автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Динамические и топологические солитоны О(3) векторной нелинейной сигма-модели

На правах рукописи

Шокиров Фарход Шамсидинович

Динамические и топологические солитоны О(З) векторной нелинейной сигма-модели

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 6 ОКТ 2011

Душанбе - 2011

4855584

Работа выполнена в Физико-техническом институте им. С.У. Умарова Академии наук Республики Таджикистан

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

член-корреспондент АН РТ Муминов Хикмат Халимович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Санюк Валерий Иванович

кандидат физико-математических наук Кабилов Маруф Махмудович

Ведущая организация: Лаборатория информационных технологий Объединенного института ядерных исследований (ЛИТ ОИЯИ), г. Дубна

Защита состоится 26 октября 2011 года в 11:00 часов на заседании Диссертационного совета К 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан по адресу: 734063, г. Душанбе, ул. Айни 299/4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики Академии наук Республики Таджикистан.

Автореферат разослан « 'ХО » яСА.З1— 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ¡/^йсс*-^ Каримов У.Х.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Интенсивное развитие теории нелинейных явлений, появление мощных аналитических методов решения нелинейных эволюционных уравнений, таких как метод обратной задачи рассеяния, алгебро-геометрические методы интегрирования и др., тем не менее, однако оставляет за математическим моделированием и вычислительным экспериментом основную роль в качестве инструмента исследования широкого круга нелинейных явлений. Именно численное моделирование остается, при отсутствии надежных аналитических методов, практически основным инструментом исследования поведения сложных комплексных нелинейных диссипативных систем.

Векторные нелинейные сигма-модели (ВНСМ), впервые предложенные Гелл-Манном и Леви1 в теории поля, находят широкое применение в различных областях теории конденсированного состояния2, в частности, при описании антиферромагнитных систем, квантового эффекта Холла, сверхтекучего гелия - 3 (3Не), сверхпроводимости (двумерные топологические солитоны).

Начиная с пионерских работ Т. Скирма3 (Т.Н.Я. 8кугте), в которых топологические солитоны нелинейного уравнения эт-Гордона были использованы для описания ядерной материи, начинают свое развитие непертурбативные квантовые теории поля, являющиеся альтернативными по отношению к хиггсовской Стандартной модели. Некоторые свойства известных в настоящее время частиц, имеющих составную структуру, описываются, в том числе теорией связанных состояний, природа образования которых определяется непертурбативными эффектами (например, в моделях, основанных на использовании динамических уравнений Бете-Солпитера, Тамма-Данкоффа, в модели бэби-скирмиона4 и др.). Таким образом, найденные в работе новые связанные состояния,

1 Gell-Mann М, Levy М. The axial vector current in beta decay // Nuovo Cimento 16 (1960) 705-726.

2 Косевич A.M., Иванов Б.А., А.С.Ковалёв. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. Киев: Наукова думка, 1983, 193 с.

3 Skyrme T.H.R. A Non-Linear Field Theory // London: Proceedings of the Royal Society, Mathematical and Physical Sciences, Series A, (Feb. 7, 1961), Vol. 206, No. 1300, 127-138.

4 Kudryavtsev A., Piette В., Zakrjevski W.J. Mesons, Baryons and Waves in the Baby Skyrmion Model // England, Durham: DH1 3LE - arXiv:hep-th/9611217vl, 26 NOV 1996, DTP-96/17.

3

описываемые бризерными решениями, представляют значительный интерес в теории элементарных частиц, в частности, в физике адронов.

По всей видимости, скирмионы, бризеры и топологические со-литоны, используемые в непертурбативной теории поля, являются частными случаями более общих видов возбуждений, которые описываются теорией струн (или суперструн). Именно эти возбуждения описывают элементарные частицы, в частности адроны. Теория суперструн и супермембран в настоящее время является бурно развивающейся областью науки, и пока полная теория не построена. Известно, что в теории струн элементарные частицы представляют собой достаточно сложные объекты, описываемые в 11-мерном пространстве-времени, и именно эта теория является претендентом на более общую теорию за пределами Стандартной модели.

Как отмечено в работах A.M. Полякова5, имеется глубоко ко-ренящая аналогия между четырехмерными теориями Янга-Миллса и двумерными SU(N) ВНСМ, и последние, являясь более простыми, могут служить в качестве модельного представления уравнений Янга-Миллса, т.е. быть своеобразной теоретической лабораторией для апробации методов моделирования непертурбативных теорий поля.

Таким образом, ВНСМ находят широкие приложения, как в физике конденсированного состояния, так и в теории поля, и их исследования носят мультидисциплинарный характер.

Целью диссертационной работы является:

1. Математическое моделирование динамических и топологических солитонов 0(3) векторной нелинейной сигма-модели теории поля численными методами.

2. Нахождение новых численных бризерных решений одно- и двумерной 0(3) векторной нелинейной сигма-модели, обладающих динамикой вращения вектора АЗ-поля в изоспиновом пространстве, установление области их устойчивости в зависимости от параметров решения и исследование динамики их взаимодействий.

5 Поляков A.M. Калибровочные поля и струны. Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999, 312 с.

3. Численное моделирование топологических возбуждений с нетривиальным индексом Хопфа в двумерной 0(3) векторной нелинейной сигма-модели и исследование динамики их взаимодействий.

Методика исследований. В работе использованы основные принципы теории разностных схем, с привлечением стереографической проекции и учетом теоретико-групповых особенностей конструкции класса 0(Ы) ВНСМ теории поля. Разработаны алгоритмы и созданы компьютерные коды для численного моделирования 0(3) ВНСМ, а также анализа и визуализации.

Научная новизна. Разработан алгоритм, который позволяют избежать сингулярности при проведении численных исследований локализованных возбуждений нелинейных теоретико-полевых моделей, в частности 0(3) ВНСМ.

Получены новые бризерные решения анизотропной 0(3) ВНСМ в одномерном случае, обладающие динамикой внутренней степени свободы в изопространстве. Определена энергия связи для составляющих бризерного решения. Выявлен порог устойчивости численных бризерных решений в зависимости от частоты вращения СО вектора АЗ-поля в изопространстве и от скорости движения

солитона V .

Проведено численное моделирование динамики взаимодействия бризеров 0(3) ВНСМ в одномерном случае. Установлено, что столкновение бризеров 0(3) ВНСМ в отличие от бризеров уравнения эт-Гордона (СГ) носит неупругий характер.

Численными методами получены новые движущиеся топологические солитоны двумерной О(З) ВНСМ с различными значениями топологического заряда (индекса Хопфа) в изотропном и анизотропном случаях. Аналитически и численно показана устойчивость данных топологических солитонов.

Получены численные модели динамики взаимодействия топологических солитонов двумерной 0(3) ВНСМ в анизотропном случае, исследованы основные свойства данных моделей.

В частности, получены дальнодействующие модели динамики упругого взаимодействия топологических солитонов двумерной анизотропной 0(3) ВНСМ. Численно исследована изоспиновая динамика данных солитонов, выведен аналитический вид системы

взаимодействующих топологических солитонов, проявляющих свойства дальнодействия.

Получены численные модели процесса распада топологических солитонов двумерной анизотропной 0(3) ВНСМ на локализованные возмущения вследствие их взаимодействия. Показано сохранение суммы топологического заряда взаимодействующих солитонов после их распада на локализованные возмущения (ЛВ), предложен численный метод определения топологического заряда локализованных возмущений.

В качестве общей закономерности установлено, что столкновение топологических солитонов двумерной анизотропной 0(3) ВНСМ, сопровождающееся их распадом (вплоть до полного разрушения), происходит с дискретными потерями топологического заряда (ТЗ) по одной единице, и, соответственно, потери энергии топологическим солитоном (ТС) также носит периодический характер.

Получены численно новые бризерные решения двумерной анизотропной 0(3) ВНСМ, обладающие динамикой внутренней степени свободы и динамикой вращения в изотопическом пространстве.

Практическая значимость. Исследование магнитно-упорядоченных структур имеет непреходящее значение с точки зрения их использования в различных областях микро- и нано-электроники, в том числе, в качестве элементов памяти. В настоящее время хорошо установлены нелинейные уравнения динамики намагниченности - это уравнение Ландау-Лифшица и ВНСМ. Создание пакета компьютерных программ для моделирования процессов в системах, описываемых подобными уравнениями, наталкивается на ряд принципиальных проблем, таких как появление сингу-лярностей на полюсах изосферы и т.д. Разработанные в работе алгоритмы численного моделирования процессов динамики намагниченности в магнитных системах при наличии внешних управляющих факторов, могут найти применение при создании запоминающих устройств.

Апробация работы. Основные результаты диссертации представлены и докладывались на международных научных конференциях, школах и семинарах: Международная школа молодых ученых стран СНГ «Смежные проблемы физики и астрофизики частиц сверхвысоких энергий» (Душанбе, 2011); 8-я Международная кон-

ференция по компьютерному анализу проблем науки и технологии (Душанбе, ТНУ, 2011); Международная научная конференция «Современные проблемы математики и ее приложения», посвященная 70-летию члена-корреспондента АН Республики Таджикистан Му-хамадиева Э.М. (Душанбе, 2011); научный семинар Института математики АН РТ (Душанбе, 2011); научный семинар «Актуальные задачи и первые результаты деятельности Международного научно-исследовательского центра Памир-Чакалтая» (Душанбе, АН РТ, 2011); 6-я Международная научно-техническая конференция «Информатизация процессов формирования открытых систем на основе СУБД, САПР, АСНИ и систем искусственного интеллекта» (Вологда, ВоГТУ, 2011); Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения - XXII» Современные методы теории краевых задач (Воронеж, ВГУ, 2011); Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, ВГУ, 2011); Международная молодёжная инновационная сессия СНГ (Москва, 2010); Стажировка молодых учёных стран СНГ (ОИЯИ Дубна, 2010); Международная научная конференция «Современные проблемы физики» (Душанбе, АН РТ 2010); Международная научно-техническая конференция «Автоматизация и энергосбережение машиностроительного и металлургического производства, технология и надежность машин, приборов и оборудования» (Вологда, ВоГТУ, 2010), Международная научно-практическая конференция «Перспективы междисциплинарных высокогорных исследований природных систем с учетом астро-космических факторов» (Душанбе, АН РТ, 2010); Форум «Digital Youth of Central Asia» (Душанбе, 2009-2010); а также на семинарах Физико-технического института им. С.У. Умарова АН Республики Таджикистан (Душанбе, 2009-2011) и семинарах кафедры «Высшей математики и моделирования» Таджикского государственного университета права, бизнеса и политики (Худжанд, 2008-2009).

