автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование колебаний тонких гибких слоистых балок в температурном поле с учетом контактного взаимодействия

На правах рукописи

Кутепов Илья Евгеньевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ТОНКИХ ГИБКИХ СЛОИСТЫХ БАЛОК В ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ С УЧЕТОМ КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2015

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Официальные оппоненты: Коноплёв Юрий Геннадьевич - доктор

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, кафедра математического обеспечения вычислительных комплексов и информационных систем Защита состоится «18» марта 2015 г. в 15.30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, корп.1, ауд. 319/1.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77 и на сайте www.sstu.ru

Крысько Вадим Анатольевич

физико-математических наук, профессор, Казанский федеральный университет, заведующий кафедрой теоретической механики Панкратов Владимир Михайлович - доктор технических наук, профессор, Института проблем точной механики и управления РАН (ИПТМУ РАН), заместитель директора по науке

Ведущая организация: Национальный исследовательский

Автореферат разослан « /3 » Ученый секретарь диссертационного совета

2015 г.

Терентьев А.А.

гос7дСлСРГтвг н"ля| Общая характеристика работы

БИБЛИОТЕКА i

____¿^Актуальность и степень разработанности по теме работы.

Исследования в сфере моделирования нелинейных динамических систем приобретают все ббльшую значимость во многих отраслях науки. Механика, экономика, физика, электротехника, биология, история и другие направления науки применяют моделирование процессов в нелинейной постановке.

Развитие компьютерной техники и рост производительности вычислительных систем привели к сокращению трудоемкости решения задач динамики численными методами. Реализация алгоритмов этих решений позволила обнаружить хаотические явления в детерминированных нелинейных системах. Отдельным вопросом изучения динамики механических систем является переход систем в состояние хаоса при изменении управляющих параметров. Значительный вклад в изучение этого вопроса внесли такие ученые, как П.С. Ландау, Н. Hopf, М. Feigenbaum, Ю.И. Неймарк, P. Mannevile, Д.И. Трубецков, J. Awrejcewicz, и другие.

Исследованию колебаний нелинейных динамических систем в виде пластинок, оболочек и балок посвящены работы ученых J. Awrejcewicz, W. Pietraszkiewicz, Van der Heijden, К. Nagai, М. Оуа, Y. Tsuruta, В.А. Крысько, В.В. Пикуля, A.B. Талонова, Ю.Г. Коноплева, В.М. Панкратова, A.B. Крысько и других. Однако в работах этих авторов воздействие температурного поля на режим нелинейных колебаний системы остается малоизученным. В работах A.B. Крысько и Э.С. Кузнецовой был исследован вопрос совместного влияния температурного поля с граничными условиями первого рода и локальной знакопеременной нагрузки на колебания замкнутых цилиндрических оболочек.

Исследованием колебаний слоистых балок занимались Б.Я. Кантор, В.М. Александров, Б.Л. Пелех, В.А. Крысько, J. Awrejcewicz и другие. В их работах рассмотрен широкий круг задач контактного взаимодействия различных конструкций без учета температурных эффектов.

В настоящее время исследование эффектов, связанных со сложными колебаниями слоистых балочных конструкций под воздействием температурного поля, является актуальной задачей. Внимания требует исследование сценариев перехода колебаний подобных систем из гармонического состояния в хаотическое. Возникает необходимость

разработки более совершенных расчетных моделей, дающих возможность исследовать динамические системы, выявлять и изучать важнейшие эффекты, связанные с влиянием геометрической и конструктивной нелинейности и вида температурного воздействия.

Целью работы является исследование хаотической динамики гибких тонких слоистых балок в температурном поле, а также развитие алгоритмов и численных методов анализа сложных колебаний рассматриваемых систем.

Для достижения этой цели были решены следующие задачи:

1. Разработка математической модели колебаний тонких гибких слоистых балок в температурном поле с учетом контактного взаимодействия; развитие численных методов исследования хаотической динамики нелинейных распределенных систем в виде балочных структур в температурном поле с учетом контактного взаимодействия.

2. Разработка комплекса программ, позволяющего моделировать и анализировать колебания слоистых балок в температурном поле.

3. Исследование поведения системы в зависимости от изменения таких управляющих параметров, как частота и амплитуда внешней нагрузки, граничные условия, геометрические параметры, интенсивность и тип температурного воздействия.

4. Выявление новых закономерностей при переходе системы из гармонического состояния в хаотическое и исследование слоистых балочных систем в температурном поле с применением методов нелинейной динамики и качественной теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна работы состоит в следующих положениях:

1. Разработан метод моделирования колебаний слоистых балочных структур в температурном поле с учетом контактного взаимодействия слоев. Модель позволяет исследовать поведение балочных структур, состоящих из одной, двух и более балок при различных температурных воздействиях. Исследована эффективность решения стационарного уравнения теплопроводности методами конечных разностей, методом граничных и конечных элементов.

