автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование переноса электромагнитного излучения в многослойных структурах с различными нелинейными зависимостями диэлектрической проницаемости от поля

На правах рукописи

Красикова Екатерина Михайловна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕНОСА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В МНОГОСЛОЙНЫХ СТРУКТУРАХ С РАЗЛИЧНЫМИ НЕЛИНЕЙНЫМИ ЗАВИСИМОСТЯМИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ОТ

ПОЛЯ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена в ГОУ ВПО Московском государственном технологическом университете «СТАНКИН»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Людмила Александровна Уварова

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Анатолий Васильевич Латышев

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Владимир Львович Бычков

Ведущая организация:

Тверской государственный технический университет

Защита диссертации состоится «Л/» Л-ггЛСе/^. 2006 г. в « часов на

4103 при

заседании диссертационного совета Д 212.142.03 при ГОУ ВПО Московском государственном технологическом университете «СТАНКИН» по адресу: 127994, г. Москва, Вадковский пер., д. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО МГТУ «СТАНКИН»

Автореферат разослан »¿¿<^/^2-2006 ]

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.142.03, кандидат технических наук, доцент ' Е.Г. Семячкова

ЛеобА ММ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из важных проблем энергетики является задача передачи энергии без существенных потерь на большие расстояния. Одним из решением данной проблемы является применение оптических волноводов. В последнее время стали использовать волноводы, включающие вещества с нелинейными свойствами, например жидкий кристалл или полупроводник, для которых характерно явление оптической бистабильности. Интерес к ней вызван перспективой создания оптических компьютеров, для которых цифровые оптические вычисления и обработка информации легче реализуется в оптике параллельных операций; создания оптических приборов, устройств и систем передачи информации. Поэтому математическое моделирование нелинейных оптических эффектов в волноводах играют важную роль в разработке систем волоконной и интегральной оптики, предназначенных для оптической связи и обработки информации. С актуальностью данной проблемы связано большое число работ, посвященных исследованию переноса электромагнитного излучения в нелинейных системах.

Поскольку в процессе распространения излучения в реальных системах всегда имеет место поглощение части излучения, что влияет на характеристические параметры волны оптического волновода, то в работе рассмотрен вопрос о распространении электромагнитных волн в модельном волноводе типа плоскопараллельной структуры с учетом поглощения. Действительно, при рассмотрении воздействия достаточно мощного излучения учет поглощения становится актуальным даже для слабо поглощающих систем.

При рассмотрении переноса электромагнитного излучения в тонких слоях волновода величиной силы Казимира нельзя пренебречь, в связи с этим рассматривается задача исследования поведения этой силы при таком распространении электромагнитных волн.

Таким образом, актуальность данной работы заключена в изучении распространения электромагнитных волн в многослойной структуре с различными нелинейными средами с поглощением и характера поведения силы Казимира в рассматриваемой структуре.

Целью работы является математическое моделирование и выявление качественных и количественных особенностей расцропрянйниЭ по-

рос. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

верхностных электромагнитных волн ТЕ-ткт поляризации в слоистых нелинейных средах с поглощением, что может быть использовано для создания более эффективных оптических приборов и систем, вследствие нелинейных эффектов в процессе переноса электромагнитного излучения. Для ее достижения были поставлены следующие задачи:

- исследование математической модели переноса электромагнитного излучения в нелинейных слоистых структурах с различными видами нелинейности и с поглощением в каждом слое;

- разработка эффективного алгоритма численного решения для нахождения напряженности электромагнитного излучения методом матричной прогонки с применением параллельных вычислений;

- исследование методами численного моделирования устойчивости стационарного распространения поверхностной электромагнитной волны в различных нелинейных средах;

- изучение особенностей бистабильной зависимости потока электромагнитного излучения от эффективного показателя преломления, характеризующего скорость распространения волны Г£-типа поляризации для различных оптических параметров системы;

- исследование поведения силы Казимира в тонких (микронных) диэлектрических структурах с нелинейными свойствами, позволяющее учесть ее влияние на нелинейный характер переноса электромагнитного излучения.

Методы исследования. В диссертационной работе применяются методы нелинейной электродинамики для построения математической модели переноса электромагнитного излучения в многослойных структурах с нелинейными свойствами. Для реализации решения поставленных задач, которые определяют цель работы, применяются численные методы математического моделирования с использованием параллельных вычислений на многопроцессорной вычислительной технике.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- исследована математическая модель распространения поверхностной волны ТЕ-тша поляризации в многослойной структуре с различными коэффициентами поглощения каждого слоя и различными типами нелинейности;

- разработан алгоритм решения системы уравнений Максвелла для нахождения напряженности электромагнитного поля с учетом поглощения и осуществлена его параллельная реализация на многопроцессорной вычислительной системе;

- проведены расчеты влияния поглощения на амплитуду электрической напряженности электромагнитного поля излучения и на характер оптической бистабильносга потока энергии в зависимости от скорости распространения электромагнитной волны в рамках данной модели;

- проведено исследование устойчивости стационарного распространения электромагнитной волны с учетом поглощения для предложенной математической модели;

- впервые определена зависимость силы Казимира от потока электромагнитного излучения в тонких нелинейных диэлектрических слоях планарного волновода.

Практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы в энергетике, а также в области опто-электроники и интегральной оптики. В частности, для оптимизации параметров нелинейных волноводов при их конструировании, для создания оптических переключателей, нелинейных ответвителей, полупроводниковых и оптических приборов, которые основаны на явлении оптической бистабильности.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях:

на IV Международной конференции «Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах», Москва: МГТУ «СТАНКИН», 2000 г.

на VII Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов 2000», Москва: МГУ им. М.В. Ломоносова, 2000 г.

на П Международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки», Самара, 2001 г.

на V-ой Научной конференции МГТУ «СТАНКИН» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «СТАНКИН» и ИММ РАН», Москва, 2002 г.

- на VI Международном конгрессе по математическому моделированию, Нижний Новгород, 2004.

- на XII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование», Пущино, 2005 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, список которых представлен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем составляет 111 машинописных страниц, включая Д4 рисунка.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследований, показана научная новизна и приведено краткое описание по главам.

В первой главе представлен обзор научной литературы по исследованию особенностей переноса электромагнитного излучения в нелинейных слоистых средах.

На основании существующих общих сведений по электромагнитной теории оптических волноводов, приводятся основные уравнения электромагнитного поля для построения математической модели и анализа оптических волноводов. Из этих уравнений выводятся элементарные свойства полей. Представленный материал используется на всем протяжении работы.

Представлен краткий обзор по поверхностным электромагнитным волнам (ПЭВ), которые распространяются вдоль границы раздела двух разнородных сред и существуют одновременно в них обеих. Эти волны подчиняются уравнениям Максвелла и стандартным граничным условиям к ним. Напряженность электромагнитного поля в такой волне экспоненциально убывает при удалении от плоскости раздела обеих сред, однако вдоль этой плоскости поля изменяются обычным волнообразным образом. Поверхностные электромагнитные волны удобно рассматривать для модели пленарного волновода, так как он представляет собой слоистую среду.

Наибольший интерес для практического применения исследований по распространению поверхностных электромагнитных волн в слоистой 6

среде представляет рассмотрение нелинейных сред. Как известно, в таких нелинейных системах имеет место явление оптической бистабильности. Суть этого явления состоит в том, что при прохождении лазерным излучением нелинейной среды при определенных условиях одному значению входной интенсивности светового пучка соответствует два устойчивых значения выходной интенсивности. При большом числе ее выходных значений говорят о мультистабильносги.

