автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование теплопереноса в движущейся среде с учетом релаксации потока тепла и источников энергии

На правах рукописи

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ДВИЖУЩЕЙСЯ СРЕДЕ С УЧЕТОМ РЕЛАКСАЦИИ ПОТОКА ТЕПЛА И ИСТОЧНИКОВ ЭНЕРГИИ

Специальность 05.13.18. — "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

О Э АПР 2009

Москва - 2009

003466427

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Московского физико-технического института (государственного университета).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук профессор

Леванов Евгений Иванович Официальные доктор физико-математических наук

оппоненты: профессор

Шифрин Эрнест Григорьевич

доктор физико-математических наук старший научный сотрудник Лебо Иван Германович Ведущая организация: Институт автоматизации проектирования РАН

Защита состоится « » ¿'С^с-С^Л-сЛ-'С.-г 2009 года в

часов на заседании диссертационного совета Д 212.156.05 в

Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 141700, Московская область, г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, ауд. 903 кпм.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института (государственного университета). Автореферат разослан « 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.156.05

Федько О.С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность работы

В диссертационной работе создается и исследуется математическая модель переноса тепла, которая позволяет учесть движение среды и наличие в ней источников (стоков) энергии.

Обычно для математического описания теплопереноса используется закон Фурье (IVР - -К ¡рад!), в соответствии с которым поток тепла, обусловленный теплопроводностью, пропорционален градиенту температуры, при этом коэффициент К — коэффициент теплопереноса - в общем случае является функцией термодинамических величин. Для широкого круга задач закон Фурье описывает процессы теплопереноса с достаточной точностью. Однако рамки применения закона ограничены требованием малости градиента температуры по сравнению с отношением температуры к длине свободного пробега частиц.

Так же стоит отметить, что вычисленный по закону Фурье поток может при больших градиентах температуры превысить поток энергии, переносимой электронами в условной предельной ситуации, когда все они изменили направление своего движения и полетели в одну сторону - «вакуумный» поток. Физические процессы, сопутствующие движению электронов, значительно уменьшают величину такого ограничивающего потока, поэтому принято вводить некий

поправочный коэффициент /, после чего выражение «вакуумного»

При решении задач физики высокотемпературной плазмы часто бывает, что масштабы пространственно-временных неоднород-ностей сравнимы с длиной свободного пробега электрона и характерным временем между столкновениями электронов. Кроме того, для многих задач высокотемпературной плазмы, в том числе задач лазерного термоядерного синтеза, учет ограничения потока становится чрезвычайно важным, особенно, при больших плотностях потока излучения. Введение ограничения теплового потока, опирающегося на тот или иной способ описания процесса теплопереноса, в значительной степени может повлиять на получаемые в расчетах характеристики плазмы.

Существует несколько интерполяционных формул, позволяющих учесть ограничение теплового потока сверху выражением «вакуумного» потока, например W = min (WF,fVm3x), W~x = WF~l + W^'1. Основной недостаток модели, базирующейся на первой интерполяционной формуле, заключается в смене типа уравнения, которым описывается теплоперенос, с параболического (при Wг < fVmix ) на гиперболический (при WF > W/max). Это приводит после достижения электронным потоком предельного значения к количественному и качественному изменению процесса теплопередачи, что может привести к побочным «паразитическим» эффектам. Учитывая, что предельный поток всегда одного знака, то нужно также вводить поправку, зависящую от направления потока. Вторая интерполяцион-

ная формула, условно называемая моделью «обратных потоков», применяется в подавляющем большинстве программ для численного решения задач лазерного термоядерного синтеза (далее - ЛТС). Ее основной недостаток состоит в том, что искусственное введение ограничения потока с помощью модели «обратных потоков» может с самого начала привести к искажению описания процесса и создать условия для неестественного самоподдерживающегося роста градиента температуры, влекущего за собой необходимость учитывать предельный поток.

Обе модели, построенные на интерполяционных формулах, являются сугубо математическими моделями без должного физического обоснования, и нельзя гарантировать истинность результатов расчетов, проведенных с их использованием. Строго говоря, следовало бы обратиться к кинетическим уравнениям, однако в силу значительных затрат машинного времени использование кинетических уравнений не всегда приемлемо для задач, «отягощенных» учетом многих нелинейных факторов, тем более для серийных расчетов.

Для описания потока тепла применяется также уравнение

5Ж

IV = -К%гас1Т - г , которое может быть выведено из уравнения

Больцмана при помощи 13 моментов Греда. Модели, основанные на этом уравнении, исследованы для случая постоянных коэффициентов теплопереноса и релаксации потока тепла. В работах, связанных с таким способом моделирования теплопереноса, также не учитывались одновременно и движение среды, и источники (стоки) энергии, и нелинейность зависимости коэффициентов К и г от параметров сре-

ды, что важно для решения задач высокотемпературной плазмы, в том числе задач ЛТС.

Цели и задачи диссертационной работы

Целями диссертационной работы являются:

• Разработка и последующее изучение свойств математической модели переноса тепла, которая позволит учитывать движение среды и источники энергии.

• Создание программного комплекса для расчета уравнений газовой динамики с теплопроводностью и с учетом различных физических эффектов для случаев плоской, цилиндрической и сферической геометрий с помощью построенной модели. Комплекс должен быть ориентирован на решение задач высокотемпературной плазмы.

• Сравнение результатов численного моделирования задач ЛТС в случае использования разработанной модели и в случае использования модели Фурье.

Научная новизна работы:

В первую очередь, новизна работы, выполненной автором, состоит в том, что была построена и исследована модель переноса тепла для движущихся сред с источниками (стоками) энергии. Вместо классического закона Фурье для расчета потока тепла используется

уравнение 1¥=-^гас1Т-т-, которое учитывает релаксацию

Эг

потока тепла. Коэффициент теплопроводности К и время релаксации г в данной модели считаются зависящими нелинейно от параметров среды (температура и плотность). Модель учитывает влияние источников энергии.

Для системы уравнений, описывающей построенную модель, впервые была показана возможность существования двух сильных разрывов и их устойчивость, получены соотношения на фронтах разрывов, получены и исследованы инвариантные решения (автомодельные решения и решения типа бегущих волн) при различных значениях безразмерных параметров для ряда задач, в том числе для задачи о поршне. Были рассмотрены случаи как подвижной, так и неподвижной сред.

Созданы новые комплексы программ 01АНА-8 и РЬОЛА-Я для получения численных решений задач с использованием построенной релаксационной модели с учетом источников энергии. Данные комплексы позволяют так же выполнять расчеты с использованием модели Фурье, как частного случая модели релаксационного теплопе-реноса.

