автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделированиенелинейной волновой динамики оптических систем

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

УДК 519.6:535

'РГК од

ВОЛКОВ Василий Михайлович /•. У*^

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕИНОИ ВОЛНОВОЙ ДИНАМИКИ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

05.13.18 — теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

А аторафс.ратп диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Минск 2000

Работа выполнена в Институте математики HAH Беларуси.

НА 5 'ЧНЫЕ КОНС} ЛЬ ТАНТЫ:

доктор физико-математических наук профессор

Абрашин Вячеслав Николаевич, доктор физико-математических наук профессор Афанасьев Анатолий Александрович.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: член-корреспондент РАН

доктор физико-математических наук профессор

Курдюмов Сергей Павлович, доктор физико-математических наук профессор

Бобков Владимир Васильевич, член-корреспондент HAH Беларуси доктор физико-математических наук профессор Сердюков Анатолий Николаевич.

ОППОНИРУЮЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

Институт математического моделирования РАН.

Защита состоится 27 июня 2000 г. в Ц.00 часов на заседании совета по защите диссертаций Д02.01.15 при Белорусском государственном университете по адресу: 220050. Минск, пр. Ф.Скорины д. 4. ауд. 206. телефон ученого секретаря 226-55-41.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан мая: 2000 г.

Вги.Ла 1(}03

И.о учёного секретаря совета

по защите диссертаций

доктор физико-математических наук

М. М. Ковалев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Лазерное излучение, благодаря высокой когерентности и способности к локализации большой энергии электромагнитных полей в пространственно-временных масштабах порядка длины волны, открывает уникальные возможности для высоко интенсивного и столь же избирательного воздействия на материальные объекты различной физической природы (от сплошных сред до отдельных молекул и атомов). Многие из указанных возможностей успешно реализуются в современных лазерных технологиях обработки и диагностики материалов, лазерных методах разделения изотопов, в медицине и других областях науки и техники. Становление и развитие новых перспективных направлений лазерных приложений, например, в области информационных технологий, физике наноструктур и др., происходит в настоящее время, во многом определяя приоритеты фундаментальных исследований в квантовой электронике, нелинейной оптике и современной физике в целом.

Отклик сред на воздействие лазерных полей в большинстве практически значимых случаев нелинеен. В силу этого основные оптические процессы (распространения, отражения, преломления и поглощения лазерного излучения) приобретают существенную зависимость от интенсивности, характеризуются нарушением принципа суперпозиции полей и появлением новых, не свойственных линейной оптике, эффектов. Для поведения нелинейных оптических систем даже п простейших случаях "излучение — среда" характерно разнообразие режимов, число и сложность которых может невообразимо возрастать с появлением в системе нового элемента — обратной связи. Естественно, что контроль и практическое использование всего многообразия проявлений нелинейной динамики оптических систем немыслимы без всестороннего теоретического изучения. Успехи в данной области, кроме того, что позволяют решать многие актуальные проблемы лазерной физики и ее многочисленных приложений, неоценимы также с точки зрения развития общих представлений о природе нелинейных явлений.

Для исследования проблем нелинейной динамики традиционно используется аппарат дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными), которые в большинстве случаев в силу нелинейности являются весьма сложными объектами для строгого анализа. Качественная теория, теории устойчивости, бифуркаций и катастроф, несмотря на успешное применение в решении многих вопросов точечной динамики нелинейных систем малой размерности, не обеспечивают необходимой полноты информации о поведении моделируемого объекта, имеющего континуальную природу. В этом случае незаменимым и порой единственным средством исследования является вычислительный эксперимент. Напри-

мер, такие фундаментальные понятия нелинейной динамики как солитон, странный аттрактор, диффузионный хаое и другие вошли в обиход современной науки во многом благодаря вычислительному эксперименту. Специфика и неординарность новых задач, возникающих при теоретическом изучении динамики оптических систем, неуклонно требуют разработки новых подходов и совершенствования уже известных методик для обеспечения эффективности численного моделирования и получения достоверной информации о моделируемых объектах.

Отмечая достигнутый к настоящему времени достаточно высокий уровень разработки проблем численного моделирования нелинейных оптических явлений, следует обратить внимание на ряд нерешенных вопросов, касающихся возможностей численных методов в исследовании длительной динамики оптических систем, в дифференцированной оценке влияния слабых возмущений и погрешности численных методов на качественную картину динамики и на асимптотические состояния моделируемых систем, в анализе стационарных краевых задач при условии неединственности решения и др., определивших направления основных исследований и содержание диссертации.

Таким образом, рассмотренные в диссертационной работе проблемы численпого моделирования динамики нелинейных оптических систем представляются актуальными как с точки зрения развития и совершенствования методов численного анализа задач нелинейной волновой динамики, так и в плане теоретических и прикладных аспектов современной квантовой электроники и нелинейной оптики.

Сбязь работы с крупными научными программами, темами.

Работа выполнена в рамках программы: "Методы и алгоритмы вычислительной математики: разработка, анализ и отображение на архитектуру вычислительных систем", тема Алгоритм-09 — "Разработка методов численного моделирования нелинейной волновой динамики оптических систем" (1996-2000 гг. номер гос. регистрации №19974682); а также темы Квант 19 — "Пространственно-временная динамика световых пучков в нелинейных средах" (1996-2000 гг. номер гос. регистрации N"19961653). Ряд исследований выполнен при финансовой поддержке Фонда фундаментальных исследований Республики Беларусь (проекты Ф17-205, Ф96-032).

Цель и задачи исследования. Цель исследований — разработка эффективных методов численного анализа проблем нелинейной волновой динамики пространственно-распределенных оптических систем. Для достижения цели потребовалось решение следующих задач:

• развить концепцию согласованности дискретных (разностных) моделей нелинейной динамики оптических систем с их непрерывными (диф-

фсренциальными) аналогами;

• разработать новые итерационные методы реализации неявных разностных схем для нелинейных уравнений шредингеровского типа, а также для нелинейных стационарных краевых задач встречного взаимодействия волн;

• провести численные исследования ряда новых актуальных задач современной нелинейной оптики и лазерной физики, подтверждающие эффективность предложенных методик.

Объект исследования. Дифференциальные и дискретные модели волновой динамики нелинейных оптических систем.

Методы исследования. Исследование динамики рассмотренных в диссертации нелинейных оптических систем проводилось средствами численного моделирования с использованием разностных (преимущественно оригинальных) методов. Методологическую основу построения и исследования численных методов составляет аппарат теории разностных схем и дифференциальных уравнений математической физики. Для интерпретации результатов численного моделирования использованы методы теории устойчивости, теории бифуркаций, теории солитонов и нелинейных волновых уравнений, теории возмущений.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Результаты работы можно условно разделить на две группы. Первую группу (глава 2) составляют результаты развития методов численного моделирования нелинейной динамики оптических систем. В плане дальнейшего развития концепции консервативности численных алгоритмов для решения уравнений шредингеровского типа построены схемы с улучшенными дисперсионными свойствами, обладающие двумя дискретными аналогами интегральных инвариантов задачи, а также предложены консервативные схемы для некоторых важных обобщепий шредингеровских уравнений, содержащих квазилинейные члены. Впервые введено понятие асимптотической согласованности дискретных аппроксимаций дисперсионных волновых уравнений как требование адекватной передачи закона дисперсии. Получены условия асимптотической согласованности симметричных разностных схем для уравнений шредингеровского типа, продемонстрированы некоторые вычислительные эффекты, наблюдаемые при нарушении условий асимптотической согласованности.

Впервые для нелинейных многомерных уравнений шредингеровского типа предложены и обоснованы итерационные методы реализации неявных разностных схем, основанные на многокомпонентном диагональном расщеплении пространственных операторов задачи. Данный подход

обеспечивает экономичность алгоритма, органичную его адаптивность к пространственно-временным свойствам решения, практически неограниченные возможности распараллеливания и максимальную наследуемость анпроксимационных и консервативных свойств симметричных разностных схем. На основе многокомпонентного подхода предложены итерационные методы решения стационарных задач встречного взаимодействия оптических волн в нелинейных средах с учетом поперечных эффектов. В отличие от известных методик предложенный метод не требует специальной регуляризации для достижения консервативности относительно основных законов сохранения стационарных уравнений и позволяет проводить эффективный анализ задач в условиях неединственности решения.

