автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели и методы анализа волновых процессов в нелинейных средах

На правах рукописи

4856168

Катсон Владимир Маркович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ АНАЛИЗА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2010

4856168

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Землянухин Александр Исаевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Крысько Вадим Анатольевич

доктор физико-математических наук, профессор

Андрейченко Дмитрий Константинович

Ведущая организация:

Нижегородский филиал Института машиноведения им. A.A. Благонравова РАН (г. Нижний Новгород)

Защита диссертации состоится «22» декабря 2010 г. в )>:00 на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, корп. 1, ауд ^

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».

Автореферат размещён на сайте Саратовского государственного технического университета www.sstu.ru 22 ноября 2010 г.

Автореферат разослан «22» ноября 2010 г. Учёный секретарь

диссертационного совета

Терентьев A.A.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время одним из основных феноменов в нелинейной динамике является существование устойчивых стационарных импульсов - «солитонов» в средах различной природы: от плазмы до деформируемых твердых тел.

В частности, первое экспериментальное наблюдение солитона в тонкой металлической цилиндрической оболочке описано в работе И. Рудника, Дж. И. Ву, С. Питермана (1987).

Ряд вопросов нелинейной волновой динамики цилиндрических оболочек освещен в работах Л.И. Могилевича и А.И. Землянухина. Основные результаты получены для тонких цилиндрических оболочек Кирхгофа-Л я ва (гипотеза прямых нормалей) на основе интегрируемых уравнений.

Вместе с тем, нелинейные математические модели, приводящие к интегрируемым уравнениям, зачастую оказываются идеализированными. Уточнённые модели, учитывающие реальные факторы (неоднородность материала И- диссипацию), часто приводят к неинтегрируемым уравнениям, аналитическое исследование которых затруднено. Единственным - способом исследования такой системы является численный эксперимент.

Задачи численного моделирования распространения волн деформации в тонкой цилиндрической оболочке, но в одномерном случае были решены Е.И. Штейнбергом. Численные эксперименты в настоящей работе проводятся на двумерной сетке, что позволяет учитывать влияние пространственной неоднородности исследуемой системы на волновой процесс.

Многочисленные практические применения оболочечных конструкций в технике обусловливают актуальность данной работы.

Цель работы. Исследование математических моделей и методов анализа нелинейных волн в деформируемых системах, описываемых неинтегрируемыми уравнениями на основе теории тонких оболочек Кирхгофа-Лява в двумерном случае с учётом диссипации, конструктивной неоднородности, геометрической и физической нелинейности. .

Комплексный характер исследования. приводит к необходимости решения следующих, задач:

• Вывод обобщенного эволюционного уравнения, моделирующего распространение продольных волн деформации в геометрически и физически нелинейной неоднородной цилиндрической оболочке с затуханием.

• Нахождение классов точных решений полученного уравнения, включающих в себя солитоноподобные решения.

• Численное моделирование выведенного уравнения и исследование эволюции импульсов различной формы, в том числе и двумерных.

Научная новизна работы. Получила дальнейшее развитие нелинейная волновая динамика цилиндрических оболочек, а именно:

• Выведено новое обобщенное пространственно-двумерное нелинейное эволюционное уравнение, описывающее распространение продольных волн в

пологих тонких цилиндрических оболочках Кирхгофа-Лява. От известных ранее моделей уравнение отличается одновременным учетом геометрической и физической нелинейности, потерь энергии и конструктивной неоднородности материала оболочки.

• С помощью метода простейших уравнений для физически значимых редукций выведенного уравнения найдены классы точных солитоноподобных решений.

• На основе проведенного сравнения основных численных методов для решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных показана целесообразность использования для уравнений 5-го порядка неявных псевдоспектральных схем. Такие схемы обладают лучшим, в рамках поставленной задачи, соотношением между скоростью и точностью вычислений. Необходимость выполнения большого числа вычислительных операций для расчета значений сеточной функции компенсируется в них устойчивостью, позволяющей делать большие шаги по времени.

• Усовершенствован классический неявный псевдоспектрапьный метод, область его применимости расширена на уравнения, содержащие сложные нелинейные члены, например ии^ или м^м^.

• Численно исследованы (на двумерной сетке) солитоноподобные решения выведенного уравнения и его частные случаи: явления распространения и упругого взаимодействия солитоноподобных волн, обнаружены ударно-волновые режимы и устойчивые крестообразные структуры, обнаружен устойчивый режим распространения волны с моделированным по амплитуде передним фронтом.

• Разработан проблемно-ориентированный комплекс программ численного и аналитического исследования нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Комплекс содержит:

1. Программу (simpeq) для решения дифференциальных уравнений в частных производных с использованием систем компьютерной алгебры. Программа существенно упрощает и в ряде случаев полностью автоматизирует процесс решения уравнений в частных производных методом простейших уравнений и строит точные волновые решения.

2. Программную оболочку (20-$оШоп), объединяющую реализованные численные методы и позволяющую численно моделировать пространственно-двумерные эволюционные уравнения.

Достоверность результатов. Исследования проводились на основе численных методов, устойчивость и сходимость которых были теоретически обоснованы. Достоверность результатов, полученных в работе, подтверждается также совпадением результатов численного и аналитического исследования. Дополнительно точность численных вычислений проверялась вариацией временного шага.

Практическая и теоретическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы в приложениях, связанных с акустическими и неразрушающими методами диагностики состояния материалов. Результаты

моделирования поведения уединенных волн могут быть использованы для передачи информации по акустическим волноводам.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на ежегодных Нижегородских акустических конференциях в Институте машиноведения им. A.A. Благонравова (Нижний Новгород, 2006), на Международной конференции «XVIII . сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды» (Саратов, 2007), на Международной конференции «Advanced Problems in Mechanics 2008» (Санкт-Петербург, 2008), XXIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Саратов, 2010), на XXII сессии Российского акустического общества и сессии научного совета РАН по акустике, на научном семинаре кафедры прикладной математики и теории навигационных приборов под руководством А.И. Землянухина.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения работы:

• Выведенное новое нелинейное уравнение в частных производных, описывающее волновые процессы в физически и геометрически нелинейных цилиндрических оболочках Кирхгофа-Лява в пространственно неодномерном случае с наличием диссипации.

• Точные решения полученных неинтегрируемых (в смысле метода обратной задачи рассеяния) эволюционных уравнений и их частных случаев. В бездиссипативном случае с учетом лишь физической нелинейности найдено солитоноподобное решение. Учет только геометрической нелинейности приводит к двум новым решениям: солитонному и сингулярному.

• Результаты численного моделирования эволюции различных начальных импульсов в нелинейных средах. Бездиссипативный случай с физической нелинейностью в случае задания начального импульса в виде гауссова купола приводит к образованию крестообразных структур. Случай задания сдвоенного гауссова импульса в качестве начальных условий приводит к образованию устойчивого волнового фронта с поперечно-модулированной амплитудой. Учёт геометрической нелинейности приводит к образованию крестообразной структуры для однокупольного начального возмущения и прямого солитона в случае с двухкупольным начальным импульсом. Моделирование диссипативной редукции выведенного уравнения приводит к обнаружению классических ударных волн и ударных волн с осциллирующим передним фронтом.

• Точные солитоноподобные решения системы уравнений, описывающей продольные волны деформации в магнитоупругом стержне.

• Комплекс программ численного и аналитического исследования нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Комплекс содержит:

1. Программу simpeq, которая существенно упрощает и в ряде случаев полностью автоматизирует процесс решения уравнений в частных

производных методом простейших уравнений и строит точные волновые решения.

2. Программную оболочку (2D-soliton), объединяющую реализованные численные методы и позволяющую численно моделировать пространственно-двумерные эволюционные уравнения.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 6 научных статьях (из них 4 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ) и учебном пособии.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложений и содержит 126 страниц текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении раскрывается актуальность избранного направления исследований на основе теоретических, экспериментальных и прикладных работ. Сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость работы. Кратко изложено основное содержание диссертации. Каждая глава предваряется кратким обзором рассматриваемых проблем.

В главе 1 изложены основные современные аналитические методы, позволяющие точно решать нелинейные уравнения в частных производных: метод Хироты, метод гиперболических функций, метод сингулярного многообразия и метод функций перегиба. На основе проведенного анализа выбран метод простейших уравнений (H.A. Кудряшов), как легко алгоритмизуемый и позволяющий находить решения более широкого класса. Описан и реализован алгоритм на основе системы компьютерной алгебры Maple. Приведён пример решения модифицированного уравнения Кортевега -де Вриза (МКДВ) с помощью разработанной в диссертации программы simpeq.

Глава 2 посвящена обзору основных численных > методов, применяющихся для решения нелинейных уравнений в частных производных. Выбраны конечно-разностные и спектральные методы, а также периодические граничные условия, адекватные эволюции финитных импульсов с конечной энергией и солитоноподобных возмущений. Приведён код алгоритма решения систем уравнений с циклической полосовой матрицей.

Для решения проблем устойчивости спектральных методов выбран метод Орзага.

Составлен явный спектральный алгоритм решения уравнения МКДВ и его аналог более высокого порядка

»,-"4-ß"xa+Y"m =0' (1)

Предложен неявный псевдоспектральный метод, основанный на идее гибридизации точности спектральных методов и устойчивости неявных методов. На примере уравнения МКДВ показана процедура построения

численного алгоритма, приводящего к решению на каждом шаге по времени системы нелинейных алгебраических уравнений, с помощью простой итерации. Показан механизм устойчивости данного алгоритма.

Предложен алгоритм, продолжающий идею гибридизации спектральных методов, распространяя этот подход на уравнения, содержащие члены, непредставимые в виде ай"(и"), где £>- дифференциальный оператор, а -

константа. Метод назван «комбинированный псевдоспектральный метод». Идея метода состоит в том, что расчет таких сложных нелинейных членов производится явным образом в трехмерном пространстве. Показано его применение для численного решения уравнения:

Показана устойчивость данного алгоритма.

