автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Управление температурным состоянием многослойной стенки и оптимизация ее параметров

На правах рукописи

ТВЕРСКАЯ Елена Сергеевна

УПРАВЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫМ СОСТОЯНИЕМ МНОГОСЛОЙНОЙ СТЕНКИ И ОПТИМИЗАЦИЯ ЕЕ ПАРАМЕТРОВ

Специальности: 05.13.01 -01.04.14-

Системный анализ, управление и обработка информации Теплофизика и теоретическая теплотехника

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана,

Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Волков И.К.

Научный консультант: к.т.н., доц Аттетков A.B.

Официальные оппоненты. д.ф.-м.н., проф. Формалев В.Ф.

к.ф.-м.н., с.н.с. Ермолаев B.C.

Ведущая организация: Московская государственная академия

тонкой химической технологии им. М.В. Ломоносова

Защита диссертации состоится «. ¿V» . 2005 года

в часов 30 мин. на заседании диссертационного совета

Д 212.141.15 при Московском государственном техническом университете им. Н.Э Баумана по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью организации, просим высылать по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, МГТУ им. Н.Э. Баумана, ученому секретарю совета Д 212.141.15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Автореферат разослан «» кМА^Я- 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.т.н., профессор

Кувыркин Г.Н.

Чоъц

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В приложениях математической

теории теплопроводности важное место занимают задачи управления температурным полем, оптимизации и оценивания эффективных значений теплофизических и геометрических параметров конструкции, предназначенной для функционирования в условиях интенсивных внешних тепловых воздействий, а также задачи, связанные с разработкой перспективных методов и средств ее тепловой защиты. Специфика процесса формирования температурного поля в твердом теле в существенной степени зависит от пространственно-временной структуры воздействующего теплового потока. В теоретических исследованиях основное внимание уделяют осесимметричным пространственно-распределенным (с интенсивностью гауссовского типа) тепловым потокам. Результаты воздействия концентрированных (круговых, кольцевых и других правильных геометрических форм) тепловых потоков изучены в значительно меньшей степени.

На основании анализа имеющейся информации можно утверждать, что к задачам, требующим проведения дополнительных исследований, следует отнести задачу об определении достаточных условий существования оптимальной толщины системы «охлаждаемая стенка - теплозащитное покрытие», находящейся под воздействием осесимметричных пространственно-распределенных и концентрированных тепловых потоков в стационарных и импульсно-периодических режимах. Особый интерес представляют теплоизоляции, использующие термоэлектрические явления для регулирования температурного поля или термостатирования конструкций Одним из основных элементов подобных теплоизоляций является термоактивная прокладка, образующая промежуточный слой в системе «конструкция - теплозащитное покрытие».

Трудности, возникающие при исследованиях процесса формирования температурного поля в системе «конструкция - термоактивная прокладка - теплозащитное покрытие» методами математического моделирования, хорошо известны. Поэтому при построении математической модели изучаемой системы учитывают

специфические особенности термоактивной прокладки и используют условия сопряжения, обеспечивающие на поверхности контакта равенство температур и разрыв тепловых потоков. Заметим, что до настоящего времени отсутствуют результаты анализа возможностей не только оптимального (в каком-то смысле), но и программного изменения температурного поля на защищенной поверхности системы «конструкция - термоактивная прокладка - теплозащитное покрытие».

Цель и задачи исследования. Цель проведенных исследований - обоснование возможностей управления температурным состоянием экранированной стенки, защищенная поверхность которой находится под воздействием внешнего теплового потока, а незащищенная охлаждается внешней средой, путем оптимизации ее параметров и использования термоактивной прокладки.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач:

1. Параметрический анализ специфических особенностей стационарного температурного поля однослойной стенки, обусловленных типом внешнего теплового потока, воздействующего на одну из ее поверхностей при условии, что вторая охлаждается внешней средой.

2. Параметрический анализ стационарного температурного поля стенки с покрытием, защищенная поверхность которой находится под воздействием осесимметричного теплового потока с: интенсивностью гауссовского типа в импульсно-периодическом режиме, а незащищенная охлаждается внешней средой, и определение достаточных условий существования оптимальной толщины рассматриваемой системы «стенка - теплозащитное покрытие».

3. Обоснование условий сопряжения в системе «стенка - термо-актипная прокладка - теплозащитное покрытие».

4. Исследование процесса формирования температурного поля в системе «стенка - термоактивная прокладка - теплозащитное покрытие» и обоснование возможностей управления им с использованием термоактивной прокладки.

5. Параметрический анализ стационарного температурного поля в системе «стенка - теплозащитное покрытие» при наличии в изучаемой системе термоактивной прокладки, функционирующей по принципу обратной связи (обобщенный вариант задачи 2).

6. Реализация идеи уточнения модели «сосредоточенная емкость» для описания процесса формирования температурного поля в стенке с покрытием, защищенная поверхность которой находится под воздействием внешнего теплового потока, а незащищенная охлаждается внешней средой.

Методы исследования. При решении задач, возникающих в ходе выполнения диссертационной работы, использовались различные классы математических методов: методы теории интегральных преобразований и математической физики; методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и математического анализа, методы теории функций комплексного переменного и математической теории теплопроводности

Достоверность и обоснованность полученных результатов гарантируется строгостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением результатов, полученных с использованием различных методов и вычислительных экспериментов. Сформулированные в работе допущения обоснованы как путем их содержательного анализа, так и метода математического моделирования. Результаты диссертационной работы согласуются с результатами, полученными ранее другими авторами и другими методами в частных и предельных случаях.

Научная новизна. Установлено, что вне зависимости от типа теплового потока (пространственно-распределенного с интенсивностью гауссовского типа, концентрированного кольцевого и концентрированного кругового), воздействующего в импульсно-периодическом режиме на одну из поверхностей изотропной стенки при охлаждении другой ее поверхности внешней средой, при выполнении определенных условий существует оптимальная толщина этой стенки, обеспечивающая минимальное значение установившейся температуры ее наиболее нагретой точки

Доказано, что импульсно-периодический режим концентрированного нагрева охлаждаемой стенки через круговую область может приводить к существованию ее оптимальной толщины, обеспечивающей не только минимальную, но и максимальную установившуюся температуру се наиболее нагретой точки.

Найдены достаточные условия существования оптимальной толщины экранированной стснки, защищенная поверхность которой находится под воздействием осесимметричного пространственно-распределенного теплового потока с интенсивностью гауссовского типа в импульсно-периодическом режиме, а незащищенная - охлаждается внешней средой.

Разработаны и теоретически обоснованы условия сопряжения в системе «стенка - термоактивная прокладка - теплозащитное покрытие».

Получены различные аналитические представления решения задачи о нахождении температурного поля в системе «стенка - тер-моактивттая прокладка - теплозащитное покрытие», позволившие обосновать возможность управляемого воздействия на процесс формирования изучаемого температурного поля.

Найдены достаточные условия существования оптимальной толщины экранированной стенки при наличии термоактивной прокладки, функционирующей по принципу обратной связи.

Идентифицирована уточненная модель «сосредоточенная емкость» для описания процесса формирования температурного поля в экранированной стенке, защищенная поверхность которой находится под воздействием внешнего теплового потока, а незащищенная - охлаждается висшпей средой.

Практическая ценность диссертационной работы связана с ее прикладной ориентацией, а полученные результаты могут быть использованы при исследовании и прогнозировании температурного состояния многослойных конструкций, разработке эффективных методов управления их температурным полем и средств тепловой защиты в условиях воздействия внешних осесиммметричных пространственно-распределепных и концентрированных тепловых потоков.