Вторую группу (главы 3 — 5) составляют результаты численного моделирования при решении конкретных задач динамики оптических волн в нелинейных средах. Численно обнаружен эффект спонтанного нарушения продольной симметрии при взаимодействии встречных гауссовых пучков в нелинейных фокусирующих средах, приводящий к бистабильности режимов встречной самофокусировки. В отличие от известных механизмов бистабильности выявленный эффект не связан с использованием дополнительных элементов для обеспечения обратной связи.

Численно исследована пространственно-временпая динамика оптических волн в нелинейных средах с периодической модуляцией диэлектрической проницаемости, создающей распределенную обратную связь (РОС) встречных волн. Показана фазовая чувствительность отклика нелинейных РОС-структур, позволяющая управлять выходными характеристиками оптических полей, в том числе и переключениями между ветвями бистабильности пз'тем поворота фазы слабого встречного сигнала. Исследованы закономерности пространственной неустойчивости поперечной структуры световых волн в нелинейных РОС-структурах и роль этой неустойчивости в мультистабильности стационарных состояний оптических полей.

Впервые проведено численное моделирование процессов отражения нормально падающей интенсивной световой волны от плотной резонансной среды без использования приближения .медленных амплитуд. Изучен механизм гистерезисных явлений и бистабильности коэффициента отражения, обусловленных свойством внутренней оптической бистабильности резонансных сред вследствие диполь-дипольного взаимодействия. Данные исследования существенно развивают представления о явлениях бистабильно-го отражения излучения от нелинейных сред, которые ранее были известны лишь для случая скользящих углов падения, когда основную роль играют эффекты полного отражения.

На основе численного моделирования изучены возможности компрессии импульсов генерации лазеров на красителях с динамической и стати-

о

ческой РОС на амплитудной и фазовой решетке соотвественно в режимах бегущей волны накачки. Показано, что в отличие от стандартной схемы неподвижной накачки режим бегущей волны характеризуется практически однонаправленной генерацией, причем длительность импульса генерации сокращается в 3-5 раз при одновременном увеличении пиковой интенсивности.

Исследованы закономерности формирования вихревых структур световых полей в широкоапертурных лазерах. Описано явление вихревого резонанса и изучена его роль в формировании вихревых структур световых полей. Впервые показана возможность возбуждения при условии вихревого резонанса устойчивых одновихревых оптических структур с бесселевым поперечным профилем поля и топологическим зарядом больше единицы. Показана высокая степень безаберрационности (допускающая автомодельное описание) режимов автоволноводного распространения оптических пучков с вихревой поперечной структурой поля (спиральных оптических пучков) в фокусирующих средах с насыщающейся нелинейностью. Впервые выявлена поперечная неустойчивость спиральных оптических пучков в средах с нелинейностью керровского типа и возможность стабильного распространения таких пучков в средах с тепловой нелинейности.

Исследованы процессы квазисолитонного распространения оптических импульсов в рамках обобщенных возмещенных (неинтегрируемых) моделей. Изучены возможности взаимокомпенсации искажений солитонов (темных и светлых), обусловленных инерционностью нелипейности в композитных средах, обладающих одновременно быстрой фокусирующей и медленной дефокусирующей нелинейностями. Показано существование квази-солитонных аттракторов с низкой размерностью фазового пространства, определяющих регулярные режимы распространения световых импульсов в двулучепреломляющих волокнах. Исследована динамика солитонов све-тоипдуцировашюй прозрачности в рамках обобщенного уравнения синус-Гордопа, учитывающего неоднородное уширение контура линии поглощения. Продемонстрированы особенности динамики солитонов светоиндуци-рованной прозрачности, связанные с эффектами уширения контура линии поглощения, в том числе возможность моделирования в рамках указанпой модели явлений фотонного эха.

Практическая значимость полученных результатов. В диссертации предложен ряд новых эффективных численных алгоритмов, использование которых расширяет возможности методов численного моделирования для решения задач нелинейной динамики оптических систем. Результаты исследования встречного взаимодействия оптических волн представляют интерес с точки зрения проектирования элементов систем оптической обработки информации. Исследования динамики оптических солито-

ь

нов позволяют дать конкретные рекомендации по созданию новых материалов для нелинейных оптоволоконных линий связи с повышенной пропускной способностью передачи информации за счет сокращения длительности импульсов до субпикосекундного диапазона длительности. Исследования внутренней оптической бнстабильности цредставляют немалый интерес для спектроскопии плотных резонансных сред. Результаты изучения динамики вихревых структур световых полей полезны с точки зрения получения и практического использования нового типа лазерных пучков с устойчивым кольцевым поперечным профилем.

Личный вклад соискателя. Основные результаты диссертации, касающиеся разработки численных методов и численного моделирования конкретных задач, получены автором лично.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Для нелинейных уравнений шредингеровского типа как одной из базовых моделей нелинейной динамики оптических систем исследованы диссипативпые, дисперсионные и асимптотические свойства разностных схем и их роль в структуре погрешности. Для широкого круга задач указанного типа предложены консервативные численные алгоритмы, в том числе в классе несимметричных разностных схем, обладающих улучшенными дисперсионными свойствами. Получены условия асимптотической согласованности разностных схем относительно адекватности дискретных аналогов дисперсионных соотношений закону дисперсии соответствующей дифференциальной задачи.

2. Разработаны многокомпонентные итерационные методы реализации неявных разностных схем для многомерных уравнений шредингеровского типа и стационарных краевых задач встречного взаимодействия

. оптических волн. В первом случае предложенные методы позволяют обеспечить экономичность многомерных алгоритмов при сохранении полной аппроксимации и консервативности. Во втором случае предложенные итерационные методы кроме того, что являются консервативными, демонстрируют высокую эффективность при анализе муль-тистабильных состояний.

3. Численное моделирование на основе разработанных методов позволило выявить и изучить ряд новых эффектов и важных закономерностей в нелинейной динамике оптических систем:

• бистабилыюсть встречного стационарного взаимодействия оптических волн в средах с кубической нелинейностью при отсутствии зеркала обратной связи;

• эффекты пространственно-временной неустойчивости, фазовой чувствительности, мультистабильпости и спонтанного нарушения симметрии в нелинейных системах с распределенной обратной связью;

• гистерезисные явления и бистабильность при стационарном отражении от плотных резонансных сред нормально падающих интенсивных световых волн;

• эффекты компрессии импульсов генерации РОС-лазеров в режиме бегущей волны накачки;

• закономерности формирования и структура вихревых мод лазерных световых полей;

• автомодельные режимы распространения спиральных световых пучков и их з'стойчивость в средах с различными механизмами нелинейности;

• возможность взаимокомпенсации влияния возмущающих факторов релаксационного происхождения на динамику субпикосскупдных оптических солитонов в нелинейных волокнах.

Аиробация результатов диссертации. Представленные в диссертации результаты докладывались на Республиканской конференции "Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение" (Минск 1989 г.); Второй Европейской конференции по квантовой электронике "Е(^ЕС-89" (Дрезден, 1989 г.); Второй всесоюзной конференции "Обращение волнового фронта лазерного излучения в нелинейных средах'"' (Минск — Раубичи, 1990 г.); Научной республиканской конференции "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент" (Гродно, 1990 г.); Восемнадцатой Международной конференции по квантовой электропике (Вена, 1991 г.); Восьмом Международном семинаре по сверхбыстрым процессам в спектроскопии (Вильнюс, 1993 г.); Республиканской конференции "Проблемы математики и информатики" (Гомель, 1994 г.); Четвертом и Пятом международных семинарах "Нелинейные явления в сложных системах" (Минск 1995, 1996 гг.); Седьмой Белорусской математической конференции (Мипск, 1996 г.); Третьей конференции по лазерной физике и спектроскопии (Гродно, 1997 г.); Международной конференции "Квантовая электроника - 98" (Минск 1998 г.); Международной конференции "Лазср-98" (Аризона, 1998 г.); Второй международной конференции "Конечноразностные методы: теория и приложение" (Минск, 1998 г.); Международной математической конференции "Еругинскис чтения VI" (Гомель, 1999 г.), на семинарах отдела численных методов математической физики ИМ НАН Беларуси, Института физики ПАН Беларуси.

