автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование некоторых задач распространения фемтосекундных лазерных импульсов в нелинейной среде

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

П.Э

Скрипов Дмитрий Констаянмем«^—-----

I г.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФЕМТОСЕКУНДНЫХ ЛАЗЕРНЫХ ИМПУЛЬСОВ В НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2004 г.

Работа выполнена на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физ.-матем. наук, профессор

В.А. Трофимов

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

кандидат физ.-матем. наук, старший научный сотрудник

доктор физ.-матем. наук, старший научный сотрудник

Е.П. Орлов М.К. Трубецков

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Защита состоится "_"_

Институт математического моделирования РАН

2004 г. в

на заседании Диссертационного совета К 501.001.07 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, второй учебный корпус, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат диссертации разослан "

2004 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета кандидат физ.-матем. наук,

доцент

В.М. Говоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования.

В последние 10-15 лет особый интерес представляет взаимодействие лазерных импульсов фемтосекундной длительности с веществом. Эти импульсы обладают уникальными свойствами: малой длительностью и высокой напряженностью электрического поля, сравнимой и превышающей на много порядков внутриатомную напряженность электрического поля. В этом случае традиционный подход нелинейной оптики, основанный на разложении поляризации среды в ряд по степеням амплитуды воздействующего поля, оказывается неприменим, например из-за того, что в разные моменты времени могут проявляться нелинейности разных порядков. Поэтому разработка адекватной математической модели распространения фемтосекундного импульса в нелинейной среде с интенсивностью меньшей интенсивности ионизации представляет собой актуальную проблему. Создание лазеров, генерирующих импульсы, содержащие несколько колебаний световой волны, делает необходимым также изучение влияния абсолютной фазы в его начальном распределении на нелинейный отклик среды, что для импульсов большей длительности не имеет место.

Высокая интенсивность фемтосекундного импульса, приводящая к проявлению нелинейностей различного порядка для его разных временных частей, может приводить с одной стороны к процессам генерации световых гармоник, с другой стороны к самовоздействию волн на разных частотах, обусловленные действием нелинейностей 3-го и других порядков. Как результат, в принципе возможно формирование солитонов в среде с частотами, отличающимися от частоты воздействующего импульса.

Описанные выше проблемы (как и многие другие) весьма актуальны, так как позволяют создавать новые способы управления различными процессами в веществе.

Не менее актуальным является и построение эффективных численных методов,

иве 'ялмоьч.'иил* димнинм

обладающих высокой точностью, позволяющих моделировать распространение фемто-секундных импульсов в нелинейной среде в рамках системы нелинейных уравнений Максвелла.

Цель работы заключалась в построении в рамках системы уравнений Максвелла математической модели распространения фемтосекундных импульсов, позволяющей учитывать одновременное действие нелинейностей разных порядков; в построении консервативных разностных схем для предложенной математической модели; в изучении эффектов нелинейного распространения фемтосекундных импульсов. Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

1. Предложена математическая модель, позволяющая в рамках системы уравнений Максвелла одновременно описывать действие нелинейностей разных порядков при распространении высокоинтенсивных фемтосекундных импульсов с интенсивностью ниже интенсивности ионизации.

2. Построены консервативные разностные схемы для задачи нелинейного распространения фемтосекундного импульса в рамках системы уравнений Максвелла в двумерном и одномерном случае.

3. На основе компьютерного моделирования для импульсов фемтосекундной длительности предсказаны эффекты: гистерезисной зависимости наиболее яркой спектральной компоненты от амплитуды падающего импульса; зависимости спектра импульса фемтосекундной длительности от его абсолютной фазы на входе в нелинейную среду; формирование высокочастотных субимпульсов неизменной формы при распространепии фемтосекундного импульса в нелинейной среде; зависимость наиболее яркой спектральной компоненты отклика среды от длительности воздействующего импульса.

Практическая ценность.

1. Предсказан и исследован эффект зависимости спектра оптического излучения в толще среды от абсолютной фазы фемтосекундного импульса на входе в нелинейную среду. Он может быть использован в частности для управления химическими реакциями. Данный эффект независимо экспериментально подтвержден, например в работе Paulus1.

2. Обнаруженный и исследованный эффект гистерезисной зависимости частоты импульса, имеющей наибольшую спектральную яркость от амплитуды входного импульса открывает потенциальную возможность построения на нем сверхбыстрых оптических переключателей, имеющих быстродействие (и выше).

3. Формирование в среде нескольких субимпульсов на разных частотах позволяет на практике реализовать обсуждаемый в работе Manz 2 способ управления химическими реакциями.

4. Предложенная математическая модель и постановка задачи может найти применение для широкого класса задач распространения фемтосекундных импульсов в различных средах, в частности в фотонных кристаллах.

Защищаемые положения.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Математическая модель, включая постановку задачи, для описания распространения фемтосекундного импульса в нелинейной среде, позволяющая одновременно учитывать действие нелинейностей разных порядков.

1 Paulus G.G. et al. Absolute-phase effects of few-cycle laser pulses. II Technical Digest of IQEC2001. Moscow. 2001. P.231.

1 Korolkov M.V., Manz Y., Paramonov G.K. Theory of ultrafast laser control for state-

selective dynamics of diatomic moleculcs in the ground electronic state: vibrational excitation, dissociation, spatial squeezing and association. // Chemical Physics. 1997. V.217. P.341-374.

2. Зависимость спектра фемтосекундного импульса в нелинейной среде от его абсолютной фазы на входе в среду.

3. Гистерезисная зависимость частоты импульса, обладающей максимальной спектральной яркостью, от амплитуды воздействующего фемтосекундного импульса.

