Математическое моделирование теплопереноса в системе твердых тел при наличии неидеального теплового контакта

Беляков, Николай Сергеевич

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование теплопереноса в системе твердых тел при наличии неидеального теплового контакта

кандидата технических наук: Беляков, Николай Сергеевич
город: Санкт-Петербург
год: 2012
специальность ВАК РФ: 05.13.18

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Математическое моделирование теплопереноса в системе твердых тел при наличии неидеального теплового контакта»

Автореферат диссертации по теме "Математическое моделирование теплопереноса в системе твердых тел при наличии неидеального теплового контакта"

На правах рукописи

БЕЛЯКОВ Николай Сергеевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В СИСТЕМЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ НАЛИЧИИ НЕИДЕАЛЬНОГО ТЕПЛОВОГО КОНТАКТА

Специальность 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

1 4 КЮН 2012

Санкт-Петербург - 2012 005045837

005045837

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет».

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, доцент Фирсов Андрей Николаевич

Максимов Василий Васильевич доктор технических наук, профессор, СПб ГУ, факультет ПМПУ, кафедра «Теория систем управления электрофизической аппаратурой», профессор

Ануфриев Игорь Евгеньевич кандидат физико-математических наук, доцент, СПб ГПУ, ФМФ, кафедра «Прикладная математика», доцент

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет»

Защита диссертации состоится «28» июня 2012 г. в 14 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.229.10 при ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» по адресу: 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., д. 21, 9-й учебный корпус.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет».

Автореферат разослан «25» мая 2012 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, доцент

I / Кудряшов Э. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Решение многих задач современной инженерной практики связано с исследованием и прогнозированием теплового состояния конструкций и разработкой методов их тепловой защиты.

В рамках указанных направлений можно выделить класс задач, в которых сочетание теплофизических свойств материалов, геометрических размеров конструкций и характерного времени процесса теплоперепоса или работы устройства таково, что тепловыми эффектами па границе, не подверженной внешнему тепловому воздействию, можно пренебречь. Это значит, что толщина теплового слоя мала по сравнению с размерами теплоизолируемого тела. В этом случае твёрдое тело можно моделировать по-луограпиченной областью, что позволяет получить более простые, наглядные и удобные с точки зрения практического использования аналитические представления решений задач теплопроводности.

При изучении реальных процессов теплоперепоса методами математического моделирования полезно иметь аналитические или приближённые аналитические решения соответствующих математических задач, которые значительно упрощают не только процедуру параметрического анализа, но и решение задач оптимизации.

Поэтому в математической теории теплопроводности классической является задача определения температурного поля в полуограниченном твёрдом теле, на поверхности которого реализуется теплообмен с внешней средой (граничное условие третьего рода). Трудности, возникающие при решении подобных задач, ещё более усугубляются в случае необходимости учёта влияния разного рода механических или физико-химических процессов, ассоциируемых, например, с процессами гореЕшя, эрозии, износа, и имеющих место на границе твёрдого тела, что может приводить к временному изменению коэффициента теплоотдачи, в том числе импульсному или импульсно-периодическому.

Решение многих практически важных задач связано не только с необходимостью исследования и учёта влияния теплового воздействия иа конструкцию или техническое устройство, но и с необходимостью разработки методов их тепловой защиты, которая заключается в наиесешш иа основную конструкцию одного или нескольких слоев теплоизоляционных материалов, служащих для снижения кондукгивного, конвективного и радиационного теплообменов иа иен. Заметим, что наименее изученными в этом отношении являются неидеалыю контактные краевые задачи, в которых на контактной поверхности присутствует граничное условие специфического вида, обусловленное, например, зазором, наличием термического сопротивления, теплообмена по закону Ньютона или тепловыделения, что приводит к более сложным аналитическим представлениям решения.

Цель и задачи исследования. Цель диссертационного исследования состоит в получении аналитических представлений решений для класса контактных задач теплопроводности для системы «полуограниченное тело — покрытие» с учётом различных видов контактного теплообмена, а также использовании данных решений для математического моделирования теплопереноса в изучаемых системах.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач:

1. Получение аналитического представления решения смешанной задачи нестационарной теплопроводности для полупространства с покрытием для обобщённого условия неидеалыюго теплового контакта и проверка корректности решения в сравнении с известными частными и предельными случаями.

2. Построение обобщённого интегрального преобразования но пространственному переменному для получения аналитических представлений решений задачи об определении температурного поля в теле с цилиндрическим каналом, обладающим однослойным покрытием, в случае нестационарных условий теплообмена с внешней средой и при наличии неидеального теплового контакта.

3. Применение подхода обобщённого граничного условия и разработка иерархии математических моделей для описания процесса формирования температурного поля в полуограниченном теле с покрытием (для декартовой системы координат и осевой симметрии). Определение области возможного применения каждой из моделей.

4. Построение сингулярного интегрального преобразования для нахождения аналитических представлений решений задачи об определении температурного поля в теле с цилиндрическим каналом прн наличии многослойного покрытия и неидеалыюго контакта как между слоями покрытия, так и в системе «покрытие — твёрдое тело».

5. Проведение параметрического анализа процесса формирования температурного поля в изучаемых системах с целью установления их характерных особенностей в зависимости от вида теплового контакта.

6. Проведение вычислительных экспериментов для проверки адекватности математических моделей и решений на примере расчётов температурных полей в конструкциях.

Объектом исследования являются тепловые процессы и математические модели теплопереноса в технических системах и многослойных конструкциях.

Предметом исследования являются методы математического моделирования на основе аналитических и численных алгоритмов решения технических задач, формализуемых начально-краевыми задачами математической физики, а также закономерности изменения температур в изучаемых системах.

Методы исследования. При решении задач, возникших в ходе выполнения диссертационного исследования, использовались различные классы математических методов: методы математической физики и математической теории теплопроводности; методы интегральных преобразований и теории функций комплексного переменного; методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных и линейных дифференциальных операторов; методы математического, функционального и матричного анализа; численные методы интегрирования и решения краевых задач.

Достоверность и обоснованность полученных результатов гарантируется строгостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением результатов, полученных с использованием различных методов и вычислительных экспериментов. Сформулированные в работе допущения обоснованы как путём их содержательного анализа, так и методами математического моделирования. Результаты диссертационной работы согласуются с результатами, полученными ранее другими авторами и другими методами в частных и предельных случаях.

Научная новизна. Получено аналитически замкнутое представление решения класса задач нестационарной теплопроводности для системы «слой — полупространство» при условии неидеалыгого теплового контакта Барбера-Протасова.

Предложена математическая модель класса задач нестационарной теплопроводности в твёрдом теле с цилиндрическим каналом, обладающим покрытием, в случае условий неидеального теплового контакта.

Построено сингулярное интегральное преобразование по пространственному переменному, с помощью которого получено решение задачи о нахождении температурного поля в неограниченном теле, содержащем цилиндрический канал с покрытием, при условии неидеального теплового контакта; проведён параметрический анализ изучаемого процесса.

Получено обобщённое граничное условие для задачи нестационарной теплопроводности в системе «полупространство — слой», которое позволило упростить исходную математическую модель, и с использованием интегрального преобразования Лапласа получено аналитически замкнутое представление решение упрощенной задачи.

Разработана иерархия математических моделей для описания процесса формирования температурного поля в геле с цилиндрическим каналом, обладающим теплоактивиым покрытием, в условиях теплообмена по закону Ньютона. В аналитически замкнутом виде найдены решения смешанных задач для уравнений в частных производных параболического типа, соответствующих разработанным математическим моделям иерархии, и с их помощью определено множество допустимых значений вектора определяющих параметров рассматриваемой системы.

С помощью построенного сингулярного интегрального преобразования, в аналитически замкнутом виде получено решение класса задач нестационарной теплопроводности для неограниченного тела с цилиндрическим каналом, обладающим многослойным покрытием, в случае неидеалыгого теплового контакта как в системе «покрытие — твёрдое тело», так и между слоями покрытия, при нестационарных условиях теплообмена с внешней средой.

Практическая ценность диссертационной работы связана с её прикладной ориентацией, а полученные результаты могут быть использова-пы при исследовании и прогнозировании температурного состояния многослойных конструкций и при разработке эффективных методов теплозащиты в различных областях техники.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Аналитически замкнутое представление решение задачи нестационарной теплопроводности для системы «полупространство — покрытие» при условии неидеалыгого теплового контакта Барбера-Протасова.

2. Математическая модель класса задач нестационарной теплопроводности в твёрдом теле с цилиндрическим каналом, обладающим покрытием, при условиях неидеалыгого теплового контакта. Обобщённое интегральное преобразование по пространственному переменному и основанный на нём аналитический метод решения указанного класса задач.

3. Аналитически замкнутое решение задачи нестационарной теплопроводности для полупространства с обобщённым граничным условием.

4. Иерархия математических моделей для описания процесса формирования температурного поля твёрдого изотропного тела с цилиндрическим каналом, обладающим покрытием, и аналитические представления решений соответствующих задач нестационарной теплопроводности.

5. Математическая модель и соответствующее ей обобщённое интегральное преобразование для решения задачи теплопроводности в неограниченном теле с цилиндрическим каналом, заполненным высокотемпературным газом и обладающим многослойным покрытием, при нестационарных режимах теплообмена в изучаемой системе и неидеальном тепловом контакте как между слоями покрытия, так и в системе «тело — покрытие».

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы были представлены в виде докладов на XV-й (Калуга, 2005) и XVI-tt (Санкт-Петербург, 2007) Школах-семинарах молодых учёных и специалистов под руководством академика РАН А. И. Леонтьева, Международном симпозиуме «Образование через науку» (Москва, 2005), 4-й Российской национальной конференции по тепло- и массообмену (Москва, 2006), 6-м Международном конгрессе по промышленной и прикладной математике (ICIAM 07, Цюрих, 2007), G-м Минском международном форуме по тепло- и массообмену (Беларусь, 2008), 17-й Международной конферен-

ции по математической физике (1СМР, Прага, 2009), 4-м Международном конгрессе по трибологии ^УТС, Киото, 2009).

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликована 21 работа: 1 монография [19]; 12 научных статей [1-3, 5-7, 9, 11, 14, 17, 20, 21], в том числе 8 статен из Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий; 8 тезисов докладов (4, 8, 10, 12, 13, 15, 1С, 18].

Личный вклад соискателя. Все исследования, результаты которых изложены в настоящей работе, получены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включён лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, общих выводов и списка литературы. Работа изложена на 116 страницах, содержит 16 иллюстраций и 5 таблиц. Список литературы включает 155 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проведён обзор литературы по теме исследования, обоснована актуальность работы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, основные положения, выносимые на защиту, приведены данные о структуре н объёме диссертационной работы.