Большое число работ посвящено необычным свойствам нелинейных поверхностей и их применению в нелинейных оптических приборах. Ключевая концепция, на которой базируются все нелинейные волновод-ные приборы, состоит в том, что одна или несколько контактирующих сред характеризуются диэлектрической проницаемостью, зависящей от потока энергии падающего электромагнитного излучения. На основе данного оптического явления можно создать два типа интегральных оптических приборов. Первый тип оптических приборов - это приборы, в которых нелинейное изменение в диэлектрической проницаемости незначительно по сравнению с разницей диэлектрических проницаемостей контактирующих сред. Приборы, работающие в этом режиме, включают в себя нелинейные призменные и решеточные элементы связи, а также нелинейные когерентные элементы связи. Второй тип составляют нелинейные оптические приборы, в которых оптически наведенное изменение диэлектрической проницаемости сравнимо или превышает разницу диэлектрической проницаемости между контактирующими средами. Приборы, работающие в этом режиме, включают в себя нелинейные волно-водные ограничители мощности, а также приборы с низким критическим порогом потока энергии и оптические переключатели.

Так как при конструировании волноводов используются среды с нелинейными свойствами, то в данной работе рассматривается реальный волновод с различными типами нелинейной среды: на основе жидкого кристалла с нелинейностью Керра и полупроводника с эффектом насыщения.

Исследования в области распространения электромагнитных волн в слоистых нелинейных средах связаны с именами таких отечественных и зарубежных ученых, как Сухоруков А.П., Розанов H.H., Агранович В.М., Литвак А.Г., Миронов В.А., Марадудин A.A., Карамзин Ю.Н., Колоколов A.A., Суков А.И., Федянин В.К., Ахмедиев H.H., Г. Агравал, Д. Маркузе, А. Снайдер, и др. Поиск решений близких по тематике проблем и анализ

7

полученных ранее результатов в работах других авторов позволили определить место работы в общем потоке исследований.

Важным объектом исследования является нелинейный волновод, так как он представляет наибольший интерес для изучения нелинейных эффектов при переносе электромагнитного излучения в слоистой среде. С одной стороны, нелинейные эффекты накладывают ограничения на мощность излучения, которую можно передавать по оптическому волноводу. С другой стороны, нелинейные оптические взаимодействия могут быть положены в основу оптических устройств, находящих применение для оптической обработки информации и для других целей.

Таким образом, задача моделирования распространения электромагнитных волн в нелинейных слоистых структурах актуальна и возникает потребность в необходимости ее решения.

Во второй главе проводится построение математической модели переноса электромагнитного излучения в плоскопараллельных структурах на примере планарного волновода в рамках системы уравнений Максвелла.

Наиболее типичным для планарного волновода является структура из трех слоев: подложки, пленки и покрытия, каждый из которых характеризуется своей диэлектрической проницаемостью е1 (/-1,2,3). Подложка и пленка обладают линейными свойствами, а покрытие обладает нелинейностью. Предполагалось, что каждая из сред, составляющих структуру, имеет некоторый, отличный от нуля, коэффициент поглощения, который характеризуется мнимой частью диэлектрической проницаемости +Щ.

Использовались различные нелинейные зависимости диэлектрической проницаемости от электрической напряженности поля электромагнитной волны: закон Керра, когда диэлектрическая проницаемость зависит от поля квадратичным образом е№' - аЩ , полиномиальная зависимость четвертого порядка и эффект насыщения, когда диэлектрическая проницаемость зависит от поля по экспоненциальному закону

а\Ё( 1-ехр(—!—Ц

, где а - параметр нелинеиности а > 0, когда имеет место самофокусировка.

Для нахождения стационарного решения амплитуды напряженности поверхностной волны ТЕ-тша. поляризации рассматривалась одномерная краевая задача с граничными условиями непрерывности функций и производных на границе раздела сред. А также, для того, чтобы энергия поля не рассеивалась в пространство должно выполняться условие равенства нулю функции на бесконечности.

Для ненулевой компоненты вектора электрической напряженности с учетом поглощения безразмерные уравнения Максвелла будут иметь вид:

(Г,+ О,

где Еу = Е'У+Ш'У

В матричном виде для пленки и покрытия: ^Е

к„ агВЕу = О, (0<г<1) пленка

—к.^СЕ, = 0,

(г>1) покрытие

(г<0) подложка (1)

(2)

(3)

(г ' * Л Р ,£, , Е, = ( Ч' Е>

' У

где В=

Так, для нелинейности Керра: С =

.,! » Л

р-ес -\Е\ ,ес

а для нелинейности с насыщением: С =

ш2 ,

Рг-ес -¿„О-ехрС-П-),^

И"

Кроме того, рассматривалась зависимость диэлектрической проницаемо-

( "2 V'2

сти вида с = —I [Фущич В.И., Цифра И.М. О симметрии нелинейных уравнений электродинамики// Теор. мат.физ., 1985, Т.64, №1, с. 41-50], при которой нелинейные уравнения Максвелла инвариантны относительно конформной группы С( 1,3).

Важнейшим вопросом при распространении нелинейных поверхностных волноводных мод (НТТВМ) является вопрос исследования их ус-

тойчивости. На основании существующих методов исследования устойчивости в диссертации рассматривается проблема устойчивости НПВМ в нелинейной трехслойной структуре с поглощением.

Использовалось уравнение типа нелинейного уравнения Шредин-

гера: + А = 0, (4)

где р - эффективный показатель преломления, характеризующий скорость распространения электромагнитной волны, А (х,г) - профиль поперечного поля.

Для медленно меняющейся огибающей амплитуды электрической напряженности с учетом поглощения

А(х,2) = ^((Е'у (х, г) + \Е'у (х,г)) = А'(х, г) + ¡А'(х, г), (где ас - параметр нелинейности) было получено уравнение в матричном виде с нелинейностью Керра:

(5)

и для нелинеиности с насыщением:

дА дгА „г ч

ах дг

1-ехр(-—)

Это уравнение имеет два интеграла сохранения (? и Я:

4. 2

<2(Ю=1\А(х,г)\ <Ь -

(6)

(7)

величина пропорциональная потоку энергии электромагнитной волны Р и гамильтониан Н:

г

(для квадратичной нелинейности (эффект Керра))

дА

дг

ИГ'

е^

и2

<Ь.

(8)

(9)

(для нелинейности насыщения).

При рассмотрении переноса электромагнитного излучения в тонких (порядка микрона) диэлектрических слоях может оказывать влияние сила Казимира. Сила притяжения или отталкивания между макроскопическими материальными границами в вакууме. Поэтому в работе проводилось исследование поведения силы Казимира в тонкой нелинейной пленке планарного волновода. На основании существующих данных по исследованию силы Казимира была рассмотрена модель ее определения:

(10)

Где С - ''■Р '<*' ~''Р «К-2а^/с)

-рч-Р.

¡¡х+рч + р у

Е/

В предельном случае, при соответствующем соотношении диэлектрических проницаемостей е5>£(>ес (я, /, с — индексы, соответствующие подложке, пленке и покрытию) может возникать сила отталкивания между диэлектрическими пластинами, зависящая от диэлектрической проницаемости:

йс5Д2 23

А 8 X

где5-площадьпластины, ~> °~ег~ес-

Таким образом, предложенные модели позволяют изучить важные вопросы распространения поверхностных электромагнитных волн в нелинейных слоистых средах: влияние поглощения на стационарные решения, их устойчивость, исследование характера поведения силы Казимира в тонких слоях.

