Рябов Д. С. Устойчивость нелинейных нормальных мод в цепочках Ферми-Паста-Улама // «Молодежь XXI века — будущее Российской науки» (тезисы докладов II Межрегиональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых 21—22 мая 2004г.). Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР», 2004. 264 с. С. 71-73.

13. Chechia G.M., Ryabov D.S. Stability of nonlinear normal modes in the FPU chains // The International Conference "Nonlinear Dynamics". Book of Abstracts. Kharkov, NTU "Kharkov Polytechnical Institute", 2004.

14. Chechia G. M., Ryabov D. S. Regular and chaotic dynamics of mechanical systems with discrete symmetries // The International Conference "Nonlinear Dynamics". Book of Abstracts. Kharkov, NTU "Kharkov Polytechnical Institute", 2004.

15. Chechia G. M., Ryabov D. S. Chaotic attractors in dissipative systems with discrete symmetry // Материалы VII международной школы «Хаотические автоколебания и образование структур», 1—6 октября 2004 г. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2004. 200 с. С. 42-43.

16. Джелаухова Г. С., Рябов Д. С., Чечин Г.М. Локализованные и делокализо-ванные нелинейные нормальные моды в одномерных решетках типа К4 // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения — 2006. Материалы научной конференции, 17-22 апреля 2006 г. СПб., 2006. 251 с. С. 72-78.

17. Chechia G. М., Ryabov D. S. Stability of nonlinear normal modes in the Fermi-Pasta-Ulam chains // Материалы VIII международной школы «Хаотические автоколебания и образование структур», 9—14 октября 2007 г. Саратов, 2007. 117с.

18. Ryabov D. 5., Chechia G. М. Stability of nonlinear normal modes in the FPU-chain in the thermodynamic limit // 21st International Conference — Summer School "Nonlinear Science and Complexity". Book of abstract. Athens, 2008. 77 p. P. 41.

19. Рябов Д. С., Чечин Г. М. О возможности симметрийной классификации дискретных бризеров в двумерных и трехмерных периодических структурах // Труды II международного междисциплинарного симпозиума «Среды со структурным и магнитным упорядочением» (Multiferroics-2), 23—28 сентября 2009г. Ростов-на-Дону — пос. Лоо, 2009. 196с. С. 185-188.

Личный вклад автора

Работы [1-6,16] выполнены на паритетной основе. Работы [8,10—12] выполнены без соавторов. В работах [7,9,13—15,17—19] принимал участие в совместной постановке задач, анализе и интерпретации результатов исследований, непосредственно автором были проведены компьютерные моделирования и аналитические вычисления. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

20. Fermi Е., Pasta J. R., Ulam S. Studies of Nonlinear Problems I I Los Alamos Scientific Laboratory Report LA-1940.1955.

21. Focus Issue "The Fermi-Pasta-Ulam problem — The first fifty years" / Eds. D. K. Campbell, P. Rosenau, G.M. Zaslavsky. Chaos. 2005. V. 15, № 1.

22. Butt LA., Wattis J.A.D. Journal of Physics A: Mathematical and General. 2006. V. 39. P. 4955.

23. Afshari E., HajimiriA. IEEE Journal of Solid-State Circuits. 2005. V.40. P. 744-752; Afshari £., Bhat H. S., Hajimiri A., Marsden J. E. Journal of Applied Physics. 2006. V. 99. P. 054901.

24. Lorenz E. N. Journal of Atmospheric Sciences. 1963. V. 20. P. 130.

25. Сахненко В. П., Чечин Г. М. Доклады Академии Наук. 1993. Т. 330. С. 308; 1994. Т. 338. С. 42; Chechia G.M., Sakhnenko V.P. Physica D. 1998. V. 117. P. 43.

26. Rosenberg R.M. Journal of Applied Mechanics. 1962. V.29. P. 7; Rosenberg R. M. Advances in Applied Mechanics. 1966. V.9. P. 155.

27. BudinskyN., Bountis T. Physica D. 1983. V.8. P. 445; Sandusky K.W., Page J. B. Physical Review B. 1994. V.50. P. 866; FlachS. Physica D. 1996. V. 91. P. 223; Dauxois Th., Ruffo S., Torcini A. Physical Review B. 1997. V.56. P.R6229; YoshimuraK. Physical Review E. 2004. V.70. P. 016611; Dauxois Th., Khomeriki R., Piazza F„ Ruffo S. Chaos. 2005. V. 15. P. 015110.

28. Chechia G.M., Novikova N.V., Abramenko A. A. Physica D. 2002. V. 166. P. 208.

29. Poggi P., Ruffo S. Physica D. 1997. V. 103. P. 251; Antonopoulos Ch., Bountis T. Physical Review E. 2006. V. 73. P. 056206; Leo M., Leo R.A. Physical Review E. 2007. V. 76. P. 016216.

30. Flach S., Gorbach A. Physics Reports. 2008. V. 467. P. 1.

31. Sievers A. J., Takeno S. Physical Review Letters. 1988. V.61. P.907.

32. Page J. B. Physical Review B. 1990. V. 41. P. 7835.

33. Chechin G. M., Zhukov K. G. Physical Review E. 2006. V. 73. P. 036216.

34. Овчинников А. А. ЖЭТФ. 1969. T. 57. C. 263; Крсевич A. M., Ковалев A. C. ЖЭТФ. 1974. T.67.C. 1793.

35. Marin J. L., Aubry S. Nonlinearity. 1996. V.9. P. 1501.

36. Rossler О. E. Physics Letters. 1976. V. 57A. P. 397.

Сдано в набор 06.11.09 г. Подписано в печать Об. 11.09 г. Заказ № 689. Тираж 100 экз. Формат 60*84 1/16. Печ. лист 1,0. Уел печ.л. 1,0.

Типография Южного федерального университета 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1, тел (863) 243-41-66.

Введение

Глава 1. Нелинейные нормальные моды и их устойчивость в цепочках с трансляционной симметрией.

1.1 Модель Ферми-Пасты-Улама.

1.2 Понятие о бушах мод.

1.3 Понятие о нелинейных нормальных модах (НИМ).

1.4 Вывод симметрийно-обусловленных НИМ в модели Ферми-Пасты-Улама

1.5 Понятие об устойчивости бушей мод.

1.6 Устойчивость НИМ в модели Ферми-Пасты-Улама

1.7 Диаграммы устойчивости НИМ в цепочке FPU-a.

1.8 Диаграммы устойчивости НИМ в цепочке FPU-/?.

1.9 Устойчивость НИМ в термодинамическом пределе N —> оо

1.10 Выводы

Глава 2. Дискретные бризеры в модели Бутта-Ваттиса

2.1 Понятие о дискретных бризерах.

2.2 Симметрийная классификация дискретных бризеров

2.3 Модель плоской квадратной решетки Бутта-Ваттиса

2.4 Метод численного построения дискретных бризеров

2.5 Результаты компьютерного моделирования.

