автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование взаимосвязанных нестационарных процессов тепломассообмена в многослойных конструкциях

На правах рукописи

ТРОФИМОВ Павел Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОМАССООБМЕНА В МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

г 8 ноя ¿013

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 2013

005540742

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетного образовательном учреждении высшего профессионального образования «Оренбургский государственный педагогический университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

АКИМОВ Иван Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

МАКСИМОВ Василий Васильевич, кандидат физико-математических наук, доцент АНУФРИЕВ Игорь Евгеньевич

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный

авиационный технический университет»

Защита состоится «26» декабря 2013 г. в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.229.10 при ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» по адресу: 194021, Санкт-Петербург, Политехническая ул., д. 21, 9 учебный корпус (институт информационных технологий и управления), ауд. 121.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет».

Отзывы на автореферат в 2 экз., заверенные гербовой печатью, просьба присылать по адресу: 194021, Санкт-Петербург, Политехническая ул., д. 21, 9 учебный корпус (институт информационных технологий и управления), ауд. 525, ученому секретарю совета Д 212.229.10.

Автореферат разослан мезИ/ч 2011> г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, у ^

к.т.н., доцент 'уууУЬ БОГАЧ Наталья Владимировна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Работа посвящена изучению взаимосвязанных процессов тепло- и массообмена в слоистых телах при нестационарных режимах применительно к изготовлению многослойных композитов, а также применению методов расчета диффузионных процессов для многослойных конструкций (МК) с учетом полимеризационных превращений.

Актуальность работы. Композиционные материалы (КМ) представляют собой сплошной неоднородный материал, состоящий из двух или более составляющих. Среди составляющих выделяют армирующие элементы, придающие необходимые механические свойства, и связующее (матрицу), соединяющее армирующий материал. КМ представляют собой систему, которая обладает всеми свойствами компонентов в нее входящих или даже превосходящих ее.

Применение КМ в различных областях обусловлено их высокими показателями на удельную прочность, жесткость, легкость, износостойкость и др. В частности, в авиационной промышленности применение композитов (лонжероны лопастей вертолетов и ветроэнов, детали корпусов, целые корпуса) позволяет создавать более легкие и надежные летательные аппараты. Однако, в связи с возрастающими требованиями к характеристикам композитов становятся актуальными детальные исследования физико-химических процессов, происходящих при их изготовлении, для выработки рекомендаций по повышению качества производимых деталей, усовершенствованию процессов производства и др.

В данной работе предметом исследования были выбраны полые полимерные многослойные КМ, изготавливаемые в пресс-формах (ПФ).

ПФ предназначена для формовки изделий (например, лонжерона лопасти). Она представляет собой горизонтально расположенную полую конструкцию в виде параллелепипеда, состоящего из нижней и верхней частей. Ее полость повторяет форму лонжерона. В результате формовки происходит отверждение связующего.

Очевидно, что для получения высококачественного продукта необходимо соблюдать оптимальные режимы работы ПФ. Но во многих случаях регулировка технологических условий на производстве осуществляется вручную, что требует от оператора, обслуживающего ПФ, высокой квалификации и опыта. Сложности связаны с тем, что физико-химические процессы, происходящие в связующем, могут иметь экзотермический характер, перегрев связующего может привести к его деструкции, следствием недостаточной температуры будет низкая степень полимеризации. Понимание внутренних процессов, происходящих при изготовлении композитов, является необходимым условием получения качественного материала.

Цель диссертационного исследования состоит в разработке математических моделей взаимосвязанных тепломассообменных процессов в многослойных конструкциях с полимеризационными эффектами и получении решения краевых задач аналитическими и численными методами.

Основные задачи исследования:

1. Разработать математические модели тепломассообмена в цилиндрических МК с учетом полимеризационных эффектов.

2. Найти аналитические решения поставленных краевых задач.

3. Построить конечно-разностные схемы и алгоритмы, основанные на них, для расчета диффузионных полей в МК.

4. Создать программы, реализующие полученные алгоритмы на ПК, и выполнить расчеты пространственно-временных распределений температурных полей.

В работе аналитически и численно решены с учетом перекрестных эффектов задачи для каждого этапа производства полимерных МК. С помощью численных методов также осуществлены расчеты пространственно-временных зависимостей тепловых полей в многослойных конструкциях с конкретными теплофизическими свойствами. Практическая значимость работы заключается в том, что на основе проведенных исследований разработаны программы расчета температурных полей многослойного изделия.

4

Научная новизна исследования состоит в том, что в отличие от большинства работ, посвященных исследованию многослойных конструкций, рассматриваются взаимосвязанные процессы тепломассообмена в МК. Впервые получены аналитические и численные решения этих задач применительно к производству полимерных цилиндрических МК с учетом полимеризации связующего.

