автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование взаимодействия двух фемтосекундных импульсов в среде с комбинированной нелинейностью

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

Матусевич Ольга Викторовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

ДВУХ ФЕМТОСЕКУНДНЫХ ИМПУЛЬСОВ В СРЕДЕ С КОМБИНИРОВАННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2010г.

2 5 МАР 2010

003494626

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Трофимов Вячеслав Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Жилейкин Яков Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор Стрелков Герман Михайлович

Ведущая организация: Институт математического моделирования РАН

Защита состоится " 31 " марта 2010г. в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, второй учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд.685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ (второй учебный корпус, 1 этаж).

Автореферат диссертации разослан " 2010г.

Ученый секретарь Диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор Захаров Евгений Владимирович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

В последние двадцать лет бурно развивается одно из направлений лазерной физики - лазерная фемтосекундная нелинейная оптика. Распространение фемтосекундных импульсов, как правило, сопровождается откликом среды одновременно на разных порядках нелинейности и имеющих различные пространственные и временные масштабы. Как следствие этого, компьютерное моделирование необходимо производить на сетках, содержащих от сотен тысяч до десятков миллионов узлов на одном расчетном слое. Без привлечения многопроцессорных компьютеров провести их за приемлемое время не представляется возможным.

В литературе для задач нелинейной оптики широкое распространение нашел метод расщепления, который прост при практической реализации, в том числе на многопроцессорных компьютерах. Однако, при увеличении интенсивности фемтосекундного импульса его эффективность существенно снижается. В этом случае консервативные разностные схемы, которые являются нелинейными, более предпочтительны для расчета нелинейно-оптических задач. Однако, исследование эффективности их реализации на многопроцессорных компьютерах в литературе отсутствовало до недавнего времени. Поэтому данная проблема является весьма актуальной.

Одним из широко анализируемых в литературе вопросов является соли-тонное распространение лазерных импульсов. По этой проблеме в последнее время появился ряд монографий, в которых обобщены результаты двух последних десятилетий. Следует подчеркнуть, что в них отсутствуют методы нахождения солитонных решений нелинейного уравнения (системы уравнений) Шредингера в случае периодической зависимости коэффициентов нелинейности от координат задачи. В связи с развитием изготовления фотонных кристаллов, а также интенсивным исследованием задач бозе-эйнштейновского конденсата разработка методов нахождения солитонных решений для уравнений

Шредингера, обладающего периодической зависимостью коэффициентов нелинейности, представляет собой актуальную задачу.

При нахождении солитонных решений в литературе часто встречается подход, при котором солитонное решение находится на основе решения задачи на собственные значения (СЗ) и собственные функции (СФ) для нелинейного уравнения (системы уравнений) Шредингера. При этом критерии, при которых СФ будет солитонным решением, в литературе не обсуждались, также как и построение итерационных методов нахождения солитонных решений. Последнее является актуальной проблемой для систем нелинейных уравнений Шредингера.

Именно перечисленные выше проблемы анализируются в настоящей диссертации.

Цель работы заключалась в эффективной реализации консервативных разностных схем для системы двух уравнений Шредингера с учетом квадратичной и кубичной нелинейности среды на многопроцессорных компьютерах, обладающих общей памятью; в построении эффективного итерационного метода для нахождения двухцветных Ю и ЗБ солитонов для сред с комбинированной нелинейностью; в изучении нелинейного взаимодействия фемтосекунд-ных световых импульсов со средой, обладающей квадратичным и кубичным нелинейным откликом; в разработке способов стабилизации неустойчивых солитонов в аксиально-симметричном случае при их распространении в среде с квадратичной и кубичной нелинейностью.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

1. Построены итерационные методы для нахождения СФ и СЗ систем нелинейных уравнений Шредингера, на основе которых находятся двухцветные 2В и ЗБ солитоны для сред с комбинированной нелинейностью как в случае постоянных, так и в случае поперечно-неоднородных коэффициентов для широкого диапазона их изменения.

2. Реализованы нелинейные консервативные разностные схемы на многопро-

цессорных компьютерах с общей памятью.

3. Изучено влияние продольной неоднородности коэффициентов нелинейности среды на устойчивость распространения солитонов. Показана возможность подавления неустойчивости аксиально-симметричных солитонов в среде с кубичной нелинейностью, состоящая в неоднородной по пространственной координате слабой модуляции нелинейности среды.

4. Обнаружена множественность существования солитонных решений системы двух уравнений Шредингера с комбинированной нелинейностью, обладающих одинаковой суммарной энергией. На основании этого предложен способ переключения между солитонными решениями.

5. Обнаружены эффекты формирования локализованных структур, распространяющихся солитоноподобно в среде с комбинированной нелинейностью со скоростями большими и меньшими, чем скорость света в линейной среде; изучена причина ускорения локализованных структур; обнаружен эффект, аналогичный эффекту квантовой телепортации, заключающийся в том, что возмущение, внесенное в одну из локализованных структур, оказывает воздействие на другую локализованную структуру, значительно удаленную от первой во времени.

6. Исследована устойчивость решения задачи удвоения частоты, построенного в "приближении длинных импульсов", для системы двух уравнений Шредингера в среде с комбинированной нелинейностью.

Практическая ценность.

1. Проведенное распараллеливание алгоритмов, реализующих консервативные нелинейные разностные схемы, позволило существенно повысить эффективность их применения на многопроцессорных компьютерах с общей памятью. Показаны их преимущества по сравнению с используемыми в литературе методами расщепления.

2. Предложенные итерационные методы нахождения СФ и СЗ системы двух нелинейных уравнений Шредингера могут быть использованы для анало-

гичных уравнений с другими нелинейностями. Найденные солитоны могут использоваться для передачи информации по нелинейным оптическим линиям связи.

3. Продемонстрированная возможность переключения между солитонами основной и удвоенной частоты может быть использована для создания оптических переключателей, работающих в фемтосекундном диапазоне.

4. Обнаруженные эффекты нелинейной локализации и взаимовлияния локализованных структур могут быть использованы для задач кодирования и передачи информации, а также для задач неразрушающего контроля.

Защищаемые положения.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Реализация на многопроцессорных компьютерах с общей памятью нелинейных консервативных разностных схем для системы двух уравнений Шре-дингера с квадратичной и кубичной нелинейностью в координатах {г,г,{), (2,0, (2,г).

2. Итерационные методы нахождения СФ и СЗ и на их основе солитонных решений системы двух уравнений Шредингера с комбинированной нелинейностью в координатах (г,(), (г,г) и (г,г,I) в случае постоянных и переменных коэффициентов нелинейности.

3. Области неустойчивости решений задачи генерации второй гармоники, полученных в приближении "длинных импульсов", рассчитанные на основе линейного анализа системы двух нелинейных уравнений Шредингера с учетом взаимного влияния возмущений.

4. Реализация переключения между солитонами основной и удвоенной частоты в задаче генерации второй гармоники в среде с комбинированной нелинейностью.

5. Самоформирование цветных локализованных структур, распространяющихся солитоноподобно в средах с преобладанием квадратичных эффектов над кубичными при наличии ненулевой расстройки групповых скоростей.

6. Стабилизация неустойчивых солитонов в среде с кубичной нелинейностью за счет слабой модуляции коэффициента нелинейности.

7. Устойчивость солитонных решений систем двух уравнений Шредингера с комбинированной нелинейностью в аксиально-симметричном случае по отношению к амплитуде возмущения, не превосходящей критического значения.

Апуобатя работа.

Основные результаты диссертации докладывались на 9 международных конференциях:

- Международная научная конференция "Nonlinear Optics Applications" в составе конгресса "Optics and Optoelectronics" (Poland, Warsaw, 2005);

- Международная научная конференция "20th Congress of International Commission for Optics" (Changchun, China, 2005);

- Международная конференция "Тихонов и современная математика" (Москва, 2006);

- Международная научная конференция "Finite Difference Methods: Theory and Applications" (Lozenetz, Bulgaria, 2006);

- Международная научная конференция "Mathematical Modelling and Analysis" (Trakai, Lithuania, 2007);

- Международная научная конференция "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики" (Москва, Россия, 2009);

- Международная научная конференция "Photonica 09: International School and Conference on Photonics" (Belgrade, Serbia, 2009);

- Международная научная конференция " Saratov Fall Meeting " (Саратов, Россия, 2009);

- Международная научная конференция "Mathematical Modelling and Analysis" (Daugavpils, Latvia, 2009).

Отдельные результаты работы докладывались на научном семинаре лаборатории математического моделирования в физике, на кафедре вычислтель-

ных методов и на научном семинаре член-корр. РАН Шишмарева И.А. факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. Ломоносова.

Публикации. Список работ, опубликованных по материалам диссертации, приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных результатов, списка литературы и содержит 86 рисунков, 10 таблиц.

Личный вклад автора.

Все результаты диссертации получены автором лично или при его определяющем участии в распараллеливании алгоритмов, проведении компьютерных экспериментов и интерпретации результатов.

Достоверность результатов основана на непротиворечивости имеющихся в литературе данным физических экспериментов; сопоставлении результатов расчетов имеющимся аналитическим решениям; консервативности разностных схем и проведением расчетов на последовательности сеток.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, характеризующий состояние проблемы, и излагается содержание работы.

В первом параграфе главы I рассматриваются различные математические постановки задачи взаимодействия двух фемтосекундных импульсов в средах с комбинированной нелинейностью. В частности, одна из них описывается следующей системой безразмерных уравнений относительно медленно изменяющихся во времени и по пространственным координатам комплексных амплитуд

+ШАл.4 + Юу + гу А*А2е~'&ь + 1ССха\а§ + 2|Л2|2)= 0,

0<7<1,,0<г^1г, а2 = 2а, =2а.

Уравнения записаны в области С2 = (0,1/)х01х

(0,£г]. С2± означает об-8

ласть по поперечным координатам, в которой определен оператора Лапласа . Здесь Ь, - безразмерное время, в течение которого анализируется рассматриваемый процесс, Ь2 - безразмерная длина нелинейной среды, вдоль которой распространяется оптическое излучение. 7 - безразмерное время в сопровождающей импульс основной волны системе координат, г - нормированная продольная координата. В} (у = 1,2) - коэффициенты, характеризующие дисперсию второго порядка, В - коэффициент дифракции, у - коэффициент нелинейной связи взаимодействующих волн, &к = к2-2к\ - безразмерная расстройка их волновых чисел, а - коэффициент, характеризующий кубичную нелинейность процесса распространения волн. V - безразмерный параметр, характеризующий групповую расстройку взаимодействующих волн.

