автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое и компьютерное моделирование хаотических колебаний гибких криволинейных балок в стационарном температурном поле

На правах рукописи

Загниборода Николай Анатольевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ГИБКИХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ БАЛОК В СТАЦИОНАРНОМ ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2013

005544567

005544567

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Крысько Антон Вадимович.

Официальные оппоненты: Андрейченко Дмитрий Константинович

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского», заведующий кафедрой «Математическое обеспечение вычислительных комплексов и информационных систем»

Серазутдинов Мурат Нуриевич доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки и техники Республики Татарстан, ФГБОУ ВПО «Казанский национальный исследовательский технологический университет», заведующий кафедрой «Теоретическая механика и сопротивление материалов»

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Тверской государственный

университет»

Защита состоится «28» ноября 2013 г. в 13:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, корп.1, ауд. 319/1.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77.

Автореферат разослан «28» октября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

А.А. Терентьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Впервые с существенными проявлениями хаоса исследователи столкнулись в задачах гидрометеорологии, аэродинамики, радиотехники и некоторых задачах математики. Оказалось, что линейная теория не может объяснить наблюдаемые экспериментальные данные. Впоследствии хаос также был обнаружен в задачах биологии, информатики, экономики, инженерии, финансов, физики, психологии, робототехники и других научных дисциплин. Как правило, задачам хаоса присуща существенная вычислительная сложность, поэтому чаще всего рассматриваются системы с одной или несколькими степенями свободы. Вместе с тем многие механические системы, в частности системы балок, имеют распределенные структуры, соответствующие множеству степеней свободы. Такие математические модели описываются существенно нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных.

Решению задач нелинейной динамики балок, пластин и оболочек посвящены работы U. Nackenhorst, J. Awrejcewicz, S. Smale, A. F. Vakakis, M. Amabili, A. Sarkar, O.Thomas, C.Touze, S. Bilbao, N. Mordant, A. Boudaoud, O. Cadot, N. Yokoyama' M. Takaoka, Y. Wang, H. Qiang, H. Haiyan, Y. Guitong, U. Lepik, W. Pietraszkiewicz,' Van der Heijden, K. Nagai, S. Maruyama, M. Oya, T. Yamaguchi, Y. Tsuruta, T. Murata, B.B. Болотина, A.C. Вольмира, Э.И. Григолюка, Б.Я. Кантора, Ю.Г. Коноплева,

A.Н. Куцемако, В.А. Крысько, A.B. Крысько, И.Ф.Образцова, Н.М. Агамирова,

B.Г. Баженова, Т.В. Вахлаевой, П.С. Ланда, Н.Ф. Морозова, В.А. Бабешко, В.Б. Байбурина. Исследованием сложных колебаний балок с применением вейвлет-анализа занимались O.A. Салтыкова, И.В. Папкова, В.В. Солдатов. В их работах основной упор делается на исследование гибкой балки, различных её моделях, взаимодействии с другими объектами. Моделирование гибких криволинейных балок освещено недостаточно. Работы по моделированию гибких криволинейных балок в стационарном температурном поле практически отсутствуют.

Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является исследование хаотической динамики гибких балок, гибких криволинейных балок и гибких криволинейных балок в стационарном температурном поле под действием внешней периодической нагрузки.

Для достижения этой цели были решены следующие задачи-.

- разработаны математические модели гибкой балки, гибкой криволинейной балки и гибкой криволинейной балки в стационарном температурном поле с применением гипотез Эйлера-Бернулли;

- разработан и реализован в программном комплексе численный метод, моделирующий хаотическую динамику исследуемых объектов;

- разработаны и реализованы в программном комплексе новые алгоритмы анализа хаотической динамики на области управляющих параметров, позволяющие определять области выполнения гипотез по прогибам, зоны упругих и пластических деформаций, режимы колебаний, показатели Ляпунова, нелинейный отклик системы на линейное воздействие по внешней нагрузке;

- усовершенствован процесс постановки вычислительного эксперимента: осуществлена интеграция алгоритмов анализа сигналов среды MATLAB в вычислительный комплекс, реализована поддержка многопроцессорных систем, разработана система распределенных вычислений.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы нелинейной динамики, вычислительной математики, качественной теории

дифференциальных уравнений, Фурье и вейвлет-анализа, процедуры анализа показателей Ляпунова. Программный комплекс реализован с использованием принципов процедурного, структурного и объектно-ориентированного программирования.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются корректной физической и математической постановкой задачи, а также сравнением результатов, полученных разными методами: методом конечных разностей, методом конечных элементов, методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях и методом Рунге-Кутта 4-го и 6-го порядков точности, в совокупности с применением методов качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики. Результаты моделирования гибкой балки совпадают с результатами моделирования, проведенными в предшествующих работах. Кроме того, было проведено исследование влияния ряда параметров на точность моделирования.

Научная новизна работы заключается в следующих новых результатах:

1. Предложен метод математического моделирования и построены математические модели, учитывающие кривизну гибкой балки и стационарное температурное поле.

2. Разработаны алгоритмы и программный комплекс, обеспечивающий моделирование пространственно-временного хаоса гибкой балки, гибкой криволинейной балки и гибкой криволинейной балки в стационарном температурном поле.

3. Разработаны алгоритмы и программное обеспечение для анализа колебательного процесса, которое позволяет определить зоны выполнения гипотез по допустимым прогибам, зоны упругих и пластических деформаций, а также позволяет строить карты режимов колебаний, карты расхождения траекторий, карты показателей Ляпунова. Произведено сравнение карт между собой. Ввиду большой вычислительной сложности в программном комплексе потребовалось реализовать систему распределенных вычислений, использующую потенциал многопроцессорных систем, и реализующую автоматическое масштабирование вычислительных мощностей.

4. Произведено исследование сходимости получаемых результатов от ряда параметров моделирования (количество точек модели, длительность моделирования), установлены их оптимальные значения по критериям точности и затратам машинного времени. Подтверждена сходимость карт режимов колебаний в зависимости от используемого метода решения системы дифференциальных уравнений (методы Рунге-Кутта 4-го и 6-го порядков точности). Точность анализа значительно превосходит предыдущие работы в этой области (в 3 раза по количеству точек модели и в 2 раза по времени моделирования).

5. Показано, что хаотическая динамика изучаемых моделей при симметричных граничных условиях похожа. При жесткой заделке на обоих концах система имеет больше гармонических областей колебаний, однако, в общем виде динамика такая же, что и при симметричном креплении на жестких шарнирах. Несимметричные граничные условия приводят к значительному сокращению области гармонических колебаний и увеличению области хаотических колебаний.

6. Показано, что увеличение кривизны балки положительно влияет на область гармонических колебаний, при этом наблюдается резкая граница

динамической потери устойчивости, увеличивается область упругих деформаций, балка становится более устойчивой к внешней нагрузке.

7. Исследована хаотическая динамика гибкой криволинейной балки в стационарном температурном поле. Показано, что температурное поле может увеличивать зоны гармонических колебаний и понижать хаотическую динамику за счет изменения геометрической кривизны балки.