В главе 3 исследована эволюция нелинейных продольных волн в геометрически и физически нелинейных цилиндрических оболочках на основе модели Кирхгофа-Лява. Рассматривается пологая оболочка. Уравнения движения элемента оболочки, записанные в перемещениях, имеют вид

с/„ + -£-чг, + ии„ + V у„ + шж, +1±£»'и' я,, -

2

4 ' "з Е

(зи^и'-ЖЦИи ц и, + »и- +-V

^ Я " й * ' Я1 " ч- я')

и„ = о,

+ ^^ - ^ + + у,Ч„ + и'д,, + ^ч/У* + +

_ Г(1-/1г)у _0

+-!■»'-А

12 Я * Л ' 2Я(

-(и;+у;+)- ^-(и; + V/ % " к ) ЗЕ{И 'Л2 ' К' ' я4 ) IЕ

где £/, V, ТУ - перемещения; Е - модуль Юнга; ц - коэффициент Пуассона; у удельный вес материала оболочки; g - ускорение свободного падения; /г

толщина оболочки.

Эти уравнения содержат 5 малых параметров:

И. Э4

ЭУ + Элг2Эу2 + Э/'

характеризующих соответственно нелинейность волнового процесса^), его дисперсию(^), тонкостенность оболочки(<У2), слабую угловую расходимость квазиплоской волны( ), а также параметр 34, характеризующий «конструктивное демпфирование», то есть потери энергии.

Здесь А — характерный масштаб амплитуды возмущения; I - характерная длина волны; Я - радиус кривизны оболочки; /г - толщина оболочки. Рассматривается случай, когда возмущение распространяется с постоянной скоростью вдоль образующей оболочки, медленно меняет свои параметры во времени. Согласно методу многих масштабов, вводятся в -рассмотрение разложения зависимых и независимых переменных по степеням малого параметра е, соответствующие рассматриваемому случаю:

и=и0+и1, ¿¡ = х- а,

У=4ё{У0+еУ,),т1 = £у, (4)

XV т=£1.

Здесь безразмерные перемещения точек срединной поверхности

в направлениях х,у,г соответственно; С — неизвестная «базовая» скорость возмущения, значение которой определяется в результате первого шага метода многих масштабов.

Исследуется случай, когда параметры нелинейности, дисперсии и тонкостенности имеют одинаковый порядок малости

ба = д1=52=0{е)=^8ъ=0{Щ,5л=0{Щ (5)

В итоге выведено уравнение, описывающее распространение волн продольной компоненты деформации в упругой геометрически и физически нелинейной оболочке

(и, +с,ии.+с2иги{ +с,и,{{ +С4ИЙЖ +с,нй)( = с6и„. (6)

Уравнение (6) имеет достаточно сложную аналитическую структуру, что затрудняет построение его точных решений в общем случае. Далее рассматриваются характерные частные случаи этого уравнения, на основе анализа которых делается вывод о существовании двумерных и одномерных уединённых волн и исходном уравнении.

В отсутствие затухания и физической нелинейности уравнение (б) приводится к виду:

(и, + ии,+рихв + уи]т)1=6иу>. (7)

Методом простейших уравнений с помощью разработанной программы simpeq получено 2 точных решения: уединенно-волновое

169/ 26 у у

1^169 у

(8)

и сингулярное

у(г)=—

105Д2(13 уа- + /3)2 весЬ 1 26^

г1 ¡-Мшь +С2)

г=х+с1у+1\—+ВС; I/ 1 169г 1 1

(9)

Рис. 1. График решения (12) при р = 0.25, у = -0.25, /1=0.29, С, = 1. Слева - сингулярное

1

решение, справа - непрерывное, реализующееся при а >

-Дз

Сингулярное решение (9) (рис.1 слева) не имеет физического смысла в общем случае, оно лишь формально является решением уравнения (7). Однако,

когда «>-д=, решение (9) (рис.1 справа) переходит в солитоноподобное

решение. Случай (8) демонстрирует физичное солитоноподобное решение уравнения (7).

В случае отсутствия затухания и в условиях, когда физическая нелинейность преобладает над геометрической (особенность материала оболочки), после замены переменных уравнение (6) принимает вид:

(Ю)

(и, - игих - аи+ ишХ1 ^ = 8и>у.

С помощью программы simpeq получено его точное уединённо-волновое решение:

-8С*

(11)

Главными результатами исследования в данной главе являются: вывод нового нелинейного уравнения в частных производных, описывающего волновые процессы в физически и геометрически нелинейных цилиндрических оболочках Кирхгофа-Лява в пространственно неодномерном случае с наличием диссипации, и построение точных аналитических решений основных физически возможных редукций.

В бездиссипативном случае с учетом лишь физической нелинейности имеется солитоноподобное решение (11). Учет геометрической нелинейности в отсутствие физической приводит к двум новым решениям: солитонному (8) и сингулярному (9).

Глава 4 посвящена численному анализу распространения уединённых волн в деформируемых средах. Для численного исследования использовались неявный и комбинированные псевдоспектральные методы, как обеспечивающие лучшее сочетание точности и сходимости по сравнению с другими рассмотренными методами.

Численное решение общего уравнения (6) не позволило обнаружить устойчивых режимов, тут сказывается влияние диссипации, которая приводит к затуханию всех возмущений (рис. 2).

^ - ^ '¿5, "С

Рис. 2. Затухающие возмущения в общем уравнении

Для обнаружения устойчивых режимов вернемся к рассмотрению частных случаев.

Решается уравнение (7), переписанное в виде:

и, + иих + /Зи^ + уи^ - ё \иуу(1х.

о

Неявная спектральная схема имеет следующий вид: ы1+,0', « + 1) = Г [СГ+ (м (;, п -1)) + ВГ (П; (], п + \) + П2и,п-1))], 1+Лд/3?-¡г?)

(12)

С = В =

1 -ла/з?-^5)'

_

т-т

Интеграл в правой части рассчитывался с помощью Фурье-преобразования.

Параметры схемы: сетка 256x41, с!х = с!у = 0.25 - шаги по х и у, Л = 0.01 — шаг по времени, йк = 0.0981 - шаг по волновому числу, Р-у- 1, <5 = 0.3.

Рассматривались несколько видов начальных условий. Начальное возмущение в виде одиночного купола (рис. 3):

Купол возмущения движется вперёд (по х), одновременно расплываясь в стороны (по у), причём последний эффект преобладает. Движение вперёд сопровождается расщеплением волны на две части: первую, которая уносит с собой большую часть энергии возмущения, и вторую, геометрически подобную первой, но меньшей амплитуды. С течением времени ближе к границам амплитуда волн нарастает до определённого предела, постоянно расплываясь в стороны и двигаясь вперёд, что и приводит к появлению крестообразных структур. На рис.4 видны две крестообразные структуры, наслаивающиеся друг на друга, одна из них образуется первой волной с большей амплитудой, вторая, образованная волной меньшей амплитуды, видна хуже и почти скрыта под первым крестом. Также было замечено, что при уменьшении коэффициентов дисперсии /в и у исходный импульс расщепляется на большее число тонких волн, а возмущения, образующие крестообразную структуру, образуют с осью х больший угол.

Рис.3. Однокупольное начальное возмущение

Рис. 4. Крестообразные структуры

В виде двойного купола (рис.5):

«„(лзО^З-^есИ2

8есЬ2[^->'0] + 5есЬ2

4

весЬ2 [у-;>>„][.

(15)

Результат эволюции двухкупольного возмущения качественно отличается от однокупольного. Обладая большей энергией, заданные таким

11

образом начальные условия приводят к образованию прямого солитона, распространяющегося без возмущений с постоянной скоростью (рис.б).

При задании начального импульса в виде точного решения (8) (рис.7), профиль эволюционировал без изменений неограниченно долгое время, что соответствовало ожиданиям и подтверждало адекватность выбора и реализации численного метода.

Рис.6. Прямой солитон

Рис,5. Двухкупольное начальное возмущение

Рис.7. Точное решение

Проводится численное исследование уравнения (8), переписанного в интегральном виде:

X

и,-и\-аиах +итхх = 8 \иу)Мх. (16)

о

Спектральная схема имеет параметры: сетка 256x41, ¿х = йу = 0.25 - : '• ■ шаги по л- и у, ¿г = 0.01 - шаг по времени, ¿к = 0.0981 - шаг по волновому числу, о - 1, 5 = 0.3.

Операторная запись:

й*., (п +1) = Г [СТ"+ (й (], п -1}) + ¿г* (й? (/, п +1) + м3(/, п-1))],

С

В = -

Рассматривались те же начальные условия (14), (15) и точное решение

(11). Эволюция возмущения (14) имеет такой же характер, как и для уравнения

(12). Однако распространение двойного импульса не заканчивается образованием прямого солитона. В данном случае выравниванию по амплитуде на переднем фронте препятствует периодическая модуляция фронта по амплитуде в поперечном направлении. Периодический процесс образования и исчезновения пиков переднего фронта волны сопровождает весь процесс распространения волны (рис.8-9). Интересно также, что волновой фронт расщепляется на пару волн. Меньшая по амплитуде и распространяющаяся с меньшей скоростью волна эволюционирует подобно фронту первой и проходит через все этапы образования и исчезновения максимумов.

Как и ожидалось, фронт волны точного решения (11) (рис.10) распространялся без изменения формы с постоянной скоростью, что свидетельствует об адекватности проведённого численного моделирования.

Рис.9. Процесс периодического образования/исчезновения максимумов на переднем фронте

Рис.8. Периодически модулированный фронт передней волны

Далее рассматривается численное моделирование уравнения (6) в одномерном случае, с учетом затухания. При таких условиях оно обращается в

и,+иих+и2ихх+ /Зи^ ~уиххххх=/ли^ (18)

Использовалась неявная псевдоспектральная схема вида:

И„,(/7 + 1)

СГ+ («(и -1)) + + 1) + й\п -1)) + ^(«,3(я +1) + й\п -1)) ^

¡¿¡Л

- 1¿=_

1 -МР?-и?-^)'

В зависимости от значений коэффициентов реализовывались различные волновые режимы от ударно-волновых до бризерных.

