автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование некоторых задач оптической бистабильности на основе полупроводников

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

Р Г Б ОД

О О СПИ Ш7

На правах рукописи УДК 519.6:535+621.378.535

Бондаренко Ольга Станиславовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ОПТИЧЕСКОЙ БИСТАБИЛЬНОСТИ НА ОСНОВЕ ПОЛУПРОВОДНИКОВ

Специальность 05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1997

Работа выполнена на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель : доктор физ.-мат. паук,

ст. науч. сотр. В.А.Трофимов

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук,

профессор В А. Выслоух

доктор физ.-мат. наук, профессор Г.Г.Малинецкий

Ведущая организация: Институт математического моделирования РАН

^О

Защита состоится "Л" ФСГЛМУ^ 199^г. В_ЖП на заседании Диссертационного совета К053.05.87 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: Москва, Воробьевы горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, второй учебный корпус, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат диссертации разослан "_" 199_г.

Ученый секретарь диссертационного

совета, доцент

В.М.Говоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ. Актуальность тины диссертации.

В настоящее время существует большой интерес к проблеме оптической бистабильносга (ОБ) в связи с потенциальной возможностью построения на основе этого явления элементов оптической памяти, аналогов радиоэлектронных схем в системах хранения и обработки информации, а также создания оптических компьютеров. Суть явления ОБ заключается в том, что при прохождении лазерным излучением нелинейной среды при определенных условиях одному значению входной интенсивности светового пучка соответствует два устойчивых значения выходной интенсивности. При большем числе ее выходных значений говорят о мулътистабильности.

В литературе известны многие схемы реализации ОБ, использующие дисперсию света, нелинейное поглощение, а также их комбинации. Однако поиск других ОБ элементов на основе новых механизмов нелинейности по-прежнему представляет собой актуальную задачу, т.к. требуемые для конкуренции с соответствующими электронными устройствами энергетические и временные характеристики оптических переключателей не достигнуты к настоящему времени.

Наряду с созданием новых ОБ элементов актуальной проблемой является вопрос о развитии неустойчивости стационарных состояний системы, в том числе и без внесения внешних возмущений, так как от этого зависит надежность хранения информации. Данная задача относится к интенсивно развиваемому в настоящее время разделу лазерной физики: лазерной динамике.

Взаимодействие лазерного излучения с полупроводником носит существенно нелинейный характер. Поэтому анализ его закономерностей невозможен без широкого применения компьютерного моделирования, что, в свою очередь, требует построения эффективных численных методов. Цель работы.

Цель работы состояла в изучении на основе математического моделирования полупроводниковых ОБ устройств, устойчивости стационарных состояний ОБ системы, анализе пространственно-временных характеристик среды в

3

условиях влияния лазеро-индуцированного поля и нелинейной зависимости времени релаксации носителей заряда от характеристик среды, а также в разработке численных методов для исследуемых задач. Научная новизна.

В работе показана возможность реализации нового типа ОБ - релаксационной бистабильности, в том числе и при энергии фотона, превосходящей энергию края поглощения. Получены условия реализации неустойчивости стационарных состояний и систематически изучено развитие автоволновых и колебательных процессов изменения характеристик среды (температуры, концентрации свободных носителей заряда, свсгоиндуцированного электрического поля). Обнаружен новый сценарий (аддипшный) увеличения пространственных частот характеристик среды.

Исследовано влияние светоиндуцированного поля на динамику реализации ОБ. При воздействии коротких световых импульсов обнаружено развитие периодических процессов зарождения и исчезновения поперечных доменов высокого поглощения без внесения внешних возмущений.

Построены и обоснованы разностные схемы для задач ОБ на основе возрастающего поглощения с учетом температурной зависимости времени релаксации свободных носителей заряда, влияния светоиндуцированного поля. Доказаны теоремы о сходимости разностного решения к дифференциальному.

Практическая ценность.

