автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов формирования температурного поля в экранированном полупространстве

ВВЕДЕНИЕ

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА С ТЕПЛОЗАЩИТНЫМ ПОКРЫТИЕМ ПРИ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОМ НАГРЕВЕ ВНЕШНЕЙ СРЕДОЙ

1.1. Постановка задачи и математическая модель.

1.2. Аналитические представления решения исходной задачи

1.3. Результаты и их обсуждение.

2. ИЕРАРХИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ

ОПИСАНИЯ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА С ТЕПЛОЗАЩИТНЫМ ПОКРЫТИЕМ

2.1. Основные допущения и возможные варианты упрощения исходной модели.

2.2. Аналитические представления решений смешанных задач нестационарной теплопроводности, соответствующих упрощенным моделям.

2.3. Достаточные условия применимости упрощенных моделей и анализ полученных результатов.

3. ОСОБЕННОСТИ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ С ТЕПЛОЗАЩИТНЫМ ПОКРЫТИЕМ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ИМПУЛЬСНЫХ РЕЖИМОВ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОГО НАГРЕВА ВНЕШНЕЙ СРЕДОЙ 66 3.1. Постановка задачи, исходные допущения и математическая модель.

3.2. Разработка аналитического метода для определения температурного поля границы экранированного полупространства

3.3. Результаты и их обсуждение.

4. ВЛИЯНИЕ ПОДВИЖНОСТИ ГРАНИЦЫ НА ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ ЭКРАНИРОВАННОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА В НЕСТАЦИОНАРНЫХ УСЛОВИЯХ ТЕПЛООБМЕНА С ВНЕШНЕЙ СРЕДОЙ

4.1. Исходные допущения и постановка задачи.

4.2. Температурное поле полупространства с равномерно движущейся границей.

4.3. О возможности реализации режима термостатирования движущейся границы.

4.4. Температурное поле полупространства с движущейся по произвольному закону границей в нестационарных условиях теплообмена с внешней средой.

4.5. Результаты и их обсуждение.

5. ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ЭКРАНИРОВАННОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПРИ ИМ-ПУЛЬСНО ПЕРИОДИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА С ИНТЕНСИВНОСТЬЮ ГАУС-СОВСКОГО ТИПА И ОХЛАЖДЕНИИ ВНЕШНЕЙ СРЕДОЙ

5.1. Постановка задачи и математическая модель.

5.2. Влияние определяющих параметров на установившееся значение температуры наиболее нагретой точки полупространства

5.3. Ограничения на значения определяющих параметров, обеспечивающие заданное максимальное значение температуры экранированного полупространства.

Решение многих задач современной инженерной практики связано с необходимостью исследования и прогнозирования теплового состояния конструкций, а также разработки методов их тепловой защиты. В настоящее время одним из наиболее эффективных способов теплозащиты является нанесение на основную конструкцию слоя теплоизоляционного материала, служащего для снижения кондуктивно-го, конвективного и радиационного теплообменов на ней [1-6]. Классификацию теплоизоляций проводят с использованием различных принципов [3, 7-9], а их сравнительный анализ - по "эффективным тепло-физическим характеристикам теплозащитного слоя" [3, 10, 11], что позволяет использовать методы математического моделирования при расчете и оптимизации покрытия. В частности [3], основной характеристикой покрытия на установившейся стадии его теплообмена с высокотемпературной окружающей средой является термическое сопротивление Rt = //Ап, где I - толщина, а Ап - коэффициент теплопроводности теплоизоляционного слоя.

В рамках данного направления можно выделить класс задач, в которых сочетание теплофизических свойств материалов, геометрических размеров конструкций и интересующее исследователя время протекания процесса теплопереноса таково, что тепловыми эффектами на границе, не подверженной внешнему высокотемпературному воздействию, можно пренебречь [12]. Это означает, что толщина теплового слоя (т.е. поверхностного слоя, в котором происходит резкое изменение температуры и в котором сосредоточено основное количество теплоты, поглощенной в данный момент времени) мала по сравнению с размерами теплоизолируемого тела. В этом случае теплоизолируемое тело можно моделировать полуограниченной областью, что позволяет получить более наглядные и удобные с точки зрения практического использования представления решений задач теплопроводности [15, 68].

Задачами рассматриваемого класса являются задачи математической теории теплопроводности для двухслойной области, моделируемой полупространством с покрытием конечной толщины, на границе которой реализуется заданный режим теплового воздействия. При этом, как правило, предполагается наличие идеального теплового контакта между слоями области, т.е. между полупространством и покрытием реализуется граничное условие четвертого рода, и рассматриваются три основных режима внешнего теплового воздействия: нагрев температурой (граничное условие первого рода); нагрев тепловым потоком (граничное условие второго рода); нагрев средой (граничное условие третьего рода).

При изучении реальных процессов методами математического моделирования предпочтительно иметь аналитические или приближенные аналитические решения соответствующих математических задач, которые значительно упрощают не только процедуру параметрического анализа, но и решение задач оптимизации [13, 14, 3]. Кроме того, при практическом использовании аналитические представления требуют существенно меньших вычислительных затрат и необходимы для тестировании вновь создаваемых программных комплексов.

В настоящее время известны аналитические решения задач теплопроводности для двухслойной области (полупространство с покрытием) при реализации первых двух режимов теплового воздействия на ее границе: при нагреве температурой [15] и при нагреве тепловым потоком [15, 68]. Предпринимаются попытки нахождения аналитического решения задачи теплопроводности для двухслойной области (полупространство с покрытием) при реализации на ее границе третьего режима теплового воздействия - нагрева средой. Так, в работе [17] для достижения этой цели использован метод тепловых потенциалов; исходная задача сведена к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, но его решение проведено численно с использованием специальных квадратурных формул.

