автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели сложных колебаний балок в условиях знакопеременных и ударных нагрузок

На правах рукописи

Салтыкова Ольга Александровна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛОЖНЫХ КОЛЕБАНИЙ БАЛОК В УСЛОВИЯХ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ И УДАРНЫХ НАГРУЗОК

Специальности: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

(М

г

1 3 иод 7плд

Саратов 2008

003452386

Работа выполнена в Государственном общеобразовательном учреждении высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет» (Россия) и Техническом Университете г. Лодзь (Польша)

Научные руководители - доктор технических наук, профессор

Крысько Вадим Анатольевич (Россия)

- доктор, профессор Аврейцевич Ян (Польша)

Официальные оппоненты -доктор физико-математических наук, профессор

Серазутдинов Мурат Нуриевич (Казанский государственный технологический университет)

- доктор физико-математических наук, профессор Землянухин Александр Исаевич (Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского)

Ведущая организация - Институт проблем точной механики и управления

РАН, г. Саратов

Защита состоится «26» ноября 2008г. в 13.00 на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».

Автореферат разослан «¿3» октября 2008 г. Ученый секретарь

диссертационного совета г* А.А. Терентьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В связи с появлением сложных инженерных и технических сооружений в последние десятилетия к вопросам динамики конструкций проявляется особый интерес. Активно расширяется снектр применения балочных конструкций. Так, развитие авиационной, строительной и морской техники выдвинуло в число наиболее актуальных задач изучение нелинейного, в том числе хаотического поведения балок, их динамики и устойчивости при воздействии вненших нагрузок. Резко возрастают требования к оценкам прочности и экономичности таких конструкций. Отдельным вопросом изучения динамики механических систем является вопрос о переходе систем в состояние хаоса под действием различного вида нагрузок.

Значительный вклад в изучение этого вопроса внесли такие ученые, как П.С.Ландау, Е.А.Хопф, М.Фейгенбаум, Н.Помо, Ю.И.Неймарк, ВА.Крысько, Я.Аврейцевич, П.А.Ланда, П.Манневиль, Д.И.Трубецков, У.Лепик и др.

Исследованиям хаотических колебаний пологих, замкнутых цилиндрических оболочек, круглых и прямоугольных пластинок, бесконечно длинных панелей, а также балок, посвящены работы В.А.Крысько, Я.Аврейцевича, Ю.Г.Коноплева, А.В.Крысько, 'Г.В.Вахлаевой, Т.В.Щекатуровой, И.В.Папковой, Н.Е.Савельевой, Э.С.Кузнецовой, М.В.Жигалова, О.Н.Киреевой, Г.Г.] 1аркайтиса. Исследования поведения пластин и оболочек под действием ударных нагрузок можно найти в работах В.Г.Баженова, В.А.Крысько, А.М.Варыгина и др. Однако в работах этих авторов не достаточно изучены сложные колебания балок в условиях знакопеременных и ударных нагрузок. В связи с этим важной и актуальной является задача построения детерминированных математических моделей, позволяющих исследовать хаотические колебания балок при воздействии поперечной знакопеременной нагрузки и продольного удара груза.

Целыо работы является построение математических моделей нелинейных колебаний сложных механических систем в виде балок с учетом гипотез Эйлера-Берпулли, С.П. Тимошенко, Пелеха-Шереметьева. Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработка математических моделей для сложных колебаний гибких балок по гипотезам Эйлера-Бернулли, С.П.Тимошенко, Пелеха-Шереметьева для некоторых типов граничных условий под действием знакопеременной и ударной нагрузок.

2. Изучение сценариев перехода от гармонических колебаний к хаотическим для различных гипотез с учетом некоторых управляющих параметров.

3. Разработка алгоритма и комплекса программ на ПЭВМ для

качественного исследования сложных колебаний диссипативных систем в виде упругих балок с учетом различных гипотез ири произвольных граничных условиях. 4. Качественное исследование динамики гибких балок на основе нелинейной динамики в зависимости от изменения следующих параметров: краевых условий, амплитуды и частоты равномерно распределенной поперечной и продольной знакопеременных нагрузок, ударных нагрузок, величины диссипативных членов, угла поворота и искривления нормали.

Направление исследований данной работы является изучение динамики сложных механических систем в виде балок, изучение сценариев перехода к хаосу в этих системах, выявление точности используемой математической модели.

Основными методами исследований являются методы качественной теории дифференциальных уравнений; методы конечных разностей с аппроксимацией 0{с2), О(с4),0(се), конечных элементов с аппроксимацией в форме Бубпова-Галеркина по пространственным координатам, позволяющие сводить уравнения в частных производных к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследуется сходимость этих методов в зависимости от шага разбиения по пространственной координате; методы анализа показателей Ляпунова; методы типа Руяге-Кутта четвертого порядка точности, позволяющие решать обширные системы обыкновенных дифференциальных уравнений по времени. Для указанных методов, исследована устойчивость решения в зависимости от соотношения шагов по временной и пространственной координатам.

Достоверность и обоснованность обеспечивается корректной физической и математической постановкой задачи, применением методов математического моделирования, качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики, сравнением результатов, полученных методом конечных разностей и методом конечных элементов по пространственной координате.

Результаты, полученные автором диссертации, согласуются с имеющимися физическими представлениями, основанными на экспериментах.

Научная иовтпаработы заключается в следующем: 1. Построена математическая модель сложных колебаний гибких упругих балок с некоторыми краевыми условиями под действием поперечной знакопеременной и ударной нагрузок, с использованием гипотез Эйлера-Берпулли, позволяющая проводить качественный анализ динамического поведения балки при действии различных управляющих параметров (тип трения и значения коэффициентов диссипации энергии, учет различных граничных условий, относительная толщина балки, частота

и амплитуда вынуждающих колебаний, скорость груза в момент удара, отношение массы балки к массе груза и др.).

2. Построенная математическая модель сложных колебаний гибких упругих балок с произвольными краевыми условиями под действием поперечной знакопеременной нагрузки, с использованием гипотез С.П. Тимошенко учитывает инерционные составляющие, связанные с поворотом сечений. Реализация этой математической модели позволила провести качественный анализ динамического поведения балки при действии различных управляющих параметров (граничные условия, амплитуда и частот вынуждающих колебаний, величина геометрического параметра).

3. Построенная математическая модель сложных колебаний гибких упругих балок с произвольными краевыми условиями под действием поперечной знакопеременной нагрузки с использованием гипотез Пелеха-Шереметьева, учитывающая инерционные составляющие, связанные с поворотом сечений, позволяет изучать влияние граничных условий, амплитуды и частоты вынуждающих колебаний, а также геометрического параметра на динамическое состояние балки.

4. Сценарии перехода колебаний гибких балок от гармонических в хаотические, для различных граничных условий, с учетом различных управляющих параметров. Изучение сценариев позволяет провести их классификацию в соответствии с ранее изученными, а также прогнозировать поведение исследуемой динамической системы во времени при изменении управляющих параметров.

5. Учет различных типов трения (кулоновское, нелинейное, линейное) и упругих оснований Винклера и В.З.Власова для гибкой и жесткой балки Эйлера-Бернулли позволило провести сопоставление влияния учета упругих оснований Винклера и В.З.Власова и типов трения, для математической модели балки Эйлера-Бернулли.

6. Разработаны и реализованы алгоритмы, методика и комплекс программ анализа хаотических колебаний гибких диссипативных систем в виде гибких упругих балок с произвольными краевыми условиями, находящихся под действием поперечной знакопеременной и ударной нагрузок, с помощью которых проведен качественный анализ состояний балки Эйлера-Бернулли, С.П. Тимошенко, Пелеха-Шереметьева.

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

1. Построены математические модели нелинейной динамики гибких балок, подчиняющихся гипотезам Эйлера-Бернулли, С.П. Тимощенко, Пелеха-Шереметьева. Это позволило впервые провести сравнительный анализ состояния системы при использовании различных математических моделей, а также определять зоны хаотических колебаний и управляющие параметры (амплитуду вынуждающих колебаний, скорость груза и отношение массы груза к массе балки в случае ударной нагрузки, коэффициенты внешнего и внутреннего трения, геометрические параметры

балки) для предотвращения негативных последствий.

2. Разработан и реализован в виде пакета программ для ПЭВМ универсальный алгоритм расчета гибких балок при действии произвольной нагрузки, в том числе ударной, с учетом различных видов трения и оснований Випклера и В.З.Власова, с помощью которого проведен качественный анализ (сигналов фазовых портретов, сечения Пуанкаре, спектров мощности на основе Фурье анализа, автокорреляционных функций, знаков Ляпуновских показателей) хаотических колебаний гибких диссипатнгвных систем в виде балок при различных типах граничных условий.

3. Впервые построенные карты зависимости характера колебаний системы от управляющих параметров П°Д действием знакопеременной поперечной нагрузки вида ц = ят(йу) для каждой модели с учетом некоторых типов граничных условий при нескольких значениях геометрического параметра, дают представление о динамическом состоянии системы для каждого набора управляющих параметров.

4. Для статической и динамической задач установлено существенное влияние относительной толщины балки на напряженно - деформированное состояние системы.

5. Показано, что переход колебаний из гармонических в хаотические для гибких балок при действии поперечной знакопеременной и ударной нагрузок на разных частотах вынуждающих колебаний может происходить по различным сценариям, таким как: сценарий Фейгенбаума, сценарий Рюэля, Такенса, Ныохауза, модифицированный сценарий Рюэля, Такенса, Ньюхауза, модифицированный сценарий Помо - Манневиля.

Практическая ценность и реализация результатов. Предложенные математические модели позволяют решать широкий класс практических задач динамики нелинейных гибких упругих балок при произвольных краевых условиях. Разработанный алгоритм позволяет исследовать колебания механических систем в виде балок в зависимости от управляющих параметров (амплитуды и частоты возбуждающей нагрузки, краевых условий, геометрического параметра, диссипативных членов, упругого основания). Предложенные алгоритмы расчета динамики нелинейных упругих балок могут быть использованы при создании балочных систем для инженерных конструкций, в приборостроении при инженерных расчетах. Результаты, полученные в диссертации, использовались при чтении курса лекций «Математические модели и методы исследования сложных колебаний неклассических распределенных механических систем», а так же при написании учебных пособий по данной теме. Работа выполнена нри финансовой поддержке гранта 2006-2008 гг. РФФИ № 06-08-01357 и гранта СГТУ 1.3.08.2008 г.

