автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Вейвлет-анализ в исследовании сложных колебаний балок, пластинок и оболочек

На правах рукописи

Солдатов Владислав Викторович

ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ В ИССЛЕДОВАНИИ СЛОЖНЫХ КОЛЕБАНИЙ БАЛОК, ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК

Специальности: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

18

Саратов 2009

003487718

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».

Научный руководитель: Научный консультант:

Официальные оппоненты: Ведущая организация:

доктор технических наук, профессор Крысько Вадим Анатольевич кандидат физико-математических наук, доцент Папкова Ирина Владиславовна

доктор физико-математических наук, профессор Гурьянов Владимир Михайлович доктор физико-математических наук, профессор Губатенко Валерий Петрович

Институт проблем точной механики и управления РАН, г. Саратов

Защита состоится « 24 » декабря 2009 г. в 13-00 на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет, корп.1, ауд. 319.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».

Автореферат разослан » 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

А.А. Терентьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Механические системы (балки, пластинки, оболочки) являются основными составными частями множества инженерных конструкций, при проектировании которых актуальны вопросы нелинейного деформирования. Такие методы нелинейной динамики, как визуализация траекторий в фазовом пространстве, корреляционный и спектральный анализ стали уже традиционными и при анализе механических систем. В связи с этим особый интерес представляет использование такого относительно нового для механики твердого тела метода как вейвлет-анализ.

В работах В. А. Крысько, A.B. Крысько, Я. Аврейцевича, И.В.Кравцовой, Н.Е. Савельевой, Т.В. Щекатуровой, Э.С. Кузнецовой, O.A. Салтыковой при изучении спектров мощности, построенных на основании преобразования Фурье, установлено, что для балок, пластинок и оболочек переход к хаотическим колебаниям может происходить по сценариям Фейгенбаума и модифицированному сценарию Рюэля - Такенса - Ньюхауза. Неисследованным остался вопрос о существовании сценария перехода к хаосу через перемежаемость, так как для изучения последнего недостаточно располагать лишь частотным спектром, получаемым с помощью преобразования Фурье.

Таким образом, актуальной задачей является анализ нестационарных процессов в различных режимах колебаний распределенных механических систем, основанный на расчете их движений как систем со многими степенями свободы с использованием вейвлет-преобразования (а также и традиционных методов нелинейной динамики) с целью уточнения характера протекающих в таких системах нелинейных процессов и уточнения существующих сценариев перехода колебаний из хаотических в гармонические.

Целью диссертационной работы являются построение математических моделей сложных колебаний распределенных механических систем - одно- и многослойных балок (спаянных и неспаянных), пластинок, сферических пологих и цилиндрических оболочек; разработка программного обеспечения, позволяющего осуществлять вейвлет-анализ сценариев перехода в хаос для таких систем. Для достижения этой цели были решены следующие задачи-.

1. Создание математической модели анализа регулярных и хаотических вынужденных колебаний балок (в том числе многослойных неспаянных), пластинок и оболочек на основании непрерывного вейвлет-преобразования и выбор эффективных вычислительных схем её реализации;

2. Разработка программного обеспечения на основе предложенных моделей и вычислительных схем;

3. Применение разработанной математической модели и программного обеспечения для исследования переходных процессов и сценариев перехода в хаос для балок, пластинок и оболочек в различных режимах динамического нагружения.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются корректной физической и математической постановкой задачи, применением различных численных методов с взаимным контролем результатов, методов качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики. Научная новизна работы

1. Предложенные математические модели, вычислительные схемы и разработанное на их основе программное обеспечение позволяют исследовать локальные особенности сложных колебаний для следующих нелинейных распределенных механических систем:

a. гибких балок, модели которых построены на основании кинематических гипотез Бернулли-Эйлера, С. П. Тимошенко, Шереметьева-Пелеха;

b. многослойных неспаянных балок на основе гипотезы Бернулли-Эйлера для каждой из балок;

c. пологих сферических и замкнутых цилиндрических оболочек, а также для панелей;

2. С помощью вейвлет-анализа впервые обнаружен и исследован переход в хаос через перемежаемость для балок, построенных на основании кинематических гипотез Бернулли-Эйлера, С. П. Тимошенко, Шереметьева-Пелеха; исследована структура окон квазипериодичности для колебаний в режиме перемежаемости;

3. Впервые выявлено явление динамической потери устойчивости в балках С. П. Тимошенко, Шереметьева-Пелеха при поперечной знакопеременной нагрузке;

4. С помощью вейвлет-анализа для балок моделей С. П. Тимошенко и Шереметьева-Пелеха впервые установлена модификация сценария Рюэля, Такенса и Ньюхауза, когда при неизменности управляющих параметров может происходить рождение трех линейно независимых частот с последующим переходом в хаос;

5. Для системы из двух неспаянных балок с учетом геометрической нелинейности при действии нагрузки только на одну из них выявлен ряд эффектов:

a. явление фазовой хаотической синхронизации как для случая упругого, так и физически нелинейного материала балок;

b. в случае упругих балок синхронизация наблюдается на частоте возбуждения, системы, которая совпадает с частотой собственных колебаний;

с. в случае балок из физически нелинейного материала обнаружена синхронизация не только на одной частоте возбуждения, но и на двух частотах (частоте возбуждения и независимой частоте), а также синхронизация только на независимой частоте;

<1. величина зазора (от 0.025 до 0.1 толщины балки) между балками не изменяет качественной картины указанных выше типов синхронизации;

6. Для замкнутых цилиндрических оболочек при действии неравномерного знакопеременного внешнего давления впервые обнаружено явление двукратной потери устойчивости с дальнейшим переходом в хаос.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Математические модели сложных колебаний балок, основанные на кинематических гипотезах Эйлера-Бернулли, С. П. Тимошенко, Шереметьева-Пелеха;

2. Математические модели сложных колебаний неспаянных многослойных балок на основе кинематической гипотезы Бернулли-Эйлера для каждой балки с учетом конструктивной, геометрической и физической нелинейностей;

3. Математические модели сложных колебаний гибких пластинок и сферических осесимметричных оболочек;

4. Вычислительные схемы и разработанное на их основе программное обеспечение для расчета и анализа колебаний приведенных выше систем;

5. Комплекс программ для ЭВМ, реализующий разработанные методы вейвлет-анализа и позволяющий исследовать колебания балок, пластинок и оболочек при различных граничных условиях;

6. Следующие новые явления:

a. сценарий перехода в хаос через перемежаемость и уточненный сценарий Рюэля-Такенса-Ныохауза для балок Бернулли-Эйлера, С.П.Тимошенко, Шереметьева-Пелеха;

b. фазовая хаотическая синхронизация колебаний в системе из двух неспаянных балок.

Практическая ценность и реализация результатов

1. В рамках комплексной внутривузовской научно-технической программы СГТУ 01В «Математическое моделирование в естественных науках» Саратовского государственного технического университета;

2. В рамках бюджетной темы №244 Саратовского государственного технического университета;

3. Программный комплекс на основе вейвлет-анализа, позволяющий выявлять локальные особенности колебаний, используется:

б

a. для анализа исторической динамики различных социально-экономических показателей развития отдельных государственных образований при реализации гранта «Математическое моделирование в развитии цивилизаций» по госконтракту П-321 Министерства образования и науки РФ;

b. в учебном процессе по кафедре «Математика и моделирование» в пособии «Математические модели и методы исследования сложных колебаний неклассических распределенных механических систем» (A.B. Крысько, М.В. Жигалов. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2008. 230 с.) (в главе 3, п. 6 и главе 10, п. 11).

Апробация работы

Основные положения и результаты диссертации представлялись на Международном семинаре, посвященном памяти заслуженного деятеля науки ТАССР проф. А.В.Саченкова (Казань, 15-17 сентября 2008); шестой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2009); 2nd Chaotic Modeling and Simulation International Conference (1-5 June 2009 Chania, Crete, Greece), honorary chairman Leon. O. Chua.

В законченном виде диссертация докладывалась на научных семинарах кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А.Крысько (Саратов, 2009); на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» Саратовского государственного технического университета под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м.н., профессора В.Б.Байбурина (Саратов, 2009).

Публикации

Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 7 печатных работах, в том числе 3 работы в журналах из перечня ВАК РФ.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы. Работа 125 страниц, 50 рисунков, 5 таблиц. Список использованной литературы включает 120 наименований.