Существует широкий класс практически важных инженерных задач, в которых коэффициент теплообмена приходится рассматривать как функцию времени: формирование пограничного слоя в условиях нестационарного обтекания твердых поверхностей охлаждающей жидкостью, нагреве тел переменным во времени потоком, при движении баллистического тела в среде с переменной температурой и плотностью, в процессах диффузии при переменной температуре и др. [14]. Использование классических методов математической физики для получения аналитических представлений их решений связано с преодолением трудностей принципиального характера [13].

На практике используются различные подходы, позволяющие найти точные (в виде функционального ряда) или приближенные решения задач математической теории теплопроводности для пластины, цилиндра, шара и полуограниченного стержня при произвольном законе изменения коэффициента теплоотдачи во времени или при его частных зависимостях (экспоненциальной, степенной, периодической) [18-62]. Для нахождения приближенных решений чаще всего используют метод Кармана-Польгаузена из теории гидродинамики пограничного слоя [29], метод осреднений функциональных поправок [18], метод сведения уравнения теплопроводности к интегральному уравнению Фредгольма второго рода и далее к системе обыкновенных дифференциальных уравнений [46], метод неопределенных коэффициентов [26]. Следует заметить, что применение этих приближенных методов не намного облегчает практическое использование найденных решений, достаточно громоздких и требующих применения высокопроизводительной вычислительной техники.

Наиболее распространенными аналитическими методами решения рассматриваемых задач являются методы тепловых потенциалов, интегральных преобразований и функций Грина [13, 63-65, 14, 58].

Среди всего многообразия возможных временных законов изменения коэффициента теплообмена можно выделить случай кусочнопостоянной зависимости. сгтот случаи имеет место при моделировании высокотемпературных воздействий, сопровождающихся термодеструкцией поверхностных слоев твердого тела (слоя термоизоляционного материала) [1-3], когда продолжительность переходного процесса при изменении режима внешнего воздействия мала по сравнению с длительностью воздействия. В ряде случаев при помощи кусочно-постоянной зависимости можно аппроксимировать нелинейные законы изменения коэффициента теплообмена с целью получения приближенных аналитических решений. Реализация таких (называемых импульсными) режимов внешнего теплового воздействия приводит не только к улучшению или ухудшению условий теплообмена с окружающей средой, но и к специфическим особенностям эволюции температурного профиля, представляющим практический интерес.

Изучение процессов горения в твердотопливных ракетных двигателях, абляции, эрозии электрических контактов, лазерного воздействия на твердые тела и др., связанных с изменением размеров твердого тела, приводит к так называемым задачам с подвижными границами. Несмотря на кажущуюся простоту математических моделей этих процессов, соответствующие задачи являются далеко не тривиальными с точки зрения нахождения их точного аналитического решения даже в тех случаях, когда закон движения границы известен. С математической точки зрения это означает, что область, в которой ставится краевая задача для уравнения теплопроводности, не является цилиндрической. Краевые задачи такого рода (называемые обобщенными) принципиально отличны от классических и составляют новый раздел теории теплопроводности [13]. Вследствие зависимости положения границы области теплопереноса от времени к такому классу задач в общем случае также не применимы методы разделения переменных Фурье и интегральных преобразований [63], поскольку, оставаясь в рамках классических методов математической физики, не удается согласовать решение уравнения теплопроводности с движением границы области теплопереноса.

Необходимо отметить, что в большинстве случаев точные решения задач такого типа удавалось получить при помощи удачных догадок и искусственных приемов, причем для весьма ограниченного числа случаев движения границы (линейного и параболического) и для очень частного вида граничных условий. Прогресс в этой области связан с использованием специального функционального преобразования, с помощью которого обобщенная краевая задача формулировалась в подвижной системе координат.

Метод, основанный на использовании функциональных преобразований, позволящих формулировать исходную краевую задачу в подвижной системе координат, является мощным инструментом в случае, когда закон движения границы области теплопереноса известен. Тем не менее в условиях теплообмена с внешней средой по закону Ньютона (граничное условие третьего рода), использование этого подхода приводит к тому, что в преобразованной задаче коэффициент теплоотдачи оказывается функцией времени [21, 33, 30, 29, 39]. Возникающие в этом случае трудности, а также способы их преодоления описаны выше.

Кроме того, существуют специфические методы для получения аналитических решений задач в областях с подвижными границами: метод обобщенных рядов, метод дифференциальных рядов, метод обобщенных интегральных преобразований [14]. Эти методы позволяют получить точные аналитические решения краевых задач теплопереноса лишь для небольшого числа частных зависимостей коэффициента теплоотдачи от времени и частных законов движения границы. Расширение класса такого рода зависимостей представляет собой одну из открытых проблем математической теории теплопроводности.

При изучении процессов нестационарного теплопереноса, особенно в случае подвижных границ, когда не удается получить аналитическое представление решения соответствующей краевой задачи, целесообразно привлечение общих методов математического моделирования. Одним из существенных этапов последнего является построение иерархии математических моделей изучаемого процесса и определение условий их применимости [66, 67]. Использование упрощенных моделей, допускающих точное аналитическое решение соответствующей задачи, позволяет выявить основные особенности изучаемого процесса и провести качественный анализ влияния определяющих параметров. Кроме того, при получении количественных результатов выбор адекватной модели часто помогает существенно сократить вычислительные затраты.

