автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование эволюции температурных полей в многослойных цилиндрических оболочках с нелинейными теплофизическими свойствами

На правах рукописи

Чигирёва Ольга Юрьевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭВОЛЮЦИИ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ В МНОГОСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ

Специальность 05.13.18- Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете имени Н.Э. Баумана

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Малов Ю.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Шахов Е.М.

кандидат физико-математических наук, доцент Янин А.В.

Ведущая организация- факультет Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Защита диссертации состоится 2006 года

в часов Г^мин. на заседании диссертационного совета

Д 212.141.15 при Московском государственном техническом университете имени Н.Э. Баумана по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

Отзыв на реферат в двух экземплярах, заверенный печатью организации, просим высылать по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, МГТУ им. Н.Э. Баумана, ученому секретарю совета Д 212.141.15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Автореферат разослан « /3 » г "-С(2 с 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, у

доктор физико-математических наук, профессо^,^-^^^Волков И.К.

ЯООбД

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При исследовании процессов теплопереноса в многослойных конструкциях важное место занимают задачи, учитывающие зависимость теплофизических параметров от температуры Известные методы решения таких задач в линейной постановке в этом случае не применимы Поэтому актуальной является разработка методов решения нелинейных прикладных задач нестационарной теплопроводности.

Одной из таких задач является процесс теплопереноса в многослойном пакете, поверхность которого подвержена высокоинтенсивному воздействию с учетом уноса массы теплозащитного покрытия. Данная задача принадлежат к классу краевых задач с подвижной границей, когда скорость разрушения нагреваемой поверхности зависит от ее температуры и определяется при решении задачи Обычно в задачах теплопереноса в многослойных средах соприкасающиеся поверхности полагаются идеальными тепловыми контактами. Определенный интерес представляет учет термического сопротивления. В этом случае нарушаются условия равенства температур на контактирующих поверхностях слоев

Практический интерес представляет исследование процесса воздействия на поверхность многослойной конструкции интенсивными локальными тепловыми потоками, в результате чего вблизи зоны теплового контакта происходит быстрое возрастание температуры Особо следует выделить случаи движущегося и импульсно-периодического локальных источников теплоты Интерес к этим исследованиям объясняется практическими приложениями процесса разогрева металлических материалов при лазерной и электронно-лучевой обработке материалов (термоупрочнении).

Актуальным представляется исследование нестационарных режимов теплопереноса в активных средах при наличии источников выделения теплоты, интенсивность тепловыделения которых не может быть компенсирована отводом теплоты во внешнюю среду. Прогрессирующий рост температуры в среде наступает при определенных значениях параметров задачи, называемых критическими Знание критических параметров задачи, как геометрических так и трпттфнчч^.^ находим« для

ГУ(Н.. ¡¡ЛЦЙОНЛЛЬЖЯ

БИБЛИОТЕКА С.-Петербург 1

ОЭ 200 бкт 37-5

выбора таких их значений, которые позволяют удерживать процесс тепловыделения в стационарном режиме

Целью работы является обоснование метода приближенного аналитического решения нелинейных краевых задач нестационарной теплопроводности и применение его для решения прикладных задач тепло-массопереноса.

Методы исследования. При работе над диссертацией были использованы следующие разделы математики' методы сведения нелинейных начально-краевых задач к краевым задачам для уравнений эллиптического типа с переменными коэффициентами (метод Роте), чеория рядов Фурье; сведение краевых задач к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений; методы решения бесконечных систем линейных алгебраических уравнений; методы численного гармонического анализа; численные методы линейной алгебры.

Научная новизна. Предложен приближенный аналитический метод решения краевых задач нестационарной теплопроводности в нелинейной постановке. Разработаны алгоритмы и комплексы программ расчета температурных полей в прикладных задачах теплопсреноса для многослойных тел цилиндрической формы

Достоверность результатов гарантируется использованием корректных математических моделей рассматриваемых процессов теплопе-реноса, строгостью математических выкладок, обоснованием сходимости алгоритмов приближенных расчетов и точности вычислений

Практическая и теоретическая ценность диссертационной работы состоит в возможности использования предложенного метода и разработанного комплекса программ для решения прикладных задач

1. нахождение оптимальных значений параметров тепловой защиты многослойных конструкций, подверженных высокотемпературному нагреву, приводящему к эффекту абляции поверхностного теплозащитного покрытия;

2. нахождение зоны локального поверхностного прогрева металла импульсным и импульсно-периодическим локальными источниками теплоты;

3 определение критических параметров процесса тепловыделения в активных средах для нахождения диапазона изменения геометрических

и теплофизических параметров, при которых существует установившееся температурное поле тепловыделяющего элемента

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Метод приближенного аналитического решения нелинейных краевых задач нестационарной теплопроводности в многослойных телах цилиндрической формы.

2. Разработанные на основе предложенного метода алгоритм нахождения оптимальной толщины слоя термоизоляции в многослойном цилиндрическом пакете при нагреве его газовым потоком, приводящем к уносу массы с поверхности, и алгоритм нахождения параметров задачи, определяющих размеры зоны термического влияния и свойства упрочненной поверхности в процессе разогрева двухслойного цилиндра лазерным излучением в случаях сканирующего и импульсно-периодического локальных тепловых источников.

3. Расчет критических значений геометрических и теплофизических параметров процесса теплопереноса в активных средах, когда интенсивное тепловыделение в среде не может быть компенсировано тепловыми потоками через поверхность; нахождение значений параметров задачи, позволяющих удерживать процесс тепловыделения в стационарном режиме.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на 2-й Всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике " (Москва, 2003), 3-й Всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике" (Москва, 2005), Международном Симпозиуме "Образование через науку" (Москва, 2005).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в шести научных статьях [1, 3 6, 9] и четырех тезисах докладов на конференциях [2, 7, 8, 10].

Личный вклал соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Диссертация из-

ложена на 143 страницах, содержит 62 иллюстрации и 11 таблиц Библиография включает 84 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, основные положения, выносимые на защиту, приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы.