Выполнена полная оптимизация (масса газа и оболочки, ас-пектное отношение, длительность лазерного импульса, гармоника излучения лазера) газонаполненной мишени БНе3 для случая облучения ее //¿/-лазером мощности 5 МДж. Вычисления проводились с помощью программного комплекса Б1АМА-8 для случая модели

Фурье (коэффициент релаксации потока тепла равен 2,0x10"20). Проведено сравнение лучших результатов со случаем расчета с использованием модели релаксационного переноса.

На защиту выносятся:

1. Математическая модель нелинейного теплопереноса с учетом релаксации потока тепла и источников (стоков) энергии. Исследование модели: показано существование двух сильных разрывов, их устойчивость, получены соотношения на фронтах разрывов.

2. Инвариантные решения системы, описывающей построенную модель: автомодельные решения, решения типа бегущих волн. Результаты исследования полученных автором классов автомодельных решений соответствующей системы уравнений при различных значениях безразмерных параметров.

3. Комплексы программ FLORA-S и DIANA-S, предназначенные для расчета уравнений одномерной газовой динамики с теплопроводностью в Лагранжевых координатах с помощью разработанной модели.

4. Решения прикладных задач с помощью программных комплексов FLORA-S и DIANA-S.

Апробация работы

Результаты работы докладывались, обсуждались и получили одобрение специалистов на следующих научных конференциях и семинарах:

• IV International congress of mathematical modeling (Нижний Новгород, 2004);

• Всероссийский семинар «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, 2004, 2005 и 2007);

• Международная конференция по избранным вопросам современной математики (Калининград, 2005);

• XXXIII и XXXIV Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (Звенигород, 2006, 2007);

• XII школа-семинар «Современные проблемы математического моделирования» (Ростов-на-Дону, 2007);

• научные конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва-Долгопрудный, 2004 - 2008);

• научный семинар Института математического моделирования РАН и кафедры математического моделирования МФТИ под руководством Е.И. Леванова (Москва, 2006-2009).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 21 работа, в том числе 4 -в изданиях из списка, рекомендованного ВАК РФ [4, 6, 17, 18].

В работах с соавторами лично соискателем выполнено следующее: [1 - 7, 9, 10, 16, 18 - 21] - модель, получение соотношений на разрыве; [1 - 3, 10, 18 - 20] - получение автомодельных решений; [7, 9, 16, 18 -21] - получение решений типа бегущих волн; [3, 6, 11, 18] - разработка численной схемы для комплекса программ, модифи-

кация программ, выполнение расчетов; [8, 12 - 15, 17] - разработка методики и проведение оптимизации.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Объем диссертации - 130 страниц. Список использованных источников содержит 80 наименований.

Содержание работы

Во введении к диссертации содержится обоснование актуальности избранной темы, формулируются особенности существующих моделей теплопереноса, дается описание основных целей и конкретных задач исследования, приводится описание структуры диссертации.

В первом и втором параграфах первой главы описываются предпосылки к созданию новой модели теплопереноса - релаксационной модели с учетом источников энергии, указываются результаты предшествовавших исследований, строится модель, приводится ее физическое и математическое обоснование.

Модель релаксационного теплопереноса с учетом источников (стоков) энергии может быть записана с помощью системы уравнений в массовых переменных Лагранжа m и t следующим образом:

сти4 Р

(1)

где р — плотность среды, Т — температура, р — давление, е — удельная внутренняя энергия, о — скорость газа, № — плотность потока тепла, обусловленный теплопроводностью, £) — мощность нелинейных источников (Q>§) или стоков (2<0) энергии, г —

переменная Эйлера, К = К(р, Т) — массовый коэффициент теплопроводности (т.е. коэффициент теплопроводности, умноженный на плотность), т = т(р,Т) —время релаксации теплового потока, значение параметра у определяет симметрию: плоская (и = 0), осевая (V = 1), сферическая (у = 2).

Система (1) является системой гиперболического типа, что приводит к качественному изменению поведения ее решений по сравнению с моделью параболического типа в случае использования закона Фурье для описания явления теплопереноса. Для возможности проведения дальнейших исследований система приводится к дивергентному виду. Для этого автором вводится вспомогательная функция

V = (/(т,е), удовлетворяющая условию —

ЗУ _К(р,Т) дТ 8т т(р, Т) д/п

, что позво-

дЖ дУ Ш

ляет преобразовать уравнение переноса тепла к виду-=----

дт т

и переписать систему (1) для случая V = 0 в следующем виде:

Ввиду того, что система, описывающая рассматриваемую автором модель релаксационного теплопереноса, является гиперболической, она допускает существование двух сильных разрывов: один за счет газовой динамики, а второй за счет гиперболического типа уравнения, описывающего явление теплопереноса. Поэтому, для дальнейшего исследования свойств модели автор приведен в третьем параграфе вывод соотношений на фронте сильного разрыва (т.е. соотношения выражающие законы сохранения при переходе искомых величин через фронт тепловой ударной волны), которые в общем случае могут быть записаны следующим образом:

д ( 1 ^ _ ди до др д(\р) дт' д1 дт'

= дУ _К(р,Т) дТ

3/ дт г ' дт т(р,Т) дт'

К = К{Т,р), г = т(Г, р), 0 =

р = р(Т,р), £ = е{Т,р).

(2)

=4+0-02) —. P2=Pl+{\-dl) —. 2 А А

Ж, +

А

2 Л"

V2=VX+{W2-WX)D,

где в = —, D - скорость распространения фронта разрыва, индексу 1

Р

соответствуют величины до фронта разрыва, а индексу 2 - после. В дальнейшей работе автор использует частные случаи полученных соотношений, когда функция V = V{m,t) и уравнения состояния среды р = р(р,Т), £ = s(p,T) определены.

Также в первой главе для изучаемой модели релаксационного теплопереноса находятся условия автомодельности решения задачи о поршне при различных допущениях о параметрах и функциях модели, и проводится анализ поведения найденных решений. Приведем одну из рассмотренных в работе постановок задачи.

Дополним систему (2) начальными и граничными условиями

7X0,0 = 7/°, Т0 >0, и(0,/) = ц/\ и0 >0,

(3)

Т(т, 0) = и(ш, 0) = W(m, 0) = Q{m, 0) = 0, р(т, 0) = р0 = const. Будем считать справедливыми уравнения состояния идеального газа, а функции Q, К, т определим следующим образом:

К = К0Т^, г = г0П, Q = Qor*,

а0 >0, а, > 0, а2 Ф 0. Тогда условия автомодельности решения задачи (2), (3), (4) запишутся в виде

«о= —» аг=1-а{, а0 = 1 + а,, (5)

а, 2ах

где параметр п0 является «показателем» автомодельности. Далее задача записывается в безразмерном виде и решается.