Важное место в математической теории теплопроводности занимают исследования процессов формирования температурных полей в области, моделируемой полупространством, при воздействии концентрированных и пространственно распределенных тепловых потоков [68, 15, 13, 69]. Особый интерес эти исследования представляют в задачах прогнозирования температурного состояния конструкции при воздействии лазерного излучения [16, 70-73] и при разработке эффективных методов тепловой защиты [1-3, 74, 75].

Математическому моделированию процесса формирования температурного поля в полупространстве при воздействии пространственно распределенного осесимметричного потока с интенсивностью гаус-совского типа посвящены работы [16, 70, 76, 77], а при воздействии концентрированных тепловых потоков - работы [77, 78-88]. В [89, 90] и [91] соответственно исследовано влияние теплоотдачи со свободной поверхности на формируемое температурное поле полупространства при воздействии пространственно распределенного и концентрированного тепловых потоков. С точки зрения тепловой защиты представляют интерес задачи, связанные с исследованием температурных полей в полупространстве с покрытием в условиях реализации различных режимов теплового нагрева и охлаждении внешней средой.

В последние годы особое внимание уделяется также проблеме формирования температурных полей в анизотропных твердых телах при различных режимах внешнего теплового воздействия [92-98].

Цель и задачи исследования. Цель проведенных исследований - изучение характерных особенностей процесса формирования температурного поля в экранированном полупространстве при реализации различных режимов высокотемпературного нагрева внешней средой и известных законах движения его границы.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач.

1. Получение аналитических представлений решения задачи об определении температурного поля изотропного полупространства с теплозащитным покрытием при наличии идеального теплового контакта между ними и теплообменом с внешней средой по закону Ньютона с постоянным коэффициентом теплоотдачи.

2. Проведение параметрического анализа процесса формирования температурного поля в изучаемой системе с целью установления его характерных особенностей.

3. Разработка иерархии математических моделей для описания процесса формирования температурного поля в изотропном полупространстве с покрытием и определение области возможного применения для каждой из этих моделей.

4. Математическая постановка задачи об определении температурного поля изотропного полупространства с "термически тонким" покрытием в импульсных режимах теплообмена с внешней средой и разработка аналитического метода ее решения, позволяющего проводить параметрический анализ изучаемого процесса.

5. Разработка аналитических и численно-аналитических методов исследования процесса формирования температурного поля экранированного полупространства с подвижной границей в нестационарных условиях теплообмена с внешней средой.

6. Проведение параметрического анализа установившейся температуры наиболее нагретой точки изотропного полупространства с покрытием, находящегося под воздействием внешней среды и осесим-метричного теплового потока с интенсивностью гауссовского типа, функционирующего в импульсно периодическом режиме.

Методы исследования. Для решения задач, возникших в ходе выполнения диссертационной работы, использовались различные классы математических методов: методы математической физики и математической теории теплопроводности; методы интегральных преобразований и теории функций комплексного переменного; методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального и матричного анализа; численные методы решения и анализа интегральных уравнений.

Достоверность и обоснованность полученных результатов гарантируется строгостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением результатов, полученных с использованием различных методов и вычислительных экспериментов. Сформулированные в работе допущения обоснованы как путем их содержательного анализа, так и методами математического моделирования. Результаты диссертационной работы согласуются с результатами, полученными ранее другими авторами и другими методами в частных и предельных случаях.

Научная новизна. Разработана иерархия математических моделей для описания процесса формирования температурного поля в экранированном полупространстве при высокотемпературном нагреве внешней средой и определены достаточные условия применимости каждой из них.

В аналитически замкнутом виде найдены и теоретически обоснованы решения смешанных задач для уравнений в частных производных параболического типа и их систем, соответствующих разработанным математическим моделям иерархии, и с их использованием исследовано влияние определяющих параметров на процесс формирования изучаемого температурного поля.

С использованием разработанной иерархии моделей, а также предложенных аналитических и численных методов их реализации исследованы специфические особенности процессов формирования температурного поля полупространства с теплозащитным покрытием при различных режимах высокотемпературного нагрева внешней средой как при фиксированном положении его границы, так и при ее движении по заданному закону. Доказана теоретическая возможность реализации режимов термостатирования подвижной границы.

Определено множество допустимых значений вектора определяющих параметров рассматриваемой системы "полупространство - теплозащитное покрытие", находящейся под воздействием внешней среды и осесимметричного теплового потока с интенсивностью гауссовс-кого типа, функционирующего в импульсно периодическом режиме, при которых установившаяся температура наиболее нагретой точки полупространства не превосходит заданного значения.

Практическая ценность. Результаты диссертационной работы могут быть использованы для исследования и прогнозирования теплового состояния конструкций при реализации различных режимов высокотемпературного нагрева внешней средой, необходимых для разработки эффективных методов теплозащиты.