Достоверность результатов, полученных в ходе исследований, определяется тем, что в основу положены уравнения тепло- и массообмена, полученные на основе проверенных законов сохранения, а также сопоставлениями теоретических результатов с экспериментальных исследованиями других авторов.

На защиту выносятся:

1. Обобщение аналитического метода конечных интегральных преобразований для решения краевых диффузионных задач с дополнительными источниками в МК.

2. Аналитические решения методом конечных интегральных преобразований краевых задач взаимосвязанного тепломассообмена с перекрестными эффектами в МК для каждого этапа производства.

3. Модификация метода прогонки в цилиндрической системе координат для решения диффузионных задач в МК с межслоевыми граничными условиями.

4. Численные решения методом конечных разностей линейных и нелинейных краевых задач для МК с условиями сопряжения.

5. Алгоритмы метода прогонки для каждого этапа производства МК, включая случай полимеризации.

6. Программы для расчета теплообменных полей.

Апробация диссертационного исследования. Материалы исследования обсуждались на научных и учебно-методических семинарах и занятиях кафедры математического анализа ФГБОУ ВПО «Оренбургский государственный педагогический университет», а также в форме докладов на конференциях: «Математика. Информационные технологии. Образование»

5

(Оренбург, 2008), «Проблемы устойчивости биоресурсов: теория и практика» (Оренбург, 2010), «Наука и образование: исследования молодых ученых» (Оренбург, 2010 и 2011 гг).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ, в том числе 5 статей в журналах, одобренных ВАК РФ для публикации основных результатов диссертационных исследований.

Внедрение результатов исследования. Результаты исследования были использованы при разработке оптимальной установки электрического обеспечения ООО «Спецэлектромонтаж» для производства композиционных материалов. В результате был составлен акт о внедрении в производство с годовым экономическим эффектом в сумме 2 237 тыс. рублей.

Струет-ура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка использованной литературы, пяти приложений. Объем работы составляет 156 страниц машинописного текста, 24 рисунка, список литературы содержит 116 ссылок.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, выбор цели и задач исследования, сформулированы положения, выносимые на защиту.

В первой главе описывается история появления КМ, их совершенствование с древнейших времен до наших дней, проведена их классификация. Для полимерных КМ детально разобран процесс их становления, история развития. Рассмотрены физико-химические особенности их производства. Описаны различные матрицы композитов.

Наибольшее распространение получили термореактивные синтетические связующие (эпоксидная, полиэфирная, фенолформальдегидная и др. смолы) и термопластичные полимеры (полистирол, полиэтилен и др.). Последние уже являются полимерными веществами, в то время как связующие переходят в полимерное состояние, формируя реактопласт, непосредственно в процессе изготовления ПКМ, это сокращает производственную цепочку

6

(получение полимера и его использование осуществляется за одну операцию). Реактопласты в отличие от термопластов имеют развитую пространственную структуру и не могут существовать в вязко-текучем состоянии.

Рассматривается принцип действия термореактивных связующих. Так для

эпоксидных смол, молекулы которых содержат не менее одной глицидиловой J\

-сит—сн2 и/иди эпоксидной —с<=: функциональных групп, под действием специальных веществ отвердителей происходит раскрытие, так называемого, «эпоксидного» цикла и связывание структур. Далее рассматриваются различные способы формования изделий.

Также в первой главе проведен обзор отечественных и зарубежных источников по исследуемой проблематике. В отечественной литературе заслуживают внимание следующие исследования. А.В.Лыков и Ю.А. Михайлов применением интегрального преобразования Лапласа получили решения нестационарной теплопроводности для простейших областей (два полуограниченных тела, ограниченное и полуограниченное тела). С применением метода разделения переменных получены решения задачи теплопроводности у Н.М. Беляева, A.A. Рядно, П.В. Булавина, В.М. Кащеева, М.Г. Когана; с использованием функций Грина (метод функций источников) у В.В.Власова. Комбинированием интегральных преобразований и метода функций Грина найдено температурное распределение для двухслойной пластины (Г.Ф. Мучник, И.Б. Рубашов) и для трехлойных тел (A.B. Лыков и Ю.А. Михайлов).

Заслуживает также внимания метод конечных интегральных преобразований, разработанный U.C. Кошляковым и др. Свое развитие он получил в работах Э.М. Карташова и других ученых. В работах E.H. Туголукова метод конечных интегральных преобразований был обобщен на случай многослойных систем. Для приближенных аналитических решений большой вклад сделан A.A. Кудиновым и его учениками.

Во второй главе на основе выполненного обзора поставлены математические модели тепломассообменных процессов, происходящий в многослойных конструкциях при изготовлении композитов для каждого режима изготовления КМ.

Принцип действия ПФ показан на рис. 1. Нагревательные элементы, находящиеся на внешней поверхности ПФ 1, нагревают ее части. В свою очередь они кондуктивно передают тепло МК 3, находящейся в полости ПФ, в процессе изготовления. Одновременно в технологический мешок 2

Ос.

