автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование распространения фемтосекундных лазерных импульсов в одномерных нелинейных фотонных кристаллах

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФЕМТОСЕКУНДНЫХ ЛАЗЕРНЫХ ИМПУЛЬСОВ В ОДНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ФОТОННЫХ КРИСТАЛЛАХ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Терешин Евгений Борисович

Москва, 2006г.

Работа выполнена в лаборатории математического моделирования в физике факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физ.-матем. наук, профессор

В.А. Трофимов

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физ.-матем. наук

М. К. Трубецков

кандидат физ.-матем. наук, доцент

В. Д. Гора

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Институт математического моделирования РАН.

Защита состоится "ЛЬ" и^^Ол*

2006г. в 1430

на заседании Диссертационного совета К 501.001.07 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, второй учебный корпус, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат диссертации разослан " 2006г.

Ученый секретарь Диссертационного совета

кандидат физ.-матем. нау] доцент

В.М. Говоров

¿ообА-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования.

В последние годы широко исследуется взаимодействие световых импульсов и пучков с одномерными, двумерными и трехмерными фотонными кристаллами (ФК). У каждого этого класса кристаллов имеются большой круг применения в прикладных задачах. Так, одномерные ФК используются в оптических системах линий связи, полностью оптических переключателях, для генерации коротких световых импульсов. Напомним, что под фотонным кристаллом понимается периодическая структура, которая в оптическом диапазоне обладает свойствами, присущими обычным кристаллам для рентгеновского диапазона. Следовательно, ФК обладают такими свойствами, как частотной областью полной прозрачности, так и областью запрещенных частот, для которых световой импульс достаточной длительности и малой интенсивности не проходит через ФК. Изучение же проявления этих свойств в случае воздействия высокоинтенсивных импульсов, в том числе малой длительности, представляет собой актуальную задачу.

Из-за одновременного развития многих эффектов (многократного отражения, самовоздействия, сдвига частотных областей прозрачности и запрещенных зон ФК) наиболее эффективным методом анализа взаимодействия лазерных импульсов является математическое моделирование. Это, в свою очередь, приводит к необходимости построения эффективных разностных схем, обладающих свойством консервативности При этом важно иметь в виду, что из-за многократного отражения светового импульса внутри ФК необходимо рассматривать большие отрезки времени, в течение которых анализируется решение исходной задачи. Один из возможных подходов к повышению эффективности компьютерного моделирования заключается в построении неотражающих краевых условий для уравнения (или системы уравнений) Шредингера с периоди-

ческими линейными коэффициентами и коэффициентами при его нелинейных правых частях Следует подчеркнуть, что для рассматриваемого класса задач, в которых световая волна испытывает многократное отражение внутри кристалла, к качеству неотражающих условий предъявляются жесткие требования по сравнению, например, с зада- • чами линейного распространения в одномерной среде, анализируемого на основе уравнений Максвелла В этом случае известные неотражающие краевые условия обладают коэффициентом отражения 3% - 5% В случае же анализа распространения лазерных импульсов в нелинейном ФК отраженная волна по амплитуде не должна превышать О 1% от амплитуды падающей волны. Только в этом случае отсутствует влияние отраженной волны на динамику взаимодействующего падающего импульса с ФК. Данные исследования практически отсутствуют в литературе и также представляют собой актуальную проблему.

Для практики представляет также большой интерес реализация полностью олги-ческих переключателей на основе ФК и возможность локализации в нем световой энергии для реализации элементов оптической памяти Несмотря не предложенные в последнее время различные устройства, реализующие полностью оптические переключатели, и построение фирмой Ьеп81е1 оптического процессора, данные проблемы далеки от завершения и являются актуальными. Неизученным оставался вопрос о проявлении зон полной прозрачности и запрещенных зон при воздействии фемтосекундных лазерных импульсов.

Цель работы заключалась в построении консервативных разностных схем для задач распространения лазерных фемтосекундных импульсов в одномерном нелиней- !

ном фотонном кристалле; в изучении эффектов нелинейного взаимодействия фемтосекундных световых импульсов с ФК.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

1. Для задачи нелинейного взаимодействия фемтосекундного лазерного импульса с одномерным ФК, описываемого системой уравнений Шредингера с периодическими линейными коэффициентами и коэффициентами при нелинейных слагаемых, построены неотражающие граничные условия.

2. Для рассматриваемых задач построены консервативные разностные схемы, в том числе с учетом неотражающих граничных условий

3. Предложен полностью оптический бистабильный элемент, состоящий всего из трех слоев, один из которых является нелинейным.

4. Предсказана и изучена локализация световой энергии в одномерном ФК, формирование солитонов в отдельных его слоях; остановка света. Изучено влияние флук-туаций параметров ФК на нелинейную локализацию световой энергии.

Практическая ценность.

1. Построены консервативные разностные схемы для задачи взаимодействия лазерного импульса с одномерным нелинейным ФК с учетом неотражающих краевых условий, которые позволяют существенно повысить эффективность компьютерного моделирования рассматриваемого класса задач.

2. Предложенный полностью оптический переключатель с минимальным числом слоев может найти применение в системах оптической обработки информации. Экспериментально подобный переключатель независимо реализован в работе Katouf R. и др1.

3 Обнаруженная зависимость коэффициентов отражения и пропускания ФК в режимах полной непрозрачности или прозрачности от длительности импульса важна для использования одномерных ФК в различных системах оптической связи.

' Katouf R, Komikado Т, Itoh М, Yatagai Т, Umegaki S Ultra-fast optical switches using ID polymeric photonic crystals // Photonics and Nanostructures - Fundamentals and Applications 2005 V 3 N2-3 P 116119.

4. Предсказанные и изученные эффекты нелинейной локализации световой энергии и остановка света в некоторых слоях ФК2'3 позволяют на этой основе реализовать устройства оптической памяти.

Защищаемые положения. На защиту выносятся следующие положения:

1 Построение неотражающих краевых условий для уравнения Шредингера с периодическими линейными коэффициентами и коэффициентами при нелинейных слагаемых.

2 Консервативные разностные схемы для задачи нелинейного взаимодействия фем-тосекундных лазерных импульсов с одномерным ФК

3. Формирование нелинейных солитонов в отдельных слоях одномерного ФК, в том числе в случае флуктуации длины его слоев.

4 Зависимость зон прозрачности (и непрозрачности) ФК от длительности воздействующего светового импульса.

5 Полностью оптический переключатель на основе одномерного ФК с минимальным числом слоев.

6. Возможность остановки света в некоторых слоях ФК.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на 9 международных и российских конференциях:

- Международная научная конференция "Mathematical Modelling and Analysis" (Trakai, Lithuania, 2003);

2 В работе Yanik М. F., Fan S Stopping Light Ail-Optically. // Phys Rev Lett. 2004. V 92. N8.083901 полагалось, что на основе ФК сделать это невозможно Однако в этой работе рассматривалось только нелинейное распространение световых импульсов.

