автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование распространения фемтосекундных лазерных импульсов в среде с нестационарной нелинейностью

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

Волков Алексей Генрихович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФЕМТОСЕКУНДНЫХ ЛАЗЕРНЫХ ИМПУЛЬСОВ В СРЕДЕ С НЕСТАЦИОНАРНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2007

003056702

Работа выполнена в лаборатории математического моделирования а физике факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физ.-матсм. наук, профессор

В.А. Трофимов

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:, доктор физ.-матем. наук, профессор

Я М. Жилейкин

кандидат физ.-матем. наук, доцент I

В.Д. Гора

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ. |

Институт математического моделирования РАН.

Защита состоится " " ^м/ЛХ^ 2007 г. в

на заседании Диссертационного совета К 501.001.07 в Московском государственном

!

университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, второй учебный корпус, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат диссертации разослан " 16» а-п^е/я, 2007 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета

кандидат физ.-матем. наук, доцент

В.М. Говоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования.

Фемтосекундные лазерные импульсы в настоящее время находят всё большее применение в различных областях науки и техники Их малая длительность и высокая интенсивность позволяет изучать сверхбыстрые физико-химические и биологические процессы. Эти импульсы находят широкое применение в информационных технологиях для передачи и обработки информации оптическими методами. Поэтому изучение взаимодействия фемюсекундных импульсов с веществом представляет собой актуальную проблему.

Высокая интенсивность фемтосекундных импульсов и их малая длительность делает отклик среды нелинейным и нестационарным. Как правило, отклик среды на такое 1 воздействие обладает кубичной нелинейностью. Однако, его нестационарность приводит к необходимости учета и ещё производной по времени от нелинейного отклика. В результате, распространение фемтосекундного импульса в среде описывается, так называемым комбинированным нелинейных! уравнением Шрёдянгера (КНУШ), которое в отличие от широко исследуемого нелинейного уравнения Шрёдингера содержит производную по времени от нелинейного отклика среды. Несмотря на всё большое применение КНУШ для описания процесса распространения фемтосекундного лазерного импульса, например, в оптических волокнах в литературе практически отсутствовало какое-либо исследование свойств используемых для моделирования разностных схем (как правило, это был метод расщепления). Поэтому построение консервативных разностных схем для рассматриваемого класса задач является актуальной задачей.

Цель работы заключалась в построении консервативных разностных схем для задач распространения фемтосекундных импульсов в нелинейной среде, описываемого в рамках КНУШ и в изучении на их основе взаимодействия таких импульсов при распространении оптического излучения в среде с нестационарной нелинейностью кер-ровского типа

Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

1. Построены консервативные разностные схемы для нелинейного уравнения Шрё-дингера, содержащего производную по времени от нелинейности

I

2. Показано, что при компьютерном моделировании для устранения развития неустойчивости на частоте, обусловленной одним из нелинейных коэффициентов уравнения, необходимо учитывать спектральный инвариант задачи.

3. Предложен метод анализа модуляционной неустойчивости, состоящий в учете

I

формы импульса и взаимном влиянии возмущений друг на друга, который позво-

I

лил более точно оценить частотный интервал роста возмущений по сравнению с

!

оценками, имевшими место в литературе.

4. Предсказано и изучено самоформирование солитонов в оптических волокнах всле-

1

дствие линейной частотной модуляции начального светового импульса; формиро-

I

вание аттосекундных импульсов на фронте оптической ударной волне; возможность подавления самофокусировки световых аксиально-симметричных пучков в среде с кубичной нелинейностью при учете производной по времени от нелинейно-

I

го отклика среды. |

Практическая ценность. ;

I

1. Построенные консервативные разностные схемы для задачи распространения фем-

тосекундного импульса, описываемого в рамках КНУШ, позволили существенно

I

повысить эффективность компьютерного моделирования по сравнению с исполь-

|

зуемыми в литературе методами расщепления.

2. Предложенный подход к анализу модуляционной неустойчивости фемтосекундных

I

импульсов, состоящий в учете взаимного влияния возмущений друг на друга из-за

I

неоднородной формы импульса, может бьггь обобщен на аналогичные задачи при

|

наличии пространственной неоднородности отклика среды (пространственной дисперсии) |

3 Обнаруженный способ самоформировшшя солитонов из фемтосекундных импульсов с линейной частотной модуляции может найти приложение в системах передачи информации по оптическим волокнам.

Защищаемые положения.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Консервативные разностные схемы для КНУШ, описывающего распространение фемтосекундных импульсов в среде с кубичной нелинейностью в координатах (z,i), (x,z,t) и (r,z,t).

2.1 Роль спектрального инварианта в устранении развития неустойчивости на частоте возмущения, определяемой одним из коэффициентов КНУШ.

3. Метод анализа модуляционной неустойчивости фемтосекундного импульса, состоящего в учете взаимного влияния возмущений друг на друга вследствие неоднородной формы импульса.

4. Возможность ограничения нелинейного фокуса вследствие учета производной по времени от нелинейного отклика среды.

5. Самоформирование солитонов из импульсов фемтосекундной длительности при линейной частотной модуляции на входе в нелинейную среду, а также субимпульсов аттосекундной длительности, формируемых на фронте оптической ударной волны

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на 9 международных и российских конференциях:

- International Conference "Finite-Difference Schemes". (Lithuania, Palanga, 2000);

- International Conference "Mathematics Modelling and Analysis". (Lithuania, Vilnius,

2001),

- International Conference "Saratov Fall Meeting". (Saratov, 2001);

- The XI International Conference on Laser Optics (L0'2003) (St.-Petersburg, 2003),

- International Conference on Coherent and Nonlinear Optics. (St.-Petersburg, 2005);

|

- International Quantum Electronics Conference 2005. The Pacific Rim Conference on Lasers

!

and Electro-Optics. (Tokyo, Japan, 2005);

!

- The XII International Conference on Laser Optics (L0'2006). (St.-Petersburg, 2006);

!

- International Conference on Laser and Fiber-Optical Networks Modeling (I.FNM 2006). (Kharkov, Ukraine, 2006).

- Научная конференция "Тихоновские чтения" (МГУ им. Ломоносова, факультет вы-

I

числительной математики и кибернетики, 2006)

j

Отдельные результаты работы докладывались на научном семинаре лаборатории

1

математического моделирования в физике, на кафедре вычислительных методов фа-

j

культета вычисли!ельной математики и кибернетики МГУ им. М В. Ломоносова.

Публикации. Список работ, опубликованных по материалам диссертации, приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, основных результатов, списка литературы, включающего в себя 117 наименований, и содержит 39 рисунков, 11 таблиц. j

Личный вклад автора.

Все используемые в диссертации результаты получены автором лично или при

его определяющем участии в посгроении разностных схем, проведении компьютерных

i

экспериментов и интерпретации результатов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ. Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, характеризующий состояние проблемы и излагается содержание работы.

Первая глава содержит 4 параграфа. В первом параграфе этой главы рассматривается математическая постановка задачи распространения фемтосекундного светового импульса в оптическом волокне с кубичной нелинейностью и с учетом производной от

нелинейного отклика среды. В этом случае его распространение описывается следующим безразмерным комбинированным нелинейным уравнением Шредингера (КНУШ) относительно медленно изменяющейся во времени комплексной амплитуды А{г,1):

— + Ю~ + 1а\Л\2А + ау—(Ы2Л) = 0, г>0, 0 </ <I,, & дМ 'д/4 1

£ = (А ехр( ¡М -¡кг) ) + к.с.) / 2 ,

с начальным и граничными условиями

¿и =4,(0. 4-0Л =0,

которые соответствуют финитному начальному распределению комплексной амплитуды. Выше £ - напряженность электрического поля, ео и к соответственно безразмерная частота и волновое число светового импульса, нормированная на максимальное значение на входе в нелинейную среду комплексная амплитуда импульса, распространяющегося вдоль координаты 2, которая измеряется в единицах длины среды, I - нормированное на длительность импульса время в сопровождающей его системе координат, £> - коэффициент, равный отношению длины среды к дисперсионной длине, а - отношение начальной мощности импульса к характерной мощности самовоздействия, у - параметр, обратно пропорциональный произведению длительности импульса на его частоту, I,- безразмерный временной интервал, в пределах которого анализируется процесс распространения импульса. На основе преобразования1

£(г,0= \А{г,тт)е " — + -Е = А

; Й у

исходное уравнение преобразуется к виду

дЕ .п82Е ,.,2. Л

— + ¡0—т- + ссг\А\ А = 0. 5г д1 11

1 Трофимов В А. О новом подходе к моделированию распространения сверхкоротких лазерных импуль-

сов//ЖВМ и МФ 1998 Т 38 N5 С 835-839.