В первой главе в разделах 1.1 и 1.2 проведено обоснование приближенного аналитического метода решения нелинейных краевых задач нестационарной теплопроводности, основанного на идее метода Роте и учитывающего специфику некоторых типов прикладных задач теплопе-репоса. Суть метода состоит в следующем. На первом этапе в результате дискретизации временной переменной с учетом вычисленных на предыдущем временном шаге теплофизических параметров, зависящих 01 температуры, и нелинейных граничных условий приходим к дифференциально-разностному аналогу исходной задачи в виде итерационной схемы решения краевых задач для эллиптических уравнений с переменными коэффициентами и граничными условиями второго рода. Решения этих задач находятся в форме разложений в тригонометрические ряды Фурье по полной ортогональной системе функций. Коэффициенты этих разложений удовлетворяют бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, для решения которых обосновано применение метода редукции (усечении бесконечной системы). Это позволяет на каждом временном шаге приближенное решение исходной задачи представить в виде тригонометрического многочлена Фурье с коэффициентами, найденными из решения конечной системы линейных алгебраических уравнений с симметрической положительно определенной матрицей.

На основе предложенного метода разработаны алгоритмы и комплексы программ расчета температурных полей, которые используются при решении прикладных задач тепломассопереноса, рассмотренных в диссертационной работе.

В разделе 1.3 рассматривается нестационарный процесс теплопроводности в цилиндрическом пакете, состоящем из двух металлических 4

оболочек, разделенных слоем термоизоляции На внешнюю металлическую спгенку пакета нанесен слой теплозащитного покрытия (ТЗП), поверхность которого подвержена интенсивному тепловому воздействию, приводящему к разрушению ТЗП и уносу массы с его поверхности На внутренней поверхности цилиндрического пакета происходит конвективный теплообмен с внешней средой.

Целью исследования является отыскание оптимальной толщины слоя термоизоляции, те такого ее минимального значения, которое обеспечивает нагрев внутренней граничной поверхности пакета до температуры, не превосходящей заданного предельного значения в конце процесса разогрева, когда толщина неразрушенной части ТЗП составляет приблизительно 10% от первоначальной.

Данная постановка задачи приводит к следующей математической модели:

1 д ( . Г/

рМЪ)

д1

ТХг,0)=Та, Г^<Г<Г/^ = \,3; 7;(г,0)=Г0, г3<г</0;

О Г Г — Гл

г = 10)

Ж)

д Т,

дг

г = г,

г=г' _ 0<1й1„ J = l,3;

где ) - номер слоя цилиндрического пакета; /¡, и /¡3 - толщины металлических оболочек; И2 - толщина слоя термоизоляции; /г4(7) - толщина ТЗП; гй - радиус внутренней граничной поверхности пакета; Я - тепловой эффект процесса разрушения; - термическое сопротивление поверхности соприкосновения слоев ] -го и (у + 1)-го, у = 1,3; /(г) - положение фронта разрушения ТЗП, определяемое соотношением

/(*) = /„ "Й^, Т„{1)=Щф), /в = г, + 2>,+Л4(0);

о

- скорость разрушения ТЗП, равная у(Ги,) = у0ехр{-£,/Г„), здесь Е - величина, определяемая энергией активации процесса разрушения, - коэффициент пропорциональности.

Проведены численные расчеты температурного поля в осевом сечении цилиндрического пакета в различные моменты времени, а так же скорости разрушения теплозащитного материала. Определена минимальная толщина И2 = й* слоя термоизоляции, обеспечивающая поддержание температуры внутренней поверхности цилиндрического пакета в заданных пределах в конце процесса разогрева. Результаты расчетов частично представлены на рис. 1.

т,к 1200

1000

800

600

400

и, х =

Ь- 4(1.) з

Рис. I. Распределение температуры в осевом сечении многослойного пакета в конце процесса разогрева (/, = 95с)' га = 0,7 м,

А, =0,8 мм, А3 = 1,2мм, А,(/.) = 4мм, = 8,5 мм

Вторая глава посвящена решению задач о воздействии на поверхности конструкций интенсивными тепловыми потоками Такие задачи связаны с практическим приложением процесса разогрева металлических материалов при лазерном поверхностном термоупрочнении.

В разделе 2.1 рассматривается нестационарный процесс теплопроводности в полом металлическом цилиндре, на внешнюю поверхность которого нанесено тонкое поглощающее покрытие. Разогрев цилиндра осуществляется сосредоточенным кольцевым источником теплоты, со-

вершающим с постоянной скоростью периодическое возвратно-поступательное движение (сканирование) по внешней боковой поверхности цилиндра

Математическая модель такого процесса имеет вид:

г>0, г]_,<г<г1=г1.1 0<кИ, у = 1,2;

Г,(г,г,0)=Т„ г^<Г<Г1, г = гп

дг

г_=Я.д{2- 2.(0) + <*АТС - Тг(гг,2$) +

2

+ СТ£ (тс4 - т*(г2 , I > 0, 0 < г < И;

дТ,

дг

2 = 0

= 0,

дТ; ~дг

г = А

= 0, г>0, г^<г<гп У = 1,2;

Л

дг

д'Г^ дг

, Г>0,

Здесь индекс ]соответствует полому металлическому цилиндру, 7=2- цилиндрической оболочке покрытия; г0 - внутренний радиус полого металлического цилиндра; с?, и с12 толщины полого металлического цилиндра и цилиндрической оболочки покрытия соответственно; Я - термическое сопротивление контактной поверхности; Т„-(г,*)= ГД/^.г.г); 8{г) - дельта-функция, г.(г) - закон движения сосредоточенного кольцевого источника теплоты

где Г, = й., =(/г-2/)/И., - время одного шага сканирования, V, -скорость движения источника теплоты; г - номер шага сканирования, Ъ -высота цилиндра, 1<Н!2.

Целью исследований является определение параметров задачи q, и К, характеризующих интенсивность теплового воздействия, при которых в поверхностном слое полого металлического цилиндра максималь-

ная температура в зоне действия теплового контакта достигает предельного значения Тп, не превышающего температуру плавления металла за промежуток времени трех шагов сканирования

При этих значениях д. и V. найдено распределение температуры на внешней поверхности полого металлического цилиндра в различные моменты времени (рис. 2), а так же эволюция температуры в фиксированных точках поверхности металлического слоя (рис. 3). На рис. 4 приведено поле изотерм в осевом сечении цилиндра на третьем шаге сканирования.