За созданные пакеты прикладных программ для моделирования нелинейных возбуждений в 0(3) ВНСМ автор был удостоен Диплома лауреата «Открытого конкурса молодёжных инновационных проектов в области гуманитарных, естественных и технических наук в государствах - участниках СНГ» (Москва, 8-10 декабря 2010 г.) и Сертификата об успешном прохождении предваритель-

ной экспертизы на базе ОАО Технопарк «Система-Саров» (Москва, 2010 г.)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 16 печатных работах, в том числе 4 в рецензируемых изданиях, также получены 5 Свидетельств о регистрации интеллектуального продукта в Государственном учреждении «Национальный патентно-информационный центр» Министерства экономического развития и торговли Республики Таджикистан. Список публикаций и патентных документов приведен в конце автореферата.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка использованной литературы. Работа изложена на 141 страницах машинописного текста, содержит 76 рисунка. Список литературы включает 142 наименования.

Содержание диссертации

Во введении дано общее описание работы, обоснована актуальность выбранной темы, сформулирована цель проведенных исследований, изложены основные методы исследования, разработанные и примененные в диссертационной работе, представлены выносимые на защиту научные положения. Кратко изложено содержание разделов диссертации.

В первой главе проведен обзор работ, посвященных приложениям нелинейных уравнений математической физики и теории со-литонов.

В первом параграфе приведены основные нелинейные уравнения математической физики, обладающие солитонными решениями и методы их исследования.

Во втором параграфе рассмотрен математический аппарат теории солитонов, приведен обзор работ, посвященных аналитическим методам, математическому моделированию и компьютерным экспериментам в теории солитонов.

Третий параграф посвящен обзору 0(3) ВНСМ и её приложениям.

В четвертом параграфе изложены основные идеи, методы и алгоритмы применения теории конечно-разностных схем, свойства стереографической проекции, используемые в диссертационной работе, исключающие влияние особых точек при численном моде-

лировании решений, исследованных в работе эволюционных уравнений.

Во второй главе приведены численные схемы моделирования одномерной 0(3) ВНСМ, написанные на основе разработанных в диссертационной работе методов и алгоритмов, а также результаты их апробации на тестовых моделях. Описаны граничные условия типа «чёрный ящик», поглощающие возмущения, достигающие границ области интегрирования. Приведены результаты численного моделирования новых бризерных решений одномерной 0(3) ВНСМ и динамики их взаимодействий, исследования основных свойств полученных моделей.

В первом параграфе приведены примеры разработанной разностной схемы компьютерной программы моделирования для функции г = и + п, z(x,t) = {sx+is1)li\ + sъ) = tg{QI2)elí9, ¿аза=\

(а = 1,2,3), которая используется в стереографической проекции 2 2

^ ~ Ксотр в комплексной параметризации 0(3) ВНСМ.

Во втором параграфе приведены результаты применения разработанной разностной схемы на модельных задачах - численное воспроизведение стационарных и движущихся бризерных и кинк-антикинковых решений одномерного уравнения СГ. Отметим, что примененные численные схемы разработаны для моделирования локализованных решений уравнения одномерной 0(3) ВНСМ, которые в меридианном сечении (ф = сотШ) изотопического пространства сводятся к точно интегрируемой модели уравнения СГ. С использованием Лоренц-инвариантности 0(3) ВНСМ получены движущиеся решения уравнения СГ.

В третьем параграфе приведены результаты численного моделирования новых бризерных решений, обладающих динамикой внутренней степени свободы в изопространстве одномерной 0(3) ВНСМ, функция Лагранжа и гамильтониан которой имеют вид (в анизотропном случае):

ц = 0,1, а - 1,2,3, sasa= 1. Уравнения Лагранжа-Эйлера с учетом ^а^а имеют вид;

+ К' - ¿3 (5/3 - sis3 ) = 0, 1 = 1,2,3,

где ^¿з - символ Кронекера, параметризация вектора АЗ-поля в эйлеровых угловых переменных имеет следующий вид:

=sin9coscp, S2=sinQs'n(P> ^з =cos0. (2)

Учитывая, что уравнения 0(3) ВНСМ в меридианном сечении сводятся к точно интегрируемой модели уравнения СГ:

2D0 = 5sin29, (3)

в качестве некоторого начального приближения было использовано бризерное решение уравнения (3):

9 = 2arctg{l / cosh(x / -Jl)), ф = const

и, соответственно, вводя в него некоторое специальным образом подобранное возмущение ф = со/, численно решая задачу Коши, получены новые решения одномерной анизотропной 0(3) ВНСМ. При формировании локализованного решения излишки энергии излучаются на «бесконечность», что эффективно моделируется граничными условиями типа «черный ящик».

Приведены результаты применения преобразования Лоренца -движущиеся бризерные решения одномерной 0(3) ВНСМ, определены наблюдаемые при численных экспериментах пороги устойчивости бризеров в зависимости от частоты вращения в изопростран-

стве - ®max ~ 1 -^83 (V « 0.274); и от скорости движения бризера _Fmax« 0.943 (со = 0.0).

В четвертом параграфе приведены результаты моделирования динамики взаимодействия бризерных решений уравнения СГ в качестве модельных задач и полученных новых бризерных решений одномерной 0(3) ВНСМ, исследованы основные свойства данных моделей. Получены численные модели эволюции столкновений бризеров.

В третьей главе приведены результаты численных и аналитических исследований устойчивости динамических ТС двумерной 0(3) ВНСМ в изотропном и анизотропном случаях.

В первом параграфе приведены идеи раскрывающие суть топологической устойчивости локализованных возмущений - ТС и связанного с ними понятия ТЗ.

Во втором параграфе приведены результаты исследований вопросов устойчивости стационарных и динамических ТС двумерной изотропной 0(3) ВНСМ, функция Лагранжа и плотность гамильтониана которой имеют следующий вид:

Уравнения Лагранжа-Эйлера для (4) можно записать в виде:

В параметризации (2) радиально-симметричные локализованные решения уравнения (5) были получены A.A. Белавиным и A.M. Поляковым6

угловые переменные.

Теорема 3.1. Радиалъно-симметричное локализованное решение (6) уравнения (5) является устойчивым.

Теорема в работе доказывается применением техники пробных функций.

(4)

sasa=\; >" = 0,1,2; £ = 1,2; а = 1,2,3.

6 Белавин A.A., Поляков A.M. Метастабильные состояния двумерного изотропного ферромагнетика // ЖЭТФ, 1975, 22(10), с. 503-506.

11

В численном подходе, используя солитоны (6) в качестве начальных данных, с помощью разработанного в диссертационной работе алгоритма, применением явной трехслойной схемы второго порядка точности , были получены устойчивые численные модели эволюции решений (6), обладающих ТЗ = т = 1,2,...,6, интеграл энергии которых сохранялся с хорошей точностью

АЕ/Е0 ~ 10—^ — 10—6 (см., напр., рис. 1 для 6г =т = 1,2).

X 44

а

г

ISfe

< - ^ Л:,.,,.,

о ^ЧИВИР^^Т

У X

Рис. 1. ТС вида (6) модели (4) в компьютерных экспериментах: распределение плотности энергии ( £>Н ) при Т = 0.0 ; а) бс = 1, Ъ) '/ = 2.

Эти результаты, продолжая численные исследования, проведенные в работе Х.Х. Муминова8, определенно указывают на устойчивость солитонов (6) модели (4).

Результаты аналогичных исследований для случая ТС двумерной анизотропной 0(3) ВНСМ приведены в третьем параграфе, где функция Лагранжа и гамильтониан модели имеют следующий вид:

1

£=-2

+ -l)

(7)

2

saia=l; // = 0,1,2; £ = 1,2; а- 1,2,3. Уравнения Лагранжа-Эйлера модели (7) имеют вид

7 Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971, 553 с.

8 Муминов Х.Х. О существовании и устойчивости двумерных топологических солитонов в модели изотропного классического антиферромагнетика Гейзенберга // Докл. АН Республики Таджикистан, 2002 г, т. XLV, №10, с. 21-27.

12

d^'s, + {d^sad,u.sa ).v, - ,s3 fe - s,s3) = 0, / = 1,2,3. (8)

Впервые решение уравнения (8) в виде топологических соли-тонов с использованием пробных функций вида si=sin9coscp, = sin9sinф, 53=cos0; ф = /»х-с0/, cosx = */r, sinх — J^/r , где co^O и тФ 0, было получено в работе В.П.Воронова и A.M. Косевича9 в следующем виде

es [г, R) = 2arctg(r / R)m, q>s = т% - со/, (9)

2 2 2 г =х + у , COS 1 = x/r, sinХ = у/г

Лемма. Радиалъно-симметричное локализованное решение (9)

2

уравнения (8) существует только при CD = 1.

Теорема 3.2. Локализованные радиалъно-симметричные реше-2

ния в виде ТС (9) (при CD = I) уравнения (8) являются устойчивыми.