Результаты, полученные в данной главе, крайне важны, поскольку автомодельные решения не только позволяют получить качественную картину процесса теплопереноса при использовании релаксационной модели теплопереноса, но и представляют собой хорошие тесты для отработки численной методики, т.к. по существу они являются «точными» решениями, учитывающими особенности нелинейных явлений. Подобные инвариантные решения позволяют установить зависимости характерных величин от многих параметров задачи. Существование автомодельных решений позволяет свести исходную систему одномерных уравнений в частных производных к системе обыкновенных уравнений. В результате проведенного анализа автомодельных решений в данной главе показывается, что в случае решения задачи о поршне с использованием модели релаксационного теплопереноса всегда существует два сильных разрыва, распространяющихся перед поршнем.

Все полученные в этой главе результаты отражены в публикациях [1-7, 9,10, 16-21].

В первом параграфе второй главы получены и исследованы решения типа бегущих волн без учета газовой динамики и источников энергии, то есть рассматривается следующая постановка задачи:

Я ВТ _ 81У д1 дт'

дт Эг

К = К0Та\ т = т0Тщ, а0>0, а, >0. В плоскости т = 0 выполняется условие = , а при / = 0

условия Т(т,0) = 0, ^(ш,0) = 0 . Решение такой задачи является

автомодельным при о, =

а0+2

2g + l

Найдено решение типа бегущих волн (т.е. искомые функции F зависят от т и t в комбинации F = F(m,t) = F(x), где х = Dt-m , D = const - скорость фронта волны), выполнив переход к соответствующей безразмерной задаче, и рассматривает свойства полученных решений для ряда частных случаев. Основной результат работы, изложенной в первом параграфе второй главы, состоит в том, что гиперболический теплоперенос существенно зависит от изменения времени релаксации: его увеличение приводит к росту абсолютного значения температуры и к уменьшению глубины прогрева.

Во втором параграфе второй главы получены и исследованы решения вида бегущих волн с учетом газовой динамики для двух случаев: когда коэффициенты теплопроводности и релаксации потока тепла зависят только от температуры и когда - от температуры и плотности. Автор приводит детальный анализ поведения решений при различных значениях параметров задачи, приводит анализ нескольких частных случаев решений.

На основании проведенного во втором параграфе исследования можно сделать следующие выводы:

• Так же как и в случаях, рассмотренных в первом параграфе, гиперболический теплоперенос существенно зависит от изменения времени релаксации: его увеличение приводит к росту абсолютного значения температуры и к уменьшению глубины прогрева.

• Бегущие волны, описывающие перенос тепла по закону Фурье (г = 0 ), существуют лишь в конечных промежутках изменения независимых переменных mat, для которых скорость волны больше скорости звука. В случае г £ О решение может существовать во всей области изменения т > О, / > 0, причем «сверхзвуковое» течение меняется на «дозвуковое».

• Для релаксационного переноса тепла характерным является переход от «начального фона» в виде сильного разрыва искомых функций, в том числе температуры и потока тепла. При этом существуют также бегущие волны со вторым («внутренним») разрывом величин.

• Исследуемые решения могут существенно отличаться от классических, рассматриваемых в предположении, что поток тепла пропорционален градиенту температуры (закон Фурье).

В третьем параграфе рассмотрен вопрос влияния источников (стоков) энергии на процесс теплопереноса на примере различных задач, в том числе в одной из них изучается качественное влияние

источника степенного вида Q = Q0T2pна получаемое решение в

задаче о поршне. Анализ и вычислительные эксперименты для этого случая показали, что с изменением влияния Q, расстояние между поршнем и тепловыми ударными волнами увеличивается. Кроме того, возможен переход от монотонного распределения температуры по пространственной координате т к немонотонному.

В четвертом параграфе аналитически доказывается устойчивость полученных ранее в этой главе разрывных решений. Для доказательства используется условие устойчивости разрыва в теории решения систем п квазилинейных уравнений.

Результаты этой главы были опубликованы в [7, 9, 16, 18-21].

В третьей главе приведено сравнение разностных схем программного комплекса DIANA-S и FLORA-S, разработанных автором для численного решения задач с использованием модели релаксационного переноса, с комплексами DIANA и FLORA, использующих для расчета теплопереноса модель Фурье или модель обратных потоков.

Во втором параграфе описаны некоторые из численных экспериментов, проведенных на базе комплексов программ DIANA—S и FLORA—S, с целью функционального тестирования программы. Такое тестирование выполняется на базе хорошо изученных задач, имеющих исследованные автомодельные решения, путем сопоставления их аналитических решений с результатами численного эксперимента. Одной из задач, рассматриваемых автором в рамках функционального тестирования, является задача на воспроизведение аналитического решения с линейным профилем температуры для случая закона Фурье и для случая гиперболического теплопереноса.

При постановке расчетной задачи для программного комплекса FLORA—S использовались следующие начальные и граничные условия:

Г(0,0 = 1 + *, Г(*,0) = 1-*, F(x,0) = 0. Коэффициенты релаксации г и теплопроводности К подбираются таким образом, чтобы решения для обоих способов расчета потока тепла (релаксационная модель и модель Фурье) имели одинаковый профиль.

Результаты все приведенных в диссертации численных экспериментов свидетельствуют о корректной работе программы и возможности ее дальнейшего использования для расчета прикладных, неизученных задач.

В третьем параграфе приведен результат решения прикладной задачи ЛТС. Автором выполнена оптимизация энергетического выхода при облучении Nd-лазером газонаполненных мишеней в рамках следующих ограничений. Рассматривается шарообразная мишень, у которой центральная полость наполнена газом DHe3 и окружена СН-оболочкой. Облучение мишени считается равномерным, используется импульс "треугольной" формы, вкладываемая энергия равна 5 АЩж. Оптимизация выполняется по следующим параметрам: длительность и гармоника (Л, = 1 мкм, /Ц = 0.35 мкм, Д4 = 0.265 мкм ) лазерного импульса, аспектное отношение (отношение радиуса мишени к толщине стенки оболочки), масса газа и масса оболочки. Задача решается в одномерном приближении. Энергетический выход задачи оценивается по количеству реакций D+3 Не -И Не(3.65МэВ)+Н(14.7МэВ). Для вычислений используется программный комплекс DIANA-S, предельный случай релаксационной модели теплопереноса (модели

18

Фурье) - для этого коэффициент релаксации теплового потока полагается равным 2.0 х Ю~20.

В результате оптимизации получены следующие параметры мишеней, лучших для каждой из рассматриваемых гармоник:

• Мишень с Мгаз = 10 мкг, Мо6ю = 4000 мкг при А = 50, г = 4 не при облучении на первой гармонике дает максимум 1.22x1016 реакций;

• Мишень с Мга] =15 мкг, Мо3о1 = 4700 мкг , Л = 50 при г = 4 не при облучении на третьей гармонике дает максимум 1.588х1016 реакций;

• Мишень с Мгт = 15 мкг, Мо6ол = 4000 мкг , А = 30 при г = 3 не при облучении на четвертой гармонике дает максимум

1.898 хЮ16 реакций.