На входе в нелинейную среду задаются начальные распределения импульсов основной частоты и второй гармоники, которые для аксиально-симметричного случая имеют вид:

Л/г,(,2 = 0) = А;0(г,О, ] = 1,2, 0 ^ I < 1„ 0 < г <; Д,

г - поперечная координата, нормированная на радиус пучка, Я - максимальное значение координаты г.

Традиционно, для данного класса задач записываются нулевые граничные условия, которые можно поставить из-за финитности начального распределения и конечного отрезка по координате г. Например, для случая координат (г,0 они записываются следующим образом:

4

л дА,, |

(=0,£, = °, г-*т1г-+о=0, А]|г=л, = 0, 7-1,2.

дг

В этом же параграфе записаны инварианты задачи.

Во втором параграфе первой главы записаны консервативные разностные схемы (КРС) для различных постановок задачи удвоения частоты, сформулированных в предыдущем параграфе.

Для примера ниже приведена КРС для случая, когда дифракционная длина

значительно превосходит длину нелинейной среды (£> = 0). Для этого в области О = х Ог вводится равномерная сетка со = со, х сог:

со, = = /г, j = 0,Nt, т = со, = {г„ = пИ, и = 0,ЛГг, к^Ь.Ш,}.

и используются безындексные обозначения:

и = 0.5(и + и), I и |2= 0.5(1 й |2 +1 и |2),

( 0.5Л

и

\ /

= 0.5 (к2+ы2),

°у = 0.5(у + у), | |2= 0.5(| V |2 +1V |2).

Тогда построенная разностная схема с используемым итерационным процессом имеет вид:

5+1

S+1

0.5

м-и °-5 0.5/ ... \ 0.5 0.5 U.S.

— + ;Д и i, = -0.5iyu v \е-,ш" + е~1Акг^ - ia и (| и |2 +21 v |2), ят 4

S S

ieitJa" + ei&kz"+1 )-2iav(2\°и \2 +1"v |2),

J+1

v -v

i+i л+1 0.5 0.5

--н vv +iD2 v jt = -0.5iy

h e

'O2

0.5 и

s

0.5

4. z1

i=0 i=0

м =н, v = v, s = 0,1,2,...,./= 1,JV,-1. Начальные и граничные условия имеют вид:

s+1 S+1

s+1 s+1

щ,п = = 0, v0,„=vJV(i„=0) n = 0,JVz

"у,о = 4о(0)> v;,o = Аю(^)> у = 0.ЛГ,.

Итерационный процесс прекращается при выполнении условий:

J+l S S s+1 s S

тах| к -Ml^^maxlMl+^j, max | v -v|< e2max j vj +<5"2, sl >0,ф >0, !]'rk 'j<rk tj>rk !j'rk

1 = 1,2.

Для решения полученной системы разностных уравнений используется метод прогонки.

В третьем параграфе первой главы приведены схемы суммарной аппрок-

10

симации, широко используемые в литературе для решения задач нелинейной оптики. Записаны наиболее часто встречаемая в литературе схема расщепления (МР) и схема с введенным итерационным процессом на этапе решения нелинейного уравнения (МРИ). На основе компьютерного моделирования показано, что схемы суммарной аппроксимации не являются консервативными. Проведенное сравнение разностных схем для задачи удвоения частоты в пространстве двух переменных показало, что для схем МР и МРИ требуется существенное увеличение размера области по сравнение с КРС. Для схемы МРИ требуется на порядок меньшее значение шага по пространственной координате для достижения результата вычислений, выполненных по КРС. Схема же МР требует шаг по пространству на несколько порядков меньший, чем схема МРИ. При корректном выборе шагов сетки эффективность схем суммарной аппроксимации падает по сравнению с КРС из-за существенного возрастания числа операций для достижения результатов с одинаковой точностью. Таким образом, проведенное сравнение эффективности схем показало, что КРС обладает преимуществом перед другими разностными схемами. Поэтому дальнейшие результаты получены на основе КРС.

В четвертом параграфе первой главы рассматриваются методы увеличения быстродействия программы для решения системы двух нелинейных уравнений Шредингера (НУШ) в Зх мерной постановке, так как ее решение требует большого объема вычислений и затрат машинного времени. Один из них состоит в уменьшении числа итераций итерационного процесса за счет повышения точности вычислений. Проведенные расчеты показали, что при использовании чисел с плавающей точкой двойной точности вместо одинарной точности заданная точность сходимости итерационного процесса достигается в 1.7-2 раза быстрее. Другая возможность для оптимизации программы состоит в использовании библиотечных функций, например, быстрого преобразования Фурье, адаптированных к используемым процессорам. Это позволяет ускорить выполнение программы приблизительно в 1.3 раза при расчетах с одинарной

точностью и в 1.7 раз для двойной точности. Дальнейшее увеличение скорости выполнения программы связано с распараллеливанием на основе технологии ОрепМР для многопроцессорных систем с общей памятью. Это приводит к увеличению быстродействия до 1.5 раз на двухпроцессорном компьютере. Также значительно влияет на время выполнения алгоритма выбор операционной системы и типа компьютера.

В пятом параграфе первой главы сформулированы ее краткие выводы.

Глава II состоит из трех параграфов и посвящена исследованию модуляционной неустойчивости решений задачи удвоения частоты, полученных в приближении длинных импульсов для среды с комбинированной нелинейностью. В первом параграфе этой главы проведено исследование устойчивости решений системы уравнений, описывающей процесс ГВГ в оптоволокне, по первому приближению. Основное отличие рассматриваемого подхода к анализу неустойчивости от традиционно используемого в литературе заключается во взаимном учете влияния возмущений друг на друга из-за продольной неоднородности коэффициентов нелинейности.

Во втором параграфе этой главы получена зависимость инкремента возмущения с частотой тп от числа учитываемых пространственных мод. Построена область реализации модуляционной неустойчивости для одного из аналитических решений задачи, которое имеет вид:

Она представлена на Рис. 1.

В третьем параграфе второй главы проводится сопоставление результатов компьютерного моделирования нелинейной системы ОДУ с результатами, полученными во втором параграфе, а также с результатами численного моделирования задачи ГВГ, проведенного на основе системы НУШ с использованием КРС, для подтверждения результатов линейного анализа.

В четвертом параграфе второй главы сформулированы краткие выводы.

т—|-1-1-1—I—г

1—I

О 200 400 600 800 1000 1200

Рис.1. Зависимость инкремента усиления т;п от частоты возмущения а>п решения задачи ГВГ в первом приближении (сплошная линия); во втором приближении (пунктир); в третьем приближении (точечная линия).

Третья глава посвящена построению солитонных решений уравнений ГВГ для среды с кубичной и квадратичной нелинейностью в двумерном случае. Как известно, солитон в физическом смысле представляет собой оптическую волну, не изменяющую свою форму при распространении в нелинейной среде. Такие решения представляют большой интерес, например, для задач передачи информации по оптическим волоконным линиям.

В первом параграфе этой главы приводится аналитическое солитонное решение в случае уравнения с кубичной нелинейностью (у = 0) для практически важного случая отсутствия волны второй гармоники (Л2 = 0):

Также в этом параграфе приводится аналитическое представление для солитона при распространении оптического излучения в квадратичной среде (а = 0):

Эти решения были известны в литературе. Они используются в работе для тес-

тирования построенных итерационных методов численного нахождения соли-тонных решений.

Во втором параграфе третьей главы построен итерационный метод нахождения собственных функций (СФ) для системы двух нелинейных уравнений Шредингера, описывающей процесс удвоения частоты фемтосекундных импульсов в среде с квадратичной и кубичной нелинейностью. Для этого решение исходной задачи представляется в виде: А1 = и^) ехр(-гЛг), А2 = у(() ехр(-/(2Д - Дк)г).

После аппроксимации полученной задачи соответствующая разностная задача с итерационным процессом имеет вид:

5 1+1

Л у/ = Л у/ ,

где ц/ =(«1»м'1,И2,>1'2,."»%(_1>>улг 1), Л - вещественная симметричная пятидиа-гональная матрица:

2£>, * г у 1 Тгщ А г2 0 0 \ 0 ...

У 1 Т2Щ А 1 д* --ф + аЬ, + — т2 2 0 А 2т2 0 0 ...

А г2 0 2Д г2 У 1 ;Г2 А г2 0 ...

0 В.2 у * тГ2 А 1 —+ аЬ2+ х1 Ак л А.

2 т2 2 и 2г2 "')

В этом параграфе обсуждаются разностные методы, которые используются для

л

нахождения собственных значений (СЗ) и СФ матрицы А на очередной итерации алгоритма.

При реализации итерационного процесса имеет место проблема сопоставления СФ с соответствующим СЗ на каждой итерации. Обобщение подхода, развиваемого для случая одного уравнения Шредингера с кубичной нелинейностью, при котором СЗ матрицы А упорядочивались по убыванию и на каждой

итерации выбиралось т-ое СЗ, часто приводит к расходимости итерационного процесса. В данном параграфе выявлена причина его расходимости и предложена итерационная процедура, расширяющая область сходимости алгоритма на всю плоскость физически достигаемых параметров (а,у).

Построенный итерационный метод позволяет найти СФ, по крайне мере, до 50 номера. При вычислении СФ контролировалась невязка решения в норме С. Эта характеристика важна именно для нахождения солитонного решения уравнения Шредингера. В этом случае она не должна превышать 10"5. При нахождении СФ разностной задачи это требование может быть значительно ослаблено. Важно подчеркнуть, что имеется и второе условие, при выполнении которого СФ является солитоном: она должна быть устойчива по отношению к расширению временного отрезка при решении эволюционной задачи с начальным условием в виде СФ.

С помощью описанного метода были найдены солитонные решения неизвестной ранее в литературе формы для широкого диапазона коэффициентов нелинейности, соответствующих первому и второму СЗ (Рис.2).

1.00.80.6 0.4 0.2-1 0.0

иу

I

II |1 11>

1.0. 0.8 0.6.

2 2 I

о

—г

4

0.40.20.0

0

(а)

(б)

Рис.2. Форма солитонов для первой (сплошная линия) и второй (пунктир) гармоники (а), соответствующих первому собственному значению, и эволюция пиковой интенсивности (б) первой (сплошная линия) и второй (пунктир) гармоник вдоль трассы Ь2= 5 для а = 1.5, Г = 50, Ак = 70, О, =0.04, 02 = 0.14.

Построенный метод используется также для нахождения солитонов рассматриваемых ниже задач. Тестирование метода проводится в шестом параграфе на известных в литературе солитонах.

В третьем параграфе третьей главы исследуется влияние соотношения коэффициентов кубичной и квадратичной нелинейности, а также расстройки волновых чисел на форму солитона.