В третьей главе предлагаются методы решения поставленных задач. Первая часть главы посвящена выбору и краткому описанию математических методов для нахождения стационарного решения одномерной и двумерной задач в рамках предложенной математической модели. Решение стационарной задачи с поглощением с различными нелинейными

11

диэлектрическими зависимостями от поля в диссертации находилось численно. Универсальным методом приближенного решения дифференциальных уравнений является метод конечных разностей. Заменив производные и краевые условия на разностные аналоги, получим систему разностных уравнений в виде системы алгебраических уравнений. Одним из методов решения разностных уравнений является метод прогонки. Так как используются матричные уравнения, то применяется метод матричной прогонки, который представляет собой обобщение обычной прогонки на случай системы векторных уравнений. По сравнению с другими прямыми методами решения разностных задач матричная прогонка более универсальна, так как позволяет решать уравнения с переменными коэффициентами и не накладывает сильных ограничений на вид граничных условий, что и послужило выбором этого метода.

Для оптимизации метода матричной прогонки возникает необходимость в разработке эффективного алгоритма, позволяющего сократить время счета и повысить точность получаемого результата. В частности, были применены параллельные вычисления с использованием многопроцессорных вычислительных систем. Используется алгоритм распараллеливания метода матричной прогонки для численного решения краевой задачи. Суть алгоритма заключается в следующем: решение на каждом процессоре имеет вид линейной комбинации

Уг +У((»)У{ +У^У( , (12)

где «-номер процессора.

Последовательность действий такова:

1. На каждом процессоре 0<т<р-1 решается три задачи для определения У®, У75, у""' методом прогонки;

2. Затем происходит отсылка результатов нулевому процессору и обмен коэффициентами новой задачи;

3. На нулевом процессоре происходит решение короткой задачи для

нахождения У^ У^«*» методом прогонки;

4. Результат рассылается на все процессоры системы и затем восстанавливается полное решение задачи на каждом процессоре.

Так как, параллельный алгоритм метода прогонки позволяет увеличить эффективность расчетов на 33%, то его целесообразно применять при расчете поставленной задачи.

Во второй части главы на основе интегро-интерполяционного метода, осуществлено построение разностной схемы и численная реализация для решения одномерной и двумерной краевых задач.

Для нахождения электрической напряженности одномерной краевой задачи (1)-(3) использовались аналитические и численные методы. На основе теории обыкновенных дифференциальных уравнений решение уравнения (1) было найдено аналитически. Для решения уравнений (2)-(3) был предложен численный метод конечных разностей. Задача (2)-(3) представляет собой разностную краевую задачу, с помощью которой легко перейти к разностной схеме:

7(®.+!/2~в,м/2)~*Ь2'*1ДЁ/ =0, для 0</</0 (пленка) (13)

п

7(®1+|/2-®,-1/2)-^2сД =0, для *,<«<2У (покрытие) (14) п

где 1 (фм , 2 - ®ы,,) = (у,., - 2у, + у ^)

Она является нелинейной относительно у,, так как рассматриваются различные типы нелинейной зависимости диэлектрическая проницаемости от поля. Поэтому применялся итерационный метод, в частности метод простой итерации:

В качестве нулевого приближения было выбрано значение напряженности падающей волны на границу подложка-пленка, которая была найдена аналитически. Решение уравнений (15) относительно Ё('*'\ находилось методом матричной прогонки в сочетании с итерационным методом. Для окончания итераций использовалось условие:

где е - заданная точность.

Для исследования устойчивости стационарного распространения нелинейной волны необходимо было решить двумерную задачу (5), (6). Для нахождения численного решения в работе применялась шеститочечная неявная разностная схема Кранка - Николсона (рис.1) с погрешностью СК}1гг+кД Для нелинейности Керра:

Л Д =0, * = ОД,...

(15)

(16)

Для нелинейности насыщения:

у| /и + -2уг +у!:; _ ^ ^Cxp(-|,/|V (18)

К in, г 1

уЬ

У,

уЬ

Рис. 1 Шаблон схемы Крянка-Ннколсона

Решение разностной краевой задачи для у'* было найдено методом матричной прогонки. В силу того, что разностные схемы (17) и (18) нелинейные относительно у{*х организуется сходящийся итерационный процесс. В частности, был выбран метод простой итерации:

! Ж+1 I 1*1 I 1+1 I

^у.-1-с>у,+в,ум=-р1, (19)

»1

Решение уравнений (19) относительно у, с краевыми условиями при ( = 0, = АГг находилось методом матричной прогонки. За нулевую итерацию принималось значение функции с предыдущего расчетного слоя. Итерационный процесс завершается, когда для каждого г одновременно

выполняется следующее условие: |>+|

У* , (20)

шах|.

\у-у>

<етах

Z,t

где е - заданная точность. Шаги по х (hx) и по z (hz) выбирались таким образом, чтобы выполнялось сохранение интегралов Q(ß) и #(/3) (7) - (9) на 98%.

В четвертой главе приведены результаты вычислительного эксперимента для некоторых конкретных случаев оптических параметров системы. Получены результаты численного моделирования, позволяющие изучить роль поглощения на напряженность электромагнитной волны рис. 2-3.

и' 'йеЕ ЯеЕ; =0.1

> / V <

»/ /6

ли

I 02 1

-1.2 -1 -08 -0.6 -0.4 42 0 0.6 08 1

Рис.2. Влияние поглощения на действительную часть напряженности электромагнитной волны.

Параметры расчета:е,=2.469, £¿=2.465, ^=2.462, </=1.22 мкм, Л=0.633,

коэффициент поглощения е1 =0.1;0.001;у=«,с/; параметр дифракции 2яШ*3.259. =1, £]и,тм2 = 0.852

1 (118 1т Е

0.06 1111 ._о : , , , , г

•0.9 -0.6 -0.3 с -аоб: У 0,7 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1

•а12 Л/

018

Рис.3а £,лти=-0.127

|1т Е

НО;

0.6

•1.2 -йв -ад 0 ■аг-

ав 1.2 1Б 2

г >

РисЗб ЕьъшвГ 0.523

Рис За, 36. Влияние поглощения на мнимую часть напряженности электромагнитной волны. Параметры расчета те же, что и на рис.2

Из приведенных расчетов следует, что изменение коэффициента поглощения оказывают влияние на действительную и мнимую составляющие напряженности электрического поля. В частности, чем больше коэффициент поглощения, тем больше процент поглощающей часта излучения. Для щ =0,001 он составил 12,7%, а для £¡=0,1 составил 52,3%.

Было исследовано влияние поглощения на нелинейную зависимость потока электромагнитного излучения от эффективного показателя преломления для различных типов нелинейности. В частности, для нелинейности типа Керра обнаружено, что при некоторых критических значениях коэффициента поглощения (е/=0,01) и параметра дифракции (2яШ=3,2593) имеет место исчезновение бистабильности; при определенном значении параметра дифракции (2яШ =1,6171) и при большой разнице между диэлектрическими проницаемостями контактирующих сред (Де=0,093) имеет место явление мультистабильности. Для нелинейности с насыщением показано, что при некотором оптически наведенном изменении диэлектрической проницаемости (ем =0.1256) и коэффициенте поглощения =0,1) эффект бистабильности исчезает. При исследовании диэлектрической проницаемости, при которой нелинейные уравнения Максвелла инвариантны относительно конформной группы С(1,3), негативное влияние поглощения на явление оптической бистабильности

при определенных условиях на амплитуду волны может уменьшаться или исчезнуть в связи с возникновением эффекта Маркуса.