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, приведен исторический обзор результатов по применению вейвлетов как в различных областях механики в целом, так и в механике твердого тела для балок, пластинок и оболочек в частности, сформулирована цель работы, приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе рассматриваются общая концепция непрерывного вейвлет-преобразования, основные базисные (вейвлетообразующие) функции, необходимые свойства вейвлет-функций. Вводится понятие частотно-временных вейвлет-спектров. Отмечаются основные различия преобразования Фурье и вейвлет-преобразования. Рассматриваются вопросы разрешающей способности различных вейвлетов по частоте.

Во второй главе построены математические модели нелинейных колебаний спаянных многослойных балок, когда для всего пакета справедлива одна из следующих кинематических гипотез: Бернулли-Эйлера; С.П. Тимошенко; Шереметьева-Пелеха. Рассматривается применение вейвлет-анализа к исследованию колебаний балок различных моделей.

В частном случае одного слоя имеем балку, представляющую собой двумерную область пространства Я2 с декартовой системой координат, введенной следующим образом: в теле балки фиксируется линия приведения, называемая срединной линией 2 = 0, ось ОХ направлена слева направо вдоль срединной линии, ось OZ - вниз, перпендикулярно ОХ. В указанной системе координат балка, как двумерная область Я определяется:

П = е[0,а];-й < г < , 0 <^ <го. Здесь и в дальнейшем используются

обозначения: 2/г - высота, а - длина балки. Эффекты пластической и вязкопластической деформации не учитываются, а материал считается упругим и подчиняющимся закону Гука. На балку действует знакопеременная нагрузка

Рассмотрим гибкую упругую балку, подчиняющуюся кинематической гипотезе Бернулли-Эйлера (рис.1, I), инерцией вращения элемента балки при изгибе пренебрегается. В этом случае система дифференциальных уравнений в перемещениях в безразмерном виде с учетом диссипации энергии имеет вид (1/Я2){4 + ^ (и,-(1/12)^1} - Л-д = 0,

и'^ + Ьз () -и- £2й = 0,

где А = ">*+">«> = = "

нелинейные операторы, е1,ег - коэффициенты диссипации. Для сведения уравнений (1) к безразмерному виду использовались следующие

(1)

безразмерные параметры: ^ = ><>/(2И), й-иа/(2И)2, х=х/а, Л = а!(2И), 9=9а4/((2/1)4£), 7 = */т, т = а/к, к = ^Е8/у,, е,л = ехгаIк. (Е -модуль Юнга, % - ускорение свободного падения, - удельный вес). Здесь и далее чертой сверху обозначены безразмерные переменные (в самих уравнениях черта опускается).

Из всего многообразия возможных краевых условий было рассмотрено шарнирное закрепление по обоим концам

н<0,0 =Ма, 0 =и(0,/) = ы(а,0 =<(0,/) = < (а,?) = 0. (2)

В начальный момент времени балка покоится:

= = *М[=о = 0; и(х)|(=0 = 0. (3)

С целью обеспечения достоверности получаемых результатов бесконечномерная задача (1) - (3) с помощью метода конечных разностей с аппроксимацией <?(с2), а также метода конечных элементов в представлении Бубнова-Галеркина сводится к конечномерной - системе обыкновенных дифференциальных уравнений по времени, которая решается методом Рунге-Кутта 4-го порядка точности. Как для метода конечных разностей, так ,и для метода конечных элементов исследовалась сходимость в зависимости от разбиения по пространственной координате, что позволило сделать вывод о том ,что оптимальным является деление длины балки на п = 40 частей. Согласно принципу Рунге исходя из условия устойчивости получаемых решений шаг по времени был выбран равным Aí = 3.9052 • 10~3. При сравнении результатов, полученных по МКР и МКЭ, установлено, что при одних и тех же параметрах нагрузки и вида краевых условий значения прогиба практически совпадают, что говорит о достоверности получаемых результатов. Более того, наблюдается сходимость и по спектрам мощности. Кроме того, использование метода конечных элементов при той же точности результатов приводит к возрастанию времени расчета в 1,5-1,7 раза, поэтому предпочтение следует отдать МКР.

Исследования поведения балок под действием знакопеременной поперечной нагрузки проведены посредством разработанного пакета программ, который позволяет определять характер колебаний балки в зависимости от управляющих параметров {д0,ю} с помощью анализа сигнала, спектра мощности, построенного на основе преобразования Фурье, фазового портрета, отображения Пуанкаре, а также непрерывного вейвлет-преобразования для различных типов вейвлетов: вейвлетов Гаусса с 1-го по 8-й, вейвлета Морле.

Сравнение результатов анализа колебаний с помощью классических методов - визуализации сигнала, построения спектра мощности, фазового портрета, отображения Пуанкаре и частотно-временных вейвлет-спектров

позволяют сделать вывод о том ,что предпочтение следует отдать вейвлет-функции Морле как обеспечивающей наибольшее разрешение по частоте. В качестве примера рассмотрим переход (для балки с геометрическим параметром Л. = 50) от гармонических колебаний к хаотическим на частоте сор = 6.9 при значениях нагрузки = 0.02x104; 1х104; 3.9x104, представленный на рис. 2 и 3. Видно, что как при гармонических одночастотных (рис. 2), так и при многочастотных (рис. 3) колебаниях можно ясно проследить, что в ряду вейвлетов Гаусс-1 - Гаусс-8 растет разрешающая способность по частоте, что позволяет более точно определять значения частот в спектре; наилучшее разрешение по частоте наблюдается у вейвлета Морле.

Гаусс-1

Гаусс-8

Морле

6.900 10000 даиа- 2Р*ауе1е1

Рис. 2. Вейвлет-спектр для д0 = 0.02 х 10

а)

ТТ^Н"'

1г РЙ11 ' ' ™юя

япнннШ

) 600 800 1000 1200 1 _6.900_10000 даиэТ ЗРу/ауе1е[

Ь)

0 600 800 1000 1200 I _6.900_10000_даиБ8_31>*ауе1е1

с)

_6.900_10000_т. ЖШ зг1_2имауе1в1

Ю 600 800 1000 »200 ( _6.900_10000_тог1_30\л1ауе1е1

е)

Гаусс-8

Рис. 3. Вейвлет-спектр для = 1 х 10ч Возможность анализа колебаний с помощью вейвлет-преобразования в частотно-временном пространстве открывает новые возможности по анализу сценариев перехода балок из гармонических колебаний в хаотические. В работах В.А.Крысько и И.В.Папковой был обнаружен и исследован сценарий перехода к хаосу через последовательное появление трех линейно независимых частот - модифицированный сценарий Рюэля, Такенса и Ньюхауза. Частотно-временные вейвлет-спектры позволяют уточнить этот сценарий. При д0 = 1 х 104 (рис. 3) на вейвлет-спектре Морле видно, что дополнительные (кроме частоты возбуждения со = 6.9) частоты

в спектре присутствуют не постоянно, т.е. наблюдается перемежаемость. Перемежаемость частот особенно хорошо заметна на контрастных двумерных изображениях вейвлет-поверхности (рис. 3, а-с). При £70 =39000 как традиционные средства анализа (Фурье-спектр, фазовый портрет, отображение Пуанкаре), так и вейвлет-спектр позволяют зафиксировать наличие хаоса.

Далее рассмотрим однослойные упругие гибкие балки, напряженное состояние которых описывается на основе гипотезы С.П. Тимошенко (рис. 1, II). Уравнения в перемещениях балки Тимошенко в безразмерном виде

Ок2« + к )+ (1М2 + +<з)--=0;

и"1а+1,4(м>,м>)-и-£2й=0; (4)

у:х-иПк2Л2(м,'х+у)-у-е]у = 0, здесь черточки над безразмерными параметрами, как и ранее, опущены, операторы Ь1(^,и), Ьг (м/, м>), £3(и>,и) имеют вид, аналогичный уравнениям Бернулли-Эйлера (1), 0-01Ъ/Е{, дополнительные безразмерные параметры у =у а/(2И), граничные условия - также шарнирно - неподвижное закрепление

^(0,0=^(1,0-0; и(0,0 = 41,0 = 0; А/х(0,О = Л/,(1,О = 0;

начальные условия

<4,-., =м«и=г(*1о===о-

(5)

(6)

_5.000_6000_тог1_20«ауе1е1

_5.000_12000_тог1_20гауе1е1

■МишЕНКИНИНИНИНШПИ!

