автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Термический удар в моделях динамической термоупругости и термовызкоупругости

2 9 т?

До, правах рукописи

РУБИН АЛЕКСАНДР ГРИГОРЬЕВИЧ

ТЕРМИЧЕСКИЙ УДАР В МОДЕЛЯХ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ И ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТИ

05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования п математических методов в научных исследованиях

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 1996

На правах, рутэписи

РУБИН АЛЕКСАНДР ГРИГОРЬЕВИЧ

ТЕРМИЧЕСКИЙ УЛАР В МОДЕЛЯХ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ И ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТИ

05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методой в научных исследованиях

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискгние ученой степени капдидата технических наук

Москва 1996

Работа выполнена

на кафедре высшей и прикладной математики Московской государственной академии тонкой химической технологии им. М.В. Ломоносова (МИТХТ)

Научный руководитель

заслуженный деятель науки Российской Федерации, доктор физико-математических наук, профессор Карташов Эдуард Михайлович

Официальные оппоненты:

заслуженный деятель науки и техники Российской Федерации,

доктор технических наук,

профессор Рудобашта Станислав Павлович,

доктор физико-математических наук, профессор Волков Игорь Куприянович

Ведущая организация' — НПО "Стеклопластик"

Защита состоится 21 мая 1996 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета К 063.41.02 в Московской государственной академии тонкой химической технологии им. М.В.Ломоносова по адресу:

117571, Москва, просп. Вернадского, 86, ауд. М-119.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московской государственной академии тонкой химической технологии им. М.В.Ломоносова по адресу: 119831, Москва, Малая Пироговская ул., 1.

Отзывы на автореферат отправлять по адресу:

117571, Москва, просп. Вернадского, 86, МИТХТ им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан 19 апреля 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.т.н.

с^-Имр^ Б-В. Бурляеву

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Среди технологических процессов, наиболее эффективно используемых в последнее время при обработке материалов, важнейшую роль играет термическое воздействие с помощью плазменного потока, лазерного, ионного или электронного луча. При этом происходит резкое скачкообразное повышение температуры тела — так называемый термический удар. Под воздействием термического удара в теле возникают значительные напряжения и деформации, которые, хотя и являются кратковременными, вполне могут вызвать образование трещин и разрушение.

Имеется обширный экспериментальный материал, описывающий характер разрушений в керамических материал!«, в лонных кристаллах, в металлах, в горных породах, в неорганических и органических стеклах, в пекоторых полимерах (полиетиролы, полиметплметакрила-ты, полпвиинлацеталп), причем механизм лазерного разрушения различен для прозрачных я непрозрачных тел.

Для прозрачпых тел сначала происходит поглощение излучения, которое сопровождается значительным разогревом материала, особенно на неоднородное ях структуры, инородных включениях и примесях. Резкое повышение температуры порождает динамические напряжения, приводящие к термическому разрушению с трещшгообразованием. Характер трещин разный для органических и неорганических стекол и подробно изучен. Большую роль в процессе разрушения прозрачных тел играет тот факт, что прп сильном нагреве внутри тела возникают внутренние источники тепла высокой интенсивности, а микронеодно-родностп становятся центрами газообразования, что приводит к возникновению объемных полостей с высоким давлением и температурой.

Для непрозрачных тел механизм разрушения описан во многих ра-Зотах, причем показано, что этот механизм зависит от плотности потока излучения. При малых плотностях, не превышающих Ю10 Вт/м2, '■Ш/Хно пользоваться решениями классических линейных краевых за-}ач; при плотностях, лежащих в пределах от Ю10 до 1013 Вт/м2, су-цественную роль играет взаимодействие излучения с испаренным ве-цеством, а при еще больших плотностях потока действует механизм теплового взрыва. Во втором и третьем (иеклассических) случаях важ-ю создать физически адекватную термическую модель взаимодействия

излучения с облучаемым веществом, что было в основном выполнено в работах последнего времени.

Ситуации, вызывающие термический удар, появляются также и во многих других практически важных областях, поскольку с развитием современной техники существенно возрастает интенсивность тепловых потоков и значительно расширяется диапазон температур, в которых приходится работать механизмам и конструкциям, причем имеющаяся при этом неоднородность температурных полей оказывает неблагоприятное влияние на механические свойства материалов. С этим приходится иметь дело в авиации, ракетной и космической технике, ядерной энергетике, при производстве и эксплуатации двигателей внутреннего сгорания, дизельных двигателей и турбинных установок, при создании элементной Сазы микроэлектроники, в химическом машиностроении и других областях.