В первой главе приведён обзор условий фрикционного теплового контакта на основе классификации1, которая устанавливает взаимосвязь между условиями контакта двух взаимодействующих тел, и согласно которой условия неидеального теплового контакта Барбера -Протасова, записанные в безразмерном виде

<901 (£, т)

А-1 зе2(£,т)

= аэтС?(т) - В(ег(£,т) - е2(С,г))

(Ч

= (1 - аэт)д(т) + т) - ©2(£, г)) ,

*=0

являются обобщением известных условий. Здесь £ = х/Н, т = а^//»2, В = к7/Аь © = (Г - Т0)/То, А = А1/А2, <Э = ^/(А^о), х - координата, t — время, Т(х, ¿) — температура, А — коэффициент теплопроводности, О'эт — коэффициент распределения энергии трения, определяющий долю выделяющейся на поверхности трения первого тела тепловой энергии, 7 — контактная тепловая проводимость, </(£) — удельная мощность тепловыделения.

'См.: Носко А. II. Метод расчёта температур в области контакта элементов пар трения тормозных устройств подъёемно-транспортных машин : Дис. ... канд. техн. наук.

М., 2011. 135 с.

Рассмотрено фрикционное взаимодействие двух тел, моделируемых полупространством х > 0 и слоем толщины /г, которые имеют различные теплофнзические характеристики А*.. и а^, к = 1,2, в предположении, что их начальные температуры равны температуре То окружающей среды, тепловые процессы в области контакта х = 0 подчиняются условиям (1), а со свободной поверхности слоя происходит конвективная теплоотдача в окружающую среду с интенсивностью а.

При сделанных допущениях были использованы одномерные уравнения теплопроводности, записанные в безразмерном виде

эе^.т) ^е^.т)

От ое ' ^ '

= * ее ' -1<^<0'

с нулевыми начальными условями, граничными условиями

^сЮз^г)

- и;г> (с де^т)

= о

£->+оо

и контактными условиями (1), где В1 = а/г/Лх, \ = а2/аь .

Показано, что если толщина 6 теплового слоя (характеризующая поверхностный слой тела, в котором происходит уменьшение температуры в определённое число раз) превосходит толщину к тела, то допущение о том, что данное тело является полуограниченным, неправомерно.

С помощью интегрального преобразования Лапласа по временному переменному т в аналитически замкнутом виде получено точное решение геометрически одномерной задачи нестационарной теплопроводности для системы «полупространство — слой», а в области взаимодействия приняты условия (1).

Показано, что для постоянного тепловыделения <2(т) = (3 температуры ©1(0, г) и 02(О,т) границ полупространства и слоя с течением времени стремятся к своим стационарным значениям

= + л + &'Я™ = + + О

В ) *

и разница их контактных температур равна аэт<3/В.

Во второй главе в аналитически замкнутом виде получено решение задачи нестационарной теплопроводности для неограниченного тела 2 с цилиндрическим каналом радиуса гь обладающим покрытием 1, в случае неидеального теплового контакта (1) при = 0 и изменяющихся во времени условиях теплообмена с внешней средой с температурой Тс. При

сделанных предположениях в качестве объекта исследования была использована следующая математическая модель:

двЛр,Ро) =

рдр

д¥о дв2(р, Fo)

c>9i(p,Fo)\

1 д ( дв2(р,Fo)

¿>Fo рдр \ др

ei(p,Fo)[Fo=0=0^©2(/,,Fo)|Fo=0; 1 oe^p, Fo)

Р= 1

_ 9Q2(p, Fo)

р=Д дР p=R

1 < р < Я. Fo > 0; р > Я, Fo > 0;

Л др 1 ae^Fo)

Bi(Fo) (©1(^Fo)|p=1 -C(Fo)) ;

(2)

Л dp

= B(e2(p,Fo)-©1(p,Fo))

p=R

где <Э2(р, Fo)|Fo^0 € Ь2[Я,+оо), p = r/?-0; Fo = at/r$\ Bi = ar0/A; © = (T - T0)/AT; С = (Тс — T0)/AT; AT = Tco - To-

Математическая модель (2) представляет собой смешанную задачу для системы уравнений параболического типа, а её частные решения, представленные в аналитически замкнутом виде, известны для случая идеального теплового контакта как для Bi(Fo) = Bi — const, так и для изменяющегося во времени коэффициента теплоотдачи. В первом случае был использован метод интегрального преобразования Лапласа, а во втором — полученное авторами сингулярное интегральное преобразование по пространственному переменному и идея расщепления ядра этого преобразования2.

Используя аналогичный" подход, во второй главе диссертационной работы построено интегральное преобразование по пространственному переменному в виде

/оо

Q(p,Fo)K(p,s,Fo)q(p)dp-, 1 Г00

в(р, Fo) = 7"_1[C/(s,Fo)] = - / U(s, Fo)K(p, s, Fo) da(s),

к J о

(3)

где 0(р, Ро) € Ь2[1, +оо) — функция-оригинал; К(р, 5, Го) — ядро интегрального преобразования; д(р) и сг(з) — весовая и спектральная функции. Показано, что для преобразования (3) выполняется обобщённое свойство интегральных преобразований:

Х(р) d ( 3©(р, Fo)

Р др

= -sT[©(p)]+Bi(Fo)C(Fo).

(4)

2Аттетков Л. В., Волков И. К. Аналитический метод решения задачи нестационарной теплопроводности для тела с двухслойным цилиндрическим каналом // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Машиностроение. 2001. № 1. С. 3-14.

Поскольку ядро К{р, в, Го) интегрального преобразования (3) зависит от числа Фурье (т. е. от времени), для решения исходной задачи (2) использована предложенная А. В. Аттетковым и И. К. Волковым3 идея расщепления ядра сингулярного интегрального преобразования, которая позволила получить решение в аналитически замкнутом виде и провести параметрический анализ формирования температурного поля в изучаемой системе.

0.8 (1.7 0.6 0.5

'о

Ь 0.4

¡5

0.3 0.2 0.1 0

• П2| !

\ | \ ' \ 1

А; 1 \

\ 1 .....У!;......>\

LJ-.

4 6

Рис. 1

Для вычисления несобственных интегралов в среде Fortran 90 была написана программа численного расчёта на основе составных квадратурных формул Гаусса. Для верификации решения на основе четырёхточечного шаблона с использованием чисто неявной схемы проведена дискретизация модели (2). Указано, что данная схема является абсолютно устойчивой при любых значениях шагов по времени и пространственному переменному, а для решения СЛАУ был использован метод прогонки.

На рис. 1, а представлены результаты расчётов температуры в частном случае, когда теплофизические характеристики материалов твёрдого тела и покрытия одинаковы (Л = 1 = что соответствует твёрдому изотропному телу с цилиндрическим каналом, при реализации импульсных режимов теплообмена с внешней средой с температурой C(Fo) = 1, приводящих к кусочно-постоянным законам изменения коэффициента теплоотдачи:

Bi(Fo) =

Hi, OsCFosCFo* tf2, Fo > Fo*,

где Ях = 1, Я2 > 0 — постоянные: Я2 = 1 (кривая 1); 1.5 (2); 0.5 (3); 0 (4).

Результаты вычислительных экспериментов также подтверждают вывод о том, что увеличение толщины покрытия снижает температуру твёрдого тела, обеспечивая тепловую защиту (см. рис. 1, б). Расчёт проведён

3Аттетков А. В.. Волков И. К. Формирование температурных полей в области, ограниченной изнутри цилиндрической полостью // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Машиностроение. 1999. № 1. С. 49-50.

0.6 0.5 0.4

с!

3> о.з 0.2

для системы «сталь —ТЗП» (х = 0,22, Л = 113,33) при различных значениях толщины покрытия Я — 1: 0,01 (кривая 1), 0,5 (2) и 1 (3).

Также установлено, что параметр В, определяющий тепловую проводимость контакта «твёрдое тело — покрытие» и величину скачка температуры на границе контакта, оказывает значимое влияние на формирование температурного поля в твёрдом теле (рис. 2). Расчёт проведён при ЕН = 1 = Л = 1 = х, Я = 2, Ро = 5 и значениях коэффициента контактного теплообмена В: 0,5 (кривая 1), 2,0 (2), 10,0 (3).

Показано, что увеличение параметра В приводит к росту температуры границы цилиндрического канала р = Я, при этом уменьшается величина «скачка» температуры на неиде-алыюм тепловом контакте. Результаты исследований также подтверждают вывод о том, что увеличение коэффициента контактного теплообмена В в системе «твёрдое тело — покрытие» приводит к повышению «идеальности» теплового контакта. Аналогичные закономерности имеют место и в случае применения покрытий другой толщины или с другими теплофизическими характеристиками.

В третьей главе построены упрощённые аналоги математических моделей для систем «слой — полупространство» (гл. 1) и «канал — покрытие» (гл. 2) для нахождении аналитически замкнутых представлений решений соответствующих задач нестационарной теплопроводности, поскольку практическое использование аналитических решений «точных моделей» для исследования процесса формирования температурного поля в рассматриваемых системах связано со значительными вычислительными затратами. Поэтому переход от «точной модели» к её упрощённым аналогам является естественной необходимостью.

Для системы «слой — полупространство» можно ввести в рассмотрение среднеинтегральпую по толщине слоя «сл» температуру (©(т)) и принять допущение о том, что температуры на границах слоя равны его среднеин-тегральной температуре, т. е.

\ ' ! \ I

\ \

........!...... 1 | 3

Рис. 2

,о

есл(-1, т) = ©сл(о, г) = (е(т)) = J есл(£,т)сгг,

(5)

что позволяет перейти от «точной модели» к более простой задаче нестационарной теплопроводности для полупространства с обобщённым гранич-

ным условием:

дв(£,т) _ Э29(£,т) дт д£2 '

в(С,г)|т=о = 0;

£ > О, г > 0;

= аэтСЭ(т) - Вв(£,т)\ +

|€=0 ..... (6)

+ ВАХ £ ((1 - «эТ)ЗЫ + Вв(£,у)\6=0) ¿у-

дв(£,т)

он

= 0.

Поскольку безразмерные параметры Л и которые определяют тепло-физические характеристики материалов слоя и полупространства, входят единым комплексом, упрощение (5) позволяет преобразовать исходную задачу, сократив при этом количество определяющих параметров на единицу.

Для модели «канал — покрытие» разработана иерархия упрощённых аналогов «точной» математической модели (2). Если ввести в рассмотрение среднеинтегральную по толщине покрытия «п» температуру и воспользоваться следующими допущениями:

1) температура границ покрытия равна его среднеиптегралыюй температуре, т. е.

г-Я

е„(1,го) = еп(д,Ро) = (0(Ро)) =

л2

2) теплообмен в системе «канал — покрытия» происходит по закону Ньютона с неизвестным параметром т. е.

