автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование сложных колебаний цилиндрических оболочек и панелей с учетом температурного поля и внешних знакопеременных нагрузок

На правах рукописи

Кузнецова Элла Сергеевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ КОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК И ПАНЕЛЕЙ С УЧЕТОМ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ И ВНЕШНИХ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ НАГРУЗОК

Специальности 05 13 18-Математическоемоделирование,

численные методы и комплексы программ 01 02 04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2008

003445333

Работа выполнена в Государственном общеобразовательном учреждении высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет»

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Крысько Антон Вадимович

Научный консультант доктор физико-математических наук,

профессор Талонов Алексей Владимирович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Коноплев Юрий Геннадьевич

кандидат физико-математических наук, доцент Панкратова Елена Владимировна

Ведущая организация. Институт проблем точной механики

и управления РАН, г Саратов

Защита состоится « 30 » июня 2008 г в 13.00 на заседании диссертационного совета Д 212 242.08 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» по адресу: 410054, Саратов, ул Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет, корп 1, ауд 319

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет»

Автореферат разослан « 29 » мая 2008 г

Ученый секретарь --

диссертационного совета А А Терентьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Цилиндрические оболочки, цилиндрические панели на прямоугольном плане являются основными элементами современных конструкций в ракетной, космической, авиационной технике и других отраслях промышленности При современном развитии гиперзвуковых технологий возникает необходимость изучения сложных колебаний оболочечных систем при действии температурного поля и знакопеременных внешних нагрузок.

Теоретическими исследованиями Б А Боли и А Д Барбера, X Крауса и др установлена возможность возбуждения колебаний тонкостенных элементов конструкций (пластин, оболочек) посредством импульсивных тепловых воздействий Исследования динамических задач термоупругости проводились В А Баженовым, Б Я Кантором, В Новацким, П Чедвиком и другими Решению задач нелинейной динамики пластин и оболочек посвящены работы Я Аврейцевича, В В Болотина, А С Вольмира, Э И Гри-голюка, Б Я Кантора, В Ф Кириченко, Ю Г Коноплева, А Н Куцемако, В А Крысько, А В Крысько, И Ф Образцова, Якупова Н М и др.

Вместе с тем вопросы нелинейной динамики оболочек при совместном воздействии температурного поля и знакопеременных силовых нагрузок, изучение сценариев перехода таких систем в состояние хаоса имеют важное практическое значение и остаются открытыми, а в известной нам литературе им не уделялось должного внимания

Таким образом, важной и актуальной является задача построения математической модели, позволяющей исследовать сложные нелинейные колебания оболочечных систем с учетом температурного поля и силовых нагрузок, решать проблемы устойчивости таких систем и обеспечивать достоверность численных решений

Целью работы является построение математических моделей сложных колебаний механических систем в виде гибких цилиндрических оболочек, цилиндрических панелей на прямоугольном плане, находящихся под действием знакопеременных нагрузок и температурного поля, а также создание эффективных математических методов и алгоритмов решения таких задач.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие тдачи:

1 Разработать математические модели для сложных нелинейных колебаний гибких цилиндрических оболочек, а также цилиндрических панелей на прямоугольном плане, находящихся в температурном поле, при действии распределенной или локальной знакопеременной поперечной нагрузки и продольных периодических нагрузок

2 Разработать эффективный алгоритм численной реализации колебательных режимов для качественного исследования сложных колебаний указанных оболочечных систем.

3 Провести проверку достоверности получаемых результатов и апробацию предложенного алгоритма для конкретных задач

4 Изучить влияние температурного поля и знакопеременных силовых нагрузок на сложные колебания оболочечных систем в зависимости от управляющих параметров (амплитуды возбуждения нагрузки, интенсивности температуры, коэффициента линейного трения и др)

Научная новизна работы заключается в следующем

1 Получены математические модели сложных нелинейных колебаний гибких цилиндрических оболочек и цилиндрических панелей на прямоугольном плане, отличающиеся учетом совместного влияния силовых знакопеременных нагрузок и температурного поля Это позволяет определять зоны хаотических колебаний и выбирать управляющие параметры (интенсивность температуры, амплитуду возбуждения нагрузки, коэффициент линейного трения и др ) для предотвращения неблагоприятного воздействия этих колебаний.

2 На основе полученных математических моделей разработаны рабочие алгоритмы и комплекс программ по исследованию сложных нелинейных колебаний оболочечных систем, которые позволяют исследовать задачи статики и динамики с произвольными граничными и начальными условиями

3. Разработан эффективный метод исследования сложных колебаний на основе метода Бубнова-Галеркина в высших приближениях В результате численного эксперимента было установлено, что сходимость метода существенно зависит от параметров кривизны оболочки и интенсивности параметра температуры С увеличением этих параметров сходимость ухудшается

4 Выявлено, что учет влияния температурного поля существенно меняет картину колебаний, имеются участки на картах управляющих параметров, которым соответствует бурный рост прогиба, что приводит систему к жесткой потере устойчивости

5. Впервые определены критические нагрузки и исследовано напряженно-деформированное состояние оболочки при совместном действии температурного поля и локальной знакопеременной нагрузки, а также исследована зависимость статической критической нагрузки от интенсивности температурного поля для ряда значений геометрических параметров кх, ку прямоугольных в плане панелей

6 Исследована сходимость метода Бубнова-Галеркина в высших приближениях и метода конечных разностей с аппроксимацией 0(й2) при исследовании сложных колебаний цилиндрических панелей и пластинок при совместном действии температурного поля и силовых нагрузок

7. Впервые исследован вопрос влияния величины коэффициента линейного трения на сложные колебания гибких цилиндрических оболочек и

цилиндрических панелей на прямоугольном плане при совместном действии температурного поля и локальной знакопеременной нагрузки Показано, что увеличение значения коэффициента линейного трения приводит к уменьшению зон хаотических колебаний

8 Определен характерный сценарий перехода колебаний в хаос при совместном влиянии силовых знакопеременных нагрузок и температурного поля, выяснено, что он совпадает с модифицированным сценарием Рю-эля-Такенса-Ньюхауза, который был предложен В А. Крысько, И В Пап-ковой

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной физической и математической постановкой задачи, применением известных численных методов, методов математического и компьютерного моделирования, методов качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики, сравнением результатов, полученных принципиально разными методами (методом конечных разностей и методом Бубнова-Галеркина) Результаты, полученные автором диссертации для статических задач, без учета температурного поля, совпадают с уже известными численными результатами А В Кармишина, численными и экспериментальными результатами Н И Ободан

Практическая ценность и реализация результатов Полученные математические модели позволяют решать широкий класс задач динамики и статики геометрически нелинейных цилиндрических оболочек, а также цилиндрических панелей на прямоугольном плане, находящихся под действием знакопеременных нагрузок и температурного поля Разработанные алгоритм и комплекс программ позволяют исследовать нелинейные колебания оболочечных систем в зависимости от управляющих параметров (амплитуды и частоты возбуждения нагрузки, интенсивности температуры, коэффициента линейного трения и др) Работа выполнена при финансовой поддержке гранта 2006-2008 гг. РФФИ № 06-08-01357 и гранта СГТУ 1 3 08 2008 г

Результаты использовались в совместных работах с Институтом проблем точной механики и управления РАН (г Саратов), что подтверждено актом о внедрении

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на 7-й Международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2006 г ), на Третьей и Четвертой Всероссийских научных конференциях с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2006, 2007 г.), International Conference on Engineering Dynamics (Carvoeiro, Algarve, Portugal, 2007), на Международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ-2007», посвященном 150-летию со дня рождения академика AM Ляпунова (Санкт-Петербург, 2007 г.), III Международной научно-

технической конференции молодых ученых и студентов «Информатика и компьютерные технологии-2007» (Донецк, 2007), 9th Conference on Dynamical Systems Theory and Applications (Lodz, Poland, 2007)

В законченном виде диссертационная работа докладывалась на научном семинаре «Численные методы расчета пластин и оболочек» кафедры «Высшая математика» СГТУ под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д т н , профессора В А Крысько (2008), на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» СГТУ под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д ф -м н , профессора В Б Байбурина (2008)

На защиту выносятся следующие результаты и положения

1 Предложенные математические модели колебательных режимов гибких цилиндрических оболочек, цилиндрических панелей на прямоугольном плане позволяют установить зависимость характера колебаний от воздействия распределенной или локальной знакопеременной силовой нагрузки и температурного поля

2 Предложенные методы и алгоритмы позволяют проводить анализ сложных колебаний оболочечных систем в виде гибких цилиндрических оболочек и цилиндрических панелей, находящихся в температурном поле под действием знакопеременных нагрузок

3 Сценарий перехода гармонических колебаний оболочечных систем, находящихся в температурном поле под действием знакопеременных нагрузок, в хаотические колебания дают возможность качественно исследовать переходные процессы при смене режимов колебаний

4 Карты динамических режимов в зависимости от управляющих параметров (амплитуды и частоты возбуждения нагрузки, интенсивности температуры, коэффициента линейного трения и др) позволяют регулировать характер колебаний и дают возможность выводить систему из зон хаоса с помощью управляющих параметров

Публикации Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 10 научных работах, в том числе 2 работы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы Работа содержит 125 страниц, 30 рисунков, 7 таблиц Список использованной литературы включает 118 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновываются актуальность темы и научная новизна работы, дается исторический обзор результатов по математическому моделированию нелинейной динамики оболочек и приводится краткое описание работы по главам

В первой главе приводятся основные соотношения и допущения, примененные при построении математических моделей сложных колебаний замкнутой цилиндрической оболочки и цилиндрической панели на прямоугольном плане, находящихся под действием температурного поля и силовых знакопеременных нагрузок. Получены уравнения в смешанной форме и алгоритм решения, проведена проверка достоверности результатов.

Объекты исследования представляют собой трехмерную область пространства Л3 в декартовой системе координат и определяются следующим образом (рис.1):

" " Т(к,у) ^

ФЩ/ / /

цилиндрическая панель

замкнутая цилиндрическая оболочка На прямоугольном плане

П = {х,у,г | (х,у,г) е [0;Цх [0;2я]х [-А;И\) а = {х,у,г | (х,у,г) е [0;а] х [0;Ь] х [-Й;И]} Рис.1. Расчетные схемы объектов исследования Для сферической оболочки на прямоугольном плане и пластины область О задается так же, как и для цилиндрической панели на прямоугольном плане.