Рис. 2. Распределение температуры Рис. 3. Зависимость от времени

Тщ (г, /) в моменты времени температуры Т^ (г,/)

1 = 40с,2- 1 = 50с, при г-(/ + А/2)/2 3-1 = 60 с

Рис. 4. Поле ичотерм в осевом сечении металлического цилиндра в конце третьего шага сканирования

В разделе 2.2 рассмотрен случай, когда локальный кольцевой источник теплоты совершает импульсно-периодическое движение по боковой поверхности двухслойного цилиндра по закону

где /. — продолжительность одного импульса, I — число импульсных шагов, / — ширина теплового контакта, /? — безразмерный параметр. При 0 < Р < 1 каждый последующий импульс частично перекрывает пятно нагрева.

Вне зоны теплового контакта происходит теплоотвод во внешнюю среду по закону Ньютона с коэффициентом теплоотдачи а, а также за счет лучистого теплообмена. Контактная поверхность между металлическим цилиндром и теплозащитным покрытием обладает термическим сопротивлением К (неидеальный тепловой контакт).

Целью исследований является определение зоны локального прогрева металлического цилиндра до предельной температуры Тп в зависимости от значений параметров q и /?, определяющих интенсивность воздействия теплового источника.

Как следует из расчетов, ширина зоны локального прогрева до температуры порядка 1200-И 600 К не превышает величины, равной 0,71 (рис. 5).

^) = (/-1)уЗ/, (гI -1,2,...,/,

«о

40

20 ■ 660

°0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Г.мн

Рис. 5. Поле изотерм в осевом сечении металлического цилиндра в конце процесса движения теплового контакта

В разделе 2.3 рассмотрен процесс формирования температурных волн в составном цилиндре в результате воздействия локальным им-пульсно-периодическим источником теплоты на теплозащитное покрытие толщины 8, нанесенное на торцевую поверхность цилиндра высоты к Во внешнюю среду с этой нагреваемой поверхности происходит теп-лоотвод с коэффициентом теплоотдачи а^ а так же за счет лучистого теплообмена Противоположное основание составного цилиндра охлаждается внешней средой, при этом интенсивность охлаждения характеризуется коэффициентом теплоотдачи а2.

Математическая модель процесса имеет вид:

Г>0, 0<г<г0, 0<г<8\

?>0, 0<г<г0, 8<г<8 + И',

г1[(г,2<д)=Тс, 0 ¿г<£г0, 0 <г<8, Т1(г,г,0)=Тс, О <г<г0, 8<г<8+к;

Зг

= 0, />0, 0<г<8; ^

Г Г. дг

= 0, ?>0, 8йг<8 + И\

г = о = ^ + а^Тс ~ + ~ ^М'О).

/>0, 0 <г£г0.

иТг)

ЯТ7

дх

г = 8 + И

= аг(Тг{г,8 + К{)-Тг), г>0, 0

г > 0, 0 < г < г0.

Здесь Я - термическое сопротивление,

/ ✓ \ Л г

1-

, 0 < г < г.,

О, г,<г£г0;

единичная импульсная периодическая функция с периодом дг (см. рис. 6).

Чс

лМ

о

I

Рис. 6. Графическая иллюстрация плотности теплового потока.

<гМ=/Ш<)

Как показывают проведенные расчеты (рис 7), имеет место колебание температуры во всех точках цилиндра Процесс колебаний температуры состоит из двух этапов. Первый этап — развитие колебаний, когда максимальные и минимальные значения амплитуд монотонно возрастают со временем, а также возрастают амплитуды колебаний. С некоторого момента времени наступает второй этап — установление колебаний температуры. При этом следует отметить, что с удалением точек от источника теплоты наблюдается сдвиг фазы и уменьшение амплитуды колебаний.

Рис. 7. Колебания температуры в осевом сечении г = 0 металлического цилиндра в точках. 1~2 = 8,2-г-5 + И1\2,3-г = 5 + И1Ь, (а) - развитие колебаний, (б) установившиеся колебания

В третьей главе рассматриваются процессы нестационарных режимов теплопереноса с неограниченным возрастанием температуры в активных средах на примерах цилиндрических тепловыделяющих элементов с объемной мощностью тепловых источников, зависящей от температуры.

В разделе 3 1 решена задача о нахождении критической толщины защитной оболочки электронагревательного элемента (НЭ), представляющего собой цилиндрическую проволоку радиуса г0 с нанесенным на ее поверхность защитным покрытием — слоя керамики толщины й? = /*! - г*0 При пропускании по нагревателю (проволоке) электрического тока в нем выделяется тепло, отвод которого во внешнюю среду происходи! с внешней поверхности защитного покрытия.

Математическая модель такого процесса имеет вид:

г,

'1[(г,0)=Т„ 0 < г < г0; 3 т

' _г=а{ъМ-тс\ г г\

дг дЪ

, ' >0, г0 < г < г,,

дг

дг

г = к

, г >0

Здесь = J плотность тока, /(Т^ —удельное сопротив-

ление проволоки.

Варьируя значения параметра (1, находим качественно различную эволюцию температуры на оси НЭ (рис. 8): первый режим (с1 = с11) - с прогрессирующим возрастанием температуры, второй режим {с1 = с/2) с выходом на установившуюся температуру в НЭ Эти расчеты позволяют найти интервал, в котором заключено критическое значение толщины защитного покрытия. 0,75 мм < с1 < 0,80 мм.

"о 01 02 03 04 05 06 07 08 Г, ЫЫ 02 04 06

(а) (б)

Рис. 8. Распределение температуры в осевом сечении НЭ в моменты времени У- / = 50с, 2~ / = 100с, 3- 1 = 150с, 4— * = 200с, 5- Г = 250с;

(а) - в режиме прогрессирующего разогрева ( с11 = 0,75 мм),

(б) - в условиях выхода на стационарный режим (//., = 0,80мм)

В разделе 3.2 рассмотрен нестационарный процесс теплопроводности в цилиндрическом тепловыделяющем элементе с защитным покрытием, с боковой и торцевых поверхностей которого происходит отвод теплоты во внешнюю среду.