Диссертация является составной частью фундаментальных научных исследований, проводимых в рамках научно-исследовательской работы аспирантов высших учебных заведений Минобразования РФ «Математическое моделирование процессов формирования температурных полей в многослойных областях,

их оптимизация и управление» (грант АОЗ-2.8-151), а полученные результаты частично использованы при выполнении научно-исследовательской работы «Разработка методов расчета сопряженного тепломассопереноса в элементах конструкций управляющих ракетных двигателей космических аппаратов» гранта Минобразования РФ по фундаментальным исследованиям в области технических наук (грант Т02-14.0-1812).

На защиту выносятся следующие положения:

1. Результаты параметрического анализа стационарного температурного поля изотропной стенки, одна из поверхностей которой охлаждается внешней средой, а другая находится под воздействием осесиммметричного теплового потока (пространственно-распределенного с интенсивностью гаусовского типа, концентрированного кругового и концентрированного кольцевого) в импульсно-периодическом режиме.

2. Достаточные условия существования оптимальной толщины экранированной стенки, незащищенная поверхность которой охлаждается внешней средой, а защищенная - находится под воздействием осесимметричного пространст венно-распределенного теплового потока с интенсивностью гауссовского типа, функционирующего в импульсно-периодическом режиме.

3. Условия сопряжения в системе «стенка - термоактивная прокладка - теплозащитное покрытие».

4. Обоснование возможности управляемого воздействия на процесс формирования температурного поля системы «стенка - термоактивная прокладка - теплозащитное покрытие».

5. Достаточные условия существования оптимальной толщины экранированной стенки при наличии термоактивной прокладки, функционирующей по принципу обратной связи.

6. Уточненная модель «сосредоточенная емкость» для описания процесса формирования температурного поля в экранированной стенке, незащищенная поверхность которой охлаждается внешней средой, а защищенная находится под воздействием внешнего теплового потока.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на 2-й Международной конференции «Ракетно-космическая техника: фундаментальные и прикладные проблемы» (Москва, 2003), 11-й Международной конференции «Математика, компьютер, образование» (Дубна, 2004), Международной научно-технической конференции «Фундаментальные проблемы высокоскоростных течений» (Жуковский, 2004), V Минском научном форуме «Тепломассообмен ММФ-2004» (Минск, 2004), 3-й Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, 2005).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 5-и научных статьях [1-3,5,7] и 3-х тезисах докладов [4,6,8].

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 126 страницах, содержит 41 иллюстрацию. Библиография включает 121 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, основные положения, выносимые на защиту, приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы.

В первой главе проведен анализ особенностей процесса формирования стационарного температурного поля в плоской изотропной стенке в зависимости от типа воздействующего осесимметрич-ного теплового потока (пространственно-распределенного или концентрированного), функционирующего в импульсно-периодическом

режиме, с использованием следующей математической модели: ©(р, ®,Го)1№=0 = 0; (2)

= В1^-@(р,х,¥о)\х=н)- (3)

х=Н

= цВ: Мр,х,¥о)\х=0 - 1] - д(р)Ф(Ро), (4)

дв(р,х Ро)

дх

дв{р, х Ро)

дх

1=0

где при любых фиксированных Ро > 0 и х € (0; Я) функции 9 (р, х,Го) и С}(р), как функции р, являются оригиналами интегрального преобразования Ханкеля нулевого порядка;

Ф(Г0) = Ро* + ЛРо* + ехР(-7Ро)^(Ро);

00

Ь - п(р0* + ЛГо*)] -»? ро - Ро* - "(Ро* + лр°*Ш;

п=О

а Т-Т0 аг Т г I

_ «о д. _ Оци _ Т' - 7о _ дг„ а,' А ' ^ ТО-То' ^ Л (7?-То)'

Т (г, г, - температура стенки в точке с координатами (г, г) в момент времени Ь в цилиндрической системе координат гОг; <7 - удельная мощность (плотность) теплового потока, имеющая осесимме-тричное распределение ц = д(г): То постоянная начальная температура стенки, отличная от температуры внешней среды Т'; I - толщина стенки; г* - выбранная единица масштаба, определяемая типом воздействующего осесимметричного теплового потока; Л - коэффициент теплопроводности; а - коэффициент температуропроводности; а - коэффициент теплоотдачи; Ро* + ЛРо* - период импульсно-периодического режима воздействия теплового потока; Ро* - длительность активной фазы его воздействия; 7 - коэффициент затухания теплового потока; щ () - единичная функция Хевисайда Конкретный вид граничного условия (4) исходной математической

модели (1) - (4) будет определен типом воздействующего осесим-метричного теплового потока В проведенных исследованиях рассмотрены пространственно-распределенный тепловой поток с интенсивность гауссовского типа

Q(p)-g0exp(-AV),

где к - коэффициент сосредоточенности теплового потока, и и концентрированные - круговой (r — 0) и кольцевой (Я 6 (0,1))

Q(p) = Qo [v(p R) - v(p -1)],

где r = ro/Vi; г о, r\ - внутренний и внешний радиусы зоны воздействия теплового потока.

Для нахождения стационарного температурного поля рассматриваемой стенки сначала было найдено решение задачи (1) - (4) в изображениях интегральных преобразований Ханкеля пулевого порядка по р и Лапласа по Fo с последующим обращением интегрального преобразования Ханкеля и использованием предельной теоремы операционного исчисления.

Результаты вычислительных экспериментов указывают на возможность существования оптимальной толщины opt{//} с генки, обеспечивающей минимальную установившуюся температуру ее наиболее нагретой точки. Увеличение интенсивности теплоотдачи на поверхности х = Н стенки (возрастание Bi) приводит к монотонному убыванию (вплоть до нуля) значения opt{#}. Причем, в отличие от режима воздействия осесимметричного тепловою потока с интенсивностью гауссовского типа, воздействие кругового и кольцевого тепловых потоков приводит к существованию отличной от нуля толщины стенки, обеспечивающей не только минимальную, но и максимальную установившуюся температуру ее наиболее нагретой точки.

Вторая глава посвящена решению задачи об определении достаточных условий существования оптимальной толщины opt {Я} плоской изотропной стенки (толщины Н) с теплозащитным покрытием (толщины е) С незащищенной стороны стенка охлаждается

внешней средой с постоянными температурой и коэффициентом теплоотдачи, а со стороны теплозащитного покрытия находится под воздействием как осесимметричного теплового потока с интенсивностью гауссовского типа, функционирующего в импульсно-периодическом режиме, так и внешней среды с постоянными температурой и коэффициентом теплоотдачи.

Для описания процесса формирования температурного поля в системе «стенка - теплозащитное покрытие» была использована нестационарная двумерная математическая модель теплопроводности в цилиндрической системе координат при наличии идеального теплового контакта в системе. В результате анализа этой модели установлено, что температурное поле в изучаемой системе представляет собой сумму трех составляющих, две из которых обусловлены воздействием внешних сред, теплообмен с которыми реализуется по закону Ньютона. Характер формирования подобных составляющих хорошо изучен, а специфические особенности интересующего нас стационарного температурного поля от них не зависят. Поэтому, в целях упрощения дальнейших рассуждений, было решено ограничиться анализом лишь той составляющей, которая определяет процесс формирования температурного поля в плоской изотропной стенке с теплозащитным покрытием, незащищенная поверхность которой охлаждается внешней средой с постоянной температурой, равной начальной температуре стенки, а со стороны покрытия - подверженной воздействию теплового потока с интенсивностью гауссовского типа в импульсно-периодическом режиме.

