автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование множественной филаментации в среде с кубической нелинейностью

На правах

Балашов Андрей Дмитриевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОЖЕСТВЕННОЙ ФИЛАМЕНТАЦИИ В СРЕДЕ С КУБИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

05.13.18 — "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Пергамент Анна Халиловна

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Иногамов Наиль Алимович

доктор физико-математических наук, профессор Карамзин Юрий Николаевич

Ведущая организация:

Троицкий институт инновационных и термоядерных исследований (ТРИНИТИ)

Защита диссертации состоится

002.058.01 бри И

на заседании

диссертационного совета № К 002.058.01 при Институте математического моделирования РАН по адресу 125047, г. Москва, Миусская пл., д. 4 а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математического моделирования РАН

Автореферат разослан «/2?» 2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н. Прончева Надежда Геннадьевна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность

Процессы дистанционного зондирования атмосферы с помощью мощного фемтосекундного лазерного импульса, дистанционное управление электрическим разрядом сопровождаются развитием мелкомасштабной самофокусировки. Это явление получило название филаментации (от английского filament — нить). Филаментация есть развитая стадия модуляционной неустойчивости лазерного пучка — неустойчивости Беспалова-Таланова.

В результате самофокусировки растет интенсивность импульса и уменьшается его полуширина, но «схлопывания» не происходит из-за дефокусирующего воздействия электронной плазмы, созданной многофотонной ионизацией молекул воздуха. В результате, максимальная интенсивность в филаменте не превышает 10иBamm/см2 для инфракрасных импульсов. В зоне максимальной интенсивности регистрируется движущийся вдоль оси распространения импульса фокус, след которого принято называть филаментом. Возникновение нескольких фокусов при наличии достаточной мощности импульса обычно объясняется или мелкомасштабной самофокусировкой шумовых возмущений начального профиля импульса либо нарушением его аксиальной симметрии или флуктуациями показателя преломления среды.

В работе рассмотрены два явления, формирующие процесс филаментации: неустойчивость Беспалова-Таланова, которая порождает мелкомасштабную самофокусировку, и дефокусирующее влияние электронной плазмы, созданной за счет многофотонной ионизации. Данное исследование подтвердило, что до тех пор, пока максимальная интенсивность импульса не достигнет пороговых значений для многофотонной ионизации, не наблюдается потери энергии — мощность импульса не меняется . Только после достижения порогового значения интенсивности начинается процесс многофотонной ионизации, и падают как мощность, так и интенсивность импульса, после чего многофотонная ионизация прекращается.

При этом необходимо решить несколько различных по характеру задач. В начале нужно выбрать и обосновать математическую модель, описывающую конкретные режимы распространения излучения в усилительных каскадах мощных лазерных систем. Одной из широко распространенных моделей является приближение Фока-Леонтовича,. более известное в научной литературе как параксиальное приближение, которое представляет собой параболическое нелинейное уравнение Шредингера (НУШ), описывающее

»

С.Н.Власов, В.И.Таланов «Самофокусировка волн» ИПФ РАН, Нижний Новгород, 1997

распространение для излучения в нелинейной среде. На основе модели НУШ можно исследовать эффекты схлопывания пучков в процессе самофокусировки, характер поля вблизи нелинейного фокуса, взаимодействие пучков.

Цель и задачи

Целью данной работы является исследование качественно и численными методами проблемы распространения мощных лазерных импульсов в среде с кубической нелинейностью, сопровождаемого множественной филаментацией. При этом были разработаны эффективные алгоритмы, и был создан комплекс параллельных программ для решения задачи о дальнем распространении мощного фемтосекундного импульса в воздухе.

Методы исследования

Для исследования задач распространения лазерных импульсов без диссипации был использован лагранжев формализм, ранее примененных в работах Дегтярева*. На основе этого формализма и использования сеток, адаптированных к особенностям решения, была исследована проблема эволюции уединенного импульса и взаимодействия двух гауссовых импульсов.

Была сформулирована система уравнений, состоящая из нелинейного уравнения Шредингера и кинетического уравнения, описывающего эволюцию лазерной плазмы (модель Друда*) для решения задачи о дальнем распространении мощного фемтосекундного импульса. Был создан программный комплекс, реализующий методы параллельного программирования, и проведен цикл расчетов, позволивших исследовать процессы распространения для систем с параметрами, близкими к реальным.

Научная новизна

Комплекс программ, созданный при реализации данной работы, обладает возможностями, близкими к предельным для настоящего времени, и позволил исследовать системы с реальными параметрами. При реализации вычислительного комплекса были успешно совмещены методы параллельного

* Л.М.Дегтярев, В.В.Крылов «Метод численного решения задач динамики волновых полей с особенностями» Журнал вычислительной математики и математической физики, Т.17, ноябрь-декабрь, 1977

1 M.D.Feit, J.A.Fleck, Appl. Phys. Lett., V.24, 169, 1974

программирования и возможности упрощения системы уравнений для ее качественного исследования. Настоящая работа одна из первых, в которой реализовано прямое моделирование множественной филаментации. Впервые был установлен циклический ступенчатый характер эволюции гауссова импульса при наличии ионизационных эффектов.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на третьем международном научном семинаре «Математические модели и моделирование в лазерно-плазменных процессах», Москва 2006; на конференции «Ломоносовские чтения», Москва 2006; на научном семинаре им. К.И. Бабенко ИПМ РАН; на международной конференции «Тихонов и современная математика», Москва 2006.

Публикации

По теме диссертации опубликовано пять печатных работ, в том числе три в соавторстве. Из них 2 статьи в российских журналах, 3 статьи в препринтах ИПМ им. М.В. Келдыша РАН.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 93 страницах, содержит 36 рисунков. Список литературы насчитывает 80 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность рассмотренной задачи, формулируются основные цели и положения работы.

Первая глава работы посвящена описанию математической модели распространения лазерного импульса в среде с кубической нелинейностью. Приведен полный вывод системы уравнений. Сделаны комментарии относительно исследования распространении фемтосекундных импульсов в ' воздухе.

Также приведены результаты теоретического обоснования критерия поперечной неустойчивости плоской волны в нелинейной среде, сделанные Беспаловым и Талановым. Подтверждение этих результатов, а также обсуждение их влияния на характер распространения импульса затрагиваются в последующих главах диссертации.

Первый параграф главы посвящен выводу системы уравнений для моделирования распространения лазерного импульса. Обоснован выбор модели для описания распространения фемтосекундных импульсов в кубичной нелинейной среде, за которую в работе принят воздух. В итоге выписана система из двух уравнений. Первое из них шредингеровского типа для медленно меняющейся огибающей электрического поля. В модели учитываются дефокусировка в самонаведенной лазерной плазме и многофотонное поглощение. Также в эффекте Керра учитывается влияние времени установления поляризации молекул. В систему входит кинетическое уравнение для локальной плотности плазмы (модель Друда).

