автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование оптической бистабильности в условиях светоиндуцированного электрического поля полупроводника

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

Направахрукописи

Логинова Мария Михайловна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИЧЕСКОЙ БИСТАБИЛЬНОСГИ В УСЛОВИЯХ СВЕТОИНДУЦИРОВАННОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПОЛУПРОВОДНИКА

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор физ.-матем. наук,

профессор ВА. Трофимов

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физ.-матем. наук,

профессор Г.М. Стрелков кандидат физ.-матем. наук,

старший научный сотрудник Е.П. Орлов

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Институт математического моделирования РАН

Защита состоится "/<?" 2005г. в

на заседании Диссертационного совета К 501.001.07 в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу. 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, второй учебный корпус, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат диссертации разослан 2005г.

Ученый секретарь Диссертационного совета

кандидат физ.-матем. наук, доцент

В.М. Говоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования.

В последние 15 лет лазерная техника находит все большее применение в различных областях информационных технологий. Это, прежде всего, связано с проблемами передачи информации по оптическим волокнам (интернет), ее хранения (оптические диски) и разработкой нового поколения вычислительных машин, основанных на оптических процессорах и оптических устройствах трехмерной памяти. Однако эти проблемы далеки от окончательного решения и поэтому поиск новых физических механизмов, на основе которых можно создать оптический процессор, по-прежнему является актуальной проблемой.

Следует подчеркнуть, что в основе построения оптического процессора лежит явление оптической бистабильности (ОБ). Оно заключается в том, что одному значению входной интенсивности при определенных условиях соответствуют два значения выходной интенсивности. Это позволяет, в принципе, реализовать двоичную арифметику. Однако для широкого использования данного явления как элементарной базы оптического процессора необходимо, чтобы характеристики переключения из одного состояния в другое (энергия переключения, его быстродействие, надежность) превосходили соответствующие значения электронного компьютера. К настоящему времени достичь полного превосходства не удалось, несмотря на интенсивные исследования многих научных групп.

В литературе предложены различные ОБ элементы, основанные на нелинейном поглощении световой энергии, на преобразовании частоты лазерного излучения, на нарушении законов отражения Снеллиуса, на различных свойствах фотонных кристаллов и др. Наибольшее же распространение получили ОБ схемы, использующие различные нелинейные свойства полупроводников. Среди неизученных механизмов нелинейной

зависимости характеристик полупроводника оставалась, в частности, зависимость ко-

3

эффициента поглощения от электрического поля полупроводника, а также не были выявлены закономерности переключения ОБ элемента на основе полупроводника с учетом подвижности свободных электронов. Между тем с уменьшением длительности воздействующего импульса (при переходе в фемтосекундный диапазон) именно эти зависимости будут играть определяющую роль при взаимодействии лазерного импульса с полупроводником.

Важно также подчеркнуть, что в электромагнитном поле высокоинтенсивных фемтосекундных импульсов имеет место сдвиг энергетических уровней атомов и молекул, что приводит к многократному усилению влияния зависимости ширины запрещенной зоны от напряженности электрического поля. Изучение влияния именно этого, неучтенного в литературе, механизма (зависимости коэффициента поглощения от све-тоиндуцированного поля) на формирование волн переключения исследуется в диссертации. Оно проведено на основе математического моделирования с широким применением компьютерных экспериментов.

При компьютерном моделировании использовались как консервативные разностные схемы, известные для данного класса задач в литературе, так и строились новые консервативные разностные схемы. Это вызвано тем, что известные в литературе схемы в некоторых случаях оказывались неприменимыми либо из-за расходимости итерационного процесса, либо из-за потери некоторых свойств решения дифференциальной задачи, либо из-за нарушения свойства консервативности на больших временных интервалах. Поэтому разработка эффективных разностных схем для рассмотренных в диссертации задач также представляет собой актуальную проблему. При этом для контроля результатов компьютерных экспериментов в некоторых случаях применяются методы качественного анализа.

Цель работы заключалась в построении и обосновании математической модели

взаимодействия фемтосекундного лазерного импульса с полупроводником в условиях

4

сдвига энергетических уровней атомов под действием оптического излучения; в построении эффективных численных методов для системы нелинейных нестационарных уравнений, описывающих исследуемый процесс; в изучении возможности построения безрезонаторного ОБ элемента, основанного на зависимости коэффициента поглощения оптического излучения от характеристик светоиндуцированного электрического поля.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

1. Предложена и обоснована математическая модель взаимодействия фемтосекундно-го лазерного импульса с полупроводником в условиях сдвига энергетических уровней его атомов и зависимости коэффициента поглощения от светоиндуцированного электрического поля.

2. Построены консервативные разностные схемы для задачи взаимодействия фемтосе-кундного импульса с полупроводником в условиях нелинейной подвижности электронов и зависимости коэффициента поглощения полупроводника от светоиндуци-рованного электрического поля и концентраций носителей зарядов, описываемой системой нелинейных дифференциальных уравнений в пространстве (х,().

3. Предложен новый тип ОБ на основе зависимости коэффициента поглощения полупроводника от светоиндуцированного электрического поля.

4. Обнаружено развитие осцилляций концентраций свободных электронов и ионизированных доноров, имеющих различные сценарии.

Практическая ценность. 1. Построенные консервативные разностные схемы могут найти применение при анализе различных задач взаимодействия высокоинтенсивных фемтосекундных лазерных импульсов с полупроводником.

2. Предложенный новый тип ОБ, основанный на зависимости коэффициента поглощения от светоиндуцированного электрического поля, может быть использован при создании оптических переключателей, работающих в фемтосекундном диапазоне.