Начальное условие задавалось в виде и(х,0) = 5есЬ4[0.1(х-65)].

Рнс.11. Начальное возмущение Рис.12. Бризер ¡3 = 0.01, у = -0.01, ¿и=()

Выбирая коэффициенты уравнения (18) типичными для хрупкого материала с коэффициентом Пуассона 0.1, в бездиссипативном случае можно наблюдать образование бризера (рис. 12).

При уменьшении коэффициентов дисперсии число стволов бризера будет возрастать, а ширина солитонов позади бризера уменьшится.

При введении в уравнение небольшой диссипации ,« = 0,01, энергия бризера рассеивается быстрее, чем он успевает отделиться от первоначального возмущения, образуя, таким образом, ударную волну с сильными осцилляциями на переднем фронте (рис.13).

4

Рис.13. Ударная волна с сильными осцилляциями на переднем фронте /? = 0.01, у =-0.01, //=0.01

Рис.14. Ударная волна с небольшими осцилляциями на переднем фронте

Р = 0.09, у = 0.09, (1=0-094

Рис.15.Ударная волна Р = 0.25, у = -0.25,

0.29

Если рассматривать более упругий материал, например сталь (коэф. Пуассона 0.3), получим следующий набор коэффициентов:

/9 = 0.09, у=-0.09,/у=0.094. В этом случае начальный импульс также эволюционирует в ударную волну с осцилляциями на переднем фронте (рис.14), однако они не так велики, как в предыдущем случае.

И наконец, взяв коэффициент Пуассона равным 0.5, имеем /? = 0.25, у=-0.25, /¿=0.29. Осцилляции на переднем фронте решения исчезают, и профиль решения принимает вид классической ударной волны (рис.15).

Результатом численного моделирования, проведенного в главе, является обнаружение устойчивых режимов распространения волн. Бездиссипативный случай с физической нелинейностью в случае задания начального импульса в виде гауссова купола (рис.3) приводит к образованию крестообразных структур. Похожие структуры существуют в реальных физических системах, например волнах в океане (рис. 16).

Рис. 16. Взаимодействие океанских волн на отмели

Случай задания сдвоенного гауссова импульса в качестве начальных условий (рис.5) приводит к образованию устойчивого волнового фронта с поперечно-модулированной амплитудой (рис.8-9). Учёт геометрической нелинейности приводит к образованию крестообразной структуры для однокупольного начального возмущения (рис.4) и прямого солитона (рис.6) в случае с двухкупольным начальным импульсом. Моделирование диссипативной редукции приводит к обнаружению классических ударных волн и ударных, волн с осциллирующим передним фронтом.

В рамках численного исследования разработан проблемно-ориентированный комплекс программ, реализующий следующие численные методы:

® Явная разностная схема типа «чехарда» (Ц5).

в Обобщенная неявная разностная схемы (тэтта-метод).

• Явный псевдоспектральный метод (ЕР8М),

® Неявный псевдоспектральный метод (1РБМ).

• Комбинированный псевдоспектральный метод (СР8М).

Реализована программная оболочка (20-8о1коп), позволяющая численно моделировать двумерные эволюционные уравнения (рис.17)'.

Схема архитектуры разработанного программного комплекса представлена на рис.17. Комплекс состоит из двух основных компонентов:

1. SimpEq - модуль для аналитического исследования.

2. 208оШоп - модуль для численного исследования.

Рис. 17. Блок-схема программного комплекса

SimpEq реализует метод «простейших уравнений» для решения дифференциальных уравнений в частных производных. Модуль написан с использованием системы компьютерной алгебры - Maple. Результатом работы программы является точное решение исследуемого уравнения в символьной записи.

2DSoliton - компонент, объединяющий реализации нескольких численных методов решения дифференциальных уравнений в частных производных и модуль визуализации полученных решений с помощью 3D-графики.

Обмен данными между SimpEq и 2DSoliton происходит с помощью конвертера, преобразующего результат работы SimpEq, записанный в символьном виде, к сеточной функции, которая служит начальным условием для расчетов в модуле 2DSoliton.

Программный комплекс имеет общий интерфейс, позволяющий выбрать исследуемое уравнение. Далее строится точное решение уравнения (SimpEq), затем решение преобразуется в сеточную функцию и используется в качестве начального распределения в численном эксперименте (2DSoliton). Результаты

численных вычислений выводятся на экран в реальном времени по ходу вычислений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ

Проведенный аналитический и численный анализ показал, что моделирование волновых процессов в деформируемых средах с учетом геометрической и физической нелинейности приводит к обнаружению уединенных волн деформации, бризеров и ударных волн.

Исследование математических моделей и методов анализа нелинейных волн в деформируемых системах на основе выведенного в работе нового эволюционного уравнения, а также его аналитическое и численное исследование с использованием разработанного программного комплекса являются основными результатами работы.

В диссертационной работе разработана программа simpeq для системы символьной математики Maple. Программа существенно упрощает и в ряде случаев позволяет полностью автоматизировать процесс решения уравнений в частных производных и строит точные волновые решения.

Главными результатами аналитического исследования являются вывод нового нелинейного уравнения в частных производных, описывающего волновые процессы в физически и геометрически нелинейных цилиндрических оболочках Кирхгофа-Лява в пространственно неодномерном случае с наличием диссипации и построение точных аналитических решений основных физически значимых редукций выведенного уравнения.

В бездиссипативном случае с учетом лишь физической нелинейности найдено солитоноподобное решение. Учет только геометрической нелинейности приводит к двум новым решениям: солитонному и сингулярному.

Проведенное аналитическое исследование позволило обнаружить устойчивые волновые режимы в исследуемых двумерных уравнениях. Для уравнения с кубической нелинейностью найден «условно» устойчивый режим, в виде волнового фронта, модулированного по оси у. Процесс дезинтеграции куполообразных возмущений в этих уравнениях происходит по одному и тому же сценарию с образованием характерных подковообразных и крестообразных структур. Солитоноподобные решения этих уравнений при взаимодействии ведут себя почти упруго, что говорит об их близости к интегрируемым моделям. Диссипативный частный случай выведенного уравнения приводит к обнаружению классических ударных волн и ударных волн с осциллирующим передним фронтом.

В рамках численного исследования выведенных уравнений разработан проблемно-ориентированный комплекс программ для различных методов численного решения нелинейных эволюционных уравнений в частных производных. Реализована программная оболочка (2D-soliton), объединяющая реализованные численные методы и позволяющая численно моделировать двумерные эволюционные уравнения.

Публикации по теме диссертации

В изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Катсон В.М. Численное исследование уединённо-волновых решений уравнения Кавахары-Бюргерса / А.И. Землянухин, В.М. Катсон // Нелинейный мир. 2008. Т. 6. N. 5-6. С. 363-367.

2. Катсон В.М. Уединённые волны двумерного модифицированного уравнения Кавахары / В.М. Катсон // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2008. Т. 16. № 6. С. 76-85.

3. Катсон В.М. Нелинейные продольные магнитоупругие волны в стержне / В.И. Ерофеев, А.И. Землянухин, В.М. Катсон // Нелинейный мир. 2009. Т. 7. N. 7. С. 533-540.

4. Катсон В.М. Формирование солитонов деформации в континууме Коссера со стеснённым вращением / В.И. Ерофеев, А.И. Землянухин, В.М. Катсон, С.Ф. Шешенин // Вычислительная механика сплошных сред -Computational continuum mechanic. 2009. Т.2. N. 4. С. 67-75.

В других изданиях:

5. Катсон В.М. Теория и практика спектральных методов решения уравнений в частных производных: учеб. пособие / А.И. Землянухин, В.М. Катсон. Волгоград: ВолГАСУ, 2007.60 с.

6. Катсон В.М. Продольные волны в нелинейно-упругой пластине, взаимодействующей с магнитным полем / А.И. Землянухин, В.М. Катсон, В.И. Ерофеев, А.О. Мальханов // Прикладная механика и. технологии машиностроения: сб. науч. тр. №1(16). Нижний Новгород, 2009.С.35-45.

7. Катсон В.М. Двумерные нелинейные магнитоупругие волны в пластинах / В.И. Ерофеев, А.И. Землянухин, В.М. Катсон, А.О. Мальханов // Сб. науч. тр. XXII сессии Российского акустического общества и сессии Научного совета РАН по акустике: в 2 т. М.: ГЕОС, 2010. Т. 1. С. 154-158.

Подписано в печать 17.11.2010 Формат 60x84 1/16

Бум. офсет. Усл. печ.л. 1.0 Уч.-изд.л. 1.0

Тираж 100 экз. Заказ 373 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77. Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул.,77

Введение.

1. Аналитические методы решения нелинейных эволюционных уравнений

1.1 Обзор.

1.2 Метод Хироты.

1.3 Метод гиперболических функций.

1.4 Метод сингулярного многообразия.

1.5 Метод функции перегиба.

1.6 Метод простейших уравнений.

1.7 Символьные вычисления.

1.8 Пример применения программы.

2. Численные методы исследования.

2.1 Модельная задача.

2.2 Верификация численных алгоритмов.

2.3 Разностные методы.

2.4 Устойчивость разностных схем.

2.5 Метод фон-Неймана для анализа устойчивости конечно-разностных схем.

2.6 Разностные схемы с точки зрения теории цифровых фильтров.

2.7 Неявные методы.

2.8 Спектральные методы.

2.8.1 Место спектральных методов среди других численных методов.

2.8.2 Преобразование Фурье и его свойства.

2.8.3 Дискретное преобразование Фурье.

2.8.4 Спектральный дифференциальный оператор.

2.9 Устойчивость спектральных методов.