Предложен новый тип ОБ - релаксационная ОБ. Показана принципиальная возможность потери устойчивости одним из стационарных состояний ОБ системы на основе возрастающего поглощения при температурной зависимости времени релаксации носителей заряда; изучено влияние светоиндуцированного электрического поля на формирование поперечных волн переключения в полупроводнике при концентрационной зависимости коэффициента поглощения. Результаты работы позволяют повысит, надежность хранения информации в оптических устройствах обработки и хранения информации.

Построенные разностные схемы могут быть использованы для моделиро-

4

вания широкого круга задач взаимодействия лазерного излучения с полупроводником. Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на 3-м Всероссийском семинаре "Динамика волновых явлений и солигоны" ( Красновидово, Моск. обл., май 1992 г.); VII Международной конференции "Оптика лазеров" (Санкт-Петербург, июнь 1993 г.); IX Международной конференции "Нерезонансное взаимодействие лазерного излучения с веществом" (Санкт-Петербург, июль

1996 г.); XI Международной Вавиловской конференции (Новосибирск, июнь

1997 г.). По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ. Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего в себя 87 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обсуждается актуальность темы, новизна работы, сделан обзор литературы и кратко излагается содержание диссертации по главам.

Глава 1 посвящена постановке исследуемых задач ОБ и разработке численных методов их решения.

В §1.1 приведена постановка задачи воздействия оптического излучения на полупроводник в условиях температурной зависимости времени релаксации носителей заряда. Записаны также ее пространственно одномерные приближения. Распространение в полупроводнике оптического излучения, длительность импульса которого сравнима с характерными временами изменения температуры полупроводника и концентрации фотовозбужденных носителей заряда, с учетом процессов фотогенерации, рекомбинации, диффузии концентрации электронов, теплопроводности в случае слабо дифрагирующего светового пучка описывается следующей системой безразмерных уравнений

1^+5,8(^7,7)/ = О, дг

en з2« _ s2« п

j>x

эг э г д1т п ,, , „

с начальными и граничными условиями

4=0=^0- '^0 = ^0, /и=/о(д:,0 = /с(1-^ , (2)

t=0 ч ' Ы> 1г=0

ЯГ

=

Эл

dz

г = 0,1

Эл дх

= 0, ¿I

* = 0,1

2=0,1

Jt = 0,i

В (1)-(2) пространственные координаты гид: нормированы на продольный и поперечный размеры полупроводника. Время t нормировано на характерное время рекомбинации свободных носителей заряда, I - интенсивность импульса, измеряемая в единицах входной интенсивности, / характеризует

ее максимальное значение, п - изменение концентрации свободных носителей заряда ( в данном случае электронов ), Т - изменение температуры полупроводника относительно температуры окружающей среды Г0, нормированной на выраженную в единицах температуры ширину запрещенной зоны, 6fa7,7) - безразмерный коэффициент поглощения световой энергии с равновесным значением 8,, D^ ,D^ и Хх > XL * соответственно положительные коэффициенты, характеризующие диффузию зарядов и теплопроводность по продольной и поперечной координатам, тр(Т) - время рекомбинации носителей заряда, зависящее от температуры. Параметр q характеризует мощность световой энергии, трансформируемой в тепло при релаксации свободных носителей заряда. Параметр /3 используется для плавного выхода интенсивности на стационарное значение. Граничные условия соответствуют теплообмену с коэффициентами rj^ и отсутствию тока через грани кристалла.

Коэффициент поглощения полупроводника аппроксимируется следующими функциями

Чп,Т,1) =

(1 - п)ехр(-11 (Т + Т0)),

1 ехр(-1/(Г + Т0)), (3)

1+///,

1 -ехр(-ст(л - и*)2).

+ 1II,

учитывающими сдвиг края поглощения из-за температуры и концентрации свободных носителей заряда, насыщение перехода, а также динамический эффект Бурштейна-Мосса. Параметры I , а,п положительны.

Температурная зависимость времени релаксации носителей заряда аппроксимировалась функциями

1р(Т) = хртхр(Т) + т; 0,

ттЛ*1-6^0«^7'-7^ Г£Гр- (А\

* ' }(1-9) + 8ехрНГ + Тр)1ар) V ;

Здесь т^ - наибольшее время рекомбинации носителей, Тр >0, О й в ^ 1,

ар>0. Отметим, что с ростом температуры время релаксации уменьшается,

поэтому при гауссовой аппроксимации времени релаксации использовался лишь ее спадающий участок.