Практическая ценность и реализация результатов

Практическая ценность заключается в разработанном программном комплексе, позволяющем моделировать хаотическую динамику описанных распределенных систем с учетом разных вариантов статического и динамического нагружения, различных параметров окружающей среды и разных типов граничных условий. Выявлены причины появления несимметричных форм колебаний при использовании описанного метода моделирования для задач с симметричными граничными условиями и симметричным внешним воздействием. Комплекс также позволяет анализировать границы применимости математической модели, определять режимы колебаний системы, фиксировать нелинейный отклик системы на линейное изменение управляющего параметра и анализировать степень её хаотичности через показатели Ляпунова. Численные эксперименты, проведенные в рамках данной работы, позволяют указать те наборы управляющих параметров, при которых исследуемые структуры находятся в зоне безопасной работы. Полученные результаты могут быть использованы как в области механики, так и в различных приборах электроники и гироскопии (микроэлектромеханических системах для определения движения объекта, его скорости, измерения ускорения, угловых скоростей, давления, скорости потока жидкости или газа, температуры и влажности).

Результаты диссертации были получены при финансовой поддержке и использованы при выполнении грантов: ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы, проект 2012-1.4-12-000-1019, мероприятие 1.4 «Поддержка развития внутрироссийской мобильности научных и научно-педагогических кадров путем выполнения исследований молодыми учеными и преподавателями в научно-образовательных центрах»; РФФИ 12-08-00569-а, «Построение математической модели гироскопа с распределенной массой с большой амплитудой осцилляторов»; НИР СГТУ-12 «Математическое моделирование осцилляторов с большой амплитудой колебаний для приборов навигации»; НИР СГТУ-15 «Исследование нелинейных стохастических колебаний многослойных механических структур в температурном поле под действием концентрированных потоков энергии».

Получены 4 свидетельства о государственной регистрации программ для

ЭВМ.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Предложенный метод математического моделирования и построенные конкретные математические модели, обеспечивающие исследование хаотической динамики гибких балок, гибких криволинейных балок и гибких криволинейных балок в стационарном температурном поле.

2. Разработанные алгоритмы и программное обеспечение для исследования пространственно-временного хаоса распределенных механических систем в виде балочных структур с учетом геометрической нелинейности как для отдельно численного эксперимента, так и на области управляющих параметров.

3. Произведено исследование сходимости получаемых результатов от ряда параметров моделирования. Определены их оптимальные значения. Изучено влияние различных типов граничных условий и геометрической кривизны балки на хаотическую динамику гибкой криволинейной балки.

4. Исследована хаотическая динамика гибкой криволинейной балки в стационарном температурном поле.

Апробация работы

Основные положения и результаты диссертации представлялись на XVIII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, МГУ, 2011); 11th CONFERENCE on «Dynamical Systems-Theory and Applications» (Lodz, POLAND, 2011); VIII международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (Санкт-Петербург, 2011); заочной научно-практической конференции «Теоретические и прикладные проблемы науки и образования в 21 веке» (Тамбов, 2012).

Часть материалов диссертации докладывалась на кафедре «Сопротивление материалов и основы теории упругости» профессора Каюмова Р.А. Казанского государственного архитектурно-строительного университета (Казань, 2012). В законченном виде диссертация докладывалась на кафедре «Автоматика и биомеханика» технического университета Лодзи (Польша, 2013) фул профессора Яна Аврейцевича, на научных семинарах кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А. Крысько (Саратов, 2013); на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м.н., профессора В.Б. Байбурина (Саратов, 2013).

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 15 работах, в том числе 5 статей в рецензируемых журналах из перечня ВАК РФ и 3 статьи в иностранных источниках. Список основных работ автора, отражающих существо диссертационной работы, приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка использованной литературы. Работа содержит 133 страницы, 12 рисунка, 66 таблиц. Список использованной литературы включает 120 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, приведен краткий исторический обзор результатов, сформулирована цель работы, приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе строится математическая модель гибкой балки Эйлера-Бернулли (рис. 1), приводятся основные гипотезы.

Рассматриваются гибкие однослойные, тонкие балки с длиной а и высотой h. Балка нагружается распределенной по ее поверхности нагрузкой q(x,t), действующей в направлении нормали к серединной поверхности.

Построенная математическая модель балки основывается на следующих гипотезах:

- любое поперечное сечение, нормальное к серединной поверхности до деформации, остается после деформации прямым и нормальным к серединной поверхности, вместе с тем высота сечения не изменяется;

- инерция вращения элементов балки не учитывается, однако учитываются силы инерции, отвечающие за перемещения вдоль нормали к серединной поверхности;

- внешние силы не меняют своего направления при деформации балки;

- геометрическая нелинейность учитывается в форме Т. Кармана. Приведенные выше гипотезы

основаны на идеях Эйлера-Бернулли, д=д0зтЦ)р1

и считаются математической | | | | | | |

моделью первого приближения, но ^ она является достаточно точной для возможности анализа.

В прямоугольной системе координат двумерная область, Рис. 1. Гибкая балка Эйлера-Бернулли

соответствующая схеме на рис. 1, запишется в виде

П = {х, г I О, г)е[0;а]х[-А/2;Л/2]}, 0 < / < оо. Гибкая балка находится под действием внешней периодической нагрузки Я = Яп 5<п(й)/), где (]„ - амплитуда нагрузки, сор - частота внешнего возбуждения.

Математическая модель балки описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Эти выражения представляют собой уравнения движения элемента балки с учетом диссипации энергии, записанные в перемещениях и в безразмерном виде:

г , ч <32« „ _ + = 0,

1 | 1 ] 82 н> ды „

дх2 дх дх дх2 2 2удх) дх ' дх дх2

где1,(и,уу), ¿2(и',й'), (»•,и-) - нелинейные операторы, к(х,1) - прогиб элемента в направлении нормали; м(х,г) - перемещение элемента в продольном направлении; е - коэффициент диссипации; Е - модуль Юнга; И - высота поперечного сечения балки; а - длина балки; у - удельный вес материала; g - ускорение свободного падения; I - время; q = qa вт^/) - внешняя нагрузка.

Безразмерные параметры введены следующим образом: 1 а ■ — ™. - ча . _ х - г а _ а _ аа4

п И к ах Р \ 7 Р Л Е Черточка над безразмерными параметрами в уравнении (1) для простоты опущена. К уравнениям системы (1) следует присоединить одно из граничных условий

1) оба конца балки имеют жесткую заделку (дг = 0, х = а)

и(0,0 = н{а,О = и(0,1) = н(а,() = (0,0 = и>'х (а,/) = 0; (3)

2) оба конца балки закреплены шарнирно-неподвижно (лг = 0, х = а)

и(0,/) = и{а,/) = ы(0,0 = м(а,0 = (0,/) = и'"„ (а,/) = 0; (4)

3) один конец имеет жесткую заделку (х = 0), а другой - шарнирно-неподвижен (* = в)

и<0,0 = w(a,t) = м(0,/) = u(a,t) = Wx (0,/) = w'\(a,t) = 0 ; (5)

3) один край имеет жесткую заделку (х = 0), а другой свободен (х = а)

и<0,0 = <(0,0 = "(0,0 = 0; (6)

Mx(a,t) = ЛТД а, 0 = &(a,0 = 0 ; Л/(а,/) = W,(a,f) = (а,/). и начальные условия:

и<х,0) = vi(.ï,0) = и(х, 0) = м(дг,0) = 0. (7)

Для сведения системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно временной координаты используются конечноразностные аппроксимации, применяя разложение в ряд Тейлора в окрестности точки xj. GN = ¡0 < < l,xi = i/N,i = 0..Л'} -

сеточная область. Разностные операторы при аппроксимации 0(с2), где с - шаг по пространственной координате имеют следующий вид: Лх(-,) = ((-)/+1-(-)м)/2с,

М-,) = (Ом " 2(0, + Он )!с2, А,- (■, ) = (Ом - Ом + 60, - Ом + О,-; )/с4 ■

Тогда дифференциальные уравнения системы (1) в частных производных сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка по временной координате:

= <\,(и,) + Л,(н>:)\ (и;), w, + ew, = X2 j- ^ Л^ (ил ) + Ах1 (и, )ЛХ (ил ) + Л^ ( w, )Л, (и, )+1 (Л, ( ил ))2 Л г ( ил ) + q

Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (8) с соответствующими граничными и начальными условиями, записанными после применения конечно-разностной аппроксимации второго порядка точности, методом замены переменных сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которая решается методом Рунге-Кутта 4-го или 6-го порядков точности.