Основываясь на гипотезах Кирхгофа-Лява теории пологих оболочек и применяя для упругих деформаций известные соотношения, вытекающие из закона Гука для двумерного напряженного состояния, уравнения в смешанной форме в декартовой системе координат, записанные в безразмерном виде, для замкнутой цилиндрической оболочки внутри области О будут иметь вид:

12(1-1/ )

д2Г д2н>

,- + —т-+ е—+ п (/)

дх2 а2 д(

- 0.

8 \м

ду2

=0:

(О

Для цилиндрической панели и сферической оболочки на прямоугольном плане уравнения запишутся следующим образом:

[12(1 -v ) и

+ + + 1 = 0.

д н> д№ 2 —- + г— „IV -

аI2 81 "

9(')}=0;

К системам (1) и (2) следует присоединить уравнения на границе и начальные условия Безразмерные параметры (с черточкой) м> = 2Ш, ^ = Г = у, е = е/т, т = а~'л~2т. Здесь / - время, е - коэффициент

линейного трения, - функция усилий, и> - функция прогиба, 2к - толщина оболочки, V = 0 3 - коэффициент Пуассона, Е - модуль упругости, g-ускорение силы тяжести, р - плотность, а, - коэффициент линейного расширения материала Для замкнутой цилиндрической оболочки х = 1л,

„_ , г 2Л _£(2Л)4 _ Е(2ИУ щ ПГ „ I у = к^к^, ч-ч-яёг, А--, * «

Л = Я, - длина и радиус оболочки Для цилиндрической панели и сферической оболочки на прямоугольном плане х = ах, у = ау, к„=кх^-, , г 2Л ,_-Я(2Л04 п _- Я(2Й)3 П - Е(2Н)3 аЪ [У . а

где а, 6 - размеры оболочки в плане по х и у , Рх(У>0 = Р°,51п(о)р1), ру(х,г) = р1&т.{(ор1)~ продольная нагрузка, к, и ку-кривизна оболочки по х и .у соответственно, д(х,у,г) = д0зт(ор1) - поперечная нагрузка, = С5т(яу)5т(яс) - температурное поле, С - интенсивность температурного поля, - амплитуды соответствующих нагрузок, сор - собственная частота колебаний Температурные компоненты

Л у* А ут

усилий и моментов имеют вид N. = Г——сЬ, М. = Г—— гсЬ,

Л1-'" -*

х Я2 дх< ду дх2ду2 д дх1 Зу2 к'аугудх2

V2 = рх ~ + р ~ Для краткости черточка над безразмерными величина-ду ох

ми в системах уравнений (1) и (2) опущена

Оболочка является тонкостенной и подвергается равномерному воздействию температурного потока Стационарному температурному полю отвечает уравнение Лапласа

В общем виде рассмотрим алгоритм сведения распределенной системы к системе с сосредоточенными параметрами по пространственным переменным х и у на примере системы уравнений (1), здесь использован метод Бубнова - Галеркина в высших приближениях в представлении Фурье Функции ту и Г, являющиеся решениями (1), приближенно аппроксимируем выражением

"«¿¿ЛСМ/О^). и)

г-0 У-0 1-0 ;-0 4

Функции <ра(х,у) и V,,(х,^) (/,7 = 0,1,2 ) в выражении (3) должны удовлетворять следующим требованиям они линейно независимы, непрерывны вместе со своими частными производными до четвертого порядка включительно в области П, удовлетворяют главным краевым условиям в точности

После применения процедуры Бубнова-Галеркина систему уравнений

(1) запишем в матричной форме обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка по времени относительно неизвестных А (4), и алгебраическое уравнение относительно неизвестных В (5)

в(А + еА) + 8Л + \ЧЛ + С1В + В>АВ = <}д(?) + Я,, (4)

С2А + ?В + ЪгАА = Н2 (5)

Далее приводим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка (4) к нормальной форме и получаем систему двух ОДУ первого порядка Решаем эту систему уравнений методом Рунге-Кутта 4-го порядка точности относительно неизвестных А, а алгебраическое уравнение (5) разрешаем относительно неизвестного В и решаем методом обратной матрицы на каждом шаге по времени

В диссертации рассмотрен один тип краевых условий - шарнирное опирание на гибкие в касательной плоскости нерастяжимые ребра для замкнутых цилиндрических оболочек

м? = Мх = Ых = £у = 0, при х = 0,1, у = 0,2л

для прямоугольных в плане панелей (6)

у/ = Мх =Н;=£У =0, (х <-»>'), при лг = 0,1,_у = 0,1

Следует также присоединить начальные условия в момент времени '=0 4.0=^0.4,0=° (7)

Для краевых условий (6)-(7) система аппроксимирующих функций ^Р,](х,у),у;1](х, у)} = 0,1,2 ) в выражении (3) для системы уравнений (1)

принята в виде

Д Д АД

V = ¿¿Х(Озт(гях)созОлу), ^ = X2,Вч(ОятСгтсс)соз(улу) (8)

.-1 J=Q 1-1 J-0

Для случая цилиндрической панели и сферической оболочки на прямоугольном плане с краевыми условиями (6)-(7), для системы уравнений

(2) использовались следующие аппроксимирующие функции

»,4 44

" = Е ¿X (0 5ш(/ях) втОлу\ = 2] £ Вя (Г) 5т(г?к) ът^лу) (9)

1-1 1-1 7-1

Исследования проводятся методом Бубнова-Галеркина по пространственным координатам в форме В 3 Власова, что приводит распределенную систему к системе с сосредоточенными параметрами Такой подход позволяет рассматривать механическую систему как систему с большим числом степеней свободы

В первой главе исследована сходимость метода Бубнова-Галеркина в зависимости от количества членов ряда в разложении аппроксимирующих функций и сделан вывод, что для гармонических колебаний возможно достичь совпадения функций и их производных до второго порядка включительно при N1 >13 (в разложении функций (8)) , а для хаотических колебаний такой сходимости достигнуть не удается, сходимость достигается в среднем - по совпадению спектров мощности, начиная с Ы2 >18 Разработанные алгоритм и программный комплекс по исследованию сложных колебаний цилиндрических оболочек, а также цилиндрических панелей на прямоугольном плане, находящихся под действием силовых знакопеременных (поперечной и продольных) нагрузок и температурного поля, позволяют рассмотреть широкий класс задач с произвольными граничными и начальными условиями Численные результаты для статических задач, без учета температурного поля, согласуются с известными численными и экспериментальными результатами, полученными Н И Ободан

Во второй главе предложен подход к исследованию статической устойчивости замкнутых цилиндрических оболочек, находящихся под действием постоянной во времени поперечной локальной нагрузки, распределенной в пределах полосы, и температурного поля с учетом геометрической нелинейности Определение статических критических нагрузок для гибких замкнутых цилиндрических оболочек, находящихся в температурном поле, будем проводить с помощью метода установления, впервые примененного в нелинейной динамике оболочек В И Феодосьевым С математической точки зрения метод установления можно рассматривать как итерационный метод решения систем нелинейных алгебраических уравнений, где каждый шаг по времени является новым приближением к точному решению задачи В то же время он лишен главного недостатка итерационных методов - большой чувствительности к выбору начального приближения При решении задач методом установления роль начальных несовершенств играют неоднородные начальные условия, и малые изменения их не влияют на получающиеся статические решения В методе установления решение системы уравнений в частных производных сводится к решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений Предварительно определяем критическое значение коэффициента линейного трения, те то значение е = екр, при котором процесс считается установившимся Затем, решая задачу Коши, для ряда значений поперечной постоянной во времени локальной нагрузки {?,}мы получили соответствующие значения {и/,} Это позволило построить зависимости q{м>)м общую диаграмму для определения статических критических нагрузок в зависимости от ширины полосы постоянной во времени поперечной локальной нагрузки для замкнутых цилиндрических оболочек, находящихся в температурном поле

При исследовании напряженно-деформируемого состояния оболочки было выявлено, что интенсивность температурного поля не влияет на форму волнообразования при действии постоянной во времени поперечной локальной нагрузки, распределенной в пределах полосы

В третьей главе исследуется нелинейная динамика гибких замкнутых цилиндрических оболочек, находящихся под действием поперечной знакопеременной силовой нагрузки и температурного поля

Описываются известные сценарии перехода колебаний из гармонических в хаотические (сценарий Ландау, сценарий Фейгенбаума, сценарий Рюэля-Такенса, сценарий Помо-Манневиля) Определяется характерный сценарий перехода в хаос для оболочечных систем, находящихся при совместном действии силовой нагрузки и температурного поля - это модифицированный сценарий Рюэля-Такенса-Ньюхауза Для описания переходных процессов в движении оболочки использовался анализ следующих принятых в нелинейной динамике характеристик сигнал и{х0,.е0,/), фазовый портрет и>Си/), спектр мощности 5(а) и сечение Пуанкаре м/, (№(+г)

Для определения динамических критических нагрузок исследовались колебания системы в виде замкнутой цилиндрической оболочки, находящейся в температурном поле, при действии поперечной локальной знакопеременной нагрузки, распределенной в пределах полосы, проходящей вдоль образующей оболочки Ширина полосы определяется центральным углом (ра, значение коэффициента линейного трения е = О Фиксировались значения параметра интенсивности температуры, значения центрального угла, определяющего ширину полосы действия локальной знакопеременной нагрузки, затем по динамическому критерию потери устойчивости системы определялись значения динамической критической нагрузки Были построены общие диаграммы значений динамических критических нагрузок в зависимости от ширины полосы локальной знакопеременной нагрузки, выяснено, что характер диаграмм носит волнообразный характер (рис 2)

<ЪР

05 1 1 5 2 2,5 Э 35 4 45 5 Рис 2. Зависимость динамической критической нагрузки от центрального угла <р0 Рассмотрим формы изгиба оболочки по окружной координате (табл 1) для некоторых значений <р0

Сечения, представленные в табл 1, были получены следующим образом была построена цилиндрическая поверхность, которая рассекалась плоскостью, параллельной основаниям цилиндра, на две равные половины Определено, что при действии температурного поля и поперечной локальной знакопеременной нагрузки геометрия формы оболочки изменяется волнообразно. При действии локальной знакопеременной нагрузки, распределенной в пределах полосы с центральным углом ц>0 = 1, при С = О происходит интенсивное выпучивание в зоны, не находящиеся под действием нагрузки, количество полуволн - восемь При действии температурного поля С = 30 и действии локальной знакопеременной нагрузки, распределенной в пределах полосы с центральным углом <р0 = 1, происходит уменьшение числа полуволн, их стало семь, а в зоне, расположенной напротив приложения нагрузки, происходит выпучивание в наружную сторону цилиндрической поверхности При увеличении значения центрального угла <ра = 2, а значит, и ширины полосы, в пределах которой распределена локальная знакопеременная нагрузка, количество полуволн стало шесть, а при действии температурного поля значения прогибов уменьшаются, но число полуволн увеличивается При дальнейшем увеличении <р0 = 2,5 при отсутствии температурного поля С = 0 происходит уменьшение числа полуволн до пяти, а при С = 30 те прогибы, что были направлены наружу цилиндрической поверхности при С = 0, переместились вовнутрь, число полуволн увеличилось Таким образом, температурное поле вносит изменения в геометрию волнообразования цилиндрической поверхности

Таблица 1

Формы изгиба оболочки при действии силовой нагрузки _и температурного поля _

£ II ?>о=2 <ро = 2,5

С = 0

С?