Теорема доказана с помощью вариационного подхода - техники пробных функций, которая была успешно апробирована в одномерном случае модели (7) .

Численные исследования решений (9) также показали устойчивость данных солитонов, интеграл энергии которых при Qt =т = 1,2,...,6 сохранялся в интервале Т е [0, 10.5] с точностью

АЕ/Е0 и 10~5 (см. напр., рис. 2 для Qt = m = 1,2,3).

В четвертой главе приведены результаты экспериментов по численному моделированию процессов взаимодействия ТС двумерной 0(3) ВНСМ. На первом этапе, благодаря Лоренц-инвариантности 0(3) ВНСМ, были получены новые движущиеся ТС вида (6) и (9).

9 Воронов В.П., Косевич A.M. Двумерные солитоны - магнитные вихри в одноосном антиферромагнетике // ЖЭТФ, 90, (1986), 2145-2151.

10 Муминов Х.Х. Многомерные динамические топологические солитоны в нелинейной анизотропной сигма-модели // Докл. АН Республики Таджикистан, т. XLV, №10, 2002 г., с. 28-36.

Ъ)

20, I

о

5 -5

тш

0--2

200 400 N 600 800 1000 О 65.8715

О -2, Те[0,10,51, ДЭН ^ 0.032

I 1 ' тах

200 400 N 600 800 1000

С)

■5 -5

~хО

вгЗ

0=3, Те[0,10.5], АйН »0.008 I 1 тах

■У'УЬ'. ■ ' .

А Е/ Е = 1.17 х 10"5

200 400 N 600 800 1000

Рис. 2. Эволюция солитонных решений (9) - распределение плотности энергии (/Ж), максимальное значение разности Д£>Ятах (£>#(/+ т)-£>Я(0) и изменение интеграла энергии (Еп): а) б/ = 1; Ь) = 2; с) 2/ =3. Время моделирования - Т е [0, 10.5].

Далее, приведены результаты численного моделирования двухсолитонных столкновений ТС двумерной анизотропной 0(3) ВНСМ, где выявлено наличие упругих взаимодействий при скоростях движения солитонов меньше скорости света (с). Здесь также описываются полученные модели эволюции динамики упругого взаимодействия двумерных ТС вида (9), отличающиеся от известных проявлением дальнодействующих сил. Приводятся описания выявленных особых свойств распада ТС (9) на локализованные возмущения (ЛВ) вследствие их взаимодействия. Определяется аналитический вид некоторых систем взаимодействующих ТС двумерной 0(3) ВНСМ, отличающиеся различной динамикой изо-спиновой структуры в анизотропном случае.

В первом параграфе приведены результаты применения преобразования Лоренца к локализованным решениям типа (6) и (9), в изотропной и анизотропной 0(3) ВНСМ соответственно. Показана их устойчивость в процессе эволюции при значениях ТЗ

(2(=т = 1,2,...,6 . На основе данных решений получены численные модели двухсолитонных взаимодействий ТС вида (9). Рассмотрены

встречные (рис. 3), налетающие и настигающие виды столкновений, где, в частности, наблюдаются упругие взаимодействия, проявляются частицеподобные свойства.

Контроль консервативности системы взаимодействующих ТС вида (9) осуществлялся вычислением интеграла энергии, который

сохранялся с точностью А£ / « 10 3 -10 4 . Также, было проведено численное моделирование взаимодействия солитонов в двумерной изотропной 0(3) ВНСМ, но в данном случае, во всех моделях столкновения ТС вида (6) наблюдалось нарушение консервативности численной схемы и полный распад системы сталкивающихся солитонов.

х

80

о

а) -ю

80 > 0

с) -ю

Я

Т = 0.0 / 5 * 1 т«зо.о|

щшш

10

80 О

Ь) -10

Т * 42.0

шшшшяяят 5 к

10

То 48.0

о

10

л /1 т К 54.0

ШШШШШШШВШ

Рис. 3. Динамика взаимодействия ТС двумерной анизотропной 0(3) ВНСМ вида (9) (лобовое столкновение) с ТЗ & = 62 = 3, движущихся с равной скоростью У\ = ~0.0995 : а)-/) распределение плотности энергии (ОН). Время моделирования: Ге[0, 60].

Компьютерные эксперименты показали, что процесс столкновения ТС двумерной анизотропной 0(3) ВНСМ вида (9) имеет характерные особенности. В частности, в случае встречного столкновения ТС, движущихся по параллельным траекториям, динамика

их взаимодействий чувствительна к симметричному изменению траектории движения вследствие киральности модели, солитоны при столкновении получают дополнительный момент импульса, разворачивающий их траекторию в сторону вращения вектора изо-спина.

Во втором параграфе приведены результаты исследования динамики взаимодействий ТС. Была произведена серия изменений в структуре взаимодействующих ТС вида (9). После ряда экспериментов с моделями столкновений, получена новая группа моделей эволюции взаимодействия солитонов, где ТС отражались без непосредственного столкновения, проявлялось так называемое дальнодействие (рис. 4). Интеграл энергии полученной системы взаимодействующих ТС сохранялся с точностью /Е^ 0 3 -10

Спапаес!

Рис. 4. Проявление эффекта дальнодействия, при взаимодействии ТС двумерной анизотропной 0(3) ВНСМ вида (9) с ТЗ 0] = 02 = 3, движущихся с равной скоростью: У1=У2~ 0.0995 во встречном направлении по единой траектории: а)-/) распределение плотности энергии (ОН) при различных моментах времени моделирования:

Т е [0, 60].

На основе численных экспериментов установлен аналитический вид топологических решений, отличающийся от решений вида (9) обратным знаком ТЗ в выражении для ф.?:

е5(x,y,t) = 2arctg(r/Я)'11, (р? =-/их-со/, » = (Ю)

Таким образом, численные эксперименты показывают, что при взаимодействии ТС вида (9) и (10) двумерной анизотропной 0(3) ВНСМ проявляется свойства дальнодействия.

В третьем параграфе численным моделированием четырехсо-литонных взаимодействий ТС вида (9) двумерной анизотропной 0(3) ВНСМ показаны свойства взаимного притяжения и отталкивания данных солитонов, приводящие к несимметричному изменению траекторий солитонов вследствие киральности модели.

В четвертом параграфе приведены результаты исследования процессов распада ТС вида (9) на ЛВ вследствие их взаимодействия. Показано, что при распаде системы, состоящей из двух взаимодействующих ТС, сумма ТЗ сохраняется независимо от количества образовавшихся ЛВ.

с)

Рис. 5. Динамика взаимодействия (эволюция \ 2\, г — х + 1у) двух ТС вида (9) двумерной анизотропной 0(3) ВНСМ, движущихся во встречном направлении с равной скоростью УХ=У2~ 0.0995 и ТЗ, Ql=Q2=6 в моментах времени моделирования: а) Г = 0.0; Ь) Т~90.0, с) Т~ 150.0.

На рис. 5 приведен пример распада взаимодействующих ТС вида (9), обладающих равными ТЗ Q\ = 62 = 6 в лобовом столкновении VX = V2~ 0.0995. В данном случае в центре области моделирования, сформировался ТС с ТЗ Qt = 4 , в противоположные стороны от места столкновения движутся два ТС с ТЗ Qt - 3 и два ТС с единичными ТЗ. Аналогичные численные эксперименты проведены для различных видов взаимодействия (встречные, налетающие и настигающие столкновения) ТС, с различными значениями ТЗ и скорости. Во всех наших компьютерных экспериментах распад ТС двумерной анизотропной 0(3) ВНСМ вида (9) на JIB происходит с сохранением суммы ТЗ.

В пятом параграфе работы рассмотрены результаты численного моделирования двухсолитонных взаимодействий ТС двумерной анизотропной 0(3) ВНСМ с различной динамикой изоспиновой структуры. На основе численных экспериментов получена система взаимодействующих ТС вида (9), где при столкновении солитоны разрушаются периодическим излучением энергии в виде линейных волн, теряя ТЗ эквивалентный единице.

Отметим, что аналогичным образом происходит разрушение дальнодействующих ТС при столкновении со скоростями сравнимыми со скоростью света с .

Таким образом, в серии численных экспериментов установлен универсальный характер разрушения ТС двумерной анизотропной О(З) ВНСМ отдельными всплесками периодически излучающейся энергии, при каждом всплеске взаимодействующие ТС теряют по единице ТЗ.

Пятая глава диссертационной работы посвящена проблеме нахождения численных бризерных решений двумерной анизотропной 0(3) ВНСМ.

В первом параграфе приведен обзор работ асимптотического и численного исследования локализованных двумерных бионных решений теоретико-полевых моделей. В частности, рассмотрены работы И.Л. Боголюбского и В.Г. Маханькова11'12, A.A. Минзони

" Боголюбский И.Л., Маханьков В.Г. О времени жизни пульсирующих солитонов в некоторых классических моделях//ЖЭТФ, 1976, том 24, вып. 1,с. 15-18.

18

(A.A. Minzoni), Н.Ф. Смита (N.F. Smyth) и АЛ. Вейзи13,14 (Worthy A.L), Б. Пиетте (В. Piette), В. Закржевского15'16, (W.J. Zakrzewski) и других авторов. Проблема нахождения двумерной движущейся пульсирующей волны была предметом исследования Дж. Ксина17 (J.X. Xin). В диссертации приведены результаты численного моделирования эволюции тестовых задач - двумерных бризерных решений уравнения СГ, найденных в работе Дж. Ксина17, а также в работе В. Закржевского15 и соавторов в виде

f(r,0) = 4arctg(C ехр(- (2 г / Kn)arctg(r / К))),

где К = 101/2, C = tg{ л/8), которые были названы метастабиль-ными радиальными бризероподобными решениями. В работе А. Минзони14, где в частности исследовалась эволюция радиально несимметричных начальных условий, было показано, что рассеивающееся излучение, исходящее от пульсирующей волны, стабилизирует его. В частности, в указанной работе, в рамках уравнения СГ исследовались начальные условия вида14 и = u(x,y,t);

и = -Aar ctg

^ sin(n(0) sec Â(Ç(0*) sec h(^(t)y)

л/i-S2(0

где ^(0, Л(0, М-СО - некоторые пробные функции. Эволюция начального возмущения вида (11) при численном моделировании (до времен Г = 50.0) описывала периодическое по времени решение, излучая при этом определенную часть своей энергии.