Для этих и ряда других мишеней, в работе выполнено сравнение результатов со счетами, в которых значения коэффициента релаксации потока тепла равны 2.0х 10"6, 2.0х 10"7, 2.0х 10"8, 2.0х 10'9.

Результаты этой главы были использованы в публикациях [3, 6, 11, 18] - разностная схема и результаты вычислительных экспериментов по решению тестовых задач, и в [8, 12 - 15, 17] - решение прикладной задачи оптимизации газонаполненной мишени ОНе .

В заключении приводятся основные результаты и выводы

работы.

Основные результаты работы

1. Построена математическая модель теплопереноса - модель релаксационного переноса тепла с учетом газовой динамики и источников энергии для случаев как неподвижной, так и движущейся среды. Изучены свойства системы, описывающей модель: показано существование двух сильных разрывов, их устойчивость, получены соотношение на фронтах разрывов.

2. Получены и исследованы классы автомодельных решений системы уравнений, описывающей модель, при различных значениях безразмерных параметров. Получены и исследованы инвариантные решения типа бегущих волн.

3. На базе программ DIANA и FLORA, использующих для расчета теплопереноса модель Фурье, созданы программные комплексы DIANA-S и FLORA-S для численного решения задач высокотемпературной плазмы, использующих для расчетов модель релаксационного теплопереноса и учитывающих влияние источников энергии.

4. Выполнена серия численных экспериментов на программных комплексах DIANA-S и FLORA-S с использованием модели релаксационного теплопереноса и ее частного случая - модели Фурье. Проведена численная оптимизация газонаполненной мишени DHe3 для случая облучения ее ЛУ-лазером мощности 5 МДж по следующим параметрам: масса газа и оболочки, аспектное отношение, длительность лазерного импульса, гармоника излечения лазера. Для ряда мишеней, в том числе оптимальной, выполнено сравнение результа-

тов вычислительных экспериментов при использовании модели Фурье и при использовании модели релаксационного теплопереноса с различными значениями коэффициента релаксации потока тепла.

Список публикаций по теме диссертации

1. P.P. Volosevich, E.I. Levanov, and E. V. Severina. Mathematical modeling of relaxational heat transfer with consideration of volumetric sources (sinks) in nonlinear mediums // IV International congress of mathematical modeling: Book of abstracts. /University of Nizhny Novgorod. — Nizhny Novgorod, 2004. — P. 204.

2. Волосевич П.П., Леванов Е.И., Северина E.B. Исследование газодинамических и тепловых процессов с учетом объемных источников энергии и релаксации потока тепла // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы Пятого Всероссийского семинара, посвященного 200-летию Казанского государственного университета. /Казанский Государственный Университет. — Казань, 2004. — С. 35-39.

3. Северина Е.В. Математическое моделирование теплопереноса в движущейся среде с учетом релаксации потока тепла и объемных источников энергии // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VII. Прикладная математика и экономика: Труды XL VII научной конференции. /Моск. физ.-техн. ин-т. — М.Долгопрудный, 2004. — С. 121-123.

4. Волосевич ПЛ., Леванов Е.И., Северина Е.В. Математическое моделирование теплопереноса в движущейся среде с учетом

релаксации потока тепла и объемных источников энергии // Известия ВУЗов. Математика. — 2005. — № 1(512). С. 31-39.

5. P.P. Volosevich, E.I. Levanov, and E. V. Severina. The analysis of hyperbolic equations describing moving and heat transfer II Тезисы Международный научной конференции «Избранные вопросы современной математики». /Калининградский государственный университет имени И. Канта. —Калининград, 2005. — С. 167-168.

6. Волосевич П.П., Леванов Е.И., Северина Е.В. Математическое моделирование релаксации теплопереноса с учетом объемных источников (стоков) энергии в нелинейных средах // Вестник Нижегородского университета имени Н. И. Лобачевского. Серия: Математическое моделирование и оптимальное управление. — Н.Новгород, 2005.—Вып. 1(28). —С. 157-162.

7. Волосевич ПЛ., Леванов Е.И., Северина Е.В. Решения типа бегущих волн с учетом релаксации потока тепла // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы Шестого Всероссийского семинара. /Казанский Государственный Университет. — Казань, 2005. —С. 57-61.

8. Волосевич П.П., Гуськов С.Ю., Змитренко Н.В., Леванов Е.И., Розанов В.Б., Северина Е.В. Анализ моделей электронной теплопроводности при сжатии лазерных мишеней // Тезисы докладов XXXIII Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу.— М.: ЗАО НТЦ "ПЛАЗМАИОФАН", 2005. — С. 131.

9. Северина Е.В. Решение типа бегущих волн для случая релаксационного теплопереноса // Современные проблемы фундамен-

тальных и прикладных наук. Часть VII. Прикладная математика и экономика: Труды XLVIII научной конференции. /Моск. физ.-техн. ин-т. — М. - Долгопрудный, 2005. — С. 171-173.

10. Волосевич П.П., Леванов Е.И., Северина Е.В. Температурные ударные волны в движущейся среде с учетом релаксации потока тепла // Инженерно-физический журнал. — 2006. — Т.79, №4. — С. 57-68.

11. Северина Е.В. Вычислительный эксперимент в задачах релаксационного теплопереноса // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VII. Прикладная математика и экономика: Труды 49-ой научной конференции. /Моск. физ.-техн. инт. — М. - Долгопрудный, 2006. — С. 175-177.

12. Северина Е.В., Волосевич П.П., Змитренко Н.В., Леванов Е.И., Розанов В.Б. Численная оптимизация газонаполненных мишеней лазерного термоядерного синтеза // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы Седьмого Всероссийского семинара. /Казанский Государственный Университет. — Казань, 2007. — С. 240-244.

13. Северина Е.В., Волосевич П.П., Змитренко Н.В., Леванов Е.И., Розанов В.Б. Математическое моделирование безнейтронных мишеней лазерного термоядерного синтеза // Труды XII школы-семенара «Современные проблемы математического моделирования». — Ростов-на-Дону: ЮГИНФО ЮФУ, 2007. — С. 257-262.

14. Северина Е.В. Математическое моделирование безнейтронной мишени DHe3 // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VII. Прикладная математика и экономика:

Труды 50-ой научной конференции. /Моск. физ.-техн. ин-т..— М. -Долгопрудный, 2007. — С. 13-15.

15. Волосевич /7.77., Гуськов С.Ю., Змитренко Н.В., Лева-нов Е.И., Розанов В.Б., Северина Е.В. Эффективность реакций D+3He в газонаполненных мишенях для лазерных установок мегаджоульного диапазона // XXXV Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и плазмы и управляемому термоядерному синтезу. — М.: ЗАО НТЦ "ПЛАЗМАИОФАН", 2007. — С. 140.