3. Учет обнаруженных неустойчивых состояний полупроводника при воздействии на него фемтосекундного лазерного импульса в условиях нелинейной зависимости коэффициента поглощения от светоиндуцированного электрического поля позволяют повысить надежность оптических переключателей, основанных на данном типе ОБ.

Защищаемые положения. На защиту выносятся следующие положения:

1. Новый тип оптической бистабильности, основанный на зависимости коэффициента поглощения от характеристик светоиндуцированного электрического поля.

2. Построенные консервативные разностные схемы для задачи взаимодействия фемто-секундного импульса с полупроводником с учетом нелинейной подвижности электронов и зависимости коэффициента поглощения от светоиндуцированного электрического поля.

3. Реализация пространственно - временных осциллирующих режимов при нелинейной зависимости коэффициента поглощения полупроводника либо от электрического поля, либо от концентрации свободных электронов полупроводника.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на 6 международных и российских конференциях:

- "Laser Induced Plasma Spectroscopy and Applications" (Tierrenia, Italy, 2000)

- "Mathematical Modelling and Analysis" (Trokai, Lithuania, 2003).

- "Numerical Analysis and Applications" (Rousse, Bulgaria, 2004).

- "Computational and Mathematical Methods in Science and Engineering" (Uppsala, Sweden, 2004).

- "Saratov Fall Meeting" (Internet session. Saratov, 2004).

- "Тихоновские чтения" (МГУ им. Ломоносова, факультет вычислительной математики и кибернетики. 2004).

Отдельные результаты работы докладывались на научном семинаре лаборатории математического моделирования в физике и на кафедре вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. Ломоносова.

Публикации. Список работ, опубликованных по материалам диссертации, приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, основных результатов, списка литературы, состоящего из 86 наименований, и содержит 40 рисунков, 6 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕДИССЕРТАЦИИ.

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, характеризующий состояние проблемы, и излагается содержание работы.

В первом параграфе главы I рассматривается математическая модель процесса взаимодействия высокоинтенсивного лазерного импульса длительностью с с полупроводником. В приближении оптически тонкого слоя она описывается следующей системой безразмерных дифференциальных уравнений относительно потенциала электрического поля <p{x,t), концентрации свободных электронов

и концентрации ионизированных доноров

с граничными и начальными условиями

Выше х - поперечная безразмерная координата, нормированная на радиус падающего оптического пучка, t - время, измеряемое в единицах времени рекомбинации свободных носителей зарядов. Подвижность свободных электронов ц может быть как постоянной величиной, так и нелинейной функцией от напряженности электрического поля Е(х,{)

Функции G и R, описывают генерацию свободных электронов с донорного уровня и излучательную рекомбинацию свободных зарядов полупроводника. Они определяются следующим образом:

где функция описывает профиль интенсивности и временную форму опти-

ческого импульса. Функция - коэффициент поглощения оптического излуче-

ния, который в случае полевой ОБ зависит от потенциала светоиндуцированного электрического поля или его напряженности

Такие зависимости основываются на том факте, что под действием высокоинтенсивных (фемтосекундных) световых импульсов происходит сдвиг энергетических уровней и, как следствие этого, изменение ширины запрещенной зоны из-за электрического поля может быть многократно увеличено. Это, в свою очередь, приводит к существенной зависимости коэффициента поглощения от электрического поля в полупроводнике.

т.

В конце этого параграфа поставлена задача о концентрационной ОБ в условиях светоиндуцированного электрического поля с коэффициентом поглощения

и сформулирована задача о смешанной (концентрационно-полевой) ОБ.

Во втором параграфе первой главы проведено обоснование модели зависимости коэффициента поглощения от электрического поля полупроводника. В литературе известно изменение энергетических уровней атома водорода под действием высокоинтенсивного лазерного импульса (Рис. 1). С ростом напряженности воздействующего светового импульса их энергии стремятся к одному значению.

Напряженность внешнего поля в условных единили Рис.1.

В этом параграфе для обоснования зависимости коэффициента поглощения от напряженности электрического поля и его независимости от направления электрического поля, исследуется сдвиг энергетических уровней атома водорода под действием внешнего поля. Для этого рассматривается одномерное уравнение Шредингера в плоской геометрии

1 Делоне Н.Б., Крайнов В.П. Нелинейная ионизация атомов лазерным излучением. М.: Физматлит. 2001. 310с.

у/^Лу, и(х) = иа(х)±а, 0<х<Ьх, 1/(0) = ^) = 0.

Показано, что при увеличении напряженности электрического поля (параметра е) до некоторого значения энергия перехода с одного энергетического уровня атома на другой скачкообразно увеличивается, после чего практически не изменяется. При ее дальнейшем росте уменьшения разности энергий уровней не наблюдается, что говорит о достижении энергетическими уровнями практически равного значения. На основе компьютерного моделирования продемонстрировано, что поведение уровней энергий при изменении направления электрического поля одинаково. Поэтому в коэффициенте поглощения зависимость сдвига уровней учтеня в виде модуля или гиперболического косинуса от потенциала электрического поля или его напряженности.

В третьем параграфе первой главы проведено исследование по первому приближению устойчивости решений системы уравнений, описывающей процесс воздействия оптического излучения на полупроводник, вблизи его стационарна. С помощью стандартной процедуры линеаризации уравнений исходная система приводится к системе из четырех ОДУ. Так как решение характеристического уравнения четвертой степени представляет значительные трудности, то для ответа на вопрос: будут ли все его корни иметь отрицательную действительную часть (условия устойчивости решения) или нет, использовалась теорема Гурвица2. Показано, что при некоторых наборах параметров решение системы может быть неустойчивым.

В четвертом параграфе первой главы сформулированы ее краткие выводы.