160 ---

/ ; 1 \ ! ' V

60 .._/ ! * . : Ч

Г !

Рис. 1 Рис. 2. Обобщенный экспериментальный график

Формовка лонжерона в пресс-форме зависимости температуры от времени в установках

ПФ: т- время, 20° - начальная температура, 60° -температура предварительного разогрева, 160° -температура режима нагревания, подается давление. Отметим, что верхнюю часть ПФ фиксируют таким

образом, чтобы зазор с нижней частью составлял 0,3 мм, что необходимо для

вытекания избыточного связующего. С торцов ПФ закрыта заглушками, и

связующее с торцов практически не выходит.

Полный цикл (нагревание, режим, остывание - см. рис. 2) в зависимости

от температуры в цехе (от времени года) может составлять до суток.

Моделируя нагрев ПФ, интегральным методом Ханкеля, предварительно

построенном на основе бесселевых функций первого и третьего рода [1],

решена задача диффузии полого цилиндра

(Ф-

1

О)

Здесь а — коэффициент температуропроводности, а - коэффициент теплоотдачи, X — коэффициент теплопроводности т - время, я,, - внутренний

радиус ПФ, я, - ее внешний радиус Ро = — - критерии Фурье, —

яг

критерий Био, Тс - температура среды, Т - искомая температура.

Построен график (см. рис. 3) для следующих краевых условий: внутренний и внешний радиусы ^=0,1м, л, = 0,2 м, теплопроводность X = 240Вт/(мК), удельная теплоемкость Ср = 896 Дж/(кгК), плотность

р = 2700 кг/м3, температуропроводность а = =9,92-10° м2/с, теплоотдача

РЦз

а =30Вт/(м2-К), температура среды Гс=20° С, температура внешней поверхности г0 = 50° С. На нижних осях отложены время (в сек.) и величина радиуса (в м.) в данном случае от 0,1 м до 0,2 м, третья ось - температура в градусах Цельсия.

Изображенная поверхность

показывает быстрый рост температуры в направлении от внешней поверхности цил&нЬрй1 х к| внутренней границе

вплоть до достижения температуры г„. Для выбранных значений нагрев до 48° С произошел за 100 сек. Следовательно, можно сделать вывод, что нагрев происходит достаточно быстро.

Таким образом, принимая металлическую ПФ за идеальный проводник теплоты, была поставлена общая математическая модель взаимосвязанного тепломассообмена непосредственно только для нагреваемых слоев МК

20 0-Рис. 3 График температуры при прогреве пресс-формы

(2) (3)

Зг

где индекс г означает номер слоя многослойной среды (г = 1, 2, ..., п), г -время, Ь - теплота полимеризации, Ь - степень полимеризации ¿-го слоя, с

начальными условиями равными Т\1ш0=/(М0), в\r_0=g(M0) и для общего Г Г

потенциала (7 = < граничными условиями конструкции на внешней и внутренней поверхностях соответственно

о/;

На границах слоев взяты условия сопряжения для идеального контакта frL^-Lr- jC-rr =0"Lrr" .

1WU- = ' [^Ц,=.

Указанная система учитывает теплоту, выделившуюся от полимеризующегося связующего, начиная с температуры начала образования олигомера/полимера (температура ликвидуса Tl4a:J) до температуры, при которой происходит полная полимеризация связующего (температура солидуса

Таким образом, ведется учет полимеризации связующего в спектре температур от T!iquld до , происходящих в так называемой зоне полимеризации.

До достижения температуры ликвидуса на первом этапе («предварительный нагрев») система рассматривается без дополнительного массообменного слагаемого в уравнении теплопроводности (Ь =0), далее производится учет теплоты полимеризационных переходов до конца второго этапа («режим»), для третьего этапа («остывание») полимеризация завершена и решается только задача теплообмена для однородного полого тела (см. рис. 2).

Описанная система дифференциальных уравнений в совокупности с краевыми условиями полностью определяют основные особенности рассматриваемого единичного процесса. Поставленные математические модели решены аналитически с использованием метода конечных интегральных

преобразований f (E.H. Туголуков, 2004), где

ядро преобразования представляет собой линейную комбинацию функций Бесселя первого и второго родов,. Для обобщения этого метода на задачи с дополнительными источниками были вычислены

■ ядра интегрального преобразования 1Г01 ^г, ¡ = с;у0 — ,]+£>;% 1—г, , где

коэффициенты С,", О" и £„ для 1-й области определены из граничных условий задачи,

формула обращения /,(>,,г) = ]Г-

X — ( £

I

1=1

а,

■ найдены коэффициенты в разложении функции в ряд Фурье-Бесселя.

Применением метода конечных интегральных преобразований получены решения для каждого из трех этапов производства.

