автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Компьютерное моделирование и анализ дискретных бризеров на одномерных и двумерных нелинейных гамильтоновых решетках

На правах рукописи

"О5048092

Безуглова Галина Сергеевна

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ БРИЗЕРОВ НА ОДНОМЕРНЫХ И ДВУМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ

РЕШЕТКАХ

Специальность: 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 и ЙН8 2013

г. Ростов-на-Дону — 2012

005048092

Работа выполнена на физическом факультете Южного федерального университета

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент

Чечин Георгий Михайлович

Официальные оппоненты: Куповых Геннадий Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет», декан факультета естественнонаучного и гуманитарного образования

Тарасевич Юрий Юрьевич

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Астраханский государственный университет», заведующий кафедрой прикладной математики и информатики

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный

университет им. Н. И. Лобачевского» (ННГУ), г. Нижний Новгород

Защита диссертации состоится «17» января 2013 г. в 14:20 на заседании дас сертащюнного совета Д 212.208.22 при Южном федеральном университете по а; ресу: 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д-406.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке Юя ного федерального университета по адресу: 344000, Ростов-на-Дону, ул. Пушки1 екая, 148.

Автореферат разослан » 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

А.Н. Цель

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Несколько последних десятилетий ознаменовались бурным развитием нового научного направления в естествознании, которое получило название нелинейной динамики. В рамках этого направления возникли такие понятия как солитоны, бризеры, динамический хаос, синергетические структуры и т.д. Одним из достаточно новых и интенсивно изучаемых в настоящее время динамических объектов в нелинейных моделях, построенных на пространственно периодических структурах, являются дискретные бризеры (ДБ). Они представляют собой локализованные в пространстве и периодические во времени колебания различной физической природа в однородных (без примесей) гамильтоновых решетках.

Первой работой, посвященной дискретным бризерам, принято считать статью Сиверса и Такено [23], опубликованную в 1988 году. С начала 1990-х годов во всем мире началось интенсивное исследование дискретных бризеров с помощью различных физических и математических методов [24-27]. Особую роль при этом играют методы математического моделирования. Огромное число вычислительных экспериментов, проведенных на разнообразных математических моделях позволило выявить целый ряд важных свойств этих динамических объектов, которые впоследствии были подтверждены в результате проведения реальных физических экспериментов.

К настоящему времени дискретные бризеры были обнаружены в самых разнообразных макро-, мезо- и микроскопических физических системах (см., например, обзорную работу [27]). В качестве примеров сошлёмся на такие системы как слабосвязанные оптические волноводы, низкоразмерные кристаллы типа PtC!, антиферромагнетики, массивы контактов Джозефсона, Бозе-Эйнштейновские конденсаты, кантилеверные массивы, галогенные кристаллы типа Nal, биополимеры и др.. Предполагается, что дискретные бризеры могут играть существенную роль и в ряде процессов, протекающих в таких биологических объектах как молекулы ДНК, моторные протеины и т.д. Круг физических систем, в которых наблюдаются и изучаются дискретные бризеры постоянно расширяется, что свидетельствует об актуальности этой области исследований.

В настоящей работе предпринята попытка заполнить некоторые пробелы в теории дискретных бризеров с помощью численного исследования ряда математических моделей, что является актуальным в свете интенсивно ведущихся в настоящее время бризерных исследований.

Цели работы. С помощью компьютерного моделирования, теоретико-групповых и аналитических методов выполнить следующие исследования:

1. Модифицировать ряд математических моделей, используемых в настоящее время для исследования свойств дискретных бризеров, с целью возможности проведения анализа зависимости устойчивости этих динамических объектов от отношения сил межчастичных и локальных взаимодействий.

2. Разработать методику теоретико-группового анализа дискретных бризеров в плоских двумерных решётках.

3. Разработать алгоритмы и создать комплекс программ для численного моделирования дискретных бризеров.

4. С помощью вычислительных экспериментов провести исследование свойств бризеров в ряде одномерных и двумерных периодических структур.

Научная новизна.

1. Введена концепция квазибризеров и предложены числовые характеристики их отличия от дискретных бризеров. Квазибризеры являются более адекват ными объектами при анализе экспериментальных данных, поскольку в фи зических экспериментах невозможно создать условия, отвечающие точным бризерным решениям (стр. 56—61).

2. Разработан имеющий прозрачную физическую интерпретацию интерактнв ный численный метод построения дискретных бризеров (PS-метод), осно ванный на идее парной синхронизации колебаний частиц решетки в области локализации этих динамических объектов (стр. 63—87).

3. Разработан теоретико-групповой подход, позволяющий существенным об разом упростить процедуры построения и исследования устойчивости дис кретных бризеров в динамических моделях на нелинейных гамильтоно вых решетках. Этот подход реализован при исследовании существовани: и устойчивости дискретных бризеров в динамических моделях на плоскоГ квадратной решетке (стр. 98— 142).

4. Создан комплекс компьютерных программ для построения и анализа устой чивости дискретных бризеров в одномерных и двумерных периодически: структурах (стр. 164—165).

5. Найдены все симметрийно-обусловленные инвариантные многообразия jyu скалярных динамических моделей, определенных на плоской квадратноГ решетке, и с их помощью построены дискретные бризеры в модели с од нородными потенциалами и в модели связанных осцилляторов Дуффинг; (стр. 100-117, стр. 123-126).

6. Для ряда дискретных бризеров различной симметрии в одномерных й дву мерных решетках исследована зависимость их устойчивости от соотноше ния между потенциальной энергией межчастичного взаимодействия и взаи модействия частиц с узлами решетки (стр. 45-55, стр. 117-123).

7. В одномерных решеточных моделях проведено исследование существовани! и устойчивости ряда многочастотных дискретных бризеров (стр. 87-95).

Научная и практическая значимость. Разработанные в диссертации методь построения и анализа устойчивости локализованных периодических и квазипери одических колебаний гамильтоновых решеток, продемонстрированные на просты; динамических моделях, можно эффективно применять при исследовании дискрет ных бризеров в разнообразных, более сложных физических системах. Они могу быть использованы различными коллективами исследователей, работающими i области нелинейной динамики. Об этом, в частности, свидетельствует тот факт, что на опубликованные по теме диссертации работы, имеются ссылки в статья:' ученых, работающих в следующих организациях:

- Национальный технический университет «ХПИ» (Украина);

- Department of Physics, Daqing Normal University, Daqing (Китай)

- Institute of General Mechanic, RWTH Aachen University (Germany)

- Department of Automatics and Biomechanics, Technical University of Lodz (Poland)

- Department of Mathematics, University of Patras (Greece)

Результаты и положения, выносимые на защиту

1. Разработан численный метод парной синхронизации колебаний частиц решётки для построения даскретных бризеров различных типов в динамических моделях с произвольными потенциалами взаимодействия. В диссертации проиллюстрировано применение этого метода для нескольких одномерных динамических моделей (стр. 63—87).

2. Для решеточных моделей с однородными потенциалами межчастичного взаимодействия развита методика построения и исследования устойчивости дискретных бризеров на основе свойств нелинейных нормальных мод Розен-берга (стр. 38—56).

3. Развиты теоретико-групповые методы, позволяющие существенным образом упростить построение дискретных бризеров и исследование их устойчивости в двумерных решёточных моделях. Применение этих методов позволило:

(a) найти для скалярных моделей на плоской квадратной решётке все симметрийно-обусловленные инвариантные многообразия, на которых могут реализоваться локализованные колебания различных типов (стр. 100-111).

(b) расщепить вариационные системы, возникающие при анализе устойчивости этих нелинейных периодических и непериодических колебаний, на независимые подсистемы, размерность которых существенно меньше полной размерности исследуемых математических моделей (стр. 126-142).

4. Создан комплекс компьютерных программ «Discrete breather-1», позволяющий проводить построение и исследование свойств дискретных бризеров в одномерных и двумерных скалярных решёточных моделях (стр. 164—165).

5. Введена концепция квазибризеров и численные характеристики их отличия от точных дискретных бризеров в нелинейных гамильтоновых решетках (стр. 56—61).

6. Математическое моделирование, проведённое на основе разработанных методов и реализующего их комплекса программ, позволило найти ряд новых типов дискретных бризеров и исследовать их устойчивость. В частности, доказано, что симметричный и антисимметричный дискретные бризеры в моноатомных цепочках с однородным потенциалом 4-ой степени меняют характер своей устойчивости при одном и том же значении параметра, характеризующего силу межчастичных взаимодействий по отношению к силе взаимодействия частиц с узлами решётки (стр. 45-55, стр. 111-123, стр. 87-95).

Методы исследования и достоверность научных результатов. В работе применяются теоретико-групповые, аналитические и численные методы исследования систем нелинейных дифференциальных уравнений. Достоверность результатов подтверждается согласием аналитических и численных расчетов, а также непротиворечивостью с известными из литературы данными. Апробация работы. Полученные автором научные результаты обсуждались на международных конференциях:

«Nonlinear Dynamics of Acoustic Modes in Finite Lattices: Localization, Equipartition, Transport» (Дрезден, Германия, 2006); «Некоторые актуальные про-

блемы современной математики и математического образования» (Санкт-Петербург, 2006); «Nonlinear Dynamics» (Харьков, Украина, 2007); «Chaos 2007» (Саратов, 2007); «Nonlinear Science and Complexity» (Афины, Греция, 2008); «Nonlinear Dynamics» (Харьков, Украина, 2010); «Chaos 2010» (Саратов, 2010). Автор также принимал участие в работе целого ряда аспирантских и студенческих всероссийских научных конференций: «Ломоносов» (Москва, 2005), «Всероссийские научные конференции студентов физиков (ВНКСФ)» (2005-2009) и др.

Публикации. По теме диссертации опубликована 21 работа, в том числе 5 статей в изданиях, рекомендуемых ВАК: две статьи в международном журнале «Physical Review Е», одна — в «Journal of Sound and Vibration», и две - в отечественном журнале «Известия вузов: Прикладная Нелинейная Динамика».

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Работа содержит 178 страниц, в том числе 44 рисунка и 17 таблиц. Список литературы включает 108 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, формулируются цели и задачи работы, приведены основные результаты, отмечена их новизна, научное и практическое значение, приведены сведения об апробации работы, отмечен личный вклад соискателя.

В первой главе дан обзор литературы по теме диссертации.

Глава 2. Дискретные бризеры и квазибризеры в моноатомных цепочках

2.1. Исследуемые одномерные динамические модели

Большинство теоретических работ, посвященных исследованию дискретных бризеров, было выполнено на одномерных решеточных моделях, которые пред ставляют собой так называемые моноатомные или диатомные цепочки. Физиче екая интерпретация этих моделей может быть весьма разнообразной, например, это могут быть чисто механические системы (цепочки одинаковых грузиков, соединенных нелинейными пружинами), электрические модели (нелинейные конден саторы, соединённые между собой линейными индуктивностями), одномерные гранулированные кристаллы, цепочки контактов Джозефсона, кантилеверов и т.д. В главе 2 диссертации рассматриваются дискретные бризеры в скалярных цепочечных моделях (каждому узлу цепочки отвечает одна динамическая переменная).

Разработанные нами численные методы, были апробированы на следующих типах одномерных динамических моделей.