100 200 300 400 500 I

а) 9о = 6000 Ь) = 12000 с) <?о =16700

Рис. 4. Модифицированный сценарий Рюэля-Такенса-Ньюхауза на вейвлет-спектре

_7.000 29400 тог| 20*а*е1е1

100 200 ЗОО 400 Ч

Рис. 5. Вейвлет-спектр с окном периодичности для д0 = 29400

Достоверность результатов, как и при исследовании балки Бернулли-Эйлера, обеспечивалась решением системы (4) - (6) с помощью двух методов — МКР и МКЭ с такими же дополнительными исследованиями.

Для балок Тимошенко также обнаружен уточненный сценарий Рюэля-Такенса-Ньюхауза, когда сначала в спектре появляются три линейно независимые частоты (рис. 4, Ь), а затем происходит переход к хаосу (рис. 4, с для

¿а, =5.0). В отличие от модели Эйлера-Бернулли в модели Тимошенко при а>р = 7.0 (рис. 5) наблюдается переход к хаосу через перемежаемость.

Кинематическая модель Шереметьева-Пелеха является дальнейшим развитием модели Тимошенко (рис. 1, III). Уравнения в перемещениях модели Шереметьева-Пелеха в безразмерном виде

(1/бЗЯг)[(4/5)Г1 - (1/4)+ Щ [г; + К] + [ljlг){Ll(w,w) + Iл{w,ll) + q]-w-e^w = Q■,

(7)

и"хх+ ^чС™, - й - £2й = 0;

(204/315ув~ (48/315)^-1+ м/ ] - у - е3у = 0.

Введение безразмерных переменных аналогично модели Бернулли -Эйлера и Тимошенко. Как и выше, в качестве краевых условий рассмотрен случай шарнирного закрепления по обоим концам для покоящейся в начальный момент времени балки:

Ц0,0=КМ) = 0; 1/(0,0 = и( 10 = 0;

у'х( 0,,0 - (2/15К (0,0 = г[ (1,0 - (2/15)< (1,0 = 0;

и; (0,*) + 0.5(4(0,0)' = и'х (1,0 + 0.5 (< (и))' = 0; (8)

(1б/5)у;(о,0-^1(о,0=(1б/5)^(1,0-<«(1,0=о;

Начальные условия:

»'«и ="(4=0=М-а=*(*)!«, =¿(4^,=^«и=^

Достоверность получаемых результатов, как и выше, обеспечивалась проведением расчетов с использованием двух методов - конечных разностей и конечных элементов. Для данной модели также обнаружен переход к хаосу по уточненному сценарию Рюэля-Такенса-Ныохауза.

Таким образом, в результате исследования применимости различных вейвлетов к анализу колебаний балок на основе различных кинематических гипотез установлено преимущество вейвлета Морле. Установлено, что переход к хаосу для трех рассмотренных моделей балок может происходить либо по уточненному сценарию Рюэля-Такенса-Ньюхауза, либо через перемежаемость.

В третьей главе рассмотрен расчет многослойных неспаянных балок (т.е. когда между слоями имеется зазор, рис. 6) в рамках гипотезы Болотина-Новичкова с учетом трех видов нелинейностей: конструктивной, геометрической и физической. Для многослойных балок исследуется режим фазовой синхронизации колебаний балок в пакете при различных способах воздействия на балки. Балки подчиняются гипотезе Эйлера-Бернулли, учет геометрической нелинейности осуществлен в форме Т. фон

^ГТЙтТТП

X

а

Жт

Кармана, используется

винклерова связь между обжатием и контактным давлением между балками, физически нелинейные

зависимости между

деформациями и перемещениями рассматриваются в рамках теории малых упругопластических

деформаций Генки. При использованы результаты,

Рис. 6. Расчетная схема двуслойной балки построении математической модели полученные в работах В.М. Александрова, В.А. Бабенко, С.М. Мхитаряна, Б.Я. Кантора, Т.Л. Богатыренко, Д.Е. Липовского, Л.А. Галина, Б.Л. Пелеха, М.А. Сухорольского, М.В. Блоха, Е.И. Григолюка, В.М. Толмачева, В.А.Крысько, А.В.Крысько. Граничные условия закрепления балки могут быть произвольными, но в данном случае рассмотрен вариант защемления на концах. В начальный момент времени система балок покоится.

При численных расчетах для учета физической нелинейности материала балок применяются деформационная теория пластичности и метод переменных параметров упругости. Диаграмма деформирования материала балки ои(ен)может быть произвольной, но в данной работе рассматривается балка, изготовленная из материала, диаграмма

деформирования для которого имеет вид

1-ехр

(/=1,2).

Закон изменения нагрузки во времени и вдоль оси балки может быть произвольным. Интегрирование уравнений движения с начальными и граничными условиями проводится методом конечных разностей.

Рассмотрим колебания системы из двух неспаянных балок с учетом геометрической и физической нелинейностей. Переменная во времени поперечная синусоидальная нагрузка воздействует лишь на одну балку (рис. 7, а,Ь), вторая балка (рис. 7, с!,е) приходит в движение только в результате соприкосновения с первой. Частота воздействия в данном случае равна со, =6.28, зазор между балками ¿ = 0.1. Так, даже при малых нагрузках <у0, =3.5 можно наблюдать процесс перехода колебаний из одночастотных гармонических к хаотическим с возникновением фазовой синхронизации колебаний балок, что сопровождается скачкообразным ростом прогиба. Поскольку непрерывное вейвлет-преобразование с использованием комплексного вейвлета Морле позволяет получать частотно-временное распределение фазы колебаний (фаза в данном случае - аргумент соответствующих комплексных вейвлет-коэффициентов), то с его помощью возможно эффективное выявление фазовой синхронизации.

Разность фаз колебаний для рассматриваемого примера показана на рис.7, с) вместе с сигналами (а, с!) и частотно-временными вейвлет-спектрами балок (Ь, е). Картина разности фаз (рис. 7, с) демонстрирует, что фазовая синхронизация колебаний двух физически нелинейных неспаянных балок возникает не на частоте возбуждения ю, =6.28, а на независимой частоте

®2 =4.

сигнал у>

(0.5;0

вейвлет-спектр Морле

разность фаз

Ь)

о)

Рис. 8. Контактное давление

е)

Рис. 7. Синхронизация системы двух неспаянных балок В другом примере рассматривалась геометрически и конструктивно нелинейная система двух неспаянных балок. Верхняя балка шарнирно оперта, а нижняя - защемлена по обоим концам.

При этом ш, =0.5, ш, =1.0 (частоты воздействия на первую и вторую балки), отношение амплитуд поперечной нагрузки ?01/?02=1/4, 5 = 0.1 (зазор между балками). При

<7, = 3.5, q2 = -14.0 наблюдается явление хаоса на частоте возбуждения верхней балки, в спектре мощности обеих балок появляется сплошной пьедестал. При этом имеет место почти полная синхронизация колебаний обеих балок. Эпюры контактного давления носят случайный вид и их максимум наблюдается в четверти балок (рис. 8).

Таким образом, вейвлет-анализ позволяет детально во времени исследовать синхронизацию колебаний многослойных неспаянных балок и обнаружить явление фазовой синхронизации. Вейвлет-анализ хаотических колебаний многослойного пакета хорошо согласуется с анализом с помощью контактного давления.

В четвёртой главе формулируются основные положения теории сферических осесимметричных пологих оболочек, подчиняющихся гипотезе Кирхгофа-Лява, с использованием вейвлет-анализа изучаются сценарии перехода в хаос для них. Уравнения движения в смешанной форме имеют вид:

32и> дм/ д4и/ 2д3-и> 1 13» ф(, дФ(, 13»^

д?~ + Е а/ дг* г дг1 + г2 Зг2 г1 дг~ г Г дг2 ) Зг Г г дг У*4,

д2Ф | 1 ЗФ 1 дФ =ди/1 1 Зг2 г дг г2 Зг Зг I 2г 3/-

где ф = — - функция усилий. Для анализа сложных колебаний гибких дг

осесимметричных пологих оболочек применялось вейвлет-преобразование с материнскими вейвлетами Гаусс-1 — Гаусс-8 и вейвлетом Морле. Как и при анализе колебаний балок, было выявлено преимущество вейвлета Морле, имеющего лучшее разрешение по частоте. Вейвлет-преобразование также позволяет обнаружить три последовательных бифуркации с появлением кратных частот, при нагрузках qo = 0.07, = 0.08, = 0.12 соответственно и переходом в хаос при = 0.14, т.е. наблюдается сценарий Фейгенбаума. Рассчитанная по данным значениям управляющего параметра ^о константа Фейгенбаума ап =4.65608466 отличается от теоретического значения на 0,28%.

Таким образом, для гибких осесимметричных пологих оболочек также установлено преимущество вейвлета Морле, с его помощью изучены сценарии перехода в хаос и определена константа Фейгенбаума.

