автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели нелинейных распределенных систем в виде пластинчатых конструкций

На правах рукописи

Крысько Антон Вадимович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ В ВИДЕ ПЛАСТИНЧАТЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Саратов 2003

Работа выполнена в Саратовском государственном техническом университете

Научный консультант

доктор технических наук, профессор Чеботаревский Юрий Викторович

Официальные оппоненты

Академик HAH Украины, доктор технических наук, профессор Григоренко Ярослав Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор Коноплев Юрий Геннадьевич

доктор физико-математических наук, профессор Гурьянов Владимир Михайлович

Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной механики

СО РАН (г. Новосибирск)

Защита состоится «_15_»_октября_ 2003 г. в часов на заседании

диссертационного совета Д 212.242.08 при Саратовском государственном техническом университете по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет, корп.1, ауд. 319.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале научно-технической библиотеки Саратовского государственного технического университета.

Автореферат разослан «

■/о » сентября 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Терентьев A.A.

2.ооз-А

^ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Современный период бурного развития и совершенствования авиации, ракетной и космической техники, машиностроения и приборостроения, промышленного строительства характерен широким внедрением оболочечных конструкций. Современные оболочечные конструкции состоят из сочленения стержней, пластин и оболочек. Построение замкнутых математических моделей контактирующих пластин и оболочек, описываемых в рамках одинаковых и различных статических и кинематических гипотез с учетом ширины зоны контакта связано с тем, что на практике необходимо стыковать элементы конструкций, выполненные из различных материалов и различных геометрических размеров. Это свидетельствует об актуальности построения указанных математических моделей.

Истоки нелинейной теории оболочек восходят к трудам И.Г. Бубнова и Т. Фон Кармана, современное ее состояние обязано идеям К. Маргера, Х.М. Муштари, В.З. Власова, В.В. Новожилова, Вей Цанг Ченя, И.И. Воровича и других исследователей. Но она еще далека от совершенства. Выяснилось, что проблема устойчивости тонкостенных конструкций в полной мере может быть решена лишь на базе нелинейных краевых задач. В настоящее время имеется громадное количество работ, в которых исследуются конкретные задачи нелинейной теории оболочек, однако нет ни одной задачи этой теории, когда бы ее решение можно было бы получить в сколько - нибудь замкнутой форме. Существует ограниченное число работ, посвященных параметрическим колебаниям и исследованию сценариев перехода колебаний пластинок из гармонических в хаотические. Поэтому ее дальнейшее развитие связано с математическим моделированием и использованием современных ПЭВМ. Чрезвычайно актуальной является проблема решения задач для многослойных неспаянных пластин, т.к. они являются моделями исследования не только механических конструкций в технике, но и в других областях знаний, в частности связанных с изучением человека и среды его обитания. Взаимодействие опорных элементов интраоку-лярной линзы с капсулой глаза, взаимодействие голосовых связок человека -все это контактные задачи, хотя и нетрадиционные. Особенно важно рассмотрение задач теории многослойных неспаянных пластинок с позиций нелинейного анализа и компьютерной динамики. Следует отметить, что внедрение идей и методов нелинейного анализа и нелинейной динамики в теорию пластин и оболочек находится в начальной фазе своего развития и весьма далеко от завершения.

Изучение воздействия продольных знакопеременных нагрузок в нелинейной теории пластин следует проводить с позиций качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики. Это дает возможность выявить новые эффекты в теории нелинейных детерминированных распределенных систем.

Таким образом, математическое моделирование в задачах статики и динамики пластинчатых-конструкций является исключительно актуальной темой

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С. Петербург />, .

оэ •трыф£1

исследований и в настоящей работе предполагает решение следующих проблем:

1) построение математических моделей сочленения оболочечных и пластинчатых конструкций, описываемых в рамках одинаковых и различных статических и кинематических гипотез;

2) разработка методов расчета элементов конструкций в виде многослойных неспаянных пластин с учетом различного рода нелинейностей в задачах статики и динамики;

3) создание алгоритмов, методик исследования и доказательство их сходимости и программ расчета стохастических параметрических колебаний детерминированных систем в виде гибких пластин;

4) применение вейвлет — анализа для параметрических колебаний гибких пластин.

Цель диссертационной работы. Построение математических моделей пространственных контактных задач теории пластин и оболочек на базе вариационного метода в рамках однотипных и комбинированных моделей, а также построение комбинированных математических моделей для контактных задач теории неспаянных пластин, произвольного плана, переменной толщины, с учетом физической нелинейности и разномодульности материала. Создание нового класса задач теории пластин: консервативно-диссипативных. Разработка, обоснование и доказательство сходимости итерационных алгоритмов по численному решению поставленных задач. Изучение хаоса в теории однослойных и многослойных пластинок, новых периодических решений, их бифуркаций и др.

Направление исследований. Построение математических моделей пространственных контактных задач теории пластин и оболочек и изучение стохастических колебаний элементов этих конструкций в виде многослойных неспаянных и однослойных пластин; разработка методов их решения, доказательство сходимости предложенных итерационных процедур.

Методы исследований. При решении поставленных задач в работе использовались методы современного нелинейного анализа, аппарат вариационного исчисления, функционального анализа, методов математической физики, качественной теории дифференциальных уравнений, нелинейной и компьютерной динамики.

Достоверность и обоснованность результатов, с одной стороны, обеспечивается их полным соответствием основным уравнениям термодинамики для конечных объемов сплошной среды, вариационными принципами, а с другой - гарантируется рядом теорем и проведением численного эксперимента различными методами (методом конечных разностей О (А2), О (А4), Бубнова в высших приближениях, Канторовича-Власова и его восемью модификациями, быстрого преобразования Фурье, вейвлет — анализа и методами компьютерной динамики).

На защиту выносятся:

1) методика построения, на базе множителей Лагранжа, замкнутых математических моделей контактирующих пластин и оболочек, описываемых в рамках одинаковых и различных статических и кинематических гипотез с учетом ширины збны контакта;

2) постановка и методика численного решения, на базе итерационного метода и метода вариационных итераций контактных задач для пластин переменной толщины, различного рода нелинейностей и произвольного плана в рамках гипотез Винклера;

3) обоснование сходимости итерационных алгоритмов;

4) результаты численных экспериментов;

5) новая классификация эволюционных задач теории многослойных неспаянных пластин; сценарии развития стохастических параметрических колебаний гибких изотропных и ортотропных пластин; новый динамический критерий потери устойчивости пластин при продольных воздействиях;

6) результаты численного эксперимента по исследованию динамических задач теории гибких пластин, полученных методами конечных разностей с аппроксимацией О (И2) и О (А4), методом Бубнова в высших приближениях и анализ периодических и хаотических колебаний пластин, полученных с помощью вейвлет - преобразования.

Научная новизна. Настоящую работу можно квалифицировать как новое крупное научное достижение — компьютерная динамика пластин, которая сейчас выделяется в отдельную область науки, устанавливаются общие закономерности движения пластинчатых конструкций при помощи ряда численных методов и алгоритмов и программных комплексов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) разработана единая методика, на базе метода множителей Лагранжа, получения условий сопряжения пластинчатых и оболочечных элементов в пространственных конструкциях, с учетом конечной площади зоны контакта, при этом для описания условий равновесия элементов конструкций могут быть применены произвольные гипотезы;

2) впервые дается новая классификация эволюционных задач теории неспаянных многослойных пластин - консервативно-диссипативные системы -когда один элемент рассматривают без учета диссипации, а другой - с ее учетом;

3) для стационарных задач разработаны новые итерационные алгоритмы с использованием метода вариационных итераций и доказана их сходимость для контактных задач теории многослойных неспаянных пластин с учетом обобщенных гипотез Винклера, созданы комплексы программ их расчета;

4) созданные комплексы программ для ПВМ позволили получить новые количественные данные о НДС, контактирующих пластинках в рамках обобщенных гипотез Винклера с учетом физической нелинейности и разномодуль-ности материала;

5) дается дальнейшее развитие метода коллокаций, предложены новые его модификации на основе восьми вариантов метода Канторовича-Власова (метод решетчатой коллокации, граничной коллокации и смешанной коллокаций);

6) исследуются сценарии перехода гармонических колебаний гибких пластин в состояние пространственно-временного хаоса. Выявлены новые эффекты при таком переходе механических систем (предкризис, послекризис и др.);

7) предложен новый динамический критерий потери устойчивости пластин при действии продольных нагрузок, заключающийся в том ,что перед жесткой бифуркацией следует серия мягких бифуркаций;

8) впервые для анализа параметрических колебаний гибких пластин применяется вейвлет — анализ;

9) с помощью процедуры Бубнова на примере параметрических колебаний гибких пластин выявлены сценарии перехода колебаний из гармонических в хаотические в зависимости от числа мод.

Практическая ценность полученных результатов заключается в получении корректных моделей оболочечных конструкций, разработке новых численных методов их решения, доказательстве их сходимости, создании программных комплексов расчета оболочечных конструкций в задачах статики и динамики.

Часть диссертационной работы выполнялась в рамках гранта Министерства образования РФ в области фундаментальных исследований (грант 97-0-4.3160). Кроме того, результаты работы используются при написании ряда кандидатских диссертаций по стохастическим колебаниям в теории оболочек, выполняемым в настоящее время на кафедре «Высшая математика» СГТУ, а также при выполнении гранта «ВМ СГТУ-8» 2003г.

Апробация работы. Основные теоретические и практические результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международных, Всесоюзных и Всероссийских научно - технических конференциях: Ш Всесоюзной конференции «Механика неоднородных структур» (Львов, 1991, Украина); Ш Всесоюзном симпозиуме «Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого тела» (Тверь, 1992, Россия); XVT symposium «Vibrations in physical systems» (Poznan, BlazeJewko, 1994, Poland); The 3-d conference on dynamical systems «Theory and applications» (Lodz, 1995, Poland); III Международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (Санкт-Петербург, 1995, Россия); The 4-th Conference «Dynamical Systems-Theory and Applications» (Lodz, 1997, Poland); Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1997, Россия); XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов, 1997, Россия); VII Четаевской конференции (Казань, 1997, Россия); The 2-nd Belorussian Congress on Theoretical and Applied Mechanics, 'Me-chanics-99' (Minsk, 1999, Belorussia); The 5-th Conference «Dynamical Systems -Theory and Applications» (Lodz, 1999,Poland); XIX Международной конференции по теории оболочек и пластин (Н. Новгород, 1999, Россия); Международ-

ной конференции, посвященной 100-летию профессора Х.М. Муштари, 90-летию профессора К.З. Гапимова и 80-летию профессора М.С. Корнишина «Актуальные проблемы механики оболочек» (Казань, 2000, Россия); I Международной конференции по нелинейной динамике механических и биологических систем (Саратов, 2000, Россия); Fourth International Colloquium on Computation of Shell & Spatial Structures, IASS-IACM 2000 (Chania-Crete, 2000, Greece); Chaos Control and Times Series (San-Paulo, 2000, Brasil); The Third International Conference on Thin-Walled Structures (Cracow, 2001, Poland); VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001,Россия); European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering, ECCOMAS Computational Fluid Dynamics Conference 2001 (2001, Swansea, Wales, UK); The Seventh PAN American Congress of Applied Mechanics, РАСАМ VII (Temuco, 2002, Chile); Зимней школе по механике сплошных сред (тринадцатой) (Пермь, 2003,-Россия); 13-й межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2003, Россия). Подтверждением этих выступлений являются тезисы докладов, опубликованные в трудах этих конференций.-.

В целом работа докладывалась на научном семинаре кафедры «Теоретическая механика» СГТУ под руководством профессора Ю.В. Чсботаревского (Саратов, 2003).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 35 работ, в том числе 2 монографии [1, 2] и разделы в книгах [3, 4], вышедших в издательстве Naukowo - Techniczne Warszawa (2001г.), «Springer» (2003г.), список которых приводится в конце автореферата. - - •

Личный вклад соискателя. В работах с соавторами соискателю принадлежит ведущая роль в постановке задач, объяснении и интерпретации рассматриваемых методик и явлений. Соискатель непосредственно участвовал в проведении численного эксперимента.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения и списка используемой литературы, содержащего 280 наименований. Диссертация содержит 347 страниц текста, включая 9 таблиц и 176 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается анализ современного состояния исследуемых вопросов по теме диссертации, излагается содержание работы по параграфам и главам и приводится краткий исторический обзор, посвященный математическому моделированию в задачах статики сопряжения пластинчато-оболочечных конструкций, статики и динамики многослойных неспаянных пластин с учетом различного типа нелинейностей и параметрическим стохастическим колебаниям гибких пластин на прямоугольном плане.

Основополагающая работа по формированию математических моделей оболочек и пластин и их сочленению принадлежит ученым: С.А. Абарцумяну, A.A. Аголовяну, H.A. Алфутову, А.Н. Андрееву, В.Г. Баженову, И. Баушинге-ру, Я. Бернулли, А.Б. Богдановичу, В.В. Болотину, И.Г. Бубнову, А.Т. Ва-

сильеву, A.C. Вольмиру, И.И. Воровичу, К.З. Галимову, М.С. Танеевой, Э.И. Григолюку, Я.М. Григоренко, В.Н. Гузь, С. Жермен,Т. Карману, Б.Я. Кантору, В.Г. Карнаухову, Г.Р.Кирхгофу, Б.П.Э. Клайперону, Р.Р.А. Клебшу, Ю.Г. Коноплеву, М.С. Корнишину, В.И. Королеву, А.Л. Коши, В.А. Крысько, Н.Д. Кузнецову, Ж. Л. Лагранжу, Г. Ламе, У. Лепику, Н.Ф. Морозову, Х.М. Муштари, Л. М. А. К. Навье, Ю.В. Немировскому, Ю.Н. Новичкову, В.В. Новожилову, И.Ф. Образцову, И.Г. Овчинникову, В.Н. Паймушину, Б.Л. Пелеху, В.В. Петрову, В.В. Пикулю, В.Г. Пискунову, Б.Е. Победри, И.Н. Преображенскому, А.П. Прусакову, А.О. Рассказову, Э. Рейснеру, Д.У . Релейго, B.C. Саркисяну, A.B. Саченкову, А.Ж. К. Б. де Сен-Венану, Ю.Э. Синицкому, H.H. Столярову, Э.Г. Терегулову, С.П. Тимошенко, П.Е. Тов-стику, А. Фёпплю, Ю.В. Чеботаревскому, К.Ф. Черных, Л. Эйлеру, Ф.Энгессеру и другим-:

Создание единой теории, позволяющей строить математические модели сочлененных пространственных конструкций, является важной задачей механики твердого деформируемого тела. Данную проблему возможно решить в рамках построения комбинированных математических моделей теории упругости и пластичности, теории стержней Клебша, В.В. Власова, теории пластин и оболочек Кирхгофа - Лява либо типа Тимошенко. Основные результаты по решению контактных задач теории оболочек, пластин и стержней принадлежат

B.М. Александрову, Ю. П. Артюхину, Э.И. Григолюку, B.C. Гудрамовичу, Б.Я. Кантору, В.И. Моссаковскому, В.Н. Паймушину, Б.Л. Пелеху, Ю.Я. Пет-рушенко, B.C. Толкачеву, Я.Т. Савуле.

Выдающуюся роль в обосновании корректности математических моделей оболочек сыграли фундаментальные работы отечественных ученых: И.И. Воро-вича, O.A. Ладыжинской, Н.Ф. Морозова, С.Г. Михлина, С.М. Никольского,

C.Л. Соболева. Н.Ф. Морозова, Л. К. Срубщика и других.

