автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование нестационарного встречного взаимодействия световых пучков в средах с кубичной нелинейностью



ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ВСТРЕЧНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СВЕТОВЫХ ПУЧКОВ В СРЕДАХ С КУБИЧНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

Специальность 05.13.16 -«Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях»

На правах рукописи

НИКИТЕНКО КОНСТАНТИН ЮРЬЕВИЧ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -д.ф.-м.н., ст.н.с. Трофимов В.А.

Москва-1998

Содержание

Введение, 4

Глава 1. Математическое моделирование встречного четырехволнового взаимодействия (ЧВВ) (координаты (г, х, 1;)), 14

1.1. Постановка задачи встречного нестационарного неколлинеарного ЧВВ, 14

1.2. Инварианты встречного неколлинеарного ЧВВ, 16

1.3. Разностные схемы для задачи встречного нестационарного неколлинеарного четырехволнового взаимодействия, 18

1.4. Анализ устойчивости неколлинеарного взаимодействия двух встречных волн (координаты (г, х)), 20

1.4.1. Условия реализации неустойчивости взаимодействия двух встречных не-коллинеарных волн с равными амплитудами, 21

1.4.2. Влияние неравенства амплитуд взаимодействующих волн на процесс развития неустойчивости, 29

1.5. Численные эксперименты нестационарного ОВФ при встречном ЧВВ, 31

1.6. Краткие выводы, 63

Глава 2. Математическое моделирование оптической бистабильности (ОБ), реализуемой при встречном взаимодействии волн, 66

2.1. Постановка задачи оптической бистабильности при встречном взаимодействии четырех и двух встречных волн, 66

2.2. Численное моделирование оптической бистабильности при неколлинеарном взаимодействии четырех и двух волн (координаты (х, ъ, 1)), 71

2.2.1. Влияние неколлинеарности взаимодействия двух волн на автоосцилляции выходной мощности светового пучка, 71

2.2.2. Нестационарные процессы в оптически бистабильной схеме на основе встречного неколлинеарного взаимодействия четырех волн, 76

2.2.3. Особенности переключения в оптически бистабильной схеме на основе взаимодействия двух встречных волн, 85

2.2.4. Оптическая бистабильность в схеме на основе взаимодействия двух встречных волн в условиях нарушения закона отражения Снеллиуса, 95

2.3. Краткие выводы, 103

Глава 3. Математическое моделирование встречного взаимодействия двух фемтосе-кундных лазерных импульсов, 106

3.1. Постановка задачи, 106

3.2. Преобразование уравнений встречного взаимодействия фемтосекундных

импульсов, 107

3.3. Инварианты встречного взаимодействия двух фемтосекундных импульсов, 108

3.4. Анализ устойчивости взаимодействия двух встречных фемтосекундных

импульсов, 110

3.5. Разностные схемы для задач взаимодействия фемтосекундных импульсов, 116

3.5.1. Разностная схема для задачи распространения фемтосекундного импульса в керровоской среде, 116

3.5.2. Некоторые оценки сеточных функций, 119

3.5.3. Разностная схема для задачи взаимодействия двух встречных фемтосекундных импульсов, 122

3.6. Краткие выводы, 124

Основные результаты диссертации, 125

Список литературы, 127

Введение

Нелинейно-оптические эффекты, проявляющиеся при воздействии мощного лазерного излучения на вещество, привлекают внимание исследователей на протяжении нескольких десятков лет [1-59]. Это связано, прежде всего, с многочисленными практическими приложениями в технике и технологии. Особенно интересны с этой точки зрения многоволновые взаимодействия, при которых проявляются такие явления, как обращение волнового фронта, оптическая бистабильность и др.