С использованием интегральных преобразований Ханкеля нулевого порядка и Лапласа определена установившаяся температура t наиболее нагретой точки рассматриваемой стенки. При проведе-

нии параметрического анализа этой установившейся температуры установлено, что при любой фиксированной толщине стенки увеличение толщины ее покрытия приводит к монотонному снижению искомой установившейся температуры 0(Я, е) Поэтому условия существования оптимальной толщины стенки были найдены при фиксированной толщине покрытия

ш

0.7"

0.5!

0.42

0.21

01

Я

0123456789 10

Рис. 1. Зависимость нормированной установившейся температуры 5(Н) =

[А:2(Го* + ДГо*) (<50Го*)-1] 9(Я, 1) наиболее нагретой точки экранированной стенки от ее толгцины Н при различных значениях критерия Био и коэффициента сосредоточенности к импульсно-периодического теплового потока с интенсивностью гауссовского типа 1 - В1 = 1,

к - 100; 2 -В1 — 1.3, к - 100, 3 - В1 = 1, к = 1; 4 - В1 = 5, к = 100

В соответствии с результатами вычислительных экспериментов, частично представленных на рис. 1, можно утверждать, что, в случае существования оптимальной толщины стенки с покрытием, воз-рас 1ание значения В1 при фиксированном к сопровождается уменьшением значения орг;{#} вплоть до нуля (рис. 1, кривые 1, 2, 4). Увеличение значения к, соответствующее уменьшению дисперсии воздействующего потока, сопровождается резким увеличением значения ор! {Н] при фиксированном значении В1 (рис. 1, кривые 1 и 3).

Следует также заметить, что полученные условия являются достаточными, и их нарушение может быть связано как с существованием оптимальной толщины экранированной стенки (рис. 1, кривая 3), так и с ее отсутствием (рис 1, кривая 4)

В третьей главе для анализа влияния термоактивной прокладки на тепловое состояние системы «стенка - термоактивная

прокладка - теплозащитное покрытие» были проанализированы принципы функционирования термоактивных прокладок, обоснованы условия сопряжения в изучаемой системе и предложена следующая математическая модель:

эе1 а2©!

дУо

дх2

а<©(Ро)> _

Го > 0, е < х < е + Я;

901 (ж, Го)

с1Го

дх

-Л

д02(х, Го)

=£+0

- д»(Го), Го > о,

дх

2=0-0

а©2= 2^©2

ЗРо *

В1(1,Го)|Ро=0

а©1(а;,Го)

дх

х=е+Я

е1(®,Ро)и+0 = (е(Ро)>-<9в2(ж, Го) _ <Э(Ро) Л '

0 < X < £,

Ро > 0, -I <х < 0; (е(Го))|ро=0=е2(х,Ро)|ро=0 = 0; В^-в^БЬ)^*}; ©2(х,БЬ)|х=0_0

дх

х=-1

где н, е, i - безразмерные толщины стенки, термоактивной прокладки и теплозащитного покрытия соответственно; е„ - критериальный безразмерный параметр, определяемый как соотношением теплофизических характеристик материалов изучаемой системы, так и толщин стенки и теплозащитного покрытия; (9(Го)) - средне-интегральная по толщине термоактивной прокладки температура, <2» ~ удельная мощность теплопоглощения в термоактивной прокладке; Л и х2 ~ безразмерные параметры, характеризующие относительную теплопроводность стенки и ее теплоинерционные свойства относительно теплозащитного покрытия.

Установлено, что для достижения преследуемой цели наибольший интерес представляет анализ температуры на теплоизолированной поверхности стенки Проведен анализ влияния режимов функционирования термоактивной прокладки на температурное поле экранированной стенки, т е. возможность программного управления теплоизоляцией Для этого были рассмотрены два случая- полной компенсации воздействия внешнего теплового потока

(режим термостатирования; рис. 2) и программного изменения температуры на теплоизолируемой поверхности стенки (рис. 3). Установлено существование ситуаций, в которых невозможно обеспечение программного изменения температуры на теплоизолируемой поверхности стенки в стандартном классе функций-оригиналов, задающих закон теплопоглощения в термоактивной прокладке.

Рис. 2. Временная зависимость

компенсирующего теплопоглощения <3,(Ро) 1ермоактивной прокладки в импульсно-периодическом режиме внешнего тепл0в01 о воздействия при <?о = 1, Ро* = 1 и ДРо* = 3

СДР")

Рис. 3. Временная зависимость компенсирующею те-

плопоглощения С(Го)

термоактивной прокладки в режиме внешнего теплового воздействия постоянной мощности <У(Ко) = £?о ~ 1 при £,=01

Для системы «стенка термоактивная прокладка - теплозащитное покрытие» достаточные условия существования оптимальной толщины стенки, обеспечивающей минимальную установившуюся температуру ее наиболее нагретой точки, были найдены для режима функционирования термоактивной прокладки по принципу обратной связи.

В соответствии с результатами вычислительных эксперимен- I

тов, частично представленных на рис 4, можно утверждать, что в случае существования оптимальной толщины плоской изотропной стенки с теплозащитным покрытием и промежуточным слоем в виде термоактивной прокладки, функционирующей по принципу обратной связи, возрастание значения Bi при фиксированном к сопровождается уменьшением значения opt{ii} вплоть до нуля (см.

рис. 4, кривые 1, 2, 3, 4). Увеличение значения к сопровождается ростом значения ор1;{#} при фиксированном В1 (см. рис. 4, кривые 2, 5, 6).

1ПД 1 1 Г -Г Г I 1 1 И N V ----

021 IV -

0.2

\ 3

0.19 У^х—— -

0 18 - 1 -

0 17 ..... 1 1 1

О 1.2 2.4 3.6 4.8 6

Рис. 4. Зависимость нормированной температуры 5(Н) =

[к2 (Ко* + ЛГо*) (<50Р°*) ©(Я, 1) наиболее нагретой точки экрани-роваппой стенки от ее толщины Н при различных значениях критерия Био и коэффициента сосредоточенности к импульсно-периодичегкого теплового потока с интенсивноеIью гауссовского типа 1 В] = 0 5, к~1; 2 - ВЫ 0.6, к=1;3 Вх = 0 7, к = 1, 4 В1 - 1 5, к = 1; 5 -В1 = 0.6, к = 1.1, 6 В1 = 0 6, & = 0.9

Четвертая глава посвящена корректному уточнению математической модели «сосредоточенная емкость», описывающей температурное поле экранированной стснки при воздействии на нее со стороны покрытия осесимметричного теплового потока, с целью качественного расширения диапазона применимости упрощенного аналога исходной «точной» модели

Для построения уточпенной модели «сосредоточенная емкость»:

50 18/ 5в\ 32е ^

д (9(р, Го)) _ х2 Г1А М(в(р,Ро))\ + л дЩр^о) \рдр \ др ) дх

+

2=0+0

д¥о

о)} , Ео > 0, -1 < х < 0, р > 0; в (р,х,Ро)|Ро_0 = <в(р, Го))|ро=0 = 0;

эе(р,*,Ро)| = _д(рРо);

х=-1

= ¡1 {в(р,х,Ро)\х=0+0-(9(р,?о))}-,

дх

лае(р,х, Ео)

дх

дв{р,х,¥о)

дх

1=0+0

= ^©(р.ж.Ко)!^

х—Ц

предполагалось, что тепловой поток на защищенной поверхности рассматриваемой стенки пропорционален разности температуры 0(р, 0 + 0,Ро) стенки на этой поверхности и среднеинтегральной по толщине покрытия температуре {©(р,Ео)).

