автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численные методы поиска солитонных решений многомерных нелинейных дифференциальных уравнений и систем

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

0

На правах рукописи

Лапонин Владислав Сергеевич

Численные методы поиска солитонных решений многомерных нелинейных дифференциальных уравнений и систем

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1 О ОКТ 2013

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2013г. 005534655

005534655

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико - математических наук, ведущий научный сотрудник лаборатории математического моделирования в физике факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В. Ломоносова Савенкова Надежда Петровна.

Официальные оппоненты:

доктор физико — математических наук, ведущий научный сотрудник

государственного научного центра Российской Федерации Троицкого института

инновационных и термоядерных

исследований Высикайло Филипп Иванович,

Ведущая организация:

кандидат физико - математических наук, доцент кафедры автоматизации научных исследований факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В. Ломоносова Смирнов Александр Павлович.

Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша Российской академии наук.

Защита состоится 30 октября 2013 года в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ломоносовский проспект, 27.

Автореферат разослан сени, я Цл 2013г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.43 й ,

доктор физико-математических наук, профессор Е.В. Захаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Настоящая работа посвящена разработке численных методов для поиска солитонных решений в различных многомерных нелинейных дифференциальных уравнениях и системах.

Актуальность диссертации

Уединенные волны, обычно называемые солитонами, служат объектом интенсивных теоретических и экспериментальных исследований во многих областях науки. Например, в гидродинамике, нелинейной оптике, физике плазмы, биологии и медицине.

Солитоны можно использовать для передачи информации, где основная идея состоит в использовании солитона в каждом битовом интервале для представления единицы в потоке двоичных сигналов. В эксперименте 1988 года использовалась волоконнооптическая петля длиной 42 км, которая позволяла передавать солитоны на 4 ООО км. Этот эксперимент впервые продемонстрировал, что солитоны принципиально возможно передавать на трансокеанские расстояния.

В последние годы в связи с развитием оптических вычислительных систем стало активно развиваться математическое моделирование распространения лазерных фемтосекундных импульсов в нелинейных средах. В настоящее время лазерное излучение позволяет реализовать так называемые цветные солитоны, когда на нескольких частотах одновременно существуют и распространяются вместе оптические волны вдоль нелинейной среды. Эволюция этих солитонов описывается системами связанных уравнений Шредингера. Интерес к таким солитонам в литературе постоянно сохраняется в связи с многочисленными потенциальными приложениями их в задачах передачи информации оптическими методами. Выполненные экспериментальные исследования, по наблюдению солитонов в различных лабораториях, показали возможность практической реализации солитонов данного типа.

Актуальным направлением исследования солитонов является изучение конденсата Бозе-Эйнштейна. Конденсат Бозе-Эйнштейна -агрегатное состояние вещества, основу которого составляют бозоны, охлаждённые до температур, близких к абсолютному нулю. В таком сильно охлаждённом состоянии достаточно большое число атомов оказывается в своих минимально возможных квантовых состояниях, и квантовые эффекты начинают проявляться на макроскопическом уровне. Конденсат Бозе-Эйнштейна теоретически был предсказан как следствие из законов квантовой механики Альбертом Эйнштейном на основе работ Шатьендраната Бозе в 1925 году. И только в 1995 году, первый Бозе-

Эйнштейновский конденсат был получен в Объединённом институте лабораторной астрофизики (JILA) Эриком Корнеллом и Карлом Виманом, за что они в 2001 г. были удостоены Нобелевской премии по физике. Ввиду, аналогичности уравнения Гросса-Питаевского в теории Бозе-Эйнпггейновского конденсата и нелинейного уравнения Шредингера в нелинейной оптике, многие явления, предсказанные и описанные в нелинейной оптике, можно ожидать и в макроскопических квантовых состояниях конденсата Бозе-Эйнштейна, несмотря на кардинальные различия физических систем.

При исследовании формирования и динамики развития солитонов различной физической природы математическое моделирование является одним из наиболее актуальных инструментов исследований. Поэтому так важно развивать направление по разработке численных методов нахождения солитонных решений различных мод в многомерных нелинейных дифференциальных уравнениях и системах и получать высокоточные численные решения с помощью этих методов на параллельных вычислительных системах.

Цель работы

Целью настоящей диссертационной работы является разработка численных методов поиска солитонных решений нелинейных многомерных дифференциальных уравнений и систем, отвечающим следующим требованиям:

• слабая зависимость от вида нелинейности,

• отсутствие необходимости построения специального начального приближения,

• простота в реализации алгоритма с возможностью переноса на параллельные вычислительные системы,

• применимость к многомерным задачам и системам,

• возможность построения области значений управляющих параметров, в которой существуют солитонные решения.

Положения, выносимые на защиту

1. Разработаны два новых итерационных метода поиска солитонных решений, гарантирующих сходимость итерационного процесса в случае существования солитонного решения и слабо зависящих от вида начального приближения. Исследовано применение этих методов к нахождению решений солитонного вида в многомерных нелинейных уравнениях.

2. Численно исследовано взаимодействие конденсата Бозе-Эйнштейна с препятствием на плоскости и найдены области существования основного и отраженного солитонов в двухмерном пространстве управляющих параметров.