Апробации работы. Основные положения и результаты диссертации представлялись на III Международной конференции по теории нелинейной динамики механических и биологических систем (Саратов, 2004); XXI Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов, 2005); 8th conference of Dynamical systems «Theory and Application, DSTA 2005» (Lodz, Poland, 2005); научном семинаре кафедр «Автоматика и биомеханика» и «Прочность материалов и конструкций» Технического университета г. Лодзь (Польша, 2006); третьей Международной научно-технической конференции молодых ученых и студентов (Украина, г. Донецк, 2007); 9th conference of Dynamical systems «Theory and Application, DSTA 2007» (Lodz, Poland, 2007); IV Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2007); VII Межрегиональной научно-практической конференции студентов и аспирантов (Новокузнецк, 2007); Международном семинаре, посвященном памяти заслуженного деятеля науки ТАССР проф. А.В.Саченкова (Казань, 15-17 сентября 2008).

В законченном виде диссертация докладывалась на научных семинарах кафедры «Высшая математика» Саратовского государственного технического университета нод руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А.Крысысо (Россия, 2008); кафедры «Автоматика и биомеханика» Технического университета г. Лодзь (Польша, 2008) под руководством профессора Я.Аврейцевича; на научном семинаре Lodzldego Polskiego Towarzystwa Mechaniki Teoretycznej i Stosowanej г. Лодзь (Польша, 2008) под руководством профессора, Катаржины Коваль-Михальской; на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» Саратовского государственного технического университета под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м.н., профессора В.Б.Байбурипа (Россия, 2008).

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 12 печатных работах, в том числе 4 в журналах из перечня ВАК РФ. .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы. Работа содержит 164 страницы, в том числе 19 рисунков, 49 таблиц. Список использованной литературы включает 123 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, дается исторический обзор результатов но математическому моделированию балочных систем, сформулирована цель работы, приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе формулируются основные гипотезы и допущения для построения математической модели сложных колебаний балок Эйлера-Бернулли. Рассматриваются однослойные упругие балки, подчиняющиеся закону Гука. Проводится сравнительный анализ методов типа конечных разностей для сведения уравнений в частных производных к задаче Коши. Разработан алгоритм расчета динамики балок Эйлера-Бернулли методами конечных разностей с аппроксимацией о(с2) по пространственной координате и конечных элементов с аппроксимацией по Бубнову-Галеркину. Обеспечивается достоверность получаемых результатов.

Как двумерная область Q. балка определяется следующим образом: 0</<°о, Cl = {xe\Q,a\-h<z<h}. Рассматривается балка с прямоугольным поперечным сечением длиной а, высотой 2й, нагруженная распределенной на единицу длины поперечной знакопеременной нагрузкой g(x,t), действующей в напрплении оси oz. Колебания балки рассматриваются в рамках гипотезы Эйлера-Бернулли, т.е. в предположении, что поперечные сечения, перпендикулярные оси балки до изгиба, остаются плоскими и перпендикулярными изогнутой оси и не деформируются в своей плоскости. Система дифференциальных уравнений в перемещениях в безразмерном виде, описывает движение балки с учетом диссипации энергии (1), черточки над безразмерными параметрами, для простоты опущены:

u"xx+Li{w,w)-u-E2ù = О, где Lx(u,w) = u"aw'x + , L2(w,w) = 3/2w"a{w'tf, ¿30,и<) = « -нелинейные операторы. Для сведения уравнений (1) к безразмерному виду использовались следующие безразмерные параметры: w = w/(2h), н =ыа/(2й)2, х = х/а, Л = а/(2й), q = qa* /((2ft)4 E), t=t/r,r = a/k, к = -ЩТу , ë12 =sua!k.

К уравнениям (1) следует присоединить одно из краевых условий и начальные условия:

1. Заделка - заделка:

w(0,f) = w(a,t) =u(0,t) = u(a,t) =<(0,0 = w'x{a,t) = 0. (2)

2. Шарнир - шарнир:

w(0,t) = w(a,t) =u(0,/) = u(a,t) =<(0,0 = w"a(a,t) = 0. (3)

3. Заделка — шарнир:

w(0,0 = ы (0,0 = w(a,t) = u(a,t) = <(0,0 = <(a,0 = 0 (4)

4. Заделка — свободный край:

и<0,0 = <(0,0 = и(0,0 = 0; M,(a,t) = Nx(a,t) = Qx(a,t) = 0. (5)

Начальные условия:

w(*)|,.o = "Ц,-о = wM|,.o = 0;й(х)и = 0. (6)

На рассматриваемую балку действует.' знакопеременная поперечная нагрузка вида

Ч == <?» (7)

Бесконечномерная задача (1)-(6) с помощью метода конечных разностей с аппроксимацией о(с2), а также метода конечных элементов в представлении Бубнова-Галеркипа, сводится к конечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений решаем методом Рунге - Кутга четвертого порядка точности.

Важным вопросом при решении задач хаотической динамики является вопрос достоверности получаемых результатов. В связи с тем, что дифференциальные уравнения, описывающие поведение используемых математических моделей, существенно не линейны, получение аналитических решений для проверки численных результатов становится невозможным. Данный тин динамических задач решается впервые, таким образом, сопоставление с результатами других авторов невозможно. Единственным выходом является сопоставление с результатами, полученными с помощью разных численных методов. Поэтому используем сравнение решений по методу конечных разностей с аппроксимацией О (с1) (МКР) и методу конечных элементов (МКЭ) в форме Бубнова-Галеркипа.

Отметим, что для каждого метода, используя принцип Рунге, проводились исследования на предмет сходимости результатов но разбиениям: а) пространственной координаты; б) времени. Было установлено, что оптимальным разбиением по пространственной координате является и = 40, шаг по времени М = 3.90625-10"3. На основании этих исследований выбирались параметры задачи, используемые в дальнейшем. Показана сходимость численных результатов с использованием МКР и МКЭ на примере не только сходимости сигнала ч!{!), но и фазовых портретов, спектров мощности в представлении Фурье

Для подтверждения достоверности результатов и следуя идее А.Пуанкаре о том, что лучше изучать все многообразие орбит, чем следить за какой-то конкретной, были построены карты динамических режимов для управляющих параметров сор), которые представляют собой графическое отображение результатов решения динамической задачи. Важным вопросом является наиболее полное отображение информации при минимальных затратах машинного времени. Для построения карт на область пространства была наложена сетка, в узлах которой

производилась идентификация характера колебаний. Предварительно исследовался вопрос о сходимости решения при увеличении количества разбиений области {#„, шр\. Расчеты показали, что ^х N = 300x300 является оптимальным. Для построения одной карты, с разрешением 300x300

необходимо просчитать 9 104 вариантов. Время счета одной карты

3 Грогаб

Рис. 1 Карты динамических режимов

Для консольной балки приведены карты динамических режимов, полученные двумя разными методами: конечных разностей (рис. 1а) и конечных элементов (рис. 16).

Условные обозначения применимы ко всем нижеприведенным картам. Как видно, карты для каждого набора управляющих параметров, построенные разными методами, практически полностью совпадают. Для всех граничных условий было проведено сравнение численных результатов но методам исследования (сопоставление сигналов, спектров мощности, карт), в результате чего сделан вывод о достоверности получаемых численных решений.

Во второй главе исследуются сценарии перехода гармонических колебаний в хаотические для гибких балок Эйлера-Бернулли в условиях поперечной знакопеременной нагрузки для различных граничных условий.

Так, исследован сценарий перехода системы к хаосу для граничных и

началы-шх условий (3), (6), в результате чего выявлено, что система переходит к хаотическим колебаниям через

последовательное появления трех частот, значения которых линейно не зависят друг от друга, то есть наблюдаем модифицированный сценарий Рюэля, Такенса, Ныохауза, который был впервые предложен В. А.Крысысо и И.В.Кравцовой. Для граничных и начальных условий (5), (6) переход системы к хаосу происходит по следующему сценарию: колебания системы на частоте возбуждения, появление одной линейно независимой частоты, обогащение спектра рядом частот, линейно зависящих от первых двух. Если рассматривать сценарий в случае заделки обоих концов балки (2) и начальных условий (6), то для частот возбуждающих колебаний о}р ~ 6.2 и сор - 9.2 сценарии различны.

Проведено сравнение результатов расчета гибких балок Эйлера-

-/"V 1 '1

Л

■ ■ рЛ

,3? ;

ХХеремещенвя

т

Гис. 2 Кпр-лъг динамических режимов

Бернулли для прогиба и перемещений при некоторых граничных условий. На рис. 2 представлены карты динамических режимов при граничных условиях (4).

Исследуется влияние коэффициентов диссипации энергии к,, кг па частотные характеристики по длине балки для Л ~50,100. При е, и вг =0 количество и значения частот по длине балки совпадает, то есть эти значения являются наиболее оптимальными при расчетах. Параллельно исследовалось влияние относительной толщины балки па характер колебаний гибких балок.

Для учета влияния Кулоновского, нелинейного и линейного трения, а также упругих оснований Винклера и В.З.Власова, уравнения движения, и безразмерном виде (модель Эйлера-Бернулли), запишем как

] 1 / я2 {¿2 (»V, М*) + (и, уу) - 1 /1+ Ц) - К^'Л—УН - £', У!>\\\\ + Ц0,

1 / \ (") К + ¿з К^+л -и-£2й^о.

Нелинейные операторы X,, Ьг, Х3 аналогичны приведенным выше.

Дополнительные безразмерные параметры: к\ =(а*/Е(Щ3)К,,

К, =(а1 /Е(2И)3)К2. Система уравнений (8) является дважды нелинейной. С

одной стороны, она учитывает нелинейную зависимость между

деформациями и перемещениями, а с другой - нелинейность сил трения от

скорости, которая описывается моделью Кулона (при параметре т — 0). Для

исследования колебаний при линейном трении следует положить т— 1, при

нелинейном т — 2.

К уравнению (8) следует присоединить граничные (2) - (4) и начальные условия.

Дано сравнение динамического состояния балки Эйлера-Бернулли па основании Виклера И без УчетошовашяВвкюрш Без учета основам Винклера

его учета (рис. 3) для балки с шарнирным опиранием краев. Как видно, учет основания Винклера и математической модели приводит к существенному изменению характера колебаний

бал КИ ',ИС 3 '1Я'"Ы да"11и,кких !'шмов с У'®гоми без учета основания Вшюкра

Третья глава посвящена изучению колебаний гибких балок Эйлера-Бернулли при действии продольного удара груза массой Мгр. В момент удара на свободный край балки, согласно второму закону Ньютона, действует сила: Их ■ (2/г) = М!р ■ и. Приводя данное уравнение к безразмерному виду, получим й = (1/ х)Мх.

У чстогаош™ Винклера Без учета основания Винклера

Рис. 3 Карта! динамических режимов с учетом к без учега основания Пшюгсра

Тогда, к уравнениям (1) присоединим уравнения на границе в безразмерном приведении:

40) - 0, м(0) -= 0;(1 tzW. = (9)

где х --■ M¿p/М„, и начальные условия: w(*)m - 0; = 0,

(10)

w(x)M - 0; ЙЦ(,0 ~ 0 прих 4- 0,й(х)|,=0 = V при х~0,

где V - скорость груза в момент удара.