2. Предложен математический аппарат качественного исследования явления хаоса в рассматриваемых системах, основанный на анализе сигнала,

сечения Пуанкаре, фазового портрета, вейвлет-анализа, спектра мощности Фурье, знака показателей Ляпунова.

3. Развит метод исследования сходимости результатов численного эксперимента по моделированию колебаний распределенных систем в виде балок при различных режимах колебаний.

4. Разработан программный пакет для моделирования и анализа сложных колебаний слоистых балочных конструкций, находящихся под тепловым воздействием.

5. Обнаружены новые модификации сценариев Рюэля-Такенса и Фейгенбаума при переходе системы из гармонического состояния в хаотическое.

6. Исследовано влияние интенсивности и типа температурного воздействия на состояние колебательного процесса слоистых балочных систем с учетом контактного взаимодействия.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость заключается в разработанном методе моделирования и анализа колебания слоистых балок в температурном поле. Таким образом, предоставляется возможность анализировать получаемые результаты с помощью методов нелинейной динамики, распознавать режимы колебаний автоматизированными методами, производить оценку режима колебаний при помощи показателей Ляпунова и исследовать фазовую синхронизацию колебаний слоёв балки.

Практическая значимость заключается в разработанном программном комплексе, который даёт возможность моделировать детерминированные хаотические колебания гибких тонких балок, находящихся в температурном поле под действием внешней знакопеременной нагрузки. Программные средства комплекса позволяют задавать граничные условия соответствующие различным способам закрепления балок, изменять их геометрические характеристики (толщина, кривизна), менять значения управляющих параметров системы, моделировать различные типы температурного воздействия. Практическая реализация данного комплекса может найти свое применение в таких наукоемких сферах как механика и микроэлектроника.

Работа выполнялась в рамках госбюджетной темы кафедры «Математика и моделирование» - «Построение математической модели

контактного взаимодействия распределенных механических систем при сложных нелинейных колебаниях». Исследования проводились при финансовой поддержке Грантов Министерства образования РФ в рамках целевой программы государственного задания на оказание услуг (выполнения работ) по теме: «Исследование нелинейных стохастических колебаний многослойных механических структур в температурном поле под действием концентрированных потоков энергии» - ГРНТИ: 27.29.17, 30.15.27, 30.17.35. Получены 3 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Методология и методы исследования. В диссертационной работе использованы общенаучные и специальные методы исследования. Для достижения целей диссертационной работы применены методы математического моделирования. Использованы специальные методы нелинейной динамики, вычислительной математики, качественной теории дифференциальных уравнений, Фурье и вейвлет анализа, алгоритм анализа показателей Ляпунова. Программный комплекс реализован с использованием принципов объектно-ориентированного программирования, структурного и процедурного программирования.

Положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Метод моделирования распределенных нелинейных динамических систем в виде балочного пакета в температурном поле с учетом контактного взаимодействия слоев.

2. Программный комплекс анализа нелинейных динамических процессов с позиции качественной теории дифференциальных уравнений на исследуемом интервале таких управляющих параметров как частота и амплитуда внешней нагрузки.

3.Для балки, находящейся в температурном поле, увеличение интенсивности температурного воздействия приводит к увеличению зоны гармонических колебаний на исследуемом интервале изменения амплитуды внешней нагрузки. Сокращение зон хаотического режима на области управляющих параметров вызвано формой искривления балки и изменением её мод вследствие температурной деформации.

4. Увеличение кривизны балки совместно с температурным воздействием ведет к сокращению количества смен режимов колебаний при переходе из гармонического состояния в хаотическое. Переход в хаотическое

состояние приводит к потере устойчивости, т.к. происходит резкое увеличение прогибов.

5. Увеличение кривизны балки приводит к возрастанию зоны гармонических колебаний. Переход из гармонического состояния в хаотическое становится более жестким, о чем свидетельствует увеличение зоны глубокого хаоса, выявленной на основании анализа показателей Ляпунова на области управляющих параметров.

6. Учет контактного и температурного воздействий оказывает влияние на сценарий перехода системы из гармонического состояния в хаотическое, а также изменяет процесс фазовой синхронизации колебаний слоев балки.