12 Боголюбский И.Л., Маханьков В.Г. Динамика сферически-симметричных пульсонов большой амплитуды // ЖЭТФ, 1977, том 25, вып. 2, с. 120-123.

13 Minzoni А.А., Smyth N.F., Worthy A.L. Pulse evolution for a two-dimensional Sine-Gordon equation // Phys. D 159 (2001) 101-123.

14 Minzoni A.A., Smyth N.F., Worthy A.L. Evolution of two-dimensional standing and travelling breather solutions for the Sine-Gordon equation // Phys. D 189 (2004) 167-187.

13 Piette В., Zakrjewsky W.J. Metastable stationary solutions of the radial D-dimensional sine-Gordon model //Nonlinearity 11 (1998) 1103-1110.

16 Piette B.M.A.G., Schroers B.J., Zakrjewsky W.J. Dynamics of baby Skyrmion // Nuclear Physics В 439 (1995) 205-235.

17 Xin J.X. Modeling light bullets with the two-dimensional sine-Gordon equation // Physica D 135 (2000) 345-368.

Во втором параграфе на основе бионных возмущений исследованных в работе А. Минзони14, получены новые численные бри-зерные решения двумерной анизотропной 0(3) ВНСМ. В качестве начального условия было использовано возмущенное бризеро-подобное решение уравнения СГ вида (11), исходя из того, что в меридианном сечении (ф — const) анизотропная 0(3) ВНСМ сводится к уравнению СГ, было задано вращение в изопространстве

сферы S в виде ф = Фо + . В результате проведения серии компьютерных экспериментов были получены новые численные двумерные бризерные решения, обладающие динамикой внутренней степени свободы в изопространстве (рис. 6а,Ь). Интеграл энергии полученного осциллирующего решения после формирования устойчивого биона при значениях параметров ^(0) ~ 0.1, ц(0) « 0.8

и со = 0.5 сохранялся с точностью AEIEq~\0 5 -10 6, осциллируя в интервале (17.7536-17.7538) и равномерно приближаясь к промежуточному значению (рис. 6с).

Рис. 6. Эволюция бризерного решения двумерной анизотропной О(З) ВНСМ с вращением вектора АЗ-поля в изопространстве при ^(0)«0.1, ц(0) и 0.8 и со = 0.5: а) Т = 0.0; Ь) Т - 50.0; с) изменение интеграла энергии решения в интервале времени Т е [0, 50.0].

Таким образом, численным моделированием нами получены новые бризерные решения двумерной анизотропной 0(3) ВНСМ.

В заключении сформулированы основные идеи, результаты и выводы диссертационной работы, которые вносятся на защиту:

1. Разработаны трехслойные разностные схемы второго порядка точности по времени и по координате для численного решения задачи Коши теоретико-полевых уравнений, в частности 0(3) ВНСМ в одномерном и двумерном случаях, с использованием свойств стереографической проекции, позволяющие избежать появления особых точек.

2. Разработаны алгоритмы компьютерных программ и написаны программные коды, которые позволяют проводить численное моделирование эволюции локализованных решений теоретико-полевых моделей, в частности одномерной и двумерной 0(3) ВНСМ.

3. Численными методами получены новые бризерные решения одномерной 0(3) ВНСМ, обладающие динамикой степени свободы составляющих бризера и вращением вектора АЗ-поля в изопространстве. Определена энергия связи составляющих бризерного решения, выявлен порог устойчивости численных бризерных решений в зависимости от частоты вращения вектора АЗ-поля в изопространстве и от скорости движения соли-тона, созданы численные модели эволюции различных видов взаимодействий полученных бризеров и проведен анализ динамики их взаимодействий.

4. Численными и аналитическими методами показана устойчивость ТС двумерной 0(3) ВНСМ.

5. Численными методами получены новые движущиеся ТС двумерной 0(3) ВНСМ белавин-поляковского типа и показана их устойчивость в численных экспериментах в процессе эволюции при различных значениях ТЗ. В анизотропном случае изучена динамика упругого двухсолитонного и четырехсолитон-ного взаимодействий, численно выявлено свойство сохранение суммы ТЗ после распада взаимодействующих ТС на JIB; предложен численный метод определения ТЗ образовавшихся JIB вследствие распада ТС; получены модели динамики упругого взаимодействия ТС, отличающиеся от известных проявлением дальнодействующих сил, выявлен аналитический вид ТС, проявляющих свойство дальнодействия при встречном взаимодей-

ствии; численно показано свойство периодического излучения энергии в виде линейных волн, сопровождающееся дискретной потерей солитоном топологического заряда в процессе разрушения взаимодействующих ТС двумерной анизотропной 0(3) ВНСМ.

6. Методами численного моделирования получены новые бри-зерные решения двумерной анизотропной 0(3) ВНСМ, обладающие динамикой внутренней степени свободы и вращением вектора АЗ-поля в изопространстве.

В приложении приведены примеры численных схем, разработанных в диссертационной работе и примененных в вычислительных системах и матричных лабораториях, а также основные результаты численного моделирования в виде графиков, упомянутых в тексте диссертационной работы.

В заключении автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Х.Х. Муминову за постоянную помощь и оказанное внимание к работе.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:

Публикации

1. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Пороги устойчивости новых одномерных бризерных решений нелинейной сигма-модели теории поля II Докл. АН Республики Таджикистан, 2010, т.53, №8, с. 606-611.

2. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Динамика взаимодействий двумерных топологических солитонов в О(З) нелинейной векторной сигма-модели II Докл. АН Республики Таджикистан, 2010, т.53, №9, с. 679 - 684.

3. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Динамика взаимодействий новых одномерных бризерных решений 0(3) векторной нелинейной сигма-модели и бризеров уравнения синус-Гордона // Докл. АН Республики Таджикистан, 2011, т.54, №1, с. 35 - 41.

4. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Взаимодействие и распад двумерных топологических солитонов 0(3) векторной нелинейной сигма-модели II Докл. АН Республики Таджикистан, 2011, т.54, №2, с. 110-114.

5. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Пороги устойчивости новых одномерных бризерных решений О(З) нелинейной сигма-модели теории поля // В кн.: Материалы Шестой Международной научно-технической конференции «Автоматизация и энергосбережение машиностроительного и металлургического производств, технология и надежность машин, приборов и оборудования». - Вологда: ВоГТУ, 24-25 ноября 2010 г., с. 202-206.

6. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш., Шокирова С.Ш. Особенности динамики взаимодействий двумерных топологических солито-нов в 0(3) нелинейной векторной сигма-модели II В кн.: Материалы Шестой Международной научно-технической конференции «Автоматизация и энергосбережение машиностроительного и металлургического производств, технология и надежность машин, приборов и оборудования». - Вологда: ВоГТУ, 24-25 ноября 2010 г., с. 206-211.

7. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Устойчивость и динамика двумерных топологических солитонов в 0(3) векторной нелинейной сигма-модели II В кн.: Материалы Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». - Воронеж: ВГУ, 2011 г., с. 224227.

8. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Бризерныерешения одномерной О(З) векторной нелинейной сигма-модели - энергия связи и частотный предел II В кн.: Материалы Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». - Воронеж: ВГУ, 2011 г., с. 227230.

9. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Новые двумерные бризерные решения 0(3) векторной нелинейной сигма-модели II В кн.: Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XXII». - Воронеж: ВГУ, 2011 г., с. 120-123.

10. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Численное моделирование распада двумерных топологических солитонов 0(3) векторной нелинейной сигма-модели вследствие их взаимодействия // В кн.: Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XXII». - Воронеж: ВГУ, 2011 г., с. 123-126.

11. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Численное моделирование процессов распада двумерных топологических солитонов 0(3) векторной нелинейной сигма-модели вследствие их взаимодействия // В кн.: Материалы Международной научной конференции «Современные проблемы математики и ее приложения», посвященной 70-летию члена-корреспондента АН Республики Таджикистан Мухамадиева Э.М. - Душанбе: Издательство «Дониш», 2011 г., с. 83-85.

12. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Численный анализ динамики взаимодействий одномерных бризерных решений 0(3) векторной нелинейной сигма-модели II В кн.: Материалы Международной научной конференции «Современные проблемы математики и ее приложения», посвященной 70-летию члена-корреспондента АН Республики Таджикистан Мухамадиева Э.М. - Душанбе: Издательство «Дониш», 2011 г., с. 85-87.

13. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Взаимное притяжение и отталкивание двумерных топологических солитонов 0(3) векторной нелинейной сигма-модели // В кн.: Материалы 8-й Международной конференции по компьютерному анализу проблем науки и технологии - Душанбе, ТНУ: Издательство «Си-но», 2011 г., с. 75-78.

14. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Взаимодействие дальнодейст-вующих двумерных топологических солитонов в О(З) векторной нелинейной сигма-модели И В кн.: Материалы 8-й Международной конференции по компьютерному анализу проблем науки и технологии - Душанбе, ТНУ: Издательство «Сино», 2011 г., с. 78-80.

15. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Численное моделирование динамики взаимодействий новых одномерных бризерных решений 0(3) векторной нелинейной сиг.иа-модели II В кн.: Материалы 6-й Международной научно-технической конференции «Информатизация процессов формирования открытых систем на основе СУБД, САПР, АСНИ и систем искусственного интеллекта». -Вологда: ВоГТУ, 2011 г., с. 123-127.

16. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Взаимное притяжение и отталкивание двумерных топологических солитонов 0(3) векторной нелинейной сигма-модели II В кн.: Материалы 6-й Международной научно-технической конференции «Информати-

зация процессов формирования открытых систем на основе СУБД, САПР, АСНИ и систем искусственного интеллекта». -Вологда: ВоГТУ, 2011 г., с. 127-130.

Патентные документы

1. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Пакет компьютерных программ для проведения численного моделирования визуализации эволюции и взаимодействий частицеподобных объектов в двумерных О(З) нелинейных сигма-моделях непертурбативных квантовых теорий поля. Свидетельство о регистрации интеллектуального продукта, 0241 и от 16.03.2010 г.

2. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Комплекс компьютерных программ для нахождения численных решений, проведения анализа и визуализации их эволюции в одномерной 0(3) нелинейной сигма-модели непертурбативной квантовой теории поля. Свидетельство о регистрации интеллектуального продукта, 024217 от 16.03.2010 г.

3. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Комплекс компьютерных программ для нахождения бризерных численных решений, проведения анализа и эволюции в двумерной 0(3) нелинейной сигма-модели непертурбативных квантовых теорий поля. Свидетельство о регистрации интеллектуального продукта, 026517 от 29.06.2010 г.

4. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Комплекс компьютерных программ для нахождения бризерных численных решений двумерного уравнения синус-Гордона, проведения анализа их устойчивости и визуализации. Свидетельство о регистрации интеллектуального продукта, 026617 от 29.06.2010 г.

5. Шокиров Ф.Ш. Пакет компьютерных программ для нахождения энергии связи новых одномерных бризерных решений О(З) нелинейной сигма-модели непертурбативной квантовой теории поля. Свидетельство о регистрации интеллектуального продукта, 026717 от 29.06.2010 г.

Сертификат и диплом

1. Шокиров Ф.Ш. Исследование теоретических основ квантовых вычислений в многоуровневых системах на базе техники когерентных состояний. Сертификат №5 об успешном прохожде-

нии предварительной экспертизы на базе ОАО Технопарк «Сис-тема-Саров». Москва, 2010 г.

2. Шокиров Ф.Ш. Создание пакета прикладных программ для проведения математического моделирования нелинейных возбуждений в двумерных магнитных системах. Диплом лауреата «Открытого конкурса молодёжных инновационных проектов в области гуманитарных, естественных и технических наук в государствах - участниках СНГ». Москва, 8-10 декабря 2010 г.

Поступило в печать 05.09.2011. Подписано в печать 06.09.2011. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,75. Тираж 100 экз. Заказ № 126.

Отпечатано в типографии ООО «Эр-граф» 734036, г. Душанбе, ул. Р. Набиева 218.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Нелинейные модели уравнений математической физики и численный эксперимент.

§ 1. Нелинейные уравнения математической физики, обладающие солитонными решениями.

§ 2. Математическое моделирование в террии солитонов.

§ 3. 0(3) векторная нелинейная сигма-модель.

§ 4. Разностные схемы для численного моделирования.

ГЛАВА II. Численное моделирование солитонов одномерной

О(З) векторной нелинейной сигма-модели.

§ 1. Численная схема.

§ 2. Моделирование тестовых упражнений.

§ 3. Численное решение бризерного типа с вращением вектора АЗ-поля в изопространстве.

§ 4. Динамика взаимодействий.

ГЛАВА III. Топологические решения двумерной

О(З) векторной нелинейной сигма-модели.

§ 1. Топологические солитоны.

§ 2. Динамические топологические солитоны в изотропной модели.

§ 3. Динамические топологические солитоны в анизотропной модели.

ГЛАВА IV. Динамика взаимодействия топологических солитонов двумерной О(З) векторной нелинейной сигма-модели.

§ 1. Столкновение топологических солитонов.

§ 2. Эффект дальнодействия.

§ 3. Свойства взаимного притяжения и отталкивания.

§ 4. Распад солитонов при взаимодействии.

§ 5. Взаимодействие топологических солитонов с разной динамикой изоспиновой структуры.

ГЛАВА V. Бризерные решения двумерной 0(3) векторной нелинейной сигма-модели.

§ 1. Двумерные бризеры нелинейных эволюционных уравнений

§ 2. Новые двумерные бризерные решения О(З) векторной нелинейной сигма-модели.

Актуальность темы. Интенсивное развитие теории нелинейных явлений и синергетики, появление мощных аналитических методов решения нелинейных эволюционных уравнений, таких как метод обратной задачи рассеяния, алгебро-геометрические методы интегрирования и др., тем не менее, однако оставляют за математическим моделированием и вычислительным экспериментом основную роль в качестве инструмента исследования широкого круга нелинейных явлений. Именно численное моделирование остается, при отсутствии надежных аналитических методов, практически основным инструментом исследования поведения сложных комплексных нелинейных диссипативных систем, формирования когерентных структур в самоорганизующихся системах и динамики их взаимодействий.

Векторные нелинейные сигма-модели (ВНСМ), впервые предложенные Гелл-Манном и Леви [1] в теории поля, находят широкое применение в различных областях теории конденсированного состояния [2], в частности, при описании антиферромагнитных систем, квантового эффекта Хол

•з ла, сверхтекучего гелия — 3 ( Не), сверхпроводимости (двумерные топологические солитоны).

Начиная с пионерских работ Т. Скирма (Т.Н.Я. Б купле) [3], в которых топологические солитоны (3+1)-мерной киральной модели были использованы для описания ядерной материи, начинают свое развитие непертурба-тивные квантовые теории поля, являющиеся альтернативными по отношению к хиггсовской Стандартной модели. Некоторые свойства известных в настоящее время частиц, имеющих составную структуру, описываются, в том числе теорией связанных состояний, природа образования которых определяется непертурбативными эффектами (например, в моделях, основанных на использовании динамических уравнений Бете-Солпитера, Там-ма-Данкоффа, в модели бэби-скирмиона [4] и др.). Таким образом, найденные в работе новые связанные состояния, описываемые бризерными решениями, представляют значительный интерес в теории элементарных частиц, в частности, в физике адронов.

По всей видимости, скирмионы, бризеры и топологические солитоны, используемые в непертурбативной теории поля, являются частными случаями более общих видов возбуждений, которые описываются теорией струн (или суперструн). Именно эти возбуждения описывают элементарные частицы, в частности адроны. Теория суперструн и супермембран в настоящее время является бурно развивающейся областью науки, и пока полная теория не построена. Известно, что в теории струн элементарные частицы представляют собой достаточно сложные объекты, описываемые в 11-мерном пространстве-времени, и именно эта теория является претендентом на более общую теорию за пределами Стандартной модели.

Как отмечено в работах A.M. Полякова [5], имеется глубоко кореня-щая аналогия между четырехмерными теориями Янга-Миллса и двумерными SU(N) ВНСМ, и последние, являясь более простыми, могут служить в качестве модельного представления уравнений Янга-Миллса, т.е. быть своеобразной теоретической лабораторией для апробации методов моделирования непертурбативных теорий поля.

Таким образом, ВНСМ находят широкие приложения, как в физике конденсированного состояния, так и в теории поля, и их исследования носят мультидисциплинарный характер. Целью работы являются:

1. Математическое моделирование динамических и топологических со-литонов О(З) векторной нелинейной сигма-модели теории поля численными методами.

2. Нахождение новых численных бризерных решений одно- и двумерной 0(3) векторной нелинейной сигма-модели, обладающих динамикой вращения вектора АЗ-поля в изоспиновом пространстве, установление области их устойчивости в зависимости от параметров решения и исследование динамики их взаимодействий.

3. Численное моделирование топологических возбуждений с нетривиальным индексом Хопфа в двумерной О(З) векторной нелинейной сигма-модели и исследование динамики их взаимодействий. Методика исследований. В работе использованы основные принципы теории разностных схем, с привлечением стереографической проекции и учетом теоретико-групповых особенностей конструкции класса О(14) ВНСМ теории поля. Разработаны алгоритмы и созданы компьютерные коды для численного моделирования О(З) ВНСМ, а также анализа и визуализации.

Научная новизна работы состоит в том, что впервые: Разработан алгоритм, который позволяют избежать сингулярности при проведении численных исследований локализованных возбуждений нелинейных теоретико-полевых моделей, в частности О(З) ВНСМ.

Получены новые бризерные решения анизотропной О(З) ВНСМ в одномерном случае, обладающие динамикой внутренней степени свободы в изопространстве. Определена энергия связи для составляющих бризерного решения. Выявлен порог устойчивости численных бризерных решений в зависимости от частоты вращения со вектора АЗ-поля в изопространстве и от скорости движения солитона V .

Проведено численное моделирование динамики взаимодействия бри-зеров 0(3) ВНСМ в одномерном случае. Установлено, что столкновение бризеров О(З) ВНСМ в отличие от бризеров уравнения БШ-Гордона (СГ) носит неупругий характер.

Численными методами получены новые движущиеся топологические солитоны двумерной О(З) ВНСМ с различными значениями топологического заряда (индекса Хопфа) в изотропном и анизотропном случаях. Аналитически и численно показана устойчивость данных топологических со-литонов.

Получены численные модели динамики взаимодействия топологических солитонов двумерной О(З) ВНСМ в анизотропном случае, исследованы основные свойства данных моделей.