Данная бесконечномерная задача с помощью метода конечных разностей с аппроксимацией о(с2) сводится к конечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которую также решаем методом Рулге - - Кутта четвертого порядка точности.

При увеличений скорости груза V, система переходит к хаосу по сценарию Фейгенбаума. Получена первая константа Фейгенбаума, относительная погрешность которой составляет 0.005.

Анализ характера распространения волны и[ по длине балки позволяет говорить о том, что характер волны и\ не зависит от скорости груза, но ее амплитуда увеличивается. При ударе по торцу балки грузом массой Мгр со скоростью V происходит процесс распространения продольных волн и их отражения. Время начала резкого увеличения амплитуды поперечных колебаний примем за tr¡¡.

Исследование вопроса о зависимости tKp от геометрических параметров балки и от скорости груза в момент удара позволяет сделать вывод о том, что значение t значительно больше в случае относительно толстых балок X -30,40 и напрямую зависит от скорости груза.

В четвертой главе формулируются основные гипотезы и допущения для построения математической модели гибкой балки С.П.Тимошенко.

Размерная система дифференциальных уравнений в перемещениях с учетом вышеприведенных безразмерных параметров и дополнительных У, - 7*а1(Щ, = е3а/к сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений в перемещениях описывающих движения балки с учетом диссипации энергии:

-Кг,)",)4 1/12(£iK") + 1/2-¿2(w,w) f¿3(w,M) + Z,2(w,w))+l/A2-q-

СП)

u"xx -t /,4(w,w) -I- px — и-СгЫ = 0,

(гХ--8<г2к

где /,,,Л2,/,з - нелинейные операторы аналогичные используемым в уравнениях (1), а /,„ (w, w) - w[w"xx.

К системе дифференциальных уравнений (11) следует присоединить одно из нижеследующих граничных условий, и начальные условия.

1. Заделка - заделка:

и>(0,г) = 0; м(0,г) = и(а,0 = 0;^(0,Г) = ух{а,0 = 0;и/(0,/) = <(а,г) = 0. (12)

2. Шарнир - шарнир:

*(0,Г) =Чя,0 = 0; и(0,г) = и(а,1) = 0^(0,1) = б,(".О = 0; <(0,0 = <>,Г) = 0. (13)

3. Заделка - шарнир:

№(0,0 =Ч"»0 = "(0.0 = и(а,0 = 0;^(0,0 = <2,(я,О = 0; и/(0,0 = = 0. (14)

4. Заделка - свободный край:

»(0,/) = и( 0,0 = 0:^(0,0 = <(0,0 = 0;МдО,/) = ^(а,0 = (а,Г) = 0. (15)

Начальные условия: 'Ч*,Ои = "(*>Ои = = 0,и<*,0и = "(*>0И = гЛх>'\,о = 0. (16)

Бесконечномерную задачу с помощью метода конечных разностей сводим к конечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Применяя процедуру метода Бубнова-Галеркина, получаем разрешающие уравнения МКЭ. Отметим, что аппроксимирующие функции для прогиба и перемещений были использованы исходя из свойств математической модели.

ную систему уравнений методами конечных элементов и конечных разностей, при всех граничных условиях. В целях сокращения затрат времени, можно проанализировать характер колебаний системы, только для одного значения частоты, по всему интервалу нагрузки. Для этого строим шкалы зависимости характера колебаний от амплитуды внешней нагрузки. На рис.4 показаны шкалы и графики зависимости и>тах(20), для граничных условий (12).

На основании этих результатов, можно сказать, что при значениях амплитуды нагрузки, соответствующей нехаотическим колебаниям, значения и> по МКР и МКЭ совпадают полностью. После перехода к хаосу значения максимального прогиба отличаются, но несущественно.

В работе выявлено явление динамической потери устойчивости балки под действием поперечной знакопеременной нагрузки, которое характеризуется резким изменением значения максимального прогиба при незначительном изменении амплитуды вынуждающих колебаний. Явление

переменная поперечная

нагрузка вида (7). Чтобы убедиться в достоверности получаемых численных

результатов, решаем описан-

Сборка матриц масс, демпфирования и формы производится так же как и для модели Эйлера-Бернулли.

На рассматриваемую балку действует знако-

ЧИСЛеННЫХ Рис. 4 Шкалы характера колебания и графики

динамической потери устойчивости хорошо видно при переходе системы от т. А к т. В и от т. С к т. Д что на шкале иллюстрируется сменой режима колебаний. При переходе от т. Е к т. Р происходит обратный переход системы от хаоса к гармоническим колебаниям, что также можно наблюдать на шкале. В этом случае значения прогиба уменьшаются в 1,5 раза.

Исследование влияния граничных условий на характер поведения системы, в частности анализ карг динамических режимов, дает основание говорить об их существенном влиянии (рис. 5).

а) заделка-заделка б) шарнир-шарнир в) заделка-шарнир

Рис. 5 Карты динамических режимов для разных видов граничных условий

Для несимметричных граничных условий (14) исследованы сценарии перехода к хаотическим колебаниям для частот а>р - 8.05,6.9,5.75. Выявлено, что в области управляющих параметров {д0,ар\ нет единого сценария перехода колебаний из гармонических в хаотические. Существуют подобласти {?„><",;)> в которых переход совершается по различным сценариям.

Исследование колебаний нелинейных конструкций на различных режимах (от гармонических до хаотических) предъявляет повышенные требования как к численным методам, так и к математической модели. Учет поперечного сдвига при построении математической модели нелинейных колебаний балки приводит к качественно иной картине характера колебаний системы, что хорошо видно при сравнении карт.

Анализ шкал колебаний, графиков и каРт динамических

режимов колебаний для моделей Эйлера-Бернулли и С.П.Тимошенко показывает, что результаты, полученные по этим моделям, существенно различаются.

Пятая глава посвящена исследованию сложных колебаний гибких балок Пелеха-Шереметьева. Приведены основные гипотезы и допущения, построена математическая модель гибкой балки Пелеха-Шереметьева.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений в перемещениях, описывающих движения балки с учетом диссипации энергии в безразмерном приведении, имеет вид

63(1/Д2)[4/5(^)^ -1/4-v&i+kHGu I^\trxУJÍ+w"lx}л■ (\ / А2 )[Л3 ( w, к) + /., (w, m)+ 3 / 2 ■ (w, w)j + (1 / A2 ) • q -- w ■ ■• Sj, w - 0; u"xx + /,4 (w, w) - м - £,z( - 0;

204/315(/X -48/315^ -\2X2k2(Gn /£,)[/, />; - 0.

(18)

Нелинейные операторы £,,/.,,/.„ и безразмерные параметры, те же, что и выше. К системе дифференциальных уравнений (17) следует присоединить одно из нижеследующих граничных условий и начальные условия.

1. Заделка — заделка:

w(0,t) = w(a,t) ■■=■■ 0; u(0,t) = и(я,/) = 0^(0,0 = = 0;

< (О, о = К (а, О = < (о, 0 = < («. 0 = 0;

136/315(yj; (0,0-0.03 8(0,0 = 0;136 / 3150Х (я, /) - 0.03 (я, 0 = 0.

2. Шарнир — шарнир: w(0,0 =w(a,0 = 0; и(0,0 = м(я,0 = 0;(^)'Д0,О- 2/15-и/(0,0 = 0;

(Г * )* (а. ■0 - 2 /15 (а, Г) = 0; < (0,0 +1 / (0,/))2 = 0; <(я,0 +1 /2(и/ (я,О)2 = 0;16/5(гя )«(0,0 - К,(°>0 = 0; 1 б / 5(у X (я, 0 - <« (я, 0 = 0; < (0,Г) + ух (0,0 = 0; < (а, 0 + Г, (я, 0 = 0.

3. Заделка — шарнир: w(0,0 =w(a,t) = 0; u(0,i) =u(a,t) = 0;r,(0,t) = 0;<(0,i) = О;и;(0,0 = 0;

6 / 5(/X (0,0 - <, (0,0 = 0;16 /5 (rJL («, 0 - («> 0 = 0; 136/31)'x (0,0 - 0.038w^ (0,0 = 0; (r, - 2 /15< (e, 0 = 0;

< (я, 0 +1 / 2(< (я, О)2 = 0; < (я, 0 + (в, 0 = 0.

Начальные условия:

Чх,О|,=0 = =/(ж,0м =°> Ч(^О|„0 = <(*>О|,_0 =0. (21)

Достоверность численного решения обеспечена сопоставлением

результатов по методам конечных разностей и конечных элементов.

(19)

(20)

II soooo 49000;

if ijS 36000

С " ]' 210-JC

12000-

5.1 7.65 3.45 6.9 '"" 10.35 '

а)модель Эйлера-Бериулли б)модель С.П.Тимошенко в)модель Пелеха-Шереметьева Рис. 6 Карты динамических режимов для различных моделей Очень важным моментом является правильный выбор математической модели исследуемой распределенной системы. Рассмотрим этот вопрос на примере выбора той или иной расчетной схемы для однослойных изотропных балок А = я/й = 50 (рис. 6).

Анализ этих карт позволяет сделать вывод, что учет поворота нормали приводит к существенному изменению режимов колебаний (сопоставление моделей Эйлера-Бернулли и С.П.Тимошенко, Эйлера-Бернулли и Пелеха-Шереметьева). В то время когда учет искривления нормали (сопоставление моделей С.П.Тимошенко и Пелеха-Шереметьева) приводит к изменениям в основном на высоких частотах.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по работе.

Основные выводы по диссертации

1. Построены общие теории и математические модели сложных колебаний гибких балок Эйлера-Бернулли, С.П.Тимошенко, Пелеха-Шереметьева, проведен качественный анализ динамического поведения рассматриваемых систем.

2. Предложен эффективный алгоритм решения поставленных задач. Разработан и реализован комплекс программ анализа хаотических колебаний балок с некоторыми краевыми условиями, находящихся под действием поперечной знакопеременной и ударной нагрузок.

3. Разработан комплекс программ для качественного исследования сложных колебаний балок с помощью метода конечных разностей с аппроксимацией 0(с2) и метода конечных элементов с аппроксимацией по Бу бн ову-Галеркину.

4. Обоснован выбор типа метода конечных разностей для сведения уравнений в частных производных к задаче Коши.

5. Проведено исследование сходимости метода конечных разностей в зависимости от числа разбиений по пространственной координате для балок Эйлера-Бернулли при действии поперечной знакопеременной нагрузки.

6. Выявлены области сценария Фейгенбаума на картах \да,сор} для консольной балки Эйлера-Бернулли при действии ударной нагрузки грузом массой Мгр, где происходило до 4 бифуркаций Хопфа, что позволило вычислить константу Фейгенбаума с относительной погрешностью 0.005.