Неизвестный параметр ц найден из условия стремления к нулю при Ео -4- оо модуля разности интегральных величин тепловых потерь в покрытии, определяемых с использованием «точной» модели и уточненной модели «сосредоточенная емкость». Установлено, что, как для экранированного полупространства, так и для экранированной стенки конечной толщины, значение этого параметра д = 2.

Результаты проведенных исследований указывают па значительные преимущества разработанной уточненной модели «сосредоточенная емкость» по сравнению с «точной» моделью.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Плоская изотроппая стенка, одна из поверхностей которой (незащищенная) охлаждается внешней средой, а другая (защищенная или незащищенная) - находится под воздействием внешнего осе-симметричного теплового потока (концентрированного кругового или кольцевого, пространственно-распределенного с интенсивностью гауссовского типа), является одним из основных элементов рассматриваемых систем. По результатам проведенных исследований могут быть сделаны следующие выводы

1. Вне зависимости от типа теплового потока, воздействующего на одну из незащищенных поверхностей рассматриваемой стенки, существует ее оптимальная толщина, минимизирующая установившуюся температуру наиболее нагретой точки этой стенки, что позволяет ограничиться далее анализом воздействия пространственно-распределенного теплового потока с интенсивностью гауссовского типа.

2. Реализация условий, полученных при выполнении диссертационной работы, гарантирует существование оптимальной толщины экранированной стенки.

3. Увеличение интенсивности теплоотдачи с незащищенной стороны стенки с теплозащитным покрытием приводит к монотонному убыванию (вплоть до нуля) ее оптимальной толщины, а уменьшение дисперсии воздействующего теплового потока - к возрастанию этой оптимальной толщины.

4. Разработанная математическая модель и полученные аналитические представления решения задачи об определении температурного поля в системе «стенка - термоактивпая прокладка - теплозащитное покрытие» позволяют обосновать возможность управляемого воздействия на температурное поле рассматриваемой системы и проводить параметрический анализ процесса его формирования.

5. Предложенная и идентифицированная уточненная модель «сосредоточенная емкость» адекватно описывает процесс формирования температурного поля в экранированой стенке и позволяет эффективно решать соответствуютцие практически важные задачи.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ

В РАБОТАХ

1. Аттетков А.В , Волков И К , Тверская Е С Оптимальная толщина охлаждаемой стенки с покрытием, подверженной локальному импульсно-периодическому нагреву // Инженерно-физический журнал. - 2001. - Т. 74, №6. - С. 82-87.

2. Аттетков А В., Волков И К , Тверская Е С Термоактивная прокладка как средство управляемого воздействия па температур ное поле конструкции // Известия РАН. Энергетика. - 2002. - №4. - С. 131-141.

3. Аттетков A.B., Волков И.К., Тверская Е.С. Математическое моделирование процесса теплопереноса в экранированной стенке при осесимметричном тепловом воздействии // Известия РАН. Энергетика. - 2003. - №5. - С. 75-88.

4. Аттетков A.B., Волков И К., Тверская Е.С. Особенности формирования стационарного температурного поля в охлаждаемой стенке при импульсно-периодическом воздействии осесимметрич-пых концентрированных и пространственно-распределенных тепловых потоков // Фундаментальные проблемы высокоскоростных течений: Тез. докл. международной научно-технической конф. -Жуковский, 2004 - С. 93-94

5. Тверская Е.С. Условия существования оптимальной толщины экранированной стенки, подверженной локальному импульсно-периодическому нагреву // Тепломассообмен ММФ-2004: Труды V Минского научного форума. - Минск, 2004. - Т.З. Теплопроводность и задачи оптимизации теплообмена. - С. 282-284

6. Тверская Е.С Уточнение модели «сосредоточенная емкость» для процесса формирования температурного поля в экранированной стенке при осесимметричном тепловом воздействии // Математика, компьютер, образование: Тез. докл. 11-ой международной конф. -Дубна, 2004. - С. 159.

7. Аттетков A.B., Тверская Е.С. Особенности формирования стационарного температурного поля в охлаждаемой стенке при ее импульсно-периодическом нагреве через круговую область // Современные естественно-научные и гуманитарные проблемы: Сборник трудов. - М.: Логос, 2005. - С. 413-423.

8. Аттетков A.B., Волков И.К., Тверская Е.С. Математическое моделирование процесса управляемого воздействия на температурное поле экранированного полупространства // Необратимые процессы в природе и технике: Тез док л Всероссийской конф. М., 2005. - С. 148-150.

Подписано к печати ¿5.04,05. Заказ №^22 Объем 1,0 п.л. Тираж 100 экз. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.

РНБ Русский фонд

2006-4 4034

ВВЕДЕНИЕ

1. ОСОБЕННОСТИ СТАЦИОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ПЛОСКОЙ ИЗОТРОПНОЙ СТЕНКИ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ ТИПОМ ВОЗДЕЙСТВУЮЩЕГО ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕПЛОВОГО ПОТОКА.

1.1. Исходная математическая модель.

1.2. Определение стационарного температурного поля на поверхности плоской изотропной стенки.

1.3. Анализ стационарного температурного поля нагреваемой поверхности плоской изотропной стенки с учетом типа воздействующего осесимметричного теплового потока

2. ОПТИМАЛЬНАЯ ТОЛЩИНА ПЛОСКОЙ ИЗОТРОПНОЙ СТЕНКИ С ТЕПЛОЗАЩИТНЫМ ПОКРЫТИЕМ, НАХОДЯЩЕЙСЯ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕПЛОВОГО ПОТОКА С ИНТЕНСИВНОСТЬЮ ГАУССОВСКОГО ТИПА В ИМПУЛЬСНО-ПЕРИОДИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ.

2.1. Постановка задачи и математическая модель.

2.2. Определение установившейся температуры наиболее нагретой точки экранированной стенки.

2.3. Параметрический анализ установившейся тепературы наиболее нагретой точки экранированной стенки

2.4. Достаточные условия существования оптимальной толщины экранированной стенки.

3. ТЕРМОАКТИВНАЯ ПРОКЛАДКА КАК СРЕДСТВО УПРАВЛЯЕМОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ НА ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ ЭКРАНИРОВАННОЙ СТЕНКИ.

3.1. Термоактивная прокладка и условия сопряжения

3.2. Исходная математическая модель и возможные пути ее реализации.

3.3. Анализ влияния режимов функционирования термоактивной прокладки на температурное поле экранированной стенки.

3.4. Оптимальная толщина экранированной стенки при функционировании термоактивной прокладки по принципу обратной связи

3.4.1. Постановка задачи.

3.4.2. Установившаяся температура наиболее нагретой точки стенки.

3.4.3. Параметрический анализ установившейся температуры наиболее нагретой точки экранированной стенки

4. УТОЧНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ «СОСРЕДОТОЧЕННАЯ ЕМКОСТЬ» ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ЭКРАНИРОВАННОЙ СТЕНКИ, НАХОДЯЩЕЙСЯ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ОСЕСИММЕ-ТРИЧНОГО ТЕПЛОВОГО ПОТОКА

4.1. Исходная математическая модель и ее упрощенный аналог

4.2. Идентификация определяющего параметра д упрощенной математической модели.

4.3. Температурное поле и анализ результатов вычислительного эксперимента.

ВЫВОДЫ.