Температурное поле тепловыделяющего элемента определяется из решения следующей начально-краевой задачи.

02

, дТ, Л

Г>0, 0 ¿г <г1г 0<г</г,

О 0, г1<г<г2, 0 <г<И, Т,(г,2,0)=То> 0</•</-,, 0<г<И\ Т2(г,г,0) = Г0, гх<г<г2, 0<2</г;

~Чтг)~г = г =а{Т2{г2,г,г)-Т0), г>0, 0<г</г;

дТ, д2

2=о=0, ¿>0, 0</•</;; 2=к

г = 0 = " ' ' > 0, 1 5 г 5 г2,

г = Л

дТ, дг

дТг дг

<>О, О<?</г,

где Р(1\) = /0 7| - объемная мощность источников выделения теплоты

Проведено исследование влияния интенсивности теплоотвода во внешнюю среду с поверхности защитного покрытия тепловыделяющего элемента Найдена зависимость критических значений коэффициента теплоотдачи от термического сопротивления, а так же область значений этих параметров, при которых процесс разогрева цилиндрического тепловыделяющего элемента выходит на стационарный режим.

«•»'Йс

Рис. 9. Зависимость критических значений коэффициента теплоотдачи а от термического сопротивления Я

На рис 9 представлена зависимость критических значений параметра а от Я. Область 5, область значений параметров а и К, при которых процесс разогрева цилиндрического тепловыделяющего элемента выходит на стационарный режим, а область Б2 — область значений параметров а и Я, приводящих к неограниченному возрастанию температуры.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

В диссертационной работе предложен метод приближенного аналитического решения нелинейных краевых задач нестационарной теплопроводности. 14

На основании этого метода разработаны алгоритмы и комплексы программ расчета температурных полей в многослойных телах цилиндрической формы:

— при наличии термического сопротивления между слоями,

— с учетом разрушения теплозащитного покрытия и уноса массы материала (задача с подвижной границей для случая, когда скорость движения границы зависит от температуры разрушаемой поверхности и определяется в процессе решения задачи);

— с учетом движения по боковой поверхности цилиндра локального или импульсно-периодических интенсивных источников теплоты;

— при наличии тепловыделяющего элемента с активной средой, объемная мощность тепловыделения которого зависит от температуры

Применение этих алгоритмов к решению прикладных задач тепло-переноса в нелинейной постановке позволяет получать следующие результаты:

— для многослойного цилиндрического пакета с теплозащитным покрытием, подверженным высокотемпературному нагреву газовым потоком, приводящему к уносу массы материала, находить минимальную толщину слоя термоизоляции, при которой температура внутренней поверхности не превышает заданного предельного значения за промежуток времени, когда неразрушенная часть теплозащитного покрытия составляет заданный процент от первоначальной;

— находить зоны локального поверхностного прогрева двухслойного цилиндра движущимися локальным и импульсно-периодичсскими тепловыми источниками;

— находить критические значения геометрических и теплофизиче-ских параметров в цилиндрических тепловыделяющих элементах

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Малов Ю.И , Чигирёва О Ю Моделирование и расчет процесса высокотемпературного прогрева оболочки с теплозащитным покрытием //Вестник МГТУ им НЭ Баумана Естественные науки -2003.- №1 -С 99-107

2 Чигирёва О Ю. Моделирование и расчет термического разрушения нагреваемой поверхности // Необратимые процессы в природе и технике Тез. докл. 2-й Всероссийской конф -М,2003 - С. 132-134

3 Чиптрёва О Ю. Моделирование процесса нестационарной теплопроводности в оболочке при воздействии на нее высокотемпературным газовым потоком // Необратимые процессы в природе и технике Труды 2-й Всероссийской конф - М , 2003 - С 212-217.

4 Чигирёва О Ю Моделирование и расчет термического разрушения цилиндрической оболочки // Инженерно-физический журнал. - 2004 -Т 77, №3. - С. 174-177.

5. Чигирёва О.Ю. Расчет оптимальной толщины теплозащитного покрытия оболочки в условиях интенсивного поверхностного нагрева // Современные естественно-научные и гуманитарные проблемы: Сборник трудов -М • Логос, 2005 -С 580-585

6. Чигирёва О.Ю. Математическое моделирование процесса разрушения теплозащитного покрытия цилиндрической оболочки // Известия вузов. Машиностроение. - 2004. -№4 - С. 11-17.

7 Малов Ю.И., Чигирёва О.Ю Расчет температурпого поля двухслойной цилиндрической оболочки при обтекании ее поверхности интенсивным газовым потоком // Необратимые процессы в природе и технике Тез. докл. 3-й Всероссийской конф - М , 2005. - С. 152-154.

8. Чигирёва О.Ю. Разогрев двухслойной цилиндрической оболочки движущимся локальным интенсивным тепловым источником // Необратимые процессы в природе и технике: Тез докл 3-й Всероссийской конф -М., 2005 -С 154-156

9 Чигирёва О.Ю Расчет оптимальной толщины слоя термоизоляции в многослойном цилиндрическом пакете // Вестник МГТУ им Н Э. Баумана. Естественные науки. - 2005. - №1 - С. 94-101.

10 Чигирёва ОЮ. Расчет критической толщины теплозащитного покрытия цилиндрического электронагревательного элемента // Образование через науку: Тез. докл Международного Симпозиума - М , 2005 -С 561.

Подписано в печать 10.05.2006. Заказ № 105.

_Объем 1,0 п.л. Тираж 100 экз._

Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.

XQQGh <3SG 5Г

•"-ÖS 85 <

ВВЕДЕНИЕ.

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАЗОГРЕВА МНОГОСЛОЙНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ВЫСОКОИНТЕНСИВНОМ ТЕПЛОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

1.1. Моделирование процесса разогрева цилиндрической оболочки с теплозащитным покрытием при наличии термического сопротивления контактной поверхности.

1.1.1. Постановка задачи и математическая модель. ф 1.1.2. Построение алгоритма приближенного решения

1.1.2.1. Метод Роте решения нелинейной начально-краевой задачи для двухслойной области.