Глава II, состоящая из четырех параграфов, посвящена построению разностных схем для задачи абсорбционной ОБ и сравнению их эффективности.

2Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М: Наука. 1969.424с.

10

В первом параграфе второй главы представлены три разностные схемы для рассматриваемой задачи в случае постоянной подвижности свободных электронов. Для них доказана консервативность, которая заключается в выполнении разностного аналога закона сохранения заряда 1

6(0= |(я(х,0-^(х,0>й = 0.

Схема 1 представляет собой консервативную симметричную разностную схему, аппроксимирующую исходные дифференциальные уравнения с порядком ф+г2), граничные условия аппроксимируются либо с первым порядком, что обеспечивает консервативность Схемы 1. либо со вторым. В последнем случае консервативность может нарушаться, но, как показано в третьем параграфе второй главы, в некоторых случаях такая аппроксимация граничных условий оказывается предпочтительнее. Так как Схема 1 нелинейна, то для нее записывается итерационный процесс:

Для решения полученной системы разностных уравнений используются метод прогонки (для нахождения концентрации свободных электронов) и метод дискретного преобразования Фурье (для вычисления потенциала электрического поля и его напряженно-

ста), что позволяет избежать накопления вычислительных ошибок и, как следствие, нарушения симметрии решения.

Для построения Схемы 2 с помощью представления концентрации свободных электронов в виде Л(дг,/) = й(ж,/)е"*, исходная система дифференциальных уравнений преобразовывалась к следующему виду

Для этой системы записана симметричная разностная схема, в литературе ранее не описанная, с порядком аппроксимации и записан итерационный процесс, который имеет вид:

Следует подчеркнуть, что значения концентраций свободных электронов и ионизированных доноров контролировались в численных экспериментах и они, также как и потенциал электрического поля, всегда принимали неотрицательные значения.

Для решения некоторых сеточных уравнений полученной системы целесообразно использовать дискретный метод Фурье. С его помощью вычисляется производная по пространственной координате от напряженности электрического поля Е(х,1) и находится потенциал электрического поля

При построении Схемы 3 использовалось тоже представление функции что и для Схемы 2. Однако в данном случае преобразованию подвергается только уравнение относительно концентрации свободных электронов. Для полученной системы уравнений записывается разностная схема, имеющая тот же порядок аппроксимации, что и предыдущие схемы, и строиться итерационный процесс:

Во втором параграфе второй главы построены две разностные схемы для задачи абсорбционной ОБ в случае нелинейной подвижности свободных электронов. Доказана их консервативность.

Схема 1.1 и итерационный процесс для ее решения строиться аналогично Схеме 1 с учетом выбранной аппроксимации функции .

Схема 2.1 представляет собой обобщение Схемы 2 на случай нелинейной подвижности электронов. В этом случае концентрация свободных электронов представляется в виде

дх 1+|£|/£,'

Ее особенностью является необходимость нахождения функции и вычисления

экспоненты на каждой итерации, что приводит к увеличению числа операций. Однако она позволяет рассчитывать все рассмотренные режимы взаимодействия светового импульса с полупроводником. Итерационный процесс для Схемы 2.1 выглядит следующим образом:

В третьем параграфе второй главы проведено сравнение эффективности построенных разностных схем, которое проводилось по следующим критериям: точность выполнения разностного аналога закона сохранения заряда, возможность использовать достаточно крупные шаги сетки и количество итераций при переходе с предыдущего временного слоя на следующий. При проведении компьютерных экспериментов по моделированию полевой, концентрационной и смешанной ОБ для некоторых наборов параметров наблюдались существенные отличия в полученных результатах при использовании различных разностных схем. Так при расчете некоторых режимов взаимодействия оптического излучения с полупроводником Сима 1. Схема 3и Схема 1.1 теряли свойство консервативности: инвариант не сохранялся. В других случаях использование этих схем для расчетов оказывалось невозможным из-за резкого увеличения чис-

14

ла итераций (до нескольких тысяч) при переходе с одного временного слоя на следующий. Исправить эту ситуацию с помощью измельчения шагов разностной сетки не удается. При использовании же Схемы 2 или Схемы 2.1 этого не происходит. Таким образом, показано преимущество предложенных в данной работе новых консервативных схем. Однако следует отметить необходимость использования мелких шагов разностной сетки при их использовании для расчетов осциллирующих режимов изменения характеристик полупроводника.

В четвертом параграфе главы II сформулированы ее краткие выводы.

Глава Ш состоит из пяти параграфов и посвящена компьютерному моделированию задач абсорбционной ОБ. Компьютерные эксперименты проводились для широкого набора параметров и различных видов коэффициента поглощения. Так как для рассматриваемого типа ОБ точечная модель не может быть записана из-за распределенного электрического поля, то существование ОБ в системе определяется по наличию гис-терезисной зависимости концентрации свободных электронов от максимальной интенсивности входного оптического импульса в некоторых точках освещенной области полупроводника, а также по реализации взрывного поглощения световой энергии. Как известно, данное явление состоит в том, что при изменении интенсивности вблизи некоторого значения изменение концентрации свободных электронов происходит во времени скачкообразно. В эти моменты реализуется переключение системы полупроводник - оптическое излучение из нижнего состояния в верхнее, что приводит к изменению коэффициента поглощения световой энергии. Как результат изменяется выходная интенсивность оптического излучения. Следует подчеркнуть, что именно эту характеристику измеряют в физических экспериментах.