Опубликовашюсть результатов. Результаты диссертации опубликованы в 54 работах. Из них 30 статей в научных журналах, 15 статей в научных сборниках и трудах научных конференций, 4 препринта, 5 тезисов докладов конференций. Общее количество страниц публикаций по результатам диссертации — 409.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, пяти глав, заключения и списка использованных источников из 210 наименований и содержит 184 страниц основного текста, включая 50 рисунков и 3 таблицы. Общий объем работы — 206 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава содержит краткие сведения о математических моделях нелинейной волновой динамики оптических систем, основных принципах их построения и методах численного анализа. В контексте основных проблем численного решения задач математической физики анализируется современное состояние развития и наиболее перспективные подходы построения эффективных алгоритмов для задач нелинейной динамики оптических систем. Приводится краткий обзор работ, посвященых рассматриваемой тематике. В качестве основной концепции повышения эффективности методов численного моделирования динамики световых полей в нелинейных средах выдвигается требование наследуемости дискретными аппроксимациями основных, наиболее значимых свойств дифференциальной задачи. Наряду со свойствами консервативности анализируется целесообразность согласованности дискретных моделей с их дифференциальными прообразами относительно дисперсионных и асимптотических свойств.

Второя глава посвящена разработке численных методов для нелинейных уравнений шредингеровского типа как одной из базовых моделей нелинейной динамики оптических систем. На примере простейших задач для одномерного уравнения Шредингера с кубической нелинейностью (НУ1П)

+ 0 + = хе{-ь,ь) (1)

проанализированы дисперсионные и диссипативные свойства разностных аппроксимаций, их влияние на погрешность и асимптотическое поведение приближенного решения. Анализ этих свойств основывается на спектральном подходе и рассмотрении дискретных аналогов дисперсионного соотношения линеаризованной задачи: и = и (к), где и, к — частота и волновое число соответственно. В слз^чае дискретной (разностной) задачи дисперсионное соотношение — ик(к) приобретает зависимость от шагов сетки как от параметров. Подробно из.учен случай симметричных разностных схем, для которых показано, что при любых шагах сетки имеет

место групповое и фазовое запаздывание приближенного решения по отношению к решенпю соответствующей дифференциальной задачи. Этот вычислительный эффект является главным источником систематического накопления погрешности разностного решепия. Кроме того, при соотношении шагов сетки > Д2, где Нг и /г ■ шаги сетки по переменным х и 2 соответственно, в высокочастотном крыле Фурье-спектра разностного решения наблюдается нарушение качественных характеристик закона дисперсии, определяемых знаком производной д2ш(к)/дк2. Качественные изменения закона дисперсии влияют на характер асимптотического поведения решения. Для оценки адекватности дисперсионных свойств разностных аппроксимаций волновых уравнений определяется требование асимптотической согласованности дискретной модели в спектральном диапазоне П{К), < К:

5щп{д2ш''(к)/дк2} = 8щп{д2ф)/дк2}. (2)

Для консервативных симметричных разностных схем доказана

Теорема 1. Симметричная разностная схема для линейного уравнения Шредингера асимптотически согласована в спектральном диапазоне П(К), К = Ь/к при выполнении условия т < с/г5/2, где с — некоторая положительная постоянная, не зависящая от шагов сетки Л, т.

На примере моделирования динамики связанного двухсолитонного решения НУШ показано, что нарушение условия (2) приводит к качественным искажениям асимптотического поведения приближенного решения.

Для решения НУШ предложены разностные схемы с улучшенными дисперсионными свойствами

iE° + E-xx+2\E°\2Ea = (), E' = E + aEsx, (3)

где Ег = (E(xi,zj+l) - E(xi,Zj))/hz, Ё = (E(xi,zj+1) + Е(х{,г,))/2, E-Sx = (E(xi-i,zj)-2E{xi+],Zj) + E(xl,z:j))/h2, (xifZj) Ешххиг, 2 = 1,iV, a = ft2/12. Показано, что разностная схема (3) консервативна относительно двух диеретных аналогов основных интегральных законов сохранения дифференциальной задачи:

I'lh = ЦБ + аЕхх||2 = const, I'3h = ||£У |2 - o\\EXTf - \\Е°\\4 - const.

Отметим, что разностная схема (3) в линейном случае совпадает с известной схемой повышенного порядка точности и демонстрирует возможность построения консервативных алгоритмов в классе несимметричных разностных схем.

Для обобщенных уравнений шредингеровского типа

.да д2и .. . д \ 0<Э|«!2 , л

га~г + д^ + 2|u| U + ^ = ^ 1 }

I и

предложены консервативные симметричные разностные схемы

ш2 = Ьд и + Ь^(й,и*)и, где и - и(гк,г), Ь^и = -к~2(ик_1-2ик + иш), и2 = Ь.-1{ик(г + Н2)-ик{2)), Ькп{и,ч*) = —2\ик\2 - (2Ь)~1(га - 0)[|и*+,|2 - |и*-1|2]-

-{Щ-Ча[и*к+1 + и|_1][и4+1 - и*-1].

Показано, что при численном интегрировании уравнения (4) основные трудности (которые могут быть ассоциированы с вычислительной неустойчивостью алгоритмов) связаны с влиянием фактора релаксации нелинейности, которму отвечает правая часть уравнения (1). Для реализации консервативных разностных схем

тг — Щг + Щу + Ф(|и|2)и (5)

в случае многомерных нелинейных уравнений шредингеровского типа построены экономичные многокомпонентные итерационные методы декомпозиционного типа:

г Ап шп +Ап+2 Яп+2 +аАп[ви]> - и„] + Ф(| й |2) (6)

где и„ = ип(х1,У]) — компоненты решения, п = 1,4, Ап — /?„+! +Дп-1, Яп±1 ип = Л_2(гг„± 1 - и„), Д4±т = Я±т, и = (щ 4- и2 + Щ + щ)/4. Порядок соответствия компонент узлам двумерной ячейки сетки и аддитивного представления двумерного оператора задачи иллюстрирует рис.

Уз+1 Уз

Уз-1

Рис.

Для компонент и„, соотнесенных с одной и той же ячейкой сетки: "1 и2(х{+1,У]), и3(хшщ(Х{,У]+\), уравнения (6) дают

замкнутую систему четырех линейных алгебраических уравнений с хорошо обусловленной симметричной матрицей. Таким образом, вычисление

4 3 1 2 4 3 м А] 1 —Щ— 2

4 3 Аз— 1 2 4 3 1 2

1 J

значений "u1,,, я = 1,4, на каждой итерации, согласно (б), ведется отдельно для каждой из элементарных ячеек сетки, что фактически соответствует полной декомпозиции области, т. е. предельному случаю, когда подобласти разбиения совпадают с элементарной ячейкой сетки.

Теорема 2. Итерационный процесс (6) для линейной задачи ^(|u|2)m = 0,) при а > 1/2 сходится со скоростью геометрической прогрессии к решению симметричной разностной схемы (5) и для погрешно-

■J s+l S+1

сти итерационного метода рп = и— ип выполняется оценка

11-4 "р1 ||(п) < Р ||(n)j

где q = [1 + Л4/(2<^)Г1/2 < 1, \\Л't ||(п) = Е||ЛП ft ||.

Для доказательства сходимости предложенного метода в случае нелинейной задачи достаточно рассмотреть два вложенных итерационных процесса, из которых решение нелинейной задачи осуществляется во внешнем итерационном цикле.

Итерационный метод (6) обладает всеми преимуществами явных алгоритмов, но в отличие от последних имеет безусловную устойчивость и сходится при любых соотношениях пространственных и временных шагов сетки. Независимая для каждой ячейки сетки реализация метода позволяет соответственно в каждой ячейке регулировать число итераций для достижения заданной точности. Это свойство адаптивности оказывается очень важным как при использовании неравномерных пространственных сеток, так и на равномерных сетках в случаях, когда решение имеет некоторые особенности или существенную пространствепную неоднородность. Как и любой явный алгоритм рассмотренный метод обладает широкими возможностями для распараллеливания вычислительного процесса.

Идея многокомпонентного подхода в несколько иной интерпретации использована также для построения итерационных методов решения стационарных краевых задач встречного взаимодействия волн в нелинейных средах:

я р

+ А хЕ± + F(E±, Е^)Е± + G(E±, = 0, (7)

где 2 Е (0, Z) — продольная координата, Д_[_ = д^/дх2 + д2/ду2, х,у — поперечные координаты, Е+, --— комплексные огибающие оптических волн, распространяющихся в положительном и отрицательном направлениях оси z. Краевые условия для входных амплитуд встречных волн заданы на противоположных границах среды

Е+(0,х,у) = Ef(x,y), E-(L, х, у) = Еь(х,у).