Гибкие пластинки, подверженные интенсивному периодическому воздействию, представляют собой сложную динамическую систему, в которой в зависимости от изменения параметров воздействия реализуются принципиально различные режимы колебаний. Процесс колебаний может сопровождаться большим разнообразием физических явлений, приводящих к режиму изменения пространственно-временного состояния: стоячим либо бегущим волнам, появлению потери устойчивости по симметричным и несимметричным формам и ДР-

Большой прогресс в концепции временного динамического хаоса достигнут в таких современных отраслях знаний, как физика плазмы, гидромеханика, электроника и радиофизика, теория управления. В обзоре Gammaitioni отмечается, что с 1996 года публикации, посвященные данной проблеме, из года в год резко растут по экспоненте, что, на наш взгляд, доказывает огромный интерес ученых мира к данной проблеме. В нелинейных задачах теории пластин интерес к решению данной проблемы относительно недавно начал проявляться. Здесь, прежде всего, следует отметить цикл работ У. Лепика.

В заключительной части обзора дается анализ известных в настоящее время математических моделей возникновения турбулентности.

В первой главе разработана единая вариационная методика, на базе метода множителей Лагранжа, построены однотипные и комбинированные математические модели пространственных пластинчато-оболочечных конструкций, включая вывод кинематических условий сопряжения для пластин, описываемых в рамках неодинаковых гипотез.

Далее построены функционалы, определяющие потенциальную энергию двух контактирующих пространственных тел, описываемых в рамках трехмерной теории упругости, в криволинейной и декартовой системах координат, причем, возможно рассматривать задачи для деформируемых тел, каждое из которых описывается своей, в общем, криволинейной системой координат. Кроме того, для декартовой системы координат получены выражения для потенциальной энергии двух контактирующих пространственных тел, для которых выражения связи между деформациями и перемещениями приняты в самом общем виде, учитывающем геометрическую нелинейность по В.В. Новожилову.

Рассмотрена контактная задача для конструкции, состоящей из двух пересекающихся под прямым углом и контактирующих по поверхности £2 = {(*,,у,,г,)|(х, ,>>,)£ (0,а)х (6,-/г,/2,

6, +/г,/2, г, =-/г,/2} прямоугольных пластин (рис. 1), одна из которых занимает область - У1 =(0,а)х(0,Ь)х (-й,/2, /г,/2), а вторая - область У2 = (0,а)х х(6, - /г,/2,6, + /г,/2) х (— /г,/2, — с,), описываемых в рамках однородных гипотез Кирхгофа и типа Тимошенко. Заметим, что исходно, в трехмерном случае рассматриваются условия идеального контакта. Построены функционалы, определяющие потенциальную энергию рассматриваемой конструкции, и на их основе найдены интегральные кинематические условия сопряжения с учетом ширины зоны контакта. Доказано, что в пределе при вырождении зоны контакта в линию найденные интегральные условия вырождаются в известные классические кинематические условия.

В частности, потенциальная энергия пластинчатой конструкции, элементы которой описываются в рамках гипотез Кирхгофа для ортотропного материала, имеет вид:

ь )4 ь

О О Аг - 0 0

Рис. 1

-"'=_2 »-с,.

^ 2

I | I +Р±г)У +Р}2)1¥

О -с, \

I Н2

йу^ й г, +

где

' 2

(О

дУ\

дх,

дУг

и{,'\у(0'\ Р/, Р[, Р3', (¡=1,2)_ перемещения в срединной поверхности и заданные компоненты вектора напряжений первой и второй пластины соответственно; Ат, Л(2)- потенциальная энергия деформации первой и второй пластины соответственно, с учетом геометрической нелинейности. Напряжения т ^, сг'2) предполагаются выраженными через деформации в соответствии с законом Гука, а т[2} найдем из дифференциального трехмерного уравнения равновесия

VI

-С) ™

дг\

дгхду\

Теорема. Функционал 13 достигает своего стационарного значения на перемещениях, которые удовлетворяют уравнениям равновесия, кинематическим (арпо/ч заданным) и статическим граничным условиям, выраженным через перемещения, а также условиям сопряжения на полосе (0,б)х следующего вида:

-м

уо —г.

дл\>

0)

"И / , \

- Уо + (.л, - 6, ]

и "1 V

т

9ух

сЬс1 =0,

(2)

ГсРь.-мию+й^+ь.-м

(4)

А,=0, (5)

где С¡?*, - упругие постоянные. Подчеркнем, что в уравнения равновесия для первой пластины вошли полосовые и линейчатые дополнительные нагрузки, характеризующие статические условия контактного взаимодействия.

Переходя в (6) к пределу по А, —> 0, получим «классический вариант» условий сопряжения пластин по линии на срединной поверхности первой пластины.

Далее рассмотрена задача о пространственном взаимодействии двух пластин в рамках комбинированных моделей: одна из пластин описывается в рамках трехмерной теории упругости, а другая - в рамках гипотез Кирхгофа или Тимошенко.

Получены функционалы, определяющие потенциальную энергию рассматриваемой конструкции в рамках указанных комбинированных моделей, и на их основе найдены: уравнения равновесия, интегральные кинематические условия сопряжения с учетом ширины зоны контакта и «классический» вариант условий сопряжения без учета ширины зоны контакта.

Построен функционал, определяющий потенциальную энергию пространственной конструкции, элементы которой — прямоугольные пластины -описываются в рамках различных гипотез, а именно, пластина, занимающая область У, - в рамках гипотез типа Тимошенко, а пластина, занимающая область У2 - в рамках гипотез Кирхгофа.

дгу

(6)

Без потери общности интегральные кинематические условия сопряжения указанных пластин получены в рамках геометрически линейной теории и имеют вид:

V 2

(2)

дУ\

2

с1х,= О,

V.

1-й

+»«21 +(*.-£.)

<?н>{ дт.

Р)

<Ь, = О,

V"2 1

№

П7<2»

г? и*

й'х. = О,

2

1 2

"2\

2

к1

(7)

(8)

(9)

(10)

где «М»,

№

(¡=1.2) - перемещения срединных поверхностей пластин в на-

правлении координат; щ щ '-углы поворота нормали к срединнои поверхности первой пластины.

С помощью разработанной автором методики «предельного перехода» получен классический вариант условий (7) — (10) без учета ширины зоны контакта.

Во второй главе исследуются статические и динамические задачи теории многослойных неспаянных пластин. Для построения теории многослойных неспаянных пластин исследуются методы типа Канторовича-Власова. Разработаны алгоритмы'8 модификаций метода Канторовича-Власова (1-й — непосредственно метод Канторовича-Власова (МКВ)); 2-й - метод Вайндинера (МВ); 3-й - метод вариационных итераций (МВИ); 4-й - метод Аграновского-Баглая-Смирнова (МАБС); 5-й - комбинированный метод (МК°); 6-й - метод Канторовича-Власова с невязкой (МКВ + невязка); 7-й - метод Вайндинера с невязкой (МВ + невязка); 8-й - метод Вайндинера с использованием метода вариационных итераций (МВ + МВИ).

Дается анализ каждого из этих методов, показаны их недостатки и преимущества, исследуется точность этих методов на примере решения квадратных защемленных и шарнирно-опертых по контуру пластин под действием равномерно распределенной и локальной нагрузок. Дается сопоставление решения этих задач указанными методами с точным решением и решением методом Бубнова в высших приближениях. Некоторые из указанных результатов приведены в табл. 1, для жестко защемленной квадратной пластинки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (с/ = 50).

№ п/п Название метода Прогиб в центре м'(0.5,0.5) мч Му

Простая точность Двойная точность Двойная точность

15 узлов 15 узлов 30 узлов

1 МКВ 0,0645 0,06444 1,2538 1,2447

2 МВИ 0,0648 0,06483 1,1541 1,1541

3 МВ 0,0674 0,06743 1,1943 1,1943

4 МВ + МВИ 0,0635 0,06684 1,1682 1,1682

5 МАБС 0,0648 0,06483 1,1546 1,1546

6 МВ + невязка 0,0673 0,06720 1,2012 1,2012

7 МК° 0,0645 0,06446 1,2538 1,2447

8 МКВ + невязка 0,0673 0,06744 1,1977 1,1977

9 Точное решение 0,0631

10 Метод Бубнова 0,0641

Анализ методов и численных результатов показал, что предпочтение следует отдать методу МК°, но увеличение системы дифференциальных уравнений и появление еще одной итерационной процедуры дает возможность реализовать для решения наиболее сложных задач метод вариационных итераций (МВИ).

Такими сложными задачами являются задачи об одностороннем механическом взаимодействии между двумя прямоугольными в плане пластинками. Предполагается, что контактное давление зависит от системы координат, слои, как правило, проскальзывают с трением или свободно. Кроме того, контактное давление зависит от вида несовершенного одностороннего контакта. Функция контактного давления между слоями исключена из числа неизвестных.

Запишем исходную систему дифференциальных уравнений контактирующих пластин в форме, предложенной Б. Я. Кантором:

Л\™\(х>У) = Ч\(.х>У)~с1кЧ/, А™2(х>У) = <12(х>У) + ЧкУ/> (Л)

где м^х,)/) - вектор функции; ql(x,у) - вектор внешней нагрузки; 1 - номер пластинки, отсчитываемой в положительном направлении нормали. Контактное

давление, пропорциональное трансверсальному обжатию и-, - А, - и>2 в зоне

£

контакта пластин: (]^х,у) = к (и', — и',), а функцию запишем в виде:

И

у/ = [1 + - А, - и>2)] 2, А/ - зазор между пластинками.

Систему (11) следует рассматривать в совокупности с краевыми условиями. В зависимости от'вида операторов А, (/=1,2) возможно рассмотрение задач различного типа: конструктивно-нелинейных, конструктивно и физически нелинейных и других типов. Для физически нелинейных задач операторы А, (/ = 1,2) имеют вид:

A,w,{*,y) =

дх2

в„

э2>

дх2

г+в„

+ 2-

дхду

d2w,

а 2

ду

{В\1,,~В10,()

ду2 Э\ дх ду

Ви

d2w,

+ В„

а2 \

О W.

ЮI -з 2 г "11.1 а 2

ч дх ду

+

где

Bmnj =

-41,1

jyi+! 0,1 £00,/

^01,/

Я"~ mL 1 + (-!)" v,

dz (и = 0.1 ;тя = г = 1,2),

где z = а,(х, у), z- Ь,(х, у), (х, yJeQ - уравнения внешних поверхностей пластин, что позволяет при расчетах учитывать переменность толщины, а также рассматривать пластинки, подвергаемые коррозионному износу с внешней стороны. При получении уравнений (12) использовались идеи метода переменных параметров упругости (МППУ) Биргера.

Уравнения (11) с соответствующими краевыми условиями решаются (МВИ). При фиксированной зоне контакта строятся вложенная одна в другую процедуры (МВИ) и (МППУ) с последующим уточнением зоны контакта методом простой итерации, и процедура решения повторяется, т. е. здесь имеются три итерационные процедуры, вложенные одна в другую. Обыкновенные дифференциальные уравнения сводятся к алгебраическим методом конечных разностей, а последняя решается методом Гаусса.

В третьем параграфе второй главы дается развитие коллокационных методов на основе 8 вариантов метода типа Канторовича-Власова. Построены методы решетчатой коллокации, т.е. дается дальнейшее развитие подходов, предложенных В.В. Рогалевичем, которые позволяют рассматривать широкий класс задач теории многослойных неспаянных пластин и оболочек с граничными условиями, меняющимися вдоль сторон контура, сложного очертания, в том числе и при наличии вырезов.

Четвертый параграф посвящен доказательству сходимости итерационных алгоритмов решения контактных задач для теории неспаянных пластин на базе гипотез Кирхгофа.

Рассмотрим пространственную пластинчатую конструкцию, состоящую из контактирующих пластин, описываемых гипотезами Кирхгофа, то есть система (11) с учетом (12) записывается в виде:

Е Е

Ai[yvl{x,y)) + kTw[y/{x,y) = qx+kT{w1+hl) у/(х, у), h h

Е Е

A2{^2{x,y)) + k—w2^{x,y) = q2{\-y/{x,y)) + k—{wl -h^y/^y), (13)

с граничными условиями вида:

('=1«2), (н)

функция, определяющая зону контакта О пластин:

I I. Ь.у)еО*.

где Я|(х, у), я2(х, у) - функции внешних нафузок на первую и вторую контактирующую пластинку, операторы А,(VI',) имеют вид (12); V2- бигармонический оператор; || • ||Л - норма в нормированном пространстве А (•, -)в - скалярное произведение в гильбертовом пространстве В. Обозначение функциональных пространств соответствует [I]1.

Для решения задачи (13), (14) используем следующий итерационный алгоритм:

Л,(иГ'Ч*^)) + кЕ и><"+'У(х,.у) = д,+к + Л, М х,у), И и

А2(*["+]\х,у)) + кЕ-У(*,.у) = д2(\ - Их,у)) + к ЕЫ\п) -(15) п И

(я+1,| „<*+.>, ¿^2 | 0 (16)

Имеет место

Теорема 1. Пусть О!, (1 = 1,2) - ограниченные области, границы которых дО.-, удовлетворяют условиям теорем вложения С.Л. Соболева, П - измеримая область, у) с Ь3(Г2|) и, кроме того, существуют вещественные постоянные с, > О, О,- > 0,такие, что

„и . / \ ц2 /„ „ д2ы, д2-и>, ч / д2-и>,

А|д(^)1к(а-) * К, V, ду1, ),.!(П2) + {в,01

д\ d2w, ч

tDIU „ 2 ' -i 2

Oy Oy

(в + В )8lw' d2w-oxoy dxoy

Тогда:

2).Существуют функции »''(х,^) еЖ^П,), 1 = 1,2, являющиеся решением задачи (13), (14) и при этом: ИтЩ"" - и>'|| , = 0.

Приводится решение двухслойных неспаянных пластин на базе гипотез Кирхгофа для каждой-пластинки пакета алгоритмами, описанными в предыдущих параграфах настоящей главы: методом вариационных итераций и методом конечных разностей.

[1]' Ладыженская O.A., Уралыгева И.Н. Линейные и кмашлипспмыс jpamicium -шшптическою тина - 2-е изд -M.: Наука. 1973.-496 с.

Рис.2

•) » Рис.3

Рассмотрены задачи статики с различными краевыми условиями, различными нелинейностями (конструктивной, физической нелинейностью, разно-модульными, переменной толщины).

Приведем в виде примеров (рис.2) результаты расчета двухслойных неспаянных пластин (МВИ) для защемленных А и шарнирно-опертых Б по конту-

ру пластинок. Здесь приведены четыре задачи для каждого типа краевых условий (римские цифры), арабскими цифрами с буквами Н (нелинейная физически) и Л (линейная физически) обозначены решения, полученные с учетом различного рода нелинейностей. Для физически нелинейных задач диаграмма сг ,= а 5 [1 - ехр(- е ,/е ^)] - чистого алюминия: ^ = 10, зазор между пластинками Я ,= /!,//! = 0.02.

Для шарнирно - опертых по контуру двухслойных упругих (конструктивная нелинейность) пластинок при действии равномерно распределенной нагрузки контактное давление приведено на рис.3 (<7 = 5, /г, =0.01). В этом же параграфе изучены двухслойные разномодульные неспаянные пластинки.

Шестой параграф второй главы посвящен исследованию динамических контактных задач теории двухслойных неспаянных пластин, выполненных из упругого материала.

Для многослойных неспаянных пластин вводится новая классификация динамических систем:

1. Диссипативные системы, когда каждый слой пластинки имеет свою математическую модель трения (линейное, нелинейное, гистерическое трение и ударное демпфирование) или общую.

2. Консервативные системы (отсутствие трения в каждом элементе пакета).