С = 30 /С* т

Сз) 0 КЗ

Учет влияния коэффициента линейного трения е на характер колебаний замкнутых цилиндрических оболочек, находящихся в температурном поле при действии поперечной локальной знакопеременной нагрузки, распределенной в пределах полосы (рис 3), проводился с помощью карт динамических режимов в зависимости от управляющих параметров \д<1,а>р} С

помощью таких карт возможен визуальный анализ характера колебаний оболочки в зависимости от изменения тех или иных параметров. Для построения карт на область пространства {^о,®^} «накинута» сетка350х350 точек, в узлах которой проводится определение характера колебаний. Решается задача динамики, т.е. строится и анализируется спектр мощности для каждого узла сетки. Наибольшее значение параметра амплитуды нагрузки да ограничено прогибом, максимально возможным в рамках данной теории. При построении карт фиксировались значения параметра интенсивности температуры С = О, С = 5; значение центрального угла <р0 =3.14, и значения е. При рассмотрении карт управляющих параметров при одинаковой температуре можно увидеть, что присутствие коэффициента линейного трения е вносит изменения в поведение системы. На всех картах наблюдаются зоны затухающих колебаний. Увеличение е приводит к тому, что уменьшаются зоны хаотических колебаний, становится больше зон устойчивого поведения системы.

с=о 02 П.1 Ц ;• I 02 0.1 [Щ ? Условные обозначения: Гармонические колебания Затухающие колебания

1 эл Е = 195 3511 325 й> 1, =3.14 30 195 250 325 еа е = 5, <р0 =3.14 I

й Бифуркации Хаотические колебания Двухчастотные колебания

С = 5 <?а 02 0.1 г 1 1 и ' ' 'Л " К ■ 02 □.1 ' - .Л. ■ ■ п %

1 за 195 26Л 325 О) ЗД 19Й Э5Д 325 Ы

£ = 1,?>о =3-14 е = 7,р0 =3.14

Рис.3. Карты динамических режимов в зависимости от управляющих

параметров , СО} для замкнутой цилиндрической оболочки

Для полноты представления о состоянии оболочки в данный момент времени необходимо исследовать напряженно-деформированное состояние этой оболочки. Для исследования пространственных колебаний изучались формы волнообразования цилиндрической оболочки при 0<х<1;0<у<2л и формы поперечного сечения х=0.5; 0<у<2л, для изучения влияния температурного поля на напряженно-деформируемое состояние строились поверхности прогиба, усилий и изгибающего момента для параметра интенсивности температурного поля С = 0 и С = 50. Поперечная

внешняя нагрузка #(/) = ^ втС® 0 распределена в пределах полосы с центральным углом 0<< 1.9яг, 0 < * < 1.

В габл.2 приведены формы изгиба оболочки и формы поперечного сечения цилиндрической оболочки для функции усилий ^, для суммарного

изгибающего момента М'

ЕИЪ (д^-'1 д7м/ - ■ + и—_

дх2

-Ми +М22, где Мп = --

Щ\-у2)\8х2 ду'

12(1 2)1 д 2 1 ' ^ассмотРим Ф°РМЫ изгиба оболочки для

поверхности функции прогиба. При отсутствии температурного поля С = О на цилиндре сначала образуется вмятина в зоне приложения нагрузки, при значении параметра амплитуды температуры С = 50 форма изгиба оболочки изменяется, увеличивается число полуволн и прогибы наблюдаются по всей поверхности.

Таблица 2

Формы изгиба и поперечного сечения цилиндрической оболочки_

.У»)

Во втором столбце табл.2 при отсутствии температурного поля в форме изгиба поверхности для функции усилий присутствует четыре полуволны, которые переходят в три полуволны при С = 50, прогибы уменьшаются, но в зоне отсутствия силовой нагрузки происходит выпучивание вовне цилиндрической поверхности. Волны деформации при действии температурного поля распространяются по всей поверхности, захватывая новые области и вызывая увеличение прогибов. Число полуволн при исследовании поверхности и формы поперечного; сечения суммарного изгибающего момента для С = 0 равно пяти, при С = 50 число полуволн увеличивается до семи.

В четвертой главе объектом исследования являлись цилиндрическая панель и сферическая оболочка на прямоугольном плане, находящиеся под действием распределенной знакопеременной нагрузки и температурного поля.

Проверка достоверности результатов осуществлялась сравнением полученных решений разными методами, методом Бубнова-Галеркина и методом конечных разностей с аппроксимацией 0{Иг) В результате проделанных исследований было установлено, что сходимость результатов, полученных двумя методами, при малых значениях интенсивности температурного поля, например, при с = 5 (рис 4,а) может достигаться по типу колебания При С = 50 (рис 4,6) совпадения по типу колебаний не наблюдается, сходимость только в зоне потери устойчивости оболочки, в зоне «скачка»

тс

6) сравнение результатов на примере цилиндрической панели (кх = 0, ку = 24) при действии поперечной нагрузки Я = зтСоу) и температурного поля Т(х,у) = 50$1п(лх)$т(яу)

Рис.4. Достоверность результатов-! — результат, полученный методом конечных разностей, 2 - результат, полученный методом Бубнова-Галеркина

а) сравнение результатов на примере пластины (кг = 0, ку = 0) при действии поперечной нагрузки ч = 9о ш^/) и температурного поля т(х,у) = 38т(«)мп(яу)

Для определения влияния интенсивности температурного поля на статическую критическую нагрузку прямоугольных в плане цилиндрических панелей и сферической оболочки, были построены диаграммы (рис 5), на которых показано, что при действии температурного поля значения критической нагрузки снижаются

1кг \

4кг

»0 130 100 50 ■ о

Ху-4

КуЗ 6

Ку=24

1370 1565 1560 1555 1540 Ш5 151(1 1535

Вс-Ъ*«

а)цилиндрическая панель (кх =0)

б) сферическая панель (кх=ку)

Рис.5. Зависимость статической критической нагрузки от интенсивности параметра температуры

Задача о поведении тонкостенных конструкций при совместном на-гружении статическими и динамическими силами является важной для

практики Исследовано поведение цилиндрической панели при совместном воздействии различных нагрузок, так, при действии поперечной знакопеременной нагрузки, двухпараметрической продольной нагрузки и температурного поля построены соответствующие зависимости и исследован характер колебаний системы при ТУ, = = 5 в разложении функций (9)

гшх

л

а) действие поперечной нагрузки д = д0 эт(да О

б) действие поперечной нагрузки ? = зт(а () и продольных нагрузок Л0'.') = 05!т(<»^),

в) действие поперечной нагрузки ? = 81п(<у<1/) и продольных нагрузок р,(у,С) = 0 5зт(<ар1),

температурного поля

у) ~ с зт(лх) бт(лу)

Рис. 6. Зависимость максимального прогиба от действия динамических нагрузок и температурного поля

На рис 6 приведены «шкалы» и зависимости максимального прогиба от действия нагрузок для Ы2 = 5, при смене режима колебаний происходит бурный рост прогиба, наблюдается жесткая потеря устойчивости системы В результате численного эксперимента также было установлено, что сходимость метода существенно зависит от параметров С, кх, ку При увеличении этих параметров сходимость ухудшается

Для цилиндрической панели были построены карты динамических режимов в зависимости от управляющих параметров ПРИ совмест-

ном действии продольных рх(у,1), ру(х,!) и поперечной нагрузок и температурного поля, для некоторых значений ку =12,24,36 На рис 7 представлены такие карты для 5 в разложении функций (9) Анализируя полученные результаты, можно заключить, что при увеличении кривизны оболочки зоны хаотических колебаний значительно увеличиваются, так как увеличиваются максимальные прогибы, и при этом происходят неупорядоченные движения центра и четвертей панели Во всех углах цилиндрической панели образуются дополнительные вмятины. Выбирая управляющие параметры, можно регулировать характер колебаний оболо-чечных систем

к= 12

К =24

К, =36

9.0

6.0 V 1 и

3.0 1

0.0

0.0

ШгНА

19.0

г°.о

7.0 14.0 21.0

Рис.7 Карты управляющих параметров {<?, сэ} для панели при действии поперечной нагрузки, продольных нагрузок Рх (Уг /) = 5 $т(а>/), р.. (х, /) = 3р1 (у, /) и температурного поля Т(-х,у) и/ш .V, = Л'2 = 5

Также построены карты управляющих параметров {?0,й)р] для разного числа членов ряда в разложении (9) для Ы1 = ТУ, = 1 (А, = 0,ку =12) и Л?, = Л?2 = 5 при совместном действии силовых нагрузок и температурного поля (рис.8). Карты, построенные при разных приближениях по виду существенно отличаются: характер колебаний на высоких частотах носит хаотический характер (рис.8,б), тогда как для А', = = 1 (рис.8,а) при тех же значениях частоты нагрузки со колебания гармонические. Четко очерченных зон бифуркаций, которые присутствуют на рис.8,а, на рис. 8,6 не наблюдается, они носят локальный характер.