4. Формирование солитоноподобных субимпульсов на разных частотах при распространении фемтосекундного импульса в нелинейной среде.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на 5 международных конференциях:

- Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-12" (Великий Новгород, 1999)

- Saratov Fall Meetings (Saratov, 1999)

- Международная конференция молодых ученых и специалистов "Оптика 99" (Санкт-Петербург, 1999)

- Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях -ММТТ-2000" (Санкт-Петербург, 2000)

- Second Conference "Superstrong fields in Plasmas - 2001" (Italy. Varenna, 2001).

Отдельные результаты работы докладывались на научных семинарах лаборатории математического моделирования в физике и кафедре вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. Ломоносова, кафедре общей физики и волновых процессов физического факультета МГУ им. Ломоносова.

Публикации. Список работ, опубликованных по материалам диссертации, приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, основных результатов, списка литературы, включающего в себя 61 наименование, и содержит 60

рисунков, 4 таблицы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, характеризующий состояние проблемы и излагается содержание работы.

Первая глава диссертации, состоящая из четырех параграфов, посвящена математической постановке задачи распространения фемтосекундного импульса в одномерной нелинейной среде. Здесь построен эффективный численный метод ее решения, использующий в частности преобразование Фурье по пространственной координате.

В первом параграфе первой главы рассматривается математическая постановка задачи распространения фемтосекундного светового импульса в немагнитной нелинейной среде. Такая задача, как известно, в общем случае описывается системой уравнений Максвелла

совместно с нелинейным уравнением относительно поляризации среды. При этом в рамках одномерной по пространству задачи распространения фемтосекундного импульса рассматриваются различные математические модели для описания состояния среды. Наиболее общую среди них представляет собой модель среды с насыщающимся потенциалом возвращающей силы

где описывает ее поляризацию.

Особое внимание уделяется способу задания начальных и граничных условий для уравнений Максвелла. Показано, что задание начального импульса на границе нелинейной среды приводит к генерации нефизической встречной волны. Для ее устранения начальное распределение предлагается задавать в области до нелинейной среды.

Во втором параграфе первой главы строятся консервативные разностные схемы на основе преобразования Фурье. Несколько построенных методов сравниваются друг с другом и с широко известным в литературе методом Уее3 для решения задач распространения световых импульсов, обобщенным на случай нелинейности, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка. Для построения схем используется интегро-интерполяционный метод. Построенный в работе метод позволяет существенно уменьшить число узлов пространственной сетки и более точно сохраняет инварианты. Так как построенные схемы нелинейны, то для их решения предложено несколько итерационных методов и среди них выбран оптимальный с точки зрения уменьшения числа итераций. В этом же параграфе обсуждаются различные численные методы решения уравнений относительно поляризации.

Для существенного сокращения требуемых ресурсов ЭВМ с помощью уменьшения области расчета в литературе используются неотражающие краевые условия (например РМЬ4) В этом же параграфе рассмотрены несколько видов различных неотражающих краевых условий. Однако вопрос о построении условий для случая нелинейного распространения фемтосекундного импульса остается открытым из-за зависимости спектра импульса от многих факторов (абсолютной фазы начального распределения, длительности импульса, нелинейности, наличия гистерезисных зависимостей).

' Yee K.S. Numerical Solution of Initial Boundary Value Problems Involving Maxwell's Equations in Isotropic Media. // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1966. V.14. N3. P.302-307.

4 Berenger J.P. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves. // J. CompuL Phys. 1994. V.114. P.185-200.

В третьем параграфе первой главы проведено сравнение различных описаний среды, т.е. моделей среды. Показано, что модель насыщающегося потенциала может быть использована для моделирования нелинейных эффектов, вызванных нелинейно-стями различных порядков по амплитуде воздействующего поля. Сравнение проводится с широко используемыми в литературе соответствующими моделями Дуффинга, которая например для кубичной нелинейности имеет вид:

В частности, продемонстрирована возможность получения эффектов квадратичной и кубичной нелинейностей как одновременно, так и отдельно. Для непосредственного подтверждения как реализации продольного эффекта Керра, так и генерации второй, третьей и т.д. гармоник здесь на основе компьютерного моделирования проведено сравнение спектров отклика среды, рассчитанных как для модели насыщающегося потенциала, так и для модели Дуффинга, учитывающей квадратичные и кубичные эффекты. Показано, что при определенных условиях спектры качественно (отчасти и количественно) совпадают, что позволяет сделать вывод об учете нелинейных эффектов, обусловленных действием различных порядков нелинейного отклика среды, при его описании потенциалом с насыщающейся возвращающей силой.

В четвертом параграфе первой главы сформулированы ее краткие выводы.

Вторая глава посвящена компьютерному моделированию нелинейных эффектов взаимодействия фемтосекундного светового импульса со средой па основе построенной в первой главе разностной схемы.

В первом параграфе второй главы показано, что помимо трансформации спектра отклика среды из-за нелинейности процесса распространения имеет место существенная зависимость спектральной компоненты, обладающей максимальной спектральной яркостью, от длительности импульса, если длительность не превышает некоторой ве-

личины. Отмечено, что в этом случае отклик линейной среды может иметь место даже на его собственной частоте, несмотря на существенную отстройку частоты воздействующего импульса от нее. Полученные при компьютерном моделировании результаты качественно подтверждены приведенными в этом параграфе аналитическими оценками. Подчеркнем, что необходимость учета существенного смещения частоты отклика среды, обладающей максимальной спектральной яркостью, от частоты воздействующего импульса следует хотя бы из того, что при нелинейном распространении светового импульса генерация оптических частот будет происходить по отношению к частотам, обладающим максимальной спектральной яркостью, которые могут не совпадать с частотой воздействующего импульса. Очевидно, это обстоятельство может принципиально изменить как спектр распространяющегося в среде импульса, так и непосредственно взаимодействие импульса с веществом по сравнению со случаем "достаточно длинных" фемтосекундных импульсов. Причина зависимости частоты отклика среды от длительности воздействующего импульса, очевидно, заключается в инерционности среды: за время действия сверхкороткого светового импульса атомы (или молекулы) не успевают существенно деформироваться по отношению к положению равновесия и получают лишь импульс (начальную скорость), а не смещение.