Явление обращения волнового фронта позволяет компенсировать искажения, вносимые нелинейной средой, что повышает качество процесса взаимодействия. Одним из возможных способов реализации ОВФ является встречное четырехволно-вое взаимодействие, изучению которого уделяется большое внимание исследователей [13-23]. Однако, при встречном взаимодействии интенсивного лазерного излучения проявляются различные виды неустойчивостей [20, 24-31], исследование которых является актуальной проблемой в связи с повышением надежности нелинейно-оптических систем.

В связи с прогрессом в вычислительной технике в последние годы чрезвычайно возрос интерес исследователей к явлению оптической бистабильности [39-54]. Это обусловлено возможностью построения оптических переключателей и на их основе оптических компьютеров, которые по своим характеристикам превышали бы полупроводниковые аналоги. Одной из возможных схем оптической бистабильности является схема, основанная на встречном взаимодействии световых волн [44, 52].

Важно отметить, что в последние годы также возрос интерес к взаимодействию фемтосекундных лазерных импульсов в связи с уникальными характеристиками, присущими им, и возможностью построения на их основе быстродействующих опти-

ческих переключателей. Однако, математический аппарат для исследования взаимодействия фемтосекундных лазерных импульсов пока остается слабо развитым. Поэтому построение адекватных происходящим процессам моделей является актуальной проблемой науки.

Отметим, что всестороннее исследование нелинейно-оптических процессов возможно лишь на основе компьютерного моделирования, с применением методов численного эксперимента, базирующихся на принципе консервативности. Консервативные разностные схемы построены для широкого класса задач взаимодействия лазерного излучения с веществом [62-69]. Тем не менее, для ряда актуальных проблем обоснованные разностные схемы пока отсутствуют.

Цель работы заключалась в изучении на основе математического моделирования оптической бистабильности во взаимодействии встречных волн при их отражении от экрана, имеющего отверстие на его оси; исследовании развития неустойчивости при взаимодействии импульсов (в том числе фемтосекундной длительности); исследовании возможности реализации ОБ схемы с пикосекундным диапазоном переключения; преобразовании системы уравнений, описывающей взаимодействие фемтосекундных импульсов, и нахождении инвариантов такого взаимодействия. Научная новизна работы состоит в следующем:

• Предложен новый механизм реализации оптической бистабильности, основанный на нарушении законов отражения Снеллиуса. Показана принципиальная возможность реализации волн переключения.

• Предложена математическая модель взаимодействия двух фемтосекундных импульсов. Построены инварианты такого взаимодействия и предложена разностная схема для его расчета.

• Исследовано развитие неустойчивости нелинейного неколлинеарного взаимодействия двух встречных импульсов, в том числе и фемтосекундной длительности.

• Получены частотные интервалы развития неустойчивости в зависимости от параметров взаимодействия, в результате чего уточнены имеющиеся в литературе оценки.

• На основе компьютерного моделирования показана принципиальная возможность сочетания реализации оптической бистабильности и обращения волнового фронта в схеме четырехволнового взаимодействия.

Практическая ценность работы заключается в следующем:

1. Обнаружен и исследован новый механизм реализации оптической бистабильности, который может быть использован для построения оптических переключателей,

1 л

имеющих быстродействие 10" с (и выше).

2. Найдены инварианты для задачи взаимодействия двух фемтосекундных импульсов, которые позволяют строить консервативные разностные схемы для данных задач.

3. Предложено преобразование обобщенных уравнений Шредингера, которое может быть перенесено на многочастотное взаимодействие.

4. Показана принципиальная возможность сочетания явления обращения волнового фронта и оптической бистабильности, что позволяет повысить надежность методов оптической обработки информации.

5. Найдены частотные интервалы неустойчивости взаимодействия встречных волн, учет которых позволяет повысить надежность передачи информации с помощью лазерных пучков и импульсов.

Перейдем к изложению краткого содержания диссертации.

Первая глава посвящена исследованию нестационарного взаимодействия двух и четырех встречных неколлинеарно распространяющихся дифрагирующих пучков в средах с кубичной нелинейностью в координатах (I, х, ё).

