автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы математического моделирования при численно-аналитических решениях задач для уравнений волнового теплопереноса

На правах рукописи

о^1

СЕЛИН Илья Александрович

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВОЛНОВОГО ТЕПЛОПЕРЕНОСА

Специальность 05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

- 9 ДЕК 2010

Москва-2010

004616264

Работа выполнена на кафедре «Вычислительная математика и программирование» Московского Авиационного Института (Государственного Технического Университета)

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

заслуженный деятель науки, доктор физико-математических наук, профессор Формалёв Владимир Федорович

доктор физико-математических наук, профессор Волков Игорь Куприянович

кандидат физико-математических наук, доцент Жаворонок Сергей Игоревич

Московская государственная академия тонкой химической технологии им. М.В.Ломоносова

Защита состоится «24» декабря 2010 года в 12 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.125.04 при Московском авиационном институте (государственном техническом университете) по адресу: 125993, г.Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д. 4, Учёный совет МАИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского Авиационного Института (Государственного Технического Университета).

Автореферат разослан «¿-J » 2010 года.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 212.125.04, ^ кандидат физико-математических наук

- А"

М.В. Ротанина

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования. Объектом исследования в диссертационной работе является процесс волнового переноса потенциала при высокоинтенсивных воздействиях.

Актуальность работы. При исследовании процессов переноса потенциалов (температуры, давления, концентрации и т.д.) при высокоинтенсивных воздействиях (при взаимодействии лазерного излучения с твёрдой поверхностью, входе гиперзвуковых летательных аппаратов в плотные слои атмосферы, сверхзвуковых контактных взаимодействиях и т.п.) гипотеза о пропорциональности вектора потока вектору градиента потенциала, основанная на феноменологическом подходе, приводит к парадоксу о бесконечной скорости распространения возмущений, что противоречит фундаментальным законам естествознания. Уравнения переноса возмущения потенциала, полученные на основе этих законов, являются уравнениями параболического типа.

Попытка учесть конечную скорость возмущения в рамках феноменологических гипотез не привела к успеху. Позднее, в различных областях естествознания были высказаны гипотезы о распространении возмущений как о процессе, являющемся одновременно волновым и диффузионным. Первым, кто высказал эту гипотезу был Максвелл, развитие идей которого привело к законам, где появилось слагаемое, учитывающие релаксационные явления в средах. Математическое моделирование явлений переноса потенциала на основе этих законов приводит к уравнениям гиперболического типа, учитывающих внутреннюю вязкость среды и описывающих волновой перенос в условиях высокоинтенсивных воздействий с конечной скоростью.

Математическому моделированию процессов волнового переноса при высокоинтенсивных воздействиях посвящено незначительное число работ. Это связано со сложностью постановки и решения подобных задач, так как фронт волны математически представляет собой сильный разрыв потенциала поля (разрыв первого рода) или слабые разрывы (разрывы первых или вторых производных). Кроме этого с помощью численного моделирования сложно точно выделить фронт волны, а следовательно и решение до и после фронта.

Из работ, в которых наиболее полно рассмотрен волновой перенос можно отметить монографию Шашкова А.Г., Бубнова A.B., Яновского С.Ю. Однако в ней практически полностью отсутствует математический аппарат исследования волновых процессов переноса. В работах Соболева СЛ. проведён анализ волнового переноса субстанции на основе релаксационных явлений в неравновесных средах и высказано предположение о существовании ударных волн в нелинейных средах. Однако математический аппарат исследования волнового переноса возмущений так же отсутствует.

В работах Самарского A.A. и его школы исследуется волновой перенос в нелинейных одномерных средах на основе градиентных законов. Для одномерного пространства приводится теорема о существовании волнового переноса в случае зависимости коэффициента переноса от потенциала. В работе Баутина С.П. предложен метод функциональных рядов для исследования волнового переноса в одномерных средах.

Вопросами волнового переноса занимались так же Лыков A.B., Корнеев A.C., Рубина Л.И., Формалев В.Ф., Баренблагг Г.И.

В перечисленных работах отсутствует общий подход к математическому моделированию волнового переноса в линейных и нелинейных средах, а так же в средах с анизотропией свойств. Кроме этого, отсутствуют аналитические и численные методы решения задач волнового переноса в многомерных линейных и нелинейных анизотропных средах, а так же математический аппарат исследования ударных волн в твёрдых средах.

Вместе с тем большинство материалов естественного и искусственного происхождения в той или иной степени являются анизотропными, для которых предполагается, что скорость распространения возмущений в различных направлениях различна. Пренебрежение волновым переносом приводит к значительным погрешностям в существенно нестационарных процессах

в окрестности начального времени, которые, не затухая, распространяются и на большие времена.

Нерешённость перечисленных актуальных проблем обусловила цель данной диссертации: разработка математического аппарата и численно-аналитических методов моделирования волнового переноса в линейных и нелинейных анизотропных средах и определение новых явлений, сопровождающих волновой перенос.

Методы исследования. В работе использовались методы интегральных преобразований, методы подобия и размерностей, математического анализа, численные методы, методы математического моделирования.

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается адекватными математическими моделями, точными аналитическими решениями, использованием абсолютно устойчивых численных методов и сравнением результатов с аналитическими решениями.

Научная новизна.

- предложен новый метод построения математических моделей, описывающих процессы переноса при высокоинтенсивных воздействиях, на основе представления законов переноса возмущений в виде ряда по малому параметру.

- доказана теорема об эквивалентности волнового переноса на основе гиперболического уравнения и волнового переноса на основе квазилинейного параболического уравнения.

- предложен метод решения уравнений в частных производных со смешанными производными, с помощью которого впервые получены аналитические решения задачи Коши и краевой задачи волнового переноса в нелинейном анизотропном пространстве.

- впервые показано существование ударных волн в нелинейных пространствах и сформулированы условия их возникновения.

- предложена модификация метода переменных направлений с экстраполяцией для численного решения уравнений волнового теплопереноса по увеличению порядка аппроксимации.

Практическая значимость.

Практическая значимость результатов работы состоит в следующем:

1. Разработан программный комплекс, реализующий расчёты температурных полей при высокоинтенсивных тепловых воздействиях.

2. Предложенный математический аппарат позволил моделировать волновой перенос на основе уравнения параболического типа с запаздывающим аргументом по времени.

3. Полученные аналитические решения волнового переноса в нелинейном анизотропном пространстве позволили установить не только качественные, но и количественные характеристики волн в твёрдых средах.

4. Модифицирован и обоснован метод переменных направлений с экстраполяцией для решения задач волнового теплопереноса в анизотропных средах.

Апробация работы. Полученные результаты докладывались на следующих конференциях: 16-ая международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, 2009); XV Международный симпозиум «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред им. А.Г.Горшкова» (Ярополец, 2009); 8-ая международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях (Алушта, 2010); 5-ая Российская национальная конференция по теплообмену (Москва, 2010).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах, в том числе в 6 журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Объём составляет 141 страницу, 66 рисунков, 93 источника в списке литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, описаны проблемы волнового переноса, проведён обзор литературы, представлены общие положения процесса, перечислены решаемые задачи в соответствии с целью работы.