7. Дается сопоставление решений, полученных методом конечных разностей и методом конечных элементов для каждой из моделей при действии поперечной знакопеременной нагрузки.

8. Рассмотрено влияние некоторых типов трения (кулоновское, нелинейное, линейное) на балку Эйлера-Бернулли и исследовано поведение балок Эйлера-Бернулли на упругих основаниях Винклера и В.З.Власова.

9. В соответствии с известными сценариями перехода колебаний балочных конструкций в хаос проведена классификация колебаний балок, находящихся под действием поперечной знакопеременной и продольной ударной нагрузки. Выявлены и исследованы сценарии Фейгенбаума, Рюэля, Такенса, Ньюхауза, модифицированные Рюэля, Такенса, Ньюхауза, Помо-Манневиля, характерные для колебаний исследуемых систем, и выявлены их области на картах динамических режимов.

10. Для каждой рассматриваемой модели были отмечены явления динамической потери устойчивости нри действии знакопеременной поперечной нагрузки, что подтверждается резким увеличением максимального прогиба при малом изменении амплитуды вынуждающих колебаний.

11. Исследовано влияние геометрического параметра Я па характер поведения балки для каждой математической модели. Выявлено, что по мере увеличения параметра Л результаты, получаемые по моделям Эйлера-Бернулли, С.П.Тимощенко, Пелеха-Шерсметьсва, сходятся.

12. Проведено качественное сравнение результатов, полученных для каждой математической модели, что позволило сделать вывод о пределах применимости каждой модели в зависимости от геометрических параметров балки, это позволит при расчете конструкций избегать ситуаций потери устойчивости системы.

Публикации по теме диссертации Работы, опубликованные в ведущих научных э/сурналах и изданиях, определенных ВАК РФ

1. Салтыкова O.A. Нелинейная динамика балок Эйлера-Бернулли и типа Тимошенко / В.А. Крысько, М.В. Жигалов, O.A. Салтыкова // Известия вузов. Машиностроение. 2008. № 6. С. 7-27.

2. Салтыкова O.A. Особенности сложных хаотических колебаний балок Эйлера-Бернулли и типа Тимошенко в зависимости от краевых условий / В.А. Крысько, М.В. Жигалов, O.A. Салтыкова // Известия вузов. Строительство. 2008. № 9. с. 4-10.

3. Салтыкова O.A. Управление сложными колебаниями нелинейных многослойных балок / A.B. Крысько, М.В. Жигалов, O.A. Салтыкова // Известия вузов. Авиационная техника. 2008. №3. С. 10-13.

4. Салтыкова O.A. Диссипативная динамика геометрически нелинейных балок Бернулли-Эйлера / В.А. Крысько, М.В. Жигалов, O.A. Салтыкова, A.C. Десятова // Известия РАН. Механика твердого тела. 2008. №6. С. 128-136.

Работы, опубликованные в других изданиях

5. Салтыкова O.A. Нелинейные колебания балки Эйлера-Бернулли под действием продольного удара груза массой Мгр. / O.A. Салтыкова, В.А. Крысько // Труды третьей Международной научно-технической конференции молодых ученых и студентов 11-13 декабря 2007 года, г. Донецк (Украина). Донецк, 2007. С. 489-492.

6. Салтыкова O.A. Нелинейные колебания гибкой балки модели С.II. Тимошенко / В.А. Крысько, A.M. Варглгин, O.A. Салтыкова // Нелинейная динамика механических и биологических систем: межвузовский научный сборник. Саратов, 2004. С. 205-212.

7. Салтыкова О.Л. Сложные колебания гибких балок при продольном ударе / В. А. Крыеько, Л. М. Варышн, О. А. Салтыкова // Труды XXI Международной конференции но теории оболочек и пластин. Саратов. 2005. С.288-294.

8. Салтыкова О.А. Сложные колебания гибких балок для некоторых типов краевых условий // VII Межрегиональная научно-практическая конференция студентов и аспирантов. Новокузнецк, 2007. С. 14-19.

9. Салтыкова О.А. Математическая модель нелинейной динамики балок с учетом ■ поперечных сдвигов / М.В. Жигалов, О.А. Салтыкова // Математическое моделирование и краевые задачи: труды четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием. Самара, 2007. С. 228-231.

10.Салтыкова О.А. Нелинейная динамика упругих балок моделей Бернулли-')йлера, С.П.Тимошенко и Шереметьева-Пелеха / В. А. Крыеько, А.В.Крысько, М.В.Жигалов, О.А.Салтыкова // Актуальные проблемы нелинейной механики оболочек: материалы Международного семинара, посвященного памяти заслуженного деятеля науки ТАССР проф. А.В.Саченкова. Казань, 15-17 сентября 2008. Казань, 2008. С. 81-84.

ll.Saltykova О.А. Vibration of Flexible Beam Subjected to a Longitudinal Impact / V.A.Krysko, J.Awrejcewicz, Yu.V.Chebotarevskiy, O.A.Saltykova // 8th Conference on Dynamical Systems Theory and Applications. December 12-15. 2005. Lodz, Poland, 2005. P. 719-727.

12.SaItykova O.A. Analysis of Regular and Chaotic Dynamics of the Euler-Bernoulli using Finite Difference and Finite Element Methods / A.V. Krysko, M.V. Zhigalov, J. Awrejcewicz, O.A. Saltykova // 9th Conference of Dynamical Systems Theory and Application. December 17-20. 2007. Lodz, Poland, 2007. P.657-669.

Подписано в печать 20 10.08 Формат 60x84 1/16

Бум. офсет. Усл. печ.л. 1,16 Уч.-изд.л. 1,0

Тираж 100 экз. Заказ 279 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в РИЦ СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77

Введение (краткий исторический обзор исследований по теме 4 диссертации)

Используемые обозначения

Глава 1 Общая теория нелинейных колебаний гибких балок Эйлера- 22 Бернулли

§ 1 Основные гипотезы и допущения

§2 Математическая модель сложных колебаний гибких балок Эйлера- 24 Бернулли

§3 Выбор типа метода конечных разностей для сведения уравнений в 27 частных производных к задаче Коши

§4 Алгоритм расчета динамики балок Эйлера-Бериулли

4.1 Метод конечных разностей с аппроксимацией о(с2)

4.2 Метод конечных элементов с аппроксимацией по Бубнову-Галеркииу

§5 Достоверность получаемых результатов 37 Выводы по главе

Глава II Сложные колебания гибких балок Эйлера-Бернулли в 47 условиях поперечных и продольных знакопеременных нагрузок

§ 1 Сценарии перехода гармонических колебаний в хаотические для гибких 47 балок Эйлера-Бернулли при действии поперечной знакопеременной нагрузки

§2 Сопоставление результатов расчета гибких балок Эйлера-Бернулли для 70 четырех типов краевых условий

§3 Влияние отношения a/(2h) на характер колебаний гибких балок

§4 Учет влияния некоторых типов трения для балки Эйлера-Бернулли

Выводы по главе

Глава III Колебание гибких балок Эйлера-Бернулли при действии продольного удара груза массой Мгр

§ 1. Алгоритм расчета и достоверность получаемых результатов

§2. Исследование влияния на сложные колебания отношения % =-, скорости груза V (

Выводы по главе

Глава IV Сложные колебания гибких балок С.П.Тимошенко

§ 1. Основные гипотезы и допущения

§2. Математическая модель гибкой балки С.П.Тимошепко

§3. Алгоритм расчета гибкой балки С.П.Тимошенко методами конечных 108 разностей и конечных элементов, достоверность получаемых результатов

§4. Исследование характера колебаний гибкой балки С.П.Тимошенко в 113 зависимости от краевых условий

Выводы по главе

Глава V Сложные колебания гибких балок Пелеха-Шереметьева

§ 1. Основные гипотезы и допущения

§2. Математическая модель гибкой балки Пелеха-Шереметьева

§3. Алгоритм расчета гибкой балки Пелеха-Шереметьева методами 136 конечных разностей и методом конечных элементов, достоверность получаемых результатов

§4. Учет влияния поперечных сдвигов на сложные колебания гибких балок

Выводы по главе

краткий исторический обзор исследований по теме и основное содержание работы)

В связи с появлением сложных инженерных и технических сооружений и последние десятилетия к вопросам динамики конструкций проявляется особый интерес. Спектр применения балочных конструкций также продолжает активно расширяться. Так, развитие авиационной, строительной и морской техники выдвинуло в число наиболее актуальных задач изучение поведения балок, их динамики и устойчивости при воздействии внешних нагрузок. В различных областях техники (строительство мостов, зданий; железнодорожных путей), используются балочные конструкции, работающие под действием динамических и ударных нагрузок. Стержни и балки широко применяются и в машиностроении (строительство валов, барабанных аппаратов и т. п.). Резко возрастают требования к оценкам прочности и экономичности различных конструкций. Одним из факторов, ограничивающим прочность, является потеря устойчивости ее элементов, то есть изменение их формы, а не полное разрушение материала.

Теоретические исследования по изгибу деформированных стержней пе были опубликованы, пока Якоб Бернулли не получил необходимые соотношения для кривизны при изгибе и дифференциальное уравнение статического изгиба (1695), которое потом исследовал и интегрировал Леонард Эйлер (1744). Так было получепо дифференциальное уравнение поперечных колебаний балки Эйлера-Бернулли [1].

Свой значительный вклад в изучение колебаний балок и стержней в XVIII веке внесли такие ученые, как: Лагранж, Юнг, Навье, Клапейрон, Сен - Венан.

Исследованием изгибных колебаний и волн в стержне занимались Ж. Фурье [2] и Ж. Буссинеск [3, 4] уже в XIX веке. Тогда же русская школа механики занимает очень серьезные позиции в мировой науке. Ярким ее представителем был

Дмитрий Иванович Журавский [5], ставший одним из основателей науки о сопротивлении материалов и конструкций. Исследователь Н. Л. Белелюбский [6| занимался расчетами мостов. Так же необходимо отметить труды таких ученых, как Н. П. Петров [71, Д. К. Бобылев [8, 9], В. Л. Кирпичев [10], Ф. С. Ясинский [ 11, 12], которые занимались изучением балок. Н. Г1. Петров исследовал проблемы прочности и колебаний рельсов. В. Л. Кирпичев известен своими работами по строительной механике. Феликс Станиславович Ясинский (1856 - 1899) составил ряд проектов железнодорожных мостов и других сооружений, впервые обосновал значение устойчивости сжатых стержней. Д. К. Бобылев создал курс аналитической механики. Таким образом, постепенно формируется школа теоретической механики.