Во втором параграфе второй главы рассмотрена зависимость отклика нелинейной среды от абсолютной фазы воздействующего импульса. Такой эффект проявляется для сверхкоротких световых импульсов, и как показан в этом параграфе, его проявление зависит от степени возбуждения среды. Так при слабом и умеренном возбуждении среды абсолютная фаза импульса наибольшее влияние на его спектр оказывает вблизи входного сечения среды. В толще же среды импульс "забывает" свою начальную фазу. В случае сильного возбуждения среды имеет место другая тенденция: с ростом трассы распространения импульса зависимость спектрального состава от его абсолютной фазы

усиливается. Поэтому, вообще говоря, возможно проявление этой зависимости на определенном участке в толще среды.

В третьем параграфе этой главы продемонстрировано, что при распространении фемтосекундного светового импульса в нелинейной среде могут формироваться субимпульсы на различных частотах. Их количество прежде всего определяется длительностью воздействующего импульса, а также его амплитудой. Механизм формирования субимпульсов заключается в генерации оптических гармоник из-за нелинейного отклика среды. Вследствие дисперсии среды импульсы с различными частотами отделяются друг от друга во времени и могут распространяться практически без изменения своих характеристик (т.е. формируются солитоны) в пределах рассмотренной длины среды. Такой режим распространения был обнаружен например на утроенной частоте воздействующего импульса. Важно также подчеркнуть, что при определенных условиях имеет место реализация несимметричности спектрального частотного распределения субимпульса относительно соответствующего его центра, что свидетельствует о возможности наличия гистерезисных зависимостей частоты отклика среды от амплитуды воздействующего импульса.

В четвертом параграфе данной главы показано, что при нелинейном воздействии фемтосекундного импульса может реализовываться гистерезисная зависимость частоты, обладающей максимальной спектральной интенсивностью, от амплитуды воздействующего импульса. Существенное влияние на появление гистерезисной зависимости оказывает уровень возбуждения среды, нестационарность процесса и отстройка несущей частоты от частоты линейного резонанса. Анализ проводится для сред с кубичной нелинейностью и с насыщающейся возвращающей силой. Показана возможность реализации гистерезисных зависимостей частоты спектральной линии от амплитуды воздействующего фемтосекундного импульса как для одной гармоники, так и для не-

скольких одновременно генерируемых в среде гармоник. Заметим, что для этого ис-

пользуется анализ "мгновенного" спектрального состояния какого-либо сигнала, который широко используется в теории обработки сигналов. Для этого вдоль сигнала перемещается "окно" с заданным размером и анализируется его спектральный состав в пределах данного окна.

В последнем параграфе этой главы приведены краткие выводы главы II.

Третья глава посвящена построению разностной схемы для задачи взаимодействия фемтосекундного светового импульса с нелинейной средой в двумерном случае.

В ее первом параграфе сформулирована математическая постановка задачи распространения фемтосекундного светового импульса в пространственно двумерной среде с периодическими краевыми условиями. Нелинейность среды описывается в рамках модели насыщающегося потенциала.

Во втором параграфе построена консервативная разностная схема второго порядка для решения записанной в первом параграфе задачи. Шаблон этой схемы изображен на следующем рисунке:

t

О 1)1.01

ОхЛх

0 Ну

Рис. Схематичное изображение точек задания сеточных функций для схемы (3.2.2). Линии изображают целые точки сеток, линии проходящие через полуцелые точки на шаблоне не показаны. Се-ся в точ-в точках

в точках!.

□

I

□

ж

/

ж

Так как схема использует для задания различных сеточных функций точки с разных слоев по времени, то для записи начальных условий сеточного решения, исходя из начальных условий для дифференциальной задачи, используется еще одна разностная схема.

Третий параграф этой главы посвящен тестированию построенной схемы, изучению ее свойств с помощью компьютерного моделирования. Необходимость такого тестирования обусловлена громоздкостью разностной схемы. Результаты тестирования продемонстрировали ее высокую точность и консервативность.

В четвертом параграфе данной главы подтвержден описанный во второй главе эффект формирования солитоноподобного предвестника в случае двумерной среды. Для этого использовался импульс вида гапергаусса:

1. Предложена математическая модель распространения фемтосекундного импульса в нелинейной среде, описывающая одновременно действие нелинейностей разных порядков по отношению напряженности воздействующего импульса к напряженности внутриатомного электромагнитного поля при отсутствии ионизации вещества.

2. Для предложенной математической модели сформулирована математическая постановка задачи распространения фемтосекундного импульса в нелинейной среде, которая свободна от развития нефизичной встречной волны, и построен консервативный численный метод для решения одномерных и двумерных нелинейных нестационарных уравнений Максвелла.