Во втором параграфе описаны качественные особенности математических моделей рассматриваемой системы. Основным элементом моделей является НУШ. Существенно, что для формулировки краевых задач, описывающих распространение электромагнитных полей в кубической нелинейной среде, может быть использован лагранжев (или гамильтонов) формализм. Трансляционная инвариантность относительно сдвига вдоль направления распространения луча приводит к сохранению Гамильтониана системы. Кроме того, в отсутствие внешних потоков излучения сохраняется мощность в пучке. Законы сохранения в дальнейшем используются для проверки правильности аппроксимации исходных уравнений на сетках различной структуры. Множественная филаментация есть развитая стадия модуляционной неустойчивости Беспалова-Таланова5. Особенностью этой неустойчивости является то, что неустойчивы длинноволновые моды. Если в спектре сигнала они слабо представлены, то такой импульс может распространяться устойчиво достаточно далеко. Таким образом, динамика образования филаментов зависит от спектрального состава излучения.

Из классических работ Таунса известно, что при превышении критического значения мощности в начальном пучке наблюдается явление самофокусировки. Однако, учитывая свойства неустойчивости Беспалова-Таланова, изложенные выше, эволюция пучка существенным образом зависит от его пространственного спектра. Таким образом, описанные во втором параграфе особенности являются основополагающими при заключениях, сделанных на основе численного моделирования в последующих главах

Во второй главе описаны численные методы для решения нелинейного уравнения Шредингера, основанные на лагранжевом и эйлеровом подходах с применением нерегулярных сеток.

Построена усредненная система уравнений для качественного исследования дальнего распространения фемтосекундного импульса в воздухе. Описаны применяемые численные методы и методы параллельного программирования при реализации вычислительного комплекса.

§ В.И.Беспалов, В.И.Таланов «О нитевидной структуре пучков света в нелинейных жидкостях» Письма в ЖЭТФ, Т. 3, С.471-476, 1966

Исследованы основные итерационные методы решения линейных систем, выбор предобуславливателей и итерационных схем, между сочетаниями которых проводилось сравнение. Также описан процесс моделирования начального амплитудного шума импульса на основе использования обратного преобразования Фурье.

В первом параграфе проведено сравнение расчета уединенного гауссова импульса с использованием различных подходов на различных сетках. Сравнение проводилось для расчетов, основанных на лагранжевом формализме в одномерном осесимметрическом случае и прямого описания задачи в прямоугольной и цилиндрической системах координат, а также на нерегулярной сетке (рис. 1). Дано подробное описание коэффициентов для метода конечных объемов приведенной нерегулярной сетки. В качестве сравнительной характеристики выбиралось значение логарифма отношения интенсивностей в точке г и в начальный момент, величина Я (рис. 2). Как и ожидалось, в случае использования прямоугольной сетки (кривая 4 на рис. 2) инкремент в точке коллапса значительно загрубляется. Применение же в центре гауссова профиля сетки цилиндрических координат (кривые 2 и 3 на рис. 2, соответствующие разной степени измельчения сетки) с высокой точностью воспроизводит значение инкремента, при этом характер его развития по координате распространения импульса г совпадает с кривой, полученной при решении задачи с использованием гидродинамической аналогии (кривая 1 на рис. 2).

Рис. 1. Нерегулярная сетка

Рис. 2. Сравнение величины К

Во втором параграфе приводится алгоритм упрощения решаемой системы уравнений в целях сокращения времени счета для качественного исследования задачи. Здесь использован тот факт, что исследование проводится для фемтосекундного импульса. Это позволяет построить усредненное по времени импульса уравнение, которое после обезразмеривания имеет вид:

где параметр V принимает значение V — 0.154 и ЛГ = 8 при выбранных параметрах для среды распространения импульса (воздух). В качестве граничных условий выбираются равенства нулю потока. Начальное условие для моделирования распространения лазерного импульса обычно имеет гауссов профиль и задается в следующем виде

обычно полагается равной 1 или 2.

Далее в параграфе описывается построение симметричной консервативной разностной схемы и применение метода Ньютона для решения полученного уравнения. В конце параграфа приводятся оценки для размерности задачи, определяемой пространственными масштабами филаментов, при моделировании распространения мощного импульса в атмосфере исходя из экспериментальных данных проекта ТегатоЬИе (Франция, Германия, 2002-2006 годы). Кроме начальной полуширины и мощности импульса, которые в экспериментах достигают 2-4 см и 300-1500 ГВатт, принимается во внимание тот факт, что наблюдаемая полуширина филаментов постоянна и достигает 100-150мкм, а интенсивность в фокусе может превышать интенсивность фона в десятки раз. На основе сделанных выводов о размерности задачи применение методов параллельных вычислений становится очевидным.

Третий параграф содержит описание используемых при работе итерационных методов. Как правило, свойства матрицы исходной системы обычно неизвестны, но, тем не менее, часто пытаются улучшить эти свойства при помощи хорошо известной методики, которая называется «предобуславливание». Идея метода заключается в изменении спектральных свойств матрицы для достижения быстрой сходимости. Задача нахождения наилучшей пары итерационного метода и предобуславливателя важна для оптимизации основного ресурсоемкого процесса настоящей работы в силу использования неявной схемы для решения уравнения.

В четвертом параграфе структурно описываются основные блоки построенного параллельного программного комплекса для решения задачи распространения мощного фемтосекундного лазерного импульса в атмосфере на дальние дистанции. Приводятся данные сравнения пар итерационных методов и различных стандартных предобуславливателей. Для анализа эффективности параллельных алгоритмов обычно используются такие понятия, как эффективность и ускорение. Ускорением параллельного алгоритма называют отношение времени выполнения алгоритма на одном

где со0 — начальная ширина импульса; начальная амплитуда. Степень N

процессоре ко времени выполнения на системе из Л^- процессоров. Эффективностью параллельного алгоритма называют отношение его ускорения к числу процессоров, на котором это ускорение получено. Для реализованного параллельного алгоритма приводится ускорение, полученное в ходе его апробации на МВС-1000 в ИПМ им. М.В.Келдыша РАН (рис. 3).

Также описана идеология построения программного комплекса при распределении данных в памяти используемых процессоров и организации обмена между ними необходимыми элементами предусмотренных массивов. Построенная программа уникальна тем, что не требует при реализации жесткой привязки к количеству процессоров, на которых планируется запуск. Т.е. достаточно указать необходимое количество процессоров и оно будет задействовано при запуске. Программа прошла успешные испытания на количестве процессоров до 100, при этом размерность решаемой системы превосходила 33 млн. уравнений.

♦ Пцщ|тт¥1Т* —г~г ■ СЪпшАшагпог

Идеелмее ускорами»

Рис. 3. Ускорение параллельного алгоритма

В пятом параграфе описывается задание начального условия для решаемой задачи. Еще в 1966 году В.И.Беспаловым и В.И.Талановым было сделано предположение относительно зарождения многофокусной картины в фокальной плоскости рассматриваемого лазерного импульса. Они предположили, что оптические неоднородности влияют на качество получаемого на входе в нелинейную среду импульса, из-за чего его профиль содержит мелкомасштабные флуктуации («шум»). В своих работах они • исследовали параметры, при которых такие шумовые возмущения будут неустойчивы и приведут к появлению фокусов. Особенно важно изучение многофокусной картины для широких и мощных импульсов, т.к. именно полуширина возмущения влияет на степень его неустойчивости, и в каждом фокусе (филамент) концентрируется мощность порядка критической. Такое явление получило название множественной филаментации.

Теперь с помощью построенного программного комплекса стало возможным провести математическое моделирование описанного явления, наблюдаемого в реальных лазерных системах. Для моделирования случайной реализации комплексного поля флуктуаций начального гауссова профиля использовался метод, основанный на суммировании Фурье-гармоник пространственного спектра.