Апробация результатов. Основные положения и результаты диссертации представлялись на XVIII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, МГУ, 2011); 1 llh Conference on «Dynamical Systems-Theory and Applications» (Lódz, Poland, 2011); VIII Международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (Санкт-Петербург, 2011); заочной научно-практической конференции «Теоретические и прикладные проблемы науки и образования в 21 веке» (Тамбов, 2012); XIV Pan-American Congress of Applied Mechanics, Chile, March 24-28, 2014. В законченном виде диссертация докладывалась на научных семинарах кафедры «Математика и моделирование» ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А. Крысько (Саратов, 2014); на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м.н., профессора В.Б. Байбурина (Саратов, 2014).

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 12 работах, в том числе 3 статьи в рецензируемых журналах из перечня ВАК РФ. Список основных работ автора, отражающих содержание диссертационной работы, приведен в конце автореферата.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, описывается степень ее разработанности, приводятся цели и задачи, научная новизна, теоретическая и практическая значимость, описывается методология и методы исследования, приводятся положения выносимые на защиту а так же степень достоверности и апробация результатов, дается краткий исторический обзор по теме исследований.

В первой главе описывается моделирование колебаний гибкой тонкой однослойной балки в

температурном поле (рисунок 1). -—-'- - х

Моделируется балка единичной и * ширины высотой к и длиной I, | 2 представляющая собой Рисунок I

деформируемое твердое тело. Материал балки считается сплошным, изотропным и подчиняется закону Гука. Учет температурного воздействия основывается на гипотезе Неймана. При построении математической модели балки применена гипотеза Бернулли-Эйлера, а учет геометрической нелинейности принимается в форме Теодора фон Кармана. Область балки в системе координат определяется как П = {х £ [0,1];г е [-/г/2,/г/2]}. Математическая модель балки описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений (1) в частных производных, полученных из энергетического принципа Остроградского-Гамильтона:

д2и дNt у д2и

и/.тлг) -----к— = О

дх2 дх д

/г2 34уу 12 Зг*

+

ди 1 /дых2 д2\\>

-г -г- -и/

дх 2\дх) дх2

+ 12(у/,и) + ¿з(иму) - (1)

д2М( д I Зип) д2уу д\м

■Ш-дА^Ш Р^з^зГ0

где = ¿2(и,,и) =__ + __; „) = __(_)

нелинейные операторы. Система (1) записана в безразмерном виде с использованием параметров (2):

где, \л/{х, £) - прогиб элемента; и(х, С) - перемещение элемента в продольном направлении; е - коэффициент диссипации; £ - время; Е - модуль Юнга; Л-высота поперечного сечения балки; у - удельный вес материала; д -ускорение свободного падения; ц = ^05т(а)рг) - внешняя нагрузка, шр -

частота. Температурные усилия и моменты определяются из соотношений: 1/2 1/2

Нт= J Т{х.г)йг Мт= I Т(_х,2)гй2 (3)

-1/2 -1/2 Для системы (1) могут быть сформулированы начальные и граничные условия, соответствующие различным способам закрепления концов балки и определено температурное поле Т(х, г). Температурное поле описывается стационарным уравнением теплопроводности в форме Лапласа, которое с учетом введенных безразмерных параметров примет вид

д2Т ,д2Т

V Т = —г + Я2 —— = 0. (4)

дхг дг2

В зависимости от поставленной задачи для уравнения теплопроводности могут быть определены граничные условия первого (5) и второго рода (6), а также смешанные условия:

Т{х012) = Л (г); 74*1. = /200: П*.*о) = /зОО: Пх.гх) = Д(а:); (5) дТ дх

дТ

„-""'«г

дТ

дТ

= АОО; (6)

х>г\

где х0, х1, г0, г1 — координаты граничных точек области; ДСг), /2(2)> /з(*)> Л СО _ некоторые функции соответствующих координат.

Был исследован вопрос об эффективности различных итерационных методов в применении к задаче Дирихле для уравнений Лапласа. Рассматривались итерационные методы последовательной верхней релаксации Зейделя, попеременно-треугольный метод, попеременно-треугольные с чебышевским ускорением, неявный метод переменных направлении. На основании проведенных численных экспериментов был сделан вывод, что для рассмотренного класса задач наиболее экономичным (по скорости сходимости и занимаемой памяти) является метод верхней релаксации. Однако оптимальным методом для решения уравнения теплопроводности с неоднородными граничными условиями является метод граничных элементов, т.к. необходимым условием является равенство