В пятом параграфе третьей главы сформулированы ее краткие выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

3. На основе математического моделирования предсказаны эффекты: -зависимость спектра электрической индукции в нелинейной среде от абсолютной фазы светового импульса на входе в среду;

-гистерезисная зависимость частоты с максимальной спектральной яркостью от амплитуды воздействующего импульса;

-формирование солитоноподобных субимпульсов при распространении фемтосе-кундного импульса в нелинейной среде.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах;

1. Магницкий С.А., Скрипов Д.К., Трофимов В.А. Об описании отклика среды при моделирование воздействия сверхкороткого светового импульса. // Сб. трудов международ. конф. "Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-12". Новгород. гос. ун-т. Великий Новгород. 1999. Т.4. С.10-12.

2. Trofimov V.A., Skripov D.K. Influence of femtosecond pulse duration on shift ofcentral frequency of wave packet. / Program and abstract of Saratov Fall Meetings. Saratov, Russia. October 5-8,1999. P.4.

3. Скрипов Д.К. О применимости модели Дуффинга для описания распространения фемтосекундного светового импульса. // Тез. докл. на международ, конф. молодых ученых и специалистов "Оптика 99". Санкт-Петербург. 19-21 октября 1999 г. С.62.

4. Скрипов Д.К., Трофимов В.А. О применимости модели Дуффинга для описания распространения сверхкоротких световых импульсов. // Труды УНЦ волоконно-оптических материалов и устройств. М.: Волоконно-оптические технологии, материалы и устройства. 2000. N 3. С. 83-92.

5. Скрипов Д.К., Трофимов В.А. Об описании квадратичных и кубичных оптических эффектов в рамках насыщающегося потенциала. // Сб. трудов международ. науч.

конф. "Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-2000". Санкт-Петербургский гос. технол. ин-т (техн. ун-т). Санкт-Петербург. 2000. Т.7. С.22-23.

6. Skripov D.K., Trofimov V.A. Influence offemtosecond pulse duration on shift of central frequency of wave packet // In "Laser Physics and Spectroscopy" / Eds. Derbov V.L, Melnikov L.A., Ryabukho V.P. Proc. of SPIE. 2000. V.4002. P.34-44.

7. Скрипов Д.К., Трофимов В.А. Зависимость спектра фемтосекундного импульса от его абсолютной фазы при распространении в нелинейной среде // Письма в ЖТФ. 2001.T.27.N14.C.6-10.

8. Trofimov V.A., Skripov D.K. Bistable dependence of polarization frequency under the action of high intense femtosecond pulse on non-linear medium. // Program and Abstract on Second Conference "Superstrong fields in Plasmas - 2001". Italy, Varenna. 2001. P.8.

9. Скрипов Д.К., Трофимов В.А. Формирование высокочастотного субимпульса при распространении фемтосекундного импульса в нелинейной среде с насыщающимся потенциалом. // Оптика и спектроскопия. 2003. Т.95. N2. С.338-350.

10. Скрипов Д.К., Трофимов В.А. Гистерезисная зависимость некоторых спектральных компонент фемтосекундного импульса при его прохождении нелинейного слоя. // ЖТФ. 2003. Т.73. N3. С.69-74.

11. Скрипов Д.К., Трофимов В.А. Об описании квадратичных и кубичных оптических эффектов распространения фемтосекундных импульсов в рамках модели насыщающегося потенциала. // Оптика и спектроскопия. 2003. Т.95. N5. С.863-868.

12. Скрипов Д.К., Трофимов В.А. Гистерезисная зависимость некоторых спектральных компонент фемтосекундного импульса при его распространении в нелинейной среде. // ЖТФ. 2004. Т.49. N2. С.218-223.

04"14905

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N00510 от01.12.99 г. Подписано к печати 23.08.2004 г. Формат 60x90 1/16. Усллечл. 1,0. Тираж 90 экз. Заказ 309. Тел. 939-3890, 939-3891, 928-1042. Тел/Факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Введение.

Гл. 1. Постановка задачи нелинейного распространения фемтосекундного импульса в рамках уравнений Максвелла и разностные схемы для нее. Координаты (t, z).

§1.1. Постановка задачи распространения импульса в оптически тонкой и протяженной среде.

§1.2. Разностные схемы для задачи взаимодействия фемтосекундного импульса с нелинейной средой.

§1.3. Обоснование выбора модели среды.

§1.4. Краткие выводы.

Гл. 2. Компьютерное моделирование распространения фемтосекундного импульса в одномерной нелинейной среде на основе уравнений Максвелла.

§2.1. Влияние длительности импульса на положение максимальной спектральной компоненты.

§2.2. Зависимость спектрального состава импульса от его абсолютной фазы на входе в среду.

§2.3. Формирование нескольких субимпульсов в оптически протяженной нелинейной среде.

§2.4. Гистерезисная зависимость максимумов некоторых спектральных линий от амплитуды воздействующего сигнала.

§2.5. Краткие выводы.

Гл. 3. Компьютерное моделирование распространения фемтосекундного импульса в двумерной нелинейной среде.

§3.1. Постановка задачи распространения фемтосекундного импульса.

Координаты (х, z, t).

§3.2. Построение разностной схемы для задачи взаимодействия фемтосекундного импульса с нелинейной средой. Координаты (x,z,t).

§3.3. Тестовые численные эксперименты.

§3.4. Компьютерное моделирование эффекта формирования субимпульсов при распространении фемтосекундного импульса в двумерной нелинейной среде.

§3.5. Краткие выводы.

Основные результаты.

Лазерные импульсы фемтосекундной длительности находят все большее применение в различных областях науки и техники [1-7]. Их уникальность обусловлена малой длительностью и одновременно высокой интенсивностью, что позволяет реализовать интенсивности световых полей, превышающие интенсивность внутриатомного поля на много порядков. В настоящее время экспериментально получены импульсы с длительностью от субпикосекундного интервала до нескольких фемтосекунд [8-15]. Такие импульсы применяются в оптических системах связи [4], при изучении различных аспектов физики плазмы [5], для управления химическими процессами [16, 17] и во многих других областях науки и техники. В связи с этим оптические импульсы фемтосекундной длительности постоянно изучаются различными авторами [18-25].