2.9.1 Алиасинг и блокирование спектра.

2.9.2 Фильтрация.

2.10 Быстрое преобразование Фурье.

2.11 Явный псевдоспектральный метод.

2.12 Неявный псевдоспектральный метод.

2.13 Комбинированный псевдоспектральный метод.

3. Волны деформаций и геометрически и физически нелинейных оболочках.

3.1 Вывод уравнения.

3.2.Точное решение.

3.2.1 Точное решение двумерного уравнения Кавахары.

3.2.2 Точное решение двумерного модифицированного уравнения Кавахары.

3.3 Нелинейные продольные магнитоупругие волны в стержне.

4. Численный анализ распространения уединённых волн в деформируемых системах.

4.1 Моделирование двумерного уравнения Кавахары.

4.2 Моделирование двумерного модифицированного уравнения Кавахары.

4.3 Моделирование уравнения (226) в одномерном случае.

4.4 Моделирование связанных уравнений КдВ Бюргерса.

4.4.1 Уравнение для магнитоупругих волн в стержне.

4.4.2 Формирование солитонов в континууме Коссера со стеснённым вращением.

Нелинейная динамика деформируемых систем является одним из бурно развивающихся направлений современной математической* физики и ставит перед исследователями множество* новых задач. Значительные успехи, достигнутые1 в 70-х годах прошлого века в областях аналитических методов исследования нелинейных УЧП, позволяют эффективно использовать нелинейные модели механики деформируемых тел, для исследования явлений, неподдающихся описанию в рамках линейного анализа.

Основным феноменом, породившим отдельное направление современной науки, является существование устойчивых стационарных импульсов — «солитонов» в средах с дисперсией и нелинейностью. Первые научные опыты исследования уединённых волн относят к середине 19 века. Несмотря на то, что само понятие «солитон» было введено столетием позже, некоторые успехи в изучении этого явления уже были достигнуты. Так экспериментальным путём, наблюдая уединённые волны на воде, или «волн трансляции», как их называл сам первооткрыватель Джон Скотт Рассел, была установлена зависимость между высотой и скоростью уединённой волны.

Термин «солитон» происходит от английского solitary - уединённый и частицы «он», означающей подобие частицы. Таким образом, в само понятие солитона вкладывается некий корпускулярно-волновой дуализм. Это связано с тем фактом, что, являясь решениями нелинейных уравнений, солитоны обладают свойствами частиц.

В настоящее время солитоны обнаружены в средах самой различной природы - от плазмы до деформируемых твердых тел. Экспериментальные подтверждения существования уединенных волн в стержнях даны в работах Дрейдена Г.В., Островского Ю.И., Самсонова A.M., Семеновой И.В., Сокуринской Е.В. (1988). Эксперименты по генерации уединенных волн в пластинах успешно проводились Порубовым A.B., Самсоновым А.М, Семеновой A.M., Дрейденом Г.В. (1996). Первое экспериментальное наблюдение солитона огибающей изгибной волны в тонкой металлической цилиндрической оболочке описано в работе Рудника И., By Дж. И., Питермана С.(1987)

Солитоны можно классифицировать по числу пространственных измерений, вдоль которых происходит локализация стационарного возмущения нелинейной среды. К одномерным солитонам относятся- классические уединённые волны в жидкостях, доменные стенки в ферро- и антиферромагнетиках, 2/?-импульсы и солитоны огибающей в нелинейной оптике (оптические солитоны), локализованные моды коллективной проводимости в молекулах органических полупроводников и в одномерных металлах (волны зарядовой плотности), солитоны. (кванты магнитного потока) в джозефсоновских контактах в сверхпроводниках (эффект Джозефсона) и т. д. К двумерным солитонам относят дислокации в кристаллической решётке, дисклинации в жидких кристаллах, вихревые структуры в тонком слое сверхтекучей жидкости, особенно разнообразные в сверхтекучем Не3 (сверхтекучесть), магнитные трубки (вихри Абрикосова) в сверхпроводниках 2-го рода (сверхпроводимость), антициклональные области в геофизической гидродинамике, в т. ч. «Большое красное пятно» на Юпитере, каналы самофокусировки в» нелинейной оптике. Трёхмерные солитоны - это тороидальные вихревые структуры в ферромагнетиках и толстом слое сверхтекучего Не, солитонные модели элементарных частиц (солитон в квантовой теории поля), чёрные дыры в теории гравитации. В квантовой теории поля рассматривают солитоны, локализованные в четырёхмерном пространстве-времени - инстантоны.

Постоянный рост мощности и производительности современной компьютерной техники является значительным подспорьем на' пути преодоления трудностей, связанных с применением нелинейных теорий. Даже нелинейные математические модели, приводящие к интегрируемым уравнениям, зачастую оказываются идеализированными.

Усовершенствованные модели, учитывающие необходимые в технике реальные факторы, часто приводят к неинтегрируемым уравнениям, аналитическое исследование которых затруднено. В этой ситуации численное моделирование позволяет убедиться в существовании-устойчивых решений или асимптотик и нащупать пути для' построения аналитического метода. Аналитическое и численное решение, верифицируя друг друга, обеспечивают корректность решения поставленной задачи:

История, вопроса: Как. уже упоминалось выше, начало изучения уединенных волн началось с Джона Скотта Рассела в середине 19 века. Реакция на научное сообщение Рассела наиболее авторитетных в то время английских механиков Джорджа Байделя-Эйри (1801-1892) (профессора астрономии в Кембридже с 1828г. по 1835г., астронома королевского двора с 1835г. по 1881г.) и Джорджа Габриэля Стокса (1819-1903) (профессора математики в Кембридже с 1849г. по 1903г.) была отрицательной. Много лет спустя солитон был переоткрыт при совсем иных обстоятельствах. Интересно, что воспроизвести наблюдение Рассела оказалось не просто. Участникам конференции «Солитон-82», съехавшимся в Эдинбург на конференцию, приуроченную к столетию со дня смерти Рассела и пытавшимся получить уединенную волну на том самом месте; где ее наблюдал Рассел, ничего увидеть не удалось, при всем их опыте и обширных знаниях о солитонах.

В, 1871-1872гг. были опубликованы труды французского ученого Жозефа Валентена Буссинеска (1842—1929), посвященные теоретическим исследованиям уединенных волн в каналах (подобных уединенной волне Рассела). Буссинеск получил уравнение: — с0 3 2 1

7Г7" "хх > (1) ¿а з )хх описывающее такие волны (и - смещение свободной поверхности воды в канале, с1— глубина канала, со — скорость волны, ( — время, х — пространственная переменная, индекс соответствует дифференцированию по соответствующей переменной), и определил их форму (гиперболический секанс) и скорость.

Исследуемые волны Буссинеск называл вспучиваниями и рассматривал вспучивания положительной и отрицательной высоты. Буссинеск обосновал устойчивость положительных вспучиваний тем, что' их малые возмущения, возникнув, быстро' затухают. В случае отрицательного вспучивания образование устойчивой формы волны невозможно, как и для* длинного и положительного очень короткого вспучивания.

Следующим важным этапом в развитии теории солитонов стала работа (1895г.) голландцев Дидерика Иоганна Кортевега (1848-1941) и его ученика Густава де Вриза. Ими было выведено уравнение для волн в достаточно широких каналах постоянного поперечного сечения, носящее ныне их имя — уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ). Решение такого уравнения и описывает в свое время обнаруженную Расселом волну. Основные достижения этого исследования состояли в рассмотрении более простого уравнения, описывающего волны, бегущие в одном направлении, такие решения более наглядны. Из-за того, что в решение входит эллиптическая функция Якоби, эти решения-были названы «кноидальными» волнами.

Долго считалось, что уединенные волны связаны только с волнами на воде и изучались они специалистами - гидродинамиками. В, 1946 М.А.Лаврентьев (СССР), а в 1954 К.О.Фридрихс и Д.Г.Хайерс США опубликовали теоретические доказательства существования уединенных волн.

Современное развитие теории солитонов началось с 1955, когда была опубликована работа ученых из Лос Аламоса (США) - Энрико Ферми, Джона Пасты и Стена Улама, посвященная исследованию нелинейных дискретно нагруженных струн (такая модель использовалась для изучения теплопроводности твердых тел). Длинные волны, бегущие по таким струнам, оказались солитонами. Интересно, что методом исследования в этой работе стал численный эксперимент (расчеты производились на одной из первых созданных к этому времени ЭВМ). Также в ходе численного эксперимента по динамике нелинейных волн уравнения Кортевега де Вриза Забуски и Крускал [1] определили солитоны как уединенные волны, выходящие из взаимодействия, не изменяя своей формы и скорости. Несколько ранее Перрингом и Скирме были обнаружены аналогичные эффекты для уравнения синус-Гордона. Аналитически двухсолитонные решения были найдены десятью годами ранее Зеегером и др. В 1971 г. были обнаружены солитоны уравнения Шредингера с кубической нелинейностью (Яджима и Оути).

В1 результате компьютера положив, начало• новому направлению в теории нелинейных УЧП; отошёл на задний план. Началась пора открытия и исследования- вполне интегрируемых гамильтоновых систем. Последовал целый каскад важнейших открытий в области нелинейной динамики. Были разработаны Метод Обратной Задачи Рассеяния (МОЗР), метод Хироты и преобразования Бэклунда. В результате этих успехов возникло представление, что большинство,, если не все, лагранжевы системы являются вполне интегрируемыми.