2.6 Выводы.

Глава 3. Странные аттракторы в трехмерных диссипативных системах с точечной кристаллографической симметрией.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Динамические системы, инвариантные относительно групп точечной симметрии.

3.3 Странные аттракторы в трехмерных динамических системах с квадратичными нелинейностями.

3.4 Некоторые общие свойства хаотических аттракторов

3.5 Регулярные и хаотические аттракторы в ^-системе.

3.6 Некоторые симметрийные аспекты динамики ¿^-системы

3.7 Выводы.

Актуальность темы работы

Нелинейная динамика играет исключительно важную роль в современном естествознании и является одной из бурно развивающихся областей науки, изучающей такие объекты и явления, как солитоны, бризеры, динамический хаос, различные виды самоорганизации материи и т. д. В настоящее время трудно указать те области естествознания, где не используются идеи и методы нелинейной динамики. Существенно, что задачи нелинейной динамики лишь в очень редких случаях имеют точные аналитические решения, в силу чего при их исследовании приходится прибегать к компьютерному эксперименту.

При изучении различных явлений природы решающее значение имеет построение адекватных математических моделей с последующим их исследованием с помощью точных и приближенных методов современной математики. С середины прошлого века началось бурное развитие вычислительной физики как некоторого самостоятельного направления, в основе которого лежит идея проведения компьютерных экспериментов при исследовании математических моделей естествознания. Особо следует подчеркнуть тот факт, что такие эксперименты позволяют не только количественно описывать изучаемые явления, но в ряде случаев приводят к открытию принципиально новых режимов поведения системы, т. е. могут играть ярко выраженную эвристическую роль.

Особую роль играют простейшие «классические» модели, которые включают в себя лишь основные свойства рассматриваемой системы, но при этом позволяют получать новые результаты, дающие толчок к дальнейшему развитию науки. Одной из таких моделей, сыгравшей существенную роль в становлении современной нелинейной науки, является предложенная Э. Ферми в 50-х годах прошлого века простейшая нелинейная модель [1], представляющая собой аналог одномерного кристалла, в которой учитывается взаимодействие только между соседними частицами. Эта модель, получившая название цепочки Ферми-Пасты-Улама (FPU), численно изучалась на первом мощном компьютере MANIAC-1 в Лос-Аламосской национальной лаборатории (США) и привела к открытию целого ряда важных особенностей поведения нелинейных систем и обнаружению новых динамических объектов. Упомянем в связи с этим открытие так называемых явлений «возврата» [ 1,2] и «индукции» [3—5], введение понятия о солитонах в работе Нормана Забуски и Мартина Крускала [6], обнаружение ряда особенностей возникновения хаотической динамики [7], открытие полностью интегрируемой цепочки Тоды [8,9]. Именно с этой модели фактически и началось развитие современной вычислительной физики и практики проведения компьютерных экспериментов. Интерес к цепочкам FPU не угас до настоящего времени: в последние годы появилось большое число работ, связанных как с исследованием процессов установления теплового равновесия в таких цепочках [ 10], их теплоемкости [ 11 — 13] и теплопроводности [14—18], так и с обнаружением в них ряда новых динамических объектов (локализованные моды [19—21], хаотические бризеры [22], ç-бризеры [23,24] и т. д.) и некоторых точных аналитических решений [25—29]. Обзор последних достижений в области исследования модели FPU можно найти в специальном выпуске известного журнала Chaos [30], посвященного 50-летию со дня публикации работы Ферми, Пасты и Улама.

В последнее время получили развитие различные обобщения одномерной модели FPU на двумерные и трехмерные динамические системы с дискретной симметрией. В качестве одного из таких обобщений можно отметить двумерную модель Бутта-Ваттиса [31], которая находит применение при решении ряда задач твердотельной электроники [32,33]. В этой модели, в частности, исследуются дискретные бризеры (локализованные в пространстве и периодические во времени колебания).

Еще одним примером классических моделей нелинейной динамики является известная система Лоренца [34], в которой впервые было обнаружено явление динамического хаоса и которая, также как и модель FPU, оказала огромное влияние на последующее развитие науки. Эта динамическая модель используется, в частности, при исследовании конвекции в слое жидкости [34], работы одномодового лазера [35,36], конвекции в кольцевой трубке [37], в модели диссипативного осциллятора с инерционной нелинейностью [38] и в некоторых задачах метеорологии.

Интерес к исследованию указанных моделей обусловлен тем, что все они, с одной стороны, являются достаточно простыми для проведения вычислительных экспериментов, а с другой стороны, качественно описывают динамику многих реальных систем. Именно поэтому эти модели до сих пор остаются актуальными, о чем свидетельствует огромное количество появляющихся в последнее время публикаций, связанных с их исследованием (см., например,[39—45]).

Предметом исследования в настоящей диссертации являются различные нелинейные системы с дискретной симметрией, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. К этому классу систем относятся все упомянутые выше модели.

Наличие дискретной симметрии у нелинейных динамических систем позволяет применять для их исследования специфические теоретико-групповые методы, которые начали интенсивно разрабатываться около 20 лет назад в работах В. П. Сахненко и Г. М. Чечина [26,46—52], где было введено фундаментальное понятие о бушах (кустах) нелинейных нормальных мод. Буши мод представляют собой точные динамические режимы в нелинейных системах с дискретной симметрией. В случае гамильтоновой системы энергия, локализованная в данном буше мод, не передается другим модам, и соответствующее возбуждение существует в системе бесконечно долго. В динамическом смысле буш мод представляет собой систему, размерность которой может быть существенно меньше размерности исходной динамической системы (например, часто встречаются одномерные, двумерные, трехмерные, четырехмерные и т.д. буши мод). Одномерные буши мод являются не чем иным, как нелинейными нормальными модами (ННМ), введенными в 60-х годах прошлого века Р. М. Розенбергом [53,54].

В литературе были исследованы некоторые из возможных ННМ в цепочках Ферми-Пасты-Улама а- и (3-типов [25,26,55—62]. Однако систематического перечисления и исследования всех возможных симметрийно-обусловленных ННМ в нелинейных цепочках проведено не было.

Как показывает вычислительный эксперимент, буши мод (ив том числе симметрийно-обусловленные ННМ) являются устойчивыми не при любых амплитудах колебаний. При достижении некоторой критической амплитуды ННМ может потерять устойчивость в линейном приближении — при любом сколь угодно малом отклонении от точного инвариантного многообразия решение будет экспоненциально удалятся от него. Отметим, что исследованию устойчивости в нелинейных цепочках только одной из возможных ННМ — так называемой пи-моды — посвящено весьма большое число работ разных авторов [55—60]. В связи с вышесказанным весьма актуальным является вопрос о выделении всех возможных симметрийно-обусловленных ННМ в нелинейных цепочках и определении областей их устойчивости.