Модель 1: щ + =/3[(xi+l-x¡)m~l - (Xi-х^)"-1], ¿ = 1.JV. (1) Здесь Xi(í) — динамические переменные, с помощью которых описывается взаи модействие каждого элемента цепочки с соответствующим ему узлом (onsite потенциал) и с двумя ближайшими соседями (inter-site потенциал). Оба потенциала в этой модели представляют собой однородные функции одной и той же степени т. Эту модель в случае т. = 4 мы будем называть цепочкой типа К А.

Модель 2: xi + xi + x} = P{xM-2xi + xi^}, г = 1..ДГ. (2)

МодельЗ: щ + х{+х\ = /3[(хш - x{f - (хг - хг^)3], Ï=1..N. (3)

Две последние модели описывают динамику осцилляторов Дуффинга с линейной и кубической связью между ближайшими соседями.

Модель 4: = V'(xi+l - Xi) - V'(Xi -V{u) = ^и2 + ^u3 + Щ.и\

Для всех указанных моделей предполагается наличие периодических граничных условий (N - количество элементов цепочки): хо(<) = xN{t), XN+\{t) = ®i(i).

2.2. Построение дискретных бризеров для динамических моделей с однородным потенциалом

Понятие о нелинейных нормальных модах (ННМ) было введено Розенбергом в 1962 году [29]. Они представляют собой такие колебательные режимы, при которых смещения всех частиц системы из своих положений равновесия в любой момент времени пропорциональны (с постоянными коэффициентами ¿¡¿) одной и той же функции времени /(t):

Xi(t)=ki-f{t), i = l..N. (4)

Нелинейная нормальная мода Розенберга заведомо существует в модели (1) в силу однородности, соответствующей ей потенциальной энергии. Каждая локализованная в пространстве ННМ представляет собой дискретный бризер в соответствии с определением этого динамического объекта.

Для модели (1) набор коэффициентов к = {къ к2, ...,kN} из формулы (4), определяющий профиль ДБ, находится из системы алгебраических уравнений (5)

+ ß[(ki+l - - (k - = h{-1+ ,,, +iöp2-l)(m-1)-(l-fcjv)(m_1)]b г = 2..N, ki = l а функция /(i), описывающая временную эволюцию бризера удовлетворяет дифференциальному уравнению (6)

/ = /<т-а>{-1 + - l)^-1* - (1 - fcjV)(m-1}]}. (6)

В диссертационной работе построены профили симметричных и антисимметричных дискретных бризеров для различных значений параметра ß е [0. .1], характеризующего относительную силу локального и межчастичного взаимодействий, и различных (в том числе дробных) степеней т однородного потенциала модели (I).

Основные результаты этого исследования опубликованы в работах [1—3,6].

Дискретные бризеры в моделях типа (1) исследовались разными методами в работах [30,31 ]. В отличие от наших работ, в указанных статьях рассматривался лишь случай т = 4, причем без учёта онсайтового взаимодействия. Более того, в работах [30,31] не был проведён анализ устойчивости получаемых авторами бри-зерных решений.

2.3. Исследование устойчивости дискретных бризеров для динамических моделей с однородным потенциалом

Важным этапом изучения свойств ДБ является анализ их устойчивости. В работе проведён анализ линейной устойчивости всех построенных нами дискретных бризеров. Поскольку они представляют собой периодические колебательные режимы, исследование их устойчивости может быть выполнено с помощью стандартного метода Флоке. Однако, в случае модели (1), характеризующейся однородностью потенциала, можно воспользоваться другим, гораздо более простым и эффективным методом, основанным на возможности полного расщепления вариационной системы (системы уравнений, линеаризованных в окрестности бризер-

ного решения). Например, для цепочки К4 вариационная система имеет вид

S(t) = -Zf2(t)Bö(t), (7)

где В есть некоторая симметричная, не зависящая от времени квадратная матрица размерности N, а S(t) — вектор, характеризующий бесконечно малое возмущение точного бризерного решения. Приводя матрицу В к диагональному виду с помощью ортогонального преобразования, определяемого матрицей S, и вводя новый инфинитезимальный вектор с помощью соотношения 6 = S6, мы получим после некоторого масштабирования переменных вариационную систему, расщеплённую на независимые скалярные уравнения:

4 + Л,Г~2(г)г,(т)= 0, j - 1..N, (8)

где «показатели устойчивости» Aj пропорциональны собственным значениям матрицы В

В случае m = 4 для решений уравнения (8) можно получить строгие аналитические результаты, поскольку оно представляет собой уравнение Ляме в форме

Якоби. Значения Л = -п(п 4-1), где п — натуральное число, отвечают границам,

разделяющим области устойчивого и неустойчивого движений. На этих границах решения уравнения (8) представляют собой периодические функции Ляме. При О < А ^ 1 и 3 ^ А ^ 6 движение является устойчивым, а при 1<Л<Зи6<Л<10 наоборот, неустойчивым.

Существенно отметить, что амплитуда бризера Аа не входит в уравнения (8), что свидетельствует о том, что устойчивость ДБ в модели (1) не зависит от его амплитуды.

В диссертационной работе исследована устойчивость симметричных и антисимметричных дискретных бризеров для различных значений параметра ß б [0..1] и различных степеней тп однородного потенциала в модели (1). В качестве примера на рис. 1 приведены значения показателей устойчивости Лj для симметричных и антисимметричных бризеров для случая то = 4. Из этого рисунка видно, что при малых значениях параметра ß(ß<ßc = 0.554...) симметричные бризеры являются устойчивыми, поскольку все соответствующие им показатели Aj лежат в первой зоне устойчивости уравнения Ляме. Антисимметричные же бризеры в этой области значений параметра ß, наоборот, являются неустойчивыми (показатель Л2 попадает в первую зону неустойчивости уравнения Ляме). С другой стороны, при больших значениях параметра ß картина устойчивости этих типов бризеров меняется на противоположную: антисимметричный бризер становится устойчивым, а симметричный— неустойчивым. При этом нами был обнаружен интересный факт, заключающийся в том, что изменение характера устойчивости для симметричного и антисимметричного бризеров в рассматриваемой модели происходит при одном и том же значении параметра./? (ßc = 0.554...), определяющего относительную силу онсайтового и интерсайтового взаимодействия.

2.4. Анализ существования и устойчивости дискретных бризеров в цепочке нелинейно связанных осцилляторов Дуффинга

Дискретные бризеры в форме локализованных ННМ Розенберга гарантированно существуют в моделях с однородными потенциалами межчастичного взаимодействия и, как правило, не существуют в моделях более общего вида. Тем не менее, нами были обнаружены дискретные бризеры в форме ННМ Розенберга

в цепочке осцилляторов Дуффинга с кубическими связями, несмотря на то, что такая система описывается неоднородным потенциалом, представляющим собой сумму двух однородных потенциалов разных степеней (т — 2 ,т = 4).

» \ \ \ \ \

Л2

-Г-►

Рис. 1. Показатели устойчивости (Л.,) для симметричного бризера (сплошные линии) и антисимметричного бризера (пунктирные линии) в случае гп = 4.

Существенно, что в этой модели характер устойчивости бризеров зависит от их амплитуды, в то время как для случая однородных потенциалов такая зависимость полностью отсутствует. 2.5. Квазибризеры

В разделах 2.2 — 2.4 обсуждалась проблема построения бризерных решений с машинной степенью точности. Однако, ни в одном реальном физическом эксперименте невозможно задать такие условия, при которых в системе могли бы реализоваться локализованные, строго периодические колебательные режимы, отвечающие дискретным бризерам в соответствии с их точным определением. В связи с этим в работе [1] нами было введено понятие «квазибризеров», как некоторых динамических объектов, которые описывают локализованные в пространстве колебания, не являющиеся строго периодическими. Квазибризерное колебание отличается от точного бризерного тем, что отдельные частицы решётки, колеблются с близкими, но не идентичными частотами. Более того, частота колебаний каждой из частиц медленно изменяется с течением времени, т.е. является различной для соседних, достаточно больших временных интервалов для которых она определяется по среднему расстоянию между нулями функции £¿(4), описывающей динамику этой частицы.

Для идентификации квазибризеров были предложены две количественные характеристики — г)^к) и а^. Первая из них характеризует среднеквадратичное отклонение частот различных частиц на определённом интервале 1к

м(м—1) ' "(«-л,■:>>('*). о)

3

В формуле (9) ] = -М..М, где М (М < Я) — число частиц решётки, вносящих существенный вклад в рассматриваемое бризерное колебание. Вторая числовая характеристика определяет степень разброса частот колебаний одной и той же

(j-ой) частицы на некотором числе М временных интервалов tk'

¡Щ^ЕШ (10)

J V М(М-1) 1 '

Основные результаты главы 2 опубликованы в работах [1-3,6]. При получении этих результатов нами использовались компьютерная программа «R-modes» из программного комплекса «Discrete breathers-1».

Глава 3. Метод парной синхронизации для построения дискретных бризеров 3.1. Описание метода

Рассмотренные в главе 2 дискретные бризеры для динамической модели с однородным потенциалом представляли собой локализованные в пространстве моды Розернберга, для которых характерно, что динамика всех частиц цепочки описывается одной и той оке зависящей от времени функцией f(t). В моделях более общего типа могут реализоваться ДБ, у которых динамика разных частиц описывается разными временными функциями /,-(£). Чтобы рассматриваемое локализованное колебание было периодическим, все эти функции должны иметь одинаковые или соразмерные периоды.

В работе[30] была развита наиболее популярная в настоящее время вычислительная схема для построения бризерных решений с высокой степенью точности (описание некоторых других схем можно найти в обзорной статье [31]). С нашей точки зрения, эти схемы не являются достаточно простыми и наглядными, в силу чего нами был развит альтернативный метод построения дискретных бризеров, имеющий прозрачную физическую интерпретацию. В диссертации этот метод, названный «методом парной синхронизации» (PS-методом) подробно рассмотрен на примере одномерной атомной цепочки. Его суть заключается в синхронизации колебаний частиц решётки, проводимой в определённой последовательности, начиная с частиц, наиболее близких к ядру бризера [3].

Обозначим через 5[г, j] процедуру синхронизации колебаний частиц с номерами г и j. Она сводится к выбору таких начальных условий, при которых происходит совмещение нулей функций xt(t) и Xj{t). В случае цепочки произвольной длины проводим последовательную парную синхронизацию всех соседних её частиц: 5 = 2]; ^р.З]; 5[3,4];...; S[N-l,N\}. При синхронизации какой-либо пары изменяются периоды колебаний обеих этих частиц. Однако, в силу локализации бризерного решения влияние г-й частицы на период колебаний (г + 1)-й частицы обычно оказывается больше обратного влияния последующей частицы на предыдущую. Таким образом, применение процедуры S[i, i +1] несколько нарушает синхронизацию предыдущей пары частиц, достигнутую после окончания процедуры 5[г - 1,г]. Это приводит к необходимости многократного повторения итерационных циклов S до тех пор, пока не будет достигнута синхронизация колебаний всех частиц цепочки с заданной степенью точности.

Строгое исследование сходимости PS-метода в диссертационной работе не проводится. Однако, следует отметить, что в большинстве рассмотренных нами случаев сходимость имеет место и причиной этого является локализация дискретного бризера. В диссертации подробно обсуждается проблема адекватного выбора начальных условий для PS-метода.