Третья глава диссертации содержит результаты численного моделирования. Были проверены результаты исследования В.И.Беспалова и В.И.Таланова о неустойчивости начальных возмущений как в одномерном так и в двумерном случае. Исследована нелинейная стадия развития самофокусировки и показано, что критерий верен лишь для начальной стадии процесса.

Затем приводятся результаты моделирования распространении гауссова импульса при наличии ионизационных эффектов с подробным описанием цикла филаментации и ступенчатого характера потери мощности.

Также в работе рассмотрен вопрос о взаимодействии двух импульсов, приведены результаты численного моделирования различных случаев взаимодействия.

На основании всех приведенных в работе сравнений результатов выбранного численного подхода с теоретическими и экспериментальными данными в работе приводится расчет реального лазерного импульса, процесс распространения которого сопровождается множественной филаментацией.

В первом параграфе приведены результаты расчетов теории Беспалова-Таланова для НУШ без учета ионизации. Полученные результаты полезны для дальнейшего изучения свойств распространения лазерных импульсов в рамках данной работы. В качестве начального условия бралось выражение вида:

А(г, 0) = 20 + 2соь(к±х), т.е. А0=20.

В ходе моделирования рассмотрены различные значения Л±. На рис. 5 изображено развитие амплитуды в точке * = 0 для разных режимов. Из рисунка следует полное соответствие критерия устойчивости в линейном приближении, который схематически приведен на рис. 4. Аналогичная картина развития периодических возмущений в целом сохраняется и при рассмотрении в двумерном случае.

Обласп» неустойчивое™ .

---^-ч

[ _] Оишсгь устойчивости

о 1аТ|

Максимальный шлфечюпт неустойчивых возмущения /> =

Рис. 4. Схематическое отображение критерия Беспалова-Таланова

1ш«х|Л(.г,г)[

та

Кривая 1 -

Кривая 2 -Кривая 3 -

Кривая 4 — Кривая 5 -

Рис. 5. Изменение амплитуды в центре возмущения

¡И >>/24, т.е. возмущения устойчивы. Происходят периодические колебания вдоль оси г. к1 = л/2А^, соответствует границе между двумя состояниями, возмущения никак не должны развиваться. кх = ТГЖл < , возмущения начинают развиваться. ^ = Л' соответствует максимальному инкременту развития возмущений. Минимальное расстояние развития неустойчивости г=0.016.

кх = лД-'Тз/гЛо <^, т.е. возмущения развиваются не так быстро г = 0.021 > г = 0.016

Также была исследована нелинейная стадия развития неустойчивости и показано, что изначально устойчивая мода с параметром = у/ЗАц неустойчива на больших расстояниях. На рис. 6 приведены распределения для начальной стадии (кривая 1) и для развитой нелинейной стадии (кривая 2).

И

Рис. 6. Развитие неустойчивости в нелинейной стадии

Во втором параграфе проводится моделирование распространения одиночного гауссова импульса, т.е. начальное условие в задаче имело следующий вид:

г2

Л(г,О) = Л0 + аех-р(--г-) приЛо=10, а=1.

<о0

на оси импульса при различных пучка при различных значениях <щ значениях щ

Исходя из результатов моделирования (рис. 7) можно выделить два варианта начальной стадии развития гауссова возмущения на фоне.

• Интенсивность возмущения сразу возрастает с одновременным уменьшением его полуширины. Первоначальный спектр таких возмущений сосредоточен около нуля, т.е. в делом такие возмущения неустойчивы.

• Если же начальная полуширина возмущения мала, то вначале процесса наблюдается постепенное ее возрастание с одновременным уменьшением интенсивности. Это означает, что пучок обладает достаточно широким спектром и доля низкочастотных составляющих (которые согласно теории Беспалова-Таланова экспоненциально возрастают) мала. На втором этапе, после перетекания спектра в низкочастотную область наблюдается самофокусировка.

Далее сделаны аналитические оценки для начальной полуширины возмущения, разделяющей эти два варианта. Это значение а>~-у[2/А^ подтвердилось численно. Похожая ситуация наблюдается и в случае уединенного импульса в отсутствии фона. В этом случае оценки для порогового значения ы согласуются с общей теорией, развитой Таунсом, и соответствуют оценкам для критической мощности импульса, при превышении которой наблюдается самофокусировка.

Рис. 8. Сопоставление интенсивности и мощности

Далее для гауссова импульса были получены решения при учете ионизационных членов — дефокусировке в самонаведенной плазме и многофотонного поглощения. В этом случае дано детальное описание этапов процесса филаментации, имеющего ступенчатый циклический характер (рис. 8). Каждый цикл этого процесса можно разделить на следующие этапы:

1. Мощность импульса постоянна, происходит самофокусировка, возрастает интенсивность (рис. 9-а, 0 < г < 37.6)

2. При достижении порогового значения интенсивности включается механизм многофотонной ионизации и происходит падение мощности (рис. 8, 37.6 < г < 50). Изменяется спектральный состав импульса, образуются кольцевые структуры (рис. 9-6), отмеченные в теории В.НЛугового и А.М.Прохорова.

3. При этом при наличии плазмы происходит дефокусировка, уменьшение интенсивности (50 < г < 54.7). Падение интенсивности ниже порогового значения (рис. 9-в) приводит к прекращению многофотонной ионизации.

4. Это падение интенсивности, наряду с изменением спектрального состава за счет образования кольцевых структур, создает условие для повторения самофокусировки (рис. 9-г, 54.7 <г < 85.9).

Рис. 9-в, Распределение амплитуды Рис. 9-г. Распределение амплитуды при г=54.7 ^ приг=85.9

В третьем параграфе изучается взаимодействие двух гауссовых импульсов. Было установлено, что в отсутствии ионизации кольцевые структуры хоть и образуются, все же мало влияют на процесс объединения филаментов между собой. Объединение двух импульсов в этом случае происходит только при достаточно сильном сближении (рис. 10).

Графики представляют собой границу продольного сечения на разных удалениях по г, распределенных равномерно

Если же в расчет принимаются ионизационные члены, то кольцевая структура получается более явная и взаимодействие может происходить на достаточном удалении импульсов друг от друга. Также рассматривалось влияние поглощения на характер взаимодействия. Были рассмотрены два равных гауссовых возмущений с полушириной а>0 = 5 и амплитудой

интенсивности Л/^ = 0.9 на расстоянии ¿/ = 15. Распространение импульса моделировалось на расстояние г = 230 .

Рис. 11-а. Области высокой Рис. 11-6. Области высокой

интенсивности для двух равных интенсивности для двух равных гауссовых возмущений без наличия гауссовых возмущений при

диссипации наличии диссипации (г = 0.154)

Как видно из рисунков, в консервативном случае (рис. 11-а), т.е. при у = 0 в формуле (1), мощность импульса концентрируется в середине между двух возмущений и сохраняется в области, подвергаясь колебаниям. При наличии диссипации (V = 0.154, рис. 11-6), каждый из двух импульсов начинает терять мощность, сужаясь при этом, а момент слияния находится намного дальше по г, чем в консервативном случае.

Рис. 12. Переток мощности в мощном импульсе с большой полушириной

Взаимодействие между филаментами в широком импульсе с мощностью, на много превышающей критическую, более сложно. Пример перетока мощности из развитого филамента с максимальной интенсивностью в область, где только зарождается новый филамент, представлен на рис. 12.