Другим интересным и перспективным объектом исследования являются дискретные бризеры, обнаруженные в численных экспериментах в начале 90-х годов прошлого века. В настоящее время такие возбуждения обнаружены в самых разных физических объектах (массивах контактов Джозефсона, квазиодномерных кристаллах, оптических волноводах, фотонных кристаллах, Бозе-Эйнштейновских конденсатах в оптических ловушках, цепочках микромеханических осцилляторов и др. [41]). Дискретные бризеры в основном исследовались в нелинейных одномерных цепочках, где уже сложилась определенная их классификация («четная» мода Сиверса-Такены [19] и «нечетная» мода Пейджа [21]), которая вытекает из симметрии соответствующего профиля колебаний. Однако, целенаправленного поиска дискретных бризеров различной симметрии в более сложных объектах (например, в плоских решетках) до сих пор не проводилось.

Большинство известных приложений теории бушей мод связано с гамильтоновыми системами, в то время как широкий класс нелинейных систем с дискретной симметрией включает также и диссипативные системы. Одной из особенностей таких систем является возможность существования в них хаотического поведения, в частности, наличия странных аттракторов. Примером являются классические системы Лоренца и Ресслера, обладающими точечными группами симметрии С2 и С\ соответственно (здесь и далее используется нотация точечных групп симметрии по Шенфлису). При этом возникает естественный вопрос о возможности существования систем, принадлежащих к тому же классу (трехмерные диссипативные системы с квадратичными нелинейностями), но обладающих более высокой симметрией, а также о применении к ним идей теории нелинейных динамических систем с дискретной симметрией.

Цели работы

С помощью компьютерного моделирования, теоретико-групповых и аналитических методов выполнить следующие исследования:

1. Вывести все возможные симметрийно-обусловленные нелинейные нормальные моды (ННМ) в одномерных нелинейных цепочках и исследовать их устойчивость по отношению к величинам амплитуд колебаний в моделях Ферми-Пасты-Улама а- и /?-типов.

2. Провести поиск дискретных бризеров разной симметрии в плоской квадратной решетке Бутта-Ваттиса и исследовать устойчивость этих динамических объектов.

3. Найти все трехмерные диссипативные системы с квадратичными нели-нейностями и выделить те из них, которые допускают хаотическое поведение при определенных значениях своих параметров.

Научная новизна

В настоящей диссертационной работе впервые были получены следующие научные результаты:

1. Установлено, что в цепочках типа Ферми-Пасты-Улама с периодическими граничными условиями в случае потенциала межчастичного взаимодействия общего вида может существовать только 3 симмет-рийно-обусловленные ННМ, а в случае четного потенциала имеется 6 таких мод.

2. Предложен метод численного построения диаграмм, позволяющих определять как границы устойчивости ННМ в цепочках из произвольного числа частиц, так и выделять те совокупности мод, взаимодействие с которыми является причиной потери устойчивости рассматриваемой ННМ.

3. Проведен анализ устойчивости всех возможных симметрийно-обу-словленных ННМ в моделях Ферми-Пасты-Улама а- и ¡3-типов и построены соответствующие диаграммы устойчивости.

4. Предложена классификация дискретных бризеров в кристаллических решетках по точечным подгруппам групп симметрии этих решеток.

5. С помощью компьютерного моделирования рассчитаны различные по симметрии дискретные бризеры в квадратной решетке Бутта-Ваттиса и исследована их устойчивость.

6. Исследован класс трехмерных динамических систем, описываемых автономными дифференциальными уравнениями первого порядка с квадратичными нелинейностями, которые являются инвариантными относительно кристаллографических точечных групп. Установлено, что только 6 из 32-х возможных классов таких систем могут демонстрировать хаотическое поведение при некоторых значениях своих параметров. Этим системам отвечают точечные группы Сь С3, С3, б2 и 54.

7. Для всех указанных в предыдущем пункте классов систем возможность хаотического поведения была подтверждена численным моделированием.

Научная и практическая значимость

Полученные в работе результаты и разработанные методы представляют собой вклад в исследование ряда фундаментальных проблем нелинейной динамики систем с дискретной симметрией. Они могут быть использованы различными коллективами ученых, проводящих исследования в области нелинейной динамики. Об этом, в частности, свидетельствует тот факт, что на опубликованные автором результаты уже имеются ссылки из работ таких известных специалистов, как Н. Забуски [63,64], Р. Гилмор [65], А. Лихтенберг [66], С. Руффо [66,67], С. Флах [68] и др.

Предложенный в главе 1 метод построения диаграмм устойчивости и их анализа может использоваться для исследования ННМ в различных моделях одномерных и квазиодномерных кристаллов (цепочке Ферми-Пасты-Улама [1], Френкеля-Конторовой [69—71], разнообразных диатом-ных цепочках и др.).

Предложенная в главе 2 классификация дискретных бризеров по подгруппам группы симметрии соответствующей решетки может использоваться как при анализе экспериментальных данных, так и с целью предсказания возможных локализованных колебаний в кристаллических структурах.

Предложенные в главе 3 новые трехмерные диссипативные модели, демонстрирующие хаотическое поведение, могут использоваться для задач информационной безопасности, а двухпараметрическая система с симметрией £>2 является удобной моделью при обучении студентов основам теории динамического хаоса.

Методы исследования и достоверность научных результатов

В работе применяются теоретико-групповые, аналитические и численные методы исследования систем нелинейных дифференциальных уравнений. Достоверность результатов подтверждается согласием аналитических и численных расчетов, а также непротиворечивостью с известными в литературе данными.

Положения, выносимые на защиту

1. В математических моделях моноатомных цепочек с периодическими граничными условиями могут существовать только шесть или три нетривиальных симметрийно-обусловленных нелинейных нормальных мод (ННМ) Розенберга в зависимости от четности или произвольности потенциала межчастичного взаимодействия. Эти ННМ, явный вид которых приведен в тексте диссертации, являются точными пространственно-периодическими решениями для рассматриваемого класса математических моделей.

2. Предложенный в работе метод построения диаграмм устойчивости симметрийно-обусловленных ННМ в динамических системах с дискретной симметрией позволяет выявлять ряд качественных закономерностей картины их устойчивости, в частности, выделять те совокупности степеней свободы, взаимодействие с которыми является причиной потери устойчивости рассматриваемой ННМ.

3. Скейлинговые соотношения для цепочек Ферми-Пасты-Улама-/? (/? > 0) для критической удельной энергии ес(Ю, при которой происходит потеря устойчивости ННМ при числе частиц N—>00, имеют вид:

1/АГ2 (для 5 ННМ) и ес~ (для одной ННМ).

4. В результате анализа трехмерных диссипативных систем с квадратичными нелинейностями, являющихся инвариантными относительно кристаллографических точечных групп, показано, что только 6 из 32-х возможных систем демонстрируют хаотическое поведение при некоторых значениях своих параметров.