количества узлов сетки, накладываемой на область балки для решения уравнения теплопроводности и уравнений движения при аппроксимации по пространственной координате х G [0; 1]. Достоверность получаемых результатов проверялась путем сопоставления получаемого численного решения с аналитическим1. Сходимость решения уравнения теплопроводности (4) МГЭ для сетки D = (О < x¡ < l,x¡ = i Ах; — 1/2 < z¡ < 1/2 ,z¡ = jAx\i = 1,2,... ,iv,j = 1,2,... ,т), наступает при m > 10, n > 20. После определения температурных элементов (3) производится замена членов системы уравнений движения балки (1) их центральными конечно-разностными операторами с аппроксимацией 0(Ах2). Полученная система методом замены переменных сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решается методом Рунге-Кутга четвертого порядка точности. Произведено исследование сходимости результатов в случае отсутствия температурного воздействия в зависимости от числа разбиений п по пространственной координате х при частоте шр = 5 и амплитуде внешней нагрузки q0 = 500 соответствующей гармоническому режиму колебаний и q0 = 60 х 103 соответствующей хаотическому режиму. В гармоническом режиме колебаний увеличение числа узлов сетки D в интервале 60 <п< 120 по пространственной координате не приводит к каким-либо качественным изменениям. Сходимость наблюдается в функции прогиба, спектре мощности Фурье, сечении Пуанкаре и фазовом портрете. При q0 = 60 х 103 система находится в хаотическом состоянии. Сигнал, сечение Пуанкаре и фазовый портрет существенно различаются, однако сходимость спектров мощности Фурье наблюдается при п > 80.

Во второй главе приводится исследование хаотической динамики тонкой гибкой плоской однослойной балки в температурном поле (рисунок 1) при следующих значениях параметров (7):

А = 50; п = 1/Ах = 80; At = 1/256; шр = 5; е = 1; кх = 0. (7) Граничные условия соответствуют жёсткой заделке одного края и шарнирному опиранию другого:

w(0, t) = iv(l, t) = u(0, t) = u( 1, t) = w'x(0, t) = w"x(l, t) = 0. (8) Начальные условия:

'Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. С. 167-170.

0) = Й/0,0) = и(х, 0) = и(дг, 0) = 0. (9)

Типы граничных условий, рассматриваемые в работе, представлены в таблице 1. На рисунках приводится графическое представление

температурного поля для балки в зависимости от рода граничного условия.

Таблица I

Тип 1 "1 (10)

Т(х,г) = сожг г = -1/2 05*5 1

Г(*,г) = 0 г = 1/2 05*5 1 7

Т(х,г) = 0 * = 1 —1/2 5 г 5 1/2

Т(х,г) = 0 * = 0 -1/2 5г5 1/2

Тип 2 »» 1 (11)

Т(х,г) = со! 15( г = -1/2 05*51

Т(х,г) = дТ/дг г = 1/2 05*5 1 1

Т(х,г) = 0 * = 1 -1/2 <г < 1/2

Т(х,г) = 0 * = 0 -1/2 5 г 5 1/2

Тип 3 _1_ (12)

Т(х,г) = сопи т(г 71 - лг/йг г = -1/2 г ~ 1/2 0 5 * 5 0,5

Т(х,г) = 0 г = 1/2 05*5 1 "« ■мшишинаннн - ♦1

Т(х.г) = 0 х = 1 —1/2 5 г 5 1/2

Т(х.г) = 0 * = 0 —1/2 5 г 5 1/2

Для анализа колебаний на области управляющих параметров {шр,ц0}

использовалась карта режимов колебаний (НБА) и карты показателей Ляпунова (ЬРЬО, а также соответствующие шкалы, представляющие собой полосу карты при фиксированном параметре 0)р. Построение карт двух типов позволило сопоставить принципиально разные методы анализа характера колебаний при множестве значений управляющих параметров. Цветовая

интерпретация характера колебаний приведена в таблице 2.

Та&лниа 2

■ Гармонические колебания и Хаос

в Комбинация независимых частот II) Затухающие колебания

и Бифуркации м Результат моделирования не определен

■ Две независимые частоты

Для анализа колебаний на основе показателей Ляпунова построены карты, отражающие знак 4 показателей с цветовой градацией, приведенной в таблице 3. Показатели Ляпунова рассчитываются на основе алгоритма Вольфа. Были определены такие состояния системы как хаос, хаос-гиперхаос, хаос-гипер-гиперхаос, а также найдено новое состояние системы - глубокий хаос. Для карт показателей Ляпунова принят эквивалентный интервал управляющих параметров.

Тяб-'шня 3

■ Гармонические колебания (1 -+-Н- (хаос-гипер-гиперхаос)

а —+ (хаос) □ ++++ (глубокий хаос)

■ —++ (хаос-гинерхаос) ■ Нет решения

Графическое разрешение карт составляет 200^200 пикселей, что соответствует 40x103 решениям системы (1) и 200*101 анализам характера колебаний системы. Построенные карты (таблица 4) позволяют комплексно оценивать состояние системы при всем многообразии значений управляющих параметров.