В пятой главе рассматривается замкнутая цилиндрическая оболочка (рис.9) кругового сечения конечной длины с постоянной жесткостью и плотностью при действии неравномерного знакопеременного внешнего давления, с помощью вейвлет-анализа изучается явление динамической потери устойчивости для неё. Также рассматриваются колебания бесконечно длинной пластинки, находящейся под действием продольной знакопеременной нагрузки.

Система уравнений движения цилиндрической оболочки, подчиняющейся гипотезе Кирхгофа-Лява, в безразмерном виде:

1 л-,4 ч г / т » дгч> &л> ,. „

+ + 0 = 0;

1 й2 (11)

я 2 х ' у дх2

Уравнения (11) приведены к безразмерному виду с использованием следующих безразмерных параметров: ч/ = 21т, /? = £0(2Л)3^,

/=(«//( 2ку[&))1, л=1/я-, х=ьх, у = ку = ку[ гь/я1),

Л2), где и К = Яу - длина и радиус оболочки. Здесь / -

время; е - коэффициент сопротивления среды, в которой происходит движение оболочки; Р- функция усилий; w - функция прогиба; к -толщина оболочки; у - коэффициент Пуассона; g - ускорение свободного падения; Е„ - модуль упругости; ¿^-кривизна оболочки по у; ¿(ж,F),

Ч(х.у.0

Ь(м/, ж) - известные нелинейные операторы. В качестве краевых условий рассмотрено шарнирное опирание по торцам с присутствием на торцах гибких ребер Мх = = £у = 0 при х = 0; 1, у = 0;27г и нулевые

начальные условия = 0, = 0.

Краевую задачу по

пространственным координатам решаем методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях. Исследование

сходимости данного метода и достоверности результатов показало, что оптимальным является

использование N = 9 членов ряда разложения по аппроксимирующим функциям. Рассматривался характер

колебаний оболочки с параметрами Рис. 9. Расчетная схема замкнутой

12.5 при X — 2, е=9, под цилиндрической оболочка

действием поперечной нагрузки д(0 = д05т(й}р1), приложенной ко всей

поверхности цилиндрической оболочки, 0 < х < 1. Качественные исследования проводились на основании анализа следующих характеристик: сигнала ЦО^О;*), вейвлета на плоскости и в пространстве, фазового портрета, сечения Пуанкаре, спектра мощности на рис. ю. Динамическая потеря базе преобразования Фурье, устойчивости гибкой

ляпуновских показателей, анализа цилиндрической оболочки автокорреляционной функции. При исследовании зависимости и>тах(д0) в диапазоне е [0;0.4975] (рис. 10) обнаружено, что динамическая потеря устойчивости, характеризующаяся резким ростом прогиба при небольшом изменении qa, наблюдается при двух значениях нагрузки q0 = 0.225 и д0 = 0.3225. Применение вейвлет-анализа позволило установить, что в результате динамической потери устойчивости оболочка переходит в состояние хаотических колебаний.

Уравнение движения бесконечно длинной пластинки (рис. 11), которая по всей длине изгибается по цилиндрической поверхности, записывается в виде

# + £>»> = —X

с безразмерными переменными

-т

д2\у дх2

(12)

х = Рх(0 = [Ек3/а2)Рх{0, д = (Ек4/а)д(х,?),

Г = Т, £ = е,Л-1/12(1 - v2).

К уравнению следует присоединить граничное условие шарнирного

р = ДЯП0у

? = ?«!1П Ш,/

Рис. 11, Расчетная схема бесконечно длинной пластинки

LCE_2.5000_7.400_

2.5000 7 400_шог1

И 1 I 1

опирания >е = = 0, при х = 0,1,

™О)|,=0 = = 0 .

Задача решалась численно путем сведения начально-краевой задачи к системе ОДУ методом Бубнова-Галеркина. Для

исследования переходных колебаний в данной системе был применён как вейвлет-анализ с использованием функции Морле, так и слежение за знаком гоо .250 зоо ляпуновских показателей. В а) Показатели Ляпунова Ъ) Вейвлет-спектр ходе исследований

Рис. 12,Переход колебаний из хаотических ¡~

г „ . _ . обнаружено такое в гармонические при со = 2.5; Е> = /.4

г г Гх интересное явление, как

изменение характера колебаний во времени при неизменности

управляющих параметров (рис. 12, а-Ь): в определенный момент времени

знак старшего ляпуновского показателя меняется с положительного на

отрицательный, а на вейвлет-спектре остается единственный частотный

максимум, соответствующий частоте возбуждения.

Таким образом, в данной главе обнаружено явление двукратной потери устойчивости с переходом в хаос для замкнутой цилиндрической оболочки. Показано преимущество вейвлета Морле при анализе колебаний бесконечно длинной пластинки. Выявлено четкое соответствие между определением характера колебаний по динамике старшего ляпуновского показателя и вейвлет-спектрам.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по диссертации.

ОСНОВНЫЕ ВЫВ ОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ

1. Построены общие теории и математические модели анализа сложных колебаний нелинейных распределенных механических систем - балок с использованием кинематических гипотез Бернулли-Эйлера, С.П. Тимошенко, Шереметьева-Пелеха, пластинок, оболочек - с помощью вейвлет-анализа;

2. Реализован комплекс программ для анализа и визуализации различных характеристик хаотических колебаний балок, пластинок и оболочек;

3. С помощью непрерывного вейвлет-преобразования выявлен сценарий Фейгенбаума перехода колебаний из гармонических в хаотические для гибких сферических оболочек и вычислена константа Фейгенбаума;

4. С помощью вейвлет-анализа исследованы сценарий перехода в хаос через перемежаемость и уточнен сценарий Рюэля-Такенса-Ныохауза; спектр ляпуновских показателей и результаты вейвлет-анализа хорошо согласуются между собой;

5. Впервые обнаружено явление динамической потери устойчивости в балках Тимошенко и Шереметьева-Пелеха при поперечной знакопеременной нагрузке;

6. Выявлено новое явление: при действии на одну из неспаянных балок поперечной знакопеременной нагрузки возможна фазовая синхронизация их колебаний не только на частоте возбуждения, но и на независимой частоте; кроме того, после интервала синхронизации возможен переход второй балки из хаоса в состояние покоя;

7. Исследования контактного давления в системе неспаянных балок может успешно использоваться для обнаружения хаоса;

8. С помощью вейвлет-анализа показано, что динамическая потеря устойчивости гибких цилиндрических оболочек при действии поперечных локальных знакопеременных нагрузок сопровождается переходом в хаос (потеря устойчивости происходит при двух значениях нагрузки).

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

I. Публикации в центральных изданиях, включенных в перечень периодических изданий ВАК РФ

1. Солдатов В.В. Анализ хаотических колебаний распределенных систем в виде балок Эйлера-Бернулли с помощью вейвлет-преобразования / А. В. Крысько, М. В. Жигалов, В. В. Солдатов // Известия вузов. Авиационная техника. - 2009. - № 4. - С. 12-22.

2. Солдатов В.В. О выборе типа вейвлета при изучении нелинейных колебаний балок с учетом поперечных сдвигов / В. А. Крысько, М. В. Жигалов, В.В. Солдатов, М. Н. Подтуркин // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2009. - № 3 (40). - Вып. 1. С. 14-22.

3. Солдатов В. В. Вейвлет-анализ колебаний замкнутых цилиндрических оболочек / В.А. Крысько, М.В.Жигалов, Э.С. Кузнецова, В.В. Солдатов //

Вестник Саратовского государственного технического университета. -2009. - № 4. - Вып. 1. С.24 - 30.

II. Публикации в центральных изданиях, включенных в перечень периодических изданий ВАК РФ по смежным специальностям

4. Солдатов В.В. Особенности нелинейных колебаний балок С. Г1. Тимошенко / В. А. Крысько, М. В. Жигалов, В. В. Солдатов // Известия вузов. Строительство. - 2009. - № 5. - С. 25-35.

III. Публикации в других изданиях

5. Солдатов В. В. Вейвлет-анализ в теории нелинейных колебаний балок, пластин и оболочек / В.А. Крысько, В.В. Солдатов // Актуальные проблемы нелинейной механики оболочек: материалы Международного семинара, посвященного памяти заслуженного деятеля науки ТАССР проф. А.В.Саченкова. Казань, 15-17 сентября 2008. Казань, 2008. С. 83-85.