Было произведено сравнение результатов моделирования для приведенного метода (сравнивались полученные сигналы, анализировались частоты колебаний на спектре мощности Фурье, 2-d и З-d вейвлетах Морле), и сделан вывод, что имеется сходимость результатов, полученных методом конечных разностей и методом конечных элементов. Алгоритм МКЭ более трудоемкий по сравнению с алгоритмом МКР, причем время, затраченное для решения одного варианта задачи по МКЭ, больше, чем при решении по МКР. Поэтому для дальнейших исследований хаотических колебаний балок был принят МКР.

Основными инструментами при исследовании колебаний отдельно взятого сигнала были: спектр мощности Фурье, фазовый портрет, модальный портрет, автокорреляционная функция, псевдо-сечение Пуанкаре, 2-d и З-d вейвлеты Морле, а также эпюра прогиба балки во времени. Однако, в соответствии с идеями А. Пуанкаре анализ отдельно взятых задач является недостаточным, поэтому в работе проводится изучение большого множества задач на области управляющих параметров. Для анализа колебаний на области управляющих параметров {«> ,?„} в

предшествующих работах использовалась карта режимов колебаний. Карты режимов колебаний отражают характер нелинейного динамического процесса, позволяя ориентироваться в пределах исследуемых зон. Оптимизированный по

производительности программный комплекс позволил провести исследование влияния оптимального числа (п) узлов сетки по пространственной координате, которая накладывается на исследуемую конструкцию, и количества разбиений интервала частоты (ш,) возбуждающей силы и величины внешней нагрузки (д0) (и, хя,).

В табл. 1 приведены условные обозначения режимов колебания балки для построенных карт зависимости характера колебаний от управляющих параметров {со(,,д„} при количестве разбиений по пространственной координате и = 40 и

и = 120 (табл. 2). Для строки а) сетка, накладываемая на область управляющих параметров (и,хи2) равна (75 х50) точек, Ь) (300x200) соответственно.

__Таблица 1

Обозначе^в р«химов колебамл!

В 2 независимые частоты. ■ ^Гсп^Г0"' □ *»°'ические колебания. [3 бифуркации

у суперпозиция независимых частот. [Ц] затухающие колебания. |Щ| гармонические колебания.

Таким образом, для дальнейших исследований, посвященных изучению сложных колебаний распределенных систем, определены следующие оптимальные параметры моделирования:

- метод сведения уравнений в частных производных к задаче Коши - МКР второго порядка точности;

- разрешение карты характера колебаний (и,х«2) равняется 300x200 точек (время счета такой карты на ЭВМ (Intel® Core™ i5 2500) составляет 98 часов, вычисления проводились параллельно на всех четырех ядрах процессора);

- число разбиений по пространственной координате - п = 120.

Возникает также вопрос, достаточно ли точно решается задача Коши методом Рунге-Кутта 4-го порядка. Для ответа на данный вопрос рассмотрим решение шарнирно-неподвижно опертой балки методом Рунге-Кутта 6-го порядка точности (метод Бутчера). Ранее такое исследование было проведено для отдельно выбранных сигналов, выводы о сходимости экстраполировались на всю область управляющих параметров. В табл. 3 проводится сравнение методов с параметрами моделирования: л = 80, Я = 50, е = 1; на области управляющих параметров: со =[0; 10.35),

=[0;2х103). Анализ этой таблицы позволяет сделать вывод, что результаты, полученные при решении задачи Коши методами Рунге-Кутга 4-го и 6-го порядка, практически одни и те же, но время счета карт, приведенных в табл. 3 методом Рунге-Кутга 6-го порядка точности, больше практически в 2 раза. Поэтому в дальнейших расчетах предпочтение отдается методу Рунге-Кутта 4-го порядка. ___Таблица 3

Рунге-Кутта 4-го порядка точности

Рунге-Кутта б-го порядка точности

х103 200

Чо

хЮ3 200

Чо

5.7 щ,, 10.35

5.7 Шр 10.35

При изучении сложных колебаний гибких балок Эйлера-Бернулли под действием симметрично прикладываемой поперечной периодической нагрузки для симметричных граничных условий возникает несимметричное решение. Было определено, что появление несимметричных форм колебаний в таких условиях вызвано погрешностью применения метода Рунге-Кутта, связанного с тем, что приближение к «идеальному» решению на разных половинах балки (относительно центра) осуществляется «сверху» и «снизу» и со временем накапливается существенное различие. Особенно сильно это явление наблюдается при хаотических колебаниях. Увеличение количества точек разбиения области х е [0; 1] и смена метода Рунге-Кутта 4 на 6-й порядок точности не оказывает влияния на результат моделирования. В данном случае важен сам факт асимметрии в решении на каждом шаге.

Таблица 4

Несимметричная система уравнений

Симметричная система уравнений:

Х103 200

5.7 Шр 10.35

х103 200

Чо

5.7 Юі) 10.35

Аналогичного эффекта можно достичь искусственной подачей на половины симметричные относительно центра балки нагрузок, отличных на крайне малую величину. Для получения корректного решения следует учитывать присутствие симметрии (необходимо полное совпадение решений на левой и правой части

исследуемой области). Этого можно добиться отображением на каждом шаге моделирования одной половины области на другую с требуемыми знаками. В табл. 4 приведены карты режимов колебаний для симметричного и несимметричного метода решения системы уравнений.

В табл. 5 приведены карты характера колебаний с управляющими параметрами «=120, <ар =[0; 10.35), ?„=[0;2х105) для разных типов крепления балки (шарнирное защемление с обоих концов, глухая заделка с обоих концов, шарнирное защемление с одной стороны и глухая заделка с другой) и разной толщины балки (>. = 50 и X =100). Из приведенной табл. 5 видно, что для симметричных типов крепления, при малых и средних частотах режимы колебаний в значительной мере совпадают. Для несимметричного крепления по типу шарнир-заделка сходство с симметричными типами наблюдается лишь при малых частотах. Также можно заметить, что несимметричный тип крепления способствует увеличению областей с хаотическим режимом колебаний. С уменьшением толщины балки область гармонических колебаний существенно увеличивается.