дв(р, БЪ)

// I П1 л го 11

р=Я+о

др

= ц(в{р, Го)| -<е(Ео)>), (7)

р=л+о 4 '

то возможно преобразование «точной модели» к более простой «уточнённой модели сосредоточенная ёмкость»:

де(р,¥о) _ 1д_ Г де(р, БЪ)

ОТо ~ рдр\Р др

р > В, Ро > 0;

в(лГо)|Ро=0=0;

д + в>\ дЩР,¥о)

др

= В1|

(е(^Ро)|р=л -С(Го))

(дв{р,¥о)

V р=я

•м

1920(р,Ро)

(8)

д¥о др

Р=П/

Дальнейшее упрощение реализовано путём принятия допущения о том, что температура границ покрытия «п» равна не только его среднеинте-гралыюй температуре, но и температуре границы твёрдого тела, т. е.

еп(1,БЪ) = (0(Ро)) = еп(д,ЕЪ) = щя^о),

что позволило заменить «точную модель» моделью «сосредоточенная ёмкость», которая отличается от модели (8) лишь обобщённым граничным условием вида:

д<д(р,¥о)

др

р=Я

= В1 (в(р, ¥о)\р^-С(Щ)+е

дв(р,¥о)

9Ро

(9)

р=Н

где £ = (В2 - 1)/(2*Л) > 0.

Анализ модели (9) позволяет выдвинуть гипотезу о том, что при выполнении условия (едО(р, ¥о)/д¥о) <С 1, допустимо использование ещё более простой «усечённой модели сосредоточенная ёмкость», граничное условие которой при е = 0 формально совпадает с (9).

7к, °С 400

200

и 6 4

г/

/ 9 г1

5 1

0,5

*/¿о

Рис. 3

С использованием интегрального преобразования Лапласа по временному переменному были получены аналитические представления решений задач, соответствующих упрощённой модели (6) и моделям иерархии (8), (9) и модели при е = 0.

Для проверки аналитического решения численные значения температурного поля были получены с помощью конечно-разностной аппроксимации с использованием схемы с весами на шеститочечном шаблоне, а для решения СЛАУ также использовался метод прогонки.

Для проверки адекватности полученного аналитически замкнутого решения задачи (6) была определена температура на поверхности трения тормозной накладки из полимерного материала 145-40. Накладка 1 (см. рис. 3, а) прижимается давлением р = 4 МПа к диску 2 со средним радиусом трения 7*т = 0,06 м, причём в процессе торможения удельная мощ-

ность тепловыделения (¡(1) = с/0 (1 ~~ где начальная удельная мощ-

ность тепловыделения до зависит от угловой скорости, а время торможения ¿о = 1,1 с.

Результаты расчётов представлены на рис. 3, б: кривая «э» соответствует экспериментальным данным, 1 —условиям идеального теплового контакта; 2-5 — условиям по Блоку, Шаррону, Хассельгруберу, Чичинад-зе; 6 — условиям неидеалыюго теплового контакта по Барберу-Протасова; 7 — условиям неидеалыюго теплового контакта по Подстригачу.

На основе проведённого анализа установлено, что построенная модель (6) и её аналитическое решение позволяют качественно и количественно описать зависимость изменения температуры на фрикционной поверхности тормозной накладки.

Анализ аналитического решения задачи о нахождении температурного поля в теле с цилиндрическим каналом, на поверхности которого задано обобщённое граничное условие, позволил сделать вывод о том, что температурное поле в теле (при р ^ В) полностью определяется значениями вектора параметров П = [ЕН, В, Л] £ М4. Идентификация допустимых множеств изменения вектора П, гарантирующая заданную точность результатов, полученных с помощью упрощённых моделей, проводилась с использованием аналитических методов и вычислительного эксперимента.

Условие теплообмена по закону Ньютона (7), являющееся основным для «уточнённой модели сосредоточенная ёмкость» (8), можно интерпретировать как условие неидеального теплового контакта. Показано, что

и = шах

Го

(еа.ио-е^БЪ))-1

дР

р=Я

что позволяет проводить расчет температуры тела и для случая, когда температурное поле в покрытии является неоднородным, т. е. значения вектора определяющих параметров П = [В1, В, Х,Л]Т € К4 выходят за пределы области их возможного применения.

В четвёртой главе разработан и обоснован аналитический метод решения задачи нестационарной теплопроводности для неограниченного тела п с цилиндрическим каналом, заполненным внешней средой и обладающим многослойным покрытием, причём тепловой контакт между слоями покрытия и в системе «тело — покрытие» является неидеальным, а в качестве объекта исследования была использована обобщённая на п слоёв модель (2).

Для решения поставленной задачи построено соответствующее ей сингулярное интегральное преобразование вида (3) для случая многослойной области, применяемое по пространственному переменному р > 1, которое также удовлетворяет свойству (4).

С использованием подхода, аналогичного описанному во гл. 2, и обобщённого на случай многослойной области, в аналитически замкнутом виде получено решение задачи нестационарной теплопроводпости для твёрдого тела с цилиндрическим каналом, обладающим многослойным покрытием, которое, как частный случай, включает в себя решение задачи (2).

На рис. 4, а, приведены результаты расчётов безразмерной температуры в системах «тело — покрытие» (кривая 1) и «тело — двуслойное покрытие» (2) при Б —> оо, где толщина первого покрытия равна 1, а второго— 0,1. Показано, что использование теплозащитных покрытий позволяет снизить максимальную температуру разогрева поверхности твёрдого тела, при этом очевидно, что величина перепада температуры по покрытию и величина максимального разогрева поверхности твёрдого тела существенно зависят как от соотношения теплофизических характеристик материалов так и от толщин покрытий.

(Л и а2),

1 1

1 1 1 ---1.......;........ .........IV •........

! ^ ! ;

1 1

1 1 1

\ \\ 1 1 1

к ч

3 4 Р

Рис. 4

На рис. 4, б, представлены результаты расчётов безразмерной радиальной температуры в системе «тело — покрытие» в случае неидеального (сплошные кривые) и идеального (штриховые кривые) теплового контакта. Важно заметить, что наличие второго слоя теплозащитного покрытия снижает максимальную величину разогрева твёрдого тела путём препятствия распространению теплоты из первого слоя, вследствие чего температура первого слоя значительно повышается.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

По результатам проведённых исследований могут быть сделаны следующие выводы.

условии неидеального теплового контакта Барбера-Протасова. Показано, что условия Барбера-Протасова обобщают известные условия теплового взаимодействия тел.

2. Предложена математическая модель задачи нестационарной теплопроводности в твёрдом теле с цилиндрическим каналом, обладающим покрытием, в случае условий неидеального теплового контакта.

3. Построенное сингулярное интегральное преобразование по пространственному переменному может быть использовано для получения решений в аналитически замкнутом виде класса задач нестационарной теплопроводности для неограниченного тела с цилиндрическим каналом, обладающим покрытием, в случае различных условий теплового контакта (неидеального, условий IV рода) и реализацией различных условий теплообмена с внешней средой (граничный условия 1-Ш рода, в т. ч. нестационарные).

4. Тепловая проводимость контакта, которая характеризуется параметром В, существенно влияет на формируемое в системе температурное поле, а увеличение параметра В приводит к росту температуры границы цилиндрического канала, при этом уменьшается величина «скачка» температуры на неидеалыюм тепловом контакте. Результаты исследований также подтверждают вывод о том, что увеличение коэффициента контактного теплообмена В в системе «тело — покрытие» приводит к повышению «идеальности» теплового контакта.

5. Получено обобщённое граничное условие для задачи нестационарной теплопроводности в системе «полупространство — слой», которое позволило упростить исходную математическую модель, и с использованием интегрального преобразования Лапласа получено аналитически замкнутое представление решение упрощённой задачи.

6. Разработанная иерархия математических моделей для описания процесса формирования температурного поля твёрдого тела с цилиндрическим каналом, обладающим покрытием, находящегося под воздействием высокотемпературной среды, позволяет корректно и эффективно решать практически важные задачи с заданной точностью, обусловленной областью применимости каждой из моделей иерархии.

7. Предложенная и идентифицированная «уточнённая модель сосредоточенная ёмкость» адекватно описывает процесс формирования температурного поля в теле с цилиндрическим каналом, обладающим покрытием, и может эффективно использоваться в тех случаях, когда применение других упрощённых аналогов «точной модели» выходит за пределы их области применимости, особенно в случае неидеалыюго теплового контакта.

8. Обобщённое на случай многослойного покрытия сингулярное интегральное преобразование но пространственному переменному может быть использовано для получения точных аналитических решений класса задач нестационарной теплопроводности для твердого тела с каналом, обладающим многослойным покрытием, учитывая различные условия теплово-

го контакта как между слоями покрытия, так и в системе «покрытие — твёрдое тело», а также условия теплообмена с внешней средой, включая нестационарные.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ

1. Аттетков A.B., Беляков Н.С. Температурное поле неограниченного твёрдого тела с теплоактивным термически тонким стержневым элементом // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Машиностроение. 2005. № 1. С. 24-31.

2. Аттетков A.B., Беляков Н. С. Температурное поле неограниченного твёрдого тела, содержащего цилиндрический канал с термически тонким покрытием его поверхности // Теплофизика высоких температур. 2005. Т. 43, № 6. С. 135-140.

3. Аттетков А. В., Беляков Н. С. Формирование температурного поля в твёрдом теле, содержащем цилиндрический канал с теплопоглощающим термически тонким покрытием его поверхности // Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках : Труды XV Школы-семинара молодых учёных и специалистов под руководством академика РАН А. И. Леонтьева. М., 2005. Т. 2. С. 395-397.

4. Аттетков А. В., Беляков Н. С. Математическое моделирование температурного поля в твёрдом теле с цилиндрическим каналом, обладающим теплопоглощающим покрытием // Образование через науку : тез. докл. международной конференции. М., 2005. С. 582-583.

5. Аттетков А. В., Беляков Н. С., Волков И. К. Влияние подвижности границы на температурное поле твердого тела с цилиндрическим каналом в нестационарных условиях теплообмена с внешней средой // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Машиностроение. 2006. № 1. С. 31-41.

6. Аттетков А. В., Беляков Н. С., Волков И. К. Температурное поле неограниченного твёрдого тела, содержащего цилиндрический канал с многослойным покрытием, в нестационарных условиях теплообмена // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Машиностроение. 2006. № 3. С. 37-50.

7. Аттетков А. В., Беляков Н. С. Температурное поле твёрдого тела с цилиндрическим каналом при наличии многослойного покрытия на его поверхности // Труды IV Российской национальной конференции по теплообмену. М., 2006. Т. 7. С. 153-155.

8. Беляков Н. С. Температурное поле твёрдого тела, содержащего цилиндрический канал с подвижной границей, в импульсных режимах теплообмена с внешней средой // Студенческий научный Вестник : тез. докл. общеуниверситетской научно-технической конференции «Студенческая весна» - 2006. М., 2006. Т. 2. С. 137-138.

9. Беляков Н. С. Математическое моделирование процессов теплопере-носа в неограниченном твёрдом теле с цилиндрическим каналом, обладающим термически тонким покрытием // Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках : Труды XVI Школы-семинара молодых учёных и специалистов под руководством академика РАН А. И. Леонтьева. М., 2007. Т. 2. С. 90-93.