Метод парной синхронизации обладает достаточной степенью общности. Его можно эффективно использовать для поиска сильно локализованных бризеров в разнообразных математических моделях, определённых на гамильтоновых решётках различной размерности. По сравнению с обычно применяемыми методами поиска дискретных бризеров [30], РБ-метод выгодно отличается своей простотой, прозрачностью физической интерпретации и возможностью его использования в интерактивном режиме, что позволило нам находить не только одночастотные, но и многочастотные бризеры (см. раздел 3.3).

3.2.0 физической интерпретации возможности существования ДБ

Дискретный бризер является локализованным в пространстве и строго периодическим во времени динамическим объектом. Вследствие его локализации разные частицы цепочки совершают колебания с существенно различными амплитудами. На первый взгляд, это свойство бризерного. решения вступает в противоречие с известным положением теории, согласно которому частота нелинейных колебаний зависит от их амплитуды. В наших работах [3,8] был подробно исследован вопрос о причине существования динамических объектов, сочетающих в себе оба свойства — локализованность и периодичность во времени. В частности, было показано, что в случае сильной локализации для цепочки, состоящей из трёх осцилляторов Дуффинга, симметричное бризерное решение в хорошем приближении можно представить в форме:

хгф^^БтшЬ, хз=х2(г)=\а2- , ^ • ¿т^) + . ^ .апИ.

(11)

Здесь «1 и а2 — начальные скорости частиц цепочки, аи> ни>0 — частоты колебаний центральной и периферийных частиц, соответственно.

В общем случае, частоты и,'0 и ш являются несоизмеримыми. Следовательно, для существования ДБ, как строго периодического во времени динамического объекта, необходимо отсутствие вклада от «колебательной индивидуальности» периферийных частиц, т.е. зануление в (11) коэффициента при 5т(шо). Именно этот член возникает как вклад от собственных колебаний с частотой ш0 периферийных частиц х2(г) и ж3(£). Из условия зануления данного коэффициента, выражаем начальную скорость а2 второй частицы через начальную скорость сц центральной частицы бризера: а2 = -^тгЬ?- С позиции РБ-метода вышеуказанное зануление фактически означает применение процедуры 5[1,2].

Таким образом, для построения точного дискретого бризера необходимо идеальное подавление колебательных вкладов от всех периферийных частиц цепочки, в силу чего он является весьма необычным динамическим объектом, и на практике мы, как правило, имеем дело лишь с квазибризерами [1]. В соответствующих им решениях присутствуют члены с несколько различными собственными частотами, происходящими от колебаний периферийных частиц, но они достаточно малы по своей абсолютной величине.

3.3. Построение многочастотных дискретных бризеров

Дискретные бризеры, обсуждающиеся в предыдущих разделах диссертации, являлись одночастотными в том смысле, что все частицы цепочек колебались с одинаковыми частотами. Однако, могут существовать локализованные в про-

странстве периодические динамические режимы, которые обладают свойством многочастотности: разным частицам цепочки соответствуют различные, но кратные друг другу частоты колебаний. В ряде статей (см. например, [24]) есть упоминание о возможности существования таких динамических объектов без сколько-нибудь подробного их анализа. В диссертации с помощью метода парной синхронизации нами был построен с машинной степенью точности целый ряд многочастотных ДБ различных типов и исследована их устойчивость

На рис. 2а в качестве примера для цепочки из пяти частиц (N = 5) приведен симметричный двухчастотный бризер, полученный в модели линейно связанных осцилляторов Дуффинга (2) при /3 = 0.3 и а\ = 7. Из этого рисунка видно, что период колебаний всех периферийных частиц вдвое больше периода колебаний первой частицы, причем, иц = 2ш2 = 2= 1.39615. Заметим, что при тех же значениях параметров [/3 = 0.3, а = 7, N = 5] существует и одночастотный бризер, изображенный на рис. 2,6.

Рис. 2. Симметричные бризеры для цепочки осцилляторов Дуффинга (2): а) двухчастотный; б) одночастотный (колебания третьей и четвертой частиц не видны в силу малости их амплитуд).

Многочастотные бризеры нами были найдены даже в моделях с однородными потенциалами, где они заведомо не являются модами Розенберга, поскольку некоторые нули разных функций не совпадают друг с другом, что противоречит определению таких мод (7).

3.4. Исследование устойчивости ДБ с помощью метода Флоке

В отличие от модели (1), в цепочечных моделях, динамика которых описывается неоднородными потенциалами межчастичного взаимодействия, локализованных ННМ Розенберга не существует, а вариационная система, имеет кардинально отличную от (7) структуру. В силу этого для исследования устойчивости дискретных бризеров в таких случаях мы использовали стандартный метод Флоке, основанный на анализе собственных значений матрицы монодромии.

Глава 4. Дискретные бризеры в скалярных моделях на плоской

квадратной решетке

4.1. Исследуемые двумерные модели

Развиваемые в диссертации методы исследования проблемы существования и устойчивости ДБ в двумерных решётках обсуждаются на примере двух скалярных моделей:

а)

б)

Модель Б: + 7• q^f1 = fa+ij - ftj)"1"1 - (gy -й-уГЧ

+(«j+i - «¿Г"1 - («j - «j-i)™-1, 1 J

Модель 6: ®)3- + = a ■ (qi+ij + + qi<3+l + q^^ - 4gM). (13) Модель 5 отвечает однородному потенциалу связи между динамическими переменными qi,j{t), соответствующими ближайшим соседним узлам, и их взаимодействию «с подложкой» (он-сайт потенциал). Модель 6 описывает систему осцилляторов Дуффинга, находящихся в узлах решетки и линейно взаимодействующих с четырьмя ближайшими соседями. Для обеих моделей предполагается наличие периодических граничных условий, а сами динамические переменные (qtj, i = 1..М, j = 1..7V) могут иметь различную физическую интерпретацию.

В работе [32] изучались ДБ в скалярной модели типа (12) при 7 = 0, которая описывает поперечные механические колебания квадратной и гексагональной решёток, а в статьях [33,34] такие динамические объекты исследовались в системах нелинейных конденсаторов, находящихся в узлах плоских решеток и связанных друг с другом линейными индуктивностями.

4.2. Построение симметрийно-обусловленных инвариантных многообразий

Развитые в работах [28,35, 36] теоретико-групповые методы исследования нелинейной динамики систем с дискретной симметрией были нами распространены на случай анализа локализованных нелинейных колебаний, представляющих собой дискретные бризеры и квазибризеры.

Для скалярных моделей, определенных на плоской квадратной решетке, в диссертации найдены все инвариантные многообразия (ИМ), допускающие возможность реализации локализованных колебаний. Каждому такому многообразию отвечает некоторая подгруппа группы инвариантности G0 динамических уравнений рассматриваемой модели (эта группа заведомо должна содержать преобразования симметрии решётки в состоянии равновесия).

Существенно, что центр бризера может быть по-разному расположен по отношению к 2D решетке: он может находиться или в центре квадратной элементарной ячейки, или в её углу, или в центре ребра. Эти положения отвечают трём типам "правильных систем точек"(ПСТ)— WP-1, WP-2, WP-3 (Wyckoff positions), соответствующих пространственной группе C\v рассматриваемой решетки. Группа симметрии инвариантного многообразия должна быть одной из подгрупп точечных групп указанных трёх ПСТ.

Для нахождения ИМ и отвечающих им групп симметрии нами использовалась программа «vektor» из комплекса программ «Discrète breather-1».

(с b Л Га с b d -b -d Л -с

b а b с d -d -с

Iе b с) U b -b -а)

С4у={90°,оЛ {С2Р, а,}

Рис. 3. Примеры инвариантных многообразий

В качестве примера на рис. 3 приведены небольшие фрагменты многообразий, соответствующих подгруппам С?1 = {90°, ах) и - {С2Р, ау} (в скобках ука-

заны их генераторы). Из-за наличия элементов симметрии данных многообразий между динамическими переменными qid существуют определённые связи, чему соответствуют одинаковые символы а, 6, с, ... в различных клетках рис. 3. Учет этого обстоятельства позволяет уменьшить число уравнений рассматриваемой модели за счет перехода от динамических переменных qij{t) к новым переменным a(t), b(t), c(t)..., выделенным симметрией данного многообразия.

Построение ДБ на заданном ИМ сводится к нахождению таких значений а(0), 6(0), с(0) ... которые, будучи использованы в качестве начальных условий при решении динамических уравнений рассматриваемой модели, порождают периодический колебательный режим. Неполная синхронизация колебаний, описываемых динамическими переменными a(t), b(t), c(t),... приводит к возникновению на том же многообразии некоторого квазибризера.

В работе приведены лишь небольшие фрагменты ИМ в расчете на построение сильнолокализованных колебательных режимов. В случае необходимости эти фрагменты можно расширить с помощью указанных в диссертации групп симметрии всех ИМ.

Найденные нами ИМ могут быть использованы при построении бризеров и квазибризеров для любых динамических моделей, заданных на квадратной решетке, в частности, и в тех случаях, когда учитывается взаимодействие не только между ближайшими друг к другу частицами решетки.

4.3. Построение дискретных бризеров для динамической 2D модели с однородным потенциалом

С помощью аппарата мод Розенберга нами были построены профили дискретных бризеров на ряде ИМ для разных степеней т однородного потенциала и различных значений параметра 7, который определяет относительную силу он-сайтовой и интерсайтовой частей потенциальной энергии рассматриваемой дина-

Рис. 4. ДБ на многообразиях (¿М и а) зависимость профиля от 7; б) зависимость показателей устойчивости А, от 7

В качестве примера на рис. 4,а приведены профили дискретных бризеров при т — 8 на инвариантных многообразиях <5С1), С^М, которые отвечают группам симметрии С4„ = {90°, ау}, С2„ = {180°, ау} и {ау}, соответственно (на рис. 4 информация, относящаяся к ДБ с симметрией С4у, изображена пунктиром).

Детальное обсуждение этого рисунка содержится в диссертационной работе.

4.4. Исследование устойчивости ДБ в 20 модели с однородным потенциалом

В диссертации показано, что ДБ в 20 модели (12) с однородным потенциалом степени т являются линейно устойчивыми, если все показатели устойчивости Aj попадают внутрь интервалов [0,1]; [т — 1,т + 2], [Зт-2, Зт + З], ...

На рис. 46 приведены графики показателей Л_,(7) для ДБ, представленных на рис. 4а. Бризеры с симметрией С21. и ау являются неустойчивыми на всем интервале 7 е [0; 10], поскольку некоторые из соответствующих им показателей Л^(7) попадают в первую зону неустойчивости (на рис. 46 она выделена серым цветом). С другой стороны, бризер с симметрией С4„, будучи неустойчивым при 7 < 7кр, становится устойчивым динамическим объектом при 7 > 7,ф.

Таблица 1

Существование и устойчивость ДБ в скалярной модели (12) на ИМ, соответ-

ШР-1 Инвариантные многообразия

дм {90°, Оу) {180°, ау} ¿я дм

ш=4 существ. [0; оо) — —

устойчивость 10; оо) — — —

гп=6 существ. 10; оо) [0; 0.0476] 10; 0.0476] [0; 3.8716]

устойчивость 0; оо) неуст., неуст. неуст.