Актуальность темы. В приложениях математической теории теплопроводности [1-4] важное место занимают задачи управления температурным полем [5-15], оптимизации и оценивания эффективных значений теплофизических и геометрических параметров конструкции, предназначенной для функционирования в условиях интенсивных внешних тепловых воздействий [16-33], а также задачи, связанные с разработкой перспективных методов и средств ее тепловой защиты [28,34-48].

Специфика процесса формирования температурного поля в твердом теле в существенной степени зависит от пространственно-временной структуры воздействующего теплового потока. В теоретических исследованиях основное внимание уделяют осесимметрич-ным пространственно-распределенным (с интенсивностью гауссов-ского типа) тепловым потокам [1,28,49-89]. Результаты воздействия концентрированных (круговых, кольцевых и других правильных геометрических форм) тепловых потоков известны в значительно меньшей степени [49-55]. При этом следует заметить, что исследователи, как правило, ограничиваются рассмотрением стационарных режимов теплового воздействия и анализом температурного состояния области, моделируемой изо- или анизотропным полупространством [1,54-80].

При разработке перспективных методов и средств тепловой защиты конструкций плоская стенка конечной толщины, находящаяся под воздействием осесимметричного теплового потока, как объект исследований, имеет очевидные преимущества по сравнения с полупространством. Но публикаций, посвященных исследованиям температурных полей в плоской стенке конечной толщины, известно сравнительно не много [81-87], и среди них следует выделить работу [82], в которой получены достаточные условия существования оптимальной толщины плоской изотропной стенки, одна из поверхностей которой охлаждается внешней средой, а вторая находится под воздействием стационарного осесимметричного теплового потока с интенсивностью гауссов-ского типа. При этом под оптимальной понималась толщина стенки, обеспечивающая минимальную установившуюся температуру ее наиболее нагретой точки. Условия существования оптимальной толщины охлаждаемой стенки, находящейся под воздействием осесимметрич-ного концентрированного теплового потока, автору настоящей диссертационной работы не известны, что можно объяснить спецификой процесса формирования соответствующего температурного поля.

Исследования [88, 89] температурного состояния плоской изотропной стенки с покрытием, защищенная поверхность которой находится под воздействием стационарного осесимметричного теплового потока с интенсивностью гауссовского типа, не привели к результату, позволяющему установить условия существования оптимальной толщины системы «стенка - теплозащитное покрытие». Таким образом, обобщая результаты проведенного анализа, можно утверждать, что к задачам, требующим проведения дополнительных исследований, следует отнести задачу об определении достаточных условий существования оптимальной толщины системы «охлаждаемая стенка - теплозащитное покрытие», находящейся под воздействием осесимметричных пространственно-распределенных и концентрированных тепловых потоков в стационарных и импульсно-периодических режимах.

Один из аспектов рассматриваемой проблемы связан с разработкой эффективных методов тепловой изоляции конструкций. При этом, в соответствии со сложившейся терминологией [28], под тепловой изоляцией (теплоизоляцией), будем понимать совокупность действий, направленных на снижение интенсивности кондуктивного, конвективного или радиационного теплообмена на поверхности конструкции. Материалы, применяемые для теплоизоляции, будем называть термоизоляторами [28].

Практический интерес представляют теплоизоляции, использующие термоэлектрические явления для регулирования температурного поля или термостатирования конструкций [20,28,38]. Одним из основных элементов подобных теплоизоляций является термоактивная прокладка, образующая промежуточный слой в системе «конструкция -теплозащитное покрытие» и представляющая собой изотропную пластину конечной толщины, на поверхности которой нанесены пленочные покрытия (например, путем вакуумного напыления или вжига-нием в пластину) пренебрежимо малой толщины. При этом, как правило, удельная теплоемкость такого пленочного покрытия значительно меньше, чем удельные теплоемкости самой пластины и теплоизолируемой конструкции. В результате управляемых внешних воздействий (например, в результате регулирования силы электрического тока) в термоактивной прокладке может происходить как выделение, так и поглощение теплоты с заданной удельной мощностью [90].

Исследования процесса формирования температурного поля в системе «конструкция - термоактивная прокладка - теплозащитное покрытие» методами математического моделирования даже с использованием простейшей постановки связаны с необходимостью решения соответствующей задачи теории теплопроводности в пятислойной области при наличии идеального теплового контакта между слоями (граничное условие четвертого рода [2-4]). Трудности, возникающие при решении подобных задач, хорошо известны. Поэтому при построении математической модели изучаемой системы учитывают специфические особенности термоактивной прокладки и используют условия сопряжения, обеспечивающие на поверхности контакта равенство температур и разрыв тепловых потоков [20,38,91-93].

Оценивая известные теоретические результаты, можно утверждать, что исследования, связанные с использованием термоактивных прокладок, находятся еще на своем начальном этапе. В связи с этим заметим лишь, что до настоящего времени отсутствуют результаты анализа возможностей не только оптимального (в каком-то смысле), но и программного изменения температурного поля на защищенной поверхности системы «конструкция - термоактивная прокладка - теплозащитное покрытие».

Трудности, которые приходится преодолевать при проведении параметрического анализа температурных полей в многослойных конструкциях, подверженных интенсивным внешним тепловым воздействиям, приводят к необходимости разработки упрощенных аналогов используемых «точных» моделей. Построение упрощенных математических моделей для описания процессов формирования температурных полей в многослойных областях в практике научных исследований зачастую связывают с реализацией идеи «сосредоточенная емкость» [94-97]. Суть этой идеи состоит в принятии допущения о равенстве среднеинтегральной температуры слоя температуре на его границах, что приводит к сравнительно узкому диапазону возможного корректного применения получаемых упрощенных аналогов исходных «точных» моделей.

При математическом моделировании процесса формирования температурного поля в охлаждаемой плоской изотропной стенке с покрытием, защищенная поверхность которой находится под воздействием внешнего теплового потока, реализацию идеи «сосредоточенная емкость» вряд ли можно считать правомочной во всех случаях, поскольку в общем случае слой термоизолятора не является «термически тонким». Поэтому представляется актуальной реализация идеи уточнения модели «сосредоточенная емкость» [94] с целью качественного расширения диапазона корректного применения получаемого упрощенного аналога исходной «точной» модели.

Цель и задачи исследования. Цель проведенных исследований - обоснование возможностей управления температурным состоянием экранированной стенки, защищенная поверхность которой находится под воздействием внешнего теплового потока, а незащищенная - охлаждается внешней средой, путем оптимизации ее параметров и использования термоактивной прокладки.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач:

1. Параметрический анализ специфических особенностей стационарного температурного поля однослойной стенки, обусловленных типом внешнего теплового потока, воздействующего на одну из ее поверхностей при условии, что вторая охлаждается внешней средой. тенсивностью гауссовского типа в импульсно-периодическом режиме, а незащищенная - охлаждается внешней средой, и определение достаточных условий существования оптимальной толщины рассматриваемой системы «стенка - теплозащитное покрытие».

3. Обоснование условий сопряжения в системе «стенка - термоактивная прокладка - теплозащитное покрытие».

4. Исследование процесса формирования температурного поля в системе «стенка - термоактивная прокладка - теплозащитное покрытие» и обоснование возможностей управления им с использованием термоактивной прокладки.

5. Параметрический анализ стационарного температурного поля в системе «стенка - теплозащитное покрытие» при наличии в изучаемой системе термоактивной прокладки, функционирующей по принципу обратной связи (обобщенный вариант задачи 2).