16. Волосевич П.П., Леванов Е.И., Северина Е.В. Решение типа бегущих волн с учетом гиперболического теплопереноса // Инженерно-физический журнал. — 2008. — Т.81, № 2. — С. 290-302.

17. Волосевич П.П., Гуськов С.Ю., Змитренко Н.В., Леванов Е.И., Розанов В.Б., Северина Е.В. Оптимизация безнейтронных мишеней лазерного термоядерного синтеза // Математическое моделирование. — 2009. Т. 21, №4. — С. 35-43.

18. Волосевич П.П., Змитренко Н.В., Леванов Е.И., Северина Е.В. Динамика и нагрев плазмы с учетом релаксации теплового потока // Математическое моделирование. — 2008. — Т.20, № 4. — С. 57-68.

19. Северина Е.В., Леванов Е. И. Условия автомодельности уравнений газовой динамики с учетом релаксации потока тепла и наличия объемных источников (стоков) энергии // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VII. Прикладная математика и экономика: Труды 51-ой научной конференции. /Моск. физ.-техн. ин-т. — М. - Долгопрудный, 2008. Т.2. — С. 92-94.

20. P.P. Volosevich, N. V. Zmitrenko, E.J. Levanov, and E. V. Seve-rina. The influence of heat flow relaxation on the dynamics and heating of plasma // Mathematical models and computer simulations. — 2009. — V.l, N 2, —P. 189-199.

21. Волосевич П.П., Галигузова И.И., Леванов Е.И., Северина Е.В. Разрывные решения уравнений газовой динамики с учетом теплопереноса при наличии релаксации потока тепла // Инженерно-физический журнал. — 2009. — Т.82, № 2. — С. 350-357.

Северина Елена Владимировна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ДВИЖУЩЕЙСЯ СРЕДЕ С УЧЕТОМ РЕЛАКСАЦИИ ПОТОКА ТЕПЛА И ИСТОЧНИКОВ ЭНЕРГИИ.

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 13.03.2009. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 80 экз. Заказ № ф-031

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)» Отдел автоматизированных издательских систем . «ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ» 141700, Моск. обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

ГЛАВА I ПОСТАНОВКА ЗАДА ЧИ. АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ С УЧЕТОМ РЕЛАКСАЦИОННОГО ТЕПЛОПЕРЕНОСА И ОБЪЕМНЫХ ИСТОЧНИКОВ (СТОКОВ) ЭНЕРГИИ

§ 1. Математическая модель теплопереноса

§ 2. Математическая модель теплопереноса с учетом газовой динамики и источников (стоков) энергии.

§ 3. Законы сохранения на фронте сильного разрыва. Два сильных разрыва

1. Законы сохранения на фронте разрыва

2. Два сильных разрыва в случае релаксационного теплопереноса

§ 4. Автомодельные решения. Условия автомодельности решения задачи о поршне с учетом релаксации тепла и источников (стоков) энергии

§ 5. Автомодельные решения. Качественный анализ.

ГЛАВА II. РЕШЕНИЯ ТИПА БЕГУЩИХ ВОЛН

§ 1. Решение типа бегущих волн без учета газовой динамики и источника энергии

§ 2. Решение типа бегущих волн с учетом газовой динамики

1. Случай зависимости коэффициента теплопроводности и времени релаксации потока тепла от температуры

2. Случай зависимости коэффициентов теплопроводности и релаксации потока тепла от плотности и температуры

§ 3. Влияние источников энергии

§ 4. Устойчивость разрывных решений

ГЛАВА III. КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММDIANA-S И FLORA-S.

РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

§ 1. Программные комплексы DIANA—S и FLORA—S.

§ 2. Результаты вычислительных экспериментов по решению ряда тестовых задач

§ 3. Прикладные задачи: оптимизация газонаполненных мишеней

1. Оптимизация мишени. Первая гармоника. Модель Фурье

2. Оптимизация мишени. Третья и четвертая гармоника. Модель Фурье

3. Сравнение полученных результатов с результатами для релаксационной модели

В физике всегда большое внимание уделялось процессам переноса тепла в различных средах. В последнее время мощным иструментом исследования стали математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Перед тем как выполняется построение разностных схем и численных алгоритмов программы, моделирующей поведение изучаемого явления, его необходимо детально изучить с помощью математической модели. Для этого используются все традиционные методы и средства, такие как отыскание аналитических решений в частных случаях, построение различного вида асимптотик, качественный анализ дифференциальных уравнений, построение и анализ инвариантных решений и другие. При построении математической модели особое внимание обращается на область ее применимости и упрощения, принятые по сравнению с реальным процессом. При моделировании явления теплопереноса можно было бы назвать «универсальной» модель, основанную на кинетических уравнениях, однако проведение серийных вычислительных экспериментов с ее использованием в большинстве случаев потребовало бы неоправданно много ресурсов. Поэтому в настоящее время активно используется множество других, упрощенных моделей теплопереноса.

Чаще всего для моделирования теплопередачи используют закон Фурье [1], гласящий, что поток тепла пропорционален градиенту температуры:

W = —К gradT, (1) где W — тепловой поток, Г — температура, К — коэффициент теплопроводности. Широкий класс автомодельных задач посвящен анализу специфических свойств распространения тепловых возмущений при нелинейном коэффициенте теплопроводности (К = К0Та, К0 = const), например, в работах [2, 3] исследовался процесс переноса тепла в неподвижной холодной среде, в [4, 5] рассмотрен случай наличия в среде источников тепла. Модели, использующие закон Фурье, в настоящее время очень хорошо изучены.

Описание переноса тепла является важнейшим вопросом в изучении процессов, происходящих в высокотемпературной плазме, теплопереносу принадлежит важнейшая роль в процессах лазерного нагнетания и сжатия термоядерной плазмы [6, 7]. Передача энергии от зоны поглощения к границе ядра мишени целиком обусловлена механизмом электронной теплопроводности. Для достижения высоких плотностей необходимо, чтобы вещество впереди волны сжатия оставалось достаточно холодным, для чего тепловая волна должна распространяться с дозвуковой скоростью, т.е. действовать подобно поршню, формирующему волну сжатия.

Правильный учет электронной теплопроводности сталкивается с определенными трудностями. Дело в том, что в мишенях пробеги электронов часто оказываются одного порядка с радиусами «короны», и приближение закона Фурье становится неверным. Это связано с тем, что рамки применимости закона ограничены требованием малости градиентов температуры по сравнению с отношением температуры к длине пробега частиц. Также стоит отметить, что поток, вычисленный по закону Фурье, может превысить «вакуумный» поток, то есть поток энергии, переносимой электронами в условной ситуации, когда они изменили бы направление своего движения и полетели в одну сторону

ТТЛ

Жтах « пекТе^1 у^ J. Величина «вакуумного» потока уменьшается в действительности во много раз за счет различных физических процессов, сопутствующих движению электронов [8 —10]. Реальный ограничивающий поток обычно записывают в виде где Те — температура, пе — концентрация электронов, те — масса электрона, к — постоянная Больцмана, /0 - некоторая константа. Численное значение параметра /о различные авторы предлагают брать в диапазоне от 0.01 до 1, в зависимости от учета тех или иных физических явлений [6, 8, 11, 12].