В первом параграфе третьей главы представлены результаты компьютерного моделирования полевой ОБ. Описан механизм формирования волн переключения, рас-

пространяющихся к границам полупроводника. Показано, что параметр в играет принципиальную роль при формировании доменов высокой концентрации свободных электронов. При этом учет подвижности свободных электронов принципиален, так как именно из-за нее формируется локализованная область высокой концентрации свободных электронов. Используя компьютерное моделирование, демонстрируется существование гистерезисной зависимости концентрации свободных электронов от интенсивности падающего излучения и исследуется влияние различных параметров на реализацию полевой ОБ.

Рис. 2. Зависимость значения концентрации свободных электронов на оси пучка от интенсивности входного излучения реализуемая для коэффициента поглощения и параметров .0 = 10"3, а = 0,

В этом же параграфе показано развитие осцилляций концентраций заряженных частиц, которые наблюдались для некоторых наборов параметров при проведении компьютерных экспериментов по исследованию полевой ОБ. Их динамика, число и амплитуды гармоник существенно зависят от параметров системы. Так с ростом подвижности электронов при прочих равных условиях уменьшается амплитуда колебаний концентраций, а в некоторых случаях осцилляции вообще не появляются. Следует подчеркнуть, что исследование неустойчивости на основе компьютерного моделирования сопровождалось применением критериев устойчивости решений системы поле-

вой ОБ по методу первого приближения вблизи стационарного решения (§1.3), при этом результаты расчетов подтверждались.

Во втором параграфе третьей главы исследована концентрационная ОБ в условиях светоиндуцированного электрического поля. Обнаружен и изучен режим осцил-ляций поперечного размера домена высокой концентрации свободных электронов. При этом рост подвижности свободных электронов ¡Л приводит к сглаживанию и уменьшению амплитуды колебаний поперечного размера области высокой концентрации свободных электронов, а также к быстрой реализации в системе оптическое излучение -полупроводник стационарного состояния. Далее с помощью компьютерного моделирования продемонстрирована возможность реализации концентрационной ОБ. Продемонстрирован режим автопереключения системы из одного состояния в другое при существовании ОБ.

Третий параграф данной главы посвящен компьютерному моделированию смешанной (концентрационно - полевой) ОБ. Существенной чертой смешанной ОБ является ее реализация при таких параметрах системы, при которых полевая и концентрационная ОБ в отдельности отсутствуют. Это позволяет ослабить зависимость коэффициента поглощения как от концентрации свободных электронов, так и от электрического поля.

В четвертом параграфе третьей главы продемонстрировано аномальное влияние коэффициента диффузии электронов на реализацию абсорбционной ОБ в распределенной модели. Для известных в литературе механизмов реализации абсорбционной ОБ увеличение диффузии всегда приводило к увеличению интенсивности переключения системы, в частности, в верхнее состояние. В случае же рассматриваемой полевой ОБ переключения системы происходят при неизменной входной интенсивности для различных коэффициентов диффузии электронов. В случае концентрационной ОБ увеличение В может привести к увеличению области бистабильности по входной интенсив-

17

ности и даже к реализации ОБ для таких параметров системы, для которых при меньшей диффузии она отсутствует.

В пятом параграфе главы III сформулированы ее краткие выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

1. Построены консервативные разностные схемы для задачи взаимодействия фем-тосекундного импульса с полупроводником в условиях зависимости коэффициента поглощения от светоиндуцированного электрического поля и концентраций свободных электронов и ионизированных доноров при учете линейной или нелинейной подвижности электронов.

2. На основе математического моделирования предложен новый тип оптической бистабильности: полевая оптическая бистабильность.

3. Обнаружены различные режимы развития пространственно - временных осцилляции концентраций заряженных частиц при нелинейной зависимости коэффициента поглощения полупроводника от электрического поля, либо от концентраций носителей зарядов.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Trofimov V.A., Loginova М.М. Formation of switching waves in optical bistability scheme based on dependence of absorption coefficient of semiconductor on electric field. // Book ofAbstract LIBS,2000. Tierrenia, Italy. 2000. P.59.

2. Баренцева С.А., Логинова М.М, Трофимов ВА. Математическое моделирование оптической бистабильности на основе светоиндуцированного электрического поля. // Вестник МГУ. Сер.15. Вычислительная математика и кибернетика. 2003. N1. С.20-27.

3. Trofimov V.A., Loginova M.M. Comparison of some difference schemes for problem of

femtosecond pulse interaction with semiconductor. // Abstract ofthe International Conference MMA'03. Trokai, Lithuania. 2003. P.77.

4. Логинова М.М, Трофимов В.А. Сравнение некоторых разностных схем для задачи воздействия фемтосекундного импульса на полупроводник. //Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2004. N1. С.10-16.

5. Логинова М.М, Трофимов В.А. О возможности осцилляции поперечного размера домена высокой концентрации свободных электронов при воздействии короткого светового импульса на полупроводник. // ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.11. С.123-126.

6. Trofimov V.A., Loginova M.M. Comparison of some difference schemes for the problem of femtosecond pulse interaction with semiconductor at nonlinear mobility coefficient. // Abstract ofthe International Conference NAA'04. Rousse, Bulgaria. 2004. P.47-48.

7. Trofimov V.A., Loginova M.M. Computer modelling of field optical bistabihty. // Proceedings of the International Conference CMMSE-2004. Uppsala, Sweden. June, 2004. P.266-273.

8. Trofimov V.A., Loginova M. M. About the possibility of field optical bistability. SFM'04. Internet session. Saratov. 2004. //http://optics.sgu.ru/SFM/2004/internet/

9. Trofimov V.A., Loginova M. M. Comparison of some difference schemes for the problem of femtosecond pulse interaction with semiconductor in the case of nonlinear mobility coefficient. // In Book "Lecture Notes in Computer Science" / Editors Z.Li et al. SpringerVerlag GmbH. 2005. V.3401. P.535-542.