(Г)

1Z

Предлагаемый метод основан на свойстве пространственно - временной обратимости волновых уравнений. Использование в качестве парных компонент значений комплексно сопряженных амплитут волн позволяет свести краевую задачу (7) к последовательности задач эволюционного типа:

s+l 1±! if1 __б4-1 ii1 _ s+l ¿±*

iE+,+ Е+хх + Е+уу +F(E±) Е+ +G(E±) Е.= О,

s+l 1+1 i±l s+l f+1 __ s+l £+1 /п\

iEL2+ Ж_-х + Elyy +T(E;) El +G*(E;) El= 0, (8)

5-rl S+1 S

E+(x,y,Q) = Ef(x,y), E*_{x,y, 0) = El(x,y,0),

s+2 «±2 i+2 s+2 i+2 s+2 i+2

-iE*+z+ E*+-xx + E*+Vy +F*(E*±) F+ +ЩЕ1) El= 0,

s+2 i+2 s+2 _ s+2 s+2 __ s+2 s+2

E^x + E-yy +F(ET) +G(E^) £+= 0, ,дч

s+2 s+l ^ 7

s+2 s+l

£_(x, у, Z) = y, Z))', + (1 - a)Ei(x, у),

где 0 < а < 1 — весовой множитель, имеющий смысл итерационного па-

о

раметра, s — 0,1,2,..., Е_(х,у,0) = 0. Данный итерационный процесс состоит в последовательном решении эволюционных уравнений в прямом (8) и обратном (9) направлениях распространения волн с использованием нелинейных симметричных разностных схем. Применение такой итерационной процедуры позволяет обеспечить консервативность алгоритма в том же объеме, как это возможно для задач попутного распространения волн. Численный эксперимент для ряда рассмотренных задач вида (7), (7') (встречной самофокусировки, распространения волн в периодических нелинейных средах) показывает, что итерационный метод (8), (9) достаточно эффективен даже в случае неединственности решения. Таким образом, предложенный итерационный метод представляет интерес прежде всего с точки зрения его использования для анализа мультистабильных состояний систем взаимодействующих встречных волн.

В третьей главе рассмотрены задачи встречного взаимодействия оптических волн в нелинейных средах. Исследован процесс встречной стационарной самофокусировки гауссовых пучков, распространяющихся в прямом (Е+) и обратном (Е-) направлении оси z в среде с кубической насыщающейся нелинейностью. В параксиальном приближении данная задача сводится к следующей системе обезразмеренных уравнений

^ - Л - + " + <10)

с граничными условиями

S+(z = 0,r) = S_(z = £,r) = 2?°(r), Я°(г) = Л±ехр{-г2/г02}. (11)

Численное решепие задачи (10), (11) позволило исследовать различные режимы самофокусировки одинаковых (А+ — Л_) встречных пучков. При мощности встречных пучков близкой к критической наблюдается симметричный однофокусный режим самофокусировки, который характеризуется слабым проявлением аберрационных эффектов и с достаточно хорошей точностью может быть описан приближенными автомодельными решениями. Положения фокусов встречных волн асимптотически стремятся к середине среды (—> /у/2 ± 0) с умелынением параметра насыщения нелинейности Л. С увеличением мощности симметричный режим теряет устойчивость, что приводит к спонтанному нарушению продольной симметрии (смещению положения фокусов от середины отрезка [0, Ь] к одной из границ) и, как следствие, к бистабильности встречной самофокусировки. Для несимметричного бистабильпого режима характерна существенная модуляция поперечного профиля интенсивности выходных полей. Дальнейшее увеличение мощности входных пучков приводит к реализации симметричных многофокусных режимов встречной самофокусировки.

Исследована динамика оптических волн в нелинейной среде с периодической модуляцией диэлектрической проницаемости

п = щ + П1005(52) + П2\Е\2,

создающей нелинейную распределенную обратную связь (РОС). Динамика оптического излучения в нелинейных РОС структурах описывается системой уравнений:

± - = + г'7(|£?±|2 +

Я+(г = 0) = Я°(х,у), £_(г = Ь) = £°(х,у), {дЕ±/дд)\я,уес = 0.

Здесь Дх — д2/дх2 + д2/ду2 —поперечный лапласиан, д/дд —производная по нормали к поперечной границе области С, к — Кп\/2по, 7 = Кп2/щ, К — волновое число, До = д — 2К < — линейная брэгговская расстройка.

Показана чувствительность динамики оптических полей в нелипейных РОС структурах к повороту фазы одной из падающих волн при двухсторонней подсветке. Этот эффект проявляется в смещении пороговых значений интенсивности переключения между ветвями бистабильности и в изменении режимов самопульсапии выходных полей в зависимости от соотношения фаз падающих на среду встречных волн. Показано споптанпое нарушение симметрии в режиме самопульсаций выходных волн при симметричной двухсторонней подсветке. Исследованы эффекты поперечной неустойчивости оптических волн в нелинейных средах с РОС, приводящие к появлению дополнительных ветвей мультистабильности коэффициента отражения такого рода сред.

Далее рассмотран){л;ащи£щарнда>рроцесс отражения нормально падающей интенсивной световой волны от плотной резонансной среды двухуровневых атомов с учетом эффектов локального поля. Поправка на локальное поле приводит к нелинейности уравнений Блоха относительно разности на-селенностей N и поляризации,:/;,-Вследствие этого в стационарном режиме разность населенностей плотной сршия описывается кубическим уравнеием, допускающим существование трехг действительных корней. Неединственность стационарных состояний плотных резонансных сред характеризуется свойством внутренней оптической бистабильности (ВОБ). Задача исследования зависимости 'коэффициента отражепия R от интенсивности в условиях ВОБ отражающей среды сводится к решению уравнения

rt2F

¿рЛ («,,+ ШШШЕ = 0, 0 < f < оо, (12)

с краевыми условиями0'''-0 "Jt,K,,llu'

E(())W2/4r!-i(~V ; £(£->оо) = 0. (13)

Здесь Eo — напряженность поля падающей волны, значение комплексной нелинейной восприимчивости .среды Х+(1^'|2) определяется через корни кубического уравйёнйя'для йнверсшшаселенностей. Численное решение задачи (12), (13) позйолййб-ДеталЬВо^исследовать проявления эффекта ВОБ при сканирований' ийтенсивности-'иадающей волны. Когда интенсивность преломленной волнй 'достйгйё'г порога ВОБ в среде возникает светоинду-цированная граница1 фазового' перехода, разделяющая области с высокой и низкой инверсией'населешюстсй. Толщина возникающего вблизи поверхности среды слоя с высокой-инверсией населенности определяется инкрементом затухания световой,волны.^Возникновение границы фазового перехода сопровождается резким увеличением коэффициента отражения R. Дальнейший рост интенсивности падающей волны приводит к смещению границы фазового перехода внутрь:среды и, как следствие, к осцилляционной зависимости функции:Л(|£о(2)"'ПрИ!уменьшении Ео коэффициент отражения R в области -бистабильности; атомных переменных принимает значения, отличные от соответствующих адиабатическому режиму увеличения Eg, т.е. в определенной области интенсивности внешнего поля функция .RdiJol2) описывает 'замкнутую кривую — петлю гистерезиса.

В заключительной; части главы рассмотрены задачи кинетики генерации лазеров на красителях ,? г режиме бегущей волны накачки с динамической и статическоД POG на амилитудной и фазовой решетке соответственно. Представленщдео результаты piffle,ленного моделирования показывают, что режим 6er}TOeiiii»<>aHi?j,rJi.a¥,agKH)iB; РОС-лазерах на статической фазовой и амплитудной решетках-. }фщс.х. обеспечить многократное сокращение

длительности .импульса геперации с одновременным увеличением его интенсивности. В случае синхронизации скоростей волны накачки и волны генерации в обоих случаях реализуется практически однонаправленная генерация. Механизм сокращения длительности импульса генерации в лазерах со статической фазовой решеткой в принципиальном отношении не отличается от случая динамической решетки, где данный эффект достигается за счет сокращения в режиме бегущей волны длины светоиндуцированной РОС-структуры. Длина статической решетки остается постоянной, по при движении волны накачки попутно с импульсом генерации происходит не одновременное, а последовательное.по длине возбуждение среды, что можно считать аналогичным сокращению эффективной длины РОС-структуры.