Для первого этапа до температуры ликвидуса характерны невзаимосвязанные процессы. Следовательно, имеет место общее уравнение

потенциала 8С/'(г"т) Выделив в решении

дт ^ дг, г, дг, )

стационарную и нестационарную часть и,(г„т) = Р^г^т), получены решения

= Д + Д (5)

I (^0 14

л,., Vя

ехр(-42г), (б)

где постоянные коэффициенты вычисляются из граничных условий.

Далее, при достижении температуры ликвидуса для задачи МК с полимеризационными эффектами (2)-(4) получено общее решение

6>, (г, г) = Лт1 + В,,, 1п(г;) +

р(-£г), (8)

где Н1(г,т) = Ьс-' Ь' и Я(^„,г) - образ этой функции, Л и й с

Су 1 Ьл дт

соответствующими индексами - коэффициенты, получаемые из граничных условий.

И, наконец, для последнего третьего этапа получено решение задачи для

единого полого цилиндра —ш- = <гш--\г —ш- в виде

дт г дг{ дг )

^т(г>г) = • (9)

»-1 [ уа,ш ] )

В третьей главе краевые задачи технологического процесса были решены численными методами. Для решения был выбран метод конечных разностей, сочетающий в себе относительную простоту реализации для рассматриваемой задачи и достаточную точность решения для тел классической формы.

Используя неявную схему, где для сетки к — шаг по времени, / — шаг по радиусу, общее уравнение диффузии в цилиндрической системе координат срЦт = 1/г(л(и)г11г)г было переписано в виде -+ СД',,' = , где

Л4*' г Iм у Л-З**'»- З'*1 ..

4- ; Аг, = В, = Дг, Е=ик. Здесь

кп рс Ф рс ф рс

г.+а5 =1/2(гч1+^), =1/2(Д:';'+Я'+|), где яг=я(иг). Полученная система

решена с помощью метода прогонки, модифицированного

■ для учета особенностей на границах слоев (условия сопряжения), а также

■ учета нелинейности коэффициента диффузии

^Р, Щ/дг = У г, (Л„Л Щ/дг^, где л„, иу - номер слоя.

г, ш

Рис. 4 Графики температуры Рис. 5 График температуры трехслойной конструкции трехслойной конструкции после (снизу вверх) на 8-й, 12-й, 15-й 75-й минуты с начала и 18-й минуты с начала нагревания нагревания

В четвертой главе рассматривается методика решения задач диффузии на практике. С помощью созданных расчетных программ строятся графики отражающие динамику развития теплообменных процессов.

Комплекс программ в инструментальной системе МаАСАО составлен для расчета теплообменных полей МК при изготовлении методом формования в ПФ, учитывающий экзотермический характер полимеризации. Приведены тексты основных программ. Блок-схема (см. рис. 6) обозначает основные моменты, использованные в программном комплексе (ввод начальных данных, вычисление прогоночных коэффициентов, послойное вычисление температуры). На рис. 4 показана кривая изменения температуры трехслойной конструкции Сталь - Углеткань - Сталь с толщинами 10 см, 12 см, 8 см соответственно.

Изгибы обусловлены различными теплофизическими характеристиками слоев. С течением времени изгибы становятся более характерными (рис. 5).

В заключении приведены основные результаты диссертации:

1. Разработаны математические модели тепломассообмена цилиндрических МК с учетом полимеризации связующего.

2. Обобщен метод конечных интегральных преобразований на класс задач диффузии в МК с полимеризационными эффектами.

Рис. 6 Блок-схема основного алгоритма расчета диффузионных полей

3. Усовершенствованным методом интегральных преобразований получены решения краевых задач для всех этапов производства.

4. Для МК построены конечно-разностные схемы и алгоритмы для метода прогонки, учитывающей межслоевые граничные особенности.

5. Выполнены расчеты на ПК пространственно-временных температурных распределений.

6. Результаты исследований использованы при разработке оптимального электрического обеспечения установки по формованию композиционных материалов. Получен Акт о внедрении в производство. (Акт о внедрении в производство ООО «Спецэлектромонтаж» результатов научных исследований и разработок, выполненных в диссертационной работе Трофимова П.А., 2008 г.).

Таким образом, цель диссертационного исследования, состоящая в разработке математических моделей взаимосвязанных тегаюмассообменных процессов в многослойных конструкциях с полимеризационными эффектами и получении решения краевых задач аналитическими и численными методами, достигнута. Проведены исследования и расчеты процесса тепломассообмена в многослойных конструкциях из композиционного материала. Разработаны методы расчета тепломассообмена в многослойных конструкциях из композиционного материала и программы MathCAD для получения решения тепломассообменных задач в МК. Разработанные и развитые в работе аналитические и численные методы исследования процессов тепломассообмена в многослойных конструкциях из композиционного материала представляют интерес для инженерной практики расчета и проектирования теплообменных установок различного назначения.