3 В работе Goodman R. Н, Slusher R Е., Weinstein М L Stopping light on a defect // JOSA В. 2002 V 19 N7 P 1635-1652 показана возможность остановки первоначально заданного солитона с брэгговской длиной волны на дефекте при специальном выборе его скорости и без учета дифракции оптического излучения в случае косинусоидальной модуляции диэлектрической проницаемости в рамках взаимодействия двух волн. Строго говоря, рассмотренный объект не является ФК

6

- Международная научная конференция "XI Conference on Laser Optics" (St -Petersburg,

2003);

- Международная научная конференция "Saratov Fall Meeting" (Saratov, 2003);

- Международная научная конференция "Computational and Mathematical Methods in Science and Engineering" (Sweden, Uppsala, 2004);

- Международная научная конференция "Saratov Fall Meeting" (Internet session. Saratov,

2004);

- Российская научная конференция "Ломоносовские чтения" (МГУ им. Ломоносова, факультете вычислительной математики и кибернетики. 2004);

- Международная научная конференция "International Conference on Coherent and Nonlinear Optics" (St.-Petersburg, 2005);

- Международная научная конференция "Nonlinear Optics Applications" в составе конгресса "Optics and Optoelectronics" (Poland, Warsaw, 2005);

- Международная научная конференция "International Quantum Electronics Conference 2005 and the Pacific Rim Conference on Lasers and Electro-Optics 2005" (Tokyo, Japan,

2005).

Отдельные результаты работы докладывались на научном семинаре лаборатории математического моделирования в физике, на кафедре вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова и в НИВЦ МГУ им. М. В. Ломоносова.

Публикации. Список работ, опубликованных по материалам диссертации, приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, основных результатов, списка литературы, включающего в себя 98 наименований, и содержит 30 рисунков, 3 таблицы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, характеризующий состояние проблемы и излагается содержание работы.

В первом параграфе первой главы рассматривается математическая постановка задачи распространения фемтосекундного светового импульса в кубично-нелинейном ФК Постановка задачи записана в рамках развиваемого нами подхода4 к описанию распространения лазерного излучения в ФК. Он заключается в отказе от выделения направления распространения импульса, и его распространение в среде в этом случае описывается следующим безразмерным нелинейным уравнением Шредингера относительно медленно изменяющейся во времени комплексной амплитуды •

Выше г - пространственная координата, вдоль которой распространяется световой импульс, / - безразмерное время, периодический линейный коэффициент е(г) и коэффициент при нелинейном слагаемом а(г) характеризуют соответственно линейную диэлектрическую проницаемость среды и нелинейную добавку к ней. Также введены следующие обозначения:

£> = ——, 0 = П = —, 1 = ^-, 4я£2 шм Л0

где ааг = 2яс/ Яа - частота периодической структуры, со - частота световой волны, 12 -

физическая длина области, Л0 = + с12 , где и (12 - физические толщины

слоев ФК, а их безразмерные величины 6?, и с1г получены нормировкой на Л0 Таким

образом, в области ФК коэффициенты е{г) и а (г) характеризуются соответствующи-

4

Трофимов В А Инварианты распространения фемтосекундных световых импульсов в фотонных кристаллах // ЖВМ и МФ. 2001 V 41 N9 Р 1429-1433.

ми значениями {еи£2} и {а, ,а2} для слоев ФК Значение а(г) = 0 вне ФК. За ФК идет подложка с диэлектрической проницаемостью е3 и шириной с/3. Начальный импульс задается в области до ФК, где е(г) = 1:

и его распределение содержит быстро осциллирующий множитель по пространственной координате. Знак плюс в экспоненте соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении. Традиционно, для данного класса задач записываются нулевые граничные условия:

4-и=0.

которые соответствуют финитному начальному распределению комплексной амплитуды.

Для последующего сравнения имеющихся в литературе подходов также записана математическая постановка задачи в соответствии с традиционным для данного класса задач подходом5, состоящем в выделении направления распространения волны. Следует подчеркнуть, что для математической задачи в рамках нового подхода, так называемый, спектральный инвариант выполняется автоматически. В этом параграфе записаны инварианты задачи в случае нулевых краевых условий.

Во втором параграфе первой главы построены неотражающие граничные условия для одноволнового распространения света в среде: 8А 1 дА

dt

+ /2Д4 = 0 , t>О , z = 0,

дЛ \ 8А п А , А Г

— н—;-— + (2Д4 = 0 , />0 , z = L ,

dt Jtfz) &

5 Scalora M , Dawling F P., Bowden C.M, Blomer M J Optical Limiting and Switching of Ultrashort Pulses in Nonlinear Photonic Band Gap Materials. // Phys Rev Letters. 1994 V 73 N10 P. 1368-1371

9

с учетом которых записаны инварианты исходной задачи.

/,(0=/е(г)И|2&-20|1ш

дг

&

(¡Г] =СОЮ1,

1,(0=1 I

-2£>|

' 8Л2

&

- Ре{г) | А |2 +0.5а(г) | А |4

сЬ + 2/311( 0)-

*<*Г

ал

&

+

./. V

ФГ

эл

&

= согиЛ

В этом же параграфе записаны инварианты как для нулевых краевых условий, так и для уравнений в рамках традиционного подхода.

В третьем параграфе первой главы на основе инвариантов, предложена консервативная разностная схема (КРС) как с нулевыми, так и с неотражающими граничными условиями и итерационным процессом Для примера ниже приведена схема для нулевых краевых условий.

1+1

0-и Ю*А

-+ — I/ Й +

т е

£/+-0.5 |бМ2+|[/|2 \и

= 0, и = 1,ЛГ -1, 5 = 0,1,2,... ,

ипЛ= ЛСиЛУ2*10"", « = 1,ЛГ,-1, и,=иНшш 0, т = 1,ЛГ,-1, Заметим, что под консервативностью понимается сохранение разностных аналогов инвариантов дифференциальной задачи. Доказательство консервативности предложенных схем также приведено. Для решения полученной системы разностных уравнений используются метод прогонки.

В этом параграфе также приведены схемы расщепления, широко используемые в литературе для решения задач нелинейной оптики. Записаны классическая схема расщепления (МР) и схема с введенным итерационным процессом на этапе решения нелинейного уравнения (МРИ), что позволяет контролировать инварианты системы.

Четвертый параграф первой главы посвящен сравнению записанных во втором параграфе разностных схем. Проведенные численные эксперименты показывают, что предложенная КРС является лучшей среди рассмотренных. При этом, новый подход, на основе которого она построена, в вычислительном плане оказался более предпочтителен, чем традиционный подход, так как он позволяет сократить, например, число итераций, требуемых для перехода на новый временной слой.

Для схемы МРИ требуется на порядок меньшее значение шага по временной координате Г для достижения результата вычислений, выполненных по КРС. Важно подчеркнуть, что для достижения консервативности в схеме МРИ требуется дальнейшее уменьшение этого шага. При отсутствии же итерационного процесса, схема МР оказалась неприменимой для компьютерного моделирования задачи распространения фем-тосекундного импульса в кубично-нелинейном ФК.

Применение неотражающих граничных условий позволило существенно уменьшить пространственную область и на порядок уменьшить время расчета для нелинейных задач с солитонными режимами распространения световой энергии внутри ФК, а также для большого интервала времени.