Оно является более удобным для компьютерного моделирования, так как не содержит производной по времени от нелинейного отклика. Краевые и начальные условия для

него записываются следующим образом

I

i

'(i-e

4=0 = §Ц = + = к = = £о(0 = ¡Мп)е ' .

Во втором параграфе первой главы записаны и доказаны инварианты рассматриваемой в первом параграфе задачи. Они имеют вид

,дЕ \ Ю

1Л (z) = j^rf = corar, /, (z) = Ji(|£

SE'

-y\m{E-))dt = const,

8t

I2(z)= jRe(EA')dt = const, /3(z)= —E'~)dt = const,

a?

8t'

/».(*) = ¡АегЛ = е'г \А^()егЛ.

о о

Эти инварианты используются для построения консервативных разностных схем.

В третьем параграфе первой главы выполнена постановка задачи распространения оптического импульса в кубично нелинейной среде с учетом поперечной структуры оптического излучения. Здесь рассмотрена задача как в координатах (х,г,(), так и в координатах (г,г, г). В последнем случае распространение светового пучка описывается следующей системой безразмерных'уравнений

дЕ « _ „Э2Я | ..г . Л 8Е (' дг 81 5/ у

с начальным и граничными условиями

£(г,0,0 = £в(г,0, г§ц = Ц =(§■=0,

где й - максимальное значение безразмерной поперечной координаты В этом параграфе также получены инварианты рассматриваемых задач.

В последнем параграфе первой главы сформулированы ее краткие выводы. Вторая глава содержит 6 параграфов и посвящена построению консервативных разностных схем для поставленных задач в первой главе. В ее первом параграфе по-

строена консервативная разностная схема (КРС) для задачи распространения фемтосе-кундного импульса в оптическом волокне. Для этого в области С2 = (0,¿г)х ((),£,) вводится сетка а = а>г х т, :

а, = {гт = тИ, т = 0,1,...Л/,, Л = ={/„ =иг, и = 0,1,.. т = Ц/Ы,}

и используются безипдексные обозначения:

А = А(г„,(„), А = А(г„+1,(„\ Аа = А(г„,/„,,), ^ = 0.5(^ + Л), £ = £(гт,0, £ = £(^„0, Еа = Е(гт,Гм), Е = 0.5(£ +£),| = 0.5(| А\2+\А |2). Тогда построенная разностная схема вместе с итерационным процессом имеет вид

(.4) <■) (.)

А (1+1) (») (.) 0 5 0 5 (о (.) (.)

/Г_/Г 05 05 05 1 05 °5 »5

—- + ШЛ,-, £ + /<=0, ' +—(£+!+=

й 2г

1 (и-1) (»1) («1)

(5+1) Л 05 0 5 (5+1) „,„

Л Ем — !П Е„ — Е„ . ; 05 л

/г г г х ' Она имеет первый порядок аппроксимации по времени (из-за аппроксимации краевого

условия) и второй порядок по пространственной координате. Выбор такой аппроксимации краевого условия обусловлен требованием консервативности схемы. Для демонстрации преимуществ построенных консервативных разностных схем в этом же параграфе записаны условно консервативные разностные схемы, которые на первый взгляд являются наиболее естественными. В частности, записана широко используемая в литературе разностная схема на основе метода расщепления (МР) и предложенная её модификация с применением итерационного процесса на этапе решения нелинейного уравнения (МРИ).

Доказательство консервативности предложенных схем проведено во втором параграфе главы II.

В третьем параграфе второй главы проведено сравнение разностных схем для задачи распространения фемтосекундного импульса в оптическом волокне с кубичной нелинейностью при учете производной по времени от нелинейного отклика среды

Здесь обсуждается роль спектрального инварианта, который описывает эволюцию в

среде спектральной гармоники на частоте ау и показывает, что её амплитуда не

!

должна возрастать в процессе распространения светового импульса Тем самым, он является неотъемлемой частью математической модели, используемой для адекватного описания распространения фемтосекундного импульса в рамках КНУШ.

Проведенное сравнение эффективности схем показало, что КРС обладает пре-

|

имуществом перед другими разностными схемами. Так для схемы МРИ требуется на порядок меньшее значение шага по пространственной координате для достижения результата вычислений, выполненных по КРС. Схема МР требует шаг по пространству на несколько порядков меньший чем схема МРИ и практически неприменима, например для компьютерного моделирования задачи самоформировании солитонов при распространении фемтосекундного импульса в кубично-нелинейной среде.

В четвертом параграфе второй главы построены разностные схемы для задачи распространения фемтосекундного ^импульса с неоднородным пространственным профилем интенсивности в кубично-нелинейной среде с учетом производной по времени

от нелинейного отклика как для случая координат (x,z,f), так и (r,z,i). В частности, в

!

случае координат (r,z,t) в области Q = (0,Л)х (0, Lz)x (О, I,) вводится сетка

(о = т, х<ог х со,: тг = {гк = (£ + 0.5)й| к = 0,1 ,...Nr, hr=R/(Nr +0 5)},

a>2={zm=mh2,m = 0X...Nz,hz=LJN1}, со, ={i„ = nr,n = 0,1, N„t = L,/N,}, и, используя безиндексные обозначения,

! os . А = = A(zm,rt,Q,A = = A(zm,rk,tM), А = 0.5 (А+А),

£ = £„„ = E(zm,rk,t.),E = Е^,гк,1„)<Еа = = 0.5(£+£), | А\2 = 0.5(| А\г+\А\2),

05 05

F -F i 05 о' = 0, ' +—Е = А 2г у

записывается схема

л

/Г_ F 05 05 0505

--- + iDrAfr Е+ iD\-„ Е+ау\А\г А

К

с начальным

E(rkß,t„) = E0(rk,tn), k = 0,...,N„ n = 0,...,N,

и граничными условиями

Ко = = о, * = О,...,*, , п = 0,...,ЛГ„

/д

05 05

0.5к2

.Е,

Ол

+ШЛ,-, 1 /(о,п |2 А»), п = -1,

--<_--(-+ _) + ;£) Л =0, к = \,..,Ыг,

\ пг х т у

Е о.

05 05 05 05

Ю ,Ео.м,- Ео,н,-1 /'0' . ... Ещ-Еол г.

—------(--+—Ео,ы,) + шг-!-=—- = 0.

К х х У 0.5йг

г г

В следующем параграфе данной главы доказана консервативность разностных схем, сформулированных в предыдущем параграфе, а в шестом параграфе второй главы сформулированы её краткие выводы.

В третьей главе представлены результаты компьютерного моделирования, выполненные на основе построенных разностных схем. В её первом параграфе показано, что для задачи в координатах (г, Г) и (г?, г) имеет место ограничение пиковой интенсивности фемтосекундного импульса при его распространении как в оптических волокнах, так и в пространстве в аксиально-симметричном случае вследствие влияния дисперсии нелинейного отклика кубичной среды (Рис. 1)

0 00

0 25

0 50

0 75

1 00'

Рис 1 Эволюция пиковой интенсивности импульса вдоль продольной координаты для параметров 0 = 1, а-10, Ог -104 Цифрами у кривых обозначены значения параметра у .

Во втором параграфе предложен способ самоформирования солитонов при распространении фемтосекундного светового импульса в кубично нелинейном световоде с учетом дисперсии нелинейного отклика. Формирование происходит при начальной низкочастотной фазовой модуляции светового импульса на входе в нелинейную среду. Длительность солитонов может быть в несколько раз меньше исходной длительности начального гауссова импульса. Солитоны распространяются с разными скоростями и различаются максимальными интенсивностями. В качестве примера они приведены на Рис. 2. Показано, что к формированию солитонов приводит не только линейная фазовая

3,5-п 3,02,52,0 1,51,00,50,0

|А(г,0|

40

/\

I \

;' I >. ; >

Ч ' '

45

I

50

г 55

г=1.0

I 1 I I

601

Рис 2 Формирование солитонов из первоначально гауссова импульса с линейной фазовой модуляцией Х = 5 различной длительности г = 1 (сплошная линия), 2 (точечная), 3 (штрих-пунктир) для й=у = \,

ог = Ю,1( =100и начального распределения 4,(г)=ехр(-()7/г)2+от),77=Г-/,/2.