Основные положения и результаты диссертационного исследования отражены в следующих публикациях: Публикации в научных изданиях и журналах, рекомендуемых ВАК РФ:

1. Трофимов, П.А. Обратное преобразование Ханкеля для смешанной краевой задачи на конечном интервале / В.Н.Козлов, П.А.Трофимов, А.И. Акимов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. - СПб, 2011. - №1(116). - с. 71-77

2. Трофимов, П.А. Моделирование прогрева промышленной установки используемой при изготовлении лонжеронов / В.Н. Козлов, П.А. Трофимов, А.И. Акимов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико- математические науки. - СПб, 2011. - №3(129). - с. 57-60

3. Трофимов, П.А. Особенности выделения связующих материалов в многослойных конструкциях / П.А. Трофимов // Известия ЮФУ. Технические науки. - Таганрог, 2012. - №1 январь. - с. 48-52

4. Трофимов, П.А. Решение сопряженной задачи тепломассообмена методом

интегральных преобразований / И.А Акимов, С.А. Саратов, A.A. Аносов,

П.А. Трофимов // Инженерная физика. - М., 2009. - №4. - с. 7-8

15

5. Трофимов, П.А. Расчет температурного поля цилиндрического тела на основе улучшенной сходимости рядов Фурье-Бесселя / П.А.Трофимов, А.И. Акимов // Вестник ОГУ. - Оренбург, 2011. - №17/декабрь. - с.366-368

Научные статьи и материалы выступлений на конференциях:

6. Трофимов, П.А. Массообмен в многослойных конструкциях / П.А. Трофимов, Л.Х. Абдулхаликова // Наука и образование: исследования молодых ученых : сборник статей аспирантов ОГПУ. -Оренбург: Изд-во ГУ РЦРО, 2010. - с. 58-60

7. Трофимов, П.А. Преобразование Ханкеля на основе цилиндрических функций I и III рода / П.А. Трофимов, С.А. Саратов // Наука и образование: исследования молодых ученых: сборник статей аспирантов ОГПУ. - Оренбург: Изд-во ГУ РЦРО, 2011. - с. 96-98

8. Трофимов, П.А. Применение метода изотермических поверхностей для решения задач тепломассообмена в многослойных конструкциях с изменяющимся агрегатным состоянием материалов / А.И. Акимов, С.А. Саратов, И.Р. Мурзагулов, П.А. Трофимов // Математика. Информационные технологии. Образование : сборник научных трудов. -Оренбург: Изд-во ОГУ, 2008. - с. 23-30

9. Трофимов, П.А. Механический контроль крутки лонжерона лопастей ветроэнов изготовляемых методом полимеризации и расчет показателей надежности / А.И. Акимов, И.Р. Мурзагулов, С.А. Саратов, П.А. Трофимов // Проблемы устойчивости биоресурсов: теория и практика: материалы 3-й международной научно-практической конференции. - Оренбург: Изд. центр ОГАУ, 2010. - с. 413-416

Ю.Трофимов, П.А. Термонапряжение в композиционных материалах / Л.Х. Абдулхаликова, П.А. Трофимов Н Проблемы устойчивости биоресурсов: теория и практика : материалы 3-й международной научно-практической конференции. - Оренбург: Изд. центр ОГАУ, 2010. - с. 428433

Трофимов, П.А. Испытания на межслоевой сдвиг композиционных материалов / А.И. Акимов, И.Р. Мурзагулов, С.А. Саратов, П.А. Трофимов // Проблемы устойчивости биоресурсов: теория и практика : материалы 3-й международной научно-практической конференции. - Оренбург: Изд. центр ОГАУ, 2010. - с. 433-437

П.Трофимов, П.А. О некоторых свойствах интегрального преобразования Ханкеля для смешанной краевой задачи в конечных пределах / П.А.Трофимов, А.И.Акимов // Вестник ОГПУ. - Оренбург, 2011. -№2(58).-с. 8-12

П.Трофилюв, П.А. Математические модели надежности технических объектов / П.А.Трофимов, А.И.Акимов, Ю.А. Мироненко // Вестник ОГПУ. - Оренбург, 2011. - №4(60). - с. 4-7

14.Трофимов, П.А. Математическое моделирование тепломассообмена и термоупругости в пористой среде / С.А.Саратов, П.А.Трофимов // Вестник ОГПУ, №2(58) Оренбург, Изд-во ОГПУ, 2011 с. 5-8

15.Трофимов, П.А. Изготовление композиционных материалов для летательных аппаратов / П.А. Трофимов// Вестник ОГПУ. - Оренбург, 2011.-№3(59).-с. 17-20

ТРОФИМОВ Павел Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОМАССООБМЕНА В МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ

Подписано к печати 18.11.2013 Усл.-печ. Л 1,0 Тираж 100 экз. заказ № 168

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ООО «Печатный салон «ТиКс» 19.11.2013 г.