В начале XX века, в результате известных исторических событий, многие ученые, не приняв революцию, покинули Россию. Среди них был и С.П.Тимошенко. Обобщение классической теории поперечных колебаний стержней, основанное на учете влияния инерции вращения элементов стержня и деформации поперечного сдвига, было получено С.П.Тимошенко в 1916 г. [13], что более известно по английской публикации 1921 г. Его работы «О продольном изгибе стержней в упругой среде» [14], «Устойчивость стержней, пластин и оболочек» [15] и многие другие и в настоящий момент представляют огромный интерес для исследователей этого класса задач. СЛТ.Тимошенко общепризнанно считается автором этой уточненной теории, хотя учет инерции вращения был сделай ранее Дж. Рслеем (1877), и впоследствии было обнаружено, что аналогичный способ учета инерции вращения и сдвига был известен еще ранее Жану Брессу.

Что же касается тех ученых, кто остался в России, они стали основоположниками советской школы механики. Хочется отметить такую сс характерную черту: исследования балок вплоть до первой половины 70-х годов прошлого века были неразрывно связаны с исследованием пластин и оболочек, причем первоначально в основном рассматривались задачи статики. В этот период все явления рассматривались учеными разных стран в рамках теории малых упругопластических деформаций, т.е. соотношения между деформациями и перемещениями, с одной стороны, и между деформациями и усилиями, с другой, следовало полагать линейными. Постепенно возникает практическая необходимость учитывать большие прогибы. Появляются современные материалы, упругие свойства которых не позволяют применять классический закон Гука. Эти факторы, а также потребность в исследованиях конструкций, имеющих различного вида нарушения и неоднородности в структуре, привели к необходимости рассмотрения нелинейных соотношений между деформациями и перемещениями (геометрическая нелинейность), а также деформациями и усилиями (физическая нелинейность). Можно отметить огромный вклад в развитие теории таких ученых, как: В.В.Новожилов [16, 17], В. 3 .Власов [18], А. С. Вольмир [19-201, X. М. Муштари и К. 3. Галимов [21], в- В. Болотин [22-23], М. С. Корнишип [241, П. М. Огибалов и М.А. Колтунов [25], А. Л. Гольденвейзер [26], Э. И. Григолюк, В. В. Кабанов [27|, А.А. Илыошин [28], К. Ф. Черных [29, 30].

Следует отмстить, работы таких ученых, как И. А. Цурпал и Н. А. Шульга [311, которые вывели основные уравнения теории тонких пологих оболочек с уче том физической нелинейности. Исследования Н. И. Дедова, М. С. Корпишипа и II. II. Столярова [32], которыми были получены дифференциальные уравнения больших прогибов прямоугольных в плане пологих оболочек из нелинейного упруго сжимаемого материала (т.е. учтено совместное влияние геометрической и физической нелинейностей). А также работу В. А. Крысько [33], в которой рассматривается теория неоднородных гибких оболочек с учетом поперечных сдвигов. В монографии К. Васидзу [34], с единых позиций излагается построение вариационных принципов в теории упругости и пластичности, причем рассмотрено их приложение к конкретным задачам. Следует упомянуть также работы В. А. Крысько и А. А. Сопенко [35], Менга, Ванга и Ли [36], Л. А. Аголовяна [37], До гаки и Пека [38].

Особый раздел теории колебаний представляет собой исследование нелинейных колебаний, имеющих важные специфические свойства. Такого рода движения могут возникать в пластинах, оболочках и балках при больших перемещениях, когда деформации и перемещения связаны нелинейными соотношениями. С другой стороны, деформации могут лежать за пределами применимости закона Гука, и нелинейно зависеть от усилий.

Одними из первых публикаций в этом направлении являются книги Л. С. Вольмира [39], Б. Я. Кантора [40], в которых авторы интересуются именно нелинейными колебаниями пластин и оболочек. Эта область представляет одну из частей общей нелинейной механики твердых деформируемых тел, или, в более широких рамках, нелинейной механики сплошных сред. Одним из важных практических приложений в этом направлении является вопрос о поведении пластин и оболочек при импульсных воздействиях. Так же этому вопросу посвящены работы А. М. Варыгина [41], и А. В. Лапшина [42]. В то же время при рассмотрении периодических колебаний может идти речь о некотором установившемся движении системы. В задачах о динамическом пагружеиии наибольшее внимание привлекают неустановившиеся переходные процессы. Такой процесс заключается обычно в скачкообразном переходе - перескоке системы от установившегося движения одного типа к некоторому другому движению. Подобное явление особенно характерно для оболочек и носит название хлопка или прощелкивания. Хлопок оболочки сопровождается, как правило, значительными перемещениями. Поэтому изучение поведения пластин и оболочек при импульсных воздействиях будет достаточно полным лишь в том случае, если оно проводится для больших прогибов, с позиций нелинейной теории.

Что же касается непосредственно теории балочных конструкций, то, начиная с 70-х годов прошлого века, она снова начинает активно развиваться, выделяясь постепенно в отдельную область исследований. Здесь можно отмстить работы X. Н. Эйбрамсона, X. Дж. Пласса, Э. А. Риппергера [43], Л. Коллатца [44]. Следует выделить работу Шпехта и Крампа [45], в которой подробно рассмотрен вопрос влияния показателей свободных колебаний на несущую способность балок. Интересными являются работы и Лакшмикумаран и Викерта [46], Ванга и Липа [47], первая из которых посвящена изучению вопроса потери устойчивости узких полос из различных материалов из-за несовершенства устройств транспортировки путем протяжки, вторая - систематическому анализу точного решения задач в строительной механике балочных конструкций различного назначения. В своей статье Редди [48] сделал краткий критический обзор различных моделей для анализа показателей напряженно-деформированного состояния балок Тимошенко. Были обсуждены динамические версии этих моделей, представлены результаты расчета собственных частот поперечных колебаний свободно-опертых упругих балок для разных моделей. Книга А. А. Ананенко и К. Л. Комарова [49] посвящена рассмотрению вопросов жестко- и упруго-пластического анализа поведения балок под воздействием динамических нагрузок, превышающих статически допустимые. Приведено большое число примеров, исследуется область применимости моделей жестко - или упруго-пластических сред.

Широкий спектр практического применения балок приводит к тому, что реальные экспериментальные исследования играют важную роль при их изучении. Из экспериментов последних лет можно отметить опыты А. К. Зуева [50] с топкой стальной лентой, Кулькарни и Шаха [51] по испытанию на поперечный изгиб свободно опертых железобетонных балок при различных скоростях нагружепия. Интерес также представляют проведенные Брюнером [52] исследования по определению несущей способности при растяжении, сжатии и поперечном изгибе деревянных балок, а также балок со стальными накладками, прямоугольного и двухтаврового сечения с учетом пластических деформаций. Эти, а также многие другие опыты дают экспериментально накопленный материал, необходимый для проверки и подтверждения вычислительных экспериментов, с помощью которых появляется возможность изучения все более сложных случаев.

Вообще, следует отметить, что ко второй половине 60-х годов ХХ-го века были разработаны и систематизированы методы составления физико-математических моделей механических систем, такие, например, как метод Бубпова-Галеркина J53], [54]; метод Власова-Канторовича [33]; вариационные принципы [55], [34] и некоторые другие. В частности, по аналогии с разработанным В. М. Федоровым, А. В. Кривцовым и Е. К. Сурниной [56] алгоритмом для расчета плит па упругом основании с учетом накопления повреждений, появились алгоритмы для исследования балок с учетом расслоений и трещин. Кроме этого было обосновано применение методов вычислительной математики для проведения численных экспериментов, например, метода Рупге-Кутта [57], [58]; разностных схем [59]; ме тодов векторной алгебры [36] и некоторых других.

В работе [60] P. J. Holmes, J. Marsden используют метод Мельникова для исследования хаотических колебаний балки при внешнем иагружеиии. С помощью метода малых возмущений и спектра Ляпуновских показателей хаотические колебания эластичной балки под действием периодической внешней силы исследованы в работе [61] A. Maewal. Необходимо отметить работы Луо [62,63], где выведены условия существования хаоса в недиссипативпой среде. В работе Тапга и Довела [64] рассмотрено хаотическое поведение балки под действием внешней силы. В работах Я.Аврсйцевича, В.А. Крысько, А.В.Крысько и А.Ф.Вакакиса [6570] широко рассмотрены вопросы нелинейных колебаний пластин и оболочек. Существование и единственность решения динамической задачи для оболочек типа Тимошенко исследовано в [71,72]. В работе [73] построены геометрически нелинейные физико-математические модели для анализа показателей напряженно-деформированного состояния при поперечном изгибе упругих и упругопластических балок, претерпевающих малые деформации и умеренные вращения. На базе применения вариационного принципа виртуальных работ для упругих балок и использования вариационной формулировки Нила для упругопластических балок в случае одномерной задачи выведена система из четырех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений равновесия с соответствующими граничными условиями. Численное решение последних получено итерационным методом без введения ограничений типа Бсрпулли. Изложенный вариационный подход применим также к расчету упругих и упругопластических балок с переменным поперечным сечением. Что касается исследований, посвященных хаотическим состояниям системы, можно отмстить работы [74, 75], в которых представлены результаты исследования глобальных бифуркаций и хаотической динамики в нелинейных нсплоских колебаниях консольной балки под действием оссвых гармонических возбуждений и поперечных возбуждений на свободном конце балки. Получены основные уравнения задачи. Методом Бубнова-Галеркина получена нелинейная система с двумя степенями свободы. В исследовании системы использован метод пертурбаций. В нелинейных колебаниях обнаружено хаотическое движение. Численное исследование уточняет аналитические предсказания. А также исследуется динамическое поведение нелинейно-упругой балки при большом отклонении. Путем варьирования размеров и параметров нагрузки получены два тина нелинейных динамических уравнений. Хаотические критические условия заданы функцией Мельникова для модели с одной модой. Исследовано хаотическое движение. Проведено сравнение моделей с однократной и двойной модами. Показано, что использование моделей только с одной модой ведет в некоторых случаях к неверным выводам. Проанализированы условия применимости метода с одной модой.

Вопросу компьютерного моделирования упругих тел при больших деформациях посвящена работа [76], где подчеркивается недостаточность обоснования и проверки численных формулировок при постановках таких задач. Приводится пример обоснованной постановки задачи в абсолютной узловой координатной формулировке. Найденные результаты сопоставляются с опытными данными испытаний консольной балки при использовании высокоскоростной камеры и системы сбора и обработки данных.

Однако, несмотря на то, что в последнее время много внимания уделяется хаотическим колебаниям таких сложных детерминированных систем, как пластины, конические, сферические и цилиндрические оболочки [77-79], стохастические колебания диссипативпых, геометрически нелинейных балок Эйлера-Берпулли мало изучены. Необходимо отметить работы [80-83], которые посвящены исследованиям нелинейных колебаний балок, также и при продольном ударе. Методы семейства Рунге-Кутта, изложены в [84]. Математические модели сложных нелинейных колебаний балок при наличии ограничений на прогиб, изучены в диссертационной работе О. Н. Киреевой [85].