ШЗ - №13

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИДИ 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 28.032005 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печ.л.1,25. Тираж 80 экз. Заказ 151.

119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова,

те

Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891.

2-й учебный корпус, 627 к.

1

V

19 МАЙ 2005

Введение.

Глава I. Математические модели концентрационной и полевой абсорбционной оптической бистабильности (ОБ). Координаты (х, 0.

§1.1. Постановка задачи абсорбционной ОБ.

§1.2. Обоснование математической модели полевой ОБ.

§1.3. Анализ устойчивости решений задач ОБ.

§1.4. Краткие выводы.

Глава II. Разностные схемы для задач абсорбционной ОБ.

§2.1. Разностные схемы для задач абсорбционной ОБ с постоянной подвижностью.

§2.2. Разностные схемы для задач абсорбционной ОБ с нелинейной подвижностью.

§2.3. Сравнение эффективности разностных схем для задач абсорбционной ОБ.

§2.4. Краткие выводы.

Глава III. Компьютерное моделирование задач абсорбционной ОБ.

§3.1. Компьютерное моделирование полевой ОБ.

§3.2. Компьютерное моделирование концентрационной ОБ в условиях светоиндуцированного электрического поля полупроводника.

§3.3. Компьютерное моделирование смешанной ОБ.

§3.4. Влияние коэффициента диффузии электронов на реализацию абсорбционной

ОБ в распределенной модели.

§3.5. Краткие выводы.

Основные результаты.

В последние 15 лет лазерная техника находит все большее применение в различных областях информационных технологий. Это, прежде всего, связано с проблемами передачи информации по оптическим волокнам (интернет), ее хранения (оптические диски) и разработкой нового поколения вычислительных машин, основанных на оптических процессорах [I] и оптических устройствах трехмерной памяти. Однако эти проблемы далеки от окончательного решения и поэтому поиск новых физических механизмов, на основе которых можно создать оптический процессор, по-прежнему является актуальной проблемой.

Следует подчеркнуть, что в основе построения оптического процессора лежит явление оптической бистабильности (ОБ) [2-4]. Оно заключается в том, что одному значению входной интенсивности при определенных условиях соответствуют два значения выходной интенсивности. Это позволяет, в принципе, реализовать двоичную арифметику. Однако для широкого использования данного явления как элементарной базы оптического процессора необходимо, чтобы характеристики переключения из одного состояния в другое (энергия переключения, его быстродействие, надежность) превосходили соответствующие значения электронного компьютера. К настоящему времени достичь полного превосходства не удалось, несмотря на интенсивные исследования многих научных групп [452].

В течение данного периода предложены различные ОБ элементы, основанные на нелинейном поглощении световой энергии, либо на преобразовании частоты лазерного излучения, либо на нарушении законов отражения Снеллиуса, либо на различных свойствах фотонных кристаллов. Наибольшее же распространение получили ОБ схемы, использующие различные нелинейные свойства полупроводников [53-59]. Среди не изученных механизмов нелинейного изменения характеристик полупроводника оставалась, в частности, зависимость коэффициента поглощения от электрического поля полупроводника [53-55]. Ч Также не были выявлены закономерности переключения ОБ элемента на основе полупроводника при учете подвижности свободных электронов. Между тем, с уменьшением длительности воздействующего импульса (при переходе в фемтосекундный диапазон) именно эти зависимости будут играть определяющую роль при взаимодействии лазерного импульса с полупроводником. Важно также подчеркнуть, что в электромагнитном поле высокоинтенсивных фемтосекундных импульсов имеет место сдвиг энергетических уровней атомов и молекул [60-62], что приводит к многократному усилению зависимости ширины запрещенной зоны от напряженности электрического поля. Изучение влияния именно этого, неучтенного в литературе, механизма (зависимости коэффициента поглощения от свето-<, индуцированного поля) на реализацию абсорбционной ОБ исследуется ниже. Оно проведено на основе математического моделирования с широким применением компьютерных экспериментов.

При компьютерном моделировании использовались как консервативные разностные схемы, известные для данного класса задач в литературе [63-73], так и строились новые консервативные разностные схемы. Так как известные в литературе схемы в некоторых случаях оказывались неприменимыми либо из-за расходимости итерационного процесса, либо из-за потери некоторых свойств решения дифференциальной задачи, либо из-за нарушения свойства консервативности на больших временных интервалах, разработка эффективных разностных схем для рассмотренных в диссертации задач также представляет собой актуальную проблему. При этом для контроля результатов компьютерных экспериментов в некоторых случаях применяются методы качественного анализа [74, 75]. ^ Цель работы заключалась в построении и обосновании математической модели взаимодействия фемтосекундного лазерного импульса с полупроводником в условиях сдвига энергетических уровней атомов под действием оптического излучения; в построе-Ч нии эффективных численных методов для системы нелинейных нестационарных уравнений, описывающих исследуемый процесс; в изучении возможности построения безрезона-торного ОБ элемента, основанного на зависимости коэффициента поглощения оптического излучения от характеристик светоиндуцированного электрического поля.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней: 1. Предложена и обоснована математическая модель взаимодействия фемтосекундного лазерного импульса с полупроводником в условиях сдвига энергетических уровней его атомов и зависимости коэффициента поглощения от светоиндуцированного электрического поля.

2. Построены консервативные разностные схемы для задачи взаимодействия фемтосекундного импульса с полупроводником в условиях нелинейной подвижности электронов и зависимости коэффициента поглощения полупроводника от светоиндуцированного электрического поля и концентраций носителей зарядов, описываемой системой нелинейных дифференциальных уравнений в пространстве (х,0.