Та&.шмй 4

7\ = 200 T-i = 300

HSA LPN HSA LPN

■ ■fr * Jf mi t : Щ) i tic »mi шшпж ■ ■Ш \ А Р ШШйй я ' я

»• ы. ил

Оценка интенсивности воздействия температурного поля основывалась на анализе максимального прогиба балки при изменении значения амплитуды внешней нагрузки при значениях Т = 200; 300.

Для температурного поля первого типа установлено, что повышение температурного воздействия приводит к возрастанию зоны гармонического режима колебаний на области управляющих параметров q0 и шр вследствие изменения начальной формы балки. Определено, что хаос, однозначно распознанный по эвристическому анализу спектра Фурье, имеет различную степень по показателям Ляпунова. Анализ карт HSA и LPN (таблица 4) при интенсивности 200 и 300 для температурного поля 1-го типа показал, что увеличение температуры приводит к изменениям границ участков состояний системы на всем интервале управляющих параметров. Для Тг = 300 при помощи анализа знаков показателей Ляпунова установлено, что возросло количество зон, в которых наблюдается режим хаос-гипер-гиперхаос, а площадь зоны глубокого хаоса сократилась. Исследуя воздействие температурного поля 1-го типа (таблица 5) на колебания балки, были

построены шкалы характера колебаний при частоте шр - 5, полученные при помощи преобразования Фурье и шкалы показателей Ляпунова.

Хаотическое состояние системы характеризуется резким изменением прогиба. Сопоставление шкал режимов колебаний и шкал показателей Ляпунова показывает, что для зоны гармонических колебаний знаки всех

показателей отрицательны, а хаотическим зонам соответствуют сразу несколько зон по показателям Ляпунова - хаос-гиперхаос, хаос-гипер-гиперхаос и глубокий хаос. Такая оценка хаотического состояния системы показывает эффективность анализа на основе двух методов и позволяет более четко различать режимы колебаний. При 7\ = 200 прослеживается последовательное увеличение хаотичности колебаний с ростом значения для 7\ = 300 наблюдается сокращение зон всех хаотических состояний.

Исследование сценария смены режима колебаний показало, что переход от гармонического режима к хаотическому происходит по модифицированному сценарию Рюэля-Такенса. Модификация состоит в том, что в ходе классического сценария проявляются свойства другого - сценария Фейгенбаума. Подобное исследование режима колебаний и показателей Ляпунова было проведено для температурных полей 2-го и 3-го типов, их результаты согласуются. Отмечается, что с помощью изменения интенсивности температурного поля и типа граничных условий возможно, в частности, осуществлять управление сложными колебаниями гибких балок.

В третьей главе, посвященной криволинейным балкам в температурном поле (рисунок 2), проводится исследование влияния кривизны и типа температурного поля балки на режим колебаний.

Таблица 5

4« 4 „> .........МП) ■ -т-зоо

16 1 г г» ) > 1$ .........■?.........4......... ■ * ' У

(■ И ' .*• у/. ■ ." I .■V,/ Л——^ \..........|........

05 0 в в 0 12 < « 4 >10

о о шл 1 : ■ 1 II

Ш1 11111111И1 III ¡1

о о ||$Л II

К! 1.Ж Н1 11111В1Н1II1111111III

--¡ГТ""1"1 т~гт-т-[

x 5 »

' 5 з

Phcvhok 2

учет

учит. кш

/

«о

Phcviiok 3

С учетом введённых параметров (2) и кривизны балки кх = 1 /Кх, система

уравнений движения балки (1) преобразуется к виду: (

д2и dw , s dNt у д2и

•т-r -kx — + L-i (w, w)-—---= 0

дх2 дх дх g dt2

h2d4w

д2М, ~~дх2

ди дх

- krw

d2w

1 ÍÓW\

+ ¿2 (W, M) + ¿3 (W, W) -t 3 r 5vv)) d2w 3vv

(13)

В настоящей работе предлагается для определения температурного поля для криволинейной балки решать непосредственно двумерное уравнение теплопроводности. Однако существует другой подход, когда кривизна кх учитывается и в уравнении теплопроводности (14)

дТ

V Т + 2кх— = 0. (14)

дх

Исследование показало, что учет параметра кх приводит к существенным изменениям максимального прогиба в центре балки wmax(0.5) в зависимости от параметра q0 (рисунок 3), из чего следует, что значения параметров криволинейной балочной системы, при которых происходит потеря устойчивости, зависимы от способа моделирования температурного поля.

Для исследования были подобраны следующие значения управляющих параметров: кривизна балки кх — 12;24, относительная толщина балки Я = 50, амплитуда внешней нагрузки q0 С [0; 200 X 103], частота внешнего воздействия шр G [0; 10].