Проведено также исследование состояния мультистабильности (возможности системы находиться в нескольких состояниях) в поглощающих структурах различных геометрий: двухслойной и трехслойной структур (рис.4 - 5). Результаты численного моделирования показали, что усложнение структуры может негативно сказаться на таком сложном явлении как явление мультистабильности.

Рис.4 Зависимость эффективного показателя преломления Р от потока ^ электромагнитного излучения

^^ Р.(Нелинейность Керра)

^^ Параметры расчета те же, что и на рис.4

(трехслойная структура, где ее=2,592).

5 10 15

ЦВг/н)

1,58 -1.571,56 -1,551.54 -1,53 1,521,51 т-

Рис.5 Зависимость эффективного показателя преломления от потока электромагнитного излучения Р. (Нелинейность Керра). Параметры расче-та:£5=2,М0, ^=2,403 (двухслойная структура), ¿=2 мкм, к=2яА., Х=0,515 мкм, коэффициент поглощения £¡"=0,001; 3=8,с; параметр дифракции 2яХУа =1,6171.

С помощью критерия устойчивости, рассмотренного в главе 3, проведено исследование устойчивости стационарных решений с учетом поглощения. Неустойчивость стационарного распространения волны определялась изменением распределения поля по координате г по мере распространения по координате х. Результаты численного моделирования представлены на рис. 6 - 7. В случае нелинейного покровного слоя, подчиняющегося закону Керра в области отрицательного наклона кривой ¿р

ДР), т.е. при — <0 стационарные волны являются неустойчивыми на (¡р

1,,

1,59 1,565 1.58 ,575 1.57 1,565 1,56

(

50 100

Р(ВтАа)

определенном расстоянии хкрит=20 мкм. В случае нелинейного покровного слоя с насыщением в области положительного наклона кривой ДР), ¿Р Л

т.е. при — > 0 стационарные волны являются устойчивыми на расстоянии Хурит^Л0 мкм. Исследована роль коэффициента поглощения на энергию волны ]Я|2. Для нелинейности Керра при коэффициенте поглощения

0.001 на расстоянии х=20 мкм потери энергии составляют 37,29%, а для нелинейности с насыщением - 33,51%.

На расстояниях х> х^п энергия волны практически полностью поглощается и потери составляют при коэффициенте поглощения 0,01: для нелинейности Керра - 98,03%, а для нелинейности с насыщением - 97,72%.

Л

Рис.6 Эволюция распределения поля в зависимости от расстояния распространения х (нелинейность насыщения).

Параметры расчета: £,=2,310, £(=2,592, £с=2,403, £„,=0.1256, Р=1.585, £,"=0,001, х,т=40 мкм, </=0,4 мкм, к=2я/Х, Х=0,515 мкм

Рис.7 Эволюция распределения поля в зависимости от расстояния распространения х (квадратичная нелинейность).

Параметры расчета: £¡=2,310, £¡=2,592, Ес-2,403, 0=1.585, е/=0,001,дсКМ=40мкм, ¿=0,4 мкм, к=2яД, >.=0,515 мкм

Результаты вычислительного эксперимента по исследованию поведения силы Казимира в тонких диэлектрических структурах показали, что кроме бистабильной зависимости нелинейный характер переноса электромагнитных волн, порождает бистабильную зависимость (ХРотн) и (рис. 8-9). При увеличении толщины нелинейной плен-

ки <1 ширина области бистабильности для Р(Р^ и для Щ.Рти) уменьшается. С увеличением разности диэлектрических проницаемостей контактирующих сред ширина области бистабильности Р(Р$ увеличивается, тогда как для [ХРот) не изменяется. Но с увеличением диэлектрической проницаемости в пленке резко уменьшается пороговое значение Р0тм необходимое для возникновения режима бистабильности.

у

1.58

/ Ч

•агип-ч -1.61 (п-91 -»кп-81

•злиигде эгакгя -звопо-ц! звшгщ

Рис.8 Зависимость потока электромаг- Рнс.9 Зависимость эффективного

нитного излучения р/ от силы Казимира показателя преломления среды р от

Ротн. силы Казимира /'«т

Параметры расчета: Параметры расчета:

еу = 0.005, </ = р = 2.592, с, = 2.403, £с =2.310 г,

-. 0.005, Л 2.592, е, = 2.403, е, = 2.310

В заключении диссертационной работы сформулированы основные выводы и приведены выносимые на защиту результаты.

Основные результаты работы

1. Исследована математическая модель распространения нелинейных оптических поверхностных электромагнитных волн ТЕ - типа поляризации в трехслойной плоскопараллельной структуре с различными видами нелинейности и поглощением в каждом слое, что позволило изучить влияние коэффициента поглощения на особенности переноса электромагнитного излучения.

2. Разработаны алгоритмы численного моделирования переноса электромагнитного излучения в многослойных структурах с нелинейными свойствами. Предложен модернизированный метод расчета напряженности электрического поля для трехслойной структуры с поглощением с использованием параллельных вычислений.

3. Получены зависимости эффективного показателя преломления /? от потока энергии Р электромагнитного излучения для различных типов нелинейности диэлектрической проницаемости от поля при различных значениях оптических характеристик, толщины пленки и коэффициента поглощения. Зависимость потока излучения от эффективного показателя преломления оказывается нелинейной, что создает возможность управления процессом. Выполненное численное моделирование показало существенное влияние коэффициента поглощения на поперечную составляющую напряженности электромагнитной волны и на области оптической бистабильности.

4. Исследована устойчивость стационарного распространения электромагнитной волны в нелинейной трехслойной структуре с поглощением на основе численного решения нелинейного уравнения Шредингера и исследования зависимости ДР).

5. Впервые получена нелинейная зависимость потока электромагнитного излучения Р от силы Казимира Р, которая является бистабильной в определенном диапазоне Р.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Е.М. Зайцева (Е.М. Красикова). Распространение электромагнитного излучения в нелинейных плоскопараллельных структурах с поглощением // VTI Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов 2000». Секция «Физика». Сборник тезисов. - М.: Физич. ф-т. МГУ, 2000. - С. 15.

2. Е.М. Зайцева (Е.М. Красикова). Особенности распространения ТЕ - поверхностных электромагнитных волн в двух и трехслойных нелинейных поглощающих плоскопараллельных структурах // IV Международная конференция по математическому моделированию / Сборник тезисов. - М.: Изд-во «СТАНКИН», 2000. - С. 45.

3. Е.М. Зайцева (Е.М. Красикова). Расчет напряженности электромагнитного поля в плоскопараллельных поглощающих структурах с нелинейными свойствами с использованием параллельных алгоритмов // П Международная конференция молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки». Сборник тезисов. - Ч. 1. - Самара: Сам-ГТУ, 2001.- С.85.

4. Е.М.Зайцева (Е.М. Красикова). Влияние поглощения на напряженность электромагнитного излучения в плоскопараллельных нелинейных средах // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сб. научн. тр. / Под ред. Л.А. Уваровой. - М.: Изд-во "Янус-К", 2002. - Вып. 5- С. 84-88.

5. Л.А.Уварова, А.И.Суков, И. А. Козлова, Е.М. Зайцева (Е.М. Красикова). Распространение электромагнитных волн в нелинейных плоскопараллельных структурах с поглощением // Физика радиоволн: Труды Всероссийской научной конференции. - Томск: Изд-во Томского университета, 2002.- С.21-24.

6. Е.М. Zaitseva (Е. М. Krasikova). Influence of absorption to distribution of electromagnetic waves in the parallel plate nonlinear environments // Book of Abstracts.- Dubna, 2002. - Pp. 123.