3. Предложен новый тип ОБ на основе зависимости коэффициента поглощения полупроводника от светоиндуцированного электрического поля.

4. Обнаружено развитие осцилляций концентраций свободных электронов и ионизированных доноров, имеющих различные сценарии.

Практическая ценность. 1. Построенные консервативные разностные схемы могут найти применение при анализе различных задач взаимодействия высокоинтенсивных фемтосекундных лазерных им-^ пульсов с полупроводником.

2. Предложенный новый тип ОБ, основанный на зависимости коэффициента поглощения от светоиндуцированного электрического поля, может быть использован при создании оптических переключателей, работающих в фемтосекундном диапазоне.

3. Учет обнаруженных неустойчивых состояний полупроводника при воздействии на него фемтосекундного лазерного импульса в условиях нелинейной зависимости коэффициента поглощения от светоиндуцированного электрического поля позволяют повысить надежность оптических переключателей, основанных на данном типе ОБ.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, основных результатов, списка литературы и содержит 40 рисунков, 6 таблиц.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ. Построены консервативные разностные схемы для задачи взаимодействия фемтосекундного импульса с полупроводником в условиях зависимости коэффициента поглощения от светоиндуцированного электрического поля и концентраций свободных электронов и ионизированных доноров при учете линейной или нелинейной подвижности электронов.

На основе математического моделирования предложен новый тип оптической бистабильности: полевая оптическая бистабильность.

Обнаружены различные режимы развития пространственно — временных осцилляций концентраций заряженных частиц при нелинейной зависимости коэффициента поглощения полупроводника от электрического поля, либо от концентраций носителей зарядов.

1. Интернет-сайт фирмы Lenslet. // wvvvv.lenslet.com.

2. Гиббс X. Оптическая бистабильность. Управление светом с помощью света. / Пер. с англ. М.: Мир. 1988. 520с.

3. Розанов H.H. Оптическая бистабильность и гистерезис в распределенных нелинейных системах. М.: Наука. 1997. С.334.

4. Esipov S.E., Stadnic V.A. Optical bistability and Formation of localized and Moving High Absorption Domains in ZnSe and ZnCdS. // Phys. Stat. Sol. B. 1988. V.150. N2. P.501-505.

5. Gibbs H.M., Olbright G.R., Peyghambarian N. et. al. Kinks: Longitudinal excitation discontinuities in increasing-absorption optical bistability. // Phys. Rev. A. 1985. V.32, N1. P.692-694.

6. Рывкин Б.С. Оптическая бистабильность в полупроводниках. // ИФТП. 1985. Т. 19. Вып.1. С.3-27.

7. Розанов H.H., Семенов В.Е. Гистерезисные изменения профиля пучка в нелинейном интерферометре Фабри-Перо. // Оптика и спектроскопия. 1980. Т.48. N1. С.108-114.

8. Розанов H.H. Гистерезисные явления в распределенных оптических системах. // ЖЭТФ. 1981. Т.80. N1. С.96-108.

9. Розанов H.H., Сутягин J1.H., Ходова Г.В. Двумерные и трехмерные схемы оптической бистабильности. // Изв. АН СССР. Сер. Физическая. 1984. Т. 48. N 7. С. 1437-1440.

10. Розанов H.H., Ходова Г.В. Развитие локальных выбросов и формирование волн переключения в бистабильных системах. // Квантовая электроника. 1986. Т.13. N 12. С.368-377.

11. Rozanov N.N., Fedorov A.V., Khodova G.V. Effects of Spatial Distributivity in „ Semiconductor Optical Bistable Systems. // Phys. Stat. Solid. B. 1988. V.150. N.2. P.545555.

12. Rozanov N.N., Fedorov A.V., Khodova G.V. Formation and dynamics of spatial structures in increasing-absorbtion bistable schemes. //JOSA. B. 1991. V.8. N7. P. 1471-1476.

13. Вандышев Ю.В., Днепровский B.C. и др. Изменение пространственного профиля светового пучка в абсорбционном бистабильном элементе. М. Препринт физ. фак. МГУ им. М.В.Ломоносова N19. 1988.4с.

14. Днепровский B.C., Климов В.И., Названова Е.В. Переход Мотта и оптическая бистабильность в CdS. // ЖЭТФ. 1990. Т.98. N9. С.1035-1044.

15. Dneprovskii V.S. et. al. Excitation at High Density in CdS and GaSe, and Optical Bistability. //Phys. Stat. Sol. B. 1988. V.146.N.1. P.341-350.

16. Балкарей Ю. И. и др. Автоколебания и автоволны при взаимодействии мод в активном бистабильном полупроводниковом резонаторе. //ЖТФ. 1988. Т.58. N8. С. 1513-1518.

17. Koch S.W., Schmidt Н.Е., Haug Н. Optical bistability due to induced absorption: Propagation dynamics of excitation profiles. //Appl. Phys. Lett. 1984. V.45. N9. P.932-934.

18. Lindberg M., Koch S.W., Hang H. Structures, formation, and motion of kinks in increasing-absorption optical bistability. // Physical Review A. 1986. V.33. N1. P.407-415.

19. Синицын Г.В. и др. Оптически управляемые волны переключения в бистабильных тонкослойных интерферометрах. // Изв. АН СССР. Сер. Физическая. 1988. Т.52. N2. С.369-373.

20. Lambsdorff et. al. Optical bistability in semiconductors induced by thermal effects // Z. Phys. ' B. Condenced Matter. 1986. V.64. P.409-416.

21. Арешев И.П. и др. Поперечная безрезонаторная оптическая бистабильность в кристаллах. // Письма в ЖТФ. 1987. Т.13. N23. С.1431-1434.