10. Belyakov N. Temperature field of solid body, incorporating cylindrical channel with thermally-thin layer under pulse modes of heat exchange with environment // 6th International Congress on Industrial and Applied Mathematics. Zürich, 2007. P. 663.

11. Belyakov N., Nosko A. Heat frictional contact of semi-bounded solids // MOTROL 2008. Lublin, 2008. Vol. 10 A. P. 83-91.

12. Беляков H. С., Носко А. П. Математическое моделирование тепловых процессов при неидеальном фрикционном контакте //VI Минский международный форум по тепло- и массообмену. Минск, 2008. Т. 1. С. 252253.

13. Беляков Н. С. Формирование температурного поля в твердом теле с цилиндрическим каналом, обладающим теплопоглощающим покрытием // Актуальные проблемы фундаментальных наук : Сб. трудов. М., 2008. С. 41-42.

14. Беляков Н. С., Носко А. П. Математическое моделирование тепловых процессов трения при неидеальном контакте // Теплофизика высоких температур. 2009. Т. 47, № 1. С. 129—136.

15. Belyakov N. Singular Integral Transform for Semi-space with MultiLayer Coating. Proceedings of 16th ICMP. Prague, 2009. P. 54.

16. Belyakov N., Nosko A. Generalized Boundary Condition Approach in Heat Transfer Frictional Problems // Proceedings of World Tribology Congress 2009. Kyoto, 2009. P. 206.

17. Носко A. JI., Беляков H. С., Носко А. П. Применение обобщённого граничного условия для решения тепловых задач трения // Трение и износ. 2009. Т. 30, № 6. С. 615-625.

18. Беляков Н. С. Контактные условия для описания тепловых процессов трения // Актуальные проблемы фундаментальных наук : Сборник трудов. М., 2009. С. 4-8.

19. Беляков Н. С., Носко А. П. Неидеальный тепловой контакт тел при трении. М.: Книжный дом Либроком, 2010. 104 с.

20. Беляков Н. С., Носко А. П. Термоупругая задача трения плоскопараллельных слоев с учетом нестационарности тепловых процессов // Трение и износ. 2010. Т. 31, № 5. С. 615-625.

21. Belyakov N. Singular integral transforms for heat transfer problems in semi-infinite solids with coatings // Int. J. Heat Mass Transfer, 2010. Vol. 46, No 3. Pp. 355—364.

Подписано в печать 25.05.2012. Формат 60x84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 9300b.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в типографии Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.:(812)550-40-14 Тел./факс: (812) 297-57-76

Оглавление автор диссертации — кандидата технических наук Беляков, Николай Сергеевич

Введение

1. Формирование температурного поля системы «слой — полупространство» при неидеальном тепловом контакте

1.1. Обзор условий неидеального теплового контакта.

1.2. Постановка задачи и математическая модель.

1.3. Получение аналитически замкнутого представления решения.

1.4. Основные результаты вычислительных экспериментов.

2. Температурное поле тела с цилиндрическим каналом, обладающим покрытием

2.1. Исходные предпосылки и математическая модель.

2.2. Обобщённое интегральное преобразование для неограниченного твёрдого тела, содержащего цилиндрический канал с покрытием

2.3. Аналитический метод для определения температурного поля твёрдого тела с цилиндрическим каналом, обладающим покрытием.

2.4. Основные результаты вычислительных экспериментов.

2.4.1. Методы численного расчёта температурного поля.

2.4.2. Основные результаты вычислительных экспериментов.

3. Применение обобщённого граничного условия для описания температурного поля системы «тело — покрытие»

3.1. Возможные варианты упрощения исходных математических моделей

3.2. Аналитические решения задач, соответствующих упрощённым аналогам исходных математических моделей.

3.3. Методы численного расчета температурного поля.

3.4. Основные результаты вычислительных экспериментов и их обсуждение

4. Математическое моделирование температурного поля твёр дого тела с цилиндрическим каналом, обладающим многослойным покрытием

4.1. Постановка задачи и математическая модель.

4.2. Обобщённое интегральное преобразование по пространственному переменному для рассматриваемой математической модели.

4.3. Разработка аналитического метода для определения температурного поля тела с цилиндрическим каналом, обладающим многослойным покрытием

4.4. Некоторые результаты вычислительных экспериментов.

Введение 2012 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Беляков, Николай Сергеевич

В рамках указанных выше исследований можно выделить класс задач, в которых сочетание теплофизических свойств материалов, геометрических размеров конструкций и характерного времени процесса теплопереноса или работы устройства таково, что тепловыми эффектами на границе, не подверженной внешнему тепловому воздействию, можно пренебречь [7, 8]. Это значит, что толщина теплового слоя (т. е. поверхностного слоя, в котором происходит резкое изменение температуры и в котором сосредоточено основное количество теплоты, поглощённой в рассматриваемый период времени) мала по сравнению с размерами теплоизолируемого тела. В этом случае твёрдое тело можно представить полуограниченной областью, что позволяет получить более простые, наглядные и удобные с точки зрения практического использования аналитические представления решений задач теплопроводности [7,9-13].

Кроме того, при изучении реальных процессов теплопереноса методами математического моделирования [14] полезно иметь аналитические или приближённые аналитические решения соответствующих математических задач, которые значительно упрощают не только процедуру параметрического анализа, но и решение задач оптимизации [12,15,16]. К тому же, аналитические представления необходимы и для тестирования вновь создаваемых программных комплексов.

Вследствие выше сказанного в математической теории теплопроводности [9-13] классической является задача определения температурного поля в полуограниченном твёрдом теле, на поверхности которого реализуется заданный режим теплового воздействия: поддержание постоянной температуры (граничное условие первого рода); нагрев заданным тепловым потоком (граничное условие второго рода); теплообмен с внешней средой (граничное условие третьего рода).

Для полуограниченного тела (полупространства) аналитические решения, необходимые для проведения параметрического анализа, были получены для всех трёх типов граничных условий в [9,10,17]. В работе [18] для решения задачи нестационарной теплопроводности для полупространства с заданным на поверхности граничным условием третьего рода с изменяющимся во времени коэффициентом теплоотдачи использован разработанный в [19,20] аналитический метод. В основе данного подхода лежит идея расщепления ядра смешанного интегрального преобразования Фурье по пространственному переменному, позволившая получить решение в аналитически замкнутом виде и провести анализ особенностей процесса формирования температурного поля в импульсных режимах теплообмена с внешней средой.

Одной из модификаций описанной выше задачи является задача об определении температурного поля в неограниченном теле с цилиндрическим каналом, поверхность которого подвержена внешнему тепловому воздействию. Необходимость учёта осевой симметрии приводит к дифференциальному уравнению Бесселя и, как следствие, более громоздким выражениям для аналитически замкнутого представления решения, которое, однако, позволяет с большей точностью описывать процесс формирования температурного поля и выявить ряд характерных особенностей.

Аналитические решения задачи об определении температурного поля в неограниченном теле с цилиндрическим каналом кругового сечения [21-23] также известны как в случае задания на поверхности канала температуры, так и теплового потока, т. е. граничных условий первого и второго родов (см., например, [9,11,17,21-30]).

Предположение о реализации режима теплообмена с внешней средой по закону Ньютона соответствует заданию на поверхности цилиндрического канала граничных условий третьего рода. Аналитическое решение рассматриваемой задачи в этом режиме теплообмена получено в [9] путём применения интегрального преобразования Лапласа по временному переменному, причём предполагалось, что температура Тс внешней среды не зависит от времени, а начальная температура То твёрдого тела равна нулю. В [11] в аналитически замкнутой форме получено решение рассматриваемой задачи в более общей постановке, предполагающей временную зависимость температуры внешней среды, а использованный метод решения поставленной задачи основан на применении интегрального преобразования Вебера [11,29,31,32] по пространственному переменному. Заметим, что в цитируемой работе [11] имеются неточности принципиального характера в формуле представления температурного профиля в твёрдом теле для частного случая теплообмена с внешней средой, когда её температура постоянна.

В [23] разработан и обоснован аналитический метод решения вышеописанной задачи в предположении о реализации режима теплообмена с изменяющимся во времени коэффициентом теплоотдачи. Следуя сложившейся терминологии [18,23], в дальнейшем такой режим теплообмена будем называть нестационарным.

В основе разработанного в [23] метода решения рассматриваемой задачи лежит идея расщепления ядра полученного авторами работы сингулярного интегрального преобразования, применяемого по пространственному переменному, которое можно рассматривать как обобщение известного интегрального преобразования Вебера. При этом необходимо отметить, что представленные в [23] результаты ограничены изучением процесса формирования температурного поля в твёрдом теле только для частного случая теплообмена с внешней средой по закону Ньютона.

Задача, в которой на границе сферического очага разогрева (шаровой полости, заполненной высокотемпературным газом) задано граничное условие третьего рода, рассматривалась в [9,17,33]: в [9] анализируется режим теплообмена по закону Ньютона (с постоянным коэффициентом теплоотдачи а — const), решение задачи получено с помощью интегрального преобразования Лапласа по временному переменному; в [33] изучены нестационарные (импульсные) режимы теплообмена, при этом для нахождения решения использован подход, основанный на применении смешанного интегрального преобразования Фурье по радиальному переменному р £ [1, +оо) с последующим расщеплением его ядра. В [34] изучена термоупругая реакция изотропного тела со сферическим очагом разогрева в режимах теплового воздействия, приводящих к временному изменению температуры его поверхности или конвективному теплообмену в системе «тело — внешняя среда».

Следует отметить, что на практике используются различные подходы, позволяющие найти точные (например, в виде функционального ряда) или приближённые решения задач математической теории теплопроводности для пластины, цилиндра, шара и полуограниченного стержня (полупространства) при произвольном законе изменения коэффициента теплоотдачи во времени или при его частных зависимостях: экспоненциальной, степенной, периодической (см., например, [18,23,33,35-50]). Однако применение этих приближённых методов не позволяет существенно облегчить практическое использование найденных аналитических решений, достаточно громоздких и требующих существенных вычислительных затрат при получении конечного числового значения.

Наиболее распространёнными аналитическими методами решения рассматриваемого класса задач являются методы тепловых потенциалов, функций Грина и интегральных преобразований [1,9,12,49,51].

Среди всего многообразия возможных временных законов изменения коэффициента теплообмена можно выделить случай кусочно-постоянной зависимости. Этот случай имеет место при моделировании высокотемпературных воздействий, сопровождающихся термодеструкцией поверхностных сло-ёв термонагруженного твёрдого тела (например, слоя термоизоляционного материала) [1,2,16], когда продолжительность переходного процесса при изменении режима внешнего воздействия мала по сравнению с длительностью воздействия. В ряде случаев с помощью кусочно-постоянной зависимости можно аппроксимировать нелинейные законы изменения коэффициента теплообмена с целью получения приближённых аналитических решений. Реализация таких режимов внешнего теплового воздействия, называемых импульсными, приводит не только к улучшению или ухудшению условий теплообмена с окружающей средой, но и к специфическим особенностям эволюции температурного профиля [1,52,53], представляющим практический интерес.