3. Диссипативно-консервативные (когда часть пакета обладает своими свойствами трения, а в части пакета трение отсутствует).

Для указанных математических моделей построена общая механическая модель теории неспаянных двухслойных пластин, учитывающая различные нелинейности, включая геометрическую. Разработаны итерационные алгоритмы, понижающие порядок исходной системы дифференциальных уравнений.

В данном параграфе рассматривается широкий класс динамических контактных задач теории двухслойных неспаянных пластин для различных краевых условий, величины зазора между пластинками, величины амплитуды вынуждающей поперечной нагрузки и ее частоты. При колебании величина контактного давления, как по площади, так и по величине существенно меняется, что приводит к серьезному изменению характера прогиба как верхней, так и нижней пластинки, причем для консервативных систем наблюдается явление перемежаемости, т. е. интервалы времени, когда колебания носят гармонический характер, и интервалы времени, когда система находится в состоянии хаоса.

В качестве примера приведены зависимости и>,[0.5;0.5;/] (¿ = 1,2), (рис. 4), эпюры прогибов и контактного давления для зазора между пластинками Я,= 0.00125 для двух моментов времени, значения которых указаны на рис. 5 и 6.

I W,(OJ;OS)

Ai = 0025

i

140

I

245

I

10S

I

210

I

280

.....Tf i jTTunrif i Tfffm

T f p •|Г"»"*"1Гг* 4 fWf

—I—

140

~I—

173

i

210

245

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Для диссипативных неСпаянных двухслойных пластин©к при действии с обеих сторон равномерно'распределенной динамической нагрузки (граничные условия - защемление по контуру) обнаружено интересное явление. Несмотря на то, что каждое из уравнений двух пластинок является линейным, общая система является сильно нелинейной (контактная динамическая задача), это дает возможность обнаружить явление мягкой бифуркации удвоения периода колебаний (бифуркации Андронова-Хопфа) и бифуркации утроения периода колебаний, которые приведены на спектре мощности, т. е. мы имеем притягивающие орбиты периода 3. Следует отметить, что для дискретных систем важный случай орбит периода 3 был рассмотрен в 1975 г. Т.-Н. Ли и Дж. Йорком, но более общая теория с другими периодами была сформулирована и доказана А.Н. Шарковским в 1964 г. Здесь важным является тот момент, что для распределенных контактных задач теории двухслойных неспаянных пластин такое явление обнаружено впервые. Приведем эти результаты ниже на рис.7, где показаны фрагмент сигнала и<0.5; 0.5;/) для верхней пластинки, фазовый портрет (и<), спектр мощности и эпюры контактного давления в три момента времени, а также указано количество точек контакта по плану.

а =8о

и<0,5;0,5)

•1 52 П 4»

в (аь)

■и « « « и и

М и и 2.0

1=51.80

1=51.81

1=51.82

N=3

N=18

N=33

Рис. 7

Изучен вопрос о параметрических колебаниях двухслойных неспаянных пластинок, как системы диссипативно-консервативной с линейным трением для одной из пластинок.

В седьмом параграфе главы 2 построены математические модели и итерационные алгоритмы решения контактных задач для неспаянных пластинок, каждый слой которой описывается гипотезами типа Тимошенко и комбинированными математическими моделями (один слой пакета описывается кинематической гипотезой Кирхгофа, а другой - типа Тимошенко). Для пакета двухслойных неспаянных пластинок, когда каждый слой описывается кинематической гипотезой типа Тимошенко, сформулирована и доказана теорема 2.

Исходная система уравнений для пластинчатой конструкции, каждый элемент которой описывается моделью типа Тимошенко, имеет вид:

к] ЕЙ 2(1 +к)

д дх кЕ

д\\>х дх

ду

ду

кЕ,

ЕК

42(1 + у2)

д Зс

(0Х

+ V

А

дГу, ду) к]ЬЕ 2(1 + 4

1-у д

2 ду

дух, ^ дуУ/

+ у

дх

д\м1 дх

+ Гг.

= 0,

(17)

Екъ

12(1 +V2)

ду

ду

- + У-

1-у д

гду ду

к] НЕ

ЦЕН "2(1 + у)

+ 2(1 + у) д (

дх\ дх кЕ

дх /

Ту

2 дх

\

дх

- + у-

¿У)

+ у

у,

+ Г.

ду

= о,

ду

+ у

Уг

-щ

» кЕ I , \

здесь ух , уг - угол поворота нормали, —^у = — |/2(г)а!г, /(г) характеризует

закон распределения сдвиговых напряжений по толщине пластинки,/(г) = /(-г). Граничные условия

=Г* I =0 П-1,2). (18)

пап, ' хЛдп, 'л'ап, 4 ' К '

Теорема 2. Пусть области О*, О, (¡=1,2) удовлетворяют условиям теорем вложения С.Л. Соболева, д, е Ь2(0,) Тогда

2).Существуют функции у*х , у*г являющиеся решением задачи

(17), (18) и прй этом:

НшМ"'-^;! ,.п.= 0, 1ипИи)*-у* О, НшМи)-/1| , =0.

и-ко» ' Ч^Ч",) „-+Л'' 7 II ИДО,) я-»и1гл У'11»'2,(П1)

В третьей главе исследуются сложные колебания и устойчивость орто-тропных гибких пластинок при действии продольных постоянных во времени нагрузок, в качестве исходных уравнений приняты известные уравнения Г.Г. Ростовцева:

Э..Л ] ~12

'д2Р

д у? дю

-г + £-

д(2 э/

. д'V

X ' ~ + 12ви ^ + 2{Вп + 2В66)^-У-2

дх4 2 ду4 6 дх2ду2

д2м дх2

дТ

ду2 д4Р

-+Р,

„ д2ч> д2Р д2м>

+ 2--------+ —?

дхдудхду ду

| д4Р

(19)

д4Р

а22Я 2 —Т + аих2 ~7 + (2а'2 + а6б)-Г2--~2

ду

ду

дх'ду

-/,(>!>; Ус)

которые обычным образом приводятся к безразмерному виду.

Для решения системы (19) необходимо присоединить начальные и граничные условия. Начальные условия:

= <р2{х,у). (20)

Приведем наиболее часто встречающиеся на практике граничные условия для края х=0

д2м> _ ЭF

—=--

Эх2 дх

1. Свободное опирание: = —- = 0. (21)

™~ = Г,= ^22 = 0 или (24)

9 Т*1

2. Скользящая заделка: —=р =---=0. (22)

дх дх

3. Край оперт на гибкие, нерастяжимые в касательной плоскости ребра:

=0 или = 0). (23)

4. Скользящая заделка края с гибкими нерастяжимыми в касательной плоскости ребрами:

дх 4 дх дх2

Распределенную систему (19) сводим к дискретной методом конечных разностей по пространственным координатам с аппроксимацией 0(к2):

ФУ + )= + ■

Ф) =£И, 1 }

4*0= ¡21* ЧЧ +2(В,2 +2В6бК^ + Х2В22Х2ум>1] ,

где Лх, ЛI, Лху, Л \у - известные разностные операторы.

Систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка путем замены переменной сводим к системе уравнений первого порядка и системе алгебраических уравнений. Задача Коши решается методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности и на каждом шаге по времени решается система линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

При постоянной во времени продольной нагрузке для диссипативной системы с линейным коэффициентом трения е = 1 получена серия бифуркаций Андронова - Хопфа, т.е. сходящаяся последовательность, которая приведена в табл. 2.

Увеличение продольной нагрузки на 2-Ю-7 приводит к изменению характера колебаний и резкому росту прогиба (для всех семи бифуркаций Андронова - Хопфа и>так ~ 1 • Ю-3), резко возрастают скорости, состояние механической системы переходит в хаотическое, когда вектора скорости движутся в разных направлениях, и, наконец, наступает явление динамической потери устой-

чивости или жесткой потери устойчивости. Прогибы пластинки достигают уже восьми толщин. Ранее образовавшиеся структуры фазовых портретов и отображения Пуанкаре гибнут, и система скачками переходит на родившийся в момент бифуркации автоколебательный режим. Время перехода системы от устойчивого состояния к неустойчивому является наибольшим. Таким образом, разработан новый динамический критерий устойчивости гибких пластинок при действии продольных нагрузок, постоянных во времени.

Таблица 2

К Рх,к wmm

г 10 9,36x1 О*4 -9,75 хЮ"4

2 12,3 9,95 хЮ"4 -9,74x10"4

3 12,95 9,97x10"" -9,69 хЮ"4

4 13,109 9,98 хЮ"* -9,36 хЮ"4

5 13,1475 9,98 хЮ"4 -8,09 хЮ"4

6 13,1556 10,04 хЮ"4 -6.03 хЮ"4

7 13,156759 10,00x10"4 -5,19x10^

»(0.3,0.5)

»(0.5,0.5) -аг-я—пг-пг-а

. ' '.*'• " ч • ;;!.

-.• л л ■

.А. . Л

" (0.5,0.5) —

-д—д—лга.

(0.5,0.5)

Сформулируем динамический критерий потери устойчивости пластинок при действии продольных нагрузок, постоянных во времени: жесткой потери устойчивости механической системы в обязательном порядке предшествует серия мягких бифуркаций Андронова-Хопфа. Этот критерий является обобщением известных критериев A.C. Вольмира и Шио-Сунг-Ротта.

Данный динамический критерий иллюстрируется на рис. 8. В табл. 2 приведена серия 7 бифуркаций Андронова- Хопфа и изменение нагрузки на 2 • Ю-7 приводит пластинку к потере устойчивости. На рис. 8 мы наблюдаем это явление для w(0.5; 0.5; t), на фазовом портрете w(w) и в отображении Пуанкаре w,0,+7i), Ft(Fl+To). Здесь построены отображения Пуанкаре для функции прогибов и функций усилий, эти оба отображения характеризуют явление хаоса.

Исследован вопрос о количестве мягких бифуркаций Андронова-Хопфа в зависимости от начальной амплитуды возмущений перед жесткой потерей устойчивости. Выявлено, что с увеличением начальной амплитуды возмущения количество мягких бифуркаций резко уменьшается и для 0.8<J<2 оно равно трем.

Четвертая глава диссертации посвящена исследованию параметрических колебаний гибких изотропных пластин, где разработаны два метода и алгоритма сведения распределенной системы к дискретной - методы конечных разностей с аппроксимацией О (А2) и 0(hA). Исследуется сходимость метода конечных разностей с 0(h2) и 0(h4) для разных типов колебаний. Дается сопоставление решения систем алгебраических уравнений методом Гаусса и методом верхней релаксации при движении во времени в зависимости от количества точек разбиения области пластинки. Сделан вывод о предпочтительном использовании МКР О (А4) и метода Гаусса . Исследуется влияние на характер параметрических колебаний начальной амплитуды возмущения и коэффициента демпфирования.

Далее исследуются симметричные диссипативные параметрические колебания гибких пластинок при воздействии только периодических продольных нагрузок Рх =P0sin®/. Исследования проведены при частоте возбуждения ¿0 = 5.72, коэффициенте демпфирования е = 1 и амплитуде начального возмущения А = 1 • Ю-4. Здесь впервые ставится проблема пространственно - временного хаоса для гибких пластинок. Вводится новое понятие - «модальные портреты» по аналогии с фазовым портретом для основной функции и ее производных по пространственным переменным w'x, w', w'^, w'^, т. e при исследовании колебаний пластинки в каждый момент времени каждая точка плоскости пластинки несет информацию о характере изгибания поверхности пластинки. Здесь, так же как и для анализа временного хаоса, предлагается траектории модальных портретов рассекать плоскостями, что позволит судить о гармонических, сложных колебаниях и о пространственном хаосе. Хаотические движения несут в себе черты как регулярности, так и стохастичности. В мо-

дальных портретах имеет место существование седловых состояний равновесия, седловых периодических движений или других более общих инвариантных седловых образований. Следует отметить, что разделение движений детерминированных динамических систем на регулярные и хаотические в условиях, когда возможны промежуточные случаи, носит условный характер. Более того, всякое хаотическое движение в той или иной мере наделено некоторой размерностью, некоторыми временными закономерностями и пространственными структурами.

Изучаются сценарии развития пространственно-временного хаоса, изменяя параметры вынуждающей продольной силы {Р0}, зафиксировав частоту вынуждающей гармонической нагрузки со = 5.72, совпадающей с собственной линейной частотой (Р0 е {0,30} для ? е [0,100]. Рассматриваются симметричные колебания, т.е. 1/4 области пластинки, учитывается ее симметрия относительно двух осей координат. Для анализа характера колебаний пластинки исследуются следующие 'характеристики: сигнал ю(х,у,1) У(х,у) е П; = у) сЬ,

отображение Пуанкаре для всего временного интервала, а также для вложенных интервалов времени, когда существуют на интервале различные колебания; зависимости (Уц^ХЮпМ,™^)) и ('м>!а(м>,),-и>:а(м>),мгх(-м)); сечение фазовых и модальных портретов через период вынуждающей периодической нагрузки, (БПФ) и спектр мощности, как для всего интервала наблюдения, так и для каждого вложенного временного интервала со своим типом движения.

Здесь вводятся новые определения, характеризующие сложные колебания: предкризис, послекризис и предхаос. Эти характеристики позволяют более глубоко проанализировать характер перехода механической системы в состояние хаоса и достоверность определения кризиса, данного ОгеЬосЦ в 1983 г.

Приведем некоторые результаты вышеописанной методики для двух значений параметра Р0= 4 и Р0= 26, которые соответствуют периодическим и хаотическим колебаниям рис. 9 и 10.

Это дает возможность получить все многообразие как симметричных, так и несимметричных решений исходных дифференциальных уравнений. Частота вынуждающей нагрузки принадлежит множеству {4.72; 6.72}.

Для несимметричных решений сценарий перехода колебаний из гармонических в хаотические тот же, что и для симметричных колебаний, однако при малых амплитудах начального возмущения колебания носят симметричный характер, но с его увеличением наступает серия несимметричных колебаний. Приведем в качестве примера основные характеристики для несимметричных колебаний для =10.25; £- = 1 (рис. 11).

Также приводится анализ появления стоячих и бегущих в пространстве, занимаемом пластинкой, волн при параметрических колебаниях. В теории колебаний гибких пластин, описываемых кинематической моделью Кирхгофа, отдельно стоячие волны в известной нам литературе не описаны.

Рх=Ро эш 5.72 и Р0=4 , £ =1

А')

и',

Псевдоотображение Пуанкаре I е[о,юо] / б [50,100]

■01 - т-

-т—-!-г-

О И 109

-г--,--

го оо 20

/ е [50,100]

М>н{\у)

\Vtiw)

•V

Л • 'Л'*

I ' I 0_2 -2

"1-1-1

сечение иу (»с)

/<=[о,]оо]

-аоо — , - у -го_оо

б [50,100]

"I е[о,Юо]"

сечение тл>х(™) Г е[50,100]

/

-го_оо_го

л о оо

] , | •1 Р_00___11

Б.П.Ф.

Спектр мощности

*=22.4

1=46.9

0 2 4 а 8 >о

106-4 106-4 10Е4 10Е7 1 10Е-в < 10Е4 -1 106 10 1«11 -1 10С»2 1ОЕ-13

к..

в г « а 9 10 12

/ е[0,100] х = У = 0.25;

"ххМ

"ххМ

Г - '---Г

Псевдоотображение Пуанкаре

10 0_00

сечение (и1)

ЮО_00

( е[0,100]

IV, (и-)

288_0_200

Б.П.Ф.