Наряду с двумерной постановкой рассматриваются одномерные приближения - оптически толстого образца (координаты гД - когда отслеживаются изменения интенсивности на оси протяженного кристалла, а поперечная диффузия и теплопроводность учитываются стоковыми слагаемыми в соответствующих уравнениях) и тонкого нелинейного слоя ( координаты хД - когда исследуется прохождение пространственно модулированного сигнала через тонкий образец, продольная диффузия тепла в котором учитывается с помощью стока в уравнении для температуры).

В §1.2 сформулирована задача ОБ в условиях светоиндуцированного электрического поля. Воздействие лазерного излучения на оптически протяженный полупроводник с учетом фотогенерации свободных электронов с примесного уровня, рекомбинации, нелинейного поглощения и влияния

светоиндуцированного поля описывается следующей системой безразмерных уравнений

(Я

01 дг дг дг хв

(5)

дЫ

а/

дг

+ 6в5(ЛГ,Г,Л/ = 0,

0<г<1, <>0,

с начальными и граничными условиями

д <в

дг

= 0

•0.1

Зп дг

= О

дТ

2-0,1

дг

= ±т1пТ .

(6)

1=0,1

Здесь я, Г, / обозначают те же физические величины, что и в модели -потенциал электрического поля, измеряемый в единицах так называемого теплового потенциала, N - доля ионизированных доноров (0 5 Л^ < 1), у характеризует уровень легирования полупроводника, ц, - коэффициент подвижности электронов. Поперечная диффузия свободных элеюронов и теплопроводность учтены стоковыми слагаемыми.

Для аппроксимации нелинейной зависимости коэффициента поглощения использовались следующие зависимости, учитывающие насыщение поглощения вследствие конечного числа доноров и сдвиг края поглощения из-за нагрева полупроводника.

(1-^)ехр(-Г/(Т + Т0)), ^ех р(-1/(Г + Го)), (1-Я)ехр(-а(п-и*)2»,

С?)

Рекомбинация К

электронов учитывалась 8

слагаемым

—где хр(Т)- температурная зависимость времени )

релаксации свободных носителей заряда, для которой либо используется одна из аппроксимаций (4), либо тг(Г)=соллГ,и|)- равновесное значение концентрации электронов.

В случае слабого поглощения световой энергии вдоль среды аналогичным образом рассматривается приближение оптически тонкого нелинейного слоя (координаты хД).

Прн воздействии коротких световых импульсов, когда успевает измениться только концентрация свободных носителей заряда, уравнение относительно температуры не рассматривается, а коэффициент поглощения и рекомбинация электронов зависят только от концентрации.

Третий параграф первой главы посвящен построению и обоснованию разностных схем для задач, сформулированных в первом и втором параграфах как в двумерной, так и в одномерных постановках. Сначала исследуется схема с весами для задачи (1) в приближении оптически толстого образца (координаты 2,1). Среди схем семейства рассматриваются консервативные чисто неявная и симметричная разностные схемы, аппроксимирующие достаточно

гладкое решение дифференциальной задачи с погрешностями 0(Игг +т) и

(Х}% +х2) соответственно. Для их разрешения строятся итерационные процессы и доказывается теорема об их сходимости к единственному решению разностной задачи на слое ^ Доказывается положительность и ограниченность разностного решения для всех I, а также сходимость решения разностной задачи к достаточно гладкому решению дифференциальной задачи.

Далее исследуются аналогичные вопросы для задачи в приближении тонкого нелинейного слоя (координаты хД).

Для решения двумерной задачи (координаты х^Д) в области 6= {0й;с<1}х {0<г< 1}х {05 Ч, Ь,} вводятся сетки 0 = галхшгх©,,

= = 0'+й5)т, ] = О, -1}. Сеточная функция / в определяется узлах сетки £2, а л и Т^ в узлах £3', строится неявная локально-одномерная схема, имеющая погрешность суммарной аппроксимации + + т).