В частности, получены дальнодействующие модели динамики упругого взаимодействия топологических солитонов двумерной анизотропной О(З) ВНСМ. Численно исследована изоспиновая динамика данных солитонов, выведен аналитический вид системы взаимодействующих топологических солитонов, проявляющих свойства дальнодействия.

Получены численные модели процесса распада топологических солитонов двумерной анизотропной 0(3) ВНСМ на локализованные возмущения вследствие их взаимодействия. Численно показано сохранение суммы топологического заряда взаимодействующих солитонов после их распада на локализованные возмущения (JIB), предложен численный метод определения топологического заряда локализованных возмущений.

В качестве общей закономерности установлено, что столкновение топологических солитонов двумерной анизотропной О(З) ВНСМ, сопровождающееся их распадом (вплоть до полного разрушения), происходит с дискретными потерями топологического заряда (ТЗ) по одной единице, и, соответственно, потери энергии топологическим солитоном (ТС) также носят периодический характер.

Получены численно новые бризерные решения двумерной анизотропной О(З) ВНСМ, обладающие динамикой внутренней степени свободы и динамикой вращения в изотопическом пространстве.

Практическая значимость.

Исследование магнитно-упорядоченных структур имеет непреходящее значение с точки зрения их использования в различных областях микро- и нано- электроники, в том числе, в качестве элементов памяти. В настоящее время хорошо установлены нелинейные уравнения динамики намагниченности - это уравнение Ландау-Лифшица и ВНСМ. Создание пакета компьютерных программ для моделирования процессов в системах, описываемых подобными уравнениями, наталкивается на ряд принципиальных проблем, таких как появление сингулярностей на полюсах изосфе-ры и т.д. Разработанные в работе алгоритмы позволяют осуществить численное моделирование процессов динамики намагниченности в магнитных системах при наличии внешних управляющих факторов и могут найти применение при создании запоминающих устройств.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации представлены и докладывались на международных научных конференциях, школах и семинарах: Международная школа молодых ученых стран СНГ «Смежные проблемы физики и астрофизики частиц сверхвысоких энергий» (Душанбе, 2011); 8-я Международная конференция по компьютерному анализу проблем науки и технологии (Душанбе, ТНУ, 2011); Международная научная конференция «Современные проблемы математики и, ее приложения», посвященная 70-летию члена-корреспондента АН Республики Таджикистан Мухамадиева Э.М. (Душанбе, 2011); научный семинар - Института математики АН РТ (Душанбе, 2011); научный семинар «Актуальные задачи и первые результаты деятельности Международного научно-исследовательского центра Памир-Чакалтая» (Душанбе, АН РТ, 2011); 6-я Международная научно-техническая конференция «Информатизация процессов формирования открытых систем на основе СУБД, САПР, АСНИ и систем искусственного интеллекта» (Вологда, ВоГТУ, 2011); Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения — XXII» Современные методы теории краевых задач (Воронеж, ВГУ, 2011); Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, ВГУ, 2011); Международная молодёжная инновационная сессия

СНГ (Москва, 2010); Стажировка молодых учёных стран СНГ (ОИЯИ Дубна, 2010); Международная научная конференция «Современные проблемы физики» (Душанбе, АН РТ 2010); Международная научно-техническая конференция «Автоматизация и энергосбережение машиностроительного и металлургического производства, технология и надежность машин, приборов и оборудования» (Вологда, ВоГТУ, 2010), Международная научно-практическая конференция «Перспективы междисциплинарных высокогорных исследований природных систем с учетом астро-космических факторов» (Душанбе, АН РТ, 2010); Форум «Digital Youth of Central Asia» (Душанбе, 2009-2010); а также на семинарах Физико-технического института им. С.У. Умарова АН Республики Таджикистан (Душанбе, 2009-2011) и семинарах кафедры «Высшей математики и моделирования» Таджикского государственного университета права, бизнеса и политики (Худжанд, 2008-2009).

За созданные пакеты прикладных программ для моделирования нелинейных возбуждений в 0(3) ВНСМ автор был удостоен Диплома лауреата «Открытого конкурса молодёжных инновационных проектов в области гуманитарных, естественных и технических наук в государствах - участниках СНГ» (Москва, 8-10 декабря 2010 г.) и Сертификата об успешном прохождении предварительной экспертизы на базе ОАО Технопарк «Система-Саров» (Москва, 2010 г.).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 16 печатных работах, в том числе 4 в рецензируемых изданиях, также получены 5 Свидетельств о регистрации интеллектуального продукта в Государственном учреждении «Национальный патентно-информационный центр» Министерства экономического развития и торговли Республики Таджикистан.

Личный вклад соискателя.

Все представленные в диссертации результаты получены при непосредственном участии автора. В частности, разработка алгоритма моделирования эволюции локализованных решений уравнений теоретико-полевых моделей, общая постановка задач, физическая интерпретация, анализ точности и достоверности полученных результатов проводились диссертантом совместно с научным руководителем. Оптимизация алгоритма для случаев одномерной и двумерной О(З) ВНСМ: создания моделей эволюции движущихся локализованных одномерных бризерных и двумерных топологических решений, динамики их взаимодействий, процессов распада, визуализация и анализ изоспиновой динамики двумерных солитонных решений, а также все численные расчеты проведены автором самостоятельно.

Степень достоверности результатов.

Достоверность результатов основана на сходимости численной схемы для линейной задачи, а также на совпадении полученных расчетных данных тестовых задач с результатами других авторов в нелинейном случае. Во всех численных расчетах эволюционных задач велся контроль точности сохранения интегралов движения. В частности, относительные погрешности сохранения интеграла энергии не превышала ~ 10-5 -10-6 для одномерных моделей и « 1(Г3 - Ю-4 для двумерных моделей.

Реализация результатов исследования.

Разработанный в диссертационной работе комплекс прикладных программ для проведения математического моделирования нелинейных возбуждений в двумерных магнитных системах был признан лучшим (выдан Диплом [142] победителя конкурса) в этой области на конкурсе инновационных проектов СИГ в 2010 году, независимой российской экспертной комиссией — Федеральным государственным учреждением «Научно-исследовательский институт — республиканский исследовательский научно-консультационный центр экспертизы» (РИНКЦЭ) на базе Федерального реестра независимых экспертов научно-технической сферы. Разработанные программы были оценены с точки зрения возможности создания приборов и устройств обработки и хранения информации, отличающихся чрезвычайно высокой плотностью и скоростью обработки данных.

Методика исследования, теоретический и численный подход, реализованный в работе, успешно прошли предварительную экспертизу на базе ОАО Технопарк «Система-Саров» Российской Федерации в Москве 2010 году, с выдачей соответствующего Сертификата [141], а также приглашения в данный Технопарк для продолжения исследований в области проблем осуществления квантовых вычислений на основе многоуровневых квантовых элементов с применением теории обобщенных когерентных состояний.

Структура и объём диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка использованной литературы. Работа изложена на 141 страницах машинописного текста, содержит 76 рисунков. Список литературы включает 142 наименования.

Основные результаты диссертации опубликованы в печатных работах [81-86,110-112,119-124,135]; разработанные в диссертационной работе комплексы прикладных программ защищены Свидетельствами о регистрации интеллектуального продукта [136-140], а также отмечены Сертификатом [141] и Дипломом [142].

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Х.Х. Муминову за постоянную помощь и оказанное внимание к работе. Также автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность академику З.Дж. Усманову, профессорам З.Х. Рахмонову, И.Дж. Нурову, Т.Х. Салихову и М.К. Юнусову, доцентам И.Б. Бабаджанову и H.H. Степановой, коллективам Физико-технического института им. С.У. Умарова и Института математики АН Республики Таджикистан за внимательное обсуждение работы и ценные советы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработаны трехслойные разностные схемы второго порядка точности по времени и по координате для численного решения задачи Коши теоретико-полевых уравнений, в частности О(З) ВНСМ в одномерном и двумерном случаях, с использованием свойств стереографической проекции, позволяющие избежать сингулярности при численном моделировании.

2. Разработаны алгоритмы компьютерных программ и написаны программные коды, которые позволяют проводить численное моделирование эволюции локализованных решений теоретико-полевых моделей, в частности одномерной и двумерной О(З) ВНСМ.

3. Численными методами получены новые бризерные решения одномерной 0(3) ВНСМ, обладающие динамикой степени свободы составляющих бризера и вращением вектора АЗ-поля в изопространстве. Определена энергия связи составляющих бризерного решения, выявлен порог устойчивости численных бризерных решений в зависимости от частоты вращения вектора АЗ-поля в изопространстве и от скорости движения солитона, созданы численные модели эволюции различных видов взаимодействий полученных бризеров и проведен анализ динамики их взаимодействий.

4. Численными и аналитическими методами показана устойчивость ТС двумерной 0(3) ВНСМ.

5. Численными методами получены новые движущиеся ТС двумерной О(З) ВНСМ белавин-поляковского типа и показана их устойчивость в численных экспериментах в процессе эволюции при различных значениях ТЗ. В анизотропном случае изучена динамика упругого двухсолитонного и четырехсолитонного взаимодействий; численно выявлено свойство сохранение суммы ТЗ после распада взаимодействующих ТС на JIB; предложен численный метод определения ТЗ образовавшихся JIB вследствие распада ТС; получены модели динамики упругого взаимодействия ТС, отличающиеся от известных проявлением дальнодействующих сил; выявлен аналитический вид ТС, проявляющих свойство дальнодействия при встречном взаимодействии; численно показано свойство периодического излучения энергии в виде линейных волн, сопровождающееся дискретной потерей солитоном топологического заряда в процессе разрушения (аннигиляции) взаимодействующих ТС двумерной анизотропной О(З) ВНСМ.

6. Методами численного моделирования получены новые бризерные решения двумерной анизотропной О(З) ВНСМ, обладающие динамикой внутренней степени свободы и вращением вектора АЗ-поля в изопространстве.