6. Реализация идеи уточнения модели «сосредоточенная емкость» для описания процесса формирования температурного поля в стенке с покрытием, защищенная поверхность которой находится под воздействием внешнего теплового потока, а незащищенная -охлаждается внешней средой.

Методы исследования. При решении задач, возникающих в ходе выполнения диссертационной работы, использовались различные классы математических методов: методы теории интегральных преобразований и математической физики; методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и математического анализа; методы теории функций комплексного переменного и математической теории теплопроводности.

Достоверность и обоснованность полученных результатов гарантируется строгостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением результатов, полученных с использованием различных методов и вычислительных экспериментов. Сформулированные в работе допущения обоснованы как путем их содержательного анализа, так и метода математического моделирования. Результаты диссертационной работы согласуются с результатами, полученными ранее другими авторами и другими методами в частных и предельных случаях.

Научная новизна. Установлено, что вне зависимости от типа теплового потока (пространственно-распределенного с интенсивностью гауссовского типа, концентрированного кольцевого и концентрированного кругового), воздействующего в импульсно-периодическом режиме на одну из поверхностей изотропной стенки при охлаждении другой ее поверхности внешней средой, при выполнении определенных условий существует оптимальная толщина этой стенки, обеспечивающая минимальное значение установившейся температуры ее наиболее нагретой точки.

Доказано, что импульсно-периодический режим концентрированного нагрева охлаждаемой стенки через круговую область может приводить к существованию ее оптимальной толщины, обеспечивающей не только минимальную, но и максимальную установившуюся температуру ее наиболее нагретой точки.

Найдены достаточные условия существования оптимальной толщины экранированной стенки, защищенная поверхность которой находится под воздействием осесимметричного пространственно-распределенного теплового потока с интенсивностью гауссовского типа в импульсно-периодическом режиме, а незащищенная - охлаждается внешней средой.

Разработаны и теоретически обоснованы условия сопряжения в системе «стенка - термоактивная прокладка - теплозащитное покрытие».

Получены различные аналитические представления решения задачи о нахождении температурного поля в системе «стенка - термоактивная прокладка - теплозащитное покрытие», позволившие обосновать возможность управляемого воздействия на процесс формирования изучаемого температурного поля.

Найдены достаточные условия существования оптимальной толщины экранированной стенки при наличии термоактивной прокладки, функционирующей по принципу обратной связи.

Идентифицирована уточненная модель «сосредоточенная емкость» для описания процесса формирования температурного поля в экранированной стенке, защищенная поверхность которой находится под воздействием внешнего теплового потока, а незащищенная - охлаждается внешней средой.

Практическая ценность диссертационной работы связана с ее прикладной ориентацией, а полученные результаты могут быть использованы при исследовании и прогнозировании температурного состояния многослойных конструкций, разработке эффективных методов управления их температурным полем и средств тепловой защиты в условиях воздействия внешних осесиммметричных пространственно-распределенных и концентрированных тепловых потоков.

Диссертация является составной частью фундаментальных научных исследований, проводимых в рамках научно-исследовательской работы аспирантов высших учебных заведений Минобразования РФ «Математическое моделирование процессов формирования температурных полей в многослойных областях, их оптимизация и управление» (грант АОЗ-2.8-151), а полученные результаты частично использованы при выполнении научно-исследовательской работы «Разработка методов расчета сопряженного тепломассопереноса в элементах конструкций управляющих ракетных двигателей космических аппаратов» гранта Минобразования РФ по фундаментальным исследованиям в области технических наук (грант Т02-14.0-1812).

На защиту выносятся следующие положения:

1. Результаты параметрического анализа стационарного температурного поля изотропной стенки, одна из поверхностей которой охлаждается внешней средой, а другая находится под воздействием осесиммметричного теплового потока (пространственно-распределенного с интенсивностью гаусовского типа, концентрированного кругового и концентрированного кольцевого) в импульсно-периодическом режиме. охлаждается внешней средой, а защищенная - находится под воздействием осесимметричного пространственно-распределенного теплового потока с интенсивностью гауссовского типа, функционирующего в импульсно-периодическом режиме.

3. Условия сопряжения в системе «стенка - термоактивная прокладка - теплозащитное покрытие».

4. Обоснование возможности управляемого воздействия на процесс формирования температурного поля системы «стенка - термоактивная прокладка - теплозащитное покрытие».

5. Достаточные условия существования оптимальной толщины экранированной стенки при наличии термоактивной прокладки, функционирующей по принципу обратной связи.

6. Уточненная модель «сосредоточенная емкость» для описания процесса формирования температурного поля в экранированной стенке, незащищенная поверхность которой охлаждается внешней средой, а защищенная - находится под воздействием внешнего теплового потока.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на 2-й Международной конференции «Ракетно-космическая техника: фундаментальные и прикладные проблемы» (Москва, 2003), 11-й Международной конференции «Математика, компьютер, образование» (Дубна, 2004), Международной научно-технической конференции «Фундаментальные проблемы высокоскоростных течений» (Жуковский, 2004), V Минском научном форуме «Тепломассообмен ММФ-2004» (Минск, 2004), 3-й Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, 2005).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 5-и научных статьях [98-100,102,104] и 3-х тезисах докладов [101,103,105].

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 126 страницах, содержит 41 иллюстрацию. Библиография включает 121 наименование.

1. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. - М.: Наука, 1964. - 488 с.

2. Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1967. - 600 с.

3. Лыков А.В. Тепломассообмен: Справочник. - М.: Энергия, 1978. - 480 с.

4. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. - М.: Высшая школа, 2001. - 550 с.

5. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1965. - 476 с.

6. Бутковский А.Г., Малый А., Андреев Ю.Н. Оптимальное управление нагревом металлов. - М.: Металлургия, 1972. - 439 с.

7. Арман Ж.-Л. Приложения теории оптимального управления системами с распределенными параметрами к задачам оптимизации конструкций. - М.: Мир, 1977. - 142 с.

8. Чубаров Е.П. Контроль и регулирование с подвижным локальным воздействием. - М.: Энергия, 1977. - 208 с.

9. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. - М.: Энергия, 1977. - 480 с.

10. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. - М.: Наука, 1978. - 463 с.

11. Вигак В.М. Оптимальное управление нестационарными температурными режимами. - Киев: Наукова думка, 1979. - 359 с.

12. Бутковский А.Г., Пустыльников Л.М. Теория подвижного управления системами с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1980. - 384 с.

13. Чубаров Е.П. Управление системами с подвижными источниками воздействия. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - 288 с.

14. Ревун М.П., Соколов А.К. Адаптивные системы управления процессами нагрева металла. - Запорожье: Изд-во ЗГИ А, 1998. - 351 с.

15. Коздоба Л.А. Оптимальное управление теплопроводностью / / Труды 2-ой Российской национальной конференции по теплообмену. - М., 1998. - Т. 7. - 118-121.

16. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. - М.: Наука, 2000. - 336 с.

17. Марченко В.М. Температурные поля и напряжения в конструкциях летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1962. - 300 с.

18. Адрианов В.М. Основы радиационного и сложного теплообмена. - М.: Энергия, 1972. - 463 с.

19. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике / B.C. Авдуевский, Б.М. Галицейский, Г.А. Глебов и др. - М.: Машиностроение, 1975. - 623 с.

20. Зарубин B.C. Температурные поля в конструкции летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1978. - 184 с.

21. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов (введение в теорию обратных задач теплообмена). - М.: Машиностроение, 1979. - 216 с.