На защиту выносятся следующие положения:

- аналитические представления решения задачи об определении температурного поля полупространства с покрытием при наличии идеального теплового контакта между ними и теплообменом с внешней средой по закону Ньютона с постоянным коэффициентом теплоотдачи;

- иерархия математических моделей для описания процесса формирования температурного поля в полупространстве с теплозащитным покрытием;

- аналитический метод и результаты исследования особенностей процесса формирования температурного поля в полупространстве с термически тонким покрытием в импульсных режимах теплообмена с внешней средой, приводящих к кусочно-постоянным зависимостям коэффициента теплоотдачи от времени;

- методы и результаты исследования влияния подвижности границы на температурное поле экранированного полупространства;

- результаты параметрического анализа полученного решения задачи об определении установившейся температуры наиболее нагретой точки экранированного полупространства, находящегося под воздействием внешней среды и осесимметричного теплового потока с интенсивностью гауссовского типа, функционирующего в импульсно периодическом режиме, а также достаточные условия непревышения этой температурой заданного значения.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались в МГТУ им. Н. Э. Баумана на Всероссийской конференции "Прикладные проблемы механики ракетно-космических систем", посвященной 40-летию со дня основания кафедры "Аэрокосмические системы" (декабрь 2000 г.) и на Всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике" (январь 2001 г.); в Санкт-Петербургском государственном техническом университете на XIII Школе-семинаре молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А. И. Леонтьева "Физические основы экспериментального и математического моделирования процессов газодинамики и тепломассопереноса в энергетических установках" (май 2001 г.).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 5-ти научных статьях [99, 100, 62, 101, 102] и 2-х тезисах докладов [103, 104].

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 152 страницах, содержит 18 иллюстраций и 1 таблицу. Библиография включает 138 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам проведенных исследований могут быть сделаны следующие выводы.

1. Аналитические представления решения задачи об определении температурного поля экранированного полупространства, полученные при выполнении диссертационной работы с использованием "точной модели", позволяют проводить параметрический анализ изучаемого процесса.

2. Характерные особенности процесса формирования температурного поля в системе "полупространство-покрытие" значимо зависят от параметра Я, увеличение значения которого ассоциируется со снижением интенсивности теплообмена между высокотемпературной внешней средой и термоизолируемой областью.

3. Специфика асимптотического поведения температуры на границе экранированного полупространства полностью определяется значением критерия Био и отношением коэффициентов теплопроводности материалов покрытия и полупространства.

4. Разработанная иерархия математических моделей для описания процесса формирования температурного поля экранированного полупространства, находящегося под воздействием высокотемпературной внешней среды, позволяет корректно и эффективно решать практически важные задачи.

5. Для нахождения решения задачи об определении эволюции температуры границы полупространства с "термически тонким" покрытием при реализации импульсных режимов теплообмена с внешней средой целесообразно использование аналитического метода, разработанного в ходе проведения настоящих исследований и позволяющего корректно и эффективно решать практически важные задачи.

6. Улучшение условий теплообмена с внешней средой сопровождается резким возрастанием температуры на границе экранированного полупространства, а их ухудшение - образованием зоны релаксации, длительность которой определяется как продолжительностью предыдущей фазы, так и модулем приращения коэффициента теплоотдачи.

7. Асимптотика температуры границы экранированного полупространства не зависит от реализуемого импульсного режима теплообмена с высокотемпературной внешней средой и определяется лишь значением коэффициента теплообмена его последней фазы.

8. На основании результатов параметрического анализа аналитических представлений решений соответствующих задач математической теории теплопроводности, полученных при выполнении диссертационной работы, и проведенных вычислительных экспериментов можно утверждать, что а) при образовании на границе изотропного полупространства покрытия пленочного типа и ее перемещении с постоянной скоростью Vo увеличение скорости Vo приводит к снижению асимптотического значения температуры в каждой точке полупространства и к сокращению времени протекания релаксационных процессов; б) характер влияния определяющих параметров модели на температурное поле изотропного полупространства при наличии на его границе, движущейся с постоянной скоростью Vo, покрытия пленочного типа не зависит от Vo; в) теоретически возможна реализация режимов термостатиро-вания движущейся границы изотропного полупространства; г) управление температурным полем полупространства с границей, движущейся по заданному закону, может быть реализовано путем программного регулирования условий теплообмена с внешней средой.

9. Установившаяся температура наиболее нагретой точки экранированного полупространства, охлаждаемого внешней средой и находящегося под воздействием осесимметричного импульсно периодического теплового потока с интенсивностью гауссовского типа, монотонно зависит от определяющих параметров рассматриваемой системы. Выполнение достаточных условий, сформулированных в ходе выполнения диссертационной работы, гарантирует непревышение этой температурой наперед заданного порогового значения.

1. Зарубин В. С. Температурные поля в конструкции летательных аппаратов. — М.: Машиностроение, 1978. 184 с.

2. Полежаев Ю. В., Юревич Ф. Б. Тепловая защита. — М.: Энергия, 1976. — 392 с.

3. Зарубин В. С. Расчет и оптимизация теплоизоляции. — М.: Энер-гоатомиздат, 1991. 192 с.

4. Андрианов В.Н. Основы радиационного и сложного теплообмена.1. М.: Энергия, 1972. 463 с.

5. Панкратов Б.М., Полежаев Ю.В., Рудько А.К. Взаимодействие материалов с газовыми потоками. — М.: Машиностроение, 1976.- 224 с.

6. Иванов В.В., Видин Ю.В. Колесник В.А. Процессы прогрева многослойных тел лучисто-конвективным теплом. — Ростов-на-Дону: Изд-во Рост, ун-та, 1990. 160 с.

7. Харламов А.Г. Теплопроводность высокотемпературных изоляторов. — М.: Атомиздат, 1980. 100 с.

8. Кац С.М. Высокотемпературные изоляционные материалы. — М.: Металлургия, 1981. 232 с.

9. Петров-Денисов В.Г., Масленников JI.A. Процессы тепло- и влаго-обмена в промышленной термоизоляции. — М.: Энергоатомиздат, 1983. 192 с.

10. Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. — JI.: Энергия, 1974. 264 с.

11. Дульнев Г.Н., Новиков В.В. Процессы переноса в неоднородных средах. — JL: Энергоатомиздат, 1991. 248 с.

12. Балакин В.А. Трение и износ при высоких скоростях скольжения.