S.0

■м

Í ш Ь 9 0

y/V у., jtr к .

. 1 '; 6.0

3.0

.- > '

со 0.0

_ 3.0 12Я 4iJ 80

а) б)

Рис.8. Карты управляющих параметров {д, со] для панели (кх =0, ку =12)

В четвертой главе решаются статические задачи устойчивости цилиндрических панелей на прямоугольном плане, определяются статические критические нагрузки. При совместном действии динамических нагрузок построены карты управляющих параметров. Показано, что результаты, полученные в первом приближении и в высших приближениях, существенно различаются.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по работе.

Основные выводы по диссертации

1 Построены математические модели с учетом геометрической нелинейности для цилиндрической оболочки и для цилиндрической панели на прямоугольном плане, находящиеся под действием знакопеременных внешних нагрузок и температурного поля Они позволили исследовать задачи статики и динамики, определить характерные режимы колебаний оболочечных систем при совместном действии силовых нагрузок и теплового поля, выявить зоны хаотических колебаний и определить управляющие параметры для перехода системы в гармонические

2 Разработан комплекс программ для качественного исследования сложных колебаний цилиндрических оболочек и цилиндрических панелей на прямоугольном плане, находящихся под действием знакопеременных внешних нагрузок и температурного поля

3 Выявлен характерный сценарий перехода колебаний оболочек, находящихся под действием знакопеременных внешних нагрузок и температурного поля, из гармонических в хаотические - модифицированный сценарий Рюэля-Такенса-Ньюхауза Изучение сценариев перехода системы в хаос позволяет регулировать ее поведение, преобразуя хаотическое поведение в регулярное с помощью целенаправленных дополнительных воздействий

4 Построены карты динамических режимов в зависимости от управляющих параметров ,еор\ для цилиндрической оболочки, цилиндрической панели на прямоугольном плане с рассмотренными краевыми условиями Это дает возможность выводить систему из зон хаоса с помощью управляющих параметров Исследовано влияние коэффициента линейного трения на характер колебаний оболочечных систем Показано, что увеличение значения коэффициента линейного трения приводит к уменьшению зон хаотических колебаний

5 Интенсивность температурного поля, ширина полосы действия локальной знакопеременной нагрузки оказывают влияние на статические и динамические критические нагрузки в цилиндрических оболочках, цилиндрических панелях и сферических оболочках на прямоугольном плане

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ РАБОТЫ

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1 Кузнецова Э С О влиянии температурного поля на сложные колебания замкнутых цилиндрических баллонов / А В Крысько, Я Аврейцевич, Э С Кузнецова // Вестник Саратовского государственного технического университета 2008 № 1(31) Вып 2 С 71-85.

2 Кузнецова Э С Исследование хаотических колебаний прямоугольных пластинок при действии поперечной знакопеременной нагрузки в температурном поле / В А Крысько, Э С Кузнецова, Н.Е Савельева// Известия вузов Машиностроение 2006 №1 С 3-9.

В других изданиях

3 Kusnetsova Е S Chaotic vibrations of closed cylindrical shells m a temperature field /V.A Krysko, J Awrejcewicz, E S Kusnetsova, A V Krysko, // International Journal of Bifurcation and Chaos 2008 №18(5). P 51-59

4 Кузнецова Э С Нелинейная динамика диссипативных распределенных механических систем / В А Крысько, А В Крысько, Э С Кузнецова и др.// Нелинейный динамический анализ-2007 докл Междунар конгресса СПб Санкт-Петерб гос ун-т, 2007 С 42-43

5 Кузнецова Э С Управление хаотическими колебаниями цилиндрических оболочек/Э С Кузнецова// Математическое моделирование и краевые задачи труды Четвертой Всерос науч конф с междунар участием Ч 1 Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций Самара СамГТУ,2007 С 127-128

6 Кузнецова Э С Устойчивость сферических и цилиндрических панелей с учетом геометрической нелинейности в температурном поле /Э С Кузнецова, В А Крысько// Информатика и компьютерные технологии-2007 сб материалов III Междунар науч -техн конф молодых ученых и студентов. Донецк, ДонНТУ, 2007 С 465-468

7 KuznetsovaES Nonlinear dynamics of plates m a temperature field /А V Krysko, J Awrejcewicz, E S. Kuznetsova, N E Saveleva //Proceedings of the 9th Conference on Dynamical Systems - Theory and Applications Lodz, Poland, 2007 P 233-240

8 Kuznetsova E S Chaotic vibrations of shells in a temperature field/ V A Krysko, J Awrejcewicz, E S. Kuznetsova// Proceedings of the International Conference on Engineering Dynamics Carvoeiro, Algarve, Portugal, 2007 P 21-28

9 Кузнецова Э С Исследование хаотических колебаний прямоугольных пластинок в температурном поле / В А Крысько, Э С Кузнецова, Н Е Савельева// Математическое моделирование и краевые задачи труды Третьей Всерос науч конф Ч 1. Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций Самара СамГТУ, 2006 С 127-128

10 Кузнецова Э С Математическая модель хаотических колебаний цилиндрических оболочек в температурном поле /Э С Кузнецова, В А Крысько//Актуальные проблемы современной науки труды 2-го Междунар форума (7-й Междунар конф молодых ученых и студентов) Естественные науки Ч 1-3 Математика. Математическое моделирование Механика Самара СамГТУ, 2006 С 175-178

КУЗНЕЦОВА Элла Сергеевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ КОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК И ПАНЕЛЕЙ С УЧЕТОМ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ И ВНЕШНИХ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ НАГРУЗОК

Автореферат

Ответственный за выпуск д т н, профессор А А Терентьев Корректор О А Панина

Подписано в печать 28 05 08 Формат 60x84 1/16

Бум офсет Услпечл 1,0 Уч-издл 1,0'

Тираж 100 экз Заказ 145 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет 410054, Саратов, Политехническая ул, 77

Отпечатано в РИЦ СГТУ 410054, Саратов, Политехническая ул, 77

ВВЕДЕНИЕ (краткий исторический обзор).

Глава I. ТЕОРИЯ И МЕТОД РАСЧЕТА НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

ГИБКИХ ОБОЛОЧЕК В ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ.

§1. Основные гипотезы и допущения.

§2. Вариационная формулировка задачи - вариационный принцип.

§3. Дифференциальные уравнения, граничные и начальные условия.

§4. Метод Бубнова-Галеркина - сведение бесконечномерной задачи к конечномерной.

§5. Алгоритм расчета.

§6. Достоверность получаемых результатов.

Выводы по главе 1.

Глава II. СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ГИБКИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ

ОБОЛОЧЕК.

§ 1. Метод установления.

§2. Статическая устойчивость замкнутых цилиндрических оболочек при действии локальной нагрузки и температурного поля.

Выводы по главе 2.

Глава III. НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

§1.0 сценариях перехода в хаос.

§2. Исследование влияния интенсивности температурного поля при действии знакопеременной нагрузки на устойчивость системы.

§3. Динамические критические нагрузки при учете влияния интенсивности температурного поля и локальной силовой нагрузки.

§4. Влияние коэффициента линейного трения на характер колебаний цилиндрических оболочек, находящихся в температурном поле.

§5. Хаотические колебания замкнутых цилиндрических оболочек, находящихся в температурном поле.

Выводы по главе 3.

Глава IV. ТЕОРИЯ ГИБКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ В ПЛАНЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПАНЕЛЕЙ, НАХОДЯЩИХСЯ В ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ.

§1. Основные гипотезы и допущения.

§2. Достоверность получаемых результатов.

§3. Исследование влияния интенсивности температурного поля на статическую критическую нагрузку гибких прямоугольных в плане цилиндрических панелей, находящихся в температурном поле.

§4. Нелинейная динамика гибких прямоугольных в плане цилиндрических оболочек, находящихся в температурном поле.

Выводы по главе 4.

краткий исторический обзор исследований по теме и основное содержание работы)

Быстрый темп нашей жизни, постоянное мелькание будней при интенсивном каждодневном обновлении информации, становится реальностью. Явления, которые еще сравнительно недавно считались экзотическими и интересовали лишь узкий круг ученых, сейчас получают развитие во многих областях повседневной жизни. Так и произошло с концепцией детерминированного хаоса. Многочисленные процессы и явления, протекающие в физических, химических, биологических, экономических и социальных неравновесных системах, анализируются сложными нелинейными системами дифференциальных уравнений. Возникают не только теоретические, но и практически важные классы задач, когда возникает необходимость управлять нелинейной-системой. Но, несмотря на огромное число публикаций, в том числе ряда монографий, строгих результатов накоплено немного, и даже терминология в области хаотических моделей еще не устоялась, а многие вопросы остаются открытыми. В промышленности широко применяются конструкции, выполненные в виде тонких однослойных и многослойных оболочек вращения. Они в процессе эксплуатации могут подвергаться воздействию силовых и тепловых нагрузок. Проблема надежной эксплуатации конструкций, работающих в условиях интенсивных тепловых и механических воздействий, с практической точки зрения является в современной технике одной из важнейших, и теоретические численные исследования возникновения хаотических колебаний в такой конструкции, также представляют определенный интерес. Обратимся к истории исследований по* данной тематике, далее также будет приведено основное содержание работы.

Интерес к исследованию температурных напряжений возник в начале нашего века. Например, еще Рэлей [106] рассматривал поле напряжений в неограниченной плите, имевшей первоначально равномерную температуру и охлажденной так, что по ее поверхностям поддерживалась постоянная температура. Влияние периодических изменений температуры для тонкостенных сосудов, имеющих одну или несколько осей симметрии, изучал Г. Эйхельберг [81]. В дальнейшем Г. Гринберг [83] исследовал напряжения, возникающие при охлаждении сферы.Для толстых плит, цилиндров и сфер ряд результатов с приложениями, существенными для бетонного строительства, получил Г. Н. Маслов [49].

Температурные напряжения относятся к основным факторам, с которыми необходимо считаться, при выборе режимов нагрева тел [50].

Исследования высокотемпературной прочности труб под внутренним давлением газовой рабочей среды впервые начаты в 1931 г. компанией «The Babcox and wilcox» под руководством Ньюэлла. Однако они были прерваны в связи со значительными трудностями в постановке опытов (разрушение печи при разрыве образца и т. п.). В 1943 г. опыты были возобновлены. Однако нагрев производился в обыкновенной печи, работающей на природном газе, что не позволяло точно контролировать температуру и деформации образцов. Поэтому проведенные опыты носили в основном прикладной характер.