7. E.M. Zaitseva (E. M. Krasikova). The features of the electromagnetic waves propagation in non-linear plane-parallel structures witch absorption // International seminar «Day on diffraction' 2003» / Abstracts. - St. Petersburg, 2003.-Pp. 89.

8. L.A. Uvarova, I.V. Krivenko, E.M. Zaytseva (E. M. Krasikova). Mathematical modeling of the electromagnetic waves spreading peculiarities

21

in the absorption medium of the different geometries // Mathematical modeling: modern methods and applications. - M.: Yanus K, 2004. - Pp. 200-211.

9. E.M. Zaitseva (E. M. Krasikova), L.A. Uvarova. Cazimir force influence on the electromagnetic waves propagation in plane-parallel structures // VI International congress on mathematical modeling / Сборник тезисов докладов. - Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2004. - С. 222.

10. Е.М. Зайцева (Е.М. Красикова), Л. А. Уварова,. Математическое моделирование переноса электромагнитного излучения в тонких плоскопараллельных структурах с нелинейными свойствами // ХП Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование» / Сборник научных тезисов. - Пущино, 2005,- Вып. 12,- С. 113.

11. Е.М. Красикова. Распространение поверхностных электромагнитных волн ТЕ - типа в плоскопараллельных прозрачных структурах при воздействии силы Казимира// Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сб. научн. тр. / Под ред. Л.А. Уваровой. - М.: Изд-во "Янус-К", 2005.-Вып. 8,- С. 98-103.

12. Зайцева (Е.М. Красикова), Л. А. Уварова. Моделирование эффектов, обусловленных распространением электромагнитного излучения в нелинейных плоскопараллельных структурах // Вестник Нижегородского Университета им. Н.И. Лобачевского. Серия математическое моделирование и оптимальное управление.-Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2005,- Вып. 2(29). - С.93-100.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красикова Екатерина Михайловна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕНОСА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В МНОГОСЛОЙНЫХ СТРУКТУРАХ С РАЗЛИЧНЫМИ НЕЛИНЕЙНЫМИ ЗАВИСИМОСТЯМИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ОТ ПОЛЯ

Лицензия на издательскую деятельность ЛР №01741 от 11.05.2000 Подписано в печать 22.03.2006. Формат 60х90'/16 Уч.изд. л. 1,25. Тираж 50 экз. Заказ № 49

Отпечатано в Издательском Центре МГТУ «СТАНКИН» 103055, Москва, Вадковский пер., д.За

¿o&óA

SVfY

p- 59 84

i.

Введение.

Глава 1. Перенос электромагнитного излучения в нелинейных слоистых структурах (обзор).

§1.1. Основы электромагнитной теории оптических волноводов.

§ 1.2. Общая характеристика поверхностных электромагнитных волн оптического диапазона.

§ 1.3. Оптическая бистабильность.

§ 1.4. Особенности переноса электромагнитного излучения в плоскопараллельных структурах с нелинейными свойствами.

§ 1.5. Нелинейные оптические волноводы.

Глава 2. Математическое моделирование распространения электромагнитных волн в нелинейных поглощающих средах.

§2.1. Математическая модель и исходные уравнения.

§ 2.2. Устойчивость стационарного распространения

1 нелинейной волны.

2.2.1. Формулировка задачи для исследования устойчивости нелинейной волны.

2.2.2. Устойчивость стационарного распространения электромагнитной волны в слоистой среде с поглощением.

§ 2.3. Моделирование силы Казимира в тонких диэлектрических структурах.

Глава 3. Методы решения стационарной задачи с поглощением с различными нелинейными диэлектрическими зависимостями от поля.

§ 3.1. Построение разностной схемы интегро-интерполяционным методом.

§ 3.2. Метод матричной прогонки.

§ 3.3. Базовый алгоритм распараллеливания и его эффективность.

§ 3.4. Разностная схема для нахождения напряженности поля

ТЕ - типа поляризации.

§ 3.5. Решение разностной задачи методом матричной прогонки. Итерационный процесс.

§ 3.6. Разностная схема и численная реализация исследования устойчивости поверхностной волны в нелинейных средах с поглощением.

Глава 4. Результаты численного моделирования.

§ 4.1. Влияние поглощения на процесс переноса электромагнитного излучения.

4.1.1. Влияние поглощения на напряженность электрического поля.

4.1.2. Поток электромагнитного излучения с учетом поглощения.

4.1.3. Устойчивость стационарного распространения нелинейной волны в поглощающих средах.

§ 4.2. Бистабильный характер зависимости эффективного показателя преломления и потока энергии от силы Казимира в тонких пленках.

В настоящее время ведутся исследования связанные с нелинейными системами, что связано как с научным, так и с практическим значением. Такие исследования позволяют выявить качественные и количественные закономерности распространения электромагнитных волн и изменение свойств сред, что необходимо для решения многих задач электродинамики. Одной из важных проблем энергетики является задача передачи энергии без существенных потерь на большие расстояния. Одним из решением данной проблемы является применение оптических волноводов.

Изучение распространения электромагнитных волн в структурах различных форм с нелинейными свойствами в последнее время стало особенно актуально в связи с распространением оптических волноводов и других устройств, сконструированных на основе оптических закономерностей [1]-[5]. Это также важно в связи с использованием в современных волноводах таких веществ с нелинейными свойствами, как жидкие кристаллы, полупроводники [6]-[9]. Открытие оптической бистабильности в полупроводниках GaAs [10] и InSl [11], и их многочисленное применение в оптических интегральных процессорах для оптической связи и в оптических компьютерах стимулировали в последние годы значительную теоретическую и экспериментальную активности [12-13]. Интерес к оптическим бистабильным элементам вызван рядом причин. Такие устройства являются оптическими аналогами основных электронных элементов ЭВМ и потому перспективны для цифровых оптических вычислений и обработки информации с широким применением несравненно легче реализуемых в оптике параллельных операций. Поэтому математическое моделирование нелинейных оптических эффектов в волноводах играют важную роль в разработке систем волоконной и интегральной оптики, предназначенных для оптической связи и обработки информации. С актуальностью данной проблемы связано большое число работ, посвященных исследованию переноса электромагнитного излучения в нелинейных системах.

Оптические волноводы, известные также как "диэлектрические" волноводы, представляют собой структуры, которые используются для концентрации и направления света в волноводных устройствах и схемах интегральной оптики [14-15]. Хорошо известным оптическим волноводом является оптическое волокно, которое обычно имеет круглое поперечное сечение. Для интегральной оптики представляют интерес планарные структуры (плоские), такие как планарные пленки или полоски. Поэтому в диссертации уделено внимание планарному волноводу [16].

Предполагалось, что среда состоит из трех слоев: подложки, пленки и покрытия, каждый из которых характеризуется своей диэлектрической проницаемостью (ej) j=l,2,3. В диссертации рассматриваются различные типы нелинейности диэлектрической проницаемости от поля: керровского типа, полиномиальная зависимость четвертого порядка, с насыщением и диэлектрическая проницаемость, при которой нелинейные уравнения Максвелла инвариантны относительно конформной группы С(1,3). Как известно, форма диэлектрической функции определяется физическими процессами, которые ведут к нелинейности. Нелинейность Керра, которая является квадратичной функцией локального оптического поля sNL = а возникает вследствие нелинейности электроники, тепловых эффектов и т. д. Кроме того, во всех реальных средах при достаточно высоких значениях интенсивности наблюдается явление насыщения, т.е. существует предельное значение изменения показателя преломления. Поэтому для нелинейности с

2 Е насыщением можно смоделировать функцию для диэлектрической проницаемости следующим образом: sNL = s,

Как известно, при распространении электромагнитного излучения в структурах с нелинейными свойствами может возникать явление оптической бистабильности [19], [20]. Данной проблеме посвящено большое количество литературы в связи с важными техническими приложениями: оптические волноводы, бистабильные переключатели.