модуляция входного импульса, но и чирпирование импульса. Следует подчеркнуть, что без учета производной по времени от нелинейного отклика среды при прочих равных условиях солитоны пе образуются.

Построенное в этом же параграфе аналитическое солитонное решение

__ехр(,Кг+1<р(1-(с-УгУ)

16а, За, 4д,

<*'-<«-У2) = ~(?-1С-У2) +---------------307

■ агск

подтверждает результаты компьютерного моделирования.

В третьем параграфе главы III изучена модуляционная неустойчивость фемтосе-кундного светового импульса при его распространении в среде с кубичной нелинейностью с учетом дисперсии нелинейного отклика. Исследуется зависимость частотного интервала развития возмущения от параметра, характеризующего временную дисперсию нелинейности, формы импульса и взаимного влияния частот друг на друга. Здесь |

предложен более точный подход к учету влияния производной от нелинейного отклика

I

среды на модуляционную неустойчивость импульса имеющего начальную гауссову форму. Полученные на его основе зависимости частотного интервала неустойчивости ог различных характеристик импульса подтверждены компьютерным моделированием. На Рис. 3 в качестве примера показана зависимость граничной частоты возмущений, на которой развивается неустойчивость, от параметра, характеризующего дисперсию нелинейного отклика, полученная из компьютерного эксперимента. Начальный участок уменьшения максимальной частоты обусловлен уменьшением максимальной интенсивности импульса из-за дисперсии нелинейного отклика.

I

На основе линейного анализа получена зависимость инкремента возмущения с частотой <от от числа одновременно действующих 2ЛГ соседних возмущений. Это позволило значительно точнее оценить границу частотного интервала модуляционной неустойчивости по сравнению с её значением, полученным при традиционном подходе.

3°-|,л М

25-

20-

15-

10-

0

0,5

1,0

1,57

Рис 3 Зависимость максимальной частоты, для которой реализуется неустойчивость, от параметра у при воздействии гауссова (т=2) (сплошная кривая) и гипергауссова (т-6) (пунктир) импульсов для параметров й = £г = 1,£, =100, а = 10 и начального распределения 4,(()=ехр(-г/")(1+01соф„17)), <7=/-/,/2

Сопоставление результатов компьютерного моделирования и полученной зависимости показывает, что развиваемый подход дает для максимальной частоты количественно, а для минимальной частоты качественное их совпадение. Отличие значений для нижней частотной границы обусловлено генерацией более низких частот в компьютерном эксперименте за счет нелинейности и обогащением спектрального состава импульса за счет его компрессии, что не учитывается при проведении линейного анализа.

В четвертом параграфе данной главы исследовано самоформирование импульсов аттосекундной длительности. Здесь предложено и проанализировано несколько возможных сценариев формирования таких импульсов. Один из них представлен на Рис 4. Как видно, имеет место развитие как оптической ударной волны, так и последовательности импульсов аттосекундной длительности на её фронте при условии воз-

Рис. 4. Формирование оптической ударной волны и последовательности аттосекундных импульсов при распространении входного гауссова импульса для параметров Л = О 1, а = 10, у = 1

действия импульса фемтосекупдиой длительности. При этом максимальная интенсивность субимпульсов в 2-5 раз меньше чем интенсивность начального импульса. Так как скорость распространения импульса зависит от его интенсивности, то скорость ударной волны в рассматриваемой ситуации больше групповых скоростей последовательности субимпульсов. Как следствие этого, ударная волна догоняет субимпульсы и поглощает их. Поэтому субимпульсы существует только на ограниченной трассе распространения в данных условиях.

В пятом параграфе данной главы проведено компьютерное моделирование распространения оптического излучения в случае неоднородного профиля интенсивности (координагы (г,г,0) В частности, предсказан эффект ограничения пиковой интенсивности пучков при воздействии импульсов определенной частотной модуляции. Следует 1

отметить, что для смодулированного импульса, как это хорошо известно, в рассматри-

вадаом случае имеет неограниченный рост интенсивности в нелинейном фокусе. Фазовая модуляция позволяет ограничить интенсивность. В качестве примера на Рис. 5 представлена эволюция формы импульса на оси пучка для двух значений линейной модуляцией и двух значений чирпирования импульса. Как видно, в начале распространения (г < 0.04) из-за нелинейной зависимости распространения импульса от его интенсивности формируется оптическая ударная волна. Затем дифракция пучка приводит к

Рис 5 Эволюция формы импульса на оси пучка вдоль продольной координаты для а = \0,0 =1,у = 1, 2>!=1,(2,£2)=(-1,0) (сплошные кривые)] (-2,0)(штрих-пунктир), (0,-1)штриховые кривые, (0,-2) (пунктир)

уменьшению его интенсивности и, как следствие этого, снижается влияние нелинейности на процесс распространения оптического излучения г > 0.1. С ростом частоты линейной модуляции (или чирпирования) в данных условиях световой импульс вместо самофокусировки испытывает дефокусировку за счет нелинейности, не содержащей производной по времени от нее (штрих-пунктир и пунктир Рис. 5). Как следствие этого,

интенсивность светового импульса уменьшается, и влияние дисперсии нелинейного отклика также ослабевает, это приводит к исчезновеншо фронта ударной волны. В последнем параграфе третьей главы сформулированы её краткие выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

1. Построены консервативные разностные схемы для задачи распространения фем-тосекундных лазерных импульсов в среде с кубичной нелинейностью, описываемого в рамках комбинированного нелинейного уравнения Шредингера, в координатах (х,г,() и (г,г, С). Выявлена роль спектрального инварианта при постановке задачи распространения фемтосекундного импульса в нелинейной сре-

; де с учетом производной по времени от нелинейного отклика среды.

2. Предложен новый подход к исследованию модуляционной неустойчивости фем-| тосекундного импульса в нелинейной среде, состоящий в учете взаимного влияния возмущений друг на друга из-за неоднородной формы импульса.

3. Предсказаны и исследованы следующие эффекты, имеющие место при взаимо-\ действии фемтосекундных импульсов с кубично нелинейной средой:

I • ограничение интенсивности в нелинейном фокусе пучка вследствие ; влияния производной по времени от нелинейного отклика среды;

• формирование субимпульсов атгосекундной длительности при образовании оптической ударной волны;

• самоформирование солитонов при распространении импульсов в оптическом волокне и наличии частотной модуляции импульса на входе в нелинейную среду.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1 Trofimov V.A., Varentsova S.A., Volkov A.G. Difference schemes for the equation of the femtosecond laser pulse propagation in the nonlinear medium./'/ Abstracts of Third Intern Conference "Finite-Difference Schemes". Palanga. Lithuania. 2000. P.49.

2. Trofimov V A., Varentsova S.A.J Volkov A.G. Conservative difference scheme for laser femtosecond pulse propagation in medium with cubic nonlinearity.// Abstracts of Sixth Intern. Conference "Math Modelling and Analysis". Vilnius. Lithuania. 2001. P 85

3. Trofimov V.A , Varentsova S A.J Volkov A.G. Influence of dispersion of nonlinear response on self-focusing of femtosecond pulse propagation in optical fiber.// In " Laser Physics and Photonics, Spectroscopy, and Molecular Modeling II" /Ed Derbov V.L., Melnikov L.A., Ryabukho V.P. Proceedings of SPIE. 2002 V. 4706. P. 88-97.

4. Trofimov V.A., Volkov A.G. New possibility of soliton formation of femtosecond pulse in optical fiber with cubic nonlinear response.// Technical Program of XI Conf. on Laser Optics Saint-Petersburg. 2003 P. 72.

5. Волков А.Г., Трофимов B.A Формирование солитонов фазово-модулированных фемтосекундных импульсов при их распространении в кубично нелинейном световоде // Оптика и спектроскопия. 2003. Т. 94 N 3. С.506-513.

6. Варенцова С А., Волков А Г., Трофимов В.А. Консервативная разностная схема для задачи распространения фемтосекундного лазерного импульса в кубично нелинейной среде.// ЖВМ и МФ. 2003. Т.43. N11. С.1709-1721.