Четвертый параграф главы посвящен математическому моделированию распространения реального лазерного импульса. В качестве примера расчета приводится расчет для среднего по мощности (62Р^) импульса с полушириной а>0 = 3мм. Расчетная область представляет собой квадрат с длиной стороны 2см. На начальном профиле задан гауссов шум. Расчет проводился на сетке 2048 х 2048 ячеек.

Рис. 13. Линии уровня 1Ьо = 0.16 распространения импульса с мощностью Р = 62Ра на расстояние около 9м.

Рис. 14-а. Распределение интенсивности при 2=1м

Рис. 14-6. Распределение интенсивности при

Рис. 14-в. Распределение интенсивности при 2=4м

Рис. 14-г. Распределение интенсивности при 2=<лм

Наблюдается процесс образования, слияния и последующего вновь образования филаментов. Результаты эволюции мощности и интенсивности (рис. 13, 14) такого импульса совпадают с полученными результатами проекта ТегатоЬПе. Более того, сравнение временных характеристик по скорости счета созданного в данной работе программного комплекса также дает хорошие результаты, несмотря на коренное различие в подходах к численному решению задачи исследователей проекта ТегатоЬПе. Следует отметить, что расчеты в проекте ТегатоЬПе проводились с использованием спектральных методов в отличие от прямых, использованных в данной работе. Сравнение характеристик по скорости счета и степени разрешения особенностей структуры пучка созданная программа не уступает возможностям программы проекта ТегатоЬПе, что подтверждает корректность избранных методов решения.

Основные результаты диссертации

1. Построена математическая модель для исследования явления филаментации при распространении импульсов фемтосекундной длительности на дальние дистанции. Разработаны эффективные алгоритмы расчета явлений филаментации в различных лазерных системах. Создан параллельный комплекс программ. Показана эффективность параллельного алгоритма. Проведено сравнение параллельных итерационных методов.

2. Рассмотрена динамика неустойчивости Беспалова-Таланова в зависимости от спектрального состава. Впервые продемонстрировано, что развитию самофокусировки предшествует перекачка энергии в длинноволновую часть спектра. Как следствие, в нелинейной стадии наблюдается неустойчивость мод, устойчивых в линейном приближении.

3. Показан ступенчатый характер развития процесса в рамках выбранной модели. При достижении пороговых значений интенсивности начинается потеря энергии на ионизацию и дефокусирующее воздействие электронной плазмы, что приводит к потере интенсивности. Когда интенсивность падает ниже порогового значения, вновь начинается самофокусировка. Проведено математическое моделирование процесса множественной филаментации для реального гауссова импульса.

Список опубликованных работ по теме диссертации

1. А.Д.Балашов, А.Х.Пергамент «Математическое моделирование процессов филамеитации в средах с кубической нелинейностью» ИПМ им. М.В. Келдыша РАН №40,2004

2. А.Д.Балашов, А.Х.Пергамент «Математическое моделирование распространения фемтосекундного импульса» Математическое моделирование, Т.18, №4,2006

3. А.Д.Балашов «Математическое моделирование распространения фемтосекундных импульсов» труды международной конференции «Тихонов и современная математика», с.21,2006

4. А.Д.Балашов «Решение задачи о распространении фемтосекундного импульса в атмосфере» ИПМ им. М.В. Келдыша РАН №30,2006

5. А.Д.Балашов «Характер образования множественной филаментации фемтосекундного импульса» ИПМ им. М.В. Келдыша РАН №31, 2006

6. А.Д.Балашов, А.X.Пергамент «Особенности распространения фемтосекундного импульса в воздухе», Квантовая электроника, Т.Зб, №9, с.825, 2006

Подписано в печать 22.09.2006 Формат 60x88 1/16. Объем 1.25 пл. Тираж ЮОэкз. Заказ № 532 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. 102

Введение

Глава I. Постановка задачи.

§1. Вывод полной системы уравнений.

§2. Особенности исследуемой системы уравнений.

Глава II. Численные методы.

§1. Решение НУШ с помощью лагранжевого и эйлерова подходов. Сравнение результатов. Локальное измельчение сетки.

§2. Упрощение и численное решение полной системы уравнений модели.

§3. Итерационные методы решения СЛАУ. Предобуславливатели.

§4. Параллельный алгоритм. Эффективность.

§5. Моделирование начального возмущения импульса.

Глава III. Математическое моделирование.

§1. Проверка критерия Беспалова-Таланова. Анализ спектрального распределения.

§2. Моделирование одиночного гауссового импульса.

§3. Взаимодействие двух гауссовых импульсов.

§4. Моделирование реального экспериментального расчета.

Предсказанное Г.А. Аскарьяном в 1962 году явление самофокусировки состоит в следующем: поле световой волны изменяет свойства вещества, в частности, показатель преломления; появляется оптическая неоднородность, создающая эффект линзы. В результате ход лучей в такой нелинейной среде может существенно измениться по сравнению с линейной средой, что приводит к образованию областей локализации интенсивности света - фокусов.

Таунс с сотрудниками в 1964 году ввел понятие критической мощности (Рсг) импульса [1], при превышении которой наблюдается самофокусировка. В это время начался значительный подъем интереса к этой области исследований. Наряду с теоретическими исследованиями проводились эксперименты, в которых явление самофокусировки наблюдалось в различных активных средах, например, в стеклянных образцах Н.Ф. Пилипецким и А.Р. Рустамовым в 1965 году [2]. Мощность импульсов достигала нескольких МВт. При этом в экспериментах наблюдались тонкие световые нити, время жизни которых было порядка 10лосек, а длина могла превышать 5-10см (рис. 1).

Рис. 1. Результаты экспериментов в ортоксилоле.

Видны две светящиеся нити.

Объяснением причин зарождения нескольких нитей импульсе занимались В.И. Беспалов и В.И. Таланов [3], которые в 1966 году сформулировали критерий поперечной неустойчивости плоской волны в нелинейной среде. Объяснение же самих нитей дали В.Н. Прохоров и A.M. Луговой в 1968 году [4], описав теорию движущихся фокусов. Согласно ей, стационарная многофокусная структура пучка представляет собой конечный ряд отдельных фокусов на его оси, образованных в результате последовательной фокусировки различных кольцевых зон этого пучка.

Наряду с возрастанием мощности экспериментальных импульсов уменьшалась их длительность. В настоящее время четырьмя институтами Франции и Германии выполняется проект «ТегашоЪПе» [5, 7, 8, 9, 10] по экспериментальному и численному исследованию распространения импульсов мощностью от нескольких сотен гигаватт и длительностью до 100фсек. В результате этих экспериментов по распространению терраватных импульсов наблюдалось несколько десятков филаментов, которые упорядочивались в группы (кластеры) протяженностью более десяти метров. Численным моделированием и развитием теории распространения фемтосекундных импульсов интенсивно занимается коллектив В.П. Кандидова [11,12,13,14,15] в МГУ им. М.В. Ломоносова.