Используя опыт Ньюэлла, в 1950 г. Кунстер и Блейзер разработали установку, состоящую из шести секций, помещенных в защитный кожух из толстостенной стали. Каждая секция включала образец, электрическую печь специальной конструкции, систему контроля температуры и систему давления. Установка была апробирована и дала удовлетворительные результаты.

Деформация тела неразделимо связана с изменением содержащегося в нем тепла и, следовательно, с изменением распределения температуры в теле. Изменяющееся- во времени поле деформаций вызывает изменение поля температуры, и наоборот. Внутренняя энергия тела зависит, таким образом, от деформаций и температуры. Область науки, рассматривающая эти взаимодействующие процессы, называется термоупругостью. Она начала развиваться в последнем десятилетии прошлого века, хотя уместно отметить, что сопряжение поля деформации и поля температуры постулировал еще Дюгамель [80], а обобщенное уравнение теплопроводности было дано Фойгтом [114] и Джеффрисом [87].

Исследования по термоупругости начинались с решения задач о термоупругих напряжениях в элементах конструкций. Они проводились на основе теории, разработанной Дюгамелем [80] и Нейманом, который исходил из следующего предположения: полная деформация является суммой упругой деформации, связанной с напряжениями обычными соотношениями, и чисто теплового расширения, соответствующего известному из классической теории теплопроводности температурному полю. С принципиальной точки зрения теория Дю-гамеля-Неймана для нестационарных тепловых и механических воздействий оказалась ограниченной: она не позволяет строго описать движение упругого тела, связанное с его тепловым состоянием. При определенных условиях нестационарный нагрев сопровождается динамическими эффектами в конструкции. В общем случае изменение температуры тела происходит не только вследствие подвода тепла от внешних источников, но и в результате самого процесса деформирования. При деформировании тела от механических или тепловых воздействий, протекающих с большой скоростью, возникает так называемый эффект связанности, обусловленный взаимодействием полей деформации и температуры. Он проявляется в образовании и движении тепловых потоков внутри тела, возникновении связанных упругих и тепловых волн, термоупругом рассеянии энергии и т. п. Последовательное рассмотрение процессов упругого деформирования и теплопроводности в их взаимосвязи возможно только на основе термодинамических соображений. Томсон впервые применил основные законы термодинамики для изучения свойств упругого тела, а много* позже J.M. Thomson и S.R. Bishop [112] привнесли свой, вклад при изучении! нелинейных колебаний оболочек.

Ряд исследователей JI. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц [44] и др. с помощью методов классической термодинамики получили связанные уравнения термоупругости. Однако в рамках классической термодинамики строгий анализ справедлив, лишь для изотермического и адиабатического обратимых процессов деформирования. Реальный процесс деформирования, неразрывно связанный с необратимым процессом теплопроводности, является в общем случае также необратимым. Термодинамика необратимых процессов позволила более строго поставить задачу о необратимом процессе деформирования и дать единую трактовку механических и тепловых процессов, нашедшую отражение в-работах М. Био [67], PI Чедвика [71-73], Б. Боли [68, 69] и Д. Уэйнера [115] и др., где был дан обоснованный вывод основных соотношений и уравнений, а также сформулированы вариационные теоремы термоупругости. В связи с этим более четко определилась теория термоупругости, обобщающая классическую-теорию упругости и теорию теплопроводности. В рамках термоупругости рассматривается распределение температуры, вызванное-деформациями, а также дается* описание явления упругого рассеяния энергии, являющегося причиной внутреннего затухания в упругих телах.

Несмотря' на свою математическую сложность, термоупругость дает возможность более глубоко проникнуть в механизм деформационных и тепловых процессов, происходящих в. упругих телах. Она' охватывает следующие явления: перенос тепла теплопроводностью в теле при стационарном и нестационарном теплообмене между ним и внешней средой; термоупругие напряжения, вызванные градиентами температуры; динамические эффекты при резко нестационарных процессах нагрева и, в частности, термоупругие колебания тонкостенных конструкций при тепловом ударе; термомеханические эффекты, обусловленные взаимодействием полей деформации и температуры.

Основное положение термодинамики необратимых процессов, вытекающее из предположения, о локальном термодинамическом равновесии, заключается в том, что первый-и второй законы классической термодинамики справедливы и для локально равновесных макроскопических частей системы. Для математического выражения второго закона термодинамики в случае твердых деформируемых тел, состояние которых определяется большим числом независимых переменных, удобной является формулировка, разработанная Л.А. Шаповаловым [64], Каратеодори [70] и Т. А. Афанасьевой-Эренфест [7]. В этой формулировке устанавливается общий эмпирический принцип о невозможности определенных процессов принцип адиабатической недостижимости.

Теория термоупругости получила широкое развитие в связи с необходимостью решения многих проблем современной техники. Термодинамическое обоснование основных уравнений классической теории термоупругости и систематизация основных результатов исследований термоупругого состояния однородного тела содержатся в монографиях Я.С. Подстригача [58], В. Новацкого [54], Б. Боли, Дж. Уэйнера [9], А. Д. Коваленко [30], работах В.Ф. Киричен-ко[29], О.О. Евтушенко [23].

При современном развитии гиперзвуковых технологий возникает необходимость изучения сложных колебаний оболочечных систем при действии температурного поля и знакопеременных внешних нагрузок. Как известно, аэродинамический нагрев приводит к образованию неравномерного поля температур в конструкции летательного аппарата. С этим связано появление некоторых напряжений. Подобные температурные напряжения не всегда являются опасными для прочности конструкции, так как «рассасываются» по мере развития деформации. Но те элементы конструкции, в которых развиваются сжимающие напряжения, могут потерять устойчивость, что в ряде случаев равносильно исчерпанию несущей способности и является недопустимым.

Далее, при высоких температурах появляется ползучесть конструкционных материалов (стали, дюралюминии, титановых сплавов и .т.д.), которая в свою очередь приводит к потере устойчивости сжатых элементов. У некоторых материалов (пластмассы) ползучесть имеет место при относительно низких температурах, явление ползучести протекает во времени; малозаметная деформация сжатого стержня по истечению определенного периода завершается резким выпучиванием. Существование неравномерного температурного поля связано с явлением теплопроводности внутри тела и с рассеянием энергии в окружающую среду. Процесс деформации при нагружении и выпучивании теля сопровождается, кроме того, необратимыми изменениями температурного поля [16].

Проблема устойчивости оболочек при температурных воздействиях стала разрабатываться с 1957 г. Результатом температурного воздействия на оболочку является термическое выпучивание, которое в отличие от выпучивания при действии механической нагрузки имеет ряд специфических особенностей. При тепловом расширении элементов оболочки возникают температурные усилия. Сжатие элементов сопровождается выделением тепла, а при растяжении происходит поглощение тепла. В оболочке имеет место перетекание тепла от сжатых элементов к растянутым. При неравномерном нагреве из-за градиентов температур возникают дополнительные внутренние тепловые потоки. Происходит необратимый теплообмен с окружающей средой. Строгое решение задачи о температурном выпучивании возможно лишь термодинамическими методами. Но в работах [84, 64] показано, что критическое состояние упругой системы в рамках линейной теории устойчивости не зависит от природы исходного поля напряжений. В рамках технической теории оболочек допускается механическая трактовка термического выпучивания, в которой не делается различия между температурными напряжениями и напряжениями от внешних нагрузок [21].

Общее решение задачи термоупругости представляется в форме решения однородного уравнения для вектора перемещения, он содержит произвольные вектор и скаляр, а частное решение неоднородного уравнения, соответствующего заданному температурному полю, определяется через скалярную функцию, получившую название термоупругого потенциала- перемещений, она удовлетворяет уравнению Пуассона. Первым этапом решения задачи термоупругости является определение соответствующего температурного поля методами теории теплопроводности, систематическое изложение которых можно найти в монографиях А. В. Лыкова [48], Г. Карслоу и Д. Егера [28] и др.

Важными для практики задачами термоупругости является плоская задача термоупругости, термоупругость круглых пластин и оболочек вращения и осесимметричная задача термоупругости.

Постановка плоской задачи термоупругости имеет особенности по сравнению с плоской задачей изотермической теории упругости, связанные с характером температурного поля. Плоское деформированное состояние вызывается двумерным (плоским) температурным полем. Плоское напряженное состояние в рамках пространственной теории упругости может существовать при пространственном температурном поле, удовлетворяющем определенному условию. При произвольном плоском температурном поле в тонкой пластине возникает напряженное состояние, мало отличающееся от плоского напряженного состояния. Формулировка плоской задачи термоупругости в напряжениях должна учитывать условия однозначности перемещений; в связи с этим случай стационарного температурного поля для многосвязных плоских или цилиндрических тел требует специального рассмотрения. Н. И. Мусхелишвили [52], используя теорию функций комплексного переменного, выяснил связь многозначности перемещений с тепловыми напряжениями и установил аналогию между плоской задачей термоупругости для много связных тел при стационарном температурном поле и соответствующей плоской задачей изотермической теории упругости с дислокациями.

Теория термоупругости тонких пластин и оболочек, как и соответствующая изотермическая теория, основана на гипотезе о неизменяемости нормального элемента и на предположении о двумерном напряженном состоянии, аналогичном плоскому напряженному состоянию. При резко нестационарном пространственном-температурном поле закон изменения чисто тепловой деформации по толщине тонкой пластины или оболочки существенно отличается от линейного, поэтому гипотеза о неизменяемости нормального элемента в общем случае не соответствует линейному закону изменения тепловых напряжений по толщине. Применение обобщенных чисто тепловых деформаций позволяет свести задачу термоупругости для тонкостенной конструкции при объемном температурном поле к двумерной задаче изотермической теории пластин и оболочек [30].

На основе современного состояния теории круглых пластин малого прогиба можно изучить особенности термоупругого деформирования пластин, обусловленного пространственным температурным полем, влияние теплового растяжения1 пластины на ее тепловой изгиб, исследовать тепловые напряжения в пластинах переменной толщины, в неоднородных пластинах при изменении упругих свойств материала по радиусу и толщине и др.