Основные результаты

1. Для моноатомных цепочек предложен метод декомпозиции системы уравнений, линеаризованных в окрестности нелинейной нормальной моды, на независимые подсистемы малой размерности, позволяющий, с одной стороны, существенным образом упростить анализ ее устойчивости, а с другой стороны — выделить те совокупности мод, взаимодействие с которыми является причиной потери устойчивости рассматриваемой нелинейной нормальной моды Розенберга.

2. На основе вышеуказанного метода декомпозиции рассчитаны диаграммы устойчивости для всех симметрийно-обусловленных нелинейных нормальных мод Розенберга (указанных выше в первом пункте положений, выносимых на защиту) в цепочках Ферми-Пасты-Улама а- и /?-типов.

3. Полученные диаграммы позволили выявить целый ряд качественных закономерностей потери устойчивости ННМ, в частности: были найдены скейлинговые соотношения для порога потери устойчивости ННМ относительно величины их амплитуд Ас при стремлении к бесконечности числа частиц N в цепочке; для ННМ В[а4,аг] в модели РРи-а и ННМ В[а6, аг, а3и] в модели РРИ-/? (Р < 0) обнаружены нулевые значения Ас при любом ./V; для трех ННМ в модели РР11-/? {¡3 > 0) установлено существование критического значения амплитуды (энергии), при превышении которого они вновь становятся устойчивыми.

4. С помощью асимптотических методов в термодинамическом пределе (АГ—>оо) проведено аналитическое исследование скейлинговых соотношений для порога устойчивости ННМ в цепочке Ферми-Пасты-Улама /?-типа. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами компьютерного моделирования.

5. Предложено классифицировать дискретные бризеры, являющиеся периодическими во времени и локализованными в пространстве решениями динамических уравнений для нелинейных гамильтоновых решеток, по подгруппам группы инвариантности этих уравнений. В рамках такой классификации с помощью математического моделирования нами были найдены дискретные бризеры с группами симметрии С^, С4, С2, Сы, локализованные, соответственно, в точках (00), (0|), в плоской квадратной решетке Бутта-Ваттиса.

6. Показано, что среди всех трехмерных диссипативных систем уравнений с квадратичными нелинейностями, инвариантных относительно кристаллографических точечных групп, хаотические режимы колебаний могут существовать только в системах с группами симметрии С\, Cs, С2, С3, D2 и S4. С помощью компьютерного моделирования для них построены примеры хаотических аттракторов и проведена их классификация по подгруппам групп инвариантности этих систем.

7. Среди вышеуказанных трехмерных динамических систем особый интерес представляет система с симметрией которая в отличие от трехпараметрических моделей Лоренца и Ресслера является двух-параметрической. Для этой системы исследованы симметрийно-обу-словленные инвариантные многообразия, построены карта областей регулярного и хаотического движений, бифуркационные диаграммы, аттракторы разных типов.

Апробация работы и публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 19 работах [72—90]. Из них 2 статьи опубликованы в престижных международных журналах, специализирующихся в области нелинейной динамики, именно, в «Physical Review Е» [74] и «Physica D» [76], а одна — в отечественном журнале «Известия вузов. Прикладная Нелинейная Динамика» [75]. В соавторстве с В. П. Сахненко и Г. М. Чечиным автором написана отдельная глава «Bushes of normal modes as exact excitations in nonlinear dynamical systems with discrete symmetry» [77] (103 стр.) в коллективной монографии «Nonlinear Phenomena Research Perspectives» (NY: Nova Science Publishers, 2007), переизданная также в монографии «New Nonlinear Phenomena Research» (NY: Nova Science Publishers, 2008).

Результаты работы, докладывались на международных конференциях «Dynamical chaos in classical and quantum physics» (Новосибирск, 2003) [78], «Nonlinear dynamics» (Харьков, Украина, 2004) [79,80],

Chaos—2004» (Саратов, 2004) [81], «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения» (Санкт-Петербург, 2006) [82], «Nonlinear dynamics of acoustic modes in finite lattices: localization, equipartition, transport» (Дрезден, Германия, 2006), «Chaos—2007» (Саратов, 2007) [83], «Nonlinear Science and Complexity» (Афины, Греция, 2008) [84], , «Multiferroics-2» (Ростов-на-Дону — JIoo, 2009) [85], а также на нескольких межвузовских студенческих конференциях [86—90]. В 2009 г. по теме диссертации автором были проведены два семинара в Институте Макса Планка Физики сложных систем (Дрезден, Германия).

Личный вклад автора

В совместных работах автор принимал непосредственное участие в постановке задач, проведении компьютерного моделирования и аналитических вычислений, анализе и интерпретации результатов исследований. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Содержание работы

В настоящей диссертации с позиций разработанного в работах [46—48] теоретико-группового подхода исследуются различные модели нелинейной динамики, инвариантные относительно преобразований дискретных групп симметрии.

Первая глава посвящена проблеме существования и устойчивости симметрийно-обусловленных нелинейных нормальных мод в цепочках Ферми-Пасты-Улама и, таким образом, представляет собой исследование некоторого конкретного типа регулярных движений в гамильтоновых системах с трансляционной симметрией.

Вторая глава посвящена исследованию классификации, существования и устойчивости локализованных колебаний (дискретных бризеров) различной симметрии в плоской квадратной решетке Бутта-Ваттиса.

Третья глава посвящена выводу и исследованию трехмерных диссипа-тивных систем с точечной симметрией, в поведении которых проявляется детерминированный хаос.

3.7 Выводы

1. Предложена и исследована серия трехмерных диссипативных систем с квадратичными нелинейностями, являющихся инвариантными относительно кристаллографических точечных групп. Установлено, что только 6 из 32-х возможных систем — им отвечают точечные группы Сь С5, С2, С3, Дг и 64 — могут демонстрировать хаотическое поведение при некоторых значениях своих параметров.

2. Для этих систем построены примеры хаотических аттракторов и проведена классификация этих аттракторов по подгруппам групп инвариантности динамических моделей. Эти системы могут выступать в роли математических моделей для широкого спектра нелинейных явлений в различных областях естествознания.

3. Среди вышеуказанных трехмерных математических моделей особый интерес представляет система £>2, которая в отличие от трехпарамет-рических систем Лоренца и Ресслера является двухпараметрической. Для этой системы исследованы симметрийно-обусловленные инвариантные многообразия, построены карта областей регулярного и хаотического движений, бифуркационные диаграммы, аттракторы разных типов.

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в данной работе:

1. Показано, что в математических моделях моноатомных цепочек с периодическими граничными условиями в общем случае могут существовать только шесть или три нетривиальных симметрийно-обу-словленных нелинейных нормальных мод (ННМ) Розенберга в зависимости от четности или произвольности потенциала межчастичного взаимодействия. Эти нелинейные нормальные моды, явный вид которых приведен в таблице 1.1, являются точными пространственно-периодическими решениями для рассматриваемого класса математических моделей.