В четвертой главе рассмотрена динамика вихревых структур световых полей в лазерах и средах с различными механизмами нелинейности. В рамках системы уравнений Максвелла — Блоха с учетом поперечных эффектов исследованы закономерности формирования и структура вихревых мод лазерного излучения. Задача рассмотрена в наиболее естественной для

структуры вихревых мод цилиндрической системе координат: дЕ = j (1 д гдЕ , 1 a(l | iB )E , F

dt \r dr dr r2 dip2) '

fjN ~P(Q ~ Qo) - + E*F)>

-•=■ dE{r,<p,t)/dr\r=R = 0,

E{r, lp, 0)1 = E0(r, <p), F(r, ip, 0) - F0(r, <p), Q(r, <p, 0) = Q0.

Здесь безразмерные переменные E, F, Q соответственно имеют смысл напряженности электрического поля, поляризации и инверсии населенности среды, действительная постоянная Qo определяется скоростью накачки активной,среды, параметры j, (3 связаны с временами релаксации среды, ¿0, oi — параметр отстройки и амплитудный коэффициент нерезопанспых потерь. ,- ■.•, .;.,

Показано, что поперечный размер активной среды II выступает в качестве критического параметра, с увеличением которого наблюдается последовательность, бифуркаций, характеризующихся изменением ротационной симметрии и суммарного топологического заряда т возбуждаемых пространственных вихревых структур. Топологический заряд вихревой структуры, описываемой комилекснозначной функцией двух переменных Е(г, ip), (г, tp}.E-,D,- определяется циркуляцией фазы по замкнутому односвязному

положительно ориентированному контуру С — границе области D:

Исследованы закономерности формирования одновихревых квазистационарных структур вида

Е = Em(r, <р) exp(-ií}raf), F = Fm{r, v) exp(-¿Qmí), dQ/dt = 0.

Показано существование режимов вихревого резонанса лазерной системы, реализуемых в области параметров, определяемой соотношениями

ií(ra)=/ira[(a + 7)l«or1/2, Пт=7|«о|. .

Установлено, что в условиях вихревого резонанса возможно возбуждение устойчивых одновихревых состояний системы с топологическим зарядом больше единицы, при этом поперечная структура вихревых мод с высокой точностью 0,5%) описывается бесселевыми функциями

Em(r,<p) = CmJm((imr/R)exp{im<p}, т - ±1,±2, ±3,...,

где J,п{^тХ/Щ — функция Бесселя первого рода, цт — первый положительный корень уравнения J'm(r) = 0, Ст — некоторая постоянная. Показано, что в состоянии вихревого резонанса возможно формирование устойчивых бимодальных структур световых полей вида прямоугольной периодической вихревой решетки.

Далее исследованы процессы распространения в нелинейных средах оптических пучков, имеющих в поперечном сечении вихревую структуру поля — спиральных световых пучков:

E(r, z, <р) = Ат(г, г) exp[i{nup + Ф(г))], т = 0, ±1, ±2,..,.

Для сред с кубической насыщающейся и тепловой нелинейностью показано существование автоволноводных режимов распространенния спиральных оптических пучков. Амплитуда поля спиральных оптических пучков в автоволноводных режимах распространения может быть аппроксимирована функцией вида

Am(r, z) = \¡2Ii[2p(z)]AÍ+1 JMlrM exp{p(z)r2}, (14)

где M = |m|, I\ — интеграл мощности, p(z) — периодическая функция, характеризующая радиус пучка. Численный эксперимент показывает высокую степень безаберрационности автоволноводных режимов распространения радиально симметричных спиральных пучков, допускающую описание эволюции их поперечной структуры (14) в автомодельных переменных R = ry/rfz)-

Исследования стабильности поперечного профиля спиральных пучков показывают, что для сред с нелинейностью керровского типа имеет место неустойчивость автоволповодных режимов по отношению к возмущениям по угловой переменной В результате этого в процессе эволюции таких пучков наблюдается разрушепие характерной трубчатой структуры поля и формирование нескольких световых филаментов, расходящихся от оси исходного пучка с незначительным дрейфом по <р. В средах с тепловой фокусирующей нелинейностью в силу нелокальности механизма самовоздействия возможены устойчивые режимы автоволноводного распространения спиральных оптических пучков. Данный вывод подтверждается численным экспериментом, показывающим отсутствие тенденций к возрастанию угловых возмущений поперечного профиля таких пучков.

В пятой главе рассмотрены задачи динамики солитоноподобных оптических импульсов в присутствии возмущающих факторов, учет которых приводит к потере интегрируемости задачи. Подробно исследована динамика субпикосекундных оптических солитонов в нелипейных волокнах с учетом дисперсии и инерционности нелинейности. Цель исследования заключалась в поиске возможностей взаимокомпенсации релаксационных возмущений для снижения их деструктивного влияния на эволюцию солитопных импульсов. Для этого рассмотрена задача о распространении импульсов с длительностью г0 в среде, обладающей быстрой фокусирующей и медленной дефокусирующей нелинейностями. При этом полагалось, что длительность импульса имеет промежуточное значение по отношению к временам релаксации т\ (быстрой) и т^ (медленной) нелинейно-стей: Г1 <С то <С т"2. С учетом разномасштабных по времени релаксации механизмов нелинейности задача сводится к уравнению вида

.ди, д2и . д /, ,п ч ЭЫ2 } , , . д3и

+ + + Н2«)=С1«-^ + е2и / \и\Чт + ге3д^. (15)

— 00

Уравпение (15) с нулевой правой частью относится к классу интегрируемых систем, а слагаемые с коэффициентами г = 1,2,3 отвечают возмущающим факторам, связанным с быстрой и медленной инерционностью нелинейностей и дисперсией третьего порядка соответственно. Численное исследование влияния релаксациопных возмущений на динамику солитонов обобщенного нелинейного уравнения шредингера (т.е. уравненния (15) при €{ = 0) показало, что при определенных соотношениях параметров с\ и совместный вклад связанных с ними возмущений в искажение формы импульса становится существенно меньшим, чем влияние каждого из них в отдельности. Полученные в процессе численных экспериментов соотношения параметров е\ и при которых достигается наибольшая взаимокомпенсация соответствующих возмущений, с хорошей точностью совпадают с вы-

водами приближенного анализа в рамках адиабатического подхода. Важно подчеркнуть, что показанная возможность взаимокомпенсации искажений касается не только обеспечения трансляционной инвариантности профиля возмущенного импульса. Продемонстрированная стабилизация динамики связанного двухсолитонного решения НУШ в условиях взаимокомпенсации релаксационных возмущений показывает, что тем самым достигается сохранение фундаментальных свойств невозмущенной интегрируемой системы, проявляющихся в характере взаимодействия солитонов как части-цеподобных объектов. Аналогичные результаты, показывающие возможность стабилизации динамики субпикосекундпых импульсов в условиях существенного влияния релаксационных возмущений, получены для случая темных солитонов НУШ. Проанализированы также влияния других возмущающих факторов, характерных для динамики оптических солитонов субпикосекундного диапазона длительности (линейной дисперсии третьего порядка и дисперсии нелинейности).

Рассмотрена задача о динамике солитонов в оптических волокнах с учетом двулучепреломления. Исследован один из аспектов влияния оптической анизотропии среды, связанный с неустойчивостью быстрой поляризационной компоненты излучения. Показано, что в условиях неустойчивости быстрой компоненты динамика оптических импульсов в двулучепре-ломляющих волокнах стабилизируется на квазисолитонном аттракторе с преобладающей концентрацией энергии в медленной компоненте.

В заключительном параграфе исследованы возможности использования обобщенного уравнения синус-Гордона для моделирования динамики импульсов светоиндуцированной прозрачности с учетом уширения контура линии резонансного перехода. Показано, что уширение контура поглощения не оказывает существенного влияния на динамику солитонов светоиндуцированной прозрачности и сказывается преимущественно в увеличении скорости распространения импульсов. В рамках обобщенной модели выполняется теорема площадей и возможно корректное описание явлений, связанных непосредственно с уширением контура поглощения, что продемонстрировано на примере задачи возбуждения эхо-сигнала последовательностью 7г/2- и 7г-импульсов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Для симметричных разностных аппроксимаций нелинейных уравнений тредингеровского типа исследованы дисперсионные свойства, их роль в структуре погрешности [17] и асимптотическом поведении приближенного решения [54]. Построены консервативные разностные алгоритмы с улучшенными дисперсионными свойствами [17], а также

консервативные разностные схемы для некоторых важных обобщений нелинейных шредингеровских уравнений, содержащих квазилинейные члены [36, 50]. Показано, что для разностных аппроксимаций дисперсионных уравнений шредингеровского типа при соотношениях шагов сетки Нг > к2 в высокочастотном крыле Фурье—спектра приближенного решения наблюдается нарушение закона дисперсии, приводящее к искажениям асимптотического поведения разностного решения. Получены условия асимптотической согласованности симметричных разпостных схем, выполнение которых необходимо при моделировании длительной динамики волновых пакетов. Особенности шредингеровских приближений нелинейного волнового уравнения, связанные с предположением об ограниченности пространственно-временного спектра моделируемого сигнала, позволяют сделать вывод о том, что в рамках консервативных разностных методов возможен эффективный анализ качественных и количественных закономерностей нелинейной динамики световых полей, причем по ряду показателей разностные схемы существенно превосходят широко используемые в настоящее время спектральные методы с расщеплением по физическим факторам.