6. Солдатов В.В. Исследование хаотических колебаний прямоугольных пластинок в температурном поле / В.В. Солдатов, Э.С. Кузнецова // Математическое моделирование и краевые задачи: труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием. 4.1: Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. Самара: СамГТУ, 2009. С. 242-245.

7. Soldatov V. Dynamic stability loss of closed circled cylindrical shells estimation using wavelets / V.A. Rrysko, J. Awrejcewicz, M. Zhigalov, V. Soldatov, E.S. Kuznetsova, S. Mitskevich // Proceedings of the International Conference "Chaotic Modeling and Simulation" CHAOS 2009, Chania, Crete, Greece, June 1-5, 2009, 8 pages.

Солдатов Владислав Викторович

ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ В ИССЛЕДОВАНИИ СЛОЖНЫХ КОЛЕБАНИЙ БАЛОК, ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК

Автореферат Корректор O.A. Панина

Подписано в печать 20.11.09 Формат 60x84 1/16

Бум. офсет. • Усл.печл. 1,0 Уч.-изд.л. 1,0

Тираж 100 экз. Заказ 521 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет 410054, Саратов, Политехническая ул., 77

Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77

Введение.

Глава 1. Общая теория вейвлет-анализа.

1.1 Общее понятие вейвлет-преобразования.

1.2. Непрерывное вейвлет-преобразование и примеры.

1.3. Практические аспекты использования непрерывного вейвлет -преобразования в анализе колебаний распределенных механических систем

Выводы по главе.

Глава 2. Нелинейные колебания многослойных спаянных балок.

2.1 Балки Эйлера - Бернулли.:.

2.1.1 Гипотезы.

2.1.2. Вывод основных уравнений.

2.1.3 Численное решение задач динамики для балок Эйлера-Бернулли.

2.1.4 Вейвлет-анализ колебаний балок Эйлера-Бернулли.

2.2 Балки С.П.Тимошенко.:.

2.2.1 Гипотезы.:.

2.2.2 Вывод основных уравнений.

2.2.3 Достоверность численных результатов для балок С.П.Тимошенко

2.2.4 Вейвлет-анализ колебаний балок С.П.Тимошенко.

2.3 Балки Шереметьева - Пелеха.

2.3.1 Гипотезы.

2.2.2 Достоверность численных результатов для балок Шереметьева-Пелеха.

2.3.3 Вейвлет-анализ колебаний балок Шереметьева-Пелеха.

Выводы по главе.

Глава 3. Нелинейные колебания многослойных неспаянных балок.

3.1. Многослойные неспаянные балки. Постановка задачи.

3.2. Связь контактного давления с поперечным обжатием тонкой балки.

3.3. Математическая модель неспаянных балок с учетом геометрической и физической нелинейности.

3.3. Метод решения уравнений движения неспаянных балок с учетом геометрической и физической нелинейности.

3.4. Вейвлет-анализ колебаний многослойных неспаянных балок.

Выводы по главе.

Глава 4. Нелинейные колебания осесимметричных пологих оболочек.

4.1 Математическая модель гибких осесимметричных оболочек.

4.2 Методы численного решения.

4.3 Вейвлет-анализ колебаний осесимметричных пологих оболочек.

Выводы по главе.

Глава 5. Нелинейные колебания цилиндрических оболочек и бесконечно длинных пане л ей.:.

5.1 Нелинейные колебания цилиндрических оболочек.

5.1.1 Постановка задачи и метод решения.

5.1.2 Вейвлет-анализ и динамическая потеря устойчивости замкнутых цилиндрических оболочке.

5.2 Колебания бесконечно длинной пластинки.

5.2.1 Постановка задачи и метод численного решения.

5.2.2 Особенности хаотических колебаний бесконечно длинной пластинки.:.

Выводы по главе.i.

краткий исторический обзор исследований по теме работы)

Распределенные механические системы (балки, пластинки, оболочки) являются основными составными частями множества инженерных конструкций, в отношении которых сегодня предъявляются повышенные требования не только по прочности и устойчивости в различных динамических режимах, но и по экономичности, что приводит к необходимости рассмотрения вопросов нелинейного деформирования в задачах динамики для вышеуказанных систем. Имеется значительное число работ, где с использованием- таких традиционных методов нелинейной динамики как визуализация траекторий в фазовом пространстве системы, корреляционный и спектральный анализ изучены особенности сложных колебаний балок, пластинок и оболочек, в частности сценарии перехода колебаний от гармонических к хаотическим для таких систем! Переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума в динамике пластин изучен в [1], в [2] Хан, Ху и Янг проведен анализ нелинейных колебаний упругой цилиндрической оболочки, вращения и найдены-' критические условия возникновения хаотического движения.

В. А. Крысько и А. В: Кириченко [3] исследовали хаотические движения квадратной в плане оболочки под действием импульсной периодической нагрузки, выявив явление динамической потери устойчивости и объяснив его с позиций качественной теории дифференциальных уравнений.

В [4] исследованы нелинейные колебания балок при наличии ограничений на прогиб и установлено, что переход колебаний из гармонических в хаотические в таких системах происходит по известным в общей теории динамических систем схемам перехода к хаосу (сценарий Помо-Манневиля, сценарий Фейгенбаума), но последние не встречаются в чистом виде, а претерпевают некоторые изменения, в частности, сценарий

Фейгенбаума усложняется за счет наличия кратных частот.

В цикле публикаций [5-11] в соответствии с известными сценариями перехода колебаний балочных конструкций в хаос проведена классификация колебаний балок, находящихся под действием поперечной знакопеременной и продольной ударной нагрузки. Выявлены и исследованы сценарии Фейгенбаума, Рюэля-Такенса-Ныохауза, модифицированные Рюэля-Такенса — Ньюхауза и Помо-Манневиля, характерные для колебаний исследуемых систем, и выявлены их области на картах динамических режимов. Для каждой рассматриваемой модели были отмечены явления динамической потери устойчивости при действии знакопеременной поперечной нагрузки, что подтверждается резким увеличением максимального прогиба при малом изменении амплитуды вынуждающих колебаний. Кроме того, рассмотрено влияние некоторых типов трения (кулоновское, нелинейное, линейное) и учет упругих оснований Винклера и В.З.Власова на гибкую и жесткую балку Эйлера-Бернулли.

А. В. Крысько, С. А. Мицкевич и Ю. В. Чеботаревский [12] исследовали сценарий перехода к хаотическим колебаниям для консервативных и диссипативных систем в теории гибких цилиндрических панелей при действии знакопеременных продольных нагрузок. '

В цикле работ [13-21] для цилиндрических панелей и замкнутых цилиндрических оболочек, пологих 'оболочек описаны новые сценарии перехода в хаос, обнаруженные в колебаниях исследуемых механических систем, первому из них было дано - название модифицированного сценария Рюэля-Такенса-Ньюхауза, второму — модифицированного сценария Рюэля-Такенса-Фейгенбаума, третьему - модифицированного сценария Помо-Манневиля. В работах [22-25] определены критические нагрузки, приводящие к возникновению хаотических колебаний при совместном действии температурного поля и локальной знакопеременной нагрузки, а также исследована зависимость статической критической нагрузки от интенсивности температурного поля для ряда значений геометрических параметров кривизны кх, ку прямоугольных в плане панелей; определен характерный сценарий перехода колебаний в хаос при совместном влиянии силовых знакопеременных нагрузок и температурного поля, выяснено, что он совпадает с модифицированным сценарием Рюэля-Такенса-Ньюхауза, который был предложен В^А. Крысько, И.В. Папковой.

В работах [26-30] проведено исследование сложных колебаний круглых, секториальных и прямоугольных в плане сферических оболочек для любых граничных условий под действием знакопеременной нагрузки; проведена классификация по известным сценариям колебаний оболочек, находящихся под действием нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону. Выявлены и исследованы новые сценарии перехода в хаос. Изучена периодичность А.Н. Шарковского для, дифференциальных уравнений теории пологих круглых, секториальных и прямоугольных в плане оболочек; сценарии Фейгенбаума и Рюэля-Такенса-Ньюхауза для них. В-работах [3133] обнаружен новый сценарий перехода колебаний механических систем из гармонических в хаотические, который был назван модифицированным сценарием Рюэля-Такенса-Ньюхауза, и выявлены его области на картах {¿70,£Ур}. Данный* сценарий присутствует в колебаниях конических и сферических оболочек с краевыми условиями подвижная заделка. Выявлен новый сценарий перехода колебаний из гармонических в хаотические для конических оболочек с краевыми условиями подвижный шарнир, который был назван модифицированным сценарием Помо-Манневиля.