Таблица 5

Кроме режима колебаний балки, нас также интересует ряд количественных характеристик колебательного процесса. Так, существенную ценность имеет карта предельных прогибов, с её помощью можно определить области выполнения гипотез по предельно допустимым прогибам. Для её построения у каждого сигнала определяется максимальный по модулю прогиб за весь период моделирования. В табл. 6 а) приведена карта предельных прогибов. Черный цвет соответствует минимальному прогибу, белый - максимальному, градации серого отражают промежуточные значения. Зеленый цвет отражает области, где результат моделирования не определен (решения системы уравнений не существует).

Другой важной характеристикой является предельное растяжение, которому подвергается криволинейная балка. Для построения карты предельных растяжений в каждом эксперименте определяется максимальное растяжение гибкой балки. Данная характеристика позволяет выявить зоны упругопластических деформаций. Так, если ввести относительное удлинение балки е = (а,-а)/а, то закон Гука в

относительных единицах примет вид а = Е е, где Е - модуль упругости. Зная предельные деформации для конкретных материалов, можно построить карты с зонами упругопластических деформаций. В таблице 6 Ь) приведена карта с зонами упругопластических деформаций для термически упрочненного алюминия 1915Т (данный материал был выбран из-за высокого порога пластических деформаций, ^шах= 195 МПа) Белая зона - зона пластических деформаций, градации серого цвета и черный цвет - зоны упругих деформаций. Зеленый цвет отражает области, где результат моделирования не определен (решения системы уравнений не существует).

Таблица 6

а) гшп = 0, тах = 5

Ь) гшп(г') = 1, тах(г) = 1,002785

Х103 200 Чо

х103

г/

5.7 <ор 10.35

При разработке математической модели использовался ряд гипотез. Одна из гипотез предполагает предельные допустимые прогибы в размерах 5-6 единиц от толщины балки. Ограничение предельных прогибов позволит определить область применения данной математической модели. Анализ результатов моделирования за пределами области определения имеет исключительно теоретическую ценность.

Результатом качественного исследования большого объема задач стала карта расхождения сигналов. Она строится следующим образом. Пусть Ту, и й< -последовательности прогибов для сигналов «г и !» соответственно. Если определить расстояние между сигналами по формуле 51 = где М -

количество точек в сигнале, то результатом будет скалярная величина, характеризующая расхождение или различие рядов между собой. Чтобы не работать с абстрактной величиной (расстояние между рядами), перейдем к формуле 5 = - й>,.|)/ М. Результатом вычислений будет среднее расстояние (в

прогибах) между точками рядов № и й. Если расстояние стремится к нулю, то сигнал № сходится к сигналу й, если расстояние равно нулю - это один и тот же сигнал.

При равномерном увеличении внешней нагрузки расхождение между двумя соседними траекториями позволяет фиксировать линейный или нелинейный отклик гибкой балки (системы уравнений). Зависимость строится для нагрузки, так как она отвечает за энергию, поступающую в систему. Построение зависимости для частоты затруднено по двум причинам: 1) частота отвечает за режим или способ передачи энергии в систему (это качественно другая система); 2) в формулу нагрузки частота входит под тригонометрической функцией (заведомо нелинейная зависимость). Таким образом, при построении карты осуществляется проход по

вертикали (снизу и вверх), текущий сигнал сравнивается с предыдущим, фиксируется расхождение.

В табл. 7 для сравнения приведены карты режимов колебаний и расхождения траекторий (черный цвет - расхождение выше максимума, градации серого - расхождение ниже максимума и выше минимума, белый цвет - минимум расхождения, зеленый цвет - результат моделирования не определен, минимум равен 0, максимум равен 0,5). В общем случае области с черным цветом характеризуются непредсказуемым откликом на незначительное увеличение нагрузки. Области с белым цветом, напротив, отражают предсказуемость динамики, траектории колебательного процесса в соседних точках расходятся незначительно и в общем виде совпадают.

__Таблица 7

_Карта расхождения траекторий

хЮ3 200 Ч.

_Карта режимов колебаний

хЮ3

200 аш ща и

Яо ■lililí

5.7 u)p 10.35

5.7 С0р Ю.35

Карта режимов колебаний и карта расхождения сигналов взаимосвязаны и отлично дополняют друг друга. Карта расхождения сигналов позволяет существенно упростить качественный анализ сценариев перехода системы в хаос. Для наглядного отображения карты расхождения сигналов максимум определяется эмпирически.

Совершенно новой разработкой является карта показателей Ляпунова. Для определения показателей Ляпунова в общем случае существуют два алгоритма: алгоритм Бенеттина и алгоритм Вольфа. Алгоритм Бенеттина для вычисления показателей требует наличия линеаризованной системы уравнений. Её аналитическое получение для исследуемых систем весьма затруднительно, поиск численными методами накладывает значительные издержки по времени вычислений и делает невозможным построение карты. Алгоритм Вольфа для вычисления показателей требует только решение системы дифференциальных уравнений. По совокупности этих причин для построения карты показателей был выбран алгоритм Вольфа.

Траектория движения точки балки описывается системой из 4 дифференциальных уравнений, поэтому рассматриваются 4 показателя Ляпунова. В табл. 8 для сравнения приведены карта режимов колебаний и карта показателей Ляпунова. В табл. 9, карта показателей приведена в разборе. В табл. 10 приведены цветовые обозначения для этой карты. Чем больше положительных показателей Ляпунова определено, тем хаотичней ведет себя система.

Сравнение карты режимов колебаний с картой показателей Ляпунова показывает эффективность обоих видов анализа: по частотам спектра и по хаотической динамике. Важным наблюдением является то, что практически все

гармонические колебания наблюдаются на областях с отрицательными показателями Ляпунова, комбинация независимых частот наблюдается на областях с не более чем одним положительным показателем. Важно отметить, что явления хаоса получали многие исследователи, явление хаос-гиперхаос было получено в работе A.C. Дмитриева и В.Я. Кислова «Стохастические колебания в радиофизике и эелектротехнике» (Наука 1989 г.) в задачах радиотехники. Режимы хаос-гиперхаос, хаос-гипер-гиперхаос впервые были определены в исследованиях

Таблица 10

■ 4 отрицательных показателя (гармонические колебания) В 3 отрицательных, 1 положительный показатель (хаос)

■ 2 отрицательных, 2 положительных показателя (хаос-гиперхаос) ■ 1 отрицательный, 3 положительных показателя (хаос-гипер-гиперхаос)

□ 4 положительных показателя (глубокий хаос) ■ Результат моделирования не определен (распад решения)

Таблица 8

Таблица 9

3 отрицательных, 1 положительный показатель _(хаос)

х103

Г fl I

100

1''ШШ

0 О S.7 Щр 10.35

4 положительных показателя (глубокий хаос)

Карта режимов колебаний

Карта показателей Ляпунова

*103 200

Х103 200

Карта показателей Ляпунова

4 отрицательных показателя (гармонические колебания)

2 отрицательных, 2 положительных показателя _(хаос-гиперхаос)_

1 отрицательный, 3 положительных показателя (хаос-гипергиперхаос)

5.7 Шр 10.35

10.35

Я=Р„81ПЦ)„1

В.А. Крысько и Г. Наркайтиса, и подтверждены в этой работе. Кроме того, впервые найдено состояние системы - глубокий хаос. В таблице 10 представлены области с каждым режимом колебаний по отдельности и все слои в сборе в виде карты показателей Ляпунова.

Вторая глава посвящена математическому моделированию криволинейных балок (рис. 2).