4 0£-2 ■

а 4 а а ю

Спектр мощности

'к

Ь-Гп-п—т

0 2 4 В В 10 «2

I е[о,юо]

* = у = 0.25

"вК)

И"* о»)

сечение -Мх^)

1=22.52

1=46.81

1=71.14

■200 -,-1—

-50 ОД

Рис. 10

Пятая глава посвящена применению метода Бубнова при исследовании сложных параметрических колебаний гибких пластин. Дается анализ систем со многими степенями свободы, отмечается, что исследованию таких систем уделялось относительно мало времени. Интерес к этим системам значительно возрос в последние годы,, это, прежде всего, системы обыкновенных дифференциальных уравнений гидродинамического типа; многомерные модели радиофизических систем, представляющих собой связанные осцилляторы и генераторы; цепочки осцилляторов; модельные конечномерные системы типа дискретизи-рованного по пространственным координатам уравнения Гинзбурга-Ландау.

Среди множества конечномерных и бесконечномерных, в том числе распределенных математических моделей, обладающих стохастическим поведением, на одном полюсе находится система с полутора степенями свободы, на другом — уравнение в частных производных типа уравнение Навье - Стокса. В этом интервале находится уравнение типа Кармана. Исследование этих систем наряду с получением данных по конкретной динамике призвано дать ответ на фундаментальный вопрос: существует ли граница в сложном поведении системы, до которой ее поведение целесообразно считать еще просто хаосом, а после которой это уже нечто иное - типа «истинной» или «многомодовой» турбулентности. Заметим, что в'рассматриваемом контексте «истинная» турбулентность-это собирательный образ, основанный на типичности поведения распределенных систем.

При замене уравнений в частных производных системой обыкновенных дифференциальных уравнений, для правильной интерпретации результатов численного эксперимента, следует учитывать два момента:

1. Рассматриваются усеченные системы и наступает момент, начиная с которого, динамические свойства системы стабилизируются, так что дальнейший рост числа уравнений в аппроксимации не вносит ничего нового.

2. Ситуация радикально меняется в зависимости от того, представляет ли система собой совокупность невзаимодействующих подсистем или единое целое.

Для исследования указанной выше проблемы применяется метод Бубнова. В качестве объекта исследования рассматривается изотропная пластина с коэффициентом Пуассона V = 0.3. Для этого функции и» и Т7, удовлетворяющие соответствующим граничным условиям, представлены в виде:

^ = / = 1,2,..,А^; ] = 1,2,...,^. (26)

'.У и

В результате получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений по времени и систему алгебраических уравнений:

НЕц, +Ц, д -

к у !/

-ЦВ^г^о -1 1=0 (27)

и V ч и

£[£ Л7?.«» +

иг у у у к!

гДе hyzij' ^t.vzij' h,mj> h.vzijti'hxzíj' h,vz¡jki> A.vz¡j' h,vz¡j "определенные интегралы, вычисленные по всей срединной поверхности оболочки.

Создан комплекс программ для произвольного набора функций, удовлетворяющих заданным граничным условиям.

В качестве примера приведен результат расчета гибких квадратных Я = 1 в плане пластинок, опертых на гибкие нерастяжимые в касательной плоскости ребра.

Представим (pv,W,¡ из (26) в виде произведения двух функций: <P,j (Xl > *2 ) = <Pl,j (*1 )<РЪ] (*2 ) = SÍn(¡7ZX,) sin i71 Хг,

(28)

¥,j (xux2)=yhj (*, )у2Лхг) = sm(/®c,) sin ]пхг,

каждая из которых зависит только от одного аргумента и может быть представлена в виде линейной комбинации функций, заведомо удовлетворяющих граничным условиям (23) (шарнирное опирание на гибкие несжимаемые (нерастяжимые) в касательной плоскости ребра).

Подставим (28) в (26)

w- Y,A,j(Osin(/;ra)sin(/Vzy), F = £(0sm{inx)ún(j7iy). (29)

Индексы i, j принимают все значения. Определенные интегралы в (27) вычисляются аналитически. Дифференциальную систему уравнений (27) редуцируем к нормальной системе и решаем методом Рунге-Кутта четвертого порядка, на каждом шаге интегрирования нормальной системы. Методом Гаусса решаем алгебраическую систему относительно Bvz. Начальные условия (20)

И /=о~ А | sin ях, sin TDCj , iv|( 0 = 0.

Продольная знакопеременная нагрузка: Px¡ - = Рч (1 - sin (о t). Расчеты проводились для со соответствующей собственной линейной частоте пластинки. Начальная амплитуда возмущения Ап = 1 • 10"4. В результате расчетов были построены те же характеристики, что и в предыдущей главе. Расчеты выполнялись в первом (1), (/ = _/ = ]), девятом (3), (i = j = 3), двадцать пятом (5), (/ = j = 5) и сорок девятом (7), (г = j = 7) приближениях. Для указанных приближений приведем зависимость vemax(0.5,0.5) [РДо] на рис. 12.

В области хаоса Р > 7.5 все методы дают одну и ту же картину - хаос,

что указывает на связанность исследуемой системы, другими словами, рассматриваемая система описывает «многомодовую» турбулентность, т. е. «истинную» турбулентность,в отличие от модели Лоренца, в которой самым чувствительным параметром в семействе системы является само число мод.

» - .» /

—■ -Кривая - — Кривая -......Кривая 3 5 -A r f

7 S7 / / ( 1 г -1- - -

/ • % \ . t /

J м i'

U Í Í

/

* 1 \ 1

1 . i Ч 1 i 0 1 1 1 2 1 3 , 1 4 1 5 16 1 Г 1 3 1

Рис. 12

Шестая глава посвящена вейвлет - преобразованию в теории параметрических колебаний гибких пластин. В первом, втором и третьем параграфах приводятся основы теории вейвлет - преобразования и даются его сопоставление и сравнение с анализом Фурье.

В отличие от одномерного преобразования Фурье, дающего также одномерную интерпретацию об относительном вкладе (амплитудных разных временных масштабов частот), результатом вейвлет-преобразования одномерного ряда является двумерный массив амплитуд вейвлет - преобразования - значения коэффициентов w(a, b). Распределение этих значений в пространстве (я, 6) = (временной масштаб, временная локализация) дает информацию об эволюции относительного вклада структур разного масштаба во времени и называется спектром коэффициентов вейвлет - преобразования, частотно- или масштабно - временным спектром или вейвлет - спектром.

В четвертом параграфе дается применение указанного математического аппарата для исследования квадратных в плане гибких шарнирно-опертых по контуру на гибкие в касательной плоскости (23) ребра при действии односторонних и двусторонних параметрических нагрузок Р = Рх = P0s\ncot.

Уравнения Кармана в частных производных сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений и системе алгебраических уравнений методом конечных разностей с аппроксимацией 0(h2). Алгоритм решения тот же, что в главе 3. Анализируются сценарии перехода колебаний механических систем в хаотические колебания. Приведем для примера результаты, полученные с помощью вейвлет - преобразования, Фурье - преобразования для двух случаев: гармонических колебаний (рис. 13) и хаотических колебаний (рис. 14)

для двухстороннего параметрического воздействия Рf = Р° =2.5; 19. Для каждого значения Р° = Р^ приведены на рисунке две строки. В первой строке сигнал иМдля центра пластинки, фазовый портрет, преобразование Фурье (нижняя кривая) и вейвлет - преобразование (верхняя кривая), на второй строке A(t, <») = w(a, b), проекции поверхности на плоскость (t , ео) с изолиниями (изоуровнями) и теневые картины, позволяющие посмотреть изменение амплитуды вейвлет - преобразования на разных масштабах и во времени. Анализ данных результатов дает возможность анализировать колебания пластинки во времени (изменение частот).

Рис.13

Так, все указанные характеристики для гармонических колебаний (рис. 13) показывают, что колебания совершаются на частоте возбуждения, т.е. мы наблюдаем одночастотные колебания, причем на фазовом портрете имеется трехоборотный предельный цикл. Для хаотических колебаний (рис.14) (Рх = Ру = 12; 14) характеристики вейвлет - преобразования показывают, как изменяются частоты во временном интервале, новые частоты на коротком интервале времени возникают, гибнут и вновь возникают. Данное явление выявить с помощью Фурье-преобразования невозможно (Рх = Р = 14).

Рис. 14

Итоги проведенных в диссертационной работе исследований могут

быть кратко сформулированы в виде следующих выводов.

1. На базе метода множителей Лагранжа разработана новая методика по получению условий сопряжения для контактирующих произвольным образом деформируемых тел. Для пространственных пластинчатых конструкций построены комбинированные математические модели сопряжения:

a) трехмерное тело — тело, описывающееся кинематической моделью Кирхгофа;

b) трехмерное тело — тело, описывающееся кинематической моделью Тимошенко;

c) тело, описывающееся кинематической моделью Кирхгофа — тело, описывающееся кинематической моделью Тимошенко.

рос. национальная]

БИБЛИОТЕКА [ С. Петербург I 33

ОЭ 300 акт У

2. Разработано 8 модификаций метода Канторовича - Власова, исследована их сходимость, выявлены их преимущества и недостатки, приводятся их численные сопоставления между собой, с методом Бубнова и точным решением. Предложены новые модификации метода коллокаций на основе 8 вариантов метода Кантрровича - Власова (метод решетчатой коллокации, граничной ко л локации и смешанной коллокации).

3. Предложены алгоритмы и итерационные методы расчета статических и динамических контактных задач теории неспаянных прямоугольных в плане пластин с учетом физической нелинейности, разномодульности материала, переменности толщины, учета коррозионного износа в рамках гипотез Кирхгофа, типа Тимошенко и комбинированных моделей, итерационные процедуры позволяют уменьшить порядок системы дифференциальных уравнений в 2 раза, доказана их сходимость.

4. Впервые изучены статические и динамические задачи теории неспаянных прямоугольных в плане двухслойных пластин в зависимости от типа нагрузки, диаграммы деформирования, граничных условий, величины зазора. Исследования проводились методом вариационных итераций и конечных разностей, что подтверждало достоверность получаемых результатов, и были выявлены следующие эффекты: явление синхронизации, серия бифуркаций Андронова - Хопфа, бифуркации утроения периода колебаний, в зоне контакта обнаружены сосредоточенные силы, колебания консервативных систем происходили в режиме хаоса.

5. Предложен новый динамический критерий потери устойчивости гибких пластин при действии продольных постоянных во времени нагрузок, который является обобщением критериев, предложенных A.C. Вольмиром, Шио-Сунг-Роттом.

6. Впервые поставлены и исследованы с помощью качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики параметрические колебания гибких пластин, вводится новое определение предкризиса, послекри-зиса и предхаоса, дается определение модальных портретов для анализа пространственного хаоса. Анализ колебаний изотропных пластин впервые позволил выявить сценарий перехода колебаний в состояние хаоса, и выявлены срывы режимов колебаний перехода в новую область фазового пространства, колебания по симметричным и несимметричным формам, образование стоячих волн, которые на большом промежутке времени не изменяются. Для получения достоверных результатов создано два алгоритма на базе МКР 0(h2) и 0(h4).

7. Впервые при исследовании параметрических колебаний гибких пластин решен вопрос в центральной проблеме динамического хаоса о соответствии стохастических режимов в системах с различным числом степеней свободы.

8. Для анализа параметрических колебаний гибких пластин впервые применен вейвлет - анализ, что позволило исследовать изменение частотного режима колебаний во времени.

Ряд результатов, полученных в работе, были использованы при разработке

программных комплексов для исследования стохастических колебаний в теории гибких оболочек на кафедре ВМ СГТУ, а также используются в некоторых

лекционных курсах

Основные публикации по теме диссертации: Основное содержание диссертации отражено: - в монографиях:

1. Крысько В.А., Бабенкова Т.В., Крысъко A.B. Контактные задачи теории многослойных неспаянных пластин на прямоугольном плане (монография) /Сарат. гос. техн. ун-т. Саратов, 1998. 93 с. Деп. в ВИНИТИ 15.04.98, № 1125-В 98.

2. Крысько A.B. Математические модели контактных задач теории пластин и оболочек. Саратов: СГТУ, 2000. 180 с.

-разделы в монографиях:

3. Jan Awrejcewicz, Vadim A. Krys'ko. Nonclassical Thermoelastic Problems in Nonlinear of Shells Springer - Verlag. Berlin. Heidelberg. 2003. 430 p. (Sects. 7.7 - 7.11. P. 301-347 collaboration with Anton V. Kiys'ko ).

4. Jan Awrejcewicz, Igor V. Andrianov. Plyty I powtoki w przyrodzie, mechanice i biomechanice. Warszawa. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne. 2001. 208 p. (wspolautorzy A.V. Krysko, V.A. Krysko. Plyty (powtoki), a solitony, bifyrkacje I chaos. P. 137-158).

-в статьях

5. Егурнов H.B., Кириченко В.Ф., Крысько A.B. Приложение модификаций метода Власова - Канторовича к задачам теории пластин // Температурные задачи и устойчивость пластин и оболочек: Межвуз. науч. сб./ Сарат. политехи. ин-т. Саратов, 1988. С. 79-80.

6. Кириченко В.Ф., Крысько A.B. О применении проекционных методов в задачах теории пространственных конструкций / Сарат. политехи, ин-т. Саратов,

1991. 30 с. Деп. в ВИНИТИ 7.05.91, № 2046-В91.

7. Крысько A.B., Кириченко В.Ф. Условия сопряжения для пластинчатых конструкций с учетом ширины зоны контакта // Прочность конструкций в экстремальных условиях: Межвуз. науч. сб. / Сарат. политехи, ин-т. Саратов,

1992. С. 94-98.

8. Krysko К, Kirishenko V., Krysko A. The contact task for space designs consisting from unsolded of plates of variable thickness with account of anisotropic properties of material. The third conference on dynamical systems: Theory and applications, Lodz, 1995. C. 179-182.

9. Стационарные контактные задачи теории многослойных неспаянных пластин / В.А. Крысько, В.Ф. Кириченко, Т.В. Бабенкова, A.B. Крысько II Математическое моделирование и краевые задачи: Труды седьмой Междунар. конф. Самара, 1997. Ч. 1. С. 66-68.

10.Крысько А.В. Контактные задачи для конструкций, состоящих из физически нелинейных неспаянных пластин //Труды XVII Междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Саратов, 1997. Т. 3. С. 112-118.

П.Крысько А.В., Овчинников И.Г. Современные методы расчета многослойных балок: Учеб. пособие. Саратов: СГТУ, 1997. 88 с.

12.Статические контактные задачи теории пластин на прямоугольном плане /

B.А. Крысько, В. Ф. Кириченко, А.В. Крысько, Т.В. Бабенкова II Труды XVII Междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Саратов, 1997. Т. 3.

C. 122-129.

13.Awrejcewicz J., Krysko V. A., Ktysko А. V. Period Doubling Hopf Bifurcation of Thin Flexible Isotropic Plates with an Impact Load // Proceedings of the 4-th Conference «Dynamical Systems - Theory and Applications». Lodi, 1997. P. 63-69.

14.Бабенкова T.B., Крысько А.В. Статические задачи многослойных неспаянных физически нелинейных пластин // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского (Казанское математическое общество). Казань, 1998. С. 79-81.

15.Крысько В.А., КрыСько А.В., Мицкевич С.А. Хаотические особенности в теории устойчивости гибких ортотропных пластин // Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами: Межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 1998. С. 92-98.

16.Крысько В.А., Крысько А.В., Ярошенко Т.Ю. Теория расчета оболочечных конструкций в средах, вызывающих коррозионный износ пластин // Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами: Межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 1998. С. 24-29.

11 .Awrejcewicz J., Krysko V. A., Krysko А. V. Symmetric Oscillations and Transition to Chaos in Freely Supported Flexible Plate Sinusoidally Excited // Proceedings of the 5-th conference dynamical systems: theory and applications. Lodz, 1999. P. 103-113.