3. На основе разработанных методов численно получено основное и отраженное солитонное решение в трехмерном уравнении Гросса-Питаевского и проведена визуализация динамики этих решений во времени на параллельных вычислительных системах.

Научная новизна работы

В настоящей диссертационной работе предлагаются два новых итерационных метода нахождения солитонных решений в различных многомерных нелинейных дифференциальных уравнениях и системах. С помощью этих методов производится поиск солитонных решений в одномерных задачах, имеющих аналитические решения, что позволяет сделать сравнение с ними численных результатов. Предлагаемые методы были применены к поиску солитонных решений уравнений Кортевега-де Фриза, вт-Гордона, нелинейного уравнения Шредингера с кубической нелинейностью и к задаче распространения фемтосекундных импульсов в среде с кубической нелинейностью. При помощи разработанных в диссертации численных методов было исследовано существование солитонных решений в зависимости от значений управляющих параметров. После успешного применения методов к одномерным задачам, методы были применены к решению задачи взаимодействия конденсата Бозе-Эйнштейна с внешним потенциалом, которая описывается двухмерным уравнением Гросса-Питаевского. При этом проводилось сравнение численных результатов с результатами, полученными другими авторами и с аналитическими решениями. Благодаря применению параллельных вычислительных систем, была построена двухмерная область значений управляющих параметров, в которой существуют как основные солитонные решения, так и отраженные. В диссертации впервые получено численное решение солитонного вида трехмерного уравнения Гросса-Питаевского. Новые численные методы позволили получить для трехмерного уравнения Гросса-Питаевского основное солитонное решение и отраженное, а также была исследована динамика полученных решений во времени. Итерационные методы были успешно применены к задаче распространения оптического излучения в среде с кубичной нелинейностью в аксиально-симметричном случае, которая описывается двухмерной системой нелинейных уравнений Шредингера.

Теоретическая и практическая значимость

Работа имеет как теоретическую, так и практическую значимость. Теоретическая значимость заключается в получении двух новых численных методов поиска солитонных решений многомерных нелинейных дифференциальных уравнений и систем, которые по стандартной схеме могут применяться к различным видам нелинейности дифференциального оператора.

Практическая значимость состоит в возможности применения разработанного программного комплекса для решения конкретных

прикладных задач в различных областях науки таких как: гидродинамика (моделирование волн-убийц, цунами), биология, медицина (офтальмология, кардиология), физика (нелинейная оптика, моделирование оптических компьютеров, квантовая механика, сверхтекучесть).

Апробация работы

Результаты работы докладывались на научно-исследовательских семинарах кафедры, а также на всероссийских и международных конференциях:

1. "Математика. Компьютер. Образование": XVII международная конференция, 2010.

2. XVIII Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики», посвященная памяти К.И. Бабенко, Абрау-Дюрсо, 2010.

3. "Математика. Компьютер. Образование": XVIII международная конференция, 2011.

4. "Математика. Компьютер. Образование": XIX международная конференция, 2012.

5. "Ломоносовские чтения", Москва, МГУ, 2012, секция вычислительной математики и кибернетики.

6. "Тихоновские чтения", Москва, МГУ, секция вычислительной математики и кибернетики, 2012.

7. "Математика. Компьютер. Образование": XIX международная конференция, 2013.

8. "Ломоносовские чтения", Москва, МГУ, 2013, секция вычислительной математики и кибернетики.

9. XIV Всероссийская школа-семинар "Физика и применение микроволн", Красновидово, 2013, секция нелинейной динамики и информационных систем.

Личный вклад автора

Личный вклад автора состоит в разработке и исследовании представленных в диссертации двух новых численных методов поиска решений солитонного вида нелинейных многомерных дифференциальных уравнений и систем, с помощью которых им были решены несколько прикладных задач, которые описывались двухмерным и трехмерным уравнениями Гросса-Питаевского, а так же двухмерной нелинейной системой уравнений Шредингера. Разработанный автором программный комплекс реализаций предлагаемых численных методов на параллельных вычислительных системах, позволил впервые провести визуализацию динамики основного и отраженного солитонных решений во времени.

Основные результаты, изложенные в диссертационной работе, были впервые получены автором. Постановка и ход научных исследований осуществлялись под руководством д.ф. - м.н. Савенковой Надежды Петровны. Основное содержание диссертационной работы и её

результатов полностью отражено в 12 научных публикациях автора. В материалах совместных публикаций личный вклад автора является определяющим.

Публикации

Положения диссертации отражены в 12 публикациях автора, 3 из которых в изданиях, рекомендованных ВАК [1-3].

Структура работы

Диссертация состоит из титульного листа, оглавления, введения, трёх глав, заключения и списка литературы (95 наименований). Объём диссертации -110 страниц.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю в.н.с. д.ф. - м.н. Савенковой Надежде Петровне за поддержку и постоянную помощь в работе и профессору Трофимову Вячеславу Анатольевичу за постановку прикладных задач.

Краткое содержание работы

Во введении дается постановка задачи, приводится обзор литературы по теоретическому и численному исследованию различных нелинейных дифференциальных уравнений и систем, описывающих физические процессы, в которых наблюдаются как обычные решения в виде нелинейных волн, так и солитоны. Приводятся экспериментальные данные по открытию различных видов солитонов. Также дается обзор работы по главам и формулируются основные результаты диссертационной работы.