1.1.2.2. Применение бесконечных систем к решению краевых задач для линейных эллиптических уравнений с переменными коэффициентами

1.1.2.3. Построение алгоритма решения системы линейных уравнений с симметрической » матрицей.

1.1.3. Результаты численных расчетов.

1.2. Моделирование процесса термического разрушения цилиндрической оболочки.

1.2.1. Постановка задачи и математическая модель.

1.2.2. Построение алгоритма приближенного решения нелинейной начально-краевой задачи с подвижной

Ф границей.

1.2.3. Результаты численных расчетов.

1.3. Расчет оптимальной толщины слоя термоизоляции в многослойном цилиндрическом пакете.

1.3.1. Постановка задачи и математическая модель.

1.3.2. Построение алгоритма приближенного решения

1.3.3. Результаты численных расчетов.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАЗОГРЕВА ПОВЕРХНОСТИ ДВУХСЛОЙНОГО ЦИЛИНДРА, ПОДВЕРЖЕННОЙ ЛОКАЛЬНОМУ ТЕПЛОВОМУ ВОЗДЕЙСТВИЮ.

2.1. Моделирование процесса разогрева цилиндрической поверхности сканирующим точечным источником теплоты

2.1.1. Постановка задачи и математическая модель.

2.1.2. Построение алгоритма приближенного решения

2.1.2.1. Метод Роте решения нелинейной начально-краевой задачи.

2.1.2.2. Применение бесконечных систем к решению двумерных краевых задач.

2.1.2.3. Построение алгоритма вычисления коэффициентов Фурье функции, заданной в двумерной области (прямоугольнике).

2.1.3. Результаты численных расчетов.

2.2. Эволюция температурного поля двухслойного цилиндра при его нагреве движущимся импульсно-периодическим кольцевым источником теплоты.

2.2.1. Постановка задачи и математическая модель.

2.2.2. Построение алгоритма приближенного решения

2.2.3. Результаты численных расчетов.

2.3. Моделирование процесса формирования температурных волн в составном цилиндре при локальном импульсно-периодическом тепловом воздействии.

2.3.1. Постановка задачи и математическая модель.

2.3.2. Построение алгоритма приближенного решения

2.3.3. Результаты численных расчетов.

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕПЛОВЫХ

ПРОЦЕССОВ В АКТИВНЫХ СРЕДАХ.

3.1. Расчет критической толщины защитной оболочки цилиндрического электронагревательного элемента.

3.1.1. Постановка задачи и математическая модель процесса.

3.1.2. Построение алгоритма приближенного решения

3.1.3. Результаты численных расчетов.

3.2. Моделирование процесса теплопереноса и расчет критических значений теплофизических параметров цилиндрического тепловыделяющего элемента с защитным покрытием.

3.2.1. Постановка задачи и математическая модель процесса. ф 3.2.2. Построение алгоритма приближенного решения

3.2.3. Результаты численных расчетов.

Актуальность темы. Основы классической математической теории теплопроводности твердых тел широко освещены в монографиях Г. Карслоу и Д. Егера, А.В. Лыкова, B.C. Зарубина, Э.М. Карташова и ДР. [1-4].

Появление современной вычислительной техники дало возможность применения теории для прикладных целей и стимулировало создание новых методов решения практических задач.

Исследование процессов теплопереноса в многослойных конструкциях, поверхности которых подвержены высокотемпературному воздействию, с учетом уноса массы теплозащитного покрытия и оптимизация теплозащиты проведено в работах [5-15], где моделируются тепловые состояния для изотропных материалов с постоянными тепло-физическими свойствами при условии идеального теплового контакта между слоями, и в работах [16-20] для неизотропных композиционных материалов.

Обычно рассматриваются две модели процесса уноса материала с поверхности, нагреваемой высокотемпературным потоком. В одной их них унос материала наступает с достижением температуры плавления нагреваемой поверхности, а скорость разрушения находится из уравнения теплового баланса на нагреваемой поверхности. В другой модели скорость разрушения определяется температурой нагреваемой поверхности [21] и находится из решения задачи. Такие задачи принадлежат к классу краевых задач нестационарной теплопроводности с подвижной границей [4, 22, 23], важность которых отмечена в обзоре [23]. Точные аналитические решения данных задач удается построить в случае постоянства теплофизических параметров и для некоторых конкретно заданных законов движения границы. Известные методы решения этих задач в случае зависимости теплофизических параметров от температуры не применимы. Поэтому в этом случае актуальным является разработка методов решения таких нелинейных задач, чему и посвящена данная диссертация.

В диссертации предлагается вариант приближенного аналитического метода, основанный на идее Роте и учитывающий специфику некоторых типов задач теплопереноса.

Одной из таких задач, представляющей практический интерес является процесс воздействия на поверхность конструкции интенсивными локальными тепловыми потоками, когда вблизи зоны теплового контакта происходит быстрое возрастание температуры. Исследованию закономерностей развития нестационарных температурных полей при нагреве поверхностей конструкций локальными источниками теплоты посвящен целый ряд публикаций [24-34], в том числе и в случае локального импульсного или импульсно-периодического теплового источника [35-38]. Интерес к этим исследованиям объясняется практическими приложениями процесса разогрева металлических материалов при лазерной и электронно-лучевой обработке материалов [39-43]. В этих работах построены аналитические решения задач процесса теплопереноса в полупространстве или в пластинах конечной толщины при воздействии на их поверхности интенсивными импульсно-периодическими осе-симметричными тепловыми потоками. В диссертационной работе продолжено исследование таких процессов в нелинейной постановке с учетом движения локального источника теплоты по поверхности материала. В случае двухслойных областей в работе учитывается термическое сопротивление между слоями. Рассматриваются две модели движущегося теплового источника. В первой модели — сканирующий тепловой источник, во второй — движущийся импульсно-периодический. Эти модели возникают при описании процесса термоупрочнения материалов при воздействии интенсивного лазерного излучения на локальный участок поверхности [44-46].