л,

^л^ + оф - - ау^),

г,-п

^ = ХхЛАГ, + офй^ - Г,),

- = 0|Л,пл + оф - Й, ^/Т" - ,

(8)

Здесь пк=пн(х,г',1), пк = яА(х,г',* + (15г), ^ = пк(х,г',1 + т), х еоо,, г' <еа>,, t < Ь,, соответствующие обозначения для Г , ^(Г) = ехр(-1/(7ЧГ0)), 1

^»ь =- определяются аналогично; 1к =/А(*,2,г + 05с),/А1 = /я(х,г,< + т),

Операторы диффузии определены следующим образом

г2 .

(УЬ-'пул). х=а

0<Х<1, л,^:

-т-Ок + ПУл).

я.

- +й5 г'=<Шг,

>*&, 0.5Аг < г' <1-0.5/^,

Ь;\~Уш - <1 + 0.54Л)-'>а), г' = 1 - 0.5Аг,

где , = о в уравнениях относительно концентрации и п = в уравне-

ниях относительно температуры.

Для разрешения схемы (8) используются два итерационных процесса, аналогичных процессам, применявшимся при решении одномерных задач. Доказывается ограниченность и неотрицательность разностного решения, а также сходимость итерационных процессов. Для примера приведем две теоремы:

Теорема 1. При условиях к2 <й°, т<т<® существует единственное решение задачи (8), для него справедливы оценки 0<1к<1с, 0<Тк<,Ти, Построенные итерационные процессы сходятся в сеточной норме Ь2{ах х щ;) как геометрические прогрессии со знаменателями ~ х. Здесь т(0)>О не зависят от шагов сетки.

Вопрос о сходимости решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи разрешает следующая

Теорема 2. При выполнении условий А. < й°, т < т® решение разностной задачи (8) сходится к достаточно гладкому решению дифференциальной задачи в сеточной норме Ь1*Сг со скоростью ОфЦ +т). Здесь т^ >0 не зависят от шагов сетки.

В последней части параграфа построены нелинейные монотонные консервативные разностные схемы для задачи взаимодействия лазерного излучения с полупроводником в условиях светоиндуцированного поля.

Во второй главе диссертации подробно обсуждаются результаты математического моделирования безрезонаторной ОБ на основе модели (1) и ее одномерных приближений.

Первый параграф второй главы посвящен анализу реализации и устойчивости стационарных состояний релаксационной ОБ, проведенному на основе точечной модели взаимодействия. Выполнено качественное исследование динамической системы на фазовой плоскости п и Т и найдены условия реализации осциллирующих режимов изменения характеристик среды. В рамках точечной модели исследуется влияние различных физических факторов на период и амплитуду колебаний, возникающих в системе.

Далее изучаются пространственные эффекты при реализации неустойчивости. Во втором параграфе второй главы рассматривается взаимодействие оптического излучения с полупроводником в рамках модели толстого слоя (координаты г, 1). В численных экспериментах обнаружено развитие сложных волновых процессов изменения концентрации электронов и температуры. Для выяснения физического механизма генерации волн использовалось спектральное представление полученных в численных экспериментах распределений п и Т. Оно показало, что каждая последующая пространственная гармоника, отличающаяся от предыдущей на единицу, генерируется при существенном затухании предыдущей. Этот процесс происходит вплоть до К -той гармоники: максимального значения, определяемого параметрами взаимодействия лазерного излучения с полупроводником, в частности, коэффициентами диффузии, теплопроводности и начальной мощностью пучка. Процесс генерации пространственных гармоник периодический, за первым во времени всплеском амплитуд следует более мощная генерация соответствующей гармоники. Энергия колебаний первого во времени максимума к-той гармоники перекачивается в энергию предыдущей гармоники, тем самым стимулируя ее генерацию. Лишь после достижения ею определенной (пороговой) величины начинается эффективная генерация следующей гармоники. Таким образом, происходит аддитивное (последовательное) увеличение пространственной частоты колебаний характеристик среды. Затем высокие пространственные гармоники могут исчезать и процесс вновь повторяется.