ООО "Печатный салон "ТиКс" г. Оренбург ул. Шевченко, 24 оф. 208 тел: (3532) 43-00-64, 60-95-60

Оренбургский государственный педагогический университет

На правах рукописи

04201454454

Трофимов Павел Александрович

Математическое моделирование взаимосвязанных нестационарных процессов тепломассообмена в многослойных

конструкциях

Специальность 05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель — доктор технических наук, профессор И. А. Акимов

Санкт-Петербург - 2013

Оглавление

Введение...................................................................................................................4

Список обозначений.............................................................................................11

Глава 1 Значение композитов. Обзор основных работ по исследованию

диффузии в слоистых телах.................................................................................12

§1.1 Композиционные материалы...................................................................12

§ 1.2 Диффузия в многослойных конструкциях (при нестационарных режимах).............................................................................................................29

1.2.1 Аналитические методы решения.........................................................29

1.2.2 Приближенные аналитические методы..............................................34

1.2.3 Численные методы решения................................................................39

§1.3 Постановка обобщенной математической модели тепломассообмена 42

Глава 2 Аналитическое решение задач диффузии для слоистых тел..............43

§2.1 Постановка математической модели тепломассообмена в

многослойных конструкциях...........................................................................43

§2.1 Аналитическое решение моделей диффузии..........................................49

2.1.1 Интегральные преобразования............................................................49

2.1.2 Нахождение обратного преобразования Ханкеля для смешанной краевой задачи на конечном интервале.......................................................50

2.1.3 Задача диффузии для полого цилиндра..............................................60

2.1.4 Расчет температурного поля цилиндрического тела на основе улучшенной сходимости рядов Фурье-Бесселя..........................................67

§2.2 Аналитическое решение задач диффузии для многослойных конструкций.......................................................................................................72

2.2.1 Общая постановка.................................................................................72

2.2.2 Стационарная задача.............................................................................74

2.2.3 Ядро интегрального преобразования..................................................76

2.2.4 Формула обращения.............................................................................80

2.2.5 Образ оператора Лапласа.....................................................................82

2.2.6 Нестационарная задача.........................................................................89

2.2.7 Взаимосвязанный тепломассообмен в многослойных конструкциях ..........................................................................................................................92

§2.3 Интерпретация аналитических решений................................................94

Глава 3 Численное решение задач диффузии для слоистых тел......................95

§3.1. Метод конечных разностей для трех этапов производства. Дискретизация уравнения.................................................................................95

3.1.1 Аппроксимация производных..............................................................96

3.1.2 Постановка численного метода решения математической задачи.. 97

3.1.3 Случай сплошного цилиндра...............................................................98

3.1.4 Случай сплошного и полого цилиндров для неявной схемы.........102

3.1.5 Граничные условия.............................................................................103

§3.2 Метод прогонки.......................................................................................105

3.2.1 Суть метода. Алгоритм для ЭВМ......................................................105

3.2.2 Метод конечных разностей для многослойных цилиндрических областей.........................................................................................................110

3.2.3 Уравнение диффузии с внутренними источниками........................112

§3.3 Взаимосвязанный тепломассообмен для многослойных цилиндрических областях. Обобщение. Выводы.........................................112

Глава 4 Методика решения задач......................................................................120

Заключение..........................................................................................................128

Литература...........................................................................................................130

Приложение А. Программа для аналитического решения.............................142

Приложение Б. Метод прогонки. Листинг программы...................................145

Приложение В. Температурное поле для трехлойной конструкции.............147

Приложение Г. Динамика отверждения связующего 5-2116.........................150

Приложение Д. Акт о внедрении в производство...........................................153

3

Введение

Работа посвящена изучению взаимосвязанных процессов тепло- и массообмена в слоистых телах при нестационарных режимах применительно к изготовлению многослойных композитов, а также исследованию диффузионных процессов для многослойных конструкций (МК) с учетом полимеризационных превращений.

Актуальность работы. Композиционные материалы (КМ) представляют собой сплошной неоднородный материал, состоящий из двух или более составляющих. Среди составляющих выделяют армирующие элементы, придающие необходимые механические свойства, и связующее (матрицу), соединяющее армирующий материал. КМ представляют собой систему, которая обладает всеми свойствами компонентов в нее входящих или даже превосходящих ее.

Применение КМ в различных областях обусловлено их высокими показателями на удельную прочность, жесткость, легкость, износостойкость и др. В частности, в авиационной промышленности применение композитов (лонжероны лопастей вертолетов и ветроэнов, детали корпусов, целые корпуса) позволяет создавать более легкие и надежные аппараты и устройства. Однако, в связи с возрастающими требованиями к характеристикам композитов становятся актуальными детальные исследования физико-химических процессов, происходящих при их изготовлении, для выработки рекомендаций по повышению качества производимых деталей.

Несмотря на многовековую историю использования многослойных композиционных материалов (бетон, булат и др.) создание математических моделей, описывающих композиты, до сих пор остается трудной задачей. Сложности связаны с необходимостью учета различных теплофизических свойств слоев изделия, нестационарным многоэтапным режимом

изготовления и, для некоторых изделий, явлениями полимеризации связующего, склеивающего слои.