Среди всевозможных режимов распространения лазерного излучения в нелинейной среде, распространение мощного фемтосекундного импульса представляет в настоящий момент особый научный интерес. Например, явление сверхуширения временного спектра излучения (генерация суперконтинуума) фемтосекундных импульсов может применяться для такой перспективной в век информационных технологий области, как сверхплотная передача информации [16], спектроскопия [17]. Распространение филаментов на дальние дистанции может применяться для дистанционного зондирования и дистанционного управления электрическим разрядом [5]. Изучение особенностей образования зон высокой интенсивности в лазерном импульсе помогает решить проблему разрушения образцов активных элементов, что, например, жизненно необходимо для обеспечения безопасности при микрохирургии глаза. Также результаты таких исследований применимы для увеличения пропускной способности оптических волноводов. Так или иначе, правильная интерпретация экспериментальных результатов исследований во многих случаях целиком определяется избранной моделью и картиной распределения импульса, полученной в рамках выбранной модели.

Впервые эксперименты по дальнему распространению фемтосекундных лазерных импульсов были выполнены в середине 1990-ых годов [18, 19, 20]. В этих экспериментах использовался инфракрасный лазер с продолжительностью импульса около 100фс и мощностью, превышающей Рсг, т.е. мощностью, достаточной для самофокусировки импульса [1]. В экспериментах наблюдался распад начального пучка на узкие нити длиной несколько метров. Количество возникающих нитей зависело от мощности импульса. В каждой из них была сконцентрирована доля мощности импульса.

При практическом использовании мощных лазерных систем эффект мелкомасштабной самофокусировки создает серьезные проблемы. Во-первых, это одна из основных причин разрушения активных элементов лазерных систем под действием мощного излучения, т.к. в нити (или филаменте, от англ .filament - нить) объемная плотность мощности весьма велика [21]. Во-вторых, развитая мелкомасштабная самофокусировка приводит к заметной потере энергии в основном пучке. Поэтому необходим максимально близкий к реальности расчет системы, в которой развитие мелкомасштабной самофокусировки происходит на фоне типичных пространственных распределений излучения в объеме активного элемента.

В результате самофокусировки растет интенсивность импульса и уменьшается его ширина, но «схлопывания» не происходит из-за дефокусирующего воздействия электронной плазмы, созданной многофотонной ионизацией молекул воздуха. В результате, максимальная интенсивность в филаменте не превышает ЮиВт/см2 для инфракрасных импульсов. В зоне максимальной интенсивности регистрируется движущийся вдоль оси распространения импульса фокус, след которого принято называть филаментом, а процесс образования таких структур - филаментация. Возникновение нескольких фокусов при наличии достаточной мощности импульса обычно объясняется мелкомасштабной самофокусировкой шумовых возмущений начального профиля импульса [3] либо нарушением его аксиальной симметрии [22].

Два процесса формируют характерные особенности явления, рассмотренного в этой работе: неустойчивость Беспалова-Таланова, которая порождает мелкомасштабную самофокусировку, и дефокусирующее влияние электронной плазмы, созданной за счет многофотонной ионизации. Данное исследование показало, что до тех пор, пока максимальная интенсивность импульса не достигнет пороговых значений для многофотонной ионизации, не наблюдается потери энергии - мощность импульса не меняется. Только после достижения порогового значения интенсивности начинается процесс многофотонной ионизации, и падают как мощность, так и интенсивность импульса, после чего многофотонная ионизация прекращается.

При этом необходимо решить несколько различных по характеру задач. В начале нужно выбрать и обосновать математическую модель, описывающую конкретные режимы распространения излучения в усилительных каскадах мощных лазерных систем. Одной из широко распространенных моделей является приближение Фока-Леонтовича, более известное в научной литературе как параксиальное приближение, которое представляет собой параболическое нелинейное уравнение Шредингера (НУШ), описывающее распространение для излучения в нелинейной среде. На основе модели НУШ можно исследовать эффекты схлопывания пучков в процессе самофокусировки [23], характер поля вблизи нелинейного фокуса [23,24], взаимодействие пучков.

Цель настоящей работы - это разработка численных методов, позволяющих осуществить математическое моделирование распространения мощного лазерного излучения в нелинейных средах, в том числе явления мелкомасштабной самофокусировки или, как сейчас принято называть, филаментации, включая описание нелинейной стадии процесса развития неустойчивости. В качестве нелинейной среды распространения импульса в работе выбран воздух, т.к. естественные среды представляют огромный интерес для практического использования явления самофокусировки. Моделирование таких процессов отличается большой трудоемкостью, т.к. приходится моделировать распространение мощных лазерных импульсов на дальние дистанции. Существует значительное количество работ различных авторов, посвященных математическому моделированию процесса филаментации [7, 22, 25,26]. Рассматриваемая для данного явления система уравнений для медленно меняющейся амплитуды светового поля является нестационарной 3-х мерной задачей. Для того чтобы иметь возможность сравнить экспериментальные данные с расчетами при условии учета мелкомасштабных возмущений, требуется порядка ~1016 счетных ячеек. Такое большое количество делает счет уравнений при больших расстояниях слишком долгим. Для качественного исследования образования филаментов и их упорядочивания в кластеры применяется упрощенная физическая модель, которая в совокупности с использованием технологий параллельных вычислений позволяет в обозримое время провести счет задачи. Этот алгоритм должен, в частности, адекватно воспроизводить значение критической мощности и значения инкрементов неустойчивости, что, как известно, является одной из самых сложных задач вычислительного анализа. Кроме того, на нелинейной стадии для достаточно больших значений величины Я, характеризующей отношение амплитуды сигнала к начальной амплитуде, критерием корректности численного метода может служить правильная передача скорости приближения к асимптотике автомодельного решения вблизи точки коллапса.

В данной работе приведены численные результаты НУШ и его гидродинамической аналогии, проведен анализ численных результатов неустойчивости Беспалова - Таланова как в одномерном, так и в двумерном случае. Этот анализ дает более подробные знания о влияния шума на развитие пучка в среде с кубической нелинейностью. Именно наличие шума в пучке на входе в нелинейную среду (начальное условие для НУШ) остается пока главным объяснением развала цилиндрической симметрии пучка и появления нитей мелкомасштабной самофокусировки. Потребность в таком детальном рассмотрении возникла из-за появившихся в последнее время других объяснений этого явления, как например, в работе [22], где предлагается альтернативное детерминированное объяснение, основанное на векторных эффектах.

Также исследовано влияние друг на друга при сближении двух пучков с разными параметрами, имеющих гауссовское распределение. Полученные результаты распространения предполагается использовать при расчетах и анализе численных результатов светового пучка с заданными случайным образом амплитудно-фазовыми возмущениями.

На защиту представлены следующие положения:

1. Построена математическая модель для исследования явления филаментации при распространении импульсов фемтосекундной длительности на дальние дистанции. Разработаны эффективные алгоритмы расчета явлений филаментации в различных лазерных системах. Создан параллельный комплекс программ. Показана эффективность параллельного алгоритма. Проведено сравнение параллельных итерационных методов.

2. Рассмотрена динамика неустойчивости Беспалова-Таланова в зависимости от спектрального состава. Впервые продемонстрировано, что развитию самофокусировки предшествует перекачка энергии в длинноволновую часть спектра. Как следствие, в нелинейной стадии наблюдается неустойчивость мод, устойчивых в линейном приближении.

3. Показан ступенчатый характер развития процесса в рамках выбранной модели. При достижении пороговых значений интенсивности начинается потеря энергии на ионизацию и дефокусирующее воздействие электронной плазмы, что приводит к потере интенсивности. Когда интенсивность падает ниже порогового значения, вновь начинается самофокусировка. Проведено математическое моделирование процесса множественной филаментации для реального гауссова импульса.