1. Gell-Mann М., Levy М. The axial vector current in beta decay // Nuovo Cimento 16 (1960) 705-726.

2. Косевич A.M., Иванов Б.А., А.С.Ковалёв. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. — Киев: Наукова думка, 1983, 193с.

3. Skyrme T.H.R. A Non-Linear Field Theory. — London: Proceedings of the Royal Society Mathematical and Physical Sciences, Series A, (Feb. 7, 1961), Vol. 206, No. 1300, 127-138.

4. Kudryavtsev A., Piette В., Zakrjewsky W.J. Mesons, Baryons and Waves in the Baby Skyrmion Model. England, Durham: DH1 3LE - arXiv:hep-th/9611217vl, 26 NOV 1996, DTP-96/17.

5. Поляков A.M. Калибровочные поля и струны. — Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999, 312с.

6. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971,553 с.

7. Xin J.X. Modeling light bullets with the two-dimensional sine-Gordon equation // Physica D 135 (2000) 345-368.

8. Piette В., Zakrjewsky W.J. Metastable stationary solutions of the radial D-dimensional sine-Gordon model // Nonlinearity 11 (1998) 1103-1110.

9. Minzoni A.A., Smyth N.F., Worthy A.L. Evolution of two-dimensional standing and travelling breather solutions for the Sine-Gordon equation // Phys. D 189 (2004) 167-187.

10. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977, 622 с.

11. Лонгрен К., Скотт Э. Солитоны в действии. — М.: Мир, 1981, 312 с.

12. Маханьков В.Г. Солитоны и численный эксперимент // ФЭЧАЯ, 1983, т.14, вып.1, с.123-180.

13. Е.М. de Jager. On the Origin of the Korteweg-de Vries Equation // arXiv:math/0602661vl math.HO. 28 Feb 2006.

14. Додд Р., Эйлбек Д., Гиббон Д., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. -М.: Мир; 1988 г, 694с.

15. Кудряшов H.A. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. — Москва-Ижевск: ИКИ, 2004, 360 с.

16. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения. М.: Физматлит, 2002,432 с.

17. Рыскин Н.М., Трубецков Д.М. Нелинейные волны М.: Наука, 2000, 272 с.

18. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. — М.: Физматлит, 2001, 608 с.

19. Fermi Е., Pasta J., Ulam S. Studies of Nonlinear Problems // Document LA-1940 (May 1955), 491-502.

20. Маханьков В.Г., Рыбаков Ю.П., Санюк В.И. Модель Скирма и сильные взаимодействия // УФН, т. 162, №2, 1992, 1-61.

21. Кетов C.B. Введение в квантовую теорию струн и суперструн. — Новосибирск: Наука, 1990, 368 с.

22. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989, 324 с.

23. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи рассеяния. — М.: Мир, 1987, 480 с.

24. Дубровский В.Г. Элементарное введение в метод обратной задачи и теорию солитонов. Новосибирск: НГТУ, 1997, 88 с.

25. Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи М.: Наука, 1980, 319 с.

26. Переломов A.M. Решения типа инстантонов в киральных моделях // УФН, т. 134, вып. 4, 1981, с. 577-609.

27. Зотов A.B. Классические интегрируемые системы и их теоретико-полевые обобщения // ФЭЧАЯ, 2006, т.37, вып.З, с. 758-843.

28. Рыбников A.K. Теория связностей, преобразования Коула-Хопфа и потенциалы дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка//Известия вузов, №9 (544), 2007, с. 50-70.

29. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. — М.: Физматлит, 2001, 320 с.

30. Коткин Г.Л., Черкасский B.C. Компьютерное моделирование физических процессов с использованием MATLAB. — Новосибирск: НГУ, 2001, 173 с.

31. Пайерлс Р. Построение физических моделей // УФН, т. 140, вып. 2, 1983 г., стр. 315-332.

32. Самарский A.A. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1977, 657 с.

33. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1977, 592 с.

34. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989, 432 с.

35. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Устойчивость трехслойных проек-ционно-разностных схем // Математическое моделирование, т.8, № 9, с. 74-84.

36. Гулин A.B. Необходимые и достаточные условия устойчивости трехслойных разностных схем //ЖВМ и МФ, 1968, т.8,№4, с. 899-902.

37. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. -М.: Мир, 1972, 420 с.

38. Сегерлинд J1. Применение метода конечных элементов. Под ред. Победри Б.Е. М.: Мир, 1979, 393 с.

39. Шеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Мир, 1978, 462 с.

40. Боголюбский И.Л., Маханьков В.Г. О времени жизни пульсирующих солитонов в некоторых классических моделях // ЖЭТФ, 1976, том 24, вып. 1, с. 15-18.

41. Боголюбский И.Л., Маханьков В.Г. Динамика сферически-симметричных пульсонов большой амплитуды // ЖЭТФ, 1977, том 25, вып. 2, с.120-123.

42. Катышев Ю.В., Маханьков В.Г. О свойствах классических солитонов в некоторых моделях теории поля // Труды Международного совещания по программированию и математическим методам решения физических задач. ОИЯИ Дубна, 1977 г., с. 38-42.

43. Bogolyubsky I.L., Zhidkov Е.Р., Katyshev Yu.V., Makhankov V.G., Rastorguev A.A. Relativistic Soliton Stability in a Classical (p4 Field Theory // ЛЖ-Р2-9673. Apr 1976, 21 pp.

44. Боголюбский И.Л. Осциллирующие частицеподобные решения нелинейного уравнения Клейна-Гордона // Письма в ЖЭТФ. 1976. Т.24, вып. 10, с. 579-583.

45. Боголюбский И.Л. Сравнительный анализ устойчивости одномерных и сферически-симметричных солитонов скалярного поля с самодействие J^ // ТМФ 43, 1980, с. 378-385.

46. Bogolubskaya А.А., Bogolubsky I.L. 2D Topological solitons in the gauged easy-axis Heisenberg antiferromagnet model // Phys.Lett. B395 (1967) 269.

47. Bogolubsky I.L. Three-dimensional Topological solitons in the Lattice model of a magnet with competing interactions // Phys. Lett A126 (1988) 511-514.

48. Muminov Kh.Kh., Fedyanin V.K. Magnetoelastic Interaction in the Heisenberg Magnet Model // Phys. Scrip., vol. 62, 23-30, 2000.

49. Николаев В.А. Модель Скирма: нуклоны, дибарионы, ядра // ФЭЧАЯ, т. 20, вып. 2, 1989, 401-439.

50. Маханьков В.Г., Швачка А.Б. Численное исследование свойства неодномерных солитоноподобных объектов // Труды Международного совещания по проблемам математического моделирования в ядерно-физических исследованиях. — ОИЯИ Дубна, 1981, с. 94-102.

51. Ковалев A.C., Косевич A.M., Маслов К.В. Магнитный вихрь — топологический солитон в ферромагнетике с анизотропией типа легкая ось // Письма в ЖЭТФ, т. 30, вып. 6, 1979, с. 321-324.

52. Воронов В.П., Косевич A.M. Двумерные солитоны-магнитные вихри в одноосном антиферромагнетике // ЖЭТФ, 90, (1986), с. 2145-2151.

53. Косевич A.M., Ковалев A.C. Самолокализация колебаний в одномерной ангармонической цепочке //ЖЭТФ 67, (1974), с. 1793-1804.

54. Kosevich A.M., Ivanov В.А. Kovalev A.S. Magnetic solitons // Phys. Rep. v. 194 117, 1990.

55. Иванов Б.А. Стабильные топологические солитоны (вихри) в двумерных антиферромагнетиках во внешнем поле // Письма в ЖЭТФ, т. 58, вып. 5, 1993, с. 381-384.

56. Иванов Б.А., Стефанович В.А. О двумерных топологических солито-нах малого радиуса в магнитных солитонах // ЖЭТФ, 91 (1986), с. 638-648

57. Жмудский A.A., Иванов Б.А. О структуре и устойчивости двумерных динамических солитонов в ферромагнетиках // Письма в ЖЭТФ, т. 65, вып. 12, 1997, с. 899-903.

58. Рыбаков Ю.П., Фомин М.Б. Моделирование взаимодействия топологических солитонов // Вестник РУДН, С. Физика, №12,2004, с. 41-49.

59. Рыбаков Ю.П., Бенавенте Э.Р. Аксиально-симметричные конфигурации в калибровочной модели Скирма // Вестник РУДН, С. Физика, №9, вып. 1,2001, с. 17-19.

60. Рыбаков Ю.П. Космические киральные вихри // ФЭЧАЯ, т. 41, вып. 1, 1980, с. 181-196.

61. Кожевников И.Р., Рыбаков Ю.П., Фомин М.Б. Структура топологических солитонов в модели Скирма//ТМФ, т.75, №3,1988, с. 353-360.

62. Frishman Y., Lukierski J., Zakrzewski W.J. Quantum group a-models // arXiv:hep-th/9204086v 1 27 Apr 1992.

63. Kudryavtsev A., Piette В., Zakrjewsky W.J. Metastable Breather in the Baby Skyrmion Model // arXiv:hep-th/9611217vl, 1996, DTP-96/17.

64. Kudryavtsev A., Piette B.M.A.G., Zakrjewsky W.J. Skyrmions and domain walls in (2+1) dimensions // arXiv:hep-th/9709187vl 26 Sep 1997, DTP-97/25 February 1, 2008.

65. Piette B.M.A.G., Schroers B.J., Zakrjewsky W.J. Dynamics of baby Skyrmion //Nuclear Physics В 439 (1995) 205-235.

66. Piette В., Zakrzewski W.J. Localized Solutions in a 2 Dimensional Landau-Lifshitz Model // arXiv:hep-th/9611183vl 22 Nov 1996, DTP-96/47, February 1, 2008.