13. М.: Машиностроение, 1980. 134 с.

14. Карташов Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. — М.: Высшая школа, 2001. 550 с.

15. Карташов Э. М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами // Инженерно-физический журнал. — 2001. — Т. 74, т. — С. 171-195.

16. Лыков А. В. Теория теплопроводности. — М.: Высшая школа, 1967. — 600 с.

17. Рыкалин Н. Н., Углов А. А., Кокора А. Н. Лазерная обработка материалов. — М.: Машиностроение, 1975. — 296 с.

18. Киселев К. А., Захаров П. А., Пушинкова П. А. Применение метода тепловых потенциалов к решению нестационарных задач теплопроводности для для двухслойного полупространства // Инженерно-физический журнал. — 1977. — Т. 38, №1. — С. 613.

19. Киселев К. А., Лазарев А. И. Температурное поле неограниченной пластины при перменном значении коэффициента теплоотдачи и переменной температуре внешней среды // Журнал технической физики. — 1960. — Т. 30, вып. 6. — С. 28-33.

20. Розеншток Ю. Л. Температурное поле неограниченной пластины в условиях зависимости температуры внешней среды и коэффициента теплообмена от времени. // Инженерно-физический журнал.1963. — Т. 6, т. — С. 45-50.

21. Приходько Н. М. Температурное поле пластины при произвольно изменяющихся во времени коэффициенте теплоотдачи и температуре окружающей среды // Известия вузов. Авиационая техника. — 1963. — т. — С. 21-27.

22. Бодрецова JI. Б. Решение одной задачи диффузии в условиях переменной температуры // Математический сборник. — 1964. — Т. 64, т. — С. 223-233.

23. Сидляр М. М. Нестационарное температурное поле бесконечного цилиндра при переменном коэффициенте теплоотдачи // Прикладная механика. — 1965. — Т. 1, вып. 7. — С. 11-13.

24. Воробьев В. В. Расчет температуры двухслойной стенки отсека конструкции при изменяющихся во времени условиях теплообмена // Прикладная механика. — 1965. — Т. 1, вып. 7. — С. 14-20.

25. Иванов В. В., Саломатов В. В. К расчету температурного поля в твердых телах при переменном коэффициенте теплообмена // Инженерно-физический журнал. — 1965. — Т. 9, №1. — С. 8385.

26. Иванов В. В., Саломатов В. В. Нестационарное температурное поле в твердых телах при переменном коэффициенте теплообмена // Инженерно-физический журнал. — 1966. — Т. 11, №2. — С. 266-268.

27. Видин Ю. В. Нагревание цилиндрического тела с внутренним тепловыделением при переменном коэффициенте теплообмена // Инженерно-физический журнал. — 1966. — Т. 11, №2. — С. 166-170.

28. Видин Ю. В. Исследование несимметричного нагрева пластины при переменных коэффициентах теплообмена // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. — 1967. — №3. — С. 110-114.

29. Видин Ю. В. Исследование теплопроводности твердых тел при переменных граничных условиях // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. — 1967. — №4. — С. 132-134.

30. Саломатов В. В., Гончаров Э. И. Температурный режим тепловыделяющих элементов при переменных значениях коэффициента теплообмена и температуры внешней среды // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. — 1967. — №4. — С. 99-103.

31. Саломатов В. В., Гончаров Э. И. Температурное поле неограниченной пластины при переменных значениях коэффициента теплообмена и температуры внешней среды // Инженерно-физический журнал. — 1968. — Т. 14, №4. — С. 743-745.

32. Саломатов В. В., Иванов В. В., Гончаров Э. И. Исследование переноса тепла в твердых телах при переменном коэффициенте теплообмена // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. — 1968. — №4. — С. 144-147.

33. Саломатов В. В., Гончаров Э. И. К расчету теплопроводности при нестационарном коэффициенте теплообмена // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. — 1968. — №6. — С. 154-159.

34. Любов Б. Я., Яловой Н. И. Теплопроводность тела при переменном коэффициенте теплообмена // Инженерно-физический журнал. — 1969. — Т. 17, т. — С. 679-687.

35. Козлов В. Н. Решение задач теплопроводности при переменном коэффициенте теплообмена // Инженерно-физический журнал. — 1970. — Т. 18, №1. — С. 133-138.

36. Постольник Ю. С. Конвективный нагрев при линейной зависимости коэффициента теплообмена от времени // Известия ВУЗов. Черная металлургия. — 1970. — №6. — С. 143-148.

37. Приходько Н. М. Теплопроводность двухслойной стенки при изменяющихся во времени коэффициенте теплообмена и температуре внешней среды // Инженерно-физический журнал. — 1970. — Т. 18, №2. — С. 323-327.

38. Саломатов В. В. Высокотемпературный разогрев элементов конструкций с пассивным теплозащитным покрытием // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. — 1970. — №3. — С. 165170.

39. Ильченко О. И. Температурное поле двухслойной пластины при переменных во времени граничных условиях теплообмена // Инженерно-физический журнал. — 1970. — Т. 19, №6. — С. 1094-1099.

40. Карташов Э. М., Мосьяков В. Е. Об одном классе задач теплопроводности с переменным во времени коэффициентом теплообмена // Известия ВУЗов. Авиационная техника. — 1973. — №1. — С. 75-85.

41. Федоткин И. М., Айзен А. М., Голощук И. А. Применение интегральных уравнений к задачам теплопроводности при переменном коэффициенте теплообмена // Инженерно-физический журнал. — 1975. — Т. 28, №3. — С. 528-532.