Далее проведен линейный анализ рассматриваемой системы, получено выражение для инкремента к-й гармоники и исследована его зависимость от параметров взаимодействия, определены условия реализации колебательных режимов. Полученные результаты были использованы для выбора пространственного шага сетки, при котором сеточное решение содержит достаточное число пространственных гармоник для адекватного описания решения дифференциальной задачи.

С целью подтверждения описанного выше физического механизма пос-

ледовательной генерации пространственных гармоник записана цепочка дифференциальных уравнений относительно амплитуд первых к гармоник. Для этого температура и концентрация представлялись в виде

T(z,t) = 4(f)+ + к.с.) = Л(0 + А Т,

*=I

Ф, г) = В0(1) + £ 05(Вк (Г^ + К. с. ) = jB0(f ) + Ал,

Дг=|

гдеДи,ДГ - их возмущения вблизи >î0(f),.8 0(f) ; At(t),B t(t) -амплитуды пространственных возмущений. В некоторый момент времени часть из Ак,Вк полагались отличными от нуля и изучалась динамика их развития.

Показано, что возмущение, внесенное, например, на частоте 1-ой пространственной гармоники, приведет к последовательной во времени генерации более высоких гармоник. Затем между ними развивается сложное взаимодействие, заключающееся во взаимной перекачке энергии из одной гармоники в другую. Результаты расчетов на основе гармонического анализа подтверждают сделанные выше выводы о механизме развития сложных автоволновых процессов и сохраняют их качественные закономерности.

В последней части параграфа систематически исследовано влияние продольной диффузии на характер волновых процессов изменения характеристик среды, обнаружены и описаны различные режимы взаимодействия.

§2.3 посвящен анализу поперечной структуры доменов высокого поглощения в релаксационной ОБ системе, проведенному на основе приближения оптически тонкого слоя ( координаты (x,t)). Отмечаются отличия от случая протяженной среды, обусловленные геометрией взаимодействия. Так, если в протяженном полупроводнике существование колебаний в каком-либо сечении среды инициирует развитие аналогичных процессов в последующих сечениях, то в оптически тонкой среде значения интенсивности в данном поперечном сечении не зависят от ее величины в соседних точках. Пространственное перераспределение концентрации и температуры осуществляется лишь с помощью процессов диффузии и теплопроводности. Таким образом,

колебания п, Т будут реанизовываться лишь в ограниченной области по х, в которой выполняется условие их существования.

В §2.4 рассматривается двумерная модель с целью подтверждения полученных в предыдущих параграфах результатов. Показано, что одномерные математические модели качественно и часто количественно правильно описывают эволюцию характеристик среды. Продемонстрировано одновременное развитие продольных и поперечных волн изменения концентрации, которые подобны полученным на основе одномерных моделей.

В §2.5 описан и исследован новый тип бисгабильности, основанной на температурной зависимости времени релаксации носителей зарада. Впервые показана возможность реализации данного типа бисгабильности при неизменном коэффициенте поглощения световой энергии. Показана возможность развития неустойчивости, приводящей к реализации колебательных режимов температуры и концентрации вблизи верхнего состояния. При этом если амплитуда колебаний достигает определенной величины, система "срывается" на нижнюю ветвь бистабильной зависимости. Исследуется влияние различных физических факторов, в частности, насыщения перехода на реализацию ОБ. Показано, что релаксационная ОБ существует и при учете температурной зависимости излучательной рекомбинации.

Так как в численных экспериментах обнаружены сильные пространственные неоднородности я, то в третьей главе исследуется влияние свегоиндуцированного поля на реализацию ОБ.

В первых двух параграфах на основе моделей оптически толстого и тонкого слоя показано, что поле не изменяет принципиально динамику волновых процессов эволюции температуры полупроводника и концентрации электронов. При достаточно большом значении параметра легирования напряженность электрического поля также испытывает колебания.