В четвертом параграфе главы III проводится обобщение метода нахождения солитонов для двух уравнений Шредингера на случай зависимости коэффициентов квадратичной и кубичной нелинейности от переменной t : mYt дп t

Г = КО = Го0 ■+ 5Г sin-2-), a s a(t) = a0(l + 5а sin—.

Lt L¡

s

Показано, как преобразуется матрица А в этом случае. Обсуждаются ограничения на применимость итерационного метода в зависимости от частоты модуляции коэффициентов нелинейности. Для набора параметров, близких к физическому эксперименту, получены солитонные решения. При этом рассмотрен практически важный случай неоднородной (по поперечной координате) квадратичной среды. Изучается, насколько близко друг от друга можно расположить солитоны на входе в среду при условии отсутствия коллапса оптической волны в процессе ее распространения. Проведенные численные эксперименты позволили сделать вывод о возможности 2.5% перекрытия солитонов основной частоты для выбранного набора физических параметров.

Пятый параграф третьей главы посвящен эволюции солитонов, найденных для сред с постоянными коэффициентами нелинейности (далее, однородных сред) при их распространении в среде с периодической зависимостью коэффициентов нелинейности от продольной координаты. Показано, что слабая модуляция коэффициента кубичной или квадратичной нелинейности приводит к осцилляциям пиковой интенсивности солитонов (в их обеих компонентах, в случае двухцветных солитонов) без разрушения их формы. При слабой модуляции коэффициентов нелинейности осцилляции пиковой интенсивности про-

16

исходят на частоте, совпадающей с частотой модуляции нелинейных коэффициентов. Отмечается, что квадратичные солитоны при слабом влиянии периодически модулированной кубичной нелинейности также испытывают осцилляции своих параметров при распространении в однородной среде. При сильной же модуляции коэффициентов нелинейности может происходить коллапс формы солитона. Однако, присутствие в среде квадратичного отклика позволяет существенно расширить диапазон амплитуды модуляции коэффициентов нелинейности, которые не приводили бы к разрушению формы солитона при его распространении в среде с модулированной нелинейностью, по сравнению с кубичной средой. Установлены области устойчивости солитонов в пространстве параметров модуляции.

В шестом параграфе третьей главы показана возможность гистерезисных зависимостей эффективности генерации, длительности импульсов и расстройки волновых чисел от суммарной энергии взаимодействующих волн при генерации второй гармоники фемтосекундными импульсами солитонной формы в среде, обладающей квадратичной и кубичной нелинейностью (Рис.3).

90 пМ ав?

85- ...» ..

75 : ••'.ИиЗх!^---- 1.5

706560555045- Ч Е

—I---1-1-1-■-1--

0.228-0.232-<? 0.236-Я 0.240-£

Рис.3. Зависимость расстройки волновых чисел от суммарной энергии солитонов при 50<ДА<90 и различных значениях а: 1.5 (сплошная линия, 3 = 0), 3 (пунктир, £ = 0.02022), 7 (точечная линия, <У = 0.04579), 0 (штрих-пунктир, ¿ = -0.01952). Точками на вертикальных линиях отмечены различные солитоны (для разных значений расстройки волновых чисел) с одинаковой суммарной энергией для а = 1.5.

Важно отметить, что на средней ветви гистерезисной зависимости имеет место устойчивый к малым возмущениям солитон. Построена аппроксимация цветных солитонов с различных ветвей гистерезисной зависимости с точностью 0.001. Здесь также показано, что солитоны, найденные с помощью предлагаемого итерационного метода, совпадают с известным аналитическим решением для частных случаев отсутствия волны второй гармоники, а также для случая квадратичных сред. Это говорит о том, что численный метод для нахождения солитонных решений системы уравнений Шредингера работает корректно.

В седьмом параграфе главы III изучается устойчивость солитонов по отношению к начальным возмущениям их формы. На основе компьютерного моделирования показано, что двухцветные солитоны для среды с комбинированной нелинейностью в случае координат (г,?) устойчивы к начальным возмущениям до 20% их амплитуды. При этом они испытывают осцилляции пиковой интенсивности и длительности импульсов.

В восьмом параграфе третьей главы рассматривается влияние слабой кубичной нелинейности на достижение высокой эффективности конверсии частоты без увеличения длительности импульса второй гармоники. Главной особенностью обсуждаемого режима удвоения частоты является отсутствие обратной перекачки энергии на солитоном решении. Суть предлагаемого метода заключается в использовании двух нелинейных сред: импульс, формируемый на выходе из первой среды, подается на вход во вторую. В первой среде происходит ГВГ в условиях группового и фазового синхронизма. Во второй среде взаимодействие между волнами происходит в условиях большой расстройки волновых чисел. Если кубичная нелинейность достаточно мала, то начинается процесс каскадной генерации, и обратная перекачка энергии практически отсутствует. Показано, каким образом выбирать длину первого кристалла, а также начальный сдвиг фаз импульсов для переключения между солитонным распространением на различных частотах (основной и удвоенной).

В девятом параграфе третьей главы изучается эффект "зирег1цттаШу"

при взаимодействии двух фемтосекундных импульсов в условиях расстройки групповых скоростей в среде с комбинированной нелинейностью. Показано, что могут формироваться субимпульсы на основной и удвоенной частотах, которые распространяются солитоноподобно со скоростями большими и меньшими, чем скорость света в линейной среде. Причина ускорения субимпульса обусловлена наведенными периодическими решетками вследствие перекачки энергии из одной волны в другую. Компьютерные эксперименты показали, что воздействие, вносимое в некотором сечении в один из цветных субимпульсов, оказывает воздействие на удаленный во времени другой субимпульс. Таким образом, реализуется ситуация, аналогичная эффекту квантовой механики, когда два фотона, испущенные вместе из одного источника ощущают воздействие, осуществленное на один из них.

В десятом параграфе третьей главы сформулированы ее краткие выводы.

Глава IV посвящена обсуждению аксиально-симметричных солитонов в 2х и Зх мерных случаях. В первом параграфе четвертой главе развивается подход к нахождению солитонов, описанный в главе III, для случая аксиально-симметричных сред (координаты (г, г)). В отличие от случая координат {г,г),

рассмотрение случая (г,г) приводит к несимметричной матрице А, что требует дополнительного изучения задачи на СЗ и СФ. При увеличении размерности задачи, поиск солитонов требует большого объема вычислений и затрат машинного времени. Это связано с необходимостью выполнять расчеты на сетках, имеющих более миллиона узлов.

Для нахождения СЗ несимметричной матрицы теоретически можно использовать ОЯ-алгоритм, предварительно сведя , ее к форме Хессенберга, что позволяет понизить сложность алгоритма с х Л^?) до хЛ^)- Однако, и в этом случае проблема нехватки вычислительных ресурсов (таких как оперативная память и мощность процессора) встает здесь очень остро (Табл.1). Для решения этой проблемы был использован алгоритм Арнольди для поиска

СЗ и СФ на очередной итерации, который позволяет эффективно хранить мат-

19

рицу Л, требуя для этого порядка 0(1\\ х Ыг) ячеек, а также проводить вычисления за приемлемое время.

Для иллюстрации ниже приводится матрица А, имеющая место в Зх мерном случае для системы двух нелинейных уравнений Шредингера:

/

Л=

ш(3) о А о

«1,0 У и 1,0 иР\ и

Цп I о ВЯ(3) о о ^

-«1,0 6]1о О у А 0 0

ВД 0 ' ' Зр{2} о §

2 ' 2 2г

^мц

о ^и ¿и о

0 Др« о

01,2

Ь. л г

2 г2 2

0^0 О

т

2т2 ' ' 2Г/ 2

т

А 0 . ' К (3)

г2 и <32,0 ^М2,0

Т"2,0 ¿2.0 О

«2,1

^ " о

Табл.1. Зависимость размера матрицы Л и времени вычислений одной итерации алгоритма от выбранного числа узлов сетки при размещении ее в оперативной памяти компьютера при вычислениях с одинарной или двойной точностью чисел с плавающей точкой.

Число узлов сетки Одинарная точность, Гб Двойная точность, Гб Оценка времени на проведение одной итерации, сутки

N,=N,=100 0.8 1.6 0.1

Nl=Nr~ 200 12.8 25.6 7.4

^ = N,=400 204.8 409.6 474.1

Оценка представлена для модельного компьютера с производительностью ЮСЮРШРв (эта производительность может достигаться, например, на кластере из 32 процессоров Хеоп/2.6 ГГц).

Второй параграф четвертой главы посвящен нахождению аксиально-симметричных солитонов для одного и системы нелинейных уравнений Шре-дингера. В качестве примера расчетов на Рис.4 представлено пространственно-временное распределение интенсивностей цветного солитона.

Для найденных солитонов исследовался вопрос об их аппроксимации известными аналитическими представлениями для солитонов. Было показано, что ЗО солитоны для фиксированных коэффициентов нелинейности в каждом сечении сохраняют форму сечения как по г так и по ? координате. Однако они имеют различные характерные размеры. Важно подчеркнуть, что при изменении коэффициентов нелинейности изменяется и форма сечений в отличие от

аналитических представлений известных солитонов.

(а) (б)

Рис. 4. Форма двухчастотного солитонного решения на основной (а) и удвоенной (б) частоте, соответствующая первому СЗ, для двух уравнений Шредингера в случае аксиально-симметричной среды с квадратичным и кубичным нелинейным откликом для Д = 0.08,

/}2=0.14, 5 = 0.1, а = 5, г = 20.

В третьем параграфе главы IV исследуется устойчивость аксиально-симметричных солитонов к начальным возмущениям их формы. На данный

момент в литературе не существует единого мнения по поводу устойчивости солитонов в средах с комбинированной нелинейностью. В работе1 на основе вариационного анализа показано, что в средах с квадратичной и кубичной нелинейностью могут существовать солитоны, устойчивые к возмущениям начальной формы. В работе2 на основе численных экспериментов утверждается, что стабилизации не наблюдается, и что анализ, выполненный на основе метода вариационного приближения, не точен. В этом параграфе показано, что наличие в среде квадратичной нелинейности наряду с кубичной приводит к условной устойчивости солитонов, т.е. существует некоторая пороговая амплитуда возмущения: если она меньше порогового значения, то солитон распространяется без разрушения своей формы. При превышении возмущением этого порогового значения происходит коллапс солитона.