ш=8 существ. [0; оо) [0; 5.8848] [0; 5.8848] [0; 17.0037]

устойчивость [Ь.1 3848; оо) неуст. неуст. неуст.

В табл. 1 для скалярной модели (12), описываемой однородным потенциалом степени тп = 4, б, 8, представлены области существования и устойчивости по параметру 7 дискретных бризеров на четырех инвариантных многообразиях.

В работе [32] был построен рядДБ для модели (12) при 7 = 0. Отличие проведённого нами исследования от этой работы заключается в следующем:

о в модель добавлена онсайтовая часть потенциальной энергии (7 ф 0); о проведён полный теоретико-групповой анализ инвариантных многообразий скалярных динамических моделей на плоской квадратной решётке, что позволило обнаружить ряд новых типов ДБ, которые могут существовать в модели (12); о проведено исследование устойчивости всех найденных ДБ. Результаты этого раздела диссертации опубликованы в статьях [4,5]

4.5. Построение ДБ в моделях с неоднородными потенциалами

Для построения ДБ с заданным периодом Т в моделях с произвольным потенциалом взаимодействия необходимо найти такие начальные данные (набор координат <зу(0) и их скоростей ^ (0)), которые порождают решение системы нелинейных дифференциальных уравнений, удовлетворяющее в момент времени Ь = Т условию периодичности искомого бризерного решения: <7,¿(Г) =^(0), %}{Т) = = <7м(0)- При расхождении значений динамических переменных при £ = 0 и £ = 71 необходимо некоторым образом «улучшить» начальное приближение. В большинстве работ для этой цели применялся метод Ньютона-Рафсона [30]. Для сходимости такой вычислительной процедуры необходимо знание достаточно хорошего начального приближения в многомерном фазовом пространстве Ь изучаемой системы. В [30] для этой цели используется продолжение по параметру межчастичного

взаимодействия из так называемого «антикантинуального приближения». Однако, в общем случае, даже «хорошее» начальное приближение не гарантирует сходимости такой итерационной процедуры.

В связи с этим, для построения ДБ в тех случаях, когда нельзя воспользоваться аппаратом мод Розенберга, нами применялся некоторый вариант метода спуска в вышеуказанном пространстве Ь (минимизировалась сумма квадратов расхождений всех динамических переменных и их скоростей при г = 0 и при 4=Т). Для задания приемлемого начального приближения в методе спуска нами часто использовался в «ручном режиме» метод парной синхронизации [2]. Применение такого подхода позволяет построить ДБ на найденных инвариантных многообразиях для скалярных моделей, описываемых любыми потенциалами межчастичного взаимодействия.

4.6. Применение теоретико-групповых методов к исследованию устойчивости бризеров и квазибризеров в 20 моделях с произвольными потенциалами

В работе [28] был разработан общий теоретико-групповой метод упрощения анализа устойчивости нелинейных колебаний в системах с дискретной симметрией. Этот метод был нами распространён на случай анализа устойчивости локализованных колебаний (бризеров и квазибризеров) в скалярных моделях, определённых на двумерных решётках [4,5]. Он позволяет расщепить линеаризованную в окрестности данного нелинейного колебательного режима систему динамических уравнений (вариационную систему) д = J(t)S, на некоторое число независимых подсистем существенно меньшей размерности.

Такое расщепление основано на доказанной в [28] теореме об инвариантности вариационной системы относительно группы симметрии С, исследуемого на устойчивость динамического режима, и известной теореме Вигнера, позволяющей представить матрицу J(£) в блочно-диагональной форме, каждый блок которой соответствует некоторому неприводимому представлению (НП) группы С. При этом НП размерности отвечает независимых идентичных подсистем из т, уравнений, где — кратность вхождения Г, в приводимое представление Г группы С, которое генерируется исследуемой вариационной системой.

Например, для инвариантного многообразия ф^з, соответствующего группе симметрии С4и = {С^сту}, разложение приводимого представления на неприводимые составляющие имеет вид Г = ЗГ1еГ3еГ4е2Г5, гдеГь Гз и Г4 —одномерные, а Г5 — двумерное НП группы С4„. В этом случае, вариационная система из 9 уравнений расщепляется на пять независимых подсистем: одну трехмерную (соответствует НП Гх), две двумерных одинакового вида (они соответствуют НП Г5) и два скалярных уравнения, отвечающих НП Г3 и Г4. В результате исследование устойчивости динамических режимов на многообразии значительно упрощается: вместо анализа полной вариационной системы 9x9 можно исследовать устойчивость четырёх независимых подсистем размерности 1, 2 и 3. Такой подход особенно эффективен в случаях, когда динамический режим квазипериодичен и, следовательно, нельзя воспользоваться методом Флоке для исследования его устойчивости. В качестве примера приведём для модели (13) явный вид подсистем расщеплённой вариационной системы, соответствующей ИМ <Зз*3:

f j/i + [3c\t) + (1 + 2а)]У1 - 2ау2 = О, Ti: ^ у2 - 2аУ1 + [362(i) + (1 + 3а)]у2 - 2ау3 = 0, (14)

[ Уз ~ 2ауг + [3a2(i) + (1 + 4а)]?/з = 0,

Г3: у + [362(t) + (14- За)]?/ = 0, (15)

Г4: у + [3c2(t) + (14- 6а)]у = 0, (16)

г . Ги + [Зс2(4) + (1+4а)]г/1-х/2а№=0, 5' \у2~ \f2ayi + [362(i) + (1 + 5а)]у2 — 0. Здесь a(i), b(t), c(t) — зависящие от времени функции, которые описывают исследуемый на устойчивость динамический режим.

Заключение

В диссертации разработаны следующие новые методы исследования дискретных бризеров в нелинейных гамильтоновых решетках:

1. Численные методы, основанные на аппарате нелинейных нормальных мод Розенберга, для построения дискретных бризеров и исследования их устойчивости в решётках с однородными потенциалами произвольных степеней.

2. Интерактивный численный метод построения дискретных бризеров для произвольных решёточных моделей, основанный на идее парной синхронизации колебаний частиц решетки.

3. Теоретико-групповой метод, позволяющий выделять симметрийно-обуслов-ленные инвариантные многообразия, на которых возможна реализация локализованных возбуждений в двумерных периодических структурах.

4. Теоретико-групповой метод упрощения анализа линейной устойчивости локализованных динамических объектов, позволяющий расщеплять вариационные системы, возникающие при анализе устойчивости бризеров и квазиб-ризеров, на независимые подсистемы, размерность которых существенно меньше полной размерности исследуемой математической модели.

На основе вышеперечисленных методов создан комплекс компьютерных программ «Discrete Breather-1», позволяющий анализировать существование и устойчивость дискретных бризеров и квазибризеров в одномерных и двумерных гамильтоновых решётках.

1. Программа «R-modes» (на языке математического пакета Maple), позволяющая исследовать динамические свойства дискретных бризеров в одномерных решёточных моделях с однородными потенциалами.

2. Программа «PS-method» (на языке пакета Maple) для нахождения дискретных бризеров в цепочечных моделях с произвольными потенциалами межчастичных взаимодействий. Программа написана совместно с М.Ю.Зехцером.

3. Программа «2D Invariant manifolds» (на языке Delphi) для построения сим-метрийно-обусловленных инвариантных многообразий динамических моделей на двумерных решётках. Эта программа является модификацией созданной под руководством Г.М.Чечина программы «Стац. вектор», используемой для теоретико-группового анализа структурных фазовых переходов.

4. Программа «Quasibreather» (на языке Delphi) для анализа динамических свойств квазибризеров в цепочечных моделях.

5. Программа «Descent-1» (на языке С#) реализует несколько вариантов метода спуска для поиска дискретных бризеров в произвольных решёточных моделях. Программа написана Ю.В. Гуровым.

6. Программа «Floquet-1» (на языке пакета Maple) для исследования линейной устойчивости дискретных бризеров с помощью метода Флоке. Программа написана П.П. Гончаровым.

С помощью разработанных численных методов и программного комплекса

«DB-1» нами проведено математическое моделирование динамики дискретных

бризеров и получены следующие основные результаты:

1. Для одномерных и двумерных гамильтоновых решёток исследована устойчивость дискретных бризеров в зависимости от параметра, характеризующего силу межчастичного взаимодействия по отношению к силе взаимодействия частиц с узлами решётки.

2. Найдены все симметрийно-обусловленные инвариантные многообразия для скалярных динамических моделей, определенных на плоской квадратной решетке, которые допускают существование локализованных колебаний.

3. Исследован ряд новых типов дискретных бризеров. Введена концепция ква-зибризеров и численные характеристики их отличия от точных дискретных бризеров.

Основное содержание диссертации отражено в публикациях

Публикации в ведущих рецензируемых изданиях

1. Chechin G.M., Dzhelauhova (Bezuglova) G.S., and Mehonoshina E.A. Quasibreathers as a generalization of the concept of discrete breathers // Physical Review E, 2006, Vol. 74, P. 36608.

2. Гончаров П.П., Джелаухова (Безуглова) Г.С., Чечин Г.М. Дискретные бризе-ры в моноатомных цепочках // Известия вузов: Прикладная нелинейная динамика, 2007, Т. 6, С. 57-74.

3. Chechin G.M. and Dzhelauhova (Bezuglova) G.S. Discrete breathers and nonlinear normal modes in monoatomic chains // Journal of Sound and Vibration, 2009, Vol 322, P. 490-512.

4. Bezuglova G. S., Chechin G. M., Goncharov P. P. Discrete breathers on symmetry-determined invariant manifolds for scalar models on the plane square lattice //Physical Review E, 2011, Vol. 84, P. 036606.

5. Безуглова Г.С., Гончаров П.П., Гуров Ю.В., Чечин Г.М. Дискретные бризеры в скалярных динамических моделях на плоской квадратной решетке // Известия вузов: Прикладная нелинейная динамика. 2011, Т. 19, С. 89-103.

Публикации в других изданиях

6. Chechin G.M., Dzhelauhova (Bezuglova) G.S. Discrete breathers and nonlinear normal modes // In Proceedings of the Second International Conference "Nonlinear Dynamics - 2007". NTU "KhPI", Kharkov, 2007. C. 61-66.

7. Chechin G.M., Bezuglova G.S., Goncharov P.P. Existence and stability of discrete breathers with different symmetries in 2d square lattices // In Proceedings of the Second International Conference "Nonlinear Dynamics -2010". NTU "KhPI", Kharkov, 2010. C. 56-60.

8. Chechin G.M. and Dzhelauhova (Bezuglova) G.S. Construction of the discrete breathers and a simple physical interpretation of their existence //

arXiv:0711.4842v 1 [nlin.PS] (November 2007).

Тезисы докладов на конференциях

9. Джелаухова (Безуглова) ПС., Рябов Д.С., Чечин Г.М. Локализованные и де-локализованные нелинейные нормальные моды в одномерных решетках типа К4 // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования, Санкт-Петербург, РГПУ им. Герцена, 2006. С.72-78.

10. Джелаухова (Безуглова) Г. С. Бризеры и квазиризеры в нелинейных цепочках // Ломоносов-2006, Москва, МГУ, 2006 г. Том. 1. С. 193-194.