Первые удары по этим воззрениям вновь нанёс компьютер: в 1974 г., когда в Дубне было обнаружено неупругое взаимодействие ленгмюровских солитонов в плазме, солитонов модифицированных вариантов уравнений Буссинеска, КдВ, Хиггинса и Клейна-Гордона [2]. Оказалось что «малого» изменения уравнения оказывается достаточно, чтобы оно стало неинтегрируемым. Более того оказалось, что некоторые- специфические свойства, присущие интегрируемым системам, исчезают при переходе от плоско геометрии к сферически или цилиндрически симметричной. В связи с этим возникло' понятие «почти интегрируемых» уравнений, для которых своеобразным нулевым приближением могут служить интегрируемые модели. В случае, если такое отклонение возможно выделить в правой части уравнения, с помощью метода последовательных приближений зачастую можно получить решения. Однако даже в этом случае возможно получить решения, принципиально отличающиеся от соответствующих решений интегрируемых моделей.

В настоящее время численный эксперимент выходит далеко за рамки простой визуализации существующих математических конструкций. Уже знаменитая работа Забуски и Крускала [1], иллюстрирует важную роль численного эксперимента в открытии солитонной природы импульсов, на которые распадается решение уравнения КдВ с синусоидальными начальными данными. В тоже время численный эксперимент является весьма мощным орудием исследования вопроса интегрируемости систем. В частности, упругое взаимодействие солитонов является важной предпосылкой для положительного ответа на этот вопрос, в то время как обнаружение неупругости обрекает все попытки обнаружить следствия интегрируемости, такие как многосолитонные решения, на неудачу. Однако, представления о «почти интегрируемых» системах помогли обнаружить пульсирующие солитоны - «бионы» в рамках уравнений Клейна-Гордона, Хиггса и синус-Гордона.

В результате работы большого числа исследователей по всему миру одномерные солитоны были хорошо изучены. Некоторые обнаруженные волны, например «бумероны» (Калоджеро и Дегасперис) или расщепляющиеся солитоны (Захаров и Михайлов), обладали настолько экзотическими свойствами, что классическое определение солитона, данное в- контексте исследования уравнения КдВ уже не подходило для них.

Одним из первых уравнений, решения которых были исследованы численно и проявили солитонное поведение, было уравнение КдВ, которое в общей форме выглядит следующим образом: т+ам'мт+мяг=0. (2)

При у = 1,2 это уравнение вполне интегрируемо и его солитоны взаимодействуют упруго. При у = 3 уравнение теряет это свойство и становится «почти интегрируемым». [3] Легко можно получить солитоноподобные решения (2) г г >Л и =

А БесЬ V V а Ау

-----(.г — со( — \\ )

2^ + 1)^ + 2)'

3)

2 аА2

С0=--г--г + 1. и + 1)(У + 2)

Уравнение (2) описывает очень широкий спектр физических явлений - от волн на воде до волн в плазме и упругих волн в твердых телах. Во многом ему подобно уравнение Буссинеска (1872 г)

-д2х-дАх)и-дхиг= о. (4)

Действительно, после однократного интегрирования и замены переменных оно приводится к виду:

5, —дх — д2х)и — дхи2 = const. (5)

Это уравнение при рассмотрении решений с ограниченной энергией совпадает с КдВ поскольку в этом случае const = 0.

Уравнение (4)- является, интегрируемым [4] и для него Хиротой были получены многосолитонные формулы [5].

Вначале исследования, вдохновленные численными экспериментами по проблеме Ферми-Паста-Уламы, вращались вокруг динамики формирования и взаимодействия солитонов интегрируемых систем. Первые результаты, полученные при исследовании этих систем показывали, что взаимодействие солитонов в этих системах приводит лишь к сдвигу положения и фазы, оставляя форму и скорость волн неизменной. Именно из-за этого свойства многие исследователи ассоциировали солитоны с частицами. Так продолжалось до тех пор, пока в 1976 году не были открыты возвращающиеся солитоны бумероны» и солитоны, осциллирующие вокруг некоторого положения траппоны». [6]. Наконец, в 1978 году появилась работа, которая демонстрировала распад и взаимопревращения солитонов интегрируемых моделей [7]. Эта работа показывала, что первоначальное определение солитона оказывалось слишком узким даже для интегрируемых систем.

Однако в области самих численных методов изменений было мало. Вопрос о «наилучшем» численном методе для каждого нового уравнения является самым спорным. В середине 80-х годов традиционные разностные методы начали отходить на второй план, уступая место спектральным методам, скорость работы которых значительно улучшилась благодаря недавно открытому в то время Быстрому Преобразованию Фурье (БПФ) [8]. Эти методы были с успехом использованы в [9] [10].

С точки зрения численного эксперимента динамика формирования солитонов как для интегрируемых, так и для близких к ним уравнений практически одинакова. В зависимости от энергии первоначального импульса образуются один, два и т.д. солитонов и осцилляторный хвост. Именно это свойство ввело исследователей в заблуждение, и была потрачена масса усилий на то, чтобы показать, что все эти уравнения интегрируемые. Распад начального' условия на солитоны, вообще говоря, является характерной особенностью квазиинтегрируемых систем. Однако когда исследование доходит до взаимодействия солитонов, картина качественно меняется. Солитоны КдВ и модифицированного КдВ являются истинными в том смысле, что претерпевают лишь фазовый сдвиг при столкновении [11], в то время как солитоны остальных КдВ-подобных уравнений взаимодействуют неупруго [10] [12]. При этом степень неупругости обычно мала, но растет с увеличением у и при у = 4 становится явной. Это хорошо прослеживается на примере уравнения БИЛУ: и,+1^+111^-11^ = 0. (6)

Разностные схемы для него были исследованы Эйлбеком и Макгиром [13], а также X. Абдуллоевым, И: Боголюбским и В. Маханьковым в [12]. В этих работах было обнаружено слабое, на уровне долей процента, «дыхание», солитонов. Была разработана специальная вычитательная процедура которая позволила выявить эффект неупругого взаимодействия, солитонов.

Аналогичные результаты были получены в процессе численного исследования улучшенного уравнения Буссинеска (1Вд). [13]. Несмотря на внешнюю схожесть уравнений и 1Вс] поведение их солитонов при взаимодействии существенно различается. Это связано с тем, что солитоны ЫЬ\У догоняют один другой, а солитоны П^ могут испытывать встречные соударения. Последний тип столкновений приводит к большей неупругости соударения. Более того, в результате численной работы с квазисолитонами КдВ-подобных уравнений было установлено, что неупругость.взаимодействия увеличивается с ростом их амплитуды и степени нелинейности. Бона, Причард и Скотт разработали вычислительный алгоритм [14], который позволил им детально изучить взаимодействие солитонов

Одним из важнейших вопросов солитонной теории является устойчивость солитонов. Можно говорить о двух типах устойчивости солитонов: 1) по отношению к возмущению начальных данных 2) по отношению к структурным возмущениям определяющего эволюционного уравнения. С вычислительной точки зрения обе проблемы можно исследовать в рамках единого подхода -начальной задачи. В первом случае изучается эволюция возмущенного начального состояния, заданного в виде исследуемого на устойчивость начального состояния. Во втором случае эволюция начального состояния подчиняется возмущенному уравнению.

В первом случае под устойчивым решением понимают решение, для которого возмущение не нарастает лавинообразно с течением времени. Также устойчивыми считаются слабоизлучающие солитонные решения, не теряющие своей структурной целостности под действием возмущения. При моделировании на компьютере такая устойчивость особенно важна, так как не позволяет накапливаться ошибкам округления, связанным с конечной точностью компьютерных вычислений.

Под структурной устойчивостью понимают решения, достаточно долго (с точки зрения физики задачи) сохраняющие свою форму. Некоторые из невозмущенных решений при этом могут разрушаться весьма быстро, при этом возможно появление вместо них совершенно других типов решений. В одномерном случае большинство исследованных систем обладает устойчивыми солитонами, во всяком случае, по отношению к возмущениям, не изменяющим симметрию системы. Исключения составляют лишь некоторые солитонные решения уравнений Клейна-Гордона и Буссинеска. Устойчивость истинных солитонов вытекает из интегрируемости соответствующих систем [15]. Однако и здесь существует исключение, которое привел Берриман в [16].

Совсем иная картина складывается при рассмотрении устойчивости неодномерных солитонов. Здесь важной является проверка на устойчивость по отношению к поперечным возмущениям. Так в [9] было показано, что плоские солитоны, описываемые уравнением Шрёдингера с самосогласованным потенциалом:

С ) (7) 0; <р = \<рх,<руу, обладают поперечной устойчивостью только в некоторой области параметров возмущения.

Ещё одним примером поперечно-неустойчивой системы является «несимметричное» уравнение Шрёдингера с кубической нелинейностью: щ =дг(р + \<р2\(р = Ъ. (8)

Уравнения такого типа или более сложные, например

2щ + д2(р = | ср\<р\2 +3(рФу;д2+Ф = -Зду \<р\2, (9) встречаются при изучении нелинейных двумерных волн в плазме [17] и поверхностных волн конечной глубины [18].

В [19] было показано, что плоские солитоны уравнения (8), (9) устойчивы к четным возмущениям типа «перетяжек» и неустойчивы к нечётным, типа «змейки»: д(р(г,у,() = а{д:ср^ъоъ{ку), а« 0.1 (10)

Следует обратить внимание, что для исследования устойчивости вышеперечисленных уравнений (7), (8), (9) использовалась одна и та же спектральная процедура на сетке размерностью 32x32.

К поперечно устойчивым относятся кинки Хиггса и синус-Гордона, а также белл-солитоны уравнения Кадомцева-Петвиашвилли. Весьма подробное численное исследование последнего можно найти в работах [20] [21] [22].