42. Цой П. В. Конвективный нагрев при переменных коэффициентах теплообмена от времени // Инженерно-физический журнал. — 1975. — Т. 29, №6. — С. 1115-1116.

43. Цой П. В. О решении задач теплопроводности при переменных коэффициентах теплообмена //Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. — 1976. — №4. — С. 117-126.

44. Термоупругость тел при переменных коэффициентах теплоотдачи / Я. С. Подстригач, Ю. М. Коляно, В. И. Громовык и др. — Киев: Наукова думка, 1977. — 158 с.

45. Сидоров В. С. Решение задач теплопроводности с граничным условием третьего рода при произвольной зависимости критерия Био от координат и времени // Инженерно-физический журнал. — 1981. — Т. 41, №3. — С. 536-540.

46. Гайнутдинов Р. Ш., Доронина JI. Н. Температурное поле полуограниченного тела в условиях зависимости коэффициента теплообмена и температуры среды от времени // Инженерно-физический журнал. — 1982. — Т. 42, №5. — С. 844.

47. Постольник Ю. С. Приближенные методы исследований в термомеханике. — Киев-Донецк: Вища школа, 1984. — 158 с.

48. Цой П. В. Методы расчета задач тепломассопереноса. — М.: Энергоатомиздат, 1984. — 416 с.

49. Трофимов А. С., Козлов А. В., Головина И. В. Теплопроводность при переменном во времени коэффициенте теплоотдачи // Инженерно-физический журнал. — 1987. — Т. 53, №1. — С. 156-157.

50. Аналитические решения задач теплопроводности для многослойных конструкций при переменных во времени коэффициентах теплообмена / В. А. Кудинов, Н. В. Дилигенский, Н. И. Лаптев и др. // Известия РАН. Энергетика. — 1996. — №. — С. 64-68.

51. Лагун И. М. Тепловой режим конструкции при нестационарном теплообмене // Известия РАН. Энергетика. — 1997. — №2. — С. 125-129.

52. Лагун И. М., Кузьмин М. П. Регулирование температурных полей // Известия РАН. Энергетика. — 1997. — №5. — С. 129-134.

53. Видин Ю. В. Теплопроводность твердых тел при переменных коэффициентах теплообмена // Труды 2-й Российской национальной конференции по теплообмену. — М., 1998. — Т. 7. — С.49-50.

54. Кудинов В. А. Аналитические методы решения краевых задач для многослойных конструкций (Обзор) // Известия РАН. Энергетика. — 1999. — №5. — С. 86-106.

55. Аттетков А. В., Волков И. К. Формирование температурных полей в области, ограниченной изнутри цилиндрической полостью // Вестник МГТУ. Машиностроение. — 1999. — №1. — С. 49-56.

56. Формирование температурных полей в области, содержащей тонкостенное покрытие / А. В. Аттетков, И. К. Волков, JI. Н. Власова, Е. А. Загоруйко // Вестник МГТУ. Машиностроение. — 1999. — №2. — С. 3-10.

57. Аттетков А. В., Волков И. К. Математическое моделирование процессов теплопереноса в импульсных режимах теплообмена с внешней средой // Вестник МГТУ. Машиностроение. — 1999. — №4. — С. 3-10.

58. Аттетков А. В., Волков И. К. Аналитический метод решения задач теплопрводности для полупространства с покрытием в нестационарных условиях теплообмена с внешней средой // Вестник МГТУ. Машиностроение. — 2000. — №1. — С. 18-28.

59. Видин Ю. В. Расчет теплопроводности твердых тел при переменных коэффициентах теплоотдачи // Тепломассобмен ММФ-2000: Труды IV Минского международного форума. — Минск, 2000. — Т. 3. — С. 386-388.

60. Аттетков А. В., Волков И. К. Аналитический метод решения задачи нестационарной теплопроводности для неограниченного тела с цилиндрическим каналом, обладающим покрытием // Вестник МГТУ. Машиностроение. — 2001. — №1. — С. 3-14.

61. Аттетков А. В., Волков И. К. Температурное поле области со сферическим очагом разогрева // Вестник МГТУ. Естественные науки. — 2001. — т. — С. 42-50.

62. Аттетков А. В., Власов П. А., Волков И. К. Температурное поле полупространства с термически тонким покрытием в импульсных режимах теплообмена с внешней средой // Инженерно-физический журнал. — 2001. — Т. 74, №3. — С. 81-86.

63. Волков И. К., Канатников А. Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление: Учебник для вузов / Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1996. — 288 с.

64. Карташов Э. М., Любов Б. Я. Аналитические методы решения краевых задач уравнения теплопроводности в области с движущимися границами // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. — 1974. — Ш. — С. 83-111.

65. Карташов Э. М. Новые интегральные представления аналитических решений краевых задач нестационарного переноса в областях с движущимися границами // Инженерно-физический журнал. — 1999. — Т. 72, №5. — С. 825-836.

66. Зарубин В. С. Математическое моделирование в технике: Учебник для вузов / Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. — 496 с.

67. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. — М.: Физматлит, 2001. — 320 с.

68. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. — М.: Наука, 1964. — 488 с.

69. Козлов В. П. Двумерные осесимметричные нестационарные задачи теплопроводности. — Минск: Наука и техника, 1986. — 391 с.

70. Duley W.W. С02 Lasers: Effects and applications. — New York: Acad. Press, 1976. — 427 c.

71. Рыкалин H. H., Зуев И. В., Углов А. А. Основы электроннолучевой обработки материалов. — М.: Машиностроение, 1978. — 239 с.