Я. Аврейцевич, В. А. Крысько и А. В. Крысько [86] изучали общие механизмы перехода к хаосу в диссипативных пластинчатых конструкциях. В. А. Крысько, Т. В. Вахлаева и А. В. Крысько [87] детально описали механизмы возникновения хаоса в случае вынужденных колебаний пластин. Переход к хаосу по сценарию Фейгепбаума в динамике пластин проанализирован в работе Я. Аврсйцевича и В. А. Крысько [651. П. С. Ланда [88] рассматривал модель голосовых связок человека в виде двух пластин, прикрепленных пружинами к стенкам трубы, и установил, что под действием потока воздуха происходит возбуждение хаотических колебаний пластин.

В работе [89] Ю. Лепик пытался выяснить возможность хаотических реакций в осесиммстричпых колебаниях упруго - пластических цилиндрических оболочек. В большинстве проведенных компьютерных экспериментов установившиеся колебания имели регулярный характер. Хаи, Ху и Япг [90] провели анализ нелинейных колебаний упругой цилиндрической оболочки вращения и нашли критические условия возникновения хаотического движения. Маэстрелло, Френди и Браун [91] изучали нелинейные колебания типовой панели фюзеляжа самолета. Для выбранного диапазона частот найдены линейные, квазилинейные при удвоении периода колебаний и хаотические динамические реакции панели при увеличении уровня акустического движения звуковой нагрузки. Сценарий перехода к хаотическим колебаниям для консервативных и диссипативных систем в теории гибких цилиндрических панелей при действии знакопеременных продольных нагрузок рассматривали А. В. Крысько, С. А. Мицкевич и Ю. В. Чеботарсвский [92]. Хаотические движения квадратной в плане оболочки под действием импульсной периодической нагрузки исследовали В. А. Крысько и А. В. Кириченко [93]. Сделана попытка объяснить явление динамической потери устойчивости с позиций качественной теории дифференциальных уравнений.

Пособие А. В. Крысько и М. В. Жигалова [94] посвящено изучению математических моделей распределенных систем в виде балок и построению методов исследования их сложных колебаний.

Па основании приведенного обзора публикаций, можно сделать следующие выводы.

1. Значительное внимание уделяется изучению хаотических колебаний пластин, оболочек и цилиндрических панелей. Выявлены новые сценарии перехода от гармонических колебаний к хаотическим для данного класса задач. В то время, как исследованию нелинейной динамики балок уделено не значительное внимание.

2. В основном, в применении к пластинам, оболочкам и цилиндрическим панелям, рассматривается математическая модель Эйлсра-Берпулли.

3. Математические модели гибких балок С.П.Тимошенко и Пелеха-Шереметьева практически не представлены в изученной литературе.

Исследованию сложных колебаний неклассических распределенных механических систем в виде балок с учетом кинематических моделей Эйлера-Бернулли, С.П.Тимошенко и Пелеха-Шереметьева методами конечных разностей и конечных элементов посвящена данная работа, так как в известной нам литературе эти вопросы не достаточно освещены.

Целью работы является построение математических моделей нелинейных колебаний сложных механических систем в виде балок с учетом гипотез Эйлера-Бериулли, С.Г1. Тимошенко, Пелеха-Шереметьева. Для достижения этой цели необходимо решение следующих задач:

1. Разработка математических моделей для сложных колебаний гибких балок по гипотезам Эйлера-Бернулли, С. П. Тимошенко, Пелеха-Шереметьева для некоторых типов граничных условий под действием знакопеременной и ударной нагрузок.

2. Изучение сценариев перехода от гармонических колебаний к хаотическим для различных гипотез с учетом некоторых управляющих параметров.

3. Разработка алгоритма и комплекса программ па ПЭВМ для качественного исследования сложных колебаний диссипативпых систем в виде упругих балок с учетом различных гипотез при произвольных граничных условиях.

4. Качественное исследование динамики гибких балок на основе нелинейной динамики в зависимости от изменения следующих параметров: краевых условий, амплитуды и частоты равномерно распределенной поперечной и продольной знакопеременных нагрузок, ударных нагрузок, величины диссипативных членов, угла поворота и искривления нормали. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка

Выводы по главе

1. Построена общая теория сложных колебаний гибких балок Пелсха-Шереметьсва.

2. Показана эквивалентность сведения бесконечномерной задачи к конечномерной по пространственной координате методов конечных разностей с аппроксимацией 0(с2) и конечных элементов в форме Бубпова-Галеркина.

3. Обеспечена достоверность получаемых численных результатов.

4. Выявлены сценарии перехода системы от гармонических колебаний к хаотическим.

5. На примере решения статической и динамической задач с помощью метода установления показана сходимость моделей Эйлсра-Бернулли, С.П.Тимошенко, Пелеха-Шереметьева при увеличении геометрического параметра Я.

6. Построены карты зависимости характера колебаний балки от управляющих параметров {д0,сор} для различных граничных условий. Сделан вывод о существенном влиянии граничных условий на динамическое поведение балки.

7. Проведено сравнение качественных результатов для математических моделей балки Эйлера-Бернулли, С.П.Тимошенко и Пелеха-Шереметьева при помощи сопоставления карт зависимости режимов колебаний от управляющих параметров {д0, со}.

8. Отмечена схожесть численных результатов, для математических моделей С.П.Тимошенко и Пелеха-Шереметьева.

Заключение

Полученные результаты подтверждают перспективность исследования задач механики с точки зрения нелинейной динамики, путем построения и изучения математических моделей сложных механических систем. Исследование систем с большим числом степеней свободы дало нам возможность обнаружить новые явления, ранее пе наблюдавшиеся в других областях нелинейной динамики.

Реализация различных численных методов дает возможность утверждать, что получаемые результаты достоверны и являются свойством изучаемой системы, а пе реализованной численной схемы.

В заключении, можно сделать следующие основные выводы по диссертации:

1. Построены общие теории и математические модели сложных колебаний гибких балок Эйлера-Бернулли, С.П.Тимошепко, Пелеха-Шереметьева, проведен качественный анализ динамического поведения рассматриваемых систем.

2. Предложен эффективный алгоритм решения поставленных задач. Разработан и реализован комплекс программ анализа хаотических колебаний балок с некоторыми краевыми условиями, находящихся под действием поперечной знакопеременной и ударной нагрузок.

3. Разработан комплекс программ для качественного исследования сложных колебаний балок с помощью метода конечных разностей с аппроксимацией и метода конечных элементов с аппроксимацией по Бубпову-Галеркипу.

4. Обоснован выбор типа метода конечных разностей для сведения уравнений в частных производных к задаче Коши.

5. Проведено исследование сходимости метода конечных разностей в зависимости от числа разбиений по пространственной координате для балок Эйлсра-Берпулли при действии поперечной знакопеременной нагрузки.

6. Выявлены области сценария Фейгенбаума па картах {д0,сор} для консольной балки Эйлера-Берпулли при действии ударной нагрузки грузом массой Мм, где происходило до 4 бифуркаций Хопфа, что позволило вычислить константу Фсйгенбаума с относительной погрешностью 0.005.

7. Дается сопоставление решений, полученных методом конечных разностей и методом конечных элементов для каждой из моделей при действии поперечной знакопеременной нагрузки.

8. Рассмотрено влияние некоторых типов трения (кулоновское, нелинейное, линейное) па балку Эйлера-Бернулли и исследовано поведение балок Эй л ер а-Бернулли на упругих основаниях Винклера и В.З.Власова.

9. В соответствии с известными сценариями перехода колебаний балочных конструкций в хаос проведена классификация колебаний балок, находящихся под действием поперечной знакопеременной и продольной ударной нагрузки. Выявлены и исследованы сценарии Фейгенбаума, Рюэля, Такенса, . Р1ыохауза, модифицированные Рюэля, Такепса, Ныохауза, Помо-Манневиля, характерные для колебаний исследуемых систем, и выявлены их области на картах динамических режимов.

10. Для каждой рассматриваемой модели были отмечены явления динамической потери устойчивости при действии знакопеременной поперечной нагрузки, что подтверждается резким увеличением максимального прогиба при малом изменении амплитуды вынуждающих колебаний.

11. Исследовано влияние геометрического параметра X на характер поведения балки для каждой математической модели. Выявлено, что по мере увеличения геометрического параметра X результаты, получаемые по моделям Эйлера-Бернулли, С.П.Тимошенко, Пелеха-Шереметьева сходятся.

12. Проведено качественное сравнение результатов, полученных для каждой математической модели, что позволило сделать вывод о пределах применимости каждой модели в зависимости от геометрических параметров балки, это позволит при расчете конструкций избегать ситуаций потери устойчивости системы.

1. Love, А. Е. H. A Treatise on the Mathematical theory of Elasticity / A. E. Ы. Love. -New York: Dover Publications, 1944.

2. Fourier, J. B. J. Note relative aux vibrations des surfaces élastiques et un mouvement des ondes / J. B. J. Fourier // Bull. Sciences par la Société Philomatique de Paris. 1818. 129- 136.

3. Boussinesq J. V. Comment se repartit, entre les divers points de sa petite base d'appui, le poids d'un corps dur, a surface polie et convex, pose sur un sol horisontal elastique / J. V. Boussinesq // C. R. Acad Sci. 1883. 96. № 4. 245 248.

4. Boussinesq J. V. Applications des potentiels a l'etude de l'équilibré et de mouvement des solides élastiques / J. V. Boussinesq. Paris: Gauthier Villars, 1855.

5. Люди русской науки: очерки о выдающихся деятелях естествознания и техники / под ред. С. И. Вавилова. — M. JL: Гостехтеориздат, 1948.

6. Белелюбский, Н. А. Строительная механика: лекции / Н. А. Бслслюбский. 2-е печ. изд. Института инженеров путей сообщения императора Александра 1. -СПб.: Тип. Ю. Н. Эрлих, 1897.-404 с.

7. Петров, Н. П. К вопросу о прочности рельсов / Н. П. Петров. СПб.: Изд. особой комиссии для всесторопнеиго исследования ж.д. в России, тип. Лосмковского, 1912. — Вып. 88. — 65 с.

8. Бобылев, Д. К. Курс аналитической механики / Д. К. Бобылев. Ч. 1,2.-СПб.: Тип. Акад. паук, 1880-1883.

9. Бобылев, Д. К. О некоторых случаях изгиба прямых стержней под влиянием сосредоточенных грузов и сопротивления грунтов СПб.: Изд. Института инженеров путей сообщения, 1902. - 24 с.

10. Кирпичев, В. Л. Собр. соч. / В. Л. Кирпичев. — Т.1. Петроград: Изд. Совета Петроградского политехнического института, 1917. — 615 с.

11. Ясинский, Ф. С. Опыт развития теории продольного изгиба / Ф. С. Ясинский. -СПб.: Тип. Ю. Н. Эрлих, 1893.-270 с.