Рассматриваются гибкие однослойные, тонкие

криволинейные балки с длиной а, высотой /; и геометрической "V кривизной кх = \/Кх, где Ях - радиус \ кривизны. Балка нагружается

распределенной по ее поверхности /Я<

нагрузкой д(х,1), действующей в Рис. 2. Гибкая криволинейная балка

направлении нормали к серединной Эйлера-Бсрнулли

поверхности балки (рис. 2). Используется тот же набор гипотез, что и в случае с гибкой балкой Эйлера-Бернулли. Система дифференциальных уравнений в безразмерном виде выглядит следующим образом:

8'и

\ А 1

д и ,

-7 ~~ «X-+ Ч ( И*, -

дх дх

-=0,

1 д"и-12 дх4

+ к.

ди , \( (ЗиЛ д2-н>

--К, IV— — —у/——

дх 2\дх) &"

ч т , \ I д2™ дм . + £. (и, мм + д, ("и/, мг) ? + <7--— - е, — = 0.

1 2 ' а2 1 а

(9)

В табл. 11 для сравнения приведены карты режимов колебаний с параметрами криволинейной балки п = 120 , Я = 100, £, = 1, с кривизной кх = 0,12,48 соответственно (при кх - 0 речь идет об обычной балке).

Таблица 11

= 0

к. =12

к =48

5.7 ш 10.35

5.7 <ор 10.35

Таблица 12

Как видно из приведенных карт, увеличение кривизны балки приводит к увеличению области с гармоническими колебаниями. Повышается жесткость конструкции, что сказывается на увеличении зоны гармонических колебаний.

В табл. 12 приведены карты предельных прогибов (максимум равен 5 единицам).

Увеличение кривизны балки приводит к уменьшению области применимости математической модели. Кроме того, граница применимости становится четко различимой, что говорит о резкой смене режима колебаний, наблюдается динамическая потеря устойчивости.

В табл. 13 приведены карты расхождения сигналов (срез по 0,25 единииц среднего прогиба расхождения). Данные карты позволяют обнаружить зоны динамической потери устойчивости. Увеличение кривизны балки приводит к увеличению областей, в которых наблюдается динамическая потеря устойчивости.

Таблица 13

В табл. 14 приведены карты показателей Ляпунова. Как видно из приведенных карт, увеличение кривизны балки приводит к расширению области с предсказуемой динамикой (четыре отрицательных показателя), при этом после потери динамической устойчивости колебательный процесс может перейти в глубокий хаос, не свойственный колебаниям без кривизны или с малой кривизной.

Третья глава посвящена математическому моделированию гибких криволинейных балок в стационарном температурном поле.

Гибкие криволинейные балки в последнее время начинают применяться в приборостроении. В частности, в гироскопических приборах -микроэлектромеханических системах (МЭМС-датчики), что приводит к

необходимости анализа сложных колебаний с учетом стационарного температурного поля.

Рассматривается тот же набор Рис. 3. Стационарное температурное поле гипотез, что и в случае

криволинейной балки, но добавляется в рассмотрение стационарное температурное поле. Гипотезы и допущения относительно свойств материала, принятые для моделирования теплопроводности твердого тела. 1) Тело состоит из изометрических поверхностей, причем в каждой точке такой поверхности температура одинакова. Поверхности могут располагаться любым образом, но не могут пересекаться. 2) Изотропность тела. Свойства и структура тела во всех направлениях одинаковы. 3) Стационарное поле. Рассматривается случай установившейся температуры.

Уравнение теплопроводности в частных производных с учетом вышеизложенных гипотез и допущений для двумерного тела имеет вид

дх2 дг2

где Т = Т(х,г) - температура; х к г - пространственные координаты. Для температурного поля рассматривались граничные условия первого рода: Т(х,г) = 300 С° при 2 = 1/2, 0<*<1; Т(х,г) = 0 С" при г = -1/2, 0<*<1; Т(х,г) = 0 С° при х = 0, -1/2<г<1/2, Т(х,г) = 0 С" при дс = 1, -1/2<г<1/2 (рис.3). Уравнение решается методом граничного элемента.

Дифференциальные уравнения, описывающие динамику системы в

!-£,» (10)

1 1 d'w Л2 12 дх4 + '

д1" , , —r + i,(w, w) дх2 dNTx дх

du 1 ( dw -k,w— — 2удх у 1 -J

~дх

дх V дх ) д2М1

дх2

+ L.(w,u)+ Lj(w,w)> + а

(П)

где Щ a2)/(Eh}) -перемещения элемента балки, вызванные температурным полем; М[ =(M1xa)/(Eh1) - моменты элемента балки, вызванные температурным полем.

К уравнениям (10)-(11) следует присоединить граничные условия (3)-(6) и полученное температурное поле.

Таблица 15

T(x,z) = 0 С°

T(x,z) = 300 С°

Х103

200 q„

хЮ3 200 Яо

S.7 Ш|> 10.35

Карты режимов колебаний для гибкой криволинейной балки в стационарном температурном поле (параметры моделирования п = 120, кх = 0, X = 100, тип граничных условий - шарнирно-неподвижное опирание с одной стороны и жесткая заделка - с другой) приведены в табл. 15. Из них видно, что в приведенной постановке задачи поле оказывает положительное влияние на хаотическую динамику - увеличиваются области гармонических колебаний. Это объясняется тем, что оно приводит к искривлению балки, что повышает жесткость конструкции.

С применение данной математической модели была разработана математическая модель гибкой криволинейной балки в стационарном температурном поле с учетом электрического поля. На поверхности балки находился электропроводящий слой, способствующий появлению электрического поля. Исследования показали, что для несвязанной задачи (без учета влияния электрического поля на температурное поле) влиянием электрического поля на хаотическую динамику можно пренебречь.

В четвертой главе описывается разработанный программный комплекс. Он был реализован на базе программной платформы «.NET Framework» компании Microsoft на языке объектно-ориентированного программирования С#. Часть алгоритмов анализа и построения получаемых данных была разработана в пакете прикладных программ MATLAB (R2012a) на одноименном языке и интегрирована в программный комплекс через динамически подключаемые библиотеки. Распределенная система вычислений была разработана с использованием технологии создания веб-приложений и веб-сервисов ASP.NET от компании Microsoft. Средой разработки служила Microsoft Visual Studio 2010 Express Edition (Visual C# Express и Visual Web Developer Express).

Программный комплекс состоит из двух независимых частей: комплекс для качественного анализа вычислительного эксперимента и комплекс для количественного анализа множества экспериментов на области управляющих параметров. Так, при проведении отдельного взятого вычислительного эксперимента комплекс позволяет в автоматизированном режиме строить: спектр мощности Фурье, 2-d и 3-d вейвлеты Морле, псевдосечение Пуанкаре, фазовые и модальные портреты, автокорреляционную функцию, траекторию выбранной точки балки, эпюру прогиба и эпюру прогиба балки во времени.

Распределенная система вычислений делится на три уровня: вычислительный процесс, менеджер процессов и сервер распределенных вычислений. Менеджер процессов запускается на клиентской машине. Он отвечает за обращение к серверу вычислений (получение задач, передача полученных данных), управление вычислительными процессами (запуск, передача задания, получение результатов вычислений). Вычислительный процесс осуществляет проведение численного эксперимента. Сервер вычислений производит сохранение результатов вычислений и распределение задач.

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертационной работы

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

1. Построена математическая модель и развит метод, на основе которых создан программный комплекс по изучению пространственно-временного хаоса распределенных механических балочных структур.