2)

Для многих задач высокотемпературной плазмы, в том числе, для задач лазерного термоядерного синтеза (ЛТС), учет существования предела для функции теплового потока является критически важным при больших плотностях потока излучения. Например, численные эксперименты в ЛТС и исследование влияния различных физических факторов на параметры плазмы показывают, что при уменьшении энергетический выход падает, необходимая для его достижения полная энергия лазерного импульса растет, требуемая мощность лазера увеличивается.

Указанные выше недостатки модели Фурье для высокотемпературных сред привели к поиску других способов расчета теплопереноса. Попытки учесть ограничение потока тепла сверху выражением (2) при выполнении вычислительных экспериментов сводились в основном к использованию интерполяционных формул следующего вида:

Г = шш(^,Жтах), (3) и

Ж~1=Жр-1+Жтах-\ или = Л ж "тахУ

4) здесь ]¥р - поток, вычисленный по закону Фурье. Введение модуля в (4) обеспечивает нужный знак у потока при ». Простейшая математическая модель этой серии используется, например, авторами работ [11, 13], а интерполяционная формула вида (4), называемая условно моделью «обратных потоков», применяется в подавляющем большинстве программ для численного решения задач ЛТС [6 — 8, 14].

Достаточно подробно недостатки этих математических моделей обсуждались в [14, 15]. В модели (3) распространение тепла при \^Р\<Жтах описывается уравнениями параболического, при \МгР\>1¥так — гиперболического типа. В этом случае после достижения электронным потоком предельного значения процесс передачи тепла меняется и в количественном, и в качественном отношении, что может сильно сказаться на результатах и дать побочные «паразитические» эффекты. Возникает также вопрос о корректности постановки задачи с соответствующими начальными и граничными условиями. Поток тепла в уравнении (2) всегда одного знака. Для того чтобы знак потока соответствовал направлению распространения тепла, следует брать, например, постоянную К{ положительной или отрицательной в зависимости от направления процесса. Тогда уравнение для переноса тепла, записанное в плоском одномерном случае, сведется к виду: У?л/Г—= 0, при Кх> 0; д{ дх

Зу/Т — = 0, при К{< 0; дt дх где ув = ——. Оба полученных уравнения - гиперболического типа. Выраже

2 Су ния для характеристик запишутся как У?л/г, при К, > 0; Ж -У?л/г, при Кх <0.

Видно, что при Кх > 0 (см. Рис. 1) постановка краевой задачи правомерна, т.к. тепло распространяется вдоль характеристик, отходящих от оси ординат и направленных в сторону увеличения переменной х > 0. В случае К{ < 0 (см. Рис. 2) характеристики направлены в обратную сторону и пересекают ось 01, принося с собой возмущения, связанные с начальными данными. Произвольно задавать граничные условия в точке х = 0 нельзя, так как задача становится некорректной. ч ч о о X X

Рис. 1 Случай Кх> О

Рис. 2 Случай Кх < О

При расчетах практических задач часто образуются профили как с положительными, так и с отрицательными градиентами. Если при этом используется модель (3) и К— достигает предельного значения Жтах, то возникает краевая задача, где в качестве начальных данных фигурирует уже сформированный профиль температуры, причем производные от температуры по пространственной переменной могут иметь любой знак. В таком случае математическая модель (3) может привести к некорректной постановке задачи.

При использовании же уравнения (4) в численном эксперименте можно получить совершенно другой характер решения в том диапазоне физических параметров, в котором справедливо приближение теплопроводности, вычисленной по закону Фурье. В работе [14] приведен пример численного расчета задачи ЛТС, который иллюстрирует влияние ограничения потока по формуле (4). Введение его в случае, когда потоки были достаточно далеки от предельных, резко замедлило динамику процесса, качественно изменило профили физических величин по сравнению с расчетом по закону Фурье. Искусственное введение ограничения потока по формуле (4) может с самого начала привести к искажению описания процесса и создать условия для неестественного самоподдерживающегося роста градиента температуры, влекущего за собой необходимость учитывать предельный поток. дх

Простейшая модель (3) и модель «обратных потоков» (4), по сути, являются сугубо математическими моделями без должного физического обоснования, и нельзя гарантировать истинность результатов расчетов, проведенных с их использованием. Таким образом, вопрос построения физико-математической модели теплопереноса, которая может успешно использоваться при решении задач физики высокотемпературной плазмы, по-прежнему актуален.

Целью данной квалификационной работы ставились разработка и последующее изучение свойств математической модели переноса тепла, которая позволит учитывать движение среды и источники энергии, и сможет быть использована для задач физики высокотемпературных сред. Также, используя построенную модель, требовалось создать программный комплекс, ориентированный, в том числе, на решение задач высокотемпературных сред, провести функциональное тестирование комплекса и выполнить расчеты для задач ЛТС в случае использования построенной модели и в случае использования модели Фурье.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целью данной квалификационной работы являлись:

• разработка и последующее изучение свойств математической модели переноса тепла, которая позволит учитывать движение среды и источники энергии, и сможет быть использована для задач физики высокотемпературных сред;

• создание программного комплекса для расчета уравнений газовой динамики с теплопроводностью и с учетом различных физических эффектов для случаев плоской, цилиндрической и сферической геометрий с помощью построенной модели. Комплекс должен быть ориентирован на решение задач высокотемпературной плазмы;

• сравнение результатов численного моделирования задач ЛТС в случае использования разработанной модели и в случае использования модели Фурье.

Сформулируем основные результаты, полученные в данной работе.

1. Построена математическая модель теплопереноса — модель релаксационного переноса тепла с учетом газовой динамики и источников энергии для случаев как неподвижной, так и движущейся среды. Изучены свойства системы, описывающей модель: показано существование двух сильных разрывов, их устойчивость, получены соотношение на фронтах разрывов.

2. Получены и исследованы классы инвариантных решений (автомодельных и типа бегущих волн) уравнений газовой динамики с учетом релаксационного теплопереноса и источников энергии при различных значениях безразмерных параметров. Полученные решения позволили установить зависимости характерных величин от параметров задачи, выявить новые эффекты. Автомодельные решения представляют собой хорошие тесты для отработки численной методики, так как дают представление о происходящих нелинейных процессах в высокотемпературных средах.

3. На базе программ DIANA и FLORA, использующих для расчета те-плопереноса модель Фурье, созданы программные комплексы DIANA-S и FLORA-S для численного решения задач высокотемпературной плазмы, использующих для расчетов модель релаксационного теплопереноса и учитывающих влияние источников энергии.