При компьютерном моделировании распространения фемтосекундных импульсов в нелинейной среде используется несколько подходов в зависимости от длительности импульса. Так для субпикосекундных импульсов используется нелинейное уравнение Шредингера [1, 2]. Для описания распространения более коротких импульсов применяется комбинированное уравнение Шредингера [4, 25-27], которое отличается от обычного нелинейного уравнения Шредингера присутствием производной от нелинейного отклика среды. В случае же распространения импульсов в несколько фемтосекунд теоретический анализ базируется на системе нелинейных уравнений Максвелла [5, 19, 23, 28]. При этом для многих практически важных задач представляет интерес численное интегрирование линейных уравнений Максвелла [29-38], а также численное интегрирование уравнения переноса [39,40]. При этом построение эффективных численных методов [41-45] по-прежнему является актуальной задачей.

Еще одну большую проблему представляет собой тестирование предложенного для данного класса задач в литературе разностных схем и разработка методов обработки экспериментальных результатов. Для этих целей можно использовать например известные законы отражения от границы раздела двух линейных сред, законы сохранения энергии [47] с целью построения консервативных разностных схем. Обработку и интерпретацию (а в ряде случаев и тестирование) целесообразно осуществлять на основе теории вейвлетов [48], известных формул для зависимости частоты резонанса от амплитуды падающего поля в квазистационарном режиме [49].

Цель работы заключалась в построении в рамках системы уравнений Максвелла математической модели распространения фемтосекундных импульсов, позволяющей учитывать одновременное действие нелинейностей разных порядков; в построении консервативных разностных схем для предложенной математической модели; в изучении эффектов нелинейного распространения фемтосекундных импульсов. Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

1. Предложена математическая модель, позволяющая в рамках системы уравнений Максвелла одновременно описывать действие нелинейностей разных порядков при распространении высокоинтенсивных фемтосекундных импульсов с интенсивностью ниже интенсивности ионизации.

2. Построены консервативные разностные схемы для задачи нелинейного распространения фемтосекундного импульса в рамках системы уравнений Максвелла в двумерном и одномерном случае.

3. На основе компьютерного моделирования для импульсов фемтосекундной длительности предсказаны эффекты: гистерезисной зависимости наиболее яркой спектральной компоненты от амплитуды падающего импульса; зависимости спектра импульса фемтосекундной длительности от его абсолютной фазы на входе в нелинейную среду; формирование высокочастотных субимпульсов неизменной формы при распространении фемтосекундного импульса в нелинейной среде; зависимость наиболее яркой спектральной компоненты отклика среды от длительности воздействующего импульса. Практическая ценность.

1. Предсказан и исследован эффект зависимости спектра оптического излучения в толще среды от абсолютной фазы фемтосекундного импульса на входе в нелинейную среду. Он может быть использован например для управления химическими реакциями. Данный эффект независимо экспериментально подтвержден, например в [17].

2. Обнаруженный и исследованный эффект гистерезисной зависимости частоты импульса, имеющей наибольшую спектральную яркость от амплитуды входного импульса открывает потенциальную возможность построения на нем сверхбыстрых оптических переключателей, имеющих быстродействие Ю-14 с (и выше).

3. Формирование в среде нескольких субимпульсов на разных частотах позволяет на практике реализовать обсуждаемый в работе [16] способ управления химическими реакциями.

4. Предложенная математическая модель и постановка задачи может найти применение для широкого класса задач распространения фемтосекундных импульсов в различных средах, в частности в фотонных кристаллах.

Структура диссертации.

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, характеризующий состояние проблемы и излагается содержание работы.

Первая глава диссертации, состоящая из четырех параграфов, посвящена математической постановке задачи распространения фемтосекундного импульса в одномерной нелинейной среде. Здесь построен эффективный численный метод ее решения, использующий в частности преобразование Фурье по пространственной координате.

В первом параграфе первой главы рассматривается математическая постановка задачи распространения фемтосекундного светового импульса в немагнитной нелинейной среде. Такая задача, как известно, в общем случае описывается системой уравнений Максвелла совместно с нелинейным уравнением относительно поляризации среды. При этом в рамках одномерной по пространству задачи распространения фемтосекундного импульса рассматриваются различные математические модели для описания состояния среды. Наиболее общую среди них представляет собой модель среды с насыщающимся потенциалом возвращающей силы.

Особое внимание уделяется способу задания начальных и граничных условий для уравнений Максвелла. Показано, что задание начального импульса на границе нелинейной среды приводит к генерации нефизической встречной волны. Для ее устранения начальное распределение предлагается задавать в области до нелинейной среды.

Во втором параграфе первой главы строятся консервативные разностные схемы на основе преобразования Фурье. Несколько построенных методов сравниваются друг с другом и с широко известным в литературе методом, предложенным в работе [38], обобщенным на случай нелинейности, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка. Для построения схем используется интегро-интерполяционный метод. Построенный в работе метод позволяет существенно уменьшить число узлов пространственной сетки и более точно сохраняет инварианты. Так как построенные схемы нелинейны, то для их решения предложено несколько итерационных методов и среди них выбран оптимальный с точки зрения уменьшения числа итераций. В этом же параграфе обсуждаются различные численные методы решения уравнений относительно поляризации.