72. Лазерная и электронно-лучевая обработка материалов: Справочник / Н. Н. Рыкалин, А. А. Углов, И. В. Зуев, А. Н. Кокора. — М.: Машиностроение, 1985. — 496 с.

73. Моделирование теплофизических процессов импульсного лазерного воздействия на металлы / А. А. Углов, И. Ю. Смуров, А. М. Лашин, А. Г. Гуськов. — М.: Наука, 1991. — 288 с.

74. Никитин П. В., Холодков Н. В. Тепловая защита летательных аппаратов и их систем. — М.: Изд-во МАИ, 1990. — 73 с.

75. Димитриенко Ю. И. Механика композиционных материалов при высоких температурах. — М.: Машиностроение, 1997. — 368 с.

76. Даниловская В. И., Шефтер Э. М. Температурное поле и напряжения, возникающие в упругом полупространстве под действием осесимметричного лучистого потока // Физика и химия обработки материалов. — 1969. — №3. — С. 13-19.

77. Евтушенко А. А., Иваник Е. Г., Матысяк С. Я. Расчет температурного поля при лазерном облучении слоистого композита // Инженерно-физический журнал. — 1999. — Т. 72, №1. — С. 132-137.

78. Козлов В. П. Обобщенная квадратура для определения двумерного температурного поля в полуограниченных телах при разрывных условиях второго рода // Инженерно-физический журнал. — 1984. — Т. 47, т. — С. 463-469.

79. Козлов В. П. Распределение нестационарной температуры на поверхности полуограниченного тела в случае нагрева его тонким кольцевым источником тепла // Инженерно-физический журнал. — 1986. — Т. 50, т. — С. 459-666.

80. Козлов В. П., Липовцев В. Н., Писарик Г. П. Нагрев полуограниченного тела ограниченным источником тепла в форме квадрата // Инженерно-физический журнал. — 1987. — Т. 52, №6. — С. 1004-1010.

81. Козлов В. П., Волохов Г. М., Липовцев В. Н. Локальный нагрев анизотропного тела круговым источником тепла // Инженерно-физический журнал. — 1988. — Т. 54, №5. — С. 828-835.

82. Коляно Ю. М., Иваник Е. Г., Олийнык Д. И. Нагрев полупространства источником тепла в форме прямоугольной рамы // Инженерно-физический журнал. — 1989. — Т. 57, №2. — С. 322-326.

83. Козлов В. П., Юрчук Н. И., Абдельразак Н. А. Теплопроводность ортотропного полупространства при смешанных разрывных граничных условиях // Инженерно-физический журнал. — 1996. — Т. 69, №5. — С. 826-833.

84. Козлов В. П., Мандрик П. А. Нестационарные температурные поля в изотропном полупространстве при смешанных граничных условиях, характерных для технологии лазерной терапии в медицине // Инженерно-физический журнал. — 2000. — Т. 73, №3. — С. 637-644.

85. Макаров Н. И., Рыкалин Н. Н., Углов А. А. О выборе схемы расчета температурного поля пластин при сварке световым потоком лазера // Физика и химия обработки материалов. — 1967. — №3.1. С. 9-15.

86. Евтушенко А. А., Иваник Е. Г., Матысяк С. Я. Об одной модели лазерного термораскалывания // Изв. РАН. Механика твердого тела. — 2001. — Т. 72, №2. — С. 132-138.

87. Меламед Л.Э. Нагрев массивного тела круговым источником тепла с учетом теплоотдачи с поверхности // Инженерно-физический журнал. — 1981. — Т. 40, №3. — С. 524-526.

88. Формалев В. Ф., Москаленко А. А. Аналитическое решение двумерной нестационарной задачи теплопроводности для анизотропной полосы // Инженерно-физический журнал. — 1989. — Т. 56, №5. — С. 153-154.

89. Формалев В. Ф., Москаленко А. А. Аналитическое решение трехмерной нестационарной задачи теплопроводности с тензором теплопроводности // Дифференциальные уравнения. — 1990. — Т. 26, т. — С. 1277-1279.

90. Формалев В. Ф., Тюкин О. А. Исследование температурных полей на основе решения двумерной задачи анизотропной теплопроводности // Теплофизика высоких температур. — 1994. — Т. 32, №4.1. С. 518-523.

91. Формалев В. Ф., Тюкин О. А. Исследование трехмерной нестационарной теплопроводности в анизотропных телах на основе аналитического решения // Теплофизика высоких температур. — 1998.1. Т. 36, т. — С. 521.

92. Формалев В. Ф. Теплопроводность анизотропных тел (краткий обзор) // Труды 2-ой Российской национальной конференции по теплообмену. — М., 1998. — Т. 7. — С. 240-243.

93. Формалев В. Ф., Колесник С. А. Аналитическое решение второй начально-краевой задачи анизотропной теплопроводности // Математическое моделирование. — 2001. — Т. 13, №7. — С. 21-25.

94. Формалев В. Ф. Тепломассоперенос в анизотропных телах // Теплофизика высоких температур. — 2001. — Т. 39, №5. — С. 810— 832.

95. Аттетков А. В., Власов П. А., Волков И. К. Формирование температурных полей в полупространстве с теплозащитным покрытием // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Машиностроение. — 2000.т. — С. 43-54.

96. М., 2001. — Том 2. — С. 166-169.

97. Власов П.А. Математическое моделирование температурного поля в полупространстве с движущейся границей // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Машиностроение. — 2002. — №1. — С.122-127.

98. Аттетков А.В., Власов П.А., Волков И.К. Влияние подвижности границы на температурное поле полупространства в нестационарных режимах теплообмена с внешней средой // Инженерно-физический журнал. — 2002. — Т.75, №6. — С. 172-178.