В первой главе описан существующий метод построения моделей переноса потенциала при высокоинтенсивных воздействиях. Данный метод основан на обобщённых градиентных законах переноса, которые в общем случае для изотропной среды имеют вид:

д(х,у,1,1) = -Л^и-т^; (1)

01

где <7-вектор плотности потока, Л - коэффициент переноса, и - потенциал, г-время релаксации. Уравнение переноса потенциала при высокоинтенсивных воздействиях, полученное на основе этого закона, в одномерном случае имеет вид

д2и ди д2и

т——+-= а—-. (2)

а2 81 дх1

Для описания процессов переноса в анизотропных средах уравнение (1) записывается в следующем виде

Ч(х,у,г,г) = -Ьегш1и-тЦ-, (3)

от

где Л-тензор коэффициентов переноса. В соответствии с (3), уравнение, описывающее поведение потенциала в анизотропной среде будет иметь вид

д2и ди _ . д2Щх,у,г,0 , 82Ц(х,у,г,0 . 82Щх,у,г,1) т „ + — — „ + —————— ■+• /(, ————+

а2 а " дх2 ** дхду дхдг

82Щх,у,2,1) д2Ц(х,у, г,/) 82Ц(х,у,1,1) ух 8х8у № ду2 " дуд:г

+ л 82Ц(х,у,2,0 | л д2Ц(х,у,г,р | г 82Щх,у,2,1) " дхдг ^ дудг 11 &2

Уравнения (2) и (4) относятся к уравнениям гиперболического типа и учитывают как

дЧ/ д!2

играет существенную роль. На основе уравнения (2) поставлены начально-краевые задачи в одномерных и многомерных областях. Получены аналитические решения для первой, второй и третьей краевых задач.

Так как время релаксации для твёрдых тел имеет порядок 1(Г13 -Ю"10с, то можно рассмотреть следующую технологию моделирования: записав (3) в виде

диффузионный так и волновой перенос. При высокоинтенсивных процессах, слагаемое г 2

с1{х,у,2,Ъ + т^ = -Х%га<1и, (5)

01

можно считать, что слагаемые слева представляют собой первые два члена разложения в ряд Тейлора по степеням г вектора плотности. Весь ряд имеет вид

. дя т2 д2ч г'Э39 , ,,,

а(х, у,г,г) + т—н---7- +--2. + .... = -ХегасШ.

ЧК ' ' 81 2 а/2 3! д?

Тогда (5) можно записать следующим образом

¡¡(х, у, г, / + г) = -^гасШ

или, вводя новую переменную = Г + г, а затем заменяя /' на /,

д(х,у,г,1) = -ЛггасШ(1-т), (6)

что физически означает отставание по времени вектора плотности потока от градиента потенциала на величину г. На основе выражения (6) получаются следующие дифференциальные уравнения переноса потенциала: для одномерного случая

8и 8ги(х,1-т) ...

"" а,2 ' (7)

для анизотропного трёхмерного случая

ди . дги(х,у,г,1-т) , д2Ц(х,у,2,1 -г) , дгЦ(х,у,2,1-т)

-— Л^---+ А ——*———— ■+■ ————— 4-

^ йг йхду дхдг

д2Ц(х,у,2,1-т) ; дгЩх,у,г,г-т) | |

* &гу ау2 *

+ я дгЩх,у,2,1-т) | Л дгЩх,у,2,1-т) | г 6гЩх,у,2,1-Т) " && ^ " 8гг

Уравнения (7) и (8) являются уравнениями параболического типа с запаздывающим аргументом по времени, которые значительно проще реализуются в вычислительных процедурах по сравнению с уравнениями (2) и (4).

Проводя аналогию между законами (1) и (6) и полученными на их основе уравнениями (2) и (7) ясно, что уравнения (7) и (8) можно получить не из закона переноса (6), а непосредственно из уравнений (2) и (4), применив предложенный метод моделирования. Данный подход в моделирования возможен в случаях, когда время релаксации г является малой величиной по сравнению с характерным временем процесса.

При численном решении задач для уравнения (7) оказалось, что при использовании неявной схемы с шагом интегрирования по времени равном времени релаксации, неявная схема трансформируется в явную для классических уравнений переноса.

Для получения значений функции при любом шаге интегрирования по времени предложен новый метод численного решения, в соответствии с которым временная область разбивается на блоки, равные коэффициенту релаксации, а блоки разбиваются на слои равные шагу численного интегрирования по времени. Тогда, при вычислении значений на новом временном слое, необходимые данные берутся не из предыдущего временного слоя, а из предыдущего блока на соответствующем временном слое.

Применение рассмотренных подходов моделирования явлений переноса при высокоинтенсивных воздействиях проанализировано на примере процессов теплопереноса.

При аналитическом решении краевых задач на основе уравнения (2) использованы параметры характерные для процессов теплопереноса в твёрдых телах. Проведено сравнение полученных решений начально-краевых задач для уравнения (2) с решениями краевых задач для уравнения теплопроводности (рис. 1). Во всех случаях решение уравнения (2) имеет затухающий разрыв первого рода - фронт тепловой волны. Получены аналитические

выражения закона затухания волны и скорость распространения волны. В данных задачах, по истечении времени ~10г решения уравнения (2) и классического уравнения теплопроводности совпадают.

п 2 10" 4 10 610 8 10 110 12 10 '1.4-10 ' 1.6 10 ' 1.8-10 ' х цд

Рис. 1.

Сравнение аналитического решения первой начально-краевой задачи для уравнения (2) в разные моменты времени {1,3,5} с аналитическим решением первой начально-краевой задачи

при т = 0 {2,4,6}.

При решении первой и второй начально-краевых задач в двумерной области для уравнения, полученного из закона (1), показано, что разрыв первого рода существует в направлении обоих осей (рис. 2). Решения получены методом переменных направлений с экстраполяцией. На рисунке 3 показано сравнение решения, полученного в двумерной области, с аналитическим и численным решением в одномерной области.

Т,К

аоо

ззо

зоо

j=

0 210° 410- <5.10 - 8-10 у,М 110-í U-I0*6n-10-,!1310"Í1.4.10"Í1J.10"6I.6.10"ÍX,M Рис. 2. Численное решение двумерной задачи: слева - вдоль оси у,справа - вдоль оси х на разных расстояниях от источника.

Рис.3. Сравнение решения первой краевой задачи {3} для уравнения, полученного из закона (1) в двумерной области, с аналитическим {1} и численным {2} решениями первой краевой

задачи для уравнения (1).

Из рисунка видно, что полученное численное решение верно.

Сравнение численных решений первой и второй краевых задач для уравнения теплопроводности с запаздывающим аргументом по времени с аналитическими решениями уравнения вида (2) показало, что интегральное расхождение между решениями составляет менее 4% (рис. 4), что подтверждает правомерность предложенного метода моделирования на основе представления законов переноса возмущений в виде ряда по малому параметру и предложенного численного метода решения.

Рис.4. Сравнение численного решения уравнения с запаздывающим аргументом с аналитическим в одинаковых точках в моменты времени 2 • 10"10 с (слева) и 4 • 10"'° с (справа).