Для существенного сокращения требуемых ресурсов ЭВМ с помощью уменьшения области расчета в литературе используются неотражающие краевые условия (например PML [33]) В этом же параграфе рассмотрены несколько видов различных неотражающих краевых условий. Однако вопрос о построении условий для случая нелинейного распространения фемтосекундного импульса остается открытым из-за зависимости спектра импульса от многих факторов (абсолютной фазы начального распределения, длительности импульса, нелинейности, наличия гистерезисных зависимостей).

В третьем параграфе первой главы проведено сравнение различных описаний среды, т.е. моделей среды. Показано, что модель насыщающегося потенциала может быть использована для моделирования нелинейных эффектов, вызванных нелинейно-стями различных порядков по амплитуде воздействующего поля. Сравнение проводится с широко используемыми в литературе соответствующими моделями Дуффинга. В частности, продемонстрирована возможность получения эффектов квадратичной и кубичной нелинейностей как одновременно, так и отдельно. Для непосредственного подтверждения как реализации продольного эффекта Керра, так и генерации второй, третьей и т.д. гармоник здесь на основе компьютерного моделирования проведено сравнение спектров отклика среды, рассчитанных как для модели насыщающегося потенциала, так и для модели Дуффинга, учитывающей квадратичные и кубичные эффекты. Показано, что при определенных условиях спектры качественно (отчасти и количественно) совпадают, что позволяет сделать вывод об учете нелинейных эффектов, обусловленных действием различных порядков нелинейного отклика среды, при его описании потенциалом с насыщающейся возвращающей силой.

В четвертом параграфе первой главы сформулированы ее краткие выводы.

Вторая глава посвящена компьютерному моделированию нелинейных эффектов взаимодействия фемтосекундного светового импульса со средой на основе построенной в первой главе разностной схемы.

В первом параграфе второй главы показано, что помимо трансформации спектра отклика среды из-за нелинейности процесса распространения имеет место существенная зависимость спектральной компоненты, обладающей максимальной спектральной яркостью, от длительности импульса, если длительность не превышает некоторой величины. Отмечено, что в этом случае отклик линейной среды может иметь место даже на его собственной частоте, несмотря на существенную отстройку частоты воздействующего импульса от нее. Полученные при компьютерном моделировании результаты качественно подтверждены приведенными в этом параграфе аналитическими оценками.

Во втором параграфе второй главы рассмотрена зависимость отклика нелинейной среды от абсолютной фазы воздействующего импульса. Такой эффект проявляется для сверхкоротких световых импульсов, и как показан в этом параграфе, его проявление зависит от степени возбуждения среды. Так при слабом и умеренном возбуждении среды абсолютная фаза импульса наибольшее влияние на его спектр оказывает вблизи входного сечения среды. В толще же среды импульс "забывает" свою начальную фазу. В случае сильного возбуждения среды имеет место другая тенденция: с ростом трассы распространения импульса зависимость спектрального состава от его абсолютной фазы усиливается. Поэтому, вообще говоря, возможно проявление этой зависимости на определенном участке в толще среды.

В третьем параграфе этой главы продемонстрировано, что при распространении фемтосекундного светового импульса в нелинейной среде могут формироваться субимпульсы на различных частотах. Их количество прежде всего определяется длительностью воздействующего импульса, а также его амплитудой. Механизм формирования субимпульсов заключается в генерации оптических гармоник из-за нелинейного отклика среды. Вследствие дисперсии среды импульсы с различными частотами отделяются друг от друга во времени и могут распространяться практически без изменения своих характеристик (т.е. формируются солитоны) в пределах рассмотренной длины среды. Такой режим распространения был обнаружен например на утроенной частоте воздействующего импульса. Важно также подчеркнуть, что при определенных условиях имеет место реализация несимметричности спектрального частотного распределения субимпульса относительно соответствующего его центра, что свидетельствует о возможности наличия гистерезисных зависимостей частоты отклика среды от амплитуды воздействующего импульса.

В четвертом параграфе данной главы показано, что при нелинейном воздействии фемтосекундного импульса может реализовываться гистерезисная зависимость частоты, обладающей максимальной спектральной интенсивностью, от амплитуды воздействующего импульса. Существенное влияние на появление гистерезисной зависимости оказывает уровень возбуждения среды, нестационарность процесса и отстройка несущей частоты от частоты линейного резонанса. Анализ проводится для сред с кубичной нелинейностью и с насыщающейся возвращающей силой. Показана возможность реализации гистерезисных зависимостей частоты спектральной линии от амплитуды воздействующего фемтосекундного импульса как для одной гармоники, так и для нескольких одновременно генерируемых в среде гармоник. Заметим, что для этого используется анализ "мгновенного" спектрального состояния какого-либо сигнала, который широко используется в теории обработки сигналов. Для этого вдоль сигнала перемещается "окно" с заданным размером и анализируется его спектральный состав в пределах данного окна.

В последнем параграфе этой главы приведены краткие выводы главы II.

Третья глава посвящена построению разностной схемы для задачи взаимодействия фемтосекундного светового импульса с нелинейной средой в двумерном случае.

В ее первом параграфе сформулирована математическая постановка задачи распространения фемтосекундного светового импульса в пространственно двумерной среде с периодическими краевыми условиями. Нелинейность среды описывается в рамках модели насыщающегося потенциала.

Во втором параграфе построена консервативная разностная схема второго порядка для решения записанной в первом параграфе задачи. Так как схема использует для задания различных сеточных функций точки с разных слоев по времени, то для записи начальных условий сеточного решения, исходя из начальных условий для дифференциальной задачи, используется еще одна разностная схема.

Третий параграф этой главы посвящен тестированию построенной схемы, изучению ее свойств с помощью компьютерного моделирования. Необходимость такого тестирования обусловлена громоздкостью разностной схемы. Результаты тестирования продемонстрировали ее высокую точность и консервативность.