22. Apanasevich S.P., Lyakhovich A.V. Transverse Effects in Optical Bistability for Transportation of Light Information Signals. // Phys. Stat. Sol. B. 1988. V.150. N2. P.507-512.

23. Nguyen H.G., Egorov V.D. Spatial Resolution of Dynamic Thermo-Optical Hysteresis in CdS. // Phys. Stat. Sol. B. 1988. V.150. N2. P.519-525.

24. Борщ A.A., Бродин M.C., Лукомский В.П., Семиошко В.И. Поперечная оптическая бистабильность при самодефокусировке встречных пучков. // Квантовая электроника. 1987. Т.14. N4. С.736-742.

25. Hennenberg F., Rossman Н. Resonatorless Optical Bistability Based on Increasing Nonlinear Absorption. // Phys. Stat. Sol. B. 1984. V.121. N3. P.685-693.

26. Hennenberg F. Optical Bistability at the Absorption Edge of Semiconductors. // Phys. Stat. Sol. B. 1986. V.137. N2. P.371-432.

27. Taghizsdeh M.R., Janossy I., Smith S.D. Cavityless Optical Bistability in bulk ZnSe due to increasing absorption and self-focusing. //Appl. Phys. Lett. 1985. V.46. N4. P.331-333.

28. Smith S.D. Optical bistability, photonic logic, and optical computation. // Applied Optics. 1986. V.25.N10. P.1550-1564.

29. Tanida J., Jchioka Y. OPALS: optical parallel array logic system. // Applied Optics. 1986. V.25.N10. P.1565-1570.

30. Lohmann A.W. Polarization and optical logic. // Applied Optics. 1986. V.25. N10. P. 15941597.

31. White I.H., Carrol J.E. Optical Bystability in twin-stripe lasers. // Proc. IEE. 1984. V.131. N5. P.309-321.

32. Гасников А.И., Карамзин Ю.Н., Трофимов В.А. Об абсорбционной оптической бистабильности в условиях светоиндуцированного электрического поля полупроводника. // Письма в ЖТФ. 1992. Т. 18. N6. С.76-80.

33. Бондаренко О.С., Трофимов В.А. Автоосцилляции домена высокого поглощения в оптически бистабильной системе на основе полупроводников. // Письма в ЖТФ. 1996. T.22.N19. С.6-9.

34. Гасников А.И., Карамзин Ю.Н., Поляков С.В., Трофимов В.А. Численное моделирование некоторых задач оптической бистабильности в полупроводниках. // Изв. АН СССР. Сер. Физическая. 1992. Т.56. N8. С. 153-159.

35. Карамзин Ю.Н., Поляков С.В., Трофимов В.А. О нелинейных колебаниях интенсивности светового импульса, прошедшего слой полупроводника. // Письма в ЖТФ. 1992. Т. 18. N9. С.6-10.

36. Карамзин Ю.Н., Поляков С.В., Трофимов В.А. Оптическая бистабильность на основе температурной зависимости времени релаксации фотогенерированных частиц. // Письма в ЖТФ. 1992. Т.18. N.24. С.38-43.

37. Karamzin Yu.N., Poljakov S.V., Trofimov V.A., Zakharova I.G. Numerical simulation of some optical bistability problems in semiconductor system. // Proceeding SPIE. 1992. V. 1840. P. 113-129.

38. Бондаренко O.C., Поляков C.B., Трофимов B.A. Температурные концентрационные волны при воздействии светового импульса на полупроводник в условиях его бистабильного отклика. // Письма в ЖТФ. 1992. Т. 18. N16. С.24-28.

39. Bondarenko O.S., Trofimov V.A. et. al. Spatial and temporal instabilities of light fields in optically bistable resonatorless elements. // BRAS. Physics/ Suppl. Physics of Vibrations. 1994. V.58. N1. P.37-48.

40. Бондаренко O.C., Трофимов B.A. Аддитивное увеличение пространственной частоты лазероиндуцированных волн в оптически бистабильных безрезонаторных системах. // ДАН. 1998. Т.360. N6. С.740-744.

41. Скрипов Д.К., Трофимов В.А. Гистерезисная зависимость некоторых спектральных компонент фемтосекундного импульса при его прохождении нелинейного слоя. // ЖТФ. 2003. Т.73. N3. С.69-74.

42. Скрипов Д.К., Трофимов В.А. Гистерезисная зависимость некоторых спектральных компонент фемтосекундного импульса при его распространении в нелинейной среде. // ЖТФ. 2004. Т.74. N2. С.218-223.

43. Лысак Т.М., Трофимов В.А. Бистабильность и единственность решений задачи генерации второй гармоники фемтосекундными импульсами. // ЖВМ и МФ. 2001. Т.41. N8. С.1275-1278.

44. Лысак Т.М., Трофимов В.А. Об аномальном условии реализации ОБ на основе температурной зависимости коэффициента полупроводника. // ЖТФ. 2000. Т.70. N9. С. 132-135.

45. Лысак Т.М., Трофимов В.А. Бистабильный режим ГВГ фемтосекундных импульсов. // ЖТФ. 2001. T.71.N11. С.53-58.

46. Никитенко К. Ю., Трофимов В. А. ОБ на встречных неколлинеарных распространяющихся пучках. // Оптика и спектроскопия. 1998. Т.84. N6. С.976-978.

47. Трофимов В. А. ОБ на основе температурной зависимости времени излучательной рекомбинации новый класс ОБ элементов. // Оптика и спектроскопия. 2002. Т.92. N6. С.979-982.

48. Алиев Г.Н., Голубев В.Г., Дукин А.А. и др. Структурные, фотонно-кристаллические и люминесцентные свойства композита опал-эрбий. // ФТТ. 2002. Т.44. N12. С.2125-2132.