Уравнения механики ДТТ являются удобным предметом исследований нелинейных волновых явлений, поскольку они естественным образом содержат пространственные производные высокого порядка. Изначальная сложность этих уравнений оборачивается возможностью сведения их к хорошо исследованным интегрируемым и близким к ним моделям нелинейной динамики. Исследование? нелинейных волн деформации имеет более чем 30-ЛетнЮЮ; историю; Первыми г подошлик/новой проблеме У.К.Нигул и Ю.К.Энгельбрехт в [23] [24]. В этих: работах; изучались, переходные волновые1 процессы в задачах термоупругости и были; получены важные качественные результаты« о процессе распространениям нелинейныхволн деформации в сплошных средах. Нелинейные явления при распространении? упругих волн в твердых телах рассматривали^ ЛЖ.Зарембо; и В-А.Красильников [25], Л; А. Островский- Е. Н. Пелиновский [26]. Нелинейные волны в ферроупругих кристаллах исследовались Я.Н.Давыдовым и З.А. Сполышком [27]. В книге В.И.Карпмана

28]; изучены общие закономерности при распространении нелинейных волн в диспергирующих средах. Общие закономерности нелинейного волнового движения в свете последних исследований обсуждаются в статье Энгельбрехта

29].

По-видимому,, первой' работой интересующего нас направления применительно к-, конкретным: тонкостенным конструкциям можно "назвать статьи ЫапЬоН и 8ес1оу [30] [31], в которых изучались- продольные диспергирующие волны в упругих и;вязко-упругих стержнях и пластинах. Для компоненты продольной; деформации; были получены:уравнения; Кортевега - де Вриза й Кортевега - де Вриза- Бюргерса.

Отечественные исследования начинаются со статьи Л.А.Островского • и Л.М. Сутииа [32], в которой анализировались нелинейные: упругие волны в стержнях. Авторы показали, что продольные колебания стержня удовлетворяет уравнению Кортевега - де Вриза. Был рассмотрен процесс нелинейных искажений волны, включая^ образование солитонов, а также исследовано их затухание с учетом реальных потерь в стержне. Приведены результаты экспериментального наблюдения солитонов в стальной проволоке диаметром: 1 мм: Кроме того, показано, что минимальная^ длина солитона достигается при максимально возможном упругом напряжении, для которого еще выполняется закон Гука. Так, для стального цилиндрического стержня длина солитона составляет примерно семь диаметров стержня (т.е. предположение о малости "поперечных размеров стержня по сравнению с длиной волны практически всегда выполняется для солитонов).

И.А.Молотков и С.А.Вакуленко рассматривали продольные волны в стержнях с медленно меняющимися плотностью и модулем Юнга [33]. С использованием метода возмущений были получены выражения для амплитуды и скорости возмущенного солитона. Было отмечено, что решение представляет собой локализованное в малой области пространства и времени ядро солитона, за которым следует имеющий почти постоянную величину "хвост".

В работах А.М.Самсонова и Е.В.Сокуринской [34]-[37] изучено влияние непостоянства геометрии, модуля Юнга, коэффициента Пуассона и параметра нелинейности вдоль стержня на волновой процесс, Было отмечено, что при расширении стержня импульс теряет свою энергию и трансформируется в волновой пакет, в то время как при сужении стержня солитон скорости деформации усиливается, что может стать причиной необратимых деформаций в стержне. Авторы сделали вывод, что при упрочении материала солитон теряет массу и энергию, а при разупрочнении амплитуда и энергия могут неограниченно возрастать.

В работе [38] тем же коллективом авторов были впервые описаны эксперименты по наблюдению продольных солитонов деформации в упругом стержне. В качестве экспериментальной установки использовался канал, предназначенный для генерации волн деформации в твердом теле с помощью малой ударной волны в жидкости. Ударная волна генерировалась с помощью вызванного лазерным излучением взрывного вскипания элемента металлической мишени, расположенной в жидкости в непосредственной близости от торца исследуемого прозрачного полистиринового стержня диаметром 1 см. Процесс генерации и распространения солитона регистрировался с помощью метода голографической интерферометрии. На расстоянии 7-12 см от начала стержня формировался солитон продольной деформации, который распространялся вдоль стержня без наблюдаемых изменений формы. В отличие от него, ударные волны-деформации, связанные с начальным воздействием, очень быстро разрушались под действием диссипации; и дисперсии. В.И.Пбгаиов, И.Н.Солдагов [39] исследовали распространение слаборасходящегося? пучка нелинейных: продольных; волн в пластине; показав; что компонента.продольной' деформации;удовлетворяет уравнению: Кадомцева - Нетвиашвили: Таким образом, было показано,' что в пластинах- могут распространяться двумерные солитоны., Заметим, что уравнения; продольных колебаний пластин были получены авторами из соотношений трехмерной теории упругости, а не из классических теорий пластин. Учет геометрической и физической иелинейностей проводился путем использования пятиконстантной теории упругости [40]. Результаты исследований о распространении ударных волн деформации в стержнях и пластинах былисобобщены Потаповым в [41].

В работах В.И.Ерофеева [42][47] рассмотрен широкий' спектр1 проблем нелинейной волновой динамики упругих систем с микроструктурой; На; основе теоретического анализа; показано- что в средах с. микроструктурой- могут наблюдаться резонансные- взаимодействия продольной; волны с: волнами,: продольного- вращения и волнами сдвига. - вращения, формирование: нелинейных стационарных волн (в частности, солитонов;деформации), и другие эффекты, не- имеющие аналогов в классической теории упругости. Здесь же указано на возможность, использования перечисленных эффектов для-акустического зондированиям твердых тел. При исследовании, распространения упругих волн в поврежденной среде определены; зависимости между основными параметрами волны и поврежденностью материала. Отмечено, что эти зависимости могут быть положены в основу разработки акустического метода диагностики поврежденности материала.

Число публикаций, посвященных решению задач динамики оболочек огромно. Можно выделить два основных подхода к решению таких, задач. Первый подход (классический) базируется на гипотезах Кирхгофа - Лява, а соответствующие модели оболочек называют моделями первого приближения.

Второй подход, связываемый с именем С.П.Тимошенко, в дополнение к "классическим" деформациям, учитывает деформации, связанные с поперечными силами и инерцией, модели, основанные на таком подходе, называют моделями второго приближения [48]. Альтернативный путь построения моделей состоит в разложении перемещений или напряжений в ряды по нормальной, координате и удержании определенного отрезка этого ряда в зависимости от требуемой точности.

Известно, что уравнения движения элемента оболочки для модели Кирхгофа-Лява имеют параболический тип, что предсказывает бесконечные скорости распространения фронтов возмущений. Уравнения движения для модели типа Тимошенко имеют гиперболический тип, что выражает конечность скорости распространения любого возмущения- в рассматриваемой среде. Однако указанные математические формулировки и физические следствия несущественны при анализе распространения квазиплоских пучков сдвиговых волн [49], т.к. уравнения для перемещений и и V в обоих случаях совпадают [48]. Другими словами, в данном случае параболичность уравнений модели Кирхгофа - Лява не является недостатком, как и гиперболичность, уравнений модели Тимошенко не является преимуществом. Тонкостенность рассматриваемых конструкций привносит особый вид дисперсии, обеспечивающий формирование нелинейных волн деформации различной структуры. Таким образом, нелинейные волны в стержнях, пластинах и оболочках являются, по классификации Уизема, диспергирующими. Поэтому в каждом конкретном случае при выборе исходной системы уравнений необходимо опираться на физические представления о волновом движении.

Приведение уравнений динамики оболочек (а также стержней и пластин) к нелинейным эволюционным уравнениям производилось в диссертации Човнюка Ю.А. [50].

В [51] показано, как учёт влияния сильных магнитных полей на процесс распространения продольных волн в проводящем стержне приводит к системе связанных уравнений КдВ и Бюргерса, проведено численное и аналитическое исследование солитонных решений и выявлена область устойчивости этих решений.

В [52] рассматривается нелинейная вязкоупругая микрополярная среда со стесненным вращением (псевдоконтинуум Коссера). С помощью метода связанных нормальных волн осуществляется переход от системы нелинейных уравнений, описывающих динамику среды, к эволюционным уравнениям. Показано, что эволюционные уравнения представляют собой систему четырех нелинейных уравнений в частных производных, два из которых являются уравнениями Бюргерса, а два — модифицированными уравнениями Кортевега-де Вриза (мКдВ). Аналитически и численно исследуется эволюция нелинейных вязкоупругих волн.

Простой и в то же время мощный метод построения точных решений УЧП был предложен H.A. Кудряшовым [53]. В основе метода лежит представление решения УЧП в виде ряда по функциям, являющихся решениями, так называемых «простейших уравнений». Длина ряда ограничена порядком сингулярности решаемого уравнения. В роли простейших уравнений выступают уравнения меньшего порядка, чем изучаемое УЧП. Этот метод был с успехом применён в [52].

Широкий круг вопросов нелинейной волновой динамики цилиндрических оболочек освещен в, работах Землянухина А.И, Могилевича Л.И., сведенных в монографию [54]. Рассмотренные ими задачи включают в себя:

1. вывод эволюционных уравнений, моделирующих распространение продольных, сдвиговых и изгибных волн в нелинейно-упругих, нелинейно вязко-упругих, однородных и неоднородных цилиндрических оболочках.

2. нахождение классов точных солитонных и ударно-волновых решений.

3. выявление условий, при которых возникающие модели связаны с интегрируемыми методом обратной задачи рассеяния.

4. теоретико-групповой анализ нелинейных уравнений в частных производных и механическую интерпретацию инвариантных решений.

Многочисленные практические приложения оболочечных конструкций- в различных отраслях техники обуславливают актуальность проблемы моделирования и исследования нелинейных волновых процессов в цилиндрических оболочках и магнитоупругих системах.

Цель работы: Исследование математических моделей и методов анализа нелинейных волн в деформируемых системах, описываемых неинтегрируемыми уравнениями на основе теории тонких оболочек Кирхгофа-Лява в.- двумерном случае с учётом, диссипации, конструктивной неоднородности, геометрической и физической нелинейности.

Комплексный характер исследования приводит к необходимости решения следующих задач:

1. Вывод обобщенного эволюционного уравнения, моделирующего распространение продольных волн деформации в геометрически и физически нелинейной неоднородной цилиндрической оболочке с затуханием.

2. Нахождение классов точных решений полученного уравнения, включающих в себя солитоноподобные решения.