2. Для моноатомных цепочек предложен метод декомпозиции системы уравнений, линеаризованных в окрестности ННМ, на независимые подсистемы малой размерности, позволяющий, с одной стороны, существенным образом упростить анализ ее устойчивости, а с другой стороны — выделить те совокупности мод, взаимодействие с которыми является причиной потери устойчивости рассматриваемой ННМ.

3. На основе метода декомпозиции предложен метод построения диаграмм устойчивости симметрийно-обусловленных ННМ в динамических системах с дискретной симметрией. Этот метод был реализован в виде компьютерной программы, при помощи которой были рассчитаны диаграммы устойчивости для всех симметрийно-обусловленных ННМ в цепочках Ферми-Пасты-Улама а- и /?-типов. Полученные диаграммы позволили выявить целый ряд качественных закономерностей потери устойчивости ННМ в моделях FPU, в частности: были найдены скейлинговые соотношения для порога потери устойчивости ННМ относительно величины их амплитуд Ас при стремлении к бесконечности числа частиц в цепочке N; для ННМ В [а4, аг] в модели FPU-а и ННМ В [aQ,ai,a?u] в модели FPU-/? (/? < 0) обнаружены нулевые значения Ас при любом ДГ; для трех ННМ в модели FPU-/? (/? > 0) установлено существование критического значения амплитуды (энергии), при превышении которого они вновь становятся устойчивыми.

Предложенный метод построения диаграмм устойчивости и их анализа может использоваться для исследования ННМ в различных моделях одномерных и квазиодномерных кристаллов (цепочке Ферми-Пасты-Улама [1], Френкеля-Конторовой [69—71], разнообразных диатомных цепочках и др.).

4. С помощью асимптотических методов в термодинамическом пределе (N —» оо) проведено аналитическое (при помощи созданной в среде MAPLE программы) исследование скейлинговых соотношений для порога устойчивости ННМ в цепочке Ферми-Пасты-Улама /?-типа. Полученные аналитически результаты хорошо согласуются с результатами компьютерного моделирования. Для цепочек Ферми-Пасты-Улама-/? (/?>0) скейлинговые соотношения для критической плотности энергии Ec/N, при которой происходит потеря устойчивости ННМ при числе частиц N—+ оо, имеют вид: Ec/N~ 1 /N2 (для 5 ННМ) и Ec/N ~ 1/N (для одной ННМ).

5. Предложено классифицировать дискретные бризеры, являющиеся периодическими во времени и локализованными в пространстве решениями динамических уравнений для нелинейныхтамильтоновых решеток, по подгруппам группы инвариантности этих уравнений. В рамках такой классификации с помощью математического моделирования нами были найдены дискретные бризеры с группами симметрии С^, Са, С2, С2(1, локализованные, соответственно, в точках (00), (\\), (0^), в плоской квадратной решетке Бутта-Ваттиса и исследована их устойчивость.

Предложенная классификация дискретных бризеров по подгруппам группы симметрии соответствующей решетки может использоваться как при анализе экспериментальных данных, так и с целью предсказания возможных локализованных колебаний в кристаллических структурах.

6. Предложена серия трехмерных диссипативных систем с квадратичными нелинейностями, являющихся инвариантными относительно кристаллографических точечных групп. Показано, что только 6 из 32-х возможных систем (инвариантных относительно групп симметрии Сь С3, С2, Сз, £>2, ¿ч) могут демонстрировать хаотическое поведение при некоторых значениях своих параметров. Эти системы могут выступать в роли математических моделей для широкого спектра нелинейных явлений в различных областях естествознания. Во всех полученных системах хаотическое поведение было численно обнаружено (при некоторых значения параметров этих систем). С помощью компьютерного моделирования для этих систем построены примеры хаотических аттракторов и проведена их классификация по подгруппам групп инвариантности динамических моделей.

7. Среди вышеуказанных трехмерных математических моделей особый интерес представляет система И2, которая в отличие от трехпарамет-рических систем Лоренца и Ресслера является двухпараметриче-ской. Для этой системы исследованы симметрийно-обусловленные инвариантные многообразия, построены карта областей регулярного и хаотического движений, бифуркационные диаграммы, аттракторы разных типов.

8. Предложенные новые трехмерные диссипативные модели, демонстрирующие хаотическое поведение, могут использоваться для задач информационной безопасности, а двухпараметрическая система с симметрией Дз является удобной моделью при обучении студентов основам теории динамического хаоса.

1. Fermi Е., Pasta J. R., Ulam S. Studies of Nonlinear Problems // Los Alamos Scientific Laboratory Report LA-1940. 1955. (Перевод: Э. Ферми. Научные труды / Под ред. Б. Понтекорво. М.: Наука, 1972. Т. 2. С. 645-656).

2. TuckJ.L., Menzel М.Т. The Superperiod of the Nonlinear Weighted String (FPU) Problem // Advances in Mathematics. 1972. V. 9. P. 339-407.

3. Hirooka H., Saito N. Computer Studies on the Approach to Thermal Equilibrium in Coupled Anharmonic Oscillators. I. Two Dimensional Case//Journal of the Physical Society of Japan. 1969. V. 26. P. 624-630.

4. Ooyama N., Hirooka H., Saito N. Computer Studies on the Approach to Thermal Equilibrium in Coupled Anharmonic Oscillators. II. .One Dimensional Case // Journal of the Physical Society of Japan. 1969. V. 26. P. 815-824.

5. Saito N., Ooyama N., Aizava Y., Hirooka H. Computer Experiments on Ergodic Problems in Anharmonic Lattice Vibrations // Supplement of the Progress of Theoretical Physics. 1970. V. 45. P. 209-230.

6. Zabusky N. J., Kruskal M. D. Interaction of "Solitons" in a Collisionless Plasma and the Recurrence of Initial States // Physical Review Letters. 1965. V. 15. P. 240-243.

7. Израилев Ф. M., Чириков Б. В. Статистические свойства нелинейной струны // Доклады Академии Наук СССР. 1966. Т. 166, № 1.1. С. 57-59.

8. Toda М. Vibration of a Chain with Nonlinear Interaction // Journal of the Physical Society of Japan. 1967. V. 22. P. 431-436.

9. Тода M. Теория нелинейных решеток. M.: Мир, 1984. 264 с.

10. Benettin G., Livi R., Ponrio A. The Fermi-Pasta-Ulam Problem: Scaling Laws vs. Initial Conditions // Journal of Statistical Physics. 2009. V. 135, № 5-6. P. 873-893.

11. Livi R., Pettini M., Ruffo S., Vulpiani A. Chaotic behavior in nonlinear Hamiltonian systems and equilibrium statistical mechanics // Journal of Statistical Physics. 1987. V. 48, № 3-4. P. 539-559.