До последнего времени во всех работах, посвященных термическому удару, предполагалось, что геометрия тела остается неизменной с течением времени. Однако во многих практически важных ситуациях это предположение не выполняется и возникает необходимость находить температуры, напряжения и деформации в твердых телах с движущейся границей. Решение этой задачи связано со значительными трудностями, т.к. эффект движения границы делает невозможным применение классических методов математической физики, и в результате становится особенно актуальной проблема создания новых математических моделей и разработка нового математического аппарата, позволяющих совместить закон движения границы с уравнениями динамической термоупругости, а также учесть влияние внутренних источников теплоты.

Диссертационная работа направлена на создание такого аппарата и изучение на его основе физических закономерностей термонапряженного состояния упругих и вязкоупругих тел при различных режимах термического воздействия на границу.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы являлось создание и всесторонне изучение ряда математических моделей, описывающих термонапряженное состояние упругих и вязкоупругих тел в условиях термического удара.

При построении моделей взаимодействия твердых тел с интенсивными потоками энергии ставилась задача учета целого ряда факторов,

получивших в последнее время особую актуальность. Сюда относятся: 1) изменение геометрических размеров тела с течением времени, происходящее во многих физических и' технологических процессах: при выгорантш материала на поверхности тела; при плавлении с непрерывным сдувании расплава; при выращивании монокристаллов; при поверхностном разрушении; прп технологическом использовании электрических разрядов; в явлении электрического взрыва проводников и т.д.; 2) наличие внутренних источников теплоты, появляющихся при протекании химических реакций; при радиоактивно}.! распаде; при лазерном пли плазменном облучении; при фазовых превращениях и в других аналогичных ситуациях; 3) исследование не только упругих, как было традиционно принято до последнего времени, но и вязкоупругих тел, выявление сходств п различии в протекании теплового удара для вязкоупругих тел по сравнению с упругими.

При изучении названных выше математических моделей ставились и решались задачи:

— нахождение точных аналитических решений краевых задач нестационарной теплопроводности в случае полупространства с равномерно движущейся границей и внутренними источниками теплоты, а также нахождение точных аналитических решений краевых задач динамической термоупруго«:! в случае граничных функций общего вида и с их помощью — при различных практически важных режимах термического воздействия на движущуюся границу: постоянного температурного нагрева и температурного нагрева с конечной скоростью; однородного, импульсного п пульсирующего теплового нагрева; нагрева средой постоянной температуры;

— изучение На основе полученных точных аналитических решений термонапряженного состояния упругого полупространства с равномерно движущейся границей, включающее: параметрический анализ; создание пакета прикладных программ для построения кривых, выражают.''": зависимость между физическими величинами, описывающими термонапряженпое состояние; анализ большого количества кривых при широком диапазоне изменения параметров, характеризующих материал полупространства, скорость движения границы, режим термического воздействия на нее, а также сравнение различных режимов воздействия;

— выявление влияния внутренних источников теплоты, скорости двн-

жения границы и других теплофизических и механических характеристик на особенности динамической реакции твердого тела на термический удар;

— вывод уравнения динамической термовязкоупругости, моделирующего поведение вязкоупругих тел в условиях взаимодействия с интенсивными потоками энергии; нахождение его точных аналитических решений и изучение на их основе термонапряженного состояния вяз-коупругого полупространства;

— расчет скачков напряжений на фронте термоупругой волны при различных практически важных режимах термического нагружения границы как упругого, так и пязкоупругого полупространства;

— получение новых формул и теорем операционного исчисления, позволяющих преодолеть математические трудности, возникающие при реализации сформулированной выше программы исследовании).

Научная новизна:

Предложен тензорный вывод обобщенного уравнения динамической . термоупругости.

Предложена модификация метода тепловых потенциалов для областей с движущейся границей при наличии внутренних источников теплоты.

Получено обобщенное представление операционного решения краевых задач теплопроводности в случае граничных функций общего вида для полупространства с равномерно движущейся границей при наличии источников теплоты, описываемых зависящей от пространственной координаты и времени функцией произвольного вида.

Для случая полупространства с равномерно движущейся границей И пространственно однородными источниками теплоты на основе модифицированного метода тепловых потенциалов получены точные аналитические решения краевых задач нестационарной теплопроводности, проведен их физический анализ и сравнение различных режимов термического воздействия на движущуюся границу.