18.Awrejcewicz J., Krysko V. A., Krysko A. V. Non-symmetric oscillations and transition to chaos in freely supported fexible plate sinusoidally excited // Proceedings of the 5-th Conference Dynamical Systems-Theory and Applications. Lodz, 1999, P. 95-102.

19.Крысько B.4; Крысько А.В. Проблема бифуркации и жесткой потери устойчивости нелинейной теории пластин // Механика оболочек и пластин в XXI веке: Межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 1999. С. 50-68.

Ю.Крысько А.В., Бабенкова Т.В. Диссипативно-консервативные колебания двухслойных неспаянных пластинок // Нелинейная динамика механических и биологических систем: Межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2000. С. 171 - 177.

21 .Крысько А.В., Мицкевич С.А., Чеботаревский Ю.В. Динамика цилиндрических панелей при действии продольных знакопеременных нагрузок (консервативные и диссипативные системы) // Нелинейная динамика механических и биологических систем: Межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2000. С. 119-127.

22.Крысъко В.А., Вахлаева Т.А., Крысъко А.В. Динамика и бифуркации пластинчатых систем с неоднородными вдоль сторон краевыми условиями при действии продольных знакопеременных нагрузок // Актуальные проблемы механики оболочек: Труды Междунар. конф., поев. 100-летию профессора Х.М. Муштари, 90-летию профессора К.З. Галимова и 80-летию профессора М.С. Корнишина. Казань, 2000. С. 123-125.

23.Крысъко В. А., Вахлаева Т.А., Крысъко А.В. Сложные симметричные колебания и бифуркации пластинок при действии продольных знакопеременных нагрузок // Вестник ННГУ. Серия Механика. 2000. Вып.2. С. 153-160.

24.Крысъко В.А., Вахлаева Т.А., Крысъко А.В. Диссипативные колебания гибких пластинок и сценарий перехода их к пространственно-временному хаосу при переменных продольных возмущениях // Нелинейная динамика механических и биологических систем: Межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2000. С. 8-73.

25.Awrejcewicz J., Krysko A., Krysko V. Solitons and chaos exhibited by flexible plates sinusoidally excited Nonlinear Dynamics, Chaos // Control and Their Applications to Engineering Sciences. Brasil. San-Paulo, 2000. Vol.5. P. 258-267.

26.Awrejcewicz J., Krysko V. A., Krysko A. V. Symmetric and non-symmetric oscillations and bifurcations of periodically excited plates with non-homogeneous boundary conditions // Fourth International Colloquium on Computation of Shell & Spatial Structures, 2000. Chania-Crete, Greece, CD-ROM, P. 1-9.

21 .Awrejcewicz J., Krysko A., Krysko V. Regular and chaotic behavior of flexible plates // Third International Conference on Thin - Walled Structures, Thin -Walled Structures, advances and developmets London, 2001. P. 349-356.

28.Крысъко B.A., Крысъко A.B., Бабенкова T.B. Многослойные неспаянные пластинки (стационарные и нестационарные задачи) // Прикладная механика. Киев, 2001. №6. С. 31-39.

29.Крысъко А. В., Мицкевич С.А. Исследование параметрических колебаний гибких прямоугольных пластин (метод конечных разностей с аппроксимацией по пространственным переменным / Сарат. гос. техн. ун-т. Саратов, 2001. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 04.07.01, № 1588-В 2001.

Ъй.Крысъко А.- В., Крысъко В.А., Чеботаревский Ю.В. Пространственно - временной хаос в балках, пластинках и оболочках // VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Пермь, 2001. С. 369 - 370.

31 .Крысъко А.В. Сложные колебания гибких ортотропных пластинок при действии ударных нагрузок // Труды двенадцатой межвуз. конф. Самара, 2002. С. 99-101.

32.Awrejcewicz J., Krysko V. A., Krysko А. V. Solitons exhibited by the Von Karman equations // APPLIED MECHANICS IN THE AMERICAS, Proceedings of the Seventh PAN American Congress of Applied Mechanics, РАСАМ VII, Temuco. Chile, 2002. Vol. 9. P. 653 - 659.

33.Сложные колебания двухслойных неспаянных пластинок при действии продольных знакопеременных нагрузок / А.В. Крысъко, В.А. Крысъко, О.А. Ов-

сянникова, Т.Ю. Бабенкова // Изв. вузов. Серия Строительство и архитектура. 2002. №6. С.23-30.

34.Awrejcewicz J., Krysko V., Krysko A. Spatial - Temporal Chaos and Solitons Exhibited by von Karman Model // International Journal of Bifurcation and Chaos (IJBC) in Applied Sciences and Engineering. 2002. Vol. 12. № 7. P. 1465-1513.

35.Крысько А.В. О нелинейных параметрических колебаниях гибких пологах оболочек пластин //Прикладная механика. Киев, 2003. Т. 39. №9. С. 25-37.

Крысько Антон Вадимович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ В ВИДЕ ПЛАСТИНЧАТЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Автореферат

Ответственный за выпуск к.т.н. Ярошенко Т.Ю. Корректор O.A. Панина

Лицензия ИД № 06268 от 14.11.01

Подписано в печать 08.09.03 Формат 60x84

Бум. тип. Усл. - печ. л. 2.0 Уч.-изд. л. 2.0

Тираж 100 экз. Заказ 382 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054 г. Саратов, ул Политехническая, 77

Копипринтер СГТУ, 410054 г. Саратов, ул Политехническая, 77

йооЭ-fl \5S2\

» 15 5 2 1

I

ВВЕДЕНИЕ (краткий исторический обзор по теме работы).

1.0 Методы сочленения элементов обол очечных конструкций.

2.0 Пространственные конструкции, элементы которых подчиняются гипотезам Кирхгофа-Лява, типа Тимошенко.

3. ° Комбинированные математические модели контактных задач теории пластин и оболочек.

4.° Контактные задачи для неспаянных, многослойных пластин и оболочек.

5.° Сложные колебания балок, пластин и оболочек.

6.° Вейвлет - преобразования.

ГЛАВА I. МАТЕхМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПЛАСТИН.

§ 1.1 Вариационный принцип и краевые задачи для контактных задач теории пластин и оболочек в рамках однотипных моделей.

§ 1.2 Вариационный принцип и краевые задачи для пространственных конструкций трехмерных деформируемых тел.

§ 1.3 Вариационный принцип и краевые задачи для пространственной пластинчатой конструкции на базе гипотез Кирхгофа.

§ 1.4 Вариационный принцип и краевые задачи для пространственной пластинчатой конструкции на базе гипотез Тимошенко.

§1.5 Математические модели пространственных пластинчатых конструкций в рамках трехмерной теории упругости и теории Кирхгофа.

§ 1.6 Математические модели пространственных пластинчатых конструкций в рамках трехмерной теории упругости и гипотез Тимошенко.

§ 1.7 Математические модели пространственных пластинчатых конструкций в рамках гипотез Кирхгофа и гипотез Тимошенко.

Выводы по главе.

ГЛАВА И. НЕЛИНЕЙНЫЕ КОНТАКТНЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ И

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МНОГОСЛОЙНЫХ НЕСПАЯННЫХ ПЛАСТИН.

§2.1 Методы типа Канторовича-Власова для статических задач теории пластин.

§ 2.2 Контактные статические задачи для конструкций, состоящих из физически нелинейных неспаянных пластин.

§ 2.3 Построение коллокационных методов на основе хМетодов типа Канторовича-Власова.

§ 2.4 Доказательство сходимости, итерационных алгоритмов, решения контактных задач теории неспаянных пластин на базе гипотез Кирхгофа.

§ 2.5 Численный анализ НДС статики двухслойных пластин МВИ и МКР.

§ 2.6 Динамические контактные задач теории многослойных неспаянных пластин.

§ 2.7 Математические модели и итерационные алгоритмы решения контактных задач для пространственных конструкций из неспаянных пластин в рамках гипотез типа Тимошенко и комбинированной модели.

Выводы по главе.

ГЛАВА III. СЛОЖНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ 7 ОРТОТРОПНЫХ ГИБКИХ ПЛАСТИНОК

ПРИ ДЕЙСТВИИ ПРОДОЛЬНЫХ НАГРУЗОК

ПОСТОЯННЫХ ВО ВРЕМЕНИ.

§ 3.1 Устойчивость гибких ортотропных пластинок при действии продольных нагрузок.

§ 3.2 Последовательность бифуркаций Андронова-Хопфа в гибких ортотропных пластинках при действии продольных постоянных во времени нагрузок.

§ 3.3 Жесткая потеря устойчивости гибких ортотропных пластинок.

§ 3.4 Влияние начальных условий на последовательность бифуркации Андронова - Хопфа, хаос и жесткую потерю устойчивости гибких ортотропных пластинок.

Выводы по главе.

ГЛАВА IV. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ГИБКИХ

ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН.

§4.1 Методы сведения распределенных систем к сосредоточенным

MKP-0(h2)u0(h4).

§ 4.2 Расчет параметрических колебаний пластин

МКР-0(/г2) иМКР-0(/г4).

§ 4.3 Исследование влияния на сложные колебания пластинок некоторых параметров (начальная амплитуда возмущений, коэффициент демпфирования).

§ 4.4 Симметричные диссипативные параметрические колебания гибких пластин.

§ 4.5 Несимметричные параметрические колебания гибких пластин.

§ 4.6 Образование стоячих волн при диссипативных параметрических колебаниях гибких пластинок.

Выводы по главе.

ГЛАВА V. МЕТОД БУБНОВА ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ СЛОЖНЫХ

ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ГИБКИХ ПЛАСТИНОК.

§5.1 Анализ систем со многими степенями свободы.

§ 5.2. Постановка задачи. Метод Бубнова-Галеркина.

§5.3 Численный эксперимент.

Выводы по главе.

ГЛАВА VI. ВЕЙВЛЕТ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ТЕОРИИ

ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ГИБКИХ ПЛАСТИНОК.

§ 6.1. Основы теории.

§ 6.2. Базисные функции вейвлет-преобразования.

§ 6.3. Свойства и возможности вейвлет - преобразования.

§ 6.4 Применение вейвлет - анализа к исследованию сложных параметрических колебаний гибких пластинок.

Выводы по главе.

ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ.

Вводные замечания. Запросы практики уже в течении многих веков предопределили необходимость построения математических моделей основных элементов современных конструкций: стержней, балок, пластин, оболочек и различных их сочленений. История данной проблемы восходит своими корнями к работам JI. Эйлера, Я. Бернулли, С. Жермен, Ж.Л. Лагранжа, Л. М. А. К. Навье, А.Л. Коши, Г. Ламе, А.Ж К. Б. де Сен-Венана, Б.П.Э. Клай-перона, Г.Р. Кирхгофа, Р.Р.А. Клебша, И. Баушингера, Д.У. Релейя, Ф.Энгессера, А. Фёппля, И.Г. Бубнова, С.П. Тимошенко, Т. Кармана, В.В. Новожилова, Х.М. Муштари, К.З. Галимова, Н.А. Алфутова, С.А. Абарцумяна, А.Н. Андреева, В.Г. Баженова, А.Б. Богдановича, В.В. Болотина, А.С. Вольми-ра, А.Т. Василенко, В.В.Васильева, И.И. Воровича, Э.И. Григолюка, М.С. Танеевой, Я.М. Григоренко, Б.Я. Кантора, В.Г. Карнаухова, Ю.Г. Коноплева, М.С. Корнишина, В.И. Королева, В.А. Крысько, Н.Д. Кузнецова, Н.Ф. Морозова, Ю.В. Немировского, Ю.Н. Новичкова, И.Ф.Образцова, В.Н. Паймуши-на, Б.Л. Пелеха, В.В. Петрова, В.В. Пикуля, В.Г. Пискунова, А.П. Прусакова, Б.Е. Победри, И.Н. Преображенского, А.О. Рассказова, А.В. Саченкова, Э.Г. Терегулова, П.Е. Товстика, К. Ф. Черныха, Ю.В. Чеботаревского, Э. Рейс-нера и др.

Современные конструкции, применяемые в различных областях техники, состоят из сочленения следующих элементов: стержней, пластинок, оболочек и массивных тел. Создание единой теории, позволяющей строить математические модели сочлененных пространственных конструкций, является актуальной задачей механики твердого деформируемого тела. Данную проблему возможно решить в рамках построения комбинированных математических моделей теории упругости и пластичности, используя для описания напряженно-деформированного состояния (НДС) в одной части тела уравнения теории упругости или пластичности, а в других частях - уравнения стержней, подчиняющихся теории Клебша, В.З.Власова, уравнения теории пластин и оболочек

Кирхгофа-Лява либо типа Тимошенко. Построенные математические модели позволят записать разрешающие уравнения и условия сопряжения (контакта). Это требует создания новых вариационных принципов.

Как отмечается в работе Э.И.Григолюка и В.М.Толкачева [53], "контактные задачи теории пластин и оболочек возникают при рассмотрении взаимодействия пластин и оболочек с жесткими и упругими телами (штампами), ребрами жесткости, при взаимном контакте пластин и оболочек". С позиции контактных задач могут рассматриваться слоистые пластины и оболочки, если вводить реакции взаимодействия между слоями и определять их из условий стыковки слоев. Механика контактного взаимодействия упругих и пластических тел представляет собой важную и интенсивно развивающуюся область современной механики деформируемого твердого тела.

Соответствующая контактная проблема для тонкостенных элементов (стержней, пластин, оболочек) ставилась и решалась, в основном, в последние три десятилетия. Полученные результаты в этом направлении систематизировали в монографиях В.М.Александрова [6] (1983 г.), Э.И.Григолюка и В.М.Толкачева [53] (1980г.), В.И.Моссаковского и В.С.Гундрамовича [131] (1978 г.), Б.Д. Пелеха и М.А.Сухорольского [158] (1980 г.), Б.Л.Пелеха, А.В.Максимуха и И.М.Коровачуха [157] (1988 г.), БЛ.Кантора [73] (1990г.), А.В. Крысько [86] (2000 г.).

В настоящее время современные конструкции в ракетной, космической, авиационной технике, ядерной энергетике и др. отраслях промышленности в процессе эксплуатации и изготовления подвергаются воздействию концентрированных потоков энергии, которые вызывают сложные колебания конструкций, изучение которых следует проводить с позиций качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики, т.к. по сути дела приходится изучать проблему нелинейных систем. Компьютерные исследования в динамике или просто компьютерную динамику сейчас можно выделить в отдельную область науки, которая устанавливает общие закономерности движения реальных физических систем при помощи ряда численных методов и алгоритмов. Систематическое развитие компьютерных исследований, открывающее новые области компьютерной динамики, только начинается и, как указал С. Смейл, является одной из фундаментальных задач этого столетия. Сложные задачи перед исследователями стоят как в изучении хаоса механических систем, его структуры, сценариев развития, так и получения новых периодических решений, их бифуркаций и пр. На указанных проблемах мы остановимся в историческом обзоре несколько подробнее, а в диссертации попытаемся заполнить некоторые проблемы в изучении указанной проблемы.

7°. Методы сочленения элементов оболочечных конструкций. Тонкостенные оболочечные конструкции, состоящие из нескольких слоев и подкрепленные в различных направлениях ребрами, как правило, имеют сложную форму, представляя собой набор различных оболочек - цилиндрических, сферических, конических и более сложной конфигурации: с утолщениями, сварными швами и каналами охлаждения. Очень часто такие элементы выполнены из различных материалов (изотропные, анизотропные), что, естественно, накладывает свои ограничения на те или иные теории. В общем случае следует иметь законченную математическую теорию сочленения элементов конструкций, каждый элемент которой .описывается теми или иными кинематическими гипотезами (математическими моделями). В настоящее время общей единой теории нет.