В четвертом параграфе этой главы исследуется вопрос о стабилизации 2В и ЗБ аксиально-симметричных солитонов. Для их стабилизации предлагается использовать слабую модуляцию коэффициента кубичной нелинейности, а также варьировать длину фокусирующих слоев. Выявлен физический механизм, по которому происходит стабилизация солитона. Следует отметить, что ранее в литературе для ее достижения предлагалась либо среда с чередующимися по знаку нелинейности слоями, либо среда с сильно изменяющимися по величине (но одного знака) нелинейными слоями, что приводит к необходимости учета отраженной от неоднородностей волны и дополнительного анализа применимости математической модели, которое не было выполнено. В случае слабой модуляции коэффициента кубичной нелинейности отраженная волна практически отсутствует. Рассматриваемая модуляция наряду с чередованием длины нелинейных слоев позволяет увеличить длину трассы без коллапса пуч-

1 Mihalache D., Mazilu D„ Malomed B. A., Lederer F., Crasovan L.-C., Kartashov Y. V., Tomer L. Stable three-dimensional optical solitons supported by competing quadratic and self-focusing cubic nonlinearities. // Phys. Rev. E. 2006. V. 74. N 4. P. 047601-1:4.

2 Itin A., Morishita T., Watanabe S. Reexamination of dynamical stabilization of matter-wave solitons. // Phys. Rev. A. 2006. V. 74. N 3. P. 033613-1:12.

ка в 70 раз в случае 2Т> и 4 раза для ЗБ солитонов.

В пятом параграфе четвертой главы рассматривается задача удвоения частоты в Зх мерном аксиально-симметричном случае. Показано, что для этого случая также применим подход к реализации эффективной конверсии частоты высокоинтенсивных фемтосекундных пучков, описанный в восьмом параграфе третьей главы для двумерного случая. Здесь демонстрируется, как можно достигать переключения между солитонными режимами на основной и удвоенной частоте в объемных средах.

В последнем параграфе четвертой главы сформулированы ее краткие выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

1. Построены итерационные методы нахождения солитонов для системы уравнений Шредингера с комбинированной нелинейностью, как с постоянными, так и с переменными коэффициентами. Найдены новые Ю и ЗБ со-литоны. Сформированы условия, при которых СФ системы нелинейных уравнений Шредингера является солитонным решением.

2. Реализованы на многопроцессорных компьютерах нелинейные консервативные разностные схемы для некоторых задач лазерной физики, исследована эффективность распараллеливания от числа узлов сетки, числа процессоров для различных архитектур компьютера.

3. Продемонстрирована возможность стабилизации неустойчивых аксиально-симметричных солитонов нелинейного уравнения Шредингера за счет слабой и неоднородной модуляции коэффициента кубичной нелинейности.

4. Построены области реализации модуляционной неустойчивости для одного из решений задачи ГВГ в приближении длинных импульсов.

5. Предсказаны следующие эффекты, имеющие место при взаимодействии фемтосекундных импульсов оптической средой с квадратичной и кубичной нелинейностью:

• множественность существования устойчивых солитонов, обладающих

одинаковой энергией, и возможность переключения между солитонами первой и второй гармоники;

• формирование в среде с квадратичной и кубичной нелинейностями локализованных структур, распространяющихся солитоноподобно. Отдельны субимпульсы могут распространяться со скоростью, превышающей скорость света в линейной среде;

• реализация эффекта, аналогичного квантовой телепортации, заключающегося во взаимовлиянии локализованных структур.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Trofimov V. A., Matusevich О. V. Full energy conversion without increasing of pulse duration under the SHG of high intensive femtosecond pulses. // Proceedings of SPIE. "IC020: Lasers and laser technologies". China. 2005. V. 6028. P. 602810.

2. Trofimov V. A., Matusevich О. V. Full energy conversion without increasing of pulse duration under the SHG of high intensive femtosecond pulses. // Technical Digest of 20th Congress of International Commission for Optics. Changchun. China. August 21-26.2005. P. 256.

3. Trofimov V. A., Matusevich О. V. Bistable regime of SHG of femtosecond laser pulse in optical fiber. // Proceedings of SPIE. "Nonlinear Optics Applications". Eds. M. A. Karpierz, A. D. Boardman, G. I. Stegeman. Poland. 2005. V. 5949. P. 59491J.

4. Trofimov V. A., Matusevich О. V. Bistable regime of SHG of femtosecond laser pulse in optical fiber. // Abstract of International Congress on Optics and Optoelectronics. Warsaw. Poland. August 28- September 2.2005. P. 75.

5. Матусевич О. В., Трофимов В. А. Бистабильная зависимость эффективности ГВГ от суммарной энергии фемтосекундных импульсов в оптическом волокне. // Оптика и спектроскопия. 2006. Т. 101. №2. С. 293-297.

6. Матусевич О. В., Трофимов В. А. Сравнение эффективности консервативных разностных схем и схем суммарной аппроксимации для задач взаимо-

24

действия фемтосекундных импульсов в среде с квадратичной нелинейностью. // Международная конференция "Тихонов и современная математика". Москва. Июнь 19-25. 2006. Секция 2. С. 130-131.

7. Trofimov V. A., Matusevich О. V. Comparison of efficiency of various difference schemes for the problem of SHG in media with quadratic and cubic nonlinear response. // Abstract of 4th International Conference FDM'06. Lozenetz. Bulgaria. August 26-29.2006. P. 24-25.

8. Матусевич О. В., Трофимов В. А. Компьютерное моделирование трехмерных задач удвоение частоты лазерного излучения на многопроцессорных компьютерах с общей памятью. // Препринт. - М.: МАКС Пресс. 2006.44 С.

9. Trofimov V. A., Matusevich О. V. Comparison of efficiency of various difference schemes for the problem of SHG in media with quadratic and cubic nonlinear response. // Proceedings of 4th International Conference "Finite Difference Methods: Theory and Applications". Lozenetz. Bulgaria. Eds. Farago J., Vabush-chevich P., Vulkov L. Rousse University "Angel Kanchev". 2007. P. 320-325.

10. Матусевич О. В., Трофимов В. А. Сравнение эффективности компьютерного моделирования задачи 3D ГВГ при использовании различных операционных систем на одно- и двухпроцессорных компьютерах. // Вестн. моек, ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2007. №3. С. 18-25.

11. Trofimov V. A., Matusevich О. V. Numerical method for 2D soliton solution at SHG in media with combined nonlinearity. // Abstract of 12th International Conference MMA'07. Trakai. Lithuania. May 30-June 2. 2007. P. 100.

12. Trofimov V. A., Matusevich О. V. Numerical Method for 2D Soliton Solution at SHG in Media with Time-Dependent Combined Nonlinearity. // Journal of Mathematical Modelling and Analysis. 2008. V. 12. N 3. P. 123-134.

13. Матусевич О. В., Трофимов В. А. Итерационный метод нахождения собственных функций системы двух уравнений Шредингера с комбинированной нелинейностью. // ЖВМиМФ. 2008. Т. 48. №4. С. 180-191.

14. Матусевич О. В. Сравнение консервативных схем и схем суммарной ап-

проксимации для уравнения Шредингера в аксиально-симметричной среде. ССМУ ВМиК МГУ. 2008. №5. С. 76-82.

15. Матусевич О. В., Трофимов В. А., Юдина Е. А., Магомед Б. А. Эволюция двухчастотных солитонов в оптическом волокне с продольно неоднородной нелинейностью. // Оптика и спектроскопия. 2009. Т. 106. №1. С. 105-114.

16. Матусевич О. В., Трофимов В. А. Численный метод расчета солитонов нелинейного уравнения Шредингера в аксиально-симметричном случае. // Вестн. моек, ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2009. №3. С. 12-19.

17. Матусевич О. В., Трофимов В. А. Численный метод нахождения 3D солитонов нелинейного уравнения Шредингера в аксиально-симметричном случае. // ЖВМиМФ. 2009. Т. 49. №11. С. 1-12.

18. Trofimov V. A., Matusevich О. V., Lysak Т. М., Volkov A. G. About possibility for realization on "superluminality" effect in nonlinear optics. // Международная конференция "Современные проблемы математики и математической физики". Москва. Июнь 16-18. 2009. С. 373-374.

19. Trofimov V. A., Lysak Т. М., Matusevich О. V., Lan S. Optical soliton formation in one-dimensional photonic crystal with cubic nonlinear response. // Book of abstract of International School and Conference on Photonics (PHOTONICA 09). Belgrade. Serbia. August 24-28. 2009. P. 127.

20. Trofimov V. A., Matusevich О. V., Lysak Т. M. The effects similar to quantum teleportation and superluminality for optical pulses in medium with combined nonlinear response. // Poster of International Conference SFM'09. Photonics. Саратов. Сентябрь 21-24. 2009. http://optics.sgu.ru/SFM/2009/report/1079.

21. Trofimov V. A., Lysak Т. M., Matusevich О. V. Parameter control of optical soliton in one dimensional photonic crystal. // Abstract of 14th International Conference MMA'09. Daugavpils. Latvia. May 27-30.2009. P. 83.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 19.02.2010 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,0. Тираж 80 экз. Заказ 067. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Введение.

Глава 1. Постановка задач взаимодействия двух фемтосекундных импульсов в среде с комбинированной нелинейностью, разностные схемы для них и их компьютерная реализация.

§1.1. Постановка задач и инварианты взаимодействия двух фемтосекундных импульсов в среде с комбинированной нелинейностью.

§1.2. Консервативные нелинейные разностные схемы для задач взаимодействия двух фемтосекундных импульсов в среде с комбинированной нелинейностью.

§1.3. Сравнение эффективности^ консервативных схем и схем суммарной аппроксимации для задач взаимодействия двух фемтосекундных импульсов в среде с комбинированной нелинейностью.

§1.4. Компьютерное моделирование трехмерных задач удвоения частоты лазерного излучения на многопроцессорных компьютерах с общей памятью.

§1.5. Краткие выводы.

Глава 2. Модуляционная неустойчивость распространения двух световых импульсов в условиях генерации второй гармоники в среде с комбинированной нелинейностью.

§2.1. Метод анализа модуляционной неустойчивости с учетом продольной неоднородности амплитуд двух импульсов.

§2.2. Области модуляционной неустойчивости задачи ГВГ в приближении длинных импульсов.

§2.3. Компьютерное моделирование модуляционной неустойчивости задачи ГВГ.

§2.4. Краткие выводы.

Глава 3. Солитонные решения задачи удвоения частоты в среде с комбинированной нелинейностью в координатах (г,0.

§3.1. Аналитическое представление солитонов.

§3.2. Разностная схема для нахождения собственных функций для задачи ГВГ.

§3.3. Зависимость формы солитонов для задачи ГВГ от коэффициентов нелинейности.

§3.4. Собственные функции системы двух уравнений Шредингера с зависимостью коэффициентов квадратичной и кубичной нелинейности от поперечной или временной координаты.

§3.5. Эволюция двухчастотных солитонов в оптическом волокне с зависимостью коэффициентов нелинейности от пространственной координаты.