12. Ясинский, Ф. С. Избранные работы по устойчивости сжатых стержней / Ф. С. Ясинский. М. - Л.: Гостехтеориздат, 1952. - 427 с.

13. Тимошенко, С. П. Курс теории упругости / С. П. Тимошенко. Ч. И Стержни и пластинки. Петроград: Тип. А. Э. Коллинса, 1916. с. 200 -213.

14. Тимошенко, С. П. О продольном изгибе стержней в упругой среде / С. П. Тимошенко // Известия С.-Петербургского политехнического института. -1907. Т.7. — Кн.З. - С.95-113.

15. Тимошенко, С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек / С. П. гГимошеико. // Избранные работы / под ред. Э. И. Григолюка. М.:Физматгиз, 1971.- 808 с.

16. Новожилов, В. В. Теория упругости / В. В. Новожилов. Л.: Судпромгиз, 1958.-370 с.

17. Новожилов, В. В. Теория тонких оболочек / В. В. Новожилов. Л.: Судпромгиз, 1962.-431 с.

18. Власов, В. 3. Общая теория оболочек и ее приложение в технике / В. 3. Власов. М.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

19. Вольмир, А. С. Гибкие пластинки и оболочки / А. С. Вольмир. М.: Гостехиздат, 1956. - 420 с.

20. Вольмир, А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / А. С. Вольмир. — М.: Наука, 1972 .-432 с.

21. Муштари, X. М. Нелинейная теория упругих оболочек / X. М. Муштари, К. 3. Галимов. Казань: Таткнигоиздат, 1957. —432 с.

22. Болотин, В. В. Динамическая устойчивость упругих систем / В. В. Болотин. — М.: Гостехиздат, 1956. 600 с.

23. Болотин, В. В. Неконсервативные задач теории упругой устойчивости / В. В. Болотин. -М.: Физматгиз, 1961. 339 с.

24. Болотин, В-. В. Динамическая устойчивость упругих систем / В. В. Болотин.

25. М.: Гостехиздат, 1956. 600 с.

26. Огибалов, П. М. Оболочки и пластины / П. М. Огибалов, М. А. Колтунов. -М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1969. 695 с.

27. Гольденвейзер, А. А. Теория упругих тонких оболочек / А. А. Гольденвайзср. М.: Гостехиздат, 1953. - 544 с.

28. Григолюк, Э. И. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек / Э. И. Григолюк, В. В. Кабанов. // Итоги науки. Механика твердых деформируемых тел. 1967.-М.: Изд-во АН СССР, 1969. - 348 с.

29. Ильюшин, А. А. Пластичность / А. А. Илыошин. М. - Л.: Гостехиздаг, 1948. -376 с.

30. Черных, К. Ф. Линейная теория оболочек / К. Ф. Черных. Л.: Изд-во ЛГУ, 1962.-Т. 1.-274 с.

31. Черных, К. Ф. Линейная теория оболочек / К. Ф. Черных. Л.: Изд-во ЛГУ, 1964.-Т. 2.-396 с.

32. Дурпал, И. А. Основные уравнения теории тонких пологих оболочек с учетом физической нелинейности / И. А. Дурпал, Н. А. Шульга. // Прикладная Механика, 1965.-Т. 1.-№12.-С. 15-21.

33. Крысько, В. А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек / В. А. Крысько. Саратов: СГУ, 1976. - 216 с.

34. Васидзу, К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности: пер. с англ. / К. Васидзу.- М.: Мир, 1987. 542 с.

35. Крысько, В. А. Динамическая устойчивость геометрически и физически нелинейных пологих оболочек при учете связанности деформаций и температуры / В. А. Крысько, А. А. Сопенко. // Прикладная механика. 1989. -№ 11. Т. 25. - С.49-54.I

36. Аголовян, JT. А. Об асимптотическом методе в теории пластин и оболочек / J1. А. Аголовян. // Изв. нац. АН Армении. Механика 1999. - № 3. Т. 52. - С.56-76.

37. Masahiro, D. Dynamic buckling of rectangular plates under periodic shear force / Dogalci Masahiro, Pek Songbo, Yonezawa Hiroshi. // Kansai daigalcu kogyo gijutsu lcenkyujo kenkyu hokoku. 2000. - 15. - P. 169-178.

38. Вольмир, А. С. Устойчивость деформируемых систем / А. С. Вольмир. M.: Наука, 1967. 984 с.

39. Кантор, Б. Я. К нелинейной теории тонких оболочек / Б. Я. Кантор. // Динамика и прочность машин / Б. Я. Кантор. Харьков: Изд-во ХГУ, 1967. Т. 5.

40. Варыгин, А. М. Динамика геометрически нелинейных цилиндрических панелей: дис. на соискание ученой степени канд. техн. наук / А. М. Варыгин. Саратов, 1984. 232 с.

41. Лапшин, А. В. Динамика гибких ортотропных оболочек при действии ударных нагрузок: дис. на соискание ученой степени канд. техн. наук / А. В. Лапшин. Саратов, 1987. 247 с.

42. Эйбрамсоп, X. Н. Распространение воли напряжения в стержнях и балках / X. И. Эйбрамсон, X. Дж. Пласс, Э. А. Риппергер. // Проблемы механики пер. с англ. Вып. III / под общ. ред. X. Драйдена и Т. Кармана М.:ИЛ, 1961. - С.24-90. '

43. Коллатц, Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями: пер. с нем. // Л. Коллатц. М.: Наука, 1968.

44. Specht, M. Der Einflub von freien Schwingungen auf ausgewählte dynamische Parameter von Stahlbetonbiegetragern / Manfred Specht, Michael Kramp. // Dtsch. Ausschuss Stahlbeton. P. 1-162.

45. Lakshmikumaran, A.V. Edge buckling of imperfectly guided webs / A. V. Lakshmikumaran, J. A. Wickert. // Trans. ASME. J. Vibr. and acoust. Trans. ASME. J. Vibr., Acoust., Stress and Rel. Des.. 1998. - 120. №2. - P.346-352.

46. Wang, J. T.-S. A method for exact series solutions in structural mechanics / J. Т.- S. Wang, С. -C. Lin // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1999. - 66. №2. - P.380-387.

47. Reddy, J. N. On the dynamic behaviour of the Timoshenko beam finite elements / J. N. Reddy. // Sadhana. 1999.-24. №3. - P. 175-198.

48. Ананенко, А. А. Динамика неупругих балок / А. А. Анапенко, К. JI. Комаров. — Новосибирск: Наука, 1999. 151 с.

49. Зуев, А. К. Экспериментальное изучение поперечных колебаний тонкой балки / А. К. Зуев. // Диз. энерг. установки реч. судов / Новосиб. гос. акад. вод. трапсп. Новосибирск, 1999. - С. 69-70.

50. Kulkarni Shrikrishna М. Response of reinforced concrete beams at high strain rates / M. Kulkarni Shrikrishna, P. Shah Surendra. // ACI Struct. J. 1998. - 95. №6. -P.705-715.

51. Brunner, M. Zum plastischen Tragverhalten von Holzbalken / Maurice Brunner. // Schweiz. Ing. und Archit. -2000. 118. №25. - P.9-12.

52. Корнишин, M. С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения / М. С. Корнишин. М.:Наука, 1964. - 192 с.

53. Nakano Nobuhide, Shintani Atsuhiko, Ohsumi Akira. // Nihon kikai gakkai ronbunshu.=Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. -2000. 66, №643. - P.48-56.

54. Вольмир, А. С. Гибкие пластинки и оболочки / А. С. Вольмир. М.:I

55. Гостехиздат, 1956.- 420 с.

56. Федоров, М. В. Алгоритм расчета плит на упругом основании с учетом накопления повреждений / М. В. Федоров, А. В. Кривцов, Е. К. Сурпипа. //

57. Совершенствование конструктивных решений и методов расчета строит, конструкций: межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 1999. - С. 115-120.

58. Карпов, В. В. Применение процедуры Рунге-Кутта к функциональным уравнениям нелинейной теории пластин и оболочек / В. В. Карпов // Расчет пространственных систем в строительной механике. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1972. -С.3-7.

59. Kapitaniak, Т. Strange non-chaotic transients / Т. Kapitaniak // J. Sound and Vibr. -1992.- 158. №1. P. 189-194.

60. Самарский, А. А. Введение в теорию разностных схем / А. А. Самарский. М.: Наука, 1971.-552 с.

61. Holmes, P. J. A partial differential equation with innately many periodic orbits: chaotic oscillations of a forced beam / P. J. Holmes, J. Marsden // Archives for Rational Mechanics and Analysis. 1981. -76. - 135 - 166.

62. Maewal, A. Chaos in a harmonically excited elastic beam / A. Maewal // ASMH Journal of Applied Mechanics. 1986.-53.-625 -631.

63. Luo, A. C. J. Analytical modeling of bifurcations, chaos, and multilractals in nonlinear dynamics, ph.d. Dissertation / A. C. J. Luo. Winnipeg, Manitoba, Canada: University of Manitoba, 1995.

64. Luo, A. C. J. Analytical predictions of chaos in a non-linear rod / A. C. J/ P. R. Luo R. P. S. Han // Journal of Sound and Vibration. 1999. - 227(3). - 532 - 544.

65. Tang, D.M. On the threshold force for chaotic motion for a forced buckled beam / D. M. Tang, E. H. Dowell. //ASME J. Appl. Mech. 1988. - 55. - 190 - 196.

66. Awrejcewic/, J. Feigenbaum Scenario Exhibited by Thin Plate Dynamics / J. Awrejcewicz, V. A. Krysko. // Nonlinear Dynamics. 2001. - № 24. - P. 373 - 398.

67. Awrejcewicz, J. Spatial Temporal Chaos and Solutions Exhibited by Von Karman Model / J. Awrejcewicz, V. A. Krysko, A. V. Krysko. // International Journal of Bifurcations and Chaos. - 2002. V. 12. - № 7. - P. 1465 -1513.

68. Awzejccwicz, J. Analysis of complex parametric vibrations of plates and shellsusing Bubnov Galerkin approach / J. Awrejcewicr, V. A. Krysko. // Archive of Applied Mathematics. - 2003. - № 73. - P. 495 - 504.

69. Awrejcewicz, J. Nonclassic Thermoelastic Problem in Nonlinear Dynamics of Shells / J. Awrejcewicz, V. A.Krysko. Springer - Verlag, Berlin, New York, London, Paris, Tokyo. 2003. - 430 p.

70. Awzejcewicz, J. Nonlinear Dynamics of Continuous Elastic Systems / J. Awzejcewicz, V. A. Krys'ko, A. F. Vakakis. Springer - Verlag, Berlin, New York, London, Paris, Tokyo, 2004. - 356 p.