7. Волков А.Г, Трофимов В.А. О модуляционной неустойчивости фемтосекундных световых импульсов, распространяющихся в оптическом волокне // Оптика и спектроскопия. 2004. Т.96 N 1. С.97-100.

8. Волков А Г., Трофимов В.А. О роли спектрального инварианта при компьютерном моделировании распространения фемтосекундных импульсов// Вестник МГУ Сер 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2005. N 1. С.29-35.

9. Волков А.Г., Трофимов В.А. Влияние формы фемтосекундного импульса и его чирпирования на самоформирование солитонов при распространении в кубично нелинейном волноводе.// Оптика и спектроскопия. 2005. Т.98. N 2. С.339-348.

10. Trofimov V.A., Volkov A.G. Self-formation under soliton Femtosecond Pulse propagation in Optical Fiber. // In ICONO/LAT 2005 Technical Digest on CD-ROM. St. Petersburg. Russia. 2005. IFN22.

11. Trofimov V.A. and Volkov A.G. New features of Modulation Instability of Femtosecond Light Pulses Propagating in Optical Fiber.// Quantum Electronics Conference/ Pacific Rim. Tokyo. Japan 2005. P. 1087-1088. (Technical Digest on CD-ROM QWL4-2.)

12 Волков А Г., Трофимов B.A., Терешин Е.Б. Консервативные разностные схемы для некоторых задач фемтосекундной оптики.// Дифференциальные уравнения. 2005 T.41.N7. С.908-917.

13. Trofimov V.A., Volkov A.G. Self-formation soliton under the Femtosecond Pulse propagation in Optical Fiber. // In "Nonlinear Space-Time Dynamics"/ Ed. Rosanov N., Trillo S. Proceedings of SPIE. 2006. V. 6255. P. 113-122.

14. Trofimov V.A. and Volkov A.G. Self-formation of train of attosecond pulses under the optical shock wave formation at femtosecond pulse nonlinear propagation in optical fiber.//Proceedings of LFNM'2006 Kharkov Ukraine. 2006. P. 293-296.

15. Trofimov V.A. and Volkov A.G. Influence of weak temporal nonlinear dispersion and weak second order dispersion on picosecond pulse propagation in optical fiber with cubic nonlinearity. Lo'2006 Technical Program of International Conference on Laser Optics. St. Petersburg. Russia. 2006. P.51. WeR5-p20.

16. Волков А. Г. О возможности формирования последовательности сверхкоротких лазерных импульсов при нелинейном распространении фемтосекундного импульса в оптическом волокне.// Сборник статей молодых ученных факультета ВМиК МГУ. 2006. № 3 С 44-49.

Подписано в печать 07.04.2007 Формат 60x88 1/16. Объем 1.25 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 638 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение.

Глава 1. Постановка задач распространения фемтосекундного импульса в среде с кубичной нелинейностью.

§1.1. Постановка задачи распространения фемтосекундного импульса в оптическом волокне с кубической нелинейностью. Координаты (z, t).

§ 1.2. Инварианты распространения фемтосекундного импульса в оптическом волокне с кубической нелинейностью.

§1.3. Постановка задачи распространения фемтосекундного импульса с неоднородным пространственным профилем в кубично нелинейной среде. Координаты (х, z, t) и (г, z, t). Инварианты.

§1.4. Краткие выводы.

Глава 2. Разностные схемы для задачи распространения фемтосекундного импульса в среде с кубичной нелинейностью.

§2.1. Построение разностных схем для задачи распространения фемтосекундного импульса в оптическом волокне с кубической нелинейностью. Координаты (z, t).

2.1.1. Нелинейные разностные схемы для преобразованного уравнения.

2.1.2. Разностные схемы для исходного уравнения.

2.1.3. Разностные схемы для преобразованного уравнения на основе метода расщепления.

§2.2. Исследование консервативности разностных схем для задачи распространения фемтосекундного импульса в оптическом волокне с кубичной нелинейностью. Координаты (z, t).

§2.3. Сравнение разностных схем для задачи распространения фемтосекундного импульса в оптическом волокне с кубичной нелинейностью. Координаты (z, t).

2.3.1. Роль спектрального инварианта.

2.3.2. Сравнение консервативной разностной схемы и схемы на основе MP.

§2.4. Построение разностных схем для задачи распространения фемтосекундного импульса с неоднородным пространственным профилем в кубично нелинейной среде.

2.4.1. Координаты (х, z, t).

2.4.2. Координаты (г, z, t).

§2.5. Консервативность разностной схемы для задачи распространения фемтосекундного импульса с неоднородным пространственным профилем в кубично нелинейной среде.

2.5.1. Координаты (х, z, t).

2.5.2. Координаты (г, z, t).

§2.6. Краткие выводы.

Глава 3. Компьютерное моделирование распространения фемтосекундных световых импульсов и пучков в кубично нелинейной среде.

§3.1. Ограничение пиковой интенсивности фемтосекундного импульса в нелинейном фокусе вследствие дисперсии нелинейного отклика кубичной среды.

3.1.1. Координаты (х, г, t).

3.1.2. Координаты (г, z, t).

§3.2. Самоформирование фазово-модулированных солитонов при распространении фемтосекундных импульсов в кубично нелинейном световоде.

3.2.1. Построение аналитического солитонного решения.

3.2.2. Компьютерные эксперименты по влиянию линейной фазовой модуляции и чирпирования фемтосекундного импульса на формирование солитонов.

3.2.3. Влияние длительности и формы фемтосекундного импульса на формирование солитонов.

§3.3. Анализ неустойчивости нелинейного распространения фемтосекундного светового импульса при учете взаимного влияния возмущений.

3.3.1. Независимые возмущения.

3.3.2. Взаимное влияние спектральных компонент возмущений на частотный интервал модуляционной неустойчивости в среде с кубичной нелинейностью.

3.3.2.1. Линейный анализ.

3.3.2.2. Компьютерное моделирование.

§3.4. Самоформирование коротких субимпульсов в слабо нелинейной среде при распространении пикосекундного импульса в оптическом волокне.

3.4.1. Формирование оптической ударной волны с сильной дисперсией второго порядка.

3.4.2. Формирование оптической ударной волны в случае слабой дисперсией второго порядка.

3.4.3. Формирование субимпульсов без появления оптической ударной волны.

§3.5. Компьютерное моделирование распространения пространственно неоднородных световых импульсов. Координаты (r,z,t).

§3.6. Краткие выводы.

Основные результаты.

На протяжении последних 15-20 лет интенсивно развивается новое направление лазерной физики - оптика фемтосекундных лазерных импульсов [1-46]. Оно развивается как в направлении генерации импульсов фемтосекундной длительности, так и в направлении увеличения их интенсивности и в направлении их применения в различных лазерных системах. Применение таких импульсов позволяет исследовать сверхбыстрые процессы в различных областях физики и химии, совершенствовать системы передачи информации, например по оптическим волокнам исследовать поведение вещества в сверхмощных лазерных полях и т.д. При этом многие ранее известные и изученные нелинейные, эффекты (см. например [1-7,47,48]) для импульсов фемтосекундной длительности могут приобрести новое количество в связи с тем, что для импульсов фемтосекундной длительности могут одновременно проявляется нелинейности разных порядков, либо для адекватного описания распространения этих импульсов нужно учитывать производную по времени от нелинейного отклика [4,5,23]. В последнем случае для компьютерного моделирования нельзя применять ранее известные разностные схемы [49-57] и требуется построения инвариантов [58-60,24,25], а также нового подхода к математическому моделированию распространения фемтосекундных импульсов в нелинейной среде. Поэтому требуется разработка новых консервативных разностных схем.

Требует также новых исследований и задача модуляционной неустойчивости при распространении импульсов фемтосекундной длительности. Эти задача очень важна для практики, так как её решение дает ответ на вопрос об устойчивости по отношению к малым возмущениям распространения световых импульсов в нелинейной среде. Поэтому она интенсивно рассматривается в литературе на протяжении многих лет [1,2,5,6,6168,46]. Перенос методов исследования для импульсов с длительностью в пикосекундном диапазоне (и более длинных) на импульсы с фемтосекундной длительности неадекватен, так как в последнем случае нелинейное уравнение Шредингера содержит производную от нелинейного отклика и на этапе экспоненциального роста возмущений её вклад может быть определяющим*Это, в свою очередь, требует разработки более точного подхода к анализу модуляционной неустойчивости фемтосекундных импульсов.