Следует отметить, что трудности, возникающие при решении подобных задач [12], ещё более усугубляются в тех случаях, когда возникает необходимость учёта влияния разного рода механических или физико-химических процессов на температурное поле твёрдого тела: горения в твёрдотопливных ракетных двигателях, абляции, эрозии электрических контактов, лазерного воздействия, износа контактных поверхностей и др. Их протекание неизбежно приводит к изменению размеров тела вследствие временного изменения положения его границ [12,15,54-56].

Соответствующие задачи являются далеко не тривиальными с точки зрения нахождения их точного аналитического решения даже в тех случаях, когда закон движения границы известен. С математической точки зрения это означает, что область, в которой ставится краевая задача для уравнения теплопроводности, не является цилиндрической [57]. Краевые задачи такого рода, часто называемые обобщёнными, принципиально отличны от классических и составляют отдельный, самостоятельный раздел математической теории теплопроводности [12]. Вследствие зависимости положения границы области теплопереноса от времени к такому классу задач в общем случае не применимы методы разделения переменных Фурье или интегральных преобразований [28], поскольку, оставаясь в рамках классических методов математической физики, не удаётся согласовать решение уравнения теплопроводности с движением границы области теплопереноса.

Необходимо отметить, что в большинстве случаев точные решения задач такого типа удавалось получить при помощи удачных догадок и искусственных приёмов, причём для весьма ограниченного числа случаев движения границы (линейного и параболического) и для частного вида граничных условий. Прогресс в этой области связан с использованием специальных функциональных преобразований, с помощью которых обобщённая краевая задача переформулировалась в подвижной системе координат.

Метод, основанный на использовании таких функциональных преобразований, является мощным инструментом в случае, когда закон движения границы области теплопереноса известен. Тем не менее, в условиях теплообмена с внешней средой по закону Ньютона (граничное условие третьего рода) использование этого подхода приводит к тому, что в преобразованной задаче коэффициент теплоотдачи оказывается функцией времени.

Кроме того, существуют специфические методы для получения аналитических решений задач в областях с подвижными границами: метод обобщённых рядов, метод дифференциальных рядов, метод обобщённых интегральных преобразований [15]. Эти методы позволяют получить точные аналитические решения краевых задач теплопереноса лишь для небольшого числа частных зависимостей коэффициента теплоотдачи от времени и частных законов движения границы. Расширение класса такого рода зависимостей представляет собой одну из открытых проблем математической теории теплопроводности.

В работе [55] в аналитически замкнутом виде получено решение задачи определения температурного поля твёрдого тела, моделируемого полупространством с движущейся по известному закону I ~l(t) границей, в нестационарных условиях теплообмена с внешней средой. В качестве метода решения использовалось функциональное преобразование, позволившее записать исходную задачу в подвижной системе координат и применить интегральное преобразование Фурье по пространственному переменному.

Аналитическое решение задачи нестационарной теплопроводности для неограниченного твёрдого изотропного тела с цилиндрическим каналом, на поверхности которого задан теплообмен с внешней средой по закону Ньютона и граница которого движется по заданному линейному закону i/(Fo) = 1 + £ Fo, получено в [58]. При этом предполагалось, что £ — малый определяющий параметр, а процесс теплообмена с внешней средой сопровождается временным изменением коэффициента теплоотдачи на подвижной границе цилиндрического канала, т. е. является нестационарным. В [58] предложен приближённый аналитический метод решения, основанный на разложении Пуанкаре по степеням малого параметра е. Следует, однако, отметить, что использование такого решения для проведения параметрического анализа затруднительно, поскольку полученное решение представлено в виде суммы бесконечного ряда.

Аналогичная задача о формировании температурного поля в твёрдом изотропном теле, содержащем сферический очаг разогрева с движущейся по заданному (линейному) закону границей, на которой реализуется теплообмен, сопровождающийся временным изменением коэффициента теплоотдачи, решена в [59] с помощью аналогичного [55] функционального преобразования задачи для перехода в подвижную систему координат и обобщённого смешанного интегрального преобразования Фурье [54,60].

Очевидно, что решение многих практически важных задач в современной технике и производстве связано не только с необходимостью исследования и учёта влияния теплового воздействия и прогнозирования теплового состояния конструкции или технического устройства, но и с необходимостью разработки методов их тепловой защиты. В настоящее время одним из наиболее эффективных способов теплозащиты является нанесение на основную конструкцию одного или нескольких слоёв теплоизоляционных материалов, которые служат для снижения кондуктивного, конвективного и радиационного теплообменов на ней [1,2,16,61-63]. Классификацию теплоизоляций производят с использованием различных критериев [16,64,65], а их сравнительный анализ —по эффективным теплофизическим характеристикам теплозащитного слоя [16,66,67], что позволяет использовать методы математического моделирования при расчёте и оптимизации параметров покрытия.

К данным задачам относятся задачи математической теории теплопроводности для двухслойной области, моделируемой полуограниченным твёрдым изотропным телом (полупространством, неограниченным телом с цилиндрическим каналом или сферической полостью) с покрытием. На границе покрытия реализуется заданный режим теплового воздействия. При этом, как правило, предполагается наличие идеального теплового контакта между слоями области, т. е. между твёрдым телом и покрытием принимается граничное условие четвёртого рода [10].

В настоящее время известны аналитические решения задач теплопроводности для двухслойной области (полупространство с покрытием) при граничных условиях первого [10] и второго [9,10] родов. В случае реализации на границе покрытия условий третьего рода в работе [41] использован метод тепловых потенциалов; исходная задача сведена к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, но его решение получено численно с использованием специальных квадратурных формул.

В работе [68] методом интегрального преобразования Лапласа найдено аналитическое решение задачи теплопроводности для системы «полупространство — теплозащитное покрытие конечной толщины» при наличии идеального теплового контакта между ними и теплообмене с окружающей средой по закону Ньютона. Решение аналогичной задачи, но при импульсных режимах теплообмена с внешней средой, что соответствует ступенчатому изменению коэффициента теплоотдачи, получено в [36] на основе идеи расщепления ядра сингулярного интегрального преобразования, которое является обобщением известного интегрального преобразования Фурье.

В работах [23,35] предложен аналитический метод решения задачи теплопроводности для неограниченного тела с цилиндрическим каналом, обладающим теплозащитным покрытием, при изменяющихся во времени условиях теплообмена в изучаемой системе. В основе метода лежит идея расщепления ядра сингулярного интегрального преобразования, являющегося обобщением интегрального преобразования Вебера [9,28,36].

Решению задачи о нахождении температурного поля в неограниченном теле со сферическим очагом разогрева, который может обладать покрытием, посвящены работы [69,70], в которых с помощью полученного авторами сингулярного интегрального преобразования найдена аналитически замкнутая форма представления решения поставленной задачи.

Следует, однако, отметить, что использование исходной «точной модели» для получения аналитического решения задачи о нахождении температурного поля в теле, ограниченном плоскостью или содержащем цилиндрический канал или сферическую полость с покрытием, связано с выполнением большого числа математических преобразований, а получаемые в результате этого решения являются достаточно громоздкими. Один из путей преодоления этих трудностей связан с принятием разного рода допущений, приводящих к замене исходной «точной модели» изучаемого процесса теплопере-носа её упрощёнными аналогами. Использование этих упрощённых аналогов исходной математической модели, допускающих представление решений соответствующих задач нестационарной теплопроводности в аналитически замкнутой форме, позволяет выявить основные особенности изучаемого процесса и провести качественный анализ влияния определяющих параметров. Кроме того, при получении количественных результатов выбор адекватной модели часто помогает существенно сократить вычислительные затраты.

Для упрощения исходной «точной модели» и расчёта покрытий были предложены различные подходы, основанные на учёте малости толщины покрытия в сравнении с толщиной подложки. Один из эффективных подходов такого рода состоит в моделировании влияния тонкостенных элементов конструкций специальными граничными условиями [71-74]. Такой подход существенно упрощает процесс решения задач и базируется на моделировании покрытий тонкими оболочками с соответствующими геометрическими и теп-лофизическими свойствами или принятии гипотез о термической тонкости покрытия [14,37,75,76].

Предположение о том, что покрытие имеет близкое к однородному поле температур, позволяет осуществить переход от исследования тепловых процессов в системе «твёрдое тело — покрытие» к исследованию теплового состояния одного тела со специальным граничным условием, называемым обобщённым [71,77-79]. Такой подход позволяет исключить из рассмотрения покрытие с высокой теплопроводностью и тем самым существенно упростить задачу.

К задачам такого класса можно отнести задачи об определении температурного поля в полуограниченном твёрдом изотропном теле, обладающем покрытием, которое, в силу определённого соотношения теплофизических характеристик материалов, является термически тонким, что позволяет ввести среднеинтегральную по толщине покрытия температуру и реализовать идею «сосредоточенная ёмкость» [75].

Исследованию процесса формирования температурного поля в полупространстве с термически тонким покрытием в случае задания теплообмена по закону Ньютона с внешней средой и наличии идеального контакта посвящена работа [37], где для решения применён метод интегрального преобразования Лапласа, а в случае импульсных режимов теплообмена — в [80,81].

Полезным методом математического моделирования для такого класса задач является построение иерархии математических моделей и определение условий их применимости в зависимости от соотношения теплофизических характеристик и условий теплообмена [14,82]. В [83] предложена иерархия математических моделей, описывающая последовательные упрощения исходной точной математической модели для полупространства с покрытием, и рассмотрены достаточные условия применимости каждой из трёх моделей иерархии: «уточнённой модели сосредоточенной ёмкости», модели «сосредоточенная ёмкость» и усечённой модели «сосредоточенная ёмкость». Модель «сосредоточенная ёмкость» подразумевает равенство среднеинтеграль-ной температуры покрытия и температуры на границе полупространства и позволяет перейти к математической модели, состоящей только из уравнения теплопроводности для полупространства со специальным обобщённым граничным условием, в котором учтено наличие термически тонкого слоя, а в качестве определяющего выступает безразмерный комплекс, связывающий теплофизические характеристики материалов. «Уточнённая модель сосредоточенной ёмкости» учитывает теплообмен по закону Ньютона между слоем и полупространством с неизвестным параметром, который входит в обобщённое граничное условие упрощённой задачи.

В работах [7,84] получено аналитическое решение задачи нестационарной теплопроводности для полупространства с термически тонким покрытием в случае неидеального теплового контакта и тепловыделения на контактной поверхности, в предположении о том, что интенсивность тепловыделения зависит от времени.