3; Численное моделирование выведенного уравнения и исследование эволюции импульсов различной формы, В Том,числе и двумерных. .

Научная новизна работы: Получила дальнейшее развитие нелинейная волновая динамика цилиндрических оболочек, а именно:

1. Выведено новое обобщенное пространственно-двумерное нелинейное эволюционное уравнение, описывающее распространение продольных волн в пологих тонких цилиндрических оболочках Кирхгофа-Лява. От известных ранее моделей уравнение отличается одновременным учетом геометрической и физической нелинейности, потерь энергии и конструктивной неоднородности материала оболочки: и, + + с2и\ + съиш + с4иШ; + с5и^ ^ = с6и,11}. (1

2. С помощью метода8 простейших уравнений для физически значимых редукций выведенного уравнения (11) найдены классы точных солитоноподобных решений.

3. На основе проведенного сравнения основных численных методов для решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных показана целесообразность использования для уравнений 5-го порядка неявных псевдоспектральных схем. Такие схемы обладают лучшим, в рамках поставленной задачи, соотношением между скоростью и точностью вычислений. Необходимость выполнения большого числа вычислительных операций для расчета' значений сеточной функции компенсируется в них устойчивостью, позволяющей делать большие шаги по времени.

4. Усовершенствован классический неявный псевдоспектральный метод, область его применимости расширена на уравнения, содержащие сложные нелинейные члены, например ииххх или ихихх.

5. Численно исследованы (на двумерной сетке) солитоноподобные решения выведенного уравнения и его частные случаи: явления распространения и упругого взаимодействия солитоноподобных волн, обнаружены ударно-волновые режимы и устойчивые крестообразные структуры, обнаружен устойчивый режим распространения волны с моделированным по амплитуде передним фронтом.

6. Разработан проблемно-ориентированный комплекс программ численного и аналитического исследования нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Комплекс содержит: a) Программу (эппрея) для решения дифференциальных уравнений в частных производных с использованием систем компьютерной алгебры. Программа существенно упрощает и в ряде случаев полностью автоматизирует процесс решения уравнений в частных производных методом простейших уравнений и строит точные волновые решения. b) Программную оболочку (2В-зо1коп), объединяющую реализованные численные методы и позволяющую численно моделировать пространственно-двумерные эволюционные уравнения.

Достоверность результатов: Исследования проводились на основе численных методов, устойчивость и сходимость которых были теоретически обоснованы. Достоверность результатов, полученных в работе, подтверждается также совпадением результатов, численного и аналитического исследования. Дополнительно- точность численных вычислений проверялась вариацией временного шага.

Практическая^ значимость: Полученные результаты могут быть использованы в приложениях, связанных с акустическими методами диагностики поврежденности материалов. Результаты моделирования поведения уединенных волн могут быть использованы для передачи информации по акустическим волноводам. Точные решения неинтегрируем ых эволюционных уравнений могут применяться для- тестирования- различных численных методов решения УЧП. Реализованная программа simpeq на основе символьных вычислений может применяться для исследования нелинейных УЧП и построения их точных волновых решений. Программная оболочка 2D-soliton- может быть независимо использована для численного исследования и визуализации эволюции различных начальных условий двумерных УЧП.

Апробация, работы: Основные результаты работы докладывались на ежегодных Нижегородских акустических конференциях в Институте машиноведения им. A.A. Благонравова (Нижний Новгород, 2006г.), на Международной конференции «XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной* среды» (Саратов, 2007г.), на Международной конференции «Advanced Problems in Mechanics 2008» (Санкт-Петербург, 2008г.), XXIII Международной научной'конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Саратов, 2010г.), на XXII' сессии Российского акустического общества и сессии научного совета РАН по акустике, на научном семинаре кафедры прикладной математики и теории навигационных приборов под руководством А.И. Землянухина.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

1. Выведенное новое нелинейное уравнение в частных производных, описывающее волновые процессы в. физически и геометрически нелинейных цилиндрических оболочках Кирхгофа-Лява в пространственно неодномерном случае с наличием диссипации.

2. Точные решения полученных неинтегрируемых (в смысле метода обратной задачи рассеяния) эволюционных уравнений и их частных случаев. В бездиссипативном случае с учетом лишь физической нелинейности найдено солитоноподобное решение. Учет только геометрической нелинейности приводит к двум новым решениям: солитонному и сингулярному.

3. Результаты численного моделирования эволюции различных начальных импульсов в нелинейных средах. Бездиссипативный случай с физической нелинейностью в случае задания начального импульса в виде гауссова купола приводит к образованию крестообразных структур. Случай задания сдвоенного гауссова импульса в качестве начальных условий приводит к образованию устойчивого волнового фронта с поперечно-модулированной амплитудой. Учёт геометрической нелинейности приводит к образованию крестообразной структуры для однокупольного начального возмущения и прямого солитона в случае с двухкупольным начальным импульсом. Моделирование диссипативной редукции выведенного уравнения приводит к обнаружению классических ударных волн и ударных волн с осциллирующим передним фронтом.

4. Точные солитоноподобные решения системы уравнений описывающей продольные волны деформации в магнитоупругом стержне.

5. Комплекс программ численного и аналитического исследования нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Комплекс содержит:

1. Программу simpeq, которая существенно упрощает и в ряде случаев полностью автоматизирует процесс решения уравнений в частных производных методом простейших уравнений и строит точные волновые решения.

2. Программную оболочку (2В-боН1;оп), объединяющую реализованные численные методы и позволяющую численно моделировать пространственно-двумерные эволюционные уравнения.

Публикации: Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 6 научных статьях (из них 4 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ) и учебном пособии.

Структура и объем работы: Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложений и содержит 126 страниц текста.

Заключение

Проведенный аналитический и численный анализ показал, что моделирование волновых процессов в деформируемых средах с учетом геометрической и физической нелинейности приводит к обнаружению уединенных волн деформации, бризеров и ударных волн.

Исследование математических моделей и методов анализа нелинейных-волн в деформируемых системах на основе выведенного в работе нового эволюционного уравнения, а также его аналитическое и численное исследование с использованием разработанного программного комплекса являются основными результатами работы.

В диссертационной работе разработана программа simpeq для системы символьной математики Maple. Программа существенно упрощает и в ряде случаев позволяет полностью автоматизировать процесс решения уравнений в частных производных и строит точные волновые решения.

Главными результатами аналитического исследования являются вывод нового нелинейного уравнения в частных производных,- описывающего волновые процессы в физически и геометрически нелинейных цилиндрических оболочках Кирхгофа-Лява в пространственно и К

0 10 20 30 40 so «0 70 во 90 100 110 120 W л

-- I I —1,1'-'—' ' ■ ■ --'—1-- ' ' 1 -——' 1 ' ' --< I

О 10 20 30 40 SO 60 70 ВО 90 100 110 120

Рис.55 Продольный (U) и сдвиговый (W) солитоны неодномерном случае с наличием диссипации и построение точных аналитических решений основных физически* значимых редукций выведенного уравнения.

В бездиссипативном случае с учетом лишь физической нелинейности найдено солитоноподобное решение. Учет только геометрической нелинейности приводит к двум новым решениям: солитонному и сингулярному.

Проведенное аналитическое исследование позволило обнаружить устойчивые волновые режимы в исследуемых двумерных уравнениях. Для уравнения с кубической нелинейностью найден «условно» устойчивый режим, в виде волнового фронта, модулированного по оси у. Процесс дезинтеграции куполообразных возмущений в этих уравнениях происходит по одному и тому же' сценарию с образованием характерных подковообразных и крестообразных структур. Солитоноподобные решения этих уравнений при взаимодействии ведут себя почти упруго, что говорит об их близости к интегрируемым моделям. Диссипативный частный случай выведенного уравнения приводит к обнаружению классических ударных волн и ударных волн с осциллирующим передним фронтом.

В рамках численного исследования выведенных уравнений разработан , проблемно-ориентированный комплекс программ для различных методов численного решения нелинейных эволюционных уравнений в частных производных. Реализована программная оболочка (2Б-8оН1:оп), объединяющая реализованные численные методы и позволяющая численно моделировать двумерные эволюционные уравнения.

1. Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interaction of solitons in a collisionaless plasma and the recurrence of initial states //Phis. Rev. Lett. 1965. V. 15. P.240-243.

2. Macharov V. Phys. Reports, 1978, V.35, P.l,

3. MiuraR. // SIAM. Rev. 1976. V. 18. P. 412.

4. B.E. Захаров. // ЖЭТФ. 1973. т. 65 с. 219.

5. Hirota R. // J. Math. Phys. 1973. V. 14. P. 810

6. Calogero F. // Nonlinear Evolution Equations Solvable by the Spectral Transform. 1978. London: Pitman, 1978. P. 278.7 . B.E. Захаров, A.B. Михайлов. // Письма в ЖЭТФ. 1979. Т. 27. С. 47.

7. Cooley J. and Tukey J. // J. Math. Сотр. 1965. У. 19. P. 297.

8. PereiraN. and SudanR. and Denavit J. // Phys. Fluids. 1977. V-. 20. P. 271.

9. Fornberg B. and Wliitham G. // Philos. Trans. Roy. Soc. L. 1978. V. 289. P. 373.

10. Zabusky N. and Kruskal G. // Phys. Review Lett. 1965. V. 14. P.240.

11. Abdulloev Kh. and Bogolubsky I. and Machankov V. // Phys. Lett. A. 1976. V. 56. P. 427.

12. Eilbeck J. and McGuire G. // J. Сотр. Phys. 1975. V.19. P. 43.

13. Bona J. and Prichard W. and Scott L. // Fluid Mech. Res. 1978. V. 94.

14. B.E. Захаров, А.Б. Шабат. // ЖЭТФ. 1971. Т. 61. С. 118.

15. Berriman J. // Phys. Fluids. 1976. V. 19. P. 771.

16. Yajima N. // Progr. Theor. Phys. Japan, 1974, v. 52, p. 1066.; Sen. A. MIT Rep. PLE-PRR 77-16, 1977.

17. Benney D., Roskes G. // Stud. Appl. Math., 1967 v. 48, p.377.; Anker D., Freeman N. Ibid., 1978, v.360, p.529

18. Pereira N., Sen A., Bers A. // Phys. Fluids 1978, v. 21, p. 117.

19. Попов С.П. Численное решение уравнения Кадомцева-Петвиашвили с источниковыми членами. // М. ВЦ РАН. 1995. 15 с.