2. Разработаны многокомпонентные итерационные методы реализации неявных разностных схем для многомерных уравнений шредингеровского типа и стационарных краевых задач встречного взаимодействия волн [21, 33, 51, 53]. В первом случае предложенные методы, основанные ца диагональном расщеплении пространственных операторов, позволяют обеспечить экономичность многомерных алгоритмов при со-хранениии полной аппроксимации, безусловной устойчивости и консервативности. Кроме того, данный подход по структуре близок к методам явного типа, что упрощает процедуру распараллеливания вычислительного алгоритма и его адаптацию к свойствам решения [24, 27]. Во втором случае предложенные итерационные методы кроме того, что являются консервативными, демонстрируют высокую эффективность при анализе мультистабильных состояний систем взаимодействующих встречных волн.

3. Средствами вычислительного эксперимента исследован ряд задач встречного взаимодействия оптических волн [6, 13, 18, 19, 22, 29]. Выявлена бистабильность режимов встречной стационарной самофокусировки оптических пучков, обусловленная эффектом спонтанного нарушения симметрии как в продольном, так и в поперечном направлениях. Исследованы эффекты пространственно-временной неустойчивости при распространении интенсивного лазерного излучения в нели-

нейных периодических средах [40]. Обнаружена фазовая чувствительность характеристик нелинейных структур с распределенной обратной связью и динамическое нарушение симметрии самопульсаций вы ходных полей при двухсторонней подсветке [39]. Изучены эффекты обогащения спектра мультистабильных состояний световых полей в нелинейных РОС-структурах за порогом поперечной неустойчивости падающей волны [26, 28, 30, 40]. Полученные результаты существенно расширяют представления о природе и механизмах явлений, наблюдаемых в оптических схемах взаимодействующих встречных волн.

4. Изучены гистерезисные явления и бистабильность стационарного отражения нормально падающих интенсивных световых волн от поверхности плотных резонансных сред, обусловленные возникновением у поверхности среды светоиндуцированного слоя с высоким уровнем инверсии населенности атомных уровней [31. 32, 34, 37, 41].

5. Исследована кинетика генерации РОС-лазеров на красителях в режимах бегущей волны накачки, обеспечивающих сокращение длительности генерируемых импульсов в 3-5 раз по сравнению с традиционной схемой неподвижной накачки при сохранении мощностных характеристик выходного излучения [42. 43, 45, 52].

6. Исследованы закономерности формирования и структура вихревых мод лазерных световых полей [25, 49]. Обнаружен и изучен эффект вихревого резонанса, играющий принципальпую роль в формировании устойчивых одновихревых структур с топологическим зарядом больше единицы и возбуждении регулярных бимодальных структур вида квадратных вихревых решеток [23]. Показан автомодельный характер режимов автоволноводного распространения оптических пучков с вихревой поперечной структурой поля в средах с насыщающейся фокусирующей нелинейностью [1, 3, 4, 48, 15]. Бесселева структура поперечных вихревых мод оптических полей (спиральных оптических пучков) характеризуется более высокой безабсррационностью при самовоздействии в нелинейных средах по сравнению с гауссовыми пучками. Выявлена пространственная неустойчивость поперечной структуры спиральных оптических пучков в средах с локальными механизмами фокусирующей нелинейности и показана стабилизирующая роль нелокальности нелинейного отклика диффузионного типа [20, 47].

7. Изучена динамика оптических солитонов в присутствии различных возмущающих факторов, приводящих к потере интегрируемости соответствующих нелинейных волновых уравнений. Показана возможность взаимокомпенсации влияний нелинейных возмущений релакса-

ционного происхождения на динамику светлых и темных шрединге-ровских солитонов в двухкомпонентных средах с быстрой фокусирующей и медленной дефокусирующей нелинейностями [35, 36, 38, 44]. Установлено существование квазисолитонных аттракторов с низкой размерностью фазового пространства для модели динамики импульсов в оптических двулучепреломляющих волокнах [16]. Изучены возможности использования обобщенного уравнения синус-Гордона в моделировании динамики солитонов светоиндуцированной прозрачности с учетом эффектов уширения контура линии поглощения [14].

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

/

1. Kruglov V.I., Volkov V.M., Vlasov R.A., Drits V.V. Auto-waveguide and the collapse of spiral light beams in non-linear media // J. Ph)rs. A: Math. Gen. — 1988. — Vol. 21 — C. 4381- 4395.

2. Волков B.M., Дриц В.В. Консервативные разностные методы решения квазиоптических задач// Becni АН БССР. Сер. ф1з.-мат. навук. -1988. - № 1. - С. 8—15.

3. Круг лов В.И., Власов Р.А., Волков В.М. Двухволновое взаимодействие спиральных световых пучков в нелинейной среде // Изв. АН СССР. Сер. физическая. — 1989. — Т. 53, Nu 6. С. 1182—1188.

4. Круглов В.И., Власов Р.А., Волков В.М., Дриц В.В. Распространение спиральных пучков в средах с тепловой нелинейностью // Весщ АН БССР. Сер. ф1з.-мат. навук. - 1989. - № 6. - С. 105-109.

5. Афанасьев А.А., Волков В.М., Круглов В.И., Самсон Б.А., Яките Р.В. Самовоздействие встречных пучков накачки ОВФ-зеркала на основе четырсхволнового взаимодействия в кубической среде // Обращение волнового фронта лазерного излучения в нелинейных средах: Материалы II Всесоюзной конф., Раубичи, 27—29 окт. 1989 г./ АН БССР, Институт физики. — Минск, 1990. — С. 355—360.

6. Afanas'ev A.A., Volkov V.M., Drits V.V., Samson В.А. Interaction of counter-propagating self-induced transparency solitons. •— 1990. — Vol. 37, - Ne 2. P. 165 -170.

7. Волков B.M., Дриц В.В. Решение одномерных квазиоптических задач с помощью двухслойного консервативного разностного метода // Программное обеспечение ЭВМ: Библиотека прикладных программ БИМ-М. Вып. 21. — Минск, 1990. — С. 56—62.

8. Волков В.М., Дриц B.B. Решение радиально-симметричных квазиоптических задач с помощью двухслойного консервативного разностного метода // Программное обеспечение ЭВМ: Библиотека прикладных программ БИМ-М. Вып. 21. — Минск, 1990. — С. 63—68.

9. Веремеенко Т.В., Волков В.М. Решение одномерных квазиоптических задач с помощью двухслойной симметричной разностной схемы // Программное обеспечение ЭВМ: Библиотека прикладных программ БИМ-М. Вып. 21. — Минск, 1990. — С. 69—74.

10. Веремеенко Т.В., Волков В.М. Решение радиально-симметричных квазиоптических задач с помощью двухслойной симметричной разностной схемы // Программное обеспечение ЭВМ: Библиотека прикладных программ БИМ-М. Вып. 21. -- Минск, 1990. С. 74-79.

11. Волков В.М. Решение одномерных квазиоптических задач с помощью трехслойного безитерационного разностного метода // Программное обеспечение ЭВМ: Библиотека прикладных программ БИМ-М. Вып. 21. - Минск, 1990. — С. 80—83.

12. Волков В.М. Решение радиально-симметричных квазиоптических задач с помощью трехслойного безитерационного разностного метода // Программное обеспечение ЭВМ: Библиотека прикладных программ БИМ-М. Вып. 21. — Минск, 1990. — С. 83—89.

13. Afanas'ev A.A., Kruglov V.l., Samson В.A., Jakvte R. and Volkov V.M. Self-action of counterpropagating axially symmetric light beams in a transparent cubic-nonlinearity medium // J. of Modern Optics. - 1991.

— Vol. 38, — № 6. — P. 1189—1202.