Интенсивное развитие космической и авиационной техники привело к созданию ряда автоматизированных систем расчета осесимметричных оболочечных конструкций [78]. Оболочечные конструкции соединяются непосредственно между собой или с помощью шпангоутов. Использовалась теория гибких оболочек, кинематическая модель Кирхгофа-Лява, физическая нелинейность учитывалась по деформационной теории пластичности. Для шпангоутов использовалась теория тонкостенных стержней В.З.Власова [40]. Уравнения оболочек, колец получены в проекциях на оси, связанные с недеформированной системой координат кольца. Это позволило достаточно просто сформулировать задачу прочности' для оболочечных конструкций, состоящих из набора оболочек различного типа, которые состыкованы друг к другу по параллельным кругам непосредственно или с помощью упругих шпангоутов. Дискретизация -МКР, линеаризованная задача решалась методом ортогональной прогонки.

Получил распространение подход сопряжения оболочечных конструкций, основанный на схеме, когда подкрепляющие кольца рассматриваются как короткие оболочки вращения переменной толщины [52] (1990 г.).

Практический расчет сложных конструкций, составленных из разнородных элементов: стержней, пластин, оболочек, трехмерных тел - встречает большие трудности. Преодоление этих трудностей связано с идеей расчленения исходной задачи на ряд более простых. Первоначальный, традиционный подход состоял в' идеализации, огрублении связей между элементами. Расчет системы сводился к последовательному расчету элементов без учета их взаимного влияния. В настоящее время решение идет по двум направлениям: первый - метод суперэлементов (МСЭ), второй - итерационные методы решения контактных задач теории оболочек. Первый подход (МСЭ) развит в работах ряда авторов [44, 157, 217]. Второй подход - алгоритмы, реализующие итерационные методы (ИМ), как правило, значительно более просты. К их недостаткам относятся трудности исследования сходимости и, как следствие, - затраты машинного времени. Этот подход развивается в работах [2, 175].

Преимущества вариационных методов очевидны как с теоретической, так и с практической точки зрения. На основе вариационных методов можно конструировать приближенные решения в классе кусочно-гладких функций, определенных в подобластях конечных размеров, в так называемых конечных элементах. Условия стыковки соседних конечных элементов требуют выполнения главных граничных условий вариационной задачи, которые зависят от порядка производных в функционалах. Чем ниже порядок производных искомых функций в исходных функционалах, тем проще построить локальные аппроксимации для КЭ, удовлетворяющие условиям стыковки. В настоящее время МКЭ является основным методом расчета разнообразных конструкций и сооружений. Созданные универсальные вычислительные комплексы [281] позволяют решать многие выдвинутые практикой задачи.

Однако существует большое число нерешенных проблем. Еще в 1970 году в проблемной статье [258] была отмечена проблема МКЭ в расчетах оболочек. Это, прежде всего, несогласованность КЭ [45, 64, 134] (нарушение неразрывности первой производной от прогиба). В вариационных постановках для решения задач деформирования оболочек классическая теория оказалась малопригодной. Она была создана для сведения трехмерной задачи к двухмерной, но это достигалось ценой повышения порядка производной в искомых функционалах. Следует отметить, что функционалы теории упругости содержат лишь первые производные от искомых функций. Самой распространенной теорией оболочек, функционалы которой содержат только первые производные от перемещений, является теория оболочек и пластин типа Тимошенко (или Рейс-нера). В работе Р.Б. Рикардса [162] (1988 г.) на базе теории Тимошенко построены КЭ оболочек вращения и оболочек произвольной формы, лишенные недостатков классической теории.

Анализ имеющейся литературы дает возможность сделать вывод, что в настоящее время не построены КЭ для сочлененных оболочечных конструкций» когда отдельные элементы описываются различными математическими моделями (классическая теория, теория типа Тимошенко, трехмерная теория, теория стержней Кирхгофа-Клебша и др.). Построение такой теории, возможно только исходя из вариационных принципов. Вариационные формулировки создают предпосылки для развития прямых аналитических и численных методов. Созрела необходимость построения комбинированных, математических моделей контактных задач теории пластин и оболочек.

2°. Пространственные конструкции, элементы которых подчиняются гипотезам Кирхгофа - Ляеа, типа Тимошенко. Как было отмечено в предыдущем пункте, численный анализ позволил рассмотреть сложные задачи сопряжения оболочечных конструкций. В литературе имеются решения в рамках математических моделей теории оболочек, использующих гипотезы Кирхгофа-Лява.

Особенно интенсивно сочлененные конструкции стали рассчитываться за последние годы, в основном, рассмотрены соединения замкнутых цилиндрических оболочек с круглыми пластинками (работа Н.И. Фоминой [174]), соединение двух цилиндрических оболочек под прямым углом, (А.Л.Козак, Донг Хну Кун, Нгуен Ши Чан [80]), с конусом [67], с многослойным днищем [172]. В основном, вышеназванные конструкции рассчитывались методом конечных элементов.

В работе [239] Pierre Ladeveze дается обзор современного состояния вычислительной строительной механики и перспективы ее дальнейшего развития. Проанализировано более 180 публикаций в западных журналах. Выделяется, как перспективное, создание композитных сочлененных структур. Указываются преимущества, и недостатки. Группа исследователей из Казанского государственного университета создала комплекс программ по расчету тонкостенных конструкций как трехмерных тел [51] (1989 г.). Анализ НДС проводится совокупностью экспериментальных методов поляризационно -оптический, электротензометрия, голографическая интерферометрия) и МКЭ. Использовался искривленный конечный элемент оболочки, построенный на основе трехмерных уравнений теории упругости. Данный элемент, характеризующийся введением специальных кинематических гипотез типа Тимошенко, позволяет получить достоверные результаты, как для тонких оболочек, так и для конструкций средней толщины.

Сопряжению цилиндрических оболочек под прямым углом, обладающих малой сдвиговой жесткостью, посвящена работа И.Г.Стрельченко [170]. Отмечается, что при рассмотрении сопрягаемых оболочек в рамках кинематической модели Кирхгофа-Лява требуется восемь условий статического сопряжения, а для модели типа Тимошенко число условий статического сопряжения увеличивается.

В заключение данного параграфа следует выделить целый цикл работ В.Н.Паймушина и его учеников по созданию теории сопряжения элементов конструкций. Основополагающими работами здесь являются [141, 142]. Согласно этим работам тело разделяется на N элементов, через S^nk) обозначены поверхности сопряжения п- го элемента с k-ым элементом и, в соответствии с контактной формулировкой задачи, на Sfa) = S^ введены в рассмотрение неизвестные реактивные усилия взаимодействия . Используется третий закон Ньютона: q^nk) = - . Это приводит к формулировке удвоенного числа статических граничных условий, записанных для каждого элемента. Получен обобщенный вариационный принцип Лагранжа [3,156, 171].

Ряд работ В.Н.Паймушина, Ю.Я.Петрушенко [140, 143, 152] посвящен обобщению идей [141, 142] на более сложные задачи; применению обобщенного вариационного принципа Рейснера к построению линеаризованных задач механики; слоистых оболочек сложной геометрии; устойчивости и динамики составных оболочек; многослойных оболочек со слоями переменной толщины.

Анализ литературы показывает, что практически создана теория сочленения элементов конструкций, описываемых классической теорией пластин и оболочек. Интенсивно развивается теория сочленения оболочек, описываемых моделью типа Тимошенко (Рейснера). Но до настоящего времени она еще далека от совершенства.

3°. Комбинированные математические модели контактных задач теории пластин и оболочек. При исследовании НДС составных конструкций, включающих в себя тонкостенные (изотропные, трансверсально-изотропные, анизотропные) и массивные элементы, а также узлы их сопряжения, возникает необходимость в применении комбинированных математических моделей. Литературы данного направления существенно меньше, чем по направлениям, сформулированным в 2° данного обзора. Вопросам построения и применения таких моделей посвящен ряд работ [143, 269]. В этих работах для описания НДС в одних частях деформированного тела предлагается привлекать уравнение теории упругости, а в других - уравнения классической теории оболочек. В трех работах Я.Г.Савула [60, 164, 165] построены комбинированные математические модели трехмерной теории упругости и теории оболочек типа Тимошенко. Рассмотрены вариационные постановки краевых задач комбинированной модели. Приводится численный пример расчета рамы МКЭ. Построены простейшие КЭ сопряжений.

Развитию конечного элемента Варани (сопряжение тел, описываемых классической теорией оболочек и трехмерной теорией упругости) посвящена работа: Акимкин С.А. , Никишнов Г.П. Сопряжение трехмерных элементов и элементов тонкостенной оболочки для расчета напряженного состояния конструкции сложной формы //Деформация и разрушение материалов и элементов конструкций ядерных энергетических установок М, 1986. СЗ-9.

Анализ имеющейся литературы показывает, что данная проблема еще только начинает развиваться и требует своего развития.

4Контактные задачи для неспаянных, многослойных пластин и оболочек. Оценка прочности элементов конструкций, плотности соединений, повреждаемости их внешних слоев требует постановки и решения задач одностороннего механического взаимодействия тонких оболочек с абсолютно жесткими телами (штампами), упругими основаниями и оболочками. В отличие от двухстороннего взаимодействия, когда контактирующие тела составляют одно целое, достигается, например, сваркой, при одностороннем взаимодействии реакции связей сохраняют знак или равны нулю. Далее под контактом понимаем только одностороннее взаимодействие, хотя в литературе этот термин часто применяют при решении задач, определения напряженно-деформированного состояния (НДС) лишь мысленно отделяемых друг от друга деталей (оболочки, ребер и т. п.). При одностороннем контакте перемещения ребер и т. п.). При одностороннем контакте перемещения точек соприкасающихся тел подчинены неравенству — условию непроникновения.

Впервые задача о контакте упругих тел, первоначально соприкасающихся в точке, сформулирована и решена Г. Герцем. Развитие техники поставило проблему контактного взаимодействия в ряд актуальных задач современной механики деформируемого твердого тела. Сложность этих задач обусловила большое число подходов и математических методов, используемых при их решении.

Задачи о контактном взаимодействии между тонкими оболочками особенно сложны, поскольку при их решении приходится одновременно определять НДС и зоны контакта двух и более оболочек, в общем случае, различной формы.

Наиболее проста линейная постановка для цилиндрических оболочек разной длины, установленных с натягом. Без учета обжатия, т. е. когда в решение входят сосредоточенные поперечные силы на границе зоны контакта, задача изучена авторами работ [25, 26, 54, 55], где решены дифференциальные либо интегральные уравнения. Обжатие по модели Винклера введено в работе [24], по модели упругого цилиндра и слоя — в [81, 82]. В двух последних работах контактное давление становится бесконечным на границах зон контакта. С помощью теории Тимошенко эта задача исследована в [144]. Решение такой же задачи получено [23] представлением контактного давления в виде суммы произведений неизвестных коэффициентов на заданные функции, ортонормиро-ванные на участке контакта. Коэффициенты вычисляются методом наименьших средних квадратов из кинематического условия контакта, граница зоны контакта уточняется итеративным путем. Этот подход позволяет существенно упростить расчеты, поскольку в нем не требуется решать дифференциальные или интегральные уравнения относительно контактного давления, результаты же полностью совпадают с данными [24, 25]. Такой же метод применен в работах [27, 28, 29] для анализа НДС двухслойного сильфона с податливым промежуточным кольцом.

Взаимодействие двух соосных цилиндрических оболочек разной длины с зазором между ними при нагружении внутренним давлением оболочки меньшего радиуса изучено в [178, 230]. Авторы работы [230] сопрягают аналитические решения уравнений равновесия оболочек в зоне контакта и вне ее, получают систему уравнений относительно произвольных постоянных, находят осевую координату границы зоны контакта, решая систему трансцендентных уравнений. Сочетание вариацинно-разностного метода с методом штрафной функции применено в [178]. Обжатие в обеих работах не учтено, использованы теории Кирхгофа — Лява, Тимошенко, Рейсснера.

Взаимодействие двух сферических оболочек рассмотрено по теории Кирхгофа — Лява в [170], причем обнаружено, что контактная реакция — распределенная по окружности сосредоточенная сила. Решение этой же задачи основано на теории Тимошенко в [152]. На границе зоны контакта получено контактное давление, равное нулю, хотя оно должно было бы принять конечное значение. Контакт двух круглых пластин, установленных с зазором при нагружении одной из них, изучен в [14] с использованием теории Жермен - Лагран-жа - Кирхгофа. На границе зоны контакта обнаружены сосредоточенные сила и момент. Теория Рейсснера позволила получить конечное значение контактного давления' qk на границе [209]. Задача о контакте между двумя прямоугольным пластинам решена вариационно-разностным методом в [59]. Перечисленные исследования исходят из линейной теории оболочек.

Геометрически нелинейная теория оболочек применена в работе [139] для изучения МКЭ контакта между слоями гофрированных мембран. Условия контакта здесь представлены специальными физически нелинейными элементами между узлами слоев, входящими в соприкосновение.

Проблема изучения механического поведения слоистых оболочек с неидеальным сопряжением слоев представляет собой особый класс контактных задач. Для построения теории таких оболочек и методов их расчета обычно используют дискретный подход, заключавшийся в том, что для каждого из слоев записывают полную систему соотношении выбранной теории оболочек и замыкают ее кинематическими и статическими условиями сопряжения слоев (равенствами и неравенствами). Порядок системы дифференциальных уравнений, получаемый таким путем, в N раз больше (N - число слоев) порядка системы для слоя.

В случае если нормальные перемещения и напряжения на соприкасающихся поверхностях слоев совпадают, а касательные напряжения равны нулю, приходим к задаче об оболочке с проскальзывающими без трения слоями. Зоны контакта .при этом известны, что существенно упрощает задачу. В указанной постановке решены задачи статики слоистых цилиндрических [37] и сферических [142] оболочек. Метод последовательных приближений, основанный на «принципе поочередной непрерывности», в соответствии, с которым краевые задачи для слоев решаются на каждой итерации независимо, применен в [153, 174] для изучения слоистых цилиндров и цилиндрических оболочек. Задачи о контактном взаимодействии между тонкими пластинками и оболочками сложны, поскольку п£>и их решении приходится одновременно определять НДС и зоны контакта двух и более пластин и оболочек, в общем случае различной формы.

Теоретические предпосылки слоистых оболочечных конструкций были прореферированы во введении данного обзора и в пункте 2°. Здесь остановимся лишь на численных решениях слоистых контактных пластинок.

Контакт двух круглых пластин, установленных с зазором при нагружении одной из них, изучен Ю.П.Артюхиным [11] (1973 г.) с использованием теории Кирхгофа. На границе зоны контакта обнаружены сосредоточенные сила и момент. Использование теории типа Тимошенко позволило получить конечное значение контактного давления на границе [25] (1973 г.) решение осесиммет-ричной задачи.

Задача о контакте между двумя прямоугольными пластинками решена вариационно-разностным методом [59]. Данные решения выполнены в геометрически и физически линейной постановке.

Дискретный подход для пластин со слоями Тимошенко реализован в [149] с помощью предложенного авторами матричного метода, приводящего задачу к системе интегральных уравнений относительно контактного давления в неизвестных априори зонах. Здесь учтена возможность появления разрывов областей сопряжения слоев. Наиболее полно разработана дискретная теория в [149]. ■

5°. Сложные колебания балок, пластин и оболочек. Гибкие пластинки, подверженные интенсивному периодическому воздействию, представляют собой сложную динамическую систему, в которой в зависимости от шевеления (изменения) параметрами воздействия реализуются принципиально различные режимы колебаний. Процесс колебаний может сопровождаться большим разнообразием физических явлений, к которым относятся возникновение сложных резонансов; срыв" колебательного режима, приводящий к режиму изменения пространственно-временного состояния: стоячим либо бегущим волнам и др. явлениям^ например, появлению потери устойчивости по симметричной и несимметричной формам.