Получены точные аналитические решения краевых задач динамической ермоупругости для упругого полупространства с равномерно движущейся границей в случае граничных функций общего вида. •

Изучены физические закономерности термонапряженного состояния упругого полупространства с движущейся границей при термическом

ударе при различных практически наиболее важных режимах термического воздействия на граничную поверхность; при этом впервые рассмотрены некоторые новые режимы и открыт ряд новых эффектов в ранее изучавшихся режимах.

Получены точные аналитические решения краевых задач динамической термоупругости для полупространства с равномерно движущейся границей II пространственно однородными источниками теплоты при температурном пагреве и для этого случая исследованы физические закономерности термического удара.

Предложено повое уравнение динамической термовязкоупругостн в рамках линейпол реологической модели для среды Максвелла.

Получены точные аналитические решения динамических задач термовязкоупругостн для полупространства и исследованы физические закономерности термического удара для вязкоупругих тел.

Проведен расчет скачков напряженки на фронте термоупругой волны для всех изученных режимов нсизотермического воздействия.

Получен ряд новых формул операционкого исчисления для нахо-жде1П1Я оригиналов, а также новая теорема о начальном значении.

Создай пакет прикладных программ для расчета термонапряженного состояния упругих и вязкоупругих тел в условиях термического удара при различных режимах термического воздействия на границу.

Практическая значимость. В диссертационной работе получена важная информация об особенностях термонапряженного состояния, возникающего в упругих и вязкоупругих твердых телах, подвергающихся резким термическим воздействиям, в том числе при изменении геометрических размеров тел.

Выявленные закономерности могут быть использованы при разработке методов применения лазеров в технологических операциях и при производстве лаэероахтнвных материалов; при исследовании синтеза и ггнйстз высокопрочных термостабильных полимеров п эластомеров; прр' изучении термоупругих и динамических эффектов в проводниках и диэлектриках; при изучении хрупкого разрушения, органических и неорганических стекол и других материалов; при исследовании термических напряжений, возникающих в космических аппаратах при вхождении в плотные слон атмосферы и разработке термостойких покрытий для них, способных выдерживать экстремальные термические воздействия; в термомеханике почв, геологических пород, нефтеносных

пластов; при изучении распространения термоупругих волн в мантии Земли; в реакторостроенпи и ядерной энергетике — как при проектировании и эксплуатации реакторов, так и при математическом моделировании аварий на них; а также в ряде других фундаментальных и прикладных исследований.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Всероссийской конференции "Прочность и живучесть конструкций" (Вологда, 1993 г.), на 1-й Российской национальной конференции по теплообмену (Москва, 1994 г.), на Международной конференции по каучуку п резине (Москва, 1994 г.), на научном семинаре кафедры теоретической физики в Бурятском государственном педагогическом институте (Улан-Удэ, 1992 г.), на научном семинаре в МГТУ им. Н.Э. Баумана (1992 г.), на научном семинаре кафедры физики твердого тела в МПГУ им. В.И. Ленина (1992 г.), на Московском городском семинаре по проблемам тепломассопереноса в МИТХТ им. М.В. Ломоносова (1994 г., 1996 г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, двух приложений и списка цитируемой литературы. Работа содержит 237 страниц машинописного текста, 56 рисунков, 2 таблицы, список литературы из 139 наименований. •

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность исследования, приведен перечень практических и теоретических ситуаций, в которых'возникает необходимость построения и иэученря предложенных в работе математических моделей, изложены цели диссертационной работы и сформулированы возникающие при этом задачи, орыаедеиы основные результаты исследования, показана научная новизна а вфак.из'геская значимость полученных результатов.

В первой гладе дается краткая историческая справка к литературный обзор проблемы динамической *ермоупругаста.

Пус^ь геометрия тела, термоупругое поведение которого изучается, характеризуется областью Ю изменения пространственных деремзк-ных М(х,у,г), которая предполагается конечной ш частично ограниченной. Пусть область В имеет кусочно-гладкую гракшу Предполагается, что в начальный момент времени t = 0 тело находится

в недеформированном и ненапряженном состоянии и имеет начальную температуру ТоВ результате воздействия на тело внешних термических влияний (нагрева или охлаждения), внутренних источников теплоты 71 внешних нагрузок (поверхностных и объемных сил) область £> начнет деформироваться, се температура будет изменяться. Состояние точки М(х, у, г) области В в момент времени t > 0 будет характеризоваться температурной функцией Т(М^), вектором перемещений м(Д/, {] — {их(М, <), иу(М, <), и2(Л/, £)} и тензорамн деформаций ¿) и напря-

жений (Т,-ДМ,<), где м = х,у,г.