Во второй главе доказана Теорема1 (об эквивалентности процесса переноса потенциала на основе уравнений гиперболического типа и квазилинейных уравнений параболического типа). Пусть A(U) — U" и а > 0, функция U{x,t) непрерывна и существуют первая производная по времени и вторая производная по пространственной переменной. Тогда, квазилинейный параболический и гиперболический дифференциальные операторы эквивалентны в смысле волнового переноса.

Эта теорема позволила исследовать волновой перенос потенциала на основе квазилинейных уравнений.

Предложен новый метод аналитического решения квазилинейных дифференциальных уравнений переноса потенциала в анизотропной среде, который заключается во введении последовательной цепочки автомодельных переменных. Таким образом исходное уравнение значительно упрощается с введением каждой новой переменной.

Этим методом получено решение задачи Коши о распространении возмущений в анизотропной нелинейной среде от мгновенного источника:

1 эи ,гпеи\ д(, ,r„dU) 8 С, „„St/4) д(, ,,TXdU\

(х,у)е(-со;со), t>0;

где А„([/) = Л((U)cos2(<p) + А,(£/)sin2(<р), (tO = ^ (U)™1 (<Р) + Я, (U) cos2 (<р),

К (и) = К = (я< cos(f).

Л(=к(иXn=k(U", kf= const t, к:/ = const1. Л{ и - главные компоненты тензора переноса. Цепочка применяемых преобразований выглядит следующим образом: Аффинное преобразование х = gcos(<p)-T]sin(<p)

у = £sin(p) + 7Cos(f2?),

, где L - любое.

Введение переменных х1 = £,

/ \ 1/2 / \

L L

к, , хг =7 к

\ i \ ч J

Введение переменных <7, дг = , откуда = .

Замена переменных <7, = гсоз(/), цг = гБт(т') . Решение имеет вид

(х соб(^) + у бш^))2 - + (-х 5т(у>) + у соэ^))2 — 2 _кА_К

U(x,y,t)=-

i/(<i+i)

2а{2а + 2)

где г.

№о)

LE„

2д(2<т + 2)

L

, а= — .

8

С помощью этого же метода получено решение следующей первой начально-краевой задачи:

Ш. - ЦхЛи)™\

g dt дх) дх

(х,у)е(-ао; оо), i>0; f/(0,0,O = t/o, х = 0, у = 0, / > 0; U(x,y,0) = 0, (х,у) е (-оо; оо), f = 0. Решение имеет вид

.....5С/

ду J ду

дх J ду

ду

U(x,y,t) =

4at

(xcos<p + ysirupf — + (- д: sin ^ + >> cos р)2 — к, к„ i 1У

где а = — , Ь- аналог коэффициента Ь в задаче Коши. 8

В обоих случаях установлено, что областями ненулевого решения в различные моменты времени являются области, ограниченные эллипсами, т.е. фронт возмущений имеет форму эллипсов. При увеличении параметра а поверхности, образуемые графиками функции и(х,у,1), имеют большую область определения (рис. 4).

При ег е (1;оо) производная по времени и первые производные по

пространственным переменным существуют только внутри областей, ограниченных эллипсами. Первые производные по времени и по пространству не существуют в точках фронта при а > 1, а вторые производные по пространственным переменным не существуют в

точках фронта при <т > —. При а е (0;0.5] производные по времени и вторые производные по

пространственным переменным существуют всюду, но в точках фронта нет производных более высокого порядка.

Применяя данные модели к теории теплопроводности, показано, что при степенной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры, где показатель степени сг больше нуля, теплоперенос имеет волновой характер. Из полученных выражений можно определить скорости распространения тепловых волн в разных направлениях.

Правильность решений, полученных с помощью предложенного метода подтверждается сравнением с одномерными решениями A.A. Самарского.

Т,К

305

300

т,к

305

300

Т,К

305

300

1 - а = 0.5 1 Ф i \t=10

/ / / * \ \ 4

/ \ t=5 ( \ \ \

i 1 1

-0.5 0 х,М 0.5

1 - О = 1 1 I

j * у \;t=io

/ / \ 4

/ /

/ L \t=5\ \

1 1 1

-0.5 0 х.М 0.5

1 а = 2 1 1 I I .... t=10

/

/ / / > t=1 \ \ Ч. l t=5'. 1 • * 1 * 1

1 1 1 1 1

-1 -0.5

0.2 0.4

0 05 1 -0.4 -0.2 0

Х,М у.М

Рис. 5. Волновой теплоперенос в нелинейной анизотропной среде.

Сформулировано и доказано условие существования решения в виде бегущей волны для нелинейного анизотропного двумерного пространства: Теорема2. Пусть функция 1!(х,у,^удовлетворяет уравнению'

Тогда при выполнении неравенства

I и

Существует решение, ограниченное по пространственным переменным, т.е. существует фронт волны.

Для одномерного случая это условие имеет вид

¿и <00.

3 и

При совместном использовании двух методов моделирования волнового переноса - на основе релаксационных явлений и на основе использования зависимости коэффициента переноса от потенциала получается следующее уравнение

дги ди д(..Г1.еиЛ

г—— +-= а— ЯШ)- ,

д12 д1 дх{ ' дх)

где А(и) = и°, а> О, с помощью которого можно моделировать волновой перенос с

возрастающей амплитудой. Так, численное решение данного уравнения в рамках теории

теплопроводности показало существование тепловой ударной волны в твердом теле при

импульсном источнике на границе. Формирование тепловой ударной волны следует из того,

что каждый следующий импульс движется по более прогретой области относительно

предыдущего импульса. Поскольку Х(Т) = Т" и а > 0, то с ростом температуры

увеличивается скорость каждого следующего импульса. Таким образом, фронт тепловых волн

накладывается, образуя тепловую ударную волну (рис.5).

т.к

Ц5 10 4 Х ,М Рис. 6. Формирование ударной волны

1.5-10

Проведено исследование влияния параметров импульсного источника на формирование тепловых ударных волн. Тепловая ударная волна формируется всегда при выполнении

условий: а> 1 и импульсный источник с характеристикой — > 2, где ¿г - время

существования импульса на границе, а - время его отсутствия, т.е. отношение амплитуд текущего импульса к предыдущему больше или равно двум.

Показано, что решение, полученное без учёта времени релаксации даёт значительные погрешности не только в начальные моменты времени, а на протяжении всего процесса, и не позволяет получить тепловые ударные волны.

В третьей главе для решения задач волнового теплопереноса на основе закона Максвелла-Каттанео в анизотропной среде используются численные методы. Впервые для уравнений гиперболического типа применён метод переменных направлений с линейной экстраполяцией по времени. Шаблон схемы представлен на рисунке.

¡♦Я

М(-1

¡+1И

¡+1) ¡+1 ¡+1

¡+1И

И ы

1-1 )-1 И I

И 1+1

к+1/2

к-1/2

Рис. 7. Шаблон разностной схемы

Доказана устойчивость данной схемы и определён порядок аппроксимации. Первая краевая задача решалась в следующей постановке: д2Т дТ 1

Г(0,у,1) = 0, * = 0,.уе[<и^*>0;

Т(Ьх,у,1) = 0, * = >-е[<иД >>0;

Т(х,1у,() = 0, хе[0,Ьх], у = Ьу, />0;

Т(х,у,0) = 0, д: е [<),£х], у е 1<и,], I = 0;

8Цх,у, 0) 0*

= 0,

где Лп,Ли,Л21,Л2:

- компоненты тензора теплопроводности.