Для импульсов фемтосекундной длительности необходимо также дополнительно исследовать солитонные решения, так как изменяется структура нелинейности [23], что открывает возможности новым методам формирования оптических солитонов. Заметим, что солитоны, как таковые, и оптические солитоны изучается уже много лет [68-73, 5,6,47,21,23,28] и другие работы. Это объясняется их возможным практическим применением, например в задачах передачи информации по оптическим волокнам.

По - иному может проявиться и известная проблема самофокусировки световых пучков и импульсов [74-84] (другие работы) в связи с влиянием временной дисперсии нелинейности отклика. Как известно, самофокусировка во многих лазерных системах приводит к их пробою, и следовательно, поиск возможных способов её подавления представляет актуальную задачу.

Перечисленные выше проблемы представляют собой нелинейные задачи и, как правило, в физическом эксперименте действуют несколько факторов одновременно. Чтобы интерпретировать полученные в таких экспериментах результаты, необходимо использовать математическое моделирование (различные методы математической физики [8588]) и компьютерное моделирование, что приводит к необходимости развития современных численных методов [89-98] применительно к рассматриваемому классу задач (что, в частности было сделано в [99-101] на основе развиваемого в диссертации подхода). Таким образом, именно перечисленным выше проблемам и посвящена настоящая диссертация. Полученные в ней результаты опубликованы в работах [102-117].

Цель работы заключалась в построении консервативных разностных схем для задач распространения фемтосекундных импульсов в нелинейной среде, описываемого в рамках КНУШ и в изучении на их основе взаимодействия таких импульсов при распространении оптического излучения в среде с нестационарной нелинейностью керровского типа.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

1. Построены консервативные разностные схемы для нелинейного уравнения Шрёдин-гера, содержащего производную по времени от нелинейности.

2. Показано, что при компьютерном моделировании для устранения развития неустойчивости на частоте, обусловленной одним из нелинейных коэффициентов Уравнения, необходимо учитывать спектральный инвариант задачи.

3. Предложен метод анализа модуляционной неустойчивости, состоящий в учете формы импульса и взаимном влиянии возмущений друг на друга, который позволил более точно оценить частотный интервал роста возмущений по сравнению с оценками, имевшими место в литературе.

4. Предсказано и изучено самоформирование солитонов в оптических волокнах вследствие линейной частотной модуляции начального светового импульса; формирование аттосекундных импульсов на фронте оптической ударной волне; возможность подавления самофокусировки световых аксиально-симметричных пучков в среде с кубичной нелинейностью при учете производной по времени от нелинейного отклика среды.

Практическая ценность.

1. Построенные консервативные разностные схемы для задачи распространения фем-тосекундного импульса, описываемого в рамках КНУШ, позволили существенно повысить эффективность компьютерного моделирования по сравнению с используемыми в литературе методами расщепления.

2. Предложенный подход к анализу модуляционной неустойчивости фемтосекундных импульсов, состоящий в учете взаимного влияния возмущений друг на друга из-за неоднородной формы импульса, может быть обобщен на аналогичные задачи при наличии пространственной неоднородности отклика среды (пространственной дисперсии).

3. Обнаруженный способ самоформирования солитонов из фемтосекундных импульсов с линейной частотной модуляции может найти приложение в системах передачи информации по оптическим волокнам.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, характеризующий состояние проблемы и излагается содержание работы. Первая глава содержит 4 параграфа. В первом параграфе этой главы рассматривается математическая постановка задачи распространения фемтосекундного светового импульса в оптическом волокне с кубичной нелинейностью и с учетом производной от нелинейного отклика среды. В этом случае его распространение описывается безразмерным комбинированным нелинейным уравнением Шредингера (КНУШ) относительно медленно изменяющейся во времени комплексной амплитуды, с начальным и граничными условиями, которые соответствуют финитному начальному распределению комплексной амплитуды. На основе преобразования исходное уравнение преобразуется к более удобному виду для компьютерного моделирования, так как не содержит производной по времени от нелинейного отклика.

Во втором параграфе первой главы записаны и доказаны инварианты рассматриваемой в первом параграфе задачи. Эти инварианты используются для построения консервативных разностных схем.

В третьем параграфе первой главы выполнена постановка задачи распространения оптического импульса в кубично нелинейной среде с учетом поперечной структуры оптического излучения. Здесь рассмотрена задача как в координатах (x,z,t), так и в координатах (r,z,t). В этом параграфе также получены инварианты рассматриваемых задач.

В последнем параграфе первой главы сформулированы её краткие выводы. Вторая глава содержит 6 параграфов и посвящена построению консервативных разностных схем для поставленных задач в первой главе. В её первом параграфе построена консервативная разностная схема (КРС) для задачи распространения фемтосекундного импульса в оптическом волокне. Она имеет первый порядок аппроксимации по времени (из-за аппроксимации краевого условия) и второй порядок по пространственной координате. Выбор такой аппроксимации краевого условия обусловлен требованием консервативности схемы. Для демонстрации преимуществ построенных консервативных разностных схем в этом же параграфе записаны условно консервативные разностные схемы, которые на первый взгляд являются наиболее естественными. В частности, записана широко используемая в литературе разностная схема на основе метода расщепления (MP) и предложенная её модификация с применением итерационного процесса на этапе решения нелинейного уравнения (МРИ).

Доказательство консервативности предложенных схем проведено во втором параграфе главы И.

В третьем параграфе второй главы проведено сравнение разностных схем для задачи распространения фемтосекундного импульса в оптическом волокне с кубичной нелинейностью при учете производной по времени от нелинейного отклика среды. Здесь обсуждается роль спектрального инварианта, который описывает эволюцию в среде спектральной гармоники на частоте со = М у и показывает, что её амплитуда не должна возрастать в процессе распространения светового импульса. Тем самым, он является неотъемлемой частью математической модели, используемой для адекватного описания распространения фемтосекундного импульса в рамках КНУШ.

Проведенное сравнение эффективности схем показало, что КРС обладает преимуществом перед другими разностными схемами. Так для схемы МРИ требуется на порядок меньшее значение шага по пространственной координате для достижения результата вычислений, выполненных по КРС. Схема MP требует шаг по пространству на несколько порядков меньший чем схема МРИ и практически неприменима, например для компьютерного моделирования задачи самоформировании солитонов при распространении фемтосекундного импульса в кубично-нелинейной среде.

В четвертом параграфе второй главы построены разностные схемы для задачи распространения фемтосекундного импульса с неоднородным пространственным профилем интенсивности в кубично-нелинейной среде с учетом производной по времени от нелинейного отклика как для случая координат (x,z,t), так и (r,z,t).

В следующем параграфе данной главы доказана консервативность разностных схем, сформулированных в предыдущем параграфе, а в шестом параграфе второй главы сформулированы её краткие выводы.

В третьей главе представлены результаты компьютерного моделирования, выполненные на основе построенных разностных схем. В её первом параграфе показано, что для задачи в координатах (z,t) имеет место ограничение пиковой интенсивности фемтосекундного импульса при его распространении в оптических волокнах вследствие влияния дисперсии нелинейного отклика кубичной среды.

Во втором параграфе предложен способ самоформирования солитонов при распространении фемтосекундного светового импульса в кубично нелинейном световоде с учётом дисперсии нелинейного отклика. Формирование происходит при начальной низкочастотной фазовой модуляции светового импульса на входе в нелинейную среду. Длительность солитонов может быть в несколько раз меньше исходной длительности начального гауссова импульса. Солитоны распространяются с разными скоростями и различаются максимальными интенсивностями. Показано, что к формированию солитонов приводит не только линейная фазовая модуляция входного импульса, но и чирпирова-ние импульса. Следует подчеркнуть, что без учета производной по времени от нелинейного отклика среды при прочих равных условиях солитоны не образуются.

Построенное в этом же параграфе аналитическое солитонное решение подтверждает результаты компьютерного моделирования.