В первой главе проводится численное исследование сходимости предлагаемых итерационных методов. Иллюстрируется применение методов к одномерным нелинейным дифференциальным уравнениям, имеющим аналитические решения, таким, как уравнение Кортевега-де Фриза, уравнение эт-Гордона, а также к нелинейному уравнению Шредингера с кубической нелинейностью и задаче распространения фемтосекундных импульсов в среде с кубической нелинейностью. Приводятся методические рекомендации по реализации методов М1 и М2.

В параграфе 1.1 исследуется применение нового итерационного метода М1 к одномерным нелинейным дифференциальным уравнениям таким, как уравнение Кортевега-де Фриза, уравнение эт-Гордона, нелинейное уравнение Шредингера с кубической нелинейностью и задача распространения фемтосекундных импульсов в среде с кубической нелинейностью. Представлены сравнения численных решений с известными аналитическими решениями, а также приведены таблицы с невязками, абсолютными погрешностями в различных нормах. Ниже в

таблице 1 приведены результаты сравнения полученных численных решений уравнения Кортевега-де Фриза с аналитическим решением на сгущающихся сетках.

Таблица 1.

<Рс Ч>1 V

N = 200 9-Ю"4 5-Ю"3 4 -10~3

N = 400 4-Ю"4 2-Ю"3 2-Ю"3

N = 800 2-10^ 9-Ю"4 9-Ю'4

N = 1600 8-Ю'5 4-Ю"4 4-Ю"4

где <рс =так\иа^,х)-ипип |, <рь = ¡\итЦ,х)-ит„\2 сЬс, у/ -невязка.

-I

В параграфе 1.2 исследуется применение итерационного метода М2 к одномерным нелинейным дифференциальным уравнениям таким, как уравнение Кортевега-де Фриза, уравнение БШ-Гордона, нелинейное уравнение Шредингера с кубической нелинейностью и задача распространения фемтосекундных импульсов в среде с кубической нелинейностью. Представлены сравнения численных результатов с аналитическими решениями, а также приведены таблицы с невязками, абсолютными погрешностями в различных нормах. В таблице 2 приведены результаты сравнения полученных численных решений уравнения вт-Гордона с аналитическим решением на сгущающихся сетках, где <рс, <рь, у/ вычисляются аналогичным образом.

Таблица 2.

<Рс <Р1. ¥

N = 200 З-Ю"3 7-Ю"3 9-Ю"3

N" = 400 7-Ю"4 4-Ю"3 5-Ю"3

N = 800 5-Ю"4 2-Ю"3 2-Ю"3

N = 1600 3-Ю"4 1-Ю"3 1-Ю"3

Во второй главе численно исследуется взаимодействие конденсата Бозе-Эйнштейна с препятствием. В основе математической постановки задачи распространения Бозе-Эйнштейновского конденсата находится двухмерное уравнение Гросса-Питаевского, учитывающее эффекты межчастичного взаимодействия посредством эффективного среднего поля. Также исследуется существование солитонных решений в зависимости от управляющих параметров.

В параграфе 2.1 численно исследуется двухмерное уравнение Гросса-Питаевского, описывающее взаимодействие конденсата Бозе-Эйнштейна с внешним потенциалом (препятствием)

2т

к

,2

д^О, х, у) + х, у)и{(, х, у) +

+№?„1 и(Г,х,_у)|2 иЦ,х,у), -оо<х,.у<+оо, 1>0, и(?,±<х>,у) = и(?,х,±ао) = 0, и(/ = 0,х,.у) = и0,

где

х,у - пространственные координаты, / - время,

иЦ,х,у) - комплексная макроскопическая волновая функция в приближении среднего поля, т - масса атома, Й - постоянная Планка,

N - число атомов в конденсате в выбранной области, В0 - параметр, описывающий взаимодействие между атомами, который имеет вид В0 = 4тгН2а / /я, где а - управляющий параметр (пропорционален длине рассеяния 5 - волны), который положителен для отражения и отрицательный для притяжения.

У((,х,у) - пространственно-временной потенциал внешних сил, действующих на конденсат (например, удерживающий потенциал ловушки) или потенциал, возникающий в связи с наличием препятствием внутри конденсата. К0 - амплитуда потенциала.

В результате применения итерационного метода М1, было получено основное и отраженное солитонные решения, изображенные на рис. 1, и исследована динамика солитонов во времени.

А также найдена область значений управляющих параметров, в которой существуют солитонные решения, которая изображена на рис. 2. Из рис. 2 видно, что отраженное солитонное решение начинает формироваться раньше, чем основное солитонное решение. В области 1

Рис. 1. Основное солитонное решение (справа), отраженное солитонное решение (слева).

существуют отраженные солитоны различных мод, а в области 2 существуют основные солитонные решения различных мод.

а

. - зо

--Э0

Рис. 2. Области значений управляющих параметров a,t.