При разработке теории тепловых напряжений в тонких оболочках используются результаты изотермической теории оболочек, содержащиеся в известных монографиях A. JI. Гольденвейзера [18], А. И. Лурье [46, 47], В. В. Новожилова [55] и др. Осесимметричная задача разработана наиболее полно по сравнению с другими задачами пространственной термоупругости. Характерные математические трудности, связанные с решением этой задачи, можно установить при исследовании тепловых напряжений в толстостенной сферической оболочке и в коротком сплошном цилиндре. Задача о тепловых напряжениях в толстостенной сферической оболочке является типичной задачей, решаемой с помощью классических методов разложения переменных и представления величин, входящих в граничные условия, в виде рядов по полной ортогональной системе функций. При решении задачи о тепловых напряжениях в коротком цилиндре исследуются тела вращения, для которых невозможно представить граничные значения искомых величин в рядах по полной ортогональной системе функций на всей его поверхности. Применяются в основном два метода решения такой задачи: метод однородных решений, разработанный А. И. Лурье [46] и В. К. Прокоповым, и метод суперпозиции решений для более простых граничных задач.

На основе термодинамики необратимых процессов начали развиваться исследования динамических задач термоупругости с учетом и без учета связанности полей деформации и температуры: Г. Дересевич [75, 76], Р. Чедвик и И.Снедцон [71] разработали теорию плоских гармонических термоупругих волн, В.Новацкий [100-102] исследовал задачи о термоупругих сферических и цилиндрических волнах и развил общие представления о решении связанных задач термоупругости, Ф. Локкет [96], Д. Уиндл [72] изучили распространение термоупругих волн Релея, Я. С. Подстригач и Р. Н. Швец [57] изучили влияние теплопроводности и теплоотдачи на распространение волн напряжений в пластинах и оболочках и т. п. При исследовании динамических задач термоупругости учет связанности полей деформации и температуры дает возможность выявить новые качественные особенности протекания процесса деформирования. Анализ сравнительно простого решения одномерной задачи о распространении плоских гармонических термоупругих волн в неограниченном теле позволяет правильно понять основные черты термоупругих явлений при разных частотах волн и параметрах связанности материала. В качестве основных граничных связанных задач термоупругости следует отметить двумерные задачи о распространении плоских термоупругих волн вдоль поверхности полупространства и продольных термоупругих волн в длинном цилиндре. В статье Ding Haojiang [77] дано общее решение задач сопряженной термоупругости, в качестве примера решена задача о деформации полупространства, на границе которого задано только температурное поле гармоническое по времени, как функция радиуса. Г.Я. Попов [59] получил точные решения для несвязанной задачи термоупругости для конечного кругового полого цилиндра с вырезом вдоль образующей, в данной работе температурное поле считается уже известным.

Теория нелинейных колебаний пластин и оболочек - эта область представляет одну из частей общей нелинейной механики твердых деформируемых тел, или, в более широких рамках, нелинейной механики сплошных сред. Одним из важных практических приложений в этом направлении является вопрос о поведении пластин и оболочек при импульсных воздействиях. Теоретическими исследованиями Б. Боли и А. Барбера [68], X. Крауса [93] и др. установлена возможность возбуждения колебаний тонкостенных элементов конструкций (балок, пластин, оболочек) посредством импульсивных тепловых воздействий. Импульсные нагрузки являются определяющими при расчете технологических операций высокоскоростной обработки металлов, взрывных камер, термоядерных установок, запроектных режимов работы атомных реакторов и других аппаратов новой техники [20]. В работе О.О. Евтушенко-[23] найдены температурное поле и термические напряжения, инициируемые в полупространстве отдельным импульсом лазерного излучения; полученные результаты численными методами соответствуют данным для лазера, работающего в режиме непрерывной генерации.

Первый обзор по проблеме исследования цилиндрических оболочек был сделан D.A. Evensen в 1974 [82]. В дальнейшем появились обзорные работы М.Sathyamorthy и К.A. Pandalai [108, 109], W. Leissa [94], M.Amabili [66]-и других. В этих работах изучались системы с одной, максимум тремя степенями свободы, что явно недостаточно при изучении сложных с учетом геометрической нелинейности колебаний. Учет геометрической нелинейности в теории колебаний дает возможность выявить новые явления, которые совершенно не могут быть открыты на основе линейной теории. Основы геометрически нелинейной теории были заложены работой Маргерра [97]. Позднее Т. Карман и Г. Цзян [89] на основе уравнений Маргерра установили, что в закритической стадии нагрузка с ростом деформации падает, что противоречило известным фактам, полученным в решениях аналогичных задач для стержней и пластин, где нагрузка с ростом деформации непрерывно возрастала [21].

В 1934 г. Доннелл [79] обратил внимание на важность учета нелинейных членов в геометрических соотношениях. Он еще в 1933 г. решил задачу об устойчивости-тонкой упругой круговой цилиндрической оболочки конечной длины при кручении ее концевыми парами. Эта работа связала имя JI. Г. Доннелла с уравнениями линейной теории пологих оболочек. JI. Г. Доннелл записал для нелинейной теории пологих оболочек уравнение совместности деформации, являющееся обобщением известного уравнения Максвелла. Специальная форма дифференциальных уравнений устойчивости круговых цилиндрических оболочек в перемещениях носит название уравнений Доннелла, а уравнения устойчивости пологих оболочек общего вида именуются ныне как уравнения Доннелла-Муштари. Работы JL Г. Доннелла по оценке влияния несовершенств формы срединной поверхности оболочек на критическую нагрузку в рамках нелинейной теории были замечены специалистами [22].

Начиная с конца 50-х гг. прошлого столетия проблема динамической устойчивости тонкостенных оболочек вызывает большой интерес. Связанные с нею задачи и полученные результаты обсуждались в монографиях

A.С. Вольмира [13, 14], в докладах и обзорных статьях В.В.Болотина [10],

B.И. Феодосьева [60], В.Л. Агамирова [1], Ю.Г. Коноплева [31]. По проблеме динамической устойчивости цилиндрических оболочек, подверженных продольному торцевому удару в работе К.А. Пандалаи [105] приведен список публикаций.

Задача устойчивости оболочек в геометрически нелинейной постановке рассматривается в работе В.А. Баженова [8], предложенная методика позволяет исследовать напряженно-деформированное состояние, устойчивость и закри-тическое поведение оболочек в процессах термосиловых нагружений. Решение задач по определению показателей температурного напряженно-деформированного состояния в оболочках произвольного очертания, выполненных из функционально градуированного материала, под действием термического нагружения, рассматривается в работах Ю.П. Артюхина1 [6], Takezono Shigeo [111].

Проводимые исследования в области нелинейной динамики пластин и оболочек показали, что в поведении сложных нелинейных систем со многими степенями свободы при определенных условиях могут возбуждаться различные режимы колебаний: регулярные (гармонические, субгармонические, квазипериодические) и нерегулярные (хаотические). И процесс колебаний, в свою очередь, может сопровождаться большим разнообразием физических явлений, к которым относятся возникновение сложных резонансов; срыв колебательного режима, приводящий систему к режиму изменения пространственно-временного состояния: стоячим либо бегущим волнам и другим явлениям, например, появлению потери устойчивости по симметричной и несимметричным формам. Возможность возникновения хаоса при изменении параметров воздействия, сценарии перехода систем из упорядоченного движения в хаотическое, интересует ученых уже не одно десятилетие. Здесь приведены некоторые работы по данной тематике.

В основе исследования динамического поведения вязкоупругой цилиндрической оболочки под действием осевого давления в статье Cheng Chang-jun [74] лежат гипотезы Кармана-Доннелла, изучаются динамические характеристики цилиндра (гиперхаос, хаос, странные аттракторы, предельные циклы). На примере динамической устойчивости оболочек с геометрическими несовершенствами в работе Е.А. Гоцуляк [19] демонстрируется состояние системы в момент потери устойчивости при динамическом нагружении и переход от док-ритического к закритическому состоянию; автор отмечает, что колебания при этом имеют хаотический характер. При диссипативном разогреве вязкоу пру го-го цилиндра при установившемся движении произвольной нагрузки по его поверхности В.Г. Карнаухов [27] исследует влияние толщины цилиндра и области нагружения на температурное поле.

Интересное приложение теории нелинейных колебаний получило в статье Zeng Jing [117]. Здесь конструкция вагона вместе с двухосными тележками рассматривается как механическая система, состоящая из многих твердых тел с упругими связями и обладающая девятью- степенями свободы. Рассчитаны точки бифуркации Хопфа, предельные циклы колебаний, показатели квазипериодического и хаотического движения исследуемой динамической системы с построением фазового портрета колебаний и картины Пуанкаре. Определена скорость движения вагона, при которой возникают его хаотические колебания.

Но вопросам нелинейной: динамики пластин и оболочек, находящихся; под действием знакопеременных нагрузок и температурного поля, изучению сценариев перехода таких систем в состояние хаоса в известной нам литературе не уделялось должного внимания- Данное направление интенсивно развивается в научной школе, возглавляемой профессором В.А. Крысько.

Целью работы является построение1 математических моделей; сложных колебаний механических систем в виде гибких цилиндрических оболочек, цилиндрических панелей; на прямоугольном: плане, находящихся под действием знакопеременных нагрузок и температурного поля, а также создание эффективных математических методов и алгоритмов решения таких задач.

Для достижения этой цели* необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать математические модели для сложных нелинейных колебаний; гибких цилиндрических оболочек, а также цилиндрических' панелей на; прямоугольном плане, находящихся в температурном поле, при действии распределенной или локальной знакопеременной поперечной нагрузки и продольных периодических нагрузок.

2. Разработать эффективный алгоритм численной реализации колебательных режимов для качественного исследования сложных колебаний указанных обол очечных систем.

3. Провести проверку достоверности получаемых результатов и апробацию предложенного алгоритма для конкретных задач.

4. Изучить влияние температурного поля и знакопеременных силовых нагрузок на сложные колебания оболочечных систем в; зависимости от управляющих параметров (амплитуды* возбуждения нагрузки, интенсивности температуры, коэффициента линейного трения и др.).