Другой задачей, рассматриваемой в диссертации, является исследование нестационарных режимов в активных средах при наличии источников выделения теплоты, интенсивность тепловыделения которых не может быть компенсирована охлаждением внешней поверхности среды [47-51]. Быстрый рост температуры, когда процесс разогрева не выходит на стационарный режим, происходит скачкообразно при достижении определенных значений параметров задачи, которые называют критическими. Знание критических значений параметров задачи, как теплофизических, так и геометрических, необходимо для выбора таких их значений, которые позволяют удерживать процесс тепловыделения в стационарном режиме [52-56]. Эти критические значения параметров в диссертации находятся в случае зависимости теплофизических параметров от температуры из решения соответствующих краевых задач нестационарной теплопроводности для тепловыделяющих элементов цилиндрической формы, с учетом термического сопротивления между тепловыделяющим элементом и защитной оболочкой.

Цель и задачи исследования. Цель проведенных исследований — обоснование метода приближенного аналитического решения нелинейных краевых задач нестационарной теплопроводности и применение его для решения прикладных задач теплопереноса.

Методы исследования. При работе над диссертацией были использованы следующие разделы математики: методы сведения нелинейных начально-краевых задач к краевым задачам для уравнений эллиптического типа с переменными коэффициентами (метод Роте); теория рядов Фурье; сведение краевых задач к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений; методы решения бесконечных систем линейных алгебраических уравнений; методы численного гармонического анализа; численные методы линейной алгебры.

Достоверность и обоснованность полученных результатов гарантируется использованием корректных математических моделей рассматриваемых процессов теплопереноса, строгостью математических выкладок, обоснованием сходимости алгоритмов приближенных расчетов и точности вычислений.

Научная новизна. Предложен приближенный аналитический метод решения краевых задач нестационарной теплопроводности в нелинейной постановке. Разработаны алгоритмы и комплексы программ расчета температурных полей в прикладных задачах теплопереноса для многослойных тел цилиндрической формы.

Практическая ценность диссертационной работы состоит в возможности использования предложенного метода и разработанного комплекса программ для решения прикладных задач, включая:

1. нахождение оптимальных значений параметров тепловой защиты многослойных конструкций, подверженных высокотемпературному нагреву, приводящему к эффекту абляции поверхностного теплозащитного покрытия;

2. нахождение зоны локального поверхностного прогрева металла импульсным и импульсно-периодическими локальными источниками теплоты;

3. определение критических параметров процесса тепловыделения в активных средах для нахождения диапазона изменения геометрических и теплофизических параметров, при которых существует установившееся температурное поле тепловыделяющего элемента.

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Метод приближенного аналитического решения нелинейных краевых задач нестационарной теплопроводности в многослойных телах цилиндрической формы.

2. Разработанные на основе предложенного метода алгоритм нахождения оптимальной толщины слоя термоизоляции в многослойном цилиндрическом пакете при нагреве его газовым потоком, приводящем к уносу массы с поверхности, и алгоритм нахождения параметров задачи, определяющих размеры зоны термического влияния и свойства упрочненной поверхности в процессе разогрева двухслойного цилиндра лазерным излучением в случаях сканирующего и импульсно-периодических локальных тепловых источников.

3. Расчет критических значений геометрических и теплофизиче-ских параметров процесса теплопереноса в активных средах, когда интенсивное тепловыделение в среде не может быть компенсировано тепловыми потоками через поверхность; нахождение значений параметров задачи, позволяющих удерживать процесс теплопереноса в стационарном режиме.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на 2-й Всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике" (Москва, 2003), 3-й Всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике" (Москва, 2005), Международном Симпозиуме "Образование через науку" (Москва, 2005).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 6-и научных статьях [75, 77-80, 83 ] и 4-х тезисах докладов [76, 81, 82, 84].

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 143 страницах, содержит 62 иллюстрации и 11 таблиц. Библиография включает 84 наименований.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

В диссертационной работе предложен метод приближенного аналитического решения нелинейных краевых задач нестационарной теплопроводности.

На основании этого метода разработаны алгоритмы и комплексы программ расчета температурных полей в многослойных телах цилиндрической формы: при наличии термического сопротивления между слоями; с учетом разрушения теплозащитного покрытия и уноса массы материала (задача с подвижной границей для случая, когда скорость движения границы зависит от температуры разрушаемой поверхности и определяется в процессе решения задачи); с учетом движения по боковой поверхности цилиндра локального или импульсно-периодических интенсивных источников теплоты; при наличии тепловыделяющего элемента с активной средой, объемная мощность тепловыделения которого зависит от температуры.

Применение этих алгоритмов к решению прикладных задач теп-лопереноса в нелинейной постановке позволяет получать следующие результаты: для многослойного цилиндрического пакета с теплозащитным покрытием, подверженным высокотемпературному нагреву газовым потоком, приводящему к уносу массы материала, находить минимальную толщину слоя термоизоляции, при которой температура внутренней поверхности не превышает заданного предельного значения за промежуток времени, когда неразрушенная часть теплозащитного покрытия составляет заданный процент от первоначальной; находить зоны локального поверхностного прогрева двухслойного цилиндра движущимися локальным и импульсно-периодическими тепловыми источниками; находить критические значения геометрических и теплофизических параметров в цилиндрических тепловыделяющих элементах.

1. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. - М.: Наука, 1964.-488 с.

2. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. - 600 с.

3. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 328 с.

4. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 2001. - 550 с.

5. Зарубин B.C. Расчет и оптимизация термоизоляции. М.: Энергоатомиздат, 1991. - 192 с.

6. Никитин П.В. Разрушение теплозащитных материалов в высокотемпературных потоках. М.: Изд-во МАИ, 1993. - 53 с.

7. Кувыркин Г.Н. Термомеханика деформируемого твердого тела при высокоинтенсивном нагружении. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 1993. - 142 с.

8. Бакулин В.Н., Образцов И.Ф., Потопахин В.А. Динамические задачи нелинейной теории многослойных оболочек: Действие интенсивных термосиловых нагрузок, концентрированных потоков энергии. М.: Наука, 1998.-464 с.

9. Малов Ю.И., Мартинсон Л.К. Высокотемпературный прогрев оболочки с излучающей поверхностью // Теплофизика высоких температур. 1988. - Т. 26, №2. - С. 412.