[У

Рис.8. Рисунок к задаче

При увеличении Л( по отношению к Я, увеличивается скорость тепловой волны в направлении оси х при <р = 0; при этом разрыв на фронте тепловой волны уменьшается, что вызвано более интенсивным распространением тепла вдоль оси л: и большей диссипацией в этом направлении. При увеличении Л7 по отношению к А, аналогичные результаты проявляются в направлении оси у. При изменении угла (р происходит смещение тепловой

волны: при

левую сторону, а при <р е Т.К

смещение изотерм и разрывов первого рода будет происходить в

А Я

0;— -в правую.

0 3-10"' 1-1<Г* 1.310"' 2 1 О*4 23 10~'хМ

а2

350

1 Т ........ Т................... 1 Т"....... уу1

- / /*\\ »"У2

- .....1

у ю».

О яо"7 1 10~4 15 10"" МО-* 2.5 ю"" х ^

аЗ

Рис. 9. Численные решения в анизотропной среде Если Л( > Л7, то при увеличении угла ориентации главных осей тензора теплопроводности

происходит более интенсивный прогрев. При <р е

я —

2

коэффициент при второй

производной станет отрицательным и изотермы направляются в другую сторону с

л

отклонением на угол меньшии на — по отношению к заданному. Вторая краевая задача решалась в следующей постановке:

Г 812 + 5/ дх) дх\рг ду) дх) дуУ 22 ду))'

Т(0,у,1) = 0, х = 0, уе[0,Ьу\,1>0;

Т(Ьх,у,/) = 0, х = Ьх, уе[0,Ьу\,/>0;

- Л^ии/Г, „) = д + т^., д(х,0,1) = 9о (17(1, - х) - - *)), л е [о, I, ], у = 0, / > 0;

от

Т(х,у,0) = 0, д: е [О,!,], у е [о,^, / = 0;

При решении этой задачи, для аппроксимации краевого условия со вторым порядком применялась модификация данного численного метода с использованием интегро-интерполяционного метода Самарского А.А., что позволило увеличить порядок аппроксимации краевых условий, содержащих производные.

При увеличении Хп по отношению к увеличивается скорость тепловой волны в

направлении оси у. В отличие от первого краевого условия, при увеличении Я, температура на границе снижается. Когда Х( > Х^, то тепло растекается вдоль оси х и тепловая волна имеет более широкий фронт, при этом уровень температуры на границе так же снижается. При изменении угла ориентации главных осей тензора теплопроводности, установлено, что когда Я( > Лп, то максимальные значения температур будут наблюдаться <р = 30°.

Из рассмотренных задач в анизотропной области так же установлено, что угол ориентации главных осей тензора теплопроводности 0^,0г] влияет одинаково на решение при моделировании теплопереноса с учётом времени релаксации и без учёта.

В четвёртой главе описывается программный комплекс, созданный для решения задач, рассмотренных в диссертации. Алгоритмы решения реализованы на основе численных методов, рассмотренных в диссертации. Комплекс состоит из 3-х основных модулей. Первый представляет главную форму с таблицей результатов вычислений и пункты меню для управления приложением. Раздел «расчёт» содержит подпункты, связанные с вычислениями. В первом пункте меню «Расчёт» задаются параметры для вычислений. Окно задания параметров содержит две вкладки. Первая предназначена для работы с одномерными задачами, вторая - с двумерными. После установки параметров запускается процесс вычислений. Результаты показываются на основной форме в таблице. По данным таблицы строится график. Для двумерного графика есть возможность построения разрезов вдоль любой оси номеру строки или столбца.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Разработан новый метод построения математических моделей, описывающих процессы при высокоинтенсивных воздействиях, на основе представления законов переноса возмущений в виде рядов по малому параметру [2].

2. Предложен метод математического моделирования явлений переноса потенциала в нелинейных анизотропных средах, на основе которого впервые получены аналитические решения, показавшие волновой характер переноса возмущений [1,4].

3. Доказана теорема об эквивалентности волнового переноса потенциала на основе уравнения гиперболического типа и квазилинейного уравнения параболического типа. Это позволило исследовать волновой теплоперенос в нелинейных пространствах [3].

4. Модифицирован и впервые применён для решения задач волнового теплопереноса возмущений при высокоинтенсивных воздействиях в анизотропных средах экономичный абсолютно устойчивый численный метод переменных направлений с экстраполяцией. Модификация позволила увеличить до второго порядка аппроксимацию краевых условий, содержащих производные [5].

5. На примере математического моделирования задач волнового теплопереноса подтверждена адекватность предложенных методов математического моделирования. С помощью численных экспериментов подтверждена гипотеза о существовании тепловых ударных волн и получены условия их существования [5].

Публикации в журналах из перечня ВАК

1. Формалёв Ф.В., Кузнецова Е.Л., Селин И.А. Аналитическое исследование задач типа Стефана в композиционных материалах с произвольным числом подвижных границ фазовых превращений// Механика композиционных материалов и конструкций. 2009. Т. 15, №2. С.256-264.

2. Формалёв В.Ф., Селин И.А. Возникновение и распространение тепловых волн в нелинейном анизотропном пространстве// Известия РАН «Энергетика». 2010. №3. С. 136-141.

3. Формалёв В.Ф., Селин И.А. Тепловые волны в нелинейном анизотропном пространстве//Труды МАИ. 2010. №37. С. 12-13.

4. Формалёв В.Ф., Селин И.А. Моделирование тепловых волн в нелинейном анизотропном пространстве// Вестник Самарского Государственного технического университета. 2010. №1 (20). С.239-244.

5. Кузнецова Е.Л., Селин И.А., Формалев В.Ф. Задача типа Стефана с произвольным числом подвижных границ фазовых превращений// Вестник Ml ТУ им. Н.Э.Баумана. 2010. №2 (37). С.49-58.

6. V.F.Formalev, Ek.L.Kuznetsova, I.A.Selin. Analytical study of Stefan-type problems in composites with an arbitrary number of moving boundaries of phase transitions// Composites: Mechanics, computations, Applications. 2010. №1 (1), C.25-35.

Публикации в других изданиях

7. Формалёв В.Ф., Сеяин И.А. О тепловых волнах в нелинейных твёрдых средах// В тр. 16-ой межд. конф. по вычислительной механике и современным прикладным программным системам. Алушта, 2009. С.732.

8. Формалёв В.Ф., Селин И.А. О тепловых волнах в твёрдых телах// В тр. XV Межд. симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред им. А.Г.Горшкова». Ярополец, московская область, 2009. Т.1. С. 157158.

9. Формалёв В.Ф., Селин И.А., Колесник С.А. Анализ тепловых волн в анизотропных пространствах // 5-ая Российской Национальной Конференции по Теплообмену. Москва, 2010. Т.7. С.183-186.

10. Селин И.А. Моделирование тепловых волн в анизотропных твёрдых средах// Тезисы докладов восьмой международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях. Алушта, 2010. С.432-433.