4. Выполнена серия численных экспериментов на программных комплексах DIANA-S и FLORA-S с использованием модели релаксационного теплопереноса и ее частного случая — модели Фурье. Проведена численная оптимизация газонаполненной мишени DHe для случая облучения ее TVäf-лазером мощности 5 МДж по следующим параметрам: масса газа и оболочки, аспектное отношение, длительность лазерного импульса, гармоника излечения лазера. Для ряда мишеней, в том числе оптимальной, выполнено сравнение результатов вычислительных экспериментов при использовании модели Фурье и при использовании модели релаксационного теплопереноса с различными значениями коэффициента релаксации потока тепла.

В заключении автор пользуется приятной возможностью выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю Евгению Ивановичу Леванову за постановку задачи, постоянный интерес к работе и ценные советы. Автор также выражает искреннюю признательность Петру Петровичу Волосе-вичу, Николаю Васильевичу Змитренко, Ирине Ильиничне Галигузовой за внимание к работе, плодотворную совместную работу, полезные дискуссии и советы. Автор благодарен сотрудникам Института математического моделирования РАН и Физического института АН, вместе с которыми проводилось активное сотрудничество на всех этапах работы.

1. Fourier J.B. Theorie analytique de la chaleur. Paris, 1822.

2. Зельдович Я.Б., Компанеец A.C. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры. в кн.: Сборник к семидесятилетию академика А.Ф. Йоффе. М.: Изд-во АН СССР, 1950. - С. 61-71.

3. Баренблатт Г.И., Вигиик И.М. О конечной скорости распространения в задачах нестационарной фильтрации жидкости и газа. — ПММ, 1956. -Т.20,№3.-С. 411-417.

4. Самарский A.A., Змитренко Н.В., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Тепловые структуры и фундаментальная длина в среде с нелинейной теплопроводностью и объемными источниками тепла Докл. АН СССР, 1976. Т. 227, № 2.-С. 321-324.

5. Змитренко Н.В., Курдюмов С.П. Автомодельный режим сжатия конечной массы плазмы в задачах z и в- пинча: Препринт ИПМ АН СССР. М., 1974.-N 19.-70 с.

6. Прохоров A.M., Анисимов С.И., Пашин 77.77. Лазерный термоядерный синтез УФН, 1976. Т.119, Вып. 3. - С. 401-424.

7. Теория нагрева и сжатия низкоэнтропийных термоядерных мишеней: Труды ФИАН, т. 134 /под ред. Н.Г. Басова, М.:Наука, 1982. 176 с.

8. Зуев А.И., Карлыханов Н.Г., Лыков В.А., Черняков В.Е. О роли быстрых электронов и ограничениях электронной теплопроводности в экспериментах с газонаполненными оболочками. М., 1980. — 21 с. (Препринт / ИПМ АН СССР, № 37).

9. Косарев В.И., Леванов Е.И., Сотский E.H. Об одном способе описания процесса электронной теплопроводности в высокотемпературной плазме: Препринт / ИПМ АН СССР. M., 1981. № 142. - 25 с.

10. Быченков В.Ю., Силин В.П. Ионно-звуковая турбулентность плазмы. ЖЭТФ, 1982, Т. 82, Вып 6. - С. 1886-1903.

11. Max С.Е., McKee C.F., Mead W.C. A model for laser driven ablativeimplosions. -Phys. Fluids, 1980. V 23.-P. 1620-1645.

12. Bickerton R.J. Thermal conduction limitations in laser fusion. — Nucl. Fusion, 1973. V 13, N 3. P. 457-458.

13. Max C.E., McKee C.F., Mead W.C. Scaling of ablative laser-fusion implosions. Phys. Rev. Lett., 1980, V 45, N 1. P. 28-31.

14. Волосевич 77.77., Косарев В.И., Леванов Е.И. Об учете ограничения теплового потока в численном эксперименте: Препринт / ИПМ АН СССР. М., 1978.-№21.-22 с.

15. Леванов Е.И., Сотский Е.Н. Ограничение теплового потока и способы его учета в численном эксперименте. В кн.: Математические моедли в теории тепло- и массообмена (Материалы международной школы-семинара). — Минск, ИТМО АН БССР, 1982. - С. 84-89.

16. Исиченко М.Б. Влияние эффекта ограничения теплового потока на структуру тепловых волн в плазме. Физика плазмы, 1985. — Т. 11, Вып. 8. — С. 936-943.

17. Clause P. J., Balescu R. A non-linear approach to the kinetic theory of heat conductivity in a plasma. Plasma Phys., 1982, v. 24, N 11, P. 1429-1448.

18. Maxwell J.C. On the dynamical theory of gases. Philos. Trans Roy.Soc. London, 1867. - V 157. - P. 49-88.

19. Осокин A.E., Суворова Ю.В. Некоторые задачи теплопроводности для наследственно-упругих материалов. Изв. АН СССР, Машиноведение, 1983. -№ 1.- С. 87-92.

20. Хонъкин А.Д. О парадоксе бесконечной скорости распространения возмущений в гидродинамике вязкой теплопроводной среды и уравнениях гидродинамики быстрых процессов. — в кн.: Аэромеханика. М., Наука, 1976. — С. 289-299.

21. Хонъкин А.Д. О распространении высокочастотного звука в разреженных одноатомных газах. в кн.: Труды IV Всесоюзной конференции по динамике разреженного газа и молекулярной газовой динамике. М., ЦАГИ, 1977.-С. 300-306.

22. Гутфельд Р. Распространение тепловых импульсов. — в. кн.: Физическая акустика / под ред. У. Мэзона, Т. 5, М.: Мир, 1973, С. 267-329.

23. Подстригая Я.С., Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика. Киев: Наукова думка, 1976. — 312 С.

24. Moses G.A., Duderstadt J.J. Improved treatment of electron thermal conduction in plasma hydrodynamics calculations. — Phys. Fluids, 1977, V 20, N 5, P. 762-770.

25. Лыков A.B. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмена. — ИФЖ, 1965, Т. 9, № 3. — С. 287— 304.

26. Choi S.H., Wilhelm Н.Е. similarity transformation for explosions in two-component plasmas with thermal energy and heat-flux relaxation. — Phys.Rev.A., 1976, V. 14, N5, P. 1825-1834.

27. Bell A.R., Evans R.G., Nicholas D.J. Electron energy transport in steep temperature gradients in laser-produced plasmas. — Phys.Rev.Lett., 1981, V 46, N 4, P. 243-246.

28. Matte J. P., Virmont J. Electron heat transport down steep temperature gradients. Phys.Rev.Lett., 1982, V. 49, N 26, P. 1936-1939.

29. Wilhelm H.E., Choi S.H. Nonlinear hyperbolic theory of thermal waves in metals. J. of Chem. Phys., 1975, V 63, N 5, P. 2119-2123.