12. Perronace A., Tenenbaum A. Classical specific heat of an atomic lattice at low temperature, revisited // Physical Review E. 1998. V. 57. P. 100; Erratum // ibid. 1998. V. 57. P. 6215.

13. Carati A., Galgani L. On the specific heat of the Fermi—Pasta—Ulam systems and their glassy behavior// Journal of Statistical Physics. 1999. V. 94, № 5-6. P. 859-869.

14. Nishiguchi N., Sakuma T. Temperature-dependent thermal conductivity in low-dimensional lattices // Journal of Physics: Condensed Matter. 1990. V. 2. № 37. P. 7575-7584.

15. Lepri S., Livi R., Politi A. Heat Conduction in Chains of Nonlinear Oscillators//Physical Review Letters. 1997. V. 78, № 10. P. 1896-1899.

16. Lepri S., Livi R., Politi A. On the anomalous thermal conductivity of one-dimensional lattices // Europhysics Letters. 1998. V. 43, № 3. P. 271-276.

17. Prosea Т., Campbell D.K. Momentum conservation implies anomalous energy transport in 1D classical lattices // Physical Review Letters. 2000. V. 84. P. 2857-2860.

18. Lepri S., Livi R., Politi A. Thermal conduction in classical low-dimensional lattices I I Physics Reports. 2003. V. 377. P. 1.

19. Sievers A. J., Takeno S. Intrinsic localized modes in anharmonic crystals // Physical Review Letters. 1988. V. 61. P. 907.

20. КосевичА.М., Ковалев А. С. Введение в нелинейную физическую механику. Киев: Наук, думка, 1989. 304 с.

21. Page J. В. Asymptotic solutions for localized vibrational modes in strongly anharmonic periodic systems // Physical Review B. 1990. V. 41. P. 7835.

22. Cretegny Th., Dauxois Th., Ruffo 5., Torcini A. Localization and equipartition of energy in the /З-FPU chain: Chaotic breathers // Phys-icaD. 1998. V. 121. P. 109-126.

23. Flach S., Ivanchenko M. V., Kanakov O.I. ^-breathers and the Fermi-Pasta-Ulam problem // Physical Review Letters. 2005. V. 95. P. 064102.

24. Ivanchenko M. V., Kanakov O.I., Mishagin К G., Flach S. g-breathers in finite two- and three-dimensional nonlinear acoustic lattices // Physical Review Letters. 2006. V. 97. P. 025505.

25. Poggi P., Ruffo S. Exact solutions in the FPU oscillator chain // Phys-ica D. 1997. V. 103. P. 251-272.

26. Chechin G. M., Novikova N. V., Abramenko A. A. Bushes of vibrational modes for Fermi-Pasta-Ulam chains // Physica D. 2002. V. 166. P. 208-238.

27. Shinohara S. Low-Dimensional Solutions in the Quartic Fermi-Pasta-Ulam System // Journal of the Physical Society of Japan. 2002. V. 71. P. 1802-1804.

28. Rink B. Symmetric invariant manifolds in the FPU lattice // Physica D. 2003. V. 175. P. 31-42.

29. Shinohara S. Low-Dimensional Subsystems in Anharmonic Lattices // Supplement of the Progress of Theoretical Physics. 2003. V. 150. P. 423-434.

30. Focus Issue "The Fermi-Pasta-Ulam problem — The first fifty years" / Eds. D.K. Campbell, P. Rosenau, G.M. Zaslavsky. Chaos. 2005. V. 15, № 1.

31. Butt I. A., Wattis J.A.D. Discrete breathers in a two-dimensional Fermi-Pasta-Ulam lattice // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2006. V. 39. P. 4955.

32. Afshari E., Hajimiri A. Nonlinear Transmission Lines for Pulse Shaping in Silicon // IEEE Journal of Solid-State Circuits. 2005. V. 40. P. 744-752.

33. Afshari E., Bhat H. S., Hajimiri A., Marsden J. E. Extremely wideband signal shaping using one- and two-dimensional nonuniform nonlinear transmission lines// Journal of Applied Physics. 2006. V. 99. P. 054901.

34. Haken Н. Analogy between higher instabilities in fluids and lasers // Physics Letters A. 1975. V. 53, № 1. P. 77-78.

35. Ораевский A. H. Мазеры, лазеры и странные аттракторы // Квантовая электроника. 1981. Т. 8, № 1. С. 130-142.

36. Rubenfeld L. A., Siegmati W. L. Nonlinear dynamic theoiy for a double-diffusive convection model // SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics) Journal of Applied Mathematics. 1977. V. 32. P. 871.

37. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. 424 с.

38. Ford J. The Fermi-Pasta-Ulam problem: paradox turns discoveiy // Physics Reports. 1992. V. 213, №. 5. P. 271-310.

39. The Fermi-Pasta-Ulam Problem: A Status Report / Ed. by G. Gallavotti. The Lecture Notes in Physics. V. 728. Springer-Verlag, 2007. 302 p.

40. Flach S., Gorbach A. Discrete breathers — advances in theory and applications // Physics Reports. 2008. V. 467. P. 1.

41. Nonlinear Dynamics and Chaos: Where do we go from here? / Ed. by J. Hogan et ai. Philadelphia: Institute of Physics Pub., 2003. 358 p.

42. Reviews of Nonlinear Dynamics and Complexity / Ed. by H. G. Schuster. Weinheim: Wiley-VCH, 2008. 227 p.

43. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б, Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000. 336 с.

44. Лоскутов А. Ю. Проблемы нелинейной динамики. I. Хаос. // Вестник МГУ, сер. физ.-астр. 2001. № 2. с. 3-21.

45. Сахненко В. П., Чечин Г.М. Симметрийные правила отбора в нелинейной динамике атомных смещений // Доклады Академии Наук. 1993. Т. 330. С. 308-310.

46. Сахненко В. П., Чечин Г. М. Кусты мод и нормальные колебания для нелинейных динамических систем с дискретной симметрией // Доклады Академии Наук. 1994. Т. 338. С. 42-45.

47. Chechin G.M., Sakhnenko V.P. Interaction between normal modes in nonlinear dynamical systems with discrete symmetiy. Exact results // Physica D. 1998. V. 117. P. 43-76.

48. Chechia G.M., Sakhnenko V. P., Stokes H. Т., Smith A. D., Hatch D. M. Nonlinear normal modes for systems with discrete symmetry // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2000. V. 35. P. 497-513.

49. Chechia G.M., LavrovaO.A., Sakhnenko V. P., Stokes H. Т., Hatch D. M. New approach to nonlinear dynamics of fullerenes and fullerites // Физика твердого тела. 2002. Т. 44. С. 554—556.

50. Chechin G.M., Gnezdilov А. V., Zekhtser М. Yu. Existence and stability of bushes of vibrational modes for octahedral mechanical systems with Lennard-Jones potential// International Journal of Non-Linear Mechanics. 2003. V. 38. P. 1451-1472.