11. Формалёв В.Ф., Колесник С.А., Селин И.А. Сопряжённый теплообмен между пристенными газодинамическими течениями и затупленными анизотропными телами // 5-ая Российской Национальной Конференции по Теплообмену. Москва, 2010. Т.7. С. 179-182.

ЛР № 063109 от 04.02.1999 г

Формат 60x90/16. Заказ 975. Тираж 100 экз.

Печать офсетная. Бумага для множительных аппаратов.

Отпечатано в ООО "ФЭД+", Москва, ул. Кедрова, д. 15, тел. 774-26-96

Введение

1. Методы построения математических моделей переноса потенциала при высокоинтенсивных воздействиях.

1.1. Существующие методы построения математических моделей физических процессов переноса потенциала при высокоинтенсивном воздействии.

1.2. Новый метод построения математических моделей на основе представления законов переноса потенциала в виде ряда по малому параметру.

1.3. Математическое моделирование процессов переноса при высокоинтенсивных воздействиях на примере волнового теплопереноса.

2. Математическое моделирование явлений переноса в нелинейных анизотропных средах.

2.1. Теорема об эквивалентности описания волнового переноса на основе уравнений гиперболического типа и квазилинейных уравнений параболического типа.

2.2. Метод аналитического исследования явлений переноса в нелинейных анизотропных средах на основе квазилинейных уравнений' параболического типа.

2.3. Теорема об условии возникновения и распространения возмущений в нелинейных анизотропных средах в виде бегущих волн.

2.4. Численное моделирование распространения и возникновения ударных волн в нелинейных средах на примере волн теплопереноса.

3. Численное моделирование волнового теплопереноса в анизотропной среде.

3.1. Интенсивный температурный нагрев анизотропного тела.

3.1.1. Постановка задачи.

3.1.2. Конечно-разностная аппроксимация и метод численного решения.

3.1.3. Исследование аппроксимации и устойчивости конечноразностной схемы метода переменных направлений с экстраполяцией.

3.1.4. Результаты численного исследования.

3.2. Интенсивный нагрев анизотропного тела тепловым потоком.

3.2.1. Постановка задачи.

3.2.2. Конечно-разностная аппроксимация и метод численного решения.

3.2.3. Результаты численного исследования.

4. Комплекс программ.

4.1. Среда разработки и назначение программного комплекса.

4.2. Структура программного комплекса.

4.3. Описание интерфейса.

При исследовании процессов переноса потенциала при высокоинтенсивном воздействии (при взаимодействии лазерного излучения с твёрдой поверхностью, входе гиперзвуковых летательных аппаратов в плотные слои атмосферы, сверхзвуковых контактных взаимодействиях и т.п.) гипотезы о пропорциональности плотности потока вектору градиента потенциала, построенные на феноменологических представлениях, приводят к бесконечной скорости распространения возмущений, что противоречит фундаментальным законам естествознания. К законам, построенным на данной теории относятся следующие: х,у,2,1) = -Х§гайТ{х,у,2,{) - закон Фурье, Я - коэффициент теплопроводности, плотность теплового потока, Г-температура;

0:,y,z,t') = -DgradC(<x,y,z,t) — закон Фика, И-коэффициент диффузии, ц - плотность потока диффузии, С - концентрация;

7О,.у,г,0 = -К%гас1Н{х,у,2,Г)- закон Дарси, К -коэффициент фильтрации, д- поток объёмного расхода или скорость фильтрации, Я- давление.

Все они имеют одинаковую форму, и в общем виде их можно записать так ¿7 О, .у, г,/) = -AgradU{x,y,z,t) — обобщённый закон переноса, где А - коэффициент переноса, д- плотность потока, и - потенциал. Дифференциальное уравнение переноса, получаемое из данного обобщённого закона переноса в одномерном случае имеет вид ди д2и

-= а——. д( дх2

Достаточно продифференцировать фундаментальное решение данного нестационарного уравнения переноса х,0 = -Д=ехр л/4 ла/

Г ^ ч и устремить время к нулю, откуда будет видно, что скорость переноса потенциала в начальный момент времени рано бесконечности. Данный парадокс возникает из-за специфического рассмотрения твёрдой среды. Законы переноса получены из рассмотрения тела, как сплошной среды и, как следствие, предположения о диффузионном распространении потенциала. Однако, при рассмотрении среды на молекулярном уровне, её нельзя считать сплошной, так как между молекулами находится свободное пространство. Приближение сплошной среды, подразумевающее у неё отсутствие внутренней структуры, означает, что в интегральных законах сохранения для этой среды можно совершать предельный переход при стремлении объёма к нулю. Такой предельный переход позволяет получить уравнение сохранения энергии в дифференциальной форме. С физической точки зрения эта процедура некорректна, так как среда всегда состоит из отдельных элементов и имеет свою внутреннюю дискретную структуру [82].

Для устранения парадокса о бесконечной скорости распространения возмущений в рамках теории теплопроводности К. Каттанео в 1958 году из молекулярно-кинетических представлений, используя гипотезу о конечности продолжительности удара молекул и представления о длине свободного пробега молекул, получил новый закон теплопроводности, в котором да появилось дополнительное слагаемое г—, учитывающее дискретную дt молекулярную структуру среды и отвечающее за инерционность тепла [88].

В этом слагаемом т — время релаксации, время установления термодинамического равновесия между тепловым потоком и градиентом температуры. Очевидно, что обобщённый закон переноса записать в следующем виде т^~- + q = -AgradU. (1)

Это дополнительное слагаемое, с одной стороны, позволяет оставаться на уровне макроскопических параметров тела при описании процессов переноса потенциала и не опускаться до уровня молекулярной физики, а с другой стороны, оно учитывает дискретную структуру тела.

При решении дифференциального уравнения, полученного из этого закона, наблюдается разрыв первого рода потенциала, распространяющийся от источника. Таким образом, закон (1) описывает возникновение волн при высокоинтенсивном воздействии, который приводит к локальной неравновесности системы. Эффекты локальной неравновесности чаще всего наблюдаются при воздействии на тело короткими импульсами энергии, в ударных волнах, при низких температурах. В этих случаях время релаксации системы к локальному равновесию сравнимо со временем самого процесса [67].

Локальное равновесие справедливо для моментов времени, значительно превышающих время релаксации.

Таким образом, классические теории переноса справедливы, если скорость протекания процессов много меньше скорости распространения возмущений в рассматриваемой среде.

Математически тепловая волна представляет собой слабый или сильный разрыв температурного поля. Под сильным разрывом понимается разрыв функции первого рода, а под слабым — разрыв производной первого или второго порядка. Если не учитывать эти разрывы на основе феноменологии, то в окрестности начального момента времени возникают большие погрешности в распределении возмущений, которые потом распространяются по пространству во времени. Эти разрывы в линейной среде быстро затухают, а в нелинейной, при возрастающем краевом условии, остаются. Таким образом, математическое моделирование волнового переноса в твёрдых телах является актуальной проблемой.

Волновой перенос потенциала в твёрдых телах на данный момент представляют слабо изученную область. Прежде всего это вызвано отсутствием экспериментальной базы. Волны при высокоинтенсивном воздействии имеют очень малое время затухания, а аппаратуры, способной работать с необходимой чувствительностью в таких временах не существует.