§3.6. Множественность существования солитонных решений в среде с комбинированной нелинейностью при фиксированной оптической энергии.

§3.7. Устойчивость солитонов при их распространении в среде с комбинированной нелинейностью.

§3.8. Реализация переключения между солитонами на основной и удвоенной частоте.

§3.9. Взаимодействие импульсов основной и удвоенной частоты в среде с наличием расстройки групповых скоростей.

§3.10. Краткие выводы.

Глава 4. Солитонные решения системы двух уравнений Шредингера с комбинированной нелинейностью в координатах (г,г) и

§4.1. Численный метод расчета солитонов нелинейного уравнения

Шредингера в аксиально-симметричном случае.

§4.2. Солитонные решения задачи удвоения частоты в аксиальносимметричной среде.

§4.3. Устойчивость солитонов для задачи удвоения частоты в аксиально-симметричной среде и методы их стабилизации.

§4.4. Устойчивость солитонов для задачи удвоения частоты в аксиально-симметричной среде и методы их стабилизации.

§4.5. Реализация переключения между солитонами на основной и удвоенной частоте в 3D случае.

§4.6. Краткие выводы.

Основные результаты.

В последние двадцать лет бурно развивается одно из направлений лазерной физики - лазерная фемтосекундная нелинейная оптика. Распространение фемтосекундных импульсов, как правило, сопровождается откликом среды одновременно на разных порядках нелинейности и имеющих различные пространственные и временные масштабы. Это приводит к реализации широкого круга нелинейно оптических явлений, таких как генерация второй гармоники, оптическая бистабильность, солитоны, неустойчивость распространения оптических пучков и многие другие задачи.

Одним из интенсивно исследуемых вопросов лазерной физики является формирование солитонных решений, как правило, понимаемых в физическом смысле. Необходимо отметить, что солитонные решения часто встречаются в различных областях науки и широко обсуждаются в литературе [52-67]. В нелинейной оптике с ними связывают возможность построения солитонных оптических линий для передачи информации; создание лазеров, генерирующих солитоны [7, 8]; распространение солитонов в атмосфере и твердых телах без существенного искажения их пространственной или временной формы [68]. Несмотря на многочисленные работы в этой области, разработка методов нахождения солитонных решений по-прежнему остается актуальной задачей. Одним из перспективных методов может быть обсуждаемый достаточно давно (см. монографии [7, 8]) метод, основанный на нахождении солитонов из решения задачи на собственные значения (СЗ) и собственные функции (СФ). Такой подход, в частности, рассматривался в [69-71]. В [69] для одномерного случая построен один из возможных итерационных методов нахождения СФ для среды с кубичной нелинейностью, который позволил получить СФ в случае слабого влияния нелинейности (параметр нелинейности был много меньше 1). Предложенный в [70, 71] метод позволил находить солитоны для данного уравнения в условиях произвольного значения параметра нелинейности. Однако нахождение СФ системы уравнений Шредингера или многомерного нелинейного уравнения Шредингера в литературе не обсуждалось, также как и случай переменных коэффициентов уравнений Шредингера. Интерес же к солитонным решениям системы нелинейных уравнений Шредингера постоянно возрастает в связи с экспериментальным подтверждением цветных солитонов в начале 90х годов прошлого века и предсказанных в [72]. В работе применяются различные методы линейной алгебры для нахождения СФ и СЗ [73-76]. Однако, в литературе отсутствовало обсуждение построения сходящегося итерационного процесса при решении систем нелинейных уравнений Шредингера, что выполнено в этой работе.

Из-за нелинейности уравнения Шредингера основным методом его решения является компьютерное моделирование. Численные методы для задач нелинейной оптики обычно строятся либо на основе метода расщепления, либо на основе консервативных разностных схем [76]. Для задач лазерной физики консервативные разностные схемы строились в частности в [79-86]. В рассматриваемых в диссертации задачах используется этот подход к построению схем, а также проводится сравнение эффективности консервативных разностных схем с методами расщепления.

Следует подчеркнуть, что из-за большой вычислительной сложности рассматриваемых задач, в диссертации широко привлекаются параллельные вычисления на основе технологии ОрепМР. Обширная библиография по этим вопросам содержится, например, в [88-92]. При этом в литературе отсутствовали исследования эффективности решения задач нелинейной оптики с применением параллельных вычислений. Этот вопрос также детально обсуждается в диссертации.

Цель работы заключалась в эффективной реализации консервативных разностных схем для системы двух уравнений Шредингера с учетом квадратичной и кубичной нелинейности среды на многопроцессорных компьютерах, обладающих общей памятью; в построении эффективного итерационного метода для нахождения двухцветных 2Б и ЗБ солитонов для сред с комбинированной нелинейностью; в изучении нелинейного взаимодействия фемтосекундных световых импульсов со средой, обладающей квадратичным и кубичным нелинейным откликом; в разработке способов стабилизации неустойчивых солитонов в аксиально-симметричном случае при их распространении в среде с квадратичной и кубичной нелинейностью.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

1. Построены итерационные методы для нахождения СФ и СЗ систем нелинейных уравнений Шредингера, на основе которых находятся двухцветные 2В и ЗБ солитоны для сред с комбинированной нелинейностью как в случае постоянных, так и в случае поперечно-неоднородных коэффициентов для широкого диапазона их изменения.

2. Реализованы нелинейные консервативные разностные схемы на многопроцессорных компьютерах с общей памятью.

3. Изучено влияние продольной неоднородности коэффициентов нелинейности среды на устойчивость распространения солитонов. Показана возможность подавления неустойчивости аксиально-симметричных солитонов в среде с кубичной нелинейностью, состоящая в неоднородной по пространственной координате слабой модуляции нелинейности среды.

4. Обнаружена множественность существования солитонных решений системы двух уравнений Шредингера с комбинированной нелинейностью, обладающих одинаковой суммарной энергией. На основании этого предложен способ переключения между солитонными решениями.

5. Обнаружены эффекты формирования локализованных структур, распространяющихся солитоноподобно в среде с комбинированной нелинейностью со скоростями большими и меньшими, чем скорость света в линейной среде; изучена причина ускорения локализованных структур; обнаружен эффект, аналогичный эффекту квантовой телепортации, заключающийся в том, что возмущение, внесенное в одну из локализованных структур, оказывает воздействие на другую локализованную структуру, значительно удаленную от первой во времени.

6. Исследована устойчивость решения задачи удвоения частоты, построенного в "приближении длинных импульсов", для системы двух уравнений Шредингера в среде с комбинированной нелинейностью.

Практическая ценность.

1. Проведенное распараллеливание алгоритмов, реализующих консервативные нелинейные разностные схемы, позволило существенно повысить эффективность их применения на многопроцессорных компьютерах с общей памятью. Показаны их преимущества по сравнению с используемыми в литературе методами расщепления.

2. Предложенные итерационные методы нахождения СФ и СЗ системы двух нелинейных уравнений Шредингера могут быть использованы для аналогичных уравнений с другими нелинейностями. Найденные солитоны могут использоваться для передачи информации по нелинейным оптическим линиям связи.

3. Продемонстрированная возможность переключения между солитонами основной и удвоенной частоты может быть использована для создания оптических переключателей, работающих в фемтосекундном диапазоне.

4. Обнаруженные эффекты нелинейной локализации и взаимовлияния локализованных структур могут быть использованы для задач кодирования и передачи информации, а также для задач неразрушающего контроля.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, характеризующий состояние проблемы, и излагается содержание работы.

В первом параграфе главы 1 рассматриваются различные математические постановки задачи взаимодействия двух фемтосекундных импульсов в средах с комбинированной нелинейностью в пространстве различной размерности. Формулируются начальные и граничные условия. В этом же параграфе записаны инварианты задачи.

Во втором параграфе первой главы записаны консервативные разностные схемы (КРС) для различных постановок задачи удвоения частоты, сформулированных в предыдущем параграфе. Так как они нелинейны, то записывается итерационный процесс их реализации. Для решения полученных систем разностных уравнений используется, в частности, метод прогонки.

В третьем параграфе первой главы приведены схемы суммарной аппроксимации, широко используемые в литературе для решения задач нелинейной оптики. Записана наиболее часто встречаемая в литературе схема расщепления (МР) и схема с введенным итерационным процессом на этапе решения нелинейного уравнения (МРИ). На основе компьютерного моделирования показано, что схемы суммарной аппроксимации не являются консервативными. Проведенное сравнение разностных схем для задачи удвоения частоты в пространстве двух переменных показало, что для схем МР и МРИ требуется существенное увеличение размера области по сравнение с КРС. Для схемы МРИ, требуется на порядок меньшее значение шага по пространственной координате для достижения результата вычислений, выполненных по КРС. Схема же МР требует шаг по пространству на несколько порядков меньший, чем схема МРИ. При корректном выборе шагов сетки эффективность схем суммарной аппроксимации падает по сравнению с КРС из-за существенного возрастания числа операций для достижения результатов с одинаковой точностью. Таким образом, проведенное сравнение эффективности схем показало, что КРС обладает преимуществом перед другими разностными схемами. Поэтому дальнейшие результаты получены на основе КРС.

В четвертом параграфе первой главы рассматриваются методы увеличения быстродействия программы для решения системы двух нелинейных уравнений Шредингера (НУШ) в Зх мерной постановке, так как ее решение требует большого объема вычислений и затрат машинного времени. Один из них состоит в уменьшении числа итераций итерационного процесса за счет повышения точности вычислений. Проведенные расчеты показали, что при использовании чисел с плавающей точкой двойной точности вместо одинарной точности заданная точность сходимости итерационного процесса достигается в 1.7-2 раза быстрее. Другая возможность для оптимизации программы состоит в использовании библиотечных функций, например, быстрого преобразования Фурье, адаптированных к используемым процессорам. Это позволяет ускорить выполнение программы приблизительно в 1.3 раза при расчетах с одинарной точностью и в 1.7 раз для двойной точности. Дальнейшее увеличение скорости выполнения программы связано с распараллеливанием на основе технологии ОрепМР для многопроцессорных систем с общей памятью. Это приводит к увеличению быстродействия до 1.5 раз на двухпроцессорном компьютере. Также значительно влияет на время выполнения алгоритма выбор операционной системы и типа компьютера.

В пятом параграфе первой главы сформулированы ее краткие выводы.

Глава 2 состоит из трех параграфов и посвящена исследованию модуляционной неустойчивости решений задачи удвоения частоты, полученных в приближении длинных импульсов для среды с комбинированной нелинейностью. В первом параграфе этой главы проведено исследование устойчивости решений системы уравнений, описывающей процесс ГВГ в оптоволокне, по первому приближению. Основное отличие рассматриваемого подхода к анализу неустойчивости от традиционно используемого в литературе заключается во взаимном учете влияния возмущений друг на друга из-за продольной неоднородности коэффициентов нелинейности.