Постановке задачи посвящен первый параграф. Здесь записана система безразмерных уравнений относительно комплексных амплитуд А, описывающая взаимодействие четырех встречных дифрагирующих неколлинеарно распространяющихся пучков в условиях локальной и мгновенной (керровской) нелинейности в предположении одинакового вклада всех наведенных световыми пучками решеток диэлектрической проницаемости (с точки зрения их времени жизни) при формировании встречных пучков отражением падающих от зеркала, расположенного непосредственно на границе нелинейной среды.

Во втором параграфе приводятся инварианты встречного четырехволнового взаимодействия в случае достижения системы стационарного состояния.

В третьем параграфе записана разностная схема для сформулированной в первом параграфе задачи. Заметим, что поскольку обоснованию разностных схем для уравнений шредингеровского типа в настоящее время посвящена обширная литература, то в данном параграфе обоснование численных методов ограничено записью порядка аппроксимации применяемой разностной схемы по пространственным координатам и времени.

В четвертом параграфе анализируется устойчивость неколлинеарного взаимодействия двух встречных волн. Аналитически получены условия, при которых реализуется неустойчивость взаимодействия двух встречных неколлинеарных волн с равными амплитудами, а также изучается влияние неравенства амплитуд встречных

волн на данный процесс. Отметим, что впервые вопрос развития конвективной (вдоль области распространения) неустойчивости в системе двух встречных независимых волн изучался в [20]. Однако, там был рассмотрен лишь коллинеарный случай взаимодействия в фокусирующей среде. В настоящей работе впервые изучается развитие возмущений при неколлинеарном взаимодействии, как для фокусирующей, так и для дефокусирующей среды. Показано, что неколлинеарность взаимодействия расширяет спектральный диапазон развития неустойчивости и изменяет интервал, в котором достигается максимальный коэффициент усиления возмущений. Анализируется влияние знака самовоздействия на обогащение спектрального интервала. При этом отмечается, что в случае дефокусировки для неколлинеарного взаимодействия наибольший инкремент усиления достигается в области частот, на которых при коллине-арном взаимодействии неустойчивость не реализуется. Продемонстрировано, что неравенство амплитуд опорных волн может приводить, как к росту неустойчивости, так и к ее снижению для разных решений относительно инкремента нарастания шумов с учетом фокусирующей или дефокусирующей среды.

В пятом параграфе первой главы излагаются результаты численного эксперимента для модели ОВФ ЧВВ, сформулированной в первом параграфе. В ходе численного эксперимента проводится анализ влияния неколлинеарности распространения на процесс, а также вклад самовоздействия волн и перекачки их энергии на возникновение осциллирующих режимов характеристик взаимодействия. Обнаружено, что процесс встречного ЧВВ носит существенно нестационарный характер. Для проверки правильности расчетов необходимо осуществлять контроль полученного в численных экспериментах распределения интенсивности путем анализа его спектрального состава.

Анализируются причины нестационарности процесса взаимодействия. Среди наиболее существенных факторов отмечаются: взаимная перекачка энергии взаимодействующих волн, самовоздействие, влияние неколлинеарности взаимодействия, при которой проявляется эффект нарушения закона отражения Снеллиуса, а также влияние неравенства амплитуд встречных опорных волн, исследованное в предыдущем параграфе. В ходе численных экспериментов обнаружено, что основной вклад в развитие нестационарных процессов при встречном ЧВВ вносит взаимная перекачка энергии взаимодействующих волн, причем при отдельном рассмотрении перекачки и самовоздействия неколлинеарность распространения пучков может, как сглаживать осцилляции из-за перемешивания лучей, так и наоборот усиливать их. При одновременном же учете этих факторов неколлинеарность, как правило, приводит к усилению осциллирующих процессов. Приводится сравнение данной схемы ЧВВ с рядом других схем.