В третьем параграфе главы III изучена модуляционная неустойчивость фемтосекундного светового импульса при его распространении в среде с кубичной нелинейностью с учетом дисперсии нелинейного отклика. Исследуется зависимость частотного интервала развития возмущения от параметра, характеризующего временную дисперсию нелинейности, формы импульса и взаимного влияния частот друг на друга. Здесь предложен более точный подход к учету влияния производной от нелинейного отклика среды на модуляционную неустойчивость импульса имеющего начальную гауссову форму. Полученные на его основе зависимости частотного интервала неустойчивости от различных характеристик импульса подтверждены компьютерным моделированием. На основе линейного анализа получена зависимость инкремента возмущения с частотой сот от числа одновременно действующих 2N соседних возмущений. Это позволило значительно точнее оценить границу частотного интервала модуляционной неустойчивости по сравнению с её значением, полученным при традиционном подходе.

Сопоставление результатов компьютерного моделирования и полученной зависимости показывает, что развиваемый подход дает для максимальной частоты количественно, а для минимальной частоты качественное их совпадение. Отличие значений для нижней частотной границы обусловлено генерацией более низких частот в компьютерном эксперименте за счет нелинейности и обогащением спектрального состава импульса за счет его компрессии, что не учитывается при проведении линейного анализа.

В четвертом параграфе данной главы исследовано самоформирование импульсов аттосекундной длительности. Здесь предложено и проанализировано несколько возможных сценариев формирования таких импульсов. Имеет место развитие как оптической ударной волны, так и последовательности импульсов аттосекундной длительности на её фронте при условии воздействия импульса фемтосекундной длительности. При этом максимальная интенсивность субимпульсов в 2-5 раз меньше чем интенсивность начального импульса. Так как скорость распространения импульса зависит от его интенсивности, то скорость ударной волны в рассматриваемой ситуации больше групповых скоростей последовательности субимпульсов. Как следствие этого, ударная волна догоняет субимпульсы и поглощает их. Поэтому субимпульсы существует только на ограниченной трассе распространения в данных условиях.

В пятом параграфе данной главы проведено компьютерное моделирование распространения оптического излучения в случае неоднородного профиля интенсивности (координаты (r,z,t)). В частности, предсказан эффект ограничения пиковой интенсивности пучков при воздействии импульсов определенной частотной модуляции. Следует отметить, что для немодулированного импульса, как это хорошо известно, в рассматриваемом случае имеет неограниченный рост интенсивности в нелинейном фокусе. Фазовая модуляция позволяет ограничить интенсивность.

В последнем параграфе третьей главы сформулированы её краткие выводы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [102-117] и докладывались на 9 международных и российских конференциях:

- International Conference "Finite-Difference Schemes". (Lithuania, Palanga, 2000);

- International Conference "Mathematics Modelling and Analysis". (Lithuania, Vilnius, 2001);

- International Conference "Saratov Fall Meeting". (Saratov, 2001);

- The XI International Conference on Laser Optics (L0'2003). (St.-Petersburg, 2003);

- International Conference on Coherent and Nonlinear Optics. (St.-Petersburg, 2005);

- International Quantum Electronics Conference 2005. The Pacific Rim Conference on Lasers and Electro-Optics. (Tokyo, Japan, 2005);

- The XII International Conference on Laser Optics (L0'2006). (St.-Petersburg, 2006);

- International Conference on Laser and Fiber-Optical Networks Modeling (LFNM 2006). (Kharkov, Ukraine, 2006).

- Научная конференция "Тихоновские чтения" (МГУ им. Ломоносова, факультет вычислительной математики и кибернетики, 2006).

Отдельные результаты работы докладывались на научном семинаре лаборатории математического моделирования в физике, на кафедре вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю д.ф.-м.н., проф. Трофимову Вячеславу Анатольевичу за постоянную поддержку и ценные рекомендации, коллективу лаборатории математического моделирования в физике и кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова за творческую обстановку.

Основные результаты.

1. Построены консервативные разностные схемы для задачи распространения фемтосекундных лазерных импульсов в среде с кубичной нелинейностью, описываемого в рамках комбинированного нелинейного уравнения Шредингера, в координатах (z,t), (x,z,t) и {r,z,t). Выявлена роль спектрального инварианта при постановке задачи распространения фемтосекундного импульса в нелинейной среде с учетом производной по времени от нелинейного отклика среды.

2. Предложен новый подход к исследованию модуляционной неустойчивости фемтосекундного импульса в нелинейной среде, состоящий в учете взаимного влияния возмущений друг на друга из-за неоднородной формы импульса.

3. Предсказаны и исследованы следующие эффекты, имеющие место при взаимодействии фемтосекундных импульсов с кубично нелинейной средой:

• ограничение интенсивности в нелинейном фокусе пучка вследствие влияния производной по времени от нелинейного отклика среды;

• формирование субимпульсов аттосекундной длительности при образовании оптической ударной волны;

• самоформирование солитонов при распространении импульсов в оптическом волокне и наличии частотной модуляции импульса на входе в нелинейную среду.

1. Шен И.Р. Принципы нелинейной оптики./ Пер. с англ. М.: Наука. 1989. 558 с.

2. Ахманов С.А., Выслоух В.А., Чиркин А.С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. М.: Наука. 1988. 310 с.

3. Коротеев Н.И., Шумай И.Л. Физика мощного лазерного излучения. М: Наука. 1991. 311 с.

4. Сухоруков А.П. Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике. М.: Наука. 1988.231 с.

5. Агравал Г.П. Нелинейная волоконная оптика./ Пер. с англ. М.: Мир. 1996.323 с.

6. Кившарь Ю.С., Агравал Г.П. Оптические солитоны. От волоконных световодов к фотонным кристаллам./ Пер. с англ. М.: Физматлит. 2005. 648 с.

7. Боровский А.В., Галкин A.JI. Лазерная физика. М.: Изд. AT. 1996.496 с.

8. Выслоух В.А., Матвеева Т. А. Возможности каскадного сжатия импульсов в ближнем ИК-диапазоне.//Квантовая электроника. 1986. Т.13. N 5. С.1020-1021.

9. Выслоух В.А., Матвеева Т. А. Нелинейная стабилизация и компрессия пикосекунд-ных импульсов ИК-диапазона в системе нелинейных световодов. М.: Препринт физического факультета МГУ. 1986. N 15. 4 с.

10. Sartania S., Cheng Z. etc. Generation of 0.1-TW 5-fs optical pulses at a 1-kHz repetition rate.// Optics letters. 1997. V.22. N 20. P. 1562-1564.

11. Paye J. The chronocyclic representation of ultrashort light pulses.// Quantum electronics. 1992. V.28. N 10. P.2263-2273.

12. Fork R.L., Brito Cruz C.H., Becker P.C., Shank C.V. Compression of optical pulses to six femtoseconds by using cubic phase compensation.// Optics letters. 1987. V.12. N 7. P.483-485.

13. Nazarkin A., Korn G. Raman self-conversion of femtosecond laser pulses and generation of single-cycle radiation.// Physical Review A. 1998. V.58. N 1. P.R61-R64.

14. Kobayashi Y., Sekikawa Т., Nabekawa Y., Watanabe S. 27-fs extreme ultraviolet pulse generation by high-order harmonics.// Optics letters. 1998. V.23. N 1. P.64-66.

15. Andreev A.V., Kozlov A.B. Femtosecond pulse propagation in medium of two-level atoms.// In "Ultrafast Phenomena and Interaction of Superstrong Laser Fields with Matter;

16. Nonlinear Optics and High-Field Physics"/ Eds. Fedotov M.V. et al. Proceedings of SPIE. 1998. V.3735. P.75-83.

17. Маймистов А.И. О распространении ультракоротких световых импульсов в нелинейной среде.// Оптика и спектроскопия. 1994.1.16. N 4. С.636-460.

18. Маймистов А.И. Распространение оптического УКИ в области нулевой дисперсии групповых скоростей второго порядка.// Квантовая электроника. 1994. Т.21. N 8. С.743-747.

19. Маймистов А.И. Распространение ультракоротких поляризованных световых импульсов в нелинейной среде.// Оптика и спектроскопия. 1995. Т.78. N 3. С.483-487.

20. Kaplan А.Е. Subfemtosecond Pulses in Mode-Locked 2n Solitons of the Cascade Stimulated Raman Scattering.// Physical review letters. 1994. V.73. N 9. P.1243-1246.

21. Gooijian P.M., Taflove A., Joseph R.M. and Hagness S.C. Computational Modeling of Femtosecond Optical Solitons from Maxwell's Equations.// IEEE Journal of Quantum Electronics. 1992. V.28. N 10. P.2416-2422.