В [63] показано, что волны образуются так же в телах, обладающих нелинейными физическими характеристиками, зависящими от потенциала. Такие волны можно описывать квазилинейными уравнениями переноса.

Работ, посвященных волновому переносу, мало. Все их можно разделить на 2 группы. Первая представляет собой исследование волнового переноса на основе гиперболического уравнения, а ко второй группе относятся те работы, в которых волновой перенос описывается квазилинейным уравнением. Большинство работ, относящихся к первой группе, хоть и затрагивают волновой перенос на основе закона с учётом времени релаксации, но сами тепловые волны не исследуют, а решают прикладные задачи [1, 4, 5, 36, 41, 68, 81].

В диссертации результаты исследования методов математического моделирования волнового переноса при высокоинтенсивных воздействиях применяются к теории теплопроводности при высокоинтенсивном нагреве.

В [81] показано, что при воздействии лазерного излучения возникающие тепловые волны влияют на прочностные характеристики тел. Расчёт температурных полей по закону Фурье может давать критические ошибки для теплового напряжения, что может привести к разрушению нагреваемого тела.

В работе [1] рассматривается нагрев пластины импульсным лазерным излучением. Используется гиперболическое уравнение теплопроводности. Показано, что в области малых частот (m>«1) излучения получаются зависимости, согласующиеся с теорией Фурье. В пределе больших частот (tg>»1) гиперболическое уравнение теплопроводности описывает процесс, при котором температурные возмущения распространяются с конечной скоростью. Что показывает существенную неравновесность процесса, в котором необходимо учитывать появление тепловых волн.

Среди авторов, занимающихся исследованиями тепловых волн на основе закона Максвелла-Каттанео можно выделить Бубнова В.А., Корнеева A.C., Рубину Л.И., Соболева С.Л., Шашкова А.Г.

В работах, посвященных данной тематике рассматривается в основном одномерная область без учёта граничных условий [14, 16; 18, 23].

В [49] показано, что при высокоинтенсивном теплообмене в результате воздействия на тело теплового потока температура в начальный момент времени, рассчитанная по закону Максвелла-Каттанео оказывается больше, чем температура, рассчитанная по закону Фурье, на несколько сотен градусов.

Наиболее полной представляется работа [82]. Но в данной работе, не смотря на всесторонние исследования не показаны сами тепловые волны и нет аналитических решений краевых задач.

Нет исследований в нелинейных средах на основе гиперболического уравнения переноса; Работы по исследованию волнового переноса в анизотропных пространствах отсутствуют.

Исследованию процессов волнового теплопереноса на основе квазилинейного уравнения теплопроводности посвящены работы Зельдовича Я.Б., Баренблатта Г.И., Калашникова A.C., Ладыженской O.A., Самарского A.A. В работах Зельдовича было установлено, что скорость распространения тепла для процессов нелинейной теплопроводности является конечной, в отличие от задач, описываемых линейным уравнением теплопроводности и допускается существование разрывов производных на фронте тепловой волны.

В [8] предложен новый метод решения подобных задач.

В [28, 40, 45, 46, 80] разобраны общие вопросы существования и дифференцируемости решений, асимптотика, оценки.

Очень подробно, с большим количеством примеров волновой теплоперенос описан в [61, 63]. В [62] предлагаются численные методы для расчёта тепловых волн.

В данном направлении очень мало аналитических результатов в двумерных областях. А для двумерных областей с учётом, анизотропии результаты отсутствуют, как и методы аналитических решений.

В диссертационной работе, предложен новый метод математического моделирования волнового переноса на основе разложения закона переноса в ряд по малому параметру в изотропных и анизотропных средах, получены численные и аналитические решения задач волнового переноса, в том числе в нелинейных анизотропных средах, исследуются новые явления, в частности условия возникновения и распространение тепловых ударных волн. В соответствии с этим, целью диссертационной работы является разработка новых методов моделирования волнового переноса при высокоинтенсивных воздействиях. В диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Исследование волнового переноса потенциала при высокоинтенсивных воздействиях на основе гиперболического уравнения при различных краевых режимах в изотропных и анизотропных средах.

2. Разработка нового метода математического моделирования волнового переноса потенциала при высокоинтенсивных воздействиях, с помощью которого можно использовать модели не на основе гиперболических уравнений, а на основе параболических.

3. Разработан метод решения квазилинейных уравнений со смешанными производными, состоящий введения из цепочки автомодельных переменных.

4. Модифицирован существующий численный метод для моделирования волнового теплопереноса в анизотропном пространстве.

5. Исследование новых физико-математических явлений, возникающих при математическом моделировании волнового теплопереноса.

Первая глава посвящена анализу существующих методов, математического моделирования волнового переноса при высокоинтенсивных воздействиях и описанию нового метода математического моделирования.

В параграфе 1.1 описывается существующий метод математического моделирования волнового переноса потенциала на основе явления релаксации в твёрдых телах. Приводится закон, выводится дифференциальное уравнение на основе этого закона. Для этого уравнения ставятся начально-краевые задачи.

В параграфе 1.2 описывается новый метод математического моделирования волнового переноса на основе разложения в ряд по малому параметру. Для полученного ^уравнения, ставятся' начально-краевые задачи.

В параграфе 1.3 описанные выше методы моделирования рассматриваются на примере теплопереноса. Исследуются, решения> первой» второй и третьей' краевых задач уравнения волнового теплопереноса в одномерном случае. Показаны значительные погрешности по сравнению с решением, полученным моделирования с помощью классического уравнения теплопроводности. Рассматривается процесс распространения тепла в двумерном пространстве, описываемый двумерным волновым уравнениям теплопроводности. При моделировании волнового теплопереноса на основе предложенного метода описывается новый разработанный численный метод. Производится сравнение методов моделирования.

Вторая глава посвящена исследованию волнового переноса в средах с нелинейными ■ физическими характеристикам^ переноса, имеющих степенную зависимость коэффициента переноса потенциала.

В параграфе 2.1 приводится теорема об эквивалентности гиперболического и квазилинейного параболического дифференциальных операторов в смысле волнового переноса.

В параграфе 2.2 с использованием цепочки автомодельных преобразований получено и проанализировано решение задачи Коши, где начальное условие имеет вид мгновенного источника возмущения. Показано, что перенос потенциала имеет волновой характер с различной скоростью распространения волн в разных направлениях, что наряду с сильными разрывами могут быть и слабые. Решена аналогичная краевая задача.

Показано распространение волн, форма волны, определены условия, накладываемые на уравнение, при которых существует решение типа бегущей волны. Определены скорости распространения волны в разных направлениях.

В параграфе 2.3 доказана теорема о необходимом и достаточном условии существования решения типа бегущей волны в нелинейном анизотропном полупространстве.

В параграфе 2.4 при моделировании волнового переноса на основе квазилинейного гиперболического уравнения исследуется возникновение тепловой ударной волны от импульсного источника при первом и втором краевом условии. Получены условия формирования и движения ударной тепловой волны. Проведено сравнение полученного решения с решением классического квазилинейного уравнения теплопроводности.