Во втором параграфе этой главы получена зависимость инкремента возмущения с частотой соп от числа учитываемых пространственных мод. Построена область реализации модуляционной неустойчивости для одного из аналитических решений задачи, полученного в приближении длинных импульсов.

В третьем параграфе второй главы проводится сопоставление результатов компьютерного моделирования нелинейной системы ОДУ с результатами, полученными во втором параграфе, а также с результатами численного моделирования задачи ГВГ, проведенного на основе системы НУШ с использованием КРС, для подтверждения результатов линейного анализа.

В четвертом параграфе второй главы сформулированы ее краткие выводы.

Третья глава посвящена построению солитонных решений уравнений ГВГ для среды с кубичной и квадратичной нелинейностью в двумерном случае.

Как известно, солитон в физическом смысле представляет собой оптическую волну, не изменяющую свою форму при распространении в нелинейной среде. Такие решения представляют большой интерес, например, для задач передачи информации по оптическим волоконным линиям.

В первом параграфе этой главы приводится аналитическое солитонное решение в случае уравнения с кубичной нелинейностью для практически важного случая отсутствия волны второй гармоники. Здесь же приводится форма солитона при распространении оптического излучения в квадратичной среде. Эти решения были известны в литературе. Однако они используются в работе для тестирования построенных итерационных методов численного нахождения солитонных решений.

Во втором параграфе третьей главы построен итерационный метод нахождения собственных функций (СФ) для системы двух нелинейных уравнений Шредингера, описывающей процесс удвоения частоты фемтосекундных импульсов в среде с квадратичной и кубичной нелинейностью. В этом параграфе обсуждаются разностные методы, которые используются для нахождения СЗ и СФ соответствующей матрицы на очередной итерации алгоритма.

При реализации итерационного процесса имеет место проблема сопоставления СФ с соответствующим СЗ на каждой итерации. Обобщение подхода, развиваемого для случая одного уравнения Шредингера с кубичной нелинейностью, при котором СЗ рассматриваемой матрицы упорядочивались по убыванию и на каждой итерации выбиралось т-ое СЗ, часто приводит к расходимости итерационного процесса. В данном параграфе выявлена причина его расходимости и предложена итерационная процедура, расширяющая область сходимости алгоритма на всю плоскость физически достигаемых параметров.

Построенный итерационный метод позволяет найти СФ, по крайне мере, до 50 номера. При вычислении СФ контролировалась невязка решения в норме С. Эта характеристика важна именно для нахождения солитонного решения уравнения Шредингера. В этом случае она не должна превышать 10"5. При нахождении СФ разностной задачи это требование может быть ослаблено. Важно подчеркнуть, что имеется и второе условие, при выполнении которого СФ является солитоном: она должна быть устойчива по отношению к расширению временного отрезка при решении эволюционной задачи с начальным условием в виде СФ.

С помощью описанного метода были найдены солитонные решения неизвестной ранее в литературе формы для широкого диапазона коэффициентов нелинейности, соответствующих первому и второму СЗ. Построенный метод используется также для нахождения солитонов рассматриваемых ниже задач. Тестирование метода проводится в шестом параграфе на известных в литературе солитонах.

В третьем параграфе третьей главы исследуется влияние соотношения коэффициентов кубичной и квадратичной нелинейности, а также расстройки волновых чисел на форму солитона.

В четвертом параграфе главы 3 проводится обобщение метода нахождения солитонов для двух уравнений Шредингера на случай зависимости коэффициентов квадратичной и кубичной нелинейности от переменной ^. Показано, как преобразуется матрица, возникающая на очередной итерации алгоритма, в этом случае. Обсуждаются ограничения на применимость итерационного метода в зависимости от частоты модуляции коэффициентов нелинейности. Для набора параметров, близких к физическому эксперименту, получены солитонные решения. При этом рассмотрен практически важный случай неоднородной (по поперечной координате) квадратичной среды. Изучается, насколько близко друг от друга можно расположить солитоны на входе в среду при условии отсутствия коллапса оптической волны в процессе ее распространения. Проведенные численные эксперименты позволили сделать вывод о возможности 2.5% перекрытия солитонов основной частоты для выбранного набора физических параметров.

Пятый параграф третьей главы посвящен эволюции солитонов, найденных для сред с постоянными коэффициентами нелинейности (далее, однородных сред) при их распространении в среде с периодической зависимостью коэффициентов нелинейности от продольной координаты. Показано, что слабая модуляция коэффициента кубичной или квадратичной нелинейности приводит к осцилляциям пиковой интенсивности солитонов (в их обеих компонентах, в случае двухцветных солитонов) без разрушения их формы. При слабой модуляции коэффициентов нелинейности осцилляции пиковой интенсивности происходят на частоте, совпадающей с частотой модуляции нелинейных коэффициентов. Отмечается, что квадратичные солитоны при слабом влиянии периодически модулированной кубичной нелинейности также испытывают осцилляции своих параметров при распространении в однородной среде. При сильной же модуляции коэффициентов нелинейности может происходить коллапс формы солитона. Однако присутствие в среде квадратичного отклика позволяет существенно расширить диапазон амплитуды модуляции коэффициентов нелинейности, которые не приводили бы к разрушению формы солитона при его распространении в среде с модулированной нелинейностью, по сравнению с кубичной средой. Установлены области устойчивости солитонов в пространстве параметров модуляции.

В шестом параграфе третьей главы показана возможность гистерезисных зависимостей эффективности генерации, длительности импульсов и расстройки волновых чисел от суммарной энергии взаимодействующих волн при генерации второй гармоники фемтосекундными импульсами солитонной формы в среде, обладающей квадратичной и кубичной нелинейностью. Важно отметить, что на средней ветви гистерезисной зависимости имеет место устойчивый к малым возмущениям солитон. Построена аппроксимация цветных солитонов с различных ветвей гистерезисной зависимости с точностью 0.001.

Здесь также показано, что солитоны, найденные с помощью предлагаемого итерационного метода, совпадают с известным аналитическим решением для частных случаев отсутствия волны второй гармоники, а также для случая квадратичных сред. Это говорит о том, что численный метод для нахождения соли-тонных решений системы уравнений Шредингера работает корректно.

В седьмом параграфе главы 3 изучается устойчивость солитонов по отношению к начальным возмущениям их формы. На основе компьютерного моделирования показано, что двухцветные солитоны для среды с комбинированной нелинейностью в случае координат (^,0 устойчивы к начальным возмущениям до 20% их амплитуды. При этом они испытывают осцилляции пиковой интенсивности и длительности импульсов.

В восьмом параграфе третьей главы рассматривается влияние слабой кубичной нелинейности на достижение высокой эффективности конверсии частоты без увеличения длительности импульса второй гармоники. Главной особенностью обсуждаемого режима удвоения частоты является отсутствие обратной перекачки энергии на солитоном решении. Суть предлагаемого метода заключается в использовании двух нелинейных сред: импульс, формируемый на выходе из первой среды, подается на вход во вторую. В первой среде происходит ГВГ в условиях группового и фазового синхронизма. Во второй среде взаимодействие между волнами происходит в условиях большой расстройки волновых чисел. Если кубичная нелинейность достаточно мала, то начинается процесс каскадной генерации, и обратная перекачка энергии практически отсутствует. Показано, каким образом выбирать длину первого кристалла, а также начальный сдвиг фаз импульсов для переключения между солитонным распространением на различных частотах (основной и удвоенной).

В девятом параграфе третьей главы изучается эффект "зирег1иштаП1у" при взаимодействии двух фемтосекундных импульсов в условиях расстройки групповых скоростей в среде с комбинированной нелинейностью. Показано, что могут формироваться субимпульсы на основной и удвоенной частотах, которые распространяются солитоноподобно со скоростями большими и меньшими, чем скорость света в линейной среде. Причина ускорения субимпульса обусловлена наведенными периодическими решетками вследствие перекачки энергии из одной волны в другую. Компьютерные эксперименты показали, что воздействие, вносимое в некотором сечении в один из цветных субимпульсов, оказывает воздействие на удаленный во времени другой субимпульс. Таким образом, реализуется ситуация, аналогичная эффекту квантовой механики, когда два фотона, испущенные вместе из одного источника ощущают воздействие, осуществленное на один из них.

В десятом параграфе третьей главы сформулированы ее краткие выводы.

Глава 4 посвящена обсуждению аксиально-симметричных солитонов в 2х и Зх мерных случаях. В первом параграфе четвертой главе развивается подход к нахождению солитонов, описанный в главе 3, для случая аксиально-симметричных сред (координаты {г,г)). В отличие от случая координат (г, рассмотрение случая {г, г) приводит к несимметричной матрице, что требует дополнительного изучения задачи на СЗ и СФ. При увеличении размерности задачи, поиск солитонов требует большого объема вычислений и затрат машинного времени. Это связано с необходимостью выполнять расчеты на сетках, имеющих более миллиона узлов.

Для нахождения СЗ несимметричной матрицы теоретически можно использовать (^Я-алгоритм, предварительно сведя ее к форме Хессенберга, что позволяет понизить сложность алгоритма с хЛ^) до 0(Л^3 хЛ^). Однако, и в этом случае проблема нехватки вычислительных ресурсов (таких как оперативная память и мощность процессора) встает здесь очень остро. Для решения этой проблемы был использован алгоритм Арнольди для поиска СЗ и СФ на очередной итерации, который позволяет эффективно хранить матрицу системы, требуя для этого порядка 0{Ы, х Ыг) ячеек, а также проводить вычисления за приемлемое время.

Второй параграф четвертой главы посвящен нахождению аксиально-симметричных солитонов для одного и системы нелинейных уравнений Шре-дингера.

Для найденных солитонов исследовался вопрос об их аппроксимации известными аналитическими представлениями для солитонов. Было показано, что ЗБ солитоны для фиксированных коэффициентов нелинейности в каждом сечении сохраняют форму сечения как по г, так и по £ координате. Однако они имеют различные характерные размеры. Важно подчеркнуть, что при изменении коэффициентов нелинейности изменяется и форма сечений в отличие от аналитических представлений известных солитонов.

В третьем параграфе главы 4 исследуется устойчивость аксиально-симметричных солитонов к начальным возмущениям их формы. На данный момент в литературе не существует единого мнения по поводу устойчивости солитонов в средах с комбинированной нелинейностью. В работе [71] на основе вариационного анализа показано, что в средах с квадратичной и кубичной нелинейностью могут существовать солитоны, устойчивые к возмущениям начальной формы. В работе [51] на основе численных экспериментов утверждается, что стабилизации не наблюдается, и что анализ, выполненный на основе метода вариационного приближения, не точен. В этом параграфе показано, что наличие в среде квадратичной нелинейности наряду с кубичной приводит к условной устойчивости солитонов, т.е. существует некоторая пороговая амплитуда возмущения: если она меньше порогового значения, то солитон распространяется без разрушения своей формы. При превышении возмущением этого порогового значения происходит коллапс солитона.