30. Волосевич 77.77., Леванов Е.И., Северина E.B. Математическое моделирование теплопереноса в движущейся среде с учетом релаксации потока тепла и объемных источников энергии // Известия ВУЗов. Математика № 1(512), 2005.-С. 31-39

31. Шабловский О.Н. Релаксационный процесс в нелинейных средах. — Гомель, Учреждение образования Гомельский Государственный технический университет им. П.О. Сухого, 2003. 382 с.

32. Шабловский О.Н. Распространение плоской ударной тепловой волны в нелинейной среде // Инженеро-физический журнал, 1985, Т. 49, № 3. С. 499-500.

33. Леванов Е. И., Сотский Е. Н. О бегущих волнах в среде с теплопроводностью гиперболического типа: Препринт / ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР. М., 1982.-№ 193.

34. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978.

35. Самарский А. А., Курдюмов С. П., Волосевич 77. 77. Бегущие волны в среде с нелинейной теплопроводностью // ЖВМиМФ. 1965. Т. 5, № 2. С. 199217.

36. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1999.

37. Волосевич 77.77., Змитренко Н.В., Леванов Е.И., Северина Е.В. Динамика и нагрев плазмы с учетом релаксации теплового потока // Математическое моделирование. 2008. — Т.20, № 4. — С. 57-68.

38. Леванов Е.И., Сотский E.H. Теплоперенос с учетом релаксации теплового потока. Математическое моделирование. Нелинейные дифференциальные уравнения математической физики. -М: Наука, 1987. С. 155-190.

39. Спитцер Л. Физика полностью ионизированного газа. М.: Мир,1965.

40. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. — М.: Наука, 1966. 686 с.

41. Волосевич 77.77., Леванов Е.И. Автомодельные решения задач газовой динамики и теплопереноса — М.: Изд-во МФТИ, 1997. — 240 с.

42. Самарский A.A., Гайфулин С.А., Захаров A.B. и др. — Вопросы атомной науки и техники. Сер. Методики и программы численного решения задач математической физики, 1983, вып. 2(513), С. 38-45.

43. Волосевич 77.77., Леванов Е.И., Фетисов С.А. Автомодельные решения задач нагрева и динамики плазмы. — М: издательство МФТИ, 2001. — 256 с.

44. Волосевич 77.77., Леванов Е.И., Северина Е.В. Температурные ударные волны в движущейся среде с учетом релаксации потока тепла // Инженерно-физический журнал. — 2006. — Т.79, № 4. — С. 57-68.

45. Коробейников В.П. Задачи теории точечного взрыва. — М.: Наука,1985.-400 с.

46. Волосевич П.П., Курдюмов С.П., Бусурина Л.Н., Крус В.П. Решение одномерной плоской задачи о движении поршня в идеальном теплопроводном газе//ЖВМиМФ.-1963.-Т.3,№ 1.-С. 159-169.

47. Волосевич 77.77., Леванов Е.И., Северина Е.В. Решение типа бегущих волн с учетом гиперболического теплопереноса // Инженерно-физический журнал. 2008. - Т.81, № 2. - С. 290-302.

48. P.P. Volosevich, N.V. Zmitrenko, E.I. Levanov, and E.V. Severina. The influence of heat flow relaxation on the dynamics and heating of plasma // Mathematical models and computer simulations. 2009. - V.l, N 2. - P. 189-199.

49. Леванов Е.И., Сотский E.H. Некоторые свойства процесса теплопереноса в неподвижной среде с учетом релаксации теплового потока // Инженерно-физический журнал, Т. L, № 6, Минск, 1986.

50. Волосевич 77.77., Ларионов Е.А., Леванов Е.И. Бегущие тепловые волны в высокотемпературной среде // Тр. 4-й международной конференции по математическому моделированию — М: Изд-во Станкин, 2001. С. 112—120.

51. Волосевич 77.77., Леванов Е.И. Анализ процессов теплопереноса с учетом в среде релаксации теплового потока и объемных источников энергии .//Известия Высших Учебных Заведений. Математика №1 (488), 2003. — С. 38-44

52. Волосевич 77.77., Галигузова И.И., Леванов Е.И., Северина Е.В. Разрывные решения уравнений газовой динамики с учетом теплопереноса при наличии релаксации потока тепла // Инженерно-физический журнал. — 2009. — Т.82, № 2. С. 350-357.

53. Брагинский С. И Явления переноса в плазме //Вопросы теории плазмы/ Под редакцией М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1963. Вып. 1. — С. 183-271.

54. Волосевич 77.77., Карпов В.Я., Леванов Е.И., Маслянкин В.И., Шела-путин И.И. САФРА. Функциональное наполнение. Расчет переноса излучения в трехтемпературном приближении: Препринт / ИПМ АН СССР. М., 1983. — № 77.-21 с.

55. Ахромеева Т.С., Волосевич 77.77., Леванов Е.И., Карпов В.Я., Маслянкин В.И., Шелапутин И.И. Алгоритмы решения системы уравнений трехтемпе-ратурной гидродинамики м пакете прикладных программ САФРА. Дифф. Уравнения, 1984, Т. 20, №7. - С. 1127-1134.

56. Змитренко Н.В., Карпов В.Я., Фадеев А.И и др. — Вопросы атомной науки и техники. Сер. Методики и программы численного решения задач математической физики, 1983, вып. 2(513). — С. 34-37.

57. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. -М: Наука, 1980. — 350 с.

58. Басов Н. Г., Гарина С. М., Гуськов С. Ю. и др. Коэффициенты усиления лазерных мишеней с дейтериевым горючим. // Письма в ЖЭТФ, 1988, т.48, №5). С. 245-247.

59. Басов Н. Г., Гуськов С. Ю., Данилова Г. В. и др. Термоядерный выход мишеней для мощных лазеров коротковолнового диапазона: Препринт / ИПМ РАН СССР, 1884, №89, 12 е.; Квант. Электроника, 1985, Т. 12, № 6). С. 1289-1292.

60. Гуськов С. Ю., Змитренко Н. В., Розанов В. Б. Термоядерная мишень «Лазерный парник» с распределенным поглощением лазерной энергии. // ЖЭТФ, 1995, Т. 108, Вып. 2(8). С. 548-566.

61. Розанов В. Б. О возможности сферического сжатия мишеней с термоядерным горючим при использовании для облучения двух лазерных пучков // Успехи физических наук, 2004. -Т.174, № 4. С. 371-382.

62. Lindl J., Amenât P., Berger R. et al. Phys. Plasmas 11, 2004. P. 339.

63. Волосевич 77.77., Гуськов С.Ю., Змитренко Н.В., Леванов Е.И., Розанов В.Б., Северина Е.В. Оптимизация безнейтронных мишеней лазерного термоядерного синтеза // Математическое моделирование. — 2009. Т. 21, №4. — С. 35-43.