В данной работе предметом исследования были выбраны полые полимерные многослойные КМ, изготавливаемые в нагревательных установках - пресс-формах (ПФ).

Для получения высококачественного продукта необходимо соблюдать оптимальные режимы для ПФ. Но во многих случаях регулировка технологических условий на производстве осуществляется вручную, что требует от оператора, обслуживающего ПФ, высокой квалификации и опыта. Сложности связаны с тем, что физико-химические процессы, происходящие в связующем, могут иметь экзотермический характер, перегрев связующего может привести к его деструкции, следствием недостаточной температуры будет низкая степень полимеризации. Понимание внутренних процессов, происходящих при изготовлении композитов, является необходимым условием получения качественного материала.

Цель диссертационного исследования состоит в разработке математических моделей взаимосвязанных тепломассообменных процессов в многослойных конструкциях с полимеризационными эффектами и получении решения краевых задач аналитическими и численными методами.

Основные задачи исследования:

1. Разработать математические модели тепломассообмена в цилиндрических МК с учетом полимеризационных эффектов.

2. Найти аналитические решения поставленных краевых задач.

3. Построить конечно-разностные схемы и алгоритмы, основанные на них, для расчета диффузионных полей в МК.

4. Создать программы, реализующие полученные алгоритмы на ПК, и

выполнить расчеты пространственно-временных распределений

температурных полей.

Практическая ценность работы заключается в том, что на основе

5

математических моделей разработаны численные программы расчета температурных полей изделия для каждого этапа производства. Аналитически и численно решены задачи с учетом перекрестных эффектов для каждого этапа производства полимерных МК. С помощью численных методов также осуществлены расчеты пространственно-временных зависимостей тепловых полей в многослойных конструкциях с конкретными теплофизическими свойствами и изучен вклад различных факторов, определяющих температурные поля в таких условиях. Созданы рекомендации по изготовлению МК из композиционных материалов, основанные на решении полученных моделей тепломассообмена, учитывающие влияние полимеризации при формовании полимерных МК.

Научная новизна исследования состоит в том, что в отличие от большинства работ, посвященных исследованию многослойных конструкций, рассматриваются взаимосвязанные процессы тепломассообмена в МК. Впервые получены аналитические и численные решения этих задач применительно к производству полимерных цилиндрических МК с учетом эффектов при полимеризации связующего.

Достоверность результатов, полученных в ходе исследований, определяется тем, что в основу положены уравнения тепло- и массообмена, полученные на основе проверенных законов сохранения, а также сопоставлениями результатов теоретических и экспериментальных исследований других авторов.

На защиту выносятся:

1. Обобщение аналитического метода конечных интегральных преобразований для решения краевых диффузионных задач с дополнительными источниками в МК.

2. Аналитические решения методом конечных интегральных преобразований краевых задач взаимосвязанного тепломассообмена с

перекрестными эффектами в МК для каждого этапа производства.

6

3. Модификация метода прогонки в цилиндрической системе координат для решения диффузионных задач в МК с межслоевыми граничными условиями.

4. Численные решения методом конечных разностей линейных и нелинейных краевых задач для МК с условиями сопряжения.

5. Алгоритмы метода прогонки для каждого этапа производства МК, включая случай полимеризации.

6. Программы для расчета теплообменных полей.

Апробация диссертационного исследования. Материалы исследования обсуждались на научных и учебно-методических семинарах и занятиях кафедры математического анализа ФГБОУ ВПО «Оренбургский государственный педагогический университет», а также в форме докладов на конференциях: «Математика. Информационные технологии. Образование» (Оренбург, 2008), «Проблемы устойчивости биоресурсов: теория и практика» (Оренбург, 2010), «Наука и образование: исследования молодых ученых» (Оренбург, 2010 и 2011 гг).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ, в том числе 5 статей в журналах, одобренных ВАК РФ для публикации основных результатов диссертационных исследований.

Внедрение результатов исследования. Результаты исследования были использованы при разработке оптимальной установки электрического обеспечения ООО «Спецэлектромонтаж» для производства композиционных материалов. В результате был составлен акт о внедрении в производство с годовым экономическим эффектом в сумме 2 237 тыс. рублей.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка использованной литературы, четырех приложений.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, выбор цели и задач исследования, сформулированы положения, выносимые на защиту.

В первой главе описывается история появления КМ, их совершенствование с древнейших времен до наших дней, проведена их классификация. Для полимерных КМ детально разобран процесс их становления, история развития. Рассмотрены физико-химические особенности их производства. Описаны различные матрицы композитов.