В пятом параграфе первой главы сформулированы ее краткие выводы.

Вторая глава, содержащая 6 параграфов, посвящена математической постановке задач двухволнового взаимодействия фемтосекундных импульсов в нелинейном ФК (с квадратичной, или комбинированной нелинейностями). Предложены эффективные консервативные разностные схемы для их решения, использующие, в частности, построенные неотражающие граничные условия.

В первом параграфе второй главы рассматривается математическая постановка задачи ГВГ при распространении фемтосекундного светового импульса в квадратично-нелинейном ФК. Эта задача в рамках развиваемого нами подхода описывается систе-

мой нелинейных уравнений Шредингера.

я л а">■ а

+ /Д —^+¡ре, (г) А, + ¡М^А, = 0, от ей

(7)^2.+,х>2 ++¿/у^) Д2 = о, от ог

где коэффициент /(г), характеризующийся значениями квадратичной нелинейности {у),у2} в слоях ФК и равен 0 вне ФК. Начальные и граничные условия для финитных функций имеют вид:

Д^ЛОО*'2*"- Л2|,„0=0, Д, (г) = ехр

4(2

Во втором параграфе второй главы построены неотражающие граничные условия для двухволнового распространения света в среде:

а/ & а/ &

ад 1 ад „ „ „ ад, 1 ад

+ , Г>0 , г = 0;^—^¿=3-+/4Д42 = 0 , * = £,,

5Г ^еДг) йг ' ' ' аг ^(г) Зг

где X, =тах{Л0-с/3;0} соответствует постановке левого неотражающего граничного условия для генерируемой световой волны А2 на одинаковом расстоянии от ФК, что и для правого краевого условия. Здесь же сформулированы инварианты исходной системы дифференциальных уравнения, учитывающие эти условия, а также и в случае нулевых краевых условий.

В третьем параграфе второй главы выполнена математическая постановка задачи двухволнового взаимодействия фемтосекундных световых импульсов в ФК с комбинированной нелинейностью. Получены инварианты исходной системы дифференциальных уравнений как в случае нулевых граничных условий, так и в случае неотра-

жающих граничных условий.

В четвертом параграфе второй главы построена консервативная разностная схема, которая имеет вид

»+> 1+1 и-1

е, ^^ + Ю1 иъ+¡ре, и+ гу0.25(К+ У){& + [/') = 0,

ег+ Ю2 Vñ + i20e2V+iyO.5(U2+U2) = O, n = \,N, -1, j = 0,1,2,... ,

Начальные и неотражающие граничные условия имеют вид-и^^мте'1*1™ , V„,o=0 , п = \,Ыг-\\

S s . X S

"1 0 5 0 5 I 't' 0 5 0 5

Uo-U0 _ Ui-Цо ..." Un.-Uh,

-==-2¿/Wo , -:-7 --lifiUfi, , m = 0,N, -1,

«+1

05 05

--1 = *,-^-AipVü..

r hJ¡¿L)

т Лд/^СА)

В этом же параграфе также приведены схемы расщепления, широко используемые в литературе. Для задачи ГВГ и задачи двухволнового взаимодействия фемтосе-кундных импульсов ФК с комбинированной нелинейностью записаны классическая схема расщепления и схема с итерационным процессом на этапе решения нелинейных уравнений. Консервативные разностные схемы записаны как с нулевыми, так и с неотражающими граничными условиями, увеличившие эффективность численного метода для нелинейных задач в несколько раз.

Пятый параграф второй главы посвящен сравнению предложенных консервативных разностных схем и схем, основанных на методе расщепления. Проведенные численные эксперименты показывают, что КРС для задачи ГВГ и КРС для задачи распространения светового импульса в ФК с комбинированной нелинейностью являются

лучшими среди рассмотренных схем. Сравнение КРС со схемами, построенными по методу расщепления, показало, что для схемы МРИ требуется существенное уменьшение шагов по временной координате г для сохранения инвариантов распространения с заданной точностью При расчете же по схеме МР требуется еще на порядок более мелкий шаг по временной координате по сравнению со схемой МРИ. В противном случае решение, полученное с помощью схемы МР, неограниченно растет. Таким образом схемы, построенные на основе классического метода расщепления, оказались практически неприменимыми для решения данного класса задач.

В шестом параграфе второй главы сформулированы ее краткие выводы.

В третьей главе описаны эффекты, полученные при компьютерном моделировании взаимодействия фемтосекундных импульсов в кубично-нелинейных ФК Компьютерные эксперименты проводятся на основе КРС как с нулевыми, так и с неотражающими краевыми условиями.

В первом параграфе третьей главы рассмотрен эффект локализации световой энергии в одномерном ФК Под локализацией понимается сохранение световой энергии в определенной пространственной области. В основе ее лежит формирование в некоторых слоях ФК субимпульса, который испытывает полное отражение от соседних слоев, имеющие другое значение нелинейности или являются линейными средами. Важно подчеркнуть, что доля локализованной энергии в слоях ФК может достигать 40% от общей энергии начального импульса. В качестве иллюстрации приведен Рис. 1.

X

40-,

0

В 4-м слое ФК

Х =

А(0)

о

10

20

30

40

Рис I Доля локализованной световой энергии % во 2-м (сплошная) и 4-м (пунктирная) слоях ФК для параметров = (2 З)2, ег =1, ег=(\.Ъ)г, ¿,=02, </2 = 06, И„г= 7, 4=16, £„ = 20,а = 6, П = 2.14,/? = -6.7, В = Ч)037, а, =0,а2=5.

Для регистрации нелинейной локализации света в ФК рассмотрен случай воздействия на ФК последовательности фемтосекундных импульсов. При воздействии каждого последующею светового импульса количество локализованной в ФК энергии увеличивается Это связано как с увеличением интенсивности уже локализованных субимпульсов, гак и с формированием новых.

При определенных условиях в нелинейном слое ФК возможно формирование практически неподвижного субимпульса. Следует подчеркнуть, что световой импульс не останавливается полностью: он слабо осциллирует вблизи границы слоя и из-за нелинейного взаимодействия со средой при незначительном отклонении его от границы слоя возвращается обратно (интересно отметить, что соседний слой при этом может быть линейным) Существенно, что часть энергии световой волны (хотя и незначительная) находится в соседнем слое.

Также в этом параграфе подробно рассмотрена динамика взаимодействия соли-тоноподобных субимпульсов внутри нелинейного слоя ФК. При ее анализе можно выделить периодический режим трансформации продольного распределения интенсивности локализованных субимпульсов.

Для проверки и объяснения результатов, полученных в первом параграфе треть-

ей главы, в ее втором параграфе построено аналитическое решение уравнения Шредин-гера с кубичной нелинейностью, для постоянных коэффициентов:

О-^- + \ре + Ик1 + ре]у+а/№г = 0,

где £ = г-К/ и V задает скорость распространения солитона в среде. Решением является известная в литературе функция

Бар сИ21е(П - Ук + Р) / £> - к1 ] сИг(4/тч)' Сопоставления решения, полученного при компьютерном моделировании, с построе-ным солитонным представленно для примера на Рис. 2. Не трудно видеть, что полученные решения совпадают с высокой точностью.