В параграфе 2.2 численно исследуется трехмерное уравнение Гросса-Питаевского, описывающее взаимодействие конденсата Бозе-Эйнштейна с внешним потенциалом (препятствием)

Й2 Й2 ihd¡u(t,x,y,z) = -—dxxu(t,x,y,z)-—du(t,x,y,z)-2т 2т >г

h1

-—~d..u{t, х, у, z) + V0V(t, х, у, z)u(t, х, у, z) + 2т

+NB0\u(t,x,y,z)\2 u(t,x,y,z), -cc<x,y,z<+co, t> 0,

U{t, ±00, y,z) = u(t, x, ±oo, z) = u(t, x, y, ±oo) = 0, u(t = 0, x, y, z) = u°,

где

x,y,z - пространственные координаты, t - время,

u(t,x,y,z) - комплексная макроскопическая волновая функция в приближении среднего поля, т - масса атома, h - постоянная Планка,

N - число атомов в конденсате в выбранной области, В0 - параметр, описывающий взаимодействие между атомами, который имеет вид В0 = Алк2 а 1т, где а - управляющий параметр (пропорционален длине рассеяния s - волны). Если а> 0, то взаимодействие между частицами конденсата отталкивающее, а если а < 0, то взаимодействие притягивающее,

V{t,x,y,z) - пространственно-временной потенциал внешних сил, действующих на конденсат (например, удерживающий потенциал

ловушки) или потенциал, возникающий в связи с наличием препятствия

внутри конденсата,

У0 - амплитуда потенциала.

В результате применения итерационного метода М1, получены, как основное солитонное решение, изображенное на рис. 3, так и отраженное решение солитонного вида. Благодаря эффективной реализации итерационного метода М1 на параллельных вычислительных системах, была исследована динамика полученных численных решений во времени.

Рис. 3. Основное солитонное решение в плоскостях ОХУ, OYZ

соответственно.

В третьей главе исследуются связные уравнения Шредингера. Проводится применение численных методов М1 и М2 к изучению существования солитонных решений в двухмерной системе нелинейных уравнений Шредингера.

В параграфе 3.1 приводится математическая постановка задачи в случае двух импульсов с различными несущими частотами, распространяющихся вдоль направления 2 в одномодовом световоде. Полное оптическое поле в любой точке внутри световода можно записать как

- щг) + А2 ехр(/Д,02 - /ю20)}.

где

х — единичный вектор поляризации,

Р(Х,У) — пространственное распределение поля моды,

о\, сог- несущие частоты двух импульсов,

Р]й - член нулевого порядка в разложении Тейлора постоянной распространения Р^со) (у = 1,2):

/?,(©) = Р]0 + (ю-ю,.)/*,-, + ...,

^ У (0=0) }

Медленно меняющиеся огибающие импульсов А, и Аг удовлетворяют следующей системе двух уравнений:

п2а>.

где у, =-- - нелинейный параметр, Л5 - площадь сердцевины.

сА5

В параграфе 3.2 исследуется задача распространения оптического излучения в среде с кубичной нелинейностью в аксиально-симметричном случае, которая описывается следующей системой нелинейных уравнений Шредингера

г)А — д2 А

— + iDA А + Ю, + iyA'Be-'Ak: + ia.A{| Л |2 +21512) = О, (72 5/

- ^ + Д,Л + V— + /Д ^ + iyA2e'M: + ia2B{2 \А |2 +1В |2) = О, 8z 2 8t 8t 2

0 <r<R, О <t<T, О <z<Z, а2 = 2а, = 2а,

где

A(z,r,t), B(z,r,t) - комплексные амплитуды гармоник, нормированные на квадратный корень из максимальной интенсивности первой гармоники на входе в среды (z = 0),

z - нормированная на длину пучка основной волны продольная координата,

г - безразмерная координата,

t - безразмерное время в сопровождающей импульс основной волны системе координат,

Аг = ——[ г—I - оператор Лапласа по координате г, г 8r\ дг J

1 дк.

D = —-—— — коэффициенты, характеризующие дисперсию второго 2 dcOj

порядка j = 1,2,

D - коэффициент, характеризующий дифракцию (в выбранной нормировке D = 1),

kj,ct}j — волновое число и частота волны соответственно j = 1,2, у — коэффициент нелинейной связи взаимодействующих волн, Ак = к2- 2кх - безразмерная расстройка волновых чисел, a j - коэффициенты самовоздействия волн j = 1,2,

v - параметр, пропорциональный разности обратных величин групповых скоростей волн второй гармоники и основной частоты (далее рассматривается случай когда v - 0), Z - безразмерная длина нелинейной среды, R - поперечный размер нелинейной среды,

Т - безразмерное время, в течение которого анализируется рассматриваемый процесс.

На входе в нелинейную среду задается распределение импульса: A(t,r,z = 0) = A°(t,r), 0 <1<Т,

B(t,r,z = 0) = B°(t,r), 0 <r<R. Граничные условия имеют вид:

лЦг=о, Г—и=о, ^и=о, дг

дг

Также рассматривается частный случай двухчастотного взаимодействия, когда амплитуда второй гармоники тождественно равна нулю (5 = 0). Распространение фемтосекундного импульса в среде с кубической нелинейностью описывается в этом случае безразмерным нелинейным уравнением Шредингера для комплексной амплитуды А:

— + ЮА А + + га А \А\2=0,

5г ' д12

А((,г,г = 0) = А°(1,г), 0 <*<7\ 0 <г<Я, ял

^Цг=0, г^и=0, А\гтЯ= 0. дг

На рис. 4, 5 приведены результаты применения итерационного метода М1 к исходной системе.