Диссертация; состоит из введения, четырех глав, заключения, списка; используемой литературы. Ниже приведена краткая характеристика по главам.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ

1. Построены* математические модели с учетом геометрической нелинейности дляг цилиндрической оболочки и для цилиндрической панели на прямоугольном плане, находящиеся под действием знакопеременных внешних нагрузок и температурного поля. Они позволили исследовать задачи статики и динамики, определить характерные режимы колебаний оболочечных систем при совместном действии силовых нагрузою и теплового поля, выявить зоны хаотических колебаний и определить управляющие параметры для перехода .системы в гармонические.

2. Разработан комплекс программ для качественного исследования сложных колебаний цилиндрических оболочек и цилиндрических панелей на прямоугольном плане, находящихся под действием знакопеременных внешних нагрузок и температурного поля.

3. Выявлен характерный сценарий перехода колебаний оболочек, находящихся под действием знакопеременных внешних нагрузок и температурного поля, из гармонических в хаотические - модифицированный сценарий Рюэля-Такенса-Ньюхауза. Изучение сценариев перехода системы в хаос позволяет регулировать её поведение, преобразуя хаотическое поведение в регулярное с помощью целенаправленных дополнительных воздействий.

4. Построены карты динамических режимов в зависимости от управляющих параметров (q0,d)p) для цилиндрической оболочки, цилиндрической панели, на прямоугольном плане с рассмотренными краевыми условиями. Это дает возможность выводить систему из зон хаоса с помощью управляющих параметров:

5. При совместном действии силовых знакопеременных нагрузок и температурного поля впервые исследовано- влияние коэффициента линейного трения4 на характер колебаний оболочечных систем. Показано, что увеличение значения коэффициента линейного трения приводит к уменьшению ^зон хаотических колебаний.

6. Исследовано влияние совместного действия температурного поля и локальной знакопеременной нагрузки, распределенной по полосе с центральным углом <р0. Построены графики зависимости критических нагрузок от центрального угла в цилиндрических оболочках. Определены статические и динамические критические нагрузки, исследовано напряженно-деформированное состояние оболочки при совместном действии температурного поля и локальной знакопеременной нагрузки.

7.Исследована сходимость метода Бубнова-Галеркина в высших приближениях и метода конечных разностей с аппроксимацией 0(h2) при исследовании сложных колебаний цилиндрических панелей и пластинок при совместном действии температурного поля и силовых нагрузок.

8. Определено влияние параметра интенсивности температурного поля на статическую критическую нагрузку в цилиндрических панелях и сферических оболочках на прямоугольном плане.

9. Построены карты динамических режимов в разных приближениях при п = 1 и п = 25. Показано, что результаты, полученные в первом приближении существенно отличаются от результатов, полученных в высших приближениях.

Многие западные исследователи рассматривают решения задач нелинейной динамики в первом приближении, но проведенные численные эксперименты убеждают нас, что такой подход приводит к существенным качественным отличиям, поэтому необходимо решать такие задачи в высших приближениях.

1. Агамиров В.Л. Обзор исследований по устойчивости конструкций при импульсном нагружении / В.Л. Агамиров // Расчет пространственных конструкций. М.: Стройиздат, 1969. Вып. 12. С. 186 200.1

2. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем / Н.А. Алфутов. М.: Машиностроение, 1978. 312 с.

3. Андреев Л.В. Устойчивость оболочек при неосесимметричной деформации/Л.В. Андреев, Н.И. Ободан, А.Г. Лебедев. М.: Наука, 1988. 208 с.

4. Андриевский Б.Р. Управление хаосом: методы и приложения. I. Методы / Б.Р. Андриевский, А.Л. Фрадков // Автоматика и телемеханика. 2003. №5. стр. 3-45.

5. Андриевский В.Р. Управление хаосом: методы и приложения / В.Р. Андриевский, А.Л. Фрадков // Автоматика и телемеханика. 2004. №4. С. 334.

6. Артюхин Ю.П. Термоупругость пологой оболочки произвольного очертания / Ю.П. Артюхин, М.В. Крамин // Тр. 17 Междунар. конф. по теории оболочек и пластин, г. Казань, 1995. Т. 1. Казань, 1996. С. 166-171.

7. Афанасьева-Эренфест Т. А. Необратимость, односторонность и второе начало термодинамики / Т.А. Афанасьева-Эренфест // Ж. прикл. физ. 1928. №5. С.3-4.

8. Боли Б. Теория температурных напряжений / Б.Боли, Дж.Уэйнер. М.: Мир, 1964. 356 с.

9. Болотин В.В. Современные направления в области динамики пластин и оболочек / В.В. Болотин // Теория пластин и оболочек. Киев, 1962. С. 16-32.

10. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластин и оболочек / А.С. Вольмир. М.: Наука, 1972. 432 с.

11. Вольмир А.С. Нелинейные задачи динамики оболочек / А.С. Вольмир // Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1964. № 7. С. 2630.

12. Вольмир А.С. О критериях устойчивости оболочек / А.С.Вольмир // Расчет пространственных конструкций. М.: Стройиздат, 1964. Вып. 9. С. 117— 129.

13. Вольмир А.С. Современные проблемы устойчивости и динамики оболочек / А.С. Вольмир // Строительная механика и расчет сооружений. 1970. № 2. С. 32-37.

14. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем / ; А.С. Вольмир. М.: Наука, 1967. 984 с.

15. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем / А.С.Вольмир. М.: Физматгиз, 1963. 880 с.

16. Гавриленко Г.Д. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек с одиночной локальной вмятиной / Г.Д. Гавриленко, B.J1. Красовский // Проблемы прочности. 2004. №3. С.52-63.

17. Гольденвейзер A.J1. Теория упругих тонких оболочек / A.J1. Гольденвейзер // М.: Наука, 1976 .512 с.

18. Гоцуляк Е.А. Устойчивость оболочек при нестационарных нагружениях / Е.А. Гоцуляк, Д.Э. Прусов // Прикл. мех. (Киев). 1997. №33. С. 59-68.

19. Гуляев В. И. Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач / В.И. Гуляев, В.А. Баженов, П. П. Лизунов. Львов: Вища школа, 1978. 192 с.

20. Григолюк Э.И. Устойчивость оболочек / Э.И.Григолюк, В .В. Кабанов. М.: Наука, 1978. 360 с.

21. Кан С.Н. Устойчивость оболочек / С. Н. Кан, К. Е. Бырсан, О.

22. A. Алифанова и др. Харьков: Изд-во ХГУ, 1970. 156 с.

23. Кантор Б .Я. К нелинейной теории тонких оболочек / Б.Я. Кантор // Динамика и прочность машин. Харьков: Изд-во ХГУ, 1967. Т. 5.

24. Кармишин А. В. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций / А.В. Кармишин, В.И. Мяченков, А.Н. Фролов. М.: Машиностроение; 1975. 376 с. /

25. Карнаухов В. Г. Диссипативный разогрев вязкоупругого цилиндра при установившемся движении произвольной нагрузки по его поверхности /

26. B.Г.Карнаухов, Ю.В. Ревенко // Прикл. мех.: Международный научный журнал. 2005. №41(2). С. 23-32.

27. Карслоу Г. Теплопроводность твердых тел / Г.Карслоу, Д.Егер. М.: Наука, 1964. 450 с.

28. Кириченко В.Ф. О существовании решения одной нелинейной связанной задачи термоупругости / В.Ф. Кириченко, В.А. Крысько // Диф. уравнения. 1984. Т.20. №9>. С.1583-1588.

29. Коваленко А.Д. Основы термоупругости / А.Д.Коваленко. Киев: Наукова думка, 1970. 309 с.

30. Корнишин М.С. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек / М.С. Корнишин, В.Н. Паймушин, В.Ф. Снигирев. М.: Наука, 1989. 206с.

31. Корнишин М.С. Гибкие пластины и панели / М.С. Корнишин, Ф.С. Исанбаева. М.:Наука, 1968. 260 с.

32. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения / М.С. Корнишин. М.: Наука, 1964. 192 с.

33. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек/В.А. Крысько. Саратов: СГТУ, 1976. 216 с.

34. Кузнецова Э.С. Исследование хаотических колебаний прямоугольных пластинок при действии поперечной знакопеременной нагрузки в температурном поле / В.А. Крысько, Э.С. Кузнецова, Н.Е. Савельева // Известия вузов. Машиностроение. 2006. №1. С. 3-9.

35. Кузнецова Э.С. Нелинейная динамика диссипативных распределенных механических систем / В.А. Крысько, А.В. Крысько,

36. Э.С. Кузнецова и др. // Нелинейный динамический анализ-2007: докл. Междунар. конгресса. СПб.: Санкт-Петерб. гос. ун-т, 2007. С. 42-43.

37. Кузнецова Э.С. О влиянии температурного поля на сложные колебания замкнутых цилиндрических баллонов / А.В. Крысько, Я. Аврейцевич, Э.С. Кузнецова // Вестник Саратовского государственного технического университета, 2008. № 1(31). Вып. 2. С. 71-85.

38. Куцемако А.Н. Устойчивость и колебания неоднородных оболочек / В.А. Крысько, А.Н. Куцемако. Саратов: Сарат.гос.техн.ун-т, 1999. 202 с.

39. Ландау Л. Д. Механика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Гостехиздат, 1954. 452 с.

40. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности / Л.Д. Ландау //ДАН СССР. 1944. Т. 44. 339 с.

41. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости / А.И. Лурье. М.: Наука, 1980. 512 с.

42. Лурье А. И. Статика тонкостенных упругих оболочек / А. И.Лурье. М.: Гостехиздат, 1947. 385 с.

43. Лыков А. В. Теория теплопроводности / А. В. Лыков. М.: Высшая школа, 1967. 325 с.

44. Маслов Г. Н. Задача теории упругости о термоупругом равновесии / Г.Н. Маслов // Известия научно-исследовательского- института гидротехники. 1939. № 23. С.130-219.

45. Мелан Э. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями / Э. Мелан, Г. Паркус. М.: Физматгиз, 1958. 167 с.

46. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров / Ф. Мун; пер. с англ. Ю.А. Данилова, A.M. Шукурова. М.: Мир, 1990.312 с.

47. Мусхелишвили Н. И. О тепловых напряжениях в плоской задаче теории упругости / Н. И. Мусхелишвили // Изв. электротехнич. ин-та. 1916. № 13.