11. Джелаухова (Безуглова) Г. С. Дискретные бризеры на одномерной моноатомной решетке с однородным потенциалом четвертой степени. // ВНКСФ-12 (тезисы докладов). Новосибирск, 2006. С. 44-45.

12. Джелаухова (Безуглова) Г. С. Устойчивость симметричных и антисимметричных дискретных бризеров в некоторых нелинейных моноатомных цепочках // Ломоносов-2007, Москва, МГУ, 2007 г.

13. Джелаухова (Безуглова) Г. С. Влияние силы межчастичного взаимодействия на устойчивость дискретных бризеров в нелинейных моноатомных цепочках // ВНК.СФ-13 (тезисы докладов). Ростов н/Д - Таганрог, 2007. С. 43-44.

14. Джелаухова (Безуглова) Г. С. Квазибризеры в цепочках типа К4. // Молодежь XXI века - будущее Российской науки, Ростов-на-Дону, 2006. С. 100.

15. Chechin G.M., Dzhelauhova (Bezuglova) G.S. Discrete breathers and nonlinear normal modes // "Nonlinear Dynamics - 2007". Book of abstracts. Kharkov, 2007. C. 29.

16. Chechin G.M., Dzhelauhova (Bezuglova) G.S. Breathers and quasibreathers in the nonlinear monoatomic K4 chain // "Nonlinear Dynamics - 2007". Book of abstracts. Kharkov, 2007. C. 33.

17. Джелаухова Г.С., Чечин Г.М. Метод парной синхронизации и простая физическая интерпретация существования дискретных'бризеров//УШ Международная школа «ХАОС-2007» (тезисы лекций и докладов), г. Саратов, 2007. С. 112.

18. Джелаухова (Безуглова) Г.С., Лобзенко И.П. Многочастотные бризеры в нелинейных гамильтоновых цепочках // Молодежь XXI века — будущее Российской науки (тезисы докладов), Ростов-на-Дону, 2008. С. 36-36.

19. Dzhelauhova (Bezuglova) G. S. Discrete Breathers and Quasibreathers in Nonlinear Chains of Different Types//21st International Conference «Nonlinear science and complexity». Book of abstracts. Athens (Greece), 2008. P. 51-52.

20. Безуглова Г. С. Движущиеся дискретные бризеры в нелинейных моноатомных цепочках// ВНКСФ-15(тезисы докладов). Томск, 2009. С. 39-40.

21. Безуглова Г. С. Дискретные бризеры различной симметрии в двумерной квадратной решетке//ВНКСФ-16(тезисыдокладов). Волгоград, 2010. С. 35-36.

Личный вклад соискателя в работах, опубликованных в соавторстве:

Все расчеты, представленные в [ 1 -8] д ля одномерных и двумерных моделей с однородными потенциалами, и теоретико-групповые расчеты в работах [4,5] выполнены лично автором диссертации. Постановка задач и анализ полученных результатов в работах [1-8] осуществлялись совместно с научным руководителем. Разработка численного метода парной синхронизации в [3,8] и исследование концепции квазибризеров в [1,3,8] выполнена также совместно с научным руководителем.

Цитируемая литература

23. Sievers A.J., Takeno S. Intrinsic localized modes in anharmonic crystals / Physical Letters. 1988, Vol. 61, P. 970.

24. Aubry S. Breathers in nonlinear lattices: existence, linear stability an quantization//Physica D. 1997, Vol. 103, P. 201.

25. Flach S., Willis C. R. Discrete breathers // Physics Reports. 1997, Vol. 29Г P. 181.

26. Aubry S. Discrete breathers: localization and transfer of energy in discrel Hamiltonian nonlinear systems // Physica D. 2006, Vol.-216, P. 1.

27. Flach S., Gorbach A. Discrete breathers: advances in theory and applications j Physics Reports. 2007, Vol. 467, P. 1.

28. Chechin G.M., Zhukov K.G. // Stability analysis of dynamical regimes i nonlinear systems with discrete symmetries. Physical Review E. 2006. Vol. 71 P. 036216.

29. Rosenberg R. M. The normal modes of nonlinear n-degree-of-freedom systems/ Journal of Applied Mechanics. 1962, Vol. 29,-R. 7.

30. Marin J. L. and Aubry S. Breathers in nonlinear lattices: Numerical calculatioi from the anticontinuous limit. // Nonlinearity, 1998, Vol. 9, P. 1501.

31. Flach S. Computational studies of discrete breathers. // In the book "Enerj Localization and Transfer"(Eds. T. Dauxois et al, World Scientific, 2004).

32. Fischer, F. Self-localized single-enharmonic vibrational modes in tw dimensional lattices // Ann. Physik 1993. Vol. 2. P 296.

33. Butt I.A., Wattis J.A.D. Discrete breathers in a two-dimensional Fermi-Past Ulam lattice // J. Phys. A: Math. Gen. 2006. Vol. 39. P. 4955.

34; Butt I.A., Wattis J.A.D. Discrete breathers in a two-dimensional hexagon Fermi-Pasta-Ulamlattice//J. Phys. A: Math. Gen. 2006. Vol. 40. P. 1239.

35. Сахненхо В.П., Чечин Г.М. Симметрийные правила отбора в нелинейной д намике атомных систем //ДАН. 1993, Т. 330, С. 308.

36. Chechin G. М., Sakhnenko V. P. Interactions between normal modes in nonline dynamical systems with discrete symmetry. Exact results // Physica D. 199 Vol. 117, P. 43.

37. MacKay R.S. and Aubry S. Proof of existence of breathers for time-reversible Hamiltonian networks of weakly coupled oscillators // Nonlinearity. 1994, Vol. P. 1623.

Типогр. ИПК ЮФУ Заказ тир.1*0 экз.

Введение

Глава 1. Дискретные бризеры в нелинейных гамильтоновых решетках. Обзор литературы и состояние проблемы.

1.1 Понятие о дискретных бризерах.

1.2 Экспериментальные работы по обнаружению дискретных бризеров.

1.3 Теоретические работы, посвященные исследованию дискретных бризеров.

1.4 Классификация типов дискретных бризеров

1.5 Обзор математических моделей, допускающих существование дискретных бризеров.

Глава 2. Дискретные бризеры и квазибризеры в моноатомных цепочках

2.1 Исследуемые одномерные динамические модели.

2.2 Построение дискретных бризеров для динамических моделей с однородным потенциалом.

2.2.1 Локализованные нелинейные нормальные моды Ро-зенберга

2.2.2 Симметричные бризеры (моды Сиверса-Такено)

2.2.3 Антисимметричные бризеры (моды Пейджа).

2.2.4 Симметричные двухсайтовые мультибризеры.

2.3 Исследование устойчивости дискретных бризеров для динамических моделей с однородным потенциалом

2.3.1 Анализ устойчивости локализованных мод Розенберга

2.3.2 Симметричные бризеры (моды Сиверса-Такено)

2.3.3 Антисимметричные бризеры (моды Пейджа).

2.3.4 Симметричные двухсайтовые мультибризеры.

2.4 Анализ существования и устойчивости дискретных бризеров в цепочке нелинейно связанных осцилляторов Дуффинга

2.5 Квазибризеры.

2.6 Выводы.

Глава 3. Метод парной синхронизации для построения дискретных бризеров.

3.1 Описание метода

3.1.1 Симметричные дискретные бризеры.

3.1.2 Антисимметричные дискретные бризеры.

3.2 О физической интерпретации возможности существования дискретных бризеров

3.3 Построение многочастотных дискретных бризеров

3.3.1 Многочастотные симметричные бризеры в цепочке линейно связанных осцилляторов Дуффинга.

3.3.2 Многочастотные антисимметричные бризеры в цепочке линейно связанных осцилляторов Дуффинга

3.3.3 Многочастотные бризеры в цепочке нелинейно связанных осцилляторов Дуффинга и цепочки К

3.4 Исследование устойчивости дискретных бризеров с помощью метода Флоке.

3.5 Выводы.

Глава 4. Симметрийно-обусловленные инвариантные многообразия для скалярной модели на плоской квадратной решетке

4.1 Исследуемые двумерные модели.

4.2 Построение симметрийно-обусловленных инвариантных многообразий.

4.3 Построение дискретных бризеров для динамической 2D модели с однородным потенциалом.

4.4 Исследование устойчивости дискретных бризеров в 2D модели с однородным потенциалом.

4.5 Построение дискретных бризеров в моделях с неоднородными потенциалами

4.6 Применение теоретико-групповых методов к исследованию устойчивости бризеров и квазибризеров в 2D моделях с произвольными потенциалами

4.6.1 Примеры расщепления системы вариационных уравнений

4.7 Выводы.

Актуальность темы работы

Несколько последних десятилетий ознаменовались бурным развитием нового научного направления в естествознании, которое получило название нелинейной динамики. В рамках этого направления возникли такие понятия как солитоны, бризеры, динамический хаос, синергетические структуры и т.д. Одним из достаточно новых и интенсивно изучаемых в настоящее время динамических объектов в нелинейных моделях, построенных на пространственно периодических структурах, являются дискретные бризеры (ДБ). Они представляют собой локализованные в пространстве и периодические во времени колебания различной физической природы в однородных (без примесей) гамильтоновых решетках.

Первой работой, посвященной дискретным бризерам, принято считать статью Сиверса и Такено [99], опубликованную в 1988 году. С начала 1990-х годов во всем мире началось интенсивное исследование дискретных бризеров с помощью различных физических и математических методов [26,27,51,52]. Особую роль при этом играют методы математического моделирования. Огромное число вычислительных экспериментов, проведенных на разнообразных математических моделях позволило выявить целый ряд важных свойств этих динамических объектов, которые впоследствии были подтверждены в результате проведения реальных физических экспериментов.

К настоящему времени дискретные бризеры были обнаружены в самых разнообразных макро-, мезо- и микроскопических физических системах (см., например, обзорную работу [52]). В качестве примеров сошлёмся на такие системы как слабосвязанные оптические волноводы, низкоразмерные кристаллы типа PtCl, антиферромагнетики, массивы контактов Джозефсона, Бозе-Эйнштейновские конденсаты, кантилеверные массивы, галогенные кристаллы типа Nal, биополимеры и др. Предполагается, что дискретные бризеры могут играть существенную роль и в ряде процессов, протекающих в таких биологических объектах как молекулы ДНК, моторные протеины и т.д. Круг физических систем, в которых наблюдаются и изучаются дискретные бризеры постоянно расширяется, что свидетельствует об актуальности этой области исследований.

Несмотря на интенсивные исследования, целый ряд принципиальных вопросов, связанных с теорией дискретных бризеров, является недостаточно хорошо изученными. К таким проблемам относится исследование: локализованных динамических объектов вблизи точных бризер-ных решений, поскольку последние невозможно реализовать в каких-либо реальных физических экспериментах; дискретных бризеров в существенно нелинейных динамических системах; устойчивости дискретных бризеров в зависимости от интенсивности межчастичного («интерсайтового») и «онсайтового» взаимодействия, т.е. взаимодействия с подложкой; влияние симметрийных ограничений на условия существования и устойчивости бризерных решений в двумерных и трёхмерных решетках, и т.д.

Поскольку точные математические методы исследования дискретных бризеров в настоящее время отсутствуют, а различные приближенные аналитические подходы являются недостаточными, на первый план выдвигаются численные методы изучения этих динамических объектов [27,51,52].