При этих предположениях функции Т(М,<), щ(М^), е^(МЛ), сГц(М^) удовлетворяют следующим соотношениям линейной динамической термоупругости в индексных обозначениях: .уравнениям движения

г) + г) = рщ{м,о, м е £>, г > о, г,] = х,у, (1)

геометрическим уравнениям Коши

е.Лм>*) = + ии(М,г)}, М € Г, г > 0, = х,у,г (2)

физическим уравнениям (закон Гука)

ау(М,«) = 2С + - ±±^ат(Т(М^) -

(3)

меБ, *>о,

уравнениям совместности

1ргтЪ'"ег',™(М, <) = о, М € Б, t> 0, р, г, т, з, п = х, у, г, (4)

где р — плотность, £) — компоненты вектора объемных сил,

ах — коэффициент линейного теплового расширения, — символ Кронекера, -ургт — символ Леви-Чивиты (антисимметричный тензор третьего ранга), е(М, £) — объемное расширение, а{\1. {) — сумма нормальных напряжений, А, /л — изотермические постоянные Ламе, и — коэффициент Пуассона, Е — модуль Юнга, <3 ■— модуль сдвига.

Температурная функция Т(М, {) а общем случае удовлетворяет связанному уравнению теплопроводности:

^МЛ = аАТ{М, 0 - (ЗА- + 2/1)— Т0 <Цу й{М, г) + «) (5)

оъ ср ср

мед <>о

где а — температуропроводность, с — удельная теплоемкость, \¥(М, <) — функция плотности тепловых источников, и кроме того, как легко видеть, ¿¡у й(М, ¿) = е(М, <).

Выполнений нами анализ связанной части уравнения теплопроводности (5) выявил условия, при выполнении которых можно пренебречь эффектом связности; на основе изучения обширного экспериментального материала установлено, что для большинства практических случаев реальные скорости изменения температуры достаточно малы, и применение несвязанной динамической теории термоупругости дает весьма удовлетворительные результаты. В результате проведенного анализа обосновано положение, что в задачах расчета температурныхнапряже-Ш1Й, вызываемых неравномерным нагревом, разумно разбить исходную задачу на задачу теплопроводности и задачу нахождения температурных напряжений по найденной температурной функции.

Важным фрагментом первой главы является тензорный вывод обобщенного уравнения динамической термоупругости в напряжениях, представляющий самостоятельную ценность и являющийся, по всей видимости, новым результатом в термоупругости. Это уравнение имеет следующий вид:

(1 + и)<гу,т(М, *) + <7„„,,;(М, I) + 'У^,,.,, (М,

+Еат | ^ (Т(М, *) - То),пп 6ц + (Т(М, <) - Т0),ц } = д2

2£ д?

2ац{М,г) - -— пиПП

м е £>, < > о (6)

Во второй главе дано развитие метода тепловых потенциалов для. решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущейся границей при наличии внутренних источников теплоты. В начале второй главы дан краткий литературный обзор аналитических методов, решения различных типов краевых задач при движении границы тела!

- и -

Основным результатом является предложенная автором модификация метода тепловых потенциалов для областей с равномерно движущейся границей при наличии внутренних источников теплоты, что позволяет записать аналитические решения краевых задач теплопроводности в виде функциональных конструкций компактного вида, отличного от известных ранее и существенно болесе громоздких выражений. Особого внимания заслуживает предложенное базовое операционное решение (12) указанного класса тепловых задач, позволяющее с единых позиций рассмотреть многочисленные частные случаи граничных функций.

Рассмотрим уравнение теплопроводности с источником:

+ г'>1 + РеГо,Ро>0, (Т)

П^Щ |Ко=0=0; ¿>1, (8)

> 0, (9)

\ аг ) г'=1+реГо

|Г(2',Го)| < _+оо; г' > 1 + РеБо, Го > 0, (10)

*

где в случае температурного нагрева = О, Д = /Зз = 1; в случае теплового нагрева — — 1,02 = 0, /?з = 1, в случае нагрева средой — 1, /?2 = Ръ = — ВЬ Решение задачи (7)—(10) ищем в виде обобщенного теплового потенциала простого слоя:

(11)

где 7(4) — непрерывная в интервале (0;Ео) функция — плотность обобщенного теплового потенциала. Обобщенный тепловой потенциал (11) при г' > 1 + РеГо, Еэ > О является решением соответствующего (7) однородного уравнения теплопроводности, дважды непрерывно-дифференцируемым по пространственной координате г1 и непрерывно-дифференцируемым по времени Ео и удовлетворяет начальному условию (8). Проблема, таким образом, заключается в том, чтобы за счет выбора плотности обобщенного потенциала 7(<) удовлетворить граничным условиям (9). Если применить в (11) преобразование Лэлласа и