Цель и задачи. Целью данной работы является исследование качественно и численными методами проблемы распространения мощных лазерных импульсов в среде с кубической нелинейностью, сопровождаемого множественной филаментацией. При этом были разработаны эффективные алгоритмы, и был создан комплекс параллельных программ для решения задачи о дальнем распространении мощного фемтосекундного импульса в воздухе.

Методы исследования. Для исследования задач распространения лазерных импульсов без диссипации был использован лагранжев формализм, ранее примененный в работах Дегтярева [24, 27, 28]. На основе этого формализма и использования сеток, адаптированных к особенностям решения, была исследована проблема эволюции уединенного импульса и взаимодействия двух гауссовых импульсов.

Была сформулирована система уравнений, состоящая из нелинейного уравнения Шредингера и кинетического уравнения, описывающего эволюцию лазерной плазмы (модель Друде [29]) для решения задачи о дальнем распространении мощного фемтосекундного импульса. Был создан программный комплекс, реализующий методы параллельного программирования, и проведен цикл расчетов, позволивших исследовать процессы распространения для систем с параметрами, близкими к реальным. Научная новизна. Комплекс программ, созданный при реализации данной работы, обладает возможностями, близкими к предельным для настоящего времени, и позволил исследовать системы с реальными параметрами. При реализации вычислительного комплекса были успешно совмещены методы параллельного программирования и возможности упрощения системы уравнений для ее качественного исследования. Настоящая работа одна из первых, в которой реализовано прямое моделирование множественной филаментации. Впервые был установлен циклический ступенчатый характер эволюции гауссова импульса при наличии ионизационных эффектов. Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на третьем международном научном семинаре «Математические модели и моделирование в лазерно-плазменных процессах», Москва 2006; на конференции «Ломоносовские чтения», Москва 2006; на научном семинаре им. К.И. Бабенко ИПМ РАН; на международной конференции «Тихонов и современная математика», Москва 2006.

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять печатных работ, в том числе три в соавторстве. Из них 2 статьи в российских журналах, 3 статьи в препринтах ИПМ им. М.В. Келдыша РАН.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Первая глава работы посвящена описанию математической модели распространения лазерного импульса в среде с кубической нелинейностью. Приведен полный вывод системы уравнений. Сделаны комментарии относительно исследования распространении фемтосекундных импульсов в воздухе.

Также приведены результаты теоретического обоснования критерии поперечной неустойчивости плоской волны в нелинейной среде, сделанные В.И. Беспаловым и В.И. Талановым. Подтверждение этих результатов а также обсуждение их влияния на характер распространения импульса затрагиваются в последующих главах диссертации.

Во второй главе описаны качественные особенности математических моделей рассматриваемой системы. Основным элементом моделей является НУШ. Существенно, что для формулировки краевых задач, описывающих и распространение электромагнитных полей в кубической нелинейной среде, может быть использован лагранжев (или гамильтонов) формализм. Трансляционная инвариантность относительно сдвига вдоль направления распространения луча приводит к сохранению Гамильтониана системы. Кроме того, в отсутствие внешних потоков излучения сохраняется мощность в пучке. Законы сохранения в дальнейшем используются для проверки правильности аппроксимации исходных уравнений на сетках различной структуры. Множественная филаментация есть развитая стадия модуляционной неустойчивости Беспалова-Таланова. Особенностью этой неустойчивости является то, что неустойчивы длинноволновые моды. Если в спектре сигнала они слабо представлены, то такой импульс может распространяться устойчиво достаточно далеко. Таким образом, динамика образования филаментов зависит от спектрального состава излучения.

Из классических работ Таунса [1] известно, что при превышении критического значения мощности в начальном пучке наблюдается явление самофокусировки. Однако, учитывая свойства неустойчивости Беспалова-Таланова, изложенные выше, эволюция пучка существенным образом зависит от его пространственного спектра. Таким образом, описанные во втором параграфе особенности являются основополагающими при заключениях, сделанных на основе численного моделирования в последующих главах. Третья глава диссертации содержит результаты численного моделирования. Были проверены результаты исследования В.И. Беспалова и В.И. Таланова о неустойчивости начальных возмущений как в одномерном так и в двумерном случае. Исследована нелинейная стадия развития самофокусировки и показано, что критерий верен лишь для начальной стадии процесса.

Затем приводятся результаты моделирования распространении гауссова импульса при наличии ионизационных эффектов с подробным описанием цикла филаментации и ступенчатого характера потери мощности.

Также в работе рассмотрен вопрос о взаимодействии двух импульсов, приведены результаты численного моделирования различных случаев взаимодействия.

На основании всех приведенных в работе сравнений результатов выбранного численного подхода с теоретическими и экспериментальными данными в работе приводится расчет реального лазерного импульса, процесс распространения которого сопровождается множественной филаментацией.

Заключение

Целью настоящей работы была разработка эффективных алгоритмов для расчета явлений филаментации, способных позволить в будущем произвести математическое моделирование процесса филаментации в реальных лазерных системах. Актуальность рассматриваемых проблем связана с использованием ультракоротких импульсов в дистанционном зондировании атмосферы.

Основные требования к алгоритму - это правильная передача инкремента и обеспечение консервативности, т.е. сохранение энергии. Конструирование алгоритма с такими свойствами для процессов, в которых наблюдается неустойчивость, является одной из самых сложных задач вычислительного анализа. При использовании гидродинамической аналогии неявная консервативная схема на достаточно подробной сетке в лагранжевых переменных обеспечивает строгое сохранение энергии. При использовании эйлеровых координат в одномерных моделях, а также в том случае, если при расчете используются комбинированные сетки, необходимо использовать схемы с весами. В результате точность сохранения полной энергии составляет доли процента. При использовании на прямоугольной сетке консервативных схем с весами закон сохранения полной энергии соблюдается также с высокой точностью. Однако оценка величины инкремента (рис. 5) показывает, что для схемы на прямоугольной сетке эта величина несколько меньше, чем для других методов расчета. Поэтому в тех случаях, когда необходимо исследование развитой стадии неустойчивости в двумерных задачах целесообразно использовать разностные схемы на комбинированных сетках.

Результаты моделирования различных режимов филаментации показали, что начальная стадия неустойчивости с большой степенью точности описывается моделью Беспалова - Таланова. Что касается развитой стадии, то получены режимы с образованием колец (рис. 27). Рассмотрены также процессы взаимодействия филаментов, описывающие нелинейную стадию процессов неустойчивости. Показано, что сближение филаментов на фоне плоской волны может по-разному влиять на развитие каждой из них в зависимости от их параметров. Например, филаменты с разными амплитудами при одинаковой ширине будут расти медленнее при сближении. В то же время сближение пучков на нулевом фоне способствует их более быстрому росту, что может быть объяснено теорией Беспалова - Таланова, если рассматривать взаимодействующие пучки, как новое начальное состояние.

В настоящей работе была достигнута основная цель - разработан эффективный алгоритм для расчета явлений филаментации, позволяющий произвести математическое моделирование процесса филаментации в различных экспериментальных лазерных системах. Были использованы симметричные разностные схемы, обладающие свойством консервативности, созданы распараллеленные программы для расчета таких задач.