В четвертом параграфе этой главы исследуется вопрос о стабилизации 2Б и ЗО аксиально-симметричных солитонов. Для их стабилизации предлагается использовать слабую модуляцию коэффициента кубичной нелинейности, а также варьировать длину фокусирующих слоев. Выявлен физический механизм, по которому происходит стабилизация солитона. Следует отметить, что ранее в литературе для ее достижения предлагалась либо среда с чередующимися по знаку нелинейности слоями, либо среда с сильно изменяющимися по величине (но одного знака) нелинейными слоями, что приводит к необходимости учета отраженной от неоднородностей волны и дополнительного анализа применимости математической модели, которое не было выполнено. В случае слабой модуляции коэффициента кубичной нелинейности отраженная волна практически отсутствует. Рассматриваемая модуляция наряду с чередованием длины нелинейных слоев позволяет увеличить длину трассы без коллапса пучка в 70 раз в случае 20 и 4 раза для ЗБ солитонов.

В пятом параграфе четвертой главы рассматривается задача удвоения частоты в Зх мерном аксиально-симметричном случае. Показано, что для этого случая также применим подход к реализации эффективной конверсии частоты высокоинтенсивных фемтосекундных пучков, описанный в восьмом параграфе третьей главы для двумерного случая. Здесь демонстрируется, как можно достигать переключения между солитонными режимами на основной и удвоенной частоте в объемных средах.

В последнем параграфе четвертой главы сформулированы ее краткие выводы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [93-113] и докладывались на 9 международных конференциях:

- Международная научная конференция "Nonlinear Optics Applications" в составе конгресса "Optics and Optoelectronics" (Poland, Warsaw, 2005);

- Международная научная конференция "20th Congress of International Commission for Optics" (Changchun, China, 2005);

- Международная конференция "Тихонов и современная математика" (Москва, 2006);

- Международная научная конференция "Finite Difference Methods: Theory and Applications" (Lozenetz, Bulgaria, 2006);

- Международная научная конференция "Mathematical Modelling and Analysis" (Trakai, Lithuania, 2007);

- Международная научная конференция "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики" (Москва, Россия, 2009);

- Международная научная конференция "Photonica 09: International School and Conference on Photonics" (Belgrade, Serbia, 2009);

- Международная научная конференция " Saratov Fall Meeting " (Саратов, Россия, 2009);

- Международная научная конференция "Mathematical Modelling and Analysis" (Daugavpils, Latvia, 2009).

Отдельные результаты работы докладывались на научном семинаре лаборатории математического моделирования в физике, на кафедре вычислительных методов и на научном семинаре член-корр. РАН Шишмарева И.А. факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. Ломоносова.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю д.ф.-м.н., проф. Трофимову Вячеславу Анатольевичу за постоянную поддержку и ценные рекомендации и коллективу кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова за творческую обстановку.

Основные результаты.

1. Построены итерационные методы нахождения солитонов для системы уравнений Шредингера с комбинированной нелинейностью, как с постоянными, так и с переменными коэффициентами. Найдены новые 2Б и ЗО со-литоны. Сформированы условия, при которых СФ системы нелинейных уравнений Шредингера является солитонным решением.

2. Реализованы на многопроцессорных компьютерах нелинейные консервативные разностные схемы для некоторых задач лазерной физики, исследована эффективность распараллеливания от числа узлов сетки, числа процессоров для различных архитектур компьютера.

3. Продемонстрирована возможность стабилизации неустойчивых аксиально-симметричных солитонов нелинейного уравнения Шредингера за счет слабой и неоднородной модуляции коэффициента кубичной нелинейности.

4. Построены области реализации модуляционной неустойчивости для одного из решений задачи ГВГ в приближении длинных импульсов.

5. Предсказаны следующие эффекты, имеющие место при взаимодействии фемтосекундных импульсов оптической средой с квадратичной и кубичной нелинейностью:

• множественность существования устойчивых солитонов, обладающих одинаковой энергией, и возможность переключения между солитонами первой и второй гармоники;

• формирование в среде с квадратичной и кубичной нелинейностями локализованных структур, распространяющихся солитоноподобно. Отдельны субимпульсы могут распространяться со скоростью, превышающей скорость света в линейной среде;

• реализация эффекта, аналогичного квантовой телепортации, заключающегося во взаимовлиянии локализованных структур.

1. Ахманов С.А., Выслоух В.А., Чиркин А.С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. М.: Наука, 1988.

2. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. / Пер. с англ. М.: Мир, 1996.

3. Сухоруков А.П. Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике. М.: Наука, 1988.

4. Шен И.Р. Принципы нелинейной оптики. / Пер. с англ. М.: Наука, 1989.

5. Дмитриев В.Г., Тарасов JI.B. Прикладная нелинейная оптика. М.: Физмат-лит, 2004.

6. Разумихина Т.Б., Телегин Л.С., Холодных А.И. и др. Трехчастотные взаимодействия высокоинтенсивных оптических волн в средах с квадратичной и кубичной нелинейностью. // Квант, электр. 1984. Т. 11. №10. С. 20262030.

7. Кившарь Ю.С., Агравал Т.П. Оптические солитоны. От световодов к фотонным кристаллам. / Пер. с англ. М.: Физматлит, 2005.

8. Ахмедиев Н.Н., Анкевич А. Солитоны. Нелинейные импульсы и пучки. / Пер. с англ. М.: Физматлит, 2003.

9. Malomed В.А. Soliton management in periodic systems. New York: Springer, 2006.

10. Lysak T.M., Trofimov V.A. Bistability and uniqueness of solutions in the problem of second harmonic generation of femtosecond pulses. // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2001. V. 41. N 8. P. 1214-1226.

11. Лысак T.M., Трофимов В.А. Бистабильность и единственность решений задачи генерации второй гармоники фемтосекундными импульсами. // Опт. и спектр. 2002. Т. 93. №5. С. 861-874.

12. Ashihara S., Nishina J., Shimura Т., Kuroda К. Soliton compression of femtosecond pulses in quadratic media. // JOSA B. 2002. V 19. N 10. P. 2505-2510.

13. Hasegawa A. Generation of a train of soliton pulses by induced modulational instability in optical fibers. // Opt. Lett. 1984. V. 9. N 7. P. 288-290.

14. Fang H., Malendevich R., Schiek R., Stegeman G.I. Spatial modulational instability in one-dimensional lithium niobate slab waveguides. // Opt. Lett. 2000. V. 25. N24. P. 1786-1788.

15. Shukla P.K., Rasmussen J.J. Modulational instability of short pulses in long optical fibers. // Opt. Lett. 1986. V. 11. N 3. P. 171-173.

16. Potasek M.J., Agrawal G.P. Self-amplitude-modulation of optical pulses in nonlinear dispersive fibers. // Phys. Rev. A. 1987. V. 36. N 8. P. 3862-3867.

17. Salerno D., Jedrkiewicz O., Trull J., Valiulis G., Picozzi A., Di Trapani P. Noise-seeded spatiotemporal modulation instability in normal dispersion. // Phys. Rev. E. 2004. V. 70. N 6. P. 065603.

18. Боровкова O.B., Чупраков Д.А., Сухоруков А.П. Возбуждение двумерных солитонных матриц гауссовыми пучками основной частоты. // Квантовая электроника. 2005. Т. 43. № 1. С. 65-68.

19. Выслоух А.В., Иванова И.С., Магницкий С.А., Трофимов В.А. Модуляционная неустойчивость световых пучков и импульсов при их распространении в поглощающих средах. Опт. и спектр. 2000. Т. 88. №3. С. 456-464.

20. Волков А.Г., Трофимов В.А. О модуляционной неустойчивости фемтосе-кундных световых импульсов, распространяющихся в оптическом волокне. // Оптика и спектроскопия. 2004. Т. 96. №1. С. 97-100.

21. Abdullaev F., Darmanyan S., Khabibullaev P. Optical solitons. Berlin, Heidelberg, 1993.

22. Buryak A.V., Kivshar Yu.S. Spatial optical solitons governed by quadratic non-linearity. // Opt. Lett. 1994. V. 19. N 20. P. 1612-1615.

23. Buryak A.V., Trapani P.D., Skryabin D.V., Trillo S. Optical solitons due to quadratic nonlinearities: From basic physics to futuristic applications. // Phys. Rep. 2002. V. 370. N 2. P. 63-235.

24. Brull L., Lange H. Stationary, oscillatory and solitary wave type solution of singular nonlinear Schrodinger equations. // Math. Meth. In the Appl. Sci. 1986. V. 8. N4. P. 559-575.

25. Liu X., Beckwitt K., Wise F.W. Two-dimensional optical spatiotemporal solitons in quadratic media. // Phys. Rev. E. 2000. V. 62. N 1. P. 1328-1340.

26. Stegeman G., Hagan D J., Torner L. y}2) cascading phenomena and their applications to all-optical signal processing, mode-locking, pulse compression and solitons. // Opt. Quantum electron. 1996. V. 28. N 12. P. 1691-1740.

27. Grimshaw R., Kuznetsov E.A., Shapiro E.G. The two-parameter soliton family for the interaction of a fundamental and its second harmonic. // Phys. D. 2001. V. 152-153. P. 325-339.

28. Malomed B.A., Mihalache D., Wise F., Torner L. Spatiotemporal optical solitons. // J. Opt. B. 2005. V. 7. N 5. P. 53-72.

29. Etrich C., Lederer F., Malomed B.A. et al. Optical solitons in media with a quadratic nonlinearity. // Progress in Optics. 2000. V. 41. P. 483-568.

30. Yang J., Malomed B. A., Kaup D. J. Embedded solitons in second-harmonic-generating systems. // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. N 10. P. 1958-1961.

31. Steblina V., Kivshar Yu.S., Lisak M. et al. Self-guided beams in a diffractive X(2) medium: variational approach. // Opt. Commun. 1995. V. 118. N 3-4. P. 345-352.

32. Mihalache D., Mazilu D., Malomed B.A. et al. Stable three-dimensional optical solitons supported by competing quadratic and self-focusing cubic nonlineari-ties. // Phys. Rev. E. 2006. V. 74. N 4. P. 047601.

33. Driben R., Oz Y., Malomed B.A. et al. Mismatch management for optical and matter-wave quadratic solitons. // Phys. Rev. E. 2007. V. 75. N 2. P. 026612.