При этом особую роль играют простейшие одномерные и двумерные математические модели, поскольку на них легче всего выявить целый ряд общих закономерностей существования и поведения дискретных бризеров. Исследование же более сложных моделей типа [33], учитывающих поляризацию ионов в процессе бризерных колебаний и ряд других факторов, особого успеха до сих пор не имели.

В настоящей работе предпринята попытка заполнить некоторые пробелы в теории дискретных бризеров с помощью численного исследования ряда математических моделей, что является актуальным в свете интенсивно ведущихся в настоящее время бризерных исследований.

Цели работы

С помощью компьютерного моделирования, теоретико-групповых и аналитических методов выполнить следующие исследования:

1. Модифицировать ряд математических моделей, используемых в настоящее время для исследования свойств дискретных бризеров, с целью возможности проведения анализа зависимости устойчивости этих динамических объектов от отношения сил межчастичных и локальных взаимодействий.

2. Разработать методику теоретико-группового анализа дискретных бризеров в плоских двумерных решётках.

3. Разработать алгоритмы и создать комплекс программ для численного моделирования дискретных бризеров.

4. С помощью вычислительных экспериментов провести исследование свойств дискретных бризеров в ряде одномерных и двумерных периодических структур.

Научная новизна

1. Введена концепция квазибризеров и предложены числовые характеристики их отличия от дискретных бризеров. Квазибризеры являются более адекватными объектами при анализе экспериментальных данных, поскольку в физических экспериментах невозможно создать условия, отвечающие точным бризерным решениям (стр. 56—61).

2. Разработан имеющий прозрачную физическую интерпретацию интерактивный численный метод построения дискретных бризеров (РБ-метод), основанный на идее парной синхронизации колебаний частиц решетки в области локализации этих динамических объектов (стр. 63-87).

3. Разработан теоретико-групповой подход, позволяющий существенным образом упростить процедуры построения и исследования устойчивости дискретных бризеров в динамических моделях на нелинейных гамильтоновых решетках. Этот подход реализован при исследовании существования и устойчивости дискретных бризеров в динамических моделях на плоской квадратной решетке (стр. 98—142).

4. Создан комплекс компьютерных программ для построения и анализа устойчивости дискретных бризеров в одномерных и двумерных периодических структурах (стр. 164—165).

5. Найдены все симметрийно-обусловленные инвариантные многообразия для скалярных динамических моделей, определенных на плоской квадратной решетке, и с их помощью построены дискретные бризеры в модели с однородными потенциалами и в модели связанных осцилляторов Дуффинга (стр. 100—117, стр. 123—126).

6. Для ряда дискретных бризеров различной симметрии в одномерных и двумерных решетках исследована зависимость их устойчивости от соотношения между потенциальной энергией межчастичного взаимодействия и взаимодействия частиц с узлами решетки (стр. 45—55, стр. 117-123).

7. В одномерных решеточных моделях проведено исследование существования и устойчивости ряда многочастотных дискретных бризеров стр. 87-95).

Научная и практическая значимость

Разработанные в диссертации методы построения и анализа устойчивости локализованных периодических и квазипериодических колебаний гамильтоновых решеток, продемонстрированные на простых динамических моделях, можно эффективно применять при исследовании дискретных бризеров в разнообразных, более сложных физических системах. Они могут быть использованы различными коллективами исследователей, работающими в области нелинейной динамики. Об этом, в частности, свидетельствует тот факт, что на опубликованные по теме диссертации работы, имеются ссылки в статьях ученых, работающих в

Национальный технический университет «ХПИ» (Украина);

Department of Physics, Daqing Normal University, Daqing (Китай)

Institute of General Mechanic, RWTH Aachen University (Germany)

Department of Automatics and Biomechanics, Technical University of Lodz (Poland)

Department of Mathematics, University of Patras (Greece)

Методы исследования и достоверность научных результатов

В работе применяются теоретико-групповые, аналитические и численные методы исследования систем нелинейных дифференциальных уравнений. Достоверность результатов подтверждается согласием аналитических и численных расчетов, а также непротиворечивостью с известными из литературы данными.

Результаты и положения, выносимые на защиту

1. Разработан численный метод парной синхронизации колебаний частиц решётки для построения дискретных бризеров различных типов в динамических моделях с произвольными потенциалами взаимодействия. В диссертации проиллюстрировано применение этого метода для нескольких одномерных динамических моделей (стр. 63-87).

2. Для решеточных моделей с однородными потенциалами межчастичного взаимодействия развита методика построения и исследования устойчивости дискретных бризеров на основе свойств нелинейных нормальных мод Розенберга (стр. 38—56).

3. Развиты теоретико-групповые методы, позволяющие существенным образом упростить построение дискретных бризеров и исследование их устойчивости в двумерных решёточных моделях. Применение этих методов позволило: a) найти для скалярных моделей на плоской квадратной решётке все симметрийно-обусловленные инвариантные многообразия, на которых могут реализоваться локализованные колебания различных типов (стр. 100—111). b) расщепить вариационные системы, возникающие при анализе устойчивости этих нелинейных периодических и непериодических колебаний, на независимые подсистемы, размерность которых существенно меньше полной размерности исследуемых математических моделей (стр. 126—142).

4. Создан комплекс компьютерных программ «Discrete breather-1 », позволяющий проводить построение и исследование свойств дискретных бризеров в одномерных и двумерных скалярных решёточных моделях (стр. 164-165).

5. Введена концепция квазибризеров и численные характеристики их отличия от точных дискретных бризеров в нелинейных гамильтоновых решетках (стр. 56—61).

6. Математическое моделирование, проведённое на основе разработанных методов и реализующего их комплекса программ, позволило найти ряд новых типов дискретных бризеров и исследовать их устойчивость. В частности, доказано, что симметричный и антисимметричный дискретные бризеры в моноатомных цепочках с однородным потенциалом 4-ой степени меняют характер своей устойчивости при одном и том же значении параметра, характеризующего силу межчастичных взаимодействий по отношению к силе взаимодействия частиц с узлами решётки (стр. 45—55, стр. 111-123, стр. 87-95).

Апробация работы

Полученные автором научные результаты обсуждались на международных конференциях:

Nonlinear Dynamics of Acoustic Modes in Finite Lattices: Localization, Equipartition, Transport» (Дрезден, Германия, 2006); «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования» (Санкт-Петербург, 2006); «Nonlinear Dynamics» (Харьков, Украина, 2007); «Chaos 2007» (Саратов, 2007); «Nonlinear Science and Complexity» (Афины, Греция, 2008); «Nonlinear Dynamics» (Харьков, Украина, 2010); «Chaos 2010» (Саратов, 2010). Автор также принимал участие в работе целого ряда аспирантских и студенческих всероссийских научных конференций: «Ломоносов» (Москва, 2005), «Всероссийские научные конференции студентов физиков (ВНКСФ)» (2005-2009) и др.

Публикации

По теме диссертации опубликованы 21 работа, в том числе 5 статей в изданиях, рекомендуемых ВАК: две статьи в международном журнале «Physical Review Е», одна — в «Journal of Sound and Vibration», и две -в отечественном журнале «Известия вузов: Прикладная Нелинейная Динамика».

7 Выводы

1. Разработан теоретико-групповой подход, позволяющий существенным образом упростить процедуры построения и исследования устойчивости дискретных бризеров в динамических моделях на нелинейных гамильтоновых решетках.

2. На языке Delphi написана программа построения симметрийно-обу-словленных инвариантных многообразий для динамических моделей на гамильтоновых решётках различных типов. Эта программа является модификацией созданной раннее под руководством Г.М.Чечина программы «Стац. вектор», используемой для теоретико-группового анализа структурных фазовых переходов.

3. С помощью вышеуказанной программы найдены все симметрийно-обусловленные инвариантные многообразия для скалярных динамических моделей, определенных на плоской квадратной решетке.

4. Эти инвариантные многообразия использованы для построения дискретных бризеров как в скалярных двумерных моделях с однородными потенциалами (на основе аппарата мод Розенберга), так и в моделях с неоднородными потенциалами (с помощью программы, реализующей PS-метод и программы метода спуска, написанной Ю.В. Гуровым на языке С#).

5. На основе проведенных вычислительных экспериментов исследована зависимость устойчивости дискретных бризеров от соотношения между потенциальной энергией межчастичного взаимодействия и взаимодействия частиц с узлами решетки.

6. Предложенный в работе [39] теоретико-групповой метод упрощения анализа линейной устойчивости динамических режимов с дискретной симметрией был адаптирован для исследования устойчивости локализованных периодических и квазипериодических колебаний в двумерных гамильтоновых решетках. Этот метод позволил расщепить вариационные системы, возникающие при анализе устойчивости локализованных динамических объектов в рассматриваемых нами 20 моделях, на независимые подсистемы, размерность которых существенно меньше полной размерности исследуемой системы.

Вышеперечисленные результаты опубликованы в статьях [6—8].

Заключение

В диссертации разработаны следующие новые методы исследования дискретных бризеров в нелинейных гамильтоновых решетках:

1. Численные методы, основанные на аппарате нелинейных нормальных мод Розенберга, для построения дискретных бризеров и исследования их устойчивости в решётках с однородными потенциалами произвольных степеней.

2. Интерактивный численный метод построения дискретных бризеров для произвольных решёточных моделей, основанный на идее парной синхронизации колебаний частиц решетки.

3. Теоретико-групповой метод, позволяющий выделять симметрийно-обусловленные инвариантные многообразия, на которых возможна реализация локализованных возбуждений в двумерных периодических структурах.

4. Теоретико-групповой метод упрощения анализа линейной устойчивости локализованных динамических объектов, позволяющий расщеплять вариационные системы, возникающие при анализе устойчивости бризеров и квазибризеров, на независимые подсистемы, размерность которых существенно меньше полной размерности исследуемой математической модели.

На основе вышеперечисленных методов создан комплекс компьютерных программ «Discrete Breather-1», позволяющий анализировать существование и устойчивость дискретных бризеров и квазибризеров в одномерных и двумерных гамильтоновых решётках.

1. Программа «R-modes» (на языке математического пакета Maple), позволяющая исследовать динамические свойства дискретных бризеров в одномерных решёточных моделях с однородными потенциалами.

2. Программа «PS-method» (на языке пакета Maple) для нахождения дискретных бризеров в цепочечных моделях с произвольными потенциалами межчастичных взаимодействий. Программа написана совместно с М.Ю.Зехцером.

3. Программа «2D Invariant manifolds» (на языке Delphi) для построения симметрийно-обусловленных инвариантных многообразий динамических моделей на двумерных решётках. Эта программа является модификацией созданной под руководством Г.М.Чечина программы «Стац. вектор», используемой для теоретико-группового анализа структурных фазовых переходов.

4. Программа «Quasibreather» (на языке Delphi) для анализа динамических свойств квазибризеров в цепочечных моделях.

5. Программа «Descent-1» (на языке С#) реализует несколько вариантов метода спуска для поиска дискретных бризеров в произвольных решёточных моделях. Программа написана Ю.В. Гуровым.

6. Программа «Floquet-1» (на языке пакета Maple) для исследования линейной устойчивости дискретных бризеров с помощью метода Флоке. Программа написана П.П. Гончаровым.