выполнить затем преобразования, обеспечивающие наиболее компактный вид полученного выражения, то в пространстве изображений получим:

Т(г',р) = [0,(рЖр - Ре^) + 02(р)Щр - Ре^)] х

хсхр{-(г-1)^}+ТГ(р)/р, (12)

где

у/р-Ре/2 . ^(р) 0нр) = --- ; У2(р) =--_ при температурном нагреве,

у/р р- Реу(р

/р _ ре/2

(р) = —-—-; в2(р) = О при тепловом нагреве,

у/Г>

а I л о-УР-Ре/2 д , ч (р) " .

61 р) = В1 у ■ ; в2(р) ---— при нагреве средой.

р-Реу/р

Затем во' второй главе для случая пространственно-однородного нестационарного источника теплоты, а также постоянного источника выписаны аналитические решения всех типов тепловых задач для граничных функций общего вида и их практически наиболее важных частных случаев.

При этом выведен ряд новых формул операционного исчисления для нахождения оригиналов преобразования Лапласа не изучавшихся ранее функций. Получены также температурные кривые при различных режимах термического нагружения движущейся границы полупространства и проанализировано влияние ряда факторов (мощности источника, скорости движения границы и некоторых других) на особенности поведения температурной функции.'Некоторые из этих кривых приведены на рис. 1.

В третьей главе, базовой в диссертации, исследованы физические закономерности термонапряженного состояния упругого полупространства с движущейся границей в условиях термического удара. В начале главы дается общая постановка задачи:

д ЗУ,_ Э2Г(гТо) ,

а°—м---отъ3—~ Ш? ' " >1 + РеГо' Ро>0-

(13)

до2>^(г', Го)

Го=0

^(г'.Ро)

= 0, г'>1;

Го=0

= 0, Го > 0;

(14)

(15)

г'=1+РеГо

< +оо, г' >1, Го > 0; (16)

причем температурная функция Т(г',¥о) б (13) удовлетворяет соотношениям (7)—(10).

Остальные компоненты тензора напряжений, а также компоненты тензора деформаций выражаются через решения задачи (14)—(16), (7)—(10) по формулам

= Ъ>) = - 1^Г(г',Го) (17)

(Гх-,/ = °т<г' - =0 (18)

^(г'.Го) = ^.(У.Еэ) + Г(2',П>) (19)

е»'!' = ем = - £Х>2> - е*,1 = 0. (20)

Затем находится базовое операционное решение изучаемого класса задач динамической термоупругости, позволяющее с единых позиций рассмотреть многочисленные частные случаи граничных функции (постоянные, ступенчатые, импульсные, пульсирующие и др.). Для пространственно-однородного нестационарного источника, IV(г1, Го) г Ж(Го), оно имеет вид в подвижной системе координат £ = г' — (1 + РеГо):

- и гЛ - Ш_

~ (а§ - Ре2)0» • Ш ■ Ш

х| ехр[-

у(р)£] - ехР

«о - Ре

+

+—— { ехр

Р (

Р

а0 - Ре

(21)

где

/ ч Ре

7 (Р) = у + ^

Р + Ц-, Ш - 7(Р) + Ш = 7(Р) - ^,

Чр) =рЬ> + Ре2) + Ре(2р + Ре2)у(р),

[ 1 \ 7 (Р) ( 1+7(P)/Bi

в случае температурного нагрева, (р) = ^ 7(р) в случае теплового нагрева, в случае нагрева средой,

_/ \ i 1 /р в случае температурного нагрева и нагрева средой, " ' \ 0 в случае теплового нагрева.

Полученное базовое операционное решение задачи динамической термоупругости позволяет найти оригиналы — напряжения ovz-(z', Fo). Сначала исследуется случай, когда внутренние источники теплоты отсутствуют, и для граничных функций общего вида выписываются решения краевых задач для всех режимов нагрева границы полупространства (температурного, теплового и нагрева средой), а в последующем разбираются, уже как частные случаи, наиболее важные следствия выведенных общих формул.