Глава 3 посвящена численному моделированию теплопереноса на основе уравнения волнового теплопереноса в анизотропной среде.

В параграфе 3.1 численно решается первая краевая задача для уравнения волнового теплопереноса. Описана конечно-разностная схема, исследована её устойчивость и аппроксимация.

В параграфе 3.2 численно решается вторая краевая задача для уравнения волнового теплопереноса. Описывается модификация конечноразностной схемы с помощью интегро-интреполяционного метода A.A. Самарского.

Исследовано влияние угла главных осей тензора теплопроводности, его компонентов и времени релаксации на процесс распространения тепла.

В главе 4 описан программный комплекс, созданный для решения задач теплопроводности на основе методов математического моделирования, описанных в диссертации, в котором реализованы рассмотренные численные методы.

1. СУЩЕСТВУЮЩИЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА ПРИ ВЫСОКОИНТЕНСИВНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Классическая теория переноса — на основе градиентных законов — справедлива, если характерная скорость данного процесса много меньше скорости распространения возмущений в среде. При высокоинтенсивных процессах, классическая теория процессов переноса становится несправедлива и следует пользоваться локально-неравновесными методами описания таких систем [67]. В теории теплопроводности закон, представляющий взаимосвязь между тепловым потоком и градиентом температуры, предложенный сначала П. Верноттом, потом Каттанео и A.B. Лыковым, относится к одному из таких методов. Данный закон в общей форме является общим законом волнового переноса потенциала, которым необходимо пользоваться при< высокоинтенсивных воздействиях. Высокоинтенсивное воздействие подразумевает сообщение телу большого возмущения потенциала за промежуток времени t 0. При таком воздействии, поле потенциала, рассчитанное по параболическому уравнению переноса, в первые моменты времени не является достоверным. Кроме того, модель Вернотта-Лыкова учитывает конечную скорость распространения тепла [7], соответственно скорость получается конечной и при переноса любого потенциала, перенос которого построен на аналогичном законе.

В главе рассматривается существующий метод математического моделирования волнового переноса и предлагается новый метод. Выводятся соответствующие уравнения-, ставятся начально-краевые задачи. Проводится сравнение решений, полученных разными методами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе проведённых исследований в диссертационной работе получены следующие научные результаты:

1. Разработан новый метод построения математических моделей, описывающих процессы при высокоинтенсивных воздействиях, на основе представления законов переноса возмущений в виде рядов по малому параметру.

2. Предложен метод математического моделирования явлений переноса потенциала в нелинейных анизотропных средах, на основе которого впервые получены аналитические решения, показавшие волновой характер переноса возмущений.

3. Доказана теорема об эквивалентности волнового переноса потенциала на основе уравнения гиперболического типа и квазилинейного уравнения параболического типа. Это позволило исследовать волновой теплоперенос в нелинейных пространствах.

4. Модифицирован и впервые применён для решения задач волнового переноса возмущений потенциала при высокоинтенсивных воздействиях в анизотропных средах экономичный абсолютно устойчивый численный метод переменных направлений с экстраполяцией. Модификация позволила увеличить до второго порядка аппроксимацию краевых условий, содержащих производные.

5. Разработан программный комплекс, позволяющий решать задачи теплопереноса при высокоинтенсивном нагреве с учётом волнового теплопереноса.

1. Александров А.Н., Голубев Е.В. Нагрев бесконечной металлической пластины импульсным лазерным излучением// Вестник ЮУрГУ. Серия Математика, физика, химия. 2005. Вып. 5. № 2 (42).

2. Алексашенко A.A. Аналитическое исследование тепло и массопереноса с учётом конечной скорости переноса. Канд. дис. ИТМО. Минск, 1968.

3. Алексашенко A.A., Алексашенко В.А., Селезнёв Н.В. Решение уравнений тепло- и массопереноса для тел для тел классической формы с учётом конечной скорости капиллярного движения. В кн.: Строительная теплофизика. M.-JL: Энергия, 1966.

4. Анисимов С.И., Имас Я.А., Романов Г.С., Ходыко Ю.В. Действие излучения большой мощности на металлы. М.: Наука, 1970.

5. Аттетков A.B., Волков И.К., Тверская Е.С. Оптимальная толщина охлаждаемой стенки с покрытием, подверженной локальному импульсно-периодическому нагреву. ИФЖ, 2001. Т. 74, №6.

6. Баренблатт Г.И., Виши М.И. О конечной скорости распространения в задачах нестационарной фильтрации жидкости и газа. Прикладная математика и механика, 1956. Т. 20. Вып. 3.

7. Баумейстер К., Хамилл Т. Гиперболическое уравнение теплопроводности. Решение задачи о полу бесконечном теле.— Теплопередача, 1969, №4.

8. Баутин С.П. Аналитическая тепловая волна. М.: Физматлит, 2003.

9. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975.

10. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1973.

11. Беккер Р. Теория теплоты. М.: Энергия, 1974.

12. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Гос. издат. физико-математической лит-ры, 1960.

13. Берман Р. Теплопроводность твёрдых тел. М.: Мир, 1979.

14. Бубнов В.А. О тепловых волнах. Теплофизика высоких температур, 1982, Т.20, №5.

15. Бубнов В.А. Замечания к волновым решения нелинейного уравнения теплопроводности. Инженерно-физический журнал, 1981, Т. XL, №5.

16. Бубнов В. А. О характере теплообмена в акустической волне. ИФЖ. 1976 Т. 31, №3.

17. Бураков В.А., Берцун В.Н., Крицкий O.JI. Сравнительный анализ численных методов решения нестационарной задачи анизотропной теплопроводности. Томск: Пеленг, 2001.

18. Волосевич П.П., Леванов Е.И. Автомодельные решения задач газовой динамики и теплопереноса. М.: МФТИ, 1997.

19. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию). М.: Наука, 1977.

20. Гуревич А. В., Минц Р. Г. Тепловые автоволны в нормальных металлах и сверх проводниках.— М.: ИВТАН СССР, 1987.

21. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов. М.: Наука, 2005.

22. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. М.: Наука, 1971.

23. Динариев О. Ю., Николаев О. В. О релаксационных процессах в низкопроницаемых пористых материалах. ИФЖ. 1990. Т. 58.

24. Жданов И.С. Применение функций Грина к решению задач математической физики. М.: Наука, 1995.

25. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомиздат, 1983.

26. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математические модели термомеханики. М.: Физматлит, 2002.

27. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математические модели теплопроводности. Тр. 2-ой российской национальной конференции по теплообмену. М.,1998.

28. Зельдович Я. Б., Баренблатт Г. И., Либрович В. Б., Махвиладзе Г. М. Математическая теория горения и взрыва.— М.: Наука, 1980.

29. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука, 1966.

30. Змитренко Н.В., Михайлов А.П. Инерция тепла. М.: Знание, 1982.

31. Калашников A.C. Об уравнениях типа нестационарной фильтрации с конечной скоростью распространения возмущений. Вестник МГУ. Сер 1. Математика, механика. 1971, №6.

32. Калашников A.C. О характере распространения возмущений в задачах нелинейной теплопроводности с поглощением. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1974. Т 14, №4.

33. Камья Ф.М. Импульсная теория теплопроводности. М.: Энергия, 1972.