Рис. 4. Форма двухчастотного солитонного решения исходной системы на основной частоте для £>, =0.08, Ц =0.14, ¿3 = 0.1, а =5, у = 20.

Рис. 5. Форма двухчастотного солитонного решения исходной системы на удвоенной частоте для Ц = 0.08, Д = 0.14, 0 = 0.1, а = 5, / = 20.

Случай, когда амплитуда второй гармоники тождественно равна нулю (В = 0) был исследован с помощью итерационного метода М2, результат изображен на рис. 6.

Рис. 6. Форма одночастотного солитонного решения исходной системы уравнений(В = 0) для =0.1,£> = 0.1,а = 10.

Сравнительный анализ результатов показал, что итерационный метод М2 имеет большую трудоемкость, чем метод М1, что обусловлено необходимостью решать задачу на собственные значения на каждой итерации. Благодаря эффективной реализации метода М1 на параллельных вычислительных системах, метод позволил решить поставленную задачу с высокой точностью.

В заключении приведены основные результаты работы:

1. Разработаны два итерационных метода поиска солитонных решений. Методы гарантируют сходимость итерационного процесса в случае существования солитонного решения и слабо зависят от вида начального приближения. Исследовано применение этих методов к нахождению решений солитонного вида в многомерных нелинейных уравнениях и системах.

2. Численно исследовано взаимодействие конденсата Бозе-Эйнштейна с препятствием на плоскости и найдены области существования основного и отраженного солитонов в двухмерном пространстве управляющих параметров.

3. На основе разработанных методов численно получено основное и отраженное солитонное решение в трехмерном уравнении Гросса-Питаевского и произведена визуализация динамики этих решений во времени на параллельных вычислительных системах.

Основные положения диссертации изложены в работах:

1. Лапонин B.C., Савенкова Н.П. Численный метод поиска решений солитонного вида нелинейных дифференциальных уравнений. // Вестник Московского Университета, М., 2013, №2, с. 5-10.

2. Лапонин B.C., Савенкова Н.П. Нахождение солитонных решений различных нелинейных дифференциальных уравнений. // Научное обозрение, Красноярск, 2013, № 5, с. 127-132.

3. Лапонин B.C., Савенкова Н.П. Численное исследование методов поиска многомерных солитонов. // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета, Новосибирск, 2013, выпуск 2(48), с. 81-85.

4. Савенкова Н.П., Ильютко В.П., Лапонин B.C. Численный метод поиска солитонных решений. // Прикладная математика и информатика, сборник факультета ВМК, Макс-Пресс, М.: 2011, №38, с. 18-30.

5. Лапонин B.C., Савенкова Н.П. Поиск 2-d солитонов в уравнении Гросса-Питаевского. // Прикладная математика и информатика, сборник факультета ВМК, Макс-Пресс, М., 2013. №42, с. 5-13.

6. Лапонин B.C. Поиск солитонных решений в трехмерном уравнении Гросса-Питаевского. // Прикладная математика и информатика, сборник факультета ВМК, Макс-Пресс, М., 2013. №43, с. 15-24.

7. Кузьмин Р.Н., Савенкова Н.П., Ильютко В.П., Лапонин B.C. Численное исследование влияния поверхностно-активных веществ на формирование уединенной волны (солитона). // Сб. тезисов XVII международной конференции "Математика. Компьютер. Образование", М.-Ижевск: "Регулярная и хаотическая динамика", 2010, т. 1, с. 144.

8. Кузьмин Р.Н., Савенкова Н.П., Ильютко В.П., Лапонин B.C. Численный метод нахождения солитонных решений. // Сб. тезисов XVIII международной конференции "Математика. Компьютер. Образование", М.-Ижевск: "Регулярная и хаотическая динамика",

2011, т. 1, с. 170.

9. Кузьмин Р.Н., Савенкова Н.П., Ильютко В.П., Лапонин B.C. Новый метод поиска многомерных солитонов. // Сб. тезисов XIX международной конференции "Математика. Компьютер. Образование", М.-Ижевск: "Регулярная и хаотическая динамика",

2012, с. 204.

10. Савенкова Н.П., Лапонин B.C. Моделирование формирования 2-d солитонов. // Сб. тезисов XX международной конференции "Математика. Компьютер. Образование", М.-Ижевск: "Регулярная и хаотическая динамика", 2013, с. 137.

П.Кузьмин Р.Н., Савенкова Н.П., Ильютко В.П., Лапонин B.C. Численный метод поиска солитонных решений, независящий от вида нелинейности дифференциального уравнения. // Сб. тезисов XVIII Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики", изд. ИПМ РАН, М., 2010, с. 40-41. 12.Лапонин B.C., Савенкова Н.П. Численный метод поиска 3-D солитонов. // Конференция. "Тихоновские чтения", секция " Вычислительной математики и кибернетики ", изд. Макс-Пресс, М., 2012, с. 65.

Напечатано с готового оригинал-макета

Подписано в печать 25.09.2013 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 293.

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 527 к. Тел. 8(495)939-3890/91. Тел./факс 8(495)939-3891.