10. Малов Ю.И., Мартинсон Л.К. Разогрев оболочки при наличии термического разрушения нагреваемой поверхности // Известия вузов. Машиностроение. 1989. -№1. - С. 52-56.

11. Малов Ю.И., Мартинсон Л.К. Разогрев многослойной оболочки приналичии контактного термического сопротивления между слоями // Известия вузов. Машиностроение. 1989. - №12. - С. 43-47.

12. Малов Ю.И., Мартинсон J1.K. Моделирование и расчет нестационарного теплового процесса в оболочке с учетом фазового перехода // Известия вузов. Машиностроение. 1990. - №8. - С. 30-35.

13. Малов Ю.И., Мартинсон JT.K. Эволюция температурного поля при разогреве оболочки из композиционного материала // Известия вузов. Машиностроение. 1991. -№10. - С. 80-85.

14. Расчет лучистого теплообмена в задачах обтекания тел с учетом потери массы теплозащитного покрытия / В.М. Борисов, М.М. Голо-мазов, А.А. Иванов, B.C. Финченко // Механика жидкости и газа. -2004.-№4.-С. 143-151.

15. Иванков А.А. О численном решении задачи прогрева многослойной теплозащиты спускаемого аппарата с учетом уноса массы внешних и внутренних слоев покрытия // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2005. - Т. 45, №7. - С. 1279-1288.

16. Формалёв В.Ф., Чипашвили А.А., Миканев С.В. Моделирование нового способа защиты стенок энергетических установок при высокоинтенсивном нагреве // Известия РАН. Энергетика. 2004. - №5. -С. 147-156.

17. Формалёв В.Ф. Тепломассоперенос в анизотропных телах. Обзор // Теплофизика высоких температур. 2001. - Т. 39, №5. -С.810-832.

18. Формалёв В.Ф., Колесник С.А., Миканев С.В. Моделирование теплового состояния композиционных материалов // Теплофизика высоких температур. 2003. - Т.41, №6. - С. 935-941.

19. Димитриенко Ю.И. Механика композиционных материалов при высоких температурах. М.: Машиностроение, 1997. - 368 с.

20. Зарубин B.C. Температурные поля в конструкции летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1978. - 184 с.

21. Карташов Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в области с движущейся границей // Известия РАН. Энергетика. 1999. - №5. - С. 3-34.

22. Карташов Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами. Обзор // Инженерно-физический журнал. 2001. - Т. 74, №2. -С. 171-195.

23. Зарубин B.C. Оптимальная толщина охлаждаемой стенки, подверженной местному нагреву // Известия вузов. Машиностроение. 1970.-№10.-С. 18-21.

24. Малов Ю.И., Мартинсон JI.K. Расчет стационарного температурного поля в теплообменнике с дискретной системой тепловых контактов // Известия вузов. Энергетика. 1981. - №12. - С. 100-103.

25. Потягайло Д.Б., Романчук Я.П. Решение задачи о нагреве двухслойной пластины локальным источником тепла // Дифференциальные уравнения. 1991. - Т. 27, №8. - С. 1409-1417.

26. Аттетков А.В., Волков И.К. Аналитический метод решения задач теплопроводности для полупространства с покрытием в нестационарных условиях теплообмена с внешней средой // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Машиностроение. 2000. - №1. - С. 18-28.

27. Аттетков А.В., Волков И.К. Аналитический метод решения задачи нестационарной теплопроводности для тела с двухслойным цилиндрическим каналом // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Машиностроение.-2001.-№1. С. 3-14.

28. Аттетков А.В., Беляков Н.С. Температурное поле неограниченного твердого тела с теплоактивным термически тонким стержневымэлементом // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Машиностроение. 2005.-№1.-С. 24-31.

29. Аттетков А.В., Беляков Н.С. Температурное поле неограниченного твердого тела, содержащего цилиндрический канал с термическим тонким покрытием его поверхности // Теплофизика высоких температур. 2005. - Т. 43, №6. - С. 1-5.

30. Козлов В.П. Двумерные осесимметричные нестационарные задачи теплопроводности. Минск: Наука и техника, 1986. - 391 с.

31. Козлов В.П., Липовцев В.Н. Закономерности развития двумерных нестационарных температурных полей на поверхности полуограниченного тела при его нагреве импульсным кольцевым источником тепла // Инженерно-физический журнал. 1986. - Т. 51, №2. -С. 287-294.

32. Козлов В.П. Локальный нагрев полуограниченного тела лазерным источником // Инженерно-физический журнал. 1988. - Т. 54, №3. -С. 484-493.

33. Аттетков А.В., Волков И.К., Тверская Е.С. Оптимальная толщина охлаждаемой стенки с покрытием, подверженной локальному им-пульсно-периодическому нагреву // Инженерно-физический журнал.- 2001. Т. 74, №6. - С. 82-87.

34. Аттетков А.В., Волков И.К., Тверская Е.С. Оптимальная толщина охлаждаемой стенки с покрытием при локальном импульсно-периодическом нагреве // Теплофизика высоких температур. 2005. -Т. 43, №3.-С. 466-473.

35. Лазерная и электронно-лучевая обработка материалов: Справочник / Н.Н. Рыкалин, А.А. Углов, И.В. Зуев, А.Н. Кокора. М.: Машиностроение, 1985.-496 с.

36. Рыкалин Н.Н., Углов А.А., Макаров Н.И. Нагрев двухслойной пластины при сварке световым потоком лазера // Доклады АН СССР.- 1966. Т. 169, №3. - С. 565-568.

37. Моделирование теплофизических процессов импульсного лазерного воздействия на металлы / А.А. Углов, И.Ю. Смуров, A.M. Лашин, А.Г. Гуськов. -М.: Наука, 1991.-288 с.

38. Рыкалин Н.Н., Углов А.А., Низаметдинов М.М. Расчет нагрева материалов лазерным излучением с учетом температурной зависимости теплофизических коэффициентов // Квантовая электроника. -1977. -Т. 4, №7. с. 1509-1516.

39. Малов Ю.И., Мартинсон Л.К., Рогожин В.М. Математическое моделирование процессов теплопереноса при плазменном напылении // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Машиностроение. 1994. - №3. -С. 3-16.