22. Григолюк Э.И., Подстригач Я .С , Бурак Я.И. Оптимизация нагрева оболочек и пластин. - Киев: Наукова думка, 1979. - 264 с. ф

23. Алгоритмы диагностики тепловых нагрузок летательных аппаратов / Под ред. В.П. Мишина. - М.: Машиностроение, 1983. - 168 с.

24. Зарубин B.C. Прикладные задачи термопрочности элементов конструкций. - М.: Машиностроение, 1985. - 296 с.

25. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. - М.: Машиностроение, 1988. - 280 с.

26. Кузьмин М.П., Лагун И.М. Нестационарный тепловой режим элементов конструкции двигателей летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1988. - 240 с.

27. Кафаров В.В., Мешалкин В.П., Гурьева Л.В. Оптимизация те- плообменных процессой и систем. - М.: Энергоатомиздат, 1988. - 192 с.

28. Зарубин B.C. Расчет и оптимизация термоизоляции. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 192 с.

29. Коздоба Л.А. Вычислительная теплофизика. - Киев: Наукова думка, 1992. - 224 с.

30. Кувыркин Г.Н. Термомеханика деформируемого твердого тела при высокоинтенсивном нагружении. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. - 142 с.

31. Тепломассоперенос и термоупругость в многослойных конструкциях / В.А. Кудинов, В.В. Калашников, Э.М. Карташов и др. -М.: Энергоатомиздат, 1997. - 426 с.

32. Основы идентификации и проектирования тепловых процессов и систем / О . М . Алифанов, П.Н. Вабищевич, В.В. Михайлов и др. -М.: Логос, 2001. - 400 с.

33. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 784 с.

34. Душин Ю.А. Работа теплозащитных материалов в горячих газовых потоках. - Л.: Химия, 1968. - 224 с.

35. Полежаев Ю.В., Юревич Ф.Б. Тепловая защита. - М.: Энергия, 1976. - 392 с.

36. Панкратов Б.М., Полежаев Ю.В., Рудько А.К. Взаимодействие материалов с газовыми потоками. - М.: Машиностроение, 1976. - 224 с.

37. Хижняков СВ. Практические расчеты тепловой изоляции. - М.: Энергия, 1976. - 200 с.

38. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. - М.: Энергоатомиздат, 1983. - 328 с.

39. Никитин П.В., Холодков И.В. Тепловая защита летательных аппаратов и их систем. - М.: Изд-во МАИ, 1990. - 73 с.

40. Полежаев Ю.В., Шишков А.А. Газодинамические испытания тепловой защиты. - М.: Продмедэк, 1992. - 248 с.

41. Никитин П.В. Тепловая защита спускаемых космических аппаратов. - М.: Изд-во МАИ, 1992. - 72 с.

42. Никитин П.В. Разрушение теплозащитных материалов в высокотемпературных потоках. - М.: Изд-во МАИ, 1993. - 53 с.

43. Тепловая защита лопаток турбин / Б.М. Галицейский, В.Д. Совершенный, В.Ф. Формалев, М.С. Черный. - М.: Изд-во МАИ, 1996. - 354 с.

44. Димитриенко Ю.И. Механика композиционных материалов при высоких температурах. - М.: Машиностроение, 1997. - 368 с.

45. Материалы и покрытия в экстремальных условиях. Взгляд в будущее; В 3-х томах. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. - Т. 1. Прогнозирование и анализ экстремальных воздействий / Ю.В. Полежаев, С В . Резник, Э.Б. Василевский и др. - 224 с. м\

46. Формалев В.Ф. Тепломассоперенос в анизотропных телах. Обзор / / Теплофизика высоких температур. - 2001. - Т. 39, №5. - 810-832.

47. Формалев В.Ф., Колесник А., Миканев С В . Моделирование теплового состояния композиционных материалов / / Теплофизика высоких температур. - 2003. - Т. 41, №6. - 935-941.

48. Формалев В.Ф., Чипашвили А.А., Миканев С В . Моделирование нового способа защиты стенок энергетических установок при высокоинтенсивном нагреве / / Известия РАН. Энергетика. - 2004. -№5. - С 147-156.

49. Sneddon N.T. The use of integral transforms. - New York: McGraw- Hill, 1972. - 539 p.

50. Рыкалин H.H. Углов A.A. Кокора A.H. Лазерная обработка материалов. - М.: Машиностроение, 1975. - 296 с.

51. Duley W.W. СОг Lasers: Effects and applications. - New York: Acad. Press, 1976. - 427 p.

52. Рыкалин H.H., Зуев И.В., Углов А.А. Основы электронно-лучевой обработки материалов. - М.: Машиностроение, 1978. - 239 с.

53. Лазерная и электронно-лучевая обработка материалов: Справочник / Н.Н. Рыкалин, А.А. Углов, И.В. Зуев, А.Н. Кокора. - М.: Машиностроение, 1985. - 496 с.

54. Моделирование теплофизических процессов импульсного лазерного воздействия на металлы / А.А. Углов, И.Ю. Смуров, A.M. Лашин, А.Г. Гуськов. - М.: Наука, 1991. - 288 с.

55. Углов А.А., Исаева О.И. О расчете скорости нагрева металлов при воздействии излучения ОКГ / / Физика и химия обработки материалов. - 1976. - №2. - 22-28.

56. Рыкалин Н.Н., Углов А.А., Низаметдинов М.М. Расчет нагрева материалов лазерным излучением с учетом температурной зависимости теплофизических коэффициентов / / Квантовая электроника. - 1977. - Т. 4, №7. - 1509-1516.

57. Козлов В.П. Локальный нагрев полуограниченного тела лазерным источником / / Инженерно-физический журнал. - 1988. - Т. 54, №3. - 484-493.

58. Евтушенко А.А., Иваник Е.Г., Матысяк Я. Расчет температурного поля при лазерном облучении слоистого композита / / Инженерно-физический журнал. - 1999. - Т. 72, №1. - 132-137.

59. Евтушенко А.А., Иваник Е.Г., Матысяк Я. Об одной модели лазерного термораскалывания / / Механика твердого тела. - 2001, -№2. - 132-138.

60. Козлов В.П. Двумерные осесимметричные нестационарные задачи теплопроводности. - Минск: Наука и техника, 1986. - 391 с.

61. Меламед Л.Э. Нагрев массивного тела круговым источником тепла с учетом теплоотдачи с поверхности / / Инженерно-физический журнал. - 1981. - Т. 40, №3. - 524-526.

62. Козлов В.П. Обобщенная квадратура для определения двумерного температурного поля в полуограниченных телах при разрывных граничных условиях второго рода / / Инженерно-физический журнал. - 1984. - Т. 47, №3. - 463-469. *f. <<l > •

63. Козлов В.Н. Распределение нестационарной температуры на поверхности полуограниченного тела в случае нагрева его тонким кольцевым источником тепла / / Инженерно-физический журнал. -1986. - Т. 50, №4. - 659-666.

64. Козлов В.П., Липовцев В.Н., Писарик Г.П. Нагрев полуограниченного тела ограниченным источником тепла в форме квадрата / / Инженерно-физический журнал. - 1987. - Т. 52, №6. - 1004-1010.

65. Коляно Ю.М. Нестационарное температурное поле в термочувствительном теле при разрывном граничном условии второго рода / / Инженерно-физический журнал. - 1987. - Т. 53, №3. - 459-467.

66. Козлов В.П., Волохов Г.М., Липовцев В.Н. Локальный нагрев анизотропного тела круговым источником тепла / / Инженерно-физический журнал. - 1988. - Т. 54, №5. - 828-835.