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики

04201363155

На правах рукописи

Лапонин Владислав Сергеевич

Численные методы поиска солитонных решений многомерных нелинейных дифференциальных уравнений и систем

Специальность 05.13.18 — «Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ»

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -доктор физико-математических наук

Н.П. Савенкова

Москва-2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..............

Постановка задачи.....

Обзор литературы.....

Обзор работы............

Основные результаты

20

20

5

7

ГЛАВА 1. ПРИМЕНЕНИЕ НОВЫХ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ ПОИСКА СОЛИТОННЫХ РЕШЕНИЙ В ОДНОМЕРНЫХ

§1.1. Применение итерационного метода М1 к различным нелинейным

1.1.1. Алгоритм итерационного метода М1.

1.1.2. Применение итерационного метода М1 к уравнению Кортевега-де Фриза.

1.1.3. Применение итерационного метода М1 к уравнению вт-Гордона.

1.1.4. Применение итерационного метода М1 к нелинейному уравнению Шредингера с кубической нелинейностью.

1.1.5. Применение алгоритма М1 к задаче распространения фемтосекундных световых импульсов в среде с кубической нелинейностью.

1.1.6. Исследование устойчивости итерационного метода М1.

1.1.7. Анализ численных результатов, полученных с помощью итерационного метода М1.

§1.2. Применение итерационного метода М2 к различным нелинейным

дифференциальным уравнениям................................................43

1.2.1. Алгоритм итерационного метода М2

НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

22

дифференциальным уравнениям

22

1.2.2. Применение итерационного метода М2 к уравнению Кортевега-де Фриза.

1.2.3. Применение итерационного метода М2 к уравнению эт-Гордона.

1.2.4. Применение итерационного метода М2 к нелинейному уравнению Шредингера с кубической нелинейностью.

1.2.5. Применение алгоритма М2 к задаче распространения фемтосекундных световых импульсов в среде с кубической нелинейностью.

1.2.6. Анализ численных результатов, полученных с помощью итерационного метода М2.

ГЛАВА 2. НАХОЖДЕНИЕ РЕШЕНИЙ СОЛИТОННОГО ВИДА В ЗАДАЧЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНОВСКОГО КОНДЕНСАТА С ВНЕШНИМ ПОТЕНЦИАЛОМ.........................54

§2.1. Нахождение солитонных решений в двухмерном уравнении Гросса-Питаевского..................................................................54

2.1.1. Уравнение Гросса-Питаевского в общем виде

2.1.2. Двухмерное уравнение Гросса-Питаевского

2.1.3. Применение итерационного метода М1 к двухмерному уравнению Гросса-Питаевского

2.1.4. Результаты численных экспериментов

2.1.5. Поиск отраженного солитона

2.1.6. Использование параллельных вычислительных систем

§2.2. Нахождение солитонных решений в трехмерном уравнении Гросса-Питаевского..................................................................73

2.2.1. Трехмерное уравнение Гросса-Питаевского

2.2.2. Применение итерационного метода М1 к трехмерному уравнению Гросса-Питаевского

2.2.3. Поиск отраженного солитона в трехмерном уравнении Гросса-Питаевского

2.2.4. Результаты численных экспериментов

2.2.5. Использование параллельных вычислительных систем

ГЛАВА 3. ПОИСК СОЛИТОИНЫХ РЕШЕНИЙ В ЗАДАЧЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ОПТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В СРЕДЕ С

§3.1. Солитоны в связанных нелинейных уравнениях Шредингера... 86

3.1.1. Связанные нелинейные уравнения Шредингера

3.1.2. Многокомпонентные векторные солитоны

3.1.3. Осесимметричные векторные солитоны

§3.2. Поиск солитонных решений в системе нелинейных уравнений Шредингера............................................................................91

3.2.1. Постановка задачи

3.2.2. Обобщение итерационного метода М1 к решению системы нелинейных уравнений

3.2.3. Результаты численных экспериментов

3.2.4. Использование параллельных вычислительных систем

3.2.5. Обобщение итерационного метода М2 к решению многомерной задачи.

3.2.6. Результаты численных экспериментов

3.2.7. Сравнительный анализ численных результатов

КУБИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

86

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

103

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

103

ВВЕДЕНИЕ Постановка задачи

В последние годы в связи с развитием оптических вычислительных систем стало активно развиваться математическое моделирование распространения лазерных фемтосекундных импульсов в нелинейных средах. Математическая постановка соответствующих моделей сводится к определению управляющих параметров, для которых нелинейная система уравнений в частных производных, кроме обычных решений, допускает существование решений солитонного вида [1-23].

При этом под солитоном мы будем подразумевать локализацию энергии или массы в бездиссипативной среде, которая обусловлена нелинейностью дифференциального оператора [5]. Слово «бездиссипативной» означает, что при распространении солитонов механическая энергия сохраняется и трение отсутствует.

Среди предложенных методов нахождения солитонов наибольшее распространение получили метод обратной задачи [1 - 4], спектральные методы и другие методы [6, 7]. При этом лазерное излучение позволяет реализовать так называемые цветные солитоны, когда на нескольких частотах одновременно существуют и распространяются вместе оптические волны вдоль нелинейной среды. Эволюция этих солитонов описывается системами связанных уравнений Шредингера. Интерес к этим солитонам в литературе постоянно сохраняется в связи с многочисленными потенциальными приложениями их в задачах передачи информации оптическими методами. Выполненные в различных лабораториях экспериментальные исследования подтверждают существование солитонов данного типа.