Проблема детерминированности и случайности, предопределенности и непредсказуемости, зародившись много веков назад, продолжает оставаться одной из фундаментальных и острых проблем естествознания.

Широкомасштабные и планомерные исследования взаимосвязи хаоса и порядка ведутся относительно недавно. Они показали, что в поведении сложных нелинейных систем со многими степенями свободы при определенных условиях могут возникать регулярные пространственные и временные структуры [174], названные И. Пригожиным [50, 135, 157, 158] диссипативными. Наряду с этим возможна и обратная картина: из упорядоченного движения рождается хаос. Большой прогресс в концепции временного динамического хаоса достигнут в таких современных отраслях знаний, как физике плазмы [58], гидромеханике [124], электронике и радиофизике [261], в теории управления [158]. В интернете в разделе Bibliography on Stochastic Resonance американским исследователем Gammaitioni сделана подборка статей по указанному наименованию с 1980 по 1998 годы по следующим реферируемым журналам Physics Letters A; Physics Review Е; Optics Letters; Neutral Comput; Journal of Physical chemistig и др. Отмечается рост публикаций с 1996 г., в среднем в год публиковалось до 70 статей. На наш взгляд, это доказывает огромный интерес ученных к данной проблеме. Существенно скромнее успехи достигнуты в биологии [63] и химии [175]. В механике деформируемого твердого тела достижения в этом направлении еще скромнее. В нелинейных задачах теории пластин имеются лишь единичные публикации [244, 245]. Это связано с тем, что здесь приходится рассматривать пространственно-временную систему с бесконечным числом степеней свободы.

Гибкие пластинки, подверженные интенсивному продольному периодическому воздействию, представляют собой сложную пространственно-временную систему, в которой в зависимости от параметров воздействия, граничных и начальных условий реализуются принципиально различные режимы пространственно-временного состояния. В настоящей работе делается попытка рассмотреть некоторые из этих интересных явлений. Остановимся на некоторых моделях и механизмах перехода к турбулентности.

Явление турбулентности известно уже сотни лет, и многие исследователи пытались его изучить. В этом направлении опубликовано большое количество работ, но решить данную проблему почти не удаётся из-за чрезвычайной её сложности. Ниже мы приведём несколько моделей, описывающих переход механической системы к турбулентности. В настоящий момент известны следующие модели: Ландау [123], Рюэля-Тэкенса [262], Фейгенбаума [211], Помо-Манвиля [251]. Эти модели схематически приведены в табл. 0.1. Очень коротко опишем её.

Первоначально картина возникновения турбулентности, представленная Ландау [123], была основана на представлении об иерархии неустойчивости. При увеличении некоторого параметра, например, числа Рейнольдса, или числа Рэлея нелинейные колебания жидкости теряют устойчивость, и появляются всё новые и новые независимые частоты движения а> х,со 2,со При этом должно наблюдаться квазипериодическое движение с одной, двумя, тремя и т.д. основными частотами. Таким образом, мы приходим к последовательности бифуркаций, Андронова-Хопфа, т.е. к движению по поверхности некоторого тора возрастающей размерности. Движение выглядит всё более и более сложным, однако непрерывный спектр и хаотическое движение возникают лишь при бесконечном числе бифуркаций. Модель Ландау предложена для бесконечномерной модели. Модели же Рюэля-Тэкенса, Фейгенбаума и Помо-Манвиля связаны с конечномерными моделями.

Рюэль и Такенс [262] предложили другой механизм возникновения турбулентности, согласно которому сначала происходит две последовательные бифуркации Хопфа, как и в модели Ландау, затем нелинейность разрушает трёхчастотное движение и образуется «странный» аттрактор (табл. 0.1).

Некоторые экспериментальные данные, по видимому, подтверждают модель Рюэля-Тэкенса. Так, в спектрах мощности появляется сначала одна, затем вторая и, возможно, третья независимые частоты. На пороге появления третьей частоты внезапно возникает широкополосный шум, который свидетельствует о переходе к хаотическому движению. Экспериментально исследовались как вихри Тейлора в жидкости между вращающимися цилиндрами [212], так и конвекция Рэлея-Бенара [183]. Здесь обнаружена внутренняя синхронизация между частотами со х и со 2. В другом эксперименте по течению Куэтта [227] наблюдались, по крайней мере, четыре независимые частоты. Это указывает на то, что переход к турбулентности происходит не всегда после двух бифуркаций Анд-ронова-Хопфа.

Третья модель перехода к турбулентности, предложенная Фейгенбаумом, связана с последовательностью бифуркаций удвоения периода [211]. Переход начинается с бифуркации Андронова-Хопфа из устойчивого фокуса в предельный цикл с частотой со х. При дальнейшем увеличении параметра происходят последовательные бифуркации удвоения, приводящие к периодическому движению с частотами со Vt со v, со и и т.д. Эта последовательность сходится при

2 /4 '8 г некотором критическом значении параметра, при котором возникает странный аттрактор (см. табл. 0.1).

Таблица 0.1

Модель Механизмы

1. Ландау [25] Непод- виж. точка Бифур кация Хопфа Перио-дич. трае-ктор. Бифуркация Хопфа Квазипериод. траектория (две осн. частоты-) Бифуркация Хопфа Квазипериод. траектория (три осн. частоты) Бифур- кац Хопфа Турбул. движения

2. Рюэдя-Тэкенса [171 -«-«- -«-«- -«-«- Стран. Аттрактор

3.Фейгенбаума [26] -«-«(период Т) Период траект. (период 2T) Бифуркация удвоения Перио- дич. траект. (период 4T) Бифуркация удвоен. Странный атрак-тор

4. Помо-Манвиля [27] -«-«- ^ Обратная тан-ген, бифуркация Хаотич. движен. с перемежаемостью

Модель Фейгенбаума хорошо подтверждается численными экспериментами на простых моделях, таких, как аттрактор Рёслера, отображение Хенона, уравнение Дюффинга и др.

Четвёртый механизм возникновения турбулентности, лежащий в основе модели Помо-Манвиля [251] и связанный с переходом к хаотическому движению с перемежаемостью. В этой модели при увеличении некоторого параметра периодическая траектория непосредственно превращается в хаотическую с перемежаемостью в результате обратной тангенциальной бифуркации.

Численное моделирование квадратичного отображения подтверждает такое поведение. Оно существует и для модели Лоренца в некотором интервале параметров, в конвекции Рэлея-Бекара и так называемой химической турбулентности [259].

Следует отметить, что единого механизма перехода к турбулентности в настоящее время ле существует, тем более в задачах теории пластин и оболочек. Все модели описывают только возникновение турбулентности и ничего не говорят о. свойствах развитой турбулентности. Попытаемся описать сценарий перехода к хаосу и особенности некоторых систем в развитом хаосе на примере гибких пластинок.

В последние два десятилетия появился ряд публикаций, в которых авторы выясняли условия возникновения хаотических реакций в строительных конструкциях под влиянием тех или иных внешних воздействий. Целью этих работ было также установление типичных сценариев перехода от регулярных движений к хаотическим.

Общей трактовке указанных вопросов, посвящена, например, монография Капитаника [231], ориентированная на инженеров - практиков. Обзор результатов проведенных в 1980-е годы исследований свойств переходных процессов в колебаниях нелинейных систем опубликовал Капитаник в [234]. Построены отображения Пуанкаре и типы фазовых траекторий с различными вариантами неустойчивости. Хаотические эффекты сопоставляются с расчетными характеристиками нелинейности системы. В его же работе [232] проведен анализ условий перехода к хаотическому поведению в автономной самовозбуждающейся системе под действием периодического и случайного внешнего возмущения. Определены фазовые траектории с одной и двумя петлями и условия перехода к хаотическим фазовым траекториям. Хан, Жанг и Янг [222] рассматривали хаотические вынужденные колебания динамической системы второго порядка с квадратичной и кубической нелинейностями. Определялись условия возникновения хаоса по отображениям Пуанкаре, фазовым портретам и временным рядам.

В 1979 году Холмс [225] подробно исследовал хаотические движения слегка выпученного стержня, подвергающегося боковому синусоидальному возмущению, как системы с одной степенью свободы. Мун [253] установил, что гармонически вынужденное движение выгнутого стержня отчетливо демонстрирует хаотический характер: анализ сечений Пуанкаре показывает сложную, но устойчивую структуру. В работе предложен критерий установления порогового для возникновения хаоса значения амплитуды вынужденных колебаний как функции частоты. Тенг и Доуэлл [266] определили пороговое значение нагрузки, вызывающие хаотическое перемещение выгнутого стального консольного стержня, на основе анализа временного ряда. Подцар, Мун и Мухерджи [257] усовершенствовали расчетную модель шарнирно закрепленного упруго-пластического стержня с учетом геометрической и физической нелинейности. Развита численная процедура определения хаотических движений стержня при периодическом нагружении.

Хаотическим колебаниям деформируемых систем посвящен доклад Хана-гуда и Ашлани [223]. В частности, в нем для стержневых систем выбраны разные пути перехода к хаосу в колебательных процессах. А.С. Беломытцев и В.И. Карабан [19] для систем, моделирующих крутильные колебания силовых передач, обнаружили область странного аттрактора, возникающую в результате серии бифуркаций удвоения периода решения. Изучены квазипериодические колебания периодически возбуждаемой системы и многорежимные; периодические колебания. Хан, Ху и Янг [221] рассматривали стойку с жестко защемленными концами, к одному из которых динамически приложена сжимающая сила. Выявлены условия бифуркации форм движения: боковое выпучивание или осевые колебания прямолинейного стержня.

В 1985 г. Саймондс и Ю [264] теоретически обнаружили и экспериментально подтвердили, что при определенных условиях в колебаниях упруго пластической балки с закрепленными концами, нагруженной коротким поперечным импульсом, наблюдается аномально высокая чувствительность к изменению ведущих параметров. Детально изучая этот эффект, Ли, Саймондс и Бо-рино [241] нашли, что если в начальный период нагружения балки движение неизбежно носит хаотический характер, то и переходящий хаос регистрируется как во временном ряде, так и на фазовом портрете и спектрограмме. Установлена также экспоненциальная природа повышения чувствительности процесса к изменениям параметров. В серии статей, опубликованных Ю. Лепиком, эти наблюдения были продолжены и расширены. Например, в [245] анализируются нелинейные поперечные колебания выпученной при продольном сжатии балки под действием гармонического возбуждения. Дана оценка пороговой величины поперечной динамической нагрузки, при которой колебания упруго - пластической балки не переходят в хаотический режим. При этом оказалось, что для балок указанного типа установившиеся хаотические колебания в случае гармонического возбуждения гораздо более обычны, чем при импульсном нагружении.

Бифуркационные механизмы перехода к хаосу в сложных колебаниях балок под действием квазипериодического нагружения проанализированы в статье Ягасаки [277]. Абхьянкар, Холл и Ханагуд [183] предложили новый метод численного решения дифференциальных уравнений в частных производных, на основе которого провели компьютерные эксперименты для выявления закономерностей перехода к хаосу в колебаниях балочных структур. Иосимура, Хино, Камата и Анантанараяна [279] описали хаотические колебания шарнирно закрепленной балки переменного поперечного сечения под действием транспортной нагрузки. Жанг, Цай и Янг [280] решили задачу по выявлению условий возникновения хаотических вынужденных колебаний бесконечной деформируемой банки, лежащей на упругом нелинейном основании. Сложным колебаниям консервативных и диссипативных механических систем в виде многослойного пакета неспаянных балок посвящена работа В.А. Крысько, В.В. Боч-карева и Т.А. Бочкаревой [107]. Оказалось, что хаотические колебания в собственном смысле здесь не возникают, хотя и наблюдаются элементы переходного сценария Фейгенбаума.

Баженов В.А., Дехтерюк Е.С. и Петрина Ю. С. [18] численно исследовали бифуркации установившихся режимов вынужденных колебаний пластин и оболочек под действием периодических во времени нагрузок. Отмечен переход от регулярных (периодических и квазипериодических) колебаний к хаотическим. В работе [246] Ю. Лепик пытался выяснить возможность хаотических реакций в осесимметричных колебаниях упруго - пластических цилиндрических оболочек. В большинстве проведенных компьютерных экспериментов установившиеся колебания имели регулярный характер. Хан, Ху и Янг [220] провели анализ нелинейных колебаний упругой цилиндрической оболочки вращения, и нашли критические условия возникновения хаотического движения. Маэстрелло, Френди и Браун [248] изучали нелинейные колебания типовой панели фюзеляжа самолета. Для выбранного диапазона частот найдены линейные, квазилинейные при удвоении периода колебаний и хаотические динамические реакции панели при увеличении уровня акустического движения звуковой нагрузки.

Возникает необходимость изучения задач со многими степенями свободы. Хаотические движения для вынужденно изогнутой балки исследовались Тангом и Давелом [266] . В [174] изучались упругие хаотические колебания в изогнутых балках. Балка предполагалась начально-сжатой осевой нагрузкой и затем зафиксированной в сжатом состоянии. Колебания вызывались поперечной периодической нагрузкой или колебанием опор. Уравнения движения решались двумя методами: Бубнова - Галеркина и конечных разностей. Хаотический режим балки был установлен по фазовому изображению и по каскаду удвоений периода.

Исследованию нелинейных упруго-пластических колебаний изогнутых балок был посвящен ряд статей Симондса и его коллег [242, 264] . В 1985 году они рассмотрели следующий вопрос: балка с закрепленными концами подвергалась короткому интенсивному импульсу поперечной нагрузки, который производит пластический прогиб. Поскольку концы балки закреплены, то мембранные усилия должны также быть приняты в расчет. Решая уравнения движения, они нашли, что остаточные прогибы могут быть в направлении противоположном нагрузке. Это явление они назвали «аномальным» или «противоестественным» поведением балки.

В случае «противоестественного» поведения возникает вопрос: может ли быть реакция балки хаотической. Ли и Симондс [242] показали, что в случае модели с одной степенью свободы движение полностью определено, и там не может быть никаких хаотических колебаний. Что касается балки с двумя степенями свободы, то из исследования Симондса вытекает, что хаотические эффекты могут иметь место [241].

Динамическая реакция сплошных упруго-пластических балок при коротких импульсных „нагружениях была рассмотрена Лепиком [245, 246, 247]. В этих статьях уравнения движения интегрировались конечно-разностным методом или методом Бубнова, было установлено «противоестественное» поведение и хаотическая реакция балок.

В [244] упруго-пластические колебания изогнутой балки исследуются с помощью метода Бубнова. Показано, что широко распространенное предположение, что мембранная сила постоянна вдоль балки, может дать неправдоподобное решение даже в случае упругих деформаций. На основе вычислений для различных значений параметров балки, материала и нагрузки сделан вывод, что хаотические колебания в случае гармонического возбуждения более обычны, чем для балок под импульсной нагрузкой.

Осесимметричные колебания упругих и упруго-пластических оболочек исследовались в нескольких статьях. Большинство из них посвящено динамическому выпучиванию под осевыми нагрузками или осевому удару массы по оболочке. В работе Флоранса и Гудьера [213] рассматривалось пластичное динамическое выпучивание цилиндрических оболочек под осевыми нагрузками.