Рис 2 Распределение интенсивности световой волны во 2-м слое (20.2<2£208) ФК, реализуемое в момент времени г - 29 для параметров Сплошная кривая соответствует результатам компьютерного моделирования, пунктирная - аналитическому решению

Для дальнейшего изучения природы нелинейной локализации света в слоях ФК выполнено компьютерное моделирование распространения фемтосекундного импульса в среде с самофокусировкой. Так, падающий импульс задается слева вне нелинейной среды, за которой также располагается линейная среда. В процессе распространения импульса в нелинейной среде он разделяется на отдельные субимпульсы (продольные фокусы), которые различаются как скоростью распространения, так и протяженностью

и интенсивностью, что соответствует свойствам аналитического решения. При этом имеет место отражение некоторых сформировавшихся солитонов от границы раздела нелинейной-линейной сред.

Следует отметить, что коэффициент преломления в этих средах одинаковый При различных значениях как нелинейных коэффициентов, так и показателей преломления сред имеет место существенное увеличение количества отраженных от границы сформировавшихся солитонов. Также представлен анализ отражения отдельного соли-тона, распространяющегося в кубично-нелинейной среде от границы раздела сред в зависимости от его длительности, интенсивности и частоты. На основании проведенных компьютерных экспериментов сделан вывод, что нелинейная локализация света в ФК связана с самоформированием солитонов внутри нелинейных слоев и их полным отражением от границ с соседними слоями.

В третьем параграфе третьей главы рассмотрены зависимости частотных зон полной прозрачности и запрещенных зон (полного отражения) ФК от длительности импульса Показано, что с уменьшением длительности импульса такие зоны в линейном ФК перестают существовать. Таким образом, часть световой энергии всегда отражается и проходит через ФК. При наличии слабой кубичной нелинейности в слоях ФК имеет место сдвиг зон прозрачности и непрозрачности ФК в зависимости от интенсивности светового импульса. В результате этого, доля отраженной от нелинейного ФК энергии может существенно возрастать по сравнению с соответствующим значением, достигаемым для линейного ФК при условии нахождения несущей частоты вблизи частоты непрозрачности ФК. На этой зависимости предложен полностью оптический переключатель Для этого нами использовался ФК с дефокусирующей нелинейностью. Ранее в литературе ее использование для переключателя не обсуждалось. Существенно, что этот вид нелинейности более предпочтителен, так как при самофокусировке импульса в

ФК возможна реализация локализации световой энергии в ФК.

(а) (б)

Рис. 3 Распределение интенсивности отраженной от ФК световой волны в момент времени / = 60 для N = 1 (а) при различных параметрах нелинейности а2 = -0.3 (сплошная линия), 0 (сплошная с белыми круглыми значками), -0.2 (пунктирная линия), -0 5 (штрих-пунктирная) и -0.8 (сплошная черными круглыми значками) На Рис 3(6) левая шкала соответствует значению пиковой интенсивности отраженной от ФК волны (сплошная кривая с квадратными значками) и правая шкала соответствует значению доли отраженной от ФК (штрих-пунктир с круглыми значками). Параметры взаимодействия: =02, = 0.54, = (2 З)2, е2 =е,=1, Ло=60, ¿с =30, а = 60, П = 1.3.

Важным свойством переключателя с дефокусирующей нелинейностью являются

его пространственные размеры: они могут быть порядка длины волны падающего излучения ФК в этом случае состоит всего из трех слоев, один из которых нелинейный При этом реализуется высокая контрастность состояний переключения. Так, рассчитанные для него коэффициент отражения и пиковая интенсивность отраженной волны различаются более чем в 10 раз (Рис. 3).

В четвертом параграфе третьей главы рассмотрена известная в литературе Ан-дерсоновская локализация световой энергии. Данный эффект проявляется при появлении погрешностей в структуре ФК. Для иллюстрации Андерсоновской локализации в одномерном ФК рассмотрен случай линейного ФК с введенными флуктуациями в длины его слоев. Показано, что в этом случае локализация света имеет место при флуктуа-циях длины слоев, для которых реализуется локальная запрещенная зона (ЛЗЗ), состоящая из пары слоев При этом часть энергии воздействующего излучения проходит через ЛЗЗ и локализуется в виде низко интенсивного импульса, распространяющегося между возникшими ЛЗЗ внутри ФК.

На основе результатов компьютерного моделирования показано, что наличие небольших погрешностей в длине слоев (порядка 5%) ведет к увеличению доли световой энергии, локализованной в нелинейном ФК. Таким образом, эффект нелинейной локализации можно наблюдать в нерегулярной структуре при меньших интснсивностях воздействующего на ФК импульса, по сравнению с "идеальным" кристаллом. Большие флуктуации (+20%) могут как увеличить долю локализованной в ФК световой энергии, так и привести к потере эффекта Ее исчезновение связано с возникновением ЛЗЗ в начале ФК, от которой отражается основная часть начального импульса и, как следствие, в кристалл проникает лишь незначительная часть излучения.

В пятом параграфе третьей главы сформулированы ее краткие выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

1 Построены консервативные разностные схемы для задачи распространения фемто-секундных лазерных импульсов в одномерном нелинейном ФК, описываемой в рамках уравнения (систем уравнений) Шредингера с периодическими линейными коэффициентами и коэффициентами при нелинейных слагаемых уравнений, в том числе, и для случая предложенных неотражающих краевых условий.

2 На основе математического моделирования предложен полностью оптический переключатель с минимальным числом слоев (три слоя).

3. Предсказаны следующие эффекты, имеющие место при взаимодействии фемтосе-кундных импульсов со слоистой средой:

• локализация световой энергии в отдельных слоях ФК;

• формирование локализованных солитонов;

• зависимость зон прозрачности (и непрозрачности) ФК от длительности воздействующего импульса;

• остановка света в некоторых слоях ФК.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1 Терешин Е Б , Трофимов В А , Федотов М В Консервативная разностная схема для задачи двухволнового взаимодействия фемтосекундных импульсов в фотонных кристаллах. // ЖВМиМФ. 2003. Т. 43. N10. С. 1550-1555. *

2. Трофимов В. А., Терешин Е. Б., Федотов М. В. Исследование разностных схем для задачи самовоздействия фемтотсекундного импульса в фотонном кристалле // Вестник московского университета. Серия 15: Вычислительная математика и кибернетика. 2003. N2. С. 20-26.

3. Трофимов В. А., Терешин Е. Б., Федотов М. В. О возможности локализации энергии светового импульса в фотонном кристалле. // Оптика и спектроскопия 2003 Т 95. N1. С. 106-110.

4 Trofimov V. A., Tereshin Е. В., Fedotov М. V. Conservative difference scheme for femtosecond pulse self-action problem in nonlinear photonic crystal. // Abstract of 8th International Conference "Math. Modeling and Analysis". Trakai. Lituania 2003. P. 78.