Во многих областях науки и техники применяются многослойные неспаянные конструкции, обладающие совершенно новыми свойствами колебаний по сравнению с традиционными, спаянными. Они применяются в авиационно-космической технике, судостроении, приборостроении и других областях. Такие конструкции эксплуатируются в сложных динамических режимах, в агрессивных внешних средах, что обуславливает повышенные требования к расчету последних.

Математические модели многослойных конструкций можно разделить на два класса: спаянные и неспаянные. Наиболее исследованы модели первого типа, где при деформировании конструкции не происходит отрыва слоев друг от друга и конструкция работает как единое целое. Обзор работ по многослойным спаянным и неспаянным конструкциям в виде балок и пластинок можно найти в [34-36]. В [37] рассмотрено одно из практических междисциплинарных приложений данной теории - модель голосовых связок человека в виде двух пластин, прикрепленных пружинами к стенкам трубы, и установлено, что под действием потока воздуха происходит возбуждение хаотических колебаний пластин.

В [36] разработан пакет программ HEMP, который позволяет решать контактные задачи при больших деформациях, эти пакеты совершенствуются и создаются их новые модификации: DYNA2D and DYNA3D с использованием явных методов и NIKE2D and NIKE3D с использованием неявных. Большое число задач контактного взаимодействия, стержней приведено в [38], где автор также приводит большой библиографический материал по контактному взаимодействию конструкций вплоть до 2007г.

Исторически, концепция* «вейвлетов» возникла при изучении частотно-временного анализа сигналов, распространения волн и дискретизации сигналов. Одним из стимулов к разработке теории вейвлет-преобразования послужил тот факт, что с помощью-анализа на основе преобразования Фурье не представлялось возможным получить локальную информацию о сигналах. Преобразование Фурье не может использоваться для анализа сигналов в «объединённом» частотно-временном пространстве.

Сравнительно новым методом анализа нелинейных динамических явлений является вейвлет-преобразование. Концепция «вейвлетов» (eng. "wavelet"," fr. "ondelette" — маленькая волна, волночка) стала появляться в литературе только в начале 1980-х годов. Эта новая концепция может рассматриваться как синтез различных идей, возникших в рамках различных дисциплин, включая математику, физику и инженерные науки. В 1982 году Жан Морле, французский инженер-геофизик, предложил вейвлетпреобразование как новый математический метод анализа сейсмических сигналов, особенность которых заключалась в их нестационарности во времени. В качестве вейвлетов Морле рассматривал семейство функций, полученых путем масштабных преобразований и параллельных переносов специально выбранной функции - материнского вейвлета. Алекс Гроссман, французский физик-теоретик, получил точную формулу обратного вейвлет-преобразования. В 1984 году совместные усилия Морле и Гроссмана привели к детальному изучению непрерывного вейвлет-преобразования и его приложений. [39] В процессе их работы выяснилось, что теория вейвлетов, как и Фурье-анализ (разложения в ряд Фурье), представляет новый метод частотного анализа сигналов.

В 1985 году Ив Мейер, французский математик, установил связь между формулой Кальдерона в гармоническом анализе и новыми методами, предложенным Морле и Гроссманом. Используя операторы Кальдерона-Зигмунда и теорию Литтлвуда-Пэли, Мейер смог построить математичекие основания теории вейвлетов. Первым крупным достижением вейвлет-анализа стало построение Добеши, Гроссманом и Мейером [40] разложений по неортогональным вейвлетам. В 1985-1986 в работах Мейера и Лемарье были построены ортонормальные базисы из гладких вейвлет-функций. В то же время Стефан Малла установил, что квадратурные зеркальные фильтры играют важную роль в построении вейвлет-базиса Хаара. Мейер [41] и Малла [42] предложили общую процедуру построения ортонормального вейвлет-базиса. Их совместная работа привела к разработке процедуры кратномасштабного анализа [42-43]. Малла также предложил алгоритмы вейвлет-разложения и реконструкции с использованием кратномасштабного анализа. Работа Малла послужила источником дальнейшего развития теории вейвлетов. Через несколько месяцев после ее выхода Г. Баттл [44] и Лемарье [45] независимо друг от друга предложили процедуру построения экспоненциально убывающих ортогональных вейвлет-сплайнов.

Работа Мейера натолкнула Ингрид Добеши [46] на теорию создания вейвлет-базиса, сконструированного из ортонормальных вейвлетов с компактным носителем, обладающих, кроме того, определенной гладкостью. Её процитированная выше работа имела огромное влияние на изучение как собственно вейвлетов, так и их приложений. Эта работа позволила существенно объяснить связь между непрерывным и дискретным вейвлет-анализом (последний получил широкое распространение при анализе цифровых сигналов). Концепция фреймов была предложена Duffïn and Schaeffer [47] и позже более детально изучена Добеши [48], [49].

Несмотря на серьезные успехи, специалисты в области вейвлет-анализа осознавали, что построить вейвлеты, которые одновременно симметричны, ортогональны- и имеют компактный носитель, довольно затруднительно. В целях преодоления таких сложностей Cohen [50] и Daubechies [51] детально изучили биортогональные вейвлеты. Chui. и Wang [52-53], предложили сплайн-вейвлеты с компактным носителем и концепцию полуортогонального вейвлет-анализа. С другой стороны, Beylkin, Coifman and» Rokhlin [54] и Beylkin [55] с успехом применяли кратномасштабный анализ (с набором ортогональных масштабных функций) к изучению операторов в 1}{\К). Эта работа совпала с созданием* новых алгоритмов в численном- анализе. Существенный прогресс был достигнут в методах граничных элементов, конечных элементов, численном решении дифференциальных уравнений в частных производных с использованием вейвлет-анализа [56].

Завершая этот краткий исторический обзор, приведем некоторые области приложения вейвлет-анализа: обработка сигналов, машинное зрение, сейсмология, изучение турбулентности, компьютерная графика, обработка изображений, передача данных в цифровой форме, распознавание образов, теория приближений функций, квантовая оптика, биомедицинская инженерия, теория дискретизации, теория операторов, дифференциальные уравнения, численный анализ, статистика. Вейвлеты позволяют представлять такую сложную информацию как музыка, речь, изображения в виде разложений по элементарным элементам .формы («строительным блокам, кирпичикам») — вейвлетам.

Литература по приложениям вейвлет-анализа весьма обширна; здесь мы отметим лишь работы [57-59]. Вейвлеты находят применение в следующих областях: обработка и синтез сигналов (например, речевых); анализ изображений различной природы (изображения радужной оболочки глаза, рентгенограммы почки, спутникового изображения облаков или поверхности планеты, снимки минералов и т.п.); изучение свойств турбулентных полей; решение уравнений [60]; свертка (упаковка) больших объемов информации. Первые эксперименты одного из авторов по применению вейвлетов к анализу колебаний распределенных систем можно найти в [61].

В качестве модельных для» исследования хаотических колебаний часто исследуются системы Дуффинга, Лоренца и Ван-дер-Поля, чему посвящены работы R. Ghanem and F. Romeo [62], P. Ribeiro [63], Xiaoping Yuan. [64]. В [65] исследуется широко известный осциллятор. Дуффинга с использованием вейвлетов Добеши, а в работе F.A. Moslehy [66] показано, как изменение параметров V уравнения Дуффинга может приводить к хаотическим режимам колебаний, а у К. Konishi [67] в качестве управляющего параметра выступает величина внешней силы. В pa6oTáx Ü. Lepik [68] вейвлеты Морле, Хаара, мексиканской шляпы применяются для исследования колебаний механических систем, однако исследуются системы с числом степеней свободы не более двух (в том числе осциллятор Дуффинга), что позволяет применять к исследованию последних аналитические преобразования.

Работ, посвященных вейвлет-анализу в механике твердого тела, имеется незначительное число. С помощью вейвлет-преобразования в [69] исследуется распространение волн в многослойных анизотропных пластинках, в [70] для исследования вибраций роторной системы используются вейвлеты Ньюлэнда. Используя вейвлет Морле, Wong and Chen [71] рассмотрели случай, когда частота гармонических колебаний системы изменяется во времени.