В заключительном параграфе третьей главы продемонстрирована возможность развития автоволновых процессов при воздействии коротких световых импульсов на ОБ полупроводник, В результате

14

численного анализа, проведенного на основе модели, включающей уравнения относительно п, N и ç, обнаружено развитие периодических процессов зарождения н исчезновения поперечных доменов высокого поглощения, присущих нелинейной системе без внесения внешних возмущешш.

На защиту выносятся следующие основные результаты диссертации.

1. Построены и обоснованы разностные схемы для задач релаксационной оптической бистабилыюсти, математические модели которых состоят из нелинейных уравнений параболического типа совместно с уравнением переноса для интенсивности и уравнением Пуассона относительно потенциала электрического поля. Для задач без учета влияния светоиндуцированного электрического поля как в двумерной, так и в одномерных постановках доказаны теоремы об ограниченности и неотрицательности разностного решения, сходимости итерационных процессов, применяемых для разрешения нелинейных схем, а также о сходимости решения разностных задач к решению дифференциальных задач.

2. Получены условия реализации неустойчивости стационарных состояний ОБ системы на основе возрастающего поглощения с учетом температурной зависимости времени релаксации свободных носителей заряда. Показана возможность развитая продольных и поперечных волновых процессов. Обнаружен аддитивный механизм обогащения пространственного спектра характеристик полупроводника.

3. Показана принципиальная возможность существования ОБ, основанной на температурной зависимости времени релаксации свободных носителей заряда. Обнаружено и исследовано авгопереключение ОБ системы, реализованной на нелинейной зависимости коэффициента поглощения от концентрации свободных электронов при воздействии коротких световых импульсов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах: 1. Бондаренко О.С., Поляков C.B., Трофимов В Л. Температурные концентрационные волны при воздействии светового импульса на

15

полупроводник в условиях его бистабильного отклика. // Письма в ЖТФ. 1992. Т. 18, вып. 16. С.24-28.

2. Бовдаренко О.С., Поляков С.В., Трофимов С.В. Температурные и концентрационные волны при воздействии светового импульса на полупроводник в условиях его бистабильного отклика" В сб.: "Динамика волновых явлений и солигоны" М.: Издательство Московского университета. 1992. С. 38-42.

3. Бондаренко О.С., Трофимов В А. Температурные и концентрационные волны в ОБ полупроводнике с температурной зависимостью времени релаксации заряда. // Тез. докл. 7-ой Международной конференции "Оптика Лазеров " 1993 г. Санкт-Петербург.Т. 1,с. 313.

4. Бондаренко О.С., Поляков С.В., Трофимов ВА. Волновые процессы в полупроводниках, стимулированные оптическим излучением в условиях температурной зависимости времени релаксации носителей заряда. И ФТТ. 1994. Т.36, N1,0.152-163.

5. Bondarenko O.S., Trofimov V A. et. al. Spatial and temporal instabilities of light fields in optically bistable resonatorless elements. H BRAS / Suppl. Physics of Vibrations. 1994. V.58,N 1.P.37- 48.

6.Bondarenko O.S., Trofimov V.A., and Karamzin Yu. N. Wave processes in semiconductors due to optical radiation under condition of temperature dependence of charge-carrier lifetime: longitudinal effects. // BRAS. / Suppl. Physics of Vibrations. 1995. V. 59, N 1. P. 21-28.

7. Bondarenko O.S., Trofimov VA. Laser-induced wave processes in optical bistability resonatorless system based on semiconductors // Abstract. IX Internet. Conf. onNLMI. 1996. S-Peterburg. P. 108.

8. Бовдаренко O.C., Трофимов ВА. Автоосцилляции домена высокого поглощения в оптически бистабильной системе на основе полупроводника. Н Письма в ЖТФ. 1996. Т.22, вып. 19. С. 6-9.

Издательство АО "Диалог-МГУ". JIP N 063999 от 04.04.95. Подписано к печати 30.05.97г. Усл.печ.л. 1,0. Тираж 80 экз. Заказ N 459. Тел. 939-38-90, 939-38-91. Факс 939-38-93. 119899, Москва, Воробьевы Горы, МГУ