В четвертом параграфе данной главы подтвержден описанный во второй главе эффект формирования солитоноподобного предвестника в случае двумерной среды. В пятом параграфе третьей главы сформулированы ее краткие выводы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [50] - [61] и докладывались на 5 международных конференциях:

- Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-12" (Великий Новгород, 1999)

- Saratov Fall Meetings (Saratov, 1999)

- Международная конференция молодых ученых и специалистов "Оптика 99" (Санкт-Петербург, 1999)

- Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-2000" (Санкт-Петербург, 2000)

- Second Conference "Superstrong fields in Plasmas - 2001" (Italy, Varenna, 2001).

Отдельные результаты работы докладывались на научных семинарах лаборатории математического моделирования в физике и кафедре вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. Ломоносова, кафедре общей физики и волновых процессов физического факультета МГУ им. Ломоносова.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю д.ф.-м.н., проф. Трофимову Вячеславу Анатольевичу за постоянную поддержку и ценные рекомендации и коллективу кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова за творческую обстановку.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Предложена математическая модель распространения фемтосекундного импульса в нелинейной среде, описывающая одновременно действие нелинейностей разных порядков по отношению напряженности воздействующего импульса к напряженности внутриатомного электромагнитного поля при отсутствии ионизации вещества.

2. Для предложенной математической модели сформулирована математическая постановка задачи распространения фемтосекундного импульса в нелинейной среде, которая свободна от развития нефизичной встречной волны, и построен консервативный численный метод для решения одномерных и двумерных нелинейных нестационарных уравнений Максвелла.

3. На основе математического моделирования предсказаны эффекты: -зависимость спектра электрической индукции в нелинейной среде от абсолютной фазы светового импульса на входе в среду;

-гистерезисная зависимость частоты с максимальной спектральной яркостью от амплитуды воздействующего импульса;

-формирование солитоноподобных субимпульсов при распространении фемтосекундного импульса в нелинейной среде.

1. Шеи И.Р. Принципы нелинейной оптики. / Пер. с англ. М.: Наука. 1989. 558с.

2. Ахманов С.А., Выслоух В.А., Чиркин А.С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. М.: Наука. 1988.451с.

3. Коротеев Н.И., Шумай И.Л. Физика мощного лазерного излучения. М: Наука. 1991.311с.

4. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. / Пер. с англ. М.: Мир. 1996. 323с.

5. Боровский А.В., Галкин А.Л. Лазерная физика. М.: Изд. AT. 1996. 496с.

6. Гладков С.М., Коротеев Н.И. Квазирезонансные нелинейные оптические процессы с участием возбужденных и ионизированных атомов.// УФН. 1990. Т.160. N7. С.105-145.

7. Гладков С.М., Желтиков A.M., Коротеев Н.И. В кн.: Современные проблемы лазерной физики. М: Изд-во ВИНИТИ. Сер. Итоги науки и техники. 1991. Т4. С. 126165.

8. Тешреа G., Roppe A., Mueller A. et al. Sub-10-fs laser oscillators: towards controlling the absolute phase of light. // Inter. Confer. LO'lO. St-Peterburg. 2000. Technical Program. P.40.

9. Jung I.D., Kartner F.X., Matuschek N., etc. Self-starting 6.5-fs pulses from a Ti:sapphire laser. // Optics letters. 1997. V.22. N13. P.1009-1011.

10. Duhr O., Nibbering E., Korn G., Tempea G., Krausz F. Generation of intense 8-fs pulses at 400 nm. // Optics letters. 1999. V.24. N1. P.34-36.

11. Sartania S., Cheng Z., etc. Generation of 0.1-TW 5-fs optical pulses at a 1-kHz repetition rate. // Optics letters. 1997. V.22. N20. P.1562-1564.

12. Fork R.L., Brito Cruz C.H., Becker P.C., Shank C.V. Compression of optical pulses to six femtoseconds by using cubic phase compensation. // Optics letters. 1987. V.12. N7. P.483-485.

13. Yelin D., Meshulach D., Silberberg Y. Adaptive femtosecond pulse compression. // Optics letters. 1997. V.22. N23. P.1793-1795.

14. Nazarkin A., Korn G. Raman self-conversion of femtosecond laser pulses and generation of single-cycle radiation. // Physical Review A. 1998. V.58. N1. P.R61-R64.

15. Kobayashi Y., Sekikawa Т., Nabekawa Y7, Watanabe S. 27-fs extreme ultraviolet pulse generation by high-order harmonics. // Optics letters. 1998. V.23. N1. P.64-66.

16. Paulus G.G. et al. Absolute-phase effects of few-cycle laser pulses. // Technical Digest of IQEC2001. Moscow. 2001. P.231.

17. Бузялис P., Вайцекаускас P., Дементьев А. и др. Численный анализ и экспериментальное исследование генерации, ВРМБ-компрессии и усиления коротких импульсов АИГ: Nd-лазера. // Изв. РАН. Сер. Физическая. 1996. Т.60. N3. С. 168-177.

18. Карамзин Ю.Н., Поташников А.С., Сухоруков А.П. Взаимодействие предельно коротких электромагнитных импульсов в средах с квадратичной нелинейностью. // Изв. РАН. Сер. Физическая. 1996. Т.60. N12. С.29-38.

19. Маймистов А.И. Распространение ультракоротких поляризованных световых импульсов в нелинейной среде. // Оптика и спектроскопия. 1995. Т.78. N3. С.483-487.