48. Новацкий В. Теория упругости / В.Новацкий; пер. М.Н. Победри / М.: Мир, 1975. 872 с.

49. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости / В. Новацкий; под ред. Г.С. Шапиро. М.: Мир, 1970. 256 с.

50. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек / В.В. Новожилов., Л.: Судпромгиз, 1962. 372 с.

51. Образцов И.Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиационных пространственных конструкций / И.Ф. Образцов. М.: Машиностроение, 1966. 245 с.

52. Подстригач Я. С. Некоторые динамические задачи термоупругости тонких оболочек. Теория* оболочек и пластин / Я.С. Подстригач, Р.Н. Швец // Тр. IV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1964. С. 245-250.

53. Подстригач Я.С. Обобщенная термомеханика / Я.С.Подстригач, Ю.М.Коляно. Киев: Наукова думка, 1976. 311 с.

54. Попов Г.Я. Точные решения некоторых смешанных задач несвязанной термоупругости для конечного кругового полого цилиндра с вырезом вдольобразующей / Г.Я.Попов // Прикл. мат. и мех. (Москва). 2002. № 66(4) С. 694704.

55. Феодосьев В.И. Геометрически нелинейные задачи теории пластин и оболочек / В.И. Феодосьев // Труды VI Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1962. С. 971 976.

56. Феодосьев В.И. Об одном способе решения задач устойчивости деформируемых систем / В.И. Феодосьев // ПММ. 1963. Т. 27. № 2. С. 265 — 275.

57. Феодосьев В.И. Применение шагового метода к анализу устойчивости сжатого стержня / В.И. Феодосьев // ПММ. 1963. Т. 27. № 5. С. 833- 841.

58. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела / А.П. Филин. М.: Наука, 1975. Т. 1. 832 с.

59. Шаповалов JI.A. Приложение методов термодинамики к некоторым температурным задачам упругой устойчивости / Л.А.Шаповалов // Прочность и деформ. материалов в неравномерных физич. полях. Вып. 2. М.: Атомиздат, 1968. С. 131-169.

60. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и турбулентность / Л.П. Шильников // Проблемы нелинейных и турбулентных процессов в физике. Ч. 2. Киев: Наукова думка, 1985. С. 118 — 124.

61. Amabili М. Non-linear vibration of simply supported circular cylindrical shells coupled to quiescent fluid / M.Amabili, F. Pellicano, M.P. Paidoussis // Journal of Fluids and Structures. 1998. №12. P. 883-918.

62. Biot M. A. Thermoelasticity and irreversible thermodynamics/ M.A. Biot// Appl. Phys. 1956. №21. P. 273-305.

63. Caratheodory C. Untersuchungen iiber die Grundlagen der Thermody-namik / C. Caratheodory // Math. Ann. 1909. № 67. P. 315-338.

64. Chadwick P. Plane waves in an elastic solid conducting heat / P.Chadwick, I.N. Sneddon // J. Mech. a. Phys. Solids. 1958. № 6. Pr 368-389; "•

65. Cheng .Chang-j un. Dynamical-behavior of viscoelastic cylindrical: shells under, axial pressures / Cheng Chang-j un, Zhang Neng-hui // Appl: Math, and Mech. Engl. Ed. 2001. № l.C. 1-9.

66. Deresiewicz H; Plane waves in a thermoelastic solid / HDeresiewicz // Ji

67. Acoust. Soc. Amer. 1957. № 29. P:263-276.

68. Deresiewicz H. Solution of the equations of thermoelasticity / HDeresiewicz // Proc. 3d Nat. Congr. Appl. Mech. ASME, 1958. Pi 685-690.

69. Ding Haojiang. General solutions of coupled thermoelastic problem / Ding Haojiang, Guo Fenglin; Hou Pengfei // Appl. Math. and Mech. Engl. Ed. 2000. №6. C. 631-636.

70. Duhamel J. M. Second memoire sur les phenomenes termo-mechaniques / J. M. Duhamel// J. de l'Ecole Polytechnique. 1837. №15. P. 423-444.

71. Eichelberg G. Temperatur ferlauf und Warmespannungen in Verbrennungsmotoren / G. Eichelberg // Forschungsareiten VDI, 1923. Vol. 263.

72. Evensen D.A. In Thin Walled Structures: Theory, Experiment and Design / D.A. Evensen. NJ: Prentice-Hall, 1974. P. 133-155.

73. Grinberg G. Uber durch ungleichformige Erwarmung erregten Spannungszustand / G.Grinberg // Appl. Phys. 1926. P.548-555.

74. Hoff N.J. Flambeinent thermique des coques cylindriques circulaires a parois minces / N.J Hoff // High Temperat. Aeronaut. Oxford-London-New York-Paris, Pergamon Press, 1963. P. 315-342.

75. Hoff N. Dynamic stability of structures / N. Hoff // Dynamic stability of structures. Oxford etc. Pergamon Press, 1967. P. 7 — 41.

76. Ilopf E.A. Mathematical example displaying the features of turbulence / E.A. Hopf// Comn. Pure Appl. Math. 1948. Vol. 1. P. 303 322.

77. Jeffreys H. The thermodynamic of an elastic solid / H. Jeffreys // Proc. Cambr.Phil. Soc. 1930. № 26. P. 156-178.

78. Karman T. L. The collected works / T.L.Karman. London. Butterworths, 1956. Vol. 4. P. 107-126.

79. Karman T.L. The buckling of thin cylindrical shells under axial compression / T.L. Karman, H.S. Tsien // J. Aeronaut. Sci. 1941. Vol.8. №. 8. P. 303312.

80. Kusnetsova E.S. Chaotic vibrations of closed cylindrical shells in a temperature field / V.A. Krysko, J. Awrejcewicz, E.S.Kusnetsova, A.V. Krysko // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2008. №18(5). P.51-59.

81. Kraus H. Thermally induced vibrations of thin nonshallow spherical shells /H.Kraus / AIAA J. 1966. №4. 356 p.

82. Leissa W. Vibration of Shells / W. Leissa // Acoustical Society of America, 1993. № 26. P.385-400.

83. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow / E.N. Lorenz // J.Atmosferic Sci. 1963. V.20. №2. P.130-141.

84. LocKett F. J. Effect of thermal properties of a solid on the velocity of Rayleigh waves / F.J. LocKett / J. Mech. and Phys. Solids. 1958. №7. P.286-315.

85. Marguerre K. Theorie der gekrummten Platte grosser Formanderung / K.Marguerre. New York, J. Willey and Son., 1939. P.93-101.

86. Marzec C.J. Ordinary Differential Equations with Strange Attractors / C.J. Marzec, E.A. Spiegel // SIAM J.Appl. Math. 38(3). P.403-421.

87. Moore D.W. and Spiegel E.A. A Thermally Excited Non-linear Oscillator / D.W. Moore, E.A. Spiegel // Astrophys. J. 143(3), P.871-887.

88. Nowacki W. Dynamiczne zagadnienia termosprezystosci. Panstwowe wydawnictwo naukowe / W. Nowacki. Warszawa, 1966. 366 p.

89. Nowacki W. Transcient Thermal Stresses in Viscoelastic Plates and Shells / W. Nowacki // Advances Aeronaut. Sci. 1962. №4. P. 947—969.

90. NowacKi W. Thermoelasticity / W. NowacKi // Pergamon Press, Oxford Ld. N. Y. P., 1962.285 p.

91. Ott E. Controlling chaos / E.Ott, G. Grebogi, J.Yorke // Phys. Rev.Lett. 1990. V.64 (11). P. 1196-1199.

92. Pomean Y. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems / Y. Pomean, P. Manneville // Comm. Math. Phys. 1980. Vol. 74. № 2. P. 189-197.

93. Prathap G. The role of median surface curvature in large amplitude flexural vibrations of thin shells / G. Prathap, K.A. Pandalai // J. Sound Vibration. 1978. Vol. 60. № l.P. 119-131.

94. Rayleigh M. On the Stresses in solid Bodies due to unequale heating and on the double refraction resulting therefrom / M.Rayleigh // Phil. Mag. I., 1901. 1691. P

95. Ruelle D. On the Nature of Turbulence / D. Rutlle, F. Takehs // Commun. Math. Phys. 1971. Vol. 20. P. 167 192.

96. Sathyamorthy M. Large amplitude vibrations of certain deformable bodies. Part I: disc, membranes and rings / M.Sathyamorthy, K.A. Pandalai // Journal of the Aeronautical Society of India. 1972. № 24. P. 409-414.

97. Sathyamorthy M. Large amplitude vibrations of certain deformable bodies. Part II: plates and shells / M.Sathyamorthy, K.A. Pandalai // Journal of the Aeronautical Society of India. 1973. №25. P. 1-10.

98. Sobel L. M. Effect of boundary conditions on the stability of cylinders subjected to external and axial pressure / L.M.Sobel // AIAA Journal. 1964. Vol. 2, № 8. P. 1437-1440.

99. Takezono Shigeo Thermal stress and deformation in functionally graded material shells of revolution under thermal loading due to fluid / Takezono Shigeo, Tao Katsumi, Inamura Eijiroh // 19th Int. Congr. Theor. and Appl. Mech. Kyoto. 1996. P. 331.

100. Thomson J.M.T. Non-linearity and Chaos in Engineering Dynamics/ J.M.T. Thomson, S.R. Bishop // Centre for Non-linear Dynamics, University College London. U.K.: John Wiley&Sons, 1994. 352 p.

101. Timoshenko S. Properties of matter under high pressure /S.Timoshenko// Mechanical Engineering. 1925. Vol. 47. № 6. P. 513-515.

102. Voigt W. Lehrbuch der Kristallphysik / W.Voigt // Teubner. 1910. 1521. P

103. Weiner R. S. Forced axisymmetric motions of circular elastic plates J R.S.Weiner // J. of Appl. Mech. Trans. ASME. 1965. №32. P. 456-460.

104. Zeng Jing Nonlinear oscillations and chaos in a railway vehicle system J Zeng Jing // Chin. J. Mech. Eng. 1998. № 11. P. 231-238.

105. Ziegler H. Principles of structural stability / H.Ziegler // Waltham-Massachusetts-Toronto-London, Blaisdell Publ. Co., 1968; русск. пер.: Циглер Г". Основы теории устойчивости конструкций. М.: Мир, 1971. 192 с.