22. Casperson. L.W. Few-cycle pulses in two-level media.// Physical Review A. 1998. V.57. N1. P.609-621.

23. Громов E.M., Таланов В.И. Высшие приближения теории дисперсии нелинейных волн в однородных и неоднородных средах.// Изв. РАН. Сер. Физическая. 1996. T.60.N12. С.16-28.

24. Трофимов В.А. О новом подходе к моделированию распространения сверхкоротких лазерных импульсов.// ЖВМ и МФ. 1998. Т.38. N5. С.835-839.

25. Трофимов В.А. Об инвариантах нелинейного распространения фемтосекундных импульсов.// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1992. Т.35. N 6-7. С.618-621.

26. Карташов Д.В., Ким А.В., Скобелев С.А. Солитонные структуры волнового поля с произвольным числом колебаний в нерезонансных средах.// Письма ЖЭТФ. 2003. Т.78. N 5-6. С.722-726.

27. Chernikov S.V., Dianov E.M., Richardson D.J., Payne D.N. Soliton pulse compression in dispersion-decreasing fiber.//JOSA. 1993. V.18. N 7. P.476-478.

28. Buryak A.V., Trapani P., Skryabin D.V., Trillo S. Optical solitons due to quadric nonlin-earities: from basic physics to futuristic applications.// Physics Reports. 2002. V.370. P.63-235.

29. Beckwitt K., Ilday F. 0. and Wise F. W. Frequency-shifting with local nonlinearity management in non-uniformly poled quadratic nonlinear materials.// Opt. Lett. 2004. V.29. N 7. P.763-765.

30. Zhou S., Kuznetsova L., Chong A. and Wise F. W. Compensation of nonlinear phase shifts with third-order dispersion in chirped-pulse fiber amplifiers.// Opt. Express. 2005. V.13. N13. P.4869-4877.

31. Lim H. and Wise F.W. Control of dispersion in a femtosecond ytterbium laser by use of photonic bandgap fiber.// Opt. Express. 2004. V.12. N 10. P.2231-2235.

32. Ilday F.O., Wise F.W. and Kaetner F.X. Possibility of self-similar pulse evolution in a Ti: sapphire laser.// Opt. Express. 2004. V.12. N 12. P.2731-2738.

33. Ilday F.O., Buckley J., Kuznetsova L. and Wise F.W. Generation of 36-femtosecond pulses from a ytterbium fiber laser.// Opt. Express. 2003. V.l 1. N 26. P.3550-3354.

34. Ilday F.O., Buckley J., Wise F.W. and Clark W.G. Self-similar evolution of parabolic pulses in a laser.// Phys. Rev. Lett. 2004. V.92. N 21. P.213902-213905.

35. Chen Y.F., Fischer P. and Wise F. W. Negative refraction at optical frequencies in two-component molecular media.// Phys. Rev. Lett. 2005. V.95. N 6. P.067402-067405.

36. Ilday F.O., Beckwitt K., Lim, H., Chen, Y.F. and Wise F.W. Controllable Raman-like nonlinearities from non-stationary cascaded quadratic processes.// J. Opt. Soc. Am. B. 2004. V.21.N2. P.376-383.

37. Wang Y., Tomov I., Wang L., Nelson J.S., Chen Z., Lim H. and Wise F.W. Low-noise broadband light generation from optical fibers for use in high-resolution optical coherence tomography.// J. Opt. Soc. Am. B. 2005. V.22. N 8. P.1492-1499.

38. Lim H., Buckley J., Chong A. and Wise F.W. Fiber-based source of femtosecond pulses tunable from 1.0 to 1.3 microns.// Electron. Lett. 2004. V.40. N 24. P. 1523-1524.

39. Duhr 0., Nibbering E., Korn G., Tempea G., Krausz F. Generation of intense 8-fs pulses at 400 nm.// Optics letters. 1999. V.24. N 1. P.34-36.

40. Jung I.D., Kartner F.X., Matuschek N., etc. Self-starting 6.5-fs pulses from a Ti:sapphire laser. // Optics letters. 1997. V.22. N 13. P.1009-1011.

41. Tai K., Tomita A., Jewell J. L. and Hasegawa A. Generation of subpicosecond solitonlike optical pulses at 0.3 THz repetition rate by induced modulational instability.// Appl. Phys. Lett. 1986. V.49. N 5. P.236-238.

42. Agate В., Stormont В., Kemp A. J., Brown C. et al. Simplified cavity designs for efficient and compact femtosecond.// Optics communications. 2002. V.205. P.207-213.

43. Золотовский И.О., Семенцов Д.И. Ударные волны огибающей в нелинейных системах с межмодовым взаимодействием.// ЖТФ. 2001. Т.27. N 14. С.1-5.

44. Беленов Э.М., Назаркин А.В., Крюков П.Г, Прокопович И.П. Динамика распространения мощных фемтосекундных импульсов в комбинационно- активных средах.// ЖЭТФ. 1994. Т.105. N 1. С.28-42.

45. Беленов Э.М., Назаркин А.В. О некоторых решениях уравнений нелинейной оптики без приближения медленно меняющихся амплитуд и фаз.// Письма в ЖЭТФ. 1990. Т.51. N 5. С.252-255.

46. Выслоух А.В., Иванова И.С., Магницкий С.А., Трофимов В.А. Модуляционная неустойчивость световых пучков и импульсов при их распространении в поглощающих средах.// Оптика и спектроскопия. 2000. Т.88. N 3. С.456-464.

47. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука. 1990. 383 с.

48. Розанов Н.Н. Оптическая бистабильность и гистерезис в распределенных нелинейных системах. М.: Наука. 1997. 334 с.

49. Потапов М.М., Разгулин А.В. Разностные методы в задачах оптимального управления стационарным самовоздействием световых пучков.//ЖВМ и МФ. 1990. Т.30. N 8. С.1157-1169.

50. Карамзин Ю.Н., Сухоруков А.П., Трофимов В.А. Математическое моделирование в нелинейной оптике. М.: Изд-во Московского ун-та. 1987. 154 с.

51. Борисов А.В. О сходимости разностных схем для решения уравнения типа Шредин-гера.// В сб.: Современные проблемы матем. моделирования. М.: изд-во МГУ. 1984. С. 80-96.

52. Иванаускас Ф.Ф. Сходимость и устойчивость разностных схем для нелинейных уравнений шредингеровского типа.// Литовский матем. сб. 1991. Т.31. N 4. С.606-621.

53. Волков В.М., Дриц В.В. Консервативные разностные методы решения квазиоптических задач.// Вестник АН БССР. Серия физико-математических наук. 1988. N 1. С.7-15.

54. Remis R.F. On the Stability of the Finite-Difference Time-Domain Method. // J. Сотр. Physics. 2000. V.163. P.249-263.

55. Кандидов В.П., Шленов C.A. Законы распределения светового поля, распространяющегося в среде с кубичной нелинейностью.// Изв. АН СССР. Серия физическая. 1986.T.50.N6. С.1191-1196.

56. Захарова И.Г, Карамзин Ю.Н., Трофимов В.А. Метод расщепления в задачах нелинейной оптики. М.: Препринт Института прикладной математики АН СССР. 1989. 19 с.

57. Karamzin Yu.N., Trofimov V.A., Zakharova I.G. Difference schemes for problem of thermal blooming of light beam.// Soviet J. of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 1992. V.7. N 4. P.299-324.

58. Трофимов В.А. Инварианты нелинейного распространения фемтосекундных импульсов.// Изв. вузов. Радиофизика. 1999. T.XLII. N 4. С.369-372.

59. Трофимов В.А. Нелинейное волновое уравнение лазерной оптики фемтосекундных импульсов.// Дифференциальные уравнения. 1998. Т.34. N 7. С.1002-1004.

60. Варенцова С.А., Трофимов В.А. Инварианты нелинейного взаимодействия фемтосекундных лазерных импульсов с учетом дисперсии третьего порядка.// ЖВМ и МФ. 2002. Т.42. N 5. С.709-717.

61. Potasek M.J. Modulation instability in an extended nonlinear Schrodinger equation.// Optics Letters. 1987. V.12. N 11. P.921-923.

62. Infeld E., Lenkowska-Czerwinska T. Analysis of stability of light beams in nonlinear photorefractive media. // Physical Review E. 1997. V.55. N 5. P.6101-6106.