51. Rosenberg R. M. The normal modes of nonlinear n-degree-of-freedom systems //Journal of Applied Mechanics. 1962. V. 29. P. 7-14.

52. Rosenberg R. M. On nonlinear vibrations of systems with many degrees of freedom // Advances in Applied Mechanics. 1966. V. 9. P. 155—242.

53. Budinsky N., Bountis T. Stability of Nonlinear Models and Chaotic Properties of ID Fermi-Pasta-Ulam Lattices // Physica D. 1983. V. 8. P. 445.

54. Sandusky K. W., Page J. B. Interrelation between the stability of extended normal modes and the existence of intrinsic localized modes in nonlinear lattices with realistic potentials // Physical Review B. 1994. V. 50. P. 866-887.

55. Flach S. Tangent bifurcation of band edge plane waves, dynamical symmetry breaking and vibrational localization // Physica D. 1996. V. 91. P. 223-243.

56. Dauxois Th., Ruff o S., Torcini A. Modulational estimate for the maximal Lyapunov exponent in Fermi-Pasta-Ulam chains // Physical Review B. 1997. V. 56. P. R6229—R6232.

57. Yoshimura K. Modulational instability of zone boundary mode in nonlinear lattices: Rigorous results // Physical Review E. 2004. V. 70. P. 016611.

58. Dauxois Th., Khomeriki R., Piazza F., Ruffo S. The Anti-FPU problem // Chaos. 2005. V. 15. P. 015110.

59. Atitonopoulos Ch., Bountis T. Stability of simple periodic orbits and chaos in a Fermi-Pasta-Ulam lattice // Physical Review E. 2006. V. 73. P. 056206.

60. Leo M., LeoR.A. Stability properties of the N/4 (7r/2-mode) one-mode nonlinear solution of the Fermi-Pasta-Ulam-/? system // Physical Review E. 2007. V. 76. P. 016216.

61. Zabusky N.J. Fermi-Pasta-Ulam, solitons and the fabric of nonlinear and computational science: History, synergetics, and visiometrics // Chaos. 2005. V. 15. P. 015102.

62. Zabusky N. J., Sun Zh., Peng G. Measures of chaos and equipartition in integrable and nonintegrable lattices // Chaos. 2006. V. 16. P. 013130.

63. Letellier C., Gilmore R. Symmetry groups for 3D dynamical systems // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2007. V. 40. P. 5597-5620.

64. Lichtenberg A.!Livi R., Pettini M., Ruffo S. Dynamics of Oscillator Chains // The Fermi-Pasta-Ulam Problem: A Status Report / Ed. by G. Gallavotti. The Lecture Notes in Physics. V. 728. Springer-Verlag, 2007. P. 21-121.

65. Dauxois T., Khomeriki R., Ruffo S. Modulational instability in isolated and driven Fermi-Pasta-Ulam lattices // European Physical Journal: Special Topics. 2007. V. 147. P. 3.

66. Penati T., Flach S. Tail resonances of FPU g-breathers and their impact on the pathway to equipartition // Chaos. 2007. V. 17. P. 023102.

67. Конторова Т. А., Френкель Я. И. ххх//Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1938. Т. 8. С. 89—95.

68. Конторова Т. А., Френкель Я. И. ххх//Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1938. Т. 8. С. 1340.

69. Браун О. М., Кчвшарь Ю.С. Модель Френкеля-Конторовой. Концепции, методы, приложения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. 536 с.

70. Жуков К. Г., Рябов Д. С., Чечин Г. М. Построение бушей мод для нелинейных моноатомных цепочек// Электронный журнал «Исследовано в России». 2003. Т. 137. С. 1616-1644. URL: http: //zhurnal. аре.relarn.ru/articles/2003/137.pdf.

71. Chechia G.M., RyabovD.S. Three-dimensional Chaotic Flows with Discrete Symmetries 11 Physical Review E. 2004. V. 69. P. 036202.

72. Никифоров A.M., Рябов Д. С., Чечин Г. M. Динамический хаос в трехмерной диссипативной системе с группой симметрии // Известия вузов «Прикладная нелинейная динамика». 2004. Т. 12, № 6. С. 28-43.

73. Chechia G. М., RyabovD.S., Zhukov K.G. Stability of low-dimensional bushes of vibrational modes in the Fermi-Pasta-Ulam chains // Physica D. 2005. V. 203. P. 121-166.

74. Chechin G. M., Ryabov D. S. Stability of nonlinear normal modes in the FPU chains // The International Conference "Nonlinear Dynamics". Book of Abstracts. Kharkov, NTU "Kharkov Polytechnical Institute", 2004.

75. Chechin G. M., Ryabov D. S. Regular and chaotic dynamics of mechanical systems with discrete symmetries // The International Conference "Nonlinear Dynamics". Book of Abstracts. Kharkov, NTU "Kharkov Polytechnical Institute", 2004.

76. Chechin G. М., Ryabov D. S. Stability of nonlinear normal modes in the Fermi-Pasta-Ulam chains // Материалы VIII международной школы

77. Хаотические автоколебания и образование структур», 9—14 октября 2007 г. Саратов, 2007. 117 с.

78. Ryabov D. S., Chechia G. М. Stability of nonlinear normal modes in the FPU-chain in the thermodynamic limit // 21st International Conference — Summer School "Nonlinear Science and Complexity". Book of abstract. Athens, 2008. 77 p. P. 41.

79. Dauxois Th. Fermi, Pasta, Ulam and a mysterious lady// Physics Today. 2008. V. 61, № 1. P. 55-57.

80. Bivitis R. L., Metropolis N., Pasta J. R. Nonlinear Coupled Oscillators: Modal Equation Approach // Journal of Computational Physics. 1973. V. 12. P. 65-87.

81. Chechia G. M. Computers and group-theoretical methods for studying structural phase transition // Computers & Mathematics with Applications 1989. V. 17. P. 255-258.

82. Маневич Л. Я., Михлин Ю. В., Пилипчук В. N. Методы нормальных колебаний для существенно нелинейных систем. М.: Наука, 1989.

83. Справочник по специальным функциям / Под. ред. М. Абрамовича и И. А. Стегана. М.: Наука, 1979. 830 с.

84. Floquet С. Sur les équations différentielles linéaires à coefficient périodiques // Annales de l'Ecole Normale Supériore. 1883. V. 12. P. 47-88.

85. Демидович В. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

86. Chechia G. M., Zhukov К■ G. Stability analysis of dynamical regimes in nonlinear systems with discrete symmetries // Physical Review E. 2006. V. 73. P. 036216.

87. Журавлев В. Ф., Климов Д. М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. 326 с.

88. Choodnovsky G. V., Choodnovsky D. V. Novel First Integrals for the Fermi-Pasta-Ulam Lattice with Cubic Nonlinearity and for Other Many-Body Systems in One and Three Dimensions // Lettere A1 Nuovo Cimento. 1977. V. 19, № 8. P. 291-294.