Решение упрощается предположением, что оно разделяется на доминирующее движение и движение возмущенного типа. Применяется уравнение Прандтля -Рейсса; делается предположение, что в течение реакции не происходит упругое разгружение. В [182] представлены результаты для динамического поступательного выпучивания круговых трубок под осевым толчком. Для того чтобы исследовать динамический продольный изгиб цилиндрических оболочек, было разработано несколько численных схем (например, статья Морино и соавторов [254]). В статье [241], для интегрирования уравнений движения был предложен метод Бубнова, метод применим для произвольного числа степеней свободы; осевые силы инерции также принимаются во внимание. Составляющие уравнения основаны на теории Прандтля-Рейсса, рассматриваются упругое разгружение и обратное пластичное нагружение. Даются некоторые численные примеры и обсуждаются возможности хаотических колебаний.

Изучению явлений хаоса при колебаниях балок с различными краевыми условиями посвящен ряд работ. В [80, 255, 266] исследовались нелинейные поперечные- или продольные колебания балок, подверженных периодическому поперечному или продольному воздействию. Хаотические явления при колебаниях балки [96] были обусловлены нелинейностью краевых условий. Во всех перечисленных работах рассматривались однослойные балки.

В [18] приводятся результаты численного исследования нелинейных установившихся колебаний шарнирно-опертой квадратной в плане пластины при действии равномерно распределенного нормального давления, интенсивность, которого меняется во времени по гармоническому закону. Методом конечных элементов краевая задача сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Установлено, что при переходе к хаотическим колебаниям реализуется серия бифуркаций удвоения периода.

Сценарий перехода диссипативных систем при воздействии на них гармонических нагрузок в различных отраслях современной науки, таких как радиофизика, радиоэлектроника, гидромеханика описан достаточно подробно в работах П. Берже, Н. Помо, К. Видаля [20]; А.С. Дмитриева, В.Я. Кислова [58]; Ю.И. Неймарка и П.С. Ланда [134]; А. Лихтенберга и К. Либермана [126], Ф. Муна [143] и др. Задачи же теории пластин существенно отличаются от задач, приведенных в указанных книгах, т.к. здесь мы по сути дела имеем многомерные системы: две пространственные координаты и время, и приходится рассматривать колебание системы с бесконечным числом степеней свободы во времени. 'В настоящей работе мы попытаемся описать сценарий перехода к пространственно-временному хаосу и особенности некоторых систем в развитом хаосе на примере гибких пластинок. Изучению сложных колебаний изотропных пластин при действии поперечных периодических нагрузок посвящена кандидатская диссертация Салий Е.В. [166], выполненная под руководством профессора Крысько В. А.

6°. Вейелет - преобразования. Термин «вейвлет» (дословный перевод -маленькая волна) появился сравнительно недавно - его ввели Гросс*ман и Мор-ле [219] в середине 80-ых годов в связи с анализом свойств сейсмических и акустических сигналов. В настоящее время семейство анализаторов, названных вейвлетами, начинает широко применяться в задачах распознавания образов; при обработке и синтезе сигналов (например, речевых); при анализе изображений различной природы (изображение радужной оболочки глаза, рентгенограмма почки, спутниковые изображения облаков или поверхности планеты, снимок минерала и т.п.); для изучения свойств турбулентных полей; для решения уравнений; для свертки (упаковки) больших объемов информации и во многих других случаях.

Вейвлет-преобразования одномерного временного сигнала состоит в разложении его по базису, сконструированному из обладающей определенными свойствами солитоноподобной функции (вейвлета) посредством ее масштабных преобразований и переносов. Каждая из функций базиса характеризует как частоту, так и ее локализацию во времени. Таким образом, вейвлет-преобразования обеспечивает двумерную развертку сигнала, при этом частота и время рассматриваются как независимые переменные. В результате появляется возможность анализировать свойства сигнала одновременно во временном и в частотном пространстве.

Сказанное обобщается на неодномерные сигналы (или функции). Область использования вейвлетов не ограничивается анализом свойств сигналов и полей различной природы, полученных численно, в эксперименте или при наблюдениях. Вейвлеты начинают применяться и для численного моделирования - как иерархический базис, хорошо приспособленный для описания динамики нелинейных процессов, характеризующихся взаимодействиями в широких диапазонах пространственных и временных масштабов. Вейвлет-анализ оказывается очень удобным инструментом для изучения существенно неоднородных процессов, поскольку элементы его базиса хорошо локализованы и обладают подвижным частотно-временным окном.

Далеко не случайно многие исследователи называют вейвлет-анализ «математическим микроскопом» - название прекрасно отражает замечательное свойство метода сохранять хорошее разрешение на разных масштабах. Способность этого «микроскопа» обнаружить внутреннюю структуру исследуемого объекта и изучить его локальные скейлинговые свойства уже продемонстрирована на многих примерах.

Например, на таких классических, как фрактальные функции Вейершт-расса и вероятностные меры канторовских рядов. Применение вейвлет-анализа к турбулентному полю скорости в ветровом туннеле при больших числах Рей-нольдса дало наглядное подтверждение наличие каскада Ричардсона. Показано сходство энергетического каскадного процесса со структурой мультифракталь-ных неоднородных канторовских рядов. Еще более эффективным оказалось применение вейвлет-анализа к мультифрактальным инвариантным мерам некоторых хорошо известных динамических систем, моделирующих наблюдаемые в диссипативных системах ситуации перехода к хаосу.

Таким образом, вейвлеты могут с успехом применяться для решения различных проблем. В настоящей работе излагаются сведения из теории вейвлетов и их применения для анализа сложных параметрических колебаний гибких пластин.

В первом разделе проводится аналогия между рядами Фурье и разложением в ряды по вейвлетам, определяется вейвлет-преобразование, описываются его свойства и некоторые следствия из них; материал основан, главным образом, на сборниках и монографиях [273, 274, 275] и прекрасных работах Ингрид Добечи [207, 208] и Мари Фарж [210]. Во втором разделе приводятся результаты применения вейвлет-преобразований к исследованию хаотических колебаний гибких пластин при продольных знакопеременных нагрузках.

В завершении обзора заметим, что проблема дискретно-структурной теории (метод декомпозиции) далек от своего завершения, особенно это, касается динамических задач для деформируемых конструкций, подвергающихся воздействию различных нагрузок.

Проведенный информационный анализ показал актуальность и необходимость исследования следующих проблем:

1. Построение математических моделей пространственных контактных задач теории пластин и оболочек в рамках однотипных и комбинированных моделей.

2. Изучение статических и эволюционных контактных задач теории многослойных неспаянных пластин, исследования их сложного колебания и НДС.

3. Не исследована динамика многослойных неспаянных пластин при действии продольных и поперечных знакопеременных нагрузок, не выявлены особенности их работы, не сделана классификация динамических задач теории многослойных неспаянных пластин и оболочек.

4. Не изучены статические и динамические задачи теории многослойных неспаянных пластин с учетом физической нелинейности и разномодульности материала конструкции.

5. Изучение хаоса в теории гибких изотропных и ортотропных пластинок, его структуры, сценариев развития, а также поиску новых периодических решений, их бифуркациям, в том числе жесткой потери устойчивости изучены недостаточно. Качественное и количественное сопоставление решений полученных различными методами (конечных разностей с аппроксимацией О (h2) и

9(/z4)), методом Бубнова в высших приближениях, методами типа Власова -Канторовича (все имеющиеся его модификации), вейвлет-преобразования и преобразования Фурье.

Цель работы. Построение математических моделей пространственных контактных задач теории пластин и оболочек на базе вариационного метода в рамках однотипных и комбинированных моделей, а также построение комбинированных математических моделей для контактных задач теории неспаянных пластин, произвольных в плане пластин, переменной толщины, с учетом физической нелинейности и разномодульности материала. Создание нового класса задач теории пластин: консервативно-диссепативных. Разработка, обоснование и доказательство сходимости итерационных алгоритмов по численному решению поставленных задач. Изучение хаоса в теории однослойных пластинок, новых периодических решений, их бифуркаций и др.

Научная новизна. Настоящую работу можно квалифицировать как новое крупное научное достижение - компьютерная динамика пластин, которая сейчас выделяется в отдельную область науки, устанавливаются общие закономерности движения пластинчатых конструкций при помощи ряда численных методов и алгоритмов и программных комплексов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) разработана единая методика, на базе метода множителей Лагранжа, получения условий сопряжения пластинчатых и оболочечных элементов в пространственных конструкциях, с учетом конечной площади зоны контакта, при этом для описания условий равновесия элементов конструкций могут быть применены произвольные гипотезы;

2) впервые дается новая классификация эволюционных задач теории неспаянных многослойных пластин - консервативно-диссипативные системы — когда один элемент рассматривают без учета диссипации, а другой - с ее учетом;

3) для стационарных задач разработаны новые итерационные алгоритмы с использованием метода вариационных итераций и доказана их сходимость для контактных задач теории многослойных неспаянных пластин с учетом обобщенных гипотез Винклера, созданы комплексы программ их расчета;

4) созданные комплексы программ для ПВМ позволили получить новые количественные данные о НДС, контактирующих пластинках в рамках обобщенных гипотез Винклера с учетом физической нелинейности и разномодуль-ности материала;

5) дается дальнейшее развитие метода коллокаций, предложены новые его модификации на основе восьми вариантов метода Канторовича-Власова (метод решетчатой коллокации, граничной коллокации и смешанной коллокаций);

6) исследуются сценарии перехода гармонических колебаний гибких пластин в состояние пространственно-временного хаоса. Выявлены новые эффекты при таком переходе механических систем (предкризис, послекризис и др.);

7) предложен новый динамический критерий потери устойчивости пластин при действии продольных нагрузок, заключающийся в том ,что перед жесткой бифуркацией следует серия мягких бифуркаций;

8) впервые для анализа параметрических колебаний гибких пластин применяется вейвлет - анализ;

9) с помощью процедуры Бубнова на примере параметрических колебаний гибких пластин выявлены сценарии перехода колебаний из гармонических в хаотические в зависимости от числа мод.

Достоверность результатов. С одной стороны обеспечивается их полным соответствиям основным уравнениям термодинамики для конечных объемов сплошной среды, вариационными принципами, а с другой гарантируется рядом теорем и проведением численного эксперимента различными методами метод конечных разностей 0(h2), О (/г4), Бубнова в высших приближениях, Канторовича - Власова и его восьмью модификациями , быстрого преобразования Фурье, вейвлет - анализа, методами компьютерной динамики.

Практическая ценность полученных результатов заключается в использовании, при проектировании и оценке качества новых деформируемых конструкций, построение корректных моделей оболочечных конструкций, оболочек и алгоритмов. Некоторые из разработанных моделей многослойных неспаянных пластин, параметрических колебаний гибких изотропных и орто-тропных пластинок внедрены в расчетную практику НПЦ «Алмаз-Фазатрон», соответствующий документ прилагается к диссертации. Кроме того, результаты работы используются: в учебном процессе при чтении авторского спецкурса (Опубликовано учебное пособие по данной тематике [98]

Апробация работы Основные теоретические и практические результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международных, Всесоюзных и Всероссийских научно - технических конференциях: Ш Всесоюзной конференции «Механика неоднородных структур» (Львов, 1991, Украина); Ш Всесоюзном симпозиуме «Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого тела» (Тверь, 1992, Россия); XVI symposium «Vibrations in physical systems» (Poznan, BlazeJevvko, 1994, Poland); The 3-d conference on dynamical systems «Theory and applications» (Lodz, 1995, Poland); III Международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (Санкт-Петербург, 1995, Россия); The 4-th Conference «Dynamical Systems-Theory and Applications» (Lodz, 1997, Poland); Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1997, Россия); XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов, 1997, Россия); VII Четаевской конференции (Казань, 1997, Россия); The 2-nd Belorussian Congress on Theoretical and Applied Mechanics, 'Me-chanics-99' (Minsk, 1999, Belorussia); The 5-th Conference «Dynamical Systems -Theory and Applications» (Lodz, 1999,Poland); XIX Международной конференции по теории оболочек и пластин (Н. Новгород, 1999, Россия); Международной конференции, посвященной 100-летию профессора Х.М. Муштари, 90-летию профессора К.З. Галимова и 80-летию профессора М.С. Корнишина «Актуальные проблемы механики оболочек» (Казань, 2000, Россия); I Международной конференции по нелинейной динамике механических и биологических систем (Саратов, 2000, Россия); Fourth International Colloquium on Computation of Shell & Spatial Structures, IASS-IACM 2000 (Chania-Crete, 2000, Greece); Chaos Control and Times Series (San-Paulo, 2000, Brasil); The Third International Conference on Thin-Walled Structures (Cracow, 2001, Poland); VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001,Россия); European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering, ECCOMAS Computational Fluid Dynamics Conference 2001 (2001, Swansea, Wales, UK); The Seventh PAN American Congress of Applied Mechanics, РАСАМ VII (Temuco, 2002, Chile); Зимней школе по механике сплошных сред (тринадцатой) (Пермь, 2003, Россия); 13-й межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2003, Россия). Подтверждением этих выступлений являются тезисы докладов, опубликованные в трудах этих конференций.

В целом работа докладывалась на научном семинаре кафедры «Теоретическая механика» СГТУ под руководством профессора Ю.В. Чеботаревского (Саратов, 2003).

На защиту выносятся:

1) методика построения, на базе множителей Лагранжа, замкнутых математических моделей контактирующих пластин и оболочек, описываемых в рамках одинаковых и различных статических и кинематических гипотез с учетом ширины зоны контакта;

2) постановка и методика численного решения, на базе итерационного метода и метода вариационных итераций контактных задач для пластин переменной толщины, различного рода нелинейностей и произвольного плана в рамках гипотез Винклера;

3) обоснование сходимости итерационных алгоритмов;

4) результаты численных экспериментов;

5) новая классификация эволюционных задач теории многослойных неспаянных пластин; сценарии развития стохастических параметрических колебаний гибких изотропных и ортотропных пластин; новый динамический критерий потери устойчивости пластин при продольных воздействиях;

6) результаты численного эксперимента по исследованию динамических задач теории гибких пластин, полученных методами конечных разностей с ап

О А. проксимацией 0(h ) и О (h ), методом Бубнова в высших приближениях и анализ периодических и хаотических колебаний пластин, полученных с помощью вейвлет - преобразования.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 35 работ [15, 62, 76, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 95, 98, 99, 100, 101, 106, 113, 114, 115, 117, 167, 168, 187, 191, 192, 193, 194, 195, 197, 198, 228, 229, 238,], в том числе 2 монографии [86, 106] и разделы в книгах [228, 229], вышедших в издательстве Naukowo - Techniczne Warszawa (2001г.), «Springer» (2003г.).

Личный вклад соискателя. В работах с соавторами соискателю принадлежит ведущая роль в постановке задач, объяснении и интерпретации рассматриваемых моделей и явлений. Соискатель непосредственно участвовал в проведении численного эксперимента.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения и списка используемой литературы, содержащего 280 наименова

ЗАКЛЮЧЕНИЕ об использовании материалов докторской диссертации Крысько А В "Математические модели нелинейных распределенных систем в виде пластинчатых и оболочечных конструкций".

Теоретические выводы диссертации относительно моделей многослойных неспаянных пластинок позволили ограничить класс моделей, на базе которых проектируются новые изделия с применением упругих элементов

Разработанные в диссертации численные методы позволили повысить достоверность прогнозирования прочностных характеристик изделий, разрабатываемых в НПЦ

Алгоритмы и программы, вычислительные комплексы по исследованию стохастических параметрических колебаний изотропных и ортотропных пластин внедряются в расчетную практику НПЦ при разработке новых изделий.

Заместитель Генерального директора по науке, -кандидат технических наук, Лауреаздосудар^венной премии СССР ка|^дидат физико-математических наук