5 Trofimov V. A, Tereshin E. В., Fedotov M V. Fast and slow localized sub-pulses in photonic crystal. // Technical Program of XI Conference on Laser Optics. St-Petersburg 2003. P. 72.

6. Tereshin E. В., Trofimov V. A , Fedotov M V Effect of light localization in nonlinear photonic crystal. // Program on SFM'03. Saratov. 2003. P. 6

7. Трофимов В А., Терешин E. Б , Федотов M. В. Локализация световой энергии последовательности фемтосекундных импульсов в одномерном фотонном кристалле. // ЖТФ. 2004. Т. 74. N5. С. 66-70.

8. Trofimov V A., Tereshin Е. В. Comparison of various difference schemes for the problem of femtosecond pulse propagation in nonlinear layered medium. // Proc of CMMSE'04. Uppsala Sweden. 2004. P. 274-281.

9. Трофимов В. А., Терешин Е. Б., Федотов М В Солитоноподобное распространение световых импульсов в нелинейном фотонном кристалле // Оптика и Спектроскопия.

2004. Т. 97. N5. С. 823-832.

10. Trofimov V. A., Tereshin Е. В. Stop of light in nonlinear photonic crystal Report on Internet session. SFM'04. http://optics.sgu.ru/SFM/2004/internet Saratov 2004

11 Волков А. Г., Трофимов В А.. Терешин E Б Консервативные разностные схемы для некоторых задач фемтосекундной нелинейной оптики // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41. N7. С. 953-963.

12 Трофимов В. А. , Терешин Е. Б. Полностью оптический переключатель на основе одномерной слоистой структуры с дефокусирующей нелинейностью // Оптика и Спектроскопия. 2005. Т. 99. N6 С. 998-1005

13. Trofimov V. A., Tereshin Е. В. Stop of light in nonlinear photonic crystal. // In "Laser Physics and Photonics, Spectroscopy and Molecular Modelling V" / Ed. Derbov V L , Melnikov L A.,BabkovL M. Proc ofSPIE. 2005 V 5773. P 12-19

14 Trofimov V. A., Tereshin E В Soliton Self-formation in Nonlinear Photonic Crystal //In ICONO/LAT 2005 Technical Digest on CD-ROM St-Petersburg Russia 2005 ISM/2.

15 Trofimov V. A., Tereshin E В Influence of Anderson Localization on nonlinear light localization in 1-D photonic crystal. // In "Nonlinear Optics Applications" / Ed Karpierz M. A., Boardman A. D., Stegeman G. I. Proc of SPIE 2005. V. 5949 P. 141-150

16. Trofimov V. A., Tereshin E. B. Influence of Anderson Localization on nonlinear light localization in 1-D photonic crystal // Technical Programme / Abstract of Intern. Congress on Optics and Optoelectronics. Warsaw Poland 2005. P 73-74.

17. Trofimov V A., Tereshin E. B. Optical Switching based on ultra-short 1-D photonic crystal. // Quantum Electronics Conference, 2005 Conference on IQEC/CLEO Pacific Rim

2005. P. 738-739.

18 Терешин Е. Б., Трофимов В. А. Консервативная разностная схема для задачи распространения фемтотсекундного импульса в нелинейном фотонном кристалле с неотражающими краевыми условиями.//ЖВМиМФ 2006. Т 46 N1 С 161-171

Подписано в печать 06.04.2006 Формат 60x88 1/16. Объем 1.5 п.л. Тираж 70 экз. Заказ № 508 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. 102

¿РШ

длчо

- 92 40

Введение.

Глава I. Постановка задачи и численные методы распространения фемтосекундного импульса в одномерном кубично-нелинейном фотонном кристалле.

§1.1. Постановка задачи взаимодействия фемтосекундного импульса с кубичнонелинейным одномерным ФК. Инварианты распространения.

§1.2. Неотражающие граничные условия для задачи линейного распространения лазерного излучения в среде. Инварианты.

§1.3. Консервативная разностная схема (КРС) для задачи распространения фемтосекундного импульса в одномерном кубично-нелинейном фотонном кристалле

§1.4. Сравнение эффективности разностных схем для задачи распространения фемтосекундного импульса в кубично-нелинейном ФК.

§1.5. Краткие выводы.

Глава II. Постановка задачи и численные методы для двухволнового взаимодействия фемтосекундных импульсов в одномерном нелинейном фотонном кристалле.

§2.1. Неотражающие граничные условия для задачи ГВГ. Инварианты распространения

§2.2. Неотражающие граничные условия для задачи ГВГ. Инварианты распространения

§2.3. Постановка задачи двухволнового взаимодействия лазерного излучения в одномерном нелинейном фотонном кристалле с комбинированной нелинейностью. Инварианты распространения.

§2.4. Консервативная разностная схема (КРС) для задачи ГВГ при распространении фемтосекундного импульса в одномерном нелинейном фотонном кристале.

§2.4. Сравнение эффективности разностных схем для задачи двухволнового взаимодействия фемтосекундных импульсов в нелинейном ФК.

§2.4. Краткие выводы.

Глава III. Компьютерное моделирование распространения световых импульсов в кубично нелинейных фотонных кристаллах.

§3.1. Нелинейная локализация световой энергии в слоях кубично-нелинейного фотонного кристалла.

§3.2. Солитонное решение уравнения Шредингера с кубичной нелинейностью и локализация световой энергии в фотонном кристалле.

§3.3. Изменение зон полной прозрачности фотонного кристалла в зависимости от нелинейности и длительности падающего импульса. Полностью оптический переключатель на основе нелинейного одномерного фотонного кристалла.

§3.4. Андерсоновская локализация и устойчивость нелинейной локализации световой энергии в фотонном кристалле.

§3.5. Краткие выводы.

Основные результаты.

В последние годы все большее применение в системах управления и обработки информацией находят фотонные кристаллы (ФК). Их характерным свойством является существование частотных интервалов, для которых имеет место полное отражение падающего светового импульса или полное его прохождение через структуру [1-6]. В виду малых размеров коммутирующие элементы, построенные на основе фотонных кристаллов, выгодно отличаются от многих других полностью оптических переключателей. Поэтому их широкое применение связано, в частности, с областью обработки и передачи информации в оптоэлектронных и полностью оптических системах [7-15]. Это особенно становится актуальным в связи с созданием фирмой Ьепз1е1 первого оптического процессора на основе квантовых ям в 2002 году [15]. Его производительность на несколько порядков превышает производительность современных электронных процессоров. Суть оптического процессора на основе квантовых ям состоит во внесении локальных дефектов в полупроводниковую структуру. В результате локально изменяется уровень Ферми и образуется состояние с энергией, ниже окружающей структуры. Заметим, что оптической бистабилыюсти, которая является основой построения оптических процессоров и различных переключателей в литературе посвящено много работ [7-9, 12, 13, 16, 18], и поиск новых механизмов реализации оптической бистабильности является актуальной проблемой.