2. Разработана кроссплатформенная система распределенных вычислений. Она полностью поддерживают многоядерность, легко масштабируются, обеспечивает высокий уровень производительности.

3. Проведено исследование сходимости моделирования. Определены оптимальные по точности и временным затратам параметры моделирования, такие как величина разбиения исследуемой области, время моделирования неустоявшегося процесса, сетка, накладываемая на область управляющих параметров.

4. Разработаны новые методы анализа хаотической динамики на области управляющих параметров: построены карты предельных прогибов, карты упругопластических деформаций, карты расхождения сигналов, карты показателей Ляпунова.

5. Изучено влияние различных граничных условий на хаотическую динамику исследуемых объектов. Карты режимов колебаний, карты расхождения сигналов и карты показателей Ляпунова для симметричных граничных условий в значительной мере похожи. Области гармонических колебаний для граничных условий типа жесткой заделки на обоих концах балки несколько больше, чем для шарнирно-неподвижного опирания, что обусловлено большей жесткостью системы. Колебательный процесс балки при несимметричных граничных условиях значительно более хаотичен.

6. Изучено влияние кривизны балки на её хаотическую динамику. Как и ожидалось, увеличение кривизны гибкой балки приводит к повышению её жесткости, зоны гармонических колебаний увеличиваются, при этом граница потери динамической устойчивости становится резко различимой (наблюдается динамическая потеря устойчивости).

7. Исследована хаотическая динамика гибкой криволинейной балки в стационарном температурном поле. Определено, что температурное поле в приведенной постановке задачи может оказывать положительное влияние на динамику за счет придания кривизны балке и увеличении её жесткости.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в центральных изданиях, включенных в перечень периодических изданий ВАК РФ

1. Загниборода H.A. Нелинейная динамика вибрационных микромсханичсских гироскопов (ММГ). Ч. 1. Расчет резонатора в виде балки с начальной неправильностью с учетом геометрической нелинейности / H.A. Загниборода, A.B. Крысько, В.А. Крысько и др. // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2012. № 2 (65). Вып. 2. С. 18-24.

2. Загниборода H.A. Нелинейная динамика вибрационных микромсханичсских гироскопов (ММГ). Ч. 2. Расчет резонатора в виде балки с начальной неправильностью с учетом геометрической нелинейности / H.A. Загниборода, A.B. Крысько, В.А. Крысько и др. // Всстник Саратовского государственного технического университета. 2012. № 3 (67). С. 7-15.

3. Загниборода H.A. Нелинейная динамика бесконечно длинных цилиндрических панелей / H.A. Загниборода, A.B. Крысько, Ф.Р. Шакирзянов и др. // Известия КГАСУ. 2013. № 3 (25).

4. Загниборода H.A. Хаотическая динамика гибких криволинейных балок Бернулли-Эйлера. Ч. 1 / H.A. Загниборода, A.B. Крысько, В.А. Крысько и др. // Всстник Саратовского государственного технического университета. 2013. №2 (70). С. 12-20.

5. Загниборода H.A. Хаотическая динамика гибких криволинейных балок Бсрнулли-Эйлсра. Ч. 2 / H.A. Загниборода, A.B. Крысько, В.А. Крысько и др. // Всстник Саратовского государственного технического университета. № 2 (70). 2013. С. 20-28.

Публикации в иностранных изданиях

6. Zagniboroda N.A. Chaotic vibrations of flexible infinitely length plate / N.A. Zagniboroda, J. Awrejccwicz, A.V. Krysko, etc. // Proceedings 11th Conference on Dynamical Systems: Analytical, Numerical Methods, Stability, Bifurcation and Chaos, Lodz, Poland. P 117-128.

7. Zagniboroda N.A. Analysis of chaotic vibrations of flexible plates using fast Fourier transforms and wavelets / N.A. Zagniboroda, J. Awrcjccwicz, A.V. Krysko, etc. // Int. J. Str. Stab. Dyn. Vol. 13. № 7. 1340005( 12 pages), DOI: 10.1142/S0219455413400051.

8. Zagniboroda N.A. Chaotic dynamics of flexible beams with piezoelectric and temperature phenomena / N.A. Zagniboroda, I.V. Screbryakov, A.V. Krysko, etc. // Physics Letters, Section A: General, Atomic and Solid State Physics 2013, 377 (34-36), pp. 2058-2061.

Публикации в других изданиях

9. Загниборода H.A. Математическое моделирование стохастических колебаний цилиндрических панелей в температурном поле (тезисы) / H.A. Загниборода, Ю.В. Николаева, И.Е. Кутепов // Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2011» МГУ, 11-15 апреля 2011 г, М. URL: http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2011 /1258/30330_ad33 .pdf.

10. Загниборода H.A. Хаотические колебания гибких бесконечно длинных цилиндрических панелей в температурном поле (тезисы) / H.A. Загниборода, В.А. Крысько, A.B. Крысько и др.// Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте : сб. тез. докл. VIII Междунар. конф. по проблемам прочности материалов и сооружений на транспорте, г. Санкт-Петербург, 2223 июля 2011 г. СПб., 2011. С. 68-69.

11. Загниборода H.A. О картах характера колебаний гибких балок / H.A. Загниборода // Современные вопросы науки и образования - XXI век: Международная заочная научно-практическая конференция. Тамбов. Сборник трудов. Тамбов, 31 января 2012., Ч. 9. С. 44-45.

Авторские документы

12.Загниборода H.A. Программа для исследования колебаний однородных упругих пластин и панелей под действием поперечной нагрузки. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012615709. Зарегистрировано 22 июня 2012 г.

13.Загниборода H.A. Программа для исследования колебаний однородных упругих пластин и панелей в температурном поле под действием поперечной нагрузки. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012615710. Зарегистрировано 22 июня 2012 г.

14.Загниборода H.A. Программный комплекс для качественного исследования сложных колебаний прямоугольных в плане двухслойных оболочек с учетом геометрической нелинейности. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013616175. Зарегистрировано 12 марта2013 г.

15.Загниборода H.A. Программный комплекс для качественного исследования сложных колебаний диссипативных или консервативных систем в виде гибких упругих пологих сферических секториальных оболочек под действием различных нагрузок, действующих в каждой единице объема. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013615164. Зарегистрировано 29 мая 2013 г.

Загниборода Николай Анатольевич

ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ГИБКИХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ БАЛОК В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Автореферат

Подписано в печать 25.10.2013 Формат 60*84 1/16

Бум. офсет. Усл. печ. л. 1,0 Уч.-изд. л. 1,0

Тираж 100 экз. Заказ 164 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Тел.: 99-87-39, e-mail: izdat@sstu.ru

ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет

имени Гагарина Ю.А.»