Таким образом, в третьей главе в ситуации отсутствия источника теплоты изучены следующие случаи термического нагружения границы:

1) температурный нагрев:

1а) граничная функция общего вида:

г(*'.Го)|,,=1+PeFo = V>(Fo), Fo > 0; 16) постоянная температура на границе:

T{z\ Fo)|j(=1+PeFo = ¥5о = const, Fo > 0; 1в) температурный нагрев с конечной скоростью:

T{z\ Fo)jt,_1+PeFo = ^(Fo - (Fo - Fo,) • H(Fo - Fo,)!, Fo > 0;

2) тепловой нагрев:

2a) граничная функция общего вида:

аГ(г', Fo)

dz'

26) однородный тепловой поток: dT(z\ Fo)

. =y(Fo), Fo > 0

*'=l+PeFo

dz>

= ip0 — const, Fo > 0

*'=l+PeFo

2в) импульсный тепловой поток: дТ(г',¥о)

дг'

г'=1+РеГо

= ^О) =

№0, 0 < Го < Е01; ЛГГоь Го! < Го < Го2; О, Го2 < Го,

Го > О

2г) пульсирующий тепловой поток:

дТ(г',То)

дг'

н

к при 2шГо0 < Го < (2т + 1)Го0, О при (2т 4- 1)Го0 < Го < Го0,

:1+РеЬ

Го > 0, т = 0; 1; 2;...,

3) нагрев средой: За) температура среды является функцией общего вида:

<9Г(г',Го)

дг'

= В1

= 1+РеГо

)б) температура среды постоянная:

Го > О

дТ(г', Го)

дг'

В1

-1

Го > О

*'=1+РеГо

Для всех перечисленных случаев получены точные аналитические 1ешения и изучено на их основе термонапряженное состояние упругого голупространства с равномерно движущейся границей. С этой целью оэдан пакет прикладных программ для построения кривых, выражающих зависимости между физическими величинами, описывающими ермонапряженное состояние и проведен анализ большого количества ривых при широком диапазоне изменения параметров, характеризу->щпх материал полупространства, скорость движения границы и т.д.

Некоторые из этих кривых приведены на рис. 2 и рис. 3.

Сравнительный анализ различных режимов термического воздей-пвш (температурный нагрев, тепловой нагрев и нагрев средой) по-аяывает, что наиболее опасным режимом с точки зрения величины эзникающих напряжений является случай температурного нагрева же. 4).

Случай наличия внутренних источников теплоты подробно иссле-эван при постоянной температуре на движущейся границе полупро-гранства (температурный нагрев). В этой ептуации получены точные [алптические решения, дающие удобные для дальнейшего изучения

(хотя и весьма громоздкие из-за значительной трудности задачи) формулы для компоненты <тг>г'{г.', Го) тензора напряжений. При этом, так же, как и во второй главе, выведен ряд новых формул операционного исчисления для нахождения оригиналов преобразования Лапласа не изучавшихся ранее функций. Полученные на основании найденных точных аналитических решений кривые, приведенные на рис. 5, демонстрируют влияние мощности внутренних источников теплоты, скорости движения границы и других теплофизических и механических характеристик на особенности динамической реакции твердого тела на термический удар.

В конце третьей главы выполнен расчет скачков напряжений на фронте термоупругой волны при различных практически важных режимах термического нагруженпя границы упругого полупространства. Для некоторых ситуаций предлагаются инженерные расчетные формулы, позволяющие оценивать максимумы динамических термических напряжений через внешние функции термического воздействия без необходимости нахождения полного решения задачи, поскольку величины скачков могут служить оценками для этих максимумов.

В четвертой главе диссертации рассматривается практически новое направление в термомеханике, состоящее в изучении термической реакции вязкоупругих тел на термический удар на основе выведенного автором нового уравнения динамической термовязкоупругости.

Вначале дается обзор основных линейных реологических моделей, среди которых наибольшее распространение получили механические модели. В таких моделях упругие свойства тел моделируются с помощью пружин с различными модулями Юнга, а вязкие свойства — с помощью вязких сопротивлений (демпферов) с различными вязкостя-ми. Пружинам приписываются свойства идеальной упругости, описываемые законом Гука, а демпферам приписываются свойства идеально вязкой жидкости, описываемые законом течения Ньютона.

С учетом описанных выше представлений можно строить различные модели вязкоупругих свойств материала, рассматривая разнообразные сочетания упругих и вязких элементов. Две наиболее простые модели получатся, если соединить одну пружину с одним демпфером: либо последовательно — модель Максвелла, либо параллельно — модель Кельвина—Фойгта. Для описания более сложных вязкоупругих свойств, характерных для различных конкретных видов материалов

пспользуются более сложные модели: модель Вихерта, модель стандартного линейного тела (пли модель Зинера), очень распространенная при изучении полимерных тел модель Александрова—Лаэуркпна и другие.