49. Lidorikis Е., Soukoulis С.М. Pulse-driven switching in one-dimensional nonlinear photonic band gap materials: a numerical study. // Phys. Rev. E. 2000. V.61. P.5825-5829.

50. Yanik M.F., Fan S., Soljacic M., Joannopoulos J. D. All-optical transistor action with bistable switching in a photonic crystal cross-waveguide geometry. // Optics Letters. 2003. V.28. N24. P.2506-2508.

51. Markowicz P.P., Tiryaki H., Pudavar H. et al. Dramatic enhancement of third-harmonic generation in three-dimensional photonic crystals. // Phys. Rev. Lett. 2004. V.92. P.083903.

52. Мосс Т., Баррел Г., Эллис Б. Полупроводниковая оптоэлектроника. / Пер. с англ. М.: Мир. 1976. 431с.

53. Смит Р. Полупроводники. / Пер. с англ. М.: Мир. 1982. 560с.

54. Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. М.: Наука. 1990. 685с.

55. Герчиков Л.Г., Соловьев А.В. Внутризонное поглощение света в полупроводниках при рассеянии электронов проводимости на короткодействующих потенциалах. // ФТП. 1988. Т.22. Вып.З. С.1710-1711.

56. Васецкий В.М. и др. Нелинейное поглощение ИК излучения в дырочном германии при низких температурах.//ФТП. 1988. Т. 22. Вып.9. С. 1610-1613.

57. Kovalev V.I. Suvorov M.V., Trofimov V.A. Nonlinear absorption of counterpropagating waves in narrowgap semiconductors. // Infrared. Phys. 1991. V.31. N4. P.343-349.

58. Банная В.Ф., Веселова Л.И., Гершезон Е.М. Особенности температурной зависимости холловской подвижности в легированных полупроводниках. // ФТП. 1989. Т.23. N2. С.338-345.

59. Делоне Н.Б., Крайнов В.П. Нелинейная ионизация атомов лазерным излучением. М.: Физматлит. 2001. 310с.

60. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука. 1983. 616с.

61. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука. 1989. 429с.

62. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука. 1978.592с.

63. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.: Наука. 1985. 335с.

64. Голант Е.И. О сопряженных семействах разностных схем для уравнений параболического типа с младшими членами. // ЖВМ и МФ. 1978. Т.18. N5. С.1162-1169.

65. Кареткина Н.Б. Безусловно устойчивая разностная схема для параболических уравнений, содержащих первые производные. //ЖВМ и МФ. 1980. Т.20. N1. С.236-240.

66. Карамзин Ю.Н., Трофимов В.А., Черток А. Э. Об одном алгоритме численного решения уравнений, описывающих процессы в фотоприемниках. // Математическое моделирование. 1991. T.3.N10. С.95-103.

67. Карамзин Ю.Н., Поляков С.В., Трофимов В.А. Разностные схемы для задач абсорбционной бистабильности в полупроводниках // Дифференциальные уравнения. 1991.T.27.N.27. С.1185-1196.

68. Karamzin Yu.N., Zakharova I.G. An additive difference method for parabolic equations. // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1995. V.35. N11. P. 1351 1358.

69. Karamzin Yu.N., Zakharova I.G. New additive difference method for solving semiconductor problems. // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 1996. VI1. N6. P.477-486.

70. Варенцова C.A., Пономарева E. В., Трофимов В.А. О расчете собственных значений и собственных функций одномерного уравнения Шредингера на адаптивных сетках. // Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2000. N3. С.23-28.

71. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука. 1969.424с.

72. Карташев А.П., Рождественский Б. JI. Обыкновенные дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1986. 272с.

73. Trofimov V.A., Loginova М.М. Formation of switching waves in optical bistability scheme based on dependence of absorption coefficient of semiconductor on electric field. // Book of Abstract. LIBS'2000. Tierrenia, Italy. 2000. P.59.

74. Варенцова C.A., Логинова М.М, Трофимов В.А. Математическое моделирование оптической бистабильности на основе светоиндуцированного электрического поля. // Вестник МГУ. Сер.15. Вычислительная математика и кибернетика. 2003. N1. С.20-27.

75. Trofimov V.A., Loginova M.M. Comparison of some difference schemes for problem of femtosecond pulse interaction with semiconductor. // Abstract of the International Conference MMA'03. Trokai, Lithuania. 2003. P.77.

76. Логинова M.M, Трофимов B.A. Сравнение некоторых разностных схем для задачи воздействия фемтосекундного импульса на полупроводник. //Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2004. N1. С. 10-16.

77. Логинова М.М, Трофимов В.А. О возможности осцилляций поперечного размера домена высокой концентрации свободных электронов при воздействии короткого светового импульса на полупроводник. // ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.11. С. 123-126.

78. Trofimov V.A., Loginova M.M. Computer modelling of field optical bistability. // Proceedings of the International Conference CMMSE-2004. Uppsala, Sweden. June, 2004. P.266-273.

79. Trofimov V.A., Loginova M. M. About the possibility of field optical bistability. SFM'04. Internet session. Saratov. 2004. // http://optics.sgu.ru/SFM/2004/internet/

80. Логинова M.M, Трофимов B.A. Осцилляции концентрации свободных электронов при воздействии фемтосекундного светового импульса на полупроводник. // Оптика и спектроскопия. 2005. Т.98. N6. С.1001-1007.

81. Trofimov V.A., Loginova M.M. About the possibility of field optical bistability. // "Laser Physics and Photonics, Spectroscopy and Molecular Modeling V" / Ed. Debrov V.L., Melnikov L.A., Ryabukho V.P. Proceedings of SPIE. 2005. V.5773.