63. Montesinos G.D., Perez-Garcia V.M., Torres P.J. Stabilization of solitons of the multidimensional nonlinear Schrodinger equation: matter-wave breathers.// Physica D. 2004. V.191. P.193-210.

64. Islam M.N., Dijaili S.P. and Gordon J.P. Modulation-instability-based fiber interferometer switch near 1.5 pm.// Optics Letters. 1988. V.13. N 6. P.518-520.

65. Shukla P.K. and Rasmussen J.J. Modulation instability of short in long optical fibers.// Optics Letters. 1986. V.l 1. N 3. P.171-173.

66. Lisak M. and Anderson D. Modulational instability of coherent optical-fiber transmission signals.// Optics Letters. 1984. V.9. N 10. P.468-470.

67. Potasek M.J. and Agrawal G.P. Self-amplitude-modulation of optical in nonlinear dispersive.// Physical Review A. 1987. V.l5. P.3862-3867.

68. Trofimov V.A. New approach to the investigation of modulation instability of femtosecond pulse./ Technical Program of Intern. Conference LO'2000. S-Petersburg. 2000. P.40.

69. Буллаф P., Кодри Ф., Новиков С.П. Солитоны./ Пер. с англ. Новокузнецк: НФМИ. 1999.406 с.

70. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи./ Пер. с англ. М.: Мир. 1987. 480 с.

71. Додд Р., Эйлвен Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения./ Пер. с англ. М.: Мир. 1988. 696 с.

72. Kivshar Yu.S., Pelinovsky D.E. Self-Focusing and Transverse Instabilities of Solitary Waves.// Physics Reports. 2000. V. 331. N 4. P. 117-195.

73. Hasegawa. A. Generation of a train of soliton pulses by induced modulational instability in optical fibers. Optics Letters. 1984. V.9. N 7. P.288-290.

74. Аскарьян Г.А. Воздействие градиента поля интенсивного электромагнитного луча на электроны и атомы. //ЖЭТФ. 1962. Т. 42. № 6. С. 1567-1570.

75. Ахманов С.А., Сухоруков А.П., Хохлов Р.В. Самофокусировка и дифракция света в нелинейной среде.// УФН. 1967. Т.93. № 1. С. 19 -70.

76. Луговой В.Н., Прохоров A.M. Теория распространения мощного лазерного излучения в нелинейной среде.// УФН. 1973. Т. 111. N 2. С. 203-260.

77. Berge L. Wave collapse in physics: principles and applications to light and plasma waves.// Physics Reports. 1998. V. 303. N 5-6. P. 259-370.

78. Feit M.D. and Fleck J.A. Beam nonparaxiality, filament formation, and beam breakup in the self-focusing of optical beams.// J. Opt. Soc. Am. B. 1988. V. 5. N 3. P. 633-640.

79. Fibich G., Malkin V.M., Papanicolaou G.C. Beam self-focusing in the presence of small normal time dispersion.// Physical Review A. 1995.V. 52. N 5. P. 4218-4228.

80. Chernev P. and Petrov V. Self-focusing of light pulses in the presence of normal group-velocity dispersion.// Opt. Lett. 1992. V. 17. N 3. P. 172-174.

81. Luther G.G., Moloney J.V., Newell A.C., Wright E. M. Self-focusing threshold in normally dispersive media.// Opt. Lett. 1994. V. 19. N12. P. 862-864.

82. Куницын С.Д., Сухоруков А.П., Трофимов B.A. Самовоздействие оптического излучения в условиях генерации встречной волны.// Изв. РАН. Сер. Физическая. 1992. Т. 56. N12. С. 201-208.

83. Silbergberg Y. Collapse of optical beams. // Opt. Lett. 1990. V. 15. N 22. P. 1282-1284.

84. Андреев Н.Е., Горбунов Л.М., Зыков А.И., Чижонков Е.В. Переходные нелинейные волны при пондеромоторной самофокусировке излучения в плазме.// ЖЭТФ. 1994. T.106.N6. С. 1676-1686.

85. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука.1977. 735 с.

86. Самарский А.А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука. 1976.352 с.

87. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука. 1983. 752 с.

88. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Изд. 4-е. М.: Наука. 1977. 832 с.

89. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука. 1989. 616 с.

90. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука. 1973.416 с.

91. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука. 1989.429 с.

92. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука. 1978. 590 с.

93. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука. 1989.608 с.

94. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука. 1988.264 с.

95. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука. 1977.439 с.

96. Бахвалов Н.С. Численные методы. М: Наука. 1975. 632 с.

97. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука.1987. 600 с.

98. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука.1978. 512 с

99. Trofimov V.A., Borhanifar A. and Volkov A.G. Conservative difference scheme for summary frequency generation of femtosecond pulse.// Abstract of Intern Conf. NAA'4. Rousse. Bulgaria. 2004. P.46-47.

100. Trofimov V.A., Borhanifar A. and Volkov A.G. Conservative Difference Scheme for Summary Frequency Generation of Femtosecond Pulse.//In "Lectures Notes in Mathematics"/ Editor Vulkov L. Springer-Verlag. Berlin. Heidelberg. 2005.V.3401. P.527-534.

101. Trofimov V.A., Varentsova S.A., Volkov A.G. Difference schemes for the equation of the femtosecond laser pulse propagation in the nonlinear medium.// Abstracts of Third Intern. Conference "Finite-Difference Schemes". Palanga. Lithuania. 2000. P.49.

102. Trofimov V.A., Varentsova S.A., Volkov A.G. Conservative difference scheme for laser femtosecond pulse propagation in medium with cubic nonlinearity.// Abstracts of Sixth Intern. Conference "Math Modelling and Analysis". Vilnius. Lithuania. 2001. P.85

103. Trofimov V.A., Volkov A.G. New possibility of soliton formation of femtosecond pulse in optical fiber with cubic nonlinear response.// Technical Program of XI Conf. on Laser Optics. Saint-Petersburg. 2003. P. 72.

104. Волков А.Г., Трофимов В.А. Формирование солитонов фазово-модулированных фемтосекундных импульсов при их распространении в кубично нелинейном световоде.// Оптика и спектроскопия. 2003. Т. 94. N 3. С.506-513.

105. Варенцова С.А., Волков А.Г., Трофимов В.А. Консервативная разностная схема для задачи распространения фемтосекундного лазерного импульса в кубично нелинейной среде.// ЖВМ и МФ. 2003. Т.43. N 11. С.1709-1721.

106. Волков А.Г., Трофимов В.А. О модуляционной неустойчивости фемтосекундных световых импульсов, распространяющихся в оптическом волокне.// Оптика и спектроскопия. 2004. Т.96. N 1. С.97-100.

107. Волков А.Г., Трофимов В.А. О роли спектрального инварианта при компьютерном моделировании распространения фемтосекундных импульсов.// Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2005. N 1. С.29-35.

108. Волков А.Г., Трофимов В.А. Влияние формы фемтосекундного импульса и его чирпирования на самоформирование солитонов при распространении в кубично нелинейном волноводе.// Оптика и спектроскопия. 2005. Т.98. N 2. С.339-348.

109. Trofimov V.A., Volkov A.G. Self-formation under soliton Femtosecond Pulse propagation in Optical Fiber. // In ICONO/LAT 2005 Technical Digest on CD-ROM. St. Petersburg. Russia. 2005. IFN22.

110. Trofimov V.A. and Volkov A.G. New features of Modulation Instability of Femtosecond Light Pulses Propagating in Optical Fiber.// Quantum Electronics Conference/ Pacific Rim. Tokyo. Japan. 2005. P. 1087-1088. (Technical Digest on CD-ROM QWL4-2.)

111. Волков А.Г., Трофимов В.А., Терешин Е.Б. Консервативные разностные схемы для некоторых задач фемтосекундной оптики.// Дифференциальные уравнения. 2005. T.41.N7. С.908-917.

112. Trofimov V.A., Volkov A.G. Self-formation soliton under the Femtosecond Pulse propagation in Optical Fiber. // In "Nonlinear Space-Time Dynamics"/ Ed. Rosanov N., Trillo S. Proceedings of SPIE. 2006. V. 6255. P. 113-122.

113. Trofimov V.A. and Volkov A.G. Self-formation of train of attosecond pulses under the optical shock wave formation at femtosecond pulse nonlinear propagation in optical fiber.// Proceedings of LFNM'2006. Kharkov. Ukraine. 2006. P. 293-296.