В случае неограниченного тела с цилиндрическим каналом, обладающим теплоактивным покрытием (т. е. покрытием, в котором в силу физических или физико-химических процессов происходит объемное тепловыделение), предполагалось, что такие покрытия, в силу определённого соотношения теплофизических характеристик материалов, являются термически тонкими [37], контакт в системе «покрытие — твёрдое тело» является идеальным, а на границе происходит теплообмен по закону Ньютона. Решение задачи в условиях стационарного теплообмена получено в [85,86], а при нестационарных условиях —в [87,88] в предположении, что в задаче присутствует малый положительный параметр, характеризующий теплофизические и геометрические характеристики покрытия и твёрдого тела.

Особое внимание уделяется задаче о формировании температурного поля в твёрдом теле со сферической полостью с термически тонким покрытием, которая связана с исследованиями ударно-волновой чувствительности в энергетических материалах. Её решение ассоциируют с реализацией идеи управляемого воздействия на температурное поле изучаемой системы путём поверхностной флегматизации очага разогрева с применением как химически инертных малопрочных и легкотекучих, так и химически активных добавок. При этом, как правило, формируемое в процессе флегматизации покрытие можно считать термически тонким ввиду малости его толщины [89]. В работе [89] решение поставленной задачи было получено с помощью применения интегрального преобразования Лапласа по временному переменному.

Дальнейшее развитие эта задача получила в работе [90], где была предложена иерархия математических моделей для описания процесса формирования температурного поля в твёрдом теле со сферическим очагом разогрева, при наличии термически тонкого покрытия, принципы построения которой аналогичны [83].

Использование термически тонких слоёв в качестве средства управляемого воздействия на температурное поле конструкции для случая плоской стенки обосновано в [91,92], а для тела со сферическим очагом разогрева и теплоактивным покрытием —в работе [89]. Заметим, что в цитируемой работе [89] особое внимание уделено теплоактивным покрытиям с изменяющейся во времени удельной мощностью теплопоглощения в термически тонком слое, причём «компенсирующее» теплопоглощение в термически тонком покрытии позволяет в течение заданного временного интервала термостатировать поверхность твердого тела.

Следует заметить, что аналитические решения задач об определении температурного поля в системе тел получены, в основном, в предположении идеальности теплового контакта между составляющими изучаемую систему телами. В математической теории теплопроводности [9,10,12] наименее изученными в этом отношении являются неидеально контактные краевые задачи [93]. Трудности решения таких задач связаны с наличием граничного условия специфического вида на контактной поверхности [96-98,105,106], обусловленного, например, зазором [94] или шероховатостью [124,126], а также тепловыделения [95], что приводит к более сложным математическим выкладкам. В настоящее время такие решения получены лишь для частных случаев неидеального теплового контакта [96].

Несмотря на многочисленные исследования и полученные аналитические решения, незакрытым остаётся вопрос об исследовании температурных полей в системах тел, одно из которых, с учётом теплофизических характеристик материалов и параметров процесса теплопереноса, может быть смоделировано полупространством. К таким задачам, в частности, относится задача об определении температурного поля в неограниченном теле с цилиндрическим каналом, заполненным высокотемпературной средой при наличии многослойного покрытия, различных условиях теплового контакта как между покрытием и телом, так и между слоями многослойного покрытия, а также построении упрощённых аналогов исходных математических моделей, позволяющих с достаточной точностью передавать характерные особенности изучаемых процессов.

Цель и задачи исследования. Цель диссертационного исследования состоит в получении аналитических представлений решений класса контактных задач теплопроводности для системы «полуограниченное тело — покрытие» с учётом различных видов контактного теплообмена, а также использовании данных решений для математического моделирования теплопереноса в изучаемых системах.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач:

1. Получение аналитического представления решения смешанной задачи нестационарной теплопроводности для полупространства с покрытием для обобщённого условия неидеального теплового контакта и проверка корректности решения в сравнении с известными частными и предельными случаями.

2. Построение обобщённого интегрального преобразования по пространственному переменному для получения аналитических представлений решений задачи об определении температурного поля в теле с цилиндрическим каналом, обладающим однослойным покрытием, в случае нестационарных условий теплообмена с внешней средой и при наличии неидеального теплового контакта.

4. Построение сингулярного интегрального преобразования для нахождения аналитических представлений решений задачи об определении температурного поля в теле с цилиндрическим каналом при наличии многослойного покрытия и неидеального контакта как между слоями покрытия, так и в системе «покрытие — твёрдое тело».

Предметом исследования являются методы математического моделирования на основе аналитических и численных алгоритмов решения задач, формализуемых начально-краевыми задачами математической физики, а также закономерности изменения температур в изучаемых системах.

Научная новизна. Получено аналитически замкнутое представление решения класса задач нестационарной теплопроводности для системы «слой — полупространство» при условии неидеального теплового контакта Барбера-Протасова.

Разработана иерархия математических моделей для описания процесса формирования температурного поля в теле с цилиндрическим каналом, обладающим теплоактивным покрытием, в условиях теплообмена по закону Ньютона. В аналитически замкнутом виде найдены решения смешанных задач для уравнений в частных производных параболического типа, соответствующих разработанным математическим моделям иерархии, и с их помощью определено множество допустимых значений вектора определяющих параметров рассматриваемой системы.

С помощью построенного сингулярного интегрального преобразования, в аналитически замкнутом виде получено решение класса задач нестационарной теплопроводности для неограниченного тела с цилиндрическим каналом, обладающим многослойным покрытием, в случае неидеального теплового контакта как в системе «покрытие — твёрдое тело», так и между слоями покрытия, при нестационарных условиях теплообмена с внешней средой.

Практическая ценность диссертационной работы связана с её прикладной ориентацией, а полученные результаты могут быть использованы при исследовании и прогнозировании температурного состояния конструкций и узлов и при разработке эффективных методов их теплозащиты: разработка методов нормализации температурного режима глубоких скважин путём применения искусственного охлаждения, например, при бурении с одновременным замораживанием грунта; моделирование теплового состояния стволов скважин при наличии бурильных или обсадных труб при продувке стволов высокотемпературной жидкостью или газом; расчёт теплозащиты стенок энергетических установок путём вдува (прокачки) охладителя (хладагента) в случае экстремально высоких конвективных тепловых нагрузок; моделирование тепловых процессов в трибосистемах, например, тормозных устройствах, где температурный фактор оказывает существенное влияние на механику контактного взаимодействия; проектирование оптимального теплозащитного покрытия как элемента пассивной системы обеспечения теплового режима технических устройств при высокотемпературном воздействии внешней среды.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Аналитически замкнутое представление решение задачи нестационарной теплопроводности для системы «полупространство — покрытие» при условии неидеального теплового контакта Барбера-Протасова.

2. Математическая модель класса задач нестационарной теплопроводности в твёрдом теле с цилиндрическим каналом, обладающим покрытием, при условиях неидеального теплового контакта. Обобщённое интегральное преобразование по пространственному переменному и основанный на нём аналитический метод решения указанного класса задач.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы были представлены в виде докладов на XV-й (Калуга, 2005) и XVI-й (Санкт-Петербург, 2007) Школах-семинарах молодых учёных и специалистов под руководством академика РАН А. И. Леонтьева, Международном симпозиуме «Образование через науку» (Москва, 2005), 4-й Российской национальной конференции по тепло- и массообмену (Москва, 2006), 6-м Международном конгрессе по промышленной и прикладной математике (ICIAM 07, Цюрих, 2007), 6-м Минском международном форуме по тепло- и массообмену (Беларусь, 2008), 17-й Международной конференции по математической физике (ICMP, Прага, 2009), 4-м Международном конгрессе по трибологии (WTC, Киото, 2009).

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликована 21 работа: 1 монография [7]; 12 научных статей [58,84-87,96-102], в том числе 8 статей из Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий; 8 тезисов докладов на конференциях, симпозиумах и форумах [88,103-109].

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, общих выводов и списка литературы. Работа изложена на 115 страницах, содержит 16 иллюстраций и 5 таблиц. Список литературы включает 155 наименования.

Заключение диссертация на тему "Математическое моделирование теплопереноса в системе твердых тел при наличии неидеального теплового контакта"

Общие выводы

По результатам проведённых исследований могут быть сделаны следующие выводы.

1. С помощью метода интегрального преобразования Лапласа получено аналитически замкнутое представление решения класса задач нестационарной теплопроводности для системы «слой — полупространство» при условии неидеального теплового контакта Барбера-Протасова. Показано, что условия Барбера-Протасова обобщают известные условия теплового взаимодействия тел.

4. Тепловая проводимость контакта, которая характеризуется параметром В, существенно влияет на формируемое в системе температурное поле, а увеличение параметра В приводит к росту температуры границы цилиндрического канала, при этом уменьшается величина «скачка» температуры на неидеальном тепловом контакте. Результаты исследований также подтверждают вывод о том, что увеличение коэффициента контактного теплообмена В в системе «тело — покрытие» приводит к повышению «идеальности» теплового контакта.

8. Обобщённое на случай многослойного покрытия сингулярное интегральное преобразование по пространственному переменному может быть использовано для получения точных аналитических решений класса задач нестационарной теплопроводности для твердого тела с каналом, обладающим многослойным покрытием, учитывая различные условия теплового контакта как между слоями покрытия, так и в системе «покрытие —твёрдое тело», а также условия теплообмена с внешней средой, включая нестационарные.

Библиография Беляков, Николай Сергеевич, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Зарубин В. С. Температурные поля в конструкции летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1978. 184 с.

2. Полежаев Ю. В., Юревич Ф. Б. Тепловая защита. М.: Энергия, 1976. 392 с.

3. Драпкин Б. М., Кононенко В. К., Безъязычный В. Ф. Свойства сплавов в экстремальном состоянии. М.: Машиностроение, 2004. 256 с.

4. Кутаев И. М. Термическая характеристика скважин в районах много-летнемёрзлых пород. М.: Недра, 1976. 120 с.

5. Николаев С. А., Николаева Н. Г., Саламатин А. Н. Теплофизика горных пород. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1987. 152 с.

6. Носко A. JI. Разработка методики расчета нагрева дисково-колодочных тормозов подъемно-транспортных машин с учетом термического сопротивления контакта: Дис. . .канд. техн. наук. М., 1985. 199 с.

7. Беляков Н. С., Носоко А. П. Неидеальный тепловой контакт тел при трении. М.: Книжный дом Либроком, 2010. 104 с.

8. Балакин В. А. Трение и износ при высоких скоростях скольжения. М.: Машиностроение, 1980. 134 с.

9. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. 448 с.

10. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: Высш. шк., 1967. 600 с.

11. Галицын А. С., Жуковский А. Н. Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности. Киев: Наук, думка, 1976. 284 с.

12. Карташов Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 2001. 550 с.

13. Н. D. Baehr, К. Stephan. Heat and Mass Transfer. Springer, 2008. 690 p.

14. Зарубин В. С. Математическое моделирование в технике. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1996. 228 с.