С помощью разработанных численных методов и программного комплекса «DB-1» нами проведено математическое моделирование динамики дискретных бризеров и получены следующие основные результаты:

1. Для одномерных и двумерных гамильтоновых решёток исследована устойчивость дискретных бризеров в зависимости от параметра, характеризующего силу межчастичного взаимодействия по отношению к силе взаимодействия частиц с узлами решётки.

2. Найдены все симметрийно-обусловленные инвариантные многообразия для скалярных динамических моделей, определенных на плоской квадратной решетке, которые допускают существование локализованных колебаний.

3. Исследован ряд новых типов дискретных бризеров. Введена концепция квазибризеров и численные характеристики их отличия от точных дискретных бризеров.

Вышеперечисленные результаты опубликованы в статьях [1—8].

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОТРАЖЕНО В ПУБЛИКАЦИЯХ

1. Chechin G.M., Dzhelauhova (Bezuglova) G.S., Mehonoshina E.A. Quasibreathers as a generalization of the concept of discrete breathers 11 Physical Review E. 2006. V. 74. V. 36608-15.

2. Гончаров П.П., Джелаухова (Безуглова) Г.С., Чечин Г.М. Дискретные бризеры в моноатомных цепочках // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 6, 2007, с. 57-73.

3. Chechin G.M., Dzhelauhova (Bezuglova) G.S. Discrete breathers and nonlinear normal modes // In Proceedings of the Second International Conference "Nonlinear Dynamics - 2007". NTU "KhPI Kharkov, 2007. C. 61-66.

4. Chechin G.M., Dzhelauhova (Bezuglova) G.S. Construction of the discrete breathers and a simple physical interpretation of their existence // arXiv:0711,4842vl [nlin.PS] (November 2007).

5. Chechin G.M., Dzhelauhova (Bezuglova) G.S. Discrete breathers and nonlinear normal modes in monoatomic chains // Journal of Sound and Vibration. 2009. V. 322. P. 490-512.

6. Chechin G.M., Bezuglova G.S., Goncharov P.P. Existence and stability of discrete breathers with different symmetries in 2d square lattices // In Proceedings of the Second International Conference "Nonlinear Dynamics - 20010". NTU "KhPI Kharkov, 2010. C. 56-60.

7. Beziiglova G. S., Chechia G. M., Goncharov P. P. Discrete breathers on symmetry-determined invariant manifolds for scalar models on the plane square lattice // Physical Review E. 2011. V. 84. P. 036606.

8. Безуглова Г.С., Гончаров П.П., Гуров Ю.В., Чечин Г.М. Дискретные бризеры в скалярных динамических моделях на плоской квадратной решетке // Известия вузов: Прикладная нелинейная динамика, т. 19, №3. с. 89(2011)

1. Аврамов К. В., Михлин Ю. В. Нелинейная динамика упругих систем. Модели, методы, явления. Том 1. РХД. 2010. 704 стр.

2. Бабенко КН., Основы численного анализа. Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2002. 849 стр.

3. Бокый Г. Б. Кристаллохимия. М.: Изд-во МГУ. 1960. 357 стр.

4. Дмитриев C.B., Хадеева Л.З., Пшеничнюк А.И., Медведев H.H. Щелевые дискретные бризеры в двухкомпонентном трехмерном и двумерном кристаллах с межатомными потенциалами Морзе // Физика твердого тела. 2010. Т. 52. С. 1398-1403.

5. Ковалёв О. В. Неприводимые и индуцированные представления и копредставления федоровских групп, М.: Наука, 1986. 368 стр.

6. Косевич A.M., Ковалев A.C. Самолокализация колебаний в одномерной ангармонической цепочке. // ЖЭТФ. 1974. Т. 67. Вып. 5. С. 1793-1804.

7. Найфе А. X. Введение в методы возмущений. М. — Мир, 1984, 535 стр.

8. Овчинников А.А. Локализованные долгоживущие колебательные состояния в молекулярных кристаллах // ЖЭТФ. 1969. Т. 51. С. 263-270.

9. Петрошень М. И. Применение теории групп в квантовой механике Текст.: монография / М. И. Петрошень, Е. А. Трифонов. М.: Наука, 1967. - 308 стр.

10. Сахненко В.П., Чечин Г.М. Симметрийные правила отбора в нелинейной динамике атомных систем // ДАН. 1993, Т. 330, С. 308-310.

11. Сахненко В.П., Чечин Г.М. Кусты мод и нормальные колебания для нелинейных динамических систем с дискретной симметрией // ДАН. 1994, Т. 338, С. 42-45.

12. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа: Пер. с англ. В 2-х частях. Ч. 2: Трансцентентые функции. М.: 1963. 516 стр.

13. Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике. Том 1. М. — Мир, 1983, 364 стр.

14. Якушевич J1.B. Нелинейная физика ДНК- М.: НИЦ "Регулярная и хаотичная динамика Ижевск. 2007, 252 стр.

15. Ablowitz M.J., Ladik J.F. Nonlinear differential-difference equations // Journal of Mathematical Physics. 1975. V. 16. P. 598-603.

16. Afshari E., HajimiriA. Nonlinear transmission lines for pulse shaping in silicon // IEEE J. Solid-State Circuits. 2005. V. 40. P. 744-752.

17. Afshari E., Bhat H. S., Hajimiri A., Marsden J. E. Extremely wideband signal shaping using one and two dimensional non-uniform nonlinear transmission lines // Journal of Applied Physics. 2006. V. 99. P. 054901-16.

18. Aubry S. Breathers in nonlinear lattices: existence, linear stability and quantization//Physica D. 1997. V. 103. P. 201-250.

19. Aubry S. Discrete breathers: localization and transfer of energy in discrete Hamiltonian nonlinear systems // Physica D. 2006. V. 216. P. 1-30.

20. Bambusi D., Vella D. Quasi periodic breathers in Hamiltonian lattices with symmetry // Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2002. V. 2, P. 389-399.

21. Bhat M.S., Afshari E. Nonlinear constructive interference in electrical lattices. // Physical Review E. 2008. V. 77. P. 066602.

22. Bhat H. S., Osting B. The zone boundary mode in periodic nonlinear electrical lattices//Physica D. 2009. V. 238. P 1228.

23. Binder P., Abraimov D., Ustinov A. V., Ftach S., Zolotaryuk Y. Observation of breathers in Josephson ladders // Physical Review Letters. 2000. V. 84. P. 745-748.

24. Boechler N., Theocharis G., Job S., Kevrekidis P. G., Porter M. A., Daraio C. Discrete breathers in one-dimensional diatomic granular crystals// Physical Review Letters. 2010. V. 104. P. 244302-4.

25. Bussmann-Holder A., Bishop A. R. Inhomogeneity, local mode formation, and the breakdown of the Bloch theorem in complex charge transfer systems as a consequence of discrete breather formation // Physical Review B. 2004. V. 70. P. 184303-184312.

26. Butt I.A., Watt is J.A.D. Discrete breathers in a two-dimensional Fermi-Pasta-Ulam lattice // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2006. V. 39. P. 4955-4984.

27. Butt I.A., Wattis J.A.D. Discrete breathers in a two-dimensional hexagonal Fermi-Pasta-Ulam lattice // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2006. V. 40. P. 1239-1264.

28. Chechin G. M. Computers and group-theoretical methods for studying structural phase transitions // Computers & Mathematics with Applications. 1989. V. 17. P. 255-278.

29. Chechia G. M., Ryabov D.S., Sakhnenko V.P. Bushes of normal modes as exact excitations in nonlinear dynamical systems with discrete symmetry // Nonlinear phenomena research perspectives / Ed. by C. W. Wang. Nova Science Publishers, NY. 2007. P. 225.

30. Chechia G. M., Sakhaeako V. P. Interactions between normal modes in nonlinear dynamical systems with discrete symmetry. Exact results // Physica D. 1998. V. 117, P. 43-76.

31. Chechia G. M., Zhukov K■ G. Stability analysis of dynamical regimes in nonlinear systems with discrete symmetries // Physical Review E. 2006. V. 73. P. 036216-17.

32. Cochraa W. Crystal stability and the theory of ferroelectricity // Advances in Physics. 1960. V. 9. P. 387-423.

33. Cretegay T., Dauxois T., Rujfo S., Torcini A. Localization and equipartition of energy in the /3-FPU chain: chaotic breathers. // Physica D. 1998. V. 121. P. 109-126.

34. Dmitriev S. V., Khadeeva L. Z., Kivshar Y. S. Discrete breathers in strained graphene // Nonlinear Theory and Its Applications. 2012. V. 3. P. 77-86.

35. Doi Y., Nakataai A. Structures of discrete breathers in two-dimensional Fermi-Pasta-Ulam lattices // Theor. Appl. Mech. Jpn. 2006. V. 55. P. 103-110.

36. Eiermaan B., Anker Th., Albiez M., Taglieber M., Treutlein P., Marzlin K.-P., Oberthaler M.K. Bright Bose-einstein gap solitons of atoms with repulsive interaction // Physical Review Letters. 2004. V. 92. P. 230401-4.

37. Eiseaberg II. S., Silberberg Y., Morandotti R., Boyd A. R., Aitchison J. S. Discrete spatial optical solitons in waveguide arrays. // Physical Review Letters. 1998. V. 81. P. 3383-3386.

38. Feng B. F., Chan Y. S. Intrinsic localized modes in a three particle Fermi-Pasta-Ulam lattice with on-site harmonic potential. // Mathematics and Computers in Simulation. 2007. V. 74. P. 292-301.

39. Feng B.F., Kawahara T. Discrete breathers in two-dimensional nonlinear lattices 11 Wave Motion. 2007. V. 45. P. 68-82.

40. Fischer, F. Self-localized single-anharmonic vibrational modes in two-dimensional lattices // Annalen der Physik. 1993. V. 505. P 296-307.

41. Flach S. Existence of localized excitations in nonlinear discrete systems. //Physical Review E. 1995. V. 51. P. 1503-1507.

42. Flach S. Conditions on the existence of localized excitations in nonlinear discrete systems. // Physical Review E. 1994. V. 50. P. 3134-3142.

43. Flach S. Computational studies of discrete breathers. In the book "Energy Localization and Transfer" {Eds. T. Dauxois et al, World Scientific, 2004).

44. Flach S., Gorbach A. Discrete breathers: advances in theory and applications // Physics Reports. 2007. V. 467. P. 1-116.

45. Flach S., Ivanchenko M. V., Kanakov O. I. q-Breathers and the Fermi-Pasta-Ulam Problem // Physical Review Letters. 2005. V. 95. P. 064102-4.

46. Flach S., Ivanchenko M. V., Kanakov O. I. q-Breathers in Fermi-Pasta-Ulam chains: existence, localization and stability // Physical Review E. 2006. V. 73. P. 036618-14.

47. Flach S., Kladko K-, MacKay R. S. Energy tresholds for discrete breathers in one-, two-, and three-dimensional lattices // Physical Review Letters. 1997. V. 78. P. 1207-1210.

48. Flach F., Kladko K, Takeno S. Acoustic breathers in two-dimensional lattices //Physical Review Letters. 1997. V. 79. P 4838-4841.