Для практики представляет большой интерес проявление нелинейных эффектов [17-28] при взаимодействии высокоинтенсивного светового импульса с ФК. Их проявление имеет место вплоть до интенсивностей оптического излучения порядка 2.5-1014 Вт/см (в зависимости от длительности импульса), не разрушая ФК. Следует заметить, что интенсивность светового излучения, падающего на ФК, даже в линейном случае может возрастать на порядок внутри самой структуры, что усиливает нелинейный отклик среды. При этом особый интерес представляет распространение сверхкоротких фемтосекундных импульсов в ФК, которые в настоящее время являются доступными для реализации различными лазерными системами [29, 30]. Как известно, основными изучаемыми нелинейными процессами являются генерация оптических гармоник [31, 32], явление самофокусировки (или дефокусировки) светового импульса в кубично-нелинейных средах [33] и формирование солитонов в различных оптических системах [34-54]. Принципиальным вопросом является и проявление различных эффектов в ФК с нерегулярной структурой [55-57], локализация света [58-63].

При компьютерном моделировании распространения фемтосекундного импульса в нелинейной среде в зависимости от длительности импульса применяется несколько подходов. Так для импульсов длительностью более 30 фс используется нелинейное уравнение Шредингера, для численного решения которого наибольшее распространение получил метод расщепления [64-68] и консервативные разностные схемы [69-71, 27]. При этом, традиционно при записи уравнения выделяют направление распространения светового импульса [3]. Заметим, что предложенный нами подход к компьютерному моделированию взаимодействия световых импульсов с ФК базируется на отказе от выделения направления [72, 73]. Сравнение эффективности консервативности разностных схем и метода расщепления для задач нелинейной оптики проводилось в ряде работ [70, 71]. Однако, для взаимодействия оптического излучения с ФК такого сравнения не проводилось.

Для многих практически важных задач большой интерес представляют способы повышения эффективности численных методов для решения нелинейных уравнений Шредингера. Так, для различных задач математической физики широко используются неотражающие граничные условия [74-80], позволяющие существенно сократить область, на которой необходимо проводить расчет. Важно подчеркнуть, что для задач фемтосекундной нелинейной оптики требуется чтобы коэффициент отражения неотражающих краевых условий не превышал 0.1% от падающей амплитуды. В противном случае решение исходной задачи может существенно измениться. Поэтому построение высокоэффективных неотражающих граничных условий также является актуальной задачей.

Цель работы заключалась в построении консервативных разностных схем для задач распространения лазерных фемтосекундных импульсов в одномерном нелинейном фотонном кристалле; в изучении эффектов нелинейного взаимодействия фемтосекундных световых импульсов с ФК.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

1. Для задачи нелинейного взаимодействия фемтосекундного лазерного импульса с одномерным ФК, описываемого системой уравнений Шредингера с периодическими линейными коэффициентами и коэффициентами при нелинейных слагаемых, построены неотражающие граничные условия.

2. Для рассматриваемых задач построены консервативные разностные схемы, в том числе с учетом неотражающих граничных условий.

3. Предложен полностью оптический бистабильный элемент, состоящий всего из трех слоев, один из которых является нелинейным.

4. Предсказана и изучена локализация световой энергии в одномерном ФК, формирование солитонов в отдельных его слоях; остановка света. Изучено влияние флук-туаций параметров ФК на нелинейную локализацию световой энергии.

Практическая ценность.

1. Построены консервативные разностные схемы для задачи взаимодействия лазерного импульса с одномерным нелинейным ФК с учетом неотражающих краевых условий, которые позволяют существенно повысить эффективность компьютерного моделирования рассматриваемого класса задач.

2. Предложенный полностью оптический переключатель с минимальным числом слоев может найти применение в системах оптической обработки информации. Экспериментально подобный переключатель независимо реализован в работе КаШиГ Я. и ДР- [2].

3. Обнаруженная зависимость коэффициентов отражения и пропускания ФК в режимах полной непрозрачности или прозрачности от длительности импульса важна для использования одномерных ФК в различных системах оптической связи.

4. Предсказанные и изученные эффекты нелинейной локализации световой энергии и остановка света в некоторых слоях ФК позволяют на этой основе реализовать устройства оптической памяти. В [60] полагалось, что на основе ФК сделать это невозможно. Однако в этой работе рассматривалось только линейное распространение. В работе [63] показана возможность остановки первоначально заданного соли-тона с брэгговской длиной волны на дефекте при специальном выборе его скорости и без учета дифракции оптического излучения в случае косинусоидальной модуляции диэлектрической проницаемости в рамках взаимодействия двух волн. Строго говоря, рассмотренный объект не является ФК.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, основных результатов, списка литературы и содержит 30 рисунков и 3 таблиц.

1. Joannopoulos, J. D., Meade, R. D., Winn, J. N. Photonic Crystals: Molding the Flow of1.ight. Princeton, New York. 1995. 152 p.

2. Katouf R., Komikado Т., Itoh M., et al. Ultra-fast optical switches using ID polymeric photonic crystals. // Photonics and Nanostructures - Fundamentals and Applications.2005. V.3. N2-3. P. 116-119.

3. Scalora M., Dawling F.P., Bowden CM,, Blomer M.J. Optical Limiting and Switching of Ultrashort Pulses in Nonlinear Photonic Band Gap Materials. // Phys. Rev. Letters. 1994.V. 73. N10. P. 1368-1371.

4. Slusher R. E., Eggleton B. J. Nonlinear Photonic Crystal. Springer. 2003. 380 p.

5. Sheng P. Introduction to Wave Scattering, Localization, and Mesoscopic Phenomena. Academic Press, Boston. 1995. 340 p.

6. Yanik M. F., Fan S., Soljacic M., Joannopoulos J. D. High-contrast all-optical bistable switching in photonic crystal microcavities. // Appl. Phys. Lett. 2003. V. 83. N14. P.2739-2741.

7. Kafesaki M., Aigo M., Soukoulis C. M. Waveguides in finite-height two-dimensional photonic crystals. //JOSA B. 2002. V. 19. N9. P. 2232-2240.

8. Hache A., Bourgeois M. Ultrafast all-optical switching in a silicon-based photonic crystal. // Appl. Phys. Lett. 2000. V. 77. N25. P. 4089- 4091.138

9. Yanik М. F., Fan S., Soljacic M., Joannopoulos J. D. All-optical transistor action with bistable switching in photonic crystal cross-waveguide geometry. // Opt. Lett. 2003. V.

11. Wang Z., Fan S. Optical circulators in two-dimensional magneto-optical photonic crystals. //Opt. Lett. 2005. V. 30. N15. P. 1989-1991.

12. Mazurenko D. A., Kerst R., Dijkhuis J. 1., et al. Ultrafast Optical Switching in Three- Dimensional Photonic Crystals. // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 91. N21. 213903.

13. Голубев В.Г., Курдюков Д.А., Певцов А.Б., и др. Гистерезис фотонной зоны в фо- тонном кристалле VO2 при фазовом переходе полупроводник - металл. // ФТП.2002. Т. 36. N9. 1122-1127.

14. Markowicz Р. Р., Tiryaki Н., Pudavar Н., et al. Dramatic Enhancement of Third- Harmonic Generation in Three-Dimensional Photonic Crystals. // Phys. Rev. Lett. 2004.V. 92. N8. 083903.