Поскольку в процессе распространения излучения в реальных системах всегда имеет место поглощение части излучения, что влияет на характеристики волноводов, то в работе представляется важным рассмотреть вопрос о распространении электромагнитных волн в модельном волноводе типа плоскопараллельной структуры с учетом поглощения. Предполагалось, что каждая из сред, составляющих структуру, имеет некоторый, отличный от // нуля, коэффициент поглощения {£j=£j +i£j )• Действительно, при рассмотрении воздействия достаточно мощного излучения учет поглощения (е" становится актуальным даже для слабо поглощающих систем [21].

При рассмотрении переноса электромагнитного излучения в тонких слоях может оказывать влияние сила Казимира [22-28]. Сила притяжения или отталкивания между макроскопическими материальными границами в вакууме. В 1948 г. Генрих Казимир показал, что вследствие существования флуктуаций электромагнитного поля две параллельные незаряженные проводящие пластины, помещенные в вакуум, будут притягиваться [22]. Притяжение это достаточно мало и проявляется лишь на малых расстояниях (порядка микрона), поэтому эффект Казимира оказывает свое действие на микроструктуры.

В связи с тем, что рассматриваются тонкие (микронные) слои волновода, в процессе переноса электромагнитного излучения возникает сила а

1-ехр(--)

17-18].

Казимира. Поэтому в работе рассматривается задача исследования поведения этой силы при таком распространении электромагнитных волн.

Таким образом, актуальность данной работы заключена в изучении распространения электромагнитных волн в многослойной структуре с различными нелинейными средами с поглощением и характера поведения силы Казимира в рассматриваемой структуре.

Целью диссертационной работы является математическое моделирование и выявление качественных и количественных особенностей распространения поверхностных электромагнитных волн 7Е-типа поляризации в слоистых нелинейных средах с поглощением, что может быть использовано для создания более эффективных оптических приборов и систем, вследствие нелинейных эффектов в процессе переноса электромагнитного излучения. Для ее достижения были поставлены следующие задачи:

- исследование математической модели переноса электромагнитного излучения в нелинейных слоистых структурах с различными видами нелинейности и с поглощением в каждом слое;

- разработка эффективного алгоритма численного решения для нахождения напряженности электромагнитного излучения методом матричной прогонки с применением параллельных вычислений; исследование методами численного моделирования устойчивости стационарного распространения поверхностной электромагнитной волны в различных нелинейных средах; изучение особенностей бистабильной зависимости потока электромагнитного излучения от эффективного показателя преломления, характеризующего скорость распространения волны ТЕ-типа поляризации для различных оптических параметров системы;

- исследование поведения силы Казимира в тонких (микронных) диэлектрических структурах с нелинейными свойствами, позволяющее учесть ее влияние на нелинейный характер переноса электромагнитного излучения.

Методы исследования. В диссертационной работе применяются методы нелинейной электродинамики для построения математической модели переноса электромагнитного излучения в многослойных структурах с нелинейными свойствами. Для реализации решения поставленных задач, которые определяют цель работы, применяются численные методы математического моделирования с использованием параллельных вычислений на многопроцессорной вычислительной технике. Научная новизна работы заключается в следующем:

- исследована математическая модель распространения поверхностной волны ТЕ- типа поляризации в многослойной структуре с различными коэффициентами поглощения каждого слоя и различными типами нелинейности;

- разработан алгоритм решения системы уравнений Максвелла для нахождения напряженности электромагнитного поля с учетом поглощения и осуществлена его параллельная реализация на многопроцессорной вычислительной системе;

- проведены расчеты влияния поглощения на амплитуду электрической напряженности электромагнитного поля излучения и на характер оптической бистабильности потока энергии в зависимости от скорости распространения электромагнитной волны в рамках данной модели;

- проведено исследование устойчивости стационарного распространения электромагнитной волны с учетом поглощения для предложенной математической модели; впервые определена зависимость силы Казимира от потока электромагнитного излучения в тонких нелинейных диэлектрических слоях планарного волновода.

Практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы в энергетике, а также в области оптоэлектроники и интегральной оптики. В частности, для оптимизации параметров нелинейных волноводов при их конструировании, для создания оптических переключателей, нелинейных ответвителей, полупроводниковых и оптических приборов, которые основаны на явлении оптической бистабильности.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях: на IV Международной конференции «Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах», Москва: МГТУ «СТАНКИН», 2000 г. на VII Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов 2000», Москва: МГУ им. М.В. Ломоносова, 2000 г. на II Международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки», Самара, 2001 г. на V-ой Научной конференции МГТУ «СТАНКИН» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «СТАНКИН» и ИММ РАН», Москва , 2002 г. на VI Международном конгрессе по математическому моделированию, Нижний Новгород, 2004. на XII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование», Пущино, 2005 г.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 12 работ. Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка используемой литературы.

Заключение

Сформулируем основные результаты и выводы диссертационной работы:

1. Исследована математическая модель распространения нелинейных оптических поверхностных электромагнитных волн ТЕ - типа поляризации в трехслойной плоскопараллельной структуре с различными видами нелинейности и поглощением в каждом слое, что позволило изучить влияние коэффициента поглощения на особенности переноса электромагнитного излучения.

2. Разработаны алгоритмы численного моделирования переноса электромагнитного излучения в многослойных структурах с нелинейными свойствами. Предложен модернизированный метод расчета напряженности электрического поля для трехслойной структуры с поглощением с использованием параллельных вычислений.

3. Получены зависимости эффективного показателя преломления /? от потока энергии Р электромагнитного излучения для различных типов нелинейности диэлектрической проницаемости от поля при различных значениях оптических характеристик, толщины пленки и коэффициента поглощения. Зависимость потока излучения от эффективного показателя преломления оказывается нелинейной, что создает возможность управления процессом. Выполненное численное моделирование показало существенное влияние коэффициента поглощения на поперечную составляющую напряженности электромагнитной волны и на области оптической бистабильности.

4. Исследована устойчивость стационарного распространения электромагнитной волны в нелинейной трехслойной структуре с поглощением на основе численного решения нелинейного уравнения Шредингера и исследования зависимости Д-Р).

5. Впервые получена нелинейная зависимость потока электромагнитного излучения Р от силы Казимира F, которая является бистабильной в определенном диапазоне F.

Основные материалы диссертационной работы опубликованы в следующих изданиях:

1.Е.М. Зайцева (Е.М. Красикова). Распространение электромагнитного излучения в нелинейных плоскопараллельных структурах с поглощением // VII Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов 2000». Секция «Физика». Сборник тезисов. - М.: Физич. ф-т. МГУ, 2000. - С. 15.

2. Е.М. Зайцева (Е.М. Красикова). Особенности распространения ТЕ -поверхностных электромагнитных волн в двух и трехслойных нелинейных поглощающих плоскопараллельных структурах // IV Международная конференция по математическому моделированию / Сборник тезисов. - М.: Изд-во «СТАНКИН», 2000. - С. 45.

3.Е.М. Зайцева (Е.М. Красикова). Расчет напряженности электромагнитного поля в плоскопараллельных поглощающих структурах с нелинейными свойствами с использованием параллельных алгоритмов // II Международная конференция молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки». Сборник тезисов. - Ч. 1. - Самара: СамГТУ, 2001.- С.85.