67. Belov N.A., Leznov A.N. Zakrzewski W.J. On the solutions of the anisotropic Heisenberg equation //J. Phys. A: Math. Gen. 27 (1994) 5607-5621.

68. Белова Т.И., Кудрявцев A.E. Солитоны и их взаимодействия в классической теории поля // УФН, т. 167, №4, 1997, с. 377-406.о ,

69. Burzlaff J., Zakrzewski W.J. CP soliton scattering: simulations and mathematical underpinning //Nonlinearity 9 (1996) 1317-1324.

70. Копелиович В.Б., Штерн Б.Е. Экзотические скирмионы // Письма в ЖЭТФ, т. 45, вып. 4, 1987, с. 165-168.

71. Smyth N.F., Worthy A.L. Soliton evolution and radiation loss for the sine-Gordon equation // Phys. Rev. E60 (1999) 2330-2336.

72. Minzoni A.A., Smyth N.F., Worthy A.L. Pulse evolution for a two-dimensional Sine-Gordon equation // Phys. D 159 (2001) 101-123.

73. Окли Д., Капитанский JI., Спейт Дж.М. Геометрия и анализ в нелинейных сигма-моделях // Алгебра и анализ, т.18, №1, 2006, с. 3-33.

74. Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. Пер. с англ. М.: Мир, 1985, 416 с.

75. Петрашень М.И., Трифонов Е.Д. Применение теории групп в квантовой механике. М.: Эдиториал УРСС, 2000 г., 280 с.

76. Цвелик А.М. Квантовая теория поля в физике конденсированного состояния. Пер. с англ. М.: Физматлит, 2004, 320 с.

77. Эриксон Т., Вайзе В. Пионы и ядра. Пер. с англ. под ред. Шапиро И.С. М.: Наука, 1991, 508 с.

78. Вигман П.Б. Точное решение О(З) нелинейной а-модели в двух измерениях // Письма в ЖЭТФ, т. 41, вып. 2, 1985, с. 79-83.

79. Иванов Г.Г. Симметрии, законы сохранения и точные решения в нелинейной сигма-модели // ТМФ, т. 57, №1, 1983, с. 45-54.

80. Муминов Х.Х., Чистяков Д.Ю. Новый тип бионных возбуждений в модели классического антиферромагнетика Гейзенберга // Докл. АН Республики Таджикистан, 2004, т. ХЬУП, №9-10, с. 45-50.

81. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Пороги устойчивости новых одномерных бризерных решений нелинейной сигма-модели теории поля // Докл. АН Республики Таджикистан, 2010, т.53, №8, с. 606 611.

82. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Динамика взаимодействий новых одномерных бризерных решений О(З) векторной нелинейной сигмамодели и бризеров уравнения синус-Гордона // Докл. АН Республики Таджикистан, 2011, т.54, №1, с. 35 -41.

83. Калиткин Н.Н. Численные методы. Под ред. Самарского А.А. М.: Наука, 1978,512 с.

84. Розенфельд Б.А., Сергеева Н. Д. Стереографическая проекция. Серия «Популярные лекции по математике», вып. 53. М.: Наука, 1973, 48 с.

85. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. М.: Наука, 1986, 760 с.

86. Бабенко К.И. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. — М.: Наука, 1979, 296 с.

87. Болтянский В.Г., Дынкин Е.Б., Постникова М.М. Расслоенные пространства и их приложения.-М.: Иностранная литература, 1958, 460 с.

88. Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. М.: Мир, 1972, 279 с.

89. Сарданашвили Г.А. Геометрия и классическая механика. Современные методы теории поля. Т.2. — М.: УРСС, 1998 г., 168 с.

90. Бартеньев О.В. Современный Фортран,—М.: Диалог-Мифи, 2000, 449 с.

91. Skyrme T.H.R., Perring J.K. A Model Unified Field Equation // Nucl. Phys. 1962. V. 31. P. 550.

92. Моффатт К. Вихревая динамика: наследие Гельмгольца и Кельвина. // Нелинейная динамика, 2006, т. 2, №4, с. 401-410.

93. Skyrme T.H.R. Nonlinear Theory of Strong Interactions // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1958. V. 247, pp. 260-278.

94. Skyrme T.H.R. Particle states of a quantized meson field // Proc. Roy. Soc. Lond. A262 (1961) 237-245.

95. Finkelstein D., Misner C.W. Some new conservation laws // Annals of Physics 6, (1959) 230-243.

96. ЮО.Хейне В. Теория групп в квантовой механике. Под ред. В.Я. Файнберга. М.: Иностранная литература, 1963, 524 с.

97. Zhang P.M., Lee X.G. Topological objects in the О(З) nonlinear sigma model // Modern Physics Letters A, Vol. 22, No. 31 (2007) 2379-2386.

98. Евтихиев H.H. О некоторых характерных свойствах топологических солитонов // ТМФ, т. 45, №1, 1980, с. 142-144.

99. Борисов А.Б., Зыков С.А., Микушина Н.А., Москвин А.С. Вихри и магнитные структуры типа «мишени» в двумерном ферромагнетике с анизотропным обменным взаимодействием // Физика твердого тела, 2002 г., т. 44, вып. 2., с. 312-320.

100. Елеонский В.М., Кирова Н.Н., Кулагин Н.Е. О магнитных солитонах распространяющихся вдоль оси анизотропии // Письма в ЖЭТФ, т. 29, вып. 10, 1979, с. 601-605.

101. Ю5.Ребби К. Солитоны // УФН, т. 130, вып. 2, 1980 г., с. 329-356. Юб.Райдер JI. Квантовая теория поля. Волгоград: Издательство

102. Платон», 1998 г., 512 с. 107.Шварц А.С. Квантовая теория поля и топология. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1989, 400 с.

103. ЮБ.Муминов Х.Х. О существовании и устойчивости двумерных топологических солитонов в модели изотропного классического антиферромагнетика Гейзенберга // Докл. АН Республики Таджикистан, 2002 г, т. XLV, №10, с. 21-27.

104. Белавин A.A., Поляков A.M. Метастабильные состояния двумерного изотропного ферромагнетика//ЖЭТФ, 1975, 22(10), с. 503-506.

105. Ю.МуминовХ.Х., Шокиров Ф.Ш. Динамика взаимодействий двумерных топологических солитонов в 0(3) нелинейной векторной сигма-модели//Докл. АН Республики Таджикистан, 2010, т.53,№9, с. 679-684.

106. ПЗ.Муминов Х.Х. Многомерные динамические топологические солитоны в нелинейной анизотропной сигма-модели // Докл. АН Республики Таджикистан, т. XLV, №10, 2002 г., с. 28-36.

107. Derrick G.H. Comments on Nonlinear Wave Equations as Models for Elementary Particles//J. Math. Phys. 5 (1964), 1252-1254.

108. Bogolubskaya A.A., Bogolubsky I.L. Stationary topological solitons in the two-dimensional anisotropic Heisenberg model with a Skyrme term // Phys.Lett. A136 (1989) 485.lló.Leese R.A. Q lumps and their interactions // Nucí. Phys. B366 (1991) 283-314.

109. Курик M.B., Лаврентович О.Д. Дефекты в жидких кристаллах: гомотопическая теория и экспериментальные исследования // УФН, том 154, вып. 3, 1988 г., с. 381-431.

110. Komineas S., Papanicolaou N. Vortex dynamics in 2D antiferromagnets // arXiv:cond-mat/9612043vl cond-mat.str-el. 4 Dec 1996.

111. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Взаимодействие и распад двумерных топологических солитонов О(З) векторной нелинейной сигма-модели // Докл. АН Республики Таджикистан, 2011, т.54, №2, с. 110-114.

112. Christiansen P.L. Oscillations of Eccentric Puisons // Physica Scripta. Vol. 55, 1997, 131-134.

113. Браун O.M., Кившарь Ю.С. Модель Френкеля-Конторовой: концепции, методы, приложения. — М.: Физматлит, 2008, 536 с.

114. Зельдович Я.Б., Кобзарев И.Ю., Окунь Л.Б. Космологические следствия спонтанного нарушения дискретной симметрии // ЖЭТФ 1974, т. 67, с. 3-31.

115. Воронов Н.А., Кобзарев И.Ю., Конюхова Н.Б. О возможности существования мезонов нового типа // Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 22, вып. 11, с. 590-594.

116. Christiansen P.L., Olsen О.Н. Ring-shaped quasi-soliton solutions to the two- and three-dimensional sine-Gordon équation // Phys. Scr. 20, 1979, 531-538.

117. Christiansen P.L., Olsen O.H. Return effect for rotationally symmetric solitary wave solutions to the sine-Gordon equation // Phys. Scr. A 68, 1978, 185-188.

118. Samuelsen M.R. Approximate rotationally symmetric solutions to the sine-Gordon equation // Phys. Lett. A 74, 1979, 21-22.

119. Christiansen P.L., Lomdahl P. Numerical study of 2 + 1 dimensional sine-Gordon solitons // Physica D 2, 1981, 482-494.

120. Geicke J. Cylindrical puisons in nonlinear relativistic wave equations // Physica Scripta A 29(5), 1984, 431-434.

121. МО.Шокиров Ф.Ш. Пакет компьютерных программ для нахождения энергии связи новых одномерных бризерных решений О(З) нелинейной сигма-модели непертурбативной квантовой теории поля. Свидетельство о регистрации интеллектуального продукта, 0267Т1

122. Шокиров Ф.Ш. Исследование теоретических основ квантовых вычислений в многоуровневых системах на базе техники когерентных состояний. Сертификат №5 об успешном прохождении предварительной экспертизы на базе ОАО Технопарк «Система-Саров». Москва, 2010 г.