15. Lidodkis E., Soukoulis CM. Pulse-driven switching in one-dimensional nonlinear photonic band gap materials: a numerical study. // Phys. Rev. E. 2000. V. 61. N5. P.5825-5829.

16. Интернет-сайт компании Lenslet. http://www.lenslet.com/

17. Никитенко К.Ю., Трофимов В.A. Оптическая бистабильность на основе нелинейно- го наклонного отражения световых пу^жов от экрана с отверстием на его оси. //Квант, электроника. 1999. Т. 26. N2. 147-150.

18. Лысак Т. М., Трофимов В. А. Бистабильный режим ГВГ фемтосекупдных импуль- сов. //ЖТФ. 2001. Т. 71. N6. 53-58.

19. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. / Пер. с англ. М.: Мир. 1996. 323 с.

20. Боровский А. В., Галкин А. Л. Лазерная физика. М. ИздАТ. 1996.496 с.

21. Шен И.Р. Принципы нелинейной оптики. / Пер. с англ. М.: Наука. 1989. 558 с. 139

22. Ахманов А., Выслоух В. А., Чиркин А. Оптика фемтосекуидиых лазерных им- пульсов. М.: Наука. 1988. 312 с.

23. Сухоруков А. П. Нелинейные волновые взаимодействия в онтике и радиофизике. М.: Наука. 1988.230 с.

24. Бонч-Бруевич В.Л., Калашников Г. Физика полупроводников. М.: Наука. 1990. 685с.

25. Ахманов А., Сухоруков А. Н., Хохлов Р. В. Самофокусировка и дифракция света в нелинейной среде. // УФН. 1967. Т. 93. N1. 10-63.

26. Громов Е. М., Таланов В. И. Высшие приближения теории дисперсии нелинейных волн в однородных и неоднородных средах. // Известия РАН. Серия Физическая.1996. Т. 60. N12. 16-28.

27. Карамзин Ю. Н., Сухоруков А. П., Трофимов В. А. Математическое моделирование в нелинейной оптике. М.: Изд-во московского университета. 1989. 154 с.

28. Волков А.Г., Трофимов В.А. О модуляционной неустойчивости фемтосекундных световых импульсов, распространяющихся в оптическом волокне. // Оптика и спек-троскопия. 2003. Т. 94. N1. 96-107.

29. Jung I.D., Kartner F.X., Matuschek N., et al. Self-starting 6.5-fs pulses from a Ti:sapphire laser.//Optics letters. 1997. V.22.N13. P. 1009-1011.

30. Duhr 0., Nibbering E., Kom G., et al. Generation of intense 8-fs pulses at 400 nm. // Op- tics letters. 1999. V.24. N1. P.34-36.

31. Balakin A.V., Bushuev B. V., Mantzyzov B. L, et al. Enhancement of sum frequency gen- eration near the photonic band gap edge under the quasiphase matching conditions. //Phys. Rev. E. 2001. V. 63. N3-4. 046609.

32. Алфимов M.B., Желтиков A.M., Иванов A.A., и др. Фотонно-кристаллические вол- новоды с фотонной запрещенной зоной, перестраиваемой в области 930 -1030 нм. //Письма в ЖЭТФ. 2000. Т. 71. N12. 714-719.140

33. Saut О. Computational modeling of ultrashort powerful laser pulses in a nonlinear crystal. //J. of Computational Physics. 2004. V. 197. N2. P. 624-646.

34. Goodman R.H., Holmes Ph. J., Weinstein M. I. Strong NLS soliton-defect interactions. // Physica D. 2004. V. 192. N3-4. P. 215-248.

35. Kivshar Yu.S., Kevrekidis P.G., Takeno S. Nonlinear localized modes in waveguide bends. // Phys. Lett. A. 2003. V. 307. N5-6. P. 287-291.

36. Meier J., Hudock J., Christodoulides D., et al. Discrete Vector Solitons in Kerr Nonlinear Waveguide Arrays. // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 91. 143907.

37. Christodoulides D. N., Joseph R. L Discrete self-focusing in nonlinear arrays of coupled waveguides. // Opt. Lett. 1988. V. 13. N9. P. 794-796.

38. Neshev D. N., Alexander T. J., Ostrovskaya E. A. Observation of Discrete Vortex Soli- tons in Optically Induced Photonic Lattices. // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 92. N12. 123903.

39. Ankiewicz A., Krolikowski W., Akhmediev N. Partially coherent solitons of variable shape in a slow Kerr-like medium: Exact solutions. // Phys. Rev. E. 1999. V. 59. N5. P.6079-6087.

40. Aleshkevich V. A., Kartashov Y. V., Zelenina A. S., et al. Eigenvalue control and switch- ing by fission of multisoliton bound states in planar waveguides. // Opt. Lett. 2004. V, 29.N5. P. 483-485.

41. Coda V., Swain R. D., Maillotte H., et al. Wavelength, power and pulse duration influence on spatial soliton formation in AlGaAs. // Optics Communications. 2005. V. 251. N1-3. P.186-193.

42. Dohnal Т., Aceves A.B. Optical Soliton Bullets in (2+l)D Nonlinear Bragg Resonant Pe- riodic Geometries. // Studies in Applied Mathematics. 2005. V. 115. N2. P. 209-232.

43. Fibich G., Ilan B. Optical light bullets in a pure Kerr medium. // Opt. Lett. 2004. V. 29. N8. P. 887-889.141

44. Ultanir E. A., Stegeman G. I., Christodoulides D. N. Dissipative photonic lattice solitons. // Opt. Lett. 2004. V. 29. N8. P. 845-847.

45. Kartashov Y. V., Tomer L., Vysloukh V. A. Multicolor lattice solitons. // Opt. Lett. 2004. V. 29. N10. P. 1117-1119.

46. Collins B. C, Bergman K., Knox W. H. True fundamental solitons in a passively mode- locked short-cavity Cr '^^ YAG laser. // Opt. Lett. 1997. V. 22. N14. P. 1098-1100.

47. Ranka J. K., Schirmer R. W., Gaeta A. L. Observation of pulse splitting in nonlinear dis- persive media. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. N18. P. 3783-3786.

48. Ciattoni A, Crosignani B, Di Porto P, Yariv A. Perfect optical solitons: spatial Kerr soli- tons as exact solutions of Maxwell's equations. // JOSA B. 2005. V. 22. N7. P. 1384-1394.

49. Liu X., Beckwitt K., Wise F. W. Transverse Instability of Optical Spatiotemporal Solitons in Quadratic Media. // Phys. Rev. 2000. V. 85. N9. P. 1871-1874 .

50. Kivshar Yu. S., Pelinovsky D.E. Self-focusing and transverse instabilities of solitary waves. // Phys. Rep. 2000. V. 331. N4. P. 117-195.

51. Mantsyzov B. I. Laue soliton in a resonantly absorbing photonic crystal. // Optics Com- munications. 2001. V. 189. N4-6. P. 275-280.

52. Buryak A. V., Di Trapani P., Skryabin D. V., Trillo S. Optical solitons due to quadratic nonlinearities: from basic physics to futuristic applications. // Phys. Rep. 2002. V. 370.N2. P. 63-235.