Были проанализированы шкалы режима колебаний и показателей Ляпунова (таблица 6) при шр = 5. Для температурного поля 1-го и 2-го типов отмечается, что с увеличением кривизны балки кх происходит общее увеличение зоны гармонических колебаний, это также позволяет сохранять гармоническое состояние системы на больший диапазон изменения внешней нагрузки.

Тнблиця 6

Тип 1

Тип 2

кж = 24

■ИвТГШП г*^"

Основываясь на проведенном исследовании, можно утверждать, что увеличение температурного воздействия ведет к увеличению зоны гармонических колебаний при изменении амплитуды внешней нагрузки, а увеличение кривизны приводит к сокращению количества смен режимов колебаний. Проведен анализ карт для температурного поля 1-го типа. Было установлено, что возрастание кривизны кх увеличивает зону глубокого хаоса за счет сокращения зон промежуточных режимов.

В четвертой главе 4

описывается нелинейная

динамика двухслойного пакета балок в температурном поле (рисунок 4). Условия контакта между слоями балки таковы, что Рису««««

сцепление слоев невозможно ввиду малого контактного давления между слоями. Двумерная область балок в декартовой системе координат определена как Л = {(дг,г) € [ОД] х [- 1/2,1/2] Л [1/2 + 5,1/2 + 6 + 1]}, где 6 - величина зазора.

Материал балок считается одинаковым для каждого слоя. При решении данного типа контактных задач теории балок используется связь между обжатием и контактным давлением между слоями, основанная на гипотезе Винклера. Рассматриваются балки одинаковой толщины (/гг = Л2 = /г).

Предполагается, что исследуемое тело находится под воздействием неоднородного стационарного температурного поля 7\ 2(х,г), причем у каждой балки из пакета может моделироваться свое температурное поле. С учетом гипотезы Винклера уравнения движения одного слоя балки с использованием безразмерных параметров записываются в виде

д2щ

д2иг .дw1 дЫтл

1

I2

1 д4^

дгМ.

дщ 1/ди>л

IV

д12 д2н/1

дх2

д'МТ1 в ( дим д'и', Он»,

Ю)-- кхытл - Тх {^.1 "э7| + £? * д1Г~£~дГ = 0

= 0

+ щ) +

д2м>1 ди/л

д2и2 д\л/2

дЫ-

Т, 2

1

Д2

1 д*ш2

д2М7

дх

2

ди2 1 (ди/2\

IV-

д2и2

"дь2

д2\м2

(14)

= 0;

дх2

б'МТ2 д ( дмтЛ б'-\ы2 (7IV?

-2)} " - МЬ - —\-Як- — -Е— = 0,

где щ' = д + ц — внешняя знакопеременная нагрузка описываемая выражением д = ц0 8т(шр(); -контактное усилие. Для системы (14) также необходимо сформулировать граничные и начальные условия для каждого из слоёв.

Учитывая явление отскока при взаимодействии слоёв, контактные усилия запишутся в виде выражения

Чк = K(w1-6-w2)Ч>. (15)

Здесь Т —функция, определяющая размеры контактной зоны и вычисляемая по формуле (16). Присутствие члена Ч* в уравнении движения балки добавляет в них новый тип нелинейности - конструктивную и описывается уравнением (16). Под конструктивной нелинейностью в данном

+ 12(н/2 ,и2) + д2ы2 дм7

случае понимается изменение расчётной схемы задачи в процессе деформации:

Ч> = [1 + 51дп(ш1-6-\н2)]/2. (16)

Проведен анализ динамики двуслойного пакета балок, в результате которого выявлены сценарии смены режима колебаний системы в зависимости от управляющих параметров. Анализировались четыре случая воздействия температурного поля с граничными условиями первого типа в различных сочетаниях, схематичное изображение которых представлено в таблице 7.

Таблица 7

Задача 1 Задача 2

i i

— ♦

I6 •í

и.; щш

i г 2

Задача 3 Задача 4

i X 1

„:; ffftm — -¡0 В - *

ч Н

V 2 Z

Рассмотрены сценарии смены режима колебаний двуслойного пакета балок для каждого типа воздействия температурного поля (таблица 8). Представленные характеристики получены при значениях шр — 5 и q0 - 45 х 103. Установлено, что переход из гармонического состояния в хаотическое осуществляется по модифицированному сценарию Фейгенбаума. Воздействие температурного поля интенсивностью 200 приводит к контакту слоев в виду малости зазора между балками S = ОД, что приводит систему к хаотическому режиму уже при малых значениях управляющих параметров.

Выявлено, что симметричное изменение граничных условий для температурного поля (задачи 3 и 4) не приводит к изменению состояния системы, и отличий в режиме колебаний не обнаружено.