99. Аттетков А.В., Власов П.А., Волков И.К. Математическое моделирование температурного поля в полупространстве с теплозащитным покрытием // Необратимые процессы в природе и технике: Тез. докл. Всероссийской конф. — М., 2001. — С. 76 77.

100. Аттетков А.В., Власов П.А., Волков И.К. Температурное поле в полупространства с многослойным теплозащитным покрытием // Прикладные проблемы механики ракетно-космических систем: Тез. докл. Всероссийской конф. — М., 2000. — С. 44.

101. Карслоу Г. С. Теория теплопроводности. — М.-Л.: ОГИЗ, 1947.288 с.

102. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М.: Наука, 1967. — 736 с.

103. Диткин В. А., Прудников А. В. Справочник по операционному исчислению. — М.: Высшая школа, 1965. — 468 с.

104. Штокало И. 3. Операционное исчисление. — Киев: Наукова думка, 1972. — 304 с.

105. Физические свойства сталей и сплавов, применяемых в энергетике: Справочник /Под ред. Б. Е. Неймарка. — М.: Энергия, 1967. — 217 с.

106. Энергетические конденсированные системы: Краткий энциклопедический словарь. — М.: Янус-К, 1999. — 596 с.

107. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований; в 2-х томах. — М.: Наука, 1969. — Т.1. — 344 с.

108. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной: Учеб. для вузов. — М.: Наука, 1999. — 320 с.

109. Евграфов М. А. Аналитические функции: Учеб. пособие для вузов. — М.: Наука, 1991. — 448 с.

110. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: Учеб. для вузов; в 2 ч. — М.: Наука, 2000. — Ч. 2: — 448 с.

111. Пудовкин М. А., Волков И. К. Краевые задачи математической теории теплопроводности в приложении к расчетам температурных полей в нефтяных пластах при заводнении. — Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1978. — 188 с.

112. Карташов Э. М. Проблема теплового удара в области с движущейся границей на основе новых интегральных соотношений // Известия РАН. Энергетика. — 1997. — №4. — С. 122-137.

113. Карташов Э. М. Современные аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами // Труды 2-ой Российской национальной конференции по теплообмену. — М., 1998. — Т. 7. — С. 112— 113.

114. Карташов Э. М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами // Известия РАН. Энергетика. — 1999. — №5. — С. 3-34.

115. Карташов Э. М. Современные аналитические методы при решении краевых задач нестационарной теплопроводности в области с движущимися границами // Тепломассообмен ММФ-2000: Труды IV Минского международного форума. — Минск, 2000. — Т. 3. — С. 28-31.

116. Директор С., Рорер Р. Введение в теорию систем — М.: Мир, 1974. — 464 с.

117. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Физматгиз, 1962. — 1110 с.

118. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов: Справочник. — М.: Наука, 1998. — 608 с.

119. Интегральные уравнения /П. П. Забрейко, А. И. Кошелев, М. А. Красносельский и др. — М.: Наука, 1968. — 448 с.

120. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1972. — 496 с.

121. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. 3. Численные методы анализа. — М.: Физматгиз, 1963. — 400 с.

122. Михлин С. Г., Смолицкий X. JL Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. — М.: Наука, 1965. — 384 с.

123. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. — М.: Наука, 1973. — 400 с.

124. Рыкалин Н. Н., Углов А. А., Макаров Н. И. Нагрев двухслойной пластины при сварке световым потоком лазера // Доклады АН СССР. — 1966. — Т. 169, №3. — С. 565-568.

125. Рыкалин Н. Н., Углов А. А., Макаров Н. И. К учету влияния неидеальности контакта при сварке лазером разнородных материалов // Доклады АН СССР. — 1967. — Т. 174, №4. — С. 824-827.

126. Зарубин В. С. Оптимальная толщина охлаждаемой стенки, подверженной местному нагреву // Известия вузов. Машиностроение. — 1970. — т. — С. 18-21.

127. Рыкалин Н. Н., Углов А. А., Макаров Н. И. К расчету нагрева пленок излучением лазера // Физика и химия обработки материалов. — 1971. — т. — С. 3-8.

128. Углов А. А., Исаева А. И. О расчете скорости нагрева металлов под воздействием излучения ОКГ // Физика и химия обработки материалов. — 1976. — №2. — С. 22-28.

129. Рыкалин Н. Н., Углов А. А., Незаметдинов М. М. Расчет нагрева металлов лазерным излучением с учетом температурной зависимости теплофизических коэффициентов // Квантовая электроника. — 1977. — Т. 4, т. — С. 1509-1516.

130. Козлов В. П. Локальный нагрев полуограниченного тела лазерным источником // Квантовая электроника. — 1977. — Т. 4, №7. — С. 484-493.

131. Волченок И. А., Рудин Г. И. Термоупругие напряжения в многослойной пластине при воздействии лазерного излучения // Инженерно-физический журнал. — 1988. — Т. 55, №5. — С. 816-822.

132. Потягайло Д. В., Романчук Я. П. Решение задачи о нагреве двухслойной пластины локальным источником тепла // Дифференциальные уравнения. — 1991. — Т. 27, №8. — С. 1409-1417.

133. Аттетков А. В., Волков И. К., Тверская Е. С. Оптимальная толщина охлаждаемой стенки с покрытием, подверженной локальному импульсно-периодическому нагреву // Инженерно-физический журнал. — 2001. — Т. 74, №6. — С. 82-87.

134. Турчак Л. И. Основы численных методов: Учеб. пособие. — М.: Наука, 1987. — 320 с.