Как правило, получить аналитическое решение солитонного вида не представляется возможным и при поиске солитонных решений практически для всех известных эволюционно-нелинейных уравнений

разрабатываются свои разностные схемы, учитывающие особенности уравнения [17-20].

В основе математической постановки задачи распространения БЭК находится двухмерное уравнение Гросса-Питаевского (ГП). Конденсат Бозе-Эйнштейна [12 - 16] - агрегатное состояние вещества, основу которого составляют бозоны, охлаждённые до температур, близких к абсолютному нулю (меньше миллионной доли градуса выше абсолютного нуля). Уравнение ГП — это классическое нелинейное уравнение, учитывающее эффекты межчастичного взаимодействия посредством эффективного среднего поля. Ввиду, аналогичности уравнения ГП в теории БЭК и НУШ [21 — 23] в нелинейной оптике, многие явления, предсказанные и описанные в нелинейной оптике, можно ожидать и в макроскопических квантовых состояниях БЭК, несмотря на кардинальные различия физических систем.

При исследовании формирования и динамики развития солитонов различной физической природы математическое моделирование является одним из наиболее актуальных инструментов исследований. Поэтому так важно развивать направление по разработке численных методов [24, 25] нахождения солитонных решений различных мод в многомерных нелинейных дифференциальных уравнениях и системах и получать высокоточные численные решения с помощью этих методов на параллельных вычислительных системах.

Целью настоящей диссертационной работы является разработка численных методов поиска солитонных решений нелинейных многомерных дифференциальных уравнений и систем, отвечающим следующим требованиям:

• слабая зависимость от вида нелинейности,

• отсутствие необходимости построения специального начального приближения,

• простота в реализации алгоритма с возможностью переноса на параллельные вычислительные системы,

• применимость к многомерным задачам и системам,

• возможность построения области значений управляющих параметров, в которой существуют солитонные решения.

Обзор литературы

Уединенные волны, обычно называемые солитонами, служат объектом интенсивных теоретических и экспериментальных исследований во многих различных областях науки, включая гидродинамику, нелинейную оптику, физику плазмы и биологию [26 — 33]. История солитонов восходит фактически в 1834 году, когда Джеймс Скотт Рассел обнаружил, что вал воды в канале распространяется без искажений на протяжении нескольких километров. Его отчет, опубликованный в 1844 году, включает следующий текст [34]:

«Я наблюдал за движением баржи, которую быстро тащила вдоль канала пара лошадей, когда баржа внезапно остановилась — в отличие от массы воды в канале, которую баржа привела в движение. Вода собралась у носа корабля в состоянии бурного волнения, затем, внезапно покинув его, покатилась вперед с большой скоростью, принимая форму большого уединенного возвышения, округлого, гладкого и четко выраженного вала воды, который продолжал движение по каналу без заметного изменения формы или уменьшения скорости. Я последовал за волной верхом на лошади и догнал ее, все еще движущуюся со скоростью восемь миль в час, сохраняющую первоначальную форму около тридцати футов в длину и от фута до полутора футов в высоту. Ее высота постепенно уменьшалась, и после преследования на протяжении одной или двух миль я потерял ее в изгибах

канала. Так в августе месяце 1834 года у меня был первый случай наблюдать столь необычное и прекрасное явление». Позже эти волны были названы уединенными. Однако, их свойства не были полностью поняты до введения соответствующих математических моделей и развития метода обратной задачи рассеяния в 1960-ых годах [35]. Термин солитон был введен в 1965 году, чтобы отразить частицеподобную природу уединенных волн, которые сохраняются даже после столкновений [36]. Следует подчеркнуть, что в физической литературе не всегда делается различие между солитоном и уединенной волной [5], и очень часто все уединенные волны называются солитонами.

В нелинейной оптике солитоны разделяются на временные или пространственные, в зависимости от того, происходит локализация света при распространении волны во времени или в пространстве. Временные солитоны сопоставляются оптическим импульсам, которые сохраняют свою форму, тогда, когда как пространственные солитоны представляют самонаправляемые пучки, которые остаются ограниченными в поперечных направлениях, ортогональных направлению распространения. Существование обоих типов солитонов вызвано нелинейным (зависящим от интенсивности света) изменением показателя преломления оптической среды, что в нелинейной оптике отвечает оптическому эффекту Керра [37 — 39]. Зависимость показателя преломления от интенсивности ведет к пространственной самофокусировке (или самодефокусировке) и временной самомодуляции фазы (СМФ) - двум основным нелинейным эффектам, ответственным за формирование оптических солитонов. Пространственный солитон формируется, когда самофокусировка пучка света уравновешивает его обычное дифракционное расплывание. Напротив, именно СМФ останавливает естественное расплывание оптического импульса и ведет к формированию временного солитона [40]. В обоих случаях импульс или пучок распространяется в среде без изменения формы, что называется его самолокализацией, или самоканалированием.