89. Dormand J. R., Prince P.J. A family of embedded Runge-Kutta formulae // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1980. V. 6. P. 19-26.

90. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ. М.: Мир, 1999. 548 с.

91. Weisstein E.W. Jacobi Elliptic Functions // From Math World — A Wolfram Web Resource. URL: http://mathworld.wolfram.com/ JacobiEllipticFunctions.html

92. Берман Г. П., Коловский А. Р. О границе стохастичности для одномерной нелинейной цепочки взаимодействующих осцилляторов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. Т. 87, № 6. С. 1938-1947.

93. Ablowitz M.J., Каир Dj., Newell А. С., Segur Н. The inverse scattering transform-Fourier analysis for nonlinear problems // Studies in Applied Mathematics. 1974. V. 53. P. 249.

94. MacKay R.S., Aubry S. Proof of existence of breathers for timereversible or hamiltonian networks of weakly coupled oscillators // Non-linearity. 1994. V. 7. P. 1623.

95. Овчинников А. А. Локализованные долгоживущие колебательные состояния в молекулярных кристаллах//Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1969. Т. 57, № 1. С. 263—270.

96. Косевич А. М., Ковалев А. С. Самолокализация колебаний в одномерной ангармонической цепочке // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1974. Т. 67. С. 1793.

97. Swanson В. /., Brozik J. A., Love S. P., et al. Observation of intrinsically localized modes in a discrete low dimensional material // Physical Review Letters. 1999. V. 82. P. 3288.

98. Kisoda K, Kimura N., Harima H., et al. Intrinsic localized vibrational modes in a highly nonlinear halogen-bridged metal // Journal of Luminescence. 2001. V. 94-95. P. 743.

99. Manley M. E., Sievers A. J., Lynn J. W., et al. Intrinsic localized modes observed in the high-temperature vibrational spectrum of Nal // Physical Review B. 2009. V. 79. P. 134304.

100. Schwarz U. Т., English L. Q., Sievers A. J. Experimental generation and observation of intrinsic localized spin wave modes in an antiferromag-net// Physical Review Letters. 1999. V. 83. P. 223.

101. Sato M., Sievers A.J. Direct observation of the discrete character of intrinsic localized modes in an antiferromagnet // Nature. 2004. V. 432. P. 486.

102. Wrubel J. P., Sato M., Sievers A. J. Controlled switching of intrinsic localized modes in a one-dimensional antiferromagnet // Physical Review Letters. 2005. V. 95. P. 264101.

103. Sato M., Sievers A.J. Counting discrete emission steps from intrinsic localized modes in a quasi-one-dimensional antiferromagnetic lattice // Physical Review B. 2005. V. 71. P. 214306.

104. Binder P. Abraimov D., Ustinov A. V., et al. Observation of breathers in Josephson ladders I I Physical Review Letters. 2000. V. 84. P. 745.

105. Miroshnichenko A. E., Flach S., Fistul M.V., et al. Breathers in Josephson junction ladders: Resonances and electromagnetic wave spectroscopy // Physical Review E. 2001. V. 64. P. 066601.

106. Kevrekidis P. G., Rasmussen K. 0., Bishop A. R. Two-dimensional discrete breathers: Construction, stability, and bifurcations // Physical Review E. 2000. V. 61, № 2. P. 2006-2009.

107. Marin J. L., Aubry S. Breathers in nonlinear lattices: numerical calculation from the anticontinuous limit // Nonlinearity. 1996. V. 9. P. 1501.

108. Гледзер E. Б., Должанский Ф. В., Обухов A. M. Системы гидродинамического типа и их применение. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981.368 с.

109. Rossler О. Е. An equation for continuous chaos //Physics Letters. 1976. V. 57A, № 5. P. 397-398.

110. Кузнецов С. П. Динамический хаос / Серия «Современная теория колебаний и волн». М.: Физматлит, 2001.

111. Анищенко В. С. Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соров-ского профессора: Учеб. пособие. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 144 с.

112. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики. М.: Едиториал УРСС, 2004. 318 с.

113. MayR.M., Leonard W.J. Nonlinear aspects of competition between three species // SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics) Journal of Applied Mathematics. 1975. V. 29. P. 243-253.

114. Busse F.H., Heikes К. E. Convection in a rotating layer: A simple case of turbulence// Science. 1980. V. 208, Apr. 11. P. 173-175.

115. Scott J. F., Chen T., Phillipson P.E. May-leonard oscillations in ferroelectric thermal lenses // Integrated Ferroelectrics. 1993. V. 3, № 4. P. 377.

116. Scott J. F. Three fundamental problems in ferroelectricity // Journal of Physics and Chemistry of Solids. 1996. V. 57, № 10. P. 1439-1443.

117. Rikitake T. Oscillations of a system of disk dynamos // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1958. V. 54, P. 89-105.

118. Pikovskii A. S., Rabinovich M. I. Stochastic behavior of dissipative systems // Soviet Scientific Reviews. Section C. Mathematical Physics Reviews. 1981. V. 2.

119. Sprott J. C. Some simple chaotic flows// Physical ReviewE. 1994. V. 50, № 2. P. R647-R650.

120. Sprott J. C. Simplest dissipative chaotic flow// Physics Letters At 1997. V.228, P. 271-274.

121. Sprott J. C.,Linz S.J. Algebraically simple chaotic flows// International Journal of Chaos Theory and Applications. 2000. V. 5. P. 3—22.

122. Ковалев О. В. Неприводимые и индуцированные представления и копредставления федоровских групп: Справочное руководство. М.: Наука, 1986. 368 с.

123. Гуфан Ю.М., Чечин F.M. О геометрических ограничениях на выбор прафазы в случае шестикомпонентного параметра порядка // Кристаллография. 1980. Т. 25, № 3. С. 453-459.

124. Гуфан Ю. М., Попов В. П. К теории фазовых переходов, описываемых четырехкомпонентным параметром порядка // Кристаллография. 1980. Т. 25, №5. С. 921-929.

125. Гуфан Ю. М. Структурные фазовые переходы. М.: Наука, 1982. 302 с.

126. Hatch D. M., Stokes H. T. Isotropy subgroups of the 230 crystallography space groups. World Scientific, 1988.

127. Liu W., Chen G. A new chaotic system and its generation // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2003. V. 13. P. 261-267.

128. Poincarê H. Sur les courbes définies par une équation différentielle // Oeuvres. Paris. 1892. V. 1.

129. Bendixson I. Sur les courbes définies par des équations différentielles // Acta Mathematica (Springer Netherlands). 1901. V. 24. P. 1-88.

130. Benettin G., Galgani L., Strelcyn J.-M. Kolmogorov entropy and numerical experiments // Physical Review. 1976. V. A14. P. 2338—2345.

131. Johnson R. C. A dynamical system with two strange attractors // arXiv:nlin/0010039. URL: http://arxiv.org/abs/nlin/0010039.