04201451275

Загниборода Николай Анатольевич

На правах рукописи

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ГИБКИХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ БАЛОК В СТАЦИОНАРНОМ ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Крысько Антон Вадимович

Саратов 2013

Содержание

Введение (краткий исторический обзор исследований по теме диссертации) 5

Глава I Математическое моделирование хаотической динамики 18 гибких прямолинейных балок

§1 Основные гипотезы и допущения 18

§2 Математическая модель гибкой прямолинейной балки 18

§3 Методы решения дифференциальных уравнений, описывающих 22 балки Эйлера-Бернулли

3.1 Сведение системы уравнений методом конечных разностей к 22 системе обыкновенных дифференциальных уравнений

3.2 Сведение системы уравнений методом конечных элементов к 23 системе обыкновенных дифференциальных уравнений

3.3 Достоверность получаемых результатов 24 §4 Анализ сложных колебаний гибкой прямолинейной балки на

области управляющих параметров. Частотный анализ режимов 26

колебаний

§5 Достоверность получаемых результатов 28

5.1 Оптимальные параметры моделирования на области управляющих 31 параметров

5.2 Методы решения задачи Коши методами Рунге-Кутты 4-ого и 6- 38 ого порядков точности

5.3 Особенности решения симметричных задач 39 §6. Влияние краевых условий на хаотические колебания балок Эйлера- 43 Бернулли

§7 Новые методы анализа сложных колебаний на области 44

управляющих параметров.

7.1 Анализ применимости математической модели по предельно 44 допустимым прогибам

7.2 Проверка гипотезы упругого тела

7.3 Определение симметрии прогибов балки

46

47

7.4 Определение нелинейного отклика балки на линейно изменяемый 48

§8. Показатели Ляпунова, определение режимов колебаний системы с 50 их применением

8.1 Алгоритм Бенеттина вычисления показателей Ляпунова и 50 обобщенный алгоритм Бенеттина в обучении сети

8.2 Сценарии перехода колебаний из гармонических в хаос и "хаос- 60 гиперхаос"

8.3 Алгоритм Вольфа вычисления показателей Ляпунова 72 §9 Определение показателей Ляпунова на области управляющих 74 параметров

§ 10 Анализ сценариев хаотических колебаний гибких балок Эйлера- 76 Бернулли в зависимости от частоты внешнего периодического воздействия

Выводы по главе 81

Глава П Математическое моделирование хаотической динамики 83 гибких криволинейных балок

§1 Основные гипотезы и допущения 83

§2 Математическая модель гибкой криволинейной балки 84

§3 Исследование влияния кривизны балки на хаотические колебания 87 гибких криволинейных балок

§4 Исследование влияния граничных условий на хаотические 92

колебаний гибких криволинейных балок

§5 Исследование сценариев хаотических колебаний гибких 92

криволинейных балок

Выводы по главе 106

Глава Ш Математическое моделирование хаотической динамики

управляющий параметр

48

гибких криволинейных балок в стационарном температурном 107 поле

§1 Основные гипотезы и допущения 107

§2 Определение стационарного температурного поля 107

§3 Математическая модель гибкой криволинейной балки в 108 стационарном температурном поле

§4 Определение влияния стационарного температурного поля на Ю9 хаотическую динамику

§5 Математическая модель гибкой криволинейной балки в \ ю стационарном температурном поле с учетом электрического поля.

Выводы по главе 114

Глава IV Программный комплекс 115

§ 1 Комплекс качественного анализа сложных колебаний 115

§2 Комплекс количественного анализа сложных колебаний 118

Заключение 121

Список использованной литературы 122

Введение

(краткий исторический обзор исследований по теме и основное содержание работы) Промышленность - основа развития человеческой цивилизации. Машиностроительная отрасль является экономическим локомотивом многих стран мира. Роль автомобилестроения, авиастроения, судостроения, ракетно-космического машиностроения в современном мире трудно переоценить. Потребность в продуктах этих отраслей способствует высокой конкуренции, которая вынуждает непрерывно совершенствовать конструкции машин и их узлы. Базовыми элементами конструкций являются такие распределенные механические системы как балки, пластины и оболочки. Основные требования, предъявляемые к ним при оптимизации - это устойчивость к внешним нагрузкам, способность сохранять свою форму, малый вес.

Основными инструментами при оптимизации конструкций являются натурное и математическое моделирование. Натурное моделирование и динамические испытания становятся весьма затратными при усложнении исследуемой системы. Кроме того существуют задачи, в которых натурное моделирование затруднительно. Математическое и компьютерное моделирование имеет ряд преимуществ: 1) для вычислительного эксперимента не требуется сложного лабораторного оборудования; 2) идет существенное сокращение временных и экономических затрат на эксперимент; 3) имеется возможность свободного управления параметрами, произвольного их изменения; 4) простота прерывания и возобновления численных экспериментов.

Отправной точкой в теоретических исследованиях балок можно считать работу Якоба Бернулли, посвященную изучению изгибу стержней. Полученное им дифференциальное уравнение статического изгиба, в дальнейшем исследовал Леонард Эйлер. Результатом работы стало дифференциальное уравнение поперечных колебаний балки Эйлера-Бернулли [1].

Существенный вклад в развитие теоретической механики и изучение колебаний балок и стержней в частности, в ХУ1П-Х1Х веках внесли такие ученые, как: Юнг, Навье, Лагранж, Клапейрон, Сен-Венан, Ж. Фурье и Ж. Буссинеск.

Во второй половине XIX века происходит становление отечественной школы теоретической механики. После революции 17-го года отечественная школа механики распадается. Часть исследователей эмигрировала, часть осталась в СССР.

Существенный вклад в развитие внесли Н. А. Белелюбский [2] , Н. П. Петров [3], Д. К. Бобылев [4, 5], Д.И. Журавский [б], В. Л. Кирпичев [7], Ф. С. Ясинский [8, 9], заложившие своими работами основы теории сопротивления материалов и теоретической механики.

Отдельно следует отметить вклад в развитие теоретической механики С.П. Тимошенко. Учет инерции вращения элементов стержня и деформации поперечного сдвига позволил ему обобщить классическую теорию поперечных колебаний стержней. Его работы «Курс теории упругости», «О продольном изгибе стержней в упругой среде», «Устойчивость стержней, пластин и оболочек» [10-12] до сих пор не утратили актуальности.

Значительный вклад в развитие нелинейной теории балок, пластин и оболочек сделан такими учеными, как: В.В. Новожилов [13], Биргер И.А. [14] , А. С. Вольмир [15-17], В. 3. Власов [18], В. В. Болотин [19].

Анализ исследований стержней, балок, пластин и оболочек за последние 10 лет позволяет выделить ряд работ, как наших соотечественников, так и зарубежных коллег.

Распространенным подходом для исследования колебаний балок является метод конечных элементов. В работе [20] рассматривается конечноэлементная модель с 18-ью узлами, для исследования напряженного состояния толстых криволинейных балок и панелей с различными типами нагружения. В работе [21] предлагается гибридный метод конечных элементов, он совмещает обычный метод конечных элементов и

энергетический. С его применением определяются вибрации жестких и гибких балок, а также количество энергии, диссипируемой в демпфирующих элементах. В статье предлагается [33] простая механическая модель криволинейных балок с помощью трехмерного подхода.

Исследованию стержней Эйлера-Бернулли посвящены работы [22, 26, 29, 42]. В них рассматривается задача о собственных значениях разрывных стержней (применяется метод сосредоточенных масс), решение задач о свободных колебаниях неоднородных стержней, краевая потеря устойчивости с волнообразованием в слоистых стержнях, и дискретные модели расчета стержневых конструкций соответственно.

Также можно отметить такие работы как: «Отклик и схлопывание металлических стержней и пологих арок на пенистых основаниях»[30], «Вынужденные колебания балки с существенно нелинейным гасителем»[31], «Динамический отклик балки, описываемой уравнениями Бернулли-Эйлера на вязкоупругом основании, на последовательность движущихся динамических нагрузок» [34] и «Аналитическое решение задачи о поперечных колебаниях балки» [39].