Показан ступенчатый характер развития нелинейности, который определяется пороговым значением интенсивности 5-10п Вт/см2, при котором ионизация воздуха становится существенной. Характер процесса определяется соотношением между процессом многофотонной ионизации и мелкомасштабной самофокусировки. До тех пор, пока интенсивность не достигает пороговых значений, световой пучок не теряет энергию и происходит самофокусировка. При достижении пороговых значений интенсивности начинается потеря энергии на ионизацию и дефокусирующее воздействие электронной плазмы, что приводит к потере интенсивности. Когда интенсивность падает ниже порогового значения, вновь начинается самофокусировка. Таким образом, процесс носит ступенчатый характер (рис. 21). Процесс прекращается, когда спектральный состав становится таким, что дальнейшее развитие неустойчивости невозможно, т.к. выполняется условие устойчивости согласно критерию Беспалова-Таланова.

При использовании начального гауссова профиля с высокой, близкой к пороговой (или максимальной) интенсивностью и мощностью не намного превышающей Рсг, не наблюдается ступенчатый характер изменения интенсивности при распространении импульса.

1.. R.Y.Chiao, E.Garmire, C.H.Townes «Self-trapping of optical beams» Physical Review Letters, V.13, №15, P.479,1964

2. Н.Ф.Пилипецкий, А.Р.Рустамов «Наблюдение самофокусировки света в жидкости» Письма в ЖЭТФ, Т.2, №2, С.88,1965

3. В.И.Беспалов, В.И.Таланов «О нитевидной структуре пучков света в нелинейных жидкостях» Письма в ЖЭТФ, Т. 3, С.471-476,1966

4. В.Н.Луговой, А.М.Прохоров «О возможном объяснении мелкомасштабных нитей самофокусировки» Письма в ЖЭТФ, Т.7, №5, С. 153,1968

5. J.Kasparian, M.Rodrigues, G.Mejean et al. «White-Light Filaments for Atmospheric Analysis» Science, V.61, №301, P.61,2003

6. S.Skupin, U.Peschel et al. «Simulation of femtosecond pulse propagation in air» Optical and Quantum Electronics, №35, P.573,2003

7. S.Skupin, L.Berge et al. «Filamentation of femtosecond light pulses in the air: Turbulent cells versus long-range clusters» Physical Review E, V.70,046602,2004

8. L.Berge, S.Skupin «Spatial Break-up of Femtosecond Laser Pulses in the Atmosphere» Physica Scripta, V.T107, P.135,2004

9. L. Berge «Boosted propagation of femtosecond filaments in air by double-pulse combination» Physical Review E, V.69,065601(R), 2004

10. L.Berge, S.Skupin et al. «Supercontinuum emission and enhanced self-guiding of infrared femtosecond filaments sustained by third-harmonic generation in air» Physical Review E, V.71,016602,2005

11. В.П.Кандидов, О.Г.Косарева, А.А.Колтун «Нелинейно-оптическая трансформация мощного фемтосекундного лазерного импульса в воздухе» Квантовая электроника, Т.ЗЗ, №1, С.69,2003

12. В.П.Кандидов, И.С.Голубцов, О.Г.Косарева «Источники суперконтинуума в мощном фемтосекундном лазерном импульсе при распространении в жидкости и газе» Квантовая электроника, Т.34, №4, С.348, 2004

13. В.П.Кандидов, В.Ю.Федоров «Особенности самофокусировки пучков эллиптического сечения» Квантовая электроника, Т.34, №12, С. 1163,2004

14. С.А.Шленов, В.П.Кандидов «Формирование пучка филаментов при распространении фемтосекундного лазерного импульса в турбулентной атмосфере» Оптика атмосферы и океана, Т. 17, №8,2004

15. В.П.Кандидов, О.Г.Косарева, С.А.Шленов и др. «Динамическая мелкомасштабная самофокусировка фемтосекундного лазерного импульса» Квантовая электроника, Т.35, №1, С.59,2005

16. H.Sotobayashi et al. «Wideband tunable wavelength conversion of 10-Gbit/s return-to-zero signals by optical time gating of a highly chirped rectangular supercontinuum light source» Optics Letters, V.26, №17,2001

17. M.Yoshizawa, M.Kurosawa «Femtosecond time-resolved Raman spectroscopy using stimulated Raman scattering» Physical Review A, V.61, №1,1999

18. A.Braun et al. «Self-channeling of high-peak-power femtosecond laser pulses in air» Optics Letters, V.20, P.73,1995; E.T.J.Nibbering et al. «Conical emission from self-guided femtosecond pulses in air» Optics Letters, V.21, P.62,1996

19. A.Brodeur et al. «Moving focus in the propagation of ultrashort laser pulses in air» Optics Letters, V.22, P.304,1997

20. E.T.J.Nibbering, G.Grillon, M.A.Franco at al., Journal of the Optical Society of America B, V.14, P.650,1997

21. Н.Б.Баранова, Н.Е.Быковский, Б.Я.Зельдович, Ю.В.Сенатский «Дифракция и самофокусировка излучения в усилителе мощных световых импульсах» Квантовая электроника, Т.1, №11, С.2435-2449,1974 (

22. G.Fibich, B.Ilan «Vectorial and random effects in self-focusing and in multiple filamentation» Phisica D, V.157, P. 113-147,2001

23. С.Н.Власов, В.И.Таланов «Самофокусировка волн» ИПФ РАН, Нижний Новгород, 1997

24. Л.М.Дегтярев, В.В.Крылов «Гидродинамическое описание самофокусировки пучков света в кубической среде» Сборник научных трудов под редакцией А.А.Самарского «Изучение гидродинамической неустойчивости численными методами», Москва, 1980

25. В.М.Волков «Консервативные разностные схемы с улучшенными дисперсионными свойствами для нелинейных уравнений шредингерского типа» Дифференциальные уравнения, Т.29, №7, С.1156,1993

26. Ю.Н.Карамзин, А.П.Сухоруков, В.А.Трофимов «Математическое моделирование в нелинейной оптике» М.: Издательство Московского университета, 1989

27. Л.М.Дегтярев, В.В.Крылов «Метод численного решения задач динамики волновых полей с особенностями» Журнал вычислительной математики и математической физики, Т. 17, ноябрь-декабрь, 1977

28. Л.А.Болыпев, Л.М.Дегтярев, А.М.Дыхне и др. «Численное исследование мелкомасштабной самофокусировки импульсов света в усилителях на неодимовом стекле» ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, препринт №109,1979

29. M.D.Feit, J.A.Fleck « Effect of refraction on spot-size dependence of laser-induced breakdown» Applied Physics Letters, V.24, №4, P.169,1974

30. J.H.Marburger «Self-focusing: theory» Prog. Quant Electr., V.4, P.35,1975

31. В.Н.Гольдберг, В.И.Таланов, Р.Э.Эрм «Самофокусировка аксиально-симметричных волновых пучков» Известия вузов. Радиофизика, Т. 10, №5, С. 574,1967

32. В.Е.Захаров, В.С.Сынах, В.В.Соболев «О характере особенности и стохастических явлениях при самофокусировке» Письма в ЖЭТФ, Т.14, №10, С.564,1971

33. С.Н.Власов, Л.В.Пискунова, В.И.Таланов «Структура поля вблизи особенности, возникающей при самофокусировке в кубичной среде» ЖЭТФ, Т.75, №5, С. 1602,1978

34. А.Л.Дышко, В.Н.Луговой, А.М.Прохоров «Самофокусировка интенсивных световых пучков» Письма в ЖЭТФ, Т.6, №5, С.655,1967