20. Попов С.П. Устойчивость и парное взаимодействие солитонов уравнения Кадомцева-Петвиашвили. //М. ВЦ РАН. 1995. 29 с.

21. Попов С.П. Двумерные солитоны и их взаимодействие. // Известия РАН. Мсхан. Жидкости и газа. 1999. N.2. с, 101-109.

22. Нигул У.К., Энгелт.брехт Ю.К. Нелинейные и линейные переходные волновые процессы; деформации термоупругих и> упругих тел. // АН ЭССР. 1972! V.1 Р. 12. ;

23. Нигул У .К. Сопоставление результатов анализа переходных волновых процессов: в оболочках и пластинах по теории упругости и приближенным теориям. // ПММ. 1969. Г. 33. Вып. 2.

24. Зарембо JI.K., Красильников В.А. Нелинейные явления при распространении упругих волн в твердых телах. // Успехи физ. наук. 1970. Т. 102! Вып. 4.

25. Островский JT. А., Пелиновскии E.H. О приближенных уравнениях для !юлн в средах с малой дисперсией и нелинейностью. //ПММ; 1974. Т.38. Вып.1.

26. Давыдов JI.H:, Спольник З.А. Нелинейные ' волны ' в ферроупругих кристаллах. // Физ. твердого тела; 1974. Т. 16. Вып. 6.

27. В:И. Карпман. Нелинейные волны в диспергирующих средах. // Новосибирск: Наука; 1973. 160с.

28. J. Engelbrecht et AI. Nonlinear wave motion; Complexity and simplicity reyisited. // no: 1997. V.l. PIT,

29. Nariboli G.A. Nonlinear longitudinals waves in-elastic'rods. // J. of Math. And Phys. Sciences. 1970; У; 4; P; 64-731 V'

30. Nariboli G.A. and Sedov A. Burgers's Kortevveg-de Vries equation for viscoelastic rods.and plates. II J; of Math. Anal! and Appl. 1970. V. 32. P. 661-677:

31. A.M. Самсонов. Эволюция солитона: в нелинейно-упругом стержне переменного сечения. // ДАН СССР. 1984. Т. 277. С. 332-335.

32. Ю86. ■ У. ■•■'"' : '' 'v ', ', .уу.

33. A.M. Самсонов. E.B. Сокуринская. О возможности возбуждения солитона продольной деформации в нелииейно-упргом стержне. // ЖТФ. 1988. Т. 58. С 1632-1634. . ■ У у ■ У

34. Samsonov. A.M., Dreiden G.V., Porubov A.V., Semenova I.A., Sokurinskaya E.V. Theory and observation of strain solitons in solids.

35. Потапов А.И., Солдатов И.Н: Квазиплоский пучок/нелинейных продольных1 волн в пластине // Акуст. Журн. 1"984. Т. ЗОУ Вып. 6.

36. Гольденблат И:И. Нелинейные проблемы теории упругости. 1969; 218 с.

37. Потапов А.И Нелинейные волны деформации; в, стержнях и пластинах. 1985.242 с. : .'.'.'"' У- . : " ' ,

38. V.l. Erofeev. Microstructuredisolids; Mäthematicalimodels and wave processes analysis.//1996. 170 p. ;; V .

39. В.И. Ерофеев. Волновые процессыi в нелинейно-упругих: средах: с '' микроструктурой. //Волн, динамика; машин. 1991Т. 1 С. 140-152., '

40. В.И: Ерофеев; Солитоньг огибающих при распространении изгибных волн в нелинейно-упругом стержне // Акуст. Журнал. 1992. Т.З8. С. 172-173.

41. В.И. Ерофеев; Распространение, нелинейных сдвиговых волн в твёрдом теле с микроструктурой. // Прикладная механика. 1991. Т. 27. С. 127-129.

42. В.И. Ерофеев. Плоские стационарные волны в повреждённой среде с микроструктурой. // Акуст. Журнал. 19941 Т. ,40. С. 67,-70; '

43. В.И. Ерофеев., И.Е. Раскин. О распространении сдвиговых волн в нелинейно-упругом.теле//Прикл. Механика. 1991. Т. 27. С. 127-129;

44. A.C. Вольмир. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. // М.: Наука, 1972.432 с. У ' ' '."".:;'•■'.'

45. А.И. Землянухин, Нелинейные интегрируемые уравнения в динамических задачах теории упругости. Дисс. канд. физ. мат. наук. // Саратов: СГУ, 1995.

46. Ю.В. Човнюк. Нелинейные волнообразования нестационарных процессов в деформируемых средах и телах. // Киев: Дисс. канд. физ. мат. наук КИСИ, 1988. 155с.

47. Ерофеев В.И., Землянухин А. И., КатсонВ.М. // Нелинейные продольные магнитоупругие волны в стержне: // Нелинейный мир, 2009, Т. 7, N. 7.

48. В.И. Ерофеев, А.И. Землянухин, В.М. Катсон, С.Ф: Шешенин Формирование солитонов деформации в континууме Коссера со стеснённым вращением // Вычислительная механика сплошных сред. 2009. Т.2, N 4. С. 6775.

49. Кудряшов Н.А. Simplest equation method to look for exact solutionsof nonlinear differential equations»// Chaos, Solitons and Fractals 24 (2005) 1217-1231

50. Землянухин А.И., Могилевич JT.И. Нелинейные волны в цилиндрических оболочках: солитоны, симметрии, эволюция. // Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 1999.-132с.

51. Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Точные решения нелинейного уравнения пятого порядка для описания волн на воде // ПММ. 2001. Т. 65 Вып. 5. С. 883885.

52. М. Табор. Хаос и интегрируемость в» нелинейной динамике. // М: Эдиториал, УРСС, 2001. 320 с.

53. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. // М.: Мир, 1987.-437 с.

54. Hereman Willy, Nuseir Ameina. Symbolic methods to contruct exact solutions of nonlinear, partial differential equations // Journal'of Symb. Сотр. 1994, V.l P. 5668.

55. Baldwin D., Goktas U., Hereman W. Symbolic computation of exact solutions expressible in hyperbolic and elliptic functions for nonlinear PDEs // Journal of Symb. Сотр. 1994. V.l, P. 78-90.

56. Weiss John, Tabor M., Carnevale George. The Painleve property for partial differential equations 11 J. Math. Phys. 1983. V. 24(3), P. 522-526.

57. Berloff Natalia G., Hovard Lois N. Solitary and periodic solutions of nonlinear nonintegrable equations. // Studies in applie mathematics. 1997. V. 99. I\ 1-24.

58. R. Conte. The Painleve approach to nonlinear ordinary differential equations // The Painleve property. NY: Springer, 1999. P. 77-180.

59. R. Conte., M. Mussete. The two-singular-mainfold method. Modified Korteweg-de Vries and the sine-Gordon equations // J. Phys. A. 1994. V. 27 N 11. R: 38953913.

60. B.B. Гудков. Явный вид волновых1 решений эволюционных уравнений // Ж. вычислит, мат. и матем. физ. 1996. Т. 36 N3. С. 66-72.

61. Boyd J. Chebyshev and Fourier Spectral Methods. // NY: DOVER publications, Inc, 1999. 607 P.

62. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. // М.: Наука, 1977. -538 с.

63. Lomax Harvard, Pulliam Thomas H., Zingg David. Fundamentals of Computional Fluid Dynamics. // 1999. 270 p.

64. П. В. Турчак, Л.И. Плотников. Основы численных методов. // М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 304 с.

65. LeVeque Randall J. Finite Difference Methods for Differential Equations. // 1998. 23Op.

66. Press W.H., Teukolsky S.L., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical recipes in C. The art of scientific Computing. Second Edition. // Cambridge: Cambidge University Press, 1992. 680 p.

67. Lloyd N. Trefethen. Finite difference and spectral methods for ordinary and partial differential equation. //NY: Cornell University, 412 p.

68. Березин Ю.А. Моделирование нелинейных волновых процессов. // Новосибирск: Наука, 1982. 153 с.

69. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. // СПб: Питер, 2002. 608 с.

70. Фадеев Д.К., Фадева В.Н. Вычислительные методы на основе метода Галёркина. // М.: Мир, 1988. 352 с.

71. К. Флетчер. Численные методы на основе метода Галёркина. // М.: Мир, 1988.-352с.

72. Orszag S. Pseudospectral method // Stud. Appl. Math. 1971. V. 50. - P. 293327

73. Землянухин А.И. Нелинейные волны в неоднородных цилиндрических оболочках: новое эволюционное уравнение / А.И. Землянухин, Л.И. Могилевич // Акустический Журнал. 2001. Т. 47. № 3. С. 359-363.

74. Землянухин А.И. Точное солитоноподобное решение нелинейного эволюционного уравнения пятого порядка // Изв. вузов. Прикл. нелинейная динамика, 1999. Т. 7 № 2-3. С. 29-32.

75. Kawahara Т. Oscillatory solitary waves in Dispersive media // J. Phys. Soc. Japan. 1972. V. 33. N. 1. P. 260-264.

76. Gorshkov K.A., Ostrovskii L.A., Papko V.V. Vzaimodeistviya i svyazannie sostoyaniya solitonov kak klassicheskih chastitz // JETP. 1976. V. 71. N. 2. P. 585593.

77. Marchenko A.V. О dlinnih volnah v melkoi zhidkosti pod ledyanim pokrovom // AMM. 1988. V. 52. N. 2. P. 230-264.