40. Григорьянц А.Г., Сафонов А.Н. Основы лазерного термоупрочнения сплавов. М.: Высшая школа, 1988. - 159 с.

41. Григорьянц А.Г. Основы лазерной обработки материалов. М.: Машиностроение, 1989. - 304 с.

42. Лазерное и электроэрозионное упрочнение металлов / B.C. Коваленко, А.Д. Верхотуров, Л.Ф. Головко, И.А. Подчерняева. М.: Наука, 1986.-276 с.

43. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. М.: Наука, 1989.-752 с.

44. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1967. - 481 с.

45. Мержанов А.Г., Барзыкин В.В., Абрамов В.Г. Теория теплового взрыва: от Н.Н. Семёнова до наших дней // Химическая физика.- 1996. Т. 15, №6. - С. 3-44.

46. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1966. 724 с.

47. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Изд-во МГТУ им Н.Э. Баумана, 1996.- 367 с.

48. Малов Ю.И., Нужненко Т.А. Математическое моделирование процесса нестационарной теплопроводности в цилиндрическом тепловыделяющем элементе // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2003. - №2. - С. 20-27.

49. Малов Ю.И., Мартинсон Л.К. Влияние теплофизических параметров оболочки на критический режим сферического тепловыделяющего

50. Необратимые процессы в природе и технике: Тез. докл. 3-й Всероссийской конф. М., 2005. - С. 151-152.

51. Гусовский B.JL, Ладыгичев М.Г., Усачев А.Б. Современные нагревательные и термические печи (конструкции и технические характеристики): Справочник / Под ред. А.Б. Усачева. М.: Машиностроение, 2001. - 655 с.

52. Радугин А.В., Столин A.M., Власов В.А. О критических условиях тепловой неустойчивости при электронагреве керамики // Теплофизика высоких температур. 1990. - Т. 28, №4. - С. 722-727.

53. Численное исследование тепловой неустойчивости при нагреве керамических материалов / Л.С. Стельмах, Ж.А. Зиненко, А.В. Раду• гин, A.M. Столин // Инженерно-физический журнал. 1991. - Т. 61,3.-С. 452-457.

54. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.:-о.1. Наука, 1973.-408 с.

55. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. - 587 с.

56. Юхно Л.Ф. О сходимости схемы Роте для некоторых нелинейных эволюционных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1975. - Т. 15, №5. - С. 1168-1182.

57. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего ана-ф лиза. М.: Физматгиз, 1962. - 708 с.

58. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.-752 с.

59. Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука, 1965.-608 с.

60. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994. - 544 с.

61. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980. -456 с.

62. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, 1962.-Т.2.-639 с.

63. Чиркин B.C. Теплофизические свойства материалов: Справочник.- М.: Физматгиз, 1959. 356 с.

64. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1973.- 832 с.

65. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Физматгиз, 1962. - 400 с.

66. Полежаев Ю.В., Фролов Г.А. Закономерности теплового разрушения при взаимодействии тела с высокотемпературным потоком газа // Инженерно-физический журнал. 1989. - Т. 57, №3. - С. 357-363.

67. Никитин П.В., Холодков Н.В. Тепловая защита летательных аппаратов и их систем. М.: Изд-во МАИ, 1990. - 73 с.

68. Никитин П.В. Тепловая защита спускаемых космических аппаратов.- М.: Изд-во МАИ, 1992. 72 с.

69. Малов Ю.И., Мартинсон Л.К. Приближенные методы решения краевых задач. М.: Изд-во МВТУ им. Н.Э. Баумана, 1989. - 26 с.

70. Анисимов С.И., Лукьянчук Б.С. Избранные задачи теории лазерной абляции // Успехи физических наук. 2002. - Т. 172, №3. -С. 301-333.

71. Чиркин B.C. Теплофизические свойства материалов ядерной техники: Справочник. М.: Атомиздат, 1968. - 484 с.

72. Малов Ю.И., Чигирёва О.Ю. Моделирование и расчет процесса высокотемпературного прогрева оболочки с теплозащитным покрытием // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2003. -№1.-С. 99-107.

73. Чигирёва О.Ю. Моделирование и расчет термического разрушения нагреваемой поверхности // Необратимые процессы в природе и технике: Тез. докл. 2-й Всероссийской конф. М., 2003. -С. 132-134.

74. Чигирёва О.Ю. Моделирование процесса нестационарной теплопроводности в оболочке при воздействии на нее высокотемпературным газовым потоком // Необратимые процессы в природе и технике: Труды 2-й Всероссийской конф. М., 2003. - С. 212-217.

75. Чигирёва О.Ю. Моделирование и расчет термического разрушения цилиндрической оболочки // Инженерно-физический журнал. -2004.-Т. 77,№3.-С. 174-177.

76. Чигирёва О.Ю. Расчет оптимальной толщины теплозащитного покрытия оболочки в условиях интенсивного поверхностного нагрева // Современные естественно-научные и гуманитарные проблемы: Сборник трудов. М.: Логос, 2005. - С. 580-585.

77. Чигирёва О.Ю. Математическое моделирование процесса разрушения теплозащитного покрытия цилиндрической оболочки // Известия вузов. Машиностроение. 2004. - №4. - С. 11-17.

78. Малов Ю.И., Чигирёва О.Ю. Расчет температурного поля двухслойной цилиндрической оболочки при обтекании ее поверхности интенсивным газовым потоком // Необратимые процессы в природе и технике: Тез. докл. 3-й Всероссийской конф. М., 2005. -С.152-154.

79. Чигирёва О.Ю. Разогрев двухслойной цилиндрической оболочки движущимся локальным интенсивным тепловым источником // Необратимые процессы в природе и технике: Тез. докл. 3-й Всероссийской конф. М., 2005. - С. 154-156.

80. Чигирёва О.Ю. Расчет оптимальной толщины слоя термоизоляции вмногослойном цилиндрическом пакете // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2005. - №1. — С. 94-101.

81. Чигирёва О.Ю. Расчет критической толщины теплозащитного покрытия цилиндрического электронагревательного элемента // Образование через науку: Тез. докл. Международного Симпозиума. М., 2005.-С. 561.