20. Kaplan А.Е. Subfemtosecond Pulses in Mode-Locked 2л Solitons of the Cascade Stimulated Raman Scattering. // Physical review letters. 1994. V.73. N9. P.1243-1246.153

21. Goorjian P.M., Taflove A., Joseph R.M. and Hagness S.C. Computational Modeling of Femtosecond Optical Solitons from Maxwell's Equations. // IEEE Journal of Quantum Electronics. 1992. V.28. N10. P.2416-2422.

22. Sigalas M.M. et al. Localization of electromagnetic waves in two-dimensional disordered systems. // Phys.Rev. B. 1996. V.53. N13. P.8340-8348.

23. Громов E.M., Таланов В.И. Высшие приближения теории дисперсии нелинейных волн в однородных и неоднородных средах. // Изв. РАН. Сер. Физическая. 1996. Т.60. N12. С. 16-28.

24. Трофимов В.А. О новом подходе к моделированию распространения сверхкоротких лазерных импульсов. // ЖВМ и МФ. 1998. Т.38. N5. С.835-839.

25. Трофимов В.А. Об инвариантах нелинейного распространения фемтосекундных импульсов. // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1992. Т.35. N6-7. С.618-621.

26. Маймистов А.И. Распространение предельно коротких электромагнитных импульсов в нелинейной среде. Некоторые модели. // Квантовая электроника. 2000. Т.30. N4. С.287-304.

27. Joseph R., Hagness S. and Taflove A. Direct time integration of Maxwell's equations in linear dispersive media with absorbtion for scattering and propogation of femtosecond electromagnetic pulses. // Optics Letters. 1991. V.16. N18. P.1412-1414.

28. Goorjian P., Taflove A. Direct time integration of Maxwell's equations in nonlinear dispersive media for propogation and scattering of femtosecond electromagnetic solitons. // Optics Letters. 1992. V.17. N3. P.180-182.

29. A.Tafove. Advances in Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method. Boston: Artech House. 1998. 705p.

30. De Raedt H., Kole J.S., Michielsen K. and Figge M.T. Numerical methods for solving the time-dependent Maxwell equations. // http://arXiv.org/abs/physics/0210035.

31. Berenger J.P. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves. // J. Comput. Phys. 1994. V.l 14. P.185-200.

32. Remis R.F. On the Stability of the Finite-Difference Time-Domain Method. // J. Сотр. Physics. 2000. V.163. P.249-263.

33. Engquist В., Majda A. Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves. // Mathematics of Computation. 1977. V.31. N139. P.629-651.

34. Taflove A. and Hagness S.C. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method. Boston, MA: Artech House. 2000. 852 p.

35. An overview of FDTD articles. // http://www.fdtd.org.

36. Yee K.S. Numerical Solution of Initial Boundary Value Problems Involving Maxwell's Equations in Isotropic Media. // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1966. V.14. N3. P.302-307.

37. Головизнин B.M., Самарский A.A. Разностная аппроксимация конвективного переноса с пространственным расщеплением временной производной. // Математическое моделирование. 1998. Т.10. N1. С.86-100.

38. Головизнин В.М., Самарский А.А. Некоторые свойства разностной схемы «кабаре». // Математическое моделирование. 1998. Т.10. N1. С.101-116.

39. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука. 1983. 614с.

40. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука. 1989. 429с.

41. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука. 1989. 608с.

42. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука. 1977.439с.

43. Бахвалов Н.С. Численные методы. М: Наука. 1975. 632с.

44. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. / Пер. с англ. М.: Наука. 1970. 564с.

45. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. / Пер. с англ. М.: Мир. 1973. 719с.

46. Чуй К. Введение в вэйвлеты. / Пер. с англ. М.: Мир. 2001. 406с.155

47. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: НИЦ

48. Trofimov V.A., Skripov D.K. Influence of femtosecond pulse duration on shift of central frequency of wave packet. / Program and abstract of Saratov Fall Meetings. Saratov, Russia. October 5-8, 1999. P.4.

49. Скрипов Д.К. О применимости модели Дуффинга для описания распространения фемтосекундного светового импульса. // Тез. докл. на международ, конф. молодых ученых и специалистов "Оптика 99". Санкт-Петербург. 19-21 октября 1999 г. С.62.

50. Skripov D.K., Trofimov V.A. Influence of femtosecond pulse duration on shift of central frequency of wave packet. // In "Laser Physics and Spectroscopy" / Eds. Derbov V.L,

51. Melnikov L.A., Ryabukho V.P. Proc. of SPIE. 2000. V.4002. P.34-44.

52. Скрипов Д.К., Трофимов В.А. Зависимость спектра фемтосекундного импульса от его абсолютной фазы при распространении в нелинейной среде // Письма в ЖТФ. 2001.Т.27. N14. С.6-10.

53. Скрипов Д.К., Трофимов B.A. Формирование высокочастотного субимпульса при распространении фемтосекундного импульса в нелинейной среде с насыщающимся потенциалом. // Оптика и спектроскопия. 2003. Т.95. N2. С.338-350.

54. Скрипов Д.К., Трофимов В.А. Гистерезисная зависимость некоторых спектральных компонент фемтосекундного импульса при его прохождении нелинейного слоя. // ЖТФ. 2003. Т.73. N3. С.69-74,

55. Скрипов Д.К., Трофимов В.А. Об описании квадратичных и кубичных оптических эффектов распространения фемтосекундных импульсов в рамках модели насыщающегося потенциала. // Оптика и спектроскопия. 2003. Т.95. N5. С.863-868.

56. Скрипов Д.К., Трофимов В.А. Гистерезисная зависимость некоторых спектральных компонент фемтосекундного импульса при его распространении в нелинейной среде. // ЖТФ. 2004. Т.49. N2. С.218-223.1. Л(