Далее приводится вывод уранення динашгческой термовязкоупруго-сти для среды Максвелла, моделирующего поведение вязкоупругих тет в условиях взаимодействия с интенсивными потоками энергии и являющегося новым результатом в термомеханпке. Это уравнение получено с использованием соотношений, связывающих между собой компоненты тензоров напряжений п деформаций в девиаторной форме.

Для формулировки этих соотношений рассмотрим тензоры напря женпй ffjib(M, i) и деформаций £{к(М, t)(f. к = x,y,z), а также их девиа-торы: девпатор напряжений s,* (М, t) и девиатор деформаций е;*(М, ¿), задаваемые формулами

sitßf,t) = crik(M,t) - <т(M,t)Sik, eik(M,t) = eik(M,t) - e(Af,i)i«,

где — символ Кронекера, a a(M,t) и e(M,t) — соответственно среднее нормальное напряжение и среднее удлинение, определяемые формулами

0 = \ Б оц(М, <), е(М, <) = £ Е £,,(М, t). о .=1 о ¡=1

При этом связь между средним нормальным напряжением ст(М,<), средним удлинением е(М, t) и температурной функцией Т(М, t) зада-этся соотношением:

е(М, i) = а(М, t) + ат[Т(М, t) - Т0], (22)

' Соотношение (22) справедливо и для упругих, и для вязкоупругих тел, а связь между напряжениями и деформациями в девиаторной ¡?орме для модели Максвелла задается дифференциальным уравнением /аетвелла:

= . (23)

ot rp ot

де тр — зреш: релелсдцпп среды.

- 1Ь -

Уравнение динамической термовязкоунругости для среды.Максвелла имеет вид:

2д2<г,у(г',Го) ¿^(г'.Го) д2Т{г\То) яЧ Го

+ г' >1, Го > 0, (24)

где Р\ и выражаются через безразмерное время релаксации среды Ео^ и постоянные Ламе но формулам:

ЗГо(г)(А + 2ц)' ЗГо(г)(А + 2/1)'

В случае упругих тел уравнение (24) переходит в уравнение Даниловской (13) и является, таким образом, его обобщением на вязкоупругие тела.

Если свободное от внешних нагрузок вязкоупругое полупространство, описываемое моделью Максвелла, с начальной температурой То подвергается термическому удару средой температуры Тс, то в безразмерных переменных состояние вязкоупругого полупространства будет описываться системой дифференциальных уравнений, состоящей из уравнения динамической термовязкоунругости (24) и уравнения теплопроводности (7) (без источника) с соответствующими начальными и граничными условиями. Нами получено точное аналитическое решение этой задачи. При этом были преодолены значительные математические трудности, сформулирована и доказана новая теорема операционного исчисления о начальном значении, затем с ее помощью выведен ряд новых формул обращения преобразования Лапласа.

На основании полученного аналитического решения уравнения динамической термовязкоунругости построены кривые, выражающие зависимость между изучаемыми параметрами термического нагружения и проведен их физический анализ. Показало, Что в условиях микросекундного протекания процесса динамическая реакция вязкоуцругих тел на термический удар не очень существенна отличается от динамической реакции упругих тел и при изучении поведения вязкоупругих тел под воздействием резкого термического нагружеиия могут быть с успехом использованы полученные в третьей главе соотношения для упругих тел (рис. 6). Учитывая сложность изучаемой проблемы для

вязкоупругих тел, это весьма теоретически важный и практически полезный результат.

ВЫВОДЫ

1. Предложен тензорный вывод обобщенного уравнения динамической термоупругости.

2. Предложена модификация метода тепловых потенциалов для областей с движущейся границей при наличии внутренних источников теплоты.

3. Для случая полупространства с равномерно движущейся границей и пространственно однородными источниками теплоты на основе модифицированного метода тепловых потенциалов получено обобщенное представление операционного решения краевых задач теплопроводности для различных режимов термического воздействия на границу, найдены их точные аналитические решения, проведен их физический анализ и сравнение различных режимов термического воздействия.

4. Получены точные аналитические решения краевых задач динамической термоупругости для упругого полупространства с равномер-ю движущейся границей в случае граничных функций общего вида.

5. Изучены физические закономерности термонапряжеиного состоя-шя упругого полупространства с движущейся границей при термиче-:ком ударе для различных практически важных режимов термического юздействпя на граничную поверхность; при этом впервые рассмотрена некоторые новые режимы и открыт ряд новых эффектов в ранее [зучавпшхся режимах.