Вопросам контроля режима колебаний гибких балок с применением пьезоэлектрических сенсоров и активаторов посвящена работа [24]. В статье [35] рассматривается экспоненциальная стабилизация поперечной вибрации и отслеживание траектории точек при общем движении в плоскости балки Эйлера-Бернулли. Разрабатывается сложная система контроля, показывается эффективность её применения. Также можно отметить работу об узлах приложения нагрузки для подавления колебаний стержня при гармоническом возбуждении [41].

Исследование одномерных уравнений искривленных в одной плоскости пьезоэлектрических брусков, пьезоупругих пластин под влиянием поврежденности и балок с пьезоэлектрическими участками отражено в статьях [27, 28, 39]. Влияние магнитного поля на состояние электропроводящих пластин при неконсервативных нагрузках описано в [32].

Вопрос воздействия температуры на балки практически не освещен, можно выделить близкие работы как «Тепловой удар по термоупругой пластине, имеющей смешанные граничные условия» [43] Егорычева O.A., Егорычева О.О. и Федосова А.Н., и «Исследование хаотических колебаний прямоугольных пластинок в температурном поле» [44].

Получившие широкое распространение в последние десятилетия методы анализа детерминированного хаоса позволили по-новому подойти к описанию нелинейных колебаний балок, панелей, пластин и оболочек, а так же их комбинаций. Среди работ посвященных изучению распределенных механических с позиций хаоса систем отдельно стоит выделить исследования, проведенные научной школы Крысько В.А. или совместные с ней работы. Интерес представляет тот факт, что исследования проводятся для сильно нелинейных систем.

Особенности сложных колебаний балок Эйлера-Бернулли с множеством степеней свободы освещены Салтыковой O.A., Жигаловым М.В. [23, 25]. Следует отметить, что рассматривалась, как модель Эйлера-Бернулли, так и модель Тимошенко. Хаотическая динамика пары и тройки взаимодействующих гибких балок показана Коч М.И., Яковлевой Т.В в работах [36, 37, 40]. Анализу и описанию сценариев перехода к хаосу некоторых динамических систем с множеством степеней свободы посвящен цикл работ [45, 46]. Стоит также остановиться на работах [47-52]. Большой вклад в развитие хаотической динамики был сделан в работах В.А. Крысько, Я. Аврицевич, A.B. Крысько, М.В. Жигалов, И.В, Папкова [52-63].

Анализ состояния литературы по данному вопросу показывает, что опубликованные работы по колебаниям балок Бернулли-Эйлера выполнены с малым числом степеней свободы. Слабо освещены такие интересные явления как переход колебаний механической системы из гармонического режима в хаос, гиперхаос и гипер-гипер хаос. Не изучено явление пространственно-временного хаоса в балочных системах. Не делается анализ спектра показателей Ляпунова, и имеющиеся методы получения спектра ляпуновских

показателей далеки от своего совершенства. Не выявлены сценарии перехода колебаний из гармонических в хаотические гибких балок Эйлера-Бернулли, не построены карты характера колебаний от управляющих параметров: амплитуды внешней поперечной нагрузки и частоты воздействия. Не проанализирован характер колебаний гибких балок Эйлера-Бернулли в широком диапазоне частоты внешнего воздействия. Исследований посвященных изучению сложных колебаний гибких криволинейных балок и гибких криволинейных балок в стационарном температурном поле нет. Данная работа ставит своей целью ликвидацию указанных пробелов.

Целью работы является исследование хаотической динамики гибких балок, гибких криволинейных балок и гибких криволинейных балок в стационарном температурном поле под действием внешней периодической нагрузки. Для достижения этой цели были решены следующие задачи:

1. Разработаны математические модели гибкой балки, гибкой криволинейной балки и гибкой криволинейной балки в стационарном температурном поле с применением гипотез Эйлера-Бернулли, гипотез пологости и ряда гипотез для определения температурного поля;

2. Разработан и реализован в программном комплексе численный метод, моделирующий хаотическую динамику исследуемых объектов;

3. Разработаны и реализованы в программном комплексе новые алгоритмы анализа хаотической динамики на области управляющих параметров, позволяющие определять области выполнения гипотез по прогибам, зоны упругих и пластических деформаций, режимы колебаний, показатели Ляпунова, нелинейный отклик системы на линейное воздействие по внешней нагрузке

4. Усовершенствован процесс постановки вычислительного эксперимента: осуществлена интеграция алгоритмов анализа сигналов среды МАТЪАВ в вычислительный комплекс, реализована поддержка

многопроцессорных систем, разработана система распределенных вычислений

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка используемой литературы. Работа содержит 133 страницы наборного текста, в том числе 12 рисунков, 66 таблиц.

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, приведен краткий исторический обзор результатов, сформулирована цель работы, приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе строится математическая модель гибкой балки Эйлера-Бернулли, приводятся основные гипотезы. Описывается метод решения, обосновывается достоверность получаемых результатов. Дается описание карты режимов колебаний как метода анализа на области управляющих параметров. Проводится определение оптимального разбиения по пространственной координате, и оптимального разбиения области управляющих параметров. Приводятся новые методы анализа на области управляющих параметров (карта предельно допустимых прогибов, карта зон упруго-пластических деформаций, карта расхождения траекторий, карта Показателей Ляпунова и др.). Изучается влияние различных граничных условий при разной толщине балки на хаотическую динамику гибкой прямолинейной балки. Также проводится исследование влияния различных параметров моделирования.

Вторая глава посвящена математическому моделированию криволинейных балок. С применением разработанных методов анализа на области управляющих параметров изучается влияние геометрической кривизны на хаотическую динамику гибких криволинейных балок. Проводится качественный анализ.

Третья глава посвящена математическому моделированию гибких криволинейных балок в стационарном температурном поле. Изучается влияние стационарного температурного поля различной мощности на хаотическую динамику балки. На основе данной модели разрабатывается

математическая модель гибкой криволинейной балки в стационарном температурном поле с учетом электрического поля (рассматривается несвязанная задача, электрическое поле не влияет на температурное поле). В четвертой главе описывается разработанный программный комплекс и основные трудности, с которыми пришлось столкнуться в процессе его разработки.

Список используемой литературы включает 120 наименований. Научная новизна работы заключается в следующих новых результатах:

1. Предложен метод математического моделирования и построены математические модели, учитывающие кривизну гибкой балки и стационарное температурное поле.

2. Разработаны алгоритмы и программный комплекс, обеспечивающий моделирование пространственно-временного хаоса гибкой балки, гибкой криволинейной балки и гибкой криволинейной балки в стационарном температурном поле.

3. Разработаны алгоритмы и программное обеспечение для анализа колебательного процесса, которое позволяет определить зоны выполнения гипотез по допустимым прогибам, зоны упругих и пластических деформаций, а также позволяет строить карты режимов колебаний, карты расхождения траекторий, карты показателей Ляпунова. Произведено сравнение карт между собой. Ввиду большой вычислительной сложности в программном комплексе потребовалось реализовать систему распределенных вычислений, использующую потенциал многопроцессорных систем, и реализующую автоматическое масштабирование вычислительных мощностей.

4. Произведено исследование сходимости получаемых результатов от ряда параметров моделирования (количество точек мод