15. Карташов Э. М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами // Изв. РАН. Энергетика. 1999. № 5. С. 3-34.

16. Зарубин В. С. Расчёт и оптимизация термоизоляции. М.: Энергоатомиздат, 1991. 192 с.

17. Карташов Э. М. Об одном классе интегральных преобразований для обобщённого уравнения нестационарной теплопроводности // Инженерно-физический журнал. 2008. Т. 81, № 1. С. 123-130.

18. Аттетков А. В., Волков И. К. Математическое моделирование процессов теплопереноса в импульсных режимах теплообмена с внешней средой // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Машиностроение. 1999. № 4. С. 310.

19. Аттетков А. В., Волков И. К. Фрикционный разогрев материала движущимся тепловым источником // Химическая физика. 1998. Т. 17, № 1. С. 120-127.

20. Аттетков А. В., Волков И. К. Решение одного класса одномерных задач фрикционного разогрева методом расщепления смешанного интегрального преобразования Фурье // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Машиностроение. 1999. № 2. С. 44-50.

21. Пинскер В. А. Аналитическое решение нестационарного уравнения теплопроводности в пространстве, содержащем бесконечную круговую цилиндрическую полость с движущимся в ней источником тепла // Докл. РАН. 2000. Т. 372, № 5. С. 604-607.

22. Аттетков А. В., Волков И. К. Формирование температурных полей в области, ограниченной изнутри цилиндрической полостью // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Машиностроение. 1999. № 1. С. 49-56.

23. Пинскер В. А. Нестационарное температурное поле в полуограниченном теле, нагреваемом круговым поверхностным источником тепла // Теплофизика высоких температур. 2006. Т. 44, № 1. С. 127-135.

24. Волков И. К., Канатников А. Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1996. 228 с.

25. Battig A., Kalla S. L. Weber transform in a thermal conduction problem. Revista Brasileira de Fisica, Vol. 13, No. 4, 1983, 753-756.

26. Пудовкин M. А., Чугунов В. А., Саламатин A. H. Задачи теплообмена в приложении к теории бурения скважин. Казань, Ид-во Каз. ун-та, 1977. 184 с.

27. Battig А., М. А. V. De Luccioni. Heat flux equation applied to thermal conduction problem. Revista Brasiliera de Fisica, Vol. 14, No 1, 1984. 364370.

28. Fadhel Al-Musallam, Vu Kim Tuan. A modified and a finite index Weber transforms. Journal for Analysis and its Applications. Vol. 21 (2002), No. 2, 315-334.

29. Аттетков А. В., Волков И. К. Температурное поле области со сферическим очагом разогрева // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Естественные науки. 2001. № 1. С. 42-50.

30. Карташов Э. М., Нечаев В. М., Бартенев Г. М. Термоупругая реакция бесконечной среды со сферической нагреваемой полостью // Физика и химия обработки материалов. 1981. № 2. С. 26-35.

31. Аттетков А. В., Волков И. К. Аналитический метод решения задачинестационарной теплопроводности для тела с двухслойным цилиндрическим каналом // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Машиностроение. 2001. № 1. С. 3-14.

32. Аттетков А. В., Волков И. К. Аналитический метод решения задач теплопроводности для полупространства с покрытием в нестационарных условиях теплообмена с внешней средой // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Машиностроение. 2000. № 1. С. 18-28.

33. Аттетков А. В., Власова Л. Н., Волков И. К., Загоруйко Е. А. Формирование температурных полей в области, содержащей тонкостенное покрытие // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Машиностроение. 1999. № 2. С. 3-10.

34. Кудинов В. А. Аналитические методы решения краевых задач для многослойных конструкций (Обзор) // Изв. РАН. Энергетика. 1999. № 5. С. 86-106.

35. Рыкалин Н. Н., Углов А. А., Кокора А. Н. Лазерная обработка материалов. М.: Машиностроение, 1975. 296 с.

36. Воробьёв В. В. Расчёт температуры двухслойной стенки отсека конструкции при изменяющихся во времени условиях теплообмена // Прикладная механика. 1965. Т. 1, Вып. 7. С. 14-20.

37. Киселев К. А., Захаров П. А., Пушинкова П. А. Применение метода тепловых потенциалов к решению нестационарных задач теплопроводности для двухслойного полупространства // Инженерно-физический журнал. 1977. Т. 38, № 1. С. 613.

38. Сидляр М. М. Нестационарное температурное поле бесконечного цилиндра при переменном коэффициенте теплоотдачи // Прикладная механика. 1965. Т. 1, Вып. 7. С. 11-13.

39. Иванов В. В., Саломатов В. В. К расчёту температурного поля в твёрдых телах при переменном коэффициенте теплообмена // Инженерно-физический журнал. 1965. Т. 9, № 1. С. 83-85.

40. Иванов В. В., Саломатов В. В. Нестационарное температурное поле в твёрдых телах при переменном коэффициенте теплообмена // Инженерно-физический журнал. 1966. Т. И, № 2. С. 266-268.

41. Видин В. Ю. Исследование теплопроводности твёрдых тел при переменных граничных условиях // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1967. № 4. С. 132-134.

42. Саломатов В. В., Гончаров Э. И. Температурный режим тепловыделяющих элементов при переменных значениях коэффициента теплообмена и температуры внешней среды // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1967. № 4. С. 99-103.

43. Саломатов В. В. Высокотемпературный разогрев элементов конструкций с пассивным теплозащитным покрытием // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1970. № 3. С. 165-170.

44. Термоупругость тел при переменных коэффициентах теплоотдачи / Я. С. Подстригач, Ю. М. Коляно, В. И. Громовик и др. Киев : На-укова думка, 1977. 158 с.

45. Аттетков А. В., Власов П. А., Волков И. К. Температурное поле полупространства с термически тонким покрытием в импульсных режимах теплообмена с внешней средой // Инженерно-физический журнал. 2001. Т. 74, № 3. С. 81-86.

46. Видин Ю. В. Расчёт теплопроводности твёрдых тел при переменных коэффициентах теплоотдачи // Тепломассообмен ММФ—2000 : Труды IV Минского международного форума. Минск, 2000. Т. 3. С. 386-388.

47. Радугин А. В., Столин А. М., Власов В. А. О критических условиях тепловой неустойчивости при электронагреве керамики // Теплофизика высоких температур. 1990. Т. 28, № 4. С. 722-727.

48. Димитриенко Ю. И. Механика композиционных материалов при высоких температурах. М. : Машиностроение, 1997. 368 с.

49. Аттетков А. В., Волков И. К. Математическое моделирование процессов теплопереноса в области с движущейся границей в условиях нестационарного теплообмена с внешней средой // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Естественные науки. 1999. № 1. С. 37-45.

50. Аттетков А. В., Власов П. А., Волков И. К. Влияние подвижности границы на температурное поле полупространства в нестационарных условияхтеплообмена с внешней средой // Инженерно-физический журнал. 2002. Т. 75, № 6. С. 172-178.

51. Формалев В. Ф. Анализ двумерных температурных полей в анизотропных телах с учётом подвижных границ и большой степени анизотропии // Теплофизика высоких температур. 1990. Т. 28, № 4. С. 715-721.

52. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. 512 с.

53. Аттетков А. В., Волков И. К., Пилявский С. С. Температурное поле твёрдого тела, содержащего сферический очаг разогрева с равномерно движущейся границей // Инженерно-физический журнал. 2009. Т. 82, № 2. С. 371-378.

54. Андрианов В. Н. Основы радиационного и сложного теплообмена. М.: Энергия, 1972. 463 с.

55. Иванов В. В., Видин Ю. В., Колесник В. А. Процессы прогрева многослойных тел лучисто-конвективным теплом. Ростов-на-Дону : Изд-во Рост, ун-та, 1990. 160 с.

56. Панкратов Б. М., Полежаев Ю. В., Рудько А. К. Взаимодействие материалов с газовыми потоками. М.: Машиностроение, 1976. 224 с.

57. Харламов А. Г. Теплопроводность высокотемпературных изоляторов. М.: Атомиздат, 1980. 100 с.

58. Кац С. М. Высокотемпературные изоляционные материалы. М.: Металлургия, 1981. 232 с.

59. Дульнев Г. Н., Заричняк Ю. П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. Л. : Энергия, 1974. 264 с.

60. Дульнев Г. Н., Новиков В. В. процессы переноса в неоднородных средах. Л. : Энергоатомиздат, 1991. 248 с.

61. Аттетков А. В., Власов П. А., Волков И. К. Формирование температурных полей в полупространстве с теплозащитным покрытием (обзор) // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Машиностроение. 2000. № 3. С. 4354.

62. Аттетков А. В., Волков И. К., Пилявский С. С. Математическое моделирование температурного поля в твёрдом теле со сферическим очагом разогрева, обладающим покрытием // Всероссийская конференция по математике и механике: тез. докл. Томск, 2008.

63. Аттетков А. В., Волков И. К., Пилявский С. С. Температурное поле изотропного твёрдого тела со сферическим очагом разогрева, обладающим покрытием // Известия РАН. Энергетика. 2010. № 3. С. 92-98.

64. Shevchuk V. A. Calculation of thermal state of bodies with multilayer coatings // Lecture Notes in Computer Sciences, 2002, Vol. 2330, p. 500-509.

65. Шевчук В. А. Моделирование и расчет теплопереноса в системе тело-многослойное покрытие // Материалы 5-го Международного форума по тепломассобмену. Минск, 2004. № 3-36.

66. Шевчук В. А. Расчет напряженного состояния тел с многослойными тонкими покрытиями // Проблемы прочности. 2000. № 1. С. 136-150

67. Shevchuk V. A. Approximate calculation of thermal stresses in solids with thin multilayer coatings // Proceedings of the Fifth World Congress on Computational Mechanics. Vienna, 2002.

68. Пудовкин M. А., Волков И. К. Краевые задачи математической теории теплопроводности в приложении к расчетам температурных полей в нефтяных пластах при заводнении. Казань : Изд-во Каз. ун-та, 1978. 188 с.

69. Зарубин. В. С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомиздат, 1983. 328 с.

70. Комаров Г. М. Умови спряжения через терм1чно тонкий шар в задачах теплопровщност1 // Допов^ НАН Укранш. 1996. № 7. С. 26-32.

71. Подстригач Я. С., Шевчук П. Р. Температурные поля и напряжения в телах с тонкими покрытиями // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1967. Т. 7. С. 227-233.

72. Al-Nimr М. A., Alkam М. К. A Generalized Thermal Boundary Condition // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1997. V. 33. No. 1-2. P. 157-161.

73. Аттетков А. В., Власов П. А., Волков И. К. Температурное поле полупространства с термически тонким покрытием в импульсных режимах теплообмена с внешней средой // Инженерно-физический журнал. 2001. Т. 74, № 3. С. 81-86.

74. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. М.: Физматлит, 2001. 320 с.