6. Получены точные аналитические решения краевых задач дина-гаческой термоупругостп для полупространства с равномерно движущейся границей п пространственно однородными источниками тепло-ы прп температурном нагреве и для этого случая исследованы физи-еские закономерности термического удара.

7. Предложено новое уравнение динамической термовязкоупругости рамках линейной реологической модели для среды Максвелла.

8. Получены точные аналитические решения динамических задач ермовоксупругости для полупространства и исследованы физические шэномерности термического удара для вязкоупругпх тел.

9. Проведен расчет скачков напряжений на фронте термоупругой элны для всех изученных режимов нензотермического воздействия.

-so-

10. Получен ряд новых формул операционного исчисления для нахождения оригиналов, а также новая теорема о начальном значении.

11. Создан пакет прикладных программ для расчета термонапряженного состояния упругих и вязкоупругих тел в условиях термического удара при различных режимах термического воздействия на гранит-

Список опубликованных работ:

1. Карташов Э'.М., Рубин А.Г. Динамическая термоупругость и проблемы термического удара // Тезисы докладов Всероссийской научно-технической конференции "Прочность л живучесть конструкций", Вологда, 1993, С. 171. •

2. Рубин А.Г. Решение краевых задач нестационарной теплопроводности в области с движущейся границей при наличии источника теплоты // Вестник Челябинского университета. Серия Математика, механика. 1994, N 1, С. 108-111.

3. Карташов Э.М., Рхима A.A., Рубин А.Г. Об особенностях динамических процессов в твердых телах с изменяющейся границей при взаимодействии с интенсивным тепловым потоком // Изв. вузов. Серия Авнаг ционная техника, 1994, N 1, С. 30-34.

4. Рубин А.Г., Карташов Э.М. Модификация метода тепловых потенциалов для решения краевых задач нестационарной теплопроводности в области с движущейся границей // Вопросы теория и расчета рабочих процессов тепловых двигателей. N 16. Уфа, 1994, С. 151-158.

5. Карташов Э.М., Рхима A.A., Рубин А.Г. Динамическая реакция твердого тела на пульсирующий тепловой нагрев // там же, С. 97-103.

6. Карташов Э.М., Рубин А,Г. Проблема теплового удара для области с движущимися границами в моделях динамической термоупругости // Математическое моделирование, 1995, Т. 7, N 10, С. 3-11.

7. Карташов ЭЖ, Рубин А.Г. Термомёханика вязкоупругих тел на основе уравнения динамической термовязкоупругостн // Методы и алгоритмы параметрического анализа. Вьш.9. М.; Иэд-во МОПИ, 1995, С. 24-34.

8. Рубин А.Г. Решение краевых задач динамической тёрмоупругости для полупространства с равномерно движущейся границей в случае граничных функций общего вида // Вестник Челябинского университета. Серия Математика, механика. 1996/N1, С. .17. ■

Рис. 1. Зависимость температуры от времени в фиксированном сечении полупространства с движущейся границей в случае температурного нагрева при различных мощностях источника теплоты.

Рис. 2. Зависимость напряжения от времени в фиксированном сечении полупространства с движущейся границей в случае температурного нагрева с конечной скоростью при различных временах нагрева.

Рис. 3. Зависимость напряжения от времени в фиксированном сечении полупространства с движущейся границей в случае пульсирующего теплового нагрева при различных режимах пульсаций.

Рис. 4. Сравнение зависимостей напряжения от времени в фиксированном сечении полупространства с движущейся границей в случае температурного нагрева, теплового нагрева и нагрева средой.

0,5

-0,5-

-10 ■■

Го

\ \\ ^

\ \\ Ре =0,25

\ \ 1^=0,5"

Рис. 5. Зависимость напряжения от времени в фиксированном сечении полупространства с движущейся границей в случае температур-, ного нагрева с постоянной температурой при различных мощностях источника теплоты.

Ре =0

Рис. 6. Сравнение зависимостей напряжения от времени в фиксированном сечении полупространства с движущейся границей в случае температурного нагрева с постоянной температурой для упругого и >язкоупругого случаев.

Сдано в печать 13.04,96 Бумага офсетн. Печать офсетн. Формат 60x90/16 Уч.-изд.л. 1,0 Тираж, 80 экз. Заказ 49

Издательско-полиграфический центр МИТХТ им. М.В. Ломоносова Типография ООО "Полинор-М", г. Москва, пр. Вернадского, 86.