71. Крысько, В. А. Хаотические колебания конических оболочек / В. А. Крысько, Т. В. Щекатурова. // Изв. РАН. МТТ. 2004. - № 4. - С. 140 - 150.

72. Krys'ko, V. A. On the solution of a coupled thermo-mechanical problem for non-homogeneous Timoshenko-type shells / V. A. Krys'ko, J. Awrejcewicz, V. M. Bruk. // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2003. - № 273. - P. 409-416.

73. Krys'ko, V. A. On existence and uniqueness of solutions to coupled thermomechanics problem of non-homogeneous isotropic plates / V. A. Krys'ko, J. Awrejcewicz, V. M. Bruk. //J. Appl. Anal. 2002. - № 8(1). - P. 129 - 139.

74. Slawianowska, A. Geometrically nonlinear models of clastic and elastic-plastic beams / Anna Slawianowska. // Mech. teor. in stosow., 1997. - 35, N 1, - P. 21-42.

75. Zhang, Wei. Global bifurcations and chaotic dynamics in nonlinear nonplanar oscillations of a parametrically excited cantilever beam / Zhang Wei, Wang Fengxia, Yao Minghui. // Nonlinear Dyn. 2005. - 40. - N 3. - c. 251-279.

76. Han, Qiang Chaotic response of a large deflection beam and effect of the sccond order mode / Han Qiang, Zheng Xiangfeng. // Eur. J. Mech. A. 2005. - 24. - N 6. -C. 944-956.

77. Yoo, Wan-Suk Large oscillations of a thin cantilever beam: physical experiments and simulation using the absolute nodal coordinate formulation / Yoo Wan-Suk, Lec Jeong-Han, Park Su-Jin, Sohn Jeong-Hyun, Dmitrochenko Oleg, Pogorelov Dmitri.

78. Nonlinear Dyn. 2003.-34. - N 1. - С. 3-29.

79. Крысько, В. А. Сложные колебания замкнутых цилиндрических оболочек при иеосесимметричпом неравномерном знакопеременном внешнем давлении / В. А. Крысько, Н. Е. Савельева. // Известия Вузов. Машиностроение. 2004. -№7. - С. 3-14.

80. Крысько, В. А. Управление хаотическими колебаниями гибких пологих сферических оболочек / В. А. Крысько, И. В. Кравцова. // Изв. РАН МТТ. -2006. -№1. С. 163-173.

81. Andrews, К. Т. Vibrations of a beam with a damping tip body / К. Т. Andrews, M. Shillor. // Math. Comput. Modelling. 2002. 35. - C. 1033 - 1042.

82. Dumont, Y. Analysis and simulations of vibrations of a beam a slider / Y.Dumont, K.L. Kuttler, M. Shillor. // J. Engineering Mathematics. 2003. 47. - C. 61 - 82.

83. Bajkowski, J. A thermoviscoelastic beam model for brakes / J. Bajkowski, J. R. Fernandez, M. Shillor and K. L. Kutter. // Euro. J. Appl. Math. 2004. - 15(2). - C. 181-202.

84. Shillor, M. Models and Analysis of Quasistatic Contact / M. Shillor, Sofonea M. and Joachim J. Telega. // Lecture Notes in Physics 655. Springer, Berlin, 2004.

85. B.Owren, B. Alternative integration for problem in structural dynamics / B.Owren and Il.H.Simonsen. // Computer Meth. Apple. Mech. Eng. 1995. - 122. - C. 1-10.

86. Киреева, О. H. Математические модели сложных нелинейных колебаний балок при наличии ограничений на прогиб: дис. на соискание ученой стенепи канд. физ. мат. наук / О.Н.Киреева. Саратов, 2002. - 124 с.

87. Аврейцсвич, Я. Переход к хаосу в диссипативных пластинчатых конструкциях / Я. Лврейцевич, В. Л. Крысько, А. В. Крысько. // Материалы II Белорусского конгресса по теоретической и прикладной механике. Минск, 1999. - С. 3-8.

88. Крысько, В.А. Диссипативные колебания гибких пластинок и сценарий перехода их к пространственно-временному хаосу при гармонических продольных воздействиях / В. А. Крысько, Т. В. Вахлаева, А. В. Крысько. //

89. Нелинейная динамика механических и биологических систем. — Саратов:1. СГТУ, 2000.-С. 8-73.

90. Landa, P.S. Chaotic oscillations in a model of vocal source / P.S. Landa // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1998. - Т. 6. №4. - С. 57-67.

91. Lepik, U. Axisymmetric vibrations of elastic-plastic cylindrical shells by Galerkin's method / Ü. Lepik // Int. J. Impact. Engng. 1996. - 18. №3. - P. 489-504.

92. Qiang, II. A study of chaotic motion in clastic cylindrical shells / Plan Qiang, Hu I-Iaiyan, Yang Guitong // Eur. J. Mech. A. 1999. - 18. №2. - P. 351-360.

93. Maestrello, L. Non-linear vibration and radiation from a panel with transition tochaos / Maestrello Lucio, Frendi Abdelkader, Brown Donald E. // AIAA Journal. 1992. 30. №11. - P. 2632-2638.

94. Крысько, В. А. О динамических критериях потери устойчивости гибких пологих оболочек / В. А. Крысько, А. В. Кириченко. // Нелинейная динамика механических и биологических систем. Саратов: СГТУ, 2000. С. 144-152.

95. Крысько, А. В. Математические модели и методы исследования сложныхiколебаний псклассических распределенных механических систем / А. В. Крысько, М. В. Жигалов. Саратов: СГТУ, 2008. - С.301.

96. Салтыкова, О. Л. Нелинейная динамика балок Эйлера-Берпулли и типа Тимошенко / В. А. Крысько, М. В. Жигалов, О. А. Салтыкова // Известия вузов. Машиностроение. 2008. - № 6. - С. 7-27.

97. Салтыкова, О. А. Особенности сложных хаотических колебаний балок Эйлера-Берпулли и типа Тимошенко в зависимости от краевых условий / В. А. Крысько, М. В. Жигалов, О. А. Салтыкова // Известия вузов. Строительство. -2008.-№9. -С. 4-10.I

98. Салтыкова, О. А. Управление сложными колебаниями нелинейных многослойных балок / А. В. Крысько, М. В. Жигалов, О. А. Салтыкова // Известия вузов. Авиациоиная техника. 2008. - №3. - С: 10-13.

99. Салтыкова, О. А. Диссипативиая динамика геометрически нелинейных балок Бернулли Эйлера / В. А. Крысько, М. В. Жигалов, О. А. Салтыкова, А. С. Десятова // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2008. - №6. - С. 128-136.

100. Салтыкова, О. А. Нелинейные колебания балки Эйлера-Берпулли под действием продольного удара груза массой Мгр / О. А. Салтыкова, В. А.

101. Крысько // Труды третьей международной научно-технической конференции молодых ученых и студентов, 11-13 декабря 2007 года. Донецк, Украина, 2007. - С. 489-492.

102. Салтыкова, О. А. Нелинейные колебания гибкой балки модели С.П. Тимошенко / В. А. Крысько, А. М. Варыгин, О. А. Салтыкова // Нелинейная динамика механических и биологических систем: межвуз. пауч. сб. Саратов, 2004. С. 205-212.

103. Салтыкова, О. А. Сложные колебания гибких балок при продольном ударе / В. А Крысько, А. М. Варыгин, О. А. Салтыкова // Труды XXI международной конференции по теории оболочек и пластин. — Саратов, 2005. С. 288-294.

104. Салтыкова, О. А. Сложные колебания гибких балок для некоторых типов краевых условий / О. А. Салтыкова. // VII Межрегиональная научнопрактическая конференция студентов и аспирантов. Новокузнецк, 2007. - С. 14-19.

105. Доннелл, Л. Г. Балки, пластины и оболочки / Л.Г. Допнелл. -М.: Наука, 1982.586 с.

106. Вольмир, А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / А.С. Вольмир.-М.: Наука, 1972,- 492 с.

107. Крысько В. А. Сравнение различных численных методов па примере задачи моделирования колебаний гибких бесконечно длинных пластин при действии продольных знакопеременных нагрузок / В. А. Крысько, Г. Г. Наркайтис //

108. Труды XXI Междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Саратов, 2005. -С. 281-288.

109. Awrejcewicz, J. Origin and Interaction of Mathematics and Mechanics / J. Awrejcewicz, V. A. Krysko // Department of Automatics and Biomechanics. -Lodz, 2007, - P. 242.

110. Ландау, Л. Д. К проблеме турбулентности / Л.Д. Ландау //ДАН СССР. 1944. -Т.44. - С. 339.

111. Ilopf, Е. A. Mathematical example displaying the features of turbulence / E. A. Hopf// Comn. Pure Appl. Math. 1948. - Vol. 1. - P. 303 - 322.

112. Newhouses. Occurrence of Strange Axciom A Attractions near Quasiperiodic Flow in Tm, m< 3 / Newhouses, D. Ruelle, F. Takens // Commun Math. Phys. -1978.-Vol. 64.-№ 1.-P. 35-40.

113. Mandelbrot, В. B. The fractal geometry of nature / B.B. Mandelbrot. Freeman, 1982.-451 p.

114. Feigenbaum, M. J. Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations / M. J. Feigenbaum //J. Sat. Phys. 1978. - Vol. 19. - № 25. - P. 61 - 84.

115. Pomean, Y. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems / Y. Pomean, P. Manneville // Comm. Math. Phys. 1980. - Vol. - 74. - № 2. - P. 189 -197.

116. Крысько В. А. Хаотические колебания сферических оболочек под действием неоднородного нагружения / В. А. Крысько, И. В. Кравцова // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2004. - № 1(2). -С. 24-36.

117. Пановко, Я. Г. Введение в теорию механических колебаний / Я. Г. Паповко. / М.: ТГаука, 1980.-270 с.

118. Крысько В. А. Динамическая устойчивость многослойных гибких балок па упругом основании с учетом кулоновского трения / В. А. Крысько, А. С. Десятова // Труды VI Международной научно-технической конференции

119. Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте Санкт-Петербург, 28 - 29 января 2004. - СПб., 2004. - с. 191 - 197.

120. Крысько, В. А. Колебания балки Эйлера-Бернулли на упругом основании по моделям Винклера и В.З. Власова / В. А. Крысько, А. С. Дссятова. // Изв. вузов. Строительство, 2004. - №7. - С. 101-115.

121. Амбарцумян, С. А. Теория анизотропных пластин / С. А. Амбарцумян. М.: Наука, 1967.

122. Reissner, Е. On transverse vibration of thin shallow shells / E. Reissner. // Quarterly of Appl. V. 13. - №2 (1955). - P. 169-170.

123. Timoshenko, S. P. On the correction for shear of differential equation for transverse vibration of prismatic bar / S. P. Timoshenko // Philosophical Magazin. 41, 36. 1921. - P. 744-746.