14. Круглов В.И., Волков В.М., Яките P.B. Обобщенное уравнение синус-Гордона в теории распространения коротких импульсов с учетом эффектов уширения // Оптика и спектроскопия. - 1991. — Т. 70, вып. 3.

— С. 701—706.

15. Kruglov V.l., Logvin Yu.A. and Volkov V.M. The theory of spiral laser beams in nonlinear media // J. of Modern Optics. - 1992. — Vol. 39, №11. - P. 2277—2291.

16. Логвин IO.А., Волков B.M., Самсон A.M., Туровец С.И. Сложные режимы распространения солитоноподобных световых имщ'льсов в дву-лучепреломляющих волокнах // Квантовая электроника. — 1993. — Т. 20, № 7. — С. 725—727.

17. Волков В.М. Консервативные разностные схемы с улучшенными дисперсионными свойствами для: нелинейных уравнений шредингеровско-го типа // Дифференц. уравнения. — 1993. — Т. 29, № 7. — С. 1156—1162.

18. Afanas'ev A.A., Samson В.A., Betin A.A. and Volkov V.M. Phase self-conjgation at degenerate four-wave mixing induced by nonstationary energy exchange in resonant media // Optics Communications. — 1993.

— Vol. 95. — P. 289—294.

19. Logvin Yu.A., Samson A.M. and Volkov V.M. Spatio-temporal Light Structures in a Chain of Bistable Two-level Medium Thin Films // Chaos, Soli tons к Fractals. — 1994. — Vol. 4, № 8/9. — P. 1451--1460.

20. Волков B.M., Дриц В.В., Круглов В.И. Вычислительный эксперимент в исследовании устойчивости автоволповодных режимов самовоздей-

1 ствия спиральных оптических пучков // Математическое моделирование. — 1994. — Т. 6, № 12. — С. 3—16.

21. Волков В.М., Жадаева Н.Г. Экономичные методы решения гиперболических систем первого порядка // Дифференц. уравнения. — 1994.

— Т. 30, № 7. — С. 1187—1193.

22. Logvin Yu.A., Volkov V.M. and Samson A.M. Spatio-temporal light dynamics of coupled bistable thin films // Nonlinear Dynamiics in Lasers к Optical Systems, SPIE - 1994. — Vol. 2099. P. 973—979.

23. Волков B.M., Круглов В.И. О численном моделировании и некоторых аналитических аспектах вихревой динамики световых полей в лазерных системах // Дифференц. уравнения. — 1995. — Т. 31, № 7. — С. 1184-1192.

24. Волков В.М. Об одном адаптивном итерационном методе реализации неявных разностных схем для нелинейного многомерного уравнения Шредингера // Дифференц. уравнения. - 1996. — Т. 32, N" 7. — С. 928- -934.

25. Kruglov V.I.. Volkov V.M. On the vortex type of the spatially self-organising light field in the laser systems // VI Intern. Sem. "Nonlineare Phenomena in Complex System": Proceed./ Acad, of Sc. of Belarus, Inst, of Phys. 1995 r. — Minsk, 1996. — P. 131—137.

26. Афанасьев А.А., Волков B.M., Эфендиев Т.III. Спектр поперечных мод лазера со статической РОС на фазовой решетке // Квантовая электроника. - 1997. — Т. 24, № 6. — С, 528—530.

27. Волков В.М., Лэхтиков С.Н. Многокомпонентные итерационные методы декомпозиционного типа для двумерных стационарных задач дис-сипативного переноса // Дифференц. уравнения. 1997. — Т. 33, № 7. — С. 927—933.

28. Афанасьев А.А., Волков В.М., Самсон Б.А., Эфендиев Т.Ш. Спектрально - пороговые характеристики активной РОС - структуры с линейно чирпированным периодом // Квантовая электроника. -1997. — Т. 24, № 1. — С. 31—32.

29. Афанасьев А.А., Губарь Н.Б., Волков В.М. Нелинейный режим генерации антистоксовой попутной и стоксовой встречной компонент ВКР // Труды III конф. по лазерной физике и спектроскопии. — Гродно, 1997. — Т. 1. — С. 44—47.

30. Афанасьев А.А., Абрашин В.Н., Волков В.М., Эфендиев Т.Ш. Спектр поперечных мод лазера со статической РОС на фазовой решетке // Труды III конф. по лазерной физике и спектроскопии. -■ Гродно, 1997. — Т. 1. — С. 48—51.

31. Афанасьев А.А., Власов Р.А, Губарь Н.Б.. Абрашин В.Н., Волков В.М. Гисререзисное отражение интенсивной световой волны от плотной резонансной среды // Труды III конф. по лазерной физике и спектроскопии. — Гродно, 1997. — Т. 2. — С. 7—10.

32. Афанасьев А.А., Власов Р.А, Волков В.М. Внутренняя оптическая бистабильность плотной резонансной среды и гистерезисное отражение света // Известия РАН. Сер. физ. — 1998. — Т. 62. • С. 311 -319.

33. Волков В.М. Итерационные методы для стационарных задач встречного взаимодействия оптических волн в нелинейных средах// Дифференц. уравнения. — 1998. — Т. 34, № 7. - С. 935 -941.

34. Afanas'ev A.A., Vlasov R.A., Gubar N.B., Volkov V.M. Hysteresis behevior in light reflection from a dense resonant medium with intrinsic optical bistability // Jornal of Optical Society of America. B. — 1998. -Vol. 15, №3. — P. 1160 — 1167.

35. Afanas'ev A.A., Doktorov E.V., Vlasov R.A., Volkov V.M. Evolution of femtosecond solitons in a cubic medium with a two-component relaxing nonliiioarity // Optics Communications — 1998.— Vol. 153,— P. 83—89.

36. Doktorov E.V., Vlasov R.A., Matsuka N.P., Volkov V.M. Numerical simulations of femtosecond soliton evolution // Finite-Difference Methods: Theory and Application": Proceed, of II Intern. Conf., Minsk. 1998 / NAS of Belarus, Inst, of Mathem. Minsk, 1998 — Vol. 1. P. 99 104.

37. Afanas'ev A.A., Chersstvy A.G., Vlasov R.A., Volkov V.M. Hysteresis light reflection from a dense medium at oblique incidence // Proceedings of the Inter. Conf. on LASER-98. STD Press. 1999. — P. 1115—1122.

38. Afanas'ev A.A., Doktorov E.V., Vlasov R.A., Matsuka N.P., Volkov V.M. Distortionless propagation of femtosecond solitons in cubic media in the present of high order perturbation // Proceedings of the Inter. Conf. on LASER-98. STD Press. 1999. — P. 1193—1197.

39. Logvin Yu.A. and Volkov V.M. Phase sensitivity of nonlinear Bragg grating response at bidivectional illumination // Jornal of Optical Society of Amcrica. B. — 1999. — Vol. 16, № 5. — P. 774—780.

40. Afanas'ev A.A., Tolkacheva E.G., Tredicce J.; Volkov V.M. Spatial instability of counterpropagatin waves in nonlinear DFB - structure // Phys. Rev. A. — 1999. — Vol. 60, № 3. — P. 2375—2379.

41. Afanas'ev A.A., Chersstvy A.G., Vlasov R.A., Volkov V.M. Local field effects in a dense ensemble of resonant atoms: the model of generalized two-level system // Phys. Rev. A. — 1999. - Vol. 60. — P. 1523—1529.

42. Afanas'ev A.A., Volkov V.M., Drits V.V., Urbanovich A.I. Numerical simulations of ultrashort pulse generation by DFB dye laser with travelling-wave pumping// Laser Physics. -— 1999. - Vol. 9, №2. — P. 1—5.

43. Рубинов A.H., Афанасьев A.A., Волков B.M., Эфендисв Т.Ш. Численное моделирование кинетики генерации лазера с динамической РОС на бинарной смеси красителей в режиме бегущей волны // Доклады НАН Беларуси. — 1999. — Т. 43, № 2. — С. 36—39.

44. Докторов В.Е., Власов Р.А, Волков В.М. Стабилизация динамики фем-тосекундных солитонов в нелинейных световодах // Вестник Фонда Фундаментальных Исследований. — 1999. — Ng4. — С. 3—23.

45. Афанасьев А.А., Волков В.М., Рубинов А.Н., Эфендиев Т.Ш. Кинетика генерации РОС-лазера на статической фазовой решетке в режиме бегушчей волны пакачки // Квантовая электроника. - 1999. — Т. 29, № 2. - С. 123 126.