Вейвлет-функции применяются в качестве аппроксимирующих функций в различных вариантах метода конечных элементов. Из работ прикладного характера можно отметить [72], где рассматривается задача расчета свободных колебаний подвешенного троса с концами на разных уровнях по высоте с присоединенной сосредоточенной массой вблизи одного из концов. С помощью гибридной процедуры расчета на основе вейвлетных функций и метода Галеркина находятся частоты и формы свободных колебаний, а также динамические силы, натяжения. Распределенные системы рассматриваются в [73], где вейвлет-функции применяются совместно с методом конечных элементов Галеркина для численного решения^ двухточечных краевых задач, описываемых дифференциальными уравнениями порядка выше второго. Авторами исследуются статические задачи, а главное внимание уделено определению показателей напряженно-деформированного состояния*при поперечном изгибе упругих балок Эйлера-Бернулли и прямоугольных пластин с защемленными, шарнирно-опертыми и свободными краями.

Следует также отметить несколько работ теоретического характера. Так, в [74] для решения' задачи двумерной теории потенциала в, плоских областях общего1 вида используется метод Бубнова-Галеркина, где в качестве интерполяционных базисных функций применяются вейвлеты. В [75] представлен быстрый адаптивный симплектический алгоритм для решения начально-краевой задачи для волнового уравнения с переменными коэффициентами, описывающего распространение волн в комплексных средах. Он основан на симплектической схеме и ортогональном вейвлетном преобразовании, позволяющим дискретизировать временные и пространственные переменные волнового уравнения. Задача решается в мультиразрешающем симплектическом геометрическом пространстве с применением консервативной гамильтоновой системы вместо традиционной лагранжевой. Отмечается, что метод требует мало вычислительных затрат и устойчив к ошибкам.

Если говорить о применении вейвлет-преобразования для частотного анализа некоторого сигнала, то в ряде случаев он используется лишь как средство уточнения для традционных форм модального анализа с использованием преобразования Фурье. Так, в [76] вейвлетное преобразование применяется как частотно-временное преобразование для определения собственных частот, коэффициентов демпфирования и форм колебаний систем. Точность этой новой методики подтверждается численным примером и измерениями для колебаний башни, возбуждаемых ветровой нагрузкой. Аналогично и в [77] выполнен вейвлетный анализ записей движений ряда сильных землетрясений с целью определения доминантных частот, характерных для различных грунтовых условий.

Обсуждается методология калибровки полученных данных по характеристикам грунтового разреза. Представлены примеры сопоставления расчетных и натурных записей- движений на грунтах разного состава и консистенции. Специфические свойства «частотно-временного микроскопа» для анализа нестационарных и переходных процессов активно используютсяв [78], где теоретически и экспериментально анализируется процесс внедрения ударника в круговую защемленную по контуру плиту. Испытания проводились на установке типа падающего груза. Рассматривались два типа взаимодействия: отскок и разрушение (образование трещины). Сначала проанализирован силовой сигнал на основе четырех методов: непрерывное вейвлет-преобразование (с вейвлетами Гаусса и Морле), преобразование Габора, преобразование Вигнера-Вилля и классический анализ Фурье. Показано, как применение частотно-временных методов позволяет точно обнаруживать разрывы в сигнале, момент разрыва, если он есть, и частоты, которые возбуждаются при ударе. Во второй части проведен модальный анализ и анализ напряжений как аналитически, так и конечно-элементными расчетами. Расчеты подтверждают результаты, полученные в первой части, и находятся в соответствии с экспериментальными наблюдениями.

Вейвлет анализ для колебаний распределенных структур применен в

79]. Излагаются результаты обширного обзора развитых методов вейвлетного анализа частот и форм колебаний упругих оболочек и пластин. Благодаря размерным и сдвиговым преобразованием солитон-функций подчеркивается возможность вейвлетного изучения свойств сигналов совместно в частотной и временной областях.

Исследование хаотических колебаний балок можно найти в [80], где построена конечноэлементная математическая модель, основанная на применении вейвлетов для стохастического анализа упругих балочных конструкций, в которой случайные параметры, представляющие собой стохастические механические свойства материала и геометрические характеристики конструкции, трактуются, как стационарные гауссовы процессы со специфическими функциями усреднения и корреляции. Использовано расширение Карунена-Лява для аппроксимации стохастического процесса в виде линейной комбинации ортонормированных собственных функций с некоррелированными случайными коэффициентами. Собственные функции представлены при- этом- как усеченные линейные суммы ортогональных вейвлетов с компактным носителем. Приведены два числовых примера стохастического анализа' по изложенной методике характеристик консольной балки с сосредоточенной нагрузкой на конце и двухопорной балки под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки. Результаты численного расчета сопоставлены с полученными по методу Монте-Карло и полуаналитическим методом. Таким образом, рассмотренная в [80] задача отличается от тематики данной работы, где речь идет о детерминированном хаосе.

Приведенный выше обзор работ позволяет сделать заключение, что в работах Крысько В.А., Крысько A.B., Я. Аврейцевича, Кравцовой И.В, Савельевой Н.Е., Щекатуровой Т.В., Кузнецовой Э.С., Салтыковой О.А при изучении спектров мощности, построенных на основании преобразования Фурье, установлено, что для балок, пластинок и оболочек переход к хаотическим колебаниям может происходить по сценариям Фейгенбаума и модфицированному сценарию Рюэля - Такенса - Ньюхауза. Вопрос о существовании сценария перехода к хаосу через перемежаемость и его особых свойствах для распределенных механических систем требует дальнейшего изучения, так как для изучения последнего недостаточно располагать лишь частотным спектром, получаемым с помощью преобразования Фурье.

Таким образом, актуальной задачей является анализ нестационарных процессов в различных режимах колебаний распределенных механических систем, основанный на расчете их движений как систем со многими степенями свободы с использованием вейвлет-преобразования (а также и традиционных методов нелинейной динамики) с целью уточнения характера протекающих в таких системах нелинейных процессов и уточнения существующих сценариев перехода колебаний из хаотических в гармонические. Кроме того, требует уточнения вопрос о том, какие материнские вейвлеты наиболее приспособлены для исследования задач динамики балок, пластинок и оболочек.

Целью диссертационной работы являются построение математических моделей сложных колебаний распределенных систем (в виде одно- и многослойных балок (спаянных и неспаянных), пластинок, сферических пологих и цилиндрических оболочек); разработка программного обеспечения, позволяющего осуществлять вейвлет-анализ сценариев перехода в хаос для таких систем.

Для достижения этой цели были решены следующие задачи:

1. Создание методологии анализа регулярных и хаотических вынужденных колебаний распределенных механических систем на основании непрерывного вейвлет-преобразования и выбор эффективных вычислительных схем её реализации;

2. Разработка программного обеспечения на основе предложенных моделей и вычислительных схем;

3. Применение разработанной методологии и программного обеспечения для исследования переходных процессов и сценариев перехода в хаос для балок, пластинок и оболочек в различных режимах динамического нагружения.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы. Работа содержит 164 страницы, 73 рисунка, 11 таблиц. Список использованной литературы включает 142 наименования. Ниже приведена краткая характеристика по главам.

Заключение

Полученные результаты позволяют утверждать, что непрерывное вейвлет-преобразование является эффективным средством исследования нелинейных динамических явлений в распределенных механических системах - балках, пластинках и оболочках. Детальная отработка методологии вейвлет-анализа на примере простой распределенной системы — одномерной гибкой балки - позволила определить наиболее подходящий для подобных задач вейвлет Морле, с помощью которого для более сложных распределенных систем - пластинок, сферических и цилиндрических оболочек - были установлены ранее не наблюдавшиеся в механических системах модификации сценариев перехода в хаос. Кроме того, вейвлет-анализ обнаружил высокую эффективность в исследовании синхронизации в контактных задача механики.

Анализ множества результатов, полученных при работе над диссертацией, позволяет сформулировать следующие основные выводы:

1. Разработана методология вейвлет-анализа сложных колебаний нелинейных распределенных механических систем - балок (модели которых построены с использованием кинематических гипотез Бернулли-Эйлера, С.П. Тимошенко, Шереметьева-Пелеха), пластинок, оболочек.

2. Реализован комплекс программ для анализа и визуализации различных характеристик хаотических колебаний балок, пластинок и оболочек;

3. С помощью непрерывного вейвлет-преобразования выявлен сценарий Фейгенбаума перехода колебаний из гармонических в хаотические для гибких сферических оболочек и вычислена константа Фейгенбаума;

4. С помощью вейвлет-анализа для распределенных механических систем исследованы сценарий перехода в хаос через перемежаемость и уточнен сценарий Рюэля-Такенса-Ньюхауза; показано, что определение типа колебаний по спектру ляпуновских показателей и частотно-временному вейвлет-спектру хорошо согласуются между собой;

5. С помощью непрерывного вейвлет-анализа установлено, что при действии на одну из неспаянных балок поперечной знакопеременной нагрузки возможна фазовая синхронизация их колебаний не только на частоте возбуждения, но и на независимой частоте; кроме того, после интервала синхронизации возможен переход второй балки из хаоса в состояние покоя;

6. Пространственно-временное распределение контактного давления в системе неспаянных балок может успешно использоваться для обнаружения хаоса;

7. С помощью вейвлет-анализа показано, что динамическая потеря устойчивости гибких цилиндрических оболочек при действии поперечных локальных знакопеременных нагрузок сопровождается переходом в хаос.