35. В.Г.Маханьков, Физика элементарных частиц и атомного ядра, Т.14, вып.1, С. 123-180,1983

36. Ю.Н.Карамзин «Разностные методы в задачах нелинейной оптики» ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, препринт №74,1982

37. Y.Saad «Iterative Methods for Sparse Linear Systems» PWS Publishing Company, 1995

38. C. Lanczos «Solution of systems of linear equations by minimized iterations» Journal of Research of the National Bureau of Standards, V. 49, P.33,1952

39. R. Fletcher «Conjugate gradient methods for indefinite systems» Proceedings of the Dundee Biennal Conference on Numerical Analysis, Springer Vernag, New York, P.73,1975

40. P.Sonneveld «CGS, a fast Lanczos-type solver for nonsymmetric linear systems», SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, V.10, №1, P.36, 1989

41. M.DeLong «SOR as preconditioned Doctor of Philosophy Dissertation, University of Verginia, 1997

42. Л.И. Миркин, M.A. Рабинович, Л.П. Ярославский «Метод генерирования коррелированных гауссовских псевдослучайных чисел на ЭВМ» ЖВМ и МФ, Т.5, № 5, С. 1353,1972

43. Л.Д.Ландау, Е.М.Лившиц «Электродинамика сплошных сред» М.: Наука, 1959

44. А.Д.Балашов, А.Х.Пергамент «Математическое моделирование процессов филаментации в средах с кубической нелинейностью» ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, препринт №40,2004

45. J.Kasparian, R.Sauerbrey, S.L.Chin «The critical laser intensity of self-guided light filaments in air» Applied Physics B, №71, P.877-879,2000

46. А.Н.Тихонов, В.Я.Арсенин, В.И.Павлов, А.Х.Пергамент «Исследование расходимости излучения в мощных лазерных усилителях на активных элементах прямоугольно сечения» ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, препринт №41, Москва, 1981

47. В.La Fontaine et al. «Filamentation of ultrashort pulse laser beams resulting from their propagation over long distances in air» Physics of Plasmas, V.6, P. 1615, 1999

48. В.Н.Дацюк, А.А.Букатов, А.И.Жегуло «Многопроцессорные системы и параллельное программирование» Ростовский государственный университет, Ростов-на-Дону, 2003

49. А.Д.Балашов, А.Х.Пергамент «Математическое моделирование распространения фемтосекундного импульса» Математическое моделирование, Т. 18, №4,2006

50. А.Д.Балашов «Математическое моделирование распространения фемтосекундных импульсов» труды международной конференции «Тихонов и современная математика», с.21,2006

51. А.Д.Балашов «Решение задачи о распространении фемтосекундного импульса в атмосфере» ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, препринт № 30,2006

52. А.Д.Балашов «Характер образования множественной филаментации фемтосекундного импульса» ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, препринт № 31, 2006

53. A.Couairon, S. Tzortzakis, L.Berge et al. «Infrared femtosecond light filaments in air: simulations and experiments», Journal of the Optical Society of America B, V.19, №5,2002

54. B.Ilan «Vectorial Effects and Multiple Filamentation in Self-Focusing of Laser Beams», Tel Aviv University, Thesis submitted for the degree of «Doctor of Philosophy», 2002

55. T. Brabec, F.Krausz «Nonlinear Optical Pulse Propagation in the Single-Cycle Regime» Physical Review Letters, V.78, №17,1997

56. W.Y.Chen, R.J.Shiau «The Self-Focusing Effect of an Equal Phase Gaussian Beam», Chinese Journal of Physics, V.14, № 3,1976

57. S.L.Chin, A.Talebpour et al. «Filamentation of femtosecond laser pulses in turbulent air», Applied Physics B, V.74, P.67,2002

58. S.L.Chin, S.Petit et al. «Interference of transverse rings in multifilamentation of powerful femtosecond laser pulses in air» Optics Communications, V.210, P.329, 2002

59. C.Denz, S.J.Jensen «Stabilization, manipulation and control of transverse optical patterns in a photorefractive feedback system», Journal of Optics B: Quantum Semiclass. №1, P. 114,1999

60. R.K.Drampyan «Break-up as a result of self-focusing and stimulated Raman scattering of a laser beam in a Kerr medium» Journal of Optics A: Pure Appl. Opt., №6, P. 213,2004

61. G.Fibich, G.Papanicolaou «Self-Focusing in the Perturbed and Unperturbed Nonlinear Schrodinger Equation in Critical Dimension» Journal of Applied Mathematics, V.60, №1, P.183,1999

62. G.Fibich, B.Ilan «Self-focusing of elliptic beams: an example of the failure of the aberrationless approximation» Journal of the Optical Society of America B, V.17, №10,2000

63. G.Fibich, S.Eisenmann, B.Ilan «Control of multiple filamentation in air» Optics Letters, V.29, №15, P. 1772, 2004

64. R. de la Fuente, O.Varela, H.Michinel «Fourier analysis of non-paraxial self-focusing» Optics Communications №173, P.403,2000

65. A.L.Gaeta « Catastrophic Collapse of Ultrashort Pulses» Physical Review Letters, V.84,№16,2000

66. А.А.Самарский «Теория разностных схем», М.: Наука, 1977

67. I.G.Koprinkov, A.Suda, K.Midorikawa «Interference between stimulated Raman scattering and self-phase modulation in pressurized methane in highly transient femtosecond pump regime» Optics Communications, №174, P.299,2000

68. M.Mlejnek, E.M.Wright, J.V.Moloney «Power dependence of dynamic spatial replenishment of femtosecond pulses propagating in air» Optics Express, V.4, №7, P.223,1999

69. Y.Saad «Iterative Methods for Sparse Linear Systems» PWS Publishing Company, 1995

70. И.С.Голубцов, В.П.Кандидов, О.Г.Косарева «Начальная фазовая модуляция мощного фемтосекундного лазерного импульса как средство управления его филаментацией и генерацией суперконтинуума в воздухе» Квантовая электроника, Т.ЗЗ, №6, С.525,2003

71. А.Д.Балашов, А.Х.Пергамент «Особенности распространения фемтосекундного импульса в воздухе», Квантовая электроника, Т.36, №9, с.825, 2006

72. S.Tzortzakis, L.Berge et al. «Breakup and Fusion of Self-Guided Femtosecond Light Pulses in Air» Physical Review Letters, V.86, №24, P.5470,2001

73. J.M.Soto-Crespo, N.N.Akhmediev «Description of the self-focusing and collapse effects by a modified nonlinear Schrodinger equation» Optics Communications, V.101, P.223,1993

74. Г.А. Аскарьян «Эффект самофокусировки» Успехи физических наук, Т.111, выпуск 2,1973

75. Г.А.Пасманик «Самовоздействие пучков некогерентного света» Журнал экспериментальной и теоретической физики, Т.66, С.491,1974

76. В.А. Трофимов, Е.Б. Терешин, М.В. Федотов «Исследование разностных схем для задачи самовоздействия фемтотсекундного импульса в фотонном кристалле» Вестник московского университета. Серия 15: Вычислетельная математика и кибернетика. №2, с.20-26, 2003

77. С.А. Ахманов, В.А. Выслоух, А.С. Чиркин «Оптика фемтосекуидных лазерных импульсов» М.: Наука, 1988

78. Н.С.Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков «Численные методы» М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004