34. Sakaguchi H., Malomed B.A. Resonant nonlinearity management for nonlinear Schrodinger solitons. // Phys. Rev. E. 2004. V. 70. N 6. P. 066613.

35. Saito H., Ueda M. Dynamically stabilized bright solitons in a two-dimensional Bose-Einstein condensate. // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 90. N 4. P. 040403.

36. Abdullaev F.K., Caputo J.G. , Kraenkel R.A., Malomed B.A. Controlling collapse in Bose-Einstein condensates by temporal modulation of the scattering length. //Phys. Rev. A. 2003. V. 67. N 1. P. 013605.

37. Liberati S., Sonego S., Visser M. Faster-than-c signals, special relativity, and causality. //Annals of Physics. 2002. V. 298. N 1. P. 167-185.

38. Hache A., Poirier L. Anomalous dispersion and superluminal group velocity ina coaxial photonic crystal: Theory and experiment. // Phys. Rev. E. 2002. V. 65. N 3. P. 036608.

39. Shore G.M. Superluminality and UV completion. // Nuclear Physics B. 2007. V. 778. N3. P. 219-258.

40. Nimtz G. Superluminal signaling by photonic tunneling. // IEEE Journal of selected topics in quantum electronics. 2003. V. 9. N 1. P. 79-85.

41. Nimtz G. On superluminal tunneling. // Progress in Quantum Electronics. 2003. V. 27. N6. P. 417- 450.

42. Lim H., Ilday F.O., Wise F.W. Femtosecond ytterbium fiber laser with photonic crystal fiber for dispersion control. // Optics Express. 2002. V. 10. N 25. P. 1497-1502.

43. Towers I., Malomed B.A. Stable (2+l)-dimentional solitons in a layered medium with sign-alternating Kerr nonlinearity. // JOSA B. 2002. V. 19. N 3. P. 537-543.

44. Chiao R.Y., Garmire E., Townes C.H. Self-trapping of optical beams. // Phys. Rev. Lett. 1964. V. 13. N 15. P. 479-482.

45. Berge L., Mezentsev V.K., Rasmussen J.J., Christiansen P.L. and Gaididei Y.B. Self-guiding light in layered nonlinear media. // Opt. Lett. 2000. V. 25. N 14. P. 1037-1039.

46. Nijhof J.H.B., Doran N .J., Forysiak W., Knox F.M. Stable soliton-like propagation in dispersion managed systems with net anomalous, zero and normal dispersion. // Electron. Lett. 1997. V. 33. N 20. P. 1726-1727.

47. Lakoba T., Yang J., Kaup D.J., Malomed B.A. Conditions for stationary pulse propagation in the strong dispersion management regime. // Opt. Commun. 1998. V. 149. N 4-6. P. 366-375.

48. Moll K.D., Gaeta A.L., Fibich G. Self-similar optical wave collapse: observation of the Townes soliton. // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 90. N 20. P. 203902.

49. Montesinos G.D., Perez-Garcia V.M. Numerical studies of stabilized Townes solitons. // Mathematics and Computers in Simulation. 2005. V. 69. N 5. P. 447456.

50. Montesinos G.D., Perez-Garcia V.M., Torres P.J. Stabilization of solitons of the multidimensional nonlinear Schrodinger equation: matter-wave breathers. // PhysicaD. 2004. V. 191. N 3-4. P. 193-210.

51. Itin A., Morishina Т., Watanabe S. Reexamination of dynamical stabilization of matter-wave solitons. // Phys. Rev. A. 2006. V. 74. N 3. P. 033613.

52. Захаров B.E., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория соли-тонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980.

53. Кернер Б.С., Осипов В.В. Автосолитоны. М.: Наука, 1991.

54. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. / Пер. с англ. М.: Мир, 1987.

55. Ablowitz M.J., Clarkson P.A. Solitons. Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering. London Mathematical Society Lecture Notes Series 149. Cambridge: Cambridge University Press, 1991.

56. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986.

57. Лэм Дж.Л. Введение в теорию солитонов. / Пер. с англ. М.: Мир, 1983.

58. Богоявленский О.И. Опрокидывающие солитоны: Нелинейные интегрируемые уравнения. М.: Наука, 1991.

59. Наянов В.И. Многополевые солитоны. М.: Физматлит, 2006.

60. Додд Р., Эилбек Дж., Гиббон Дж. и др. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. / Пер. с англ. М.: Мир, 1988.

61. Мива Т., Джимбо М., Датэ Э. Солитоны: дифференциальные уравнения, симметрии и бесконечномерные алгебры. М.: МЦНМО, 2005.

62. Инфельд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос. / Пер. с англ. М.: Физматлит, 2005.

63. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. / Пер. с англ. М.: Мир, 1989.

64. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений. / Пер. с англ. М.: Мир, 1985.

65. Давыдов А.С. Солитоны в молекулярных системах. Киев: Наукова думка,1984.

66. Новокшенов В.Ю. Введение в теорию солитонов. Москва Ижевск: РХД, 2002.

67. Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. / Пер. с англ. М.: Мир, 1985.

68. Власов С.Н., Таланов В.И. Самофокусировка волн. / ИПФ РАН. Нижний Новгород, 1997.

69. Варенцова С.А., Трофимов В.А. О разностном методе нахождения собственных мод нелинейного уравнения Шредингера. // Вестн. моек, ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2005. №3. С. 16-22.

70. Trofimov V.A., Varentsova S.A. Computational method for finding of soliton solutions of a nonlinear Schrödinger equation. // In "Lecture Notes in Mathematics" / Ed. Vulkov L. Springer-Verlag. Berlin. Heidelberg. 2005. V. 3401. P. 550-557.

71. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

72. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. / Пер. с англ. М.: Мир, 2001.

73. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. / Пер с англ. М.: Мир, 1999.

74. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989.

75. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.

76. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.

77. Карамзин Ю.Н., Сухоруков А.П., Трофимов В.А. Математическое моделирование в нелинейной оптике. М.: Изд-во московского университета, 1989.

78. Логинова М.М, Трофимов В.А. Сравнение некоторых разностных схем для задачи воздействия фемтосекундного импульса на полупроводник. // Вестн. моек, ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2004. №1. С. 10-16.

79. Трофимов B.A., Терешин Е.Б., Федотов M.B. Исследование разностных схем для задачи самовоздействия фемтотсекундного импульса в фотонном кристалле. // Вестн. моек, ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2003. №2. С. 20-26.

80. Trofimov V.A., Tereshin Е.В. Comparison of various difference schemes for the problem of femtosecond pulse propagation in nonlinear layered medium. // Proceedings of CMMSE'04. Uppsala. Sweden. 2004. P. 274-281.

81. Варенцова C.A., Волков А.Г., Трофимов В.А. Консервативная разностная схема для задачи распространения фемтосекундного лазерного импульса в кубично нелинейной среде. // ЖВМ и МФ. 2003. Т. 43. №11. С. 1709-1721.

82. Волков А.Г., Трофимов В.А., Терешин Е.Б. Консервативные разностные схемы для некоторых задач фемтосекундной оптики. // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41. №7. С. 908-917.

83. Захарова И.Г., Карамзин Ю.Н., Трофимов В.А. Метод расщепления в задачах нелинейной оптики. М.5 1989 (Препринт / ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР).

84. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. СПб.: БХВ-Петербург, 2002.89. www.openmp.org90. www.intel.com91. http://parallel.ru/cluster/leo linpack.html92. http://www.caam.rice.edu/software/ARPACtC/

85. Trofimov V.A., Matusevich O.V. Full energy conversion without increasing of pulse duration under the SHG of high intensive femtosecond pulses. // Proceedings of SPIE. "IC020: Lasers and laser technologies". China. 2005. V. 6028. P. 602810.

86. Trofimov V.A., Matusevich O.V. Bistable regime of SHG of femtosecond laser pulse in optical fiber. // Proceedings of SPIE. "Nonlinear Optics Applications". Eds. Karpierz M.A., Boardman A.D., Stegeman G.I. Poland. 2005. V. 5949. P. 59491J.

87. Trofimov V.A., Matusevich O.V. Bistable regime of SHG of femtosecond laser pulse in optical fiber. // Abstract of International Congress on Optics and Optoelectronics. Warsaw. Poland. August 28- September 2. 2005. P. 75.

88. Матусевич O.B., Трофимов B.A. Бистабильная зависимость эффективности ГВГ от суммарной энергии фемтосекундных импульсов в оптическом волокне. // Оптика и спектроскопия. 2006. Т. 101. №2. С. 293-297.

89. Матусевич O.B., Трофимов B.A. Компьютерное моделирование трехмерных задач удвоение частоты лазерного излучения на многопроцессорных компьютерах с общей памятью. // Препринт. М.: МАКС Пресс, 2006. 44 С.

90. Trofimov V.A., Matusevich O.V. Numerical method for 2D soliton solution atth

91. SHG in media with combined nonlineanty. // Abstract of 12 International Conference MMA'07. Trakai. Lithuania. May 30-June 2. 2007. P. 100.

92. Trofimov V.A., Matusevich O.V. Numerical Method for 2D Soliton Solution at SHG in Media with Time-Dependent Combined Nonlinearity. // Journal of Mathematical Modelling and Analysis. 2008. V. 12. N 3. P. 123-134.

93. Матусевич O.B., Трофимов B.A. Итерационный метод нахождения собственных функций системы двух уравнений Шредингера с комбинированной нелинейностью. // ЖВМиМФ. 2008. Т. 48. №4. С. 180-191.

94. Матусевич О.В. Сравнение консервативных схем и схем суммарной аппроксимации для уравнения Шредингера в аксиально-симметричной среде. // ССМУ ВМиК МГУ. 2008. №5. С. 76-82.

95. Матусевич О.В., Трофимов В.А., Юдина Е.А., Маломед Б.А. Эволюция двухчастотных солитонов в оптическом волокне с продольно неоднородной нелинейностью. // Оптика и спектроскопия. 2009. Т. 106. №1. С. 105

96. Матусевич О.В., Трофимов В.А. Численный метод расчета солитонов нелинейного уравнения Шредингера в аксиально-симметричном случае. // Вестн. моек, ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2009. №3. С. 12-19.

97. Матусевич О.В., Трофимов В.А. Численный метод нахождения 3D солитонов нелинейного уравнения Шредингера в аксиально-симметричном случае. // ЖВМиМФ. 2009. Т. 49. №11. С. 1-12.

98. Trofimov V.A., Lysak T.M., Matusevich O.V. Parameter control of optical soliton in one dimensional photonic crystal. // Abstract of 14th International Conference MMA'09. Daugavpils. Latvia. May 27-30. 2009. P. 83.114.