4. Е.М.Зайцева (Е.М. Красикова). Влияние поглощения на напряженность электромагнитного излучения в плоскопараллельных нелинейных средах // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сб. научн. тр. / Под ред. JI.A. Уваровой. -М.: Изд-во "Янус-К", 2002. - Вып. 5.- С. 84-88.

5. Л.А.Уварова, А.И.Суков, И. А. Козлова, Е.М. Зайцева (Е.М. Красикова). Распространение электромагнитных волн в нелинейных плоскопараллельных структурах с поглощением // Физика радиоволн: Труды Всероссийской научной конференции. - Томск: Изд-во Томского университета, 2002.- С.21-24.

6. E.M. Zaitseva (Е.М. Krasikova). Influence of absorption to distribution of electromagnetic waves in the parallel plate nonlinear environments // Book of Abstracts.- Dubna, 2002. - Pp. 123.

7. E.M. Zaitseva (E.M. Krasikova). The features of the electromagnetic waves propagation in non-linear plane-parallel structures witch absorption // International seminar «Day on diffraction' 2003» / Abstracts. - St. Petersburg, 2003. - Pp. 89.

8.L.A. Uvarova, I.V. Krivenko, E.M. Zaytseva (E.M. Krasikova). Mathematical modeling of the electromagnetic waves spreading peculiarities in the absorption medium of the different geometries // Mathematical modeling: modern methods and applications. - M.: Yanus K, 2004. - Pp. 200-211.

9. E.M. Zaitseva (E.M. Krasikova), L.A. Uvarova. Cazimir force influence on the electromagnetic waves propagation in plane-parallel structures // VI International congress on mathematical modeling / Сборник тезисов докладов. -Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2004. - С. 222.

10. Е.М. Зайцева (Е.М. Красикова), Я. А. Уварова. Математическое моделирование переноса электромагнитного излучения в тонких плоскопараллельных структурах с нелинейными свойствами // XII Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование» / Сборник научных тезисов. - Пущино, 2005.- Вып. 12.- С. 113.

11. Е.М. Красикова. Распространение поверхностных электромагнитных волн ТЕ - типа в плоскопараллельных прозрачных структурах при воздействии силы Казимира// Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сб. научн. тр. / Под ред. JI.A. Уваровой. - М.: Изд-во "Янус-К", 2005. -Вып. 8.- С. 98-103.

12. Е.М. Зайцева (Е.М. Красикова), JI. А. Уварова, Моделирование эффектов, обусловленных распространением электромагнитного излучения в нелинейных плоскопараллельных структурах // Вестник Нижегородского Университета.-Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2005,- Вып. 2(29). - С.93-101.

1. Волноводная оптоэлектроника. Под ред. Т. Тамира. - М.: Мир, 1991.

2. Маркузе Д. Оптические волноводы / Пер. с англ.; Под ред. В. В. Шевченко.- М.: Мир, 1974.

3. Снайдер А, Лав Дж. Теория оптических волноводов. М.: Радио и связь, 1987. - 656 с.

4. Адаме М. Введение в теорию оптических волноводов. М.: Мир, 1984. -512 с.

5. Волоконно-оптическая связь: Приборы, схемы и системы: Пер. с англ. /• Под ред. М.Дж. Хауэса и Д.В. Моргана. М.: Радио и связь, 1982. - 272 с.

6. Аракелян С. М., Чилингарян Ю. С. Нелинейная оптика жидких кристаллов.-М.: Наука 1984.

7. Аракелян С.М. Оптическая бистабильность, мультистабильность и неустойчивости в жидких кристаллах // УФН. 1987. - Т. 153. - С. 579.

8. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников. М.: Наука, 1978.

9. Оптические свойства полупроводников. / Под ред. Р. Уиллардсона и А. Вира. М.: Мир, 1970.- 486 с.

10. Gibbs Н. М., McCall S. L., Venkatesan T.N.K. е. а. // Appl. Phys. Lett.• 1979.-Vol. 35.-P. 451-453.

11. Miller D.A.B., Smith S.D., Johnston A. // Appl. Phys. Lett. 1979. - Vol. 35.-P. 658-660.

12. Ligiato L.A. Theory of optical bistability // Progress in Optics / Ed. E. Wolf. -Amsterdam: Nort-Holland. 1984. - Vol. 21.- P. 71-216.

13. Gibbs H. M., Mandel P., Peyghambarian N., Smith S.D.Optical Bistability III // Proc. Topical Meeting. Tucson. 1985. Berlin: Springer, 1986.

14. Свечников Г.С. Элементы интегральной оптики. М.: Радио и связь, 1987.

15. Мидвинтер Дж. Э. Волоконные световоды для передачи информации. -М.: Радио и связь, 1983.

16. Унгер Х.Г. Планарные и волоконные оптические волноводы. М.: Мир, 1980.

17. Maradudin A.A. Optical and Acoustic Wawes in Solids: Modern Topics/ Ed. M. Borissov.- Singapor: World Scientific, 1983. P. 72 - 142.

18. Mihalache D, Mazilu D. // Sollid State Comm. -1986.- Vol. 60. P. 397399.

19. Гиббс X. Оптическая бистабильность. Управление светом с помощью света. М.: Мир, 1988.

20. Н.Н. Розанов. Оптическая бистабильность и гистерезис в распределенных нелинейных системах. М.: Наука. Физматлит, 1997. - 336с.

21. V.K. Fedyanin, L.A. Uvarova. 77s-Polarized surface waves in nonlinear medium with absorption. Preprint of the Joint Institute for Nuclear Research. Dubna, 1994.

22. Casimir H.B.G. // Proc. Kon. Nederl. Akad. Wet. 1948. - Vol. 51. - P. 793 -796.

23. Лившиц E.M. // ЖЭТФ. 1956. - T. 2. - C. 73.

24. Sparnaay M. J. // Physica. 1958. - Vol. 24. - P. 751-764.

25. Milton K.A., Schwinger J., DeRaad L.L.Jr. // Ann. Phys. (N. Y.) . 1978.-Vol. 115.-P. 388.

26. Мостепаненко B.M., Трунов Н.Н. // УФН. 1988.- Т. 156.- С. 385 - 486.

27. Мостепаненко В.М., Трунов Н.Н. Эффект Казимира и его приложения. М.: Энергоатомиздат, 1990 - 216 с.

28. P.W.Milonni. The Quantum Vacuum: An Introduction to Quantum Electrodynamics, Academic Press, New York, 1994.

29. Ландау Л.Д., Лившиц E.M. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982-623 с.

30. Либенсон М.Н., Макин B.C., Пудков С.Д. Поверхностные электромагнитные волны в оптике. Л.: О-во «Знание» РСФСР, ЛО, ЛДНТП, 1990- 24 с.

31. Агранович В.М., Бабиченко B.C., Черняк В.Я. Нелинейные поверхностные поляритоны // Письма в ЖЭТФ, 1980.- 32 №8.- с.532-535

32. Ахмедиев Н.Н. Бистабильные состояния нелинейных поверхностных поляритонов // Письма в ЖТФ.-1982.-Т.8, № 9. -с. 571-574

33. Ахмедиев Н.Н. Нелинейная теория поверхностных поляритонов // Письма в ЖЭТФ.-1983.-Т. 84, № 5. -с. 1907-1918

34. Поверхностные поляритоны / Под ред. В.М. Аграновича и Д.Л. Миллса.- М.: Наука, 1985-525с.

35. Беляков В.А., Орлов В.П., Шилина Г.И. Поверхностные электромагнитные моды в пленках киральных жидких кристаллов // ЖЭТФ, 1992.- Т. 102.