Рассматривается принцип действия термореактивных связующих. Так для эпоксидных смол, молекулы которых содержат не менее одной

глицидиловой ~с№ сн2 и/или эпоксидной -"с-функциональных

групп, под действием специальных веществ отвердителей происходит раскрытие, так называемого, «эпоксидного» цикла и связывание структур. Далее рассматриваются различные способы формования изделий.

Также в первой главе проведен обзор отечественных и зарубежных источников по исследуемой проблематике. Заслуживает внимания метод конечных интегральных преобразований, разработанный Н.С. Кошляковым и др. [77]. Свое развитие он получил в работах Э.М. Карташова (см., например, [69]) и других ученых. В работах E.H. Туголукова [110], [111] метод конечных интегральных преобразований был обобщен на случай многослойных систем. Для приближенных аналитических решений большой вклад сделан A.A. Кудиновым и его учениками.

Во второй главе поставлены математические модели тепломассообменных процессов, происходящий в многослойных конструкциях при изготовлении композитов для каждого режима изготовления КМ.

С помощью метода конечных интегральных преобразований поставленные модели решены для каждого этапа производства многослойных композитов. Для этого построены ядра интегрального преобразования, формула обращения, найдены формулы для коэффициентов функций, разложенных в ряд Фурье-Бесселя.

В третьей главе полученные модели технологического процесса были исследованы численными методами. Для решения был выбран метод конечных разностей, сочетающий в себе относительную простоту реализации для рассматриваемой задачи и достаточную точность решения для тел классической формы.

Используя неявную схему, где для сетки к - шаг по времени, г - шаг по радиусу, общее уравнение диффузии в цилиндрической системе координат срит=\/г(Л(и)гиг)г было переписано в виде Д£/,*;'+С,и£ где

г<+05=1/2(г(+1+г(), где Л (£/*♦'). Полученная система

решалась с помощью метода прогонки с учетом особенностей на границах слоев (условия сопряжения), а также учета нелинейности коэффициента диффузии.

В четвертой главе рассматривается методика решения задач тепломассообмена на практике. С помощью созданных расчетных программ строятся графики отражающие динамику развития тепломассобменных процессов. Делаются соответствующие выводы.

В заключении приведены основные результаты диссертации:

1. Поставлены математические модели тепломассообмена цилиндрических МК с учетом полимеризации связующего.

2. Методом конечных интегральных преобразований получено решение краевых задач для всех трех этапов производства.

—Дг+1

^ Здесь

ф рс

3. Разработаны конечно-разностные схемы и соответствующие алгоритмы для метода прогонки.

4. Выполнены расчеты на ПК пространственно-временных температурных распределений.

Внедрение результатов исследования. Результаты исследования были использованы при разработке оптимальной установки электрического обеспечения ООО «Спецэлектромонтаж» для производства композиционных материалов. В результате был составлен акт о внедрении в производство с годовым экономическим эффектом в сумме 2 237 тыс. рублей.

Диссертация содержит 156 страниц машинописного текста, список литературы содержит 116 ссылок.

Список обозначений

Лц - коэффициент теплопроводности, Вт/(К м);

Лт — коэффициент теплопроводности, Вт/(°М м);

а] - коэффициент температуропроводности, м2/с;

а2т — коэффициент массопроводности, м2/с;

<7 - тепловой поток на границе слоя, Вт/м ;

л

ач - коэффициент теплоотдачи, Вт/(К м );

Л

ат - коэффициент массоотдачи, Вт/(°М м ); г,ф,г — координаты цилиндрической системы; Ь - удельная теплота фазового перехода, Дж/(К кг); х - время, с;

с9 - удельная теплоемкость, Дж/(К кг);

ст - удельная массоемкость, Дж/(° М кг);

Т - температура слоя, °С;

к - индекс временного слоя;

} - номер слоя многослойной конструкции;

в - потенциал массообмена, ° М;

о

р - плотность препрега, пропитанного связующим, кг/м ;

/ - толщина слоя, м;

е - коэффициент фазового перехода;

6 - термоградиентный коэффициент;

Ъ - коэффициент полимеризации;

Г - поверхность тела.

Глава 1 Значение композитов. Обзор основных работ по исследованию диффузии в слоистых телах

§ 1.1 Композиционные материалы

В первобытной истории человечества, на основе археологических данных, выделяют несколько эпох металла, характеризуемых ведущими ролями изделий из меди, бронзы и железа - медный век, бронзовый век и железный век. В наше время стремительно возрастает значение изделий из композиционных материалов (КМ). Проведя определенную параллель, можно утверждать, что приходит время КМ, условно назовем его «веком композитов».

За последние десятилетия бурное развитие и распространение техники привело к повышению требований для узлов оборудования и различных устройств. Таким образом, классические материалы, сделанные из металлов и их сплавов, уже не везде могут удовлетворить текущие потребности, связанные, например, с высоким модулем упругости, биологической совместимостью, инертностью, электрической стойкостью, небольшой плотностью и другими характеристиками. Решением этих проблем может стать изготовление д