34. Карслоу Г, Егер Д. Теплопроводность твёрдых тел. М.: Наука, 1964.

35. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твёрдых тел. М.: Высшая школа, 2001.

36. Кудинов В.М., Вовк A.A., Даниленко В.А., Макаренко A.C. Влияние процессов релаксации на горение и взрыв. Киев: Институт геофизики, 1983.

37. Колесников П.М. Простые и ударные волны при нелинейном высокоинтенсивном нестационарном процессе тепло массо переноса, ИФЖ 1968, Т.15, №3.

38. Корнеев А. Гиперболическое уравнение теплопроводности // Известия РАН. Энергетика. 2001. - № 4.

39. Краевые задачи теории теплопроводности // Сб. статей института математики УССР. Киев. 1975.

40. Крылов Н.В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. М.: Наука, 1985.

41. Крылович В.И., Дербан В.И. Термическая генерация упругих колебаний с учетом конечной скорости распространения тепла ИФЖ 1975. Т. 29, №3.

42. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. М.: Атомиздат, 1979.

43. Кутателадзе С.С, Накоряков В.Е. Тепломассообмен и волны вгазожидкостных системах. Новосибирск: Наука, 1984.

44. Кузнецова Е.Л., Селин И.А., Формалев В.Ф. Задача типа Стефана с произвольным числом подвижных границ фазовых превращений. Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана. 2010, №2 (37), с.49-58.

45. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

46. Леванов Е.И., Сотский E.H. // Математическое моделирование. Нелинейные дифференциальные уравнения математической физики.— М.: Наука, 1987.

47. Леванов Е.И., Сотский E.H. Некоторые свойства процесса теплопереноса в неподвижной среде с учётом релаксации теплового потока. Инженерно-физическй журнал. 1986. Т1, №6.

48. Леванов Е.И., Сотский E.H. Теплоперенос с учётом релаксации теплового потока. Математическое моделирование (нелин диф ур мат физ) 1987.

49. Лихт М.К. О распространении возмущений в задачах, связанных с вырождающимися квазилинейными уравнениями параболического типа. Дифференциальные уравнения, 1966. Т 2, №7.

50. Лыков A.B. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1966.

51. Лыков A.B. Тепломассообмен: (Справочник). М.: Энергия, 1978.

52. Маурер М.Ж., Томпсон Х.А. Эффекты отклонения от модели Фурье при высоких тепловых потоках. Теплопередача, 1973, №2.

53. Морс Ф, Теплофизика М : Наука, 1968.

54. Пирумов У.Г. Численные методы. М.: Вагриус, 2004.

55. Постригач Я.С., Коляно Ю.М., Обобщенная термомеханика, 1976.

56. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физико-математическая литература, 2001.

57. Рубина Л. И. О распространении слабых разрывов для системы уравнений магнитной газодинамики // Прикладная математика и механика. Т. 33. Вып. 5.

58. Рубина Л.И. О затухании и разрушении слабых разрывов, распространяющихся по области центрированных волн // Численные методы механики сплошной среды. 1972.1. Т. 3, № 4.

59. Рубина Л. И. О распространении слабых разрывов для квазилинейных систем // Прикладная математика и механика. 1972. Т. 36. Вып. 3.

60. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

61. Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.

62. Самарский A.A., Соболь И.М. Примеры численного расчёта температурных волн. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1963, Т.З, №4.

63. Самарский А. А., Соболь И. М. Ц ЖВМ и МФ. 1963. Вып. 3, № 4.

64. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.

65. Селин И.А. Моделирование тепловых волн в анизотропных твёрдых средах. Тезисы докладов восьмой международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях. 2010.

66. Скородинский В. А. Тепловой удар на поверхности полупространства с учетом конечной скорости распространения тепла.— Некоторые вопросы прикладной математики, 5. Киев, Изд-во Ин-та математики АН УССР, 1971.

67. Соболев C.J1. Процессы переноса и бегущие волны в локально-неравновесных системах. Успехи физических наук, 1991, Т. 161, №3.

68. Ступоченко Е. В., Лосев С. А., Осипов А. И. Релаксационные процессы в ударных волнах.— М.: Наука, 1965.

69. Титов С. С. О движении фронта нелинейной диффузии // Прикладная механика и техническая физика. 1996. Т. 37, №4.

70. Формалев В.Ф. Численное исследование двумерных нелинейных задач теплопроводности в анизотропных телах. ТВТ. 1988. Т.26. №6.

71. Формалев В.Ф. Метод переменных направлений с экстраполяцией по времени для параболических задач со мешанными производными. Вычислительные технологии. 1996. Т.1. №2.

72. Формалев В.Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2004.

73. Формалёв В.Ф., Селин И.А. О тепловых волнах в нелинейных твёрдых средах// В тр. 16-ой межд. конф. по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, 2009 г. с.732.

74. Формалёв В.Ф., Селин И.А. О тепловых волнах в твёрдых телах// В тр. XV Межд. симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова. 2009 г, Т.1. сЛ 57-158.

75. Формалёв В.Ф., Селин И.А., Кузнецова Е.Л. Возникновение и распространение тепловых волн в нелинейном анизотропном пространстве. Известия РАН «Энергетика», 2010, №3, с. 136-141.

76. Формалёв В.Ф., Селин И.А. Тепловые волны в нелинейном анизотропном пространстве. Труды МАИ, 2010, №37, с. 12-13.

77. Формалёв В.Ф., Селин И.А. Моделирование тепловых волн в нелинейном анизотропном пространстве. Вестник Самарского Государственного Технического Университета, 2010, №1 (20), с.239-244.

78. Формалёв В.Ф., Селин И.А., Колесник С.А. Анализ тепловых волн в анизотропных пространствах. // В тр. 5-ой Российской национальной конференции по теплообмену. 2010.

79. Фридман А., Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968.

80. Харитонов В.В., Субботин В.И., Гришутин П.А., Тимонин A.C.

81. Динамические эффекты при импульсном нагреве лазерных зеркал. Теплофизика высоких температур, 1983, Т.21, №6.

82. Шашков А.Г., Бубнов A.B., Яновский С.Ю. Волновые явления теплопроводности. М.: УРСС, 2004.

83. Шашков А. Г. Системно-структурный анализ процессов теплообмена и его применением.: Энергоатомиздат, 1983.

84. Штер И. М.Плоские гармонические волны в неограниченной термоупругой среде с конечной скоростью распространения тепла ИФЖ, 1973, Т.24, №4.

85. Шабловский О. Н. К исследованию нелинейных задач высокоинтенсивного нестационарного теплопереноса. ИФЖ.1987 Т. 52, № 2.

86. Шабловский О. Н. О нелинейных задачах плавления и испарения материалов под действием интенсивных потоков энергии с учетом тепловой релаксации. ИФЖ. 1988. Т. 55, № 3.

87. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.

88. Cattaneo С. Comptes Rendus. 1958. Vol. 247, N 4.

89. Maxwell J. С., Philos. Trans. Roy. Soc. London, 1867.

90. Peletier L.A. A necessary and sufficient conditions for the existence of an interface in flows through porous media // Arch. Ration. Mech. Anal.1974 . V.56.