36. Беляков В.А. Жидкие кристаллы. М.: Знание, 1986- 162с.

37. Чандрасекар С. Жидкие кристаллы: Пер. с англ./ Под ред. А. А. Веденова, И.Г. Чистякова. -М.: Мир, 1980.

38. П. Де Жен. Физика жидких кристаллов: Пер. с англ./ Под ред. А. С. Сонина. М.: Мир, 1977. - 377 с.

39. Valera J. D., Seaton C.T., Stegeman G, I. e.a.// Appl. Phys. Lett.- 1984.- Vol. 45.-P. 1013-1015.

40. Jensen S.M. //IEEE J. Quantum Electron. 1982.-Vol. 18. - P. 1580-1583.

41. Seaton C.T., Xu Mai, Stegeman G.I.,Winful H.G.// Opt. Enging. 1985.-Vol. 24. - P.593-599.

42. Литвак А.Г., Миронов В.А./ Изв. Вузов. Радиофизика. 1968.- Т.П.- С. 1911-1912.

43. Каплан А.Е.// Письма ЖЭТФ. 1976.- Т. 24,- С. 132-137.

44. Vach Н, Seaton С.Т., Stegeman G.I., Khoo I.G.// Opt. Lett. 1984. - Vol. 9. - 238 - 240.

45. Bennion I., Goodwin M.J., Stewart W.J.// Electron. Lett. 1985. - Vol. 21.-P.41 -46.

46. Михалаке Д., Назмитдинов Р.Г., Федянин В.К. Нелинейные оптические волны в слоистых структурах.//Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1989.-Т.20. Вып.1 - С. 198 - 253.

47. Прохоров A.M. Нелинейные явления в волоконных световодах.// Известия АН СССР. Сер. физич. 1983.-№ 6.

48. Бутылкин В.Ф., Григорьянц В.В. Нелинейные явления в волоконных световодах.// Итоги науки и техники. Сер. Радиотехника.- М.: ВИНИТИ, 1983.-Т.30.

49. Дианов Е.М., Малышев П.В., Прохоров А. М. Нелинейная волоконная оптика// Квант электр. 1988. Т. 15.- № 1 -с.5-29.

50. Г. Агравал. Нелинейная волоконная оптика. М.: Мир, 1996.-323 с.

51. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970.- 856 с.

52. Шуберт М., Вильгельми Б. Введение в нелинейную оптику.- М.: Мир, 1973.

53. Бломберген Н. Нелинейная оптика. М: Мир, 1966.

54. Шен И.Р. Принципы нелинейной оптики. М.: Наука, 1989 - 557 с.

55. Нелинейные электромагнитные волны. Под. ред. П. Усленги; Пер с англ. И.Б. Стечкиной. / Под ред. А. А. Веденова. М.: Мир, 1983 312 с.

56. Нелинейная оптика: Сборник научных трудов / Под ред. В.И. Строганова. Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2000 - 136 с.

57. Лэм Дж.Л. Введение в теорию солитонов/ Пер. с англ. Н.Т. Пащенко, под ред. В.Е. Захарова. М.: Мир, 1983-294 с.

58. Солитоны / Под ред. Р. Буллафа, Ф. Кодри. Пер с англ. Б.А. Дубровина и др.: Под ред. С.П. Новикова. -М.: Мир, 1983.-498 с.

59. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов,- М.: Наука, 1986.

60. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике.- М.: Мир, 1989.

61. Н.Н. Ахмедиев, А. Анкевич. Солитоны.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 304 с.

62. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987.

63. N. Akhmediev, A. Ankiewicz (Eds.). Dissipative Solitons (Lecture Notes in physics). Berlin Heidelberg: Springer, 2005.

64. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование.- М.: Наука, ФИЗМАТЛИТ, 1997.- 205 с.

65. Карамзин Ю.Н., Сухоруков А.П., Трофимов В.А. Математическое моделирование в нелинейной оптике.- М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989.- 154 с.

66. Сухоруков А.П. Дифракция световых пучков в нелинейных средах.// Соросовский образовательный журнал, 1996.- №5.-С.85 92.

67. Тихонов А.К., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.

68. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Атомиздат, 1976.

69. Фущич В.И., Цифра И.М. О симметрии нелинейных уравнений электродинамики// Теор. мат. физ., 1985.- Т.64, №1.- С. 41-50.

70. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория поля.- 7-е изд, исправленное.- М.: Наука, 1988.- 509 с.

71. Уварова Л.А., Федянин В.К. Некоторые классы точных решений уравнений Максвелла, инвариантных относительно конформной группы С(1,3). Препринт. Дубна: ОИЯИ, 1989, № Р 17-89-597.- 7с.

72. Виноградов А. В. О формуле Друде в полупроводниках// Журн. теор. и экспер.физики, 1976, Т.70, № 3.- С. 999-1008.

73. Колоколов А.А. Устойчивость основной моды нелинейного волнового уравнения в кубической среде. // ПМТФ.-1973.-№ 3. С.56.

74. Колоколов А.А., Суков А.И. Неустойчивость высших мод нелинейного уравнения. // ЖПМ и ТФ.-1975.-№ 4. С. 152.

75. Ахмедиев Н.Н., Корнеев В.И., Кузьменко Ю.В.// ЖЭТФ. 1985,- Т.88. -С. 107-115.

76. Moloney J.V., Ariyasu J., Seaton C.T., Stegeman G.I. // Opt. Lett. 1986.-Vol. 11.-P. 315-319.

77. Mihalache D, Mazilu D.// Solid State Comm. 1987.- Vol. 63. - P. 215-217.

78. Тахтаджян JI.A., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. -М.: Наука, 1986

79. Прикладная математика / Под ред. Л.А. Уваровой. М.: МГТУ «СТАНКИН», 1997.

80. К. W. Wetz. Repulsive Cazimir force between dielectric planes./ MCC-NS. -USA.-2001.-P. 1-7.

81. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, ФИЗМАТЛИТ, 1971.

82. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.- 616 с.

83. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы.- М.: Наука ФИЗМАТЛИТ, 1973.

84. Тихонов А. Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1966.-724с.

85. Самарский А. А. Введение в численные методы. 2-е изд. - М.; Наука, 1987.

86. Бахвалов Н.С. Численные методы / Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. 3-е изд. перераб. и доп.- М.: Бином: Лаборатория занятий, 2003.- 632 с.

87. И. Бабушка, Э. Витасек, М. Прагер. Численные процессы решения дифференциальных уравнений.- М.: Мир, 1969.- 368 с.

88. Карамзин Ю.Н. Численные методы для некоторых задач нелинейной оптики.// Препринт ИПМ АН СССР, 1982.- № 73.

89. Самарский А.А., Четверушкин Б.Н. Использование и перспективы применения многопроцессорных транспьютерных систем для решения задач науки и техники // Юбилейный сб. трудов институтов ОИВТА РАН.-М., 1993.

90. Корнеев В.В. Параллельные вычислительные системы.- М.: Нолидж, 1999.

91. Воеводин В.В. Математические основы параллельных вычислений.- М.: Изд-во МГУ, 1991.

92. Воеводин В.В. Математические модели и методы в параллельных процессах. М.: Наука, ФИЗМАТЛИТ, 1986.

93. Воеводин В.В. Параллелизм в алгоритмах и программах // Вычислительные процессы и системы. Вып. 10 / Под ред. Марчука Г.И.- М.: Наука, 1993.- С. 253-270.

94. Якобовский М.В. Распределенные системы и сети. Учебное пособие. -М.: МГТУ «СТАНКИН», 2000.- 118с.