49. Flach S., Willis C. R. Discrete Breathers. // Physics Reports. 1998. V. 295. P. 181-264.

50. Fleischer J.W., Segev M., Efremidis N.K-, Christodoulides D.N. Observation of two-dimensional discrete solitons in optically induced nonlinear photonic lattices//Nature. 2003. V. 422. P. 147-150.

51. Floria L. M., Marin J. L., Martinez P. J., Falo F., Aubry S. Energy localisation in the dynamics of the Josephson-junction ladder // Europhysics Letters. 1996. V. 36. P. 539-544.

52. Franzosi R., Livi ROppo G. L., Politi A. Discrete Breathers in Bose-Einstein Condensates // Nonlinearity. 2011. V. 24. P. R89.

53. Gorbach A. V., Flach S. Compact-like discrete breathers in systems with nonlinear and nonlocal dispersive terms // Physical Review E. 2005. V. 72. P. 056607-9.

54. Ivanchenko M. V., Kanakov O. I., Mishagin K. G., Flach S. q-breathers in finite two- and three-dimensional nonlinear acoustic lattices // Physical Review Letters. 2006. V. 97. P. 025505-4.

55. James G., Kastner M. Bifurcation of discrete breathers in a diatomic Fermi-Pasta-Ulam chain // Nonlinearity. 2007. V. 20. P. 631-657.

56. Johansson M., Aubry S. Existence and stability of quasiperiodic breathers in the discrete nonlinear Schrodinger equation // Nonlinearity. 1997. V. 10. P.l 151-1178.

57. Kevrekidis P.G., Rasmussen K-O., Bishop A.R. Two-dimensional discrete breathers: construction, stability, and bifurcations // Physical Review E. 2000. V. 61. P. 2006-9.

58. Kiselev S.A., Sievers A.J. Generation of intrinsic vibrational gap modes in three-dimensional ionic crystals // Physical Review B. 1997. V. 55. P. 5755-5758.

59. Kinoshita Y., Yamayose Y., Dot Y., Nakatanl A., Kitamura T. Selective excitations of intrinsic localized modes of atomic scales in carbon nanotubes // Physical Review B. 2008. V. 77. P. 024307-6.

60. Kisoda K., Kimura N., Harima H., Takenouchi K-, Nakajima M. Intrinsic localized vibrational modes in a highly nonlinear halogen bridged metal//Journal of Luminescence. 2001. V. 94-95. P. 743-746.

61. Kivshar Yu. S. Intrinsic localized modes as solitons with a compact support// Physical Review E. 1993. V. 48. P. R43-R45.

62. Kladko K., Malek J., Bishop A. R. Intrinsic localized modes in the charge-transfer solid PtCl // Journal of Physics: Condensed Matter. 1999. V. 11. P. L415-L422.

63. Kosevich Yu. A., Manevitch L. /., Savin A. V. Wandering breathers and self-trapping in weakly coupled nonlinear chains: classical counterpart of macroscopic tunneling quantum dynamics 11 Physical Review E. 2008. V. 77. P. 046603-20.

64. Koukouloyannis V., Kevrekidis P.G., Law K.J.H., Kourakis /., Frantzeskakis D.J. Existence and stability of multisite breathers in honeycomb and hexagonal lattices// Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2010. V. 43. P. 235101-16.

65. MacKay R. SAubry S. Proof of Existence of Breathers for TimeReversible or Hamiltonian Networks of Weakly Coupled Oscillators.// Nonlinearity. 1994. V. 7. P. 1623-1643.

66. Maniadis P., Bountis T. Quasiperiodic and chaotic discrete breathers in a parametrically driven system without linear dispersion // Physical review E. 2006. V. 73. P. 046211-10.

67. Maniadis P., Flach S. Mechanism of discrete breather excitation in driven micro-mechanical cantilever arrays // Europhysics Letters. 2006. V. 74. P. 452.

68. Matiley M. E., Abernathy D. L., Agladze N. I., Sievers A. J. Symmetry-breaking dynamical pattern and localization observed in the equilibrium vibrational spectrum of Nal// Scientific Reports. 2011. V. 01, P. 1-6.

69. Matiley M. E., Sievers A. J., Lynn J. W., Kiselev S. A., Agladze N. I., Chen Y., Llobet A., Alatas A. Intrinsic Localized Modes Observed in the High Temperature Vibrational Spectrum of Nal// Physical Review

70. B. 2009. V. 79. P. 134304-5.

71. Manley M. E., Yethiraj M., Sinn IE, Volz H. M., Alatas A., Lashley J.

72. C., Halts W. L., Lander G. H., Smith J. L. Formation of a new dynamical mode in a- uranium observed by inelastic neutron and x-ray scattering// Physical Review Letters. 2006. V. 96. P. 125501-4.

73. Marin J. L., Aubry S. Breathers in nonlinear lattices: Numerical calculation, from the anticontinuous limit. // Nonlinearity. 1998. V. 9. P. 1501-1528.

74. Marin J. L., Eilbeck J.C., Russell F.M. Localized moving breathers in a 2D hexagonal lattice// Physics Letters A. 1998. V. 248. P. 225-229.

75. Markovich T., Polturak E., Bossy J., Farhi E. Observation of a new excitation in bcc He-4 by inelastic neutron scattering// Physical Review Letters. 2002. V. 88. P. 195301-4.

76. Migoni R., Bilz H., Bauerle D. // hysical Review Letters. 1976. V. 37. P. 1155.

77. Mirnov V. V., Lichtenberg A. J., Guclu H. Chaotic breather formation, coalescence and evolution to energy equipartition // Physica D. 2001. V. 157. P. 251-282.

78. Morandotti R., Peschel U., Aitchison J. S., Eisenberg H. S., Silberberg Y. Dynamics of discrete solitons in optical waveguide arrays // Physical Review Letters. 1999. V. 83. P. 2726-2729.

79. Ostrovskaya E. A., Kivshar Yu. S. Matter-wave gap solitons in atomic band-gap structures // Physical Review Letters. 2003. V. 90. P. 160407-4.

80. Palmero F., English L.Q., Caevas /., Carretero-Gonzalez R. and Kevrekidis P.G. Discrete breathers in a nonlinear electric line: Modeling, Computation and Experiment. // Physical Review E. 2011. V. 84. P. 026605;

81. Peyrard M., Bishop A.R. Statistical mechanics of a nonlinear model for DNA denaturation // Physical Review Letters. 1989. V. 62. P. 2755—2758; Peyrard M. Nonlinear dynamics and statistical physics of DNA // Nonlinearity. 2004. V. 17. P. R1-R40.

82. Peyrard M., James G. Intrinsic localized modes in nonlinear models inspired by DNA // Nonlinear Theory and Its Applications. 2012. V. 3. P. 27-51.

83. Rosenau P., Hyman J. M. Compactons: solitons with finite wavelength // Physical Review Letters. 1993. V. 70. P. 564-567; Rosenau P. Nonlinear dispersion and compact structures // Physical Review Letters. 1994. V. 73. P. 1737-1741.

84. Rosenberg R. M. The normal modes of nonlinear n-degree-of-freedom systems // Journal of Applied Mechanics. 1962. V. 29. P. 7-14.

85. Sanchez B., James G., Cuevas J., Archilla J.F.R. Bright and dark breathers in Fermi-Pasta-Ulam lattices // Physical Review B. 2004. V. 70. P. 014301-10.

86. Sato M., Hubbard B. E., English L. Q., Sievers A. J., Ilic B., Czaplewski D. A., Craighead H. G. Studies of intrinsic localized vibrational modes in micromechanical oscillator arrays // Chaos. 2003. V. 13. P. 702-715.

87. Sato M., Hubbard B. E., Sievers A. T. Nonlinear energy localization and its manipulation in micromechanical oscillator arrays // Reviews of Modern Physics. 2006. V. 78. P. 137-157.

88. Sato M., Hubbard B. E., Sievers A. J., Ilic B., Czaplewski D. A., Craighead H. G. Observation of locked intrinsic localized vibrational modes in a micromechanical oscillator array // Physical Review Letters. 2003. V. 90. P. 044102-4.

89. Sato M., Sievers A. J. Direct observation of the discrete character of intristic localized modes in an antiferromagnet // Nature. 2004. V. 432. P. 486-488.

90. Savin A. V., Kivshar Y. S. Discrete breathers in carbon nanotubes. // Europhysics Letters. 2008. V. 82. P. 66002-6.

91. Savin A. V., Kivshar Y. S. Nonlinear breatherlike localized modes in C60 nanocrystals // Physical Review B. 2012. V. 85. P. 125427-7.

92. Schwarz U. T., English L. Q., Sievers A. J. Experimental Generation and Observation of Intrinsic Localized Spin Wave Modes in an Antiferromagnet // Physical Review Letters. 1999. V. 83. P. 223-226.

93. Sievers A.J., Takeno 5. Intrinsic localized modes in anharmonic crystals // Physical Review Letters 1988. V. 61. P. 970-973.

94. Stearrett R., English L.Q. Experimental Generation of Intrinsic Localized Modes in a Discrete Electrical Transmission Line // Journal of Physics D: Applied Physics. 2007. V. 40. P. 5394-5398.

95. Swanson B. I., Brozik J. A., Love S. P., Strouse G. F., Shreve A. P., Bishop A. R., Wang W.-Z. Observation of intrinsically localized modes in a discrete low-dimensional material // Physical Review Letters. 1999. V. 82. P. 3288-3291.

96. Takeno S., Kisoda K, Sievers A.J. Intrinsic localized vibrational modes in anharmonic crystals // Progress of Theoretical Physics Supplement. 1988. V. 94. P. 242-269.

97. Theocharis G., Kcivousanakis M., Kevrekidis P. G.t Daraio C., Porter M. A., Kevrekidis I. G. Localized Breathing Modes in Granular Crystals with Defects // Physical Review E. 2009. V. 80. P. 066601-11.

98. Trias E., Mazo J. /., Orlando T. P. Discrete breathers in nonlinear lattices: Experimental detection in a Josephson array. // Physical Review Letters. 2000. V. 84. P. 741-744.

99. Trombettoni A., Smerzi A. Discrete Solitons and Breathers with Dilute Bose-Einstein Condensates // Physical Review Letters. 2001. V. 86. P. 2353-2356.

100. Tsironis G. P. If «discrete breathers» is the answer, what is the question? // Chaos. 2003. V. 13. P. 657-666.

101. Vulgarakis M. K, Kalosakas G., Bishop A. R., Tsironis G. P. Multiquanta breather model for PtCl // Physical Review B. 2001. V. 64. P. 020301-4.

102. Xu Q., Qiang T. Two-dimensional discrete gap breathers in a two-dimensional discrete diatomic Klein-Gordon lattice // Chinese Physics Letters. 2009. V. 26. P. 070501-4.

103. Yakushevich L.I., Savin A.V., Manevitch L.I. Nonlinear dynamics of topological solitons in DNA // Physical Review E. 2002. V. 66. P. 016614-29.

104. Yi X., Wattis J.A.D., Susanto H., Cummings L.J. Discrete breathers in a two-dimensional spring-mass lattice // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2009. V. 42. P. 355207-26.

105. Yoshimura K-, Dot Y. Moving discrete breathers in nonlinear lattice: Resonance and stability// Wave Motion. 2007. V. 45. P. 83-99.