Наиболее ранний пример пространственного солитона отвечает открытию в 1964 году явления самоканалирования пучков непрерывного излучения в сплошной нелинейной среде [41]. В течение 1980-ых годов устойчивые пространственные солитоны были обнаружены в нелинейных средах, к которых дифракционное расплывание ограничивалось одним из поперечных направлений [42].

Наиболее ранний пример временного солитона связан с открытием явления самоиндуцированной прозрачности в среде с резонансной нелинейностью [43]. В этом случае оптический импульс с некоторой специальной формой и энергией распространяется в нелинейной среде без искажений, несмотря на большое поглощение. Другой пример временного солитона найден в 1973 году, когда было обнаружено, что оптические импульсы могут распространяться в нелинейном волоконном световоде с аномальной дисперсией групповой скорости (ДГС) без искажений их формы [44]. Распространение таких солитонов в волоконных световодах экспериментально наблюдалось в 1980 году [45]. С тех пор световодные солитоны нашли практическое приложение при разработке протяженных волоконнооптических систем связи [46].

В 1973 году было обнаружено, что волоконные световоды могут поддерживать распространение другого типа временных солитонов в случае нормально ДГС [47]. Такие солитоны проявляются как провалы интенсивности по отношению к ее постоянному (нулевому) фону и называются темными солитонами. Временные темные солитоны активно исследовались в 1980-ых годах [48]. Пространственные темные солитоны также могут формироваться в оптических волноводах и в сплошной среде, если показатель преломления уменьшается при возрастании интенсивности [49].

Было обнаружено, что двухмерные самолокализованные решения кубического НУШ испытывают коллапс, что означает, что ширина пучка обращается в нуль на конечном расстоянии, так как двухмерные солитоны

динамически не устойчивы [50]. Даже одномерные солитоны в сплошной нелинейной среде неустойчивы и распадаются на нити вследствие поперечной модуляционной неустойчивости. В результате пространственные солитоны в керровской среде экспериментально могут наблюдаться только в схемах, в которых одно из двух поперечных измерений исключено, то есть, когда дифракция подавлена в одном из направлений (например, в планарном волноводе).

Наиболее ранние наблюдения пространственных солитонов относятся к эксперименту 1974 года, в котором было найдено самоканалирование оптического пучка в сплошной среде [51]. Это произошло на 10 лет раньше выполнения солитонных экспериментов в оптических волноводах [52] при использовании ориентационной нелинейности жидкости С52 (сероуглерод). Для подавления дифракции пучка в одном поперечном направлении использовались два различных подхода. В первом подходе в одном измерении создавалась интерференционная структура, то есть последовательность параллельных планарных волноводов в плоскости, ортогональной этому направлению. Свет не мог распространяться через темные зоны интерференционной структуры. Во втором подходе жидкий сероуглерод размещался между двумя стеклянными пластинами, эффективно формируя планарный волновод. Эти эксперименты 1985 года инициировали многочисленные наблюдения одномерных светлых пространственных солитонов в 1990 годах при использовании столь различных средств как стекла, полупроводники и полимеры [53].

В ряде экспериментов [54 - 57] изучались столкновения пространственных солитонов. Как следует из теории, два софазных солитона взаимно притягиваются, а противофазные солитоны отталкиваются. Более сложна ситуация для других значений относительной фазы солитонов, так как во время неупругих столкновений возможен обмен энергией. Это свойство четко наблюдалось в

эксперименте 1992 года [55]. Когда разность фаз взаимодействующих

солитонов была равна у, один из солитонов приобретал энергия за счет

другого. Направление обмена энергией менялось на обратное, когда фаза

возрастала до Наблюдалось также слияние, или «захват» двух

первоначально перекрывающихся пространственных солитонов, движущихся в различных направлениях [54].

В [57] изложены экспериментальные результаты, полученные при использовании фоторефрактивного кристалла Вц2ТЮ20 с приложенным напряжением 1,8 кВ. На выходе при 0 = 0 два солитона сливались, а при 6 = 0,65л- их амплитуды становились различными из-за обмена энергией, связанного с некерровской природой фоторефрактивной нелинейности.

Как говорилось выше, солитоны можно использовать для передачи информации. Основная идея - использование солитона в каждом битовом интервале для представления единицы в потоке двоичных сигналов. Обычно расстояние между солитонами их полную длительность по

уровню от максимума в несколько раз. Смысл столь большого

расстояния легко понять, заметив, что длительность импульса должна составлять лишь малую долю битового интервала, чтобы соседние солитоны были хорошо разделены. В эксперименте 1988 года солитоны передавались на 4 ООО км при использовании схемы комбинированного усиления [58]. В этом эксперименте применялась волоконнооптическая петля длиной 42 км, в которой потери точно компенсировались введением накачки непрерывным излучением лазера на центрах окраски на длине волны 1,46 мкм. Солитоны могли многократно циркулировать по волоконнооптической петле, и их длительность контролировалась после каждого прохода. Этот эксперимент впервые продемонстрировал, что солитоны принципиально возможно передавать на трансокеанские

расстояния. Основной проблемой было то, что комбинационное усиление требовало для накачки лазеров, излучающих более 500 мВт непрерывного излучения с длиной волны около 1,46 мкм. В 1988 году было невозможно получить столь высокую мощность с помощью полупроводнико