75. Власов П. А. Математическое моделирование процессов формирования температурного поля в экранированном полупространстве : Дис. . .канд. физ.-мат. наук : 05.13.18. М., 2003. 152 с.

76. Носко А. Л., Беляков Н. С., Носко А. П. Применение обобщённого граничного условия для решения тепловых задач трения // Трение и износ. 2009. Т. 30, № 6. С. 615-625.

77. Аттетков А. В., Беляков Н. С. Температурное поле неограниченного твёрдого тела, содержащего цилиндрический канал с термически тонким покрытием его поверхности // Теплофизика высоких температур. 2005. Т. 43, № 6. С. 135-140.

78. Belyakov N. Temperature field of solid body, incorporating cylindrical channel with thermally-thin layer under pulse modes of heat exchange with environment // Proc. ICIAM 07. Zurich, 2007. P. 663.

79. Аттетков А. В. Теплоактивное покрытие как средство управляемого воздействия на температурное поле неограниченного твёрдого тела со сферическим очагом разогрева // Инженерно-физический журнал. 2006. Т. 79, № 3. С. 12-19.

80. Аттетков А. В., Волков И. К., Тверская Е. С. Термоактивная прокладка как средство управляемого воздействия на температурное поле конструкции // Известия РАН. Энергетика. 2002. № 4. С. 131-141.

81. Аттетков А. В., Волков И. К., Тверская Е. С. Математическое моделирование процесса теплопереноса в экранированной стенке при осесим-метричном тепловом воздействии // Известия РАН. Энергетика. 2003. № 5. С. 75-88.

82. Сазонов В. С. Неидеально-контактная задача нестационарной теплопроводности для двух полупространств // Инженерно-физический журнал. 2008. Т. 81, № 2. С. 373-383.

83. Микулин Е. И. Температурное поле двух твёрдых тел, разделённых зазором // Инженерно-физический журнал. 1961. Т. IV, № 2. С. 52-57.

84. Berry G. A., Barber J. R. Division of Frictional Heat: Guide to the Nature of Sliding Contact // ASME Journal of Tribology. 1984. V. 106. P. 405-415.

85. Беляков H. С., Носко А. П. Математическое моделирование тепловых процессов трения при неидеальном контакте // Теплофизика высоких температур. 2009. Т. 47, № 1. С. 129-136.

86. Беляков Н. С., Носко А. П. Термоупругая задача трения плоскопараллельных слоев с учетом нестационарности тепловых процессов // Трение и износ. 2010. Т. 31, № 5. С. 615-625.

87. Belyakov N., Nosko A. Heat frictional contact of semi-bounded solids

88. MOTROL 2008. Lublin, 2008. Vol. 10 A. P. 83-91.

89. Аттетков А. В., Беляков H. С. Температурное поле неограниченного твёрдого тела с теплоактивным термически тонким стержневым элементом // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Машиностроение. 2005. № 1. С. 24-31.

90. Аттетков А. В., Беляков Н. С. Температурное поле твёрдого тела с цилиндрическим каналом при наличии многослойного покрытия на его поверхности // Труды IV Российской национальной конференции по теплообмену. М., 2006. Т. 7. С. 153-155.

91. Belyakov N. Singular integral transforms for heat transfer problems in semiinfinite solids with coatings. J Heat Mass Transfer, 2010, Vol. 46, N 3. 355364.

92. Аттетков А. В., Беляков H. С. Математическое моделирование температурного поля в твёрдом теле с цилиндрическим каналом, обладающим теплопоглощающим покрытием // Образование через науку : тез. докл. международной конференции. М., 2005. С. 582-583.

93. Belyakov N. Singular Integral Transform for Semi-space with Multi-Layer Coating. Proceedings of 16th ICMP. Prague, 2009. P. 54.

94. Беляков H. С., Носко А. П. Математическое моделирование тепловых процессов при неидеальном фрикционном контакте //VI Минский международный форум по тепло- и массообмену. Минск, 2008. Т. 1. С. 252253.

95. Belyakov N., Nosko A. Generalized Boundary Condition Approach in Heat Transfer Frictional Problems // Proc. World Tribology Congress 2009. Kyoto, 2009. P. 206.

96. Беляков Н. С. Формирование температурного поля в твердом теле с цилиндрическим каналом, обладающим теплопоглощающим покрытием // Актуальные проблемы фундаментальных наук : Сб. трудов. М., 2008. С. 41-42.

97. Беляков Н. С. Контактные условия для описания тепловых процессов трения // Актуальные проблемы фундаментальных наук : Сб. трудов. М., 2009. С. 4-8.

98. Крагельский И. В. Трение и износ. М.: Машиностроение, 1968. 480 с.

99. The Development and Use of Thin Film Thermocouples for Contact Temperature Measurement / X. Tian et al. // Tribology Transactions. 1992. V. 35, No. 3. P. 491-499.

100. Носко A. JI., Ромашко A. M., Кожемякина В. Д. Исследование температуры поверхности трения пары металл — ФАПМ термопарами различных типов // Трение и износ. 1982. Т. 3, № 6. С. 1086-1093.

101. ИЗ. Богданович П. Н., Ткачук Д. В., Белов В. М. Методы регистрации температуры при трении и механической обработке твёрдых тел // Трение и износ. 2006. Т. 27, № 4. С. 444-456.

102. Носко А. П. Метод расчёта температур в области контакта элементов пар трения тормозных устройств подъёемно-транспортных машин : Дис. . .канд. техн. наук. М., 2011. 135 с.

103. Грилщький Д. В. Термопружш контактш задач1 в триболоиУ. К.: I3MH, 1996. 204 с.

104. Протасов Б. В., Крагельский И. В. О генерации тепла при внешнем трении // Трение и износ. 1981. Т. 2, № 1. С. 5-11.

105. Ling F. F. A quasi-iterative method for computing interface temperature distribution // Z. angew. Math, und Phys. 1959. 10. N. 5. P. 461.

106. Балакин В. А., Сергиенко В. П., Лысенюк Ю. В. Теплофизические процессы в зоне фрикционного контакта // Трение и износ. 2001. Т. 22. № 1. С. 5-9.

107. Мышкин Н. К., Петроковец М. И. Трение, смазка, износ. Физические основы и технические приложения трибологии. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 368 с.

108. Blok Н. Theoretical Study of Temperature Rise at Surfaces of Actual Contact under Oilness Lubricating Conditions // Proc. Inst. Mech. Eng. London. 1937. V. 2. P. 222-235.

109. Щедров В. С. Температура на скользящем контакте. В. сб.: Трение и износ в машинах. Вып. X., Изд-во АН СССР, 1955. С. 155-296.

110. Протасов Б. В., Рамзаев А. П. О электрическом моделировании распределения тепловых потоков при внешнем трении // Машиноведение. 1973. № 5. С. 82-85.

111. Миллер В. С. Контактный теплообмен в элементах высокотемпературных машин. К.: Наукова думка, 1966. 164 с.

112. Шлыков Ю. П., Ганин Е. А. Контактный теплообмен. М. -JI. : Госэнер-гоиздат, 1963. 144 с.

113. Шлыков Ю. П., Ганин Е. А., Царевский С. Н. Контактное термическое сопротивление. М.: Энергия, 1977. 328 с.

114. Barber J. R. The conduction of heat from sliding solids // Int. J. Heat Mass Transfer. 1970. Vol. 13. Pp. 857-869.

115. Подстригач Я. С. Температурное поле в системе твердых тел, сопряженных с помощью тонкого промежуточного слоя // ИФЖ. 1963. Т. 6. № 10. С. 129-136.

116. Беляев Н. М., Владимиров С. А. Расчёт нестационарных температурных полей п-слойной цилиндрической стенки при граничных условиях третьего рода // Гидромеханика и теория упругости. Харьков : Изд-во Харьковского гос. ун-та. Вып. 6, 1967. С. 59-63.

117. Горелик А. Г. Теплопроводность полого цилиндра при граничном условии 4-го рода на внешней поверхности // Инженерно-физический журнал. 1968. Т. XIV, № 5. С. 840-844.

118. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

119. Antimirov M.Ya., Kolyshkin А.А., Vaillancourt R. Applied Integral Transforms. AMS, 1993. Vol. 2. 266 p.

120. Debnath L., Bhatta D. Integral transforms and their applications. CRC1. Press, 2007. 700 p.

121. Cotta R. M. Integral Transforms in Computational Heat and Fluid Flow. CRC Press, 1993. 340 p.

122. Davies B. Integral Transforms and Their Applications. Springer, 2002. 374 p.

123. Andrews L. C., Shivamoggi B.K. Integral Transforms for Engineers. SPIE Press Monograph, 1988. Vol. PM66. 356 p.

124. Титчмарш Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 1. / Пер. с англ. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1960. 280 с.

125. Кошляков Н. С., Глинер Э. В., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. 712 с.

126. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. Гос. изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1954. 352 с.

127. Юшков П. П. Функции Бесселя и их приложения к задачам об охлаждении цилиндра. Минск : Изд-во АН БССР, 1962. 172 с.

128. Свириденюк А. И., Чижик С. А., Петроковец М. И. Механика дискретного фрикционного контакта. М. : Наука и техника, 1990. 272 с.

129. Меснянкин С. Ю. Контактная теплопроводность и пути её увеличения // Тепломассообмен ММФ—2000 : Труды IV Минского международного форума. Минск, 2000. Т. 3. С. 363-366.

130. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1984. 344 с.

131. Энергетические конденсированные системы. Краткий энциклопедический словарь. М.: Янус-К, 1999. 596 с.

132. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.

133. Диткин В. А., Прудников А. В. Справочник по операционному исчислению. М.: Высш. шк., 1965. 468 с.

134. Трантер К. Дж. Интегральные преобразования в математической физике / Пер. с англ. М.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1956. 204 с.

135. Карслоу Г., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике / Пер. с англ. М.: Гос. изд-во иностр. лит-ры, 1948. 294 с.

136. Fundemanetals of Heat and Mass Transfer / Frank P. Incropera et al., 6thed. Wiley, 2007. 998 p.

137. Полимеры в узлах трения машин и приборов : Справочник / А. В. Чи-чинадзе, A. JI. Левин, М. М. Бородулин, Е. В. Зиновьев ; Под общ. ред. А. В. Чичинадзе 2-е изд., перераб. и доп. М.: Машиностроение, 1988. 328 с.

138. Jaeger J. С. Moving Sources of Heat and the Temperature at Sliding Surfaces // Proc. Roy. Soc. NSW. 1942. V. 76. P. 203-224.

139. Hasselgruber H. Der Schaltvorgan einer Trockenreibungs Kuplungs bei kleinster Erwärmung // Konstruktion. 1963. H. 2. S. 1.

140. Чичинадзе А. В. Определение средней температуры поверхности трения при кратковременном торможении // Трение твёрдых тел. М.: Наука, 1964. С. 85-99.

141. Самарский А. А. Теория разностных схем. 3-е изд. М.: Наука, 1989. 616 с.

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00