67. Коляно Ю.М., Иваник Е.Г., Олийнык Д.И. Нагрев полупространства источником тепла в форме прямоугольной рамы / / Инженерно-физический журнал. - 1989. - Т. 57, №2. - 322-326.

68. Козлов В.П., Адамчик B.C., Липовцев В.Н. Решение задач Дирихле и Неймана применительно к исследованиям нестационарной тепло-проводности / / Инженерно-физический журнал. - 1990. - Т. 58, №1. - 141-145.

69. Козлов В.П., Юрчук Н.И., Абдельразак Н.А. Теплопроводность ор- тотропного полупространства при смешанных разрывных граничных условиях / / Инженерно-физический журнал. - 1996. - Т. 69, №5. - 826-833.

70. Козлов В.П., Мандрик П.А. Нестационарные температурные поля в изотропном полупространстве при смешанных граничных условиях, характерных для технологий лазерной терапии в медицине U» / / Инженерно-физический журнал. - 2000. - Т. 73, №3. - 637-644.

71. Козлов В.П., Мандрик П.А. Решение смешанных контактных задач в теории нестационарной теплопроводности методом суммарно-интегральных уравнений / / Инженерно-физический журнал. -2001. - Т. 74, №3. - 70-74.

72. Мандрик П.А. Решение задачи теплопроводности для ограниченного цилиндра и полупространства при смешанных локальных граничных условиях в плоскости их соприкосновения / / Инженерно-физический журнал. - 2001. - Т. 74, №5. - 153-159. •>.'

73. Мандрик П.А. Аналитическое решение двумерных контактных задач нестационарной теплопроводности при наличии в плоскости к 121 соприкосновения смешанных граничных условий / / Инженерно-физический журнал. - 2002. - Т. 75, №1. - 186-190.

74. Рыкалин Н.Н., Углов А.А., Макаров Н.И. К оценке влияния частоты следования пучков в лазерном импульсе на нагрев металлических листов / / Доклады АН СССР. - 1967. - Т. 174, №5. - 1068-1071.

75. Зарубин B.C. Оптимальная толщина охлаждаемой стенки, подверженной местному нагреву / / Известия вузов. Машиностроение. -^. 1970. - №10. - 18-21.

76. Рудин Г.И. Термоупругая деформация охлаждаемой металлической пластины при воздействии импульсно-периодического потока излучения / / Инженерно-физический журнал. - 1987. - Т. 53, №1. - 117-124.

77. Козлов В.П., Адамчик B.C., Липовцев В.Н. Локальный нагрев неограниченной ортотропной пластины через круговую и кольцевую области / / Инженерно-физический журнал. - 1989. - Т. 57, №5. - 837-849.

78. Мандрик П.А. Метод парных интегральных уравнений с L- параметром в задачах нестационарной теплопроводности со смешанными граничными условиями для неограниченной пластины / / Инженерно-физический журнал. - 2000. - Т. 73, №5. - 902-906.

79. Юрчук Н.И., Козлов В.П., Мандрик П.А. Метод парных инте- ,, гральных уравнений в области преобразования Лапласа для реше-X. •н рывными граничными условиями / / Инженерно-физический журнал. - 1999. - Т. 72, №3. - 555-571.

80. Рыкалин Н.Н., Углов А.А., Макаров Н.И. Нагрев двухслойной пластины при сварке световым потоком лазера / / Доклады АН СССР. - 1966. - Т. 169, №3. - 565-568.

81. Потягайло Д.Б., Романчук Я.П. Решение задачи о нагреве двухслойной пластины локальным источником тепла / / Дифференциальные уравнения. - 1991. - Т. 27, №8. - 1409-1417.

82. Иорданишвили Е.К. Термоэлектрические источники питания. - М.: Советское радио, 1968. - 184 с.

83. Ким Е.И., Омельченко В.Т.. Харин Н. Математические модели тепловых процессов в электрических контактах. - Алма-Ата: Наука, 1977. - 236 с.

84. Теплопроводность двух соприкасающихся пластин с плоским источником тепла между ними / И.М. Федоткин, Е.В. Верлан, И.Д. Чеботареску, СВ. Евтухович / / Инженерно-физический журнал. -1983. - Т. 45, №3. - 493-498.

85. Бабушкин Г.А. Диффузия из тонкого слоя в два полубесконечных образца с разными характеристиками / / Инженерно-физический журнал. - 1984. - Т. 47, №.2. - 267-270.

86. Пудовкин М.А., Волков И.К. Краевые задачи математической теории теплопроводности в приложении к расчетам температурных полей в нефтяных пластах при заводнении. - Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1978. - 188 с.

87. Формирование температурных полей в области, содержащей тонкостенное покрытие / А.В. Аттетков, Л.Н. Власова, И.К. Волков, Е.А. Загоруйко / / Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Машиностроение. - 1999. - №2. - 3-10.

88. Аттетков А.В., Власов П.А., Волков И.К. Температурное поле полупространства с термически тонким покрытием в импульсных режимах теплообмена с внешней средой / / Инженерно-физический журнал. - 2001. - Т. 74, №3. - 81-86.

89. Аттетков А.В., Волков И.К., Тверская Е.С. Оптимальная толщина охлаждаемой стенки с покрытием, подверженной локальному импульсно-периодическому нагреву / / Инженерно-физический журнал. - 2001. - Т. 74, №6. - 82-87.

90. Аттетков А.В., Волков И.К., Тверская Е.С. Термоактивная прокладка как средство управляемого воздействия на температурное поле конструкции / / Известия РАН. Энергетика. - 2002. - №4. - 131-141.

91. Аттетков А.В., Волков И.К., Тверская Е.С. Математическое моделирование процесса теплопереноса в экранированной стенке при осесимметричном тепловом воздействии / / Известия РАН. Энергетика. - 2003. - №5. - 75-88.

92. Кудинов В.А. Аналитические методы решения краевых задач для многослойных конструкций / / Известия РАН. Энергетика. - 1999. - №5. - 86-106.

93. Кудинов В.А., Дилигенский Н.В., Лаптев Н.И. Аналитические решения задач теплопроводности многослойных конструкций при -V переменных во времени коэффициентах теплообмена / / Известия РАН. Энергетика. - 1996. - Т. 27, №8. - 1409-1417.

94. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник для студентов университетов и втузов. - М.: Высшая школа, 1981. - Т. 1. - 667 с.

95. Кошляков Н.С, Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. - М.: Высшая школа, 1970. - 708 с.

96. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. - М.: Наука, 1973. - Т. 1. - 296 с.

97. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. - М.: Наука, 1974. - Т. 2. - 296 с.

98. Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление: Учебник для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.Н. Кришенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996. - 228 с.

99. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. - М.: Наука, 1972. - 368с.

100. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. - М.: Наука, 1970. - Т. 2. - 328 с.

101. Градштейн И.С, Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Наука, 1971. - 1108 с.

102. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Наука, 1969. - 424 с.

103. Директор С , Рорер Р. Введение в теорию систем. - М.: Мир, 1974. - 404 с.

104. Д'Анжело Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез - М.: Машиностроение, 1974. - 288 с.

105. Лебедев Н.Н., Скальская И.П., Уфлянд Я.С. Сборник задач по математической физике - М.: ГИТТЛ, 1955. - 420 с.

106. Кузнецов Д.С. Специальные функции. - М.: Высшая школа, 1962. - 248 с.

107. Энергетические конденсированные системы: Краткий энциклопедический словарь. - М.: Янус-К, 1999. - 596с. «^