53. Лысак Т. М., Трофимов В. А. О возможности солитоноподобного режима двухвол- нового распространения фемтосекундных импульсов в оптическом волокне в усло-виях генерации второй гармоники. // Оптика и спектроскопия. 2003. Т. 94. N4. 632-639.

54. Tomer L., Barthelemy А. Quadratic Solitons: Recent Developments. // IEEE Joumal of quantum electronics. 2003. V. 39. N1. P. 22-29.142

55. Yannopapas V., Modinos A., Stefonou N. Anderson localization of light in inverted opals. // Phys. Rev. B. 2003. V. 68. N19. 193205.

56. Staliunas K. Spatial solitons and Anderson localization. // Phys. Rev. A. 2003. V. 68. N1. 013801.

57. Желтиков A.M., Магницкий C.A., Тарасишин A.B. Двумерные фотонные кристаллы с дефектом решетки: снектр дефектных мод, локализация света и формирование не-радиационных волн. //ЖЭТФ. 2000. Т. 117. N4. 691-701.

58. Pradhan Р., Kumar N. Localization of light in coherently amplifying random media. // Phys. Rev. B. 1994. V. 50. N13. P. 9644-9647.

59. Kivshar Yu. S., Kevrekidis P. G., Takeno S. Nonlinear localized modes in waveguide bends. // Phys. Lett. A. 2003. V. 307. N5-6. P. 287-291.

60. Yanik M. F., Fan S. Stopping Light Ail-Optically. // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 92. N8. 083901.

61. Bourgain J., Wang W. Anderson Localization for Time Quasi-Periodic Random Schrodinger and Wave Equations. // Commun. Math. Phys. 2004. V. 248. N3. P. 429-466.

62. Sigalas M. M., Soukoulis С M., Chan C.-T., Turner D. Localization of electromagnetic waves in two-dimensional disordered systems. // Phys. Rev. B. 1996. V. 53. N13. P. 8340-8348.

63. Goodman R. H., Slusher R. E., Weinstein M. L. Stopping light on a defect. // JOSA B. 2002.V. 19. N7. P. 1635-1652.

64. Fleck, J. A., J. R. Morris, M. D. Feit. Time-dependent propagation of high energy laser beams through the atmosphere. // Appl. Phys. 1976. V. 10. N2. P. 129-160.

65. Марчук Г.И. Методы расщенления. М.: Наука. 1988. 263 с.

66. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука. 1989. 608 с.

67. Taha Т. R., Ablowitz М. J. Analytical and Numerical Aspects of Certain Nonlinear Evo- lution Equations. //J. Comput. Phys. 1984. V. 55. N2. P. 203-230.143

68. Feit M.D., Fleck J.A., Steiger Jr.A. Solution of the Schrodinger equation by a spectral method. //J. Comput. Phys. 1982. V. 47. N3. P. 412-433.

69. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука. 1983. 614 с.

70. Поляков В., Трофимов В. А. О дефокусировке светового пучка в условиях нели- нейного отклика среды. // Оптика атмосферы. 1990. Т. 3. N3. 273-278.

71. Захарова И.Г, Карамзин Ю.Н., Трофимов В.А. Метод расщепления в задачах нели- нейной оптики. М.: Институт прикладной математики АН СССР (Препринт). 1983.16 с.

72. Trofimov V.A. New approach to numerical simulation of femtosecond pulse propagation in photonic crystal. // In "Laser Phys. and Spectroscopy" / Eds. Derbov V. L. et al. Proc.of SPIE. 2000. V. 4002. P. 28-36.

73. Трофимов В. A. Инварианты распространения фемтосекундных световых импуль- сов в фотонных кристаллах. //ЖВМ и МФ. 2001. Т. 41. N9. 1429-1433.

74. Fibich G. and Tsynkov S. High-Order Two-Way Artificial Boundary Conditions for Nonlinear Wave Propagation with Backscattering. // Journal of Computational Physics.2001.V. 171.N2.P. 632-677.

75. Baskakov V.A., Popov A.V. Implementation of transparent boundaries for numerical solution of the Schrodinger equation. // Wave Motion. 1991. V. 14. P. 123-128.

76. Turkel E., Yefet A. Absorbing PML boundary layers for wave-like equations. // Applied Numerical Mathematics. 1998. V. 27. N4. P. 533-557.

77. Abarbanel S., Gottlie D. On the construction and analysis of absorbing layers in СЕМ. // Applied Numerical Mathematics. 1998. V. 27. N4. P. 331-340.

78. Трофимов В. А., Терешин Е. Б., Федотов М. В. О возможности локализации энергии светового импульса в фотонном кристалле. // Онтика и снектроскопия. 2003. Т. 95.N1. 106-110.

79. Trofimov V. А., Tereshin Е. В., Fedotov M.V. Fast and slow localized sub-pulses in photonic crystal. Technical Program of XI Conference on Laser Optics. St-Petersburg.2003. P. 72.

80. Tereshin E. В., Trofimov V. A., Fedotov M.V. Effect of light localization in nonlinear photonic crystal. // Program on SFM'O3. Saratov. 2003. P. 6.

81. Трофимов В. A., Терешин E. Б., Федотов М. В. Локализация световой энергии по- следовательности фемтосекуидных имнульсов в одномерном фотонном кристалле.// ЖТФ. 2004. Т. 74. N 5 . 66-70.

82. Трофимов В. А., Терешин Е. Б., Федотов М. В. Солитоноподобное распространение световых импульсов в нелинейном фотонном кристалле. // Оптика и Снектроскопия.2004. Т. 97. N5. 823-832.

83. Trofimov V. А., Tereshin Е. В. Stop of light in nonlinear photonic crystal. Report on Internet session. SFM'O4. http://optics.sgu.ru/SFM/2004/internet. Saratov. 2004.

84. Trofimov V. A., Tereshin E. B. Stop of light in nonlinear photonic crystal. // In "Laser Physics and Photonics, Spectroscopy and Molecular Modelling V" / Ed. Derbov V.L.,Melnikov L. A., Babkov L. M. Proc. of SPIE. 2005. V. 5773. P. 12-19.

85. Trofimov V. A., Tereshin E. B. Soliton Self-formation in Nonlinear Photonic Crystal. // In ICONO/LAT 2005 Technical Digest on CD-ROM. St-Petersburg. Russia. 2005. ISM/2.

86. Трофимов В. A. , Терешин E. Б. Полностью оптический переключатель на основе одномерной слоистой структуры с дефокусирующей нелинейностью. // Онтика иСпектроскопия. 2005. Т. 99. N6. 998-1005.146

87. Troflmov V. A., Tereshin E. B. Optical Switching based on ultra-short 1-D photonic crys- tal.// Quantum Electronics Conference, 2005. Conference on IQEC/CLEO. Pacific Rim.2005. P. 738-739.

88. Trofimov V. A., Tereshin E. B. Influence of Anderson Localization on nonlinear light lo- calization in 1-D photonic crystal.// Technical Programme / Abstract of Intern. Congresson Optics and Optoelectronics. Warsaw. Poland. 2005. P. 73-74.