1. Awrejcewicz J,. Krysko V.A. Feigenbaum Scenario Exhibited by Thin Plate Dynamics //Nonlinear Dynamics. - 2001. - № 24. - P. 373 - 398.

2. Qiang, H. A study of chaotic motion in elastic cylindrical shells / Han Qiang, Hu Haiyan, Yang Guitong // Eur. J. Mech. A. 1999. - 18. №2. - P. 351-360.

3. Крысько В.А., Кириченко A.B. О динамических критериях потери устойчивости гибких пологих оболочек // Нелинейная динамика механических и биологических систем. Саратов: СГТУ, 2000. С. 144152.

4. Киреева, О. Н. Математические модели сложных нелинейных колебаний балок при наличии ограничений на прогиб: дисс. на соискание ученой степени канд. физ. мат. наук / О.Н.Киреева. -Саратов, 2002. 124 с.

5. Крысько В. А., Жигалов М. В., Салтыкова О. А. Нелинейная динамика балок Эйлера-Бернулли и типа Тимошенко. // Известия вузов. Машиностроение. 2008. - № 6. - С. 7-27.

6. Крысько В. А., Жигалов М. В., Салтыкова О. А. Особенности сложных хаотических колебаний балок Эйлера-Бернулли и типа Тимошенко в зависимости от краевых условий. // Известия вузов. Строительство. -2008.-№9.-С. 4-10.

7. Крысько А. В., Жигалов М. В., Салтыкова О. А. Управление сложными колебаниями нелинейных многослойных балок. // Известия вузов. Авиационная техника. 2008. - №3. - С. 10-13.

8. Крысько В. А., Жигалов М. В., Салтыкова О. А, Десятова A.C. Диссипативная динамика геометрически нелинейных балок Бернулли — Эйлера. // Известия РАН. Механика твердого тела. 2008. - №6. -С.128-136.

9. Krysko V. A., Awrejcewicz J., Chebotarevskiy Yu. V,. Saltykova О. A. Vibration of Flexible Beam Subjected to a Longitudinal Impact. // 8th Conference on Dynamical Systems Theory and Applications. December 1215. Lodz, Poland, 2005. P. 719-727.

10. Krysko V.A, Saveleva N.E. Ruelle Takens - Feigenbaum's Scenario and Counting of Feigenbaum's constant. // Dynamical of System - Theory and Applications: International Conference. Lodz. Poland, 2003. P. 198 - 210.

11. Крысько В.А, Савельева H.E. Стохастическая динамика замкнутых цилиндрических оболочек при неосесимметричном внешнем давлении. // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2003. № 1.С. 53-70.

12. Крысько В. А, Савельева Н.Е. Сложные колебания замкнутых цилиндрических оболочек при неосесимметричном неравномерномзнакопеременном внешнем давлении. // Известия вузов. Машиностроение. 2004. № 7. С. 3 14.

13. Крысько В.А, Савельева Н.Е. Управление временным хаосом в цилиндрических оболочках. // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2004. № 4. С. 10 19.

14. Awrejcewicz О, Krysko V.A., Saveleva N.E. Parametric vibrations of flexible cylindrical shells. // III International symposium Trends in Continuum Physics (TRECOP'04): International Conference. Posnan. Poland, 2004. P.234-242.

15. Awrejcewicz J., Krysko V.A., Saveleva N.E. Chaos Exhibited by Closed Flexible Cylindrical Shells. // Fifth EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference (ENOC'05): International Conference. Eindhoven. Netherlands, 2005. P. 1212-1217.

16. Крысько В.А., Савельева H.E., Шагивалеев К.Ф. Статика и динамика замкнутых цилиндрических оболочек при неравномерном поперечном нагружении. //Известия вузов. Машиностроение. 2005. № 1. С. 3 14.

17. Крысько В.А., Папкова И.В., Савельева Н.Е. Хаотические колебания гибких прямоугольных в плане оболочек. Часть 1. Метод Бубнова-Галеркина в высших приближениях. // Авиакосмическое приборостроение. 2005. № 8. С. 2 — 8.

18. Крысько В.А., Крысько А.В., Савельева Н.Е. Хаотические колебания замкнутых цилиндрических оболочек и панелей. Часть I. // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2005. № 3. С.10-36.

19. Крысько В.А., Кузнецова Э.С., Савельева Н.Е. Исследование хаотических колебаний прямоугольных пластинок при действии поперечной знакопеременной нагрузки в температурном поле // Известия вузов. Машиностроение, 2006. №1. С. 3-9.

20. Крысько А.В., Аврейцевич Я., Кузнецова Э.С. О влиянии температурного поля на сложные колебания замкнутыхцилиндрических баллонов. // Вестник Саратовского государственного технического университета, 2008. № 1(31). Вып. 2. С. 71-85.

21. Krysko А.V., Awrejcewicz J., Kuznetsova E.S, Saveleva N.E. Nonlinear dynamics of plates in a temperature field. //Proceedings of the 9th Conference on Dynamical Systems Theory and Applications. Lodz, Poland, 2007. P. 233-240.

22. Krysko V.A., Awrejcewicz J., Kuznetsova E.S. Chaotic vibrations of shells in a temperature field. // Proceedings of the International Conference on Engineering Dynamics. Carvoeiro, Algarve, Portugal, 2007. P.21-28.

23. Krys'ko V.A., Kravtsova I.V. (Papkova I.V.) Stochastic vibrations of flexible flat axisymmetric shells exposed inhomogeneous loading. // Dynamical of System — Theory and Applications: International Conference. Lodz, Poland, 2003. P. 189-197.

24. Крысько B.A., Кравцова И.В. (Папкова И.В.) Стохастические колебания гибких осесимметричных шарнирно-подвижных по контуру сферических оболочек // Известия вузов. Машиностроение. 2004. № 1. С. 11-20.

25. Крысько В.А., Кравцова И.В. (Папкова И.В.) Хаотические колебания сферических оболочек под действием неоднородного нагружения // Вестник Саратовского государственного технического университета. Саратов, 2004. № 1(2). С. 24-36.

26. Крысько В.А., Кравцова И.В. (Папкова И.В.) Динамика и статика гибких секториальных пологих оболочек // Вестник Саратовского государственного технического университета. Саратов, 2004. № 2(3). С. 27-36.

27. Krysko V.A., Tschekaturova T.V. Complicated vibrations spherical and conical variable thickness shells. // Dynamics of system theory and applications: International Conference. Lodz, Poland, 2003. P.585-603.

28. Крысько В.А. Щекатурова T.B. Хаотические колебания конических оболочек // Известия РАН. Механика твердого тела. 2004. №4. С. 140150.

29. Крысько В.А. Щекатурова Т.В. Стохастические колебания конических оболочек переменной толщины. // Известия вузов. Машиностроение. 2004. №5, С.3-13.

30. Кантор Б. Я. Контактные задачи нелинейной теории оболочек вращения.-Киев:Наук. думка, 1990.-136 с.

31. Крысько А.В. Математические модели многослойных структур: Учеб. Пособие. Сар. гос. тех. ун-т. Саратов, 2008. - 180 с. - ISBN: 978-57433-1937-4.

32. Wilkins M.L. Calculation of elasto-plasic flow. In B. Alder, S. Fernbach and M. Rotenberg, editors, Methods of Computational Physics, volume 3. Academic Press, Boston, New York (1964).

33. Ланда, П.С. Хаотические колебания в модели голосовых связок // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 1998. Т. 6. №4. -С. 57-67.

34. Wriggers P. Computational contact mechanics, 2nd edition, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006.

35. Grossman A., Morlet S. Decomposition of Hardy functions into square separable wavelets of constant shape // SIAM J. Math. Anal, 1984, vol. 15, № 4, p. 723.

36. Daubechies, I., Grossmann, A. and Meyer, Y., (1986). Painless nonorthogonal expansions, J. Math. Phys., 27, 1271-1283.

37. Meyer, Y., (1986). Ondelettes, fonctions splines et analyses graduees, Lecture Notes, University of Torino, Italy.42