Исследована фазовая синхронизация колебаний при помощи вейвлет анализа сигнала на базе материнского вейвлета Морле. Темные области на графиках разности фаз показывают зоны фазовой синхронизации при

определенных наборах значений управляющих параметров и интенсивности температурного воздействия Т = 200.

Таблица Н

Сигнал Спектр для верх, балки Спектр для ниж. балки г) Фазовый портрет для верх, балки

Задача 1 -1 . 1 ; * • : __

» Г « 1 -ь- т» -1 .

Задача 2 мш 3 • : « ш'

1—1—г—а » -Чв- ■ ■

Задача 3 1 : « : •¡Г ^

.1......

Задача 4 :шт -•1_ ] 1 иг >1 Э

« т » _|— " *" * •

В таблице 9 показано, что синхронизация колебаний слоев балок при одинаковых значениях управляющих параметров частоты и амплитуды внешнего воздействия наблюдается на различной частоте (кроме типов 3 и 4) в зависимости от сочетания температурного поля. Так, для 1-го типа при q0 = 20 х 103 синхронизация происходит на частоте внешнего воздействия о)р = 5 и независимой частоте (х)г = 3, для 2-го типа сплошных областей синхронизации не выявлено, а для 3-го и 4-го типов картина синхронизации почти идентична.

С увеличением амплитуды внешней нагрузки и усложнением колебаний картина синхронизации изменяется для каждого типа. Для 1 -го типа частота синхронизации смещается в область соответствующую частоте ы, = 3,5 и о»2 = 2, а также эти области становятся более прерывистыми. Таким образом, можно утверждать, что усложнение режима колебаний ведет к более прерывистому процессу фазовой синхронизации слоев балок.

Таблица Ч

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Для двуслойного пакета построены карты режимов колебаний для верхнего и нижнего слоя балочного пакета (рисунки 5 и 6). Отмечается, что для верхней балки зона гармонических колебаний существует в присутствии контакта между слоями на сравнительно малом диапазоне изменения частоты внешней нагрузки, а для нижней балки - почти отсутствует. Установлено, что наличие шумовых составляющих в частотном спектре, вызванных контактным взаимодействием слоев, затрудняет анализ режимов колебаний при помощи карт.

tA'1 -fшййй и!г

яигдаепг

Рисунок 5. Карга режимов колебаний Рису нок 6. Карта режимов колебаний

верхней балки нижней балки

В заключении приведены выводы по результатам исследования и описание программного пакета для исследования колебаний гибких тонких балок в температурном поле. Программный пакет был разработан на базе программной платформы «.NET Framework» компании Microsoft на языке объектно-ориентированного программирования С++. Пакет состоит из трех модулей, каждый из которых выполняет свою функцию. Первый модуль отвечает за вычисление температурного поля балки в зависимости от поставленных граничных условий. После определения температурного поля в нем производятся вычисление температурных членов уравнения движения и передача их в следующий модуль. Во втором модуле производятся решение системы уравнений движения балки и вывод данных в текстовом виде.

Третий модуль представляет собой комплекс анализа данных, полученных в результате моделирования колебаний балки.

Основные выводы

Построена математическая модель колебаний гибких тонких слоистых балок в температурном поле с учетом контактного взаимодействия. Тип температурного поля существенно влияет на режим колебаний балочной системы. Установлено, что увеличение температурного воздействия для однослойной балки увеличивает зону гармонических колебаний на исследуемом интервале таких управляющих параметров как частота и амплитуда внешней нагрузки.

Выявлены закономерности управления хаотической динамикой системы в зависимости от комбинаций частоты и амплитуды внешней нагрузки, интенсивностью и типом температурного воздействия. При увеличении интенсивности температурного воздействия для однослойных балок при помощи анализа знаков показателей Ляпунова установлено, что возросло количество зон, в которых наблюдается режим хаос-гипер-гиперхаос, а площадь зоны глубокого хаоса сократилась. Анализ карт

режимов и показателей Ляпунова показал, что увеличение кривизны балки приводит к возрастанию зоны гармонических колебаний и сохранению гармонического режима колебаний на большем диапазоне изменения внешней нагрузки. Переход из гармонического состояния в хаотическое становится более жестким, о чем свидетельствует увеличение зоны глубокого хаоса на картах показателей Ляпунова. Обнаружены новые модификации сценариев Фейгенбаума и Рюэля-Такенса.