Во второй главе диссертации изучаются оптически бистабильные свойства схемы неколлинеарного встречного взаимодействия двух и четырех встречных волн при отражении некоторых из них от зеркала, имеющего отверстие на его оси.

Первый параграф второй главы посвящен постановке задачи двух и четырех-волнового встречного взаимодействия дифрагирующих световых пучков в среде с керровской нелинейностью при их отражении от зеркала с отверстием на его оси и находящегося непосредственно на границе нелинейного кристалла. Первоначально такая ОБ схема была предложена в [44]. Однако, она обладала существенным недостатком - большим продольным размером, поскольку отражающее зеркало располагалось на некотором расстоянии от нелинейного кристалла. Впоследствии в [52] эта схема была принципиально модифицирована путем расположения зеркала непосред-

ственно на грани кристалла, что существенно снизило продольные размеры элемента.

ТГЧ и

В развитие указанных идеи впервые анализируется неколлинеарное взаимодеиствие волн в такой ОБ схеме, позволяющее реализовать бистабильность на новом физическом принципе.

Во втором параграфе методом численного эксперимента анализируются закономерности ЧВВ в сочетании с ОВФ и двухволнового встречного взаимодействия в схеме с отверстием на оси отражающего зеркала. Изучается существование оптической бистабильности характеристик части оптического излучения прошедшей отверстие в зеркале и впервые анализируется влияние неколлинеарности взаимодействия на процесс. Отметим, что изучение свойства ОБ в условиях ОВФ при встречном ЧВВ изучается также впервые.

Для четырехпучкового взаимодействия проводится анализ вклада самовоздействия и перекачки энергии волн. В ходе численных экспериментов впервые продемонстрирована возможность реализации волн переключения. ОБ реализуется по нескольким характеристикам пучка: выходной интенсивности и мощности части падающего пучка, прошедшей отверстие, а также по положению энергетического центра отраженного пучка на входе в нелинейную среду. Это дает возможность организации логических операций и минимизации энергопотерь на акт переключения. Показано, что для достижения переключения необходимо применять сигнальный импульс определенной (оптимальной) длительности.

Основным препятствием на пути реализации переключения является развитие нестационарных процессов взаимодействия, что и определяет по сути требования к длительности и форме импульса. Выполнена оценка времени переключения. Приводятся оценки профилей пучков и импульса. Принципиально показано, что для изу-

и

чаемой ОБ схемы возможно получение переключения, основанного на различных физических механизмах: фокусировке падающего пучка в кольцевой структуре отраженного при коллинеарном взаимодействия, а также нелинейном отражении (в условиях нарушения закона Снеллиусса) падающего наклонного пучка от пространственно распределенной структуры, наведенной отраженным пучком. Изучено влияние неколлинеарности взаимодействия на нестационарные процессы. Отмечается, что ОБ элемент может базироваться, как на двухпучковом взаимодейстии, так и четырехпуч-ковом. Показано, что четырехпучковое взаимодействие по сравнению с двухпучко-вым позволяет реализовать самопересечения выходных характеристик для более широкого набора параметров, причем в сочетании с ОВФ оно позволяет компенсировать

и и и Т-» и

искажения вносимые нелинейной средой. В случае четырехпучкового взаимодеиствия изучается влияние самовоздействия и перекачки энергии на процесс. Показано, что одновременный учет самовоздействия пучков и взаимной перекачки энергии может качественно изменить картину взаимодействия волн по сравнению с полученными результатами при отдельном рассмотрении этих факторов.

Третья глава диссертации посвящена теоретическому исследованию встречного взаимодействия фемтосекундных лазерных импульсов с учетом дисперсии второго порядка и дисперсии нелинейного отклика среды, нахождению инвариантов, построению разностных схем взаимодействующих волн, исследованию устойчивости.

Первый параграф посвящен постановке задачи встречного взаимодействия двух фемтосекундных лазерных импульсов. Отметим, что отличител