46. Афанасьев А.А., Волков В.М., Дриц В.В., Самсон Б.А. Численный метод расчета попутного двухволнового взаимодействия световых импульсов в нелинейных средах. — Мн., 1987. — 23 с. — (Препринт / Институт математики АН БССР; Na 28(298)).

47. Волков В.М., Дриц В.В., Круглов В.И. Вычислительный эксперимент в исследовании устойчивости режимов нелинейного самовоздействия

оптических пучков. — Мы., 1991. — 22 с. — (Препринт / Институт математики АН БССР; № 15(465)).

48. Круглов В.И., Логвин Ю.А., Волков В.М. Распространение спиральных световых пучков в оптически нелинейных средах. — Мн., 1991. — 26 с. — (Препринт / Институт физики им. Б.И. Степанова АН БССР; N* 624).

49. Круглов В.И., Волков В.М. Орбитально-квантованные вихревые состояния электромагнитного поля лазерного излучения. — Мн., 1995. — 26 с. — (Препринт / Физико-технический институт АН РБ).

50. Afanas'ev A.A. and Volkov V.M. Spatial instability of ultrashort pulse of light a medium with cubic nonlinearity // VIII Internat. Sjonposium on Ultrashort Processes in Spectroscoty/ Vilnus. 1993. — Vilnus, 1993. — P. 13—14.

51. Волков В.М. Об использовании явных итерационных методов при численном интегрировании многомерных нелинейных волновых уравнений // VII Бел. Матем. конф.: Тез. докл., Минск, 18-22 ноября 1996 г./ НАН Беларуси, Институт математики. — Минск, 1996. — С. 76—77.

52. Afanas'ev A.A., Volkov V.M., Drits V.V., Urbanovich A.I. Kinetics of ultrashort pulse generation by a DFB dye laser with travelling wave pumping// Квантовая электроника - 98: Тез. докл. Межд. конф. КЭ'98, Минск, 1998 г. / НАН Беларуси, Ин-т физики. — 1998. — С. 12—13.

53. Volkov V.M. A nrulticomponent approach in solving a stationary problem of light waves counterpropagation in nonlinear media// Finite-Difference Methods: Theory and Application: Abstracts II Intern. Conf., Minsk. 1998 / NAS of Belarus, Inst, of Mathem. Minsk, 1998. P. 66—67.

54. Волков B.M., Мацука Н.П. Асимптотическая согласованность дискретных аппроксимаций дисперсионных волновых уравнений //Еру-гииские чтения VI: Тез. докл. Межд. мат. конф., Гомель. 1999 г. / Гомельский гос. университет. — Гомель, 1999. — Ч. 2 -— С. 11 -13.

РЕЗЮМЕ

Волков Василий Михайлович

Численное моделирование нелинейной волновой динамики оптических систем

Ключевые слова: Нелинейные волновые уравнения, численные методы, дисперсионные и асимптотические свойства, мультистабильность, спонтанное нарушение симметрии, взаимодействие встречных оптических волн, оптические вихри, солитоны.

Объект исследования: дифференциальные и дискретные модели нелинейной волновой динамики оптических систем.

Цель работы: разработка эффективных методов численного анализа нелинейной волновой динамики оптических систем и решение на их основе ряда кокретных задач.

Метод исследования: Метод конечных разностей, вычислительный эксперимент.

Результаты и их новизна: Для нелинейных уравнений шрединге-ровского типа, как одной из базовых моделей нелинейной волновой динамики оптических систем, исследованы дисперсионные и асимптотические свойства разностных методов. Получены условия асимптотической согласованности симметричных разностных схем относительно закона дисперсии. Построены консервативные разностные схемы с улучшенными дисперсионными свойствами. Разработаны экономичные многокомпонентные итерационные методы реализации консервативных разностных схем для многомерных задач и стационарных краевых задач встречного взаимодействия волн. Методом численного моделирования решен ряд задач исследования эффектов мультистабильности и спонтанного нарушения симметрии в системах встречно взаимодействующих волн, вихревой динамики оптических полей в лазерах и средах с различными механизмами нелинейности, динамики солитонов в возмущенных системах, близких к интегрируемым.

Рекомендации по использованию: Предложенные методы, алгоритмы, а также результаты численного моделирования могут быть использованы для решения задач лазерной физики.

РЭЗЮМЭ

Волкау Васшь М1хайлав1ч

Лшавае мадэл1равапне нслшейиай хвалявай дынамж1 аптычных спстэм

Ключавыя словы: Нелшейныя хвалявыя ураунент. лшавыя метады, дысперсшныя 1 аамптатычныя уласщвасщ, мультыстабйчьнасць. спан-таннае парушэнне аметры!, узаемадзеянне сустрэчных аптычных хваля}', аптычныя в1хры, сал^оны.

Аб'ект даследвання: дыферэнцыяльныя 1 дыскрэтныя мадэл1 не-лшейнай хвалявай дынамт аптычных слстэм.

Мэта працы: раопрацоука эфектыуных метадау лшавага анализу ыс-лшейнай хвалявай дынамЫ аптычных астэм 1 рашэнне на ¡х падставе шэрагу канкрэтных задач.

Метад даследавання: Метад канечных рознастяу, вьрпчальны зкс-перымент.

Вышю 1 IX нав1зна: Для нелшейных урауненняу щродынгсра.ускага тыпу, як адной з асноуных мадэляу нелшейнай хвалявай дынамт аптычных астэм, даследаваны дысперсшныя 1 аамптатычныя уласщвасщ роз-насных метадау. Атрыманы умовы аамптатычнай узгодненасш аметрыч-ных рознасных схемау' адносна закона дысперсп. Пабудаваны кансерва-тыуные рознасныя схемы з палешнаным1 дысперайнным1 уласщвасцямт Разпрацаваны эканашчныя шматкампанентныя ¿тэрацыйнныя метады рэ-ал!зацьп кансерватыуных рознасных схема_у для шматмерных задач 1 ста-цыянарных краявых задач сустрэчнага узаемадзеяння хваляу. Метадам лшавага мадэл!равання вырашан шэраг задач даследвання эфектау муль-тыстабшьнасщ I спантаннага парушэння аметрьи у астэмах сустрэчна узасмадзеючых хваляу, в!хравой дынамт аптычных палёу у лазерах 1 ася-родзях з разнастанным1 мехашзмам1 нелшейнасщ, дынамт сал1тона}г ва 5'збураных астэмах, бл1зых да штэгрыруемых.

Рэкамендацьп па выкарыстоуванню: Прапанаваныя метады, алгоритмы. а таксама вынт лшавага мадэл!равання могуць быць выкара-станы для рашэння задач лазсрнай ф1зЫ.

T.I

SUMMARY

Vasily M. Volkov Numerical simulations of nonlinear wave dynamics in optical systems

Key words: Nonlinear wave equations, numerical methods, dispersive and asymptotic characteristics, multistability, symmetry breaking, counterpropa-gating wave interaction, optical vortices, solitons.

Subject of investigation: differential and discrete models of nonlinear wave dynamics of optical systems

Goal of the work: development of the effective methods for numerical analysis of nonlinear wave dynamics of optical systems and application of these methods to solving a set of specific problems.

Method of investigation: Finite-difference methods, numerical experiment.

Results and their novelty: For the nonlinear equations of Schrodinger type as a one of basic models of nonlinear wave dynamics of optical systems, dispersive and asymptotic characteristics of the finite-difference schemes are investigated. Asymptotic congruence conditions relatively the dispersion law for the symmetrical finite-difference schemes have been established. The conservative finite-difference schemes with improved dispersive characteristics are developed. Effective multi-component iterative methods for implementing the conservative finite-difference schemes and for solving stationary boundary problems of counterpropagating wave interaction are elaborated. By way of numerical simulations a set. of problems are solved: multistability and symmetry breaking effects in counterpropagating wave interactions, vortical dynamics of light fields in lasers and media with difference nonlinearity mechanisms, solitons dynamics in perturbed close to integrable systems.

Application areas: The presented methods, algorithms as well as the results of numerical simulations can be used for solving problems of laser physics.

Подписано в печать 19.05.00. Формат 60x84/16. Бумага офсетная.

Тираж 100 экз. Заказ № 361

Белорусский государственный университет.

Лицензия ЛВ №315 от 14.07.98.

220050, Минск, пр. Ф. Скорины, 4.

Отпечатано в Издательском центре БГУ.

220030, г. Минск, ул. Красноармейская, 6.