Исследование хаотической динамики двухслойной гибкой балки в стационарном температурном поле показало, что наличие температурного воздействия приводит систему к статической потере устойчивости за счет возникновения контакта между балками. Исследование процессов синхронизации колебаний двухслойных балок выявило, что с возрастанием амплитуды внешней нагрузки фазовая синхронизация колебаний слоев становится более прерывистой. Определено, что воздействие температурного поля существенно меняет картину колебательных процессов пакета балок; так, в случае отсутствия температурного поля имеет место сценарий Рюэля-Такенса, а в случае его наличия изменение режима колебаний происходит по модифицированному сценарию Фейгенбаума. В ходе исследования установлено, что симметричное изменение температурного поля не приводит к изменениям в режиме колебаний многослойного балочного пакета.

Список опубликованных работ

Публикации в центральных изданиях, включенных в перечень периодических изданий ВАК РФ

1. Кутепов, И.Е. Нелинейная динамика вибрационных микромеханических гироскопов (ММГ). Ч. 2. Расчет резонатора в виде балки с начальной неправильностью с учетом геометрической нелинейности / Крысько А.В., Мицкевич С.А., Добриян В.А., Загниборода Н.А., Крысько В.А. // Вестник СГТУ. 2012. № 67. С. 7-15.

2. Kutepov I.E. Analysis of chaotic vibrations of flexible plates using fast Fourier transforms and wavelets / Awrejcewicz J., Krysko A.V., Zagniboroda N.A., Zhigalov M.V., Krysko V.A. // Int. J. Sir. Stab. Dyn. Vol. 13 № 7, 1340005(12 pages).

3. Kutepov I.E. Chaotic dynamics of flexible beams with piezoelectric and temperature phenomena / V.A. Krysko, J. Awrejcewicz, N.A. Zagniboroda, I.V. Papkova, A.V. Serebryakov, A.V. Krysko // Physics Letters, Section A: General, Atomic and Solid State Physics 2013, 377 (34-36), pp. 2058-2061.

Публикации в иностранных изданиях

4. Kutepov I.E. Chaotic vibrations of flexible infinitely length plate / Awrejcewicz J., Krysko A.V., Zagniboroda N.A., Zhigalov M.V., Krysko V.A. // Proceedings 111,1 Conference on Dynamical Systems: Analytical, Numerical Methods, Stability, Bifurcation and Chaos, Lodz, Poland. P 117128.

5. Kutepov I.E. Chaotic dynamics of flexible Euler-Bernoulli beams / A.V. Krysko, J. Awrejcewicz, N.A. Zagniboroda, V. Dobriyan, V.A. Krysko // Chaos, 34(4), 2014, 043130-1 - 043130-25.

6. Kutepov I. /Chaotic vibrations of flexible beams in a stationary temperature field - track vibration and dynamics / A. Krysko, J. Awrejcewicz, N. Zagniboroda, I. Papkova, V. Krysko // Book of Abstracts of the XIV Pan-American Congress of Applied Mechanics, Chile, March 24-28, 2014, 86.

Публикации в других изданиях

7. Кутепов, И.Е. О потери устойчивости гибких оболочек/ И.Е. Кутепов, Е.Ю. Крылова, И.В. Папкова // Молодежь и современные информационные технологии: материалы IX Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых с

международным участием, г. Томск, 11-13 мая 2011, Томск: Изд-во СПб Графике, 2011. С. 102-103.

8. Кутепов, И.Е. Параметрические колебания двухслойных неспаянных пластин / И.Е. Кутепов, Т.В. Яковлева // Инженерные системы - 2011: труды Международной научно-практической конференции, Москва, 5-8 апреля 2011 г. М.: РУДН, 201. С. 40.

9. Кутепов, И.Е. Нелинейные колебания двухслойных неспаянных структур / И.Е. Кутепов, Т.В. Яковлева // Инженерные системы — 2011: труды Международной научно-практической конференции, Москва, 5-8 апреля 2011 г. М.: РУДН, 2011. Т. И. С. 114-118.

Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ

10. Кутепов, И.Е. Программа для исследования колебаний однородных упругих пластин и панелей под действием поперечной нагрузки. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012615709. Зарегистрировано 22 июня 2012 г.

11. Кутепов, И.Е. Программа для исследования колебаний однородных упругих пластин и панелей в температурном поле под действием поперечной нагрузки. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012615710. Зарегистрировано 22 июня 2012 г.

12. Кутепов, И.Е. Программный комплекс для качественного исследования сложных колебаний диссипативных систем в виде многослойных геометрически нелинейных балок. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2014661682 от 11.11.2014 г.

15-

- 2 2 9 1

Подписано в печать 15.12.14 Формат 60*84 1/16

Бум. офсет. Усл. печ. л. 1,0 Уч.-изд. л. 1,0

Тираж 100 чю. Заказ 3 Бесплатно

Саратовский государственный техническим университет имени Гагарина IO.A.

410054, г. Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Тел.: 24-95-70, 99-87-39, e-mail: ¡zdatfa/sstu.ru

2014251150